(Kuyruk) Modelleri - Yrd. Doç Dr. Ferhat Güngör

M.Ü. Teknoloji Fak./ Mak. Müh / Bakım-Onarım
04.05.2014
GIRIŞ
• Kuyruk teorisi; servis almak için oluşan kuyruk, sağlanan
servis hizmetinden fazladır.
• Bunun çeşitli nedenleri vardır; örneğin, servis sağlayıcıların
sınırlı olması, beklemeyi önleyecek yeterli servis sağlayıcı
düzeyinin ekonomik olarak pahalı olması ya da sunulan
servis sağlayıcıları için yer darlığı olması gibi.
• Bakım onarım ekibinin tamir etmesi için bekleyen bozuk bir
makine için gerekli sermaye ile uygun servis elemanı
sayısının bilinmesi ile ve “Bir müşteri/makine ne kadar
beklemeli? ve Kuyrukta kaç müşteri/makine bekleyecek?”
gibi soruların çözümü ile giderilebilir.
• Kuyruk teorisi işte bu soruları çözmeye çalışmaktadır.
BAKIM-ONARIM İÇİN SIRADA
BEKLEME (KUYRUK) MODELLERİ
D R . F E R H AT G ÜN G Ö R
BAKIM ONARIM (BO) DA
KUYRUK SİSTEMLERİ
2
1
BO’DA KUYRUK SISTEMI BILEŞENLERI
3
4
• Kuyruk sistemlerinden söz ederken özellikle gelişler ve servis
olanaklarının ele alınması zorunludur.
• Kuyruk sistemlerinin temel öğeleri şunlardır:
a. Geliş süreci,
b. Servis süreci,
c. Kuyruk yapısı.
• Şekilde gösterildiği gibi kuyruk sistemi bileşenleri gelişler, kuyrukta
bekleme, servis hizmetlerinden faydalanma ve hizmet aldıktan sonra
kuyruktan ayrılmadır.
• Kuyruk sistemlerinde makineler geliş sürecine bağlı olarak bir kaynaktan
gelirler. Geldiklerinde servis boş ise hizmet alırlar, servis dolu ise
kuyrukta beklerler.
• Servisteki hizmet tamamlandığında kuyrukta bekleyen varsa hizmet
vermek için servise alınır, kuyrukta bekleyen yoksa yeni bir makine
gelene kadar servis boş kalır.
.
Yrd.Doç.Dr.Ferhat Güngör
1
M.Ü. Teknoloji Fak./ Mak. Müh / Bakım-Onarım
BO’YA GELIŞ SÜRECI
04.05.2014
5
• Müşterilerin gelmesini ve sisteme katılmalarını geliş olarak tanımlayabiliriz.
Müşteri/makine varlık olarak bağımsızdır. Makineler hizmet almak için servis
birimlerine rassal olarak tek tek ya da gruplar halinde gelebilirler. Geliş
sürecinin özellikleri şunlardır:
• a. Geliş Büyüklüğü: Servis sistemine gelişlerin büyüklüğü sonlu ya da sonsuz
olarak tanımlanan geliş kaynağının (evren) büyüklüğüne bağlıdır. Örneğin,
otoyollardaki gişelere ödeme yapmak için gelen araç sayısı (bilinmeyen)
sonsuz geliş kaynağına sahipken, bir fabrikada bakım birimine gelen tezgah
sayısı (bilinen) sonlu bir geliş kaynağına sahiptir.
• Geliş süreci olasılıklar kullanılarak tanımlanabilir, bundan dolayı gelişler arası
sürenin olasılık dağılımı ya da birim zamanda gelen müşteri sayısının olasılık
dağılımı belirlenmelidir.
• Her zaman aynı özelliği göstermese de müşteri gelişlerinin Poisson
dağılımına uyduğu kabul edilir.
• b. Gelişler arası Süre: Müşteri gelişleri arasındaki süre sabit olabildiği gibi bir
dağılıma göre belirlenmiş de olabilir. Eğer gelişler, Poisson dağılımına
uygunsa gelişler arası süre de üstel dağılıma uygun olacaktır.
1. TEK KUYRUK TEK SERVIS SISTEMI
7
• Müşterilere hizmet vermek için tek bir servis elemanının
bulunduğunda yani belli bir zamanda sadece bir arızalı
makine hizmet alabildiğinde tek kuyruk, tek servis sistemi
söz konusudur.
• Tek bir kontrol görevlisinin hizmet verdiği giriş kontrolleri ya
da tek bir tezgahtarın çalıştığı bir dükkan bu tür sistemlere
örnek olarak verilebilir.
Yrd.Doç.Dr.Ferhat Güngör
BAKıM ONARıM IÇIN SERVIS SÜRECI
6
• Geliş sürecinde olduğu gibi servis sürecinin de belirleyicisi servis
süresi veya servis hızı olmaktadır.
• Bunun yanında servis olanaklarının düzenlenmesi de kuyruk
sisteminin yapısını belirleyen diğer bir unsurdur.
• Servis süresi bir servis için harcanan ortalama zaman uzunluğu
olarak açıklanır.
• Servis süresi ile ilgili olarak en çok karşılaşılan dağılım üstel
dağılım olmakla birlikte sabit servis süresi ya da normal veya
düzgün dağılmış servis süreleri de karşılaşılan dağılımlardandır.
• Servis sağlayan birimlerin sayıları ve yerleşim düzenleri servis
sürecini belirler.
• Servis düzenlenmeleri farklı şekilde gösterilebilir.
