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06 tdc - effetti strutturali ritiro e viscosità

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TECNICA DELLE COSTRUZIONI
Effetti Strutturali di
Viscosità e Ritiro
Prof. G. Mancini
Politecnico di Torino - Dipartimento di Ingegneria Strutturale, Edile e Geotecnica
Corso di “Tecnica delle Costruzioni”
1
1.
PRESA IN CONTO DEL FLUAGE E RELATIVI EFFETTI
STRUTTURALI
ci(t0) = Deformazione elastica
istantanea al tempo t0
cs(t) = Deformazione di ritiro
al tempo t
cc(t) = Deformazione di fluage
al tempo t
c(t) = Deformazione elastica
allo scarico al tempo t1
(c(t) < ci(t0)) per
effetto dell’aumento
del modulo elastico con
l’età)
d(t) = Elasticità differita
f(t) = Plasticità differita
per c  0.4 fckj
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ci , f , cc , c , d  
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2
PRINCIPIO DI MAC-HENRY
Una variazione di tensione  applicata
al tempo t1 produce un effetto uguale,
qualunque sia l’età alla messa in carico ed
il segno di .
Sul diagramma è anche riportato l’effetto
dell’età alla messa in carico.
VALIDITÀ DEL PRINCIPIO DI
SOVRAPPOSIZIONE
Le leggi di fluage adottate per la
compressione si suppongono valide anche
per la trazione e per gli stati di
sollecitazione pluriassaiali.
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3
CALCESTRUZZO = materiale invecchiante a comportamento visco-elastico lineare
 cc ( t ,t0 ) 
 c ( t0 )
Eci
 ( t ,t0 )
(t,t0) = coefficiente di fluage (adimensionale)
c(t0)/Eci = deformazione elastica al tempo t0 (modulo Eci a 28 giorni)
La deformazione totale al tempo t dovuta allo stato di tensione costante c, vale
 1
 (t , t0 ) 
 c (t , t0 )   c (t0 ) 

   c (t0 ) J (t , t0 )
Eci 
 Ec (t0 )
J = funzione fluage [F-1L2] → deformazione totale al tempo t dovuta ad una tensione
unitaria
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4
Omettendo l’influenza delle condizioni termoigrometriche e considerando solo l’effetto
della storia delle sollecitazioni, in applicazione del principio di sovrapposizione e
dell’ipotesi di linearità, si può rappresentare nella seguente forma la legge di evoluzione
della deformazione totale (somma di quella dovuta alla tensione e ad una eventuale
deformazione impressa cn(t))
 c ( )
 c (t )   cn (t )   J (t , )

0

t
 = istante in cui si verifica la variazione di tensione /
E ponendo per  = t0 (t) = (t0) e cn(t0)=0 risulta
t
 c (t , t0 )   c (t0 ) J (t , t0 )   J (t , )
t0
 c ( )
   cn (t )

(1)
Se la variazione di tensione è applicata per intervalli discreti, risulta:
n
c (t, t0 )  c (t0 ) J (t, t0 )   J (t, ti )  (ti ) cn(t)
i1
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5
Se invece si opera sulle tensioni, per una storia di deformazioni assegnata, si perviene
all’integrale di rilassamento
 ( c ( )   cn ( ))
 c (t )   R (t , )

0

t
R = funzione rilassamento [FL-2] → sollecitazione al tempo t provocata da una
deformazione impressa unitaria applicata nell’istante 
(modulo elastico al tempo t)
In analogia a quanto prima:
 ( c ( )   cn ( ))
 (t , t 0 )   c (t 0 )   cn (t 0 ) R (t , t 0 )   R (t , )

