BELİRSİZ İNTEGRAL
Belirsiz İntegralin Tanımı, İntegral Alma Formülleri
ÖRNEK
Belirsiz İntegralin Tanımı :
f(x) =  ( x3  3x  2)2.dx ise, f'(1) kaçtır? 4
A  R, f: A  R, fonksiyonu verilsin.
 f (x)  dx
şeklinde verilen fonksiyona f(x) in belirsiz
integral denir.
ÖRNEK
f(x) =
 (x
2
 x  4)3.dx fonksiyonunun x = –2 noktasındaki
teğetinin eğimi kaçtır? 216
İNTEGRAL ALMA FORMÜLLERİ

d
dx
 f (x).dx  f (x)

ÖRNEK
 2dx  f (x) c
 df (x) f (x) c
l
ise, f (x) in eşiti kaçtır? 2
ÖRNEK
dx
ÖRNEK / ÖSYM
2
 xf( x)dx  x  x  c ise, f(x) in eşiti kaçtır? 2 
ÖRNEK

1
x
3
3
ifadesinin eşiti nedir? x  c
ÖRNEK
 d (x
4
4
 x ) ifadesinin eşiti nedir? x – x  c
İntegralin içindeki sabit çarpan, integral dışına çarpım

d
3
2
3
2
 (x  x  2).dx ifadesinin eşiti nedir? x + x +2
dx
olarak alınabilir;
 a.f (x).d(x)  a f (x).d(x), (a  R)
İki fonksiyonunun toplamının yada farkının integrali,
fonksiyonların integrallerinin toplamına ya da farkına
eşiitir;
ÖRNEK
f(x) =
d
5x3dx ise, f(2) kaçtır? 40
dx 
 f ( x)  g( x)dx   f ( x)dx   g( x)dx
ÖRNEK
o
o
 3f ( x).dx  3 f ( x).dx
 [2f ( x)  g( x)].dx  2 f ( x).dx   g(x).dx
ifadelerinden hangileri doğrudur? I, II
SORU – 7
ALIŞTIRMALAR – 12 / 4 / K1
 x.f ( x)  2 dx  x
3
 x  c ise, f (3) kaçtır? 8
SORU – 1
 df ( x )
integralinin eşiti nedir? f(x) + c
SORU – 8
 d(
SORU – 2
 d( x
3
3
x  e x ) integralinin eşiti nedir? x  e x  c
2
 x 2 ) integralinin eşiti nedir? x  x  c
SORU – 9
1
d 
1

(tan x  ) dx  integralinin eşiti nedir? tan x 


x
dx 
x

SORU – 3
 f ( x).dx  x
3
 x2  1 ise, f (2) kaçtır? 6
ıı
SORU – 10
f(x) =
SORU – 4
d
dx
 f (x) dx integralinin eşiti nedir? f(x)
d
3( x  1) 3 dx ise, f(1) kaçtır? 24
dx 
SORU – 11
f(x) =  ( x 5  3x  2) 2 .dx ise, f'(1) kaçtır? 0
SORU – 5
 x
2

.f ( x)  1 dx  x2  x  1 ise, f (2) kaçtır? 1
SORU – 12
f(x) =
2
 x  2) 2 .dx fonksiyonunun x = –1
noktasındaki teğetinin eğimi kaçtır? 4
SORU – 6
2
2
x )ı dx ifadesinin eşiti nedir? lnx  cos x  c
turkoglu
 (ln x  cos
 (x
BELİRSİZ İNTEGRAL
İntegral Alma Formülleri
ÖRNEK / ÖSYM
 adx  a  x  c

1
 ( x2  2x  1).dx
işleminin sonucu nedir?
1
 x2  x  c
x
ÖRNEK
o  y  dx  y x c
o  2.dx  2x  c
o  dx  c
ÖRNEK / ÖSYM
o  6dy  6y  c
ifadelerinden hangileri doğrudur? I, II, lV
 (x
2
2x).dx integralinin eşiti x = 1 için 0 ise,
c sabiti kaçtır?
2
3
ÖRNEK
x

x

f
n
n
dx 
3
x  dx işleminin sonucu nedir?
3 2 3
x  x c
7
xn 1
c
n 1
(x)  f ı (x)  dx 
f n 1(x)
c
n 1
ÖRNEK / ÖSYM
ÖRNEK
o
 (4x  3)  dx = 2x
o
 (2x  2)  dx  x
2
2
 3x  c
f ı ( x)  x  1 ve f(2)  1 ise, f(0) kaçtır? 5
 2x  c
ifadelerinden hangileri doğrudur? l, II
ÖRNEK
 3( x
2
 3x  1) 2 (2x  3) dx in eşiti nedir? (x2  3x  1)3c
SORU – 8
ALIŞTIRMALAR – 12 / 4 / K2
2
y  x  2x fonksiyonunun x  1 için 0 a eşit olan
2
integralinde c sabit sayısı kaçtır?
3
SORU / ÖSYM – 1
f ı ( x)  3x 2  4x  3 ve f(0)  2 ise, f(1) kaçtır? 0
SORU – 9
SORU – 2


5
x
1 6
x c
dx ifadesinin eşiti nedir?
60
10
x
x
2
dx integralinin eşiti nedir? 
2
x
c
SORU – 10
SORU – 3
(x 3  x 2 )
x4 x3
dx ifadesinin eşiti nedir?

c

2
8
6

x x
dx integralinin eşiti nedir? x  2 x  c
x
SORU – 11
SORU / ÖSYM – 4
f ı ( x)  3x 2  2x ve f(1)  3 ise, f(1) kaçtır? 1
SORU – 5
x3
 ( x  1)(x  1)dx integralinin eşiti nedir? 3  x  c
2
işleminin sonucu kaçtır? 2x  3x  c
SORU – 7
 1) dx ifadesinin eşiti nedir?
x5
xc
5
SORU – 12
f ı ı( x)  24x  12 , f ı ( 1)  26 , f(1)  2 ise, f(0) kaçtır? 2
dx integralinin eşiti nedir?
f ı ı( x )  30x olmak üzere, f(x) fonksiyonuna A(1, 18)
noktasından çizilen teğetin denklemi y  3x  k ise, f (1)
kaçtır? 4
SORU – 14
8
1 (5x  1)
c
5
8
 (x
2
 1)( x 3  3x  1)5 dx in eşiti nedir?
( x 3  3x  1) 6
c
18
turkoglu
7
 (5x  1)
2
SORU – 13
SORU – 6
 (4x  3)  dx
 ( x  1)( x  1)(x
BELİRSİZ İNTEGRAL
İntegral Alma Formülleri

1
 x dx  ln x  c ( 
f ı(x)
dx  lnIf (x)I c )
f (x)
e

u
du 
1
uı
eu  c
ÖRNEK
ÖRNEK
7dx
 x integralinin eşiti nedir? 7 ln x  c
e
(3 x 1)
dx işleminin sonucu nedir?
1 3 x 1
e
c
3
ÖRNEK
ÖRNEK

dx
1
 5x  1 integralinin eşiti nedir? 5 ln 5x  1  c
  e
x

1
x
  dx işleminin sonucu nedir? e  lnIxI  c
x
ÖRNEK
ÖRNEK

2
2x  4
2
 dx işleminin sonucu nedir? x  4lnIxI  c
x
 2  (e
2x
 ln 2)  dx işleminin sonucu nedir? e
2x
ÖRNEK
ÖRNEK / ÖSYM
dx
 x2
1
integralinin eşiti nedir?
1 x 1
ln
c
2 x 1
e
x2
 2dx işleminin sonucu nedir?
1 x2
e c
x
 xln4  c
SORU – 7
ALIŞTIRMALAR – 12 / 4 / K3
dx
 2x  5
integralinin eşiti nedir? ln 2x  5  c
SORU / ÖSYM – 1
5x  2
 x2
4
dx integralinin eşiti nedir? 3lnIx  2I2lnIx  2Ic
SORU – 8
2 ln x
 e dx integralinin eşiti nedir?
SORU – 2
5dx
 2x  1
integralinin eşiti nedir?
x3
c
3
5
ln 2x  1  c
2
SORU – 9
 (e
SORU – 3

