PDF Örneği için tıklayınız

FASİKÜLE VERİMLİ ÇALIŞMA REHBERİ
Sevgili öğrenciler ve değerli meslektaşlarım,
Bireysel Matematik Fasikülleri, matematik bilmeyene keyifli bir yolculuk, matematik bilene hatasız
soru çözme kabiliyeti kazandıracak şekilde tasarlanmıştır.
� Her fasikül, en temelden adım adım matematiğinizi geliştirip güçlendirecek tekniklerle oluşturul-
muştur.
� Sayfa başlıklarıyla, her ünite, anlamayı kolaylaştırıcı alt başlıklara ayrılmıştır.
�
�
Konu Özeti
: Konu özetlerinde kavramlar madde madde vurgulanmıştır.
: Uyarı ikonlarıyla hatırlatmalar ve dikkat edilmesi gerekenler belirtilmiştir.
� (*) : Dipnotlarla konu dışı kavramlar açıklanmıştır.
�
ÖRNEK
ve
ÇÖZÜM
: Örnekler sayfa başlığını en iyi açıklayacak şekilde özenle kurulmuş ve
çözümleri kolayca anlaşılacak şekilde düzenlenmiştir.
�
: Her başlıkla ilgili el alışkanlığı kazanmanızı sağlayacak bolca soru Sıra Sende kısmında, cevaplarınızı kolayca kontrol edebileceğiniz şekilde sorulmuştur.
�
Uygulama Zamanı : Belirli aralıklarla birikimlerinizi değerlendirme uygulamaları konulmuştur.
�
Tekrar Zamanı : Ünite sonlarında öğrendiklerinizi test tekniğiyle pekiştireceğiniz ve çözüm-
leriyle unuttuklarınızı hatırlayacağınız testler sunulmuştur.
� Anahtar kavramlar ve çözümler renklendirilerek fark etmeniz sağlanmıştır.
� Öğrencilerin sık düştüğü hatalar vurgulanarak belirtilmiştir.
� Pratik ve eğlenceli çözümlerle akılda kalıcılık arttırılmıştır.
� Her konu, özenle oluşturulan
Konu Testi ile pekiştirilirken, "
" ikonuyla belirtilen soruların
çözümünü "SİZİN İÇİN ÇÖZDÜKLERİMİZ" kısmında bulabilirsiniz.
Sonuç olarak, şunu diyebiliriz ki; matematik ayrıntılarda gizlidir. Bundan dolayı sabırla her fasikülü,
üniteyi, başlığı ve maddeyi anlayarak, her örneği ve soruyu çözerek matematiği kolayca öğrenebilir,
sınavlardaki matematik korkunuzdan kurtulabilirsiniz.
Başarılı bir gelecek dileğiyle...
METİN YAYINLARI
http://www.metinyayinlari.com
İÇİNDEKİLER
LİMİT
Limit Kavramı.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
Soldan-Sağdan Yaklaşma / Bir Sayı Civarında İşlemler.. . . . 2
Soldan - Sağdan Limit ve Limitin Varlığı.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
Grafikte Limitin Varlığı.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
Sabit ve Polinom Fonksiyonların Limiti.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
LİMİT ÖZELLİKLRİ
Fonksiyon İşlemlerinde Limit.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
Mutlak Değer ve Köklü İfadelerde Limit.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
Sıkıştırma Kuralı / Sağdan-Soldan Limit Özellikleri.. . . . . . . . . 8
Uygulama Zamanı – 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
Tekrar Zamanı
ÇÖZÜMLÜ TEST – 1.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
ÖZEL FONKSİYONLARDA LİMİT
Parçalı Fonksiyonlarda Limit.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
Mutlak Değer Fonksiyonun Limiti.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
Üstel ve Logaritmik Fonksiyonların Limiti.. . . . . . . . . . . . . . . . . 16
R de Limit – I (Genişletilmiş Reel Sayılarda İşlemler).. . . . 17
R de Limit – II (Sonsuz, Tanımsız ve Belirsiz).. . . . . . . . . . . . 18
R de Limit – III ( lim f (x) = ± ∞ Limitler).. . . . . . . . . . . . . . . . . 19
x"a
R de Limit – IV ( lim f (x) Limitler).. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
x "±∞
R de Limit – V ( R de Limitin Grafik Yorumu).. . . . . . . . . . . . . 21
Uygulama Zamanı – 2.................................................22
Tekrar Zamanı
ÇÖZÜMLÜ TEST – 1.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
ÇÖZÜMLÜ TEST – 2.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
Trigonometrik Fonksiyonların Limitleri – I. . . . . . . . . . . . . . . . . 30
Trigonometrik Fonksiyonların Limitleri – II.. . . . . . . . . . . . . . . . 31
Bileşke Fonksiyonların Limiti.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
Genel Limit Alma Kuralları. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
Limit Denklemleri.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
Uygulama Zamanı – 3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
Tekrar Zamanı
ÇÖZÜMLÜ TEST – 1.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
BELİRSİZ LİMİTLER
0/0 Belirsizliği – I (Polinomlu Kesirlerde 0/0 Belirsizliği) .. .
0/0 Belirsizliği – II (Köklü Kesirlerde 0/0 Belirsizliği /
Üstel İfadeli Kesirlerde 0/0 Belirsizliği). . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Trigonometrik Fonksiyonlarda 0/0 Belirsizliği – I.. . . . . . . . . .
Trigonometrik Fonksiyonlarda 0/0 Belirsizliği – II.. . . . . . . . .
Trigonometrik Fonksiyonlarda 0/0 Belirsizliği – III.. . . . . . . .
Trigonometrik Fonksiyonlarda 0/0 Belirsizliği – IV.. . . . . . . .
Uygulama Zamanı – 4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Tekrar Zamanı
ÇÖZÜMLÜ TEST – 1.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ÇÖZÜMLÜ TEST – 2.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
∞/∞ Belirsizliği – I (Polinomlu Kesirlirde ∞/∞ Belirsizliği. . .
∞/∞ Belirsizliği – II (Köklü Kesirlerde ∞/∞ Belirsizliği. . . . . .
∞/∞ Belirsizliği – III (Üstel İfadeli Kesirlerde
∞/∞ Belirsizliği).. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
∞/∞ Belirsizliği – IV (Sonsuza Hızlı ilerleyen Terimler.. . . . .
∞ – ∞ Limitleri – I (Köklü İfadelerde ∞ – ∞ Belirsizliği).. . . .
40
41
42
43
44
45
46
48
50
54
55
56
57
58
∞ – ∞ Limitleri – II (Kesirli İfadelerde ∞ – ∞ /
Logaritmik İfadelerde ∞ – ∞).. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
Uygulama Zamanı – 5.................................................60
1∞ Belirsizliği.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
0 · ∞ Belirsizliği.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
Belirsiz Limit Denklemleri. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
Limitte Değişken Dönüşümleri – I.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
Limitte Değişken Dönüşümleri – II.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
Limitin Geometrik Uygulamaları.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
Uygulama Zamanı – 6. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
Tekrar Zamanı
ÇÖZÜMLÜ TEST – 1.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
ÇÖZÜMLÜ TEST – 2.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
SÜREKLİLİK
Süreklilik Kavramı ve Grafik Yorumu.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Süreksiz Noktaların Özellikleri. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Bir Aralıkta ve Bu Aralığın Sınırlarında Süreklilik.. . . . . . . . .
Polinom ve Kesirli Fonksiyonların Sürekliliği. . . . . . . . . . . . . .
Tanım Kümesinde Süreklilik ve
Parçalı Fonksiyon Sürekliliği.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Fonksiyonların Sürekli Olduğu Aralıklar.. . . . . . . . . . . . . . . . . .
Fonksiyon İşlemlerinde Süreklilik.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Fonksiyonlarda Süreksiz Nokta Problemleri.. . . . . . . . . . . . . .
Fonksiyonların R de Sürekli Olabilmesi.. . . . . . . . . . . . . . . . . .
Sınırlı Fonksiyon Kavramı ve Limiti.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Kapalı Aralıkta Sürekli Fonksiyonların Özellikleri
(En Büyük, En Küçük Değeri / Bir Aralıkta Kök Varlığı).. .
Uygulama Zamanı – 7. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Tekrar Zamanı
ÇÖZÜMLÜ TEST – 1.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
89
DİZİLERDE LİMİT
Dizi Kavramı ve Bir Dizinin Limiti.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
Fonksiyon Limitleriyle Dizi Limiti Hesaplama.. . . . . . . . . . . . . 93
Toplam Formülleriyle Dizi Limiti Hesaplama.. . . . . . . . . . . . . . 94
Basit Kesirlere Ayırarak Dizi Limiti Hesaplama.. . . . . . . . . . . 95
Geometrik Dizi, İlk n Terim Toplamı ve Limit İlişkisi.. . . . . . . 96
Sonsuz Terimli Geometrik Dizi Toplamı – I.. . . . . . . . . . . . . . . 97
Sonsuz Terimli Geometrik Dizi Toplamı – II
(Kuvvet ve İşaret Düzenleme).. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
Sonsuz Terimli Geometrik Dizi Toplamı – III.. . . . . . . . . . . . . . 99
Sonsuz Terimli Geometrik Dizi Toplamı – IV
(Harfli İfadeler ve Denklemler). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
Sonsuz Terimli Geometrik Dizi Problemleri – I
(Sonsuz Toplamlar / Devreden Sayılar). . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
Sonsuz Terimli Geometrik Dizi Problemleri – II
(Sonsuz İlerlemeler) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
Sonsuz Terimli Geometrik Dizi Problemleri – III
(Sıçrayan Top).. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
Sonsuz Terimli Geometrik Dizi Problemleri – IV
(Geometrik Yorum).. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
Geometrik Dizi Olmayan Sonsuz Toplamlar.. . . . . . . . . . . . . 105
Uygulama Zamanı – 8. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
Tekrar Zamanı
ÇÖZÜMLÜ TEST – 1.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
KONU TESTLERİ.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
SİZİN İÇİN ÇÖZDÜKLERİMİZ.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
Limit Kavramı
LİMİT
2
Limit, matematiksel olarak bir noktaya sınırları (limitleri) zorlayacak kadar yaklaşmak; ancak o noktaya
varmamak olarak düşünülebilir.
y
Limit kavramını grafik üzerinden
K
açıklayalım ve elemanlarını belirtelim.
L
a
x
x
vv x; limitleri zorlayan değişkendir,
vv x → a; x değişkeninin a noktasına yaklaşmasıdır,
vv f(x); limit altındaki fonksiyondur,
vv L; x = a civarında f(x) fonksiyonunun yaklaştığı
değerdir.
Limit bir noktadaki değerlerden çok o nokta
civarındaki değerlerdir. x = a noktasındaki değer
f(a) = K iken x = a civarındaki değer lim f (x) = L dir.
x"a
f: R – {–3, 0} → R, y = f(x) fonksiyonunun grafiği aşağıdaki gibidir.
y
–2
–1
a) Alacağı değerlerini bulunuz.
ÇÖZÜM
Bir fonksiyonun herhangi bir noktasındaki
değeri ile o noktasındaki limiti aynı da olabilir, farklı da
olabilir.
a) f(–2) = 0, f(–1) = 0, f(0) = 1, f(1) = 2 ve f(2) = 1 dir.
b) lim f (x) = - 1, lim f (x) = 0, lim f (x) = 1,
x " –2
x " –1
x"2
Aşağıdaki tabloda, apsisleri verilen noktalarda f(x)
fonksiyonunun grafiğine göre aldığı değerleri ve limitlerini
belirtiniz.
–5
5
2.
–4
4
3.
–3
3
4.
–2
5.
–1
6.
0
7.
1
8.
2
9.
3
10.
4
11.
5
y = f(x)
1
3
4
5
x"0
lim f (x) = 2 ve lim f (x) = 0 dır.
x"1
1.
2
x
2
Şekilde y = f(x) fonksiyonunun grafiği verilmiştir. Buna
göre, f(x) fonksiyonunun x in –2, –1, 0, 1 ve 2 için;
6
O 1
–1
1
O
–1
x
2
–3
–1
b) Limitlerini bulunuz.
vv a; limitleri zorlanan noktadır,
–4
1
–2
y = f(x)
y = f(x) fonksiyonu için f(a) = K
iken lim f (x) = L ise,
o x
x"a
–5
y
ÖRNEK
Konu Özeti
x
–2
–3
–4
–5
f(x)
lim f(x)
–6
1) 2; 2
2) 0; 0
3) Tanımsız; –1
4) 0; –4
5) –1; –1
6) Tanımsız; 0
7) 4; 4
8)
10) 0; 0
11) 1; 1
9) 5;
4
3
8 8
;
3 3
1
Soldan-Sağdan Yaklaşma / Bir Sayı Civarında İşlemler
LİMİT
(Soldan Sağdan Yaklaşma)
Konu Özeti
a ∈ R olmak üzere;
vv x değişkeni a ya, a dan küçük değerlere yaklaşıyorsa, bu yaklaşmaya soldan yaklaşma denir ve
x → a– ile gösterilir.
vv x değişkeni a ya, a dan büyük değerlerle yaklaşıyorsa bu yaklaşmaya sağdan yaklaşma denir ve
x → a+ ile gösterilir.
x
soldan yaklaşma
a – a+
sağdan yaklaşma
(Bir Sayı Civarında İşlemler)
Konu Özeti
Limit işlemlerinin rahatça yapılabilmesi için bir sayı
civarındaki işlemlerin iyi bilinmesi gerekir.
Bir sayının civarı bu sayının çok yakınındaki değerlerdir.
vv a+; a dan çok az büyük değer
vv a–; a dan çok az küçük değer
olarak düşünülebilir. Örneğin,
x
3– = –3,00...1
ÖRNEK
Aşağıda tabloda belirtilen değişkenlerin hangi sayıya
yaklaştığını tespit ediniz.
x
2,5
2,8
2,9
2,99
2,999
...
b)
y
–2,5
–2,8
–2,99
–2,99
–2,999
...
Değişkenlerin sayı doğrusundaki görüntüle-
rini inceleyelim.
–3+
–3
3
2,8 2,9
sağdan
x
–2,9 –2,8 –2,5

2,5
3–
a) 5 – 5+
b) –2 – (–2–)
c) (3–)2
d) (–4–)2
ÇÖZÜM
x değişkeni –3 e sağdan
yaklaşmaktadır
yani x → –3+ dır.
b) –2– = –2,00...1 ⇒ –2 – (–2–) = –2 – (–2,00...1)
Aşağıdaki değişkenlerin yaklaştığı sayıları yaklaşma
yönüyle birlikte belirtiniz.
= –2 + 2,00 ... 1 = 0,00..1 = 0+
c) 3– = 2,99...9 ⇒ (3–)2 = (2,99...9)2 = 8,99...1 = 9–
d) –4– = –4,00..1 ⇒ (–4–)2 = (–4,00..1)2 = 16,00..1 = 16+
Aşağıdaki işlemlerin sonucunu bir sayı civarında işlemler ile bulunuz.
1. 4 + 0+ =
9. (0–)2 =
17.6 : 2+ =
1)
x
1,5
1,8
1,9
1,99
1,999
...
2. –5 + 3– =
10.(2–)2 =
18.–8 : 2+ =
2)
y
3,5
3,3
3,1
3,01
3,001
...
3. 3 – 3+ =
11.(–2–)2 =
19.–6 : (–3)+ =
3)
z
0,6
0,7
0,9
0,99
0,999
...
4. –4 – (–4)– =
12.(–1+)3 =
20.0 : 0+ =
4)
t
0,6
0,3
0,1
0,01
0,001
...