t0

t
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( 2)
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Nelle precedenti equazioni la soluzione diretta è semplice, quella inversa porta ad equazioni
integrali di Volterra, di difficile soluzione.
In ogni caso entrambe le famiglie di equazioni richiedono la conoscenza delle leggi di
fluage (prove a tensione costante) e di rilassamento (prove a deformazione costante)
T
I
P
O
D
I
P
R
O
B
L
E
M
A
FUZIONE FLUAGE J(t,)
FUNZ. RILASSAMENTO
R(t,)
PROBLEMI CON
STORIA DI
TENSIONE
ASSEGNATA
c(t) = ?
Semplice
integrazione
c(t) = ?
Soluzione equazione
integrale di Volterra
PROBLEMI CON
STORIA DI
DEFORMAZIONE
ASSEGNATA
c(t) = ?
Soluzione equazione
integrale di Volterra
c(t) = ?
Semplice
integrazione
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tipo di problema in cui
è più frequente la
soluzione
dell’equazione
integrale di Volterra
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Il comportamento reologico del calcestruzzo è caratterizzato sia dalla conoscenza di J(t,)
che da quella di R(t,).
La conseguente relazione tra le due funzioni può essere ottenuta introducendo nella legge di
tipo integrale per il fluage una storia di deformazioni composta di un solo gradino:
per t < t0
per t ≥ t0
c(t) – cn(t) = 0
c(t) – cn(t) = 1
Dalla (2) risulta: (t,t0) = R(t,t0) e sostituendo nella (1), tenuto conto che R(t,t0) = Ec(t0), si
ottiene:
t
1  J (t , t0 ) Ec (t0 )   J (t , )
t0
R ( , t0 )


Tale equazione è stata risolta per via numerica, noti i valori di J(t,t0), e la funzione R(t,t0) è
tabulata.
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Una valutazione approssimata della funzione rilassamento può essere ottenuta tramite
l’espressione semiempirica (errore minore del 10%)
1  0 ,008
0 ,115  J ( t   ,t0 ) 
R( t ,t0 ) 

 1  0

J ( t ,t0 ) J ( t ,t  1 )  J ( t ,t0   ) 
con  = (t-t0)/2
Per le applicazioni pratiche, nel campo del fluage lineare, bisogna distinguere tra:
• strutture omogenee a vincoli rigidi (elastici)
• strutture soggette a vincoli costanti
• strutture eterogenee a vincoli rigidi (elastici)
• strutture soggette a variazioni di schema statico
I problemi relativi a strutture omogenee sono facilitati dalla disponibilità delle funzioni
J ed R.
I problemi relativi a strutture eterogenee sono governati da una o più equazioni integrali.
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TEOREMA DELL’ISOMORFISMO (2° principio del fluage lineare)
Corpo elastico-viscoso omogeneo a vincoli rigidi soggetto a deformazioni impresse non
congruenti e non compatibili  A
Deformazione totale:  A   A → congruente e compatibile
A:deformazione elastica complementare che produce un sistema A di tensioni
autoequilibrate
Si aggiunge un sistema di  B
simili ad  A (  B  k A ) quindi non congruenti e non
compatibili, di conseguenza nasce un ulteriore sistema di deformazioni elastiche
complementari  B tali che  B   B sia congruente e compatibile.
B comporta l’insorgere di B autoequilibrate.
• Deformazione totale (congruente e compatibile):
  A A B B
• Tensione totale (autoequilibrata):
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   A  B
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Per studiare l’effetto di  B supponiamo che risulti:
 B   B
Allora
A A
  A A B B  A A
congruente e compatibile
Inoltre
 B  k A   B  k A
Quindi
   A  k A   A (1  k )
con  A (1  k ) equilibrato
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Poiché la soluzione proposta risulta essere congruente, compatibile ed equilibrata, per il
teorema di Kirchoff sull’unicità della soluzione dell’equilibrio elastico, essa risulta essere
quella reale.
Ad esempio, si può considerare una trave precompressa con martinetti e poi bloccata, nella
quale interviene il fluage (proporzionale alla deformazione elastica): lo stato di
deformazione non varia, lo stato di tensione varia mantenendosi simile a se stesso.
Si può generalizzare come segue:
”L’introduzione in un corpo elastico omogeneo a vincoli rigidi in stato di coazione di
una deformazione impressa simile alla deformazione elastica preesistente non modifica
lo stato di deformazione, mentre lo stato di tensione varia in similitudine a se stesso.”
Una deformazione impressa quale
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B
si chiama ISOMORFA.
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COROLLARIO DEL TEORERMA DELL’ISOMORFISMO
(1°principio del fluage lineare)
Corpo elastico omogeneo a vincoli rigidi in equilibrio sotto l’azione di un sistema di forze F.
Ne conseguono tensioni A equilibrate e deformazioni A congruenti e compatibili.
Si aggiunga un sistema di deformazioni impresse  B  k  A
B
è congruente e compatibile perché proporzionale ad  A . Quindi B = 0 e B = 0
• Deformazione totale:
   A   B   A (1  k )
• Tensione totale:
 A
Ad esempio il fluage altera lo stato di deformazione in modo proporzionale, ma non quello di
tensione.
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“L’introduzione in un corpo elastico omogeneo a vincoli rigidi soggetto ad in sistema
di forze equilibrato di una deformazione simile a quella elastica preesistente non
modifica lo stato di sollecitazione, mentre lo stato di deformazione cambia restando
simile a se stesso”.
Dal punto di vista quantitativo:  B  fluage lineare
Uiel(t) = stato di deformazione elastica di una struttura omogenea a vincoli rigidi provocato
da deformazioni impresse cn(t). A seguito dell’intervento di una deformazione isomorfa
risulta:
Ui(t) = Uiel(t)
t
 (t )   R(t , )
c
0
 ( c ( )   cn ( ))
1
 