2. TEK KUYRUK, PARALEL DÜZENLENMIŞ
ÇOKLU SERVIS SISTEMI
8
• Aynı hizmeti veren birden fazla birim bulunması ve tek kuyruk oluşması
durumunda tek kuyruk, paralel düzenlenmiş çoklu servis sistemi söz konusudur.
• Dört tane teknisyenin hizmet verdiği bir fenni muayene işi ya da üç tane
tezgahtarın çalıştığı bir yedek parça marketi, boşalan tezgahtarın sırada
bekleyene servis/hizmet vermesi gibi.
2
M.Ü. Teknoloji Fak./ Mak. Müh / Bakım-Onarım
3. ÇOKLU KUYRUK, PARALEL
DÜZENLENMIŞ ÇOKLU SERVIS SISTEMI
04.05.2014
9
• Çoklu kuyruk, paralel düzenlenmiş çoklu servis sisteminde
her bir servis biriminin kendisine ait bir kuyruğu
bulunmaktadır
Kuyruklar
4. TEK KUYRUK, SERI DÜZENLENMIŞ
ÇOKLU SERVIS SISTEMI
• Tek kuyruk, seri düzenlenmiş çoklu servis sisteminde farklı
hizmetlerin verildiği birden fazla servis birimi ve tek kuyruk
bulunmaktadır.
• Bir çamaşır makinesi gövdesinin üretim bandında hareket
ederek, değişik alt montaj gruplarının sırayla gövdeye
birleştirilerek tamamlanması bu tür sistemlere örnek olarak
verilebilir.
Servisler
Kuyruk
Montör
5. KARMA DÜZENLENMIŞ KUYRUK VE
SERVIS SISTEMI
• Karma düzenlenmiş kuyruk ve servis sistemi ise tek ve çok
kuyruk ile seri ve paralel düzenlenmiş servis sistemlerinin
birleştirilmesinden oluşturulmuştur.
Yrd.Doç.Dr.Ferhat Güngör
10
11
Kuyruk
Montör
KUYRUK YAPISI
Kuyruk
Montör
12
• Bir kuyruk yapısında; sırada bekleyen arızalı makine
sayısının en büyük değeri yani kuyruğun büyüklüğü bilinmesi
ayrıca uzun beklemelerde, sonradan gelen müşterilerin
genel davranışları ile kuyruktan ayrılmadan beklemeyi göze
aldıkları veya sistemi terk ettikleri varsayımı yapılmalıdır.
• Kuyruk yapısı ile ilgili bir diğer konu da müşterilerin servis
alış biçimlerinin de tanımlanmasıdır. En yaygın olarak
kullanılan servis alma kuralı “İlk giren ilk çıkar” kuralıdır.
• Bunun yanında öncelikli, son gelenin ilk servise alındığı ya da
farklı kuralların uygulandığı servise alma yöntemleri de
vardır.
3
M.Ü. Teknoloji Fak./ Mak. Müh / Bakım-Onarım
KUYRUK SISTEMLERINDE MALIYET
• .
04.05.2014
13
Kuyruk sistemlerinde iki tür maliyet söz
konusudur.
• Birincisi, arızalı makinelerin hizmet
almak için beklediklerinde oluşan ve iş
görmeyen zaman kaybının maliyeti
yani bekleme maliyetidir.
• İkincisi ise servis maliyetidir.
Bu iki maliyet şekilde gösterildiği gibi
birbiri ile ters orantılıdır.
En iyi servis sağlama düzeyi bekleme
zamanı maliyeti ile servis maliyeti
toplamının en küçük olduğu noktada
gerçekleşir.
KUYRUK SİSTEMİNİN PERFORMANS
ÖLÇÜLERİ
15
• Kuyruk sistemlerinin analizi sonucunda kuyruk sistemi ile ilgili bazı
önemli performans ölçüleri ile ilgili bilgiler elde edilir. Bu bilgiler
özellikle yöneticiler tarafından karar verme sürecinde kullanılır. Bu
performans ölçüleri şu şekilde açıklanmaktadır.
a. Kuyruk Uzunluğu (Lq): Kuyrukta bekleyen müşterilerin ortalama
sayısını gösterir.
b. Sistem Uzunluğu (Ls): Kuyrukta bekleyen ve serviste hizmet alan
müşterilerin sayısını gösterir.
c. Kuyrukta Bekleme Süresi (Wq): Bir müşterinin hizmet almak için
kuyrukta bekleyerek harcadığı süredir.
d. Sistemde Bekleme Süresi (Ws): Bir müşterinin kuyruğa girişinden
hizmet alıp sistemden ayrılışına kadar geçen ortalama süredir.
e. Sistem Kullanım Oranı (ρ): Sistemin meşgul olma olasılığını
gösterir.
Yrd.Doç.Dr.Ferhat Güngör
GELIŞ VE SERVIS SÜRESI DAĞILIMI
14
• Kuyruk modellerinde yaygın olarak geliş oranı için Poisson
dağılımı, servis süresi için ise üstel dağılım kullanıldığı. Poisson
dağılımına uyan geliş sürecinde gelişler tamamen rassal ve
birbirinden bağımsız olarak gerçekleşir.
• Birim zamanda kuyruğa gelen müşteri sayısını ifade eden
ortalama geliş oranı λ ile gösterilir. Gelişler arası süre sisteme
gelen müşteriler arasında geçen süredir. Sisteme gelişler λ
ortalama geliş oranı ile Poisson dağılımına sahip olduğunda,
ortalama gelişler arası süre 1/λ ile üstel dağılıma uyar.
