İÇİNDEKİLER
GRAFİK ÇİZİMİ
• Simetri ve Asimtot
• Bir Fonksiyonun Grafiği
MATEMATİK-1
HEDEFLER
Prof.Dr.Murat ÖZDEMİR
• Bu üniteyi çalıştıktan sonra;
• Fonksiyonun simetrik olup
olmadığını belirleyebilecek,
• Fonksiyonun asimtotlarını
bulabilecek,
• Fonksiyonun grafiğini
çizebilecek ve buna bağlı
olarak grafiğe bakarak
fonksiyonun davranışı
hakkında bilgi
edinebileceksiniz.
ÜNİTE
13
Grafik Çizimi
GİRİŞ
Fonksiyonlar hakkında bilgi edinebilmenin en kısa yolu fonksiyonun grafiğini
çizmektir. Daha önceki konularda da belirtildiği gibi fonksiyonun grafiğine bakarak
hangi noktalarda limitinin olduğunu veya olmadığını, hangi noktalarda sürekli veya
süreksiz olduğunu, hangi noktalarda türevin olduğu veya olmadığını, hangi
aralıklarda artan veya azalan olduğunu, hangi aralıklarda bükeyliğin yönünün aşağı
veya yukarı olduğunu kolayca söyleyebiliriz.
SİMETRİ VE ASİMTOT
ve değişkenleri cinsinden kapalı olarak verilmiş ( )
denklemini
sa layan (
) noktalarının kümesine ( )
ın grafiği denir. Eğer
( )
( )
)
ise (
ın grafiği
( ) fonksiyonunun grafiği
olur. Örneğin,
(
)
in grafiği, orijin merkezli birim çemberdir.
( ) fonksiyonu verilmiş olsun.
yerine
yazdığımızda değeri değişmiyorsa yani ( )
( )
oluyorsa (başka bir deyişle çift fonksiyon ise) nin grafiği y-eksenine
göre simetriktir.
( ) fonksiyonu için (
eksenine göre simetriktir.
( )
( ) oluyorsa (başka bir deyişle
grafiği orijine göre simetriktir.
( )
Buna göre örneğin
(
)
)
( ) oluyorsa
tek fonksiyon ise)
fonksiyonunda
(
)
nin grafiği x-
yerine
nin
yazarsak,
( )
olur. O halde bu fonksiyonun grafiği y-eksenine göre simetriktir (Şekil 13.1 a)).
Benzer şekilde
( )
fonksiyonununda yerine
yazarsak bu
fonksiyonun da x-eksenine göre simetrik olduğunu kolaylıkla görebiliriz (Şekil 13.1
b)).
Atatürk Üniversitesi Açıköğretim Fakültesi
2
Grafik Çizimi
y
y
4
5
3
4
2
1
3
-1
2
1
2
3
-1
1
4
x
-2
-3
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
x
-4
-1
a) y-eksenine göre simetrik
b ) x-eksenine göre simetrik
Şekil 13.1
Yukarıda ( )
( ) şartını sağlayan fonksiyonlara çift fonksiyon
demiştik. Demek ki çift fonksiyonların grafiği y-eksenine göre simetriktir. Bir
fonksiyonun çift ise grafiği daha kolay çizilir. Bu durumda grafiği önce
değerleri için çizmek sonra y-eksenine göre simetriğini almak yeterlidir.
( )
Diğer taraftan
(
)
(
fonksiyonu için
)
( )
olduğundan nin grafiği orijine göre simetriktir (Şekil 13.2). Bir ( ) fonksiyonu
için ( )
( ) şartı sağlanıyorsa bu fonksiyona tek fonksiyon demiştik.
Demek ki tek fonksiyonların grafiği orijine göre simetriktir.
.
y
4
3
2
1
-3
-2
-1
1
-1
2
3
x
-2
-3
-4
orjine göre simetrik
Şekil 13.2
Atatürk Üniversitesi Açıköğretim Fakültesi
3
Grafik Çizimi
13.1.