Eco

t
0
R (t , )
 c


Se invece cel(t) è lo stato di tensione dovuto ad un sistema di forze equilibrato, risulta:
c(t) = cel(t)
t
 ( )
U i (t )   J (t , )
  Eco  J (t , )dU iel ( )
0
0

t
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PRINCIPIO DI ACQUISIZIONE DEI VINCOLI POSTICIPATI
(3° principio del fluage lineare)
Si consideri un corpo elastico ed omogeneo avente n vincoli rigidi dotati di reazioni Xi(t0)
in presenza di forze costanti F applicate in t0.
Subito dopo l’applicazione del carico si introduce un ulteriore vincolo nel quale
inizialmente la reazione vale ovviamente Xn+1(t0) = 0.
Si studia l’evoluzione delle reazioni dovuta allo sviluppo del fluage.
Si immagini di introdurre il vincolo n+1mo prima dei carichi, in esso nascerà di conseguenza
una reazione
Xn+1(t0)
e tutte le altre reazioni subiranno delle variazioni Xi(t0).
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Per ritornare alle condizioni iniziali occorre far subire al vincolo n+1mo un cedimento 
uguale all’abbassamento provocato in quel punto dal carico.
Di conseguenza:
in n+1:
X n 1 (t0 )  X n 1 (t0 )  0


 


A
in i:
B
X i (t0 )  X i (t0 )  X i (t0 )  X i (t0 )

 

 


C
D
in t0
E
dove:
A : effetto di forze, quindi invariabile nel tempo
B : effetto di deformazioni impresse, quindi variabile nel tempo con legge di rilassamento
C : forze
D : forze
E : deformazioni impresse
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Tenuto conto della origine dei diversi contributi, al tempo t risulterà:
X n1 ( t )  X n1 ( t0 )  X n1 ( t0 )
 R( t ,t0 )
R( t ,t0 )
 X n1 ( t0 )1 
Ec
Ec 

X i ( t )  X i ( t0 )  X i ( t0 )  X i ( t0 )
 R( t ,t0 )
R( t ,t0 )
 X i ( t0 )  X i ( t0 )1 
Ec
Ec 

