Sunu 5 - LEYLA DEMIR

11/12/2014
2k Deney tasarımı

ENM 503 – İstatistiksel Deney Tasarımı

2 seviyeye sahip k tane faktör
Toplam deneme sayısı: 2 x 2 x ……x 2 = 2k
k
2k Deney Tasarımı


Genellikle faktör sayısının çok fazla olduğu deneylerde
hangi faktörlerin önemli olduğunu anlamak için
kullanılırlar.
Model
Yij…kn = A+B+…+K +AB+…+AK+…+ABC….
Faktör etkileri
12.11.2014
12.11.2014
Yüksek
Düşük
B Faktörü
Düşük
A Faktörü

Tekrarlar
y- -1, y- -2,
y- -3 … y- -n
y- +1, y- +2,
y- +3… y- +n
Yüksek

İki faktör (A ve B)
Faktör seviyeleri
 Yüksek (+)
 Düşük (-)
22=4 farklı deneme
kombinasyonu bulunur
2
ENM 503 - Dr. Leyla Demir
22 Deney tasarımı
22 Deney tasarımı

Bileşik etkiler
y+-1, y+-2,
y+-3… y+-n
y++1, y++2,
y++3… y++n
ENM 503 - Dr. Leyla Demir
A
B
+
+
+
+
1 2 3……….n
y- -1, y- -2, y- -3… y- -n
y+-1, y+-2, y+-3… y+-n
y- +1, y- +2, y- +3… y-+n
y++1, y++2, y++3… y++n
Toplam
Harf
Gösterimi
y- -.
y+-.
y-+.
y++.
(1)
a
b
ab
Harf gösteriminde denemede yüksek seviyeye sahip olan faktör küçük
harf ile gösterilir. Örneğin yukarıdaki tabloda harf gösterimi «a» A
faktörünün yüksek B faktörünün düşük seviyede olduğu deneme
kombinasyonunu ifade eder. Eğer bir denemede tüm faktörler düşük
seviyede ise bu kombinasyon için (1) simgesi kullanılır.
3
12.11.2014
ENM 503 - Dr. Leyla Demir
4
1
11/12/2014
22 Deney tasarımı grafik gösterim
22 Deney tasarımı
Her bir harf aynı zamanda bu denemede yer alan
gözlemlerin toplamını da temsil etmektedir.
b=33
ab=51
+
5, 8, 8 11,10, 12
4, 6, 5
15,
20,16
12.11.2014
(1)=5+8+8=21
B Faktörü
A Faktörü
Yüksek
Düşük
B Faktörü
Düşük Yüksek
a=4+6+5=15
_
(1)=21
b=11+10+12=33
ab=15+20+16=51
5
ENM 503 - Dr. Leyla Demir
Faktör etkileri
A Faktörü
B faktörünün etkisi:
ENM 503 - Dr. Leyla Demir
+
b (1) 
Adusuk iken: 
1
n n 
  B   ab  a  b  (1) 
ab a 
2n
A yuksek iken: 
n n 
12.11.2014
12.11.2014

A faktörünün etkisi:
a (1) 
Bdusuk iken: 
1

n n 
 ab  b  a  (1)
 A
ab b 
2n
Byuksek iken: 
n n

_

A Faktörü
+
6
ENM 503 - Dr. Leyla Demir
Etkileşim
_ B Faktörü
+

a=15
_
(1)
n
b
n
a
n
ab
n
B’nin bir seviyesine karşılık A’nın seviyesinin değiştirilmesi sonucu
oluşan etkilerin ortalaması birleşik etki olarak tanımlanır
A B
- + (b)
A B
+ + (ab)
+ - (a)
-
AB 
7
12.11.2014
- (1)
1
 ab  b
n
1
(1)  a 
n
1
 ab  b  (1)  a
2n
ENM 503 - Dr. Leyla Demir
8
2
11/12/2014
Faktör etkileri
Faktör etkileşimleri
 Bir faktörün etkisi tespit edilirken o faktörün yüksek
 Faktör etkileşimi belirlenirken her iki faktörün yüksek ve
B  yB   yB  
b
ab  a b  (1) 1

  ab  a  b  (1)
2n
2n
2n
ab
B Faktörü
A  y A  y A 
ab  b a  (1) 1


 ab  b  a  (1)
2n
2n
2n
a
(1)
_
A Faktörü
12.11.2014
AB 
ab  (1) a  b

2n
2n
AB 
1
 ab  (1)  b  a 
2n
_
Kareler toplamı
12.11.2014
2
SS A
ab  b  a  (1)2
CAB  ab  (1)  b  a
SS AB 
ENM 503 - Dr. Leyla Demir
n
i 1 j 1 k 1
4n
SS B 
2
2
SST   yijk

