Kirişlerde sınır değerler

Kirişlerde sınır değerler
Benzeri ERSOY/ÖZCEBE S. 275-277
çekme tarafı
(depremde çekme - basınç)
basınç tarafı
çekme tarafı
basınç tarafı
(depremde çekme - basınç)
bw: kiriş genişliği
φ: boyuna donatı çapı
h: kiriş yüksekliği
ρ: çekme donatısı oranı
d: faydalı yükseklik
ρ’: basınç (veya montaj) donatısı oranı
t: tabla kalınlığı
ρ1: mesnet üstündeki donatının oranı
cc: net beton örtüsü
ρ’1: mesnet altındaki donatının oranı
c’c: net donatı aralığı
φw: etriye donatısı çapı
bk: kolonun kirişe dik kenarı
ρw: etriye donatısı oranı
hk: kolonun kirişe paralel kenarı
s: açıklıkta etriye adımı (aralığı)
Ln: kiriş net açıklığı
s’: sarılma bölgesinde etriye adımı (aralığı)
Lc: sarılma bölgesi uzunluğu
e: etriye yatay kolu genişliği
c: donatının komşu açıklığa uzatılma miktarı
k: etriye kanca boyu
a: ilk ve son kolonda donatının kolon içindeki uzunluğu
φgövde: gövde donatısı çapı
Ersoy/Özcebe
ρgövde: gövde donatısı oranı
tablolarınızı
getiriniz !
b: donatının komşu açıklıkta devam ettirilememesi durumunda (örneğin:ilk ve
son mesnette veya komşu kiriş yüksekleri farklı ara mesnetlerde ) boyuna
donatının 900 aşağı veya yukarı kıvrılan kısmının uzunluğu
Gelecek ders:
Aydın
veya
158
Ahmet TOPÇU, Betonarme I, Eskişehir Osmangazi Üniversitesi, 2014, http://mmf2.ogu.edu.tr/atopcu
KİRİŞLERDE SINIR DEĞERLER
AÇIKLAMALAR:
Zorunlu koşullar
Tanım
TS 500/2000
Ek öneri
Deprem Yön. 2007
Açıklama
min bw
20 cm
25 cm
25 cm
max bw
bk+h
bk+h
-
min h
30 cm , 3t
30 cm , 3t
40 cm , Ln /12
max h
Ln /2.5 (sürekli kirişlerde)
Ln /1.5 (basit kirişte)
3.5 bw , Ln /4
-
min ρ
0.8 fctd /fyd
-
-
max ρ
0.02
0.02
-
min ρ1
0.8 fctd /fyd
0.8 fctd /fyd
-
max ρ1
0.02
0.02
-
min ρ’
-
ρ1/4
-
Montaj donatısı alt sınırı
min ρ’1
-
0.5 ρ1 , 0.8 fctd/fyd
-
Mesnet altı donatısının alt
sınırı
max ρ’1
-
0.02
-
max (ρ-ρ’)
0.85 ρb
-
ρl =0.235 fcd/fyd
max (ρ1-ρ’1)
0.85 ρb
0.85 ρb
ρl
min Lc
2h
2h
-
max s
0.5 h
0.5 h
20 cm
min s
-
-
10 cm
max s’
h/4 , 15 cm
h/4 , 15 cm , 8φmin
s /2 ,10 cm
min s’
-
-
5 cm
max e
-
-
35 cm
1. Kiriş genişliği sınırlaması: Dar bir kolona çok geniş bir kirişin oturtulması
sakıncalıdır. Bak: Dep. -Y. 2007, madde 3.3.1.1 ve 3.4.1.1 a , b.
kolon
min φ
12 mm
12 mm
-
max φ
-
-
24 mm
min φw
8 mm
8 mm
-
max φw
-
-
12 mm
min ρw
0.3fctd/fywd
-
-
min φgövde
10 mm
12
12
min ρgövde
0.001
0.3(ρ1+ρ’1)
-
1
kiriş
bw ≤ bk+h
bw ≥25 cm
2
h ≥ 30 cm
2. Bu koşulu sağlamayan kirişler, yüksek kiriş olarak tasarlanır ve donatılır,
Bak: Dep. Y. 2007, Madde 3.4.2.5.
3. Donatı oranı sınırlaması:
3
ρl = 0.235 fcd/fyd deplasman, çatlak sınırlaması. Bak: ERSOY/ÖZCEBE, S. 260
Paragraf 5.4.2
Sarılma bölgesi
4. bw>40 cm olan geniş kirişlerde birden çok (4, 6,… kollu)
etriye kullanılmalı
φmin: boyuna donatı min çapı
4
fywd:etriye çeliği tasarım
dayanımı
5
159
Ahmet TOPÇU, Betonarme I, Eskişehir Osmangazi Üniversitesi, 2014, http://mmf2.ogu.edu.tr/atopcu
5. Gövde donatısı:
Açıklama
-
0.4 l b
-
min b
-
12φ
-
min (a+b)
-
lb
50φ
l b Kenetlenme boyu
min c
-
-
Ln/4
Komşu açıklıktan gelen
veya mesnet ek donatısı için
kenetlenme boyu
min (hk+c)
-
l b , 50 φ
-
Komşu açıklıktan gelen
veya mesnet ek donatısı için
kenetlenme boyu
min k
6φw , 5 cm
10φw , 10 cm(düz)
6φw , 8 cm(nervürlü)
10φw ,10 cm
(her tür çelik için)
max Nd
0.1 fck Ac
0.1 fck Ac
-
max Vd
0.22 fcd Ac
0.22 fcd Ac
-
min cc
2 cm içte
2.5 cm dışta
-
3 cm içte ve dışta
8
min net donatı aralığı
2.5 cm , φ
-
5 cm
8
min beton sınıfı
C16/20
C20/25
C30/37
Bak. Dep. Y. 2007 Madde
3.2.5
min çelik sınıfı
S 220
S 220 (sadece sargı olarak
veya döşemelerde)
S 420, B 420C (boyuna)
B 420C
Kiriş, kolon ve perde
uçlarında S 220
kullanılamaz. Bak. Dep. Y.
2007 Madde 3.2.5
max çelik sınıfı
-
S 420 , B 420C
B 420C
Bak. Dep. Y. 2007 Madde
3.2.5
min çekme donatısı
sayısı
-
2
3
Min montaj donatısı
sayısı
2
2
-
1350 kıvrımlı etriye kancası
boyu
7
a
a
a
6
d
min a
h > 60 cm
Ek öneri
Deprem Yön. 2007
Kötü bir uygulama: Donatı aralığı sıfır!
6. Minimum kenetlenme boyu l b nin hesabı için TS 500/2000, madde
9.1.2 ye bakınız.
7. Bu koşulun sağlanmaması durumunda kolon olarak boyutlandırılır,
Ac=bwd dir. Bak. Dep Y. 2007., Madde 3.4.1.2.
c’c
8. Net beton örtüsü ve net donatı aralığı.Bak: TS500/2000, S. 44.
cc
TS 500/2000
a
Zorunlu koşullar
Tanım
a ≤ 30 cm
KİRİŞLERDE SINIR DEĞERLER (devamı)
YÖNETMELİK:
cc ≥ 2 cm içte, cc ≥ 2.5 cm dışta
c’c ≥ 2.5 cm ve c’c ≥ φ
cc ve c’c ≥ (4/3) Dençok
Dençok agrega max tane çapıdır.
ÖNERİ:
cc ≥ 3 cm içte, dışta tüm kirişlerde önerilir. Yangına
2-4 saat dayanıklılık istenirse cc≥4 cm olmalı. Deniz
kıyısı yapılarda: cc≥5 cm
Yetersiz beton örtüsü düşük kenetlenmeye ve paslanmaya neden olur !
160
Ahmet TOPÇU, Betonarme I, Eskişehir Osmangazi Üniversitesi, 2014, http://mmf2.ogu.edu.tr/atopcu
Kiriş kesit hesabı
Uygulamada iki farklı problem türü ile karşılaşılır:
1)Taşıma gücü hesabı
Bu problem türünde kesit boyutları, malzeme, donatı alanı ve donatının yeri bilinir. Kesitin kırılma anında taşıyabileceği iç
kuvvet (taşıma gücü) aranır.
Genelde, mevcut bir yapının durumunun belirlenmesinde karşılaşılan problem türüdür. Bundan önceki konularda bu problem
türünün çözümü kirişler için anlatılmıştı.
