3. ÜNİTE FONKSİYONLAR Bu ünitenin sonunda; • Fonksiyon kavramını, • Fonksiyonların grafik gösterimini, • f(x) = xn (n ∈ Z) biçimindeki fonksiyonların grafiklerini çizmeyi, • Bire bir ve örten fonksiyonları öğrenmiş olacaksınız. 107 3.1. FONKSİYON KAVRAMI VE GÖSTERİMİ TERİMLER Fonksiyon Kavramı Yanda, bir akaryakıt istasyonundan birim fiyatı 4,50 TL olan yakıttan 10 L alındığında ödenecek tutarın 45 TL olduğu görülmektedir. Bu bilgiler doğrultusunda alınan yakıt ile ödenecek tutar arasındaki ilişkiyi belirleyerek aşağıdaki tabloyu 45,00 TL tamamlayınız. Tutar 10 L Litre (L) 10 Tutar (TL) 45 20 30 40 Litre 50 4,50 TL/L Fiyat • fonksiyon • tanım kümesİ • değer kümesi • görüntü kümesi • fonksiyonun grafiği • sabit fonksiyon • birim fonksiyon • bire bir fonksiyon • örten fonksiyon • doğrusal fonksiyon • yatay doğru testi • dikey (düşey) doğru testi BİLGİ Bir kümenin (tanım kümesi) her bir elemanını başka bir kümenin (değer kümesi) bir ve yalnız bir elemanına eşleyen ilişkiye fonksiyon denir. f A B f(A) Bu ilişki daha çok bir kural ile verilir. Bu kural genellikle f, g, h, … gibi harflerle gösterilir. x A kümesinden B kümesine f kuralı ile verilen bir fonksiyon f : A → B şeklinde ifade edilir. Burada A’ya tanım kümesi ve B ye değer kümesi denir. f(x) Tanım kümesi Görüntü kümesi Değer kümesi A kümesindeki bir x elemanının f fonksiyonu altında, B kümesinde eşleştiği elemana x in görüntüsü denir ve f(x) ile gösterilir. A kümesindeki tüm elemanların f fonksiyonu altındaki görüntülerinin oluşturduğu kümeye de görüntü kümesi denir ve f(A) ile gösterilir. ÖRNEK A = {1, 2, 3, 4} ve B = {2, 4, 6, 8} kümeleri arasındaki ilişki, yandaki şemada gösterilmiştir. Buna göre, bu ilişkiyi gösteren f nin bir fonksiyon olup olmadığını inceleyelim. ÇÖZÜM f ilişkisi A kümesinin her elemanını B kümesinin bir ve yalnız bir elemanına eşlediği için bir fonksiyondur. Burada, f fonksiyonunun; Tanım kümesi: A = {1, 2, 3, 4}, Değer kümesi: B = {2, 4, 6, 8} ve Görüntü kümesi: f(A) = {2, 4, 6, 8} ⊆ B dir. 108 f A B 1 2 2 4 3 6 4 8 Fonksiyon Makinesi Aşağıdaki tabloda bir makine ve makineye girdi olarak giren ürün isimleri verilmiştir. Makineye giren bu ürünlerin makinede işlendikten sonraki çıktılarını belirleyerek tabloyu tamamlayınız. Girdi ve çıktıları (girdi, çıktı) şeklinde ikililer biçiminde ifade ediniz. Girdi Makine Çıktı Buğday Değirmen Hamur Fırın Yün İplik Makinesi İplik Halı Makinesi Et Kıyma Makinesi BİLGİ Fonksiyonları anlamanın bir diğer yolu da fonksiyon makinesidir. Bir fonksiyon makinesinin girdi ve çıktı değerleri vardır. Bu girdi ve çıktı değerleri arasında bir ilişki vardır, yani çıktılar girdilere bağlıdır. Fonksiyon makinesi x girdi değerlerini alır ve birtakım işlemlerle y çıktı değerlerine dönüştürür. girdi x f(x) Burada x, bağımsız değişken; y ise bağımlı değişkendir. çıktı ÖRNEK Aşağıdaki tabloda girdileri ve kuralları verilen fonksiyonların çıktılarını belirleyelim. Girdi (x) Fonksiyon Makinesinin Kuralı Çıktı (y) 1 f(x) = x + 3 f(1) = 1 + 3 = 4 2 f(x) = 3x – 2 f(2) = 3 . 2 – 2 = 6 – 2 = 4 x+1 f(x) = (x + 1) – 1 x = 2 2 f(a) = a2 – 4 x –1 2 a f(x) = x2 – 4 2x f(x) = f(x + 1) = x+1 x–2 f(2x) = 109 2x + 1 2x – 2 y ÖRNEK Aşağıda girdileri ve çıktıları verilen fonksiyonun kuralını bulalım. 1 2 3 4 f(x) f(x) f(x) f(x) 2 5 10 17 ÇÖZÜM Verilerden kural bulmanın bir yolu, deneme ve yanılma metodudur. Burada fonksiyon makinesi; 1, 2, 3 ve 4 girdilerini karelerinin 1 fazlasına dönüştürmüştür. Buna göre fonksiyonun kuralı, f(x) = x2 +1 dir. ÖRNEK Aşağıda girdi ve çıktıları verilen fonksiyonun kuralını bulalım. 