• Birim zamanda servis gören müşteri sayısını ifade eden ortalama
servis oranı μ ile gösterilir.
• Geliş sürecinde olduğu gibi servis oranı, μ ortalama servis oranı ile
Poisson dağılımına sahip olduğunda, servis süreleri ortalama
servis süresi 1/μ ile üstel dağılıma uyar.
KUYRUK MODELLERİ
16
• Gelişlere ve servis birimlerinin yapısına bağlı olarak aşağıda
belirtilen kuyruk modelleri bulunmaktadır.
a. Probabilistik (Olasılıklı) Kuyruk Modelleri: Geliş ve servis
oranları değişkendir.
b. Deterministik Kuyruk Modelleri: Geliş ve servis oranları
bilinmektedir ve değişmez.
c. Karma Kuyruk Modelleri
• Yukarıda sıralanan kuyruk modellerinden olasılıklı kuyruk
modelleri hem sıklıkla karşılaşılan hem geliş hem de servis
oranlarının değişken olduğu modellerdendir.
4
M.Ü. Teknoloji Fak./ Mak. Müh / Bakım-Onarım
04.05.2014
KUYRUK MODELI GÖSTERIMI
1
M: Poisson / Üstel dağılım
D: Sabit değer.
Ek: Erlang dağılımı.
N: Normal dağılım.
U: Düzgün dağılım.
GI: Gelişlerarası sürenin genel dağılımı.
G: Servis süresinin genel dağılımı.
• Kuyruk modellerini göstermek için altı karakterli bir notasyon
kullanılmaktadır. Bu notasyonun ilk 3 karakteri 1953 yılında
Kendall tarafından önerilmiştir. Sonra 1966 yılında A. M. Lee
notasyona dördüncü ve beşinci karakterleri eklemiştir. 1968
yılında ise Hamdy A. Taha son karakteri tanımlamıştır.
M/M/1/FCFS/N/∞
2
M: Tek kuyruk veya N: Adet kuyruk
6
5
4
3
2
1
M/M/1/FCFS/∞/∞ KUYRUK MODELI
3
Paralel servis sayısı. K:Çoklu servis
19
18
4
FCFS: İlk gelen ilk çıkar.
LCFS: Son gelen ilk çıkar.
SIRO: Rastgele seçim.
PRI: Öncelikli seçim.
GD: Genel kuyruk disiplini..
5
Maksimum müşteri sayısı.
N adet veya ∞
6
Geliş kaynağının büyüklüğü. 5
ile aynı notasyonlar kullanılır.
Örnek gösterimleri okuyalım;
• M/M/8/FCFS/∞/∞
M/M/K/FCFS/∞/∞
• M/N/1/FCFS/N/∞
• Tek kuyruk ve tek servis sistemini ifade eden bu kuyruk
modeli, kuyruk modelleri içinde yaygın kullanılan model
türüdür.
• Gelişler ortalama geliş oranı λ ile Poisson dağılımına, servis
süresi ise ortalama servis oranı μ ile üstel dağılıma sahiptir.
• Tek bir servis birimi vardır ve kuyruk disiplininde ilk gelen ilk
çıkar kuralı uygulanmaktadır.
• Sistemde sınırsız sayıda müşteri bulunabilmekte olup
müşterilerin geliş kaynağı sonsuzdur.
Yrd.Doç.Dr.Ferhat Güngör
KUYRUK MODELI GÖSTERIMI
17
M/N/1/LCFS/∞/N
GELIŞLERIN DAĞILIMI (POISSON OLASILIĞI)
20
• Bir çok durumda, servise gelişler tesadüfi ve birbirinden
bağımsız olarak gerçekleşir. Bu olasılık dağılımının
belirlenmesi için poisson olasılık dağılımının geliş sürecini iyi
tanımlayabileceği kabul edilir.
• Poisson olasılık dağılımı; belirli bir zaman periyodunda x
gelişlerinin olasılığını verir. Olasılık fonksiyonu şu şekildedir:
•
( )=
!
for x=0,1,2,…n
5
M.Ü. Teknoloji Fak./ Mak. Müh / Bakım-Onarım
04.05.2014
POISSON DAĞILIMI ÖRNEĞI
GELIŞ SAYISINA BAĞLI POISSON
OLASILIKLARI
21
• x= Bir saatte gelişlerin sayısı
• λ = Periyot başına ortalama geliş sayısı yada gelişlerin hızıdır.
(e=2,71828 alınır)
• Tamir için servise makinelerin geliş hızı saatte λ =2 makine ise;
Gelişlerin
sayısı
Poisson
olasılıkları
0
0,135335
1
0,270671
2
0,270671
3
0,180447
4
0,090224
22
poisson olasılığı
0,3
0,25
0,2
0,15
0,1
• (λ =2 x=0 için) ( )=
• (λ =2 x=1 için) (
)=
!
• (λ =2 x=2 için) ( )=
!
• (λ =2 x=3 için) ( )=
!
!
=
( )=
=
(
)=
=
( )
=
( )
=
=
!
!
!
!
=
= 0,135335
=2
= 0,270671
=2
= 0,270671
5
0,036089
= 0,180447
6
0,01203
7
0,003437
=
M/M/1/FCFS/∞/∞ KUYRUK MODELI IÇIN
FORMÜLLER
Bu modelde kullanılan formüller şu şekildedir:
1. Sistem kullanım oranı,
2. Sistemin boş olma olasılığı,
3. Sistemde n arızalı makine olma olasılığı,
4. Sistemde bulunan ortalama arızalı makine sayısı,
23
0,05
Geliş Sayıları
0
0
1
2
3
4
5
6
7
Tamir için servise makinelerin geliş hızı
saatte λ =2 makine ise x=0,1,2,3… için;
Saatte 0 makine gelme olasılığı %13,5
Saatte 1 ve 2 makine gelme olasılığı %27
Saatte 3 makine gelme olasılığı %18,
Saatte 4 makine gelme olasılığı %9’dur.
