indir

Sinyaller ve Sistemler
Ders 2
Sistem Kavramı ve Sistemlerin Sınıflandırılması
•
Sistem, fiziksel bir sürecin (process) matematiksel modelidir. Sistemler,
sinyaller yardımıyla kontrol edilir. Herhangi bir sistem girişine uyartım
sinyali uygulanırsa , sistem çıkışında tepki sinyali gözlenir.
=T ( )
•
•
Daha açık bir ifadeyle sistem, girişine uygulanan sinyalleri işler. Böylece
uygulanan orijinal sinyalin değiştirilmiş ve/veya dönüştürülmüş yeni bir
versiyonun üretir.
Her sistem kendine özel bir transfer fonksiyonuna T{ } sahiptir ve giriş
sinyallerine değişik bir cevaplar üretir. Birim darbe ve birim basamak gibi
giriş sinyallerine verilen cevaplar sistemleri karakterize eder.
2
Sistemlerin Sınıflandırılması
•
•
Sistemler aşağıda belirtilen özellikleri göz önünde tutularak sınıflandırılır:
– Lineer (Doğrusal) / Non-Lineer (Doğrusal Olmayan)
– Zamanla Değişen / Zamanla Değişmeyen
– Nedensel / Nedensel Olmayan
– Hafızalı / Hafızasız
– Kararlı / Kararsız
– Statik / Dinamik
– Toplu (lumped) parametreli / Dağıtılmış (distributed) parametreli
– Aktif / Pasif
Sistemleri karakterize edilirken genellikle lineer ve zamanla değişmez
olma özellikleri kullanılır.
3
Lineer Sistemler (Linear Systems)
•
Lineer yani doğrusal sistemler süperpoziyon özelliği ile tanımlanır: Buna
göre bir sistem girişine uygulanan
( ) sinyaline cevap olarak
( )
sinyalini ve
( ) sinyaline cevap olarak
( ) sinyalini üretiyorsa,
+ ( ) sinyaline karşılık olarak da
+ ( ) sinyalini üretiyorsa
bu sistem lineer yani doğrusaldır.
=T
•
=T
( )
+
=T
+
( )
Superpozisyon şartına göre sistem girişine ölçekleme yapılarak
+
=2
sinyali uygulandığında, sistem çıkışında
+
=2
sinyali elde edileceğinden lineer sistem özelliği aşağıdaki
gibi genelleştirilebilir:
T .
•
( )
+ .
= .T
( ) + b. T
( ) = .
+ .
Bu şartı sağlamayan sistemler ise lineer olmayan (non-linear) sistemler
olarak isimlendirilir.
4
Örnek
•
Herhangi bir ( ) girişi uygulandığında kutuplanmış ortalama alıcı (biased
averager) devresi içeren sistem çıkışı
= ∫
+ şeklinde
periyot olmak üzere verilmiştir. Sistemin doğrusal olup olmadığını
ispatlayın?
T .
= .T ( )
Bulunan iki ifade birbirlerine eşit olmadığından sistem lineer değil !!!
Fakat, eşitsizlik kutuplama değeri B’den kaynaklanıyor.
B=0 için sistemin lineer olduğu söylenebilir.
5
Örnek
•
İçerisinde ideal diyot barındıran bir sistem (örneğin yarım dalga
doğrultucu) için giriş ve çıkış arasındaki ilişki aşağıda verilmiştir.
=
•
( )
0
( )≥0
ğ
= cos(2
) ve
= 1 için süperpozisyon özelliğini kullanarak
sistemin lineer olup olmadığını belirleyin?
6
T .
+ .
= .T
( ) + b. T
( ) = .
+ .
Sistem lineer değil !!!
7
Örnek
•
İçerisinde aşağıda gösterildiği gibi giriş sinyalini c(t) sinyali ile çarpan bir
karıştırıcı (mixer) bulunduran sistemin lineer olup olmadığını belirleyin?
•
Sistem girişine ( ) ve ( ) sinyallerinin uygulandığını düşünelim.
Sistem LİNEER !!!
