10/23/2014 Faktöryel deney tasarımı IENG 461 – Deneysel Tasarım Faktöryel Deney Tasarımı İki veya daha fazla faktörün bulunduğu deneylerdir Tüm kombinasyonlar için deney yapılır Dr. Leyla Demir 23.10.2014 Faktöryel deney tasarımı Faktör etkisi Faktör etkisi (main effect): Faktör seviyesine bağlı olarak çıktıda meydana gelen değişim miktarıdır Etkileşim (interaction): İki veya daha fazla faktörün birlikte çıktı üzerinde yaptığı değişim miktarı B faktörü A faktörü A= B= A1 20 30 50 A2 40 52 30 40+52 30+52 2 IENG 461-Deneysel Tasarım 3 23.10.2014 Çıktı B1 B2 2 23.10.2014 2 IENG 461-Deneysel Tasarım - 20+30 B1 40 20 =21 2 40+20 B2 A1 A2 =11 2 IENG 461-Deneysel Tasarım 4 1 10/23/2014 Etkileşim Etkileşim Eğer iki faktörün çıktı üzerindeki etkisi tüm seviyeler için farklılık gösteriyor ise bu durumda faktörler arasında bir etkileşim vardır denir Eğer etkileşim söz konusu ise faktör etkileri gizlenebilmektedir. B faktörü A faktörü B1 B2 A1 20 40 A2 50 12 A= Çıktı 2 B= B1 50 23.10.2014 30 20 B2 A1 A2 5 IENG 461-Deneysel Tasarım İki faktörlü deney tasarımı B1 B2 y111, y112,…,y11n y121, y122,…,y12n A2 y211, y212,…,y21n y221, y222,…,y22n Aa ya11, ya12,…,ya1n ya21, ya22,…,ya2n - 20+40 =1 2 20+50 =-9 2 Yukarıdaki örnekte A faktörünün etkili olmadığı görülmektedir. Fakat gerçekte A, B’nin farklı seviyeleri için etkilidir. Etkileşimin olması durumunda bir faktör seviyesi sabit tutularak diğer faktör seviyesinin etkisi incelenmelidir. 23.10.2014 6 IENG 461-Deneysel Tasarım Doğrusal model a: A faktörünün seviye sayısı b: B faktörünün seviye sayısı (axb): Toplam deneme sayısı n: Her bir denemedeki tekrar sayısı N: Toplam deney sayısı (N=abn) Faktörler A1 40+12 2 40 B faktörü B1 seviyesinde iken A faktörünün çıktı üzerindeki etkisi A=50-20=30 B faktörü B2 seviyesinde iken A faktörünün çıktı üzerindeki etkisi A=12-40=-28 50+12 Faktörlere ve etkileşime bağlı olarak her hangi bir deneyde elde edilen gözlem değeri aşağıdaki gibi modelleyebiliriz i=1,2,…,a yijk=+i+ j+()ij+ijk … Bb … … y1b1, y1b2,…,y1bn … yab1, yab2,…,yabn y2b1, y2b2,…,y2bn j=1,2,…,b k=1,2,…,n yijk: gözlem değeri : Genel ortalama i: Satır faktörünün etkisi j: Sütun faktörünün etkisi 23.10.2014 IENG 461-Deneysel Tasarım ()ij: İki faktör arasındaki etkileşim ijk: Rassal hata 7 23.10.2014 IENG 461-Deneysel Tasarım 8 2 10/23/2014 Sabit etki modeli Sabit etki modeli Her iki faktörün seviyeleri sabit olduğu varsayıldığında hipotez testleri aşağıdaki gibi yazılır. Etkiler genel ortalamadan sapmalar olarak tanımlandığından H0: 1=2=…=a=0 H1: En az bir i0 a i 1 H0: 1= 2=…= b=0 