5. (–1)– · 7 =
13.0+ · 5 =
21.0 : 0– =
5)
h
–0,6
–0,7
–0,9
–0,99
–0,999
...
6. 1– · (–7) =
14.0+ · (–2) =
22.2 · 3+ – 1 =
6)
k
99,7
99,8
99,9
99,99
99,999
...
7. (–4) · (–3)– =
15.0– · (–3) =
23.9 : (–3–)2 =
7)
l
–0,6
–0,3
–0,1
–0,01
–0,001
...
8. (0+)2 =
16.6+ : 2 =
24.5 – (3–)2 =
8)
m
–100,7
–100,8
–100,9
–100,9
–100,999
...
1) x → 2–
2
Aşağıdaki işlemlerin sonucunu a+ veya a– şeklinde
bulunuz.
a) 5+ = 5,00...1 ⇒ 5 – 5+ = 5 – (5,00...1) = –0,00...1 = 0–
x değişkeni 3 e soldan
yaklaşmaktadır
yani x → 3– dir.

soldan
x
–3
0
3
–3+ = –2,99...9 3– = 2,99...9
3+ = 3,00...1
ÖRNEK
a)
ÇÖZÜM
0+ = 0,00...1
0– = –0,00...1
a
5) h → –1+
2) y → 3+
6) k → 100–
3) z → 1–
7) l → 0–
4) t → 0+
8) m → –101+
1) 4+
2) –2–
3) 0–
9) 0+
10) 4–
11) 4+
17) 3–
18) –4+
19) 2+
4) 0+
5) –7–
6) –7+
7) 12+
8) 0+
12) –1+
13) 0+
14) 0–
15) 0+
16) 3+
20) 0
21) 0
22) 5+
23) 1–
24) –4+
Soldan - Sağdan Limit ve Limitin Varlığı
LİMİT
ÇÖZÜM
Konu Özeti
f: R – {a} → R,
y = f(x) fonkisyonu için
y
lim f (x) = f (1–)
y
x " 1–
-
= 1 +1 = 2 . 2
y = f(x)
L2
vv x değişkeni a ya soldan
yaklaşırken (x → a–), f(x)
O x
fonksiyonu L1 sayısına L
1
yaklaşıyorsa f in x = a da
soldan limiti L1 dir ve
lim- f (x) = L1 biçiminde gösterilir.
a
x
x
1
lim+ f (x) = f (1+)
–1
x"1
+
x"1
x"1
f(1) tanımsız olmasına rağmen lim f (x) = 2 dir.
x"1
x"a
Limit aranan veya limitin varolduğu noktada
fonksiyon tanımlı olmak zorunda değildir.
Sol limit, sağ limite eşit ise fonksiyonun limiti vardır.
vv lim– f (x) = lim+ f (x) = L ise lim f (x) = L dir.
R de tanımlı bir f fonksiyonu için lim+ f (x) = 1 ve
x"3
lim- f (x) = 2 olduğuna göre aşağıdaki limit değerlerini
x"3
bulunuz.
a) lim+ f (2x - 1) b) lim+ f (5 - x)
x"2
x"a
x"a
x"a
(Bir Sayı Civarında Fonksiyon Değeri)
ÖRNEK
vv lim– f (x) ≠ lim+ f (x) ise lim f (x) yoktur.
x"a
x
x
1
lim f (x) = lim- f (x) = 2 & lim f (x) = 2 dir.
x " 1+
vv x değişkeni a ya sağdan yaklaşırken (x → a+), f(x)
fonksiyonu L2 sayısına yaklaşıyorsa f in x = a da
sağdan limiti L2 dir ve
lim+ f (x) = L2 biçiminde gösterilir.
x"a
O x
= 1 + 1 = 2+ . 2
x"a
x"a
y = f(x)
2
-
.
ÇÖZÜM
lim f (x) varsa bu limit bir tanedir.
x"a
x"2
lim f (x) = 1 & f (3+) = 1 dir.
x " 3+
lim f (x) = 2 & f (3-) = 2 dir.
x " 3-
a) lim+ f (2x - 1) = f (2 · 2+ - 1) = f (3+) = 1 dir.
ÖRNEK
x"2
f: R – {1} → R, f(x) = x + 1 fonksiyonunun x = 1 noktasındaki limitini bulunuz.
1. Gerçek sayılarda tanımlı y = f(x) fonksiyonu için
lim f (x) = 5 olduğuna göre aşağıdaki limit değerlerini
x"2
b) lim+ f (5 - x) = f (5 - 2+) = f (3-) = 2 dir.
x"2
3. Gerçek sayılarda tanımlı f fonksiyonu için aşağıdaki
tablo verilmiştir.
x
bulunuz.
f(x)
a) lim+ f (x) =
1
1
5,99
5,999
6,001
6,01
6,1
6,2
1
1
–2,999
–2,99
–2,9
–2,8
Tabloya göre aşağıdaki limit değerlerini bulunuz.
x"2
b) lim- f (x) =
a) lim- f (x) = d) lim+ f (8 - x) =
b) lim+ f (x) = e) lim- f (x2 + 6) =
x"6
x"2
2. Gerçek sayılarda tanımlı f fonksiyonunun x = 3 apsisli
noktadaki limiti 7 iken,
lim f (x) = 2a - 1 ve lim+ f (x) = ab - 1 olduğuna göre
x " 3-
x"3
a + b toplamının değeri kaçtır?
1) a) 5
5,8 5,9
b) 5
x"2
x"0
x"6
6
fc m
x
f) lim+
=
x " 1 f (2x + 4)
c) lim f (x) = x"6
2) 6
3) a) 1
b) –3
c) Yoktur
d) 1
e) –3
f) -
1
3
3
Grafikte Limitin Varlığı
LİMİT
y
Konu Özeti
ÖRNEK
n
f: (a, e] – {b} → R
olmak üzere;
m
,
a
o
b
c
d
vv Tanımsız nokk
ta olan x = b de
sağ ve sol limit eşit olduğu için "limit vardır."
e
x
f(b) tanımsız iken lim f (x) = , dir.
y
f: [–3, ∞) – {2} → R olmak
üzere grafiği verilen
y = f(x) fonksiyonunun x in
–3, 0, 2 ve 3 sayıları için;
2
1
o
–3
a) Alacağı değerlerini
bulunuz.
y = f(x)
2
x
3
b) Limitlerini bulunuz.
x"b
vv Sıçrama noktası olan x = c de sağ ve sol limitler
eşit olmadığı için "limit yoktur."
m
n
64 74 8 64 74 8
lim- f (x) ≠ lim+ f (x) & lim f (x) yoktur.
x"c
vv Kopma noktası olan x = d de sağ ve sol limitler
eşit olduğu için "limit vardır."
lim - f (x) = lim+ f (x) = m & lim f (x) = m dir.
x"d
x"d
x"d
vv Tanım aralığının uç noktaları olan x = a ve
x = e de limit araştırılırken sadece tanımlı olunan
tarafından limite bakılır.
lim f (x) = lim f (x) = k ve lim- f (x) = lim f (x) = 0
x"a
x " a+
x"e
x"e
1.
f(x)
4
lim f (x) = 2 & lim f (x) = 2 dir.
x " –3
x " - 3+
x = 0 da lim- f (x) = 1 ve lim+ f (x) = 1 & lim f (x) = 1 dir.
x"0
x = 2 fonksiyonun tanımsız olduğu kopma noktasıdır;
lim f (x) = 0 ve lim+ f (x) = 0 & lim f (x) = 0 dır.
x " 2-
x"2
x"2
x = 3 sıçrama noktasıdır;
lim– f (x) = 1 ve lim+ f (x) = 2 & lim f (x) yoktur.
x"3
x"3
2.
g(x)
y
5
3
4
2
3
o
x
2
o
1
2
2
x
Şekilde f(x) ve g(x) fonksiyonlarının grafikleri verilmiştir.
Buna göre aşağıdaki limitlerin değerlerini bulunuz.
a) lim+ f (x) = e) lim+ g (x) =
x"2
x"0
x"0
x"3
y
y
a) f(–3) = 2, f(0) = 1, f(2) tanımsız ve f(3) = 2 dir.
b) x = –3 sağ taraftan tanımlı sınır noktasıdır;
x"c
x"c
ÇÖZÜM
x"2
–3
–2
–1
O
–1
3
1
f) lim- g (x) =
x"2
x"2
c) lim f (x) = a) lim - f (x) = f) lim- f (x) =
b) lim + f (x) = g) lim g (x) =
c) lim + f (x) = h) lim+ f (x) =
d) lim - f (x) = k) lim f (x) =
e) lim f (x) = l) lim f (x) =
x"0
x"0
x "-1
x"2
x"1
x"1
x "-1
d) f(2) = h) g(2) =
x "-1
4
1) a) 4
b) 4
c) 4
d) 4
e) 5
f) 3
g) Yoktur
h) 4
x
Şekilde f(x) fonksiyonunun grafiği verilmiştir. Buna göre
aşağıdaki ifadelerin değerlerin bulunuz.
x "-3
g) lim g (x) =
x"2
4
–2
x "-3
b) lim- f (x) = 2
2) a) 2
b) 2
c) 0
x"3
d) –1
e) Yoktur
f) 2
g) 2
h) 2
k) Yoktur
l) –2
Sabit ve Polinom Fonksiyonların Limiti
(Sabit Fonksiyonun Limiti)
Konu Özeti
Konu Özeti
∀ c ∈ R olmak üzere; f(x) = c sabit fonksiyonu için,
c
C
lim f (x) = lim c = c dir.
x"a
LİMİT
(Polinom Fonksiyonunun Limiti)
n ∈ N olmak üzere;
f(x) = anxn + anxn – 1 + ...+ a0 polinom fonksiyonu için,
x"a
Limit değişkeni dışındaki değişkenler sabit
kabul edilir.
lim f (x) = f (a) dır.
x"a
ÖRNEK
ÖRNEK
f: R → R, f(x) = 5 fonksiyonu için aşağıdaki limit değerlerini bulunuz.
a) lim f (x) b) lim f (x) c) lim f (x)
x " –2
x"0
x"3
f: R → R, f(x) = 2x3 + 3x2 + 5x + 1 fonksiyonu için aşağıdaki limit değerlerini bulunuz.
a) lim f (x)
x"0
ÇÖZÜM
f(x) = 5 olduğuna göre,
y
a) lim f (x) = lim 5 = 5 tir.
x " –2
x " –2
b) lim f (x)
5
y = f(x)
o
3
x"1
b) lim f (x) = lim 5 = 5 tir.
x"0
x"0
–2
c) lim f (x) = lim 5 = 5 tir.
x"3
ÇÖZÜM
x
f(x) = 2x3 + 3x2 + 5x + 1 olduğuna göre,
x"3
ÖRNEK
a) lim f (x) = f (0) = 2 · 03 + 3 · 02 + 5 · 0 + 1 = 1 dir.
x"0
(Limit Değişkeni)
lim x limitinin eşitini bulunuz.
b) lim f (x) = f (1) = 2 · 13 + 3 · 12 + 5 · 1 + 1 = 11 dir.
h"0
x"1
ÇÖZÜM
Limit değişkeni "h" dir. O halde lim x = x tir.
h"0
1. f: R → R, f(x) = 4 fonksiyonu için aşağıdaki limit değerlerini bulunuz.
a) lim f (x) = c) lim f (x) =
b) lim f (x) = d) lim f (x) =
x"0
Aşağıdaki limitlerin değerlerini bulunuz.
1. lim (3x + 1) =
x"1
x"2
x "-1
x"
2.
lim (x2 - 3x) =
x "-2
3
4
3.
lim (x3 - 2x2 - 4x) =
x "-1
2. Aşağıdaki limitlerin eşitini bulunuz.
a) lim 5 = c) lim x =
4. lim (x4 - x2 - 3x + 3) =
b) lim 2 = d) lim π =
5. lim (3ax - a - 2x) =
x"4
a"x
x "-1
h"0
1) a) 4
x"2
y"2
b) 4
c) 4
d) 4
2) a) 5
b) 2
c) x
d) π
1) 4
2) 10
3) 1
4) 9
5) 3x2 – 3x
5
Fonksiyon İşlemlerinde Limit
LİMİT ÖZELLİKLRİ
ÇÖZÜM
Konu Özeti
f ve g, x = a noktasında limitleri olan iki fonksiyon
olmak üzere;
vv lim [f (x) ± g (x)] = lim f (x) ± lim g (x) tir.
x"a
x"a
x"a
vv lim [f (x) · g (x)] = lim f (x) · lim g (x) tir.
x"a
x"a
vv lim >
x"a
x"a
lim f (x)
f (x)
x"a
H=
tir. a lim g (x) ≠ 0 k
x"a
g (x)
lim g (x)
x"a
vv ∀ c ∈ R için lim [c · f (x)] = c · lim f (x) tir.
x"a
x"a
Limit ilişkisi olduğu fonksiyonların her birine ayrı
ayrı bir virüs gibi bulaşır.
lim f (x) = lim (x + 2) = 1 + 2 = 3 tür.
x"1
x"1
lim g (x) = lim (x2 + 1) = 12 + 1 = 2 dir.
x"1
x"1
H 64 74 8
a) lim [2 · f (x) + g (x)] = 2 lim f (x) + lim g (x) = 8 bulunur.
3
x"1
2
x"1
x"1
2
64 7
48
H
b) lim [5 · f (x) - 3 · g (x)] = 5 lim f (x) - 3 lim g (x) = 9 dur.
3
x"1
x"1
x"1
3
2
H 64 74 8
c) lim [f (x)· g (x)] = lim f (x) · lim g (x) = 6 bulunur.
x"1
x"1
x"1
ÖRNEK
f, g: R → R, f(x) = x + 2 ve g(x) = x2 + 1 fonksiyonları
için aşağıdaki limit değerlerini bulunuz.
a) lim [2 · f (x) + g (x)] b) lim [5 · f (x) - 3 · g (x)
x"1
x"1
x"1
x"1
x"1
daki limit değerlerini bulunuz.
1 + f ( x)
H=
h ( x) - 1
2. f ve g: R → R, f(x) = 4x ve g(x) = x2 – 2 fonksiyonları
için aşağıdaki limit değerlerini bulunuz.
x"1
c) lim 6f (x) · g (x)@ =
x"1
x"2
3f (x) + h (x)
H=
2g (x)
d) lim >
x"3
6
1) a) 5
2
b) lim 63f (x) - 2g (x)@ =
c) lim 6f (x) · g (x)@ =
x"1
f ( x) - 2
1
x"1
x"1
H=
= bulunur.
g ( x) (x + 1 )
lim g (x) · lim (x + 1) 4
"1
"1
1x 4
2 4 3 1x 44
2 44 3
x "-2
x"1
d) lim >
x"1
a) lim 6f (x) + 2g (x)@ =
a) lim 62f (x) + g (x)@ =
x"1
d) lim >
2
2
1. lim f (x) = 3, lim g (x) = - 1 ve lim h (x) = 2 için aşağı-
b) lim >
3
f ( x) - 2
H
d) lim >
x " 1 g (x)·(x + 1)
c) lim [f (x)· g (x)] x"1
H F
lim f (x) - lim 2
b) 4
c) –3
d) -
11
2
2g (x) + 1
H=
x · f ( x) + 2
2) a) –4
b) 14
c) 16
d)
15
38
Mutlak Değer ve Köklü İfadelerde Limit
(Mutlak Değer İfadelerinde Limit)
Konu Özeti
f, x = a noktasında limiti olan bir fonksiyon olmak üzere,
LİMİT ÖZELLİKLERİ
Konu Özeti
f, x = a noktasında limiti olan bir fonksiyon olmak üzere,
vv n tek doğal sayı ise
lim f (x) = lim f (x) dir.
x"a
(Köklü İfadelerde Limit)
x"a
lim n f (x) = n lim f (x) tir.
x"a
Mutlak değerin içini sıfır yapan kritik noktalarda
sağdan - soldan limit araştırılır. İleride detaylı
işlenecektir.
x"a
vv n çift doğal sayı ve x in a civarındaki tüm değerleri için f(x) ≥ 0 ise
lim n f (x) = n lim f (x) tir.
x"a
x"a
n çift doğal sayı iken f(x) < 0 ise
tanımsızdır.
