FASİKÜLE VERİMLİ ÇALIŞMA REHBERİ Sevgili öğrenciler ve değerli meslektaşlarım, Bireysel Matematik Fasikülleri, matematik bilmeyene keyifli bir yolculuk, matematik bilene hatasız soru çözme kabiliyeti kazandıracak şekilde tasarlanmıştır. � Her fasikül, en temelden adım adım matematiğinizi geliştirip güçlendirecek tekniklerle oluşturul- muştur. � Sayfa başlıklarıyla, her ünite, anlamayı kolaylaştırıcı alt başlıklara ayrılmıştır. � � Konu Özeti : Konu özetlerinde kavramlar madde madde vurgulanmıştır. : Uyarı ikonlarıyla hatırlatmalar ve dikkat edilmesi gerekenler belirtilmiştir. � (*) : Dipnotlarla konu dışı kavramlar açıklanmıştır. � ÖRNEK ve ÇÖZÜM : Örnekler sayfa başlığını en iyi açıklayacak şekilde özenle kurulmuş ve çözümleri kolayca anlaşılacak şekilde düzenlenmiştir. � : Her başlıkla ilgili el alışkanlığı kazanmanızı sağlayacak bolca soru Sıra Sende kısmında, cevaplarınızı kolayca kontrol edebileceğiniz şekilde sorulmuştur. � Uygulama Zamanı : Belirli aralıklarla birikimlerinizi değerlendirme uygulamaları konulmuştur. � Tekrar Zamanı : Ünite sonlarında öğrendiklerinizi test tekniğiyle pekiştireceğiniz ve çözüm- leriyle unuttuklarınızı hatırlayacağınız testler sunulmuştur. � Anahtar kavramlar ve çözümler renklendirilerek fark etmeniz sağlanmıştır. � Öğrencilerin sık düştüğü hatalar vurgulanarak belirtilmiştir. � Pratik ve eğlenceli çözümlerle akılda kalıcılık arttırılmıştır. � Her konu, özenle oluşturulan Konu Testi ile pekiştirilirken, " " ikonuyla belirtilen soruların çözümünü "SİZİN İÇİN ÇÖZDÜKLERİMİZ" kısmında bulabilirsiniz. Sonuç olarak, şunu diyebiliriz ki; matematik ayrıntılarda gizlidir. Bundan dolayı sabırla her fasikülü, üniteyi, başlığı ve maddeyi anlayarak, her örneği ve soruyu çözerek matematiği kolayca öğrenebilir, sınavlardaki matematik korkunuzdan kurtulabilirsiniz. Başarılı bir gelecek dileğiyle... METİN YAYINLARI http://www.metinyayinlari.com İÇİNDEKİLER LİMİT Limit Kavramı.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 Soldan-Sağdan Yaklaşma / Bir Sayı Civarında İşlemler.. . . . 2 Soldan - Sağdan Limit ve Limitin Varlığı.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Grafikte Limitin Varlığı.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Sabit ve Polinom Fonksiyonların Limiti.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 LİMİT ÖZELLİKLRİ Fonksiyon İşlemlerinde Limit.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 Mutlak Değer ve Köklü İfadelerde Limit.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 Sıkıştırma Kuralı / Sağdan-Soldan Limit Özellikleri.. . . . . . . . . 8 Uygulama Zamanı – 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 Tekrar Zamanı ÇÖZÜMLÜ TEST – 1.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 ÖZEL FONKSİYONLARDA LİMİT Parçalı Fonksiyonlarda Limit.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 Mutlak Değer Fonksiyonun Limiti.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 Üstel ve Logaritmik Fonksiyonların Limiti.. . . . . . . . . . . . . . . . . 16 R de Limit – I (Genişletilmiş Reel Sayılarda İşlemler).. . . . 17 R de Limit – II (Sonsuz, Tanımsız ve Belirsiz).. . . . . . . . . . . . 18 R de Limit – III ( lim f (x) = ± ∞ Limitler).. . . . . . . . . . . . . . . . . 19 x"a R de Limit – IV ( lim f (x) Limitler).. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 x "±∞ R de Limit – V ( R de Limitin Grafik Yorumu).. . . . . . . . . . . . . 21 Uygulama Zamanı – 2.................................................22 Tekrar Zamanı ÇÖZÜMLÜ TEST – 1.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ÇÖZÜMLÜ TEST – 2.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 Trigonometrik Fonksiyonların Limitleri – I. . . . . . . . . . . . . . . . . 30 Trigonometrik Fonksiyonların Limitleri – II.. . . . . . . . . . . . . . . . 31 Bileşke Fonksiyonların Limiti.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 Genel Limit Alma Kuralları. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 Limit Denklemleri.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 Uygulama Zamanı – 3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 Tekrar Zamanı ÇÖZÜMLÜ TEST – 1.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 BELİRSİZ LİMİTLER 0/0 Belirsizliği – I (Polinomlu Kesirlerde 0/0 Belirsizliği) .. . 0/0 Belirsizliği – II (Köklü Kesirlerde 0/0 Belirsizliği / Üstel İfadeli Kesirlerde 0/0 Belirsizliği). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Trigonometrik Fonksiyonlarda 0/0 Belirsizliği – I.. . . . . . . . . . Trigonometrik Fonksiyonlarda 0/0 Belirsizliği – II.. . . . . . . . . Trigonometrik Fonksiyonlarda 0/0 Belirsizliği – III.. . . . . . . . Trigonometrik Fonksiyonlarda 0/0 Belirsizliği – IV.. . . . . . . . Uygulama Zamanı – 4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Tekrar Zamanı ÇÖZÜMLÜ TEST – 1.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ÇÖZÜMLÜ TEST – 2.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ∞/∞ Belirsizliği – I (Polinomlu Kesirlirde ∞/∞ Belirsizliği. . . ∞/∞ Belirsizliği – II (Köklü Kesirlerde ∞/∞ Belirsizliği. . . . . . ∞/∞ Belirsizliği – III (Üstel İfadeli Kesirlerde ∞/∞ Belirsizliği).. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ∞/∞ Belirsizliği – IV (Sonsuza Hızlı ilerleyen Terimler.. . . . . ∞ – ∞ Limitleri – I (Köklü İfadelerde ∞ – ∞ Belirsizliği).. . . . 40 41 42 43 44 45 46 48 50 54 55 56 57 58 ∞ – ∞ Limitleri – II (Kesirli İfadelerde ∞ – ∞ / Logaritmik İfadelerde ∞ – ∞).. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 Uygulama Zamanı – 5.................................................60 1∞ Belirsizliği.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 0 · ∞ Belirsizliği.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 Belirsiz Limit Denklemleri. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 Limitte Değişken Dönüşümleri – I.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 Limitte Değişken Dönüşümleri – II.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 Limitin Geometrik Uygulamaları.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 Uygulama Zamanı – 6. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 Tekrar Zamanı ÇÖZÜMLÜ TEST – 1.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 ÇÖZÜMLÜ TEST – 2.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 SÜREKLİLİK Süreklilik Kavramı ve Grafik Yorumu.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Süreksiz Noktaların Özellikleri. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Bir Aralıkta ve Bu Aralığın Sınırlarında Süreklilik.. . . . . . . . . Polinom ve Kesirli Fonksiyonların Sürekliliği. . . . . . . . . . . . . . Tanım Kümesinde Süreklilik ve Parçalı Fonksiyon Sürekliliği.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Fonksiyonların Sürekli Olduğu Aralıklar.. . . . . . . . . . . . . . . . . . Fonksiyon İşlemlerinde Süreklilik.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Fonksiyonlarda Süreksiz Nokta Problemleri.. . . . . . . . . . . . . . Fonksiyonların R de Sürekli Olabilmesi.. . . . . . . . . . . . . . . . . . Sınırlı Fonksiyon Kavramı ve Limiti.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Kapalı Aralıkta Sürekli Fonksiyonların Özellikleri (En Büyük, En Küçük Değeri / Bir Aralıkta Kök Varlığı).. . Uygulama Zamanı – 7. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Tekrar Zamanı ÇÖZÜMLÜ TEST – 1.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 89 DİZİLERDE LİMİT Dizi Kavramı ve Bir Dizinin Limiti.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 Fonksiyon Limitleriyle Dizi Limiti Hesaplama.. . . . . . . . . . . . . 93 Toplam Formülleriyle Dizi Limiti Hesaplama.. . . . . . . . . . . . . . 94 Basit Kesirlere Ayırarak Dizi Limiti Hesaplama.. . . . . . . . . . . 95 Geometrik Dizi, İlk n Terim Toplamı ve Limit İlişkisi.. . . . . . . 96 Sonsuz Terimli Geometrik Dizi Toplamı – I.. . . . . . . . . . . . . . . 97 Sonsuz Terimli Geometrik Dizi Toplamı – II (Kuvvet ve İşaret Düzenleme).. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 Sonsuz Terimli Geometrik Dizi Toplamı – III.. . . . . . . . . . . . . . 99 Sonsuz Terimli Geometrik Dizi Toplamı – IV (Harfli İfadeler ve Denklemler). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 Sonsuz Terimli Geometrik Dizi Problemleri – I (Sonsuz Toplamlar / Devreden Sayılar). . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 Sonsuz Terimli Geometrik Dizi Problemleri – II (Sonsuz İlerlemeler) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 Sonsuz Terimli Geometrik Dizi Problemleri – III (Sıçrayan Top).. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 Sonsuz Terimli Geometrik Dizi Problemleri – IV (Geometrik Yorum).. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 Geometrik Dizi Olmayan Sonsuz Toplamlar.. . . . . . . . . . . . . 105 Uygulama Zamanı – 8. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 Tekrar Zamanı ÇÖZÜMLÜ TEST – 1.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 KONU TESTLERİ.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 SİZİN İÇİN ÇÖZDÜKLERİMİZ.