FORMÜLLER (DEVAM)
24
6. Kuyruklarda bekleyen ortalama makine sayısı,
7. Sistemdeki ortalama arızalı makinenin bulunma süresi,
8. Arızalı makinenin kuyruktaki ortalama bekleme süresi,
5. Kuyrukta bekleyen ortalama makine (müşteri) sayısı,
Yrd.Doç.Dr.Ferhat Güngör
6
M.Ü. Teknoloji Fak./ Mak. Müh / Bakım-Onarım
ÖRNEK 1.
04.05.2014
25
• Bir hidrolik pompa tamircisi, bozuk bir pompayı ortalama 30
dakikada tamir etmektedir. Tamirciye onarılması için 8
saatte ortalama 10 bozuk pompa gelmektedir. Tamirci bir
günde ne kadar süre boşta kaldığını ve dükkanında ortalama
kaç bozuk pompanın bulunduğunu bilmek istemektedir.
• ÇÖZÜM 1: Birim zamanda tamirciye gelen pompa sayısı λ
değerini vermektedir.
ÇÖZÜM 1: (DEVAM)
26
• Saatte tamir edilen pompa sayısı μ değerini vermektedir.
Bozuk pompa/saat
• Tamircinin boşta kalma olasılığı,
• Bu durumda tamirci bir günde (8 saatte) 3 saat boş durumda
kalacaktır.
• Tamircide bulunan ortalama bozuk pompa sayısı ise,
Bozuk pompa/saat
Bozuk pompa
ÖRNEK 2
• Bir Otomatik uç dolabını OUD kullanmak amacıyla 10
dakikada bir işçi gelişi olmaktadır.
• Bir OUD işlemi ortalama 3 dakika sürmektedir. Buna göre;
a. Gelen bir işçinin sırada bekleme olasılığı nedir?
b. Kuyrukta en az bir işçinin olduğu durumda bekleyen
ortalama kişi sayısı nedir?
c. OUD’de işlem yapmak için gelen işçinin kuyrukta en az 3
dakika beklemeyi firma kabul ettiği durumda Atölye müdürü
ikinci bir OUD daha kuracaktır. Bu durumda ikinci bir OUD
kurabilmek için gelişler ne kadar daha artmalıdır?
Yrd.Doç.Dr.Ferhat Güngör
27
ÇÖZÜM 2:
28
• Birim zamanda OUD’ye gelen işçi sayısı,
İşçi/Dakika
• Birim zamanda OUD’yi kullanan işçi sayısı;
İşçi/Dakika
a. Sistemin dolu olma olasılığı,
OUD’yi kullanmak için gelen bir
işçi %30 olasılıkla beklemek durumunda
kalacaktır.
7
M.Ü. Teknoloji Fak./ Mak. Müh / Bakım-Onarım
04.05.2014
ÇÖZÜM 2: (DEVAM)
29
b. Kuyrukta bekleyen ortalama işçi sayısı,
Kişi
c. OUD’yi kullanmak için gelen işçinin kuyrukta en az 3 dakika
beklemesi uygun olduğu durumda oluşacak gelişlere λ* diyelim.
0,16 kişi
1 dakika
1 kişi
x dakika
X=1*1/0,16=6,25 dakika
Kişi
İkinci OUD kurulması için gelişlerin 10 dakikada 1 işçi değil, 6,25
dakikada 1 işçi olarak oluşması gerekmektedir.
ÇÖZÜM 3: (DEVAM)
• Birim zamanda takım verilen işçi sayısı,
31
İşçi/dakika
a. Takımhanede bulunan ortalama işçi sayısı,
ÖRNEK 3:
30
• Bir Fabrikada, İşçilerin el takım almak üzere gittiği bir
takımhane görevlisine her 5 dakikada 9 işçi gelmekte ve
görevli 5 dakikada 10 işçi isteğini yerine getirmektedir. Buna
göre:
a. Takımhanede bulunan ortalama işçi sayısı,
b. Takımhane kuyruğunda bekleyen ortalama işçi sayısı,
c. İşçilerin takımhanede geçirdikleri ortalama süre,
d. İşçilerin kuyrukta bekledikleri ortalama süre nedir?
• ÇÖZÜM 3: Birim zamanda takımhaneye gelen işçi sayısı,
İşçi/dakika
ÇÖZÜM 3: (DEVAM)
32
• d. İşçilerin kuyrukta bekledikleri ortalama süre nedir?
Dakika
İşçi
b. Takımhane kuyruğunda bekleyen ortalama işçi sayısı,
İşçi
c. İşçilerin takımhanede geçirdikleri ortalama süre,
Dakika
Yrd.Doç.Dr.Ferhat Güngör
8
M.Ü. Teknoloji Fak./ Mak. Müh / Bakım-Onarım
04.05.2014
ÖRNEK 4:
ÇÖZÜM 4:
33
34
• Günde 8 saat çalışılan ve saatte 6 makinenin bozulduğu bir
fabrikada tamir işlerini yapmak üzere dışardan bir servis
firması ile anlaşma yapılacaktır. Makine çalışmadığında
oluşan maliyet saatte 100 pb’dir. Fabrika yönetimi iki servis
firması ile görüşmelerde bulunmuştur. Birinci servis firması
saatte 10 pb istemekte ve saatte 8 makine tamir
edebilmektedir. İkinci servis firması ise saatte 14 pb almakta
ve saatte 12 makine tamir edebilmektedir. Fabrika yönetimi
hangi servis firması ile anlaşma yapmalıdır?
