5. Merkezi Dağılım Ölçüleri

5. Merkezi Dağılım Ölçüleri
Merkezi eğilim ölçüleri, üzerinde ölçme yapılan grubu tanımamıza
yardım eder ancak gurubu tam olarak tanımak için yererli değildir.
Örnek olarak, Xi=0,1,2,3,9
ve Yi=2,2,3,4,4
olarak verilen Xi ve Yi
dizlerinin ortalamaları hesaplandığında her iki dizinin de ortalamasının
3 olduğu görülecektir. Oysa her iki dizinin karekteristiği, aldığı değerler,
değerlerin artış oranı farklıdır. Dolayısı ile sadece ortalamaya bakarak
bu verilerden bir sonuç çıkartmak doğru olmayacaktır.
Bu ölçülere ek olarak puanların dağılım(yayılma,değişiklik) ölçülerinin
de bilinmesine gerek vardır. Merkezi dağılım ölçüleri, verilerin yığılma
gösterilen noktadan ne kadar uzakta olduklarını, nasıl bir dağılım
gösterdiklerini belirleyen istatistiklerdir.
Başlıca dağılım ölçüleri
Açıklık(range)
Ortalama mutlak sapma
standart sapma
varyans
Dağılım aralığı - Açıklık(range)
Bir dizideki en büyük değer (Xmax) ile en küçük değer (Xmin)
arasındaki farktır.
DA= Xmax - Xmin biçiminde hesaplanır.
71 68 75 44 75 81 75 94 56 50 69
veri setinin dağılım aralığı nedir?
DA=94-44=50’dir
Örnek: A üniversitesinin B bölümünün tavan puanı 440 ve taban puanı
410 ise.
Dağılım aralığı = 440-410 = 30 puan
Dağılım aralığı Özellikleri
– bir veri grubunun hangi aralıkta değişkenlik gösterdiğini belirten
istatistiktir. dağılımları hakkında yüzeysel bilgi verir.
– Uç değerlerden çok etkilenir.
– Dağılımın şekliyle ilgili bir şey söylemez.
– yeterince güvenilir değil, en basit yayılım ölçüsüdür.
20,60,80,70,90,80 Dağılım aralığı:90-20=70
20,20,20,90,20,20,20 Dağılım aralığı:90-20=70
2 grup hiç benzemediği halde dağılım aralığı eşittir.
Ortalama Mutlak Sapma
Ortalama Mutlak Sapma (MAD- Mean Absolute Deviation) : Bir
gözlemin ortalamadan ortalama
olarak ne kadar saptığının
ölçüsüdür.
n
OrtalamaMutlakSapma =
∑x
i =1
i
−x
n
Guruplanmış verilerde
n
∑f
OrtalamaMutlakSapma =
Burada
mi
i =1
i
mi − x
n
sınıf orta değerini ve
x
ise
aritmetik
ortalamayı
göstermektedir.
Örnek:
xi=1,3,4,6,10,12
olarak verilen dizinin ortalama mutlak sapmasını
bulunuz.
Ort. Mutlak sap.= (∑ xi − x | ) / n
xi
1
3
4
6
10
12
x = 36/6=6
∑ xi =36
∑x
|xi - x |
5
3
2
0
4
6
i
− x =20
Ortalama sapma=20/6=3.33
Örnek:
Aşağıda verilen tabloya göre ortalama mutlak sapmayı bulunuz.
Ort.sap.= (∑ fi . | xi –  x | ) / ∑ fi
xi
1
5
7
12
∑ fi =20
∑ fi.xi =124
frekans(fi)
2
7
9
2
fi .xi
2
35
63
24
fi.|xi - x |
10,4
8,4
7,2
11,6
∑ fi | xi -  x | =37.6
 x = 124/20 =6.2
ort.mut.sap.=37.6/20 = 1.88
Örnek:
Aşağıda verilen tabloya göre ortalama mutlak sapmayı bulunuz.
sınıflar
0-2
2-4
4-6
6-8
∑ fi =16
frekans(fi)
3
7
4
2
∑ fi.mi =58
 x = 58/16 =3.625
mi
1
3
5
7
fi .mi
3
21
20
14
fi.|mi - x |
7,875
4,375
5,5
6,75
∑ fi | mi -  x | =24.5
ort.mut.sap.=24.5/16 = 1.531
Varyans ve Standart Sapma
 Varyans verilerin aritmetik ortalamadan farklarının (sapma)
karelerinin toplamının veri sayısına bölünmesi ile elde edilir. Bir
veri
grubunda
verilerin
aritmetik
ortalamadan
ne
kadar
uzaklaştığının ölçüsüdür. Standart sapma ise varyansın pozitif
kareköküne eşittir.