Poiché per t0 = 28 giorni risulta R(t,t0)/Ec = 0,150,30 per t = ∞ risulta:
X n 1 (t )  (0,70  0,85) X n 1 (t0 )
Il valore finale della reazione nel vincolo n+1mo risulta essere sensibilmente prossimo al
valore che si sarebbe ottenuto nel caso di vincolo preesistente alla applicazione del carico.
Molti procedimenti costruttivi implicano variazioni di schema statico, ma con tempi t1 di
introduzione dei nuovi vincoli talora sensibilmente distinti da t0.
Occorre pertanto generalizzare il precedente principio introducendo la variabile t1 > t0
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4° PRINCIPIO DEL FLUAGE LINEARE
Si consideri una modifica di condizioni di vincolo in una struttura omogenea a vincoli rigidi
dallo schema 1 con k vincoli allo schema 2 con m > k vincoli, ottenuta con l’introduzione di
m – k vincoli addizionali al tempo t1 > t0 (in t0 vengono applicati dei carichi permanenti).
Siano:
XR(t): reazioni al tempo t > t1 dei k vincoli esistenti (R = 1,…, k)
XS(t): reazioni al tempo t > t1 degli m – k vincoli addizionali (S = k+1,…, m)
XRel,1: reazioni elastiche nello schema statico 1 (con k vincoli)
XRel, XSel: correzioni da applicare alla soluzione elastica nello schema 1 per rispettare le
(m – k) condizioni geometriche addizionali imposte dai vincoli addizionali
(m – k), supposti applicati prima dell’introduzione dei carichi (schema 2)
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Per il primo teorema della viscoelasticità lineare, per azioni permanenti i valori elastici delle
reazioni XRel,1 restano costanti per condizioni di vincolo costanti (schema 1), mentre gli
spostamenti elastici uel,1, valutati con un modulo Ec di riferimento, aumentano tramite il
fattore adimensionale EcJ(t,t0).
Al tempo t = t1 gli spostamenti dei punti di applicazione degli (m – k) vincoli addizionali
(attivi per t > t1) valgono:
uS ( t1 )  uSel ,1 Ec J ( t1 ,t0 )
L’introduzione degli (m – k) vincoli impedisce l’ulteriore deformabilità per creep nei punti
corrispondenti, ovvero essi (vincoli) impongono per t > t1, (m – k) condizioni geometriche
corrispondenti a:
u S (t )  u Sel ,1 Ec J (t , t0 )  J (t1 , t0 )
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Per il secondo teorema della viscoelasticità lineare, la risposta delle reazioni XR(t) e
XS(t) al sistema di deformazioni imposte u S (t ) per t > t1 può essere ottenuta integrando
nel tempo da t1 a t gli incrementi delle reazioni elastiche, moltiplicati per il fattore
rilassamento R(t,)/Ec
X R (t )  X
el
R
X S (t )  X
el
S


t
t1
t
t1
R (t , )dJ ( , t0 )
R(t , )dJ ( , t0 )
in quanto gli incrementi delle reazioni valgono:
dX Rel J (t , t0 )  J (t1 , t0 )Ec  X Rel dJ ( , t0 ) Ec
dX Sel J (t , t0 )  J (t1 , t0 )Ec  X Sel dJ ( , t0 ) Ec
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Si introduce la funzione
t
 (t , t1 , t0 )   R(t , )dJ ( , t0 )
t1
risulta:
X R (t )  X Rel (t , t1 , t0 )
X S (t )  X Sel (t , t1 , t0 )
Le evoluzioni temporali delle reazioni per t > t1 nella struttura a vincoli modificati possono
essere ottenute applicando il principio di sovrapposizione:
X R (t )  X Rel ,1   (t , t1 , t0 )X Rel
X S (t )   (t , t1 , t0 )X Sel
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La funzione (t,t1,t0) misura la parte dovuta al fluage della differenza tra la distribuzione di
reazioni corrispondenti all’applicazione del carico permanente nello schema 2 e quella
corrispondente allo schema 1, per carichi applicati in t0 nello schema 1 e vincoli
addizionali introdotti in t1.
0≤≤1
 = 0 per t = t1
 = 1 per t1= t0+ (al limite)
per t1= t0+
t
 (t , t , t0 )   R(t , )dJ ( , t0 )  1 