1 2 3 4 f(x) f(x) f(x) f(x) 1 2 3 4 ÇÖZÜM Fonksiyon makinesi x = 1, 2, 3, 4 girdilerinin hepsini kendi değerlerine dönüştürmektedir. Dolayısıyla fonksiyonun kuralı f(x) = x tir. UYARI A, boş olmayan bir küme olmak üzere, I: A →A ve her x ∈ A için I(x) = x olacak şekilde tanımlanan I fonksiyonuna birim (özdeşlik) fonksiyon denir. ÖRNEK f : R → R, f(x) = (a – 3)x + 2b – 4 fonksiyonu, birim fonksiyon olduğuna göre a ve b değerlerini bulalım. ÇÖZÜM f birim fonksiyon olduğuna göre f(x) = x olmalıdır. Buna göre: f(x) = x ise (a – 3)x + 2b – 4 = x olması için a – 3 = 1 ve 2b – 4 = 0 olup a = 4 ve b = 2 bulunur. 110 ÖRNEK Aşağıda girdi ve çıktıları verilen fonksiyonun kuralını bulalım. 1 2 3 4 f(x) f(x) f(x) f(x) 5 5 5 5 ÇÖZÜM Fonksiyon makinesi x = 1, 2, 3 ve 4 girdilerinin hepsini y = 5 sayısına dönüştürmektedir. Dolayısıyla fonksiyonun kuralı f(x) = 5 tir. UYARI A, boş olmayan bir küme ve c ∈ B olmak üzere, f : A → B ve her x ∈ A için f(x) = c şeklinde tanımlanan fonksiyona sabit fonksiyon denir. ÖRNEK f : R → R, f(x) = (a + 1)x + a – 1 fonksiyonu, sabit fonksiyon olduğuna göre, a değerini hesaplayarak fonksiyonun kuralını bulalım. ÇÖZÜM f, sabit bir fonksiyon olduğuna göre fonksiyonun kuralı x değişkenine bağlı olmamalıdır. Buna göre x değişkeninin kat sayısı 0 olmalıdır. O hâlde, a + 1 = 0 ve buradan a = –1 bulunur. Buna göre f(x) = (a + 1) x + a – 1 fonksiyonunda a = –1 yazılırsa, f(x) = (–1 + 1) x + (–1) –1 = –2 bulunur. Yani, fonksiyonun kuralı f(x) = –2 olur. ÖRNEK Saatte 110 km sabit hızla giden bir otomobilin ilk üç saat içinde aldığı yolun zamana göre değişimi tablodaki gibidir. Buna göre bu otomobilin 6 saatte ne kadar yol alacağını hesaplayalım. ÇÖZÜM Zaman (t) (sa) Yol (d) (km) 1 110 2 220 3 330 Tabloya göre yolun zamana göre fonksiyonunun d = 110 . t şeklinde olduğu görülmektedir. Buna göre t = 6 için, d = 110 . 6 = 660 km bulunur. UYARI m, n ∈ R olmak üzere f : R → R, f(x) = mx + n şeklindeki fonksiyonlara doğrusal fonksiyon denir. 111 ÖRNEK Tabloda girdi ve çıktıları verilen f fonksiyonunun doğrusal olup olmadığını inceleyelim. Doğrusal bir fonksiyon ise kuralını bulalım. ÇÖZÜM Tabloya göre fonksiyondaki artışlar sabit olduğundan, Girdi x Çıktı f(x) –1 1 0 3 1 5 2 7 f (0) – f (–1) f (1) – f (0) f (2) – f (1) = = = 2 bulunur ve fonksiyon doğrusal fonksiyondur. 1– 0 2–1 0 – (– 1) Doğrusal fonksiyonlar f(x) = mx + n şeklinde olduğundan, tablodaki x ve f(x) değerleri bu eşitliği sağlayacaktır: f(0) = m . (0) + n = 3 olup, n = 3 ve f(1) = m . (1) + 3 = 5 olup m = 2 bulunur. Buna göre doğrusal fonksiyonun kuralı f(x) = 2x + 3 olur. UYARI f(x) = mx + n doğrusal fonksiyonunda, • Eğer, m = 0 ise f(x) = n olacağından f(x) sabit fonksiyon olur. • Eğer, m = 1 ve n = 0 ise f(x) = x olacağından f(x) birim fonksiyon olur. ÖRNEK A = {0, 2} ve B = {0, 4} kümeleri üzerinde tanımlanan f : A → B, f(x) = 2x ve g : A → B, g(x) = x2 fonksiyonları için f(A) ve f(B) görüntü kümelerini bulalım. ÇÖZÜM f : A → B, f(x) = 2x için, f(0) = 0 ve f(2) = 4 olup f(A) = {0, 4} bulunur. Diğer taraftan, g : A → B, g(x) = x2 için g(0) = 0 ve g(2) = 4 olup g(A) = {0, 4} elde edilir. Burada, A dan alınan her elemanın f ve g fonksiyonları altındaki görüntüleri aynıdır. UYARI f : A → B ve g : C → D fonksiyonları için, aşağıdaki şartlar sağlanıyorsa bu fonksiyonlara eşit fonksiyonlar denir. • A = C ve B = D • Her x ∈ A (=C) için f(x) = g(x) 112 ALIŞTIRMALAR 1. f : N → N, f(x) = 2x + 3 şeklinde tanımlanan fonksiyon için aşağıdaki tabloyu tamamlayınız. x 1 2 3 4 5 6 7 y f(1) = ..... f(2) = ..... f(3) = ..... f(4) = ..... f(5) = ..... f(6) = ..... f(7) = ..... 