 ab  a  b  (1)2

CB  ab  b  a  (1)
12.11.2014
ENM 503 - Dr. Leyla Demir
a
A Faktörü
+
10
Kareler toplamı
Kontrastlar
CA  ab  a  b  (1)
(1)
+
9
ENM 503 - Dr. Leyla Demir
düşük olduğu gözlemlerin ortalamasından bir faktörün
yüksek diğerinin düşük olduğu gözlemlerin ortalaması
b
ab
çıkarılır.
B Faktörü
seviyesine karşı gelen gözlemlerin ortalamasından düşük
seviyesine karşı gelen gözlemlerin ortalaması çıkarılır.
y...2
4n
SSE=SST - SSA - SSB - SSAB
4n
 ab  (1)  a  b2
4n
11
12.11.2014
ENM 503 - Dr. Leyla Demir
12
3
11/12/2014
Serbestlik derecesi
Etki
Anova tablosu
Değişimin
SS
Kaynağı
A
SSA
SSB
B
Serbestlik Derecesi
A
B
AB etkileşimi
a-1
1
b-1
1
(a-1)(b-1)
1
Hata
ab(n-1)
4(n-1)
Toplam
abn-1
4n-1
12.11.2014
13
ENM 503 - Dr. Leyla Demir
Örnek

Bir kimyasal süreçte bileşen ve katalizörün çıktı
üzerindeki etkisi incelenmektedir. Bileşen miktarı (A)
için %15 ve %25 olmak üzere iki seviye belirlenmiştir.
Katalizör (B) olarak 2 torba veya 1 torba kullanılacaktır.
Her bir deneme için 3 tekrar yapılmış ve aşağıdaki
sonuçlar elde edilmiştir.
Tekrarlar
Bileşen ve
Katalizör
I
II
III
28
25
27
80
A(+) B(-)
36
32
32
100
A(-) B(+)
18
19
23
60
A(+) B(+)
31
30
29
90
ENM 503 - Dr. Leyla Demir
AB
Hata
SSAB
SSE
1
4(n-1)
Toplam
SST
4n-1
12.11.2014
MS
F
MSA
MSB
MSA / MSE
MSB / MSE
MSAB
MSAB / MSE
SSE/4(n-1)
14
ENM 503 - Dr. Leyla Demir
Örnek: Kontrastların hesaplanması
Deneme
Toplam
1
80
a
100
b
60
ab
90
SS A 
SS B 
Toplam
A(-)B(-)
12.11.2014
Serbestlik
derecesi
1
1
A=1/2(3)[90+100-60-80]=8.33
B=1/2(3)[90+60-100-80]=-5
C A2
4n

C B2
SS AB 
4n
(50)2
 208.33
4(3)

2
C AB
4n
(30) 2
 75
4(3)

(10) 2
 8.33
4(3)
AB=1/2(3)[90+80-100-60]=-1.67
15
12.11.2014
ENM 503 - Dr. Leyla Demir
16
4
11/12/2014
23 Deney Tasarımı
Örnek: Anova tablosu

Değişimin
Kaynağı
Bilesen
Katalizor
Bilesen *
Katalizor
Hata
Toplam
Kareler Serbestlik
Anlamlılık
Toplamı Derecesi Ortalama
F
Seviyesi (P)
208,333
1 208,333 53,191 ,000
75,000
1
75,000 19,149 ,002
8,333
1
8,333 2,128 ,183
31,333
323,000
8
11
3,917