0
t0
R(t , t0 )
Ec
che corrisponde al caso precedente.
Introducendo nella (1) di pag. 4-8:
c = 0 per t < t0 e c = 1 per t > t0 
c(t,t0) = J(t,t0)
e dalla (2)
t
1  J ( t0 ,t0 )R( t ,t0 )   t R( t , )dJ (  ,t0 )
0
dove J(t0,t0) = 1/Ec
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5° PRINCIPIO DEL FLUAGE LINEARE
La funzione integrale (t,t1,t0) può anche essere adottata per il caso di strutture omogenee
soggette a successive variazioni di schema statico.
In questo caso la reazione nel vincolo posticipato kmo introdotto al tempo tk nello schema
statico k -1mo vale:
X k( k ) (t )  X kel ( k ) (t , t1 , t0 )
tk ≤ t ≤ tk+1
Questa relazione produce una variazione nelle reazioni dei vincoli introdotti in precedenza
che può essere valutata “elasticamente” in accordo al teorema dell’isomorfismo (1°
principio della viscoelasticità lineare)
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Allora le reazioni nei vincoli posticipati introdotti ai tempi tj  tk assumono le espressioni:
X
(m)
j
(t )  X
 (t , t j , t0 ) 
el ( j )
j
m
( k 1)
k
a
X
 jk k (t )
k  j 1
Dove ajk(k-1) sono le reazioni elastiche nel jmo vincolo posticipato dovuto all’applicazione
di Xk = 1 nello schema k-1.
In definitiva nel vincolo kmo insorge una reazione pari a quella che sarebbe presente se il
vincolo fosse stato introdotto nella struttura con schema originale in k-1 vincoli.
I vincoli preesistenti subiscono, per effetto dei vincoli posticipati successivi, variazioni di
reazioni che dipendono esclusivamente dalle reazioni Xkk(t) che insorgono in tali vincoli
nello schema statico in cui vengono introdotti.
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STRUTTURE COMPOSTE ACCIAIO CALCESTRUZZO
(Effetti di ritiro e fluage sui livelli tensionali della sezione)
Occorre risolvere un problema con doppia iperstaticità interna (parametri di
deformazione/tensione) nel caso di una struttura non omogenea, nella quale non
è valido il teorema dell’isomorfismo.
È nota la difficoltà di risolvere la seguente equazione per storie di deformazione
note in forma chiusa:
 c
 c t    cn t    J t , 


0
t
Occorre usare metodi numerici di cui il più noto è il metodo A.A.E.M. (Age
Adjusted Effective Modulus). In pratica l’integrale che rappresenta il principio di
sovrapposizione viene calcolato per via numerica
t
 J  t,τ 
t0
σ  τ 

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    σ  t   σ  t0   μ  t,t0  J  t,t0 
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μ è un fattore correttivo applicato alla funzione di deformazione ∆σ(t)J(t,t0)
che corrisponde alla variazione di tensione σ(t)-σ(t0) supposta agire
totalmente al tempo t = t0, per tener conto del fatto che la risposta elementare
∂σ(t)J(t,) di ogni variazione elementare ∂σ() è progressivamente ridotta
dall’invecchiamento del materiale [J(t,t) ≤ J(t,t0)]
Impiegando la seguente espressione della funzione fluage
J  t,τ  
1
Ec  t 

28  t,τ 
Ec 28
si introduce la correzione come fattore (t,t0) (fattore di invecchiamento)
applicato alla frazione differita della deformazione
 1
28  t,t0  

 J  t,τ      σ  t   σ  t0    E  t   χ  t,t0  E
 c 0
c 28 
t0

t
σ  τ 
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Si può scrivere:
t
εtot t,t0   εcn t   σ t0 J t,t0    J t,τ σ c τ  
t0
 1
 1
 t,t 
 t,t 
σ t0 
 χ t,t0  28 0 
 28 0   σ t   σ t0 
Ec 28 
Ec 28 
 Ec t0 
 Ec t0 
σ t0  σ t 
εtot t,t0   εn t  

