Moment ≡ kuvvet çifti Çekme ve basınç kuvveti Deformasyon Kesitte dönme As : Kesitteki toplam çekme donatısı Fs : Çelikteki toplam çekme kuvveti Fc : Betondaki basınç kuvveti z : Moment kolu εs : Çelik birim uzaması εc : Betonun en çok zorlanan lifindeki birim kısalma Yatay denge: Fs= Fc (kuvvet çifti) Moment : Md = Fs z = Fc z Betonda birim kısalma Çelikte birim uzama Kirişe etkiyen Md momenti Fc ve Fs den oluşan kuvvet çiftine eşdeğerdir, Fc=Fs dir ve z moment koludur. Kirişin üst lifleri Fc basınç kuvvetinin, alt lifleri Fs çekme kuvvetinin etkisindedir. Betonun basınç dayanımı yüksek olduğundan Fc kuvvetini taşıyabilir. Çekme kuvvetini beton taşıyamaz, çatlar. Fs çekme kuvvetinin tamamını toplam alanı As olan donatı karşılamak zorundadır. Betonun üst lifleri εc birim kısalmasına, çelik çubuklar εs birim uzamasına uğrar, kesit döner. Kesitin döndükten sonra da düzlem kaldığı varsayılır (BERNOULLI/NAVIER hipotezi). Bu varsayım, deformasyon diyagramının kesit yüksekliğince doğrusal (lineer) değiştiği anlamındadır. Prof. Dr. Ahmet TOPÇU, Betonarme I, Eskişehir Osmangazi Üniversitesi, 2011, http://mmf2.ogu.edu.tr/atopcu 93 Kesitte deformasyon-gerilme dağılımı aşamaları En çok zorlanan beton lifinde gerilme En çok zorlanan beton lifinde birim kısalma Kiriş kesitindeki moment Basınç tarafı Md1 < Md2 < Md3 < Md4 olacak şekilde, beton ezilinceye kadar, yavaş yavaş artırılırsa kesitteki deformasyon ve iç kuvvetler 1, 2, 3 ve 4 nolu şekillerde gösterildiği gibi olur. Kiriş Fs1 εc < εct σc1 < fc Fs2 C<fct c Deformasyon TE Çelik çekme kuvveti Betonda birim Uzama Çekme tarafı C2= fc C0 TE Çelikte birim uzama Tarafsız eksen = Md2 TE Deformasyon diyagramında kısalmalar sağa uzamalar sola doğru çizilmiştir. Deformasyon İç kuvvetler 1 2 Max gerilmeye ulaşılmış, beton çatlamış, tarafsız eksen yukarı kaymış beton ezilmemiş. Beton çatladığından çekme gerilmesi alamaz, Fs2 çelik kuvveti momentin çekme komponentine eşittir. c4 Beton çatlamamış, max basınç gerilmesine ulaşmamış, ezilmemiş. Fs1 çelikte oluşan kuvvettir. Beton çatlamadığından, az da olsa, çekme gerilmesi taşımaktadır. εc2 = εc0 σ c2 = fc İç kuvvetler c3 Beton gerilme - birim kısalma eğrisi εc0 < εc3 < εcu σc3 < fc 3 Deformasyon artmış, dış lifte gerilme azalmış. Max gerilme alt komşu liflere kaymış (betonarmede uyum). Çatlak genişlemiş ve yükselmiş, tarafsız eksen daha da yukarı kaymış, ancak beton ezilmemiş. Tüm çekme kuvvetini çelik almaktadır. εc4 = εcu σc4 = fcu << fc 4 Max gerilme daha da aşağıdaki liflere kaymış. Dış lif ezilme (kırılma) deformasyonuna ulaşmış. Kesit taşıma gücüne erişmiş. Kesit daha fazla moment taşıyamaz. Gerilme dağılımı kırılma anındaki nihai dağılımı göstermektedir. Prof. Dr. Ahmet TOPÇU, Betonarme I, Eskişehir Osmangazi Üniversitesi, 2011, http://mmf2.ogu.edu.tr/atopcu GÖÇME ANI gerilme Betonda gerilme dağılımı Md1 TE Max gerilme≡ dayanım C2 c1 c1 Tarafsız eksenin derinliği ERSOY/ÖZCEBE, S. 94 94 Teorik gerilme dağılımının basitleştirilmiş eşdeğer modelleri Teorik gerilme dağılımı Eşdeğer parabol-dikdörtgen gerilme dağılımı (CEB modeli) Eşdeğer dikdörtgen gerilme dağılımı (ACI ve TS 500-2000 modeli) Teorik gerilme dağılımı, kırılma anındaki dağılımdır. Betonun yaşına, yükleme hızına, sargı donatısına, kesit geometrisine ve diğer bir çok nedene bağlı olarak az yada çok değişir. Her bir durum için farklı bir gerilme dağılımı vermek imkansızdır. Bu nedenle, doğruluğu deneysel olarak kanıtlanmış, eşdeğer gerilme dağılımı modelleri kullanılır. Hesaplar açısından dağılımın şeklinden çok, gerilmenin bileşke kuvvetinin değeri ve etkidiği yer önemlidir. Çünkü, momentin değeri bu kuvvetin değerine ve yerine bağlıdır. Hesapları basitleştirmek açısından, yaklaşık olarak aynı momenti veren (eşdeğer kuvveti ve bu kuvvetin etkime noktası yaklaşık aynı olan), daha basit bir gerilme dağılımı kullanılabilir. Yukarıdaki şekillerde teorik gerilme dağılımı ve yaygın olarak kullanılan basitleştirilmiş eşdeğer modelleri (sanal gerilme dağılımı) hem perspektif hem de düzlem olarak verilmiştir. CEB modelinin bir kısmı parabolik bir kısmı da dikdörtgendir, eşdeğer parabol-dikdörtgen gerilme dağılımı olarak adlandırılır ve Avrupa Birliği ülkelerinde kullanılmaktadır. Amerikan yönetmeliklerinde yer alan ACI modeli daha basit ve dikdörtgendir, gerilmenin değeri her noktada aynıdır. Bu iki farklı modelin sonuçları arasındaki fark önemsenmeyecek kadar azdır (%4 civarında). TS 500-2000 doğruluğu kanıtlanmış herhangi bir eşdeğer gerilme dağılımı ile hesap yapılmasına izin vermektedir. Bu nedenle her iki model ile de hesap yapılabilir. Daha basit olan eşdeğer dikdörtgen gerilme dağılımı modeli çoğunlukla tercih edilmektedir. Prof. Dr. Ahmet TOPÇU, Betonarme I, Eskişehir Osmangazi Üniversitesi, 2011, http://mmf2.ogu.edu.tr/atopcu 95 Deformasyon diyagramı, teorik gerilme bloğu ve eşdeğer dikdörtgen gerilme bloğu (TS 500-2000) ERSOY/ÖZCEBE, S. 107(benzeri) TS500-200, S. 21, madde 7.1 •Deformasyon diyagramı kesit yüksekliğince doğrusaldır. •Beton basınç kuvveti Fc gerilme bloğunun hacmine eşittir. •Fc kuvveti gerilmenin yayıldığı basınç alanının ağırlık merkezi olan G1 noktasına etkir. •Teorik gerilme dağılımını kullanarak Fc kuvvetini ve etkidiği noktayı belirlemek zorluk yaratır. •Hesapları basitleştirmek için teorik gerilme dağılımı yerine eşdeğer dikdörtgen gerilme dağılımı kullanılabilir (TS 500-2000). •Önemli olan gerilme bloğunun şekli değil; Fc kuvvetinin ve etkidiği G1 noktasının yaklaşık olarak aynı kalmasıdır. Bu iki koşul momentin aynı kacağı anlamındadır. Eşdeğer dikdörtgen gerilme dağılımında gerilmenin şiddeti sabit ve k3fcd dir. Gerilme bloğunun derinliği k1c dir. •Fc ve etkidiği nokta G1 yaklaşık olarak aynı kalacak şekilde k1 ve k3 sabitleri deneysel araştırmalar ile belirlenmiştir. •k1 ve k3 sabitleri beton kalitesine bağlıdır ve değerleri birden küçüktür. Bu değerler TS 500-2000 de verilmiştir. •Eşdeğer dikdörtgen gerilme dağılımı yerine, geçerliliği kanıtlanmış, başka bir dağılım da (örnek: eşdeğer parabol-dikdörtgen dağılım) kullanılabilir. Prof. Dr. Ahmet TOPÇU, Betonarme I, Eskişehir Osmangazi Üniversitesi, 2011, http://mmf2.ogu.edu.tr/atopcu 96 Taşıma gücü varsayımları (TS 500-2000) TS 500/2000, S. 21, madde 7.1 ERSOY/ÖZCEBE, S. 101-107 1. Birim şekil değiştirme dağılımı doğrusaldır (düzlem olan kesit şekil değiştirdikten sonra da düzlem kalır (BERNOULLI/NAVIER hipotezi). 2. Betonun çekme dayanımı ihmal edilir (≈0). 3. Beton ve donatı tam kaynaşır, tam kenetlenme (aderans) vardır. Bu koşulu mühendis sağlamak zorundadır. 