2. f = {(1, 2), (2, 4), (3, 6), (4, 8), (5, 10)} fonksiyonunun tanım kümesini ve görüntü kümesini yazınız. 3. A = {0, 1} ve B = {1, 2} kümeleri için f, g : A → B, f(x) = x3 + 1 ve g(x) = x + 1 fonksiyonları veriliyor. Buna göre f ve g fonksiyonları eşit midir? İnceleyiniz. 4. f : R → R fonksiyonu f(x) = x2 – 2x + 3 şeklinde tanımlanıyor. Buna göre f(–1) + f(1) – f(0) – f(2) ifadesinin sonucunu bulunuz. 5. f, g : R → R, f(x) = 2x – 5 ve g(x) = 3x + 3 fonksiyonları için f(m) = g(2m) olduğuna göre m sayısı kaçtır? 6. f : R → R, f(x) = x + 6 – k fonksiyonunun birim fonksiyon olması için k kaç olmalıdır? TARİH KÖŞESİ “Fonksiyon” kelimesine ilk defa G. W. Leibnitz (Leibniz) (1646-1716) tarafından 1673 yılında Latince yazılmış “Methodus Tangentium İnversa, Seu de Fuctionibus” çalışmasında rastlanmaktadır. Fonksiyon kelimesini bugünkü anlamına çok yakın olarak kullanan ilk matematikçi olan Leibnitz, teğetin bir eğri fonksiyonu olduğunu söylemiştir. 1748’de L. Euler (Öuler) (1707-1783), fonksiyon kavramı için genel tanımı, “değişken niceliğinin bir fonksiyonu; sabit ya da sayı nicelikleri ve değişken niceliklerinden oluşan analitik bir ifade” şeklinde vermiştir. Fonksiyon kavramını bir formül olarak düşünen ise 1821’de A. L. Cauchy (Koşi) (1789-1857) olmuştur. 113 Fonksiyonların Grafik Gösterimi y 12 Aşağıdaki tabloda Yükseköğretime Geçiş Sınavı’nda (YGS) 2010 ve 2013 yılları arasında matematik sorularının çözüm ortalaması verilmiştir. Grafikte, yatay eksende 0–2010, 1–2011, 2–2012 ve 3–2013 yıllarına karşılık gelmektedir. Yıl (x) Ortalama (y) Buna göre tablodaki (x, y) ikililerinin 0 11,4 yandaki grafikte işaretlenmiş noktalardan hangilerine karşılık geldiğini belirleyiniz. 1 7,5 2 6,9 3 7,5 Ortalama 11 10 9 8 7 6 1 0 x 2 3 Yıllar BİLGİ Fonksiyonları göstermenin bir diğer yolu da grafiktir. f : A → B fonksiyonunun analitik düzlemde gösterimine f nin grafiği denir. f nin grafiğinde, tanım kümesi yatay eksende gösterilirken görüntü kümesi düşey/dikey eksende gösterilir. ÖRNEK f = {(1, 3), (2, 5), (3, 7), (4, 9)} fonksiyonu ikililer şeklinde verilmiştir. f nin tanım ve görüntü kümelerini bularak f fonksiyonunu şema, tablo ve grafik şeklinde gösterelim. ÇÖZÜM İkililerin birinci bileşenleri tanım ve ikinci bileşenleri görüntü kümesinin elemanları olacağından, tanım ve görüntü kümeleri aşağıdaki gibidir. Tanım kümesi: {1, 2, 3, 4} Görüntü kümesi: {3, 5, 7, 9} Buna göre f fonksiyonunun şema, tablo ve grafik gösterimleri aşağıdaki gibi olur: Şema Gösterimi Tablo Gösterimi Grafik Gösterimi B 9 f A B x y 1 3 1 3 2 5 2 5 3 7 3 7 4 9 4 9 7 5 3 1 114 2 3 4 A ÖRNEK Aşağıda grafikleri verilen f, g : R → R, f(x) = 2 ve g(x) = x fonksiyonları için; y y 4 4 3 –4 –3 –2 –1 3 f(x) = 2 2 2 1 1 0 1 2 3 4 g(x) = x –4 –3 –2 –1 x x 0 –1 –1 –2 –2 –3 –3 –4 –4 1 2 3 4 a) Tanım kümesindeki – 1 ve 3 değerlerinin f altındaki görüntülerini, b) Tanım kümesindeki – 2 ve 4 değerlerinin g altındaki görüntülerini, c) f altındaki görüntüleri 2 ve 0 olanların tanım kümesindeki değerlerini, ç) g altındaki görüntüleri – 3 ve 5 olanların tanım kümesindeki değerlerini bulalım. ÇÖZÜM a) f(x) = 2 fonksiyonu sabit fonksiyon olup f fonksiyonu bütün girdileri 2 sayısına eşleştirmektedir. Dolayısıyla –1 ve 3 sayılarının görüntüleri f(–1) = f(3) = 2 dir. b) g(x) = x fonksiyonu birim fonksiyon olup, g fonksiyonu bütün girdileri kendi değerleriyle eşleştirmektedir. Dolayısıyla g(–2) = –2 ve g(4) = 4 olur. c) f fonksiyonunun tanım kümesi bütün gerçek sayılardır ve f fonksiyonu bütün gerçek sayıları 2 ile eşleştirmektedir. Dolayısıyla görüntüsü 2 olan değerler tüm gerçek sayıları iken görüntüsü 0 