(
)
gösteriniz.
denkleminin grafiğinin orijine göre simetrik olduğunu
Çözüm: (
fonksiyonda
)
yerine
( )
şeklinde yazabiliriz. Bu
yazarsak
(
)
( )
elde ederiz. Yani bu fonksiyon orijine göre simetriktir (Şekil 13.3).
y
3
2
1
-3
-2
-1
1
2
3
x
-1
-2
-3
Şekil 13.3
Asimtotlar
Grafik çizimlerinde yol göstermesi bakımından asimtotlar önemlidir. Eğer
varsa bir fonksiyonun asimtotlarını bulmak ve ona göre grafiğini çizmek gerekir. Bir
eğriye, orijinden sonsuz uzaklaştığımızda, teğet olan doğruya asimtot denir.
Asimtotlar,
1) Düşey asimtot (y-eksenine paralel olan asimtot),
2) Yatay asimtot (x-eksenine paralel olan asimtot),
3) Eğik asimtotlar
şeklinde üç sınıfa ayrılır. Asimtotları geometrik olarak gösterirken, fonksiyonun
grafiğinden ayırt edilebilsin diye kesik çizgiler kullanacağız.
( ) fonksiyonu verildiğinde
1) Düşey asimptot:
( )
oluyorsa
doğrusuna
veya
için
( )
( ) fonksiyonunun düşey asimtotu denir.
Atatürk Üniversitesi Açıköğretim Fakültesi
4
Grafik Çizimi
Buna göre rasyonel bir fonksiyonda pay sıfırdan farklı olmak üzere paydayı
sıfır yapan değerler bize düşey asimtotu verir.
13.2.
( )
fonksiyonunun düşey asimtotlarını bulunuz ve geometrik
olarak gösteriniz.
Çözüm: ( ) rasyonel fonksiyon olduğundan paydayı sıfır yapan değerler
(pay sıfır değil) düşey asimtottur. Buna göre
denkleminin kökleri
ve
dir. Dolayısıyla verilen fonksiyonun düşey asimtotları
ve
doğrularıdır. Bunları geometrik olarak aşağıdaki şekilde gösterebiliriz.
y
3
2
1
-3
-2
-1
1
2
3
x
-1
-2
-3
Şekil 13.4
2) Yatay asimptot:
( ) limitleri var ve
( )
oluyorsa
denir.
ve
( ) fonksiyonu verilsin. Eğer
,
doğrularına
( ) ve
( )
( ) fonksiyonunun yatay asimtotları
13.3.
1) ( )
fonksiyonunun yatay asimtotunu bulunuz ve geometrik
olarak gösteriniz.
2) ( )
fonksiyonunun yatay asimtotu olup olmadığını araştırınız.
Atatürk Üniversitesi Açıköğretim Fakültesi
5
Grafik Çizimi
Çözüm:
1)
olduğundan
yatay asimtottur. Bunu
geometrik olarak aşağıdaki şekilde gösterebiliriz.
y
4
3
2
1
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
x
-1
Şekil 13.5
2)
ve
olduğundan yatay
asimtot yoktur.
3) Eğik asimtotlar: Bu tip asimtotlar genellikle
( )
( )
( )
şeklindeki
( ( )) olduğunda karşımıza çıkar.
Burada ( ) ve ( ), in polinomları olup
( ( )) ve
( ( )) de bu
polinomların derecelerini göstermektedir. ( ) polinomu ( ) polinomuna
bölelim ve bölümü ( ) ile gösterelim. Eğer ( ) polinomunun derecesi ( )
polinomunun derecesinden bir fazla ise ( ) bir doğru temsil eder. Bu ( )
doğrusuna ( ) fonksiyonunun eğik asimtotu denir.
rasyonel fonksiyonlarda
( ( ))
13.4.
( )
fonksiyonunun eğik asimtotunu bulunuz ve geometrik
olarak gösteriniz.
Çözüm: Verilen rasyonel ifadede payın derecesi paydanın derecesinden bir
fazla olduğundan bölme işlemi yaparak eğik asimtotu bulabiliriz.
Atatürk Üniversitesi Açıköğretim Fakültesi
6
Grafik Çizimi
O halde
şekilde gösterebiliriz.
eğik asimtottur. Bu asimtotu geometrik olarak aşağıdaki
y
4
2
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
x
-2
-4
-6
Şekil 13.6
BİR FONKSİYONUN GRAFİĞİ
Buraya kadar vermiş olduğumuz bilgilerden sonra bir fonksiyonun grafiğini
çizebiliriz.