8
Zamanla Değişmeyen Sistemler (Time-Invariant Systems)
•
Zamanla değişmeyen sistemler aşağıdaki gibi tanımlanır: Bir sistem
girişine uygulanan ( ) sinyaline cevap olarak
=
( ) sinyalini
üretiyorsa ve zaman ekseninde kaydırılmış (ilerletilmiş veya geciktirilmiş)
( ± ) sinyaline cevap olarak yine zaman ekseninde kaydırılmış
± =
( ± ) sinyalini üretiyorsa zamanla değişmezdir.
•
Zamanla değişmeyen sistemlere örnek olarak giriş sinyalini sabit bir sayı
ile çarpan, sabit kazançlı lineer kuvvetlendirici verilebilir.
=
( ) = . ( )
( ± ) = . ( ± )=
•
±
Buna karşın sistem girişini
= cos
gibi zamana bağlı sinyal ile
çarpan karıştırıcı bir sistem zamanla değişmeyen değildir.
=
( ) =
( ± ) =
. cos( )
±
. cos( )
±
=
±
. cos( ± )
9
Lineer Zamanla Değişen & Değişmeyen Sistemler
•
Hem lineer, hem de zamanla değişmeyen sistemler lineer zamanla
değişmeyen (Linear Time Invariant, LTI) sistemler olarak isimlendirilir.
Linearity
Time Invariance
•
•
Lineer fakat zamanla değişen sistemler ise lineer zamanla değişen
(Linear Time Variant, LTV) sistemler olarak isimlendirilir.
Sistemler için doğrusal olma ve zamanla değişmez olma özellikleri
birbirinden bağımsızdır. Buna göre sistemler özelliklerine göre lineer
olmayan zamanla değişmeyen (Nonlinear Time Invariant) ve lineer
olmayan zamanla değişen (Nonlinear Time Variant) şeklinde
isimlendirilebilir.
10
Örnek
•
RL devresinden oluşan bir LTI sistem için gerilim kaynağı olarak
= ( ) bağlandığında devre üzerinde akım
= 1−
( )
olarak bulunuyor. Devreye gerilim kaynağı olarak
=
− ( − 2)
bağlanırsa akımı bulun?
•
Doğrusal
=
ve zamanla değişmeme özellikleri kullanılırsa
− ( − 2) gerilimi uygulandığında akım ifadesi
− 2 → ( − 2) = 1 −
−
−2 = 1−
devreye
( − 2)
− 1−
(
)
−2
11
Konvolüsyon, Evrişim (Convolution)
•
Lineer zamanla değişmeyen (LTI) sistemlerin girişine uygulanan herhangi
bir sinyale karşılık sistem tarafından üretilecek çıkış hesaplanırken
konvolüsyon integralinden
∗ℎ
=∫
ℎ −
faydalanılır.
•
Konvolüsyon işlemi değişme, birleşme ve dağılma özelliklerine sahiptir:
•
Değişme özelliği kullanılarak sistemin
aşağıdaki gibi ifade edilebilir:
=
∗ℎ
=
( ) giriş sinyaline karşı cevabı
ℎ
−
12
Örnek
•
Konvolüsyon integralinin değişme özelliğini ispatlayın?
13
Örnek
•
Konvolüsyon integralinin birleşme özelliğini ispatlayın?
14
Örnek
•
Konvolüsyonun dağılma özelliğini ispatlayın?
15
Konvolüsyon
•
MATLAB ortamında a ve b konvolüsyonu alınacak vektörler olmak üzere
conv(a,b) komutu kullanarak konvolüsyon işlemi gerçekleştirilebilir.
2
1.5
1
0.5
0
-0.5
-1
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
2
1.5
1
0.5
0
-0.5
-1
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
16
Örnek
•
=
için
=
τ
=
∗ ( ) sinyalini bulun?
τ
−τ τ=
−τ =
=
1
0
1.1 τ =
τ
−τ τ
≥τ≥0
ğ
≥0
Sonuç rampa fonksiyonudur.
17
Örnek
•
=
−
∗ ( − ) sinyali ifadesini bulun?
=f t ∗g t =
τ−
=
1
0
τ
−τ τ=
τ≥
−τ−
ğ
τ−
−τ−
=f t ∗g t =
=
−
τ−
−
=
1
0
1 τ=
.