H1: En az bir j0 i b 0 j 1 j 0 a b ( ) i 1 j 1 ij 0 H0: ( )ij=0 H1: En az bir ( )ij0 23.10.2014 IENG 461-Deneysel Tasarım 9 23.10.2014 Sabit etki modeli (Notasyon) Sabit etki modeli Toplam değişkenlik dört parçaya ayrılır: A faktöründen kaynaklanan değişkenlik B faktöründen kaynaklanan değişkenlik A ve B etkileşimi sonucunda oluşan değişkenlik Rassal hata Bu değişkenlikler kareli toplamlar olarak ifade edilir: SST=SSA+SSB+SSAB+SSE SST : Toplam değişkenlik SSA : Satır faktöründen kaynaklanan değişkenlik SSB : Sütun faktöründen kaynaklanan değişkenlik SSAB : Etkileşimden kaynaklanan değişkenlik SSE : Rassal hatadan dolayı kaynaklanan değişkenlik yi .. y. j . yij . y... satır, sütun, hücre ve genel ortalamalar b n yi.. yijk j 1 k 1 a n IENG 461-Deneysel Tasarım yij . yijk yij. k 1 a b n y... yijk 23.10.2014 yi.. bn y. j. y. j. i 1 k 1 n 11 yi.. y. j . yijk i 1 j 1 k 1 23.10.2014 10 IENG 461-Deneysel Tasarım y... IENG 461-Deneysel Tasarım an yij. n i=1,2,…,a j=1,2,…,b i=1,2,…,a j=1,2,…,b y... abn 12 3 10/23/2014 Sabit etki modeli a b n a ( y i 1 j 1 k 1 ijk b Sabit etki modeli a SSTA bn ( yi.. y... )2 n y... )2 [( yi.. y... ) ( y. j. y... ) ( yij. yi.. y. j. y... ) ( yijk yij. )]2 i 1 i 1 j 1 k 1 b SSTB an ( y. j . y... )2 Yukarıdaki ifadenin karesi alındığında 6 çapraz çarpımların toplamı sıfırdır. Buradan j 1 a a b n a i 1 j 1 k 1 i 1 a i 1 j 1 j 1 b a b n a n ( yij . yi.. y. j . y... ) 2 ( yijk yij . ) 2 i 1 j 1 23.10.2014 13 23.10.2014 23-Eki-14 23.10.2014 IENG 461-Deneysel Tasarım 14 Ortalama kareler Hata Toplam n i 1 j 1 k 1 Serbestlik dereceleri Etki A B AB etkileşimi b SS E ( yijk yij . )2 i 1 j 1 k 1 IENG 461-Deneysel Tasarım b SSTAB n ( yij. yi.. y. j. y... )2 b ( yijk y... )2 bn ( yi.. y... )2 an ( y. j. y... )2 Serbestlik Derecesi a-1 b-1 (a-1)(b-1) ab(n-1) abn-1 IENG 461-Deneysel Tasarım 15 Serbestlik derecesine bölünerek ortalama kareler bulunur MSA=SSA/(a-1) MSB=SSB/(b-1) MSAB=SSAB/[(a-1)(b-1)] MSE=SSE/ab(n-1) 2 Ho hipotezi doğru ise tüm ortalamalar 2 için iyi bir tahmindir Aksi takdirde bir faktörün ve/veya etkileşimin mevcut olması durumunda karşı gelen ortalama değişkenlik daha büyük olacaktır 23.10.2014 IENG 461-Deneysel Tasarım 16 4 10/23/2014 Anova tablosu F Testi f =MSA / MSE Serbestlik dereceleri v1=(a-1) v2=ab(n-1) f =MSB / MSE v1=(b-1) v2=ab(n-1) f = MSAB/ MSE v1=(a-1)(b-1) v2=ab(n-1) Kareler Toplamı (SS) Değişimin Kaynağı Satır (A) Karar kuralı: Eğer f > f,v1,v2 ise Ho reddedilir diğer durumda Sütun (B) SSTA SSTA Etkileşim Hata SSTAB SSE Toplam SST Serbestlik derecesi Ortalama Kare (MS) F (a-1) (b-1) SSTA/(a-1) SSTB/(b-1) MSTA / MSE MSTB / MSE (a-1)(b-1) SSTAB/(a-1) (b-1) MSTAB / MSE ab(n-1) SSE/ab(n-1) abn-1 Ho rededilemez. 