ÖRNEK
R de tanımlı f fonksiyonu için lim f (x) = 3 ise
lim ^ 5x + 4 + 3 x - 9 h limitinin değerini bulunuz.
lim x3 + f (x) limitinin değerini bulunuz.
x " –2
x"1
ÇÖZÜM
ÇÖZÜM
lim ^ 5x + 4 + 3 x - 9 h = lim
lim x3 + f (x) = lim (x3 + f (x)
x " –2
x"1
x " –2
H H
lim x3 + lim f (x) = - 8 + 3 = –5 = 5 tir.
-8
3
x " –2
x " –2
x"1
5x + 4 + lim
x"1
9
-8
1. lim 2x - 10 =
1. lim
x3 + 1 =
2. lim ^ x2 - 10 + 3 - x2 h =
2. lim
x2 + 3x + 6 =
x"4
x"2
x"3
x "-2
3x - x
x-9
=3 + (–2) = 1 bulunur.
Aşağıdaki limitlerin eşitini bulunuz.
x - 1 + 3x
3
lim (5x + 4) + 3 lim (x - 9) = 9 + 3 - 8
x"1
x"1
1 44 2 44 3
1 44 2 44 3
Aşağıdaki limitlerin eşitini bulunuz.
lim
f ( x)
ÖRNEK
x " –2
3.
n
x"2
3. lim ^ 4x + 4 - 3 3x - 1 h =
=
x"3
4. R de tanımlı f fonksiyonu için lim f (x) = - 5 olduğuna
x "-1
4.
lim x2 - 5 · x2 + 3 =
x "-1
göre lim 4x + f (x) limitinin eşiti nedir?
x "-1
1) 2
2) 7
3)
3
8
4) 9
1) 3
2) 4
3) 2
4) 8
7
Sıkıştırma Kuralı / Sağdan-Soldan Limit Özellikleri
LİMİT ÖZELLİKLERİ
Konu Özeti
(Sıkıştırma (Sandviç) Kuralı)
Konu Özeti
f ve g, x = a noktasında limitleri olan bir fonksiyon
olmak üzere, x in a civarındaki tüm değerleri için
f(x) ≤ h(x) ≤ g(x) iken
y
L
lim f (x) = lim g (x) = L
x"a
g
x"a
a
& lim h (x) = L dir.
x"a
x
(Sağdan - Soldan Limit Özellikleri)
Limit özellikleri sağdan - soldan limitler için de geçerlidir.
Sağdan - soldan limit hesaplanırken bir sayı
civarında (a+ ve a– ile) işlemlerden faydalanıldığını hatırlayınız.
h
f
ÖRNEK
ÖRNEK
2
2
∀ x ∈ R – {0} için 3 – x ≤ f(x) ≤ x + 3 olduğuna göre
lim f (x) değerini bulunuz.
x"0
R de tanımlı bir f fonksiyonu için
lim+ f (x) = 2 ve lim– f (x) = 3 ise
x"5
x"5
lim+ 6f (2x + 1) - f (7 - x)@ limitinin değerini bulunuz.
x"2
ÇÖZÜM
ÇÖZÜM
3 - x2 ≤ f (x) ≤ x2 + 3 & lim (3 - x2 ≤ f (x) ≤ x2 + 3)
x"3
3
3
6 44 7 44 8
6 44 7 44 8
& lim (3 - x2) ≤ lim f (x) ≤ lim (x2 + 3)
x"0
x"0
lim [f (2x + 1) - f (7 - x)] = lim+ f (2x + 1) - lim+ f (7 - x)
x"0
1. lim f (x) = 4 ve lim g (x) = 4 için f(x) ≤ h(x) ≤ g(x) oldux"a
x"5
x " 2+
x"0
& 3 ≤ lim f (x) ≤ 3 & lim f (x) = 3 bulunur.
x"0
lim f (x) = 2 & f (5+) = 2 ve lim- f (x) = 3 & f (5-) = 3
x " 5+
x"a
ğuna göre lim h (x) limitinin değeri nedir?
x"a
2. f(x) = 2x + 1, g(x) = x2 + 2 ve f(x) ≤ h(x) ≤ g(x) olduğuna göre lim 3h (x) limitinin eşiti nedir?
x"2
x"2
3
E E
+
+
+
= f (2 · 2 + 1) - f (7 - 2 ) = f (5 ) - f (5-) = 2 – 3 = –1 dir.
2
1. lim+ f (x) = 6 olduğuna göre lim+ f (x - 2) limitinin
x"4
x"6
değeri nedir?
2. lim- f (x) = - 3 olduğuna göre lim+ f (5 - x) limitinin
x"2
x"3
değeri nedir?
x"1
3. lim+ f (x) = 8 ve lim- f (x) = 3 olduğuna göre
x"3
x"3
3. lim f (x) = 3 ve lim g (x) = 3 için f(x) ≤ h(x) ≤ g(x) oldux"2
x"2
ğuna göre lim 6h (x - 2) + 2x@ limitinin değeri nedir?
lim >
f (2x + 1) - 2f (4 - x)
f (x2 + 2)
x " 1+
H limitinin değeri nedir?
x"4
8
1) 4
2) 9
3) 11
1) 6
2) –3
3)
1
4
Uygulama Zamanı
Uygulama – 1
1. Gerçek sayılar kümesinde tanımlı f fonksiyonu için
5.
x"a
x"a
x"a
kaça eşittir?
y
y
a ∈ R iken lim f (x) = 3 ise lim+ f (x) · lim-f (x) çarpımı
4
4
–1
2.
x
f(x)
–2,3 –2,1
–2,01
–2,001 –1,999 –1,99 –1,9 –1,7
3,5
3,99
3,997
3,7
5,003
5,01
5,1
2
x
x "-2
b) lim- f (x) = g) lim+ [f (x) + g (x)] =
c) lim+ f (x) = h) lim+ 6f (x) + g (x)@ =
d) lim- f (x) = k) lim- >
e) lim+ g (x) = l) lim- 6f (x)· g (x)@ =
x"2
x"2
d) lim+ f (- 2x) =
x "-2
x"1
x"3
x"0
x"0
3. Gerçek sayılar kümesinde tanımlı f fonksiyonunun
x → 2 için limiti a gerçek sayısı iken,
x"2
y
x"2
6.
a · b çarpımı kaçtır?
f ( x)
H=
g ( x)
x"2
x"2
lim f (x) = 3 - b ve lim+ f (x) = 2a - 2b olduğuna göre
x " 2-
x
2
f) lim- g (x) =
x"2
b) lim - f (x) = o
a) lim+ f (x) = x"2
c) lim f (x) =
x "-2
o
g(x)
1
3
Şekilde f(x) ve g(x) fonksiyonlarının grafikleri verilmiştir. Buna göre aşağıdaki limitlerini bulunuz.
5,3
Yukarıda yaklaşım değerleri verilen f(x) fonksiyonu
için aşağıdaki limitlerin değerini bulunuz.
a) lim + f (x) = 2
f(x)
2
f(x)
3
1
o
–2
y
4. f: [–2, 2) → R olarak tanımlı
şekildeki y = f(x) fonksiyonu
için aşağıdaki ifadelerin
değerlerini bulunuz.
o
–1
2
–3
x
–1
–2
a) f(–2) =
d) lim+ f (x) = g) lim- f (x) =
b) lim f (x) = e) lim f (x) = h) lim f (x) =
x"2
x"0
x "-2
x"0
c) lim- f (x) = x"2
f) f(0) = x"0
Şekilde f(x) fonksiyonunun grafiği verilmiştir. Buna
göre aşağıdaki limitlerin eşitini bulunuz.
a) lim - f (x) = d) lim+ f (x) =
b) lim + f (x) = e) lim f (x) =
c) lim+ f (x) = f) lim f (x) =
x "-2
x"1
x"1
x "-2
ı) f(2) =
x"2
x"0
1) 9
4) a) –1
b) –1
2) a) 5
c) 2
d) –2
b) 4
c) Yoktur
e) Yoktur
x
2
–2
2
1
–2
1
f) 1
d) 4
g) 0
5) a) 4
3) 2
h) 0
ı) Tanımsız
b) 4
6) a 0
c) 2
b) –3
d) 2
e) 1
c) –2
f) 2
d) 1
g) 5
h) 1
e) Yoktur
k) 2
f) 3
l) 8
9
7. lim f (x) = 4 ve lim g (x) = 2 olduğuna göre aşağıx"a
x"a
daki limitlerin eşitini bulunuz.
lim
a) lim 62f (x) + 3g (x)@ = 4f (x)
=
c) lim
x " a 2g (x) + 4
b) lim 6f (x) - g (x)@ = d) lim
x"a
x"a
9. f, gerçek sayılar kümesinde tanımlı bir fonksiyon ve
x"a
x"2
x2 · f (x)
= 12 olduğuna göre lim f (x) limitinin
x+1
x"2
değeri kaçtır?
f (x) · g (x) =
10.f(x) = x2 ,
8. Aşağıdaki limit değerlerinin eşitini bulunuz.
a) lim
x"3
g(x) = 2x – 1 ve ∀ x ∈ R için
g(x) ≤ h(x) ≤ f(x) olduğuna göre lim (f (x) + h (x) + g (x))
x"1
limitinin değeri kaçtır?
x2 + 1
=
x+2
b) lim (x4 - 3x2 - 4x + 1) =
x"2
11.∀ x ∈ R için 1 -
x2
x2
olduğuna göre
≤ f ( x) ≤ 1 +
5
2
lim f (x) değeri nedir?
x"0
2
c) lim
4t + 5 =
t "-1
x3 + 3x
d) lim
x "-1 3
7-x
=
12. lim 6f (x) + x + 1@ = 8 olduğuna göre lim 6f (x - 1) - 2@
x"5
x"4
limitinin değeri nedir?
e) lim y - y - 4 =
y"2
f) lim ^3 x2 + 4 - x + 3 h =
x "-2
13.f: R → R olmak üzere lim+ f (x) = 6 ve lim- f (x) = 2
g) lim
2
(x + 5x - 1)·(x - 4)
x"0
(x4 - 2)·(2x2 + 2)
x"4
x"3
olduğuna göre lim+ 6f (x + 1) - f (6 - x)@ limitinin
3
=
x"2
değeri nedir?
h) lim ^3 + π - eh =
x " 99
7) a) 14
10
8) a) 2
b) –3
c) 3
b) 2
d) 2
c) 2
e) 0
d) 2 2
f) 1
g) –1
h) 3 + π – e
9) 9
10) 3
11) 1
12) 1
13) 4
R = (- ∞, ∞) & R = [- ∞, + ∞] dur.
Sonsuz kavramı çok büyük olmayı ifade eder ve sayı
değildir.
Sonsuz sayı değildir;
+ ∞ = 1000... ve –∞ = –1000... _
b ancak yandaki gibi
b sayılar oldukları düşü1
1
b
0+ = 0, 00...1 =
=
1000... ∞
` nülerek genişletilmiş
b
1
1 b reel sayılarda işlemleb
0 = 0, 00...1 =
=
- 1000... - ∞ a ri yapabilirsiniz.
vv (+∞) + (+∞) = +∞, (–∞) + (–∞) = –∞
vv (+∞)·(+∞) = +∞, (–∞)·(–∞) = +∞, (+∞)·(–∞) = –∞
+ ∞, n çift
vv ∀ n ∈ N için (+∞) = +∞, (- ∞) = '
- ∞, n tek
+
+
n
vv ∀ n ∈ N için
n
n
+ ∞ = + ∞, n tek ise
n
-∞ =-∞
ÖRNEK
Aşağıdaki işlemlerin sonucunu R de bulunuz.
-5
∞
00
3
c) - d)
e)
a) + b)
∞
0
0
0
101000
Aşağıdaki işlemlerin sonucunu genişletilmiş reel sayılar kümesinde tespit ediniz.
1. ∞ – 101000 =
8. (–∞) · (–5) =
2. 109 – ∞
9. (–∞) · (–∞) =
3. ∞ + ∞
10.(–∞) · (+∞) =
11.∞5 +
4. –∞ – ∞ =
5
6. c - m · ^- ∞h =
2
13.(–∞) =
7. ∞ · ∞ =
14. 7 - ∞ =
2) –∞
9) +∞
5
3) +∞
10) –∞
0
0
=
= 0
0+ 0, 00..1
c)
3
0
=
=
0- - 0, 00..1
d)
-5
-5
=
= 0∞
1000...
b)
4) –∞
5) –∞
6) +∞
11) +∞
12) +∞
13) –∞
7) +∞
14) –∞
0- 0, 00..1
=
& tanımsız
0
0
3
1000...
m =-∞
= 3 ·c1
1
1000
e) Her sayı sonsuzdan daha küçüktür;
∞
=∞
101000
(Kuvvetler)
ÖRNEK
Aşağıdaki işlemlerin sonucunu R de bulunuz.
5 ∞
2 ∞
b) (–2)∞ c) 2–∞d) c m e) c m
a) 2∞
3
3
∞ un tek ya da çift olduğu tanımlı değildir.
ÇÖZÜM
∞
a) 2 = 2 · 2 · 2 · ...= ∞
+∞ mu –∞ mu olaca-
b) (–2)∞ → ğı tespit edilemez.
1
1
= = 0+
2∞ ∞
c) 2-∞ =
çok büyük sayı
2 ∞
= 0+
d) c m =
∞
3
5 ∞
e) c m =
3
∞
=∞
çok büyük sayı
3∞ ifadesi daha
hızlı sonsuza
ilerler, 2∞ sayı
gibi davranır.
5∞ ifadesi daha
hızlı sonsuza
ilerler 3∞ sayı gibi
davranır.
15. -
3
=
0-
π ∞
22. c m =
e
16. -
2
=
-∞
e ∞
23. c m =
π
17.5∞ =
2 -∞
24. c m =
3
18.5–∞ =
5 -∞
25. c - m =
3
19.(–3)∞=
26.8 ∞ =
20.(–2)–∞
27.10 -∞ =
5 ∞
21. c m =
7
28.
∞ =
12.(–∞)2 =
5. ∞ · (–1) =
a)
123
Reel sayılar kümesine –∞ (negatif sonsuz) ve
+∞ (pozitif sonsuz) kavramlarının eklenmesi ile oluşan sayı kümesine genişletilmiş reel sayılar kümesi
denir ve R ile gösterilir.
1) +∞
ÇÖZÜM
(Genişletilmiş Reel Sayılarda İşlemler)
Konu Özeti
8) +∞
ÖZEL FONKSİYONLARDA LİMİT
14243
–
R de Limit – I
15) +∞
21) 0+
1
1
16) 0+
22) ∞
17) ∞
23) 0+
18) 0+
24) ∞
∞!
=
∞∞
19) Tespit Edilemez
25) 0 a Yaklaşır
26) 1
20) 0 a Yaklaşır
27) 1
28) 0
17
–
R de Limit – II
ÖZEL FONKSİYONLARDA LİMİT
Konu Özeti
(Kuvvetler)
ÖRNEK
(Sonsuz, Tanımsız ve Belirsiz)
Aşağıdaki işlemlerin sonucunu R de bulunuz.