2)Kesit hesabı ≡ Boyutlandırma
Yeni bir proje yapılırken karşılaşılan problem türüdür. Mühendisin elinde sadece mimari proje vardır. Bu problem türünde kesit
boyutları, malzeme, iç kuvvetler (moment, kesme, normal kuvvet, burulma), donatının yeri ve donatı alanı bilinmemektedir.
Statik hesapların yapılabilmesi (=iç kuvvetlerin hesaplanabilmesi) için kesit boyutlarının bilinmesi gerekir.
Md
h
d
•Mühendis önce malzeme ve kesit boyutlarını seçer. Bunun için basit ve yaklaşık ön hesaplar yapar, deneyimini ve önsezisini
kullanarak karar verir. Buna taşıyıcı sistem seçimi-kalıp planı çizimi aşaması denilmektedir, betonarme II dersinde
anlatılacaktır.
•Sonra el veya bilgisayar ile kesit iç kuvvetlerini belirler (statik=yapısal analiz aşaması). Bu aşamadan sonra kesit boyutları,
malzeme ve kesitin taşımak zorunda olduğu iç kuvvetler bellidir. Ancak, bu iç kuvvetleri taşıyacak donatı alanının ne olduğu
ve kesitin neresine, nasıl konulacağı bilinmemektedir.
İşte, bu sorunun cevabını aramaya kesit hesabı denilmektedir (betonarme hesap aşaması). Çözüm; analitik, tablolar veya
bilgisayar yazılımı ile yapılır. Analitik çözüm uygulama açısından pratik olmamaktadır. Günümüzde bilgisayar çözümü ağırlıklı
olarak öne çıkmaktadır.
Analitik çözüme örnek olarak en basit durum olan tek donatılı dikdörtgen kesit ele alınacak ve tüm diğer kesitler tablolar ile
hesaplanarak konu kavratılmaya çalışılacaktır.
161
Ahmet TOPÇU, Betonarme I, Eskişehir Osmangazi Üniversitesi, 2014, http://mmf2.ogu.edu.tr/atopcu
Tek donatılı dikdörtgen kesit hesabı - Analitik çözüm
VERİLENLER:
a=k1c
a
Verilen momentin güvenle taşınabilmesi için As ne olmalıdır?
c
İSTENEN:
a/2
Kesit boyutları(bw, d, h), malzeme(beton ve çelik sınıfı), denetim
koşulları, kesiti zorlayan tasarım momenti(Md).
d-a/2
h
Yapılacak çözüm şu koşulları sağlamalı:
1.Kiriş denge altı donatılmalı: es>esd, ss=fyd, ρ - ρ’=0.85ρb
d
ÇÖZÜM:
2.Bulunacak donatı alanı momenti karşılamalı.
3.Konulan çubuklar kesite sığmalı, çok kalın olmamalı, temin
edilebilir olmalı.
4.Konulan donatının oranı alt ve üst sınırları sağlamalı:
Min ρ ≤ ρ ≤ Max ρ ve ρ - ρ’ ≤ Max (ρ - ρ’)=0.85 ρb
Yatay denge:
0.85fcd abw-As fyd=0
Moment dengesi:
As fyd (d-a/2)=Md
Bu iki denklemde iki bilinmeyen vardır: As ve a. K bir sabit olmak üzere,
Md
K=
b w d2 fcd
Sağ taraftaki büyüklükler bilindiği için K
sabit bir değerdir.
(
)
(
)
a = d 1 m 1 − 2.353K ,
a = d 1 - 1 − 2.353K
A s = 0.85
fcd
ab w
fyd
olarak bulunur.
0<a<d
Fiziksel olarak 0<a<d arasında olmak
zorundadır. + lı iterim ile a>d
olacağından – li terimi almak gerekir.
Denklem sisteminin çözümünde ara
işlemler burada gösterilmemiştir
Hesap sırası:
1. K sabiti hesaplanır, birimsizdir.
2. Basınç bloğu derinliği a hesaplanır.
3. As hesaplanır.
4. As alanını karşılayan uygun donatı çap ve sayısına karar verilir (ders notlarının sonundaki EKLER
bölümünde verilen donatı çubuk alanları Ek6 tablosuna bakınız). Bu işlem yapılırken hesaplanan
alana en yakın çubuk çap ve sayısı aranır. Çoğunlukla birden çok seçenek söz konusu olur. Seçilen
çubukların kesite sığmasına, çok kalın olmamasına, en az üç çubuk olmasına ve temin edilebilir
olmasına özen gösterilir.
5. Seçilen donatının oranının alt ve üst sınırları sağlayıp sağlamadığı kontrol edilir(bak Ek7).
6. Çizim yapılarak donatının nasıl yerleştirileceği gösterilir.
162
Ahmet TOPÇU, Betonarme I, Eskişehir Osmangazi Üniversitesi, 2014, http://mmf2.ogu.edu.tr/atopcu
ÖRNEK: Tek donatılı dikdörtgen kesit hesabı - Analitik çözüm
VERİLENLER: Kiriş ve kesit boyutları, karakteristik yükler ve malzeme: C30/37, B 420C. Şantiye denetimi iyi.
İSTENENLER: Yüklerden oluşan momenti güvenle taşıyabilmesi için As donatı alanı ne olmalıdır? Donatı çap
ve sayısını belirleyiniz..Yönetmeliklere uygun konstrüktif montaj ve sargı donatısı kullanınız, kesiti çiziniz.
As=?
Karakteristik etkiler
250
kesit
HAZIRLIK:
fcd=30/1.5=20 N/mm2, fctd=1.9/1.5=1.27 N/mm2, fyd=420/1.15=365.22 N/mm2
ρb=0.0237, 0.85ρb=
min ρ=
0.85.0.0237=0.0201
Bak: Ek3
min ρ = 0.8
0.8.1.27/365.22=0.0028
Bak: Ek1, Ek2
f ctd
f yd
max ρ=0.02, Max (ρ - ρ’) = 0.85ρb =0.0201
Tasarım momenti:
Md=1.4 (31.25+50.0)+1.6.15.63=138.8 kN.m
K=138.8.106/(250.4702.20.0)=0.126
(
a = 470 1 − 1 − 2.353 ⋅ 0.126
a=470 (1-0.839) a=75.7 mm
)
K=
ÇÖZÜM:
Md
b w d 2 fcd
(
a = d 1 − 1 − 2.353K
)
a=75.7 mm.
f
A s = 0.85 cd ab w
20
f yd
75.7 ⋅ 250
365.22
Momentin oluşturacağı çekme kuvvetini
A s = 881 mm 2
karşılamak için gerekli donatı alanı
A s = 0.85
Bu alana en yakın çubuk çap ve sayısı Ek6 tablosundan aranır. Birden çok seçenek
vardır. Çap en az 12 mm olmalı, çok kalın olmamalı, en az üç çubuk olmalı. Çubuklar
kesite sığmalı. Ek7 tablosu ile çubukların bw genişliğine sığıp sığmadığı kontrol edilebilir.
Seçenekler ve yorumları aşağıda verilmiştir:
8φ12 (905 mm2)  kesite sığmaz!
6φ14 (924 mm2)  kesite sığmaz!
5φ16 (1005 mm2)  kesite sığmaz!
4φ18 (1018 mm2)  kesite sığar, uygun
3φ20 (942 mm2)  kesite sığar, uygun
3φ22 (1140 mm2)  kesite sığar, uygun
Uygun olan bu üç seçenekten birine karar verilebilir.
Burada 3φ20 tercih edilir. Çünkü alanı gerekli olan 881
mm2 ye en yakın, yani en ekonomik olanıdır. Ayrıca
çok kalın da değildir.
2φ24 (905 mm2)  kesite sığar, uygun fakat çubuk sayısı 3 den az ve kalın!
Seçilen 3φ20(942 mm2) altta
Karar
Montaj: 2φ12 (226 mm2) üstte Konsrüktif
Etr.: φ8/200 konstrüktif
Çizim:
2
2
ρ =942/(250.470)=0.0080
ρ’=226/(250.470)=0.0021
3 20
Kontrol:
250
kesit
Etr. 8/200
8/100
ρ=0.008 >Min ρ=0.0028
ρ=0.008< Max ρ=0.02
ρ- ρ’=0.0059< Max (ρ- ρ’)=0.0201
Ahmet TOPÇU, Betonarme I, Eskişehir Osmangazi Üniversitesi, 2014, http://mmf2.ogu.edu.tr/atopcu
163
Tek donatılı dikdörtgen kesit için tablolar
Tek donatılı dikdörtgen kesitler için bu ve sonraki sayfada verilen tablolar
kullanılarak donatı alanı veya moment taşıma gücü hesaplanabilir.
Hesaplarda N ve mm birimleri kullanılmalıdır.
