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01 tdc - lezioni sicurezza

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TECNICA DELLE COSTRUZIONI
Sicurezza strutturale
Prof. G. Mancini
Politecnico di Torino - Dipartimento di Ingegneria Strutturale, Edile e Geotecnica
Corso di “Tecnica delle Costruzioni”
1
Sicurezza strutturale
Requisito fondamentale in ogni operazione di:
1. progettazione
2. costruzione
3. utilizzazione
delle opere strutturali
Metodi di valutazione della sicurezza che consentano di
verificarne la positività in tutti gli stati in cui verrà a
trovarsi la struttura
Misura positiva della sicurezza nei diversi stati
=
struttura “affidabile”
affidabile
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2
deterministici
Metodi di misura
della sicurezza
nelle costruzioni
tensioni ammissibili
calcolo a rottura
di livello 3
probabilistici
di livello 2
di livello 1
(semiprobabilistico)
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3
Metodo delle tensioni ammissibili
La misura della sicurezza avviene nello spazio delle
tensioni.
Se ≤ R =
Rk
γ
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o anche
∑S
e
≤R=
Rk
γ
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4
∑S
e
rappresenta la combinazione tensionale (tensione
ideale) cui si fa riferimento nel caso di stati di
sollecitazione combinati
Se
tensione “puntuale” nel materiale dovuta alle
azioni di esercizio e valutata con analisi elastica
lineare in presenza di qualunque tipo di azione
(dirette e indirette)
Rk
frattile 5% della distribuzione di frequenza delle
resistenze
i t
((resistenza
i t
caratteristica)
tt i ti )
R=
γ
Rk
γ
tensione ammissibile
coefficiente di sicurezza
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5
Svantaggi del metodo delle tensioni ammissibili
1.
2.
3.
4.
sollecitazioni valutate in modo deterministico senza
considerare alcuna incertezza e/o aleatorietà
elasticità lineare che non consente di tener conto di
fenomeni anelastici e reologici
eologici (fessurazione,
(fess a ione fluage,
fl age
...) e della eventuale non-linearità di comportamento
del materiale
coefficienti di sicurezza necessariamente ampi perchè
devono coprire tutte le cause di incertezza lato azioni
e resistenze ⇒ effetto psicologico pericoloso
misura reale della sicurezza artificiosa o impossibile
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6
Vantaggi del metodo delle tensioni ammissibili
1.
2
2.
3
3.
4.
facilità di determinazione delle sollecitazioni per la
possibilità di applicare il principio di sovrapposizione
degli effetti
facilità nell’indi
nell’individuazione
id a ione delle combinazioni
combina ioni di carico
ca ico
più gravose (linee di influenza)
buona attendibilità (in campo statico) delle
sollecitazioni determinate nei campi usuali di impiego
buon comportamento nelle numerose strutture
realizzate
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7
Metodo di calcolo a rottura
Metodo di calcolo a rottura
La misura della sicurezza avviene nello spazio delle forze.
p
γ u ⋅ Ae ≤ Au
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8
e distinguendo
g
le azioni permanenti
p
Ge :
Ge + γ u ⋅ Ae ≤ Au
con :
Ge
azioni permanenti di esercizio
Ae
azioni variabili di esercizio
Au
azioni variabili ultime
γu
coefficiente di sicurezza ultimo
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9
Svantaggi del metodo di calcolo a rottura
1.
2.
3.
misura della sicurezza ancora deterministica
non valuta le condizioni di esercizio
coefficienti di sicurezza necessariamente ampi perchè
de ono coprire
devono
cop i e tutte
t tte le cause
ca se di ince
incertezza
te a lato a
azioni
ioni
e resistenze ⇒ effetto psicologico pericoloso
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10
Vantaggi del metodo di calcolo a rottura
1.
2
2.
3
3.
possibilità di presa in conto di fenomeni anelastici o
reologici o di non-linearità di comportamento dei
materiali
valutazione
al ta ione corretta
co etta degli effetti delle deformazioni
defo ma ioni
impresse
possibilità di controllo sperimentale della sicurezza
ultima
In ogni caso entrambi i metodi deterministici presentano
notevoli lacune nella valutazione della sicurezza
strutturale
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11
Condizione di stato limite
In ambito strutturale, il concetto di stato limite legato ad
uno specifico requisito è interpretabile come uno stato
della struttura, raggiunto il quale, essa non è in grado di
soddisfare il requisito.
