yerine ÇEMBER denir.

İletişim:
Mail: [email protected]
GEOMETRİ
Alt konu
Analitik Geometri
Çemberin Analitik İncelenmesi-Çember denklemi
ÇEMBER:
ÖRNEK:4
Sabit bir noktaya eşit uzaklıktaki noktaların geometrik
yerine ÇEMBER denir.
Bu tanıma uygun noktaların geometrik yerinin denklemine çemberin analitik ifadesi denir.
ÇÖZÜM:
Şimdi bu koşula uygun öyle P(x,y) noktaları bulalım ki
sabit bir M(a,b) noktasına olan uzaklıkları hep sabit olsun.
y
ÖRNEK:5
P(x,y)
r
M(a,b)
ÇÖZÜM:
O
x
Biz iki nokta arasında ki uzaklığının karesinin
2
2
2
|MP| = (xa) +(yb) olduğunu biliyoruz.
2
2
2
Yani (xa) +(yb) =r işte bu denkleme çember
denklemi denir.
ÖRNEK:6
Kısaca bir çember denklemini yazmak için bir yarıçapını(sabit olan sayıyı) ve merkezinin koordinatlarını bilmek yeterlidir.
ÖRNEK:1
ÇÖZÜM:
ÇÖZÜM:
ÖRNEK:2
ÖRNEK:7
ÇÖZÜM:
ÖRNEK:3
ÇÖZÜM:
ÇÖZÜM:
1
Çalışma Notları
İletişim:
Mail: [email protected]
ÖRNEK:8
ÖRNEK:12
ÇÖZÜM:
ÇÖZÜM:
ÖRNEK:9
ÖRNEK:13
ÇÖZÜM:
ÇÖZÜM:
ÖRNEK:10
ÇEMBER DENKLEMİ YAZMAK:
Sanırım bunu örneklerle anlatmak daha uygun olacak.
ÖRNEK:14
ÇÖZÜM:
ÇÖZÜM:
ÖRNEK:11
ÖRNEK:15
ÇÖZÜM:
ÇÖZÜM:
2
İletişim:
Mail: [email protected]
ÖRNEK:16
ÖRNEK:19
ÇÖZÜM:
ÇÖZÜM:
ÖRNEK:17
(xa) +(yb) =r çember denkleminde çemberin
merkezinin koordinatlarıyla çemberin yarı çapı denkleme bakar bakmaz anlaşılmaktadır. Şimdi bu denklemin parantezlerini açalım.
2
2
2
x + y 2.ax – 2.by +a +b r =0
2
2
2
2
2
Denklem bu şekilde verilirse çemberin merkezinin koordinatıyla yarı çapını nasıl buluruz?
ÖRNEK:20
x + y 6x – 4y +9 =0 çember denkleminde çemberin
yarı çapıyla merkezinin koordinatları nedir?
2
ÇÖZÜM:
2
ÇÖZÜM: Amacımız şu olmalı
2
2
(x?) +(y?) =?
2
ÖRNEK:18
ÖRNEK:21
x + y 2x – 2y–3 =0 çember denkleminde çemberin
yarı çapıyla merkezinin koordinatları nedir?
2
2
ÇÖZÜM:
ÇÖZÜM:
ÖRNEK:22
2
2
x + y +2x – 4y +5 =0 çember denkleminde çemberin
yarı çapıyla merkezinin koordinatları nedir?
ÇÖZÜM:
3
İletişim:
Mail: [email protected]
ÖRNEK:23
Biraz mola verelim devam edeceğiz. 
x + y 6x – 4y +17 =0 çember denkleminde çemberin yarı çapıyla merkezinin koordinatları nedir?
DERS-2
ÇÖZÜM:
BİR ÇEMBER İLE BİR DOĞRUNUN BİRBİRLERİNE
GÖRE KONUMLARI:
2
2
2
2
Ax + Bx.y + Cy + Dx+ Ey +F = 0 denkleminin çember belirtmesi için gerek ve yeter koşul bulalım.
Bir kere A ve C eşit olmalı ve B sıfır olmalıdır. Neden?
Diğer yandan
2
2
olduğundan D + E – 4.F > 0 olmalıdır.