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165 Limit Kavramı LİMİT 2 Limit, matematiksel olarak bir noktaya sınırları (limitleri) zorlayacak kadar yaklaşmak; ancak o noktaya varmamak olarak düşünülebilir. y Limit kavramını grafik üzerinden K açıklayalım ve elemanlarını belirtelim. L a x x vv x; limitleri zorlayan değişkendir, vv x → a; x değişkeninin a noktasına yaklaşmasıdır, vv f(x); limit altındaki fonksiyondur, vv L; x = a civarında f(x) fonksiyonunun yaklaştığı değerdir. Limit bir noktadaki değerlerden çok o nokta civarındaki değerlerdir. x = a noktasındaki değer f(a) = K iken x = a civarındaki değer lim f (x) = L dir. x"a f: R – {–3, 0} → R, y = f(x) fonksiyonunun grafiği aşağıdaki gibidir. y –2 –1 a) Alacağı değerlerini bulunuz. ÇÖZÜM Bir fonksiyonun herhangi bir noktasındaki değeri ile o noktasındaki limiti aynı da olabilir, farklı da olabilir. a) f(–2) = 0, f(–1) = 0, f(0) = 1, f(1) = 2 ve f(2) = 1 dir. b) lim f (x) = - 1, lim f (x) = 0, lim f (x) = 1, x " –2 x " –1 x"2 Aşağıdaki tabloda, apsisleri verilen noktalarda f(x) fonksiyonunun grafiğine göre aldığı değerleri ve limitlerini belirtiniz. –5 5 2. –4 4 3. –3 3 4. –2 5. –1 6. 0 7. 1 8. 2 9. 3 10. 4 11. 5 y = f(x) 1 3 4 5 x"0 lim f (x) = 2 ve lim f (x) = 0 dır. x"1 1. 2 x 2 Şekilde y = f(x) fonksiyonunun grafiği verilmiştir. Buna göre, f(x) fonksiyonunun x in –2, –1, 0, 1 ve 2 için; 6 O 1 –1 1 O –1 x 2 –3 –1 b) Limitlerini bulunuz. vv a; limitleri zorlanan noktadır, –4 1 –2 y = f(x) y = f(x) fonksiyonu için f(a) = K iken lim f (x) = L ise, o x x"a –5 y ÖRNEK Konu Özeti x –2 –3 –4 –5 f(x) lim f(x) –6 1) 2; 2 2) 0; 0 3) Tanımsız; –1 4) 0; –4 5) –1; –1 6) Tanımsız; 0 7) 4; 4 8) 10) 0; 0 11) 1; 1 9) 5; 4 3 8 8 ; 3 3 1 Soldan-Sağdan Yaklaşma / Bir Sayı Civarında İşlemler LİMİT (Soldan Sağdan Yaklaşma) Konu Özeti a ∈ R olmak üzere; vv x değişkeni a ya, a dan küçük değerlere yaklaşıyorsa, bu yaklaşmaya soldan yaklaşma denir ve x → a– ile gösterilir. vv x değişkeni a ya, a dan büyük değerlerle yaklaşıyorsa bu yaklaşmaya sağdan yaklaşma denir ve x → a+ ile gösterilir. x soldan yaklaşma a – a+ sağdan yaklaşma (Bir Sayı Civarında İşlemler) Konu Özeti Limit işlemlerinin rahatça yapılabilmesi için bir sayı civarındaki işlemlerin iyi bilinmesi gerekir. Bir sayının civarı bu sayının çok yakınındaki değerlerdir. vv a+; a dan çok az büyük değer vv a–; a dan çok az küçük değer olarak düşünülebilir. Örneğin, x 3– = –3,00...1 ÖRNEK Aşağıda tabloda belirtilen değişkenlerin hangi sayıya yaklaştığını tespit ediniz. x 2,5 2,8 2,9 2,99 2,999 ... b) y –2,5 –2,8 –2,99 –2,99 –2,999 ... Değişkenlerin sayı doğrusundaki görüntüle- rini inceleyelim. –3+ –3 3 2,8 2,9 sağdan x –2,9 –2,8 –2,5 2,5 3– a) 5 – 5+ b) –2 – (–2–) c) (3–)2 d) (–4–)2 ÇÖZÜM x değişkeni –3 e sağdan yaklaşmaktadır yani x → –3+ dır. b) –2– = –2,00...1 ⇒ –2 – (–2–) = –2 – (–2,00...1) Aşağıdaki değişkenlerin yaklaştığı sayıları yaklaşma yönüyle birlikte belirtiniz. = –2 + 2,00 ... 1 = 0,00..1 = 0+ c) 3– = 2,99...9 ⇒ (3–)2 = (2,99...9)2 = 8,99...1 = 9– d) –4– = –4,00..1 ⇒ (–4–)2 = (–4,00..1)2 = 16,00..1 = 16+ Aşağıdaki işlemlerin sonucunu bir sayı civarında işlemler ile bulunuz. 1. 4 + 0+ = 9. (0–)2 = 17.6 : 2+ = 1) x 1,5 1,8 1,9 1,99 1,999 ... 2. –5 + 3– = 10.(2–)2 = 18.–8 : 2+ = 2) y 3,5 3,3 3,1 3,01 3,001 ... 3. 3 – 3+ = 11.(–2–)2 = 19.–6 : (–3)+ = 3) z 0,6 0,7 0,9 0,99 0,999 ... 4. –4 – (–4)– = 12.(–1+)3 = 20.0 : 0+ = 4) t 0,6 0,3 0,1 0,01 0,001 ... 5. (–1)– · 7 = 13.0+ · 5 = 21.0 : 0– = 5) h –0,6 –0,7 –0,9 –0,99 –0,999 ... 6. 1– · (–7) = 14.0+ · (–2) = 22.2 · 3+ – 1 = 6) k 99,7 99,8 99,9 99,99 99,999 ... 7. (–4) · (–3)– = 15.0– · (–3) = 23.9 : (–3–)2 = 7) l –0,6 –0,3 –0,1 –0,01 –0,001 ... 8. (0+)2 = 16.6+ : 2 = 24.5 – (3–)2 = 8) m –100,7 –100,8 –100,9 –100,9 –100,999 ... 1) x → 2– 2 Aşağıdaki işlemlerin sonucunu a+ veya a– şeklinde bulunuz. a) 5+ = 5,00...1 ⇒ 5 – 5+ = 5 – (5,00...1) = –0,00...1 = 0– x değişkeni 3 e soldan yaklaşmaktadır yani x → 3– dir. soldan x –3 0 3 –3+ = –2,99...9 3– = 2,99...9 3+ = 3,00...1 ÖRNEK a) ÇÖZÜM 0+ = 0,00...1 0– = –0,00...1 a 5) h → –1+ 2) y → 3+ 6) k → 100– 3) z → 1– 7) l → 0– 4) t → 0+ 8) m → –101+ 1) 4+ 2) –2– 3) 0– 9) 0+ 10) 4– 11) 4+ 17) 3– 18) –4+ 19) 2+ 4) 0+ 5) –7– 6) –7+ 7) 12+ 8) 0+ 12) –1+ 13) 0+ 14) 0– 15) 0+ 16) 3+ 20) 0 21) 0 22) 5+ 23) 1– 24) –4+ Soldan - Sağdan Limit ve Limitin Varlığı LİMİT ÇÖZÜM Konu Özeti f: R – {a} → R, y = f(x) fonkisyonu için y lim f (x) = f (1–) y x " 1– - = 1 +1 = 2 . 2 y = f(x) L2 vv x değişkeni a ya soldan yaklaşırken (x → a–), f(x) O x fonksiyonu L1 sayısına L 1 yaklaşıyorsa f in x = a da soldan limiti L1 dir ve lim- f (x) = L1 biçiminde gösterilir. a x x 1 lim+ f (x) = f (1+) –1 x"1 + x"1 x"1 f(1) tanımsız olmasına rağmen lim f (x) = 2 dir. x"1 x"a Limit aranan veya limitin varolduğu noktada fonksiyon tanımlı olmak zorunda değildir. Sol limit, sağ limite eşit ise fonksiyonun limiti vardır. vv lim– f (x) = lim+ f (x) = L ise lim f (x) = L dir. R de tanımlı bir f fonksiyonu için lim+ f (x) = 1 ve x"3 lim- f (x) = 2 olduğuna göre aşağıdaki limit değerlerini x"3 bulunuz. a) lim+ f (2x - 1) b) lim+ f (5 - x) x"2 x"a x"a x"a (Bir Sayı Civarında Fonksiyon Değeri) ÖRNEK vv lim– f (x) ≠ lim+ f (x) ise lim f (x) yoktur. x"a x x 1 lim f (x) = lim- f (x) = 2 & lim f (x) = 2 dir. x " 1+ vv x değişkeni a ya sağdan yaklaşırken (x → a+), f(x) fonksiyonu L2 sayısına yaklaşıyorsa f in x = a da sağdan limiti L2 dir ve lim+ f (x) = L2 biçiminde gösterilir. x"a O x = 1 + 1 = 2+ . 2 x"a x"a y = f(x) 2 - . ÇÖZÜM lim f (x) varsa bu limit bir tanedir. x"a x"2 lim f (x) = 1 & f (3+) = 1 dir. x " 3+ lim f (x) = 2 & f (3-) = 2 dir. x " 3- a) lim+ f (2x - 1) = f (2 · 2+ - 1) = f (3+) = 1 dir. ÖRNEK x"2 f: R – {1} → R, f(x) = x + 1 fonksiyonunun x = 1 noktasındaki limitini bulunuz. 1. Gerçek sayılarda tanımlı y = f(x) fonksiyonu için lim f (x) = 5 olduğuna göre aşağıdaki limit değerlerini x"2 b) lim+ f (5 - x) = f (5 - 2+) = f (3-) = 2 dir. x"2 3. Gerçek sayılarda tanımlı f fonksiyonu için aşağıdaki tablo verilmiştir. x bulunuz. f(x) a) lim+ f (x) = 1 1 5,99 5,999 6,001 6,01 6,1 6,2 1 1 –2,999 –2,99 –2,9 –2,8 Tabloya göre aşağıdaki limit değerlerini bulunuz. x"2 b) lim- f (x) = a) lim- f (x) = d) lim+ f (8 - x) = b) lim+ f (x) = e) lim- f (x2 + 6) = x"6 x"2 2. Gerçek sayılarda tanımlı f fonksiyonunun x = 3 apsisli noktadaki limiti 7 iken, lim f (x) = 2a - 1 ve lim+ f (x) = ab - 1 olduğuna göre x " 3- x"3 a + b toplamının değeri kaçtır? 1) a) 5 5,8 5,9 b) 5 x"2 x"0 x"6 6 fc m x f) lim+ = x " 1 f (2x + 4) c) lim f (x) = x"6 2) 6 3) a) 1 b) –3 c) Yoktur d) 1 e) –3 f) - 1 3 3 Grafikte Limitin Varlığı LİMİT y Konu Özeti ÖRNEK n f: (a, e] – {b} → R olmak üzere; m , a o b c d vv Tanımsız nokk ta olan x = b de sağ ve sol limit eşit olduğu için "limit vardır." e x f(b) tanımsız iken lim f (x) = , dir. y f: [–3, ∞) – {2} → R olmak üzere grafiği verilen y = f(x) fonksiyonunun x in –3, 0, 2 ve 3 sayıları için; 2 1 o –3 a) Alacağı değerlerini bulunuz. y = f(x) 2 x 3 b) Limitlerini bulunuz. x"b vv Sıçrama noktası olan x = c de sağ ve sol limitler eşit olmadığı için "limit yoktur." m n 64 74 8 64 74 8 lim- f (x) ≠ lim+ f (x) & lim f (x) yoktur. x"c vv Kopma noktası olan x = d de sağ ve sol limitler eşit olduğu için "limit vardır." lim - f (x) = lim+ f (x) = m & lim f (x) = m dir. x"d x"d x"d vv Tanım aralığının uç noktaları olan x = a ve x = e de limit araştırılırken sadece tanımlı olunan tarafından limite bakılır. lim f (x) = lim f (x) = k ve lim- f (x) = lim f (x) = 0 x"a x " a+ x"e x"e 1. f(x) 4 lim f (x) = 2 & lim f (x) = 2 dir. x " –3 x " - 3+ x = 0 da lim- f (x) = 1 ve lim+ f (x) = 1 & lim f (x) = 1 dir. x"0 x = 2 fonksiyonun tanımsız olduğu kopma noktasıdır; lim f (x) = 0 ve lim+ f (x) = 0 & lim f (x) = 0 dır. x " 2- x"2 x"2 x = 3 sıçrama noktasıdır; lim– f (x) = 1 ve lim+ f (x) = 2 & lim f (x) yoktur. x"3 x"3 2. g(x) y 5 3 4 2 3 o x 2 o 1 2 2 x Şekilde f(x) ve g(x) fonksiyonlarının grafikleri verilmiştir. Buna göre aşağıdaki limitlerin değerlerini bulunuz. a) lim+ f (x) = e) lim+ g (x) = x"2 x"0 x"0 x"3 y y a) f(–3) = 2, f(0) = 1, f(2) tanımsız ve f(3) = 2 dir. b) x = –3 sağ taraftan tanımlı sınır noktasıdır; x"c x"c ÇÖZÜM x"2 –3 –2 –1 O –1 3 1 f) lim- g (x) = x"2 x"2 c) lim f (x) = a) lim - f (x) = f) lim- f (x) = b) lim + f (x) = g) lim g (x) = c) lim + f (x) = h) lim+ f (x) = d) lim - f (x) = k) lim f (x) = e) lim f (x) = l) lim f (x) = x"0 x"0 x "-1 x"2 x"1 x"1 x "-1 d) f(2) = h) g(2) = x "-1 4 1) a) 4 b) 4 c) 4 d) 4 e) 5 f) 3 g) Yoktur h) 4 x Şekilde f(x) fonksiyonunun grafiği verilmiştir. Buna göre aşağıdaki ifadelerin değerlerin bulunuz. x "-3 g) lim g (x) = x"2 4 –2 x "-3 b) lim- f (x) = 2 2) a) 2 b) 2 c) 0 x"3 d) –1 e) Yoktur f) 2 g) 2 h) 2 k) Yoktur l) –2 Sabit ve Polinom Fonksiyonların Limiti (Sabit Fonksiyonun Limiti) Konu Özeti Konu Özeti ∀ c ∈ R olmak üzere; f(x) = c sabit fonksiyonu için, c C lim f (x) = lim c = c dir. x"a LİMİT (Polinom Fonksiyonunun Limiti) n ∈ N olmak üzere; f(x) = anxn + anxn – 1 + ...