Kontrol Sistemleri Dr. Uğur Hasırcı Düzce Üniversitesi Bu uygulama saatinde, ders kapsamında şu ana kadar bahsedilen konulara ilişkin MATLAB fonksiyonları tanıtılacaktır. Polinomial Bir Fonksiyonun Tanıtılması P1  s3  7s 2  3s  23 şeklindeki bir fonksiyona ilişkin nesne, aşağıdaki gibi oluşturulur: P1=[1 7 -3 23] Çarpım Şeklindeki Polinomların Tanıtılması poly P2  (s  2)(s  5)(s  6) gibi çarpım formundaki polinamial fonksiyonlara ilişkin nesne, aşağıdaki gibi tanıtılır: P2=poly([-2 -5 6]) Polinomial Köklerinin Bulunması roots 5s 4  7s3  9s 2  3s  2 gibi bir polinom köklerine ilişkin nesne, aşağıdaki gibi oluşturulur: kokler=roots([5 7 9 -3 2]) Yukarıdaki kod parçasının çalıştırılmasından sonra, “kokler” nesnesi, ilgili polinomun köklerine ilişkin bilgiyi taşır, yani her bir elemanı bu polinomun kökleri olan bir vektördür. İki Polinomun Çarpılması conv P3   s3  7s 2  9  s 4  3s 3  6s 2  2s  1 gibi iki ayrı polinomun çarpılmasına ilişkin nesne, aşağıdaki gibi oluşturulur: P3=conv([1 7 0 9] , [1 -3 6 2 1]) 1 Kontrol Sistemleri Dr. Uğur Hasırcı Düzce Üniversitesi Kısmi Kesirlere Ayırma residue Özellikle Ters Laplace Dönüşümünün hesaplanmasında “residue” fonksiyonu oldukça kullanışlıdır. Yani F ( s)  N (s) N (s)  D( s)  s  p1  s  p2  ......... s  pn  gibi bir rasyonel ifadenin Ters Laplace Dönüşümünün hesaplanabilmesi için, bu ifadenin F ( s)  An A1 A2   .......   s  pn   s  p1   s  p2  şeklinde kısmi kesirlerine ayrılması gerekir. Bu işlem MATLAB ortamında [r,p,k]=residue(n,d) kod parçası yardımıyla yapılır. Burada r: rezidüler, yani Ai katsayıları, p: kutuplar, yani pi değerleri k: (eğer varsa) doğrudan(rasyonel olmayan) terim n: pay polinomu nesnesi d: payda polinomu nesnesidir. Buradaki r, p, k, n, d standart olmayan semboller/değişkenlerdir, yani başka isimler de verilebilir. Standart olan “residue” fonksiyonudur. Örnek olarak, bir sistemin transfer fonksiyonu F ( s)  32 s( s  4)( s  8) olsun. Bu fonksiyonun kısmi kesirlerine ayrılmış hali F ( s)  A3 A1 A2 1 2 1      s s  p1 s  p2 s s  4 s  8 şeklindedir. Aynı sonucu MATLAB kodu ile bulalım: 2 Kontrol Sistemleri Dr. Uğur Hasırcı Düzce Üniversitesi n=32; % pay nesnesi p=poly([0 -4 -8]); % payda nesnesi [r,p,k]=residue(n,p) Yukarıdaki kod işletildiğinde r= 1 -2 1 p= 0 -4 -8 k= 0 çıktısı elde edilir. Bu örnek için herhangi bir rasyonel olmayan terim yoktur (k=0). Alıştırma: Aşağıdaki transfer fonksiyonunun kısmi kesirlere ayrılmış formunu bulunuz: F (s)  32 s  s  12s  32  2 3 Kontrol Sistemleri Dr. Uğur Hasırcı Düzce Üniversitesi Transfer