DENEY-6 KONDANSATÖRÜN DOLMA VE BOŞALMA EĞRİSİ, ZAMAN SABİTİ KAVRAMI Deneyin Amacı: Pasif devre elemanlarından kondansatörün dolma ve boşalma durumlarının incelenmesi ile zaman sabiti kavramının öğrenilmesi. Ön Bilgi: Kondansatör: Klasik olarak bildiğimiz gibi, iki iletken paralel plaka arasına dielektrik (yalıtkan) bir madde konulursa kondansatör oluşur. Kondansatörler bu yalıtkan maddenin türüne göre oldukça çeşitlidir. Şekil 6.1 Kondansatör çeşitleri Kondansatörü oluşturan bu iki iletken plaka arasına sabit bir V gerilimi uygulanırsa oluşan elektrik alan sonucu kondansatör plakasındaki elektronlar kaynağın pozitif tarafına doğru çekilir. 1 Elektronların bu alanı dengelemek amacıyla çekilmesi yük akışıdır. Belirli bir süre sonra iki plaka arasında alanı dengeleyen Q yükü birikir. Biriken Q yükünün uygulanan V gerilimine oranı kondansatörün “sığası” ya da “kapasitesi” olarak adlandırılır, C ile gösterilir, birimi Farad’dır. C=Q/V Q: Biriken yük miktarı (Coulomb) V: Uygulanan gerilim (Volt) C: Sığa ya da kapasite (Farad) Bu kapasite hesaplanmak istenirse aşağıdaki eşitlik kullanılır. C  ε r .ε o . A d o : Boşluğun dielektrik katsayısı: r : Plakalar arasında kullanılan yalıtkan malzemenin bağıl (relative) dielektrik katsayısı 8.854x10-12 F/m (oran olduğu için birimsizdir) A : Plakaların alanı [m] d : Plakalar arası uzaklık [m] Kondasatörün Dolması: Şekil 6.2’deki devre kondansatörün dolması ve boşalması sırasındaki gerilim değişiminin analizi için kullanılacaktır. Anahtar ”1” konumundayken kondansatör E gerilim kaynağı tarafından R direncinin ve kondansatörün C sığasının belirleyeceği hızla dolar. Şekil 6.2 2 Anahtarın ”1” konumu için şu eşitlikler yazılabilir. E  VR (t)  VC (t) E  I R (t).R  VC (t) Seri bağlı olduklarından IR(t) = IC(t)’dir. E  IC (t).R  VC (t) Kondansatörün akım-gerilim ilişkisi gereğince I C (t)  C E  R.C. dVC (t) dt dVC (t)  VC (t) dt diferansiyel denklemi Vc(0)=0 başlangıç koşuluyla çözülürse VC (t)  E(1  e  t RC )  E(1  e  t τ ) (1) şeklindeki, kondansatör geriliminin zamanla değişimini gösteren ifadeye ulaşılır. t=0 için t   için VC(0) = 0 ve VC() = E olur. Yani başlangıçta boş olan (uçları arasında potansiyel fark bulunmayan) ideal kondansatör, potansiyel fark sonucu akan akımla yavaş yavaş dolar (şarj olur) ve belirli bir süre sonra kondansatör gerilimi E değerine ulaşacağından akım akmaz, kondansatör gerilimi bu değerde sabitlenir. R.C çarpımı devrenin zaman sabiti (time constant) olarak adlandırılır ve (Okunuşu: To) ile gösterilir. Birimi saniye´dir. (1) ifadesinde t =  için, 3 VC(t) = E.( 1 – e -/) = E.( 1 – e -1 ) = E.( 1 – 0,368 ) = (0,632).E (2) bulunur. Yani, kondansatör boşken devreye bağlanırsa  saniye sonra kondansatör üzerindeki gerilim E değerinin 0.632’sine ulaşmış olacaktır. Yaklaşık 5 saniye sonunda kondansatörün dolmuş olduğu söylenebilir. 10 9 Kondansator Gerilimi (V) 8 7 6 5 4 3 2 1 0 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 Zaman (s) Şekil 6.3: Kondansatörün dolma eğrisi E=10 V, R=10 k ve C=1000 F için kondansatörün gerilim değişimi (ya da dolma eğrisi) Şekil 6.3’de verilmiştir. Bu değerler için zaman sabiti hesaplanırsa,  = R.C = (10.103).(1000.10-6) = 10 s bulunur. Eğriye dikkat edilirse 10 s sonra kondansatör gerilimi 6.32 V’a ulaşmıştır. 