+ a0 polinom fonksiyonu için, x"a Limit değişkeni dışındaki değişkenler sabit kabul edilir. lim f (x) = f (a) dır. x"a ÖRNEK ÖRNEK f: R → R, f(x) = 5 fonksiyonu için aşağıdaki limit değerlerini bulunuz. a) lim f (x) b) lim f (x) c) lim f (x) x " –2 x"0 x"3 f: R → R, f(x) = 2x3 + 3x2 + 5x + 1 fonksiyonu için aşağıdaki limit değerlerini bulunuz. a) lim f (x) x"0 ÇÖZÜM f(x) = 5 olduğuna göre, y a) lim f (x) = lim 5 = 5 tir. x " –2 x " –2 b) lim f (x) 5 y = f(x) o 3 x"1 b) lim f (x) = lim 5 = 5 tir. x"0 x"0 –2 c) lim f (x) = lim 5 = 5 tir. x"3 ÇÖZÜM x f(x) = 2x3 + 3x2 + 5x + 1 olduğuna göre, x"3 ÖRNEK a) lim f (x) = f (0) = 2 · 03 + 3 · 02 + 5 · 0 + 1 = 1 dir. x"0 (Limit Değişkeni) lim x limitinin eşitini bulunuz. b) lim f (x) = f (1) = 2 · 13 + 3 · 12 + 5 · 1 + 1 = 11 dir. h"0 x"1 ÇÖZÜM Limit değişkeni "h" dir. O halde lim x = x tir. h"0 1. f: R → R, f(x) = 4 fonksiyonu için aşağıdaki limit değerlerini bulunuz. a) lim f (x) = c) lim f (x) = b) lim f (x) = d) lim f (x) = x"0 Aşağıdaki limitlerin değerlerini bulunuz. 1. lim (3x + 1) = x"1 x"2 x "-1 x" 2. lim (x2 - 3x) = x "-2 3 4 3. lim (x3 - 2x2 - 4x) = x "-1 2. Aşağıdaki limitlerin eşitini bulunuz. a) lim 5 = c) lim x = 4. lim (x4 - x2 - 3x + 3) = b) lim 2 = d) lim π = 5. lim (3ax - a - 2x) = x"4 a"x x "-1 h"0 1) a) 4 x"2 y"2 b) 4 c) 4 d) 4 2) a) 5 b) 2 c) x d) π 1) 4 2) 10 3) 1 4) 9 5) 3x2 – 3x 5 Fonksiyon İşlemlerinde Limit LİMİT ÖZELLİKLRİ ÇÖZÜM Konu Özeti f ve g, x = a noktasında limitleri olan iki fonksiyon olmak üzere; vv lim [f (x) ± g (x)] = lim f (x) ± lim g (x) tir. x"a x"a x"a vv lim [f (x) · g (x)] = lim f (x) · lim g (x) tir. x"a x"a vv lim > x"a x"a lim f (x) f (x) x"a H= tir. a lim g (x) ≠ 0 k x"a g (x) lim g (x) x"a vv ∀ c ∈ R için lim [c · f (x)] = c · lim f (x) tir. x"a x"a Limit ilişkisi olduğu fonksiyonların her birine ayrı ayrı bir virüs gibi bulaşır. lim f (x) = lim (x + 2) = 1 + 2 = 3 tür. x"1 x"1 lim g (x) = lim (x2 + 1) = 12 + 1 = 2 dir. x"1 x"1 H 64 74 8 a) lim [2 · f (x) + g (x)] = 2 lim f (x) + lim g (x) = 8 bulunur. 3 x"1 2 x"1 x"1 2 64 7 48 H b) lim [5 · f (x) - 3 · g (x)] = 5 lim f (x) - 3 lim g (x) = 9 dur. 3 x"1 x"1 x"1 3 2 H 64 74 8 c) lim [f (x)· g (x)] = lim f (x) · lim g (x) = 6 bulunur. x"1 x"1 x"1 ÖRNEK f, g: R → R, f(x) = x + 2 ve g(x) = x2 + 1 fonksiyonları için aşağıdaki limit değerlerini bulunuz. a) lim [2 · f (x) + g (x)] b) lim [5 · f (x) - 3 · g (x) x"1 x"1 x"1 x"1 x"1 daki limit değerlerini bulunuz. 1 + f ( x) H= h ( x) - 1 2. f ve g: R → R, f(x) = 4x ve g(x) = x2 – 2 fonksiyonları için aşağıdaki limit değerlerini bulunuz. x"1 c) lim 6f (x) · g (x)@ = x"1 x"2 3f (x) + h (x) H= 2g (x) d) lim > x"3 6 1) a) 5 2 b) lim 63f (x) - 2g (x)@ = c) lim 6f (x) · g (x)@ = x"1 f ( x) - 2 1 x"1 x"1 H= = bulunur. g ( x) (x + 1 ) lim g (x) · lim (x + 1) 4 "1 "1 1x 4 2 4 3 1x 44 2 44 3 x "-2 x"1 d) lim > x"1 a) lim 6f (x) + 2g (x)@ = a) lim 62f (x) + g (x)@ = x"1 d) lim > 2 2 1. lim f (x) = 3, lim g (x) = - 1 ve lim h (x) = 2 için aşağı- b) lim > 3 f ( x) - 2 H d) lim > x " 1 g (x)·(x + 1) c) lim [f (x)· g (x)] x"1 H F lim f (x) - lim 2 b) 4 c) –3 d) - 11 2 2g (x) + 1 H= x · f ( x) + 2 2) a) –4 b) 14 c) 16 d) 15 38 Mutlak Değer ve Köklü İfadelerde Limit (Mutlak Değer İfadelerinde Limit) Konu Özeti f, x = a noktasında limiti olan bir fonksiyon olmak üzere, LİMİT ÖZELLİKLERİ Konu Özeti f, x = a noktasında limiti olan bir fonksiyon olmak üzere, vv n tek doğal sayı ise lim f (x) = lim f (x) dir. x"a (Köklü İfadelerde Limit) x"a lim n f (x) = n lim f (x) tir. x"a Mutlak değerin içini sıfır yapan kritik noktalarda sağdan - soldan limit araştırılır. İleride detaylı işlenecektir. x"a vv n çift doğal sayı ve x in a civarındaki tüm değerleri için f(x) ≥ 0 ise lim n f (x) = n lim f (x) tir. x"a x"a n çift doğal sayı iken f(x) < 0 ise tanımsızdır. ÖRNEK R de tanımlı f fonksiyonu için lim f (x) = 3 ise lim ^ 5x + 4 + 3 x - 9 h limitinin değerini bulunuz. lim x3 + f (x) limitinin değerini bulunuz. x " –2 x"1 ÇÖZÜM ÇÖZÜM lim ^ 5x + 4 + 3 x - 9 h = lim lim x3 + f (x) = lim (x3 + f (x) x " –2 x"1 x " –2 H H lim x3 + lim f (x) = - 8 + 3 = –5 = 5 tir. -8 3 x " –2 x " –2 x"1 5x + 4 + lim x"1 9 -8 1. lim 2x - 10 = 1. lim x3 + 1 = 2. lim ^ x2 - 10 + 3 - x2 h = 2. lim x2 + 3x + 6 = x"4 x"2 x"3 x "-2 3x - x x-9 =3 + (–2) = 1 bulunur. Aşağıdaki limitlerin eşitini bulunuz. x - 1 + 3x 3 lim (5x + 4) + 3 lim (x - 9) = 9 + 3 - 8 x"1 x"1 1 44 2 44 3 1 44 2 44 3 Aşağıdaki limitlerin eşitini bulunuz. lim f ( x) ÖRNEK x " –2 3. n x"2 3. lim ^ 4x + 4 - 3 3x - 1 h = = x"3 4. R de tanımlı f fonksiyonu için lim f (x) = - 5 olduğuna x "-1 4. lim x2 - 5 · x2 + 3 = x "-1 göre lim 4x + f (x) limitinin eşiti nedir? x "-1 1) 2 2) 7 3) 3 8 4) 9 1) 3 2) 4 3) 2 4) 8 7 Sıkıştırma Kuralı / Sağdan-Soldan Limit Özellikleri LİMİT ÖZELLİKLERİ Konu Özeti (Sıkıştırma (Sandviç) Kuralı) Konu Özeti f ve g, x = a noktasında limitleri olan bir fonksiyon olmak üzere, x in a civarındaki tüm değerleri için f(x) ≤ h(x) ≤ g(x) iken y L lim f (x) = lim g (x) = L x"a g x"a a & lim h (x) = L dir. x"a x (Sağdan - Soldan Limit Özellikleri) Limit özellikleri sağdan - soldan limitler için de geçerlidir. Sağdan - soldan limit hesaplanırken bir sayı civarında (a+ ve a– ile) işlemlerden faydalanıldığını hatırlayınız. h f ÖRNEK ÖRNEK 2 2 ∀ x ∈ R – {0} için 3 – x ≤ f(x) ≤ x + 3 olduğuna göre lim f (x) değerini bulunuz. x"0 R de tanımlı bir f fonksiyonu için lim+ f (x) = 2 ve lim– f (x) = 3 ise x"5 x"5 lim+ 6f (2x + 1) - f (7 - x)@ limitinin değerini bulunuz. x"2 ÇÖZÜM ÇÖZÜM 3 - x2 ≤ f (x) ≤ x2 + 3 & lim (3 - x2 ≤ f (x) ≤ x2 + 3) x"3 3 3 6 44 7 44 8 6 44 7 44 8 & lim (3 - x2) ≤ lim f (x) ≤ lim (x2 + 3) x"0 x"0 lim [f (2x + 1) - f (7 - x)] = lim+ f (2x + 1) - lim+ f (7 - x) x"0 1. lim f (x) = 4 ve lim g (x) = 4 için f(x) ≤ h(x) ≤ g(x) oldux"a x"5 x " 2+ x"0 & 3 ≤ lim f (x) ≤ 3 & lim f (x) = 3 bulunur. x"0 lim f (x) = 2 & f (5+) = 2 ve lim- f (x) = 3 & f (5-) = 3 x " 5+ x"a ğuna göre lim h (x) limitinin değeri nedir? x"a 2. f(x) = 2x + 1, g(x) = x2 + 2 ve f(x) ≤ h(x) ≤ g(x) olduğuna göre lim 3h (x) limitinin eşiti nedir? x"2 x"2 3 E E + + + = f (2 · 2 + 1) - f (7 - 2 ) = f (5 ) - f (5-) = 2 – 3 = –1 dir. 2 1. lim+ f (x) = 6 olduğuna göre lim+ f (x - 2) limitinin x"4 x"6 değeri nedir? 2. lim- f (x) = - 3 olduğuna göre lim+ f (5 - x) limitinin x"2 x"3 değeri nedir? x"1 3. lim+ f (x) = 8 ve lim- f (x) = 3 olduğuna göre x"3 x"3 3. lim f (x) = 3 ve lim g (x) = 3 için f(x) ≤ h(x) ≤ g(x) oldux"2 x"2 ğuna göre lim 6h (x - 2) + 2x@ limitinin değeri nedir? lim > f (2x + 1) - 2f (4 - x) f (x2 + 2) x " 1+ H limitinin değeri nedir? x"4 8 1) 4 2) 9 3) 11 1) 6 2) –3 3) 1 4 Uygulama Zamanı Uygulama – 1 1. Gerçek sayılar kümesinde tanımlı f fonksiyonu için 5. x"a x"a x"a kaça eşittir? y y a ∈ R iken lim f (x) = 3 ise lim+ f (x) · lim-f (x) çarpımı 4 4 –1 2. x f(x) –2,3 –2,1 –2,01 –2,001 –1,999 –1,99 –1,9 –1,7 3,5 3,99 3,997 3,7 5,003 5,01 5,1 2 x x "-2 b) lim- f (x) = g) lim+ [f (x) + g (x)] = c) lim+ f (x) = h) lim+ 6f (x) + g (x)@ = d) lim- f (x) = k) lim- > e) lim+ g (x) = l) lim- 6f (x)· g (x)@ = x"2 x"2 d) lim+ f (- 2x) = x "-2 x"1 x"3 x"0 x"0 3. Gerçek sayılar kümesinde tanımlı f fonksiyonunun x → 2 için limiti a gerçek sayısı iken, x"2 y x"2 6. a · b çarpımı kaçtır? f ( x) H= g ( x) x"2 x"2 lim f (x) = 3 - b ve lim+ f (x) = 2a - 2b olduğuna göre x " 2- x 2 f) lim- g (x) = x"2 b) lim - f (x) = o a) lim+ f (x) = x"2 c) lim f (x) = x "-2 o g(x) 1 3 Şekilde f(x) ve g(x) fonksiyonlarının grafikleri verilmiştir. Buna göre aşağıdaki limitlerini bulunuz. 5,3 Yukarıda yaklaşım değerleri verilen f(x) fonksiyonu için aşağıdaki limitlerin değerini bulunuz. a) lim + f (x) = 2 f(x) 2 f(x) 3 1 o –2 y 4. f: [–2, 2) → R olarak tanımlı şekildeki y = f(x) fonksiyonu için aşağıdaki ifadelerin değerlerini bulunuz. o –1 2 –3 x –1 –2 a) f(–2) = d) lim+ f (x) = g) lim- f (x) = b) lim f (x) = e) lim f (x) = h) lim f (x) = x"2 x"0 x "-2 x"0 c) lim- f (x) = x"2 f) f(0) = x"0 Şekilde f(x) fonksiyonunun grafiği verilmiştir. Buna göre aşağıdaki limitlerin eşitini bulunuz. a) lim - f (x) = d) lim+ f (x) = b) lim + f (x) = e) lim f (x) = c) lim+ f (x) = f) lim f (x) = x "-2 x"1 x"1 x "-2 ı) f(2) = x"2 x"0 1) 9 4) a) –1 b) –1 2) a) 5 c) 2 d) –2 b) 4 c) Yoktur e) Yoktur x 2 –2 2 1 –2 1 f) 1 d) 4 g) 0 5) a) 4 3) 2 h) 0 ı) Tanımsız b) 4 6) a 0 c) 2 b) –3 d) 2 e) 1 c) –2 f) 2 d) 1 g) 5 h) 1 e) Yoktur k) 2 f) 3 l) 8 9 7. lim f (x) = 4 ve lim g (x) = 2 olduğuna göre aşağıx"a x"a daki limitlerin eşitini bulunuz. lim a) lim 62f (x) + 3g (x)@ = 4f (x) = c) lim x " a 2g (x) + 4 b) lim 6f (x) - g (x)@ = d) lim x"a x"a 9. f, gerçek sayılar kümesinde tanımlı bir fonksiyon ve x"a x"2 x2 · f (x) = 12 olduğuna göre lim f (x) limitinin x+1 x"2 değeri kaçtır? f (x) · g (x) = 10.f(x) = x2 , 8. Aşağıdaki limit değerlerinin eşitini bulunuz. a) lim x"3 g(x) = 2x – 1 ve ∀ x ∈ R için g(x) ≤ h(x) ≤ f(x) olduğuna göre lim (f (x) + h (x) + g (x)) x"1 limitinin değeri kaçtır? x2 + 1 = x+2 b) lim (x4 - 3x2 - 4x + 1) = x"2 11.