Il requisito di stato limite divide lo spazio n -dimensionale
dimensionale
in un dominio di insuccesso (nel quale il requisito non è
soddisfatto)) e in un dominio di successo,, detto anche
dominio di sicurezza (nel quale il requisito è soddisfatto);
il confine tra i due domini è detto stato limite.
Si definisce probabilità di insuccesso la probabilità di non
soddisfacimento del requisito di stato limite
limite.
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12
Funzione di stato limite
La funzione di stato limite è la rappresentazione analitica
della condizione di stato limite. Quindi, la funzione di
stato limite esprime analiticamente una condizione
raggiunta la quale, la struttura non può
ò più
ù svolgere le
funzioni o non soddisfa più le condizioni per cui è stata
progettata.
progettata
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13
Metodo probabilistico di livello 3
La misura della sicurezza nei confronti di un generico
stato consiste nella determinazione della relativa
probabilità di insuccesso Pr e nel suo confronto con un
valore di riferimento sufficientemente piccolo prefissato Pr*
Pr ≤ Pr*
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14
Pr*
rottura fragile
g
10 −5 ÷ 10 −7
(
(acciaio
in trazione,, cls in
compressione, terreno,
instabilità, ...)
rottura duttile 10 −4 ÷ 10 −5
(acciaio o c.a. in flessione,
cedimenti fondali,
fondali ...))
condizioni di esercizio 10 −2 ÷ 10 −3 (deformazioni,
fessurazione,
vibrazione,
ib i
...))
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15
Sia X il vettore rappresentativo
pp
delle n variabili aleatorie
che intervengono nella definizione della sicurezza; sia
inoltre f X la funzione di densità di probabilità congiunta
d ll n variabili
delle
i bili aleatorie,
l t i tali
t li che:
h
f X ( x1 , x2 ,..., xn ) dx1dx2 ...dxn =
= P[( x1 < X 1 ≤ x1 + dx
d 1 ) ∩ ( x2 < X 2 ≤ x2 + dx
d 2 ) ∩ ...
... ∩ ( xn < X n ≤ xn + dxn )]
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16
Se è noto il dominio di insuccesso Dr' , la probabilità
p
di
insuccesso Pr può essere immediatamente calcolata,
come la probabilità che il vettore X si trovi all’interno
di Dr' :
Pr =
∫f
X
( x1 , x2 ,..., xn )dx
d 1dx
d 2 ...dx
d n
Dr'
Ammesso di poter separare le n variabili aleatorie in
favorevoli e sfavorevoli, si possono definire le due
variabili aleatorie R ed S, tali che:
R = g R ( X 1 , X 2 ,..., X m )
S = g S ( X m +1 , X m + 2 ,,...,, X n )
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17
Pertanto,, considerata la variabile aleatoria E=R-S,, la
probabilità di insuccesso è calcolata nel seguente
modo:
Pr = P{E ≤ 0} =
∫f
R ,S
(r , s)drds
(1)
Dr'
con :
Dr'
dominio di insuccesso (insicurezza), nel quale
cioè e ≤ 0
f R,S
densità di probabilità congiunta delle due variabili
aleatorie R ed S
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19
Integrando
g
la (1)
( ) per
p strisce si ha:
1.
in orizzontale
⎡
⎤
Pr = ∫ ⎢ ∫ f R , S (r , s )ds ⎥ dr
− ∞⎣ r
⎦
+∞ +∞
2.