ÖRNEK:24
ÇÖZÜM:
ÖRNEK:1
ÖRNEK:25
ÇÖZÜM: (I.YOL)
ÇÖZÜM:
4
İletişim:
Mail: [email protected]
ÇÖZÜM: (I.YOL)
x + y 2x +4y+k =0
2
2
2
2
(x1) +(y2) =5 – k
M(1,2) noktasının y-x-1 =0 doğrusuna olan uzaklığı
yarıçapa eşit olmalıdır.
d
| 2  1  1|
1 1
 5 k
olup
d  2 2  5  k  k  3 olur.
ÖRNEK:2
ÇÖZÜM:
ÖRNEK:3
ÇÖZÜM:
İKİ ÇEMBERİN BİRBİRLERİNE GÖRE KONUMLARI:
5
İletişim:
Mail: [email protected]
ÖRNEK:6
ÖRNEK:3
ÇÖZÜM:
ÖRNEK:7
ÇÖZÜM:
ÖRNEK:4
ÇÖZÜM:
ÇEMBER ÜZERİNDEKİ BİR NOKTADAN ÇİZİLEN
TEĞET-NORMAL DOĞRUNUN DENKLEMİ.
ÇÖZÜM:
ÖRNEK:5
ÖRNEK:8
2
2
x +y = 25 çemberi üzerinde olup (3,4) noktasından
çizilen teğet doğrunun denklemi nedir?
ÇÖZÜM:
ÇÖZÜM:
BİR NOKTANIN ÇEMBERE GÖRE KUVVETİ.
ÖRNEK:9
x +y 2x +4y 4=0 çemberi üzerinde olup (1,1) noktasından çizilen teğet doğrunun denklemi nedir?
2
2
ÇÖZÜM:
6
İletişim:
Mail: [email protected]
İKİ ÇEMBERİN ORTAK TEĞETLERİ :
ÖRNEK:2
İki çember verildiğinde 5 farklı durumla karşılaştığımızı
biliyoruz. Aşağıdaki şekilleri inceleyelim.
Merkezleri arasındaki uzaklık 25 birim olan iki
çemberin ortak dış teğet uzunluğu 24 birimdir.
Yarıçapları toplamı 17 olan bu iki çemberden küçük
olanın yarıçapı kaç birimdir?
Ortak dış teğet.
M
ÇÖZÜM:
N
M
N
Ortak iç teğet
B
A
M
N
ORTAK İÇ TEĞET UZUNLUĞU
Teğet değme noktalarına A ve B diyelim. [MA nın
uzantısına N den inilen dikme [MA yı K da kessin.MNK
dik üçgen olduğundan her zaman yaptığımız gibi geriye pisagor teoremini kullanmaktan başka bir şey kalmaz. 
|MA|=r1 |NB|= r 2 ise |MK|= r 1 + r 2 olur ki;
Şimdi bu ortak teğet uzunluklarının nasıl bulunabileceğine bakalım.
ORTAK DIŞ TEĞET UZUNLUĞU
M
Teğet değme noktalarına A ve B dersek ABNM dik
yamuk olur. N den MA ya inilen dikme ayağı K ise
MNK dik üçgen olduğundan geriye pisagor teoremini
kullanmaktan başka bir şey kalmaz. 
B
N
A
|MA|=r1 |NB|= r 2 ise |MK|= r 1 – r 2 olur ki;
K
|AB| = |KN| =|MN| – |MK| = |MN| – (r 1  r 2) dir.
2
2
2
2
2
2
M
N
K
ÖRNEK:3
Merkezleri arasındaki uzaklık 13 birim olan iki
çemberin ortak iç teğet uzunluğu 5 birimdir. Bu
çemberlerin yarı çapları toplamı kaç birimdir?
B
A
|AB| = |KN| =|MN| – |MK| = |MN| – (r 1  r 2) dir.
2
2
2
2
2
2
ÖRNEK:1
Birinin yarıçapı diğerenin yarı çapından 3 birim fazla olan iki çember dıştan kesişmemektedir. Ortak
dış teğet uzunluğu 4 birim olan bu çemberlerin
merkezleri arasındaki uzaklık kaç birimdir?