K=
Md
b w d2
A s = ρb w d
As nin hesap adımları:
Taşıma gücü hesap adımları:
Bilinenler: bw, d, Md, beton sınıfı
Bilinenler: bw, d, As, beton sınıfı
Aranan: As=?
Aranan: Md=?
1)K=Md/bw/d2
gmc=1.5 ve S420, B420B, B420C çelikleri için
C16/20
K
N/mm2
Bağıntılar:
yi hesapla
1)r=As/bw /d yi hesapla
2)Beton sınıfı tablosundan K yı bul
2)Beton sınıfı tablosundan r yu bul
K nın satırındaki r yu oku
r un satırından K yı oku
3)As=rbwd yi hesapla
3)Md=Kbwd2 yi hesapla
ÖRNEK: Donatı alanı hesabı
Bilinenler: bw=250 mm, d=470 mm, Md=138.8 kNm, beton : C30/37, Denetim: iyi.
Aranan: As=?
1)K=138.8.106/250/4702=2.5
2)C30/37 tablosundan K=2.5 için r=0.0074 okundu
3)As=0.0074.250.470=870 mm2
ÖRNEK: Taşıma gücü hesabı
Bilinenler: bw=250 mm, d=470 mm, As=870 mm2, beton : C30/37, aranan: Md=?
1) r=870/250/470=0.0074
2)C30/37 tablosundan r=0.0074 için K=2.5 okundu
3)Md=2.5..250.4702=138062500 Nmm Md=138.1 kNm
Derste anlatılmayacak
0.8
0.9
1.0
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
1.8
1.9
2.0
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
2.6
2.7
2.8
2.9
3.0
0.954
0.948
0.941
0.935
0.929
0.922
0.916
0.909
0.902
0.895
0.888
0.881
0.874
0.866
0.859
0.851
0.843
0.835
0.827
0.818
0.809
0.800
0.791
C20/25
C18/22
r
k
0.0023
0.0026
0.0029
0.0032
0.0035
0.0039
0.0042
0.0045
0.0049
0.0052
0.0055
0.0059
0.0063
0.0066
0.0070
0.0074
0.0078
0.0082
0.0086
0.0090
0.0095
0.0099
0.0104
K
N/mm2
k
Anlamadığınız bir nokta varsa,
ders dışında sorabilirsiniz
r
K
N/mm2
0.9
1.0
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
1.8
1.9
2.0
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
2.6
2.7
2.8
2.9
3.0
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
3.6
3.7
k
0.959
0.954
0.949
0.944
0.939
0.934
0.929
0.924
0.918
0.913
0.908
0.902
0.897
0.891
0.885
0.880
0.874
0.868
0.862
0.856
0.849
0.843
0.837
0.830
0.823
0.816
0.809
0.802
0.795
C25/30
r
0.0026
0.0029
0.0032
0.0035
0.0038
0.0041
0.0044
0.0047
0.0051
0.0054
0.0057
0.0061
0.0064
0.0068
0.0071
0.0075
0.0078
0.0082
0.0086
0.0090
0.0093
0.0097
0.0101
0.0106
0.0110
0.0114
0.0118
0.0123
0.0128
K
N/mm2
1.0
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
1.8
1.9
2.0
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
2.6
2.7
2.8
2.9
3.0
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
3.6
3.7
3.8
NOT:
3.9
•Donatı oaranları Min r-Max r arasındadır. Ayrıca kontrole gerek yoktur.
4.0
•Aranan değer üstten tablo dışında kalıyorsa, minimum donatı gerekir anlamındadır.
4.1
•Aranan değer alttan tablo dışında kalıyorsa, kesit yetersizdir anlamındadır.
4.2
•Aranan değer kesik çizgi altındaki ise , r> 0.235fcd/fyd anlamındadır.
4.3
•k değerleri moment kolu katsayısıdır. İstenirse a, c, es gibi diğer büyüklüklerin
4.4
hesabı için kullanılır:
4.5
4.6
a = 2d(1 - k)
4.7
c = a/k
0.8
0.9
1.0
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
1.8
1.9
2.0
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
2.6
2.7
2.8
2.9
3.0
3.1
3.2
3.3
3.4
0.959
0.954
0.948
0.943
0.937
0.932
0.926
0.920
0.914
0.908
0.902
0.896
0.890
0.883
0.877
0.870
0.864
0.857
0.850
0.843
0.836
0.828
0.821
0.813
0.805
0.797
0.789
0.0023
0.0026
0.0029
0.0032
0.0035
0.0038
0.0041
0.0045
0.0048
0.0051
0.0055
0.0058
0.0062
0.0065
0.0069
0.0072
0.0076
0.0080
0.0084
0.0088
0.0092
0.0096
0.0100
0.0104
0.0109
0.0113
0.0118
k
0.963
0.960
0.956
0.952
0.948
0.944
0.940
0.936
0.932
0.928
0.924
0.919
0.915
0.911
0.907
0.902
0.898
0.893
0.889
0.884
0.880
0.875
0.870
0.865
0.861
0.856
0.851
0.846
0.840
0.835
0.830
0.824
0.819
0.813
0.808
0.802
0.796
0.790
r
0.0028
0.0031
0.0034
0.0037
0.0040
0.0044
0.0047
0.0050
0.0053
0.0056
0.0059
0.0063
0.0066
0.0069
0.0072
0.0076
0.0079
0.0083
0.0086
0.0090
0.0093
0.0097
0.0101
0.0104
0.0108
0.0112
0.0116
0.0120
0.0124
0.0128
0.0132
0.0136
0.0140
0.0145
0.0149
0.0154
0.0158
0.0163
1
ε s = 0.003
As =
d−c
c
Md
= ρb w d
365kd
Ahmet TOPÇU, Betonarme I, Eskişehir Osmangazi Üniversitesi, 2014, http://mmf2.ogu.edu.tr/atopcu
164
Derste anlatılmayacak
Tek donatılı dikdörtgen kesit için tablolar
Anlamadığınız bir nokta varsa,
ders dışında sorabilirsiniz
C30/37
K
N/mm2
gmc=1.5
S420, B420B, B420C
1.0
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
1.8
1.9
2.0
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
2.6
2.7
2.8
2.9
3.0
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
3.6
3.7
3.8
3.9
4.0
4.1
4.2
4.3
4.4
4.5
4.6
4.7
4.8
4.9
5.0
5.1
5.2
5.3
5.4
5.5
k
0.970
0.967
0.963
0.960
0.957
0.954
0.950
0.947
0.944
0.941
0.937
0.934
0.930
0.927
0.924
0.920
0.917
0.913
0.909
0.906
0.902
0.899
0.895
0.891
0.887
0.883
0.880
0.876
0.872
0.868
0.864
0.860
0.856
0.851
0.847
0.843
0.839
0.834
0.830
0.825
0.821
0.816
0.812
0.807
0.802
0.797
C35/45
r
0.0028
0.0031
0.0034
0.0037
0.0040
0.0043
0.0046
0.0049
0.0052
0.0055
0.0058
0.0062
0.0065
0.0068
0.0071
0.0074
0.0078
0.0081
0.0084
0.0088
0.0091
0.0094
0.0098
0.0101
0.0105
0.0108
0.0112
0.0116
0.0119
0.0123
0.0127
0.0131
0.0134
0.0138
0.0142
0.0146
0.0150
0.0154
0.0158
0.0163
0.0167
0.0171
0.0175
0.0180
0.0184
0.0189
K
(N/mm2)
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
1.8
1.9
2.0
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
2.6
2.7
2.8
2.9
3.0
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
3.6
3.7
3.8
3.9
4.0
4.1
4.2
4.3
4.4
4.5
4.6
4.7
4.8
4.9
5.0
5.1
5.2
5.3
5.4
5.5
5.6
5.7
5.8
5.9
k
0.971
0.969
0.966
0.963
0.961
0.958
0.955
0.952
0.950
0.947
0.944
0.941
0.938
0.935
0.932
0.929
0.927
0.924
0.921
0.918
0.915
0.911
0.908
0.905
0.902
0.899
0.896
0.893
0.889
0.886
0.883
0.880
0.876
0.873
0.870
0.866
0.863
0.859
0.856
0.852
0.848
0.845
0.841
0.837
0.834
0.830
0.826
0.822
0.818
C40/50
r
0.0031
0.0034
0.0037
0.0040