5x 4  6x 2
x3
dx integralinin eşiti nedir?
x
 e y ) dx integralinin eşiti nedir? e x  xey  c
5x 2
 6 ln x  c
2
SORU – 10
SORU – 4
f ı ( x)
3
3
2
 f ( x) dx  x  x  c ve f(1)  e ise, f(1) kaçtır? e
3 x 2  2x  5
c
 3e
3x
dx integralinin eşiti nedir? e 3 x  c
SORU – 12
SORU – 6

1
2
SORU – 11
SORU – 5
(3x  1) dx
x
2
integralinin eşiti nedir? ln 3x  2x  5  c
 2e
2x 33
dx integralinin eşiti nedir? e 2x 33  c
turkoglu

x2
dx integralinin eşiti nedir? x  ln x  1  c
x 1
x
 e e dx integralinin eşiti nedir? e
BELİRSİZ İNTEGRAL
İntegral Alma Formülleri
a

u
 du 
ax
1 au
c )
 c (  a x  dx 
lna
uı lna

 sinu du  

 cosudu 
ÖRNEK
3
x
1
uı
1
uı
cosu  c (  sinuxdx  cosx  c )
sinu  c (  cosx dx  sinx  c )
x
. ln 9.dx integralinin eşiti nedir? 2.3  c
ÖRNEK / ÖSYM
x < 0 için,
ÖRNEK
 d (e
x
 k x ) integralinin eşiti nedir? e x  k x  c
 (cos x  sin x )dx
in eşiti nedir? cosx + sinx +c
ÖRNEK
2 x 1
 2  (e
 cos 2x)  dx in eşiti nedir? e
2x-1
 sin2x  c
ÖRNEK
 (3
ÖRNEK
4
x
.e x .dx integralinin eşiti nedir?
x2
 4  sin x)  dx in eşiti nedir?
( 4e ) x
c
ln 4e
3x 2
 4 cos x  c
ln 3
ÖRNEK
 (3 sin 3x  cos x)  dx
in eşiti nedir? cos3x  sinx  c
SORU – 7
ALIŞTIRMALAR – 12 / 4 / K4
 (3 cos x  2 sin x)dx
in eşiti nedir? 2cosx  3sinx  c
SORU – 1
2
x
.3 x 1 dx integralinin eşiti nedir?
3 .6 x
c
ln 6
SORU – 8
 (4 sin 4x  6 cos 6x)dx
in eşiti nedir? cos4x  sin6x  c
SORU – 2
 (sin x  cos x)
2
dx integralinin eşiti nedir? x 
1
cos 2x  c
2
SORU – 9

  5
x

5 x ln x
1 

c
 dx integralinin eşiti nedir?
ln 5
3
3x 
SORU – 3
 sin x. cos x dx
integralinin eşiti nedir? 
1
cos 2x  c
4
SORU – 10
3
3 x

2
  2  2x  sin x  dx in eşiti nedir? x 2  x  cos x  c


SORU – 4
 d(sin x)
integralinin eşiti nedir? sinx  c
SORU – 11
2
x
x

  cos 2  sin 2  dx integralinin eşiti nedir? x+ cosx + c
SORU – 5
 cos x dy
integralinin eşiti nedir? y.cosx  c
SORU – 12
e
x
. x dx integralinin eşiti nedir?
e x . x
c
ln   1
SORU – 6
integralinin eşiti nedir? 
1
cos(3x  2)  c
3
SORU – 13
2
x
x
. ln 2 dx integralinin eşiti nedir? 2  c
turkoglu
 sin(3x  2) dx
BELİRSİZ İNTEGRAL
İntegral Alma Formülleri

 (1  tan
2
x)dx 


 (1  cot
2
x)dx 

1
cos2 x
1
sin2 x
dx   sec 2 xdx  tanx  c


dx   cosec 2 x  - cotx  c


2
dx  arctanx  c
1
1 x2
dx  arcsinx  c  arccosx  c
ÖRNEK
ÖRNEK
 tan
1
1 x2
x  dx ifadesinin eşiti nedir? tanx  x  c

2x 2  1
x2  1
dx integralinin eşiti nedir? 2x  arctanx  c
ÖRNEK
ÖRNEK
 (tanx  tan
2
x)dx in eşiti nedir? lnIsecxI – x  tanx  c
ÖRNEK
x3
4
4
 (tanx  x  x )dx in eşiti nedir? lnIsecxI  3 – lnx  c

x2
x2  1
dx integralinin eşiti nedir? x  arctanx  c
ÖRNEK
2



1
2
x 1


 dx neye eşittir? arctanx+arcsinx+c
2 
1 x 
1
ÖRNEK
 3(cot
2
x  cos3x)dx in eşiti nedir? 3cotx3xsin3x+c
ÖRNEK

2  1 x2
1 x2
dx integralinin eşiti nedir? 2arcsinx–xc
SORU – 8
ALIŞTIRMALAR - 12 / 4 / K5

2  cos2 x
cos2 x
dx integralinin eşiti nedir? 2tanx – x  c
SORU – 1
 sec
2
x dx ifadesinin eşiti nedir? tanx  c
SORU – 9

SORU – 2

2
1 x2
3  2sin2 x
sin2 x
dx integralinin eşiti nedir? 3cotx  2x  c
dx ifadesinin eşiti nedir? 2arcsinx  c
SORU – 10
 (tan
SORU – 3

1 1 x2
1 x2
2
x  2) dx integralinin eşiti nedir? tanx  x  c
dx integralinin eşiti nedir? arcsinx – x  c
SORU – 11
 (sec
SORU – 4

1 x2
1 x2
2
x  1) dx integralinin eşiti nedir? tanx  x  c
dx integralinin eşiti nedir? arcsinx  c
SORU – 12

SORU – 5

dx
sin2 x.cos2 x
dx
1  16x
2
integralinin eşiti nedir?
1
arcsin4x  C
4
integralinin eşiti nedir? cotx  tanx  c
SORU – 13
 (cosx  tan
SORU – 6

3  2sin2 x
sin2 x
2
x  2) dx in eşiti nedir? sinx  tanx  x  c
dx integralinin eşiti nedir? 3cotx  2x  c
SORU – 14

SORU – 7
1 x2  1 x2
1 x2
sin2 x.cos2 x
integralinin eşiti nedir? cotx  tanx  c
dx in eşiti nedir? x  arcsinx  c
turkoglu

cos2x dx
BELİRSİZ İNTEGRAL
İntegral Alma Yöntemleri – 1
İNTEGRAL ALMA YÖNTEMLERİ
İntegral alma formülleri yeterli olmadığı durumda akıla
gelmelidir.
 f (x).f

ı
(x)dx şeklindeki ifadelerde
u = f(x)  du = f ı (x)dx dönüşümü yapılır.

a2  x 2 şeklindeki ifadelerde x = a.sinu dönüşümü
yapılır.
ÖRNEK

1
dx in eşiti nedir? arcsinx  c
1 x2
ÖRNEK
e
x 3 1 2
.x .dx integralinin eşiti nedir?
1 x 3 1
e
c
3
ÖRNEK

xdx
4x
2
x
integralinin eşiti nedir?  2 cos(arcsin( ))  c
2
ÖRNEK
cos x dx
 3  sin x
integralinin eşiti nedir? lnI3  sinxI  c
ÖRNEK
ÖRNEK
3ln x
3ln x
 x dx integralinin eşiti nedir? ln 3  c

dx
16  x
2
x
integralinin eşiti nedir? arcsin( )  c
4
SORU – 9
ALIŞTIRMALAR - 12 / 4 / K6
 6( x
 x)2  (2x  1) dx in eşiti nedir? 2( x 2  x)3  c
2
SORU / ÖSYM – 1
 f (x)  f
ı
(x)  dx işleminin sonucu nedir?
f 2 (x)
c
2
SORU – 10
2
 3 sin
SORU / ÖSYM – 2
 3( x
2
x cos x dx integralinin eşiti nedir? sin3 x  c
 3x  1) 2 (2x  3)dx in eşiti nedir? ( x 2  3x  1) 3  c
SORU – 11
SORU / ÖSYM – 3
2
  cos(cos
x) sin 2xdx in eşiti nedir? sin(cos2 x)  c
9x

x2
3
x tan x dx integralinin eşiti nedir?
1
sec 3 x  c
3
SORU – 12
SORU – 4
2
 sec
x
x
dx in eşiti nedir?  cot(arcsin( ))  arcsin( )  c
3
3
e
sinx
cos x dx integralinin eşiti nedir? e sinx  c
SORU – 13