( ) fonksiyonunun grafiğini çizmek için genellikle aşağıdaki
adımlar takip edilir:
1) Fonksiyonun tanım kümesi bulunur.
2) Grafiğin x-eksenini kestiği noktalar yani ( )
in kökleri ve y-eksenini
kestiği noktalar yani
için değerleri bulunur.
3) Eğer varsa asimtotlar bulunur.
4) Türev alınır ve işareti incelenir.
5) İkinci türev alınır ve işareti incelenir.
6) İlk beş adımda bulunanlar değişim tablosu adı verilen bir tabloda
gösterilir.
7) Altıncı adımdaki tablo kullanılarak grafik çizilir.
Grafik çizimi ile ilgili olarak verilen bu adımları genel bir hal için verdik. Bazı
fonksiyonlar için bu adımların hepsini takip etmemize gerek yoktur. Örneğin
Atatürk Üniversitesi Açıköğretim Fakültesi
7
Grafik Çizimi
( )
ise ( ) in grafiğini çizmek için grafi ̆in herhangi iki noktasını
bulmak yeterli olacaktır. Ayrıca bazen ikinci türev ile işlem yapmak zor olabilir. Bu
durumda beşinci adımı ihmal edebiliriz. Bazen de dördüncü ve beşinci adımda
yapılması istenen birinci ve ikinci türevin işaretinin incelenmesi altıncı adımdaki
tabloda yapılır.
İlk altı adımdaki işlemlerin nasıl yapılacağını buraya kadar olan bölümlerde
inceledik. Bu konuyu yeni öğrenen bazı öğrenciler için altıncı adımdan yedinci
adıma geçiş zor görülsede aslında bu kolay bir işlemdir. Aşağıdaki örnekleri
inceleyelim.
13.5.
( )
fonksiyonunun grafi ̆ini çiziniz.
Çözüm: Yukarıda verilen adımları takip edelim.
1) Fonksiyonun tanım kümesi,
reel sayılar kümesidir.
2) Grafiğin x-eksenleri kestiği noktalar, ( )
dan
dan ( )
ve y-eksenleri kestiği noktalar da
dir.
3) Polinom fonksiyonlar için düşey asimtot yoktur. Ancak bu adımda
için fonksiyonumuzun davranışını incelememiz gereklidir. Buna göre
( )
(
)
(
)
ve
( )
dur.
4) Fonksiyonun birinci türevi ( )
dir.
olup ( )
dur.
için ( )
ve
oldu§undan
de fonksiyon minimuma sahiptir.
5) Fonksiyonun ikinci türevi ( )
yukarı doğru yani grafiğimiz konveksdir.
( )
dan
için ( )
olduğundan bükeyliğin yönü
6) De ̆işim tablosu aşağıdaki gibidir.
Atatürk Üniversitesi Açıköğretim Fakültesi
8
Grafik Çizimi
Bu tabloya baktığımız zaman
için
olduğundan çizime ikinci
bölgeden başlayacağız. İkinci bölgede uygun bir noktaya kalemimizi koyduktan
) noktasına kadar azaldığını
sonra tekrar tabloya bakıyoruz. Fonksiyonun (
görüyoruz. İkinci bölgeden bu noktaya gelebilmek için eksenleri kesmemiz gerekir.
Grafiğimiz x-eksenini (
) noktalarında ve y-eksenini de (
) (
)
noktasında keser. İkinci türev pozitif olduğundan bükeyliğin yönü yukarı doğrudur.
) noktasından sonra fonksiyon artmakta ve
Tabloya göre (
için
olmaktadır. Yani eğri birinci bölgeye uzanmaktadır. Bunları yaptığımızda
aşağıdaki şekil elde edilir:
y
6
4
2
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
7
-2
x
-4
-6
-8
-10
Şekil 13.8
13.6.
( )
fonksiyonunun grafi ̆ini çiziniz.
Çözüm:
1) Fonksiyonun tanım kümesi
dir.