0.0043
0.0046
0.0049
0.0052
0.0055
0.0058
0.0061
0.0064
0.0067
0.0070
0.0073
0.0077
0.0080
0.0083
0.0086
0.0090
0.0093
0.0096
0.0099
0.0103
0.0106
0.0110
0.0113
0.0117
0.0120
0.0124
0.0127
0.0131
0.0134
0.0138
0.0142
0.0145
0.0149
0.0153
0.0157
0.0161
0.0165
0.0169
0.0173
0.0177
0.0181
0.0185
0.0189
0.0193
0.0197
K
(N/mm2)
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
1.8
1.9
2.0
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
2.6
2.7
2.8
2.9
3.0
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
3.6
3.7
3.8
3.9
4.0
4.1
4.2
4.3
4.4
4.5
4.6
4.7
4.8
4.9
5.0
5.1
5.2
5.3
5.4
5.5
5.6
5.7
5.8
5.9
6.0
6.1
k
0.973
0.970
0.968
0.966
0.963
0.961
0.959
0.956
0.954
0.951
0.949
0.946
0.944
0.941
0.939
0.936
0.934
0.931
0.929
0.926
0.924
0.921
0.918
0.916
0.913
0.910
0.908
0.905
0.902
0.899
0.897
0.894
0.891
0.888
0.885
0.883
0.880
0.877
0.874
0.871
0.868
0.865
0.862
0.859
0.856
0.853
0.849
0.846
0.843
0.840
C45/55
r
0.0034
0.0037
0.0040
0.0043
0.0045
0.0048
0.0051
0.0054
0.0057
0.0060
0.0063
0.0067
0.0070
0.0073
0.0076
0.0079
0.0082
0.0085
0.0088
0.0092
0.0095
0.0098
0.0101
0.0105
0.0108
0.0111
0.0115
0.0118
0.0121
0.0125
0.0128
0.0132
0.0135
0.0139
0.0142
0.0146
0.0149
0.0153
0.0157
0.0160
0.0164
0.0168
0.0172
0.0175
0.0179
0.0183
0.0187
0.0191
0.0195
0.0199
Ahmet TOPÇU, Betonarme I, Eskişehir Osmangazi Üniversitesi, 2014, http://mmf2.ogu.edu.tr/atopcu
K
(N/mm2)
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
1.8
1.9
2.0
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
2.6
2.7
2.8
2.9
3.0
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
3.6
3.7
3.8
3.9
4.0
4.1
4.2
4.3
4.4
4.5
4.6
4.7
4.8
4.9
5.0
5.1
5.2
5.3
5.4
5.5
5.6
5.7
5.8
5.9
6.0
6.1
6.2
k
0.974
0.972
0.970
0.968
0.965
0.963
0.961
0.959
0.957
0.955
0.953
0.950
0.948
0.946
0.944
0.942
0.939
0.937
0.935
0.933
0.930
0.928
0.926
0.924
0.921
0.919
0.917
0.914
0.912
0.909
0.907
0.905
0.902
0.900
0.897
0.895
0.892
0.890
0.887
0.885
0.882
0.880
0.877
0.874
0.872
0.869
0.866
0.864
0.861
0.858
C50/60
r
0.0037
0.0039
0.0042
0.0045
0.0048
0.0051
0.0054
0.0057
0.0060
0.0063
0.0066
0.0069
0.0072
0.0075
0.0078
0.0081
0.0085
0.0088
0.0091
0.0094
0.0097
0.0100
0.0104
0.0107
0.0110
0.0113
0.0117
0.0120
0.0123
0.0126
0.0130
0.0133
0.0137
0.0140
0.0143
0.0147
0.0150
0.0154
0.0157
0.0161
0.0164
0.0168
0.0172
0.0175
0.0179
0.0183
0.0186
0.0190
0.0194
0.0198
K
(N/mm2)
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
1.8
1.9
2.0
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
2.6
2.7
2.8
2.9
3.0
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
3.6
3.7
3.8
3.9
4.0
4.1
4.2
4.3
4.4
4.5
4.6
4.7
4.8
4.9
5.0
5.1
5.2
5.3
5.4
5.5
5.6
5.7
5.8
5.9
6.0
6.1
6.2
6.3
k
0.977
0.975
0.973
0.971
0.969
0.967
0.965
0.963
0.961
0.960
0.958
0.956
0.954
0.952
0.950
0.948
0.946
0.944
0.942
0.940
0.938
0.936
0.934
0.932
0.930
0.928
0.926
0.924
0.921
0.919
0.917
0.915
0.913
0.911
0.909
0.907
0.904
0.902
0.900
0.898
0.896
0.893
0.891
0.889
0.887
0.884
0.882
0.880
0.877
0.875
0.873
r
0.0036
0.0039
0.0042
0.0045
0.0048
0.0051
0.0054
0.0057
0.0060
0.0063
0.0066
0.0069
0.0072
0.0075
0.0078
0.0081
0.0084
0.0087
0.0090
0.0093
0.0096
0.0099
0.0103
0.0106
0.0109
0.0112
0.0115
0.0119
0.0122
0.0125
0.0128
0.0132
0.0135
0.0138
0.0142
0.0145
0.0148
0.0152
0.0155
0.0159
0.0162
0.0166
0.0169
0.0173
0.0176
0.0180
0.0183
0.0187
0.0190
0.0194
0.0198
165
Tek donatılı tablalı kesit hesabı - Analitik çözüm
Derste anlatılmayacak
Anlamadığınız bir nokta varsa,
ders dışında sorabilirsiniz
VERİLENLER:
Kesit boyutları(bw, d, h, b, t), malzeme(beton ve çelik sınıfı), denetim koşulları, kesiti zorlayan tasarım momenti(Md).
İSTENEN:
Verilen momentin güvenle taşınabilmesi için As ne olmalıdır?
ÇÖZÜM:
Yapılacak çözüm şu koşulları sağlamalı:
1.Kiriş denge altı donatılmalı: es>esd, ss=fyd
2.Bulunacak donatı alanı momenti karşılamalı
3.Konulan çubuklar kesite sığmalı, çok kalın olmamalı, temin edilebilir olmalı
4.Konulan donatının oranı alt ve üst sınırları sağlamalı: Min ρ ≤ ρ ≤ Max ρ
Uygulamada çoğunlukla bu
durum ile karşılaşılır
M ≤ Md durumunda As nin hesabı:
b
M > Md durumunda As nin hesabı:
a
Fc=0.85fcd ab
Md
d-a/2
d
h
d
d-t/2
d
a=t olsun(varsayım):
t
0.85fcd
iTE
a
Md momentinin oluşturduğu basınç alanı
derinliği a≤t veya a>t olablir. Önce hangi
durumun söz konusu olduğunu belirlemeliyiz.
a=t varsayalım.
Uygulamada bu durum ile
nadiren karşılaşılır(küçük
tablalı kesitlerde karşılaşılır)
As=?
Fs=As fyd
bw
Tek donatılı
tablalı kesit
Kuvvetler
Basınç alanı dikdörtgen olduğu için,
genişliği b, faydalı yüksekliği d olan
dikdörtgen kesit formülleri geçerlidir:
Yukarıdaki şekilden görüldüğü gibi a=t durumunda
kesitin moment taşıma gücü
Md
bd2 fcd
(
a = d 1 - 1 − 2.353K
Fc=0.85fcdtb, M=Fc(d-t/2)
M=0.85fcdtb(d-t/2)
K=
)
Kesit A ve B modellerinin toplamına özdeştir :Md=M1+M2 ve As=As1+As2 dir.
O halde As1ve As2 alanlarını bulmalıyız.
B modelinde:
A modelinde:
Fc1=0.85fcd(b-bw)t
M2=Md-M1
M1=Fc1(d-t/2)
Basınç alanı dikdörtgen olduğu için, genişliği bw,
faydalı yüksekliği d olan dikdörtgen kesit
formülleri geçerlidir:
M2
K=
b w d2 fcd
Fs1=As1fyd
Fs1=Fc1
Tabla betonunun
taşıyabileceği moment
A s = 0.85
olur.
M≥Md ise basınç alanı tabla içindedir, yani a≤t dir.
fcd
ab
fyd
As1fyd=0.85fcd(b-bw)
As1=0.85fcd(b-bw)/fyd
M<Md ise basınç alanı tabla altına sarkıyor, yani a>t dir.
(
a = d 1 - 1 − 2.353K
f
A s2 = 0.85 cd ab w
fyd
)
As=As1+As2
166
Ahmet TOPÇU, Betonarme I, Eskişehir Osmangazi Üniversitesi, 2014, http://mmf2.ogu.edu.tr/atopcu
ÖRNEK: Tek donatılı tablalı kesit hesabı - Analitik çözüm
Derste anlatılmayacak
Aşağıda kesiti verilen kirişin Md momentini güvenle taşıyabilmesi için As ne olmalıdır?