• ÇÖZÜM 4: Birim zamanda bozulan makine sayısı,
• Birinci servis firması için birim zamanda onarılan makine
sayısı,
ÇÖZÜM 4: (DEVAM)
ÇÖZÜM 4: (DEVAM)
• İkinci servis firması için birim zamanda onarılan makine
sayısı,
• Problemin çözümünde Fabrika, günlük toplam maliyeti en
az olan servis firmasını seçmelidir. Servis firmasına
ödenecek ücret ile bozuk makinelerin çalışmaması sonucu
oluşan maliyet toplamı, toplam maliyeti oluşturmaktadır.
35
• Birinci servis firması için; Tamirde bulunan ortalama
makine sayısı,
• Bir günde oluşan toplam maliyet M2,
=912 pb
• Bir günde bozuk makineler için kayıp süre, 3x8 = 24 saat
• Bir günde oluşan toplam maliyet M1,
•
=2480 pb
36
912 pb < 2480 pb olduğundan işletmenin
ikinci servis firması ile anlaşma yapması daha ekonomiktir.
• İkinci servis firması için; Tamirde bulunan ortalama makine
sayısı,
• Bir günde bozuk makineler için kayıp süre, 1x8 = 8 saat
Yrd.Doç.Dr.Ferhat Güngör
9
M.Ü. Teknoloji Fak./ Mak. Müh / Bakım-Onarım
ÖRNEK 5:
04.05.2014
• Bir talaşlı imalat atölyesinde, tek bir alet bileme tezgahının
olduğu iş istasyonuna saatte ortalama 6 körelmiş lebleme
aparatı LA gelmektedir. Bir körelmiş LA’nın bilenme işlemi
ortalama 5 dakika sürmektedir. Buna göre,
a. Tezgahta sıra bekleyen ortalama LA sayısını ve LA’ların
kuyrukta geçirdikleri ortalama süreyi bulunuz.
b. Siparişler artıp, işler yoğunlaştığında iş istasyonuna saatte
ortalama 10 körelmiş LA gelmekte olup, ortalama taşlama
süresi 3,5 dakikaya inmiştir. Bu yoğunluk LA’ların bileme
tezgahı önünde geçirdikleri ortalama süreyi nasıl etkilemiştir.
ÇÖZÜM 5: (DEVAM)
b. İşler yoğunlaşıp, birim zamanda taşlamaya gelen körelmiş LA sayısı,
= 10 /
Birim zamanda işlemi tamamlanan LA sayısı,
=
=
,
= 17,14 LA/saat
=
=
=
= 1,4 LA
,
,
= 0,14 saat
• İşlerin yoğunluğu taşlamaya gelen LA sayısının ve LA’ların taşlamada
geçirdikleri sürenin artmasına neden olur. Bunun sonucunda uzun iş
beklemeleri ve teslim gecikmeleri beklenmelidir.
Yrd.Doç.Dr.Ferhat Güngör
ÇÖZÜM 5:
37
39
38
• Saatte taşlamaya gelen körelmiş LA sayısı,
• = 6 /
• Saatte işlemi tamamlanan LA sayısı,
=
= 12 LA/saat
a. Sistemde bulunan ortalama LA sayısı,
•
=
=
= 1 LA
• Sistemdeki ortalama bulunma süresi,
•
=
=
= 0,1667 saat 60*0,1667= 10 dakika
ÖRNEK 6:
40
• Bir fabrikada, saatte ortalama 10 makine teknisyeni kalibrasyon ve
doğrulama merkezine gelerek kendi mikrometrelerini kontrol
ettirmektedirler.
• Kalibrasyon merkezinde bir görevli ortalama 5 dakikada
mikrometre kontrolünü yapmakta ve bu görevi için saatte 6 pb
ücret almaktadır.
• Makine teknisyenlerinin kalibrasyon merkezinde geçirdikleri bir
saatin şirkete olan maliyeti ise 10 pb’dir. Şirket saatliği 4 pb olan
bir kişiyi kalibrasyon merkezindeki görevliye yardım etmesi için işe
almak istemektedir.
• Eğer böyle bir kişi işe başlarsa, kalibrasyon merkezindeki görevli
ortalama 4 dakikada mikrometre kontrol işini bitirebilecektir.
• Şirket görevliye yardımcı olacak kişiyi işe almalı mıdır?
10
M.Ü. Teknoloji Fak./ Mak. Müh / Bakım-Onarım
04.05.2014
ÇÖZÜM 6:
41
ÇÖZÜM 6: (DEVAM)
42
• Yardımcı bir kişi işe alındığında oluşacak toplam maliyet ise;
• Saatte kontrol isteği karşılanan teknisyen sayısı,
• Toplam Maliyet = Hizmet Maliyeti + Makine Teknisyeni
Maliyeti
• Mevcut durumdaki toplam maliyeti hesaplayalım;
• Saatte kalibrasyon merkezine gelen teknisyen sayısı,
• Saatte kontrol isteği karşılanan teknisyen sayısı,
pb/saat
• Yardımcının maliyeti 30 pb/saat < Teknisyenlerin maliyeti
56 pb/saat’tir.