olan hiçbir değer yoktur. ç) g fonksiyonu tanım kümesindeki her bir x gerçek sayısını değer kümesinde yine kendisiyle eşleştirmektedir. Dolayısıyla görüntüsü –3 olan değer x = –3 ve görüntüsü 5 olan değer, x = 5 tir. UYARI f : A → B fonksiyonu için, görüntü kümesinde- f A görüntü ki bir f(x) ∈ f(A) elemanın tanım kümesinde eşleştiği x ∈ A elemanına, f(x) in ters görüntüsü veya orijinali denir. x f(x) ters görüntü 115 B ÖRNEK Aşağıda grafikleri verilen f ve g ilişkilerinin tanım ve görüntü kümelerini bularak bunların fonksiyon olup olmadıklarını inceleyelim. y y 6 6 f 5 4 4 3 3 2 2 1 1 0 1 g 5 2 3 4 5 6 0 x 1 2 3 4 5 6 x ÇÖZÜM Grafikler incelendiğinde, f ve g ilişkilerinin f = {(1, 3), (3, 1), (3, 5), (5, 6)} ve g = {(1, 1), (2, 3), (4, 2), (4, 5)} şeklinde olduğu görülür. Buna göre f ilişkisi tanım kümesindeki 3 elemanını değer kümesinde farklı iki eleman olan 1 ve 5 ile eşleştirmiştir. Bir ilişkinin fonksiyon olabilmesi için tanım kümesindeki bir elemanın değer kümesinde bir ve yalnız bir elemanla eşleşmesi gerektiğinden f bir fonksiyon değildir. Yine g ilişkisi, tanım kümesindeki 4 elemanını değer kümesindeki farklı iki eleman olan 2 ve 5 ile eşleştirmiştir. Dolayısıyla g de fonksiyon değildir. UYARI Bir fonksiyonun grafiğinde, fonksiyonun x-ekseni üzerinde tanımlı olduğu bir noktadan y-eksenine çizilen paralel doğrular grafiği yalnızca bir noktada keser. Bu şekilde bir grafiğin fonksiyonu temsil edip etmediğinin incelenmesi işlemine düşey/dikey doğru testi denir. ÖRNEK Aşağıdaki f, g ve h ilişkilerine ait grafiklerin birer fonksiyon temsil edip etmediklerini düşey doğru testi ile belirleyelim. y y y h g f 0 x 0 x 0 x ÇÖZÜM f ye ait grafikte y-eksenine çizilen paralel doğrular grafiği bir noktada kestiklerinden f bir fonksiyondur. Diğer taraftan g ve h ye ait grafiklerde y-eksenine çizilen paralel doğrular grafikleri birden fazla noktada kestiğinden g ve h fonksiyon değildirler. 116 ÖRNEK Aşağıda f, g, h : R → R fonksiyonlarının grafikleri verilmiştir. Bu grafiklerin x-eksenini kestiği noktaları belirleyelim. y y y f g h –2 0 –1 x 0 1 x –3 0 3 x ÇÖZÜM Burada, f fonksiyonunun grafiği aynı zamanda y = f(x) denkleminin grafiği olup x = –2 için y = f(x) = 0 bulunur. Buna göre f fonksiyonu x-eksenini (–2, 0) noktasında kesmektedir. g fonksiyonunun grafiği aynı zamanda y = g(x) denkleminin grafiği olup x = –1 ve x = 1 için y = g(x) = 0 bulunur. Buna göre g fonksiyonu x-eksenini (–1, 0) ile (1, 0) noktalarında kesmektedir. Benzer biçimde h fonksiyonunun grafiği de aynı zamanda y = h(x) denkleminin grafiği olup x = –3, x = 0 ve x = 3 için y = h(x) = 0 bulunur. Yani, h fonksiyonu x-eksenini (-3, 0), (0, 0) ve (3, 0) noktalarında kesmektedir. Burada, f(–2) = 0, g(–1) = g(1) = 0 ve h(–3) = h(0) = h(3) = 0 olur. UYARI Bir f fonksiyonunun grafiği aynı zamanda y = f(x) denkleminin grafiğidir ve grafiğin (varsa) x-eksenini kestiği noktalar f(x) = 0 denkleminin gerçek sayılardaki çözüm kümesidir. ÖRNEK Aşağıda f, g, h : R → R fonksiyonlarının grafikleri verilmiştir. y y y f 4 h g 1 1 –2 –1 0 1 –2 x –3 0 3 –2 Buna göre fonksiyonların tanım kümelerindeki; a) [–2, 1] ⊂ R alt kümesinin f altındaki, b) [–3, 3] ⊂ R alt kümesinin g altındaki ve c) [–1, 1] ⊂ R alt kümesinin h altındaki görüntülerini bulalım. 