(2)
in verticale
⎡s
⎤
Pr = ∫ ⎢ ∫ f R , S (r , s )dr ⎥ ds
− ∞⎣ − ∞
⎦
+∞
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(3)
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20
Se R ed S sono indipendenti,
p
, la p
probabilità congiunta
g
f R , S (r , s ) corrisponde al prodotto delle probabilità
semplici:
f R ,S (r , s) = f R (r ) f S ( s)
quindi la (2) e la (3) diventano:
+∞
⎡ +∞
⎤
Pr = ∫ f R (r ) ⎢ ∫ f S ( s )ds ⎥ dr = ∫ f R (r )[1 − FS (r )]dr
−∞
−∞
⎣r
⎦
+∞
+∞
⎡s
⎤
Pr = ∫ f S ( s ) ⎢ ∫ f R (r )ddr ⎥ ds = ∫ f S ( s ) FR ( s )ds
−∞
−∞
⎣−∞
⎦
+∞
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ed,, in rappresentazione
pp
grafica:
g
in orizzontale
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22
in verticale
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23
Q
Qualora
R ed S,, oltre che indipendenti,
p
, abbiano anche
distribuzione normale:
R → N R (μ R ;σ R )
μ = valore
l
medio
di
S → N S (μ S ; σ S )
σ = scarto quadratico medio
anche la variabile aleatoria Z=R-S è normale:
Z → N Z (μ Z ;σ Z )
2
2
e risulta μ Z = μ R − μ S e σ Z = σ R + σ S
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24
La probabilità di esito negativo vale:
0
Pr = P{Z ≤ 0} =
∫f
Z
( z )dz
−∞
Z − μZ
Utilizzando la variabile normale standard U =
σZ
(
)
è
sostituita
da
N
0
;
1
e
si
ottiene:
N Z (μ Z ; σ Z )
U
+∞
Pr =
∫μ σf
U
β=
Z
/
,
(u )du = 1 − FU (β ) = Pr (β )
Z
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25
Utilizzando le variabili standardizzate ridotte:
ϕ=
R − μR
σR
ψ=
S − μS
σS
ψσ S + μ S ,
si ottiene R = ϕ
ϕσ R + μ R , S = ψ
R − S = ϕσ R + μ R −ψσ S − μ S = 0 o anche:
ϕσ R −ψσ S + (μ R − μ S ) = 0
Retta di distanza “d” dall’origine
con:
d=
μR − μS
σ +σ
2
R
2
S
=β
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26
d=
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μR − μS
σ +σ
2
R
2
S
=β
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Il coefficiente β =
μ Z è l’indice di sicurezza e corrisponde
σZ
all’inverso del coefficiente di variazione della variabile
⎛
σZ ⎞
⎟⎟
aleatoria Z ⎜⎜ cZ =
μZ ⎠
⎝
μR μS
−
μS μS
μR − μS
γ 0 −1
μZ
β=
=
=
=
2
2
2
2
σZ
σ R +σS
γ 02 cR2 + cS2
σR σS
+ 2
2
μS μS
μR
con γ 0 =
coefficiente di sicurezza centrale
μS
Risulta Pr = Pr (γ 0 , cr , cs )
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28
Utilizzando le precedenti
relazioni
l i i per coppie
i di
valori (cr , cs ) si possono
disegnare le curve
Pr = Pr (γ 0 )
Si può notare come per valori elevati di cr (curve 9 ÷ 16 )
anche un sensibile aumento di γ 0 non riesca a confinare
Pr entro valori sufficientemente bassi
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29
Per valori bassi di cr ((curve 1÷ 8 ) risulta invece significa
g
tiva la variabilità di S.
Il coefficiente di sicurezza centrale non è pertanto un
buon indice per la misura della sicurezza.
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30
Si p
possono definire ulteriori coefficienti di sicurezza:
Rk
γk =
Sk
coefficiente di sicurezza caratteristico
Rd
γd =
Sk
coefficiente
ffi i
di sicurezza
i
di calcolo
l l
Rk μ R − k Rσ R μ R μ S
1 − k R cR
γk =
=
= γ0
S k μ S + k Sσ S μ S μ R
1 + k S cS
Rd μ R − d Rσ R μ R μ S
1 − d R cR
γd =
=
= γ0
S k μ S + k Sσ S μ S μ R
1 + k S cS
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31
“k” e “d” iindividuano
di id
i ffrattili
ttili
Per distribuzione normale:
k R = 1.645
k S = 1.645
d R = 3.09
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32
Utilizzando le espressioni precedenti è possibile tracciare
la probabilità Pr in funzione di γ k e γ d al variare di cr e
cs
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Si può osservare che utilizzando γ k , il fascio di curve è
ancora molto aperto
aperto, quindi valgono
valgono, anche se in modo
ridotto, le osservazioni già fatte per γ 0 .
Pertanto γ k non è un buon indice per misurare la sicurezza
a collasso.
collasso
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Nel caso di γ d , si osserva che con i valori usuali di cr
(curve 9 ÷ 12) un valore di γ d = 1.5 comporta una
probabilità di rottura compresa tra 5 ⋅10 −4 e 10 −5 ,
quindi sensibilmente costante.
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35
Pertanto γ d può essere utilizzato come parametro per la
valutazione della sicurezza.
sicurezza
Il metodo di livello 3 risulta però di difficile applicabilità
per la mancata conoscenza delle leggi di distribuzione
di frequenza delle variabili aleatorie da prendere in conto.