• Yapılan hesaplamalar sonucunda şirket yardımcı olacak olan
kişiyi işe almalıdır.
• Teknisyenlerin merkezde bulunma süresi;
pb/saat
M/M/K/FCFS/∞/∞ KUYRUK MODELI
DİĞER KUYRUK MODELLERİ
D R . F E R H AT G ÜN G Ö R
Yrd.Doç.Dr.Ferhat Güngör
43
44
• Şimdiye kadar ele aldığımız modellerde tek bir servis hizmet
vermekteydi.
• M/M/K/FCFS/∞/∞ kuyruk modelinde ise hizmet veren birden fazla K
sayıda servis birimi bulunmaktadır. Örneğin, 3 teknisyen ya da 4
doktorun bulunduğu bir sistemde kuyruk bölündüğü için kuyruk
uzunluğu ve kuyrukta bekleme süresi azalmaktadır.
• Bu modelde her bir servisin önünde kendine ait bir kuyruk
bulunmamakta olup tek bir kuyrukta müşteriler beklemekte ve boş
olan servis hangisiyse o servisten hizmet almaktadır.
• Gelişler ortalama geliş oranı λ ile Poisson dağılımına servis süresi ise
ortalama servis oranı μ ile üstel dağılıma sahiptir.
• Aynı hizmeti veren K tane servis birimi vardır ve tek bir kuyruk
oluşturulmakta olup kuyruk disiplininde ilk gelen ilk çıkar kuralı
uygulanmaktadır.
• Sistemde sınırsız sayıda müşteri bulunabilmekte olup müşterilerin
geliş kaynağı sonsuzdur.
11
M.Ü. Teknoloji Fak./ Mak. Müh / Bakım-Onarım
M/M/K/FCFS/∞/∞ KUYRUK MODELI
04.05.2014
45
• Her model için farklı olan formüller, bu modelde kullanılan
formüller şu şekildedir:
1. Sistem kullanım oranı,
TEK KUYRUK, ÇOKLU SERVIS FORMÜLLERI
46
4. Kuyrukta bekleyen ortalama müşteri sayısı,
5. Sistemde bulunan ortalama müşteri sayısı,
2. Sistemin boş olma olasılığı,
6. Kuyruktaki ortalama bekleme süresi,
3. Sistemde n müşteri olma olasılığı,
7. Sistemdeki ortalama bulunma süresi,
ÖRNEK 7:
47
• 2 elektrik tamircisinin çalıştığı bir bakım servisine saatte ortalama
80 arıza gelmekte ve tamircilerden biri boşalana kadar diğerleri
bir kuyrukta (sırada) beklemektedir. Arızalara verilen hizmet
ortalama 1,2 dakika sürmektedir. Buna göre;
a. Bir tamircinin boş olma olasılığını,
b. Tamircide sırada bulunan ortalama arıza sayısını,
c. Arızaların tamircide geçirdikleri ortalama süreyi bulunuz.
ÇÖZÜM 7: Saatte tamirciye gelen arıza sayısı,
ÇÖZÜM 7: (DEVAM)
48
a. Bir tamircinin boş olma olasılığı,
Arıza/saat
Saatte hizmet verilen arıza sayısı,
Bir tamirci % 11 olasılıkla boş olacaktır.
Arıza/saat
Yrd.Doç.Dr.Ferhat Güngör
12
M.Ü. Teknoloji Fak./ Mak. Müh / Bakım-Onarım
ÇÖZÜM 7: (DEVAM)
04.05.2014
49
ÇÖZÜM 7: (DEVAM)
50
• c. Arızalı parçaların tamircide geçirdikleri ortalama süre,
b. Tamirde bulunan ortalama arıza sayısı,
Arıza
Arıza
ÖRNEK 8:
51
• Fabrika yönetimi Cumartesi günleri Bakım-Onarımda kaç
personelin çalışması gerektiğini belirlemek istemektedir.
• Yönetim, Bakım için cihazların kuyrukta bekledikleri her dakikanın
maliyetinin 5 kuruş olduğunu düşünmektedir.
• Bakıma dakikada ortalama 2 cihaz gelmekte ve bir cihazın bakım
işlemi 2 dakikada tamamlanmakta olup bir personele saatte 9 TL
ödenmektedir.
• Toplam maliyeti minimize etmek için Fabrika yönetimi Cumartesi
günleri Bakım-Onarımda kaç personel çalıştırmalıdır?
• ÇÖZÜM 8: Dakikada bakıma gelen cihaz sayısı,
ÇÖZÜM 8:
52
• Dakikada bakım yapılan cihaz sayısı,
Cihaz/Dakika
• Bakım sisteminin çalışması için ρ<1 olmalıdır. Aksi durumda bakım
sistemi sürekli uzayan kuyruk nedeni ile çalışamaz hale gelir.
• Buna göre bakımda en az 5 personelin çalışması gerekmektedir.
Şimdi 5 ve 6 personel çalışması durumunda oluşacak toplam
maliyeti hesaplayalım.
Toplam Maliyet = Hizmet Maliyeti + Kuyrukta Bekleme Maliyeti
• Bir personele saatte 9 TL ödenirse, dakikada 0,15 (9/60) TL ödenir.