Eceff Ecadj
Modulo effettivo
 28 t,t0 
1
1
Eceff

Ec t0 

Ec 28
Modulo corretto
1
1
 t,t 

 χ t,t0  28 0
Ec 28
Ecadj Ec t0 
Il problema è semplice da risolvere se si conosce il valore di (t,t0)
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Il valore di  può essere determinato in modo esatto per un caso di puro
rilassamento: data una deformazione costante εn applicata al tempo t0, risulta
σ  t,t0   εn R  t,t0  
σ  t0 
Ec  t0 
R  t,t0 
Confrontando questa espressione con quella della deformazione totale εtot(t,t0)
si ottiene
χ t,t0  
Ec t0 
Ec 28

Ec t0   Rt,t0  Ec t0  28 t,t0 
Tale espressione è esatta per problema di puro rilassamento e puro fluage; è
approssimata in tutti gli altri casi. In tutti i casi in cui la variazione di tensione
assume forma di esponenziale smorzato gli errori sono trascurabili. È il caso
ad esempio del ritiro e dei cedimenti degli appoggi che hanno leggi di
variazione simili a quelle del fluage.
La funzione  è tabulata in funzione delle leggi di viscosità oggi proposte. In
via approssimata si può assumere:
t00 ,5
χ  0 ,8 oppure χ 
1  t00 ,5

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
t00 ,5
o anche χ 
n  t00 ,5


n = parametri reologici
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EFFETTI STRUTTURALI DEL RITIRO
Valori forfettari per il coefficiente di
ritiro (M.C. 90)
Può in pratica essere assimilato ad una
diminuzione di temperatura.
Con: ecs  0,40/1000
a =10-5 °C-1
risulta: DT = 0,4/1000 · 105 = 40 °C !!
RITIRO DIFFERENZIALE TRAVE – SOLETTA
100
20
20
80
A = 2’000
G
y
cm2
ATR = 2’000 cm2
ITOT = 5’300’000 cm4
Trave stagionata: ecs  0
Soletta gettata in opera: ecs ≠ 0
Ritiro  deformazione impressa ez = ecs
ez NON CONGRUENTE
Di conseguenza nasce un sistema di deformazioni elastiche complementari tali che la deformazione
totale sia congruente:
ε z  εz  λ  μy
σ Z  E  ε z  E  (λ  μy - εz )
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Poiché si tratta di stati di tensione autoequilibrati, deve risultare:

A

σ Z dA  0
A
E   (λ  μy - εZ ) dA  0 
A
σ Z  y dA  0
cioè:
 λ dA   μy dA - 
A
A
A
εZ dA  0
= 0 perché momento statico sezione
rispetto ad asse baricentrico
quindi:
λ  A   εZ dA 
λ
A
E   (λ  μy - εZ )  y dA  0 
A

A
1
εZ dA
A A
λy dA   μy 2 dA -  εZ y dA  0
A
A
=0
quindi:
Supposto
εZ   0,3  103
λ
1
A TOT
μ  I   εZ y dA 
A
μ
1
εZ y dA
I A
risulta:
 0,3  103  2000   0,15  103
1
μ    0,3  103   30  2000  3,39  106
I
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Il diagramma tensionale si ottiene per sovrapposizione di quelli elementari:
G
Nella trave
σ Z tr  E  (λ  μy)
Nella soletta
σ Z sol  E  (λ  μy - εz )
La presenza del fluage smorza gli effetti elastici così calcolati; il valore finale è dell’ordine del 40% di
quello elastico.
COAZIONE ARMATURE - CALCESTRUZZO NEI PILASTRI
Per il ritiro il pilastro si accorcerebbe di ls
Congruenza deformazione (aderenza)
ls
lc
Δlc,s  Δls  Δlc
εs  ε c,s  ε c 
o anche:
σs
σ
 ε c,s  c
Es
Ec
N
N
 ε c,s 
Es As
Ec Ac
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l
lcs
AS
AC
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Quindi:
da cui:
Con
Risulta:
 1
1 
  ε c,s
N  