4. Donatı çeliğinin gerilme-birim deformasyon (σs-εs ) eğrisi elasto-plastiktir. Eğrinin akma dayanımı üstünde kalan kısmı ihmal edilebilir: s Eğrinin ihmal edilen kısmı b a •Çelik akmamış ise HOOKE kanunu geçerlidir: σs=Es εs (εs< εsd , çelik akmamış, HOOKE geçerlidir) KOPMA fyd Tasarım dayanımı sd •Akmış çeliğin gerilmesi sabittir: σs=fyd (εs ≥ εsd , çelik akmış, HOOKE geçersizdir) s Akma anında birim deformasyon Birim uzama Anlamı: σs=Es εs ≤ fyd su Kopma anında birim deformasyon Çelik modeli Çelik tasarım dayanımları ve akma anındaki deformasyonlar: Çelik sınıfı fyk N/mm2 γms Es N/mm2 fyd = fyk/ γms N/mm2 εsd= fyd/ Es S220a 220 1.15 2x105 191.30 0.000957 S420a 420 1.15 2x105 365.22 0.001826 S420b 420 1.15 2x105 365.22 0.001826 S500a 500 1.15 2x105 434.78 0.002174 Prof. Dr. Ahmet TOPÇU, Betonarme I, Eskişehir Osmangazi Üniversitesi, 2011, http://mmf2.ogu.edu.tr/atopcu 97 d c 6. Taşıma gücüne erişildiğinde basınç bölgesindeki teorik beton gerilme dağılımı beton σc - εc eğrisi gibidir. gerilme Betonda birim kısalma 5. Taşıma gücüne erişildiğinde (beton kırıldığında) basınç bölgesinin en çok zorlanan lifindeki birim kısalma εc = εcu= 0.003 tür. d d d d d c 7. Çekme bölgesinin geometrisi önemli değildir. Bu bölgedeki beton çatlayacağından hiçbir çekme kuvvet alamaz. Buradaki betonun görevi çelik ile kenetlenmeyi (aderans) sağlamak ve kesme-burulma etkilerini karşılamaktır. Çekme kuvvetinin tamamını donatı alır. Çekme bölgesinin geometrisi farklı olan ve aşağıda görülen her beş kesit, hesap açısından, özdeştir. Önemli olan, momentin aynı kalmasıdır. Basınç bölgesinin toplam alanı, bu alanın ağırlık merkezi, faydalı yükseklik d ve donatı alanı As aynı olan kesitler, çekme bölgesinin geometrisi nasıl olursa olsun, moment kuvveti açısından özdeştir. Bunun anlamı şudur: Özdeş kesitlerde deformasyon diyagramı, çelik çekme kuvveti, beton basınç kuvveti ve moment aynıdır. Bu özellikten ilerideki konularda yararlanılacaktır. Prof. Dr. Ahmet TOPÇU, Betonarme I, Eskişehir Osmangazi Üniversitesi, 2011, http://mmf2.ogu.edu.tr/atopcu 98 8. Teorik gerilme dağılımı yerine TS500-2000 Madde 7.1 de tanımlanan eşdeğer dikdörtgen basınç bloğu modeli kullanılabilir. Bu modele göre: x a=k1c c TE : Tarafsız eksen iTE : İndirgenmiş Tarafsız Eksen c : Tarafsız eksenin derinliği εc : Beton birim kısalması εcu : Betonun ezilme anındaki birim kısalması =0.003 εs : Çelik birim uzaması a=k1c : Eşdeğer basınç bloğu derinliği fcd : Beton tasarım dayanımı k3fcd: Beton eşdeğer gerilmesinin şiddeti Fs : Çelik çekme kuvveti Fc : Beton basınç kuvveti As : Toplam donatı alanı Acc : Basınç alanı G : Kesit ağırlık merkezi G1 : Fc kuvvetinin etkidiği nokta ≡ basınç alanı ağırlık merkezi x : G1 noktasının derinliği d : Faydalı yükseklik d c x a=k1c •Eşdeğer basınç gerilmenin şiddeti sabittir: k3fcd •Her tür betonarme betonu için k3=0.85 dir. •Eşdeğer gerilme bloğu derinliği a=k1c dir. •k1 beton dayanımına bağlı olarak 0.85 ile 0.70 arasında değişir. •k1 ve k3 değerleri kesitin geometrisinden bağımsızdır. •Eşdeğer basınç bloğu kiriş, kolon, perde ve plaklarda kullanılabilir. k1 Katsayısının değişimi (TS 500-2000, Madde 7.1): σs= Es εs ≤ fyd k3 = 0.85 (tüm beton sınıflarında) 0.70 ≤ k1 ≤ 0.85 k1=0.85 (C16-C25 betonlarında) k1=1- 0.006 fck (C30-C50 betonlarında) fck nın birimi N/mm2 dir, fck yerine fcd kullanılmaz! k1 : Eşdeğer basınç bloğu derinliği katsayısı k3 : Eşdeğer basınç bloğu gerilme katsayısı Beton k1 C16-C25 0.85 C30 0.82 C35 0.79 C40 0.76 C45 0.73 C50 0.70 Prof. Dr. Ahmet TOPÇU, Betonarme I, Eskişehir Osmangazi Üniversitesi, 2011, http://mmf2.ogu.edu.tr/atopcu 99 Farklı geometrili kesitlerde eşdeğer dikdörtgen gerilme bloğu 0.85 fcd k1c c Fc iTE TE Kiriş As Fs=As 0.85 fcd s k1c 0.85 fcd 0.85 fcd c Fc iTE TE Fc Fc iTE TE i TE TE As Kiriş Kiriş As Fs=As s Kiriş As Fs=As Fs=As s s Kırılma aşamasına gelmiş bir kesitte: Eşdeğer basınç bloğu her zaman dikdörtgenler prizması değildir, basınç alanının geometrisine bağlıdır. Basınç alanı üzerine kurulmuş bir prizmadır: •Gerilmenin şiddeti her lifte 0.85fcd dir. •Blok derinliği k1c dir. •Beton basınç kuvveti Fc gerilme bloğunun hacmine eşittir (basınç alanı ile 0.85 fcd nin çarpımı). •Beton basınç kuvveti Fc basınç alanının ağırlık merkezine etkir. •Çelik toplam çekme kuvveti Fs=Asσs dir. •Çelik akmışsa σs=fyd ,akmamışsa σs=Esεs dir. Prof. Dr. Ahmet TOPÇU, Betonarme I, Eskişehir Osmangazi Üniversitesi, 2011, http://mmf2.ogu.edu.tr/atopcu 100 Kırılma türleri ERSOY/ÖZCEBE, S. 93 Betonda birim kısalma Çelikte birim uzama Betonarme elemanların iflas etmesi (yükünü taşıyamaması, kırılması, taşıma gücüne erişmesi) daima betonun ezilmesi sonucu olur. Fakat, ezilmenin nedeni farklı olabilir: 1.Çelik yoktur veya çok yetersizdir: Çelik uzar, kopar beton ezilir. 2.Çelik aşırı çoktur çok az uzar, çelik kuvveti ve beton basınç kuvveti betonun dayanamayacağı kadar yüksektir, beton ezilir. 3.Çelik kopmaz fakat aşırı uzar, beton lifleri çok kısalır, beton ezilir. Betonun en çok zorlanan lifi εc= εcu=0.003 birim kısalmasına ulaştığında eleman moment taşıma kapasitesine erişir, beton ezilir. Bu konumda donatının akıp akmadığına bağlı olarak üç değişik kırılma türü tanımlanır: 1. Sünek kırılma (çekme kırılması) 2. Gevrek kırılma (basınç kırılması) 3. Dengeli kırılma (gevrek) Prof. Dr. Ahmet TOPÇU, Betonarme I, Eskişehir Osmangazi Üniversitesi, 2011, http://mmf2.ogu.edu.tr/atopcu 101 1. Sünek Kırılma ≡ Çekme kırılması Betonda ezilme (sonra sonra !) ! Çelikte akma (öönce !) ! HOOKE geçersiz! Sünek kırılma (Çekme kırılması): Betondaki birim kısalma εc= εcu=0.003 değerine ulaşmadan önce çelik akmışsa, yani εs> εsd olmuşsa, çekme kırılması olur. Çünkü önce çelik akmakta, uzamaya devam etmekte ve betondaki birim kısalma da giderek artarak εc= εcu=0.003 sınır birim kısalmasına erişerek ezilme olmaktadır. Kırılma sünektir. 2. Gevrek Kırılma ≡ Basınç kırılması d c Beton ezilmiş Çelik akmamış! HOOKE geçerli Gevrek kırılma (Basınç kırılması): εs< εsd iken, yani çelik akmadan, beton εc= εcu=0.003 birim kısalmasına ulaşırsa basınç kırılması olur. Çünkü beton ezilir fakat çelik akmaz. Kırılma gevrektir. 3. Dengeli Kırılma ≡ Gevrek Kırılma Aynı anda d c Beton ezilmiş Çelik akmış Dengeli kırılma(gevrek kırılma): Çekme kırılması ile basınç kırılması arasında bir kırılma türüdür. Çelikteki uzama εs= εsd olduğu an (çelik aktığı an), betondaki birim kısalma da εc= εcu=0.003 olmaktadır. Çelik daha fazla uzama imkanı bulamamaktadır. Betonun ezilmesi ve çeliğin akması aynı anda olmaktadır. Kırılma gevrektir. Prof. Dr. Ahmet TOPÇU, Betonarme I, Eskişehir Osmangazi Üniversitesi, 2011, http://mmf2.ogu.edu.tr/atopcu 102 Sünek kırılma ani olmaz. Çökme oluşmadan önce bir süre aşırı çatlaklar, yer değiştirmeler oluşur, sıva ve beton parçacıkları dökülür. Çelik uzuyor, beton çatlıyor ve eziliyordur. Gece sessizliğinde cık-cık sesler duyulur. Yapı çökeceğini haber verir. Önlem almak ve yapıyı boşaltmak için zaman tanır. Gevrek kırılma hemen hiçbir belirti vermeden, genelde patlama sesi ile birlikte, ani olur. Yapı yıkılmadan önce hemen hiçbir belirti vermediğinden önlem alma veya boşaltma şansı kalmaz. Gevrek kırılma tehlikelidir! Hiçbir yapı elemanı kırılacak şekilde boyutlandırılmaz. Ancak, öngörülemeyen herhangi bir nedenle kırılacaksa, kırılmanın haberli, yani sünek olması arzu edilir. Sünek davranışı sağlamak için basit kurallar: • Yönetmelik koşulları mutlaka yerine getirilmelidir. • Özellikle kolon boyutlarında cömert davranılmalı, eksenel yük düzeyi düşük tutulmalıdır. • Boyuna donatıların kenetlenmesine özen gösterilmelidir. • Kolonlar temelden-çatıya, kiriş birleşim noktaları dahil, sarılmalıdır. • Kiriş ve kolonların uçlarında sık sargı (etriye,fret) kullanılmalı, etriye ve fret uçları beton çekirdeğine saplanmalıdır. • L, Z, T gibi