Varyans
Ana kitle (populasyon) varyansı
Ana kitle içinden seçilen örneğin varyansı
Guruplanmış örneklem verisinin varyansı
Standart sapma
verilerin
ortalamadan
olan
farklarının,
ortalamasının, kareköküne eşittir.
kareleri
toplamının
Ana kitle (populasyon) standart sapması
Ana kitle içinden seçilen örneğin standart sapması
Standart sapma ve varyans Özellikleri
• En yaygın kullanılan değişkenik ölçüsüdür, Ortalama değişkenliği
gösterir, Tüm değerler eşitse, her ikisi de sıfıra eşittir
• Bir dizideki ölçümlerin birbirinden farkı arttıkça standart sapma
büyür; ölçümler birbirine yaklaştıkça da küçülür.
• Standart sapma değişken değerlerinin ortalamanın etrafındaki
yayılmasını temsil eden bir yayılma ölçütüdür. Yani, denekler
arasında ne kadar yaygınlık olduğunu ifade eder.
• Merkezi eğilim ölçütü olarak ortalama kullanıldığında, yayılma
ölçütü olarak da standart sapma kullanılır.
• Standart
sapma
küçüldükçe
dizi
grubundaki
homojenlik(benzerlik) artar.
• Dağılımın yaygınlığını gösteren ölçümlerin en önemlisi varyansdır.
Eğer varyans küçükse sayılar birbirine yakın, büyükse daha
uzaktır. Bir dağılımda değerler aritmetik ortalamadan uzaklaştıkça
dağılımın yaygınlığı artar.
• Aritmetik ortalamaları aynı olan iki dağılım aynı yaygınlıkta
olmayabilir.
Örneğin; 10,22,34 değerlerini alan 3 kişilik bir dağılımda aritmetik
ortalama 66/3=22’dir.21,23,22 değerlerini alan başka bir 3 kişilik
dağılımda aritmetik ortalama yine 66/3=22’dir.
İki dağılımın aritmetik ortalaması 22 olduğu halde birinci
dağılımda değerler (1 ve 3’üncü değerler) aritmetik ortalamadan
çok uzakta iken ikinci dağılımdaki değerler ortalamaya çok
yakındır.
• Genel olarak, standart sapmanın küçük olması; ortalamadan
sapmaların ve riskin az olduğunun, büyük olması ise; ortalamadan
sapmaların, riskin çok olduğunun ve oynaklığın göstergesidir.
Aritmetik ortalamaya bağlı
olarak verilen kararlar
Standart sapmaya bağlı olarak
verilen kararlar
Grubun başarı düzeyi nedir?
Grubun mutlak başarı düzeyi
nedir?
Öğrencilerin ortalama başarı
düzeyi nedir?
Öğrencilerin öğrenme düzeyi
nedir?
Başarılı ve başarısız sınıf (grup)
hangisidir?
Öğrencilerin arasında farklılaşma
var mı? ya da öğrencilerin öğrenme
düzeyleri benzer mi?
Grup ya da dağılım homojen mi,
heterojen mi?
Grup aritmetik ortalamaya ne kadar
uzaktır? Ya da yakındır?
Varyasyon katsayısı (Değişim katsayısı)
Bir yığındaki veriler aritmetik ortalama civarında yoğunlaşıyorsa
varyans küçük olur. Bu aynı zamanda dağılımın homojen olduğunu
gösterir. Ancak standart sapma ile dağılım hakkında çok fazla bir şey
söylemek doğru olmaz. Örnek olarak, bir dağılımın standart sapması 8
ise bu değer büyük müdür, yoksa küçük müdür? Bir karar verebilmek
için değişim katsayısını hesaplamak gerekir.
Değişim katsayısı; standart sapmanın ortalamaya göre yüzde kaçlık bir
değişim gösterdiğini belirtir.
Değişim katsayısı=
σ
µ
Örnek:
sınıflar
0-2
2-4
4-6
6-8
∑ fi =16
frekans(fi)
3
7
4
2
mi
1
3
5
7
∑ fi.mi =58
fi .mi
3
21
20
14
fi (mi -  x )2
20,671875
2,734375
7,5625
22,78125
x = 58/16 =3.625
∑ fi (mi -  x )2 =53.75
varyans=s2=53.75/(16-1) = 3.5833
standart sapma= s =
3.5833 =1.8929
değişim katsayısı=standart sapma/aritmetik ortalama =1.8929/3.625 = 0.522

Download Report