2) Grafiğin x-eksenini kestiği noktaları
çözümünden
√ ve
denklemininin
olarak bulabiliriz. Buna göre grafiğimiz x-
Atatürk Üniversitesi Açıköğretim Fakültesi
9
Grafik Çizimi
), (
eksenini ( √ ), (
( ) noktasında keser.
) ve (√
) noktalarında keser. y-eksenini de
3) Fonksiyon bir polinom olduğundan asimtotu yoktur. Sonsuzdaki
durumuna bakalım.
( )
(
(
4)
)
) olur. Türevin kökleri
,
√ dir.
Buna göre, türevin işaret tablosunu aşağıda şekilde oluşturabiliriz.
5)
dır. İkinci türevin kökleri de
√
dir.
6) Fonksiyonun değişim tablosu aşağıdadır.
y
3
2
1
-2
-1
1
2
x
-1
Şekil 13.9
Atatürk Üniversitesi Açıköğretim Fakültesi
Şekil 13.9
10
Grafik Çizimi
13.7.
( )
fonksiyonunun grafi ̆ini çiziniz.
Çözüm: Herşeyden önce (
)
(
( ) olduğundan
)
fonksiyonumuz çift bir fonksiyondur. O halde grafiğimizi birinci bölgede
için
çizip, y-eksenine gore simetri alabiliriz. Şimdi yukarıdaki adımları takip edelim.
{ } dir.
1) Fonksiyonun tanım kümesi
2) Grafiğimiz x ve y-eksenini kesmez.
( )
3)
olduğundan
olduğundan
(x-ekseni) yatay asimtot ve
(y-ekseni) düşey asimtotdur.
4)
olduğundan
dır. Dolayısıyla fonksiyonumuz
için
azalandır.
5) Bu adımı ihmal edebiliriz.
6) Fonksiyonun değişim tablosu aşağıdadır.
Fonksiyonun grafiğini
için çizelim. Bu fonksiyon çift olduğundan y-eksenine
göre simetri alarak aşağıdaki grafiği elde ederiz.
y4
3
2
1
-3
-2
-1
1
2
3
x
Şekil 13.10
Atatürk Üniversitesi Açıköğretim Fakültesi
11
Bireysel Etkinlik
Grafik Çizimi
• nin farklı değerleri için
𝑐
fonksiyonunun grafiğinin nasıl değişeceğini
araştırınız?
13.8.
( )
fonksiyonunun grafi ̆ini çiziniz.
Çözüm:
1) Fonksiyonun tanım kümesi
{ } dir.
2) Tanım kümesinde ( )
olduğundan grafik x-eksenini kesmez. Aynı
zamanda
için ( ) tanımlı olmadığından grafik y-eksenini de kesmez.
( )
3)
oldŭundan
( )
ve
asimtotu bulmak için
doğrusu düşey asimtottur.
( )
oldu ̆undan yatay asimtot yoktur. Di ̆er
fonksiyonunu
ile bölelim. Bu durumda
( )
yazabiliriz. O halde
4)
( )
,
(
nin e ̆ik asimtotudur.
)
den
olarak
bulunur. Bu noktalardaki fonksiyon değerleri de ( )
5)
( )
olduğundan
için
bükeyliğinin yönü (
) da aşağı doğru ve
(
) da yukarı doğru olacaktır.
( )
için
(
)
dir.
olup, grafiğimizin
( )
olduğundan
6) Fonksiyonun değişim tablosu aşağıdaki gibidir.
Atatürk Üniversitesi Açıköğretim Fakültesi
12
Grafik Çizimi
y
4
3
2
1
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
x
-1
-2
-3
-4
Şekil 13.11
Şekil 13.11
Şekil 13.11
Atatürk Üniversitesi Açıköğretim Fakültesi
13
Özet
Grafik Çizimi
•Bir fonksiyonun grafiğini kolayca çizebilmek için bu fonksiyonun
asimtotlarını (eğer varsa), eksenleri kestiği noktaları, ekstramum
noktalarını ve büküm noktalarını (eğer varsa), artan veya azalan
olduğu aralıkları belirlemek kısaca değişimini inceleyip bunu bir tablo
ile göstermek önemlidir. Doğru ve eksiksiz bir değişim tablosu
oluşturmak, fonksiyonun grafiğini çizmede bize en büyük yardımcıdır.