kesitlerden olabildiğince kaçınılmalıdır. Prof. Dr. Ahmet TOPÇU, Betonarme I, Eskişehir Osmangazi Üniversitesi, 2011, http://mmf2.ogu.edu.tr/atopcu 103 Kirişler Kirişler genelde duvarların altına yapılan, duvar, döşeme ve kendi yükünü taşıyan; çoğunlukla yatay betonarme elemanlardır. Üzerindeki yükleri oturduğu düşey elemanlara (kolonlara) aktarır. Kirişlerin bir diğer önemli işlevi de deprem veya rüzgâr gibi yatay yükleri, döşeme ile bir bütün davranarak, kolonlara aktarmaktır. Uygulamada yatay elemanlara KİRİŞ, düşey elemanlara da KOLON denilmektedir. Ne yatay ne de düşey olan, EĞİK elemanlara ne denilecektir? Yapı statiği derslerinden bilindiği gibi, çubuk eleman ister yatay ister düşey ister eğik olsun, kolon kiriş ayırımı yapılmaz. Elemanın konumu nasıl olursa olsun, en genel halde, çubuk elemanda altı adet iç kuvvet oluşur: Bir eksenel kuvvet, iki eğilme momenti, iki kesme kuvveti ve bir burulma momenti. Yatay elemanlarda sadece bir eğilme momenti ve bir kesme kuvveti etkin olurken diğer iç kuvvetler çoğu kez önemsenmeyecek düzeyde kalırlar. Düşey elemanlarda altı adet iç kuvvetin genelde hepsi de etkin olmakla birlikte eksenel kuvvet önem arz eder. Bu nedenle yatay elemanlar ile düşey elemanların davranışları da çok farklıdır. İç kuvvet açısından eğik elemanlar, eğimin büyüklüğüne-küçüklüğüne bağlı olarak, bu iki durum arasındadırlar. ? Konsol kiriş TS 500-2000 ve Deprem Yönetmeliği-2007 bir elemanın kiriş olarak boyutlandırılabilmesi için Nd eksenel tasarım kuvvetinin Nd ≤ 0.1 fckAc Kolon Döşeme Kiriş koşulunu sağlaması gerektiğini yazmaktadırlar. Bu koşulu sağlamayan, yani eksenel kuvvet düzeyi yüksek olan elemanlar, ister yatay, ister düşey veya eğik olsunlar, kolon olarak boyutlandırılmak zorundadırlar. Bu bağıntıda fck betonun karakteristik dayanımı ve Ac elemanın kesit alanıdır. O halde; elemanın eğimine bakılmaksızın, Nd ≤ 0.1 fckAc koşulunu sağlayan elemanlara “Kiriş”, sağlamayanlara “Kolon” denilecektir ve kolon olarak boyutlandırılacaktır. Prof. Dr. Ahmet TOPÇU, Betonarme I, Eskişehir Osmangazi Üniversitesi, 2011, http://mmf2.ogu.edu.tr/atopcu 104 Kesit tipleri Kiriş kesitleri çoğunlukla dikdörtgen ve tablalı; nadiren trapez, kutu ve üçgen olur. dikdörtgen tablalı trapez kutu üçgen Kirişler öncelikle moment ve kesme kuvveti etkisindedir. Normal kuvvet etkisi genelde düşüktür. Burulma momenti nadiren dikkate alınacak düzeye varır. Moment (kuvvet çifti) kirişin bir tarafına çekme, diğer tarafına da basınç kuvveti uygular. Çekme kuvveti kirişte dik çatlaklar oluşturur. Bu kuvveti karşılamak ve oluşturacağı çatlakları sınırlamak için kirişin çekme bölgelerine boyuna donatı konur. Kesme kuvveti mesnet bölgelerinde eğik çekme kuvvetleri oluşturur ve eğik çatlaklara ( ≈ 450) neden olur. Kesme kuvvetini karşılamak ve oluşturacağı çatlakları sınırlamak amacıyla, açıklıklarda seyrek mesnet bölgelerinde daha sık etriye ile sarılır. Dikdörtgen Kesit Boyuna donatının kesitteki yerine göre farklı kesit tipi vardır: Montaj donatısı etriye basınç donatısı Çift donatılı kesit: Bazen mevcut kesit momenti taşımaz. Bu durumda ya kesit büyütülür yada hem çekme hem de basınç bölgesine hesapla belirlenen donatı konur. Montaj donatısına gerek kalmaz. Basınç bölgesine konan donatı çekme değil, basınç etkisindedir. Basınç donatısı kesitin dayanımını ve sünekliğini artırır. h h Tek donatılı kesit: Momenti karşılayacak ve hesapla belirlenen donatı kesitin çekme tarafına konur. Basınç bölgesine hesap dışı (konstrüktif) montaj donatısı konur. çekme donatısı Çift sıra donatılı kesit: Momenti karşılayacak ve hesapla belirlenen donatı genişliği az kirişlere sığmayabilir. Bu durumda ya kesit genişletilir yada donatı çift sıara yerleştirilir. bw :genişlik h : yükseklik As : çekme donatısının toplam alanı A’s :montaj veya basınç donatısının toplam alanı h A’s Md Çift sıra donatı As bw Çift sıra donatılı kesit Prof. Dr. Ahmet TOPÇU, Betonarme I, Eskişehir Osmangazi Üniversitesi, 2011, http://mmf2.ogu.edu.tr/atopcu 105 TS 500/2000, S. 19-20 ERSOY/ÖZCEBE, S. 247 Tablalı Kesit Ki riş t Kalıp kiriş gövdesinin bir veya iki tarafında kulaklar oluşacak şekilde hazırlanır ve beton dökülürse tablalı kesit oluşur. Köprü kirişleri genelde bu yöntemle hazırlanır. Tabla betonu basınç alanının büyümesine katkı sağlar. t h Lh t Ki riş Ki ri ş Döşeme ve kiriş betonu bir bütün dökülmüş ise ve döşeme betonu kirişin basınç bölgesinde ise, döşemenin b genişliğindeki bir parçası hesaplarda kirişin basınca çalışan tablası olarak dikkate alınır. b ye etkili tabla genişliği veya çalışan tabla genişliği denir. Tablası dikkate alınan kirişler T, L ve I kesitli olabilirler. Tabla beton basınç alanının büyümesine neden olur. Döşeme plağının büyük olması durumunda tablanın tamamı basınca çalışmaz. Tabladaki basınç gerilmeleri kiriş gövdesinden uzaklaştıkça hızla azalır. Yapılan araştırmalar sonucunda b çalışan tabla genişliği sınırlandırılmış ve yönetmeliklerde verilmiştir. h d h d Çalışan tabla genişliğinin sınırlandırılması: b 1 ≤ 6 t , b 1≤ 1 a 1 , b 1≤ 1 a 2 2 2 Tabla kulağı b1 döşeme kalınlığının 6 katını ve komşu kiriş yüzüne olan net uzaklığın yarısını aşamaz. Kirişin, balkon veya saçak döşemeli kenar kiriş, iç kiriş ve kenar kiriş olma durumuna ait sınırlamalar şekil üzerinde gösterilmiştir. Lh kirişin hesap açıklığıdır. α sayıları: b ≤ b2 + bw + 6t b ≤ bw + 12t b ≤ b2 + bw + 0.1α L h b ≤ bw + 0.2 α Lh Simetrik olmayan, balkon veya saçak döşemeli tablalı kesit Basit kiriş Simetrik tablalı kesit b ≤ bw + 6t b ≤ bw + 0.1α L h Simetrik olmayan tablalı kesit konsol kenar açıklık orta açıklık konsol Her açıklıkta hesaplanan b değerlerinden en küçüğü o açıklığın tabla genişliğinin üst sınırıdır. Hesaplarda daha da küçük alınabilir. Dikkat edilirse, Kiriş boyunca her açıklıkta tabla genişliği farklı olmaktadır. İstenirse, bunlardan en küçüğü kullanılarak, her açıklığın tabla genişliği eşit alınabilir. Hatta tabla tamamen ihmal edilerek dikdörtgen kesit (bw.h) olarak hesap yapılabilir. Ancak bu, gerçekte var olan, basınç bölgesinin bir kısmının veya tamamının ihmal edilmesi anlamına gelir ve kirişe daha fazla donatı koymak zorunda kalınır. Büyük açıklıklı kirişlerde, dişli döşeme dişlerinde, köprü kirişlerinde ve prefabrik yapılarda tablanın ihmali, ekonomik açıdan, doğru olmaz. Prof. Dr. Ahmet TOPÇU, Betonarme I, Eskişehir Osmangazi Üniversitesi, 2011, http://mmf2.ogu.edu.tr/atopcu 106 Tablalı Kesit – Eşdeğer kesit Soldaki her iki kesit için tabla dikkate alınır. Çünkü tabla basınç bölgesindedir, basınç gerilmeleri alır. Her iki kesit de tablalı olarak hesaplanır. eşdeğeri eşdeğeri Soldaki kesitin tablası çekme bölgesindedir. Fiziksel olarak var olmasına rağmen, hesaplarda tabla dikkate alınmaz. Çünkü çekme bölgesinde olan tabla çatlayacaktır. Kiriş, sağdaki dikdörtgen kesit olarak modellenir ve hesaplanır fakat tablalı olarak inşa edilir. Soldaki kesitin tablası çekme bölgesindedir. Hesaplarda tabla dikkate alınmaz. Kiriş sağdaki dikdörtgen kesit olarak modellenir hesaplanır fakat tablalı olarak inşa edilir. •Tabla basınç bölgesinde ise hesaplarda dikkate alınır. •Çekme bölgesindeki tabla hesap modelinde dikkate alınmaz. Çünkü; çekme