117 x 0 –1 1 x ÇÖZÜM a) [–2, 1] kümesinin f fonksiyonu altındaki görüntüsü [–2, 4] tür. Buna göre f : [–2, 1] → [–2, 4] olur. b) [–3, 3] kümesinin g fonksiyonu altındaki görüntüsü [–2, 1] dir. Buna göre g : [–3, 3] → [–2, 1] olur. c) [–1, 1] kümesinin f fonksiyonu altındaki görüntüsü [–1, 1] dir. Buna göre h : [–1, 1] → [–1, 1] olur. ÖRNEK Aşağıda f, g, h : R → R fonksiyonlarının grafikleri verilmiştir. y y y h 3 f –3 –3 6 0 –3 2 x g 2 4 –1 0 x –3 x 0 –1 Buna göre fonksiyonların değer kümelerindeki; a) [–3, 0] ⊂ R alt kümesinin f altındaki, b) [–1, 3] ⊂ R alt kümesinin g altındaki ve c) [–1, 2] ⊂ R alt kümesinin h altındaki görüntülerini bulalım. ÇÖZÜM a) f fonksiyonu altında görüntüsü [–3, 0] olan elemanların kümesi [–3, 6] dır. Yani, f : [–3, 6] → [–3, 0] olur. b) g fonksiyonu altında görüntüsü [–1, 3] olan elemanların kümesi [–3, 4] dır. Yani, g : [–3, 4] → [–1, 3] olur. c) h fonksiyonu altında görüntüsü [–1, 2] olan elemanların kümesi [–3, 2] dır. Yani, h : [–3, 2] → [–1, 2] olur. ÖRNEK f(x) = 2x + 6 fonksiyonunun x-eksenini ve y-eksenini kestiği noktaları bularak grafiğini çizelim. ÇÖZÜM y f y = f(x) fonksiyonunun x-eksenini kestiği noktada y = f(x) = 0 olacaktır. 6 f(x) = 2x + 6 = 0 ise 2x = –6 ve x = –3 bulunur. Benzer şekilde, y = f(x) fonksiyonunun y-eksenini kestiği noktada x = 0 olacaktır. Dolayısıyla x = 0 için y = f(0) = 6 bulunur. O hâlde f(x) = 2x + 6 fonksiyonu, (–3, 0) ve (0, 6) noktalarında eksenleri kesen doğrusal bir fonksiyon olup, grafiği yandaki gibidir. 118 –3 0 x ÖRNEK 50 km boyunca otobüsle yolculuk yaptıktan sonra saatte 200 km hızla yol alan hızlı trene binen bir yolcunun gitmiş olduğu yolun fonksiyonu f(x) = 200x + 50 şeklindedir. Buna göre f fonksiyonunun grafiğini çizelim. y ÇÖZÜM 450 Yolcunun 1. saatte aldığı yol: f(1) = 200 . 1 + 50 = 250 km ve 350 2. saatte aldığı yol: f(2) = 200 . 2 + 50 = 450 km dir. x-ekseni zamanı ve y-ekseni alınan yolu göstermek üzere, yolcunun zamana bağlı aldığı yolun grafiği şekildeki gibidir. Yolcunun 50 km den sonra hızlı trenle her bir saatte aldığı yol f (2) – f (1) f (1) – f (0) = = 200 km olup, bu değer hızlı trenin saatteki hızı1– 0 2–1 nı verir. Bu değer aynı zamanda f(x) = 200x + 50 doğrusunun eğimidir. 250 150 50 0 1 x 2 UYARI • y = mx + n şeklindeki bir doğrusal fonksiyonda m değeri doğrunun eğimi olup aynı zamany2 – y1 da birim zamandaki değişim hızını verir. Buna göre m = olur. x2 – x1 • y = mx + n eşitliğinde n değeri ise, doğrunun y-eksenini kestiği noktadır. ÖRNEK Aşağıda grafikleri verilen doğrusal fonksiyonların eğimlerini inceleyelim. y y y y = 2x + 3 y y=3 x = –2 y = –x + 1 0 0 eğim pozitif x x 0 x eğim 0 eğim negatif 0 x eğim yok UYARI Tanım kümesi aralıklar şeklinde olan ve bu farklı tanım aralıklarında farklı kurallarla verilen fonksiyona, parçalı tanımlı fonksiyon denir. 119 Süre Ücret Bir havaalanındaki otopark ücret tarifesi yandaki gibidir. Buna 0-1 saat 6 TL göre süreye göre ücret tarifesinin fonksiyonunu yazarak grafiğini 1-3 saat 8,5 TL çizelim. 3-6 saat 12 TL 6-12 saat 14 TL 12-24 saat 20 TL ÖRNEK ÇÖZÜM Girdisi süre, çıktısı da ücret olan bu fonksiyon f fonksiyonu olsun. f fonksiyonunun girdileri aralıklar şeklinde olup çıktıları bu aralıklara göre farklı sabit sayılar şeklindedir. Buna göre f fonksiyonu farklı tanım aralıklarında farklı görüntüleri olan aşağıdaki gibi parçalı tanımlı bir fonksiyondur. Z6 ; 0 < x ≤ 1 ] ] 8, 5 ; 1< x ≤ 3 ] f (x) = [ 12 ; 3 < x ≤ 6 ] ] 14 ; 6 < x ≤ 12 ] 20 ; 12 < x ≤ 24 \ f(x) parçalı tanımlı fonksiyonunun grafiği de aşağıdaki gibi olur. y 20 14 12 8,5 6 0 1 3 6 24 x 12 ETKİNLİK ❖ Bir GSM şirketinin kısa mesaj (SMS) ücretlendirme tarifesi yandaki tabloda verilmiştir. ❖ Tablodaki verilerden kısa mesaj sayısını girdi, ücreti de çıktı olarak düşündüğünde elde edeceğiniz parçalı fonksiyonun tanım aralıklarını bulunuz. ❖ Bulmuş olduğunuz tanım aralıklarından hareketle parçalı fonksiyonu çiziniz. 