E
A
E
A
c c 
 s s
ε c,s
SFORZO NORMALE INTERNO SCAMBIATO
N
1
1
TRA ACCIAIO E CALCESTRUZZO

Es As E c A c
ε c,s  0,3  10-3 ,
N
As  2 cm 2 (1 Φ 16) ,
A c  900 cm 2 (30 x 30 cm)
0,3  10-3
 1179 Kg
1
1

2  106  2 250000  900
N 1179
σs 

 589,5 Kg / cm 2 ( COMPRESSIONE )
As
2
N 1179

 1,31 Kg / cm 2 ( TRAZIONE )
A c 900
Raddoppiando l’armatura risulta: N  2317 Kg
σs 
σ s  579 Kg / cm 2
σ s  2,57 Kg / cm 2
Nei pilastri molto armati si può raggiungere la resistenza a trazione del calcestruzzo, con conseguente
fessurazione.
In realtà, anche in questo caso, l’intervento del fluage in trazione riduce a circa il 40% del valore elastico
lo stato di sollecitazione reale.
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EFFETTI STRUTTURALI DI RITIRO E FLUAGE
NELLE SEZIONI COMPOSTE
Si applica il metodo della deformazione per analizzare la risposta della sezione
t=0
t 0
G
La condizione di
compatibilità della
deformazione porta a
z
(t)- (t0)
y
εtot t   εtot t0   λ  μy
arctg
Supponendo che non intervengano variazioni delle azioni permanenti dopo t0, con
il metodo A.A.E.M. la deformazione totale può essere espressa come:
εtot t   εtot t0   εn  σ t0 
 28 t,t0 
Ec 28
 1
 t,t 
 σ t   σ t0 
 χ t,t0  28 0 
Ec 28 
 Ec t0 
εn  εn  t   εn  t0 
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Introducendo l’equazione di congruenza, si determinano le variazioni di tensione
nel calcestruzzo
σ t   σ t0  


 28 t,t0 




λ  μy  εn  σ t0
t,t0 
 28 t,t0  
1
Ec 28

 χ t,t0 
Ec t0 
Ec 28
1
1. Esprimendo lo stato di tensione al tempo t0 come
σ t0   β  γy
2. Ponendo
αc 
Es
σ t   σ t0  
αc
Es
E
 s χ t,t0  28 t,t0 
Ec t0  Ec 28


 28 t,t0 
 β  γy 
 λ  μy  εn 
Ec 28


La variazione di tensione nell’acciaio è data da
σ s t   σ s t0   Es  λ  μy 
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Poiché non ci sono variazioni delle azioni esterne, la variazione dello stato di
tensione deve risultare autoequilibrata
  t    t dA  0
0
A
  t    t ydA  0
A = area totale della sezione
0
A
Area calcestruzzo
Sostituendo in queste equazioni le
ultime due precedenti, si ottiene:
Momento statico delle aree di calcestruzzo rispetto
al baricentro G della sezione composta
Area acciaio
Es
c


28  t , t0 

A


S


A


A


S
 c c    Es  As  Ss   0
 c
c
n c
Ec 28


Es
c


28  t , t0 
Sc  I c    Es  Ss  I s   0
Sc  I c   n Sc 
Ec 28


Momento di inerzia delle aree di
calcestruzzo rispetto al baricentro G
della sezione composta
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Momento statico delle aree di
acciaio rispetto al baricentro G
della sezione composta
Momento di inerzia delle aree di
acciaio rispetto al baricentro G
della sezione composta
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Raccogliendo:
 Ac   c As    S c   c S s    n Ac 
 S c   c S s    I c   c I s    n S c 
 28 t , t0 
Ec 28
 28 t , t0 
Ec 28
Ac  Sc 
Sc  I c 
Se si assume l’origine dell’asse y nel baricentro della sezione
ideale con riferimento al fattore c la quantità Sc + cSs
assume valore nullo, quindi