bölgesindeki tabla betonu çatlar, çekme bölgesinin geometrisi önemli değildir. Bu durumda kesit, bw. h boyutlu eşdeğer dikdörtgen kesit imiş gibi düşünülür. •Eşdeğer dikdörtgen kesit sadece hesapları basitleştirir, gerçek değil sanal bir kesittir. Hesap sonucu bulunan donatılar gerçek olan tablalı kesite yerleştirilir ve yerinde tablalı olarak inşa edilir. Prof. Dr. Ahmet TOPÇU, Betonarme I, Eskişehir Osmangazi Üniversitesi, 2011, http://mmf2.ogu.edu.tr/atopcu 107 Kutu Kesit, I Kesit b=b2+2b1+2b3 2b1 Eşdeğeri Eşdeğeri 2b1 Kutu kesit I kesit b'=b2+2b1 T kesit (tablalı) t2 h Eşdeğeri Eşdeğeri h t1 b≤2b1+12t1 b’≤2b1+12t2 b≤2b1+0.2αLh b’≤2b1+0.2αLh I kesit Kutu kesit T kesit (tablalı) Daha çok sanayi yapılarında ve köprü kirişlerinde karşılaşılan kutu kesitler eşdeğer tablalı kesit gibi hesaplanabilirler. Çünkü basınç bölgesi alanı ve ağırlık merkezi değişmemektedir. Ancak b ve b’ çalışan tabla genişliği yukarıda verilen şartları sağlamalıdır. Momentin etkime durumuna bağlı olarak, çekme tarafında kalan tabla dikkate alınmayacaktır. Bu nedenle, hesaplanacak kesit T veya ⊥ olmaktadır. Eşdeğer kesit hesapları basitleştirmektedir. Prof. Dr. Ahmet TOPÇU, Betonarme I, Eskişehir Osmangazi Üniversitesi, 2011, http://mmf2.ogu.edu.tr/atopcu 108 Tanımlar t YÜKSEKLİK: Kiriş alt yüzünden üst yüzüne olan mesafedir. Şekilde h ile gösterilmiştir. GENİŞLİK: Kirişin, kulaklar hariç, gövde genişliğidir. bw ile gösterilir. d TABLA KALINLIĞI: Tablanın et kalınlığıdır, şekilde t ile gösterilmiştir. h TABLA GENİŞLİĞİ: Basınca çalışan tabla genişliğidir, şekilde b ile gösterilmiştir. Fiziksel olarak tabla daha geniş olsa bile hesaplarda yönetmelikte verilen b kadarı dikkate alınır. c FAYDALI YÜKSEKLİK: Çekme donatısının ağırlık merkezinin en dış basınç lifine uzaklığıdır, şekillerde d ile gösterilmiştir. cc BETON ÖRTÜSÜ: Kiriş yüzüne en yakın olan boyuna donatının merkezinin kiriş yüzüne mesafesidir. Beton örtüsüne uygulamada pas payı da denilmektedir. Şekilde c ile gösterilmiştir. NET BETON ÖRTÜSÜ: En dıştaki donatının (çoğunlukla etriyenin) dış yüzünün beton yüzüne olan mesafesidir. Kenetlenmeyi sağlamak, paslanmayı önlemek ve yangına dayanımı artırmak gibi amaçları vardır. Şekilde cc ile gösterilmiştir. b DONATI NET ARALIĞI: Donatı çubuklarının yüzleri arasındaki mesafedir. Şekilde c’c ile gösterilmiştir. Agreganın geçebilmesi, betonun sıkıştırılabilmesi ve kenetlenmenin sağlanabilmesi için yeterli net aralık bırakılmalıdır. A’s ÇEKME DONATISI: Çekme kuvvetini karşılamak amacıyla kirişin çekme tarafına konulan donatıdır. Donatı çubuklarının kiriş genişliğine sığmaması durumunda çift sıra olarak da yerleştirilebilir. Şekilde çekme donatısının toplam alanı As ile gösterilmiştir. As Çekme donatısı ağırlık merkezi c’c bw MONTAJ DONATISI: Kirişin basınç tarafına konulan fakat basınç kuvveti almadığı varsayılan donatıdır. En az iki çubuk konur. Donatı çubuklarının kiriş gövde genişliğine sığmaması durumunda çift sıra veya tabla (varsa) içine de yerleştirilebilir. Montaj donatısının toplam alanı A’s ile gösterilmiştir. t BASINÇ DONATISI: Dikdörtgen kesitli kirişlerin basınç tarafına bazen konulan ve basınç kuvveti alan donatıdır. Ayrıca montaj donatısı konulmaz. Donatı çubuklarının kiriş genişliğine sığmaması durumunda çift sıra olarak da yerleştirilebilir. Basınç donatısının toplam alanı A’s ile gösterilmiştir. GÖVDE DONATISI: Yüksekliği fazla olan kirişlerin yan yüzlerine konulan donatıdır. Şekilde gövde donatısınının toplam alanı Asgövde olarak gösterilmiştir. cc c h d BOYUNA DONATI: Kiriş eksenine paralel olan çekme, montaj (veya basınç) donatılarına verilen addır. Bu donatılar kiriş genişliğine sığmalı ve aralarında, kenetlenmeyi sağlamak için, yeterli mesafe olmalıdır. Donatıların kiriş gövde genişliğine sığmaması durumunda; 1) kiriş genişliğini artırmak 2) aynı As alanınını sağlayan daha kalın fakat daha az sayıda çubuk koymak 3) çubukların bazılarını tabla içine yerleştirmek 4) çift sıra donatı düzenlemek gibi tedbirler alınır. ENİNE DONATI: Boyuna donatılara dik olarak yerleştirilen ve boyuna donatıları saran donatıya verilen addır. Sargı donatısı veya etriye de denir. Açıklıklarda seyrek, mesnet bölgelerinde ve konsollarda sık yerleştirilir. Kesme, burulma kuvvetlerini karşılamak ve betonun şişmesini önlemek gibi çok önemli görevleri vardır. Prof. Dr. Ahmet TOPÇU, Betonarme I, Eskişehir Osmangazi Üniversitesi, 2011, http://mmf2.ogu.edu.tr/atopcu 109 Tanımlar-Kirişlerde donatı oranları DONATI ORANI: Donatı kesit alanının brüt beton alanına oranıdır. Brüt beton alanı hesabında yükseklik olarak h değil d alınır. Donatı alanı beton alanından düşülmez. Kesitin sadece gövde alanı dikkate alınır, tabla kulakları gibi çıkıntılar dikkate alınmaz. Çekme donatısı, montaj (veya basınç) donatısı, gövde donatısı ve etriye için ayrı ayrı donatı oranı tanımlanır. Donatı oranını simgesi için ρ karakteri kullanılır. ÇEKME DONATISININ ORANI: Çekme bölgesine konulmuş olan çubukların toplam alanının brüt beton alanına oranıdır: ρ= As bw d t MONTAJ veya BASINÇ DONATISININ ORANI: Montaj veya basınç kuvveti almak amacıyla basınç bölgesine konulmuş olan çubukların toplam alanının brüt beton alanına oranıdır: d As' bw d h ρ'= GÖVDE DONATISININ ORANI: Yüksekliği fazla olan kirişlerin yan yüzlerine konulmuş olan çubukların toplam alanının brüt beton alanına oranıdır: ρ gövde = Asgövde bw d SARGI(ETRİYE) DONATISININ ORANI: ρw = Asw s bw ile tanımlanır. Burada s etriye adımı (aralığı), Asw etriye düşey kollarının toplam kesit alanıdır. Kirişler genellikle iki düşey kolu olan bir etriye ile sarılırlar. Ancak, bazı durumlarda (örneğin geniş kirişlerde) dört, altı veya daha fazla kollu da olabilir. Şekildeki dikdörtgen ve tablalı kesitlerde bir etriye (iki kollu), kutu kesitte ise üç etriye (altı kollu) vardır. Asw etriye alanı, bir kolun kesit alanı ile düşey kol sayısının çarpımıdır. Kesme kuvvetini sadece düşey kollar karşılar. Bu nedenle yatay kolların alanı hesaba katılmaz. Prof. Dr. Ahmet TOPÇU, Betonarme I, Eskişehir Osmangazi Üniversitesi, 2011, http://mmf2.ogu.edu.tr/atopcu 110 Kirişlerde dengeli donatı oranı tanımı ERSOY/ÖZCEBE, S. 231 Dengeli kırılan kesitin donatı oranına dengeli donatı oranı adı verilir ve ρb ile gösterilir. Dengeli kırılmada donatının akması ve betonun ezilmesi aynı anda olur. Donatıdaki deformasyon εsd akma deformasyonuna ulaştığı an betonun deformasyonu da εcu=0.003 e ulaşır, beton ezilir ve ani göçme olur. Çelik aktığı için σs=fyd olacaktır. Dengeli kırılma donatı oranı, sünek kırılma ile gevrek kırılma arasındaki bir sınır değer olduğundan, önemlidir. ρb sünek kırılma donatı oranının üst sınırı, gevrek kırılma oranının alt sınırıdır. b indisi dengeli (balanced) anlamındadır. Bu oran bilindiği taktirde kiriş bu oranın altında donatılarak gevrek kırılma önlenir. Dengeli kırılma anındaki tarafsız eksen derinliği Betonda ezilme Aynı anda cb d h ρb = A sb bw d Asb :dengeli kırılmaya neden olan toplam donatı alanı ρb :dengeli kırılmaya neden olan donatı oranı Çelikte akma Dengeli, denge üstü ve denge altı donatılı kesit tanımı Dengeli donatılı kesit: Donatı oranı dengeli kırılmaya neden olacak kadar olan kesite denir: ρ = ρb. Denge üstü donatılı kesit: Donatı oranı dengeli donatı oranından fazla olan kesite denir: ρ > ρb. Denge altı donatılı kesit: Donatı oranı dengeli donatı oranından az olan kesite denir: ρ < ρb. Kırılma türleri donatı oranlarına göre de sınıflandırılabilir: (ρ = ρb) gevrek kırılır. Tehlikeli ! 