` di Bologna
Alma Mater Studiorum · Universita
` DI SCIENZE MATEMATICHE, FISICHE E NATURALI
FACOLTA
Corso di Laurea Magistrale in Fisica
Tecniche di Imaging a Risonanza
Magnetica basate sulla diffusione
molecolare (DWI, DTI) nella
diagnostica clinica
Presentata da Nicola Maria Atum Salandini
Relatrice:
Chiar.ma Prof.ssa
Paola Fantazzini
Correlatrice:
Dott.ssa
Paola Berardi
III Sessione
Anno Accademico
2009/2010
Capitolo 1
Diffusion MRI
1.1
Diffusione molecolare
Nell’applicazione della risonanza magnetica in ambito clinico, ci si trova
frequentemente a dover tener conto del fenomeno della diffusione molecolare, laddove nello studio di un organo o tessuto sono presenti fluidi liberi di
muoversi, che influiscono quindi sulla modalit`a di acquisizione delle immagini, oltre che dare un ulteriore informazione funzionale.
In generale la diffusione consiste nel moto transazionale di molecole soggette
a moto browniano, a causa della presenza di gradienti di concentrazione.
Matematicamente `e descritto dalle leggi di Fick.
La prima legge afferma che:
J(r, t) = −D∇c(r, t)
(1.1)
Dove J(r, t) indica il flusso di una particella e c(r, t) la concentrazione in
temini di numero di molecole per unit`a di volume. Il segno meno indica che
la direzione del flusso va da concetrazione maggiore a concentrazione minore.
Per la legge di continuit`a si ha che:
∂c(r, t)
= −∇ · J(r, t)
(1.2)
∂t
Combinando queste due equazioni si ottiene cos`ı la seconda legge di Fick:
5
∂c(r, t)
= D∇2 c(r, t)
(1.3)
∂t
Quest’equazione descrive quindi il moto complessivo del fluido come variazione di concentrazione nel tempo e nello spazio.
La costante di proporzionalit`a D `e detta coefficiente di diffusione, e
dipende sia dall’ambiente in cui si muove il fluido che dalla temperatura.
Tanto pi`
u esso sar`a elevato tanto pi`
u rapida sar`a la propagazione.
Nel caso invece dell’autodiffusione, il moto dele molecole non `e determinato da gradienti di concentrazione, ma consiste nel moto casuale fra molecole
all’interno del fluido stesso. Si introduce quindi la probabilit`a di trovare una
particella nella posizione r1 al tempo t.
Z
P (r1 , t) =
ρ(r0 )P (r0 , r1 , t)dr0
(1.4)
E’ evidente come la probabilit`a totale sia ottenuta integrando su tutte le
possbili posizioni iniziali r0 , in particolare ρ0 `e la densit`a di particelle, l’argomento dell’integrale rappresenta quindi la probabilit`a per una particella di muoversi in r1 al tempo t partendo da r0 . Si pu`o quindi assumere
P (r0 , r1 , t) come l’analogo della concentrazione, con la condizione iniziale
P (r0 , r1 , 0) = δ(r1 − r0 ).
Di conseguenza la prima legge di Fick diventa la seguente:
J(r, t) = −D∇P
(1.5)
E cos`ı il teorema di continuit`a:
∂P
= −∇ · J(r, t)
∂t
(1.6)
Combinando le quali si ottiene l’analogo della seconda legge di Fick:
∂P (r0 , r1 , t)
= D∇2 P (r0 , r1 , t)
∂t
6
(1.7)
Si pu`o risolvere quest’equazione ricorrendo alla trasformata di Fourier per
entrambi i membri, e successivamente antitrasformando si ottiene la seguente
espressione per P (r0 , r1 , t), chiamato propagatore di diffusione:
(r0 − r1 )2
−3/2
P (r0 , r1 , t) = (4πdt)
exp −
4Dt
(1.8)
A questo punto si vuole determinare lo scarto quadratico medio, dato da:
Z ∞
2
(r1 − r0 ) =
(r1 − r0 )2 ρ(r0 )P (r0 , r1 , t)dr0 dr1
(1.9)
−∞
Se si sostituisce in quest’ultima equazione la soluzione (1.8), si ottiene
R∞
2
un integrale standard, del tipo −∞ x2 e−µx +2νx dx, la cui soluzione finale,
rispettivamente per una, due o tre dimensioni, `e la seguente:
(r1 − r0 )2 = nDt,
n = 2, 4, 6
(1.10)
Questo risultato `e lo stesso ottenuto da Einstein nello studio del moto
Browniano, che vale per`o soltanto nel caso di diffusione libera.