∀ x ∈ R için 1 - x2 x2 olduğuna göre ≤ f ( x) ≤ 1 + 5 2 lim f (x) değeri nedir? x"0 2 c) lim 4t + 5 = t "-1 x3 + 3x d) lim x "-1 3 7-x = 12. lim 6f (x) + x + 1@ = 8 olduğuna göre lim 6f (x - 1) - 2@ x"5 x"4 limitinin değeri nedir? e) lim y - y - 4 = y"2 f) lim ^3 x2 + 4 - x + 3 h = x "-2 13.f: R → R olmak üzere lim+ f (x) = 6 ve lim- f (x) = 2 g) lim 2 (x + 5x - 1)·(x - 4) x"0 (x4 - 2)·(2x2 + 2) x"4 x"3 olduğuna göre lim+ 6f (x + 1) - f (6 - x)@ limitinin 3 = x"2 değeri nedir? h) lim ^3 + π - eh = x " 99 7) a) 14 10 8) a) 2 b) –3 c) 3 b) 2 d) 2 c) 2 e) 0 d) 2 2 f) 1 g) –1 h) 3 + π – e 9) 9 10) 3 11) 1 12) 1 13) 4 R = (- ∞, ∞) & R = [- ∞, + ∞] dur. Sonsuz kavramı çok büyük olmayı ifade eder ve sayı değildir. Sonsuz sayı değildir; + ∞ = 1000... ve –∞ = –1000... _ b ancak yandaki gibi b sayılar oldukları düşü1 1 b 0+ = 0, 00...1 = = 1000... ∞ ` nülerek genişletilmiş b 1 1 b reel sayılarda işlemleb 0 = 0, 00...1 = = - 1000... - ∞ a ri yapabilirsiniz. vv (+∞) + (+∞) = +∞, (–∞) + (–∞) = –∞ vv (+∞)·(+∞) = +∞, (–∞)·(–∞) = +∞, (+∞)·(–∞) = –∞ + ∞, n çift vv ∀ n ∈ N için (+∞) = +∞, (- ∞) = ' - ∞, n tek + + n vv ∀ n ∈ N için n n + ∞ = + ∞, n tek ise n -∞ =-∞ ÖRNEK Aşağıdaki işlemlerin sonucunu R de bulunuz. -5 ∞ 00 3 c) - d) e) a) + b) ∞ 0 0 0 101000 Aşağıdaki işlemlerin sonucunu genişletilmiş reel sayılar kümesinde tespit ediniz. 1. ∞ – 101000 = 8. (–∞) · (–5) = 2. 109 – ∞ 9. (–∞) · (–∞) = 3. ∞ + ∞ 10.(–∞) · (+∞) = 11.∞5 + 4. –∞ – ∞ = 5 6. c - m · ^- ∞h = 2 13.(–∞) = 7. ∞ · ∞ = 14. 7 - ∞ = 2) –∞ 9) +∞ 5 3) +∞ 10) –∞ 0 0 = = 0 0+ 0, 00..1 c) 3 0 = = 0- - 0, 00..1 d) -5 -5 = = 0∞ 1000... b) 4) –∞ 5) –∞ 6) +∞ 11) +∞ 12) +∞ 13) –∞ 7) +∞ 14) –∞ 0- 0, 00..1 = & tanımsız 0 0 3 1000... m =-∞ = 3 ·c1 1 1000 e) Her sayı sonsuzdan daha küçüktür; ∞ =∞ 101000 (Kuvvetler) ÖRNEK Aşağıdaki işlemlerin sonucunu R de bulunuz. 5 ∞ 2 ∞ b) (–2)∞ c) 2–∞d) c m e) c m a) 2∞ 3 3 ∞ un tek ya da çift olduğu tanımlı değildir. ÇÖZÜM ∞ a) 2 = 2 · 2 · 2 · ...= ∞ +∞ mu –∞ mu olaca- b) (–2)∞ → ğı tespit edilemez. 1 1 = = 0+ 2∞ ∞ c) 2-∞ = çok büyük sayı 2 ∞ = 0+ d) c m = ∞ 3 5 ∞ e) c m = 3 ∞ =∞ çok büyük sayı 3∞ ifadesi daha hızlı sonsuza ilerler, 2∞ sayı gibi davranır. 5∞ ifadesi daha hızlı sonsuza ilerler 3∞ sayı gibi davranır. 15. - 3 = 0- π ∞ 22. c m = e 16. - 2 = -∞ e ∞ 23. c m = π 17.5∞ = 2 -∞ 24. c m = 3 18.5–∞ = 5 -∞ 25. c - m = 3 19.(–3)∞= 26.8 ∞ = 20.(–2)–∞ 27.10 -∞ = 5 ∞ 21. c m = 7 28. ∞ = 12.(–∞)2 = 5. ∞ · (–1) = a) 123 Reel sayılar kümesine –∞ (negatif sonsuz) ve +∞ (pozitif sonsuz) kavramlarının eklenmesi ile oluşan sayı kümesine genişletilmiş reel sayılar kümesi denir ve R ile gösterilir. 1) +∞ ÇÖZÜM (Genişletilmiş Reel Sayılarda İşlemler) Konu Özeti 8) +∞ ÖZEL FONKSİYONLARDA LİMİT 14243 – R de Limit – I 15) +∞ 21) 0+ 1 1 16) 0+ 22) ∞ 17) ∞ 23) 0+ 18) 0+ 24) ∞ ∞! = ∞∞ 19) Tespit Edilemez 25) 0 a Yaklaşır 26) 1 20) 0 a Yaklaşır 27) 1 28) 0 17 – R de Limit – II ÖZEL FONKSİYONLARDA LİMİT Konu Özeti (Kuvvetler) ÖRNEK (Sonsuz, Tanımsız ve Belirsiz) Aşağıdaki işlemlerin sonucunu R de bulunuz. Limitte sıkça karşılaşacağınız sonsuz, tanımsız ve belirsiz ifadelerini birbiriyle karıştırmayınız. a) g) vv a ∈ R – {0} için a 0 = ± ∞ dur ve ± = 0 dır. 0± 0 0 0 b) -9 0 5 h) π m) tan c m 2 c) 3 -8 n) 00 ı) 1∞ k) log (–3) l) ln 0+ o) 1∞ p) 10 r) ∞ – ∞ 0, ∞, 0 · ∞, ∞ - ∞, 00, 1∞, ∞0 ifadeleri 0 ∞ belirsiz durumlardır. 0 " belirsizdir. vv 0 Sonsuz, sınırsız büyük ancak reel sayı olmayan durumlardır; tanımsız, matematiksel olarak tanımsız kabul edilen durumlardır; belirsiz, tanımlı ancak tam belirlenemeyen durumlardır. Aşağıdaki işlemlerin sonucunu genişletilmiş reel sayılar kümesinde tespit ediniz. 0 = 0 5 a) 0 → Belirsiz 0 d) ∞ -5 " - ∞ e) → Belirsiz ∞ 0+ g) b) - 9 → Tanımsız h) 3 5 → Tanımsız 0 c) f) 0 · ∞ → Belirsiz - 8 = - 2 ı) 1∞ → Belirsiz k) log (–3) → Tanımsız l) ln 0+ = –∞ π m) tan c m → Tanımsız 2 n) 00 → Belirsiz o) 1∞ → Belirsiz p) 10 = 1 r) ∞ – ∞ → belirsiz 19.(–3)∞ = 28.log 0+ = 20.(–3)–∞ 29.log 0– = 1. 3 = 0+ 10. -2 = 0 2. -2 = 0+ 11. 0+ = 5 21.∞ – ∞ = 30.log ∞ = 3. 5 = 0- 12. 0= 2 22. 3 - ∞ = 31.∞0 = 4. -8 = 0- 13. 0+ = -2 23.1∞ = 32.cot 0 = 24.0–2 = 33.cot 0+ = 25.00 = 34.cot 0– = 26.0 · ∞ = π + 35. tan c m = 2 27.log 0 = π 36. tan c m 2 0 5. + = 0 0 14. = -3 0 6. + = 0 ∞ 15. = ∞ - 1 = ∞ 7. 3 = 0 16. 8. 0 = 8 17. - 9. 0 = 0 18. - ∞ 1 = ∞ 19) Tespit Edilemez 1) +∞ 2) –∞ 3) –∞ 4) +∞ 5) 0 6) 0 7) Tanımsız 8) 0 9) Belirsiz 10) Tanımsız 11) 0+ 12) 0– 13) 0– 14) 0+ 15) Belirsiz 16) 0+ 17) 0– f) 0 · ∞ ÇÖZÜM a vv a ∈ R – {a} için " tanımsızdır. 0 18 ∞ -5 5 d) + e) ∞ 0 0 18) Tanımsız 24) Tanımsız 30) ∞ 20) 0 a Yaklaşıyor 25) Belirsiz 31) Belirsiz 26) Belirsiz 32) Tanımsız 21) Belirsiz 27) Tanımsız 33) +∞ 22) –∞ 28) –∞ 34) –∞ 23) Belirsiz 29) Tanımsız 35) –∞ 36 +∞ – R de Limit – III Konu Özeti ÖZEL FONKSİYONLARDA LİMİT x"a lim f (x) = ± ∞ ifadesi ile gerçel sayılar kümesinde x"a (R de) limitin var olduğu anlaşılmamalıdır. Çünkü ±∞ gerçel sayı değildir yani ±∞ ∉ R dir. lim f (x) = ± ∞ limiti ile x = a civarında f(x) in x"a sınırsız artış ya da azalış davranışı ifade edilir. a ∈ R ve n ∈ N+ olmak üzere; Aşağıdaki limit değerlerini bulunuz. 1 1 b) lim a) lim x"1 x - 1 x"0 x vv a < 0 iken lim a –∞, =* (x - b) n yoktur, n çift ise n tek ise b) Yukarıdaki durumları ezberlemenize gerek yoktur. Bir sayı civarında ve genişletilmiş reel sayılarda işlemler ile sonuca ulaşabiliriz. c) 1. lim+ x"0 2. limx"0 3. lim+ x"3 4. limx"2 -1 x-3 _ 1 1 1 = = = + ∞ bb x - 1 1+ - 1 0+ 1 yoktur. ` lim 1 1 1 x 1 " x 1 = lim= - = - ∞ bb x"1 x - 1 1 -1 0 a _ 1 1 1 1 = + = + 2 = + = + ∞ bb 2 2 0 x " 1 (x - 1) (1 - 1) (0 ) 1 ` lim =∞ 1 1 1 1 x " 1 (x - 1) 2 b lim= = - 2 = + = + ∞b 2 2 x " 1 (x - 1) 0 (1 - 1) (0 ) a lim+ 9. lim 2 = x 10. lim 1 x-3 11. lim 1 = (x - 3) 2 x"3 1 12. lim+ 3 x = -1 = x-2 x"0 4 5. lim+ 3 = x-1 13. lim- 5 x - 3 = 6. lim+ -1 = x-2 14. lim x = x-2 7. lim- 5 = x-4 15. lim 2 = x-3 8. lim- -2 = x-5 16. lim+ ln (x - 2) = x"1 x"2 x"4 x"5 1) +∞ 2) –∞ 1 y = –– lim x"3 2 = x y x " 1+ x"0 3 = x 1 (x - 1) 2 x 1 1 a) lim+ = + = + ∞ (sınırsız artış) 0 x"0 x x o 1 1 lim- = - = - ∞ (sınırsız azalış) x"0 x 0 1 karakteristik bir davranış göstermex → 0 iken f(x) = x 1 diği için, lim yoktur denilir. x"0 x n çift ise n tek ise Aşağıdaki limitlerin değerini bulunuz. x"1 Davranış ∞, a =* yoktur, (x - b) n x"b c) lim ÇÖZÜM Kesirli fonksiyonların paydasını sıfır yapan nokta kritik noktlardır ve sağdan soldan limite bakılır. vv a > 0 iken lim x"b (Kesirli Fonksiyonlarda Limit) ÖRNEK ( lim f (x) = ± ∞ Limitler) x"3 x"2 x"3 x"2 3) –∞ 4) + ∞ 5) +∞ 6) –∞ 7) –∞ 8) +∞ 9) Yoktur 10) Yoktur 11) ∞ 12) ∞ 13) 0 14) Yoktur 15) ∞ 16) –∞ 19 – R de Limit – IV ÖZEL FONKSİYONLARDA LİMİT ÖRNEK ( lim f (x) Limitler) Konu Özeti x "±∞ Aşağıdaki limit değerlerini bulunuz. y a) lim (- 3) a a ∈ R olmak üzere lim a = a dır. x "±∞ y=a x o a a ∈ R ve n ∈ N olmak üzere; lim = 0 dır. x " ± ∞ (x - b) n + x"∞ n–1 anx + an – 1 x y o x"∞ y b) lim x"∞ 1 1 = =0 x ∞ c) lim x "-∞ vv a > 1 ise y x lim ax = 0 dır. lim ax = ∞ dur. lim a = ∞ dır. x"∞ x 64748 x2 2x 5 d) lim (x2 + 2x + 5) = lim >x2 f 2 + 2 + 2 pH x → ∞ iken x"∞ x"∞ x x x 2/x ve 5/x2 0 x "-∞ x 0 2 5 = lim ;x2 c 1 + + 2 mE = lim x2 = ∞ dur. x x x"∞ x"∞ x lim a = 0 dır. x"∞ x 64748 o x "-∞ y = 1/x x2 parantezine alalım y = ax o o 2 2 2 2 = =0 = = 2 2 2 ∞ (x - 1) (- ∞ - 1) (- ∞) � a < 1 ise y y = ax x y = –3 –3 x "±∞ a ∈ R+ olmak üzere f(x) = ax fonksiyonu için, e) e = 2,71... > 1 için lim ex = e-∞ = x "-∞ 1. Aşağıdaki limitlerin değerini bulunuz. e) lim ^x3 + x2 + 1h = a) lim 6 = b) lim x"∞ 2. lim c x"∞ 1 = x f) lim x "-∞ 2 = x5 + x2 1 1 1 - + m limitinin değeri nedir? x2 x x3 1 2 3. lim >5-x + + 3 x H limitinin değeri nedir? x x"∞ 1 c) lim 2x = g) lim 5 x = 3 x d) lim c m = x "-∞ 5 1 x h) lim c m = x"∞ 3 x"∞ x "-∞ 20 1) a) 6 b) 0 c) 0 d) ∞ e) –∞ f) 0 g) 1 4. h) 0 3 π x lim ;c m - 2 E limitinin değeri nedir? e x +1 x "-∞ 2) 0 3) 1 sıfır olur 1 1 = = 0 dır. e∞ ∞ x "-∞ x"∞ 2 (x - 1) 2 ÇÖZÜM Formül ezberlemeden bir sayı civarında ve genişletilmiş reel sayılarda işlemler ile sonucu ulaşılabilir. lim (an xn + a1 - 1 xn - 1 + ... + a0) = lim (an xn) dir. Nedeni için örneğin d şıkkını inceleyiniz. x "-∞ x "-∞ x"∞ + ... + a0 polinomik ifadesi için x "±∞ c) lim e) lim (ex) d) lim (x2 + 2x + 5) a) lim (- 3) = - 3 n 1 x b) lim x"∞ 4) 0 – R de Limit – V y y = f(x) f: R – {a, b} → R k olmak üzere; a lim f (x) = k O x b y ÖRNEK ( R de Limitin Grafik Yorumu) Konu Özeti vv ÖZEL FONKSİYONLARDA LİMİT Şekildeki f: R – {0, 3} → R fonksiyonunun grafiğine göre aşağıdaki limit değerlerini bulunuz. a) lim f (x) x "-∞ b) lim f (x) x "-∞ x"0 y = f(x) 2 3 x c) lim f (x) d) lim f (x) x "+∞ x"3 vv lim- f (x) = + ∞ ve lim+ f (x) = - ∞ olduğundan x"a x"a x"a vv lim- f (x) = + ∞ ve lim+ f (x) = + ∞ olduğundan x"b x"b x"0 lim f (x) = - ∞ dur. +∞ sınırsız artışı, –∞ sınırsız azalışı belirten fonksiyon davranışlarıdır. +∞ ve –∞ gerçek sayılar kümesinde limitin varlığı anlamına gelmez. DİKKAT EDİNİZ! lim f (x) = - ∞ x " 3c) lim f (x) = - ∞ 4 lim f (x) = - ∞ dur. x"3 + x"3 d) lim f (x) = 2 dir. x "+∞ 2. y 2 1 x "-∞ lim- f (x) = + ∞ x"0 x "+∞ 1. a) x → –∞ iken f(x) sınırsız azalır: lim f (x) = - ∞ lim f (x) yoktur. b) lim f (x) = - ∞4 x " 0 + lim f (x) = ∞ dur. x"b vv Grafiği dikkatli okuyunuz. ÇÖZÜM lim f (x) yoktur. y y = f(x) 1 y = f(x) O 1/2 1 –2 x O x 1 –1 Şekilde y = f(x) fonksiyonunun grafiği verilmiştir. Buna göre aşağıdaki limit değerlerini bulunuz. Şekildeki y = f(x) fonksiyonunun grafiği verilmiştir. Buna göre aşağıdaki limit değerlerini bulunuz. a) lim+ f (x) = d) lim f (x) = a) lim + 1 = f ( x) d) lim 64 - f (x)@ = b) lim- f (x) = e) lim f (x) = b) lim - 3 = f ( x) e) lim+ c) lim f (x) = f) lim f (x) = c) lim 62 · f (x)@ = x"0 x"1 x"∞ x"1 x "-2 x "-∞ x"1 1) a) ∞ x "-2 b) –∞ c) Yoktur d) 1 e) 2 f) 2 x "-∞ x"1 f) lim x"∞ x"∞ 2) a) 0 b) 0 c) 2 d) 3 1 = f ( x) f ( x) = x e) ∞ f) 0 21 Uygulama Zamanı Uygulama – 2 3. Aşağıdaki limitlerin değerlerini bulunuz. 