SORU / ÖSYM – 5
5 x 2dx
4
3
x 2
integralinin eşiti nedir?
d(ln x )
1  ln 2 x
integralinin eşiti nedir? arctan(lnx)  c
20 4 3
( x  2)3  c
9
SORU – 14

dx
(2x  1)
integralinin eşiti nedir? 
2
1
c
2(2x  1)
SORU / ÖSYM – 6

f ı (x)
f ( x)
2
dx   2 dx ve f (0) 
1
1
ise, f(3) kaçtır? 
2
4
SORU – 15

SORU / ÖSYM – 7
2
 sin
x. cos xdx integralinin eşiti nedir?
dx
16  9x
2
integralinin eşiti nedir?
1
3x
arcsin
c
3
4
sin3 x
c
3
SORU – 16

SORU – 8
x 2  2x  3
1 x
6
integralinin eşiti nedir?
1
arcsin x 3  c
3
2
integralinin eşiti nedir? ln x  2x  3  c
turkoglu

( x  1) dx
x 2 dx
BELİRSİZ İNTEGRAL
İntegral Alma Yöntemleri – 2
ÖRNEK

2
2
x  a şeklindeki ifadelerde
a
x=
dönüşümü yapılır.
cosu

dx
(4  x2 ) 4  x2
integralinin eşiti nedir?

1 
x
c
4  x2  4 


ÖRNEK

dx
2
x x 1
integralinin eşiti nedir? arccos
1
c
x
ÖRNEK

dx
2
x x  16
n
integralinin eşiti nedir?
ax  b
şeklindeki ifadelerde (n, m)okek = p ise,
ax  b
p
ax  b = u dönüşümü yapılır.

m
1
4
arccos  c
4
x
ÖRNEK


3
2x  1  1
2x  1
dx in eşiti nedir?
36
(2x  1)5  6 (2x  1)3  c
5
x 2  a2 şeklindeki ifadelerde
x = a.tanu dönüşümü yapılır.
ÖRNEK

ÖRNEK

dx
2
(1  x ) 1  x
2
integralinin eşiti nedir?
x
1 x2
c
3x  1  1
3
3x  1
dx neye eşittir?
26
1
(3x  1)7  3 (3x  1) 2  c
7
2
SORU – 6
ALIŞTIRMALAR – 12 / 4 / K7

SORU – 1

dx
x2 4  x2
x2  4
c
4x
integralinin eşiti nedir? 
dx
1
integralinin eşiti nedir? arccos( )  c
x
x x 1
2
SORU – 7
SORU – 2

dx
x
2
2
x 1
2x  1  2

integralinin eşiti nedir? 
3
2x  1
7
dx neye eşittir?
2
3
3
(2x  1) 6  (2x  1) 3  c
7
2
2
x 1
c
x
SORU – 8
SORU – 3

x 1 1

5
3
4
4
dx neye eşittir? ( x  1) 4  ( x  1) 4  c
4
5
3
x 1

x. x
6
x
3
dx integralinin eşiti nedir?
x2 x2  1
integralinin eşiti nedir? 
x2  1
c
x
SORU – 9
SORU – 4
3
dx
3 x
5
5
c

3
x 1 2
x 1
5
dx neye eşittir?
1
6
( x  1) 6  4( x  1) 2  c
5
SORU – 10

 2

x2  4
x 4
2
dx in eşiti nedir? 2
 arccos   c

x
2
x



1
integralinin eşiti nedir? sin(arccos )  c
x
x 1
dx
x
2
2
turkoglu
SORU – 5
BELİRSİZ İNTEGRAL
İntegral Alma Yöntemleri – 3
ÖRNEK

t
 sin x dx
ya da
t
 cos x dx
şeklindeki ifadeler
türevlenebilir hale getirilir.
7
 cos
x . sin3 x dx in eşiti nedir? 
cos8 x cos10 x

c
8
10
ÖRNEK
3
 cos
x  dx integralinin eşiti nedir? sin x  31 sin3 x  c

ÖRNEK
3
 sin
x dx integralinin eşiti nedir?  cos x 
1
cos3 x  c
3
t
ç
 sin .cos x dx
yada
ç
t
 sin cos x dx
şeklindeki
ifadelerde kuvveti tek olan terim türevlenebilir hale
getirilir.
ÖRNEK
2
 cos

t
t
 sin .cos x dx
x  sin3 x dx in eşiti nedir?
1
5
cos5 x  31 cos3 x  c
şeklindeki ifadelerde üssü küçük olan
terim türevlenebilir hale getirilir.
ÖRNEK
ÖRNEK
5
 sin
x . cos3 x dx in eşiti nedir?
6
8
sin x sin x

c
6
8
4
3
 cos x. sin x dx in eşiti nedir?
 cos5 x cos7 x

c
5
7
SORU – 6
ALIŞTIRMALAR – 12 / 4 / K8
3
 cos
x. sin x dx in eşiti nedir? 
SORU – 1
5
 sin
x dx in eşiti nedir?  cos x 
1
cos4 x  c
4
1
2
cos3 x  cos5 x  c
5
3
SORU – 7
5
3
 sin x. cos x dx in eşiti nedir?
sin6 x sin8 x

c
6
8
SORU – 2
 sin
4
sin5 x sin7 x

c
5
7
x. cos3 x dx in eşiti nedir?
SORU – 8
4
 sin
x. cos x dx in eşiti nedir?
sin5 x
c
5
SORU – 3
7
 sin
x . cos x dx in eşiti nedir?
sin8 x
c
8
SORU – 9
  3 sinx. cos
2
x dx in eşiti nedir? cos3 x  c
SORU – 4
x dx in eşiti nedir? sin x 
2
1
sin3 x  sin5 x  c
3
5
SORU – 10
6
 7 sin
SORU – 5
1
1
3
7
 cos x. sin x dx in eşiti nedir? 9 cos x  7 cos x  c
6
3
x. cos x dx in eşiti nedir? sin7 x  c
SORU – 11
2
 sin
x. cos x dx in eşiti nedir?
sin3 x
c
3
turkoglu
5
 cos
BELİRSİZ İNTEGRAL
İntegral Alma Yöntemleri – 4

 sin
ç
x dx ,
 cos
ç
x dx ya da
ifadelerde sin2 x 
dönüşümü yapılır.
ç
ç
 sin .cos x dx şeklindeki
1  cos2x
1  cos2x
ya da cos2 x 
2
2

a,bN iken
 sinax.cosby dx ,  sinax.sinby dx
 cosax.cosby dx
yada
şeklindeki ifadelerde trigonometrik
dönüşüm formülleri* kullanılır.
1
sin(x  y)  sin(x  y)
2
1
* sinx.siny   cos(x  y)  cos(x  y)
2
1
* cosx.cosy  cos(x  y)  cos(x  y)
2
* sinx.cosy 
ÖRNEK
2
 sin
xdx in eşiti nedir?
x 1
 sin 2x  c
2 4
ÖRNEK
 sin 5x. cos x dx
 cos 6x cos 4x

c
12
8
in eşiti nedir?
ÖRNEK
2
 sin
x . cos2 x dx integralinin eşiti nedir?
x sin 4x

c
8
32
ÖRNEK
 sin x. sin9x dx
in eşiti nedir?
sin 8x sin10x

c
16
20
ÖRNEK

1  x 2 dx integralinin eşiti nedir?
x x
 sin 2x  c
2 4
ÖRNEK
 cos 3x. cos x dx
in eşiti nedir?
sin 4x sin 2x

c
8
4
SORU – 6
ALIŞTIRMALAR – 12 / 4 / K9
2
 4 sin
SORU – 1
 cos 4n. cos 6n.dn
in eşiti nedir?
t dt in eşiti nedir? 2t  sin 2t  c
sin10n sin 2n