Limitte sıkça karşılaşacağınız sonsuz, tanımsız ve
belirsiz ifadelerini birbiriyle karıştırmayınız.
a)
g)
vv a ∈ R – {0} için
a
0
= ± ∞ dur ve ± = 0 dır.
0±
0
0
0
b)
-9 0
5
h)
π
m) tan c m 2
c)
3
-8 n) 00
ı) 1∞
k) log (–3) l) ln 0+
o) 1∞
p) 10
r) ∞ – ∞
0, ∞,
0 · ∞, ∞ - ∞, 00, 1∞, ∞0 ifadeleri
0 ∞
belirsiz durumlardır.
0
" belirsizdir.
vv
0
Sonsuz, sınırsız büyük ancak reel sayı olmayan durumlardır; tanımsız, matematiksel olarak tanımsız
kabul edilen durumlardır; belirsiz, tanımlı ancak tam
belirlenemeyen durumlardır.
Aşağıdaki işlemlerin sonucunu genişletilmiş reel sayılar kümesinde tespit ediniz.
0
= 0
5
a)
0
→ Belirsiz
0
d)
∞
-5
" - ∞ e)
→ Belirsiz
∞
0+
g)
b)
- 9 → Tanımsız
h)
3
5
→ Tanımsız
0
c)
f) 0 · ∞ → Belirsiz
- 8 = - 2 ı) 1∞ → Belirsiz
k) log (–3) → Tanımsız
l) ln 0+ = –∞
π
m) tan c m → Tanımsız
2
n) 00 → Belirsiz
o) 1∞ → Belirsiz
p) 10 = 1
r) ∞ – ∞ → belirsiz
19.(–3)∞ =
28.log 0+ =
20.(–3)–∞
29.log 0– =
1.
3
=
0+
10.
-2
=
0
2.
-2
=
0+
11.
0+
=
5
21.∞ – ∞ =
30.log ∞ =
3.
5
=
0-
12.
0=
2
22. 3 - ∞ =
31.∞0 =
4.
-8
=
0-
13.
0+
=
-2
23.1∞ =
32.cot 0 =
24.0–2 =
33.cot 0+ =
25.00 =
34.cot 0– =
26.0 · ∞ =
π +
35. tan c m =
2
27.log 0 =
π 36. tan c m
2
0
5. + =
0
0
14.
=
-3
0
6. + =
0
∞
15. =
∞
-
1
=
∞
7.
3
=
0
16.
8.
0
=
8
17. -
9.
0
=
0
18. - ∞
1
=
∞
19) Tespit Edilemez
1) +∞ 2) –∞ 3) –∞ 4) +∞ 5) 0 6) 0 7) Tanımsız 8) 0 9) Belirsiz 10) Tanımsız
11) 0+
12) 0–
13) 0–
14) 0+
15) Belirsiz
16) 0+
17) 0–
f) 0 · ∞
ÇÖZÜM
a
vv a ∈ R – {a} için " tanımsızdır.
0
18
∞
-5
5
d) + e) ∞
0
0
18) Tanımsız
24) Tanımsız
30) ∞
20) 0 a Yaklaşıyor
25) Belirsiz
31) Belirsiz
26) Belirsiz
32) Tanımsız
21) Belirsiz
27) Tanımsız
33) +∞
22) –∞
28) –∞
34) –∞
23) Belirsiz
29) Tanımsız
35) –∞
36 +∞
–
R de Limit – III
Konu Özeti
ÖZEL FONKSİYONLARDA LİMİT
x"a
lim f (x) = ± ∞ ifadesi ile gerçel sayılar kümesinde
x"a
(R de) limitin var olduğu anlaşılmamalıdır. Çünkü
±∞ gerçel sayı değildir yani ±∞ ∉ R dir.
lim f (x) = ± ∞ limiti ile x = a civarında f(x) in
x"a
sınırsız artış ya da azalış davranışı ifade edilir.
a ∈ R ve n ∈ N+ olmak üzere;
Aşağıdaki limit değerlerini bulunuz.
1
1
b) lim
a) lim x"1 x - 1
x"0 x
vv a < 0 iken lim
a
–∞,
=*
(x - b) n
yoktur,
n çift ise
n tek ise
b)
Yukarıdaki durumları ezberlemenize gerek
yoktur. Bir sayı civarında ve genişletilmiş reel
sayılarda işlemler ile sonuca ulaşabiliriz.
c)
1. lim+
x"0
2. limx"0
3. lim+
x"3
4. limx"2
-1
x-3
_
1
1
1
=
=
= + ∞ bb
x - 1 1+ - 1 0+
1
yoktur.
` lim
1
1
1
x
1
"
x
1
= lim= - = - ∞ bb
x"1 x - 1
1 -1 0
a
_
1
1
1
1
= +
= + 2 = + = + ∞ bb
2
2
0
x " 1 (x - 1)
(1 - 1)
(0 )
1
` lim
=∞
1
1
1
1
x " 1 (x - 1) 2
b
lim= = - 2 = + = + ∞b
2
2
x " 1 (x - 1)
0
(1 - 1)
(0 )
a
lim+
9. lim
2
=
x
10. lim
1
x-3
11. lim
1
=
(x - 3) 2
x"3
1
12. lim+ 3 x =
-1
=
x-2
x"0
4
5. lim+
3
=
x-1
13. lim- 5 x - 3 =
6. lim+
-1
=
x-2
14. lim
x
=
x-2
7. lim-
5
=
x-4
15. lim
2
=
x-3
8. lim-
-2
=
x-5
16. lim+ ln (x - 2) =
x"1
x"2
x"4
x"5
1) +∞
2) –∞
1
y = ––
lim
x"3
2
=
x
y
x " 1+
x"0
3
=
x
1
(x - 1) 2
x
1
1
a) lim+ = + = + ∞ (sınırsız artış)
0
x"0 x
x
o
1
1
lim- = - = - ∞ (sınırsız azalış)
x"0 x
0
1
karakteristik bir davranış göstermex → 0 iken f(x) =
x
1
diği için, lim yoktur denilir.
x"0 x
n çift ise
n tek ise
Aşağıdaki limitlerin değerini bulunuz.
x"1
Davranış
∞,
a
=*
yoktur,
(x - b) n
x"b
c) lim
ÇÖZÜM Kesirli fonksiyonların paydasını sıfır yapan
nokta kritik noktlardır ve sağdan soldan limite bakılır.
vv a > 0 iken lim
x"b
(Kesirli Fonksiyonlarda Limit)
ÖRNEK
( lim f (x) = ± ∞ Limitler)
x"3
x"2
x"3
x"2
3) –∞
4) + ∞
5) +∞
6) –∞
7) –∞
8) +∞
9) Yoktur
10) Yoktur
11) ∞
12) ∞
13) 0
14) Yoktur
15) ∞
16) –∞
19
–
R de Limit – IV
ÖZEL FONKSİYONLARDA LİMİT
ÖRNEK
( lim f (x) Limitler)
Konu Özeti
x "±∞
Aşağıdaki limit değerlerini bulunuz.
y
a) lim (- 3) a
a ∈ R olmak üzere lim a = a dır.
x "±∞
y=a
x
o
a
a ∈ R ve n ∈ N olmak üzere; lim
= 0 dır.
x " ± ∞ (x - b) n
+
x"∞
n–1
anx + an – 1 x
y
o
x"∞
y
b) lim
x"∞
1
1
= =0
x ∞
c) lim
x "-∞
vv a > 1 ise
y
x
lim ax = 0 dır.
lim ax = ∞ dur.
lim a = ∞ dır.
x"∞
x
64748
x2 2x 5
d) lim (x2 + 2x + 5) = lim >x2 f 2 + 2 + 2 pH x → ∞ iken
x"∞
x"∞
x
x
x
2/x ve 5/x2
0
x "-∞
x
0
2 5
= lim ;x2 c 1 + + 2 mE = lim x2 = ∞ dur.
x x
x"∞
x"∞
x
lim a = 0 dır.
x"∞
x
64748
o
x "-∞
y = 1/x
x2 parantezine alalım
y = ax
o
o
2
2
2
2
= =0
=
=
2
2
2
∞
(x - 1)
(- ∞ - 1)
(- ∞)
� a < 1 ise y
y = ax
x
y = –3
–3
x "±∞
a ∈ R+ olmak üzere f(x) = ax fonksiyonu için,
e) e = 2,71... > 1 için lim ex = e-∞ =
x "-∞
1. Aşağıdaki limitlerin değerini bulunuz.
e) lim ^x3 + x2 + 1h =
a) lim 6 = b) lim
x"∞
2. lim c
x"∞
1
=
x
f) lim
x "-∞
2
=
x5 + x2
1 1 1
- + m limitinin değeri nedir?
x2 x x3
1
2
3. lim >5-x + + 3 x H limitinin değeri nedir?
x
x"∞
1
c) lim 2x = g) lim 5 x =
3 x
d) lim c m = x "-∞ 5
1 x
h) lim c m =
x"∞ 3
x"∞
x "-∞
20
1) a) 6
b) 0
c) 0
d) ∞
e) –∞
f) 0
g) 1
4.
h) 0
3
π x
lim ;c m - 2
E limitinin değeri nedir?
e
x +1
x "-∞
2) 0
3) 1
sıfır olur
1
1
= = 0 dır.
e∞ ∞
x "-∞
x"∞
2
(x - 1) 2
ÇÖZÜM Formül ezberlemeden bir sayı civarında ve
genişletilmiş reel sayılarda işlemler ile sonucu ulaşılabilir.
lim (an xn + a1 - 1 xn - 1 + ... + a0) = lim (an xn) dir.
Nedeni için örneğin d şıkkını inceleyiniz.
x "-∞
x "-∞
x"∞
+ ... + a0 polinomik ifadesi için
x "±∞
c) lim
e) lim (ex)
d) lim (x2 + 2x + 5) a) lim (- 3) = - 3
n
1
x
b) lim
x"∞
4) 0
–
R de Limit – V
y
y = f(x)
f: R – {a, b} → R
k
olmak üzere;
a
lim f (x) = k
O
x
b
y
ÖRNEK
( R de Limitin Grafik Yorumu)
Konu Özeti
vv
ÖZEL FONKSİYONLARDA LİMİT
Şekildeki f: R – {0, 3} → R
fonksiyonunun grafiğine göre
aşağıdaki limit değerlerini
bulunuz.
a) lim f (x) x "-∞
b) lim f (x) x "-∞
x"0
y = f(x)
2
3
x
c) lim f (x) d) lim f (x)
x "+∞
x"3
vv lim- f (x) = + ∞ ve lim+ f (x) = - ∞ olduğundan
x"a
x"a
x"a
vv lim- f (x) = + ∞ ve lim+ f (x) = + ∞ olduğundan
x"b
x"b
x"0
lim f (x) = - ∞ dur.
+∞ sınırsız artışı, –∞ sınırsız azalışı belirten
fonksiyon davranışlarıdır. +∞ ve –∞ gerçek sayılar kümesinde limitin varlığı anlamına gelmez.
DİKKAT EDİNİZ!
lim f (x) = - ∞
x " 3c) lim f (x) = - ∞ 4 lim f (x) = - ∞ dur.
x"3
+
x"3
d) lim f (x) = 2 dir.
x "+∞
2.
y
2
1
x "-∞
lim- f (x) = + ∞
x"0
x "+∞
1.
a) x → –∞ iken f(x) sınırsız azalır: lim f (x) = - ∞
lim f (x) yoktur.
b) lim f (x)
= - ∞4 x " 0
+
lim f (x) = ∞ dur.
x"b
vv
Grafiği dikkatli okuyunuz.
ÇÖZÜM
lim f (x) yoktur.
y
y = f(x)
1
y = f(x)
O
1/2 1
–2
x
O
x
1
–1
Şekilde y = f(x) fonksiyonunun grafiği verilmiştir. Buna
göre aşağıdaki limit değerlerini bulunuz.
Şekildeki y = f(x) fonksiyonunun grafiği verilmiştir. Buna
göre aşağıdaki limit değerlerini bulunuz.
a) lim+ f (x) = d) lim f (x) =
a) lim +
1
=
f ( x)
d) lim 64 - f (x)@ =
b) lim- f (x) = e) lim f (x) =
b) lim -
3
=
f ( x)
e) lim+
c) lim f (x) = f) lim f (x) =
c) lim 62 · f (x)@ = x"0
x"1
x"∞
x"1
x "-2
x "-∞
x"1
1) a) ∞
x "-2
b) –∞
c) Yoktur
d) 1
e) 2
f) 2
x "-∞
x"1
f) lim
x"∞
x"∞
2) a) 0
b) 0
c) 2
d) 3
1
=
f ( x)
f ( x)
=
x
e) ∞
f) 0
21
Uygulama Zamanı
Uygulama – 2
3. Aşağıdaki limitlerin değerlerini bulunuz.
1 - x2 , x > - 3
3x + 1 , x ≤ - 3
1. f (x) = *
fonksiyonu için aşağıdaki limitlerin değerini bulunuz.
e) lim+
x2 - 9
=
x-3
=
f) lim-
x2 - 1
=
x-1
=
g) lim+
x2 - 2x - 3
=
x-1
=
h) lim -
a) lim x2 - 5x - 4 = x"1
a) lim f (x) = x"3
d) lim - f (x) =
x"0
x "-3
x-5
b) lim
x"4
b) lim f (x) = x-3
x"1
e) lim + f (x) =
x "-4
x "-3
x-2
c) lim+
x-2
x"2
c) lim f (x) = x"3
f) lim f (x) =
x "-3
x"2
x-1
d) lim-
x-1
x"1
Z 2
]x + 4
2. f (x) = [ 3x + 2
] 2
\x - 1
4. lim+ >
, x<2
, 2≤x<3
, 3≤x
x"2
2-x
2-x
x2 - 2x - 8
x "-2
x2 - 4
=
+ x2 - 5 H limitinin değeri nedir?
fonksiyonu için aşağıdaki limitlerin değerini bulunuz.
a) lim f (x) = 5. limx"0
e) lim f (x) =
x"1
x2 + 5x
limitinin değeri nedir?
x
x"2
6. limx"3
b) lim f (x) = f) lim+ f (x) =
x"5
x2 - 9
3x - x2
limitinin değeri nedir?
x"3
7.
c) lim+ f (x) = lim
x2 + 5x + 6
x2 - 4
x "-2
limitinin değeri nedir?
g) lim- f (x) =
x"3
x"2
8. lim 2x - x · f (x) = 0 olduğuna göre lim f (x) limitinin
x"3
x"3
değeri nedir?
d) lim- f (x) = h) lim f (x) =
x"3
x"2
9. lim ^2x
2
- 3x
x"1
1) a) 1
22
2) a) 5
b) 24
b) –11
c) 8
c) –3
d) 8
d) –8
e) 8
e) –8
f) 8
f) –8
g) 11
h) Yoktur
3) a) 8
4) 0
· 63 - xh limitinin değeri nedir?
b) 1
5) –5
c) 1
d) –1
6) 2
e) 6
7) Yoktur
f) –2
g) 0
8) 2
h)
9) 9
3
2
10. lim 6log2 (3x + 4) - log2 x@ limitinin değeri nedir?
14.
x"4
y
4
11. lim 9log3 (x3 + 3) + log3 (x + 1)C limitinin değeri nedir?
