İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ BÖLÜM 1 BÖLÜM 2 iX TEMEL KAVRAMLAR 1 1.1. Tanımlar 1.2. Diferensiyel Denklemlerin Çözümü (İntegrali) 1.3. Başlangıç Değer ve Sınır Değer Problemleri 2 5 7 LİNEER KISMİ DİFERENSİYEL DENKLEMLER 9 2.1. Birinci Mertebeden İki Boyutlu Lineer Kısmi Diferensiyel Denklemler Bölüm Problemleri Bölüm Problemlerinin Çözümleri Ek Problemler 2.2. Birinci Mertebeden Çok Boyutlu Lineer Kısmi Diferensiyel Denklemler Bölüm Problemleri Bölüm Problemlerinin Çözümleri Ek Problemler 2.3. Birinci Mertebeden Kuazilineer Kısmi Diferensiyel Denklemler Bölüm Problemleri Bölüm Problemlerinin Çözümleri Ek Problemler 10 14 16 30 31 34 36 54 55 57 59 75 iii BÖLÜM 3 KARAKTERİSTİKLER 3.1. İki Boyutlu İkinci Mertebeden Kısmi Diferensiyel Denklemlerin Karakteristikleri 3.1.1. Hiperbolik Denklem 3.1.2. Parabolik Denklem 3.1.3. Eliptik Denklem 3.1.4. Sabit Katsayılı Lineer Denklemlerin Kanonik Formları Bölüm Problemleri Bölüm Problemlerinin Çözümleri Ek Problemler 3.2. Çok Boyutlu İkinci Mertebeden Kısmi Diferensiyel Denklemlerin Karakteristikleri Bölüm Problemleri Bölüm Problemlerinin Çözümleri Ek Problemler 3.3. İki Boyutlu Birinci Mertebeden Kısmi Diferensiyel Denklem Sisteminin Karakteristikleri Bölüm Problemleri Bölüm Problemlerinin Çözümleri Ek Problemler BÖLÜM 4 HİPERBOLİK TİP DENKLEMLER 4.1. Bir Boyutlu Dalga Denkleminin Başlangıç Değer Problemi İçin D’Alembert Formülü 4.1.1. Sonsuz Aralıkta Homojen Dalga Denklemi İçin Başlangıç Değer Problemi 4.1.2. Sonsuz Aralıkta Homojen Olmayan Dalga Denklemi İçin Başlangıç Değer 4.1.3. Yarı Sonsuz Aralıkta Homojen Dalga Denklemi İçin Başlangıç Değer Problemi 4.1.4. Sınırlı Aralıkta Homojen Dalga Denklemi İçin Başlangıç Sınır Değer Problemi Bölüm Problemleri Bölüm Problemlerinin Çözümleri Ek Problemler 4.2. Bir Boyutlu Dalga Denkleminin Sınırlı Aralıkta Başlangıç Değer Problemi İçin Fourier Yöntemi 4.2.1. Sturm-Liouville Problemi 4.2.2. Bir Boyutlu Homojen Dalga Denkleminin Sınırlı Aralıkta Başlangıç Değer Problemi İçin Fourier Yöntemi 77 78 81 82 82 83 85 87 106 107 110 111 118 119 124 125 133 135 136 136 138 140 143 145 147 159 161 161 164 4.2.3. Bir Boyutlu Homojen Olmayan Dalga Denkleminin Sınırlı Aralıkta Başlangıç Değer Problemi İçin Fourier Yöntemi Bölüm Problemleri Bölüm Problemlerinin Çözümleri Ek Problemler 4.3. Goursat Problemi Bölüm Problemleri Bölüm Problemlerinin Çözümleri Ek Problemler 4.4. Çok Boyutlu Dalga Denklemi İçin Başlangıç Değer Problemi 4.4.1. Çok Boyutlu Dalga Denklemi İçin Başlangıç Değer Probleminin Çözümünün Tekliği ve Enerji Yöntemi 4.4.2. Çok Boyutlu Homojen Dalga Denkleminin Başlangıç Değer Probleminin Çözümü İçin Poisson Formülü 4.4.3. Üç Boyutlu Homojen Olmayan Dalga Denklemi İçin Başlangıç Değer Probleminin Çözümü İçin Kirchhoff Formülü Bölüm Problemleri Bölüm Problemlerinin Çözümleri Ek Problemler BÖLÜM 5 PARABOLİK TİP DENKLEMLER 5.1. Bir Boyutlu Isı Denklemi, Maksimum Prensibi ve Çözümün Tekliği 5.1.1. Bir Boyutlu Isı Denklemi 5.1.2. Maksimum Prensibi 5.1.3. Çözümün Tekliği Bölüm Problemleri Bölüm Problemlerinin Çözümleri Ek Problemler 5.2. Bir Boyutlu Başlangıç–Sınır Değer Problemi İçin Fourier Seri Yöntemi 5.2.1. Homojen Isı Denklemi İçin Homojen Sınır Koşullu Başlangıç-Sınır Değer Problemi 5.2.2. Green Fonksiyonu 5.2.3. Homojen