Analisi di sicurezza di una struttura in acciaio
q
g
Dati:
• L= 6 m
• g: N(9.5, 1) kN/m
• q: N(3.6, 1.4) kN/m
2
• fy: N(280, 22.4) N/mm
(
) /
La trave è costituita da un profilato IPE 270.
La rottura
rott ra della struttura
str tt ra si verifica
erifica quando
q ando il momento
sollecitante in mezzeria supera il momento resistente.
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Caratteristiche geometriche del profilato IPE
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Verifica con il metodo di livello 3
Verifica con il metodo di livello 3
La probabilità di rottura è definita nel seguente modo:
Pr = P[g ( X1, X 2 ,,...,, X n ) ≤ 0] =
∫f
X ( x1, x2 ,,...,, xn )dx1dx2 ...dxn
Di
dominio nel quale g(x) ≤ 0
dove:
‐ X1 è il carico permanente g;
‐ X2 è il carico variabile q;
q
‐ X3 è la tensione di snervamento fy
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Funzione di stato limite
Assumendo un comportamento elastico‐perfettamente
plastico
l i per l’acciaio,
l’ i i la
l funzione
f i
di stato limite
li i è la
l seguente:
g ( g , q, f y ) = M R − M S = W pl f y
(
g + q )L2
−
8
dove il modulo
d
d l plastico
l i della
d ll sezione
i
Wpl è parii a 484000 mm3.
Si definisce la variabile aleatoria Z = MR‐MS :
Z → N Z (μ Z ;σ Z )
dove: μ Z = μ M R − μ M S = 76.6 kNm
2
2
σZ = σM
+
σ
M S = 13.3 kNm
R
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La probabilità Pr viene calcolata nel seguente modo:
Pr = P(M R ≤ M S ) = P(Z ≤ 0) =
⎛ Z − μZ − μZ
= P⎜⎜
≤
σZ
⎝ σZ
⎞
⎛ μZ
⎟ = Φ⎜ −
⎟
⎜ σ
Z
⎠
⎝
⎞
⎟ = Φ (− 5.7 ) = 4.67 ⋅ 10−9
⎟
⎠
Verifica di sicurezza:
Pr = 4.67 ⋅ 10−9 < Pr , target = 7.2 ⋅ 10−5
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Verifica con i metodi di livello 2
Verifica con i metodi di livello 2
1) Metodo MVFOSM
L’indice di affidabilità β è definito come il rapporto tra valore
medio e deviazione standard della funzione di stato limite.
μZ
β=
σZ
Z = g( X1, X 2 ,..., X n )
Nel caso in esame, la funzione di stato limite è scritta come
segue:
g ( g , q, f y ) = W pl f y
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(
g + q )L2
−
8
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Mediante uno sviluppo in serie di Taylor troncato ai termini
del primo ordine è possibile ottenere delle approssimazioni di
μZ e σZ:
μ Z ≅ g( μ g , μq , μ f y ) = W pl μ f y
⎛ ∂g
⎜
⎜⎜ ∂X
i
i =1 ⎝
n
σZ ≅
∑
⎛ ∂g
= ⎜
⎜ ∂g
⎝
(
μ g + μq )L2
−
= 76.6 kNm
8
2
⎞
⎟ Var ( X ) =
i
⎟⎟
μ⎠
2
⎞
⎛
⎟ σ 2 + ⎜ ∂g
⎟ g ⎜ ∂q
μ⎠
⎝
⎞
⎟
⎟
μ⎠
2
⎛
2 ⎜ ∂g
σq + ⎜
⎜ ∂f y
⎝
2
⎞
⎟ 2
⎟ σ f y = 13.3 kNm
⎟
μ⎠
Il valore dell’indice di affidabilità β è p
pari a: β =
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μZ
= 5 .7
σZ
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2) Metodo AFOSM
)
Si introduce la variabile aleatoria qtot=g+q, in modo da ottenere
una rappresentazione grafica del problema.
problema
La soluzione del problema di sicurezza mediante il metodo
AFOSM comprende quattro passi:
1) Si scrive l’espressione della funzione di stato limite g(qtot, fy):
qtot L2
g ( qtot , f y ) = W pl f y −
8
g ( qtot , f y ) = 0
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2) Si trasformano le variabili (aleatorie) qtot ed fy in variabili
aleatorie indipendenti a distribuzione normale standard q’tot
ed f’y:
f −μ
q 'tot =
qtot − μ qtot
f y '=
σ q tot
y
fy
σ fy
3) SSi riscrive
sc e laa funzione
u o e d
di stato limite
te in funzione
u o e de
dellee
variabili q’tot ed f’y :
(
)(
g ( q 'tot , f y ' ) = W pl μ f y + f y 'σ f y − μ qtot + q 'tot σ qtot
)
L2
8
g ( q 'tot , f y ' ) = 0
10.84 Es '−7.76q 'tot +76.57 = 0
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4) Si calcola la distanza della funzione di stato limite g(q’tot, fy’)=0
dall’origine dello spazio (q’tot, fy’)
Per definizione,
definizione ll’indice
indice di affidabilità βHL è il valore di questa
distanza. In altri termini, βHL è pari alla distanza del punto
(q’tot *,, fy’*)) dall’origine.
(q
g
( q 'tot *, f y '*)
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0.72 f y '+ q 'tot = 0
10.84 f y '−7.76q 'tot +76.57 = 0
q 'tot * = 3.34
f y '* = −4.67
β HL = 5.7
Con entrambi i metodi MVFOSM e AFOSM,
AFOSM la verifica di
sicurezza è soddisfatta:
β = 5.7 > β target = 3.8
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Verifica con il metodo semi‐probabilistico
Verifica con il metodo semi
probabilistico
La sicurezza strutturale viene verificata utilizzando le
indicazioni delle normative.
M Sd ≤ M Rd
Bisogna
i
verifica
ifi che:
h
Valore del momento sollecitante in mezzeria
sulla base della combinazione delle azioni
per situazioni persistenti e transitorie
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Momento sollecitante MSd:
Combinazione delle azioni per situazioni persistenti e
transitorie :
Ed = E {γ G , j GK , j ; γ P P; γ Q ,1Qk ,1; ; γ Q ,iψ 0,i QK ,i }
j ≥ 1; i > 1
I valori caratteristici dei carichi sono:
‐ gk=9.5
=9 5 kN/m
‐ qk=6 kN/m
I fattori parziali lato azioni sono:
− γG=1.35
− γQ=1.5
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Quindi: M Sd
(
γ G g k + γ Q qk )L2
=
= 98.2 kNm
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Momento resistente MRd:
Viene calcolato nel seguente modo:
M Rd = W ppl
f yk
γ m0
= 108.3 kNm
Il fattori parziale γM0 lato resistenza è uguale a 1.05.
Verifica: M Sd = 98.2 kNm < M Rd = 108.3 kNm
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