1 - x2 , x > - 3 3x + 1 , x ≤ - 3 1. f (x) = * fonksiyonu için aşağıdaki limitlerin değerini bulunuz. e) lim+ x2 - 9 = x-3 = f) lim- x2 - 1 = x-1 = g) lim+ x2 - 2x - 3 = x-1 = h) lim - a) lim x2 - 5x - 4 = x"1 a) lim f (x) = x"3 d) lim - f (x) = x"0 x "-3 x-5 b) lim x"4 b) lim f (x) = x-3 x"1 e) lim + f (x) = x "-4 x "-3 x-2 c) lim+ x-2 x"2 c) lim f (x) = x"3 f) lim f (x) = x "-3 x"2 x-1 d) lim- x-1 x"1 Z 2 ]x + 4 2. f (x) = [ 3x + 2 ] 2 \x - 1 4. lim+ > , x<2 , 2≤x<3 , 3≤x x"2 2-x 2-x x2 - 2x - 8 x "-2 x2 - 4 = + x2 - 5 H limitinin değeri nedir? fonksiyonu için aşağıdaki limitlerin değerini bulunuz. a) lim f (x) = 5. limx"0 e) lim f (x) = x"1 x2 + 5x limitinin değeri nedir? x x"2 6. limx"3 b) lim f (x) = f) lim+ f (x) = x"5 x2 - 9 3x - x2 limitinin değeri nedir? x"3 7. c) lim+ f (x) = lim x2 + 5x + 6 x2 - 4 x "-2 limitinin değeri nedir? g) lim- f (x) = x"3 x"2 8. lim 2x - x · f (x) = 0 olduğuna göre lim f (x) limitinin x"3 x"3 değeri nedir? d) lim- f (x) = h) lim f (x) = x"3 x"2 9. lim ^2x 2 - 3x x"1 1) a) 1 22 2) a) 5 b) 24 b) –11 c) 8 c) –3 d) 8 d) –8 e) 8 e) –8 f) 8 f) –8 g) 11 h) Yoktur 3) a) 8 4) 0 · 63 - xh limitinin değeri nedir? b) 1 5) –5 c) 1 d) –1 6) 2 e) 6 7) Yoktur f) –2 g) 0 8) 2 h) 9) 9 3 2 10. lim 6log2 (3x + 4) - log2 x@ limitinin değeri nedir? 14. x"4 y 4 11. lim 9log3 (x3 + 3) + log3 (x + 1)C limitinin değeri nedir? 3 x"0 2 –3 12. lim 9log2 (x2 + 5x - 6) - log2 (3x + 3)C limitinin değeri –2 –1 y = f(x) x 1 O x"4 nedir? Şekilde y = f(x) fonksiyonunun grafiği verilmiştir. Buna göre aşağıdaki limit değerlerini bulunuz. 13.Aşağıdaki limitlerin değerini bulunuz. a) lim+ x"0 b) limx"0 4 = x l) lim x"∞ 6 = x 1 = x2 + 2x m) lim 3-x = 2 = d) limx"3 x - 3 2 x o) lim c m = x"∞ 5 2 = e) lim+ x"3 x - 3 3 = p) limx"2 x - 2 1 f) lim 2 = x"0 x 1 x-5 r) lim+ c m = 3 x"5 c) lim f (x) = k) lim + -1 = f ( x) d) lim f (x) = l) lim - 2 = f ( x) e) lim f (x) = m) lim f ( x) = x -3 = f ( x) n) lim x = f ( x) x "-3 x "-∞ f) lim x "-2 5 x"∞ x "-∞ 15.f(x) = x–3 + x–2 + x–1 + 5 fonsiyonunun için lim f (x) x"∞ limitinin değeri nedir? x"∞ 1 h) lim 2 = x-5 t) lim- e x = k) lim 3 = x u) lim 3 x x"0 1 ifadesi16.x ∈ (–∞, 0] olduğuna göre x → ∞ için 1 nin limiti nedir? 5 - 3x 1 2 x "-∞ 10) 2 b) –∞ l) 0 x "-3 x"∞ s) lim 3 x + 1 = x"0 k) 0 1 = f ( x) x "-2 x"0 1 1 h) Yoktur h) lim + x "-∞ g) lim- 2 x = 13) a) ∞ b) lim f (x) = x"∞ x"∞ n) lim 7x = x"∞ g) lim 6f (x) + 2@ = x "-2 x "-2 -3 = c) limx x"0 x"5 a) lim + f (x) = 11) 1 c) ∞ m) 0 n) 0 d) –∞ o) 0 -x = 12) 1 e) ∞ p) –∞ r) 0 f) ∞ s) 1 14) a) ∞ g) 0 t) 0 u) 1 h) 0 b) Yoktur k) ∞ l) ∞ c) 4 m) 0 d) 2 n) –∞ e) 2 15) 5 f) 0 g) 4 16) 1 4 23 Tekrar Zamanı ÇÖZÜMLÜ TEST – 1 6. lim ^3x Z 2 ]x + 3 , x < - 1 1. f (x) = [ 2x - 1 , - 1 ≤ x < 2 ] \x + 1 , x ≥ 2 x"1 · 23x - 1 h limitinin değeri kaçtır? A) 12 B) 18 2 +1 C) 24 D) 30 E) 36 fonksiyonu için lim f (x) + lim+ f (x) + lim + f (x) toplamının eşiti x " - 1- x"2 x "-1 aşağıdakilerden hangisidir? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 4x + a , x ≥ 2 3x2 - a , x < 2 fonsiyonu veriliyor. f(x) in tanımlı olduğu her noktasında limiti olduğuna göre 7. f (x) = * lim f (x) + lim f (x) toplamı aşağıdakilerden hangi- x"1 2. lim 9log2 x2 + log4 x4C limitinin değeri kaçtır? x"3 sidir? x"2 A) 2 B) 4 C) 6 D) 8 E) 10 8. lim- 2 x 3. lim c m limitinin değeri kaçtır? x"∞ 5 A) –∞ B) –1 C) 0 A) 24 E) ∞ x-3 2 x - 2x - 3 hangisidir? x"3 D) 1 B) 20 A) - C) 15 D) 12 E) 8 ifadesinin eşiti aşağıdakilerden 1 1 B) - 2 4 C) 0 D) 1 2 E) 1 4 5 9. lim- 3 x - 2 limitini değeri aşağıdakilerden hangisidir? 3x limitinin eşiti nedir? 4. lim x"0 x A) –3 5. f (x) = B) –2 x-2 x-2 C) 0 x"2 D) 1 E) 2 x + 3x olduğuna göre C) 0 D) 1 E7 ∞ 1 hangisidir? x"2 hangisidir? 24 B) –3 1 10. lim >3-x + c m + 2 x H limitini değeri aşağıdakilerden 5 x"∞ lim f (x) + lim- f (x) ifadesinin eşiti aşağıdakileden x " 2+ A) 8 A) –∞ B) 9 A) –∞ C) 10 D) 11 E) 12 B) –1 C) 0 D) 1 E) ∞ 1 1 y 15. 1 e x 11. lim >2 x + c m + c m H limitinin değeri aşağıdakiπ x 2 x " 0+ 2 y = f(x) lerden hangisidir? A) –∞ B) –1 C) 1 D) 2 E) ∞ –1 x O Şekilde y = f(x) fonksiyonunun grafiği verilmiştir. Buna göre aşağıdakilerden hangisi yanlıştır? 3 x 12. lim ;c m + x–2 + 2E limitinin değeri aşağıdakilerden 5 x "-∞ A) lim f (x) = 0 B) lim + f (x) = - ∞ x"0 hangisidir? A) –∞ B) –1 C) 0 D) 2 x "-1 C) lim f (x) = 2 D) lim - f (x) = + ∞ x "-∞ E) ∞ x "-1 E) lim f (x) yoktur. x"∞ y 13. 1 –3 –2 y 16. x O f(x) 1 O –2 x 2 –1 Şekilde y = f(x) fonksiyonunun grafiği verilmiştir. Buna göre lim f (x) + lim f (x) ifadesinin eşiti aşax"∞ x "-∞ ğıdakilerden hangisidir? A) –∞ B) 0 C) 1 Şekilde y = f(x) fonksiyonunun grafiği verilmiştir. D) 2 Buna göre E) ∞ I. lim f (x) = 1 IV. lim f (x) = 1 II. lim+ f (x) = - ∞ V. lim f (x) = - 2 x"∞ x "-∞ x"2 x"0 III. lim+ f (x) = ∞ x"2 14. lim+ x"0 4+3 - 1 x 1 Önermelerinden hangileri doğrudur? limitinin değeri nedir? 1 + 3·2x A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4 A) I, III ve V B) I, II ve IV D) II, III ve IV E) I, III ve IV C) II, III ve V 25 1. D 2. B 3. C 4. A 5. E 6. E 7. C 8. A 9. C 10. D 11. C 12. E 13. D 14. A 15. E 16. E Uygulama Zamanı Uygulama – 5 Aşağıdaki limit değerlerini bulunuz. 1. lim x"∞ 7. lim x "-∞ 2x + 4 = x-2 8. lim x"∞ 2. lim x2 + 3 + 3x = 2x + 3 x "-∞ 4x + x2 + 3x + 1 3x + 4x2 + x - 1 6x3 + 3x2 x + 1 = 2x3 - x2 + 3 x2 + 6x + 3 8x3 + 1 9. lim x2 + x - 3 x"∞ 3. lim x"∞ 3x = x2 + 5x + 6 10. lim 5x - x2 - 3 x "-∞ 4. lim x"∞ 5. lim x"∞ 6. lim x"∞ 60 = 3x3 + 2x + 5 = 2x2 + x - 1 (x + 1)·(4x2 - 3x + 2) = (3x - 1) 2 ·(2x + 1) 3 (6x4 + 3x2 - 1)·(2x + 3) 1) 2 2) 3 11. lim 5x + 1 - 2 · 7x = 5x + 7x + 1 12. lim 3x + 1 - 5x = 2x + 2 + 3x 13. lim 2n3 + n2 + 2 = c (n, 3) x"∞ (2x + 3) 3 3) 0 3x + 3 x3 + 2x2 x"∞ n"∞ = = = 4) ∞ 5) 2 6) 6 7) 1 8) 1 9) 3 10) 3 2 11) - 2 7 12) –∞ 13) 12 14. lim x"∞ 3 · 5x + 2x + 3 · ex = 2 · ex - 3 · 2x + 5x 15. lim x "-∞ 16. lim x"∞ 19. lim ( x2 - 3x + 1 - x2 + 3 = x"∞ 3x + 1 + πx = 2πx - 3x - 1 20. lim+ c 1 - cosec x m = tan x 21. lim+ c 1 3 m= x - 1 x2 + x - 2 x"0 1 + 2 + 3 + ... + x = 2x2 + 3x + 5 x"1 17. lim ^ 3x + 2 - x h = 22. lim 9log2 (4x3 + 3x + 1) - log2 (x3 + 2x)C = 18. lim ( x2 + 3x + 2 - x) = 23. lim 6ln ^ π2 - x + ex + 1h - ln ^ex - 2 - π1 - xh@ = x"∞ x"∞ x"∞ x"∞ 13) 3 14) 1 2 15) 1 4 16) -∞ 17) 3 2 18) - 3 2 19) 0 20) 1 3 21) 2 22) 3 61 1∞ Belirsizliği BELİRSİZ LİMİTLER 3 Konu Özeti b) lim+ ^1 + 6xh x"0 lim f (x) = 0 ve lim g (x) = ± ∞ iken x"a x"a vv lim (f (x) · g (x)) = c d R ise x"a lim 61 + f (x)@g (x) = e lim (f (x) · g (x)) x"a x"a = ec dir. ∞ 1 belirsizliklerinde taban fonksiyonunu "1 + f(x)" şeklinde mutlaka düzenlenmelidir. 00 ve ∞0 gibi diğer üstel belirsizlikleri L'Hospital ile çözeceğiz. ÖRNEK Aşağıdaki limit değerlerini bulunuz. 1 1 x a) lim c 1 + m b) lim+ ^1 + 6xh2x x x"∞ x"0 = e3 dür. Aşağıdaki limit değerlerini bulunuz. a) lim c 1 x"∞ 1 x m x 1 6 44 7 44 8 6 444 7 444 8 1 lim c · x m 1 x a) lim c 1 + m = ex " ∞ x = e dir. x x"∞ 1 -1 ∞ 1 64447 4448 5x + 17 x 15 x m = lim c 1 + m b) lim c 5x + 2 x " ∞ 5x + 2 x"∞ 644 4744 8 15x lim c m x " ∞ 5x + 2 x"∞ 3 2x 1. lim c 1 + m = x x"∞ 3. lim+ ^1 + 4xh 1 2x x"0 1) e6 5x + 17 x m 5x + 2 1 644 7448 6 4 44 7 4 44 8 1 lim c - m · x 1 x 1 x a) lim c 1 - m = lim ;1 + c - mE = ex " ∞ x = e-1 dir. x x x"∞ x"∞ 4. lim c 1 - 5. lim c x"∞ 3x - 1 4x + 1 = m 2x2 + 1 x"∞ ∞ =e Aşağıdaki limit değerlerini bulunuz. b) lim c Taban "1 + f(x)" olmalıdır. ÇÖZÜM 3 ∞ 2. lim c 1 + (Taban Düzenleme) ÖRNEK ÇÖZÜM 62 =e 6 4 44 7 4 44 8 1 lim c 6x · m 2x x " 0+ x"a lim 61 + f (x)@g (x) = 1± ∞ belirsizliği vardır. x"∞ 1 2x polinom bölmesi = e3 tür. 2x + 1 3x m = x2 - 1 2x + 3 3x + 1 m = 2x + 5 1 6. lim+ ^cos 2xh4x = 2 x"0 = 2) e6 3) e2 1) e–6 2) e–3 3) 1 e 0 · ∞ Belirsizliği BELİRSİZ LİMİTLER ÇÖZÜM Konu Özeti 0 0 lim f (x) = 0 ve lim g (x) = ± ∞ iken x"a x"a lim 6f (x)· g (x)@ = 0 · ∞ belirsizliği vardır. x"a lim 6f (x)· g (x)@ = 0 · ∞ belirsizliğinde limit altındaki x"a fonksiyon g (x) f (x) ya da f (x) · g (x) = f (x) · g (x) = 1 g (x) 1 f (x) ∞ 0 şeklinde yazılıp ya da belirsizliklerine dönüştü∞ 0 rülerek limit hesaplanır. 0 0 ∞ ∞ 0·∞ = = ve 0 · ∞ = = dır. 1 ∞ 0 1 0 ∞ Logaritmik ifadelerde 0 · ∞ belirsizliği 1∞ belirsizliğine dönüştürülebilir. ∞·0 6 4 44 7 4 44 8 6 4 44 7 4 44 8 sin ^2 xh 2 a) lim c x sin m = lim x x"∞ x"∞ 1 x sin 2 · f (x) = lim = 2 dir. x"∞ f ( x) f(x) = 1 x 0·∞ π 6 4 4 44 7 4 4 44 8 c - xm 2 π b) lim ;c - x m tan xE = lim π π 1 tan x 2 x" x" 2 2 0 0 6 4 4 44 7 4 4 44 8 π π c - xm c - xm 2 2 = lim = lim π π cot x π x" x " tan c - x m 2 2 2 f ( x) = lim = 1 dir. π tan f (x) x" f ( x) = π -x 2 2 c) " a · logbc = logbca " olduğunu hatırlayınız. ÖRNEK lim ;x ln c x"∞ Aşağıdaki limit değerlerini bulunuz. 2 x x+2 mE = lim ;ln c 1 + m E x x x"∞ 2 π a) lim c x · sin m b) lim ;c - x m · tan xE x π 2 x"∞ 1 2 6 4 44 7 4 44 8 H 2 lim c · x m 2 x = ln ; lim c 1 + m E = ln ;ex " ∞ x E x x"∞ x+2 mE c) lim ;x ln c x x"∞ B = ln e2 = 2 ln e = 2 bulunur. x" ∞ 2 1 Aşağıdaki limit değerlerini bulunuz. 