50 saniye sonra kondansatörün 10 V’a ulaştığı söylenebilir. Kondansatörün gerilim değişimini bildiğimize göre akım değişimini de bulabiliriz. Kondansatör geriliminin üstel artması sonucu, bir ucu DC gerilim kaynağına diğer ucu kondansatöre bağlı bulunan R direncinin üzerindeki gerilim de üstel olarak azalır. Bu fark direnç üzerinden geçen akımı ve dolayısıyla seri bağlı olduklarından kondansatörü dolduran akımı oluşturur. Bu nedenle devreden geçen akım, R direnci uçlarındaki potansiyel farkın maksimum olduğu ilk anda en 4 büyük değerini alacak kondansatörün dolmasıyla üstel olarak azalarak sıfıra doğru azalacaktır. Matematiksel olarak ise akan akım kondansatör geriliminin zamana göre türevinin C ile çarpımıdır. Dolayısıyla genel olarak, Vc(t) = E ( 1 – e-t/) ise, t t t  dVC (t) d C.E  τ E  IC (t)  C  C. (E(1  e τ ))  e  e R.C dt dt τ R Ifadesi akım değişimini verecektir. İfadeye dikkat edilirse; t = 0 için IC(0) = E/R olmaktadır. İlk başta kondansatör gerilimi sıfır olduğundan direnç doğrudan toprağa bağlıymış gibi düşünebilirsiniz. Daha sonra, artan kondansatör gerilimiyle akım azalır ve t   için IC() = 0 olur. Yani kondansatör dolduğundan artık içerisinden akım akmaz. -3 KONDANSATOR AKIMI (A) 1 x 10 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0 10 20 30 40 50 60 Zaman (s) 70 80 90 100 Şekil 6.4: Kondansatör dolması sırasında akan akımın zamanla değişimi 5 Kondansatörün boşalması: Şimdi, daha önce E gerilimine kadar dolmuş olan kondansatörü anahtarı ”2” konumuna alarak R direnci üzerinden boşaltalım. Daha önceki elektrik alan sonucu kondansatörün üst tarafında birikmiş olan yükler R direncinin kondansatör plakaları arasında köprü olmasıyla iki tarafta dengelenir ve kondansatör boşalmış olur. Şekil 6.5 Bu defa R direnci üzerindeki gerilim ile C kondansatörü üzerindeki gerilim birbirini izleyerek azalacaktır. VC’nin değişimi (bkz. Şekil 6.6); VC (t)  E.e  t RC  E.e  t  olacaktır. Eşitliği kontrol etmek gerekirse, E gerilimine kadar dolmuş olan kondansatörün boşalması için anahtarın ”2” konumuna alındığı ana t=0 dersek t=0 için Vc(0) = E.e-0 = E t için Vc() = E.e- = 0 olur. 6 10 Kondansator Gerilimi (V) 8 6 4 2 0 0 10 20 30 40 50 60 Zaman (s) 70 80 90 100 Şekil 6.6 R direnci üzerinden akan akım (bkz. Şekil 6.7) ise VC=VR geriliminin R değerine bölünmüşü olacaktır. t t E  E  I R (t)  .e RC  .e  R R -3 1 x 10 AKIM (A) 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0 10 20 30 40 50 60 Zaman (s) Şekil 6.7 7 70 80 90 100 Deneyin yapılışı: Şekil 6.8 Devre bağlantısını Şekil 6.8’de gösterildiği gibi yapınız ve kaynak gerilimini (E) ölçüp kaydediniz. Şekil 6.9 Multimetrenin ölçüm uçlarını Şekil 6.9’daki gibi değiştiriniz. t=0 anında kapasite üzerindeki gerilimi (Vc(0)) okuyunuz. Şekil 6.10 8 Şekil 6.10’daki bağlantıyı yaptığınız anda kronometreyi başlatarak her 5 saniyede bir kondansatör gerilimini kaydediniz. Zaman(s) Gerilim(V) Zaman(s) 5 50 10 55 15 60 20 65 25 70 30 75 35 80 40 90 45 100 Gerilim(V) Şekil 6.11 Kronometreyi sıfırladıktan sonar bağlantıyı şekildeli gibi değiştirerek hemen ardından kronometreyi tekrar başlatınız. Kondansatör gerilimini yine 5’er saniye aralıklarla ölçüp kaydediniz. 9 Zaman(s) Gerilim(V) Zaman(s) 5 50 10 55 15 60 20 65 25 70 30 75 35 80 40 90 45 100 Gerilim(V) Elde ettiğiniz ölçüm sonuçlarıyla dolma ve boşalma sırasındaki kondansatör geriliminin zamanla değişimini çiziniz. Devrenin zaman sabitini grafikten bulunuz. Eleman toleransları aşağıdaki gibidir. Bu durumda devrenin zaman sabitinin hangi değerler arasında ölçülebilieceğini belirleyiniz. R = 10 k +/- % 5 C = 1000 F +/- % 20 Malzeme ve Cihaz Listesi: 1 adet 10kΩ direnç 1 adet 1000µF kapasite (>10V) Breadboard Güç kaynağı Multimetre Kronometre KAYNAKALAR [1] Koray Gürkan, “Kondansatörün dolma ve boşalma eğrisi, zaman sabiti kavramı” İstanbul Üniversitesi Elektrik-Elektronik Mühendsiliği Bölümü Elektrik devreleri deney dökümanı. 10