3
x"0
2
–3
12. lim 9log2 (x2 + 5x - 6) - log2 (3x + 3)C limitinin değeri
–2
–1
y = f(x)
x
1
O
x"4
nedir?
Şekilde y = f(x) fonksiyonunun grafiği verilmiştir. Buna
göre aşağıdaki limit değerlerini bulunuz.
13.Aşağıdaki limitlerin değerini bulunuz.
a) lim+
x"0
b) limx"0
4
=
x
l) lim
x"∞
6
=
x
1
=
x2 + 2x
m) lim 3-x =
2
=
d) limx"3 x - 3
2 x
o) lim c m =
x"∞ 5
2
=
e) lim+
x"3 x - 3
3
=
p) limx"2 x - 2
1
f) lim 2 = x"0 x
1 x-5
r) lim+ c m
=
3
x"5
c) lim f (x) = k) lim +
-1
=
f ( x)
d) lim f (x) = l) lim -
2
=
f ( x)
e) lim f (x) = m) lim
f ( x)
=
x
-3
=
f ( x)
n) lim
x
=
f ( x)
x "-3
x "-∞
f) lim x "-2
5
x"∞
x "-∞
15.f(x) = x–3 + x–2 + x–1 + 5 fonsiyonunun için lim f (x)
x"∞
limitinin değeri nedir?
x"∞
1
h) lim
2
=
x-5
t) lim- e x =
k) lim
3
=
x
u) lim 3 x
x"0
1
ifadesi16.x ∈ (–∞, 0] olduğuna göre x → ∞ için
1
nin limiti nedir?
5 - 3x
1
2
x "-∞
10) 2
b) –∞
l) 0
x "-3
x"∞
s) lim 3 x + 1 =
x"0
k) 0
1
=
f ( x)
x "-2
x"0
1
1
h) Yoktur
h) lim +
x "-∞
g) lim- 2 x = 13) a) ∞
b) lim f (x) = x"∞
x"∞
n) lim 7x =
x"∞
g) lim 6f (x) + 2@ =
x "-2
x "-2
-3
=
c) limx
x"0
x"5
a) lim + f (x) = 11) 1
c) ∞
m) 0
n) 0
d) –∞
o) 0
-x
=
12) 1
e) ∞
p) –∞
r) 0
f) ∞
s) 1
14) a) ∞
g) 0
t) 0
u) 1
h) 0
b) Yoktur
k) ∞
l) ∞
c) 4
m) 0
d) 2
n) –∞
e) 2
15) 5
f) 0
g) 4
16)
1
4
23
Tekrar Zamanı
ÇÖZÜMLÜ TEST – 1
6. lim ^3x
Z 2
]x + 3 , x < - 1
1. f (x) = [ 2x - 1 , - 1 ≤ x < 2
]
\x + 1 , x ≥ 2
x"1
· 23x - 1 h limitinin değeri kaçtır?
A) 12
B) 18
2
+1
C) 24
D) 30
E) 36
fonksiyonu için
lim f (x) + lim+ f (x) + lim + f (x) toplamının eşiti
x " - 1-
x"2
x "-1
aşağıdakilerden hangisidir?
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
4x + a , x ≥ 2
3x2 - a , x < 2
fonsiyonu veriliyor. f(x) in tanımlı olduğu her noktasında limiti olduğuna göre
7. f (x) = *
lim f (x) + lim f (x) toplamı aşağıdakilerden hangi-
x"1
2. lim 9log2 x2 + log4 x4C limitinin değeri kaçtır?
x"3
sidir?
x"2
A) 2
B) 4
C) 6
D) 8
E) 10
8. lim-
2 x
3. lim c m limitinin değeri kaçtır?
x"∞ 5
A) –∞
B) –1
C) 0
A) 24
E) ∞
x-3
2
x - 2x - 3
hangisidir?
x"3
D) 1
B) 20
A) -
C) 15
D) 12
E) 8
ifadesinin eşiti aşağıdakilerden
1
1
B) - 2
4
C) 0
D)
1
2
E)
1
4
5
9. lim- 3 x - 2 limitini değeri aşağıdakilerden hangisidir?
3x
limitinin eşiti nedir?
4. lim x"0 x
A) –3
5. f (x) =
B) –2
x-2
x-2
C) 0
x"2
D) 1
E) 2
x
+ 3x olduğuna göre
C) 0
D) 1
E7 ∞
1
hangisidir?
x"2
hangisidir?
24
B) –3
1
10. lim >3-x + c m + 2 x H limitini değeri aşağıdakilerden
5
x"∞
lim f (x) + lim- f (x) ifadesinin eşiti aşağıdakileden
x " 2+
A) 8
A) –∞
B) 9
A) –∞
C) 10
D) 11
E) 12
B) –1
C) 0
D) 1
E) ∞
1
1
y
15.
1
e x
11. lim >2 x + c m + c m H limitinin değeri aşağıdakiπ
x
2
x " 0+
2
y = f(x)
lerden hangisidir?
A) –∞
B) –1
C) 1
D) 2
E) ∞
–1
x
O
Şekilde y = f(x) fonksiyonunun grafiği verilmiştir.
Buna göre aşağıdakilerden hangisi yanlıştır?
3 x
12. lim ;c m + x–2 + 2E limitinin değeri aşağıdakilerden
5
x "-∞
A) lim f (x) = 0 B) lim + f (x) = - ∞
x"0
hangisidir?
A) –∞
B) –1
C) 0
D) 2
x "-1
C) lim f (x) = 2 D) lim - f (x) = + ∞
x "-∞
E) ∞
x "-1
E) lim f (x) yoktur.
x"∞
y
13.
1
–3
–2
y
16.
x
O
f(x)
1
O
–2
x
2
–1
Şekilde y = f(x) fonksiyonunun grafiği verilmiştir.
Buna göre lim f (x) + lim f (x) ifadesinin eşiti aşax"∞
x "-∞
ğıdakilerden hangisidir?
A) –∞
B) 0
C) 1
Şekilde y = f(x) fonksiyonunun grafiği verilmiştir.
D) 2
Buna göre
E) ∞
I. lim f (x) = 1
IV. lim f (x) = 1
II. lim+ f (x) = - ∞ V. lim f (x) = - 2
x"∞
x "-∞
x"2
x"0
III. lim+ f (x) = ∞
x"2
14. lim+
x"0
4+3
-
1
x
1
Önermelerinden hangileri doğrudur?
limitinin değeri nedir?
1 + 3·2x
A) 0
B) 1
C) 2
D) 3
E) 4
A) I, III ve V
B) I, II ve IV
D) II, III ve IV
E) I, III ve IV
C) II, III ve V
25
1. D
2. B
3. C
4. A
5. E
6. E
7. C
8. A
9. C
10. D
11. C
12. E
13. D
14. A
15. E
16. E
Uygulama Zamanı
Uygulama – 5
Aşağıdaki limit değerlerini bulunuz.
1. lim
x"∞
7.
lim
x "-∞
2x + 4
=
x-2
8. lim
x"∞
2.
lim
x2 + 3 + 3x
=
2x + 3
x "-∞
4x + x2 + 3x + 1
3x + 4x2 + x - 1
6x3 + 3x2 x + 1
=
2x3 - x2 + 3
x2 + 6x + 3 8x3 + 1
9. lim
x2 + x - 3
x"∞
3. lim
x"∞
3x
=
x2 + 5x + 6
10. lim
5x - x2 - 3
x "-∞
4. lim
x"∞
5. lim
x"∞
6. lim
x"∞
60
=
3x3 + 2x + 5
=
2x2 + x - 1
(x + 1)·(4x2 - 3x + 2)
=
(3x - 1) 2 ·(2x + 1) 3
(6x4 + 3x2 - 1)·(2x + 3)
1) 2
2) 3
11. lim
5x + 1 - 2 · 7x
=
5x + 7x + 1
12. lim
3x + 1 - 5x
=
2x + 2 + 3x
13. lim
2n3 + n2 + 2
=
c (n, 3)
x"∞
(2x + 3) 3
3) 0
3x + 3 x3 + 2x2
x"∞
n"∞
=
=
=
4) ∞
5) 2
6) 6
7) 1
8) 1
9) 3
10)
3
2
11) -
2
7
12) –∞
13) 12
14. lim
x"∞
3 · 5x + 2x + 3 · ex
=
2 · ex - 3 · 2x + 5x
15. lim
x "-∞
16. lim
x"∞
19. lim ( x2 - 3x + 1 - x2 + 3 =
x"∞
3x + 1 + πx
=
2πx - 3x - 1
20. lim+ c
1
- cosec x m =
tan x
21. lim+ c
1
3
m=
x - 1 x2 + x - 2
x"0
1 + 2 + 3 + ... + x
=
2x2 + 3x + 5
x"1
17. lim ^ 3x + 2 - x h =
22. lim 9log2 (4x3 + 3x + 1) - log2 (x3 + 2x)C =
18. lim ( x2 + 3x + 2 - x) =
23. lim 6ln ^ π2 - x + ex + 1h - ln êx - 2 - π1 - xh@ =
x"∞
x"∞
x"∞
x"∞
13) 3
14)
1
2
15)
1
4
16) -∞
17)
3
2
18) -
3
2
19) 0
20)
1
3
21) 2
22) 3
61
1∞ Belirsizliği
BELİRSİZ LİMİTLER
3
Konu Özeti
b) lim+ ^1 + 6xh
x"0
lim f (x) = 0 ve lim g (x) = ± ∞ iken
x"a
x"a
vv lim (f (x) · g (x)) = c d R ise
x"a
lim 61 + f (x)@g (x) = e
lim (f (x) · g (x))
x"a
x"a
= ec dir.
∞
1 belirsizliklerinde taban fonksiyonunu "1 + f(x)"
şeklinde mutlaka düzenlenmelidir.
00 ve ∞0 gibi diğer üstel belirsizlikleri L'Hospital
ile çözeceğiz.
ÖRNEK
Aşağıdaki limit değerlerini bulunuz.
1
1 x
a) lim c 1 + m b) lim+ ^1 + 6xh2x
x
x"∞
x"0
= e3 dür.
Aşağıdaki limit değerlerini bulunuz.
a) lim c 1 x"∞
1 x
m x
1
6 44 7 44 8
6 444 7
444 8
1
lim c · x m
1 x
a) lim c 1 + m = ex " ∞ x = e dir.
x
x"∞
1
-1
∞
1
64447
4448
5x + 17 x
15 x
m = lim c 1 +
m
b) lim c
5x + 2
x " ∞ 5x + 2
x"∞
644
4744 8
15x
lim c
m
x " ∞ 5x + 2
x"∞
3 2x
1. lim c 1 + m =
x
x"∞
3. lim+ ^1 + 4xh
1
2x
x"0
1) e6
5x + 17 x
m
5x + 2
1
644 7448
6 4 44 7
4 44 8
1
lim c - m · x
1 x
1 x
a) lim c 1 - m = lim ;1 + c - mE = ex " ∞ x = e-1 dir.
x
x
x"∞
x"∞
4. lim c 1 -
5. lim c
x"∞
3x - 1 4x + 1
=
m
2x2 + 1
x"∞
∞
=e
Aşağıdaki limit değerlerini bulunuz.
b) lim c
Taban "1 + f(x)" olmalıdır.
ÇÖZÜM
3
∞
2. lim c 1 +
(Taban Düzenleme)
ÖRNEK
ÇÖZÜM
62
=e
6 4 44 7 4 44 8
1
lim c 6x · m
2x
x " 0+
x"a
lim 61 + f (x)@g (x) = 1± ∞ belirsizliği vardır.
x"∞
1
2x
polinom bölmesi
= e3 tür.
2x + 1 3x
m =
x2 - 1
2x + 3 3x + 1
m
=
2x + 5
1
6. lim+ ^cos 2xh4x =
2
x"0
=
2) e6
3) e2
1) e–6
2) e–3
3)
1
e
0 · ∞ Belirsizliği
BELİRSİZ LİMİTLER
ÇÖZÜM
Konu Özeti
0 0
lim f (x) = 0 ve lim g (x) = ± ∞ iken
x"a
x"a
lim 6f (x)· g (x)@ = 0 · ∞ belirsizliği vardır.
x"a
lim 6f (x)· g (x)@ = 0 · ∞ belirsizliğinde limit altındaki
x"a
fonksiyon
g (x)
f (x)
ya da f (x) · g (x) =
f (x) · g (x) =
1 g (x)
1 f (x)
∞
0
şeklinde yazılıp
ya da
belirsizliklerine dönüştü∞
0
rülerek limit hesaplanır.
0
0
∞
∞
0·∞ =
=
ve 0 · ∞ =
=
dır.
1 ∞ 0
1 0 ∞
Logaritmik ifadelerde 0 · ∞ belirsizliği 1∞ belirsizliğine dönüştürülebilir.
∞·0
6 4 44 7 4 44 8 6 4 44 7 4 44 8
sin ^2 xh
2
a) lim c x sin m = lim
x
x"∞
x"∞
1 x
sin 2 · f (x)
= lim
= 2 dir.
x"∞
f ( x)
f(x) = 1 x
0·∞
π
6 4 4 44 7 4 4 44 8
c - xm
2
π
b) lim ;c - x m tan xE = lim
π
π 1 tan x
2
x"
x"
2
2
0 0
6 4 4 44 7 4 4 44 8
π
π
c - xm
c - xm
2
2
= lim
= lim
π
π cot x
π
x"
x " tan c - x m
2
2
2
f ( x)
= lim
= 1 dir.
π tan f (x)
x"
f ( x) =
π
-x
2
2
c) " a · logbc = logbca " olduğunu hatırlayınız.
ÖRNEK
lim ;x ln c
x"∞
Aşağıdaki limit değerlerini bulunuz.
2 x
x+2
mE = lim ;ln c 1 + m E
x
x
x"∞
2
π
a) lim c x · sin m b) lim ;c - x m · tan xE
x
π
2
x"∞
1
2
6 4 44 7
4 44 8
H
2
lim c · x m
2 x
= ln ; lim c 1 + m E = ln ;ex " ∞ x E
x
x"∞
x+2
mE
c) lim ;x ln c
x
x"∞
B
= ln e2 = 2 ln e = 2 bulunur.
x"
∞
2
1
Aşağıdaki limit değerlerini bulunuz.
4.
3
1. lim c x · sin m =
x
x"∞
2. lim (2x · cot 4x) =
x"0
lim + = ;c
π
x"
2
π
- x m · sec xE =
2
5. lim ;x ln c
x"∞
x+4
mE =
x
5
3. lim+ c · sin x m =
x
x"0
1) 3
2)
1
2
3) 5
4) 1
5) 4
63
Belirsiz Limit Denklemleri
BELİRSİZ LİMİTLER
ÖRNEK
Konu Özeti
Limitin varlığına göre verilen ifadenin olabileceği belirsizlik ve limit değeri ile kurulan denklemler çözülür.
( ∞ ∞ Belirsizliğinde Denklem)
(a - 1) x3 + 8x2 + 3
lim
(b + 1) x2 + x - 1
x"∞
= 2 denklemine göre a + b
toplamını bulunuz.
ÇÖZÜM
ÖRNEK
( 0 0 Belirsizliğinde Denklem)
2
x + mx - 3
ifadesi bir gerçek sayıya eşit olduğuna
x"3
x2 - 9
göre
lim
a) m yi bulunuz.
lim
H
(a - 1) x3 + 8x2 + 3
0
lim
(b + 1) x2 + x - 1
= 2 d R olduğundan,
i) a – 1 = 0 ⇒ a = 1 dir ve lim
x2 + mx - 3 9 + 3m - 3
dır.
lim
=
x"3
x2 - 9
32 - 9
x"∞
3m + 6
olduğundan limit sonucu
i) 3m + 6 ≠ 0 ise
0
gerçek sayı olamaz.