4. 3 1. lim c x · sin m = x x"∞ 2. lim (2x · cot 4x) = x"0 lim + = ;c π x" 2 π - x m · sec xE = 2 5. lim ;x ln c x"∞ x+4 mE = x 5 3. lim+ c · sin x m = x x"0 1) 3 2) 1 2 3) 5 4) 1 5) 4 63 Belirsiz Limit Denklemleri BELİRSİZ LİMİTLER ÖRNEK Konu Özeti Limitin varlığına göre verilen ifadenin olabileceği belirsizlik ve limit değeri ile kurulan denklemler çözülür. ( ∞ ∞ Belirsizliğinde Denklem) (a - 1) x3 + 8x2 + 3 lim (b + 1) x2 + x - 1 x"∞ = 2 denklemine göre a + b toplamını bulunuz. ÇÖZÜM ÖRNEK ( 0 0 Belirsizliğinde Denklem) 2 x + mx - 3 ifadesi bir gerçek sayıya eşit olduğuna x"3 x2 - 9 göre lim a) m yi bulunuz. lim H (a - 1) x3 + 8x2 + 3 0 lim (b + 1) x2 + x - 1 = 2 d R olduğundan, i) a – 1 = 0 ⇒ a = 1 dir ve lim x2 + mx - 3 9 + 3m - 3 dır. lim = x"3 x2 - 9 32 - 9 x"∞ 3m + 6 olduğundan limit sonucu i) 3m + 6 ≠ 0 ise 0 gerçek sayı olamaz. 3m + 6 0 = belirsizliği elde edilir ve 0 0 belirsizlik giderildiğinde limit gerçek sayı bulunabilir. ii) 3m + 6 = 0 ise ii) 8x2 + 3 = 2 olur. (b + 1) x2 + x - 1 8 = 2 & 8 = 2b + 2 & b = 3 tür. b+1 a + b = 1 + 3 = 4 bulunur. ÖRNEK ( ∞ ∞ Belirsizliğinde Denklem) lim ^x - x2 + ax h = 3 ise a yı bulunuz. x"∞ a) 3m + 6 = 0 ⇒ m = –2 bulunur. x"3 limitinin değeri n = m yani pay ve paydadaki polinomların dereceleri eşit iken sıfır dışında bir gerçek sayıdır. x"∞ b) m = –2 için lim bm xm + ...b1 x + b0 x"∞ b) Limit değerini bulunuz. ÇÖZÜM an xn + ... + a1 x + a0 (x - 3) (x + 1) x2 - 2x - 3 = lim 2 x " 3 (x - 3) (x + 3) x -9 3+1 4 2 = = = bulunur. 3+3 6 3 H a m= 3 lim ^x - x + ax h = 3 & lim c x - 1 x + 2 ·1 x"∞ x"∞ ÇÖZÜM + 2 & lim c x - x x"∞ x2 + mx - 2 = n olduğuna göre m + n toplamı x"2 x2 - 4 kaçtır? 1. lim a a m = 3 & - = 3 & a = - 6 dır. 2 2 3. lim ( x2 + ax - x + 3) = 6 olduğuna göre a kaçtır? x"∞ (m, n ∈ R) 2. lim (a - 4) x3 + (b + 2) x2 + 2x - 4 - 4x2 + 1 a + b toplamı kaçtır? x"∞ 1) – 64 1 4 = 1 olduğuna göre 2) –2 4. lim x"4 3 - 3x + a = b olduğuna göre a ve b gerçek x-4 sayılarının toplamı kaçtır? 3) 6 4) – 7 2 Limitte Değişken Dönüşümleri - I BELİRSİZ LİMİTLER ÇÖZÜM Konu Özeti Limit altındaki fonksiyona değişken değiştirme uygulanırken limitin yaklaşım ifadesine de bu değişken değiştirmeye uygun dönüşüm yapılarak yeni limit ifadesi elde edilir. b) (i) x + 1 = u2 & x = u2 - 1 ve (ii) x + 1 = u2 ⇒ x → 3 iken u → 2 dir. x+1 -2 u-2 u-2 = lim 2 = lim 2 x-3 u"2 u - 1 - 3 u"2 u - 4 lim x"3 ÖRNEK Aşağıdaki limit ifadelerine belirtilen dönüşümleri uygulayarak yeni limit ifadeleri elde ediniz. f (x) - f (2) limitinde x – 2 = h dönüşümü x-2 a) lim x"2 x+1 -2 limitinde x-3 b) lim x"3 c) lim x "-3 d) lim x"∞ x + 1 = u dönüşümü 1 9x 1 - 4x 1 3x 1 - 2x ÇÖZÜM limitinde a) lim x"2 c) lim d) 1 1 1 = m & 9 x = 9m ve 4 x = 4m dir. x 1 (ii) = m & x " ∞ iken m → 0 dır. x (i) lim 1 1 1 3x 1 - 2x 9x - 4x 3 2m - 2 2m 9m - 4m m m = lim m m m"0 3 - 2 3 -2 = lim m"0 (3m) 2 - (2m) 2 = lim f (x) - f (2) f (h + 2) - f (2) f (h + 2) - f (2) = lim = lim x-2 h h+2-2 h"0 h"0 = lim (3m + 2m) dir. 2 x" 3 f (6x) - f (4) = 3x - 2 m"0 m 3 -2 2. lim x"1 4 x -6 x x- x 1) lim h"0 = h = lim m"0 (3m - 2m) (3m + 2m) (3m - 2m) 3. lim x"3 tan (3x - 9) = 5x - 15 (t = x – 3 dönüşümü) (3x – 2 = h dönüşümü) ( f ( 2 h + 4 ) - f ( 4) m m"0 1 3 1 dir. u+2 4 (t - 3) + 12 4x + 12 4t = lim = lim tan (2x + 6) t " 0 tan 62 (t - 3) + 6@ t " 0 tan 2t (ii) x – 2 = h ⇒ x → 2 iken h → 0 dır. 1. lim u"2 (ii) x + 3 = t ⇒ x → –3 iken t → 0 dir. x"∞ Aşağıdaki limit ifadelerine belirtilen dönüşümü uygulayarak elde edilen limit ifadesini bulunuz. = lim (i) x + 3 = t ⇒ x = t – 3 tür. Limitin yaklaşım ifadelerine uygun dönüşü- (i) x – 2 = h ⇒ x = h + 2 ve f(x) = f(h + 2) dir. (u - 2) (u + 2) u"2 1 = m dönüşümü x mü yapmayı unutmayınız. (u - 2) = lim x "-3 4x + 12 limitinde x + 3 = t dönüşümü tan (2x + 6) x + 1 = u dur. 12 2) lim x = t dönüşümü) t4 - t2 t " 1 t3 - t6 4. lim x"∞ 1 4x - 2x 1 2x = (a = -1 3) lim t"0 tan 3t 5t 4) lim a"0 1 dönüşümü) x 4a - 2a 2a - 1 65 Limitte Değişken Dönüşümleri - II BELİRSİZ LİMİTLER ÇÖZÜM Konu Özeti a) Uygun değişken değişken değiştirme uygulanarak elde edilen yeni limit ifadesinin değeri dönüştürülen yaklaşım ifadesine göre belirlenir. Limit altındaki kökler 2. ve 3. dereceden olduğu için okek (2, 3) = 6 olmak üzere 6 x = a dönüşümü yapalım (i) x = a6 ⇒ x → 1 iken a → 1 dir. (ii) x = a6 ⇒ x = a3 ve 3 x = a2 dir. 0 0 ÖRNEK Aşağıdaki limit ifadelerinin değerlerini bulunuz. = 12 + 1 + 1 3 = bulunur. 1+1 2 b) a) lim x"1 3 x -1 x -1 1 1 x"∞ 1 = a dönüşümü yapalım. x 1 (i) = a ⇒ x → ∞ iken a → 0 dır. x 1 1 1 2x - 1 lim x"4 = lim 1 a"0 2x - 1 Aşağıdaki limit değerlerini bulunuz. 1. lim 1 4x - 2x x"∞ 1 4. lim x"∞ 2- x = x-4 2. lim x -1 x -1 x"1 5. lim x" ∞ = 2a (2a - 1) 4a - 2a = lim = 20 = 1 dir a " 0 (2a - 1) 2a - 1 1 9x - 3x = 1 3x - 1 1 3 1 1 = a & 4 x = 4a ve 2 x = 2a dır. x (ii) 4x - 2x b) lim 0 0 6 4 4 7 4 4 8 6 44 7 44 8 1 (a - 1) (a2 + a + 1) x -1 a3 - 1 = lim = lim 2 lim 3 x"1 x - 1 a " 1 a - 1 a " 1 1 (a - 1) (a + 1) 1 25 x - 9 x 1 3x 1 - 5x = tan c 2 x - 125 x m 3 3. lim x"1 4 x -6 x x -3 x 6. lim 1) - 66 x" ∞ = 1 4 2) 2 3 3) 1 2 1 sin c 4 x - 5 x m 2 1 4) 1 = 5) –2 6) 3 2 Limitin Geometrik Uygulamaları BELİRSİZ LİMİTLER f(x) = x2 ⇒ f(3) = 9 dur. ÇÖZÜM Konu Özeti C C f (x) - f (3) x2 - 9 = lim O halde lim x-3 x"3 x"3 x - 3 x2 Limit, fonksiyonların geometrik yaklaşımlarını belirlerken sıkça kullanılır. Örneğin türevde bir eğriye üzerindeki bir noktadan çizilen teğetin eğimini tanımlamada, integralde eğri ile x ekseni arasında kalan alanı belirlemede, bir düzgün çokgenin kenar sayısı sonsuza yaklaşırken düzgün çokgenin çembere yaklaşmasında limit kavramları kullanılır. = lim (x - 3) (x + 3) (x - 3) x"3 9 = 3 + 3 = 6 dır. Yani f(x) = x2 fonksiyonuna x = 3 apsisli noktadan çizilen teğetin eğimi 6 dır. ÖRNEK Limitin geometrik uygulamalarında limit altındaki ifadeler, limit değişkeni cinsinden fonksiyon olarak yazılıp limitleri alınır. n kenarlı bir düzgün çokgenin bir dış açısı a ise π lim ;sin α · cot c mE limitinin değerini bulunuz. n n"∞ ÇÖZÜM ÖRNEK H 2π π π lim ;sin α · cot c mE = lim ;sin c m · cot c mE n n n x"∞ x"∞ 0 0 teğetinin eğimi olan, x"3 1 tan ^ π nh O halde f: R → R, f(x) = x2 fonksiyonunun x = 3 noktasındaki lim n kenarlı düzgün çokgenin 2π bir dış açısı α = dir. n f (x) - f (3) limitinin değerini bulunuz. x-3 1. 5 cm yarıçaplı çember içine köşeleri bu çember üzerinde olan n kenarlı düzgün çokgenler çiziliyor. Bu çokgenlerin kenar uzunluklarını veren fonksiyon K(n), çevre uzunluklarını veren fonksiyon Ç(n) ve alanlarını veren fonksiyon A(n) olmak üzere 6444 74448 R 2π V S sin c mW sin 2 · f (n) 2 n W S = lim S = = = 2 dir. lim π W 1 n"∞ n " ∞ tan f (n) S tan c m W n T X f (n) = π n A 2. Şekildeki ABC dik üçgeninde verilenlere göre lim x"∞ AC AH limitinin değeri B x nedir? H C x+2 a) lim K (n) limitinin değeri kaçtır? x"∞ D 3. Şekildeki ABCD yamuğunda b) lim Ç (n) limitinin değeri kaçtır? x"∞ [DC] // [AB] E A x"∞ 1) a) 0 b) 10π cm c) 25π cm2 Verilenlere göre lim x"∞ EF AB - AC 1) a) 2 b) 2 C F [DE] = [EA] ve CF = FB dir. c) lim A (n) limitinin değeri kaçtır? 3x – 1 5x – 7 B limitinin değeri kaçtır? 67 Uygulama Zamanı Uygulama – 6 Aşağıdaki limit değerlerini bulunuz. 7. lim x"∞ 1. lim c 1 + 3x x m = x +1 2. lim c 1 x"∞ 2 6x m = 3x 3. lim c 1 + 2 x m x-3 x"∞ x"∞ 1 ·(4x2 + 1) = x2 + 1 2 2 3 8. lim c 2x · sin m = x x"∞ -9 = 9. lim x ln f x"∞ x2 + 2 p= x2 + 1 1 4. lim ^- xhx + 2 = x "-1 10. lim c x"2 1 · sin πx m = x-2 2 5. lim ^1 + sin xhx = x"0 11. lim ;c 3x + 12 2x + 3 m = 6. lim c x " ∞ 3x - 3 68 1) e3 2) e–4 3) ∞ x" 4) e–1 5) e2 6) e10 π 2 π - x m · tan 3xE = 2 7) 4 8) 6 9) 0 10) π 11) 1 3 12. lim x"∞ (a - 6) x2 + ax + 1 = 3 olduğuna göre b kaçtır? bx + 4 16. lim x"2 3x - 3 - mx + 1 = n ve m, n ∈ R olduğuna x3 - 8 göre m · n çarpımı kaçtır? 13. lim x"5 4x - 5m 3- x+4 = n limit ifadesine göre m ve n reel x"∞ sayılarının toplamı kaçtır? 14. lim ; x"∞ x"∞ mx2 - 4x + 1 pH = 3 olduğuna göre 2x2 + 3x m kaçtır? 12) 2 13) –20 x2 + 3x + (m + 1) x + nE = 4 olduğuna göre x+1 m + n kaçtır? x2 + 2 + ax + bE = 3 olduğuna göre a · b kaçtır? x-1 15. lim >log2 f 17. lim ; 14) –2 15) 16 18. lim x"0 4 3x + 1 - 3 3x + 1 3x + 1 - 6 3x + 1 değeri nedir? 19.f(x) = x2 + 2 fonksiyonunun eğrisine x = 3 apsisli nokf (3 + h) - f (3) tadan çizilen teğetin eğimi olan lim h h"0 limitinin değerini bulunuz. 16) 7 9 17) 0 18) 2 19) 6 69 Tekrar Zamanı 1. lim x"∞ 2 + 4x5 limitinin değeri kaçtır? 2x5 - 3 A) –1 2. B) 0 C) 1 D) 2 x"∞ 3 E) ∞ x3 + 3x + 1 limitinin değeri aşağıdakilerden x4 - 6x + 5 hangisidir? lim B) 1 C) 0 D) 1 - x3 + 3x2 limitinin eşiti aşağıdakilerden x " + ∞ 2x2 + x + 1 hangisidiri? B) –1 C) 0 D) 1 1 1 B) 2 4 C) 1 D) 2 A) –∞ B) –1 C) 0 1 + 2 + 3 + ... + x limitinin sonucu kaçtır? 