Sinyaller ve Sistemler örnek bir soru

Soru:
Şekilde verilen N = 4 ile periyodik x[n] sinyalini Fourier serisine açınız.
N −1
3
2π π
jkω n
j kπ n 2
= olmak üzere x[n] = ∑ ck e
= ∑ ck e
N
2
k =0
k =0
(N = 4 adet) terimi vardır. Katsayılar şöyle bulunur:
Çözüm: ω =
ck =
Fourier serisidir. Sadece periyot kadar
3
1 N −1
− jkω n 1
− j kπ n 2
⋅ ∑ x[n] e
= ⋅ ∑ x[n] e
N n=0
4 n=0
Ayrıca x[n] reel ise cN − k = ck* formülü ile bazı katsayılar daha kolay hesaplanabilir. Meselâ burada c3 = c1*
Ortalama değer: c0 =
3
1 N −1
x[0] + x[1] + x[2] + x[3] − 2 + 2 + 6 + 4
− j 0ω n 1
⋅ ∑ x[n] e1
=
⋅
x[n] =
=
= 2,5 = c0
∑
4
2
4
3
N n=0
4 n=0
4
4
1
−j
647
4
8
1 4
647
8
−1 4
647
8
j
647
48
− j1π ⋅ 0 2
− j1π ⋅1 2
− j1π ⋅ 2 2
− j1π ⋅ 3 2
3
1 N −1
x[0] e
+ x[1] e
+ x[2] e
+ x[3] e
− j1ω n 1
− j 1π n 2
c1 = ⋅ ∑ x[n] e
= ⋅ ∑ x[n] e
=
N n=0
4 n=0
4
c1 =
− 2 − j2 − 6 + j4
= −2 + j 0,5 = c1 → c1* = c3 = −2 − j 0,5
4
−1
647
4
8
1
647
48
c2 =
1
647
48
−1
647
48
− j 2π ⋅ 0 2
− j 2π ⋅1 2
− j 2π ⋅ 2 2
− j 2π ⋅ 3 2
3
1 N −1
x[0] e
+ x[1] e
+ x[2] e
+ x[3] e
− j 2ω n 1
− j 2π n 2
⋅ ∑ x[n] e
= ⋅ ∑ x[n] e
=
N n=0
4 n=0
4
c2 =
−2−2+6−4
= −0,5 = c2
4
Tüm katsayıları Fourier serisinde yerine yazalım:
≡ − jπ n 2
x[n] =
3
∑c e
k =0
k
j kπ n 2
= c0e
x[n] == 2,5 + (−2 + j 0,5) e
j 0π n 2
jπ n 2
+ c1e
− 0,5 e
j 1π n 2
jπ n
+ c2e
j 2π n 2
+ ( −2 − j 0,5) e
64748
+ c3e
j 3π n 2
− jπ n 2
Soru:
Şekilde verilen N = 4 ile periyodik x[n] sinyalini Fourier serisine açınız.
Çözüm: ω =
3
2π π
j kπ n 2
= olmak üzere x[n] = ∑ ck e
N
2
k =0
ck =
Ortalama değer: c0 =
1 3
− j kπ n 2
⋅ ∑ x[n] e
4 n=0
x[0] + x[1] + x[2] + x[3] 4 + 0 + 2 + 1
=
= 1,75 = c0
4
4
−j
647
4
8
1 4
647
8
c1 =
Fourier serisidir. Katsayılar şöyle bulunur:
1 3
x[0] e
− j1π n 2
⋅ ∑ x[n] e
=
4 n=0
− j1π ⋅ 0 2
+ x[1] e
− j1π ⋅1 2
−1 4
647
8
+ x[2] e
4
− j 1π ⋅ 2 2
−1
647
4
8
1
647
48
1 3
x[0] e
− j2π n 2
c2 = ⋅ ∑ x[n] e
=
4 n=0
c2 =
− j2π ⋅ 0 2
+ x[1] e
− j2π ⋅1 2
1
647
48
+ x[ 2] e
4
− j 2π ⋅ 2 2
4 − 0 + 2 −1
= 1,25 = c2
4
Tüm katsayıları Fourier serisinde yerine yazalım:
≡ − jπ n 2
3
∑c e
k =0
+ x[3] e
− j 1π ⋅ 3 2
4 − j 0 − 2 + j1
= 0,5 + j 0,25 = c1 → c1* = c3 = 0,5 − j 0,25
4
c1 =
x[n] =
j
647
48
k
j kπ n 2
= c0e
j 0π n 2
x[n] == 1,75 + (0,5 + j 0,25) e
+ c1e
jπ n 2
j 1π n 2
+ 1,25 e
jπ n
+ c2e
j 2π n 2
64748
+ c3e
+ (0,5 − j 0,25) e
j 3π n 2
− jπ n 2
−1
647
48
+ x[3] e
− j2π ⋅ 3 2
Soru:
x[0] = 2 , x[1] = 0 , x[2] = 4 , x[3] = 0 olan ve N = 4 ile periyodik x[n] sinyalini Fourier serisine açınız.
Çözüm: ω =
3
2π π
j kπ n 2
= olmak üzere x[n] = ∑ ck e
N
2
k =0
Fourier serisidir. Katsayılar şöyle bulunur:
1 3
− j kπ n 2
ck = ⋅ ∑ x[n] e
4 n=0
Ortalama değer: c0 =
x[0] + x[1] + x[2] + x[3] 2 + 0 + 4 + 0
=
= 1,5 = c0
4
4
−1
647
48
1
647
48
1 3
2 ⋅e
− j1π n 2
c1 = ⋅ ∑ x[n] e
=
4 n=0
− j 1π ⋅ 0 2
+ 4 ⋅e
4
− j 1π ⋅ 2 2
=
2−4
= −0,5 = c1
4
→ c1* = c3 = −0,5
1
647
48
c2 =
1 3
2e
− j2π n 2
⋅ ∑ x[n] e
=
4 n=0
− j2π ⋅ 0 2
1
647
48
+ 4e
4
− j2π ⋅ 2 2
=
2+4
= 1,5
4
Tüm katsayıları Fourier serisinde yerine yazalım:
≡ − jπ n 2
x[n] =
3
∑c e
k =0
j kπ n 2
k
x[n] == 1,5 − 0,5 e
= c0e
jπ n 2
j 0π n 2
+ 1,5 e
jπ n
+ c1e
j 1π n 2
− 0,5 e
+ c2e
− jπ n 2
j 2π n 2
64748
+ c3e
j 3π n 2

Download Report