−
−τ−
1
0
=
τ
τ≤ −
ğ
≤τ≤ −
ğ
−
−
0
−
≥
+
ğ
= ( −
− )
18
Not
•
Herhangi bir sinyalin darbe sinyali ile konvolüsyonu yine kendisidir.
=
∗
=
−
•
+1 ∗
τ
−τ τ
=
−1 =?
+1 ∗
−1 = ( )
19
Darbe Cevabı (Impulse Response)
•
Sürekli zamanlı LTI sistemin girişine dirac delta fonksiyonu
uygulanırsa, sistemin buna karşı ürettiği çıkış sinyali darbe cevabı ℎ( )
olarak isimlendirilir.
ℎ
•
=
( )
Darbe cevabı bilinen bir sistemin girişine ( ) giriş sinyali uygulanırsa,
sistemin buna karşı cevabı konvolüsyon integrali yardımıyla elde edilir.
=
∗ℎ
=
ℎ
−
20
Basamak Cevabı (Step Response)
•
Sürekli zamanlı LTI sistemin girişine birim basamak fonksiyonu
uygulanırsa, sistemin buna karşı ürettiği çıkış sinyali basamak cevabı
(step response) ( ) olarak isimlendirilir.
•
Sistemin darbe cevabı, basamak cevabının zamana göre türevidir.
21
22
Örnek
•
Analog ortalama alıcı devrenin çıkışı
= ∫
olarak veriliyor.
Bu devrenin girişine rampa sinyali uygulanırsa, çıkışını bulun?
=
ℎ
=
( ) =
1
1
0
=
ℎ τ
=
−τ τ=
1
=
1
=
ℎ
−
0< <
=
1
∗ℎ
ğ
−τ τ
( )
= −τ
τ=0 →
d =− τ
−
τ=
<0
−
→
≥0
≥0
=
= −
0
1
( )=
1
=
1
=
<0
=
2
−( − )
= −
2
2
0≤ <
≥
24
Örnek
•
RC devresi içeren bir sistemin girişine aşağıda gösterildiği gibi dikdörtgen
darbe sinyali uygulanıyor. Sistem darbe cevabı ≥ 0 için ℎ
=
olarak veriliyor. Sistem çıkışını bulun?
25
Çözüm
ℎ
=
Bölge
Bölge
Bölge
26
Çözüm
=
0.
(
)
−∞ < < −1
1.
(
)
−1 ≤ ≤ +1
1.
(
)
1 < < +∞
0
1
=
1
(
1−
(
−∞ < < −1
)
−
)
(
−1 ≤ ≤ 1
)
+1 < < +∞
27
Örnek
•
Sürekli zamanlı LTI sistemin darbe cevabı ve sistem giriş sinyali aşağıda
grafiksel olarak gösterilmiştir. Sistem çıkış sinyalini bulun?
=
∗ℎ
=
ℎ
−
t
28
=
=
2.1.
= 2. |
2.1.
= 2. |
0
=2
+1
0< <1
=2
1< <2
29
Hafıza (Memory)
•
•
Hafızasız sistem çıkışı
=
( ) şeklinde sadece o anki sistem
girişine bağlıdır. Burada
sabit kazanç katsayısıdır. Bu sistemim darbe
cevabı ise ℎ
=
( ) şeklinde ifade edilir.
Buna karşın hafızaya sahip sistemlerde çıkış, geçmiş ve gelecek girişlere
bağlı olarak değişir.
≠ 0 için ℎ( ) ≠ 0 şartı sağlanıyorsa sistem
hafızaya sahiptir.
30
Nedensellik (Causality)
•
•
•
Nedensel sistemlerin çıkışı ( ) sadece ≤
için
girişlerine
bağlıdır. Yani sistemin nedensel olabilmesi için çıkışının o anki ve
geçmişteki girişlere bağlı olarak ifade edilmesi gerekir.
Nedensel sistemler, olay gerçekten meydana gelene kadar giriş sinyaline
karşı cevap üretmezler. Yani < 0 için ℎ
= 0 olur.
Nedensellik şartı kullanılarak nedensel bir sistem çıkışı şöyle bulunabilir:
=
•
ℎ
−
=
ℎ
−
Nedensel olmayan sistemlerin pratikte gerçekleştirilmesi, gelecekteki
girişlerinin o anki çıkışında kullanılması sağlanamayacağından mümkün
değildir. Bu tip sistemler sadece matematiksel olarak tanımlanır.