c
20
4
SORU – 7
 sin3x. cos x dx
in eşiti nedir? 
cos 2x cos 4x

c
4
8
SORU – 2
2
 sin
2x dx in eşiti nedir?
x sin 4x

c
2
8
SORU – 8
 cos
SORU – 3
 sin 6k. cos 3k.dk
in eşiti nedir? 
2
x sin 4x

c
2
8
2x dx in eşiti nedir?
1
1
cos 9k  cos 3k  c
18
6
SORU – 9
 cos 2x. cos x dx
in eşiti nedir?
sin x sin 3x

c
2
6
SORU – 4
 cos
4
t dt in eşiti nedir?
t sin 2t t sin 4t

 
c
4
4
8
32
SORU – 10
 cos
2
3x. sin2 3x dx in eşiti nedir?
x sin12x

c
8
96
SORU – 5
in eşiti nedir? 
cos 6x cos 2x

c
12
4
SORU – 11
4
 sin
x  dx in eşiti nedir?
3
8
x
1 sin 2x  1
4
32
sin 4x  c
turkoglu
 sin 2x. cos 4x dx
BELİRSİZ İNTEGRAL
Kısmi İntegral Yöntemi
KISMI İNTEGRAL YÖNTEMİ
ÖRNEK
 arctan x dx
 f (x).g(x).dx
neye nedir? x  arctan x  21 ln(1  x2 )  c
şeklindeki ifadelerde
 f (x).g(x).dx  u.v   v .du
parçalama yöntemi kullanılır. (Burada dv olarak seçilen
parçanın kolaylıkla integrali hesaplanabilecek şekilde
seçilmesi ve
 v .du,  u dv
ye göre daha az karmaşık
olması önemlidir. Bu seçimi kolaylaştırmak için LAPTÜ
sözcüğü çoğu zaman işe yarar. LAPTÜ sözcüğünde
önce gelen fonksiyona “u” denir.
ÖRNEK
 x  sin x dx
integralinin eşiti nedir? –xcosx  sinx  c
ÖRNEK
 x  ln x dx
integralinin eşiti nedir?
1  x2  ln x  1
2
4
Bazı integral sorularının çözümü için pratik yol
kullanabiliriz. Pratik yolu kullanmak istediğimiz
integralde;
ÖRNEK
 ln x dx
 x2  c
integralinin eşiti nedir? x  ln x  x  c


Logaritma yada ters trigonometrik çarpan
olmamalıdır.
Çarpanlardan biri polinom fonksiyon olmalıdır.
ÖRNEK
 ( 2x  x
ÖRNEK
xe
x
x
x
dx integralinin eşiti nedir? xe  e  c
2
)e x dx in eşiti nedir? x 2 e x  c
SORU – 6
ALIŞTIRMALAR – 12 / 4 / K10
 x.3
SORU – 1
x
x.3 x
3x

c
ln 3 ln 2 3
dx integralinin eşiti nedir?
x3
1
ln x  x 3  c
3
9
2
 x . ln x dx integralinin eşiti nedir?
SORU – 7
 ( x  1). cos x dx
in eşiti nedir? (x  1).sinx  cosx  c
SORU – 2
 x  cos x dx
integralinin eşiti nedir? xsinx  cosx  c
SORU – 8
x
3
3
2
x
.e x dx in eşiti nedir? (x  3x  6x  6)e  c
SORU – 3
 x.e
5x
dx integralinin eşiti nedir?
1
1 5x
x.e 5 x 
e c
5
25
SORU – 9
 ( x  1). sec
2
x dx in eşiti nedir? (x1)tanx  lncosx c
SORU – 4
 (x
3
3
2
x
 x  1)e x dx in eşiti nedir? (x  3x  5x  4)e  c
SORU – 10
 x. sin3x dx
in eşiti nedir?
x. cos x sin 3x

c
3
9
SORU – 5
2 x
2
x
e dx integralinin eşiti nedir? (x  2x  2)e  c
SORU – 11
 log x dx
in eşiti nedir? x.logx  x + c
turkoglu
x
BELİRLİ İNTEGRAL
Belirli İntegral Alma Formülleri
BELİRLİ İNTEGRAL
ÖRNEK / ÖSYM
1
f(x) fonksiyonu [a, b] aralığında sınırlı ve sürekli olması
şartıyla f(x) eğrisi,
x = a ve x = b doğruları ve x
ekseni ile sınırlanan bölgenin alanına f(x) fonksiyonunun
bu aralıktaki belirli integrali denir.
b
F ı ( x )  f ( x )   f ( x )dx  F( x )
a
b
a
e
3x
dx integralinin eşiti nedir?
0
 F(b)  F(a)
şeklinde gösterilir. Bu integralde a ya alt sınır, b ye de
üst sınır denir.
ÖRNEK / ÖSYM
/2
 (cos x  sin x) dx
f
ı
integralinin eşiti nedir? 0
0
ÖRNEK
q
1 3
(e  1)
3
( x ) dx integralinin eşiti nedir? f(q) – f (p)
p
ÖRNEK

2
 (2  tan
x )dx integralinin eşiti nedir? 
0
BELİRLİ İNTEGRAL ALMA FORMÜLLERİ
Belirsiz İntegral alma formülleri başlığında öğrendiğimiz
İntegral Alma Formülleri akıla gelmelidir.
ÖRNEK
ÖRNEK
2
1
 ( x  5) dx
integralinin eşiti nedir? 8

1/ 3
1
1 x2
dx integralinin eşiti nedir?

12
0
ÖRNEK / ÖSYM
1
d( x 2 )
 x2  1
0
ÖRNEK
1
integralinin eşiti nedir? ln2

0
1
1 x2
dx integralinin eşiti nedir?

2
SORU / ÖSYM – 7
ALIŞTIRMALAR – 12 / 4 / K11
a > 0, b > 1 olmak üzere,
1
SORU / ÖSYM – 1
f(x) =
1
ise,
x 1
2
 d( f
1
x
1
( x )) kaçtır? 
a
0
1
2
1
1
0
0
dx. x b dx   x a x b dx ise, b kaçtır? 0
SORU / ÖSYM – 8
e 1
SORU / ÖSYM – 2

2
1
0
x dx
1
integralinin eşiti nedir?   ln 2
2
x 1

0
x
dx integralinin eşiti nedir? e  2
x 1
SORU / ÖSYM – 9
3
SORU / ÖSYM – 3
b
 (2x  3)dx  50
ve b  a = 5 ise, a  b kaçtır? 7
a
a

 x dx   x 3 dx ise, pozitif a kaçtır? 2




0
0

a
SORU / ÖSYM – 10
SORU – 4
1
 (e
0
x 1
1
 1) dx integralinin eşiti nedir? 2 
e

tan2 x dx integralinin eşiti nedir? 1 
0
b
 ( 2x  x
2
)dx integralinin alabileceği
0
en büyük değer kaçtır? 4/3
SORU / ÖSYM – 11
SORU / ÖSYM – 5
/ 4
b > 0 olmak üzere,
3x , x 2
f ( x)  
2x  3 , x  2

4
için
3
 f ( x  1)dx
integralinin eşiti nedir? 6
1
/2

0
(cos2
x
x
 sin2 ) dx integralinin eşiti nedir? 1
2
2
SORU – 12
e3 1

2
dx
integralinin eşiti nedir? 3
x 1
turkoglu
SORU / ÖSYM – 6
BELİRLİ İNTEGRAL
Belirli İntegral Alma Yöntemleri
BELİRLİ İNTEGRAL ALMA YÖNTEMLERİ
ÖRNEK / ÖSYM
İntegral alma formülleri yeterli olmadığı durumda belirsiz
integral başlığında öğrendiğimiz İntegral Alma
Yöntemleri akıla gelmelidir.
 3x
1
3  x 2 dx integralinin eşiti nedir? 8  3 3
0
ÖRNEK
1
 (2x  3)( x
2
 3x  2)4 dx integralinin eşiti nedir? 
0
32
3
ÖRNEK / ÖSYM
e2
dx
 x(ln x ) 2
integralinin eşiti nedir?
e
1
2
ÖRNEK
1
 (x
3
 1) 2 3x 2 dx integralinin eşiti nedir?
0
7
3
ÖRNEK / ÖSYM
0<a<
ÖRNEK
1
e
( x4 ) 3
x dx integralinin eşiti nedir?
0

için,
3
a
4
 (tan
x  tan2 x ) dx 
0
e 1
4
ÖRNEK
2

0
ÖRNEK / ÖSYM
1
( x 2  3)2xdx
 (x 2
0
 3) 2  1
integralinin eşiti nedir?
1 17
ln
2 10
4  x 2 dx integralinin eşiti nedir? 
1

ise, a kaçtır?
4
3
SORU / ÖSYM – 7
ALIŞTIRMALAR – 12 / 4 / K12
f(x) in analitik düzlemdeki eğrisinin x 1  a, x2  b noktalao
o
rındaki teğetlerinin eğim açıları sıra ile 45 ve 60 dir.
SORU / ÖSYM – 1
b
f ı ı( x ) sürekli bir fonksiyon ise,
 / 12
f
sin3 2x. sin 4x dx ifadesinin eşiti nedir? 1/160