Cihaz/Dakika
Yrd.Doç.Dr.Ferhat Güngör
13
M.Ü. Teknoloji Fak./ Mak. Müh / Bakım-Onarım
04.05.2014
ÇÖZÜM 8: (DEVAM)
53
• K=5 için,
ÇÖZÜM 8: (DEVAM)
54
• Bir cihazın kuyrukta bekleme maliyeti dakikada 5 kuruş,
0,05 TL
• Kuyruktaki ortalama bekleme süresi,
• Personel sayısı 6 olduğunda hizmet maliyeti (6x0,15=0,90TL)
90 kuruş olacağından toplam maliyetin 86,1 kuruştan az
olma ihtimali olmayacaktır.
• Bu durumda firma Cumartesi günleri 5 personel
çalıştırmalıdır.
Cihaz
M/M/1/FCFS/∞/N KUYRUK MODELI
55
• Bu modelde diğer modellerden farklı olarak geliş kaynağının
büyüklüğü sonludur. Kullanılan formüller şunlardır:
• 1. Sistemin boş olma olasılığı,
M/M/1/FCFS/∞/N KUYRUK MODELI
FORMÜLLERI (DEVAM)
56
• 4. Sistemde bulunan ortalama müşteri sayısı,
• 5. Kuyruktaki ortalama bekleme süresi,
• 2. Sistemde n müşteri olma olasılığı,
• 6. Sistemdeki ortalama bulunma süresi,
• 3. Kuyrukta bekleyen ortalama makine (müşteri) sayısı,
Yrd.Doç.Dr.Ferhat Güngör
14
M.Ü. Teknoloji Fak./ Mak. Müh / Bakım-Onarım
ÖRNEK 9:
04.05.2014
• Bir Teknik Serviste 3 tane servis otosu bulunmaktadır. Bir servis
otosu 30 günde bir bozulmakta ve tamir gerektirmektedir. Tamir
Bölümünde çalışan usta ortalama 3 günde bir servis otosunu
onarabilmektedir. Buna göre;
• a. Ustanın boş kalma olasılığını,
• b. Tamir için bekleyen ve onarılmakta olan oto sayısının 0, 1, 2 ve 3
olma olasılıklarını,
• c. Tamir için bekleyen ortalama oto sayısını,
• d. Tamir için bekleyen ve onarılmakta olan ortalama oto sayısını,
• e. Bir otonun tamir olmak için beklerken harcadığı ortalama
süreyi,
• f. Bir otonun tamir olmak için sistemde harcadığı ortalama süreyi
bulunuz.
ÇÖZÜM 9: (DEVAM)
ÇÖZÜM 9:
57
59
58
• Birim zamanda tamire gelen oto sayısı,
Oto/gün
• Birim zamanda onarılan araba sayısı,
Oto/gün
• N = 3 için
• a. Ustanın boş kalma olasılığı,
ÇÖZÜM 9: (DEVAM)
60
• Sistemde 1 oto olma olasılığı,
• b. Sistemde n oto olma olasılığı,
• Sistemde 2 oto olma olasılığı,
• Buna göre sistemde oto olmama olasılığı,
• Sistemde 3 oto olma olasılığı,
Yrd.Doç.Dr.Ferhat Güngör
15
M.Ü. Teknoloji Fak./ Mak. Müh / Bakım-Onarım
04.05.2014
ÇÖZÜM 9: (DEVAM)
61
• c. Tamir için bekleyen ortalama oto sayısı,
Oto
• d. Tamir için bekleyen veya onarılmakta (serviste) olan
ortalama oto sayısı,
Oto
• e. Bir otonun tamir olmak için beklerken harcadığı ortalama
süre,
• f. Bir otonun tamir olmak için sistemde harcadığı ortalama
süre,
ÇÖZÜM 10:
63
ÖRNEK 10:
62
• 4 adet CNC işleme merkezi tezgahı bulunan bir atölyede
5 saatte bir tezgahtan işlenmiş parçalar sökülüp, yenileri
ayarlanarak bağlanması gerekmektedir. Operatör bir işleme
merkezi tezgahının hazırlığını 1 saatte yapmaktadır.
Tezgahın kontrol süresince çalışmamasının maliyeti saatte
€ 10’dur. Operatöre ise günlük € 15 ödenmektedir. Atölyede
günde 8 saat çalışıldığına göre,
• a. Çalışan işleme merkezi sayısını,
• b. Günlük işleme merkezinin çalışmama maliyetini,
• c. Atölyenin günlük toplam maliyetini bulunuz.
ÇÖZÜM 10: (DEVAM)
64
• Birim zamanda (saatte) kontrol edilecek CNC işleme
merkezi tezgahları sayısı,
• Birim zamanda (saatte) hazır edilen CNC işleme merkezi
tezgahları sayısı,
• a. Çalışan tezgah sayısını bulabilmek için önce hazır edilme
işleminde bulunulan ortalama tezgah sayısını bulmalıyız,
• Çalışan tezgah sayısı = 4-1 = 3 tezgah
• b. Günlük tezgahın çalışmama maliyeti,
€/gün
• c. Günlük toplam maliyet,
Operatör Maliyeti
€/gün
Yrd.Doç.Dr.Ferhat Güngör
16
M.Ü. Teknoloji Fak./ Mak. Müh / Bakım-Onarım
ÖRNEK 11:
04.05.2014
CEVAP 11: (DEVAM)
65
• Bir operatör, sırasıyla 5 adet CNC tornanın iş yükünden
sorumludur. Her torna için, bir tur tamamlandığında,
operatör tekrar aynı tornaya iş yüklemektedir. Bir turun
tamamlanabilmesi için geçen süre ortalama 45 dakika,
yeniden iş yükleme süresi ise ortalama 8 dakikadır. Buna
göre;
• a. Bütün CNC tornaların çalışması durumu yada tornaların
boş olma olasılığını,
• b. Yeniden iş yükleme için bekleyen ortalama torna sayısını,
• c. Bir tornanın çalışmadığı ortalama süreyi bulunuz.