31
Kararlılık (Stability)
•
•
Pratikte kullanılan sistemlerin önemli bir özelliği kararlı (stable)
çalışmalarıdır. Kararlı bir sistem, sınırlı olarak nitelendirilen ve büyüklüğü
her zaman sonlu bir değerden küçük olan giriş sinyaline karşılık yine
sınırlı bir çıkış üretir.
Herhangi bir
sinyali < ∞ olmak üzere ( ) < şartını sağlıyorsa
sınırlıdır. Bu özellik sınırlı giriş, sınırlı çıkış (Bounded Input, Bounded
Output - BIBO) olarak ifade edilir. Sınırlı giriş sınırlı çıkışa sahip sürekli
zamanlı LTI sistemin darbe cevabının integrali alınabilir.
32
Ayrık Zamanlı Sistemler
•
Ayrık zamanlı sistemler, sürekli zamanlı sistemlerde olduğu gibi lineerlik,
zamanla değişme, nedensellik, hafıza ve kararlılık gibi karakteristik
özelliklere sahiptir.
ℎ
•
Lineerlik şartı:
•
Zamanla Değişmezlik Şartı:
= {
}
33
Örnek
•
Aşağıda matematiksel ifadeleri verilen sinyallerin zamanla değişmeyen
sinyaller olup olmadığını inceleyin?
?
( − + 1) =
⏞
−
1
2
[
?
[ −
−
( − + 1)
+ 1] =
⏞
1
2
−
[ −
]
+ 1]
−
34
Ayrık Zamanlı Sinyallerin Konvolüsyonu
•
Ayrık zamanlı sinyallerin konvolüsyonu şöyle tanımlanmıştır:
=
•
=
[ − ]
Ayrık zamanlı bir sinyalin birim darbe dizisi ile konvolüsyonu kendisine
eşittir.
=
•
∗
∗
=
[ − ]
Sürekli zamanda olduğu gibi ayrık zamanda da konvolüsyonun değişme,
birleşme ve dağılma özellikleri mevcuttur.
35
Örnek
•
Ayrık zamanlı bir sistem için giriş sinyali [ ] ve darbe cevabı ℎ[ ]
aşağıda verilmiştir. Sistem çıkışını [ ] bulun?
ve
=ℎ 0 ∗
k=0
diğer tüm k değerleri için
+ ℎ 1 ∗ [ − 1]
k=1
36
Örnek
•
Aşağıda verilen [ ]
sinyallerini çizdirin?
sinyalini ile
,
−
=2 ç
−
37
38
Örnek
•
Ayrık zamanlı bir sistem için giriş sinyali [ ] ve darbe cevabı ℎ[ ]
aşağıda verilmiştir. Sistem çıkışını [ ] bulun?
=
∗ℎ
ℎ 0 = 2, ℎ 1 = 1
=ℎ 0 ∗
ℎ
ℎ
=0
[ − ]
ğ
ü
ğ
+ ℎ 1 ∗ [ − 1]
k=0
= 2.
=
+ 1.
k=1
− 1 = 2. 1,2,3 + 1. 1,2,3 = 2,4,6 + 1,2,3 = {2,5,8,3}
39
Grafiksel Çözüm
40
Örnek
•
Ayrık zamanlı bir sistem için giriş sinyali [ ] ve darbe cevabı ℎ[ ]
aşağıda verilmiştir. Sistem çıkışını [ ] bulun?
=
∗ℎ
=
ℎ
[ − ]
ℎ −1 = 1, ℎ 0 = 2, ℎ 1 = 1, ℎ 2 = −1
+1 +ℎ 0 .
ℎ
=0
+ℎ 1 .
ğ
ü
ğ
=
∗ℎ
= ℎ −1 .
− 1 + ℎ 2 . [ − 2]
=
∗ℎ
= 1. 1,2,3,1 + 2. 1,2,3,1 + 1. 0,1,2,3,1 − 1. {0,0,1,2,3,1}
=
∗ℎ
= {1,4,8,8,3, −2, −1}
41
Ayrık Zamanlı Sistemlerin Seri ve Paralel Bağlantısı
42

Download Report