Donatı çap ve sayısını belirleyiniz, kesiti çiziniz. Malzeme: C16/20-S420, şantiye
denetimi iyi.
Çizim için, yönetmeliklere uygun, konstrüktif montaj ve sargı donatısı
kullanınız.
Çizim için, yönetmeliklere uygun, konstrüktif montaj ve sargı donatısı kullanınız.
1000 mm
Md=314.6 kN.m
Min ρ= 0.8.0.93/365.22=0.0020, Max ρ=0.02
Min ρ= 0.8.1.27/365.22=0.0028 Max ρ=0.02
Kesit tablalı ve b/bw>2 olduğundan ρ ≤ 0.85ρb
kontrolü gerekmez.
As=?
300
HAZIRLIK:
fcd=16/1.5=10.67 N/mm2 fctd=1.4/1.5=0.93 N/mm2
fyd=420/1.15=365.22 N/mm2
550
fcd=30/1.5=20.0 N/mm2 fctd=1.9/1.5=1.27
N/mm2 fyd=420/1.15=365.22 N/mm2
600 mm
100
HAZIRLIK:
560
600 mm
100
Aşağıda kesiti verilen kirişin Md momentini güvenle taşıyabilmesi için
As ne olmalıdır? Donatı çap ve sayısını belirleyiniz, kesiti çiziniz.
Malzeme: C30/37-B 420C, şantiye denetimi iyi.
Kesit tablalı ve b/bw>2 olduğundan ρ ≤ 0.85ρb
kontrolü gerekmez.
ÇÖZÜM:
ÇÖZÜM:
Basınç alanı tabla içinde mi? Belirle:
Basınç alanı tabla içinde mi? Belirle:
a=t=100 mm varsayalım! Tablanın karşıladığı moment:
a=t=100 mm varsayalım! Tablanın karşıladığı moment:
Fc=0.85.10.67.100.650=589518 N
Fc=0.85.20.100.1000=1700000=1700000 N
M=589518 .(550-100/2)=294759000 Nmm=295 kNm
M=1700000.(560-100/2)=867000000=867 kNm
M=295 kNm<Md=330 kNm olduğundan basınç alanı tabla altına sarkıyor, yani a>t=100
mm dir. As nin hesabı bir önceki sayfada verilen Model A ve Model B bağıntıları ile
yapılacaktır.
M=867 kNm>Md=314.6 kNm olduğundan basınç alanı tabla içindedir,
yani a<t=100 mm dir. As nin hesabı için genişliği b=1000 mm, faydalı
yüksekliği d=560 mm olan dikdörtgen kesit bağıntıları geçerlidir.
K=341.6.106/1000/5602/20=0.05
(
)
a = 560 1 − 1 − 2.353 ⋅ 0.05 → a = 34 mm
As=0.85.20.34.1000/365.22=1583 mm2
Montaj: 2φ12(226 mm2) üstte konstrüktif
(
Etr.: φ8/200 ve φ8/100 konstrüktif
2
2
)
a = 550 1 − 1 − 2.353 ⋅ 0.184 → a = 135.8 mm
As2=0.85.10.67.135.8.250=843 mm2
Md=330 kNm momenti
As=993+843=1836 mm2
6 çubuk 250 mm ye sığmıyor,
çift sıra donatılı yapıldı
2
2
karşılamak için gerekli
toplam donatı
ρ =1571/(300.560)=0.0094
ρ=0.0094 > Min ρ=0.0028
ρ=0.0094 < Max ρ=0.02
Tabla kulaklarının karşıladığı moment
Model B den:
Gövdenin karşılaması gereken moment
M2=330-181.4=148.6 kNm
K=148.6.106250/5502/10.67=0.184
Basınç bloğu derinliği
Seçilen: 5φ20(1571 mm2) altta
Kontrol:
Model A dan:
Fc1=0.85.10.67(650-250) .100=362780 N
M1=362780(550-100/2)=181390000 N=181.4 kNm
As1=0.85.10.67.(650-250) .100=993 mm2
5 20
Seçilen: 5φ20(1884 mm2) altta
Montaj :2φ12(226 mm2) üstte konstrüktif
Etr.: φ8/200 ve φ8/100 konstrüktif
ρ =1884/(250.550)=0.014
Min ρ=0.0020 < ρ=0.013< Max ρ=0.02
Etr. 8/200
8/100
Ahmet TOPÇU, Betonarme I, Eskişehir Osmangazi Üniversitesi, 2014, http://mmf2.ogu.edu.tr/atopcu
300
20
250
Etr. 8/200
8/100
167
Tek donatılı tablalı kesit için tablolar
Derste anlatılmayacak
Anlamadığınız bir nokta varsa,
ders dışında sorabilirsiniz
Tek donatılı tablalı kesitler için özel bir tabloya ihtiyaç yoktur. Çünkü, çözümü basınç bloğu dikdörtgen olan eşdeğer kesitler olarak modelleyebiliriz. Önemli olan basınç
alanının tabla içinde kalıp-kalmadığını belirlemektir. Bunun nasıl belirleneceği önceki sayfalarda açıklanmıştı: M=0.85fcdtb(d-t/2) tüm tablanın basınç alanı varsayımıyla
tabla betonunun taşıyabileceği moment idi. M≥Md ise basınç alanı tabla içindedir, yani a≤t dir. M<Md ise basınç alanı gövdeye sarkıyor, yani a>t dir. Bir diğer durum
da tablanın çekme bölgesinde olması, yani çalışmamasıdır.
d
a
100
C30/37-B 420C,
şantiye denetimi iyi
600 mm
6
560
ÖRNEK: Sağdaki kesiti gerekli donatı alanını bulunuz.
M=0.85.20.100.1000(560-100/2)=867.106 Nmm=867 kNM
M>Md, yani basınç alanı tabla içindedir, a<t.
K=314.6.106/1000/5602=1
C30/37 tablosu K=1 satırından r=0.0028 okundu
As=0.0028.1000.560=1568 mm2.
d
d
a
t
t
d
t
t
a
a
100
600 mm
560
h
t
h
d
a
C30/37-B 420C,
şantiye denetimi iyi
ÖRNEK: Sağdaki kesiti gerekli donatı alanını bulunuz.
Tabla çalışmaz. K=314.6.106/300/5602=3.3
C30/37 tablosu K=3.3 satırından r=0.0101 okundu
As=0.0101.300.560=1697 mm2.
a
3) Basınç bloğu gövdeye sarkıyor:
a>t. Bu durumda kesit sağda görülen
Model A ve Model B nin toplamına
özdeştir. Çünkü basınç alanları
toplamı aynıdır.
h
d
2)Basınç bloğu tabla içindedir: a≤t.
Bu durumda genişliği b, faydalı
yüksekliği d olan dikdörtgen kesite
eşdeğerdir. Tek donatılı dikdörtgen
kesit tabloları ile As hesaplanır.
h
d
1)Tabla çekme bölgesindedir,
çalışmaz. Bu durumda genişliği bw,
faydalı yüksekliği d olan dikdörtgen
kesite eşdeğerdir. Tek donatılı
dikdörtgen kesit tabloları ile As
hesaplanır. Donatı alta değil üste
konur
Model A da toplam basınç alanı t(bbw) dir.
M1=0.85fcd(b-bw)(d-t/2)
0.85fcd t(b-bw)=As1fyd bağıntısından
As1=0.85fcd t(b-bw)/fyd
C16/20-B 420C,
şantiye denetimi iyi
olur.
ÖRNEK: Sağdaki kesiti gerekli donatı alanını bulunuz.
M=0.85.10.67.100.650(550-100/2)=295.106 Nmm=295 kNm
Model B genişliği bw faydalı
yüksekliği d olan bir dikdörtgen
kesittir. As2 tek donatılı dikdörtgen
kesit tablolarından hesaplanır.
Model A: M1=0.85.10.67.100(650-250)(550-100/2)=181.4.106 =181.4 kNm, As1=0.85.10.67.100(650-250)/365.22=993 mm2
Sonuç: As=As1+As2
Sonuç: As=993+866=1859 mm2
550
600 mm
M<Md, yani basınç alanı gövdeye sarkıyor: a>t.
100
Tüm tabla basınç altında
varsayımından
Model B: M2=330-181.4=148.6 kNm.
K=148.6.106/250/5502=2, C16/20 tablosu K=2 satırından r=0.0063 okundu. As2=0.0063.250.550=866 mm2.