 n Ac  Ac  S c 

 28 t , t0 
Ec 28
Ai
 n S c  S c  I c 
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Ii
con
Ai  Ac   c As
 28 t , t0 
Ec 28
con I i  I c   c I s
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Determinati  e  si conoscono (t)-(t0) e s(t)-s(t0)
La deformazione imposta corrispondente al ritiro è contenuta nel termine ∆n
Gli effetti strutturali di ritiro e fluage possono essere calcolati anche con
una procedura differente approssimata
Il ritiro della parte di calcestruzzo è impedito dalla connessione all’acciaio,
nasce quindi una forza di trazione nel calcestruzzo pari a:
N c  c, s  Ac  Ec  c, s  Ac
Si simula l’effetto applicando:
A) al calcestruzzo una forza di trazione Nc
B) alla sezione composta una forza di compressione -Nc
Lo stato tensionale totale si ottiene dalla somma dei due precedenti (A+B)
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c,s (a)
Nc
+
Nc
N c   c , s Ec Ac
A
c,s (b)
Nc
Nc
-
B
+
a,s (b)
+
c,s (a+b)
Stato tensionale
totale
-
A+B
+
a,s (b)
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Per tener conto dell’effetto smorzante benefico del fluage si può valutare Nc con
un modulo ridotto
E* 
Ec
1   , t0 
Ci si può quindi limitare ad effettuare due valutazioni
elastiche al tempo t0 (modulo Ec) ed al tempo t (modulo E*)
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EFFETTI IPERSTATICI DI RITIRO E FLUAGE
NELLE STRUTTURE COMPOSTE
Occorre effettuare una analisi step-by-step della struttura
 si applicano le azioni permanenti al tempo t0 e si divide l’intervallo temporale
t-t0 in n intervalli parziali ∆tk=tk-tk-1
 tramite una analisi elastica si determinano le tensioni e deformazioni iniziali
(t0,s) in ogni concio di ascissa s
 si valutano quindi le variazioni delle configurazioni deformate dei conci
∆(t1,t0,s) ∆(t1,t0,s) intervenute nell’intervallo t1,t0, che in genere risultano
non congruenti con i vincoli
 si valutano le variazioni da applicare alle reazioni vincolari Xi(t1,t0), per effetto
di ∆ e ∆, da attribuire all’intervallo di tempo t1-t0
 si itera la procedura per tutti i successivi intervalli
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STRUTTURE OMOGENEE CON VINCOLI ELASTICI
1° e 2° principio della viscoelasticità lineare NON possono essere
applicati
Variazioni contemporanee dello stato di tensione e di deformazione
Soluzione col metodo delle forze
 Assumere una configurazione equilibrata (con forze incognite)
 Imporre la compatibilità tra spostamenti nella struttura e nei vincoli
elastici
Le incognite sono le reazioni nei vincoli elastici
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Ipotesi
 Azioni permanenti costanti applicate in t0
 Vincoli elastici applicati in t0+
 Equazione di compatibilità tra t0+ e t
 Incognite le variazioni delle reazioni nei vincoli rispetto
alla soluzione elastica a t0
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Nei vincoli elastici
Deformabilità vincoli elastici (lii/EAi)
Equazione di compatibilità nella struttura
Spostamento in “i” in direzione “i”
effetto di deformazioni impresse
Spostamento elastico in “i” in direzione “i” effetto
delle azioni permanenti valutato con Ec(t0)
Spostamenti elastici in “i” in direzione “i” effetti di forze unitarie
dirette come le incognite iperstatiche Xj, valutati con Ec(t0)
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Imponendo l’uguaglianza delle due precedenti espressioni si ottiene
Equazioni costituenti un sistema di equazioni di compatibilità nelle incognite Xj
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a) Tutti i vincoli elastici sono applicati in t0Si introducono solo i valori Xj(t0) ottenuti da una analisi elastica a t0
b) Uno o più vincoli elastici sono introdotti a t0+
Xj(t0) vanno calcolati per i vincoli elastici presenti in t0- , per gli altri Xj(t0) = 0
In ogni caso si ottiene un sistema di equazioni integrali nelle incognite Xj ,
da risolvere numericamente
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Applicando il Metodo AAEM l’equazione ricorrente
del sistema diventa
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