ı
( x )f ı ı( x ) dx kaçtır? 1
a
0
SORU / ÖSYM – 8
ln3
 (e

sin x dx
cos2 x
0
x
 e x ) dx integralinde e  t dönüşümü yapılırsa
0
SORU / ÖSYM – 2
/3
3x
hangi integral elde edilir?
integralinin eşiti nedir? 1
3
 (t
2
 1) dt
1
SORU / ÖSYM – 9
2 /2
 sin(arccosx ) dx
4
6 x dx
0
2x  1

integralinde t  arccosx dönüşümü
0
SORU / ÖSYM – 3
yapılırsa hangi integral elde edilir?
integralinin eşiti nedir? 20
/ 4

 sin2 t dt
/2
SORU / ÖSYM – 10

 (sin x  cos x ) dx
SORU / ÖSYM – 4
3
 f ( x )dx  5
1
1
integralinde t    x dönüşümü
/2
olduğuna göre,
yapılırsa hangi integral elde edilir?
/2
 (sin t  cos t ) dt
0
 (4  f (2x  1)) dx
integralinin eşiti nedir?
0
13
2
SORU / ÖSYM – 11
/2

( 4  x 2  x ) dx integralinin eşiti nedir?
0

2
SORU / ÖSYM – 5

2
3  cos2 x. sin x dx integralinin eşiti nedir? 1
0
SORU / ÖSYM – 12
4
[
16  x 2  ( 4  x )] dx integralinin eşiti nedir? 4(  2)
0
SORU / ÖSYM – 6
 cos
0
2
x dx integralinin eşiti nedir?

4
SORU / ÖSYM – 13
5/ 2

0
( 25  x 2  x ) dx integralinin eşiti nedir?
25
8
turkoglu
/2
BELİRLİ İNTEGRAL
Belirli İntegral Özellikleri – 1
BELİRLİ İNTEGRAL ÖZELLİKLERİ


b
b
b
a
a
a
a < b < c olmak üzere,

 [ f ( x)  g( x) ] dx   f ( x) dx   g( x) dx
b
b
a
a
c
b
c
a
a
b
 f ( x) dx   ( x) dx   f ( x) dx
ÖRNEK
 m.f ( x) dx  m f ( x) dx, (m  R)
23
30
37
17
23
30
 x dx   x dx   x dx
toplamı kaçtır? 540
ÖRNEK

2

0

2

cos x dx   sin x dx toplamı kaçtır?
2
0
2
ÖRNEK
2

x 2  3 x , x  2
f ( x)   x

 2 . ln 2 , x  2
3
 f (x)dx
ise,
kaçtır?
1
b
 If( x )I dx

65
6
integrali kritik noktalardan parçalanır.
a

a
 f ( x ) dx  0
a
ÖRNEK / ÖSYM
1

b
a
a
b
 IxIdx
 f ( x) dx   f ( x ) dx
ÖRNEK / ÖSYM
ÖRNEK
2
 ( 2x
0
2
integralinin eşiti nedir? 1
1
0
1/ 2
 x  4) dx  2 ( x  x ) dx toplamının eşiti kaçtır? 2
2
 I 2x  1I dx
2
integralinin eşiti nedir? 1
1/ 2
ÖRNEK / ÖSYM
/2

0
sin x 
1

dx integralinin eşiti nedir? 3 
1
12
2
SORU / ÖSYM – 5
ALIŞTIRMALAR – 12 / 4 / K13
/2
 (cos x  sin x) dx
/3

integralinin eşiti nedir? 0
0
SORU / ÖSYM – 1
1  cos 2x dx integralinin eşiti nedir?
0
2
2
SORU – 6
3
SORU – 2
/2

 (x
1  cos 2x dx integralinin eşiti nedir? 2  1
2
 e x  2 x  ln 2x  tan2 x ) integralinin eşiti nedir? 0
3
/4
SORU – 7
SORU – 3

, x 1
e x 1  1
f ( x)  
2

(1  cot 45 x ) , x  1
2
 f (x)dx
neye eşittir? 3 
0
 (cos x  sin x) dx
/2
integralinin eşiti nedir? 3
1
e
SORU / ÖSYM – 4

 I cos xIdx
0
SORU – 8
integralinin eşiti nedir? 2
ln 4
 Ie
x
I dx integralinin eşiti nedir? 3
0
turkoglu
ise,
3
2
BELİRLİ İNTEGRAL
Belirli İntegral Özellikleri – 2
BELİRLİ İNTEGRAL ÖZELLİKLERİ
f(x) tek fonksiyon ise,


a
 f ( x ) dx  0
dır.
v( x )
d
 f (t ).dt  v( x).f (v( x))  u( x).f (u( x))
dx u( x )
a
f(x) çift fonksiyon ise,

a
a
a
0
 f ( x ) dx  2 f ( x) dx dir.
ÖRNEK / ÖSYM
d
dx
5 3

  ( x  x 2 ) dx  integralinin eşiti nedir? 0
 2

ÖRNEK
20
 (x
3
 sin x ) dx integralinin eşiti nedir? 0
 20
ÖRNEK
/
f (x) fonksiyonu çift fonksiyondur.
f(0) = 4 ve f(2) = 6 ise,
2
 f (x)dx
2
integralinin eşiti nedir? 4
ÖRNEK / ÖSYM
f (x) 
x

0
t 2 dt
3
t 4
ise, f ı (1) nin değeri nedir?
1
5
SORU – 7
ALIŞTIRMALAR – 12 / 4 / K14
x

f ( x) 
2
SORU / ÖSYM – 1
f ( x) 
ln x

( t 3  t 2 ) dt ise, f ı ( 1) in değeri kaçtır? 2
2
e t dt ise, f ı (e) nin değeri nedir? 1
1
SORU – 8
5
 (x
SORU – 2
2
 (x
4
 x 2 ) dx integralinin eşiti nedir?
2
5
 x 7 ) dx integralinin eşiti nedir? 0
5
136
15
SORU / ÖSYM – 9
/6 
SORU – 3

0

d t
1
 (  cos 3x dx ) dt integralinin eşiti nedir?
3
 dt 0

3 x 1

f ( x) 
x
t 3 dt ise, f ı (1) in değeri kaçtır? 190
2
SORU – 10
SORU – 4
3
 (3 x
7
f (x) 
x2
e
t
dt ise, f ı (0) in değeri nedir? 2
2x
 1) dx integralinin eşiti nedir? 0
3
SORU – 5
f (x) 
x3

( t 2  1) dt ise, f ı (2) in değeri kaçtır? 780
SORU – 11
2x
 cos t dt
ifadesinin türevi nedir? 2cos2x  cosx
x
1
1
 (x
1
5
 x 3  x ) dx integralinin eşiti nedir? 0
SORU – 12

2
 (x


2
59
 tan x ) dx integralinin eşiti nedir? 0
turkoglu
SORU – 6
BELİRLİ İNTEGRAL
İntegral İle Alan Hesabı
İNTEGRAL İLE ALAN HESABI
b
A   f ( x ) dx
ÖRNEK / ÖSYM
5
 f (x)dx
Şekle göre,
integralinin eşiti nedir? 11
2
a
b
B    f ( x ) dx
a
ÖRNEK / ÖSYM

doğrusu ve 0x ekseni ile
2
2
sınırlanan alan kaç br dir? 1
y = sin2x eğrisi, x 
b
C   f ( y ) dy
a
ÖRNEK
3
a > 0 koşulu ile y  x  ax eğrisi, x ekseni ve x  2
2
doğrusu ile sınırlı alan 8 br ise, a kaçtır? 2
b
D    f ( y ) dy
a
ÖRNEK / ÖSYM
ÖRNEK / ÖSYM
2
2
x = 2y ve y = 2x eğrileri ile sınırlanan bölgenin alanı kaç
2
br dir? 4/3
5
 f ( x ) dx  
0
25
32
7
2
2
, S1 
br ise, S2 alanı kaç br dir?
3
3
3
SORU / ÖSYM – 6
ALIŞTIRMALAR – 12 / 4 / K15
SORU / ÖSYM – 1
Şekildeki A ve B
bölgelerinin
alanları eşit ise,
k kaçtır? 4
a, b, c bulundukları bölgelerin alanlarını gösterdiğine
göre,
9