Olmayan Isı Denklemi İçin Homojen Başlangıç ve Homojen Sınır Değer Problemi 5.2.4. Homojen Olmayan Isı Denklemi İçin Homojen Olmayan Başlangıç ve Homojen Sınır Değer Problemi 5.2.5. Homojen Olmayan Isı Denklemi İçin Homojen Olmayan Başlangıç-Sınır Değer Problemi Bölüm Problemleri Bölüm Problemlerinin Çözümleri Ek Problemler 5.3. Bir Boyutlu Isı Denklemi İçin Başlangıç Değer Problemi 5.3.1. Fourier İntegral Dönüşümü Yöntemi 5.3.2. Laplace İntegral Dönüşümü Yöntemi 168 170 172 197 199 203 204 208 209 209 211 214 217 218 235 237 238 238 238 240 241 243 246 247 247 250 252 253 254 255 257 295 299 299 302 Bölüm Problemleri Bölüm Problemlerinin Çözümleri Ek Problemler 5.4. Çok Boyutlu Isı Denklemi 5.4.1. Çok Boyutlu Parabolik Denklemler İçin Fourier İntegral Dönüşümü Yöntemi 5.4.2. Çok Boyutlu Parabolik Denklemler İçin Cauchy Problemi ve Poisson Formülü 5.4.3. Çok Boyutlu Parabolik Denklemler İçin Fourier Seri Yöntemi Bölüm Problemleri Bölüm Problemlerinin Çözümleri Ek Problemler 5.5. Başlangıç Şartları Olmayan Parabolik Denklemler Bölüm Problemleri Bölüm Problemlerinin Çözümleri Ek Problemler 5.6. Sabit Katsayılı Parabolik Denklemler için Operatör Yöntemi Bölüm Problemleri Bölüm Problemlerinin Çözümleri Ek Problemler BÖLÜM 6 ELİPTİK TİP DENKLEMLER 6.1. Laplace Denklemi, Temel Çözüm ve Gösterilim Teoremi 6.1.1. Laplace Denklemi ve Sınır Problemleri 6.1.2. Temel çözüm 6.1.3. Green Formülleri 6.1.4. Gösterilim Teoremi 6.1.5. Harmonik Fonksiyonun Özellikleri Bölüm Problemleri Bölüm Problemlerinin Çözümleri Ek Problemler 6.2. Laplace Operatörü İçin Green Fonksiyonu 6.2.1. Green Fonksiyonu 6.2.2. Green Fonksiyonun Özellikleri Bölüm Problemleri Bölüm Problemlerinin Çözümleri Ek Problemler 6.3. Potansiyel Bölüm Problemleri Bölüm Problemlerinin Çözümleri Ek Problemler 6.4. Düzlemde Laplace Denkleminin İç Sınır Problemleri İçin Fourier Seri Yöntemi 308 310 321 323 323 323 324 328 329 335 337 339 339 342 343 344 344 349 351 352 352 353 355 356 358 362 365 376 377 377 379 381 382 388 389 393 394 398 399 6.4.1. Kutupsal Koordinatlarda Laplace Denkleminin İç Sınır Problemleri İçin Fourier Seri Yöntemi 6.4.2. Kutupsal Koordinatlarda Laplace Denkleminin Dış Sınır Problemleri İçin Fourier Seri yöntemi 6.4.3. Dikdörtgende Laplace Denklemin Dirichlet Problemi İçin Fourier Seri Yöntemi Bölüm Problemleri Bölüm Problemlerinin Çözümleri Ek Problemler 6.5. Üç Boyutlu Yüzeyde Laplace Denkleminin Sınır Problemleri İçin Fourier Seri Yöntemi 6.5.1. Dikdörtgen Paralelyüzde Laplace Denkleminin Sınır Problemleri İçin Fourier Seri Yöntemi 6.5.2. Silindirik Koordinat Sisteminde Laplace Denkleminin Sınır Problemleri İçin Fourier Seri Yöntemi 6.5.2.1. Silindirik Koordinat Sistemi ve Bessel Fonksiyonları 6.5.2.2. Silindirin Yan Yüzey Alanı Üzerinde Homojen Sınır Şartı 6.5.2.3. Silindirin Alt ve Üst Sınırlarında Homojen Dirichlet Şartı 6.5.2.4. Silindir İçin Homojen Olmayan Dirichlet Problemi 6.5.2.5. Silindirin Alt ve Üst Sınırlarında Homojen Neumann Şartı 6.5.3.Küresel Koordinatlarda Laplace Denkleminin Sınır Problemleri İçin Fourier Seri Yöntemi 6.5.3.1. Küresel Koordinatlarda Laplace Denklemi ve Legendre Polinomu 6.5.3.2. Topun İçi İçin Sınır Problemleri 6.5.3.3. Topun Dışı İçin Sınır Problemleri Bölüm Problemleri Bölüm Problemlerinin Çözümleri Ek Problemler KAYNAKLAR