2.Denge üstü donatılı kesit (ρ > ρb) gevrek kırılır. Tehlikeli ! 1.Dengeli donatılı kesit 3.Denge altı donatılı kesit (ρ < ρb) sünek kırılır. Arzu edilen kırılma türü •Dengeli donatı oranı ρb sünek kırılma donatı oranının üst sınırıdır. •Kirişler denge altı donatılmalı, yani daima ρ < ρb olmalıdır. Bu bakımdan, ρb dengeli donatı oranının bilinmesi önemlidir. Prof. Dr. Ahmet TOPÇU, Betonarme I, Eskişehir Osmangazi Üniversitesi, 2011, http://mmf2.ogu.edu.tr/atopcu 111 d-a/2 a=k1cb cb d-cb h d a a/2 a/2 Dikdörtgen kesitli, tek donatılı kirişin dengeli kırılmasına neden olan donatı alanı, dengeli donatı oranı ve kirişin moment taşıma ERSOY/ÖZCEBE, S. 232-233 gücünün hesabı Kesit boyutları (bw , h, d) ve malzeme (beton/çelik sınıfı) bilinmektedir. Dengeli kırılmaya neden olacak toplam çekme donatısı alanı Asb ve donatı oranı ρb nedir? Kesitin moment kapasitesi Mb (moment taşıma gücü) ne kadardır? ÇÖZÜM: Dengeli kırılmaya ait deformasyon diyagramı ve iç kuvvet durumu şekildeki gibi olacaktır. Donatı εsd akma birim uzamasına ulaştığı an beton da εcu =0.003 kırılma birim kısalmasına ulaşacak ve beton ezilecektir. Çelik aktığı için gerilmesi fyd olacaktır. Kırılma anına ait iç kuvvet durumu şekilde görülmektedir. Kesit boyutları ile beton ve çelik sınıfı bilindiğinden d, bw, εsd , fyd, fcd, k1 bellidir. Tarafsız eksenin derinliği cb deformasyon diyagramından orantı ile bulunabilir. cb belli olunca basınç bloğu derinliği a=k1cb ve basınç kuvveti Fc=0.85fcdabw hesaplanabilir. Fc=Fs bağıntısından Asb belirlenir. Bu işlemler sonraki izleyen sayfalarda verilmiştir. Prof. Dr. Ahmet TOPÇU, Betonarme I, Eskişehir Osmangazi Üniversitesi, 2011, http://mmf2.ogu.edu.tr/atopcu 112 a/2 a=k1cb d-cb d-a/2 cb a h d Dengeli donatı oranı (tanım): ρb = Asb bw d Çelik akma deformasyonları Uygunluk (süreklilik) koşulu (deformasyon diyagramından orantı ile): 0 .003 ε sd cb = d − cb 0 . 003 cb = d 0 . 003 + ε sd Çelik sınıfı εsd= fyd/ Es S220a 0.000957 S420a 0.001826 S420b 0.001826 S500a 0.002174 Tarafsız eksenin yeri (derinliği) bulunur. Burada εsd=fyd/Es dir ve çelik sınıfına bağlı değerler tabloda verilmiştir. Prof. Dr. Ahmet TOPÇU, Betonarme I, Eskişehir Osmangazi Üniversitesi, 2011, http://mmf2.ogu.edu.tr/atopcu 113 Eksenel denge koşulu : Fc-Fs= 0 0.85fcd abw -Asb fyd= 0 Asb = 0.85 fcd abw fyd dengeli kırılmaya neden olan çekme donatısı alanı Her iki taraf bwd ye bölünürse: Asb f a = 0.85 cd bw d fyd d a = k1cb yerine yazılırsa ve tanım gereği ρ b = ρ b = 0.85 Asb olduğu hatırlanırsa : bw d fcd k1cb fyd d cb değeri yerine yazılırsa: ρb f 0 . 003 = 0 . 85 cd k 1 f yd 0 . 003 + ε sd dengeli kırılmaya neden olan çekme donatısı oranı Dengeli donatı oranı bulunur. Bu oran sadece malzemeye bağlıdır (fcd, k1 betona; fyd, εsd çeliğe ait sabit değerler). Değişik malzeme için ρb değeri hesaplanabilir. Moment kapasitesi (moment taşıma gücü): Kırılma anındaki moment çelik kuvveti ile moment kolunun çarpımına eşittir. Beton basınç kuvveti ile moment kolunun çarpımı da aynı sonucu verir. Çelik kuvvetinden hesaplamak daha basittir. a M b = Asb f yd (d − ) 2 Kırılma anındaki moment ≡ Moment taşıma gücü Görüldüğü gibi dengeli donatı oranını ρb kesit boyutlarından bağımsızdır ve sadece malzemeye bağlıdır. Bu oranın bilinmesi çok önemlidir, çünkü: •Bir kiriş dengeli veya denge üstü donatılmışsa gevrek kırılır (TEHLİKELİ !). •Bir kiriş denge altı donatılmışsa sünek kırılır (İSTENEN KIRILMA TÜRÜ!). Prof. Dr. Ahmet TOPÇU, Betonarme I, Eskişehir Osmangazi Üniversitesi, 2011, http://mmf2.ogu.edu.tr/atopcu 114 Dikdörtgen kesitli kirişlerde dengeli donatı oranları Çelik S220 S420 S500 fcd 0 . 003 k1 f yd 0 . 003 + ε ERSOY/ÖZCEBE, S. 235 (benzeri) Beton γ mc=1.4 γ mc=1.5 γ mc=1.7 C16/20 0.0327 0.0305 0.0270 C18/22 0.0368 0.0382 0.0303 C20/25 0.0409 0.0378 0.0337 S220/C16/20 , γmc=1.5 için örnek: C25/30 0.0511 0.0477 0.0421 fcd = 16/1.5=10.67 N/mm2 C16/20 0.0141 0.0131 0.0116 C18/22 0.0158 0.0148 0.0130 C20/25 0.0176 0.0164 0.0145 C25/30 0.0220 0.0205 0.0181 C30/37 0.0254 0.0237 0.0209 C35/45 0.0286 0.0267 0.0235 C40/50 0.0314 0.0293 0.0259 C45/55 0.0339 0.0317 0.0280 C50/60 0.0362 0.0338 0.0298 C16/20 0.0110 0.0103 0.0091 C18/22 0.0124 0.0116 0.0102 C20/25 0.0138 0.0128 0.0113 C25/30 0.0172 0.0161 0.0142 C30/37 0.0199 0.0186 0.0164 C35/45 0.0224 0.0209 0.0184 C40/50 0.0246 0.0230 0.0203 C45/55 0.0266 0.0248 0.0219 C50/60 0.0283 0.0264 0.0233 ρ b = 0 . 85 sd fyd = 220/1.15=191.30 N/mm2 k1 = 0.85 Es = 2.105 N/mm2 εsd = 191.30/ 2.105 = 0.000957 ρ b = 0.85 10.67 0.003 0.85 191.30 0.003 + 0.000957 ρ b = 0.0305 Not: 0.0186(1.5/1.7) = 0.0164 0.0186(1.5/1.4) = 0.0199 NOT: Dep. Yön. 2007 S220 ve S500 çeliklerinin kiriş, kolon ve perdelerde boyuna donatı olarak kullanımını yasaklamıştır. Prof. Dr. Ahmet TOPÇU, Betonarme I, Eskişehir Osmangazi Üniversitesi, 2011, http://mmf2.ogu.edu.tr/atopcu 115 a Dengeli donatı oranı ρb teorik üst sınır değerdir. Güvenlik nedeniyle, uygulamada kirişin donatı oranı bu üst sınırdan bir miktar daha uzak (küçük) kalmalıdır. Donatı oranı sıfır olamaz. O halde donatı oranının alt sınırı da olmalıdır. 67 TS500-2000, S. 23, 30 Deprem Yönetmeliği-2007, Madde 3.4. 2.1 Kirişlerde donatı oranı üst ve alt sınırları 3 a C25/30 S420a TS500-2000 ve Deprem yönetmeliği-2007 donatı oranlarını aşağıdaki gibi sınırlandırmıştır. Mühendis kesite koyduğu donatının oranını kontrol etmek, yönetmelik sınırlarına uymak zorundadır. Çekme donatısı oranının üst sınırı: Örnek: ρ − ρ ' ≤ 0.85ρ b ρ ≤ 0.02 Detayı yukarıda verilen kiriş C25/30 betonu ve S420a çeliği ile iyi denetimli bir şantiyede inşa edilmiştir. a-a kesitindeki donatıların oranları yönetmelik koşullarını sağlar mı? Kontrol ediniz. Çekme donatısı oranının alt sınırı: ρ ≥ 0 .8 f ctd f yd Gövde donatısı oranının alt sınırı: ρ gövde = 0.001 Sargı(etriye) donatısı oranının alt sınırı: ρ w ≥ 0 .3 f ctd f ywd Veri hazılığı: Donatı oranları: fck=25, fctk=1.8, fyk=fywk=420 N/mm2 ρ=770/300/670=0.0038 γmc=1.5, γms=1.15 ρ’=308/300/670=0.0015 fcd=25/1.5=16.67, fctd=1.8/1.5=1.2 N/mm2 ρgövde=226/300/670=0.0011 fyk=fywk=420/1.15=365.22 N/mm2 ρw=100/200/300=0.0017 C25/30, S420, γmc=1.5 içinρb=0.0205 (tablodan) 5φ14As=770 mm2 ρ: çekme donatısının oranı ρ’ : basınç donatısının oranı As bwd ρ'= As' bw d ρ gövde = ρw = Asgövde bw d Asw sbw ρ−ρ’=0.0038-0.0015=0.0023<0.85.0.0205=0.0174 2φ14 As’=308 mm2 2φ12Asgövde=226 Kontrol: ρ= ρ=0.0038>0.8.1.2/365.22=0.0026 mm2 φ8 çift kollu etriyeAsw =2.50=100 ρ=0.0038<0.02 mm2 ρgövde=0.0011>0.001 ρw=0.0017>0.3.1.2/365.22=0.0010 Prof. Dr. Ahmet TOPÇU, Betonarme I, Eskişehir Osmangazi Üniversitesi, 2011, http://mmf2.ogu.edu.tr/atopcu 116 ÖRNEK Verilenler: İyi denetimli bir şantiyede yapılmış bir kirişin açıklık kesiti. Malzeme: C20/25, S420a. Montaj donatısı dikkate alınmayacaktır. İstenen: Kesit dengeli mi, denge altı mı, denge üstü mü donatılmıştır? Kırılma nasıl olur? Belirleyiniz. Mevcut donatı yönetmeliklere uygun mu? Kontrol ediniz. ÇÖZÜM: Mevcut donatı alanı ve oranı: As = 1018 mm2, ρ = 1018/(250 . 