ÇÖZÜM:
B
M
N
ÇÖZÜM:
A
M
N
A
B
7
İletişim:
Mail: [email protected]
ÖRNEK:5
SONUÇ 2: Kuvvet ekseni ortak dış(ya da iç) teğeti ortalar.
x +y 14x 14y 49=0 çemberi ile
2
2
x +y 30x 2y 225=0 çemberinin ortak dış teğet
uzunluğu kaç birimdir?
2
2
ÇÖZÜM:
ÖRNEK:6
x +y 14x 14y 49=0 çemberi ile
2
2
x +y 2x 2y 1=0 çemberinin ortak iç teğet uzunluğu kaç birimdir?
2
2
kuvvet ekseni
ÇÖZÜM:
ÖRNEK:7
x +y 4x 4y 4=0 çemberi ile
2
KUVVET EKSENİ
2
x +y 6x 2y 12=0 çemberinin kuvvet ekseninin
denklemi nedir?
2
Verilen iki çembere eşit kuvvetteki noktaların geometrik yerine iki çemberin kuvvet ekseni denir.
2
ÇÖZÜM:
ÖRNEK:7
x +y x 6y 4=0 çemberi ile
2
2
x +y 2x y 2=0 çemberine eşit kuvvetteki noktaların geometrik yerinin denklemi nedir?
2
2
ÇÖZÜM:
kuvvet ekseni
SONUÇ 1: Kuvvet ekseni merkezler doğrusuna diktir.
ÖRNEK:8
merkezler doğrusu
kuvvet ekseni
ÇÖZÜM:
8
İletişim:
Mail: [email protected]
ÖRNEK: 9
Çember demetiyle ilgili birkaç örnek ve uygulama yapalım.
ÖRNEK : 1
2
2
2
2
x +y =16 çemberi ile (x-8) +y = 32 çemberinin kesim noktalarıyla orjinden geçen çemberin merkezinin
koordinatı nedir?
bulunuz.
ÇÖZÜM:
ÇÖZÜM:
x +y 16=0 çemberi ile (x8) +y – 32=0 denkleminin belirttiği çember demeti
2
2
2
2
ÇEMBER DEMETİ:
k(x +y 16)+(x8) +y – 32=0 olacaktır.
Doğrusal olmayan üç noktadan bir ve yalnız bir çember
geçer. Peki ya iki noktadan kaç çember geçer?
Mademki aradığımız çember bu demetin içinde ve
(0,0) noktasından geçiyor o zaman denklem (0,0) noktasını sağlamalıdır. Yerine yazalım.
2
Elbette ki çok. Ne kadar çok demeyin bayağı bir çok
İşte sabit iki noktadan geçen çemberlerin oluşturduğu
kümeye çember demeti denir.
2
2
2
k(0 +0 16)+(08) +0 – 32=0
2
2
2
2
-16k+32=0  k=2 bulunur.
Yerine yazalım ve denklemi düzenleyelim.
3.x +3y 16x=0  x +y 
2
2
2
2
16
8
x=0 Buradan M( 0)
3
3
bulunur.
ÖRNEK : 2
2
2
2
2
x +y -2x+4y-10=0 çemberi ile x +y +2x-7y+1=0
çemberinin kesim noktalarıyla orjinden geçen çemberin
denklemi nedir?
ÇÖZÜM:
Sabit iki noktadan geçen çemberlerden birinin
denklemi Ç1 diğeri Ç2 olsun. Birinin herhangi bir k
katını diğerine ilave ettiğimizde elde edilen çember
kesinlikle sabit noktalardan geçecektir. O halde iki
çemberin belirttiği çember demetinin denklemi
Ç1 +k Ç2 =0 olacaktır.
ÖRNEK : 3
2
2
2
2
x +y -2x+4y10=0 çemberi ile x +y +2x7y+1=0
çemberinin kesim noktasından geçen ve merkezinin
apsisi 0 olan çemberin denklemi nedir?
SONUÇ:1 Çember demetine ait çemberlerin merkezleri aynı doğru üzerindedir.
ÇÖZÜM:
SONUÇ:2 Çember demetinin kuvvet ekseni tektir.
9