3m + 6 0
= belirsizliği elde edilir ve
0
0
belirsizlik giderildiğinde limit gerçek sayı bulunabilir.
ii) 3m + 6 = 0 ise
ii)
8x2 + 3
= 2 olur.
(b + 1) x2 + x - 1
8
= 2 & 8 = 2b + 2 & b = 3 tür.
b+1
a + b = 1 + 3 = 4 bulunur.
ÖRNEK
( ∞ ∞ Belirsizliğinde Denklem)
lim ^x - x2 + ax h = 3 ise a yı bulunuz.
x"∞
a) 3m + 6 = 0 ⇒ m = –2 bulunur.
x"3
limitinin değeri n = m yani
pay ve paydadaki polinomların dereceleri eşit iken
sıfır dışında bir gerçek sayıdır.
x"∞
b) m = –2 için lim
bm xm + ...b1 x + b0
x"∞
b) Limit değerini bulunuz.
ÇÖZÜM
an xn + ... + a1 x + a0
(x - 3) (x + 1)
x2 - 2x - 3
= lim
2
x " 3 (x - 3) (x + 3)
x -9
3+1 4 2
=
= = bulunur.
3+3 6 3
H
a
m= 3
lim ^x - x + ax h = 3 & lim c x - 1 x +
2 ·1
x"∞
x"∞
ÇÖZÜM
+
2
& lim c x - x x"∞
x2 + mx - 2
= n olduğuna göre m + n toplamı
x"2
x2 - 4
kaçtır?
1. lim
a
a
m = 3 & - = 3 & a = - 6 dır.
2
2
3. lim ( x2 + ax - x + 3) = 6 olduğuna göre a kaçtır?
x"∞
(m, n ∈ R)
2. lim
(a - 4) x3 + (b + 2) x2 + 2x - 4
- 4x2 + 1
a + b toplamı kaçtır?
x"∞
1) –
64
1
4
= 1 olduğuna göre
2) –2
4. lim
x"4
3 - 3x + a
= b olduğuna göre a ve b gerçek
x-4
sayılarının toplamı kaçtır?
3) 6
4) –
7
2
Limitte Değişken Dönüşümleri - I
BELİRSİZ LİMİTLER
ÇÖZÜM
Konu Özeti
Limit altındaki fonksiyona değişken değiştirme uygulanırken limitin yaklaşım ifadesine de bu değişken
değiştirmeye uygun dönüşüm yapılarak yeni limit ifadesi elde edilir.
b)
(i) x + 1 = u2 & x = u2 - 1 ve
(ii) x + 1 = u2 ⇒ x → 3 iken u → 2 dir.
x+1 -2
u-2
u-2
= lim 2
= lim 2
x-3
u"2 u - 1 - 3
u"2 u - 4
lim
x"3
ÖRNEK
Aşağıdaki limit ifadelerine belirtilen dönüşümleri uygulayarak yeni limit ifadeleri elde ediniz.
f (x) - f (2)
limitinde x – 2 = h dönüşümü
x-2
a) lim
x"2
x+1 -2
limitinde
x-3
b) lim
x"3
c) lim
x "-3
d) lim
x"∞
x + 1 = u dönüşümü
1
9x
1
- 4x
1
3x
1
- 2x
ÇÖZÜM
limitinde
a)
lim
x"2
c)
lim
d)
1
1
1
= m & 9 x = 9m ve 4 x = 4m dir.
x
1
(ii) = m & x " ∞ iken m → 0 dır.
x
(i)
lim
1
1
1
3x
1
- 2x
9x - 4x
3 2m - 2 2m
9m - 4m
m
m = lim
m
m
m"0 3 - 2
3 -2
= lim
m"0
(3m) 2 - (2m) 2
= lim
f (x) - f (2)
f (h + 2) - f (2)
f (h + 2) - f (2)
= lim
= lim
x-2
h
h+2-2
h"0
h"0
= lim (3m + 2m) dir.
2
x"
3
f (6x) - f (4)
=
3x - 2
m"0
m
3 -2
2. lim
x"1 4
x -6 x
x- x
1) lim
h"0
=
h
= lim
m"0
(3m - 2m) (3m + 2m)
(3m - 2m)
3. lim
x"3
tan (3x - 9)
=
5x - 15
(t = x – 3 dönüşümü)
(3x – 2 = h dönüşümü)
(
f ( 2 h + 4 ) - f ( 4)
m
m"0
1
3
1
dir.
u+2
4 (t - 3) + 12
4x + 12
4t
= lim
= lim
tan (2x + 6) t " 0 tan 62 (t - 3) + 6@ t " 0 tan 2t
(ii) x – 2 = h ⇒ x → 2 iken h → 0 dır.
1. lim
u"2
(ii) x + 3 = t ⇒ x → –3 iken t → 0 dir.
x"∞
Aşağıdaki limit ifadelerine belirtilen dönüşümü uygulayarak
elde edilen limit ifadesini bulunuz.
= lim
(i) x + 3 = t ⇒ x = t – 3 tür.
Limitin yaklaşım ifadelerine uygun dönüşü-
(i) x – 2 = h ⇒ x = h + 2 ve f(x) = f(h + 2) dir.
(u - 2) (u + 2)
u"2
1
= m dönüşümü
x
mü yapmayı unutmayınız.
(u - 2)
= lim
x "-3
4x + 12
limitinde x + 3 = t dönüşümü
tan (2x + 6)
x + 1 = u dur.
12
2) lim
x = t dönüşümü)
t4 - t2
t " 1 t3 - t6
4. lim
x"∞
1
4x - 2x
1
2x
=
(a =
-1
3) lim
t"0
tan 3t
5t
4) lim
a"0
1
dönüşümü)
x
4a - 2a
2a - 1
65
Limitte Değişken Dönüşümleri - II
BELİRSİZ LİMİTLER
ÇÖZÜM
Konu Özeti
a)
Uygun değişken değişken değiştirme uygulanarak
elde edilen yeni limit ifadesinin değeri dönüştürülen
yaklaşım ifadesine göre belirlenir.
Limit altındaki kökler 2. ve 3. dereceden olduğu
için okek (2, 3) = 6 olmak üzere 6 x = a dönüşümü
yapalım
(i) x = a6 ⇒ x → 1 iken a → 1 dir.
(ii) x = a6 ⇒ x = a3 ve 3 x = a2 dir.
0 0
ÖRNEK
Aşağıdaki limit ifadelerinin değerlerini bulunuz.
=
12 + 1 + 1 3
= bulunur.
1+1
2
b)
a) lim
x"1 3
x -1
x -1
1
1
x"∞
1
= a dönüşümü yapalım.
x
1
(i) = a ⇒ x → ∞ iken a → 0 dır.
x
1
1
1
2x - 1
lim
x"4
= lim
1
a"0
2x - 1
Aşağıdaki limit değerlerini bulunuz.
1. lim
1
4x - 2x
x"∞
1
4. lim
x"∞
2- x
=
x-4
2. lim
x -1
x -1
x"1
5. lim
x" ∞
=
2a (2a - 1)
4a - 2a
=
lim
= 20 = 1 dir
a " 0 (2a - 1)
2a - 1
1
9x - 3x
=
1
3x - 1
1
3
1
1
= a & 4 x = 4a ve 2 x = 2a dır.
x
(ii)
4x - 2x
b) lim
0 0
6 4 4 7 4 4 8 6 44 7 44 8
1
(a - 1) (a2 + a + 1)
x -1
a3 - 1
= lim
= lim 2
lim 3
x"1
x - 1 a " 1 a - 1 a " 1 1 (a - 1) (a + 1)
1
25 x - 9 x
1
3x
1
- 5x
=
tan c 2 x - 125 x m
3
3. lim
x"1
4
x -6 x
x -3 x
6. lim
1) -
66
x" ∞
=
1
4
2)
2
3
3)
1
2
1
sin c 4 x - 5 x m
2
1
4) 1
=
5) –2
6)
3
2
Limitin Geometrik Uygulamaları
BELİRSİZ LİMİTLER
f(x) = x2 ⇒ f(3) = 9 dur.
ÇÖZÜM
Konu Özeti
C C
f (x) - f (3)
x2 - 9
= lim
O halde lim
x-3
x"3
x"3 x - 3
x2
Limit, fonksiyonların geometrik yaklaşımlarını belirlerken sıkça kullanılır. Örneğin türevde bir eğriye
üzerindeki bir noktadan çizilen teğetin eğimini tanımlamada, integralde eğri ile x ekseni arasında kalan
alanı belirlemede, bir düzgün çokgenin kenar sayısı
sonsuza yaklaşırken düzgün çokgenin çembere yaklaşmasında limit kavramları kullanılır.
= lim
(x - 3) (x + 3)
(x - 3)
x"3
9
= 3 + 3 = 6 dır.
Yani f(x) = x2 fonksiyonuna x = 3 apsisli noktadan çizilen
teğetin eğimi 6 dır.
ÖRNEK
Limitin geometrik uygulamalarında limit altındaki ifadeler, limit değişkeni cinsinden fonksiyon olarak yazılıp limitleri alınır.
n kenarlı bir düzgün çokgenin bir dış açısı a ise
π
lim ;sin α · cot c mE limitinin değerini bulunuz.
n
n"∞
ÇÖZÜM
ÖRNEK
H
2π
π
π
lim ;sin α · cot c mE = lim ;sin c m · cot c mE
n
n
n
x"∞
x"∞
0 0
teğetinin eğimi olan,
x"3
1 tan ^ π nh
O halde
f: R → R, f(x) = x2 fonksiyonunun x = 3 noktasındaki
lim
n kenarlı düzgün çokgenin
2π
bir dış açısı α =
dir.
n
f (x) - f (3)
limitinin değerini bulunuz.
x-3
1. 5 cm yarıçaplı çember içine köşeleri bu çember
üzerinde olan n kenarlı düzgün çokgenler çiziliyor. Bu
çokgenlerin kenar uzunluklarını veren fonksiyon K(n),
çevre uzunluklarını veren fonksiyon Ç(n) ve alanlarını
veren fonksiyon A(n) olmak üzere
6444 74448
R
2π V
S sin c mW
sin 2 · f (n) 2
n W
S
= lim S
=
= = 2 dir.
lim
π W
1
n"∞
n " ∞ tan f (n)
S tan c m W
n
T
X f (n) = π n
A
2. Şekildeki ABC dik üçgeninde
verilenlere göre
lim
x"∞
AC
AH
limitinin değeri
B
x
nedir?
H
C
x+2
a) lim K (n) limitinin değeri kaçtır?
x"∞
D
3. Şekildeki ABCD yamuğunda
b) lim Ç (n) limitinin değeri kaçtır?
x"∞
[DC] // [AB]
E
A
x"∞
1) a) 0
b) 10π cm
c) 25π cm2
Verilenlere göre lim
x"∞
EF
AB - AC
1) a)
2
b) 2
C
F
[DE] = [EA] ve
CF = FB dir.
c) lim A (n) limitinin değeri kaçtır?
3x – 1
5x – 7
B
limitinin değeri kaçtır?
67
Uygulama Zamanı
Uygulama – 6
Aşağıdaki limit değerlerini bulunuz.
7. lim
x"∞
1. lim c 1 +
3x x
m =
x +1
2. lim c 1 x"∞
2 6x
m =
3x
3. lim c 1 +
2 x
m
x-3
x"∞
x"∞
1
·(4x2 + 1) =
x2 + 1
2
2
3
8. lim c 2x · sin m =
x
x"∞
-9
=
9. lim x ln f
x"∞
x2 + 2
p=
x2 + 1
1
4.
lim ^- xhx + 2 =
x "-1
10. lim c
x"2
1
· sin πx m =
x-2
2
5. lim ^1 + sin xhx =
x"0
11. lim ;c
3x + 12 2x + 3
m
=
6. lim c
x " ∞ 3x - 3
68
1) e3
2) e–4
3) ∞
x"
4) e–1
5) e2
6) e10
π
2
π
- x m · tan 3xE =
2
7) 4
8) 6
9) 0
10) π
11)
1
3
12. lim
x"∞
(a - 6) x2 + ax + 1
= 3 olduğuna göre b kaçtır?
bx + 4
16. lim
x"2
3x - 3 - mx + 1
= n ve m, n ∈ R olduğuna
x3 - 8
göre m · n çarpımı kaçtır?
13. lim
x"5
4x - 5m
3- x+4
= n limit ifadesine göre m ve n reel
x"∞
sayılarının toplamı kaçtır?
14. lim ;
x"∞
x"∞
mx2 - 4x + 1
pH = 3 olduğuna göre
2x2 + 3x
m kaçtır?
12) 2
13) –20
x2 + 3x
+ (m + 1) x + nE = 4 olduğuna göre
x+1
m + n kaçtır?
x2 + 2
+ ax + bE = 3 olduğuna göre a · b kaçtır?
x-1
15. lim >log2 f
17. lim ;
14) –2
15) 16
18. lim
x"0 4
3x + 1 - 3 3x + 1
3x + 1 - 6 3x + 1
değeri nedir?
19.f(x) = x2 + 2 fonksiyonunun eğrisine x = 3 apsisli nokf (3 + h) - f (3)
tadan çizilen teğetin eğimi olan lim
h
h"0
limitinin değerini bulunuz.
16)
7
9
17) 0
18) 2
19) 6
69
Tekrar Zamanı
1. lim
x"∞
2 + 4x5
limitinin değeri kaçtır?
2x5 - 3
A) –1
2.
B) 0
C) 1
D) 2
x"∞ 3
E) ∞
x3 + 3x + 1
limitinin değeri aşağıdakilerden
x4 - 6x + 5
hangisidir?
lim
B) 1
C) 0
D) 1
- x3 + 3x2
limitinin eşiti aşağıdakilerden
x " + ∞ 2x2 + x + 1
hangisidiri?
B) –1
C) 0
D) 1
1
1
B) 2
4
C) 1
D) 2
A) –∞
B) –1
C) 0
1 + 2 + 3 + ... + x
limitinin sonucu kaçtır?
2x2 + 3x - 1
1
1
1
A) B) C) D) 1
E) 2
2
3
4
8. lim arccos c
x"∞
x+4
m limitinin değeri aşağıdakilerden
2x + 5
hangisidir?
A) 0
B)
3
9. lim
π
8
1 + 8x3
2
x"∞
4x + 3x - 5
A) 1
B) 2
C)
2x + 3
9x2 - 2x + 5
hangisidir?
A) 0
70
B)
1
3
C) 3
2x + 9x2 + 3x + 4
3x + 4x2 + 4x + 3
lerden hangisidir?
A)
2
3
D) 1
D)
π
4
E)
π
3
D) 4
E) 5
E) 4
limitinin eşiti aşağıdakilerden
C)
π
6
limitinin sonucu kaçtır?
x"∞
x"∞
E) ∞
x"∞
10. lim
5. lim
D) 1
7. lim
E) +∞
(2x - 1) 2
4. lim
limitinin değeri kaçtır?
x " ∞ (x + 1)·(4x - 1)
A)
limitinin değeri kaçtır?
x -1
E) ∞
lim
A) –∞
1 - x3
6. lim
x "-∞
A) –∞
3.
ÇÖZÜMLÜ TEST – 1
E) ∞
1
2
B) 1
C)
ifadesinin sonucu aşağıdaki-
3
2
D) 2
E)
5
2
Sonsuz Terimli Geometrik Dizi Toplamı - IV
DİZİLERDE LİMİT
Konu Özeti
(Harfli İfadeler ve Denklemler)
Harfli ifadelerde ve denklemlerde bilinmeyenler ile
sonsuz terimli geometrik dizi toplamları oluşturulup
harfli ifadenin eşiti veya denklemin kökü bulunabilir.