Si utilizza per scopi scientifici e di taratura dei metodi
approssimati di livello inferiore.
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Metodo probabilistico di livello 2
1.
2.
difficoltà operative del livello 3 superate con il livello 2
la funzione di S. L. g(s, r)=0 è approssimata:
a) g(s, r)=0 lineare o linearizzata → FORM
b) g(s,
g(s r)=0
) 0 non lineare
linea e approssimata
app ossimata con funzione
f n ione
di secondo ordine → SORM
FOSM (First Order Second Moment) (MVFOSM)
FORM
AFOSM (Advanced First Order Second Moment)
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-
FOSM ignora la legge di distribuzione delle variabili
casuali
AFOSM considera la legge di distribuzione delle
variabili casuali
a1) FOSM (MVFOSM): basato su una approssimazione di
primo ordine in serie di Taylor della funzione di S. L.
linearizzata ai valori medi ed usa solo medie e
covarianze delle variabili casuali (normali e lognormali)
Z = g ( X ) = g ( X 1 , X 2 ,..., X n )
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38
Sviluppando in serie di Taylor nell’intorno dei valori
medi:
∂g
Z = g (μ X ) + ∑
X i − μ Xi +
i =1 ∂X i
(
n
)
)(
(
)
1 n n ∂2g
X i − μ X i X j − μ X j + ...
+ ∑∑
2 i =1 j =1 ∂X i ∂X j
da cui:
μ Z ≅ g ( μ X , μ X ,..., μ X )
1
2
n
∂g ∂g
σ ≅ ∑∑
cov(X i , X j )
i =1 j =1 ∂X i ∂X j
n
n
2
Z
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39
La covarianza di due variabili casuali X i , X j è il momento
del 2° ordine rispetto alle rispettive medie μ X e μ X j
i
S lle variabili
Se
i bili X i sono indipendenti:
i di
d ti
2
⎛ ∂g ⎞
⎟⎟ Var ( X i )
σ ≅ ∑ ⎜⎜
i =1 ⎝ ∂X i ⎠
n
2
Z
μZ
σ
Valutati μ Z e Z si ottiene β =
σZ
β
Pr = Pr (β )
1,282
2,326
3,090 3,719 4,265 4,753 5,199
10 −1
10 −2
10 −3
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10 −4
10 −5 10 −6
10 −7
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40
a2) AFOSM (Hasofer-Lind per variabili normali):
usa le
l variabili
b l normalil standard
d d
X i − μ Xi
'
Xi =
ii=1
1, 2,
2 …, n
σX
i
X i' ha
h media
di nulla
ll e deviazione
d i i
standard
t d d unitaria
it i
β HL è definito
L’indice
L’i
di di sicurezza
i
d fi it come distanza
di t
minima dall’origine degli assi rispetto alla superficie
di S.L.
SL
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β HL =
μR − μS
σ R2 + σ S2
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R =
'
R − μR
σR
S =
'
S − μS
σS
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42
La funzione di S. L. è: σ R R ' − σ S S ' + μ R − μ S = 0
AFOSM e FOSM danno valori coincidenti se R ed S sono
normali e la funzione di S.
S L.
L è lineare
Per funzioni di S.
S L.
L non lineari,
lineari la determinazione di β HL
diventa un problema di ottimizzazione. Si può utilizzare
il metodo dei moltiplicatori di Lagrange.
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*
⎛ ∂g ⎞
⎟⎟
x ⎜⎜
∑
∂X i ⎠
i =1
⎝
=−
* 2
n ⎡
⎛ ∂g ⎞ ⎤
⎟⎟ ⎥
⎢⎜⎜
∑
i =1 ⎢⎝ ∂X i ⎠ ⎥
⎣
⎦
n
*
i
β HL
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b) SORM (Second Order Reliability Method)
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Entrambe
E
t
b le
l approssimazioni
i
i i delle
d ll funzioni
f
i i di S.
S LL.
hanno la stessa distanza β e l’approccio di FORM
fornisce lo stesso livello di sicurezza.
sicurezza
In realtà la probabilità di rottura dell’approssimazione
non lineare della funzione dovrebbe essere minore per
p
via della sua forma. FORM ignora la curvatura della
funzione di S. L. perchè usa un’approssimazione di solo
1° ordine.
di
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SORM migliora
g
l’approccio
pp
di FORM includendo
informazioni sulla curvatura della funzione di S. L.