1.2
L’esperimento PFGSE
Un modo per misurare quantitativamente la diffusione dell’acqua nei tessuti `e attraverso la sequenza ideata da Stejskal e Tanner nel 1965. Essa
consiste in una sequenza spin echo in cui sono stati inseriti lungo la direzione
del campo statico due gradienti di B di durata δ e intervallati da un tempo
∆. Se ci mettiamo in un sistema di riferimento rotante alla frequenza di
Larmor consideriamo la precessione dovuta solamente alla presenza dei gradienti. Dopo il primo impulso gli spin assumono un angolo di fase dipendente
dalla loro posizione rispetto al centro del gradiente stesso.
Dopo l’impulso a 180◦ ciascun angolo di fase viene invertito, di conseguenza
il secondo gradiente, nel caso non vi sia diffusione, rifocalizza tutti gli spin
in fase dando il massimo segnale di echo. Nel caso vi sia diffusione, nell’intervallo di tempo tra il primo e il secondo impulso il moto casuale dei nuclei
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dar`a come conseguenza una rifocalizzazione solo parziale dei nuclei dopo il
secondo gradiente: sar`a tanto pi`
u basso il segnale di eco quanto maggiore
sar`a la mobilit`a delle molecole d’acqua.
Nel caso in cui si abbia invece un flusso di molecole nella direzione dei
gradienti di campo, tutti gli spin subiscono lo stesso cambiamento di fase.
Nello specifico lo shift di fase per ogni spin dipende sia dalla durata di
applicazione del campo statico B0 che dal contributo dovuto allo spostamento
rispetto lungo al direzione dei gradienti di diffusione:
Z t1 +δ
Z
φi (2τ ) = γB0 τ + γg
zi (t)dt − γB0 τ + γg
t1
Z
t1 +δ
t1
zi (t)dt
t1 +∆
Z
t1 +∆+δ
zi (t)dt −
= γg
t1 +∆+δ
zi (t)dt
(1.11)
t1 +∆
Avendo a che fare con un insieme di pi`
u nuclei, ciascuno con differenti
posizioni iniziali e finali, l’intensit`a del segnale di eco `e funzione del segnale
in assenza di gradiente e della funzione di distribuzione delle fasi P (φ, 2τ ):
Z
∞
S(2τ ) = S(2τ )g=0
−∞
8
P (φ, 2τ )eiθ dθ
(1.12)
Riscrivendo il termine esponenziale come:
expiθ = cos θ + i sin φ
si ottiene:
Z
∞
S(2τ ) = S(2τ )g=0
P (φ, 2τ ) cos θdθ
(1.13)
−∞
(1.14)
Questo risultato tiene quindi conto del fatto che in assenza di diffusione,
l’angolo di shift di fase `e nullo, di conseguenza cos φ = 1, e la (1.12) si riduce
a:
S(2τ ) = S(2τ )g=0
Infatti per definizione
R∞
−∞
(1.15)
P (φ, 2τ )dθ = 1, essendo P (φ, 2τ ) una densit`a di
probabilit`a.
Chiaramente anche in assenza di fenomeni diffusivi o gradienti, il segnale
di una spin-echo si attenua nel tempo come:
S(2τ )g=0
2τ
= S(0) exp −
T2
Che viene quindi cos`ı modificato dalla presenza della diffusione:
2τ
f (δ, g, ∆, D)
S(2τ )g=0 = S(0) exp −
{z
}
T2 |
|
{z
} dif f usione
(1.16)
(1.17)
rilassamento
E=
S(2τ )
= f (δ, g, ∆, D)
S(2τ )g=0
(1.18)
Si tratta ora di determinare la forma della dipendenza di E dai vari
parametri di diffusione.
1.2.1
Approssimazione GPD
Abbiamo visto che l’attenuazione del segnale di eco `e data da:
Z
∞
S(2τ ) = S(2τ )g=0
P (φ, 2τ ) cos θdθ
−∞
9
(1.19)
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