0
y  lnx eğrisi, x ekseni ve x  b (b > 1) ile sınırlı bölgenin
2
2
alanı b  1 br ise,b kaçtır? e
3
y = x  1 eğrisi, x  2 doğrusu ve apsis arasında kalan
27
4
2
0
SORU / ÖSYM – 7
SORU / ÖSYM – 2
alan kaç br dir?
7
f ( x ) dx   f ( x ) dx değeri kaçtır? 2b  c
SORU / ÖSYM – 8
SORU / ÖSYM – 3
  {( x, y) : ( x, y)  R2, y  x 2, y  IxI}
2
bağıntısı ile belirtilen düzlemin alanı kaç br dir?
1
3
2
Şekildeki taralı bölgenin alanı kaç br dir?
SORU / ÖSYM – 4
Şekildeki taralı
bölgenin alanı
4
2
kaç br dir?
3
1
6
SORU / ÖSYM – 9
3
f(x) = x  x eğrisi ile x ekseni arasında kalan bölgenin
2
alanı kaç br dir?
1
2
SORU / ÖSYM – 10
3
y  x eğrisi ve y  x doğrusu ile sınırlı bölgenin alanı kaç
2
2
y  4x ve y  2x eğirileri ile sınırlı bölgenin alanı kaç br
2
dir?
3
2
2
br dir?
1
2
turkoglu
SORU / ÖSYM – 5
BELİRLİ İNTEGRAL
İntegral İle Hacim Hesabı
ÖRNEK / ÖSYM
İNTEGRAL İLE HACİM HESABI
1 2
x eğrisi, x = 3 doğrusu ve x ekseni ile sınırlı
3
bölgenin x ekseni etrafında döndürülmesiyle oluşan
27
3
cismin hacmi kaç br tür?
5
y
0
Taralı bölgenin x ekseni etrafında 360 döndürülmesiyle
b
oluşan cismin hacmi V   [ f ( x )]2 dx ile hesaplanır.
a
ÖRNEK
2
y = x  1 eğrisi ile y = 2 doğrusu arasında kalan bölge x
0
ekseni etrafında 360 döndürülürse, oluşan cismin hacmi
64
3
kaç br tür?
15
0
Taralı bölgenin y ekseni etrafında 360 döndürülmesiyle
b
oluşan cismin hacmi V   [ f ( y )]2 dy ile hesaplanır.
a
ÖRNEK
y = x  3, y = 4 ve x = 0 doğruları arasında kalan bölge
o
0x ekseni etrafında 360 döndürülürse, oluşan cismin
11
3
hacmi kaç br tür?
3
ÖRNEK / ÖSYM
Şekildeki sınırlı bölgenin x ekseni etrafında
döndürülmesiyle oluşan dönel cismin hacmi
3
br ise, a kaçtır? 5
 10
(e  e2 )
2
ÖRNEK
y = lnx eğrisi ile y = 2 doğrusu ve eksenler arasında
o
kalan bölge y ekseni etrafında 360 döndürülürse, oluşan

3
cismin hacmi kaç br tür? (e4  1)
2
SORU – 5
ALIŞTIRMALAR – 12 / 4 / K16
1 2
x eğrisi,
2
y  2 doğrusu ve y ekseni
arasında kalan taralı bölgenin y ekseni etrafında
döndürülmesiyle oluşan
dönel cismin hacmi kaç
birim küptür? 4
Şekildeki y 
SORU / ÖSYM – 1
Birinci bölgede; y ekseni,
y  1 doğrusu ve
2
2
9x  y  9 elipsi
aralarında kalan bölge y
o
ekseni etrafında 360
döndürülüyor. Elde edilen
dönel cismin hacmi kaç
28
birim küptür?
27
SORU – 6
Şekildeki taralı
bölgenin x ekseni
etrafında
döndürülmesiyle
oluşan dönel cismin
hacmi kaç birim

küptür?
3
SORU – 2
Şekildeki taralı
bölgenin x ekseni
o
etrafında 360
döndürülmesiyle
oluşan dönel cismin
hacmi kaç birim
315
küptür?
4
SORU – 7
Şekildeki taralı
bölgenin x ekseni
etrafında
döndürülmesiyle
oluşan dönel cismin
hacmi kaç birim
küptür? 2
SORU – 3
Şekildeki taralı
bölgenin y ekseni
o
etrafında 360
döndürülmesiyle
oluşan dönel cismin
hacmi kaç birim
küptür? 8
SORU – 8
Şekildeki taralı
bölgenin x ekseni
etrafında
döndürülmesiyle
oluşan dönel cismin
hacmi kaç birim

küptür?
2
SORU – 4
SORU – 9
Şekildeki taralı
bölgenin y ekseni
o
etrafında 360
döndürülmesiyle
oluşan dönel cismin
hacmi kaç birim

küptür?
6
turkoglu
Şekildeki y  2 x
eğrisi, x  2 doğrusu ve
x ekseni arasında kalan
taralı bölgenin x ekseni
etrafında döndürülmesiyle oluşan dönel
cismin hacmi kaç birim
küptür? 8
İNTEGRAL
5.
ln3
x
 x e dx
1.
f(1) değeri kaçtır?
1
integralinin eşiti kaçtır?
A) 3ln3
A) 4
B) 3ln27
D)
1
(3 ln 3  e 2 )
2
E)
2
B) 5
 / 12
3
 sin
3.
C) 2
D) 1
E) 0
1
[ 3(ln3)2  e ]
2
R den ye, a > 0 koşuluyla f:x  f(x) = ax
fonksiyonu veriliyor. Bu fonksiyonun grafiği ile
Ox ekseni ve x = 1 doğrusu arasında kalan alan
2
2 br ise, a kaçtır?
A) 6
B) 3
C) 3ln27
6.
2.
2
f(x) = 3x  2x ve f(1) = 3 olduğuna göre,
C) 5
D) 3
y = f(x) eğrisinin P(x,y) noktasındaki teğetinin
7
eğimi m t = y x tir. Bu eğri A(9,e ) noktasından geçtiğine göre, eğrinin denklemi nedir?
x
A) y  e 2
E) 2
2
D) y  e
B) y  e
x x
2
2
3x
 2x1
2
C) y  e x2
2
E) y  e 3
x x 11
2x sin 4x dx
0
7.
integralinin eşiti kaçtır?
A)
1
160
B)
1
80
C)
9
80
D)
9
160
E)
 (2 cos(2x)  sin(x))dx
integralinin eşiti nedir?
1
32
A) sin2xcosxc
B) sinxcosxc
D) sin2xcos(x)c
4.
C) sin2xc
E) sin2xcosxc
a > 0, b > 1 olmak üzere,
1
x
a
dx 
0
1
x
0
b
dx 
1
x
a b
x dx
8.
0
integralinin eşiti nedir?
ise, b kaçtır?
A)
3
4
B)
1
2
x
 e3 x dx
C) 0
D) 
1
2
E) 
3
4
A) e 3x  c
D) 
B)
3x  1 3x
e
c
9
3x  1 3 x
e
c
9
E)
C)  e 3x  c
3x  1 3 x
e c
9
d cos x
2t dt
dx 1
9.
2
B) sin2x C) sin x D) sin2x E) sinx
A) 8  3 3
2

