Örnekleme Dağılımları
Mühendislikte İstatistik Metotlar
Örnekleme Dağılımları
N, µ , σ
n, µx3 , σx3
n, µx2 , σx2
3
1
2
Örnekler
Ortalama
1. Örnek
µx1
µx1
µx1
µx
σ x
2. Örnek
3. Örnek
Ortalama
Standart Hata
n, µx1 , σx1
µx = µ
?
Örnekleme Dağılımları
N, µ , σ
n, µx3 , σx3
n, µx2 , σx2
3
1
2
Örnekler
Ortalama
1. Örnek
µx1
µx1
µx1
µx
σ x
2. Örnek
3. Örnek
Ortalama
Standart Hata
n, µx1 , σx1
2
1
µ
n1 > n2
Örnekleme Dağılımları
N, µ , σ
1
Örnekler
1. Örnek
2. Örnek
3. Örnek
Ortalama
Standart Hata
n, µx1 , σx1
Ortalama
µx1
µx1
µx1
µx
σ x
σx =
σ
N
σx =
σx
N
Örnek
Mühendislik Fakültesindeki öğrenci sayısı 2450
olsun. 2450 öğrencinin herbirinin kilosu sorulsun
ve ortalaması 67,4 kg, varyansı 106,9, standart
sapması 10,3, ve çarpıklık katsayısı ise 0,01
olarak hesaplansın.
N
µ
σ2
σ
Cs
MMF
2450
67,4
106,9
10.3
0,01
Örnek
•
Aynı çalışma Mühendislik Fakültesinin 10 bölümü için
tekrarlansın ve her bölümün tüm öğrencileri için
aşağıdaki değerler elde edilmiş olsun:
N
µx
σx2
σx
Csx
İnsaat Makina Jeoloji Maden Endüstri Tekstil Elektrik Çevre BilgisayarOrtalama
385
435
360
320
270
180
210
80
210
2450
67.4
67.0
66.9 68.0
67.6
67.6
66.4
68.5 67.4
67.1
106.9 101.5 107.0 110.2
112.4 114.7 111.1 88.0
102.2
106.0
10.3
10.3
10.1 10.3
10.5
10.6
10.7
10.5
9.4
10.1
-0.004 0.113 -0.016 -0.067
0.039 0.105 -0.142 0.018
0.033
0.01
N
µ
σ2
σ
Cs
MMF
2450
67,4
106,9
10.3
0,01
•
Bu kez, aynı çalışma Mühendislik Fakültesinin 9 bölümü
için tekrarlansın ve her bölümden rastgele 10'ar öğrenci
seçilerek aşağıdaki değerler elde edilmiş olsun:
N
µx
2
σx
σx
Csx
İnsaat Makina Jeoloji Maden Endüstri Tekstil Elektrik Çevre BilgisayarOrtalama
10
10
10
10
10
10
10
10
10
90
70.1
68.4
71.3 68.6
66.2
74.9 72.9
70.4 70.5
68.1
126.5 130.0 158.0 102.8
101.0 84.1 110.3 53.2
157.0
113.7
10.5
11.2
11.4 12.6
10.1
10.0
9.2
10.5
7.3
12.5
-0.167 -0.218 -0.200 -0.197 -1.006 -0.209 -0.500 -0.129 -0.066
-0.3
µx
σ2x
İnsaat
Makina
Jeoloji
Maden
Endüstri
Tekstil
Elektrik
Çevre
Mimarlık
68.4
71.3
68.6
66.2
74.9
72.9
70.4
70.5
68.1
126.5
130.0
158.0
102.8
101.0
84.1
110.3
53.2
157.0
µx
70.1
113.7
Güven Aralığı Tahmini
Bir değer aralığı verir.
Populasyon parametresine yakınlık hakkında bilgi verir.
Olasılık terimleriyle ifade edilir.
Güven Aralığı Tahmininin Elemanları
Populasyon parametresinin aralık içinde bir yere düşmesinin
olasılığı
Örnek istatistiği
Güven aralığı
Alt güven sınırı
8
Üst güven sınırı
Güven aralığı
X − Z ⋅σ = X + Z ⋅ σ
x
n
σx_
Stp sapmanın
ortalaması
µ − 2.58⋅σ
X
µ −1.645⋅σ
µ −1.96⋅σ
X
µ µ +1.645⋅σ
X
µ +1.96⋅σ
X
Örneklerin 90%
µ + 2.58⋅σ
X
X
X
Örneklerin 95%
Örneklerin 99%
Güven Seviyesi
Bilinmeyen populasyon parametresinin aralık
içine düşme olasılığıdır.
%(1 - Pc) = önem seviyesi (α)
Pc : Güven seviyesi (aralığı)
“Parametrenin aralık içinde olması olasılığıdır.”
Pc için tipik değerler %99, %95, %90
Örnekleme Dağılımları
P(b)
Pc (Güven Düzeyi)
(1 - Pc)/2
(1 - Pc)/2
b
b2
E(b) = b0
b1
Güven Aralığı
b1,2 = µ x ± z × σ x = µ x ± z
σx
N
Örnekleme Dağılımları
P(b)
Pc (Güven
Düzeyi)
(1 - Pc)/2
(1 - Pc)/2
b2
b1
b
Güven Aralığı
Pc (Güven
Düzeyi)
Pc (Güven
Düzeyi)
1 - Pc
1 - Pc
b
b
Güven
Aralığı
Güven
Aralığı
Populasyon ortalamasının güven
aralığının hesaplanması
Parametre=
istatistik ±hata
(1)
µ = X ± Hata
(2)
Hata = X − µ yada X + µ
(3)
Z=
(4)
Hata = Zσ x
(5)
µ = X ± Zσ x
X −µ
σx
=
Hata
σx
Örnekleme Dağılımları
Ana Kütle Ortalamasının Tahmini
Asimptotik Dağılım
t Dağılımı (Student Dağılımı)
(N > 30 )
Ana Kütle Varyansının Tahmini
χ2 Dağılımı
Z tablosu
(N ≤ 30)
t tablosu
Örnekleme Dağılımları
t- Dağılımı (Student Dağılımı)
p
P( t ≥ t0 )
t=
µx − µ
σx / N − 1
0
t0
Bu dağılıma serbestlik derecesi (s.d.) = N-1 olan t- (student)
dağılımı denir.
σx
b1,2 = µ x ± t
N −1
Student’ın t Tablosu
Üst kuyruk alanı
sd .25
.10
.05
n=3
sd = n - 1 = 2
α = .10
α/2 =.05
Olsun:
1 1.000 3.078 6.314
2 0.817 1.886 2.920
.05
3 0.765 1.638 2.353
t değerleri
0
2.920
t
ORTALAMA İÇİN GÜVEN ARALIĞI
Populasyonun standart sapması σX bilinmediğinde
ve populasyonun normal dağıldığı varsayımı
altında güven aralığı tahmini:
α /2
α /2
1- α
− tα 2
X − tα 2,n −1
X − t v;α/2 ×
tα 2
s
n −1
sx
n-1
X + tα 2,n −1
s
n −1
≤ µ ≤ X + t v;α/2 ×
sx
n-1
ORTALAMALAR İÇİN GÜVEN ARALIĞI
Örnek: Bir fabrikada üretilen 100 mamulün ortalama ağırlığı 1040 gr
standart sapması 25 gr bulunmuştur. Bu imalat prosesinde üretilen
mamullerin ortalama ağırlığı %95 güvenle hangi aralıktadır?
%95 için z değeri ± 1.96
0.475
α/2=0.05/2=0.025
z=-1.96 µ = 0 z=1.96
Z
ORTALAMALAR İÇİN GÜVEN ARALIĞI
σ
σ 