120 Kısa Mesaj (SMS) Sayısı Ücret (TL) 0 – 50 3 51 – 100 5 101 – 150 7 151 – 200 9,5 201 – 250 12,5 ÖRNEK f(x) = |x| fonksiyonunun parçalı tanımlı bir fonksiyon olup olmadığını inceleyelim. y ÇÖZÜM f(x) = |x| Bir sayının mutlak değeri hiçbir zaman negatif olamayacağından, mutlak değer fonksiyonunda hem negatif hem de pozitif değerlerin görüntüleri pozitif olacaktır. Dolayısıyla mutlak değer fonksiyonu grafikler de görüle–x ; x < 0 bileceği gibi parçalı tanımlı olarak f (x) = ) şekx;x ≥0 linde yazılır. 0 x f(x) = xn (n ∈ Z) Biçimindeki Fonksiyonların Grafikleri ETKİNLİK ❖ Aşağıdaki tabloda verilen x girdilerinin f(x) = x, g(x) = x2, h(x) = x3 ve u(x) = x–1 fonksiyonları altındaki görüntülerini bularak tabloyu tamamlayınız. x f(x) = x g(x) = x2 h(x) = x3 u(x) = x–1 –3 –2 –1 0 1 2 3 ❖ Yukarıdaki tablodan yararlanarak f, g, h ve u fonksiyonlarını ikililer hâlinde yazınız. f = {…………………………………………………………………} g = {…………………………………………………………..…….} h = {………………………………………………..……………….} u = {……………………………………………..………………….} ❖ f, g, h ve u fonksiyonlarının grafiklerini çizmek için, uygun ölçekli kareli kâğıtlara dört ayrı analitik düzlem çiziniz. ❖ Her bir fonksiyona ait ikililerin yerlerini, çizdiğiniz analitik düzlemlerde belirleyiniz. ❖ Bu ikilileri birleştirerek fonksiyonların grafiklerini elde ediniz. Bu etkinliğin bir benzerini de bilgi iletişim teknolojileri yardımıyla bir sonraki etkinlikte yapınız. 121 ETKİNLİK f(x) = xn (n ∈ Z) biçimindeki fonksiyonların grafiklerini elektronik tablolama programıyla çizelim. ❖ Elektronik tablolama programında bir çalışma sayfası açınız. ❖ Şekilde görüldüğü gibi A2, B2, C2 ve D2 hücrelerine sırasıyla x, x2, x3, x–1 başlıklarını giriniz. ❖ A2 – A8 hücrelerine x değerlerini giriniz. ❖ B2 hücresine “=KUVVET(A2;2)” formülünü giriniz. B2 hücresinin sağ alt köşesindeki “+” işaretinden aşağı doğru çekerek her bir x değeri için x2 değerini hesaplayınız. A B C D 1 x x2 x3 x–1 2 –3 = KUVVET(A2;2) 3 –2 4 –1 5 0 6 1 7 2 ❖ Benzer şekilde, C2 hücresine 8 3 “=KUVVET(A2;3)” ve D2 hücresine “=KUVVET(A2;–1)” formüllerini girerek x3 ve x–1 değerlerini hesaplayınız. ❖ y = x2, y = x3, y = x–1 fonksiyonlarının grafiklerini aynı düzlemde çizmek için, A2-D8 hücrelerini seçerek grafik sihirbazını açınız. ❖ Grafik sihirbazında “XY (Dağılım)” grafik türünü seçerek grafik çizme işlemini tamamlayınız. Yukarıdaki modelden faydalanarak f(x) = xn biçimindeki fonksiyonlarda, n ∈ Z+ sayısının tek ve çift olması durumunda grafiklerin davranışlarını inceleyiniz. UYARI f(x) = xn biçimindeki fonksiyonlarda, n ∈ Z+ sayısının tek olduğu durumlarda fonksiyonların grafikleri “koltuk” biçiminde iken (Şekil 1); n ∈ Z+ sayısının çift olduğu durumlarda grafiklerin “U” biçiminde (Şekil 2) olduğuna dikkat ediniz. y = x5 y = x3 y y = x4 10 10 y = x2 5 –2 y=x –1 O 1 2 5 x –5 –3 –10 –2 O –1 –5 Şekil 2 Şekil 1 122 x 1 2 3 Bire Bir ve Örten Fonksiyonlar Aşağıda sıralı ikililer şeklinde verilen eşleştirmeleri inceleyiniz. a) ülke – başkent b) motorlu taşıt – plaka c) şehir – telefon kodu ç) öğrenci – öğrenci no d) TC vatandaşı – TC kimlik no Bu eşleştirmelerde eşleşmeyen elaman kalır mı? Buna göre bu eşleştirmeler bir fonksiyon belirtir mi? Bu eşleştirmelerin ortak özelliği nedir? Açıklayınız. UYARI • f : A → B fonksiyonu için, A kümesindeki her farklı elemanının görüntüsü daima farklı ise f fonksiyonuna bire bir fonksiyon denir. Buna göre, Her x1, x2 ∈ A için x1 ≠ x2 ise f(x1) ≠ f(x2) ya da f(x1) = f(x2) ise x1 = x2 şartları sağlanıyorsa f fonksiyonu bire birdir. • f : A → B fonksiyonu için, fonksiyonun görüntü kümesi ile değer kümesi eşit ise f fonksiyonuna örten fonksiyon