14.
x3
xc
B)
3
D) x3  2x  c
B) 4  3
C) 2  3
D) 3
E) 1
3
2
E) 1
x 2  2x  1 dx
0
integralinin eşiti nedir?
x3
xc
A)
3
3  x 2 dx
integralinin eşiti nedir?
 ( x  1)(x  1)dx
10.
 3x
0
integralinin eşiti nedir?
A) sinx
1
13.
integralinin eşiti kaçtır?
x3 x2

c
C)
3
2
A) 3
E) 3x3  2x 2  c
B)
5
2
C) 2
D)
2
6

11.
2
( x  1) 3
1 x  x2
15. Analitik düzlemde; y = x eğrisi, y = 1
doğrusu ve y = 4 doğrusunun sınırladığı
2
kapalı bölgenin alanı kaç br dir?
dx
A)
integralinin eşiti nedir?
A) 6
B) 12
C) 24
D) 36
28
3
B)
14
3
C) 8
E) 3
E) 48
y
16.
y = 3lnx
a
12.
D) 5
dx
 x 2  2x  2
0
integralinin eşiti nedir?
A) arctanxc
2
B) ln(x1) c
C) arctan(x1)c
2
D) xarctan(x1)c
E) ln(x 2x2)c

2
x
Şekildeki taralı bölgenin y ekseni etrafında
döndürülmesiyle oluşan cismin hacmi kaç 
3
br tür?
A)
T1
3
3 3
2
4
( 4  1) B) 3 4  1 C)
2
3
3
1.C 2.A 3.A 4.C 5.D 6.E 7.D 8.D 9.B 10.B 11.B 12.C 13.A 14 .E 15.A 16.A
D) 3 4  1 E) 3 4
İNTEGRAL
e 1

1.
0
x
dx
x 1
B) e1
2.
( 4  x 2  x ) dx
0
integralinin eşiti kaçtır?
A) e2
2

5.
C) e
integralinin eşiti kaçtır?
D) e1
E)e2

2
B)
ln3
 (e
6.
x  y 1
y
A)
3x

3
x
1
1
B)
8
1
C)
6
1
D)
5
C) 2
D) 3
f(x) =
x

0
t2
t3  4
A) 
E) 4
1 u
1 u
du
B)
1 u
1 u
B) 
1 u
du
1 u
du
E) 2
C)
1 1 u
du
2  1 u
u(1  u)
du
1 u
dt olduğuna göre,
8.
f(1) değeri kaçtır?
A) 0
dx
1 x
D) 2
4.
0
integralinde u  x dönüşümü yapılırsa,
aşağıdakilerden hangisi elde edilir?
2
Denklemi y = x ve y = 8x olan eğrilerin
2
sınırladığı bölgenin alanı kaç br dir?
16
3
E)  (ln 3t  lt ) dt
0
1 x
1
3
D)  ( t 3  t ) dt

C)  (e 3t  e t ) e t dt
1
1
1
E)
4
3
B)  ( t 2  1) dt
1
7.
2
3
A)  ( t 3  t ) dt
Şekildeki taralı bölgenin alanı kaç br dir?
B)
E) 
x
2
8
3
3
4
integralinde e = t dönüşümü yapılırsa,
aşağıdakilerden hangisi elde edilir?
0
A)
D)
 e x ) dx
3
3.
2
3
0
1
1
A)
9
C)
7
25
C)
4
51
D)
1
5
E)
1
4
y = f(x) eğrisinin (2, 3) noktasındaki teğeti x
0
ekseni ile 135 lik açı yapmaktadır. f(x) = 16x
olduğuna göre, eğrinin y eksenini kestiği
noktanın ordinatı kaçtır?
A) 3
B) 2
C) 1
D) 
69
5
E) 
125
3
9.
2
y = 16  x parabolünün koordinat sisteminin
1. bölgesindeki parçası ile x = 0 ve y = 0
2
doğrularıyla sınırlı olan bölgenin alanı kaç br
dir?
A)
128
3
B)
32
3
C)
64
3
D)
16
3
2 2
x dx
3
1 x2

13.
integralinin eşiti nedir?
E) 16
A)
1
2
B) 1
C)
D)
y
14.
xdx
1
3
2
3
E) 2
2
y=x -9
 x2
10.
A) x2lnIx–2Ic
B) lnIx–2Ic
D) xlnIx–2Ic
x
0
integralinin eşiti nedir?
C) lnIxIc
y = -3x - 9
E) 2xlnIx–2Ic
2
Şekildeki taralı bölgenin alanı kaç br dir?
A) 18
B)
27
2
C)
9
2
D) 3
E) 9
 cos 7x. cos 3x dx
11.
integralinin eşiti nedir?
A) 10sinxc
D)
B)
 sin10 x
c
20
C)
sin 4 x
c
32
sin10 x sin4x
 sin10x sin 4x

 c E)

c
20
32
20
8
2
15. y = kx eğrisinin [0, 2] aralığına ait olan parçası
0
Ox ekseni etrafında 270 döndürülüyor. Elde
3
edilen cismin hacmi 120 br ise, k nın negatif
değeri kaçtır?
A) 
12.
3

1
3x  1
dx
x2
A) 65ln5
 (x
16.
integralinin eşiti nedir?
B) 
3
1
2
C) 1
D) 3
E) 5
 sec2 x)  dx
integralinin eşiti nedir?
B) 125ln5
D) 125ln5
E) 15ln5
T2
1
3

C) 5ln5
A)
x 4 sec3 x

c
4
3
B)
x4
 tanx  c
4
C)
x4
 tanx  c
4
D)
x4
 arctanx  c
4
E)
x4
 arcsec x  c
4
1.A 2.C 3.A 4.D 5.A 6.B 7.E 8.E 9.A 10.A 11.E 12.B 13.B 14 .C 15.E 16.C
İNTEGRAL
e2

1.
dx
x(ln x ) 2
e
(
x  3  x ) dx
2
integralinin eşiti nedir?
integralinin değeri kaçtır?
A)
2
5.
A) 12
1
2
B) e
C) 1
D) 2
B) 13

 (sinx  cosx)dx
2.
6.
/ 
A)
 (sin t  cos t ) dt
B)
C)
 (sin t  cos t ) dt
D)
x3
x  9x  14
2
dx
C) 2lnx7  lnx2 c
D) lnx1  2lnx3 c
 (cos t  sin t ) dt
 /2
E) 5lnx7  3lnx2 c
0
E)

B) 2lnx2  2lnx5 c
 (sin t  cos t ) dt
0

 /2
E) 16
A) lnx2  lnx5 c
 /2
0

D) 15
integralinin değeri nedir?
integralinde t =   x dönüşümü yapılırsa
aşağıdaki integrallerden hangisi elde edilir?
 /2
C) 14
E) 2e
 (sin t  cos t ) dt
 / 2
7.
3
2
 f ( x).dx  x  x  1
3.
ıı
ise, f (2) kaçtır?
A) 16
4.
B) 14

dx
1  9x2
integralinin eşiti nedir?
C)11
D) 6
E) 0
1
arcsinx  c C) arcsin3x  c
3
1
D) arcsin9x  c
E) arcsin3x  c
3
A) arcsinx  c
B)
5 x 2 dx
4
x3  2
integralinin değeri nedir?
20 4 3
5
(x  2)3  c
A)
B) 4 (x3  2)3  c
9
3
44 3
5
(x  2)3  c
C)
D)  4 (x3  2)3  c
3
3
20 4 3
(x  2)3  c
E) 
9
8.
 sin x. sin 9x dx
integralinin eşiti nedir?
 sin10 x
sin 8 x
c
c
C)
20
32
 sin10x sin 8x
 sin10x sin 8x

 c E)

c
D)
20
32
20
16
A) 10sinxc
B)

3
 tan
9.
3
A) 1
B) 

integralinin eşiti nedir?
1
2
C) 0
D)
1
2
A)
E) 1
1  x 2 2x dx
4 22
9

0
2 22
9
B)
D)
4 22
3
sin
x
dx
2

2
2
1
C) 1
D) 2
E) 2 2
2
1

1  x 2 dx
E)
C)
integralinin eşiti aşağıdakilerden hangisi
olabilir?
4 2
3
B1
4 2 2
3
2
 cos t dt
B)
0
 2 cos t dt
0

15.
C)
2
1
A
integralinin eşiti kaçtır?
A)
B)
0
integralinin eşiti nedir?
11.
1
2
14.
0
A)
1  cos 2x dx
0
integralinin eşiti nedir?
1

13.
x dx


3
10.