2x2 + 3x - 1 1 1 1 A) B) C) D) 1 E) 2 2 3 4 8. lim arccos c x"∞ x+4 m limitinin değeri aşağıdakilerden 2x + 5 hangisidir? A) 0 B) 3 9. lim π 8 1 + 8x3 2 x"∞ 4x + 3x - 5 A) 1 B) 2 C) 2x + 3 9x2 - 2x + 5 hangisidir? A) 0 70 B) 1 3 C) 3 2x + 9x2 + 3x + 4 3x + 4x2 + 4x + 3 lerden hangisidir? A) 2 3 D) 1 D) π 4 E) π 3 D) 4 E) 5 E) 4 limitinin eşiti aşağıdakilerden C) π 6 limitinin sonucu kaçtır? x"∞ x"∞ E) ∞ x"∞ 10. lim 5. lim D) 1 7. lim E) +∞ (2x - 1) 2 4. lim limitinin değeri kaçtır? x " ∞ (x + 1)·(4x - 1) A) limitinin değeri kaçtır? x -1 E) ∞ lim A) –∞ 1 - x3 6. lim x "-∞ A) –∞ 3. ÇÖZÜMLÜ TEST – 1 E) ∞ 1 2 B) 1 C) ifadesinin sonucu aşağıdaki- 3 2 D) 2 E) 5 2 Sonsuz Terimli Geometrik Dizi Toplamı - IV DİZİLERDE LİMİT Konu Özeti (Harfli İfadeler ve Denklemler) Harfli ifadelerde ve denklemlerde bilinmeyenler ile sonsuz terimli geometrik dizi toplamları oluşturulup harfli ifadenin eşiti veya denklemin kökü bulunabilir. ÖRNEK (Harfli İfade) 1 < x < y olmak üzere bulunuz. ÇÖZÜM ∞ n-1 / c 23xy m ∞ / n=1 2x n - 1 c m ifadesinin eşitini 3y 1 < x < y & 1 < 2x < 2y < 3y & = 1+ n=1 2 2x < 1 dir. 3y 3 2x 2x 2x + c m + c m + ... 3y 3y 3y 3y 1 bulunur. = = 2x 3y - 2x 13y ∞ / c yx m 1. 3x = 4y olduğuna göre kaçtır? 2. 1 < a < b için ∞ n+1 ifadesinin değeri n-1 100 9 4 ifadesinin değeri kaçtır? 2) n n=1 3b 3b - 2a 11 olduğuna göre a değerini bulunuz. 12 = n 1 + an 1 an 1 n a n = n + n = c m + c m dir. 5 5 5n 5 5 ÇÖZÜM ∞ / 1 +5 a n n=1 11 & 12 = n ∞ ∞ / c 15 m + / c a5 m = 11 12 n n=1 n n=1 1 1 2 11 a a 2 & > + c m + ...H + ; + c m + ...E = 5 5 5 5 12 & 1 a a 1 a 2 1 1 2 11 >1 + c m + c m + ...H + ;1 + c m + c m + ...E = 5 5 5 5 5 5 12 & 1 · 5 & 1 11 a = + & a = 2 bulunur. 4 5 - a 12 3. 1 4. + 1 15 ∞ / 1 +7 a n n=0 n=1 1) ∞ / 1 +5 a n=1 / c 23ab m (Denklem) ÖRNEK ∞ / 3k n=0 n n-1 a · 5 n = = 1 a 15 = 11 12 35 olduğuna göre a kaçtır? 12 18 olduğuna göre k kaçtır? 5 3) 3 4) 1 2 Sonsuz Terimli Geometrik Dizi Problemleri - I Konu Özeti (Sonsuz Toplamlar) Konu Özeti Bütün sonsuz terimli geometrik dizi problemlerinde aşağıdaki formül uygulanır. r < 1 için, ra + ra + 1 + ra + 2 + ... = ra (1 + r + r2 + ...) = ra (Devreden Sayılar) Devreden sayıların değeri sonsuz terimli geometrik dizi toplamı ile kolayca bulunabilir. 1 dir 1-r r > 1 ise ra + ra + 1 + ra + 2 + ... = ±∞ dur. ÖRNEK Aşağıdaki devirli ondalık sayıların değerlerini bulunuz. b) ^0, 2h3 a) 3, 5 ÇÖZÜM ÖRNEK ?? ? ? (a b, c d ) m + = a · m1 + b · m0 + c · m-1 + d · m-2 olduğunu hatırlayınız. 1 0 -1 -2 Aşağıdaki sonsuz toplamların değerlerini bulunuz. 1 1 1 1 1 1 a) 1 + + + ... b) - - + ... 2 4 2 4 8 16 10-1 10-2 10-3 a) 3, 5 = 3, 5 ÇÖZÜM a) 1 + DİZİLERDE LİMİT 1 1 1 1 1 2 + + ... = 1 + c m + c m + ... = 2 4 2 2 1 1 12 = 2 dir. = 3+ 1 5 10 2 f1 + 5 5 ... = 3 + 5 5 5 + + + ... 10 102 103 1 1 2 1 + c m + ... p = 3 + · 10 10 2 1 1 110 = 32 9 b) 1 1 1 1 1 1 1 1 - + + ... = ;1 - + - + ...E 2 4 8 16 2 2 4 8 b) ^0, 2h3 = ( 0, 2 2 2 ...) 3 = 2 · 3-1 + 2 · 3-2 + 2 · 3-3 + ... = 1 1 1 1 2 1 3 >1 + c - m + c - m + c - m + ...H 2 2 2 2 = 2· = 1 · 2 1 1 1 - c- m 2 = 1 2 1 · = bulunur. 2 3 3 = Aşağıdaki sonsuz toplamların değerini bulunuz. 1. 1 + 30 3-1 3-2 3-3 1 1 1 + + + ... = 5 25 125 2 · 3 1 1 2 1 3 1 1 1 1 2 + 2 c m + 2 · c m + ... = 2 · f 1 + c m + c m + ... p 3 3 3 3 3 3 1 1- 1 3 Aşağıdaki devirli ondalık sayıların değerlerini bulunuz. 1. 0, 4 = 2. 1 1 1 + + + ... = 3 27 243 2. 0, 105 = 3. 1 1 1 1 + + ... = 5 25 125 625 3. ^0, 3h4 = 1) 5 4 2) = 1 bulunur. 3 8 2) 1 6 1) 4 9 2) 52 445 2) 1 101 Sonsuz Terimli Geometrik Dizi Problemleri - II DİZİLERDE LİMİT Konu Özeti (Sonsuz İlerlemeler) Geometrik dizi şeklindeki sonsuz ilerlemelerde sonsuz terimli geometrik dizi toplamından faydalanılır. ÖRNEK Elif, kumbarasına her hafta bir önceki haftada attığı paranın yarısını atarak birikim yapıyor. Elif, ilk hafta kumbarasına 100 ¨ atarak para biriktirmeye başladığına göre en fazla kaç ¨ birikim yapabilir? ÇÖZÜM Elif'in birikimine "B" diyelim ve birikimine sürekli devam ettiğini kabul edelim. 1 1 2 B = 100 + 100 · + 100 · c m + ... 2 2 = 100 >1 + 1 1 2 + c m + ...H = 100 · 2 2 = 200 ¨ biriktirebilir. 1 1 12 1. Çağan, kumbarasına her hafta bir önceki haftada 1 attığın paranın ünü atarak parak biriktiriyor. Çağan 3 para biriktirmeye 60 ¨ ile başlayıp sürekli devam ederse en çok kaç ¨ biriktirebilir? ÖRNEK Doğrusal bir yolda, hareket halindeki bir araç aniden frene bastığında her saniye bir önceki saniyede aldığı yolun 3 5 i kadar yol alarak 25 m mesafede durabiliyor. Bu araç frene basıldıktan sonraki ilk saniye içerisinde kaç m yol almıştır? ÇÖZÜM A + A· 3 3 2 + A · c m + ... = 25 5 5 & A >1 + & A· Aracın 1. saniyede aldığı yol A olsun; 3 3 2 + c m + ...H = 25 5 5 1 3 15 = 25 & 5A = 25 & A = 10 m dir. 2 3. Ali Bey bankadan 50000 ¨ kredi çekmiştir. Bankanın, Ali Bey'e çıkardığı ödeme planına göre; Ali Bey ilk ay borcunun yarısını ödeyecek ve her ay bir 2 önceki ayda ödediği miktarın sini ödeyecektir. 3 Ali Bey'in bu ödeme planına sürekli uyduğu kabul edilirse bankaya geri ödemesi kaç ¨ olur? 2. Dikildiğinde 60 cm olan bir ağaç birinci yılın sonunda 15 cm uzuyor. Bundan sonraki her yıl bir önceki uzama 3 miktarının i kadar uzayan bu ağacın boyu en fazla 5 kaç cm olur? 1) 90 102 2) 195 2 4. Bir okçu, yayını çekip oku bıraktığında ok ilk saniye 10 m mesafe alıp bundan sonraki her saniyede bir 4 önceki saniyede aldığı yolun ini almaktadır. Buna 5 göre ok durana kadar kaç m yol alır? 3) 75000 4) 50 Sonsuz Terimli Geometrik Dizi Problemleri - III Topun her sıçrayışta çıkarken ve inerken aynı mesafede yol alacağını unutmayınız. 15m 45/4 m 75 3 = tür. 100 4 %75 = 20m ... 40 Her yükseklik çıkarken ve inerken iki kez katedilecektir. 40 3 3 2 & Y = 40 >1 + + c m + ...H 4 4 & Y = 40 · 1 3 14 = 40 · 4 = 160 m bulunur. 4-3 1. Yerden fırlatılan bir top 240 cm yüksekliğe kadar çıkıp 1 her seferinde düştüğü yüksekliğin ü kadar sıçra3 maktadır. Buna göre bu top duruncaya kadar düşeyde aldığı yol kaç cm dir? 2. Yerden fırlatılan bir top x cm yüksekliğe kadar çıkıp her seferinde düştüğü yüksekliğin % 60 ı kadar sıçramaktadır. Top durunca kadar 180 cm yol aldığına göre x kaçtır? 1) 720 20m 10m 5m ... Top ilk kez yere düştükten sonra sıçradığı her yüksekliği çıkışta ve inişte iki kez katedecektir. Topun aldığı toplam dikey yol Y olsun; Topun aldığı toplam dikey yol Y olsun; 3 3 2 Y = 2 · 20 + 2 · 20 · + 2 · 20 · c m + ... < < 4 < 4 40 ÇÖZÜM (Yerden Fırlatılan Top) Yerden fırlatılan bir top 20 m yüksekliğe kadar çıkıp her seferinde düştüğü yüksekliğin %75 i kadar sıçramaktadır. Buna göre bu top duruncaya kadar kaç m yol alır? ÇÖZÜM 20 m yükseklikten bırakılan bir top her seferinde düştüğü yüksekliğin yarısı kadar sıçramaktadır. Buna göre top duruncaya kadar kaç metre yol alır? Belirli bir yükseklikten düşen bir top duruncaya kadar geometrik dizi şeklinde sıçrayış yapıyorsa sonsuz terimli geometrik dizi toplamına başvurulur. ÖRNEK (Yukarıdan Düşen Top) ÖRNEK (Sıçrayan Top) Konu Özeti DİZİLERDE LİMİT 2) 36 Sıçramalar Düşme 644444444474444444448 678 2 3 1 1 1 Y = 20 + 2 · 20 · + 2 · 20 · c m + 2 · 20 · c m + ... < 2 < 2 < 2 40 40 40 1 1 1 1 2 = 20 + 40 · >1 + c m + c m + ...H 2 2 2 = 20 = 20 + 20 · = 20 + 20· 1 1- 1 2 2 = 60 m bulunur. 2-1 3. 24 m yükseklikten bırakılan bir lastik top her seferinde düştüğü yüksekliğin % 75 i kadar sıçramaktadır. Buna göre top duruncaya kadar kaç m yol alır? 4. Şekildeki gibi 10 m yükseklikten yukarı fırlatılan bir top her seferinde düştüğü yüksekliğin yarısı kadar sıçrayıp düşeyde toplam 110 m yol alarak duruyor. Buna göre top en çok kaç m yüksekliği çıkmıştır? 3) 168 4) 30 10 m 103 Sonsuz Terimli Geometrik Dizi Problemleri - IV DİZİLERDE LİMİT ÇÖZÜM (Geometrik Yorum) Konu Özeti Sonsuz terimli geometrik dizi şeklinde ilerleyen geometrik şekillerde istenilen ölçüme göre sonsuz terimli geometrik dizinin toplamının değeri bulunur. a) Çemberlerin çevreleri toplamı Ç olsun; r 3 r2 64 474 48 H ? 1 1 2 Ç = 2π · 8 + 2π · c 8 · m + 2π · >8 · c m H + ... 2 2 r1 1 1 2 = 2π · 8 >1 + + c m + ...H = 16π · 2 2 < 16π Aşağıda yan yana çizilmiş çember dizisi verilmiştir. Bu dizide; ilk çemberin yarıçapı 8 birim ve sonraki her bir çemberin yarıçapı, bir önceki çemberin yarıçapının yarısıdır. r2=4 r1 = 8 Bu dizideki tüm çemberlerin r3=2 r1 r2 678 ↑ r3 678 ... = π · 82 + π · 82 · b) Alanları toplamını bulunuz. = 64π · r1 = 1 2 2 = 32π birimdir. r4 678 2 1 1 2 1 3 + π · 82 · c m + π · 82 · c m + ... 4 4 4 a) Çevreleri toplamını bulunuz. 1 r2 = 4 1- 1 2 1 1 3 A = π · 82 + π c 8 · m + π · >8 · c m H + π · >8 · c m H + ... 2 2 2 1 1 2 1 3 π · 82 · >1 + + c m + c m + ...H 2 4 4 ; 1. 1 1 2 b) Çemberlerin alanları toplamı A olsun; ÖRNEK Yarıçapı r olan çemberin çevresi = 2πr, Alanı = πr2 dir. 64π 1 r3 = 16 1 1 14 = 256π birimkaredir. 3 2. D C A B ... 1 Şekilde herbirinin yarıçapı bir öncekinin ü kadar olan 4 daireler çiziliyor. Buna göre, a) Elde edilen sonsuz dairelerin çevreleri toplamı kaç br dir? Şekildeki ABCD karesinin bir kenarı 12 br dir. İçteki karelerin köşeleri dıştakinin orta noktalarıdır. Buna göre a) İç içe çizilen sonsuz karelerin çevreleri toplamı kaç br dir? b) Elde edilen sonsuz dairelerin alanları toplamı kaç br2 dir? b) İç içe çizilen sonsuz karelerin alanları toplamı kaç br2 dir? 1) a) 104 8π 3 b) 16π 15 2) a) 96 + 48 2 b) 288 Geometrik Dizi Olmayan Sonsuz Toplamlar DİZİLERDE LİMİT b) Taraf tarafa çıkarma ile sonsuz toplamı bulalım. Konu Özeti r < 1 olmak üzere 1 + 2r + 3r2 + ...