denir. Yani, f(A) = B şartı sağlanıyorsa f fonksiyonu örtendir. ÖRNEK Aşağıda grafikleri verilen R → R tanımlı f (x) = x + 2 ve g (x) = x2 fonksiyonlarının bire bir ve örten olup olmadıklarını belirleyelim. y g(x) = x2 y f(x) = x + 2 2 1 –2 0 –1 x 1 x –1 ÇÖZÜM f(x1) = f(x2) ise x1 + 2 = x2 + 2’dir. Buradan x1 = x2 bulunur. O hâlde, f fonksiyonu bire birdir. Yine, her y ∈ R için f(x) = y ise x + 2 = y olup x = y – 2 olur. Yani değer kümesindeki her y ∈ R için tanım kümesinde x = y – 2 olacak şekilde bir x ∈ R vardır. Dolayısıyla f fonksiyonu örtendir. Diğer taraftan, –1, 1 ∈ R elemanlarının g fonksiyonu altındaki görüntüleri g (–1) = g(1) = 1 olup g fonksiyonu tanım kümesindeki farklı iki elemanı değer kümesinde aynı elamanla eşleştirmektedir. Yani –1 ≠ 1 iken f(–1) = f(1) = 1 olduğu için g fonksiyonu bire bir değildir. Yine, değer kümesindeki bazı elemanlar boşta kalmaktadır. Örneğin –1 ∈ R elemanının tanım kümesinde eşleştiği bir eleman yoktur. Dolayısıyla, g fonksiyonu örten değildir. 123 UYARI Bir fonksiyonun grafiğinden, fonksiyonun bire bir ya da örten olup olmadığını anlamak için değer kümesinden x eksenine paralel doğrular çizilir. Yapılan bu işleme yatay doğru testi denir. Eğer; • Paralel doğrular grafiği en çok bir noktada kesiyorsa fonksiyon bire bir, • Paralel doğrular grafiği en az bir noktada kesiyorsa fonksiyon örtendir. ÖRNEK Aşağıda grafikleri verilen R → R tanımlı f, g ve h fonksiyonların bire bir ve örten olup olmadıklarını belirleyelim. y f f fonksiyonu bire birdir. Çünkü yatay doğrular fonksiyon eğrisini en çok bir noktada kesmektedir. x 0 f fonksiyonu örtendir. Çünkü yatay doğrular fonksiyon eğrisini en az bir noktada kesmektedir. y g g fonksiyonu bire bir değildir. Çünkü fonksiyon eğrisini birden fazla nokta kesen yatay doğrular vardır. x 0 g fonksiyonu örten değildir. Çünkü fonksiyon eğrisini hiçbir noktada kesmeyen yatay doğrular vardır. y h f fonksiyonu bire birdir. Çünkü yatay doğrular fonksiyon eğrisini en çok bir noktada kesmek- 0 tedir. x f fonksiyonu örtendir. Çünkü yatay doğrular fonksiyon eğrisini en az bir noktada kesmektedir. 124 ALIŞTIRMALAR 1. Yandaki fonksiyonun grafiğini kullanarak aşağıda istenenleri cevaplayınız. a) f(6) = ....... b) f(–1) = ....... c) f(4) = ....... ç) f(.....) = 4 d) f(.....) = 1 e) Grafiğe göre tanım ve görüntü kümeleri y 6 5 4 y = f(x) 3 2 1 –1 1 2 3 4 5 6 7 x 8 y 2. Alfabemizdeki büyük harfleri düşünerek; a) Grafiği fonksiyon temsil edecek iki tanesini çiziniz. b) Grafiği fonksiyon temsil etmeyecek iki tanesini çiziniz. x 0 3. Yandaki grafik bir öğrencinin evden okula giderken zamana bağlı yürüdüğü mesafeyi göstermektedir. Buna göre Mesafe (m) y 8 a) Bu öğrenci hangi zaman aralıklarında durmuştur? b) Grafik bir fonksiyon temsil eder mi? Açıklayınız. 6 4 2 2 8 x y 40 Sıcaklık (°C) 4. Yandaki y = f(x) fonksiyonunun grafiği 24 saat boyunca dışarıdaki sıcaklığın zamana göre değişimini göstermektedir. Buna göre; a) Bağımlı ve bağımsız değişkenler nelerdir? b) Grafiğe göre tanım ve görüntü kümeleri nelerdir? c) 10. saatteki sıcaklığı matematiksel olarak yazınız. ç) Hangi saatte sıcaklığın 20°C olduğunu matematiksel olarak yazınız. 4 6 Zaman (sn) 30 20 y = f(x) 10 0 125 4 8 12 16 Zaman (sa) 20 22 24 x ÜNİTE DEĞERLENDİRME SORULARI 1. Aşağıdaki ifadelerden doğru olanlarına “D”, yanlış olanlarınaysa “Y” yazınız. (.....) Bir fonksiyonda bir girdinin bir tek çıktısı vardır. (.....) Bir fonksiyonda görüntü kümesi değer kümesinin bir alt kümesidir. (.....) Görüntü kümesi değer kümesine eşit olan fonksiyonlara bire bir fonksiyon denir. (.....) y = mx + n doğrusal fonksiyonu y-eksenini (0, n) noktasında keser. (.....) Yatay doğru testi, verilen bir grafiğin fonksiyon temsil edip etmediğini test etmeye yarar. (.....) f(x) = xn fonksiyonunda n ∈ Z+ çift sayı ise fonksiyonun grafiği “∪” şeklindedir. 