Üç faktör (A, B, C)
Model
 3
 3
1
 3
 3
 2
Faktör esas etkisi
İkili birleşik etki
 3
  1
 3
Üçlü birleşik etki
yijlk  A  B  C  AB  AC  BC  ABC
12.11.2014
17
ENM 503 - Dr. Leyla Demir
B
+
+
+
+
C
+
+
+
+
bc
Harf
(1)
a
b
ab
c
ac
bc
abc
+
ac
_
19
ab
b
C
a
_
ENM 503 - Dr. Leyla Demir
abc
c
(1)
12.11.2014
18
ENM 503 - Dr. Leyla Demir
23 Deney Tasarımı
23 Deney Tasarımı
A
+
+
+
+
12.11.2014
12.11.2014
A
_
+
B
+
ENM 503 - Dr. Leyla Demir
20
5
11/12/2014
Faktör etkileri
Faktör etkileri
1
A   a  ab  ac  abc  (1)  b  c  bc 
4n
B
1
b  ab  bc  abc  (1)  a  c  ac 
4n
C
1
c  ac  bc  abc  (1)  a  b  ab
4n
Denemeler
(1)
a
b
ab
c
ac
bc
abc
1
(1)  a  b  ab  c  ac  bc  abc 
4n
1
AC 
(1)  a  b  ab  c  ac  bc  abc 
4n
1
BC 
(1)  a  b  ab  c  ac  bc  abc 
4n
1
ABC 
 (1)  a  b  ab  c  ac  bc  abc 
4n
AB 
12.11.2014
21
ENM 503 - Dr. Leyla Demir
Çalışma basıncı (B)
Karbonasyon % (A)
12
12.11.2014
B AB C AC BC ABC
- + - +
+
+
+
+ - +
+
+ + - + + +
- + +
+ - + +
+ + + +
+
+
12.11.2014
ENM 503 - Dr. Leyla Demir
22
Örnek: Etkilerin hesaplanması
Bir meşrubat fabrikası şişe dolum seviyeleri üzerine etki eden faktörleri
belirlemek istemektedir. Dolum sürecinde üç faktör kontrol edilebilmektedir:
Karbondioksit yüzdesi (A), basınç (B) hat hızı (C). Karbon yüzdesi için %10 ve
%12 olmak üzere iki seviye belirlenmiş. Basınç için 25 ve 30 psi seçilmiş. Hat hızı
için 200 ve 250 şişe/dk tespit edilmiştir. Her bir deneme için iki tekrar yapılmış
ve sanuçlar aşağıdaki tabloda verilmiştir.
10
A
+
+
+
+
Standart Biçim
Örnek

I
+
+
+
+
+
+
+
+
25 psi
30 psi
Hat hızı (C)
Hat Hızı (C)
200
250
200
250
-3
-1
-1
1
-1
0
0
1
-4 =(1)
-1= c
-1=b
2=bc
0
2
2
6
1
1
3
5
1=a
3=ac
5=ab
11=abc
ENM 503 - Dr. Leyla Demir
CA  1  5  3  11  (4)  (1)  (1)  2  24.00
A
1
1  5  3  11  (4)  (1)  (1)  2  3.00
4(2)
SS A 
23
12.11.2014
CA2 (24)2

 36.00
8(2)
16
ENM 503 - Dr. Leyla Demir
24
6
11/12/2014
Örnek: Anova tablosu
Değişimin
SS
Kaynağı
A
SSA
SSB
B
SSC
C
SSAB
AB
SSAC
AC
SSBC
BC
SSABC
ABC
SSE
Hata
SST
Toplam
12.11.2014

Serbestlik
derecesi
1
1
1
1
1
1
1
8(n-1)
8n-1
MS
MSA
MSB
MSC
MSAB
MSAC
MSBC
MSABC
SSE/4(n-1)
ENM 503 - Dr. Leyla Demir
F
MSA / MSE
MSB / MSE
MSC / MSE
MSAB / MSE
MSAC / MSE
MSBC / MSE
MSABC / MSE
2k Deney Tasarımı İçin
Bloklama
25
2k Deney Tasarımı
İki Bloklu 2k Deney Tasarımı
Deneyler bir blok olarak yapılamadığı durumlarda 2 veya
daha çok bloklar halinde yapılabilir



İki faktörlü bir deneyde toplam 22 =4 farklı deneme
Varsayalım ki bir günde sadece iki farklı kombinasyon
yapılabilmekte ve farklı günlerde yapılan deneylerin
sonuçlara etki ettiği düşünülmekte.
Bu durumda denemeler iki güne paylaştırılmalıdır.
+
1. gün
2. gün
1. Blok
B
(1)
ab
2. Blok
a
b
-
A
+
7
11/12/2014
İki Bloklu 22 Deney Tasarımı

A ve B faktörlerinin etkisini tespit etmek için
A

İki Bloklu 22 Deney Tasarımı
1
 ab  a  b  (1)
2
B
Fakat aynı şey AB etkileşimi için geçerli değildir

1
 ab  b  a  (1)
2
Aşağıdaki bloklamada A ve B faktörlerinin etkileri
bloklamadan etkilenmemektedir. Çünkü her blokta bir
(+) ve bir (-) işaretli deneme yer almaktadır.
1. gün
2. gün
(1)
a
ab
b
AB 
(+) katsayılı denemeler bir blokta (-) katsayılı denemeler
diğer blokta yer almaktadır.
AB etkileşimi ile günlerin etkisi birbirine karışmış
durumdadır