168
Ahmet TOPÇU, Betonarme I, Eskişehir Osmangazi Üniversitesi, 2014, http://mmf2.ogu.edu.tr/atopcu
ÖRNEK: Dikdörtgen kesit hesabı - Tablolar ile çözüm
VERİLENLER: Kiriş ve kesit boyutları, karakteristik yükler ve malzeme: C30/37, B 420C. Şantiye denetimi iyi.
İSTENENLER: Yüklerden oluşan momenti güvenle taşıyabilmesi için As donatı alanı ne olmalıdır? Donatı çap
ve sayısını belirleyiniz. Çizim için, yönetmeliklere uygun, konstrüktif montaj ve sargı donatısı kullanınız.
As=?
HAZIRLIK:
fcd=30/1.5=20.0 N/mm2, fctd=1.9/1.5=1.27 N/mm2, fyd=420/1.15=365.22 N/mm2
Karakteristik etkiler
250
kesit
ρb=0.0237, 0.85ρb=
0.85.0.0237=0.0201
min ρ= 0.8.1.27/365.22=0.0028
Bak: Ek1, Ek2
Bak: Ek3
min ρ = 0.8
f ctd
f yd
max ρ=0.02, Max (ρ - ρ’) = 0.85ρb =0.0201
Md=1.4 (31.25+50.0)+1.6.15.63=138.8 kN.m
Çözüm için herhangi bir tablo kullanılabilir. Kullanılacak tablolar incelenerek iyi kavranmalıdır. Bu örnekte
ERSOY/ÖZCEBE ve AYDIN tabloları kullanılacaktır. Tablolardaki özgün bağıntılara ve birimlere sadık kalınmalıdır.
ÇÖZÜM:
AYDIN, sayfa 5 tablosu ile:
ERSOY/ÖZCEBE, sayfa B.5 tablosu ile:
K =
bwd
Md
K=250.4702/(138.8.103)
As=
kh =
2
138.8.106
=398
mm2/kN
/(365.22.0.919.470)=880
j=0.919
mm2
kh =
470 250
= 6.31 → k s = 0.296
100 138.8
As =
10 4 ⋅ 0.296 ⋅138.8
= 874 mm 2
470
Tablodan alındı
As =
Md
fyd j d
Seçilen 3φ20(942 mm2) altta
Karar
2
Montaj: 2φ12 (226 mm ) üstte Konsrüktif
Etr.: φ8/200 konstrüktif
d
100
Tablodan alındı
A s = 10 4
Seçilen 3φ20(942 mm2) altta
Karar
Montaj: 2φ12 (226 mm2) üstte Konsrüktif
Etr.: φ8/200 konstrüktif
ρ =942/(250.470)=0.0080
b
Ms
k sM s
Nd
−
d
0 . 365
2
2
ρ =942/(250.470)=0.0080
ρ’=226/(250.470)=0.0021
ρ’=226/(250.470)=0.0021
Kontrol:
Kontrol:
ρ=0.008 >Min ρ=0.0028
ρ=0.008 >Min ρ=0.0028
ρ=0.008< Max ρ=0.02
3 20
250
kesit
Etr. 8/200
8/100
ρ=0.008< Max ρ=0.02
ρ- ρ’=0.0059< Max (ρ- ρ’)=0.0201
ρ- ρ’=0.0059< Max (ρ- ρ’)=0.0201
mm2,
NOT: Aynı kesit, moment ve malzeme için gerekli çekme donatısı alanı AsAnalitik=881
AsErsoy/Özcebe=880 mm2 ve AsAydın=874 mm2 olarak biraz farklı bulunmuştur, üçü de doğru kabul edilmelidir.
2
50-100 mm fark normaldir. Yuvarlama hataları ve farklı varsayımlar sonucu az da olsa etkilemektedir. Analitik çözüm ve Ersoy/Özcebe tablolarında eşdeğer dikdörtgen, Aydın tablolarında ise
eşdeğer parabol-dikdörtgen gerilme modeli kullanılmaktadır. Neticede kesite yerleştirilen donatı hepsinde de aynıdır.
169
Ahmet TOPÇU, Betonarme I, Eskişehir Osmangazi Üniversitesi, 2014, http://mmf2.ogu.edu.tr/atopcu
Derste anlatılmayacak
ÖRNEK: Dikdörtgen kesit hesabı - Tablolar ile çözüm
Anlamadığınız bir nokta varsa,
ders dışında sorabilirsiniz
Solda verilen kesitin Md momentini güvenle taşıyabilmesi için As ne olmalıdır? Donatı çap ve sayısını
belirleyiniz, kesiti çiziniz. Malzeme: C20/25/ B 420C, şantiye iyi denetimli.
Çizim için, yönetmeliklere uygun, konstrüktif montaj ve sargı donatısı kullanınız.
HAZIRLIK:
fcd=20/1.5=16.67 N/mm2, fyd=420/1.15=365.22 N/mm2, fctd=1.6/1.5=1.07 N/mm2, ρb=0.0164
min ρ = 0.8.1.07/365.22=0.0023, Max ρ= 0.02, max (ρ - ρ’) = 0.85ρb =0.0139
Çözüm için herhangi bir tablo kullanılabilir. Kullanılacak tablolar incelenerek iyi kavranmalıdır. Bu örnekte ERSOY/ÖZCEBE ve AYDIN tabloları kullanılacaktır. Tablolardaki özgün bağıntılara ve
birimlere sadık kalınmalıdır.
ÇÖZÜM:
AYDIN, sayfa 5 tablosu ile:
ERSOY/ÖZCEBE, sayfa B.4 tablosu ile:
b d2
K = w
Md
K=250.4702/117.103=472 mm2/kN
j=0.893
As=117.106/(365.22.0.893.470)=763 mm2
As =
Seçilen : 3φ18 (763 mm2) üstte
Montaj : 2φ12 (226 mm2) altta konstrüktif
Etr.: φ8/200 konstrüktif
Tablodan alındı
Md
f yd j d
kh =
d
100
470 250
= 6.87 → k s = 0.302
100 117
10 4 ⋅ 0.302 ⋅117
As
As =
= 752 mm 2
470
kh =
b
Ms
Tablodan alındı
= 10 4
k sM s
Nd
−
d
0 . 365
Seçilen : 3φ18 (763 mm2) üstte
Montaj : 2φ12 (226 mm2) altta konstrüktif
Etr.: φ8/200 konstrüktif
ρ=763/(250.470)=0.0065
ρ’=226/(250.470)=0.0021
Kontrol:
ρ=0.0065 > Min ρ=0.0023
ρ=0.0065 < Max ρ=0.02
Kontrol:
ρ=0.0065 > Min ρ=0.0023
ρ=0.0065 < Max ρ=0.02
ρ- ρ’=0.0044< Max (ρ- ρ’)=0.0139
ρ- ρ’=0.0044< Max (ρ- ρ’)=0.0139
Ahmet TOPÇU, Betonarme I, Eskişehir Osmangazi Üniversitesi, 2014, http://mmf2.ogu.edu.tr/atopcu
170
Solda açıklık kesiti verilen kirişin Md momentini güvenle taşıyabilmesi için As ne olmalıdır?
Donatı çap ve sayısını belirleyiniz, kesiti çiziniz. Malzeme: C30/37-B 420C, şantiye denetimi iyi.
Çizim için, yönetmeliklere uygun, konstrüktif montaj ve sargı donatısı kullanınız.
560
600 mm
100
ÖRNEK: Tablalı kesit hesabı - Tablolar ile çözüm
HAZIRLIK:
fcd=30/1.5=20.0 N/mm2, fctd=1.9/1.5=1.27 N/mm2, fyd=420/1.15=365.22 N/mm2
Min ρ= 0.8.1.27/365.22=0.0028, Max ρ=0.02, kesit tablalı ve b/bw>2 olduğundan ρ ≤ 0.85ρb kontrolü gerekmez.
Çözüm için herhangi bir tablo kullanılabilir. Kullanılacak tablolar incelenerek iyi kavranmalıdır. Bu örnekte ERSOY/ÖZCEBE ve AYDIN tabloları kullanılacaktır. Tablolardaki özgün bağıntılara
ve birimlere sadık kalınmalıdır.