ÖRNEK
(Harfli İfade)
1 < x < y olmak üzere
bulunuz.
ÇÖZÜM
∞
n-1
/ c 23xy m
∞
/
n=1
2x n - 1
c m
ifadesinin eşitini
3y
1 < x < y & 1 < 2x < 2y < 3y &
= 1+
n=1
2
2x
< 1 dir.
3y
3
2x
2x
2x
+ c m + c m + ...
3y
3y
3y
3y
1
bulunur.
=
=
2x
3y - 2x
13y
∞
/ c yx m
1. 3x = 4y olduğuna göre
kaçtır?
2. 1 < a < b için
∞
n+1
ifadesinin değeri
n-1
100
9
4
ifadesinin değeri kaçtır?
2)
n
n=1
3b
3b - 2a
11
olduğuna göre a değerini bulunuz.
12
=
n
1 + an
1 an
1 n
a n
= n + n = c m + c m dir.
5
5
5n
5
5
ÇÖZÜM
∞
/ 1 +5 a
n
n=1
11
&
12
=
n
∞
∞
/ c 15 m + / c a5 m = 11
12
n
n=1
n
n=1
1
1 2
11
a
a 2
& > + c m + ...H + ; + c m + ...E =
5
5
5
5
12
&
1
a
a 1
a 2
1
1 2
11
>1 + c m + c m + ...H + ;1 + c m + c m + ...E =
5
5
5
5
5
5
12
&
1
·
5
&
1
11
a
=
+
& a = 2 bulunur.
4 5 - a 12
3.
1
4.
+
1
15
∞
/ 1 +7 a
n
n=0
n=1
1)
∞
/ 1 +5 a
n=1
/ c 23ab m
(Denklem)
ÖRNEK
∞
/ 3k
n=0
n
n-1
a
·
5
n
=
=
1
a
15
=
11
12
35
olduğuna göre a kaçtır?
12
18
olduğuna göre k kaçtır?
5
3) 3
4)
1
2
Sonsuz Terimli Geometrik Dizi Problemleri - I
Konu Özeti
(Sonsuz Toplamlar)
Konu Özeti
Bütün sonsuz terimli geometrik dizi problemlerinde
aşağıdaki formül uygulanır. r < 1 için,
ra + ra + 1 + ra + 2 + ... = ra (1 + r + r2 + ...) = ra
(Devreden Sayılar)
Devreden sayıların değeri sonsuz terimli geometrik
dizi toplamı ile kolayca bulunabilir.
1
dir
1-r
r > 1 ise ra + ra + 1 + ra + 2 + ... = ±∞ dur.
ÖRNEK
Aşağıdaki devirli ondalık sayıların değerlerini bulunuz.
b) ^0, 2h3
a) 3, 5 ÇÖZÜM
ÖRNEK
?? ? ?
(a b, c d ) m + = a · m1 + b · m0 + c · m-1 + d · m-2 olduğunu hatırlayınız.
1 0 -1 -2
Aşağıdaki sonsuz toplamların değerlerini bulunuz.
1 1
1 1 1
1
a) 1 + + + ... b) - - + ...
2 4
2 4 8 16
10-1 10-2 10-3
a) 3, 5 = 3, 5
ÇÖZÜM
a) 1 +
DİZİLERDE LİMİT
1 1
1 1
1 2
+ + ... = 1 + c m + c m + ... =
2 4
2
2
1
1
12
= 2 dir.
= 3+
1
5
10 2
f1 +
5
5 ... = 3 +
5
5
5
+
+
+ ...
10 102 103
1
1 2
1
+ c m + ... p = 3 + ·
10
10
2
1
1
110
=
32
9
b)
1 1 1
1
1
1 1 1
- + + ... = ;1 - + - + ...E
2 4 8 16
2
2 4 8
b) ^0, 2h3 = ( 0, 2 2 2 ...) 3 = 2 · 3-1 + 2 · 3-2 + 2 · 3-3 + ...
=
1
1 1
1 2
1 3
>1 + c - m + c - m + c - m + ...H
2
2
2
2
= 2·
=
1
·
2
1
1
1 - c- m
2
=
1 2 1
· = bulunur.
2 3 3
=
Aşağıdaki sonsuz toplamların değerini bulunuz.
1. 1 +
30 3-1 3-2 3-3
1
1
1
+
+
+ ... =
5 25 125
2
·
3
1
1 2
1 3
1
1 1
1 2
+ 2 c m + 2 · c m + ... = 2 · f 1 + c m + c m + ... p
3
3
3
3
3
3
1
1-
1
3
Aşağıdaki devirli ondalık sayıların değerlerini bulunuz.
1. 0, 4 =
2.
1
1
1
+
+
+ ... =
3 27 243
2. 0, 105 =
3.
1
1
1
1
+
+ ... =
5 25 125 625
3. ^0, 3h4 =
1)
5
4
2)
= 1 bulunur.
3
8
2)
1
6
1)
4
9
2)
52
445
2) 1
101
Sonsuz Terimli Geometrik Dizi Problemleri - II
DİZİLERDE LİMİT
Konu Özeti
(Sonsuz İlerlemeler)
Geometrik dizi şeklindeki sonsuz ilerlemelerde sonsuz terimli geometrik dizi toplamından faydalanılır.
ÖRNEK
Elif, kumbarasına her hafta bir önceki haftada attığı paranın yarısını atarak birikim yapıyor. Elif, ilk hafta kumbarasına 100 ¨ atarak para biriktirmeye başladığına göre en
fazla kaç ¨ birikim yapabilir?
ÇÖZÜM Elif'in birikimine "B" diyelim ve birikimine
sürekli devam ettiğini kabul edelim.
1
1 2
B = 100 + 100 · + 100 · c m + ...
2
2
= 100 >1 +
1
1 2
+ c m + ...H = 100 ·
2
2
= 200 ¨ biriktirebilir.
1
1
12
1. Çağan, kumbarasına her hafta bir önceki haftada
1
attığın paranın
ünü atarak parak biriktiriyor. Çağan
3
para biriktirmeye 60 ¨ ile başlayıp sürekli devam ederse en çok kaç ¨ biriktirebilir?
ÖRNEK
Doğrusal bir yolda, hareket halindeki bir araç aniden
frene bastığında her saniye bir önceki saniyede aldığı
yolun 3 5 i kadar yol alarak 25 m mesafede durabiliyor.
Bu araç frene basıldıktan sonraki ilk saniye içerisinde
kaç m yol almıştır?
ÇÖZÜM
A + A·
3
3 2
+ A · c m + ... = 25
5
5
& A >1 +
& A·
Aracın 1. saniyede aldığı yol A olsun;
3
3 2
+ c m + ...H = 25
5
5
1
3
15
= 25 &
5A
= 25 & A = 10 m dir.
2
3. Ali Bey bankadan 50000 ¨ kredi çekmiştir. Bankanın,
Ali Bey'e çıkardığı ödeme planına göre;
Ali Bey ilk ay borcunun yarısını ödeyecek ve her ay bir
2
önceki ayda ödediği miktarın
sini ödeyecektir.
3
Ali Bey'in bu ödeme planına sürekli uyduğu kabul edilirse bankaya geri ödemesi kaç ¨ olur?
2. Dikildiğinde 60 cm olan bir ağaç birinci yılın sonunda
15 cm uzuyor. Bundan sonraki her yıl bir önceki uzama
3
miktarının
i kadar uzayan bu ağacın boyu en fazla
5
kaç cm olur?
1) 90
102
2)
195
2
4. Bir okçu, yayını çekip oku bıraktığında ok ilk saniye
10 m mesafe alıp bundan sonraki her saniyede bir
4
önceki saniyede aldığı yolun
ini almaktadır. Buna
5
göre ok durana kadar kaç m yol alır?
3) 75000
4) 50
Sonsuz Terimli Geometrik Dizi Problemleri - III
Topun her sıçrayışta çıkarken ve inerken aynı
mesafede yol alacağını unutmayınız.
15m
45/4 m

75
3
= tür.
100 4
%75 =
20m
...
40
Her yükseklik
çıkarken ve
inerken iki kez
katedilecektir.
40
3
3 2
& Y = 40 >1 + + c m + ...H
4
4
& Y = 40 ·
1
3
14
= 40 ·
4
= 160 m bulunur.
4-3
1. Yerden fırlatılan bir top 240 cm yüksekliğe kadar çıkıp
1
her seferinde düştüğü yüksekliğin
ü kadar sıçra3
maktadır. Buna göre bu top duruncaya kadar düşeyde
aldığı yol kaç cm dir?
2. Yerden fırlatılan bir top x cm yüksekliğe kadar çıkıp her
seferinde düştüğü yüksekliğin % 60 ı kadar sıçramaktadır. Top durunca kadar 180 cm yol aldığına göre x
kaçtır?
1) 720
20m
10m
5m
...
Top ilk kez yere
düştükten sonra
sıçradığı her
yüksekliği çıkışta
ve inişte iki kez
katedecektir.
Topun aldığı toplam dikey yol Y olsun;
Topun aldığı toplam dikey yol Y olsun;
3
3 2
Y = 2 · 20 + 2 · 20 · + 2 · 20 · c m + ...
< < 4 < 4
40
ÇÖZÜM
(Yerden Fırlatılan Top)
Yerden fırlatılan bir top 20 m yüksekliğe kadar çıkıp her
seferinde düştüğü yüksekliğin %75 i kadar sıçramaktadır. Buna göre bu top duruncaya kadar kaç m yol alır?
ÇÖZÜM
20 m yükseklikten bırakılan bir top her seferinde düştüğü
yüksekliğin yarısı kadar sıçramaktadır. Buna göre top
duruncaya kadar kaç metre yol alır?

Belirli bir yükseklikten düşen bir top duruncaya kadar
geometrik dizi şeklinde sıçrayış yapıyorsa sonsuz terimli geometrik dizi toplamına başvurulur.
ÖRNEK
(Yukarıdan Düşen Top)
ÖRNEK
(Sıçrayan Top)
Konu Özeti
DİZİLERDE LİMİT
2) 36
Sıçramalar
Düşme 644444444474444444448
678
2
3
1
1
1
Y = 20 + 2 · 20 · + 2 · 20 · c m + 2 · 20 · c m + ...
< 2 < 2
< 2
40
40
40
1
1 1
1 2
= 20 + 40 · >1 + c m + c m + ...H
2
2
2
=
20
= 20 + 20 ·
= 20 + 20·
1
1-
1
2
2
= 60 m bulunur.
2-1
3. 24 m yükseklikten bırakılan bir lastik top her seferinde
düştüğü yüksekliğin % 75 i kadar sıçramaktadır. Buna
göre top duruncaya kadar kaç m yol alır?
4. Şekildeki gibi 10 m yükseklikten yukarı
fırlatılan bir top her seferinde düştüğü
yüksekliğin yarısı kadar sıçrayıp düşeyde
toplam 110 m yol alarak duruyor. Buna
göre top en çok kaç m yüksekliği
çıkmıştır?
3) 168
4) 30
10 m
103
Sonsuz Terimli Geometrik Dizi Problemleri - IV
DİZİLERDE LİMİT
ÇÖZÜM
(Geometrik Yorum)
Konu Özeti
Sonsuz terimli geometrik dizi şeklinde ilerleyen geometrik şekillerde istenilen ölçüme göre sonsuz terimli
geometrik dizinin toplamının değeri bulunur.
a) Çemberlerin çevreleri toplamı Ç olsun;
r
3
r2
64
474
48
H
?
1
1 2
Ç = 2π · 8 + 2π · c 8 · m + 2π · >8 · c m H + ...
2
2
r1
1
1 2
= 2π · 8 >1 + + c m + ...H = 16π ·
2
2
<
16π
Aşağıda yan yana çizilmiş çember dizisi verilmiştir. Bu
dizide; ilk çemberin yarıçapı 8 birim ve sonraki her bir
çemberin yarıçapı, bir önceki çemberin yarıçapının
yarısıdır.
r2=4
r1 = 8
Bu dizideki tüm
çemberlerin
r3=2
r1
r2
678
↑
r3
678
...
= π · 82 + π · 82 ·
b) Alanları toplamını bulunuz.
= 64π ·
r1 = 1
2 2
= 32π birimdir.
r4
678
2
1
1 2
1 3
+ π · 82 · c m + π · 82 · c m + ...
4
4
4
a) Çevreleri toplamını bulunuz.
1
r2 =
4
1-
1 2
1
1 3
A = π · 82 + π c 8 · m + π · >8 · c m H + π · >8 · c m H + ...
2
2
2
1
1 2
1 3
π · 82 · >1 + + c m + c m + ...H
2
4
4
;
1.
1
1
2
b) Çemberlerin alanları toplamı A olsun;
ÖRNEK
Yarıçapı r olan çemberin
çevresi = 2πr, Alanı = πr2 dir.
64π
1
r3 =
16
1
1
14
=
256π
birimkaredir.
3
2. D
C
A
B
...
1
Şekilde herbirinin yarıçapı bir öncekinin
ü kadar olan
4
daireler çiziliyor. Buna göre,
a) Elde edilen sonsuz dairelerin çevreleri toplamı kaç
br dir?
Şekildeki ABCD karesinin bir kenarı 12 br dir. İçteki karelerin köşeleri dıştakinin orta noktalarıdır. Buna göre
a) İç içe çizilen sonsuz karelerin çevreleri toplamı kaç
br dir?
b) Elde edilen sonsuz dairelerin alanları toplamı kaç
br2 dir?
b) İç içe çizilen sonsuz karelerin alanları toplamı kaç
br2 dir?
1) a)
104
8π
3
b)
16π
15
2) a) 96 + 48 2
b) 288
Geometrik Dizi Olmayan Sonsuz Toplamlar
DİZİLERDE LİMİT
b) Taraf tarafa çıkarma ile sonsuz toplamı bulalım.
Konu Özeti
r < 1 olmak üzere 1 + 2r + 3r2 + ...+ n · rn – 1 +... = T
Geometrik dizi olmayan sonsuz toplamlarda basit
"kesirlere ayırma" veya "taraf tarafa toplama-çıkarma" uygulamaları ile dizi limiti alınarak sonuca ulaşılabilir.
T = 1 + 2r + 3r2 + ... + n · rn – 1 + ...
r · T = r + 2r2 + 3r3 + ... + n · rn + ...
–
–––––––––––––––––––––––––––––––––––
T – rT = 1 + r1 + r2 + ... + rn – 1 + ...
ÖRNEK
& T ( 1 - r) =
Aşağıdaki sonsuz toplamların değerini bulunuz.
a)
n
∞
/ k 1+ k k=1
/ 3n
b)
2
ÇÖZÜM
n=1
∞
n
/ 3n = 13 + 32 + 33 + ... = T olsun
Öncelikle ilk n terim toplamını bulup limitini
(k + 1)
(k)
1
1
1
& 2
= dir.
+
k
k
1
k +k
n
k=1
=f
n
/ k 1+ k = / c 1k - k +1 1 m
2
k=1
1 1
1 1
1 1
1
1
p
- p + f - p + f - p + ... + f n n+1
1 2
2 3
3 4
1
= 1n
+
1
n
n
1
1
1 0
f1 p= 1
=
lim
=
lim
n+1
k2 + k n " ∞ k = 1 k2 + k n " ∞
k=1
/
/
2
3
1 1
1 2
1 3
T = 1· c m + 2 · c m + 3 · c m + ...