1. gün



2. gün
(1)
a
ab
b
İki bloklu 23 Deney Tasarımı
İki Bloklu 22 Deney Tasarımı

1
 ab  (1)  b  a 
2
Eğer (1) ve a denemeleri bir bloğa b ve ab diğer bloğa
yerleştirilir ise B faktörü ile blok etkisi birbirine karışır.
Aşağıdaki tablo kullanılarak karışan faktör etkisi
belirlenebilir
Uygulamada genellikle yüksek seviyeli etkileşimlerin
blok etkisi ile karıştırılır
I
A
B
AB
(1)
+
-
-
+
a
+
+
-
-
b
+
-
+
-
ab
+
+
+
+
ABC etkileşimini blok etkisi ile karıştırmak için
ABC sütununda (-) işaretli denemeler bir blokta (+)
işaretli denemeler diğer blokta toplanmalıdır
I
A
B
AB
C
AC
BC
AB
C
(1)
+
-
-
+
-
+
+
-
a
+
+
-
-
-
-
+
+
b
+
-
+
-
-
+
-
+
ab
+
+
+
+
-
-
-
-
c
+
-
-
+
+
-
-
+
ac
+
+
-
-
+
+
-
-
bc
+
-
+
-
+
-
+
-
abc
+
+
+
+
+
+
+
+
1. gün
2. gün
(1)
ab
ac
bc
a
b
c
abc
8
11/12/2014
Blok oluşturma yöntemi





Defining Contrast: L=α1 x1+α2 x2+…+αk xk
xi : denemedeki i faktörün seviyesi (1 yüksek; 0
düşük)
αi=0 veya 1 (blokla karışması istenen etkideki
faktörlerin katsayısı)
Aynı L seviyesine sahip denemeler aynı bloğa
atanır
L’nin seviyesi belirlenirken Mod 2 işlemi
kullanılır
Blok oluşturma yöntemi


(1) nolu denemeyi içeren blok asal blok olarak
isimlendirilir.
Diğer gruplar Mod 2 işlemine göre oluşturulur.
Blok oluşturma yöntemi
Örneğin ABC etkisinin blok ile karışması istenir ise
α1 =α2 =α3 =1
 L = x1 + x2 + x3
(1) : L=0+0+0 = 0 (mod 2) 0
1. gün 2. gün
a : L=1 + 0 + 0 =1 (mod 2) 1
(1)
a
b : L=0+1+0=1 (mod 2) 1
ab
b
ab : L=1+1+0=2 (mod 2) 0
ac
c
bc
abc
c : L=0+0+1=1 (mod 2) 1
ac : L=1+0+1=2 (mod 2) 0
bc : L=0+1+1=2 (mod 2) 0
abc : L=1+1+1=3 (mod 2) 1


Örnek

Bir kimyasal süreçte filtreleme sürecine etki eden
faktörler belirlenmek istemektedir. Dört faktör
tespit edilmiştir. Bunlar sıcaklık (A), basınç (B),
konsantrasyon (C), karıştırma hızı (D). Her bir
faktör için iki seviye belirlenmiş ve tablodaki
değerler bulunmuştur.
9
11/12/2014
FAKTÖRLE
R
Denem
e
Filtreleme
oranı
(gal/saat)
Örnek
Deneme no
A B C D
1
-
-
-
-
(1)
45
2
+ -
-
-
a
71

3
-
+ -
-
b
48

4
+ + -
-
ab
65
5
-
-
+ -
c
68
6
+ -
+ -
ac
60
7
-
+ + -
bc
80
8
+ + + -
abc
65
9
-
-
-
+
d
43
10
+ -
-
+
ad
100
11
-
+ -
+
bd
45
12
+ + -
+
abd
104
13
-
-
+ +
cd
75
14
+ -
+ +
acd
86
15
-
+ + +
bcd
70
16
+ + + +
abcd
96

Örnekteki problem iki blok halinde yapıldığını varsayalım
ABCD etkileşiminin blokla karışması istenir ise
L=x1+x2+x3+x4 (mod 2) için aşağıdaki iki blok oluşur.
(1)=45
ab=65
ac=60
bc=80
ad=100
bd=45
cd=75
abcd=96
a=71
b=48
c=68
d=43
abc=65
bcd=70
acd=86
abd=104
Örnek
Source
Sum of Squares
A
1870,562
B
39,062
C
390,063
D
855,563
Blok
7,562
A*B
0,062
A*C
1314,062
A*D
1105,562
B*C
22,562
B*D
0,562
C*D
5,062
Error
120,250
(üçlü etkileşimler)
Total 5730,937
df
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
4
Mean Square
1870,562
39,062
390,063
855,563
7,562
,062
1314,062
1105,562
22,562
,562
5,062
30,062
F
Sig.
62,222
1,299
12,975
28,459
0,252
0,002
43,711
36,775
0,751
0,019
0,168
0,001
0,318
0,023
0,006
0,642
0,966
0,003
0,004
0,435
0,898
0,703
15
10

Download Report