P  X − zα 2 X ≤ µ X ≤ X + zα 2 X  = 1 − α
n
n

25
25 

P  1040 − 1.96
≤ µ X ≤ 1040 + 1.96
 = 0.95
100
100 

P (1035.1 ≤ µ X ≤ 1044.9 ) = 0.95
Populasyonun St.Sapması σX Bilinmediğinde ve
n≥ 30 Olduğunda Ortalama İçin Güven Aralığı
1. Varsayımlar:
POPULASYONUN standart sapması bilinmiyor
Populasyon Normal dağılımlıdır.
2. Merkezi limit teoremi kullanılarak Z Dağılımı
kullanılır.
3. Güven aralığı tahmini:
P(X − Zα/2 ×
Sx
n
Örneğin st.sapması
≤ µ ≤ X + Zα/2 ×
Sx
n
) = 1− α
Populasyon st.sapması bilinmediğinde ve n≥
≥30 olduğunda
ortalama için güven aralığı örneği
Bir
ampul şirketi yeni bir ampul geliştirerek piyasaya
sürüyor. Üretim bandından 100 tanesi rassal olarak
seçiliyor ve bunların standart sapması 140 saat,
kullanım süreleri de ortalama olarak 1280 saat
bulunuyor. α=0.05 için populasyon ortalamasının güven
aralığını bulunuz.
P(X − Z α/2
Sx
n
≤ µ ≤ X + Z α/2
Sx
n
) =1− α
140
140
)=0.95
≤ µ ≤ 1280 + 1.96 ×
100
100
P(1252.56 ≤ µ ≤ 1307.44) = 0.95
P( 1280 − 1.96 ×
Yorum: Şirketin ürettiği ampullerin ortalama ömrü, 0.95 olasılıkla
1252.56 ile 1307.44 saat arasındadır.
ÖRNEK
Bir fabrikada rasgele üretilen 25 mamulün ortalama ağırlığı
1040 gr standart sapması 25 gr bulunmuştur. %95 güvenle
bu imalat prosesinde üretilen mamullerin ortalama ağırlığı
hangi aralıkta yer alır?
X − t v;α/2 ×
1040 − 2.064
sx
n-1
≤ µ ≤ X + t v;α/2 ×
sx
n-1
25
25
≤ µ ≤ 1040 + 2.064
25 − 1
25 − 1
1029 . 47 ≤ µ ≤ 1050 . 53
STANDART SAPMA İÇİN GÜVEN ARALIĞI
sapması s,anakütle standart sapması
’nın
σ
nokta tahminidir. Nokta tahmininden hareketle anakütle
standart sapmasının güven aralığı,
Örnek standart
s − Zα 2
s
s
≤ σ ≤ s + Zα 2
2n
2n
α /2
α /2
1- α
− Zα 2
s − Zα 2
s
2n
Zα 2
s + Zα 2
s
2n
s
Standart Sapmalar için Güven Aralığına Örnek
Bir makinada , bir hafta içersinde yapılan 200 bilyeli yatağın çapları
ölçülmüş ve ortalama 2.09 cm , standart sapma ise 0.11 cm
bulunmuştur. Bütün bilyeli yatakların çaplarına ait standart
sapmanın güven sınırlarını bulunuz.
n=200
X = 2 . 09
0.11 − 2.58
s x = 0.11
α = 0.01
0.11
0.11
≤ σ ≤ 0.11 + 2.58
2.(200)
2.( 200
0.0958 ≤ σ ≤ 0.1242
Örnekleme Dağılımları
χ2 Dağılımı
χ2 =
N × σ 2x
p
σ2
istatistiğinin dağılımı s.d. = N-1
olan χ² dağılımıdır
b1, 2 =
N × σ x2
χ02
P(χ² ≥ χ0²)
0
χ²

Download Report