Problem: Hava sıcaklığı 50 Co iken aşağıdaki çelik kafes sistem imal edilmiştir. Daha sonra hava sıcaklığı 5 Co ye düştüğünde A noktasının düşey yerdeğiştirmesi ne olur? Çubuk enkesit alanları eşittir. α=12µ/ Co ve E= 200 GPa Not: Sistemde deplasmanların çok küçük olduğu ve “Küçük deplasman teorisi” nin geçerli olduğu varsayılmaktadır. A 55 mm 60 mm 4m Çubuk enkesiti B C 3m D 3m ‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐ Çözüm: Problemde bilinmeyen çubuk iç kuvvetlerini hesaplamadan A noktasının deplasmanını hesaplamak mümkün değildir. Çubuk iç kuvvetlerini hesaplamak için denge denklemlerinin yeterli olmadığı bu nedenle de uygunluk denklemi yazmak gerektiği açıktır. Uygunluk denklemi yazabilmek için sistemin deplasman sonrası alacağı şekil belirlenmelidir. Aşağıda A noktasının A’ noktasına deplasmanı gösterilmiştir. Sıcaklık değişimi ΔT=(5‐50) Co = ‒45 Co dir ve çubukların kısalma deformasyonuna maruz kalacakları görülmektedir. Ancak, sistemdeki deformasyonların uzama olduğu varsayımı ve simetriyi de dikkate alarak aşağıdaki şekil çizilmiş ve uygunluk denklemi buna göre yazılmıştır. Ayrıca, serbest cisim diyagramında çubuk kuvvetleri çekme varsayılmış ve denge denklemleri buna göre yazılmıştır. A' AB E AC  |EA| çok küçüktür, bu yüzden EA BA' varsayılabilir Böylece, uygunluk denklemi: A  5m AC=|AA'| AB=|EA'| AB = AC.cos  Serbest Cisim Diyagramı 4m 5m A   B C 3m 3m D FAB FAC FAD Küçük deplasman teorisi’ne göre, A noktasındaki θ açısı ile A’ noktasındaki aynıdır. Şekilde kırmızı çizgilerle B noktası merkez alınarak A ve A’ noktalarından geçen yaylar çizilmiştir. Aynı işlem D noktası merkez alınarak da yapılmalıdır. Yatay kuvvet denge denklemi: FAB sinθ ‒ FAD sinθ = 0 ve buradan FAB = FAD olur. Düşey kuvvet denge denklemi: 2FAB cosθ + FAc = 0 ve buradan FAC = ‒1.6 FAB olur. (cosθ =4/5=0.8) Çubuk enkesit alanı=π(302‐27.52) = 451.6 mm2 ve EA = 200·103 MPa · 451.6 mm2 = 90.32·106 N olur. δAB ve δAC deplasmanlarının iki farklı kaynağı vardır. Birincisi sıcaklık değişimi diğeri ise çubuk iç kuvvetleridir. Böylece bu deplasmanlar aşağıdaki gibi ayrıştırılabilirler. δAB= (δAB)T+(δAB)F (δAB)T=α · ΔT · LAB (δAB)F= FAB · LAB /EA δAC= (δAC)T+(δAC)F (δAC)T=α · ΔT · LAC (δAC)F= FAC · LAC /EA ΔT= ‒45 Co , α=12µ/ Co olduğunu hatırlayalım. (δAB)T = α · ΔT · LAB = 12·10‐6 · (‒45) · 5000 mm = ‒3.375 mm (δAB)F= FAB · LAB /EA = 5000 FAB / EA δAB = ‒3.375 + 5000 FAB / EA (δAC)T = α · ΔT · LAC = 12·10‐6 · (‒45) · 4000 mm = ‒2.16 mm (δAC)F= FAC · LAC /EA = (‒1.6FAB) · 4000 mm / EA = ‒ 6400 FAB / EA δAC = ‒2.16 ‒ 6400 FAB / EA Şekilden uygunluk denklemi: δAB = δAC cosθ yani δAB = 0.8 δAC = ‒1.728‒5120 FAB / EA Denklemde yerine koyarsak: 10120 FAB = 1.647 EA FAB = 14.7·103 N = 14.7 kN FAC = ‒1.6FAB = ‒1.6·14.7 = ‒ 23.52 kN Anlaşılıyor ki, FAB çekme, FAC ise basınç kuvvetidir. Başlangıçta bu kuvvetler çekme kabul edilmişlerdi. A noktasının düşey deplasmanı δAC ye eşit olacaktır. (δAC)F= ‒ 6400 FAB / EA = ‒ 6400·14.7·103/(90.32·106) = ‒ 1.042 mm δAC = ‒2.16 ‒ 1.042 = ‒ 3.202 mm Soruda istenmese de δAB yi hesaplarsak: δAB= 0.8(‒ 3.202) = ‒2.561 mm (δAB)F = 0.814 mm ve (δAB)T = ‒3.375 mm Çözüme başlarken uzama olarak kabul ettiğimiz δAB ve δAC nin gerçekte kısalma oldukları anlaşılmaktadır. Başlangıçta hangi kabulü yaparsak yapalım, denge denklemleri bu kabule göre yazıldıktan sonra doğru sonuca ulaşılacaktır. Sonuçlardan, AB çubuğunun ‒3.375 mm kısalmak istediği ancak sistemin buna izin vermediği, sadece ‒2.561 mm kısalabildiği görülmektedir. AB çubuğunu yeni boyu |A’B|: 5000‐2.561=4997.439 mm olacaktır. AC çubuğunun yeni boyu ise |A’C|: 4000‐3.202=3996.798 mm olacaktır. A’BC dik üçgeninden sistem geometrisini kontrol edelim: 3996.7982 + 30002 = 4997.4387 ≈ 4997.439  AC=|AA'| AB=|EA'| A  5m E  AC A'  4m 5m B D C 3m 3m