+ n · rn – 1 +... = T Geometrik dizi olmayan sonsuz toplamlarda basit "kesirlere ayırma" veya "taraf tarafa toplama-çıkarma" uygulamaları ile dizi limiti alınarak sonuca ulaşılabilir. T = 1 + 2r + 3r2 + ... + n · rn – 1 + ... r · T = r + 2r2 + 3r3 + ... + n · rn + ... – ––––––––––––––––––––––––––––––––––– T – rT = 1 + r1 + r2 + ... + rn – 1 + ... ÖRNEK & T ( 1 - r) = Aşağıdaki sonsuz toplamların değerini bulunuz. a) n ∞ / k 1+ k k=1 / 3n b) 2 ÇÖZÜM n=1 ∞ n / 3n = 13 + 32 + 33 + ... = T olsun Öncelikle ilk n terim toplamını bulup limitini (k + 1) (k) 1 1 1 & 2 = dir. + k k 1 k +k n k=1 =f n / k 1+ k = / c 1k - k +1 1 m 2 k=1 1 1 1 1 1 1 1 1 p - p + f - p + f - p + ... + f n n+1 1 2 2 3 3 4 1 = 1n + 1 n n 1 1 1 0 f1 p= 1 = lim = lim n+1 k2 + k n " ∞ k = 1 k2 + k n " ∞ k=1 / / 2 3 1 1 1 2 1 3 T = 1· c m + 2 · c m + 3 · c m + ... 3 3 3 a) Basit kesirlere ayırarak ilk n terim toplamını bulalım. 1 1 A B = = + & A = 1 ve B = - 1 k k+1 k2 + k k (k + 1) n n=1 alalım. O halde, 1 1 &T= bulunur. 1-r (1 - r) 2 – 1 1 2 1 3 1 4 · T = c m + 2 · c m + 3 · c m + ... 3 3 3 3 Tc 1 - 1 1 1 1 2 1 3 m = c m + c m + c m + ... 3 3 3 3 & T· 2 1 1 1 2 = >1 + + c m + ...H 3 3 3 3 & T· 2 1 = · 3 3 &T= 1 1 13 & T· 2 1 3 = · 3 3 2 3 bulunur. 4 dir. Aşağıdaki sonsuza giden toplamların değerini bulunuz. 3. / ^n 2+ 1h = ∞ n=1 1. ∞ / n - 31n + 2 = n=3 2. n 2 4. ∞ 1-n = n=1 / n 1- 1 = n=2 ∞ / n·5 2 1) 1 2) 3 4 3) 3 4) 25 16 105 Uygulama Zamanı Uygulama – 8 1. Aşağıda genel terimi verilen dizilerin limitlerini bulunuz. a) ^anh = f 3n2 + 4n + 1 p - n2 + 3n - 1 2. Aşağıda genel terimi verilen dizilerin limitlerini bulunuz. ∞ / c 13 m a) k-1 = k=2 4n2 + n m b) ^bnh = c 3n + 1 b) c) ^cn h = ^ n2 + 4n - n2 + n h c) ∞ / 4 · c 34 m n-1 = n=1 ∞ / c - 25 m n+1 = n=1 d) ^dnh = f 3n! + 2n p 3n - n4 ∞ d) / 2 n+1 5·c m = 3 ∞ n n =-1 e) ^enh = f πn + 2 - en + 1 p en + 3n + πn - 1 / 3 5+ 4 e) n n n=2 = (2n) !·(n + 2) ! p f) ^fnh = f (2n + 1) !·(n + 1) ! f) y < x < –1 olmak üzere, ∞ / c 35xy m = 1 g) lim c (2n - 1)· tan m 4n x"∞ 1) a) –3 106 b) ∞ c) 3 2 d) ∞ k k=1 e) π3 f) 1 2 g) 1 2 2) a) 1 2 b) 16 c) 4 35 d) 15 e) 41 10 f) 3x 5y - 3x 3. 3 9 27 + + ... sonsuzun toplamı kaça eşittir? 4 16 64 7. D E K F H G A 5. 18 m yükseklikten yere bırakılan bir lastik top her seferinde bir önceki düştüğü yüksekliğin %20 si kadar yükselmektedir. Buna göre lastik topun duruncaya kadar düşeyde aldığı yol kaç m dir? N M L 4. ^2, 13h5 devirli ondalık sayısının onluk tabandaki karşılığı kaçtır? C B Şekilde ABCD bir kenarı 8 br olan bir karedir. Bu karenin orta noktaları birleştirilerek DFKE karesi elde ediliyor. Aynı işlem KGBH karesi için de uygulanarak KGBH karesi içinde uygulanarak KLMN karesi elde ediliyor. Buna göre sonsuza kadar bu işlem devam edildiğinde taralı bölgelerin alanları toplamı kaç br2 dir. 8. A = 1 + sin x + sin2 x + sin3 x + ... sonsuz toplamının π x = için değeri kaçtır? 6 9. 2x2 + 3x + 5 = 0 denkleminin kökleri x1 ve x2 dir. Buna göre ∞ k=0 6. Çevresi 18 br olan bir eşkenar üçgenin kenarlarının orta noktaları birleştirilerek yeni bir eşkenar üçgen elde ediliyor. Bu işlem sonsuza kadar sürerse elde edilen eşkenar üçgenlerin çevreleri toplamı kaç br dir? 3) 3 7 4) 47 20 5) 27 6) 36 k / f x1 + x1 p 1 2 ifadesinin değeri kaçtır? 10.n ∈ N olmak üzere [n, n + 1) y aralıklarında tanımlı x-n fn (x) = fonksiyon 3n sisteminin x ekseni ile arasında kalan bölgenin O alanları toplamını bulunuz. 7) 64 3 8) 2 9) f0 f1 f2 ... 1 5 8 2 10) 3 3 4 x 107 Tekrar Zamanı ÇÖZÜMLÜ TEST – 1 1. Birinci terimi a1 = 5 ve ikinci terimi a2 = 3 olan geometri dizi için genel terimi Sn = a1 + a2 + ...+ an kısmi toplamlar dizisinin limiti kaçtır? 3 B) 5 A) 0 2. ^anh = f 2 2 C) 1 2 C) 1 D) 3 A) ∞ B) 1 E) 0 4. Dört tabanında 3, 21 devirli ondalık sayısının onluk tabandaki karşılığı kaçtır? 16 32 A) B) 15 15 D) 5. 289 107 E) 15 90 ∞ / ^–1h 2k + 1 k=1 A) - 108 C) 2 1 4 1 sonsuz toplamının değeri kaçtır? 5k B) –1 C) - 4 5 D) 0 E) 1 5 n+1 A) –2 ifadesinin değeri aşağıdakilerden hangi- B) - 7. ^anh = f 3 2 C) - 1 1 D) 5 2 E) 0 3 n + 1 - 2 2n p dizisinin limiti aşağıdakilerden 4n - 1 - 5n + 1 hangisidir? A) ∞ B) 1 2 C) 1 1 D) 5 4 E) 0 3 3 3 3 5 3 7 + c m + c m + c m + ... toplamının değeri kaçtır? 4 4 4 4 8. n +1 p dizisinin limiti kaçtır? 3n + 2 n sidir? E) 9 2 1 1 C) D) 3 9 n=1 E) ∞ 1 + 2 + ... + n p dizisinin limiti kaçtır? 3n3 + 5n2 + 4 1 1 A) B) 9 3 3. ^anh = f 5 D) 2 ∞ / 13- 2 6. A) 12 11 B) 7 7 D) 9 8 E) 7 7 9. a > 3 için ∞ / c 1 - 3a m k C) 10 7 sonsuz toplamın eşiti aşağı- k=1 dakilerden hangisidir? A) a a B) 9 a-3 D) 3 a-3 E) 1 + a 3 10. ∞ /m k+1 C) a+3 3 = 2 olduğuna göre m aşağıdakilerden k=0 hangisidir? A) 2 2 B) 5 3 D) 5 E) 6 C) 3 4 ∞ / 159 --1525 11. n n n n=2 n 15. ifadesinin değeri aşağıdakilerden hangisidir? A) 1 D) B) 3 5 C) 7 10 Şekildeki sarkacın ucundaki top ilk gidiş gelişinde 36 cm yol alıyor. Sarkaç bundan sonraki her gidiş geli1 şinde bir öncekinin i kadar yol olarak salınımına 5 devam ediyor. 4 9 E) 5 10 Buna göre bu sarkaç ilk hareketinden itibaren hareketsiz kalınca kadar yoluna devam ederse duruncaya kadar kaç cm yol alır? 12. ∞ /5 n=1 A) 48 x n-1 A) 16 B) 45 C) 42 D) 40 E) 38 = 10 olduğunu göre x kaçtır? B) 12 C) 8 D) 4 E) 2 16. ... Şekilde herbirinin yarıçapı bir öncekinin olan daireler çiziliyor. En büyük dairenin yarıçapı 6 br olduğuna göre bu dairelerin alanları toplamı kaç br2 dir? 1 1 13.Bir limitin genel terimi ^anh = c m olarak n+3 n+4 veriliyor. Buna göre ∞ /a n=1 A) 1 1 B) 3 4 n A) toplamının değeri kaçtır? C) 1 1 D) 5 6 1 ü kadar 3 85π B) 42π 2 C) 81π 2 D) 40π E) 75π 2 E) 0 y 17. 2 x y =c m 5 O 14.–5 < x < 0 olmak üzere, ∞ / 3 +5 x n n=1 n = B) –4 C) –3 D) –2 2 x 3 2 x Şekilde y = c m eğrisinin grafiği verilmiştir. Bu eğri5 13 olduğuna göre x aşağıdakilerden 28 nin altına eni 1 br olan sonsuz çoklukta dikdörtgenler çiziyor. hangisie eşittir? A) –5 1 E) –1 Buna göre elde edilen dikdörtgenlerin alanları toplamı kaç br2 dir? A) 2 1 B) 3 3 C) 1 D) 4 5 E) 3 3 109 1. D 2. A 3. E 4. E 5. A 6. C 7. E 8. A 9. D 10. B 11. E 12. C 13. B 14. D 15. B 16.C 17. B Tekrar Zamanı Test - 1 Çözümü a2 3 1. Geometrinin dizinin ortak çarpanı r = a = dir. O halde, 5 1 10. 3 n+1 1 -c m 5 3 3 2 3 n buradan Sn = 5 >1 + c m + c m + ... + c m H & Sn = 5 · 5 5 5 3 15 0 3 n+1 1-c m 5 5 25 Sn = lim 5 · = = bulunur. Cevap: D 3 2 2 n"∞ 15 5 R V S n · ( n + 1 ) (2 n + 1 ) W 2 2 3 2 S W 1 + 2 + 3 + ... + n 6 W p = SS ^ an h = f 3n 3 + 5n + 4 3n 3 + 5n 2 + 4 W T X 2n 3 + 3n 2 + n 1 a = & lim a = bulunur. Cevap: A f p ^ nh n 9 18n3 + 30n2 + 24 n2 + 1 p dizisinde 3n ifadesi n2 den daha çabuk büyüdüğü 3. ^anh = f n 3 +2 n2 + 1 p = 0 bulunur. için lim ^anh = lim f n 3 +2 & m· ∞ / 11. n=2 12. 5. / ^- 1h 2k k=1 =- 6. ∞ / n=1 · ^- 1 h · 1 5k ∞ =- /5 k=1 1 k 3n + 1 ∞ = /3 n=1 1 n+1 ∞ - /3 n=1 2n n+1 1 = 3 ∞ / n=1 1 1 3n 3 ∞ / n=1 7. = 5 7 2 ∞ ∞ 1 9 116 = k 3 k=1 a-3 a-3 a-3 2 m>1 + c m+c m + ...H =c a a a = a-3 · a a-3 a a-3 1 = · = bulunur. a-3 3 3 a 1a Cevap: D n=2 / n=1 1 = 3 15 9 9 5 · = bulunur. 25 5 2 10 Cevap: E 1 = 10 5n Cevap: C n n=1 0 1 1 1 1 1 & lim Sn = lim c m = bulunur. 4 n+4 4 n+4 4 ∞ / 3 +5 x n n ∞ =3 ∞ Cevap: B / 51 + / c 5x m = 13 28 n=1 n n n=1 Cevap: D 15.Sarkacın aldığı yol Y olsun, Y = 36 + 36 · Y = 36 · ;1 + 1 1 + 36 · 2 + ... 5 5 5 1 1 1 + + ...E = 36 · = 9 36 · = 45 cm yol alır. 5 52 1 4 15 Cevap: B r1 16. r1 = 6 , r2 = 6 · r2 r3 ... 1 1 , r3 = 16 · 2 ... 3 3 1 1 + π · 62 · 4 ... 32 3 1 1 1 A = π · 62 · ;1 + + 2 + ...E = π · 62 · 1 9 9 19 9 81π 2 A = 36π · = br bulunur. 8 2 A = π · 62 + π · 62 · Cevap: A 2 n ∞ n=1 4 3 16 12 · = bulunur. 7 4 7 k n 1 1 1 x x 2 & 3 · ; + 2 + 3 + ...E + ;c m + c m + ...E 5 5 5 5 5 13 1 1 1 x & 3· · = & x = - 2 bulunur. + · x 5 1 5 28 11 5 5 4 / c 1 - 3a m = / c a -a 3 m = c a -a 3 m + c a -a 3 m + c a -a 3 m + ... k=1 110 14. 3 3 3 3 3 3 3 + c m + c m + c m + ... = >1 + c m + c m + ...H 4 4 4 4 4 4 4 3 9 9 2 3 >1 + + c m + ...H = · 16 4 4 16 n Cevap: B 3 n c m 5 1 1 1 1 1 1 1 1 Sn = - + - + - + ... + 4 5 5 6 6 7 n+3 n+4 3 n 4n ;c m · 3 - 1E 4 = 0 bulunur. lim an = lim f n - 1 p lim n 1 4 - 5n + 1 n 4 5 ;c m · - 5E 5 4 Cevap: E 3 / 5 ^3 - 5 h = / n=2 ∞ 3n + 1 - 22n 8. = 9. = 5x n-1 ∞ 1 1 2 1 1 1 3 2 3 1 2 1 1 = · · - · · = · - · = - =1 3 3 2 2 3 3 9 2 9 1 6 3 113 3 bulunur. Cevap: C x ∞ / a = / c n +1 3 - n +1 4 m n=1 2 n c m 3 1 1 1 1 1 2 2 2 = · ; + 2 + 2 + ...E - · > + c m + ...H 3 3 3 3 3 3 3 3n ^3n - 5n h ∞ 1 1 1 1 1 1 = 5x · ; + 2 + 3 + ...E = 5x · · ;1 + + 2 + ...E 5 5 5 5 5 5 5x 1 x· = 10 & = 10 & x = 8 bulunur. 1 4 15 1 1 1 = - ; + 2 + 3 + ...E 5 5 5 9n - 15n & 15n - 25n /5 Sn = 1 1 1 1 1 1 5 1 · ;1 + + 2 + ...E = - · = - · = - bulunur. 5 5 5 5 1 4 5 4 1Cevap: A 5 1 - 2n ∞ n=1 Cevap: E Cevap: E 1 m 2 =2& = 2 & m = bulunur. 1-m 1-m 3 4. 3, 21 = 3, 2111.... = 3 + ∞ = 2 & m + m2 + m3 + ... = m (1 + m + m2 + ...) 3 2 3 3 2 9 = c m · >1 + + c m + ...H = · 5 5 5 25 13. 2 1 1 1 + + + + ... 10 102 103 104 2 1 1 1 3+ + + + ...E ;1 + 10 102 10 102 289 2 1 1 2 1 3+ + · =3+ + = bulunur. 1 10 90 90 10 102 110 k+1 k=0 3 3 2 3 n Sn = 5 + 5 · c m + 5 · c m + ... + 5 · c m 5 5 5 2. ∞ /m 17. A = 1· 2 5 2 2 2 3 c m 5 c m 5 123 123 123 1 1 1 Cevap: C 2 2 2 2 3 + 1· c m + 1· c m + ... 5 5 5 A= 2 2 2 2 2 · >1 + + c m + ...H = · 5 5 5 5 A= 2 5 2 · = bulunur. 5 3 3 1 1- 2 5 Cevap: B
© Copyright 2025 Paperzz