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11. Gli urti

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EQUAZIONI CARDINALI DELLA DINAMICA
I equazione
cardinale

Fest

dPcm
dt
∑ ( Fx ,estiˆ + Fy ,est ˆj + Fz ,est kˆ) =
Se la risultante delle forze esterne è
NULLA, si CONSERVA nel tempo la
quantità di moto del sistema
d
( Px ,cmiˆ + Py ,cm ˆj + Pz ,cmkˆ)
dt
Poiché questa relazione è vettoriale, essa vale per ogni componente cartesiana
indipendentemente: se la risultante delle forze per esempio è diretta lungo la
direzione x di un dato sistema di riferimento, varierà nel tempo la sola componente x
della quantità di moto del sistema, Px,cm, mentre le componenti in direzione y e z
della quantità di moto del sistema, Py,cm Pz,cm , si CONSERVANO
EQUAZIONI CARDINALI DELLA DINAMICA
II equazione
cardinale
 (P)
est
( P )
dL
dt
Se la risultante dei momenti delle forze
esterne rispetto ad un polo P è
NULLA, si CONSERVA nel tempo il
momento della quantità di moto del
sistema rispetto allo stesso polo P
Questo non implica che la risultante delle forze esterne sia nulla: se però questa
ultima condizione è verificata, il momento meccanico diventa indipendente dalla
scelta del polo (come dimostreremo).
Il momento meccanico totale può essere nullo perché la risultante è nulla o perché il
momento meccanico delle forze presenti è nullo.
Ci sono forze il cui momento meccanico rispetto ad un polo è sempre nullo: ad
esempio in un moto di rotazione attorno ad un asse (fisso), le forze di reazione al
perno e le forze radiali.
ESEMPIO 1
(vedi figura).
ESEMPIO 2
figura sotto
ESEMPIO 3
(vedi figura),
polo
O
LEGGI DI CONSERVAZIONE
In un sistema isolato le forze esterne sono NULLE.
Si conservano sempre, allora:
ENERGIA TOTALE
L’energia non si crea e non si distrugge, si trasforma. Anche quando non si
conserva l’energia meccanica di un sistema, l’energia totale si conserva sempre.
Esistono altre forme di energia oltre a quella cinetica e potenziale, come per
esempio l’energia termica (CALORE)
VETTORE QUANTITA’ DI MOTO
Se un sistema è isolato, non agiscono FORE ESTERNE su di esso (sui corpi che
lo costituiscono). Sono presenti solo FORZE
INTERNE (fra coppie di corpi).


Poiché
dP
Fest
dt

dove P è la
 quantità di moto totale del sistema (è la quantità di moto del suo centro
di massa,Pcm ), in un sistema isolato il vettore quantità di moto totale si conserva
VETTORE MOMENTO ANGOLARE
(POLO)
(POLO)
Nell’urto a due corpi le forze impulsive sono forze interne al sistema
costituito dai due corpi: non cambiano la quantità di moto del sistema
Urti a due corpi: riassunto
Si definisce QUASI ISOLATO una sistema formato da una coppia di corpi che si
urtano in presenza di forze esterne (come la forza di gravità) così deboli da
risultare trascurabili rispetto alle intense forze impulsive che agiscono
mutuamente fra i due corpi durante l’urto.
La conservazione di quantità di moto e momento angolare può ancora essere
applicata (in modo approssimato), ma va intesa come ristretta all’intervallo di
tempo di durata dell’urto, cioè la quantità di moto che ha il sistema appena
prima dell’urto deve essere uguagliata alla quantità di moto che ha il sistema
appena dopo l’urto. Analogamente per il momento angolare (calcolato sempre
rispetto allo stesso polo).
Se le forze esterne sono intense e confrontabili con le intense forze impulsive che
agiscono mutuamente fra i due corpi durante l’urto il sistema è NON ISOLATO
Casi particolari
‘
‘
cm
(Nelle pagine di seguito saranno trattate solo grandezze osservate nel SdR del CM: per
semplicità di scrittura sarà omesso “l’apostrofo” con cui sono state finora caratterizzate le
grandezze nel SdR mobile)
(sistemi di riferimento in moto relativo)
ESEMPIO 4
(vedi figura).
,
Figura.
ESEMPIO 5
vedi figura
,
ESEMPIO 6
ESEMPIO 7
vedi fig.
ESEMPIO 8
Urto di due palle da biliardo
vedi
Figura).
ESEMPIO 9
vedi
Figura).
polo
v0
R
ESEMPIO 10
Un’asta omogenea di massa m1 e lunghezza l è libera di
ruotare in un piano verticale attorno ad un asse orizzontale passante per il suo centro.
Inizialmente l’asta è in quiete in posizione orizzontale. Un punto materiale di massa m2 cade
dall’alto con direzione ortogonale all’asta e colpisce l’asta in corrispondenza di un suo
estremo con velocità vi. Dopo l’urto la massa m2 rimane attaccata all’estremo dell’asta. (i)
Determinare la velocità angolare ωf del sistema asta + punto materiale immediatamente dopo
l’urto (l’asta è ancora in posizione orizzontale (a)) e la velocità vfCM del suo centro di massa
(determinare la posizione del centro di massa del sistema rispetto ad O). (ii) Determinare
inoltre in questo istante (immediatamente dopo l’urto, posizione (a)) la accelerazione angolare
αf del sistema e la reazione vincolare Rf. (iii) Determinare infine la velocità angolare ωv,
l’accelerazione angolare αv del sistema e la reazione vincolare Rv nel momento in cui il
sistema, ruotando, passa per la verticale (posizione (b)).
ωf , αf
vi
·
(a)
·
O
·
(b)
ωv , αv
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