ÇÖZÜM:
ERSOY/ÖZCEBE, sayfa B.12 tablosu ile:
AYDIN, sayfa 7 tablosu ile:
b/bw=1000/300=3.3≈ 4 ! (en uygun tablo)
Ms
bd 2 f cd
m= 314.6.106 /(1000.5602.20.0)=0.050 ω=0.054
j=0.970
/(365.22.0.970.560)=1586
m =
mm2
As =
Md
f yd j d
As=0.054.(20.0/365.22) .1000 . 560=1656 mm2
Seçilen 5φ20(1571 mm2) altta
Seçilen 5φ20(1571 mm2) altta
Montaj 2φ12(226 mm2) üstte konstrüktif
Montaj 2φ12(226 mm2) üstte konstrüktif
Etr.: φ8/200 konstrüktif
Etr.: φ8/200 konstrüktif
Kontrol:
Kontrol:
ρ =1571/(300.560)=0.0094
ρ=1571/(300.560)=0.0094
ρ=0.0094 > Min ρ=0.0028
ρ=0.0094 > Min ρ=0.0028
ρ=0.0094 < Max ρ=0.02
ρ=0.0094 < Max ρ=0.02
As = ω
f cd
N
bd − d
f yd
f yd
100
As
=314.6.106
b/b0=1000/300=3.3 ≈3
560
t/d=100/560=0.18 ≈0.20
Kf cd
600 mm
Kfcd=1000.5602.20.0/(314.6.106)=19.9
hf/d=100/560=0.17 ≈ 0.15 ! (en uygun tablo)
bd 2
=
f cd
Md
171
Ahmet TOPÇU, Betonarme I, Eskişehir Osmangazi Üniversitesi, 2014, http://mmf2.ogu.edu.tr/atopcu
PROBLEM: Kesit hesabı - Tablolar ile çözüm
1. Solda verilen kesitin Md momentini güvenle taşıyabilmesi için As ne olmalıdır? Donatı çap ve sayısını belirleyiniz.
Boyuna ve enine donatıları kesiti çizerek gösteriniz. Şantiye denetimi iyi. Malzeme: C25/30, B 420C
Çizim için, yönetmeliklere uygun, konstrüktif montaj ve sargı donatısı kullanınız.
470
Md=117 kN.m
500 mm
500 mm
470
100
2. Aşağıda bazı kesit ve malzemeleri verilmiştir. Hepsinde şantiye denetimi iyidir. Önceki örnekleri dikkate alarak ve hiçbir hesap yapmaksızın donatı çap ve sayısını belirleyiniz,
kesitleri çiziniz.
As=?
250 mm
C20/25, B 420C
C20/25, B 420C
C25/30, B 420C
172
Ahmet TOPÇU, Betonarme I, Eskişehir Osmangazi Üniversitesi, 2014, http://mmf2.ogu.edu.tr/atopcu
ÖRNEK: Kiriş boyutlandırma ve çizimi
Birim yükleme için
kesme
VERİLENLER:
Soldaki kirişin paralel komşu kirişlere net mesafesi 4 m dir, şekilde görülen 30x50 cmxcm
boyutlu kolonlara oturmaktadır. Kiriş boyunca kesit a-a da ki gibidir.
Kiriş boyutları, kirişin g(sabit) ve q(hareketli) karakteristik yükleri, birim yüklere ait kesme
diyagramları, malzeme: C20/25-B 420C bilinmektedir, şantiye denetimi iyidir.
Birim yükleme için
kesme
İSTENENLER:
Kirişin boyuna donatılarını belirleyiniz ve gerekli çizimleri veriniz.
Not: Etriye hesabı henüz bilinmemektedir. Çizimlerde, yönetmeliklere uygun, konstrüktif
etriye kullanınız.
Birim yüklemelere ait diyagramlar tasarım momentlerinin kolayca
hesaplanabilmesi için verilmiştir. Bu diyagramlar kullanılmadan
başka bir yol ile de (Cross, yazılım) bulunabilir.
173
Ahmet TOPÇU, Betonarme I, Eskişehir Osmangazi Üniversitesi, 2014, http://mmf2.ogu.edu.tr/atopcu
STATİK ÇÖZÜM-yük etkileri:
Birim yüklemeler için verilmiş olan kesme diyagramlarını kullanarak g den oluşan moment diyagramı; q ya ait en elverişsiz yüklemelerden oluşan açıklık ve mesnet
momentlerinin en büyük değerleri bulunabilir.
A
C
B
+68.58
+124.26
+
2.15 . 36 - 0.18 . 49 = 68.58 kN
1.46 m
+
-
-
1.91 m
-2.85 . 36 - 0.18 . 49 = -111.42 kN
Vg
-111.42 kN
-71.74
0.43 . 36 + 2.22 . 49 = 124.26 kN
0.43 . 36 - 1.78 . 49 = -71.74 kN
-106.65
0.5.68.58.1.91= 65.49 kN.m
+
+
Mg
+52.37 kN.m
+65.49
65.49-111.42.(5-1.91).0.5 = -106.65 kN.m
0.5.71.74.1.46 = 52.37 kN.m
max Mq
(1.açıklık)
(2.açıklık)
+
max Mq
q=17 kN/m
2.15 . 2.15 . 0.5 . 17 = 39.29 kN.m
+39.29 kN.m
q=21 kN/m
+
1.78 . 1.78 . 0.5 . 21 = 33.27 kN.m
+33.27 kN.m
q=21 kN/m
q=17 kN/m
+32.77
+
2.15 . 17 - 0.18 . 21 = 32.77 kN
-
-2.85 . 17 - 0.18 . 21 = 52.23 kN
-52.23 kN
-
max Mq
-48.55 kNm
(orta mesnet)
1.93 m
0.5.32.77.1.93-0.5.52.23 (5.0-1.93) = -48.55 kN.m
Sadece G ve Q etkisi söz konusu olduğundan açıklık ve mesnet tasarım momentleri Md=1.4G+1.6Q yük birleşiminden hesaplanır.
174
Ahmet TOPÇU, Betonarme I, Eskişehir Osmangazi Üniversitesi, 2014, http://mmf2.ogu.edu.tr/atopcu
Tasarım momentleri:
1.4. 65.49+1.6.39.29 = 154.55 kN. m (1. açıklıkta)
1.4.52.37 + 1.6 . 33.27 = 126.55 kN. m (2. açıklıkta)
1.4 (-106.65)+1.6 (-48.55) = -226.99 kN. m (orta mesnette)
BETONARME ÇÖZÜM:
Etkili (çalışan) tabla genişliği:
b ≤bw+12t
b ≤bw+0.2 αLh
K101 açıklığında b≤ 250+12 ⋅100=1450 mm, b ≤ 250+0.2⋅0.8 ⋅4500=970 mm
Çalışan tabla genişliği biraz daha küçük ve her iki açıklıkta eşit alınacaktır, b=800 mm
K102 açıklığında b≤ 250+12 ⋅100=1450 mm, b ≤ 250+0.2⋅0.8 ⋅3500=810 mm
C20/25-B 420C malzemesi için:
fcd=20/1.5=13.33 N/mm2, fctd=1.6/1.5=1.07 N/mm2 , fyd=420/1.15=365.22 N/mm2
Açıklıklarda (tablalı!): Max ρ=0.02, Min ρ= 0.8.1.07/365.22=0.0023,
(ρ- ρ’ ≤ 0.85ρb kontrolü gerekmez)
Md=154.55 kN.m, d=570 mm
Md=126.55 kN.m, d=570 mm
b/bw=800/250=3.2 ≈4 ! (en uygun tablo)
b/bw=800/250=3.2 ≈4 ! (en uygun tablo)
As=
154.55.106
/
(365.22. 0.973. 570)=763
t/d=100/570=0.18
j=0.973
mm2
30
Kfcd=
800.5702 . 13.33 /(154.55.106)=22.4
Kfcd= 800.5702 . 13.33 /(126.55.106)=27.4
As=
126.55.106
/
(365.22. 0.981. 570)=620
Seçilen 5φ14 (770 mm2) altta
•Çubukların kesite sığıp sığmadığı kontrol edilir. Sığmazsa; ya
çubuk çapları büyütülür, ya kesit genişletilir yada çift sıra konur .
Seçilen 4φ14 (616 mm2) altta
Montaj 3φ12 (339 mm2) üstte
•Çubukların kesilip kesilmeyeceğine karar verilir.