470) = 0.0087 f Malzeme katsayıları: γmc = 1.5, γms= 1.15 f cd = ck γ mc Malzeme tasarım dayanımları: fcd = 20/1.5 = 13.33 N/mm2 f yk fctd = 1.6/1.5 = 1.07 N/mm2, fyd = 420/1.15 = 365.22 N/mm2 f yd = k1=0.85, ρb = 0.0164(tablodan) γ ms 4 250 Kesit ρ = As bw d Kiriş denge altı mı? Kontrol: ρ = 0.0087< 0.85 ρb = 0.85 . 0.0164 = 0.0139 olduğundan kiriş denge altı donatılmıştır, kırılma sünek olur. Donatı sınırları kontrolü: ρ = 0.0087 < 0.85 ρb = 0.0139 ρ = 0.0087 < 0.02 ρ = 0.0087 > 0.8.1.07/365.22 = 0.0023 ρ ≥ 0.8 f ctd f yd olduğundan donatı oranı yönetmeliklere uygundur. Prof. Dr. Ahmet TOPÇU, Betonarme I, Eskişehir Osmangazi Üniversitesi, 2011, http://mmf2.ogu.edu.tr/atopcu 117 d-a/2 h d-c d c a a=k1c a/2 a/2 Tek donatılı, denge altı donatılmış dikdörtgen kesitli kirişin taşıma gücü ERSOY/ÖZCEBE, S. 234 Denge altı donatılı kesitlerde önce çelik akar, εs > εsd, σs = fyd olur. Çelik uzamaya devam ederken betondaki birim kısalma da giderek artar, εc = εcu = 0.003 olur ve beton ezilir. Kırılma sünektir (çekme kırılması). Yönetmelikler sadece denge altı donatılı kesitlere izin verirler. Fs çelik kuvveti bellidir. Momentin hesaplanabilmesi için a gerilme bloğu derinliğinin belirlenmesi gerekir. Eksenel kuvvet dengesi: Fc = Fs → 0.85 f cd abw = As f yd → a = As f yd 0.85bw f cd d-a/2 a=k1c c d-c h d a a/2 Tarafsız eksenin yeri: a = k1c → c = a / k1 Kirişin moment taşıma gücü: Fs=Fc kuvvet çiftinin momenti kirişin kırılma anındaki momentini, yani moment taşıma gücünü verir. Mr = Fs (d-a/2) = Fc (d-a/2) olur. Mr yi çelik kuvvetinden hesaplamak daha basittir: Kesit boyutları (bw, d, h), donatı alanı (As ), malzemesi (beton/çelik sınıfı) ve denge altı donatıldığı bilinen dikdörtgen kesitin moment taşıma gücü ( Mr ) ne kadardır? a M r = As f yd (d − ) 2 Prof. Dr. Ahmet TOPÇU, Betonarme I, Eskişehir Osmangazi Üniversitesi, 2011, http://mmf2.ogu.edu.tr/atopcu 118 ÖRNEK: Tek donatılı, denge altı donatılmış, dikdörtgen kesitli kirişin taşıma gücü ERSOY/ÖZCEBE, S. 236(benzeri) 30 İstenen: Kiriş verilen yükleri güvenle taşıyabilir mi? Kırılma anındaki şekil değiştirme ve iç kuvvet durumunu şekil üzerinde gösteriniz. 500 mm Verilenler: İyi denetimli bir şantiyede yapılmış kirişin boyutları, donatısı, g (sabit) ve q (hareketli) karakteristik yükleri , malzemesi: C20/25/S420a. Montaj donatısı dikkate alınmayacaktır. ÇÖZÜM: Kirişin güvenli olması için, 1) Gevrek kırılma önlenmiş, yani kiriş denge altı donatılı olmalı, donatı oranı aşağıdaki koşulları sağlamalı: ρ≤0.85 ρb , ρ≤0.02 (max donatı oranı) ρ≥0.8 fctd /fyd (min donatı oranı) 2) Kirişin moment taşıma gücü, yüklerden oluşan tasarım momentinden büyük veya eşit olmalı1: Mr ≥Md C20/25/S420a malzemesi için: γmc =1.5, γms=1.15 fck=20 N/mm2, fctk=1.6 N/mm2 , fyk=420 N/mm2 k1=0.85 fcd=20/1.5=13.33 N/mm2, fctd=1.6/1.5=1.07 N/mm2 fyd=420/1.15=365.22 N/mm2 ρb=0.0164 (tablodan) ----------------------------1 Kirişin güvenli olması için V ≥V koşulunun da sağlanması gerekir. Kesme hesabı henüz anlatılmadığı için bu kontrol yapılmayacaktır. r d Prof. Dr. Ahmet TOPÇU, Betonarme I, Eskişehir Osmangazi Üniversitesi, 2011, http://mmf2.ogu.edu.tr/atopcu 119 Çekme donatısı oranı kontrolü: As=1018 mm2, ρ = 1018/(250.470) = 0.0087 ρ = 0.0087 < 0.85ρb = 0.85. 0.0164 = 0.0139 (denge altı donatılı) ρ = 0.0087 < 0.02 ρ = 0.0087 > 0.8 . 1.07 /365.22 = 0.0023 Tasarım momenti: Mg = 20.52/8 = 62.5 kN.m (sabit yükten) Mq=10.52/8 = 31.3 kN.m (hareketli yükten) Karakteristik yük etkileri Md = 1.4.62.5+1.6.31.3 = 137.6 kN.m (tasarım momenti) olduğundan kiriş verilen yükleri güvenle taşır. a=131.3 c=154.5 mm 30 Mr = 150.3 kN.m > Md = 137.6 kN.m 470-65.7=404.3 Mr=150.3 kN.m (moment taşıma gücü) a M r = As f yd (d − ) 2 470 mm Mr = 1018.365.22(470-131.3/2) = 150334888 N.mm 470-154.5=315.5 Moment taşıma gücü: 154.5 c = a / 0.85 As f yd 0.85bw f cd 65.7 c=131.3/0.85=154.5 mm a= 131.3 a=1018/0.85/250.365.22/13.33=131.3 mm 131.2/2=65.7 Kırılma anında şekil değiştirme ve iç kuvvet durumu: Basınç bloğu ve tarafsız eksenin derinliği: Prof. Dr. Ahmet TOPÇU, Betonarme I, Eskişehir Osmangazi Üniversitesi, 2011, http://mmf2.ogu.edu.tr/atopcu 120 ÖRNEK: Tek donatılı, denge altı donatılmış, dikdörtgen kesitli kirişin taşıma gücü ÇÖZÜM: Yüklerden oluşan tasarım momenti kirişin moment taşıma gücünden küçük veya eşit olmalıdır1: Md ≤ Mr Moment kapasitesi: 30 500 mm Verilenler: İyi denetimli bir şantiyede yapılmış kirişin boyutları, donatısı, g karakteristik sabit yükü, malzemesi: C20/25/S420a. Montaj donatısı dikkate alınmayacaktır. Kiriş kesiti bir önceki örnek ile aynı olduğundan moment taşıma gücü de aynıdır: Mr= 150.3 kN.m Tasarım momenti: İstenen: Kirişin güvenle taşıyabileceği maksimum q karakteristik hareketli yükü ne kadardır? Mg = 20.52/8 = 62.5 kN.m (sabit yükten) Mq = q.52/8 = 3.125q kN.m (hareketli yükten) Md = 1.4.62.5+1.6.3.125q = 87.5+5.0q Kirişin güvenle taşıyabileceği maksimum q karakteristik yükü: Md ≤ Mr olmalı. 87.5+5.0q ≤ 150.25 q = 12.6 kN/m bulunur. ----------------------------1 Kirişin güvenli olması için V ≥V koşulunun da sağlanması gerekir. Kesme hesabı henüz anlatılmadığı için bu kontrol yapılmayacaktır. r d Prof. Dr. Ahmet TOPÇU, Betonarme I, Eskişehir Osmangazi Üniversitesi, 2011, http://mmf2.ogu.edu.tr/atopcu 121 ρ = ρ ' = b A s w d b A ' s w d ERSOY/ÖZCEBE, S. 238-243 d-d’ k1c/2 a=k1c a=k1c d-c Çekme donatısı d-k1c/2 h d Basınç donatısı c c-d’ a=k1c d’ Çift donatılı, denge altı donatılmış dikdörtgen kesitli kirişin taşıma gücü (çekme donatısı oranı) (basınç donatısı oranı) Tek donatılı kirişin moment kapasitesi yetersiz kaldığında, kapasiteyi artırmak için ya kiriş kesiti (bw . d) büyütülür yada basınç bölgesine de donatı konur. Şekilde basınç donatısı A’s ile çekme donatısı da As ile gösterilmiştir. Basınç donatısı aynı zamanda montaj görevi görür, ayrıca montaj donatısı konmaz. İç kuvvetler 1.modelin ve 2.modelin toplamı olarak düşünülebilir. As = As1+ As2 dir. Dengeli donatı durumunda A’s akar, öyleyse σ’s =fyd , F’s=Fs2 , A’s=As2, As1=As-A’s olur. Dengeli kırılma As1 donatısının akması, uzaması ve daha sonra da betonun ezilmesi ile olur. Çünkü, ikinci modelde beton kuvveti yoktur, sadece çelik çubuklarda kuvvetler vardır. As2 ve A’s sünek malzemelerdir; aksalar dahi, beton olmadığı için, ikinci modelde gevrek kırılma olmaz. O halde kırılmanın türünü tek donatılı olan birinci model belirleyecektir. Bu nedenle, As1 donatısının oranı, tek donatılı kesite ait ρb den küçük olmalıdır. Prof. Dr. Ahmet TOPÇU, Betonarme I, Eskişehir Osmangazi Üniversitesi, 2011, http://mmf2.ogu.edu.tr/atopcu 122 1. Modeldeki As1 donatısının oranı: As 1 A − As' A A' ≤ ρb → s = s − s → ρ − ρ ' ≤ ρb bw d bw d bw d b w d TS500-2000, güvenlik ve süneklik nedeniyle, ρ - ρ’ ve ρ oranlarını aşağıdaki gibi sınırlamaktadır: ρ − ρ ' ≤ 0 . 85 ρ b ρ ≤ 0 . 