Fonksiyonu Nesnesinin Oluşturulması tf T ( s)  3s 2  2s  1 s 3  2s 2  4s  3  pay=[3 2 1]; payda=[1 2 4 -3]; tf(pay,payda)  Transfer function: 3 s^2 + 2 s + 1 --------------------s^3 + 2 s^2 + 4 s - 3 Eğer transfer fonksiyonunun payı ve paydası, çarpanlar şeklinde sunulmuşsa, bu transfer fonksiyonuna ilişkin nesnenin oluşturulması için zpk fonksiyonu kullanılıbilir. Bu fonksiyonun genel formu zpk(pay,payda,K) şeklindedir. Burada pay ve payda sırasıyla sırasıyla sıfırlar ve kutuplardan oluşan vektörler, K ise (eğer varsa) sabit çarpandır. Örneğin, T (s)  20( s  2)( s  3) ( s  7)( s  8)( s  9) şeklindeki bir transfer fonksiyonuna ilişkin nesne şu şekilde oluşturulur: pay=[-2 -3]; payda=[-7 -8 -9]; K=20; T=zpk(pay,payda,K) 4 Kontrol Sistemleri Dr. Uğur Hasırcı Düzce Üniversitesi Durum-Uzay Nesnesinin Oluşturulması ss Durum uzayı formunda sunulmuş 0 1 0 7    x   0 0 1  x  8  u  9 8 7  9  y   2 3 4 x şeklindeki bir sisteme ilişkin nesne şu şekilde oluşturulur: A=[0 1 0 ; 0 0 1 ; -9 -8 -7]; B=[7 ; 8 ; 9]; C=[2 3 4]; D=0; ss(A,B,C,D) Bu kod çalıştırıldığında aşağıdaki çıktıyı üretir: a= x1 x2 x3 x1 0 1 0 x2 0 0 1 x3 -9 -8 -7 b= u1 x1 7 x2 8 x3 9 5 Kontrol Sistemleri Dr. Uğur Hasırcı Düzce Üniversitesi c= x1 x2 x3 y1 2 3 4 d= u1 y1 0 Continuous-time model. tf2ss Transfer fonksiyonu – durum uzayı dönüşümü Transfer fonksiyonu formunda sunulmuş T ( s)  3s 2  2s  1 s 3  2s 2  4s  3 şeklindeki bir sistemin durum uzayı modeli şu şekilde elde edilir: pay=[3 2 1]; payda=[1 2 4 -3]; [A,B,C,D]=tf2ss(pay,payda) Bu kod çalıştırıldığında aşağıdaki çıktıyı üretir: 6 Kontrol Sistemleri Dr. Uğur Hasırcı Düzce Üniversitesi A= -2 -4 3 1 0 0 0 1 0 2 1 B= 1 0 0 C= 3 D= 0 7 Kontrol Sistemleri Dr. Uğur Hasırcı Düzce Üniversitesi ss2tf Durum uzayı – transfer fonksiyonu dönüşümü 0 1 0 7    x   0 0 1  x  8  u  9 8 7  9  y   2 3 4 x A=[0 1 0;0 0 1;-9 -8 -7]; B=[7;8;9]; C=[2 3 4]; D=0; [pay,payda]=ss2tf(A,B,C,D) pay = 0 74.0000 -199.0000 -235.0000 payda = 1.0000 7.0000 8.0000 9.0000 8 Kontrol Sistemleri Dr. Uğur Hasırcı Düzce Üniversitesi Geribesleme nesnesinin oluşturulması feedback pay1=100; payda1=[1 4]; sys1=tf(pay1,payda1); pay2=1; payda2=[1 1]; sys2=tf(pay2,payda2); feedback(sys1,sys2) Transfer function: 100 s + 100 --------------s^2 + 5 s + 104 9 Kontrol Sistemleri Dr. Uğur Hasırcı Düzce Üniversitesi Adım cevabının çizdirilmesi step pay1=100; payda1=[1 4]; sys1=tf(pay1,payda1); pay2=1; payda2=[1 1]; sys2=tf(pay2,payda2); sys=feedback(sys1,sys2) step(sys) Step Response 8 6 Amplitude 4 2 0 -2 -4 0 0.5 1 1.5 Time (sec) 10 2 2.5