Lo sviluppo in serie di Taylor di una funzione non
li
lineare
ll’i t
del
d l valore
l
g ( X ) = g ( X 1 , X 2 ,..., X n ) nell’intorno
x1* , x2* ,..., xn* vale:
(
)
(
)
n
g ( X 1 , X 2 ,..., X n ) = g x , x ,..., x + ∑
*
1
*
2
*
n
i =1
∂g
xi − x
+
∂X i
(
*
i
)
2
1 n n
∂
g
*
*
+ ...
+ ∑∑ xi − xi x j − x j
2 i =1 j =1
∂xi ∂x j
(
)(
)
SORM tiene conto delle derivate di secondo ordine
mentre FORM si ferma a quella di 1° ordine
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Secondo Breitung,
g, la probabilità
p
di insuccesso può
p essere
calcolata come:
n −1
Pf ≅ Φ (− β )∏ (1 + β ⋅ ki )
−
1
2
i =1
dove ki sono le curvature principali nel punto di minima
distanza e β è valutato tramite FORM.
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Tecniche
ec c e d
di s
simulazione
ua o e
Le tecniche di simulazione consentono di valutare la
probabilità di insuccesso nel caso di funzioni di S.
S L.
L
esplicite ed implicite. La tecnica di simulazione più
nota è il Metodo Montecarlo; consiste nei seguenti passi:
- definizione del problema considerando tutte le variabili
casuali
- quantificazione
q antifica ione di tutte
t tte le variabili
a iabili casuali
cas ali tramite
t amite le PDF
- generazione dei valori delle variabili casuali
- valutazione deterministica per ogni insieme di valori
delle variabili casuali (sperimentazione numerica)
- valutazione di informazioni probabilistiche da N
valutazioni
- valutazione dell’accuratezza ed efficienza della
simulazione
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La g
generazione dei valori delle variabili casuali avviene
tramite un generatore di numeri casuali, compresi tra 0 e
1. Il numero casuale generato viene eguagliato al
corrispondente
i
d t valore
l
della
d ll CDF della
d ll variabile
i bil
considerata e tramite questa si perviene al valore della
variabile casuale tramite la PDF.
PDF
La p
probabilità di insuccesso si calcola come:
Pf =
Nf
casi sfavorevoli (g < 0)
N
casi totali investigati
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Se si valuta una p
probabilità di insuccesso pari
p a 10-5
solo 1/10-5 casi sarà sfavorevole, si raccomanda quindi di
utilizzare almeno 10x105 = 106 simulazioni per ogni
variabile
i bil casuale.
l
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51
Metodo probabilistico di livello 1
La misura della sicurezza in un generico stato si effettua
confrontando due valori significativi di “R” ed “S”
(anziché le leggi complete di n variabili aleatorie) detti
valori di calcolo.
(
(x
Rd = g R x1ES TR , x2 ES TR ,,...,, xmES TR
Sd = g S
m +1ES TR
)
, xm + 2 ESTR ,..., xnESTR
)
verificando che risulti:
Rd ≥ S d
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La scelta dei valori estremi, in linea di principio, si effettua
maggiorando le n
n-m
m variabili (S) e minorando le m variabili
(R).
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53
Per le resistenze si assumono i frattili 0.05:
(
)
FX i xiES TR. INF . = 0.05
Per le sollecitazioni si assumono i frattili 0.95:
(
)
FX i xiES TR.S UP. = 0.95
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Il metodo,, detto dei valori estremi,, non tiene conto delle
aleatorietà ed incertezze dei legami funzionali g R (...)
e g S (...)
L’utilizzazione “ad litteram” della procedura può talvolta
comportare
p
dei problemi
p
di coerenza,, ad esempio
p quando
q
un’azione interviene nello stesso tempo lato sollecitazioni
e lato resistenze, in quanto dovrebbe essere, allo stesso
tempo maggiorata e minorata!
Il problema si risolve in tali casi assumendo per tale
azione un valore deterministico anzichè due valori estremi.
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Metodo semi-probabilistico agli stati
limite
Con tale metodo, alcune delle variabili aleatorie da cui
dipende la misura della sicurezza, vengono assunte
come deterministiche
d t
i i ti h e l’effetto
l’ ff tt della
d ll loro
l
aleatorietà
l t i tà ed
d
incertezza è coperto dall’introduzione di un coefficiente
di sicurezza γ (ne esistono di 3 tipi)
γ m → lato resistenze (m=materiale)
γ f → lato sollecitazioni (f=forze)
γn →
fattore di comportamento
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56
Il metodo deriva in p
principio
p da q
quello di livello 1 ed è
quindi definito “semi-probabilistico”.