DİZİN 399 402 404 407 408 415 417 417 419 419 421 423 424 425 427 426 428 429 430 431 437 439 441 TABLOLAR Trigonometrik Formülleri Tablosu İntegral Tablosu Laplace Dönüşüm Tablosu Fourier Dönüşüm Tablosu 445 445 446 447 448 ÖNSÖZ Bu kitap, üniversitelerimizde okutulan “Kısmi Diferensiyel Denklemler” derslerinde yararlanılabilecek bir kaynak olarak hazırlanmıştır. Bu alanda yazılmış mevcut kaynaklar detaylı teorik bilgiler içermesine karşın, çözülmüş problemler bakımından yeterli zenginliğe sahip değildir. Bu kitapta, ihtiyaç duyulan teorik bilgilere yeterli ölçüde yer verildikten sonra, çok sayıda çözümlü problemlerle konunun pekiştirilmesi sağlanmaktadır. Böylece lisans ve lisansüstü öğrencilerinin fazla sayıda uygulama yaparak, konuların zorluğuna ilişkin ön yargılarından kurtulmaları hedeflenmektedir. Çözümlerin anlaşılır bir dil ve pedagojik bir yaklaşımla sunulması için özen gösterilmiş, işlem aşamaları arasındaki geçişler detaylı olarak ifade edilmiştir. Bu özellikleri dolayısıyla, alanındaki önemli bir ihtiyacı karşılayacağına inanıyoruz. İlk bölümünde temel kavramların tanıtıldığı bu çalışma, altı ana bölümden oluşmaktadır. İkinci bölümde, I. mertebeden lineer ve kuazilineer kısmi diferensiyel denklemler incelenmektedir. Üçüncü bölümde, II. mertebeden kısmi diferensiyel denklemlerin ve I. mertebeden kısmi diferensiyel denklem sistemlerinin karakteristikleri anlatılmaktadır. Ayrıca kanonik formda yazılan diferensiyel denklemlerin hiperbolik, parabolik veya eliptik olarak sınıflandırılması yapılmaktadır. Sadece hiperbolik denklemlere ayrılan dördüncü bölümde, hiperbolik tipteki lineer kısmi diferensiyel diferensiyel denklemlerin çözümü Fourier seri (değişkenlerine ayırma), D’Alembert ve Kirchhoff yöntemleri ile verilmektedir. Metot olarak, Fourier seri (değişkenlerine ayırma), Laplace ve Fourier integral dönüşüm yöntemlerinin kullanıldığı beşinci bölümde, parabolik denklemlerin çözümleri ele alınmaktadır. Altıncı bölümde ise, eliptik tipteki lineer kısmi diferensiyel denklemler konu edilmektedir. Farklı sınır şartlarına sahip eliptik denklemlerin çözümleri; Green fonksiyonları yardımıyla ve Fourier seri yöntemiyle, Kartezyen, kutupsal ve silindirik koordinatlarda ayrı ayrı irdelenmektedir. İncelenmek istenen bir diferensiyel denklemin (çözümü varsa); analitik, yaklaşık, nümerik ve kalitatif çözüm yöntemlerinden söz edilebilir. Bu kitap, kısmi diferensiyel denklemlerin analitik çözümlerinin elde edilmesi için kullanılan yöntemlerin tanıtılmasına ve çok sayıda uygulamaya yer verilerek konunun pekiştirilmesine hasredilmiştir. Analitik çözümler elde edilirken, yaygın olarak kullanılan klasik yöntemlerin hemen hepsine değinilmiştir. Hatırlatmak gerekir ki, bu kitaptaki konuların anlaşılması için, altyapı olarak temel matematik (özellikle integral) ve adi diferensiyel denklemler bilgilerine sahip olunmalıdır. İlk baskı olması dolayısıyla, yazım ve baskı hatalarının kaçınılmaz olduğunu takdir edersiniz. Bu hataları minimize etmek için özenle incelememize rağmen gözden kaçanlar olabilir. Gördükleri eksiklik ve hataları bildiren okuyucularımıza, şimdiden minnet ve şükranlarımızı iletiyoruz. Bu geri bildirimler, izleyen baskıların daha hatasız bir şekilde çıkması için önemli katkılar sağlayacaktır. Editörler ix
© Copyright 2024 Paperzz