• ÇÖZÜM 11: Birim zamanda (Dakikada) iş yüklenecek CNC
torna sayısı,
66
• Birim zamanda (Dakikada) iş yüklenen CNC torna sayısı,
CNC Torna/Dakika
•
a. CNC tornaların boş olma olasılığı,
CNC Torna/Dakika
CEVAP 11: (DEVAM)
• b. Yeniden iş yüklemek için bekleyen ortalama torna sayısı,
CNC Torna
• c. Bir CNC tornanın çalışmadığı ortalama süre,
Yrd.Doç.Dr.Ferhat Güngör
67
M/M/1/FCFS/M/∞ KUYRUK MODELI
68
• Bu tür kuyruk modelleri M/M/1/FCFS/∞/∞ kuyruk
modellerine benzemektedir. Yalnız bu modellerde
diğerinden farklı olarak sistemde M sayıda birim
olduğunda bundan sonra gelen tüm gelişler geri
çevrilmektedir.
• Bu modele sınırlandırılmış kuyruk modeli de
denilmektedir.
• Bu modelde sistem kullanım oranının 1’den küçük olması
gibi bir koşul bulunmamaktadır. Çünkü kuyruk uzunluğu
M-1’den daha fazla uzamamaktadır.
17
M.Ü. Teknoloji Fak./ Mak. Müh / Bakım-Onarım
M/M/1/FCFS/M/∞ KUYRUK MODELI
FORMÜLLERİ
04.05.2014
69
• Bu modelde kullanılan formüller şu şekildedir:
• 1. Sistemin boş olma olasılığı,
M/M/1/FCFS/M/∞ KUYRUK MODELI
FORMÜLLERİ-2
70
• 3. Sistemde bulunan ortalama müşteri sayısı,
• 4. Kuyrukta bekleyen ortalama müşteri sayısı
• 2. Sistemde n müşteri olma olasılığı,
• 5. Kuyruktaki ortalama bekleme süresi
M/M/1/FCFS/M/∞ KUYRUK MODELI
FORMÜLLERİ-3 VE ÖRNEK 12:
ÇÖZÜM 12:
71
• 6. Sistemdeki ortalama bulunma süresi,
72
• Birim zamanda oto elektriğe gelen akü sayısı,
Akü/saat
• Birim zamanda bakımı tamamlanan akü sayısı,
Akü/saat
• ÖRNEK 12: Fabrikanın oto elektrik bölümüne saatte ortalama 20
boş akü gelmekte olup içeride toplam 4 adet şarj yeri
bulunmaktadır. Gelen akü bölümde boş şarj yoksa geri
gönderilmektedir. Elektrikçi bir akünün bakımını ortalama 12
dakikada tamamlamaktadır. Buna göre;
• a. Oto elektriğe gelen ancak dolu olduğu için geri gönderilen akü
yüzdesi nedir?
• b. Akülerin bakımda geçirdikleri ortalama süre nedir?
Yrd.Doç.Dr.Ferhat Güngör
• M=4 için
• a. Sistemin dolu olma yani 4 tane akü olma olasılığı;
• Aküler geldiklerinde % 75 olasılıkla sistemi dolu bulacaklardır.
Saatte gelen 20 aküden 15’i şarj dolu olduğundan geri dönecektir.
18
M.Ü. Teknoloji Fak./ Mak. Müh / Bakım-Onarım
04.05.2014
ÇÖZÜM 12: (DEVAM)
ÖRNEK 13:
73
• b. Akülerin şarj ünitesinde geçirdikleri ortalama süre,
74
• 4 forklift kapasitesi olan bir depoya 15 dakikada 1 forklift
gelmektedir. Bir forklift depo otoparkında ortalama 30
dakika kalmaktadır. Buna göre,
• a. Deponun forkliftsiz yani boş olma olasılığını,
• b. Depoda ortalama kaç forklift olduğunu bulunuz.
Akü
• ÇÖZÜM 13: Birim zamanda depoya gelen forklift sayısı,
Forklift/Dakika
• Birim zamanda bekleyen forklift sayısı,
• Oto elektriğe gelen aküler sistemde yaklaşık (0,79*60dk) 47
dakika bulunmaktadırlar.
ÇÖZÜM 13:
75
• M=4 için
• a. Deponun forkliftsiz yani boş olma olasılığı,
•
Depo % 3,2 olasılıkla boştur.
• b. Depoda bulunan ortalama forklift sayısı,
Forklift/Dakika
YARARLANILAN KAYNAKLAR
76
1. Taha, H. A. (2007). Yöneylem Araştırması, (Çev: Ş. A. Baray
ve Ş. Esnaf), İstanbul, Literatür Yayıncılık.
2. Sağır. M., Öztürk. A., Öztürk. Ö., (2013) Yöneylem
Araştırması-ıı, Eskişehir, TC Anadolu Üniversitesi yayını no:
2899
3. Köksal. Prof.Dr. Mustafa (2007). Bakım Planlaması, Ankara,
Seçkin Yayıncılık San. Ve Tic.A.Ş.
4. Uzun. A. Yrd.Doç.Dr. (2011). Bakım Planlaması Teknikleri ve
RCM, Ankara, Nobel Akademik yayımcılık Ltd. Şti.
Forklift
Yrd.Doç.Dr.Ferhat Güngör
19

Download Report