Montaj 3φ12 (339 mm2) üstte
Etr.: φ8/200 konstrüktif
Etr.: φ8/200 konstrüktif
Kontrol:
Kontrol:
ρ =770/(250.570)=0.0054
ρ =616/(250.570)=0.0043
ρ < Max ρ
ρ < Max ρ
ρ > Min ρ
ρ > Min ρ
j=0.981
mm2
30
600 mm
t/d=100/570=0.18
600 mm
K102 açıklık (ERSOY/ÖZCEBE, Sayfa B.12 tablosu ):
100
Açıklık donatıları:
K101 açıklık (ERSOY/ÖZCEBE, Sayfa B.12 tablosu):
100
Mesnetlerde (dikdörtgen!): Max ρ=0.02, Min ρ=0.0023, ρb=0.0164, Max (ρ- ρ’)= 0.85 ρb=0.0139
AÇIKLAMA: TS 500-2000 e göre montaj donatısı mesnet donatısının en az ¼ ü olmalıdır (bak: Kiriş sınır değerleri). Mesnette hesap henüz yapılmadığından donatısı belli değildir. Ancak iyi bir tahmin yapılabilir.:
Açıklıkta 154.55 ≈155 kN.m moment için 763 mm2 donatı hesaplandı. Mesnette 226.99 ≈227 kN.m moment için gerekli donatı, orantı ile, AsTahmin ≈ 763.227/155=1117 mm2 den biraz daha fazla olacaktır, çünkü mesnette
tabla çalışmamaktadır. Bu nedenle 1200 mm2 ye yuvarlayarak montaj donatısını 1200/4=300 mm2 tahmin edebliriz. Bu ise 2φ14 (308 mm2) veya 3φ12 (339 mm2) ye karşılık gelir. Burada 3φ12 (339 mm2) tercih
edilecektir.
Bir diğer iyi tahmin de AsTahmin ≈ Md/(315. h) formülü ile yapılabilir: AsTahmin ≈227.106/(315. 600)=1201 mm2. Bu formül dikdörtgen ve tablalı kesitlerin hem açıklık hem de mesnet donatılarını hızlı fakat gerçeğe çok yakın
175
tahmin etmek için her zaman kullanılabilir.
Ahmet TOPÇU, Betonarme I, Eskişehir Osmangazi Üniversitesi, 2014, http://mmf2.ogu.edu.tr/atopcu
Mesnet donatıları:
Mesnet donatıları hesaplanmadan önce açıklık donatılarının nasıl yerleştirileceğine, pilye yapılıp yapılmayacağına karar verilmelidir. Çünkü açıklıktan gelen ve komşu açıklığın
belli bir yerine kadar uzatılan çubuklar mesnetteki donatı miktarını etkiler. Bu donatılar çekme veya basınca çalışacaktır.
Açıklıktaki çubuklar iki farklı yol izlenerek yerleştirilebilir:
1.YOL: Hesaplanan donatılar açıklığa konur ve komşu açıklığın ¼ üne kadar uzatılarak kesilir. Bu durumda ara mesnedin altında birinci açıklıktan 5φ14 ve ikinci açıklıktan 4φ14
olmak üzere 9φ14 çubuk olacaktır. Mesnedin üstünde ise birinci açıklıktan 3φ12 ve ikinci açıklıktan 3φ12 olmak üzere 6φ12 olacaktır.
2.YOL: Çubuk boyu yeterliyse kesmeden boydan boya uzatılır. Kiriş toplam boyu 9 m ve kenetlemeyi sağlamak için yukarı-aşağı kıvrılan kısım toplam 1 m düşünülürse yaklaşık 10
m çubuk boyu gerekir. Çubuklar 12 m yeterlidir, kesmek gerekmez. 1. ve 2. açıklığın altına 4φ14 boydan boya uzatılır. 1. açıklığa 1φ14 ayrıca konur ve ikinci açıklığın ¼ ünde
kesilir. Üstte 3φ12 her iki açıklık boyunca uzatılır. Bu durumda mesnedin altında 5φ14 üstünde 3φ12 çubuk olur.
Donatılar elden geldiğince kesilmemelidir. Çünkü kenetlenme daha iyi olacak ve mesnetlerde donatı yığılması önlenmiş olacaktır. Ayrıca daha az işçilik gerektirir. Bu örnekte
yukarıda verilen 2. YOL tercih edilecektir.
Mesnette hem altta hem de üstte açıklıktan gelen donatı vardır, yani kesit gerçekte çift donatılıdır. Mesnet ek donatısı hesaplanmadan önce, basınç bölgesindeki donatının dikkate
alınıp alınmayacağına da karar vermek gerekir. El hesaplarını basitleştirmek için basınç bölgesindeki donatılar dikkate alınmayabilir. Bu örnekte basınç bölgesindeki donatılar
dikkate alınmayacak, kesit tek donatılı imiş gibi hesaplanacak, fakat denge altı kontrolünde basınç donatısı dikkate alınacaktır..
B mesnedi (ERSOY/ÖZCEBE, Sayfa B.4 tablosu ):
Md= -226.99 kN.m, d=570 mm
K=250.5702 / (226.99.103)=357.8 mm2/kN
j=0.852
As=226.99.106/ (365.22.0.852.570)=1280 mm2
Tabla çekme bölgesinde olduğundan çalışmaz,
hesap için kesit dikdörtgen modellenecektir
Momenti karşılamak için konulan ek donatı. Çubuk
çapı, yığılmayı önlemek için, kalın seçilmiştir)
Kontrol:
570
Seçilen ek: 3φ20 (942 mm2) üstte
30
Mevcut 3φ12 düşülüyor
600 mm
Asek= 1280-339=941 mm2
Mesnet momentinin
gerektirdiği donatı alanı
ρ =(942+339)/(250.570)=0.0090
ρ’=770/(250.570)=0.0054
ρ > Min ρ=0.0023
ρ < Max ρ=0.02
ρ - ρ’=0.0090-0.0054=0.0036< Max (ρ - ρ’)=0.0139
Orta mesnet altta: 770 mm2 > (942+339)/2=641 mm2
Açıklıklarda üstte: 339 mm2 > (942+339)/4=320 mm2
Mesnet altındaki donatı üstündekinin
yarısından az olamaz
Montaj donatısı mesnet donatısının
¼ ünden az olamaz
176
Ahmet TOPÇU, Betonarme I, Eskişehir Osmangazi Üniversitesi, 2014, http://mmf2.ogu.edu.tr/atopcu
Şantiyeye gidecek çizimlerin hazırlanması - Kiriş açılımı :
Hesaplar özetlenirse; K101 kirişinin alt tarafına 5φ14, üst tarafına 3φ12 , K102 kirişinin alt tarafına 4φ14, üst tarafına 3φ12 ve orta mesnedin üstüne 3φ20 ek donatı konulacaktır. 4φ14
her iki açıklıkta ortak olduğundan ve toplam çubuk boyu 12 m yi aşmayacağı için kesilmeden boydan boya uzatılacaktır. K101 açıklığına 1φ14 eklenerek bu açıklık 5φ14 ile
donatılmış olacaktır. 1φ14, ikinci açıklıkta gerekli olmadığı için, kesilecektir. Montaj donatıları da, her iki açıklıkta aynı olduklarından, kesilmeden boydan boya uzatılacaktır. 3φ20
mesnet ek donatısı da açıklıkların üstünde gerekli değildir, kesilecektir. A ve C kenar mesnetlerinde donatılar 900 kıvrılarak kiriş derinliğince uzatılacak, kenetlenme iyileştirilecektir.
Kesilen donatılar net açıklıkların dörtte birine kadar uzatılacaktır.
Nasıl hesaplanacağı henüz bilinmediğinden, konstrüktif olarak φ8 çift kollu etriye kullanılmıştır. Etriye adımı (aralığı) açıklıklarda 200 mm, sarılma bölgelerinde (2h=1200 mm mesnet
yüzünden itibaren) sıklaştırılarak 100 mm alınacaktır. Boyuna donatılar nervürlü (gevrek) olduğundan 1350 kıvrımlı kanca yapılmayacaktır. Etriye 1350 kıvrımlı kancalı yapılacaktır.
Kirişin 1/20 ölçekli boyuna ve en az bir enine kesiti çizilir. Her bir donatı çubuğunun açılımı kirişin altına çizilir. Çubukların kıvrım boyları, toplam boyları, adet ve çapları üzerine
yazılır. Çubukların açılım sırası, yukarıdan aşağı, şöyledir: Mesnet üst ek donatıları, açıklık üst donatıları, gövde donatıları (varsa), açıklık alt donatıları, mesnet alt ek donatıları.
30
570 mm
100
30
570 mm
100
Bu düşünceler ışığında hazırlanan, şantiyeye gidecek çizim aşağıda verilmiştir. Çizimin, gerçek projelerdeki gibi olmasına özen gösterilmiştir. Mesnet donatıları 250 mm gövde
genişliğine sığmadığı için 2 adet çubuk tablaya yerleştirilmiştir. Çizimde ölçüler mm cinsindendir.
C20/25-B 420C
177
Ahmet TOPÇU, Betonarme I, Eskişehir Osmangazi Üniversitesi, 2014, http://mmf2.ogu.edu.tr/atopcu

Download Report