2. Aşağıdaki cümlelerdeki noktalı yerleri tabloda verilen uygun kelimelerle tamamlayınız. • ................................... bir grafiğin bire bir fonksiyon temsil edip etmediğini belirlemeye yarar. • y = mx + n biçimindeki fonksiyonlara ................................... denir. • Tanım kümesindeki her bir girdiyi değer kümesinde kendisi ile eşleyen fonksiyona ................................... denir. • Farklı aralıklarda farklı kurallarla verilen fonksiyona ................. .................. fonksiyon denir. • f : A → B fonksiyonunda f(A) kümesine ............................; B kümesine ............................ ve A kümesine ............................ denir. • Tanım kümesindeki her bir girdiyi değer kümesinde tek bir çıktıyla eşleyen fonksiyona ............................... denir. • ............................... tanım kümesindeki her bir girdiyi değer kümesinde farklı çıktılarla eşleyen bir fonksiyondur. birim fonksiyon sabit fonksiyon doğrusal fonksiyon parçalı tanımlı yatay doğru testi düşey doğru testi tanım kümesi değer kümesi görüntü kümesi bire bir fonksiyon örten fonksiyon 3. Aşağıda girdi ve çıktı olarak verilen ilişkilerden hangilerinin fonksiyon belirtip belirtmediğini, nedenleriyle birlikte açıklayınız. a) Girdi (x) Çıktı (y) –2 b) Girdi (x) Çıktı (y) –2 3 –1 –1 0 c) Girdi (x) Çıktı (y) –3 –2 1 –1 1 0 1 3 2 3 ç) Girdi (x) Çıktı (y) –5 –2 0,4 –1 –3 –1 0,6 0 1 –1 0 1 1 1 1 –3 1 1,5 5 3 2 2 8 2 2,2 9 7 3 3 2 4 3,3 126 4. Aşağıda kuralları verilen fonksiyonlar için tablolarda boş bırakılan yerleri tamamlayınız. a) y= 3 x–7 4 b) 2 x+5 3 y= y= –6 –3 –12 9 5 11 14 12 20 2x – 3 5 Girdi (x) Çıktı (y) Girdi (x) Çıktı (y) Girdi (x) Çıktı (y) 25 15 23 5. f (x) = c) 9 x + 32 kuralıyla verilen fonksiyon için aşağıdaki değerleri bulunuz. 5 a) f(20) b) f(–15) c) f(x) = 41 için x ç) f(25) 6. A = {–2, –1, 0, 1, 2} ve f : A → B fonksiyonu f(x) = –2x + 3 şeklinde tanımlı ise f(A) görüntü kümesini bulunuz. 7. B = {–1, 2, 5, 8} ve f : A → B fonksiyonu f(x) = 3x – 4 şeklinde tanımlı ise en geniş A tanım kümesini bulunuz. 8. f, g : R → R, f(x) = 4x – 3, g(x) = 5x – 13 ve f(5) = g(k) ise k kaçtır? 9. f(x) = x2 – 2x + 3 ise f(x + 1) – f(x) aşağıdakilerden hangisidir? A) 1 B) 3 C) x – 1 D) x + 1 E) 2x – 1 10.f(x) doğrusal fonksiyonu için f(1) = 2 ve f(2) = 1 olduğuna göre f(3) kaçtır? A) –1 B) 0 C) 1 D) 2 E) 3 Z 2x , x > 3 ise ]] 11.f : R → R, f (x) = [ 5 , x = 3 ise fonksiyonu için f(–1) + f(3) + f(5) kaçtır? ]] x + 2, x < 3 ise \ 12.Aşağıdaki grafiklerin bir fonksiyon temsil edip etmediğini düşey doğru testiyle belirleyiniz. a) b) c) d) 13.Aşağıda (girdi, çıktı) şeklinde sıralı ikili olarak verilen ilişkiler bir fonksiyon belirtir mi? Fonksiyon belirtmeyen ikili varsa nedenini örnek vererek açıklayınız. a)(ülke, başkent) b) (kişi, isim) c) (şehir, posta kodu) ç) (soyadı, isim) d) (kişi, kan grubu) 127 14.f : R → R, f(x) = x – 3 fonksiyonunun grafiğini çizerek fonksiyonun eksenleri kestiği noktaları belirtiniz. 15.Aşağıdakilerden hangisi parçalı tanımlı bir fonksiyonun grafiğidir? A) B) D) E) C) 16.Aşağıdakilerden hangisi y = mx+ n şeklinde doğrusal bir fonksiyon grafiğidir? A) y B) C) y y 0 x x 0 D) E) y 0 x 0 y x x 0 17.Aşağıdaki grafikleri verilen R → R tanımlı fonksiyonlardan kaç tanesi bire birdir? y y x O y O x y O y O x O x A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 128 E) 5 x