˙
19 MART-2 NISAN
ZEYNEP KAYAR
˙ BOL
¨ UM
¨ U
¨
MATEMATIK
˙
˙
LINEER CEBIR-II DERSI˙
¨
ODEV
2
Soru I: C[−π, π] deki ex ve cos 2x fonksiyonları arasındaki uzaklık nedir?
Soru II: C[−π, π] deki x3 ve sin x arasındaki a¸cıyı bulunuz.
Soru III: f (x) = (x − 1)n fonksiyonu [0, 1] de normalle¸stirilmi¸s vekt¨or ise n tamsayısı nedir?
Soru IV: W = {(a, b, a, b)|a, b ∈ R} olsun. W ⊥ (W ’nun ortogonal t¨
umleyeni) i¸cin bir baz (taban) bulunuz ve
(W ’nun ortogonal t¨
umleyeni) nin boyutunu hesaplayınız.
W⊥
Soru V: V = Sp{1, x, x2 }, C[0, 1] in alt uzayı olsun. 1 ve (1 + x) e dik olan V uzayındaki t¨
um vekt¨
orler
k¨
umesini bulunuz.
Soru VI: A¸sa˘gıda verilen k¨
umelerden aynı alt uzayı geren (¨
ureten) birbirine dik vekt¨orler olu¸sturunuz.
1) R3 de (1,−1, 1), (2,0, −1)
1 1
−1
1
2×2
2) R
de
,
0 1
1
−1
3) C[−1, 1] de 1, x, x2 , x3
4) C[0, 2π] de cos2 x, sin2 x
Soru VII: [0, 1] de V = P1 [x] (derecesi ≤ 1 olan polinomların uzayı) reel i¸c ¸carpım uzayının ortonormal bir
bazını (tabanını) bulunuz. (Not: P1 [x] i¸cin verilen standart bazla ba¸slayarak Gram Schmidt y¨onteminin elde
edili¸sini kullanınız.) Daha sonra f (x) = x2 ∈ P2 [x] fonksiyonuna en yakın 1. dereceden p(x) = ax + b polinomunu
bulunuz.
1 2
1
Soru VIII: S = 1, x − , x − x +
k¨
umesinin C[0, 1] in ortogonal alt k¨
umesi oldu˘gunu g¨osteriniz. Bunu
2
6
kullanarak
Z 1
1
1 2
2
1)
2+3 x−
+5 x −x+
dx integralini hesaplayınız.
2
0
6
1
1
2) SpS = Sp 1, x − , x2 − x +
’de x2 ’nin dik izd¨
u¸su
¨m¨
un¨
u bulunuz.
2
6
Soru IX: C[0, 1] vekt¨
or uzayı i¸cinde derecesi ≤ 1 olan hangi polinom fonksiyonu f (x) = x2 ye en yakındır?
Soru X: C[−π, π] vekt¨
or uzayı i¸cinde sin x, cos x, sin 2x, cos 2x, sin 4x, cos 4x fonksiyonlarının hangi lineer bile¸simi
f (x) = 2 sin x + cos x − 5 sin 3x − sin 4x fonksiyonuna en yakındır?
Soru XI: (0, 1, 0, −1, 0, 1), (9, 0, 2, −3, 0, −3) uzayı i¸cinde (0, 1, −1, 1, 1, 0) vekt¨or¨
une en yakın vekt¨or hangisidir?
1
−1
0
2
Soru XII: Sp
,
uzayı i¸cinde
−1
1
−1 1
1 1
vekt¨or¨
une en yakın vekt¨
or hangisidir?
1 1
1
2
˙
19 MART-2 NISAN
˙ BOL
¨ UM
¨ U
¨ LINEER
˙
˙
ZEYNEP KAYAR MATEMATIK
CEBIR-I
Soru XIII: R5 deki (1, 1, 1, 1, 1) vekt¨
or¨
un¨
un
1) (1, 0, 1, 0, 1) ile u
¨reyen alt uzayı
2) (−1, −1, −1, −1, −1) ile u
¨reyen alt uzayı
3) (1, −1, 1, −1, 1), (1, 0, 1, 0, 1) ile u
¨reyen alt uzayı
u
¨zerindeki dik izd¨
u¸su
¨m¨
un¨
u bulunuz.
Soru XIV: f (x) = |x|’in
1) C[−π, π]’nin {sin x, sin 2x}’in gerdi˘
gi (¨
uretti˘gi) alt uzayı
2) C[−π, π]’nin {1, sin x, cos x}’in gerdi˘
gi (¨
uretti˘gi) alt uzayı
3) C[−π, π]’nin {1, cos x, cos 2x}’in gerdi˘
gi (¨
uretti˘gi) alt uzayı
u
¨zerindeki dik izd¨
u¸su
¨m¨
un¨
u bulunuz.
Soru XV: V reel i¸c ¸carpım uzayının ortonormal bir bazı (tabanı) B1 = {v1 , v2 , v3 , v4 } ve W, V ’nin alt uzayı
olmak u
¨zere W ’nun bir bazı (tabanı) B2 = {u1 = v1 , u2 = v1 + v2 + v3 , u3 = v1 + v2 − v3 + v4 } olsun.
1) W i¸cin ortogonal bir baz (taban) bulunuz.
2) W ⊥ (W ’nun ortogonal t¨
umleyeni) i¸cin ortogonal bir baz (taban) bulunuz.
3) v ∈ W ⊥ (W ’nun ortogonal t¨
umleyeni) olsun. v’nin W daki dik izd¨
u¸su
¨m¨
un¨
u bulunuz.
4
−3
Soru XVI: W = Sp
, (0, 1, 0) olsun.
, 0,
5
5
1) v = (1, 2, 3)’¨
un W daki dik izd¨
u¸su
¨m¨
u olan p ∈ R3 u
¨ bulunuz.
2) ||p|| ve ||v|| yi hesaplayınız.
3) v’nin W ’ya olan uzaklı˘
gını bulunuz.
© Copyright 2024 Paperzz