3
3
3
a) Basit kesirlere ayırarak ilk n terim toplamını bulalım.
1
1
A
B
=
=
+
& A = 1 ve B = - 1
k
k+1
k2 + k k (k + 1)
n
n=1
alalım.
O halde,
1
1
&T=
bulunur.
1-r
(1 - r) 2
–
1
1 2
1 3
1 4
· T = c m + 2 · c m + 3 · c m + ...
3
3
3
3
Tc 1 -
1
1 1
1 2
1 3
m = c m + c m + c m + ...
3
3
3
3
& T·
2 1
1
1 2
= >1 + + c m + ...H
3 3
3
3
& T·
2 1
= ·
3 3
&T=
1
1
13
& T·
2 1 3
= ·
3 3 2
3
bulunur.
4
dir.
Aşağıdaki sonsuza giden toplamların değerini bulunuz.
3.
/ ^n 2+ 1h =
∞
n=1
1.
∞
/ n - 31n + 2 =
n=3
2.
n
2
4.
∞
1-n
=
n=1
/ n 1- 1 =
n=2
∞
/ n·5
2
1) 1
2)
3
4
3) 3
4)
25
16
105
Uygulama Zamanı
Uygulama – 8
1. Aşağıda genel terimi verilen dizilerin limitlerini
bulunuz.
a) ânh = f
3n2 + 4n + 1
p
- n2 + 3n - 1
2. Aşağıda genel terimi verilen dizilerin limitlerini
bulunuz.
∞
/ c 13 m
a)
k-1
=
k=2
4n2 + n
m
b) ^bnh = c
3n + 1
b)
c) ^cn h = ^ n2 + 4n - n2 + n h
c)
∞
/ 4 · c 34 m
n-1
=
n=1
∞
/ c - 25 m
n+1
=
n=1
d) ^dnh = f
3n! + 2n
p
3n - n4
∞
d)
/
2 n+1
5·c m
=
3
∞
n
n =-1
e) ênh = f
πn + 2 - en + 1
p
en + 3n + πn - 1
/ 3 5+ 4
e)
n
n
n=2
=
(2n) !·(n + 2) !
p
f) ^fnh = f
(2n + 1) !·(n + 1) !
f) y < x < –1 olmak üzere,
∞
/ c 35xy m =
1
g) lim c (2n - 1)· tan
m
4n
x"∞
1) a) –3
106
b) ∞
c)
3
2
d) ∞
k
k=1
e) π3
f)
1
2
g)
1
2
2) a)
1
2
b) 16
c)
4
35
d) 15
e)
41
10
f)
3x
5y - 3x
3.
3
9
27
+
+ ... sonsuzun toplamı kaça eşittir?
4 16 64
7. D
E
K
F
H
G
A
5. 18 m yükseklikten yere bırakılan bir lastik top her seferinde bir önceki düştüğü yüksekliğin %20 si kadar
yükselmektedir. Buna göre lastik topun duruncaya
kadar düşeyde aldığı yol kaç m dir?
N
M
L
4. ^2, 13h5 devirli ondalık sayısının onluk tabandaki
karşılığı kaçtır?
C
B
Şekilde ABCD bir kenarı 8 br olan bir karedir. Bu karenin orta noktaları birleştirilerek DFKE karesi elde
ediliyor. Aynı işlem KGBH karesi için de uygulanarak
KGBH karesi içinde uygulanarak KLMN karesi elde
ediliyor. Buna göre sonsuza kadar bu işlem devam
edildiğinde taralı bölgelerin alanları toplamı kaç br2 dir.
8. A = 1 + sin x + sin2 x + sin3 x + ... sonsuz toplamının
π
x = için değeri kaçtır?
6
9. 2x2 + 3x + 5 = 0 denkleminin kökleri x1 ve x2 dir.
Buna göre
∞
k=0
6. Çevresi 18 br olan bir eşkenar üçgenin kenarlarının
orta noktaları birleştirilerek yeni bir eşkenar üçgen
elde ediliyor. Bu işlem sonsuza kadar sürerse elde
edilen eşkenar üçgenlerin çevreleri toplamı kaç br
dir?
3)
3
7
4)
47
20
5) 27
6) 36
k
/ f x1 + x1 p
1
2
ifadesinin değeri kaçtır?
10.n ∈ N olmak üzere [n, n + 1)
y
aralıklarında tanımlı
x-n
fn (x) =
fonksiyon
3n
sisteminin x ekseni ile
arasında kalan bölgenin
O
alanları toplamını bulunuz.
7)
64
3
8) 2
9)
f0
f1
f2
...
1
5
8
2
10)
3
3
4
x
107
Tekrar Zamanı
ÇÖZÜMLÜ TEST – 1
1. Birinci terimi a1 = 5 ve ikinci terimi a2 = 3 olan geometri dizi için genel terimi Sn = a1 + a2 + ...+ an kısmi
toplamlar dizisinin limiti kaçtır?
3
B) 5
A) 0
2. ânh = f
2
2
C) 1
2
C) 1
D) 3
A) ∞
B) 1
E) 0
4. Dört tabanında 3, 21 devirli ondalık sayısının onluk
tabandaki karşılığı kaçtır?
16
32
A)
B)
15
15
D)
5.
289
107
E)
15
90
∞
/ ^–1h
2k + 1
k=1
A) -
108
C) 2
1
4
1
sonsuz toplamının değeri kaçtır?
5k
B) –1
C) -
4
5
D) 0
E)
1
5
n+1
A) –2
ifadesinin değeri aşağıdakilerden hangi-
B) -
7. ânh = f
3
2
C) -
1
1
D) 5
2
E) 0
3 n + 1 - 2 2n
p dizisinin limiti aşağıdakilerden
4n - 1 - 5n + 1
hangisidir?
A) ∞
B)
1
2
C)
1
1
D) 5
4
E) 0
3
3 3
3 5
3 7
+ c m + c m + c m + ... toplamının değeri kaçtır?
4
4
4
4
8.
n +1
p dizisinin limiti kaçtır?
3n + 2
n
sidir?
E) 9
2
1
1
C) D) 3
9
n=1
E) ∞
1 + 2 + ... + n
p dizisinin limiti kaçtır?
3n3 + 5n2 + 4
1
1
A) B) 9
3
3. ânh = f
5
D) 2
∞
/ 13- 2
6.
A)
12
11
B)
7
7
D)
9
8
E)
7
7
9. a > 3 için
∞
/ c 1 - 3a m
k
C)
10
7
sonsuz toplamın eşiti aşağı-
k=1
dakilerden hangisidir?
A)
a
a
B) 9
a-3
D)
3
a-3
E) 1 +
a
3
10.
∞
/m
k+1
C)
a+3
3
= 2 olduğuna göre m aşağıdakilerden
k=0
hangisidir?
A)
2
2
B) 5
3
D)
5
E)
6
C)
3
4
∞
/ 159 --1525
11.
n
n
n
n=2
n
15.
ifadesinin değeri aşağıdakilerden
hangisidir?
A) 1
D)
B)
3
5
C)
7
10
Şekildeki sarkacın ucundaki top ilk gidiş gelişinde 36
cm yol alıyor. Sarkaç bundan sonraki her gidiş geli1
şinde bir öncekinin
i kadar yol olarak salınımına
5
devam ediyor.
4
9
E)
5
10
Buna göre bu sarkaç ilk hareketinden itibaren hareketsiz kalınca kadar yoluna devam ederse duruncaya kadar kaç cm yol alır?
12.
∞
/5
n=1
A) 48
x
n-1
A) 16
B) 45
C) 42
D) 40
E) 38
= 10 olduğunu göre x kaçtır?
B) 12
C) 8
D) 4
E) 2
16.
...
Şekilde herbirinin yarıçapı bir öncekinin
olan daireler çiziliyor. En büyük dairenin yarıçapı 6 br
olduğuna göre bu dairelerin alanları toplamı kaç br2
dir?
1
1
13.Bir limitin genel terimi ânh = c
m olarak
n+3 n+4
veriliyor.
Buna göre
∞
/a
n=1
A)
1
1
B) 3
4
n
A)
toplamının değeri kaçtır?
C)
1
1
D) 5
6
1
ü kadar
3
85π
B) 42π
2
C)
81π
2
D) 40π
E)
75π
2
E) 0
y
17.
2 x
y =c m
5
O
14.–5 < x < 0 olmak üzere,
∞
/ 3 +5 x
n
n=1
n
=
B) –4
C) –3
D) –2
2
x
3
2 x
Şekilde y = c m eğrisinin grafiği verilmiştir. Bu eğri5
13
olduğuna göre x aşağıdakilerden
28
nin altına eni 1 br olan sonsuz çoklukta dikdörtgenler
çiziyor.
hangisie eşittir?
A) –5
1
E) –1
Buna göre elde edilen dikdörtgenlerin alanları toplamı kaç br2 dir?
A)
2
1
B) 3
3
C) 1
D)
4
5
E)
3
3
109
1. D
2. A
3. E
4. E
5. A
6. C
7. E
8. A
9. D
10. B 11. E 12. C 13. B 14. D 15. B 16.C 17. B
Tekrar Zamanı Test - 1 Çözümü
a2
3
1. Geometrinin dizinin ortak çarpanı r = a = dir. O halde,
5
1
10.
3 n+1
1 -c m
5
3
3 2
3 n
buradan
Sn = 5 >1 + c m + c m + ... + c m H & Sn = 5 ·
5
5
5
3
15
0
3 n+1
1-c m
5
5
25
Sn = lim 5 ·
= =
bulunur. Cevap: D
3
2
2
n"∞
15
5
R
V
S n · ( n + 1 ) (2 n + 1 ) W
2
2
3
2
S
W
1 + 2 + 3 + ... + n
6
W
p = SS
^ an h = f
3n 3 + 5n + 4
3n 3 + 5n 2 + 4 W
T
X
2n 3 + 3n 2 + n
1
a
=
&
lim
a
=
bulunur.
Cevap: A
f
p
^ nh
n
9
18n3 + 30n2 + 24
n2 + 1
p dizisinde 3n ifadesi n2 den daha çabuk büyüdüğü
3. ânh = f n
3 +2
n2 + 1
p = 0 bulunur.
için lim ânh = lim f n
3 +2
& m·
∞
/
11.
n=2
12.
5.
/ ^- 1h
2k
k=1
=-
6.
∞
/
n=1
· ^- 1 h ·
1
5k
∞
=-
/5
k=1
1
k
3n + 1
∞
=
/3
n=1
1
n+1
∞
-
/3
n=1
2n
n+1
1
=
3
∞
/
n=1
1 1
3n 3
∞
/
n=1
7.
=
5
7
2
∞
∞
1
9
116
=
k
3
k=1
a-3
a-3
a-3 2
m>1 + c
m+c
m + ...H
=c
a
a
a
=
a-3
·
a
a-3 a a-3
1
=
· =
bulunur.
a-3
3
3
a
1a
Cevap: D
n=2
/
n=1
1
=
3
15
9
9 5
· =
bulunur.
25 5 2 10
Cevap: E
1
= 10
5n
Cevap: C
n
n=1
0
1
1
1
1
1
& lim Sn = lim c m = bulunur.
4 n+4
4 n+4
4
∞
/ 3 +5 x
n
n
∞
=3
∞
Cevap: B
/ 51 + / c 5x m = 13
28
n=1
n
n
n=1
Cevap: D
15.Sarkacın aldığı yol Y olsun,
Y = 36 + 36 ·
Y = 36 · ;1 +
1
1
+ 36 · 2 + ...
5
5
5
1 1
1
+
+ ...E = 36 ·
= 9 36 · = 45 cm yol alır.
5 52
1
4
15
Cevap: B
r1
16.
r1 = 6 , r2 = 6 ·
r2
r3
...
1
1
, r3 = 16 · 2 ...
3
3
1
1
+ π · 62 · 4 ...
32
3
1 1
1
A = π · 62 · ;1 + + 2 + ...E = π · 62 ·
1
9 9
19
9 81π 2
A = 36π · =
br bulunur. 8
2
A = π · 62 + π · 62 ·
Cevap: A
2
n
∞
n=1
4
3 16 12
·
=
bulunur.
7
4 7
k
n
1 1
1
x
x 2
& 3 · ; + 2 + 3 + ...E + ;c m + c m + ...E
5 5
5
5
5
13
1
1
1
x
& 3· ·
=
& x = - 2 bulunur.
+ ·
x
5
1 5
28
11
5
5
4
/ c 1 - 3a m = / c a -a 3 m = c a -a 3 m + c a -a 3 m + c a -a 3 m + ...
k=1
110
14.
3
3
3
3
3
3
3
+ c m + c m + c m + ... = >1 + c m + c m + ...H
4
4
4
4
4
4
4
3
9
9 2
3
>1 +
+ c m + ...H = ·
16
4
4
16
n
Cevap: B
3 n
c m
5
1 1 1 1 1 1
1
1
Sn = - + - + - + ... +
4 5 5 6 6 7
n+3 n+4
3 n
4n ;c m · 3 - 1E
4
= 0 bulunur.
lim an = lim f n - 1
p lim
n
1
4
- 5n + 1
n 4
5 ;c m · - 5E
5
4
Cevap: E
3
/ 5 ^3 - 5 h = /
n=2
∞
3n + 1 - 22n
8. =
9.
= 5x
n-1
∞
1
1 2
1
1
1 3 2 3 1 2
1 1
= · ·
- · ·
= · - · = - =1 3 3
2
2
3 3
9 2 9 1 6 3
113
3
bulunur.
Cevap: C
x
∞
/ a = / c n +1 3 - n +1 4 m
n=1
2 n
c m
3
1 1 1
1
1 2
2 2
= · ; + 2 + 2 + ...E - · > + c m + ...H
3 3 3
3 3
3
3
3n ^3n - 5n h
∞
1 1
1
1
1 1
= 5x · ; + 2 + 3 + ...E = 5x · · ;1 + + 2 + ...E
5 5
5
5 5
5
5x
1
x·
= 10 &
= 10 & x = 8 bulunur.
1
4
15
1 1
1
= - ; + 2 + 3 + ...E
5 5
5
9n - 15n
&
15n - 25n
/5
Sn =
1
1 1
1
1
1 5
1
· ;1 + + 2 + ...E = - ·
= - · = - bulunur. 5
5 5
5
1
4
5 4
1Cevap: A
5
1 - 2n
∞
n=1
Cevap: E
Cevap: E
1
m
2
=2&
= 2 & m = bulunur.
1-m
1-m
3
4. 3, 21 = 3, 2111.... = 3 +
∞
= 2 & m + m2 + m3 + ... = m (1 + m + m2 + ...)
3 2
3
3 2
9
= c m · >1 + + c m + ...H =
·
5
5
5
25
13.
2
1
1
1
+
+
+
+ ...
10 102 103 104
2
1
1
1
3+
+
+
+ ...E
;1 +
10 102
10 102
289
2
1
1
2
1
3+
+
·
=3+
+
=
bulunur.
1
10 90
90
10 102
110
k+1
k=0
3
3 2
3 n
Sn = 5 + 5 · c m + 5 · c m + ... + 5 · c m
5
5
5
2.
∞
/m
17.
A = 1·
2
5
2 2
2 3
c m
5
c m
5
123 123 123
1
1
1
Cevap: C
2
2 2
2 3
+ 1· c m + 1· c m + ...
5
5
5
A=
2
2
2 2
2
· >1 + + c m + ...H = ·
5
5
5
5
A=
2 5 2
· = bulunur.
5 3 3
1
1-
2
5
Cevap: B

Download Report