Atatürk Üniversitesi Açıköğretim Fakültesi
14
Ödev
Grafik Çizimi
•
fonksiyonunun değişimini inceleyerek
grafiğini çiziniz.
• Hazırladığınız ödevi sistemde ilgili ünite başlığı
altında yer alan “ödev” bölümüne yükleyebilirsiniz.
Atatürk Üniversitesi Açıköğretim Fakültesi
15
Grafik Çizimi
DEĞERLENDİRME SORULARI
Değerlendirme
sorularını sistemde ilgili
ünite başlığı altında yer
alan “bölüm sonu testi”
bölümünde etkileşimli
olarak
cevaplayabilirsiniz.
1. Aşağıdaki fonksiyonlardan hangisinin grafiği orijine göre simetriktir?
a) ( )
) ( )
) ( )
) ( )
e) ( )
2. ( )
hangisidir?
fonksiyonunun eğik asimtotunun denklemi aşağıdakilerden
a)
b)
c)
d)
e)
3. Aşağıda grafiği verilen
a)
b)
c)
d)
e)
(
(
(
(
(
( ) fonksiyonu için şıklardan hangisi doğrudur?
) fonksiyonu artandır.
) fonksiyonu azalandır.
) fonksiyonu sadece (
) fonksiyonu sadece (
) fonksiyonu sadece (
) aralığında artandır.
) aralığında artandır.
) aralığında azalandır.
Atatürk Üniversitesi Açıköğretim Fakültesi
16
Grafik Çizimi
4. 3. soruda grafiği verilen
( ) fonksiyonunun yatay ve düşey asimtotlarının
denklemleri aşağıdakilerden hangisidir?
a) Bu fonksiyonun yatay ve düşey asimtotu yoktur.
b)
,
c)
,
d)
,
e)
,
5. 3. soruda grafiği verilen
( ) fonksiyonu için aşağıdakilerden hangisi
doğrudur?
a) ( ) fonksiyonu
noktasında maksimuma sahiptir.
b) ( ) fonksiyonu
noktasında minimuma sahiptir.
c) ( ) fonksiyonun maksimum ve minimum noktası yoktur.
d) ( ) fonksiyonu
noktasında minimuma sahiptir.
e) ( ) fonksiyonu
noktasında minimuma sahiptir.
Cevap Anahtarı
1.E, 2.D, 3.A, 4.E, 5.C
Atatürk Üniversitesi Açıköğretim Fakültesi
17
Grafik Çizimi
YARARLANILAN VE BAŞVURULABİLECEK DİĞER
KAYNAKLAR
Kadıoğlu, E. ve Kamali, M, (2009). Genel Matematik. Erzurum: Kültür Eğitim Vakfı
Yayınevi. ISBN: 978-975-8151-57-8.
Bayraktar, M., (2007). Analize Giriş I (Diferansiyel Hesap)ç. Ankara: Grafiker
Yayıncılık. ISBN: 978-975-6355-34-3.
Balcı, M., (1999). Matematik Analiz (1. Cilt). Ankara: Balcı Yayınları. ISBN: 9756683-02-03.
Steward, J., (2007). Kalkülüs Kavram ve Kapsam (2. Baskı). Ankara: TÜBA (çeviri).
ISBN 975–8593–94–3.
Haeussier, E. F., Paul, R. S. ve Wood, R., (2010). Temel Matematiksel Analiz. Çev.
Demir, S., Uzun, Ö., Balce, A. O. ve Çağlar, Ankara: A. Akademi Yay. Hiz. San.
ve Tic. Ltd. Şti. ISBN: 978-975-6885-21-5.
Chiang, A. C., (1986). Matematiksel İktisadın Temel Yöntemleri. Çev. Kip. E.,
Sarımeşeli, M. ve Aydoğuş, O., Ankara: Teori Yayınları.
Musayev, B., Alp, M., Mustafayev, N. ve Ekincioğlu İ., (2003). Analiz I. Ankara:
Tekağaç Eylül Yayıncılık. ISBN: 975-6806-31-1.
Atatürk Üniversitesi Açıköğretim Fakültesi
18
© Copyright 2024 Paperzz