02 Eksenel denge TS500-2000, S. 23 Deprem Yönetmeliği-2007, Madde 3.4.2.1 ERSOY/ÖZCEBE, S. 261 : Fc+ F’s - Fs= 0 Moment taşıma gücü: Beton bileşke kuvveti Mr = Fc (d-k1c/2)+F’s (d-d’) Fc = 0.85fcd bw k1c : Basınç donatısı kuvveti : F’s = A’sσ ’s (σ ’s = Esε’s ≤ fyd) Çekme donatısı kuvveti : Fs = Asfyd Eksenel denge : 0.85 f cd bw k1c + As' σ s' − As f yd = 0 Moment taşıma gücü : M r = 0.85 f cd bw k1c(d − (1) k1c ) + As' σ s' (d − d ' ) (2) 2 (1) ve (2) bağıntılarında sadece c ve σ’s bilinmiyor! Uygunluk koşulu : ε s' 0.003 = c−d' c − d' → ε s' = 0.003 c c (3) Basınç donatısı gerilmesi : σ ' = E ε ' ≤ f → σ ' = E ⋅ 0.003 c − d ≤ f (4) s s s yd s s yd c Çözüm, basınç donatısının akıp akmadığına bağlıdır! Akmışsa σ’s=fyd alınacaktır , akmamışsa σ’s = Esεs den hesaplanacaktır. Basınç donatısı, en çok zorlanan beton lifine yakın olduğundan, uygulamada genellikle akar. Moment kapasitesinin hesabı için aşağıdaki yol izlenir. ' Prof. Dr. Ahmet TOPÇU, Betonarme I, Eskişehir Osmangazi Üniversitesi, 2011, http://mmf2.ogu.edu.tr/atopcu 123 Hesap için algoritma Hesap sırası: 1. Kesit denge altı mı? bak; ρ - ρ’ ≤ 0.85 ρb olmalı! ρ nun alt ve üst sınırlarını kontrol et. 2. A’s basınç donatısının aktığını varsay, σ’s = fyd al, (1) de yerine koy c yi hesapla: c = ( A s − A s' ) f yd 0 . 85 f cd b w k 1 3. σ’s değerini hesapla: σ ' s = 0 . 003 E s c − d c ' a) σ’s ≥ fyd ise A’s basınç donatısı akmıştır, yani varsayım ve hesaplanan c doğrudur. Bu c ve σ’s = fyd değerini (2) ifadesinde yerine koy Mr yi bul, hesabı bitir. b) σ’s< fyd ise, basınç donatısı akmamıştır, yani varsayım ve hesaplanan c doğru değildir. ( 4) ifadesinin (1) de yerine konmasıyla bulunan 0 . 85 f cd b w k 1 c 2 + ( 0 . 003 E s A s' − A s f yd ) c − 0 . 003 E s A s' d ' = 0 bağıntısından c nin yeni değerini ve σ ' s = E s ⋅ 0 . 003 c − d c ' değerini hesapla, bu c ve σ’s son değerlerini (2) de yerine yaz, Mr yi bul, hesabı bitir. Prof. Dr. Ahmet TOPÇU, Betonarme I, Eskişehir Osmangazi Üniversitesi, 2011, http://mmf2.ogu.edu.tr/atopcu 124 ÖRNEK: Çift donatılı dikdörtgen kesit Verilenler: İyi denetimli bir şantiyede yapılmış kirişin açıklığına ait kesit boyutları. Donatı: As=1580 mm2 , A’s=520 mm2. Malzeme: C16/20/S420a A’s İstenen: Kirişin taşıma gücü ne kadardır? As ERSOY/ÖZCEBE, S. 243 Mr =? 300 ÇÖZÜM: C16/20/S420a malzemesi için: γmc =1.5, γms=1.15 fck=16 N/mm2, fctk=1.4 N/mm2 , fyk=420 N/mm2 k1=0.85, Es=2 . 105 N/mm2 fcd=16/1.5=10.67 N/mm2, fctd=1.4/1.5=0.93 N/mm2 fyd=420/1.15=365.22 N/mm2 1. Donatı oranı kontrolü: As=1580 mm2, ρ =1580/(300.450)=0.0117 A’s=520 mm2, ρ’ =520/(300.450)=0.0039 ρ b =0.0131 (dengeli donatı oranları tablosundan) 0.0117-0.0039= 0.0078 <0.85.0.0131=0.0111 (kiriş denge altıdır). ρ = 0.0117<0.02 (max kontrolü) ρ =0.0117>0.8. 0.93/365.22=0.0020 (min kontrolü) Prof. Dr. Ahmet TOPÇU, Betonarme I, Eskişehir Osmangazi Üniversitesi, 2011, http://mmf2.ogu.edu.tr/atopcu 125 2. A’s basınç donatısı akmış varsayalım: σ’s =fyd= 365.22 N/mm2 c=(1580-520)365.22/(0.85.10.67.300.0.85)= 167.4 mm c = ( A s − A s' ) f yd 0 . 85 f cd b w k 1 c − d' 167 . 4 − 30 σ s' = 0 .003 E s 2 2 = 492 .47 N/mm > f yd = 365 . 22 N/mm 3. σ = 0 .003 ⋅ 2 ⋅ 10 c 167 . 4 a) σ’s>fyd , yani A’s donatısı akmıştır. Varsayım, dolayısıyla hesaplanan c doğrudur: ' s 5 M r = 0 . 85 ⋅ 10 . 67 ⋅ 300 ⋅ 0 . 85 ⋅ 167 . 4 ( 450 − 0 . 85 ⋅ 167 . 4 / 2 ) + 520 ⋅ 365 . 22 ( 450 − 30 ) M r = 226437665 N ⋅ mm ≈ 226 .4 kN ⋅ m M r = 0 . 85 f cd b w k 1 c ( d − ÖRNEK: Çift donatılı dikdörtgen kesit Verilenler: İyi denetimli bir şantiyede yapılmış kirişin açıklığına ait kesit boyutları. Donatı: As=1580 mm2 , A’s=1200 mm2. Malzeme: C16/20/S420a k 1c ) + A s' σ s' ( d − d ' ) 2 ERSOY/ÖZCEBE, S. 244 A’s Mr =? İstenen: Kirişin taşıma gücü ne kadardır? As 300 ÇÖZÜM: C16/20/S420a malzemesi için γmc =1.5, γms=1.15 fck=16 N/mm2, fctk=1.4 N/mm2 , fyk=420 N/mm2 k1=0.85, Es=2 . 105 N/mm2 fcd=16/1.5=10.67 N/mm2, fctd=1.4/1.5=0.93 N/mm2 fyd=420/1.15=365.22 N/mm2 Prof. Dr. Ahmet TOPÇU, Betonarme I, Eskişehir Osmangazi Üniversitesi, 2011, http://mmf2.ogu.edu.tr/atopcu 126 1. Donatı oranı kontrolü: As=1580 mm2, ρ =1580/(300.450)=0.0117 A’s=1200 mm2, ρ’ =1200/(300.450)=0.0089 ρ b =0.0131 (ERSOY/ÖZCEBE, S. 235, çizelge 5.1) 0.0117-0.0089= 0.0028 <0.85.0.0131=0.0111 (kiriş denge altıdır). ρ = 0.0117<0.02 (max kontrolü) ρ =0.0117>0.8. 0.93/365.22=0.0020 (min kontrolü) 2. A’s basınç donatısı akmış varsayalım: σ’s =fyd=365.22 N/mm2 c=(1580-1200)365.22/(0.85.10.67.300.0.85)=60 mm c = ( A s − A s' ) f yd 0 . 85 f cd b w k 1 c−d 60 − 30 σ s' = 0 .003 E s = 300 N/mm 2 < f yd = 365.22 N/mm 2 3. σ = 0.003 ⋅ 2 ⋅10 c 60 b) σ’s <fyd, yani A’s donatısı akmamıştır. Varsayım, dolayısıyla hesaplanan c doğru değildir! ' ' s 5 0.85.10.67.300.0.85 c2+(0.003.2.105.1200-1580.365.22) c-0.003.2.105.1200.30=0 2313 c2+142952 c-21600000=0 c2+62 c-9339=0 c= 70 mm 0 . 85 f cd b w k1c 2 + ( 0 . 003 E s As' − As f yd ) c − 0 . 003 E s As' d ' = 0 70 − 30 σ = 0.003 ⋅ 2 ⋅10 = 342.86 N/mm 2 < f yd = 365.22 N/mm 2 70 ' s 5 σ s' = 0 .003 E s c − d' c M r = 0 . 85 ⋅ 10 . 67 ⋅ 300 ⋅ 0 . 85 ⋅ 70 ( 450 − 0 . 85 ⋅ 70 / 2 ) + 1200 ⋅ 342 . 86 ( 450 − 30 ) M r = 240835954 N ⋅ mm ≈ 240 . 8 kN ⋅ m M r = 0 . 85 f cd b w k 1 c ( d − k1c ) + A s' σ s' ( d − d ' ) 2 Prof. Dr. Ahmet TOPÇU, Betonarme I, Eskişehir Osmangazi Üniversitesi, 2011, http://mmf2.ogu.edu.tr/atopcu 127 Tablalı kesitin taşıma gücü Tablalı kesitlerde, eşdeğer dikdörtgen basınç bloğunun tabla içinde kalması veya tabla altına sarkmasına bağlı olarak, iki farklı durum vardır. Basınç bloğu derinliği a ≤ t durumunda basınç bloğu tabla içindedir ve Acc basınç alanı dikdörtgen şeklindedir. a>t durumunda basınç bloğu tabla altına sarkmaktadır ve Acc basınç alanı T şeklinde olur. Bu iki farklı durum aşağıda gösterilmiştir. basınç alanı dikdörtgen d-a/2 d-c h d c a t a=k1c a/2 a/2 basınç bloğu dikdörtgen basınç alanı T şeklinde a ≤ t durumu (basınç alanı ve basınç bloğu dikdörtgen) basınç bloğu T şeklinde 0.85fcd b c= cu=0.003 x x t Acc c a a=k1c G1 iTE TE TE d-c Mr=? a >t durumu (basınç alanı ve basınç bloğu T şeklinde) d-x h d iTE TE Fc=0.85fcdAcc Tablalı kiriş As As bw s> sd As Fs=As fyd bw bw s=fyd Tek donatılı tablalı kesit Deformasyon Kuvvetler Prof. Dr. Ahmet TOPÇU, Betonarme I, Eskişehir Osmangazi Üniversitesi, 2011, http://mmf2.ogu.edu.tr/atopcu 128 Basınç bloğu derinliği a nın irdelenmesi: Basınç bloğu tabla içinde midir? Yoksa tablanın altına sarkıyor mu? Aşağıdaki gibi belirlenebilir. Eksenel denge nedeniyle Fc=Fs dir. Basınç alanını dikdörtgen varsayarak: 0.85fcd a b=AsFyd a= AsFyd / (0.85fcd b) a ≤ t ise basınç alanı tabla içinde kalmaktadır. Basınç alanı ve basınç bloğu dikdörtgendir. a>t ise basınç alanı tabla altına sarkmaktadır. Basınç alanı ve basınç bloğu T şeklindedir. Tablalı kesitlerde donatı oranı ve dengeli donatı oranı: Tablalı kesitlerde donatı oranı dikdörtgen kesitlerdeki gibidir. Dengeli donatı oranı ise farklıdır. A ρ= s Donatı oranı: ρb bağıntısı için bakınız : bw d ERSOY/ÖZCEBE, S. 251-253 0.85 f cd 0.003 b t Dengeli donatı oranı: ρ b = [k1 + ( − 1) ] f yd 0.003 + ε sd bw d ile hesaplanır, burada εsd = fyd/Es dir. Normal yapıların birdöküm kirişlerinde b tabla genişliği büyük, b>bw dir. Basınç gerilmeleri büyük bir alana yayılır. Bu nedenle denge altı koşulu ρ≤ 0.85ρb genelde kendiliğinden sağlanır, kontrole gerek yoktur. Öndöküm (prefabrik) kirişler için aynı şeyi söylemek mümkün