Il termini “stati limite” sottolinea la necessità di effettuare
l verifica
la
ifi neii riguardi
i
di di tutti
t tti glili stati
t ti che
h possono portare
t
a comportamento insoddisfacente la struttura.
In particolare si assumono:
- le dimensioni geometriche come deterministiche
- il legame
g
funzionale g R (...) come deterministico,, per
p
la vasta messe di risultati sperimentali disponibili. In
alcuni meccanismi complessi si introduce γ n = γ Rd a
valle
ll del
d l calcolo
l l
1
Rd ⇒
Rd
(incertezza di modello)
γ Rd
con opportuna
pp
graduazione ((riduzione)) del coefficiente γ m
g
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57
-
lato resistenza le variabili aleatorie considerate sono le
resistenze a rottura dei materiali f c , f y cui si applica
il coefficiente γ m
il legame
l
funzionale
f
i
l g S (...) è assunto
t deterministico,
d t
i i ti
per cui si rende necessaria l’introduzione dei
coefficienti γ f che ne tengano conto
conto. Anche in questo
caso è possibile introdurre l’incertezza di modello
con γ n = γ Sd
(
)
S d ⇒ γ Sd S d
e γ f viene graduato di conseguenza
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-
lato sollecitazioni le uniche variabili aleatorie
considerate sono le azioni (A) di cui si considera la
statistica dei massimi, per cui è necessaria
l’i t d i
l’introduzione
d i coefficienti
dei
ffi i ti γ f , nonchè
hè di ulteriori
lt i i
coefficienti ψ (coefficienti di combinazione) che
tengono conto del riferimento unitario alla statistica
dei massimi
Per le uniche variabili aleatorie considerate (f ed A) si
assumono i valori caratteristici f k (frattile 5%),
Ak (frattile
(f ttil 95%).
95%)
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Per le altre cause di aleatorietà si introducono:
-
Resistenze
fd =
-
fk
γm
Sollecitazioni
⎛
⎞
S = S ⎜ ∑ γ f iψ i Ak i ⎟
⎝ i
⎠
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Formulazioni pratiche per
costruzioni in c.a., c.a.p., acciaio
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60
Calcolo dei frattili per distribuzione
normale e log-normale
I valori caratteristici (k) e di progetto (d) sono valutati
come frattili
f ttili delle
d ll distribuzioni:
di t ib i i
-
frattile 5% per resistenza caratteristica
frattile ∼ 0.1% per resistenza di calcolo
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61
Per distribuzione normale:
X k = μ X − 1.64σ X
X d = μ X − 3.09σ X
Per distribuzione log-normale (asimmetrica) occorre
valutare il coefficiente di skewness (obliquità) α X :
α X = 3VX + VX3
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σX
con V X =
μX
coefficiente di
variazione
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Il valore caratteristico o di calcolo si valutano quindi
con le espressioni:
[
(
)]
i = k oppure
pp
d
X i = μ X exp k p ,0 ln 1 + VX2 / 1 + VX2
dove k p , 0 è il coefficiente della distribuzione normale
per lo stesso frattile (1.64 o 3.09)
con VX < 0.2
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(
X i ≅ μ X exp k p ,0VX
)
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Esempio: calcestruzzo con μ X = 30 MPa, σ X = 5 MPa
5
VX =
= 0.167 < 0.20
30
Rk = 30 exp (− 1.64 × 0.167 ) = 22.8 MPa
Log-normale
(scelta consigliata)
Rd = 30 exp (− 3.09 × 0.167 ) = 17.9 MPa
Rk = 30 − 1.64 × 5 = 21.8 MPa
Normale
Rd = 30 − 3.09 × 5 = 14.6 MPa
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Rappresentazione
pp
unitaria dei metodi di verifica della
sicurezza (A. Migliacci)
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Livello 3:
Pr =
∫ f (r , s )drds
R,S
D2'
Livello 2:
η E ≥ β *σ E
Livello 1:
punto M 1
p
Tensioni ammissibili:
Pr = P{E = R − S ≤ 0}
punto M
Risulta R << Rd perchè la sicurezza sulle azioni è
trasferita sulle resistenze
resistenze.
S e ≅ η S quindi M è più prossimo all’origine di M 1
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