4
0
C)
 2 cos t dt
2
5x 4  6x2
x3
integralinin eşiti nedir?
3
2
D) 2
E)
1
2
A)
5x 2
x2 6
 6 ln x  c B) 5x5  2x 3  c C)
 c
2
2
x
D)  ln x  c
E) x 5  6 ln x  c
y
12.
x = y 3 - 9y
0
 cos
16.
x
4
x dx
integralinin eşiti nedir?
2
Şekildeki taralı bölgenin alanı kaç br dir?
A)
81
2
B)
81
4
C)
T3
27
4

D)
9
4
E)
A) 4cot xc
3
3
2
D)
B)
cot 5 x
c
5
3x sin 2x sin 4x


c
8
4
32
1.A 2.B 3.D 4.A 5.E 6.C 7.E 8.E 9.C 10.E 11.D 12.A 13.C 14 .D 15.A 16.D
C) 
E)
cot2 x
c
2
3x sin 8x

c
8
128
İNTEGRAL
d2
1.
dx 2
integralinin eşiti nedir?
ifadesinin eşiti nedir?
2
A) 6
B) 3x –2x
 tan2 u  du
5.
3
2
 ( x  x  1) dx
3
C) 0
2
D) x x 1
A) tanu  u  c B) tanu  u  c C) tanu  u  c
E) 6x2
D)
2.
 sin x.f ( x).dx  cos 2x  c
6.

) değeri kaçtır?
3
ise, f(
A) 2
B) 1
 (2x 
tan3 u
c
3
4
1  u2
E)
tan3 u
uc
3
)  du
integralinin eşiti nedir?
C) 0
D) 1
2
2
A) x  4arcsinu  c
E) 2
C) 2xu 
B) x  4arcsinu  c
4
c
u
D) 2xu  4arcsinu  c
2
E) x  4arcsinu  c
 (3x2  5  cos x)dx
3.
integralinin eşiti nedir?
3
3
A) x 5sinx+c B) x +5sinx+c C)
1
D) x + sinx+c
5
ex  1
 e x  x  2  dx
integralinin eşiti nedir?
1
E) x  sinx+c
5
3
4.
x3
+5sinx+c
3
7.
3
x
x
A) lnIe 1Ic
B) lnIe Ic
x
D) lnI e 1Ic
x
C) lnIe x2Ic
x
E) lnIe x2Ic
 (3  eu  4)du
integralinin eşiti nedir?
u
A) 3e + 4u  c
D)
3
eu
u
B) 3e +
+ 4u  c
8.
u
c
4
u
u
E) 3e 

2 ln x
dx
x
C) e + 4u  c
integralinin eşiti nedir?
4
c
u
A) lnxc B) 2lnxc C) lnxc D) ln xc E) xc
2
x  dx
 sin2 x
9.

A) xcotxlnIsinxIc
C) cotxc
A)  2 2
4
 2 dx
A) 0
B) 6
/2

D)  2  2
E) 1
 ln x dx
integralinin eşiti nedir?
C) 8
D) 10
E) 12
cos 3 x dx
A) 2ln2 B) 4ln2 C) 2ln22 D) 4ln22 E) 6ln22
2
B) 
x 3

1
integralinin eşiti nedir?
2
3
e
15.
 / 2
2
C) 2  2
2
integralinin eşiti nedir?
A) 
B)  2
4
14.
4
11.
x
dx
2
integralinin eşiti nedir?
B) lnIsinxIc
D) cotxlnIsinxIc E) xlnIsinxIc
10.
sin
0
integralinin eşiti nedir?
12.
/2
13.
3
5
C) 
ln x
dx
x
integralinin eşiti nedir?
3
2
D) 
1
3
E) 
4
7
A)
5
6
B)
4
9
y
16.
dx
C)
2
5
D)
y = 1/x
1
2
E)
2
3
y=x
0
integralinin eşiti nedir?
A) 12 B) log 2 e12 C) log 2 e 24 D) log 2 e 48
E) 24
0
x
3
e
2
Şekildeki taralı bölgenin alanı kaç br dir?
A) 4
T4 
B)
7
2
1.B 2.A 3.B 4.A 5.C 6.D 7.E 8.D 9.A 10.A 11.A 12.C 13.C 14 .E 15.E 16.B
C) 3
D)
5
2
E) 2
İNTEGRAL
 (2
1.
x
 4x )  ln 2  dx
integralinin eşiti nedir?
A) 2 x 
3
A) secx 7xc B)
3
B)
x 2dx
integralinin eşiti nedir?
x 6 ln x
c
6
x 6 ln x x 6

c
D)
6
36
C) 
x6
c
36
A) ln Ix  3I  c
x 6 ln x x 6

c
E)
6
36
D)
 x 
 d 3 
1  x  1
5
A) 
18
3

4.
1
12
B) 
5
1
1 x2
C) 0
19
D)
21
A)

12
B)

10
C)

6
D)

3
E)

2
x2
 3x  9 ln Ix  3I  c
2
 sin x d(sin x )

4
A) 
8.
integralinin eşiti nedir?
E)
C) ln x 2  c
integralinin eşiti nedir?
32
E)
15
dx
x3
 ln Ix  3I  c
3

2
7.
integralinin eşiti nedir?
B)
x2
 ln Ix  3I  c
2
2
3.
3
E) tanxx 7xc
 x3
6.
integralinin eşiti nedir?
ln x
c
6
tan3 x
3
3
x 6xc C) x 6xc
3
D) tanxx 6xc
E) ln 2.( 2x  4x )  c
5
 x ln x dx
A)
x  3x 2  7)  dx
integralinin eşiti nedir?
4x
4x
4x
 c B) 2 x 
 c C) ln 2.2 x 
c
2
ln 4
2
D) 2 x  4 x  c
2.
2
 (tan
5.
1
4
B) 
1
2
C) 0
D)
1
2
E)
1
4
Bir eğrinin her noktasındaki teğetinin eğimi o
noktanın apsisinin 2 fazlasının karesine eşittir.
Bu eğri ayıca, A(3,2) ve B(0,y) noktalarından
geçtiğine göre, y kaçtır?
A) 41
B) 37
C) 33
D) 29
E) 13
1

9.
1
y
13.
x 1
dx
x2
integralinin eşiti nedir?
x = 4 - y2
x
O
A) ln3 B) 2ln3 C) 1ln3 D) 2ln3 E) 1ln3
2
Şekildeki taralı bölgenin alanı kaç br dir?
A)
1
 ( x  1)e
10.
x
14.
integralinin eşiti nedir?
B) e1
D)
2

C) e2
D) 2e1
cos2 t dt
E)
0
 (2
x
16
3
y = x2
C) 4
D)
8
3
E)
4
3
y
y=x
E) 2e2
2
0
 cos t dt
0
x
Şekildeki taralı bölgenin x ekseni etrafında
0
360 döndürülmesiyle oluşan cismin hacmi
3
kaç  br tür?
A)
11.
B)
dx
0
A) e
20
3
 sin x ) dx
2
15
B)
1
15
C)
1
5
D)
1
3
1
2
E)
integralinin eşiti nedir?
A)
2x
 sinx  c
ln 2
B)
2x
 cosx  c
ln 2
15.
2x
 cos x  c
D)
ln 2
C) 2x  cosx  c
y = 2x
2
y
E) 2x  cosx  c
0
1
x
Şekildeki taralı bölgenin y ekseni etrafında
döndürülmesiyle oluşan cismin hacmi kaç 
3
br tür?
12.
A)
d t

  dx  cos x dx  dt

/2 
1


3
2
B) 1
C)
1
2
D)
1
4
E)
1
8
integralinin eşiti nedir?
A) 1
B) 
3
2
C) 0
D)
3
2
E) 1
2

16.
4 x x 2  1 dx
0
integralinin eşiti kaçtır?
A) 11
T5

B 10
1.A 2.D 3.A 4.A 5.D 6.E 7.E 8.B 9.B 10.A 11.D 12.A 13.B 14.A 15.B 16.B
C) 9
D) 8
E) 7

145

Mehmet Kıvrak deneme

θεωρια - παρα∆ειγματα αναλυτικα λυμενες ασκησεις θεματα εξετασεων

Sınıf Öğretmenliği 6

Öğr.Gör.Barış ŞAHİN DERS NOTU 2