değildir. Dikdörtgen kesitlerde b/bw=1 dir. Bundan hareketle, genelleme yapılırsa, b/bw oranı 1 e yakın tablalı kirişlerde ρ≤ 0.85ρb denge altı koşulunun kontrol edilmesi gerekir. Prof. Dr. Ahmet TOPÇU, Betonarme I, Eskişehir Osmangazi Üniversitesi, 2011, http://mmf2.ogu.edu.tr/atopcu 129 Tablalı kesitin taşıma gücü-Basınç alanının dikdörtgen olması durumu ERSOY/ÖZCEBE, S. 247-253 a ≤ t durumu (Acc basınç alanı ve basınç bloğu dikdörtgen): a/2 d-a/2 d-c h d t c a=k1c a=k1c Basınç alanı dikdörtgen olduğundan, tablalı kesitin moment taşıma gücü tek donatılı dikdörtgen kesitin taşıma gücü gibi hesaplanır. Hesapta izlenecek yol aşağıda özetlenmiştir. Basınç alanı dikdörtgen olan tablalı kesitlerde : Basınç alanı : Acc = ab ρ= Eksenel denge : 0.85 f cd a b − As f yd = 0 ρb = Gerilme bloğu derinliği : a= Basınç alanı dikdörtgen olduğundan Dikdörtgen kesitler için verilen ρb değeri geçerlidir As f yd 0.85 f cd b As bw d ε sd = 0.85 f cd 0.003 [k1 ] f yd 0.003 + ε sd f yd Esd Tarafsız eksenin derinliği : c = a/k1 Moment taşıma gücü a 2 : M r = As f yd (d − ) Prof. Dr. Ahmet TOPÇU, Betonarme I, Eskişehir Osmangazi Üniversitesi, 2011, http://mmf2.ogu.edu.tr/atopcu 130 Tablalı kesitin taşıma gücü-Basınç alanının T şeklinde olması durumu ERSOY/ÖZCEBE, S. 247-253 a>t durumu (Acc basınç alanı ve basınç bloğu T şeklinde) : Bu durumdaki tek zorluk T şeklindeki basınç alanının ve bu alanın ağırlık merkezinin (Fc kuvvetinin etkime noktası) hesaplanmasıdır. Bu bağıntılar aşağıda özetlenmiştir. Basınç alanı Eksenel denge b − bw 2 b − bw ) − A s f yd = 0 : 0 . 85 f cd ( ab w + 2 t 2 : A cc = ab w + 2 t A s f yd − 0 . 85 f cd t ( b − b w ) Basınç bloğu derinliği : a = Tarafsız eksenin derinliği : c = a/k1 0 . 85 f cd b w (b − bw )t + bw a Basınç alanının ağırlık merkezi: x = 1 Moment taşıma gücü tablalı kesitlerde : ρ= As bw d ρb = ε sd = 2 2 Basınç bölgesi tabla altına sarkan 0.85 f cd 0.003 b t [k1 + ( − 1) ] 0.003 + ε sd f yd bw d f yd Esd 2 (b − b w )t + bw a : M r = As f yd (d − x) Prof. Dr. Ahmet TOPÇU, Betonarme I, Eskişehir Osmangazi Üniversitesi, 2011, http://mmf2.ogu.edu.tr/atopcu ρb bilgi olarak verilmiştir. Denge altı kontrolüne gerek yoktur. ρb bağıntısı için bakınız ERSOY/ÖZCEBE, S. 251 131 Kutu kesitin taşıma gücü Kutu kesitler gövde genişliği kutu kesitin düşey kollarının toplamı olan eşdeğer tablalı kesit olarak çözülebilir, bw=2b1. Alttaki tabla çekme bölgesinde kalacağından dikkate alınması gerekmez. Bu nedenle, basınç bloğu derinliğinin üst başlığın içinde kalması ve altına sarkması olmak üzere iki farklı durum vardır. a/2 d-a/2 c t d-c h d t a a=k1c a ≤ t durumu (Acc basınç alanı dikdörtgen): Kutu kesitlerde : Basınç alanı : Acc = ab ρ= Eksenel denge : 0.85 f cd a b − As f yd = 0 ρb = Basınç bloğu derinliği : a= Tarafsız eksenin derinliği : Moment taşıma gücü : As f yd ε sd = 0.85 f cd b c = a / k1 As bw d 0.85 f cd 0.003 b t [k1 + ( − 1) ] 0.003 + ε sd f yd bw d f yd Esd ρb bilgi olarak verilmiştir. Denge altı kontrolüne gerek yoktur. a M r = As f yd (d − ) 2 Prof. Dr. Ahmet TOPÇU, Betonarme I, Eskişehir Osmangazi Üniversitesi, 2011, http://mmf2.ogu.edu.tr/atopcu ρb bağıntısı için bakınız ERSOY/ÖZCEBE, S. 251 132 Kutu kesitin taşıma gücü a>t durumu (Acc basınç alanı T): Basınç alanı Eksenel denge Basınç bloğu derinliği Tarafsız eksenin derinliği : : : : Acc = 2ab1 + (b − 2b1 )t 0 . 85 f cd [ 2 ab 1 + ( b − 2 b1 ) t ] − A s f yd = 0 a = A s f yd − 0 . 85 f cd ( b − 2 b1 ) t 1 . 7 f cd b1 a =a/ k1 Basınç alanının ağırlık merkezi: ( b − 2 b1 ) t 2 + 2 b1 a 2 x = 12 ( b − 2 b1 ) t + 2 b1 a Moment taşıma gücü M r = As f yd (d − x) : Prof. Dr. Ahmet TOPÇU, Betonarme I, Eskişehir Osmangazi Üniversitesi, 2011, http://mmf2.ogu.edu.tr/atopcu Kutu kesitlerde : ρ= As bw d ρb = ε sd = b t 0.85 f cd 0.003 [k1 + ( − 1) ] f yd 0.003 + ε sd bw d f yd Esd ρb bilgi olarak verilmiştir. Denge altı kontrolüne gerek yoktur. ρb bağıntısı için bakınız ERSOY/ÖZCEBE, S. 251 133 ÖRNEK: Tablalı kesit ERSOY/ÖZCEBE, S. 249 (benzeri) Verilenler: İyi denetimli bir şantiyede yapılmış kirişin açıklığına ait kesit boyutları, donatısı. Malzeme: C20/25/S420a. İstenen: Kirişin moment taşıma gücü ne kadardır? Donatı oranı kontrolü: ÇÖZÜM ρ= 1885/(300.500) = 0.0126, C20/25/S420a malzemesi için: γmc =1.5, γms=1.15 ρb=0.0164 (basınç alanı dikdörtgen olduğundan tablodan alındı), ρ = 0.0126<0.85.0.0164=0.0139 (denge altı kontrolü) <0.02 (max kontrolü) >0.8.1.07/365.22 = 0.0023 (min kontrolü) fcd=20/1.5=13.33 N/mm2 fctd=1.6/1.5=1.07 N/mm2 k1=0.85 Bu kontrol yapılmayabilirdi Tarafsız eksenin derinliği: c = 60.8/0.85 = 71.5 mm εsd=0.001826 c = a / k1 Moment taşıma gücü: 120 60.8/2=30.4 a ) 2 428.5 mm 30 a=1885.365.22 /(0.85.13.33.1000)=60.8 mm. a < t=120 mm olduğundan basınç bloğu tabla içindedir. Basınç alanı ve bloğu dikdörtgendir. Bu nedenle hesabın devamı a≤ ≤t durumu için yapılmalıdır. Mr=1885.365.22(500-60.8/2)=323.3 kN.m 380 Basınç alanı tabla içinde mi? İrdeleyelim: A s f yd As=1885 mm2 (6φ20 nin alanı) a = 0 . 85 f cd b M r = As f yd ( d − 500-30.4=469.6 mm fyd=420/1.15=365.22 N/mm2 Şekil değiştirme durumu Prof. Dr. Ahmet TOPÇU, Betonarme I, Eskişehir Osmangazi Üniversitesi, 2011, http://mmf2.ogu.edu.tr/atopcu İç kuvvet durumu 134 ÖRNEK: Kutu kesit ERSOY/ÖZCEBE, S. 250 120 60 mm 320 mm 120 Verilenler: İyi denetimli bir şantiyede yapılmış kirişin açıklığına ait kesit boyutları, donatısı. Malzeme: C20//25/S420a. İstenen: Kirişin moment taşıma gücü ne kadardır? ÇÖZÜM C20/25/S420a malzemesi için: γmc =1.5, γms=1.15 fcd=20/1.5=13.33 N/mm2 , fctd=1.6/1.5=1.07 N/mm2 k1=0.85 fyd=420/1.15=365.22 N/mm2, εsd=0.001826 Basınç alanı tabla içinde mi? İrdeleyelim: As=2714 mm2. a=2714.365.22 a = A s f yd 0 . 85 f cd b /(0.85.13.33.600)=145.8 mm. a > t=120 mm olduğundan basınç bloğu tabla altına sarkmaktadır. Basınç alanı ve bloğu T şeklindedir. Bu nedenle hesabın devamı a>t durumu için yapılmalıdır, dikdörtgen basınç alanı varsayımı ve a=145.8 mm değeri geçersizdir. a değeri yeniden hesaplanmalıdır. Prof. Dr. Ahmet TOPÇU, Betonarme I, Eskişehir Osmangazi Üniversitesi, 2011, http://mmf2.ogu.edu.tr/atopcu 135 Donatı oranı kontrolü: ρb = ρ =2714/(2.150.500)= 0.0181 b t 0.85 f cd 0.003 [k1 + ( − 1) ] f yd 0.003 + ε sd bw d ρ b=0.85.13.33/365.22[0.85.0.003/(0.003+0.001826)+(1000/(2.150)-1)120/500)] ρ b =0.0238 ρ =0.0181<0.85.0.0238=0.029 Bu kontrol yapılmayabilirdi (denge altı kontrolü) <0.02 (max kontrolü) >0.8 . 10.67/3652.17= 0.0023 (min kontrolü) a= Basınç bloğu derinliği: a= 2714 ⋅ 365.22 − 0.85 ⋅13.33(600 − 2 ⋅150)120 = 171.6mm 1.7 ⋅13.33 ⋅150 Tarafsız eksenin derinliği: c=171.6 / 0.85=201.9 mm As f yd − 0.85 f cd (b − 2b1 )t 1.7 f cd b1 c = a / k1 Tamamlayınız ! (b − 2b1 )t 2 + 2b1 a 2 x = 12 (b − 2b1 )t + 2b1 a Basınç alanının ağırlık merkezi: (600 − 2 ⋅150)120 2 + 2 ⋅150 ⋅171.6 2 x = 0.5 = 75.2 mm (600 − 2 ⋅150)120 + 2 ⋅150 ⋅171.6 11.33 N/mm2 cu ? G1 M r = As f yd ( d − x ) TE Moment taşıma gücü: M r = 2714 ⋅ 365.22(500 − 75.2) = 421.1 kN ⋅ m Fc=991.1 kN Fs iTE Mr=421.1 kN.m 6 s Deformasyon durumu Prof. Dr. Ahmet TOPÇU, Betonarme I, Eskişehir Osmangazi Üniversitesi, 2011, http://mmf2.ogu.edu.tr/atopcu Fs=2714.365.22=991.2 kN İç kuvvet durumu 136