23.10.2014 17 IENG 461-Deneysel Tasarım 23.10.2014 Örnek Hesaplama formülleri a b n SST y i 1 j 1 k 1 a SS A i 1 yi2.. y2 ... bn abn a b SSalttoplam i 1 j 1 2 ij . y n 2 ijk y2 ... abn b y.2j . j 1 an SS B 2 ... y abn y...2 abn Bir pil imalatçısı, pil ömürleri üzerinde üretiminde kullanılan metal tiplerinin ve ortam sıcaklığının etkisini araştırmak istemektedir. Bu amaçla üç farklı metal tipi ve üç farklı sıcaklık değeri (15, 70, 125 °F) tespit edilmiş ve her bir kombinasyon için 4 deney yapılmıştır. Aşağıdaki tabloda deneylerin sonuçları yer almaktadır. Sıcaklık (°F) Metal tipi 1 SS AB SSalttoplam SS A SSB 2 SS E SST SS A SS B SS AB SST SSalttoplam 23.10.2014 IENG 461-Deneysel Tasarım 18 IENG 461-Deneysel Tasarım 3 19 23.10.2014 15 70 125 130 155 34 40 20 70 74 180 80 75 82 58 150 188 126 122 25 70 159 126 106 115 58 45 138 110 174 120 96 104 168 160 150 139 82 60 IENG 461-Deneysel Tasarım 20 5 10/23/2014 Örnek Örnek: Kareler toplamı a Metal tipi 1 2 3 15 130 34 125 40 20 yi.. 70 74 539 180 80 229 75 82 230 58 150 126 25 188 122 70 159 623 126 106 479 115 58 198 45 138 174 96 110 120 104 168 576 160 150 583 139 82 342 60 1738 1291 770 y.j. 998 a SS Metal 1300 i 1 1501 21 (539)2 ... (342)2 (3789) 2 59416.22 4 36 SS AB 59416.22 10683.72 39118.72=9613.78 SSE 77134.75 59416.22 18230.75 23.10.2014 IENG 461-Deneysel Tasarım (998) 2 (1300) 2 (1501) 2 (3799) 2 10683.72 (3)(4) 36 b y.2j . j 1 an y...2 abn (1738) 2 (1291) 2 (770) 2 (3799) 2 39118.72 (3)(4) 36 23.10.2014 22 IENG 461-Deneysel Tasarım Örnek: Anova tablosu Örnek: Kareler toplamı SSalttoplam (3799) 2 77646.97 36 yi2.. y2 b n ... bn abn j 1 k 1 SS sicaklik 3799 IENG 461-Deneysel Tasarım y...2 abn (130) 2 (155) 2 ... (60) 2 Hücre toplamları 23-Eki-14 23.10.2014 n i 1 j 1 k 1 70 155 b 2 SST yijk Sıcaklık (°F) 23 Değişimin Kaynağı SS Serbestlik derecesi MS F Sig. Metal 10683.72 2 5341.86 7.91 0.0020 Sıcaklık Metal * Sıcaklık 39118.72 2 19559.36 28.97 0.0001 9613.78 4 2403.44 3.56 0.0186 Hata 18230.75 27 675.21 Toplam 77646.97 35 23.10.2014 IENG 461-Deneysel Tasarım 24 6 10/23/2014 Örnek Faktör etkisi Bir kimyasal süreçte sıcaklık ve basıncın etkisi incelenmektedir. Her bir faktör için üç seviye belirlenmiş ve aşağıdaki değerler elde edilmiştir. %95 güven seviyesi ile sıcaklık ve basıncın çıktı üzerinde etkisi var mıdır? Basınç Sıcaklık Düşük Orta Yüksek 23.10.2014 IENG 461-Deneysel Tasarım 25 IENG 461-Deneysel Tasarım 27 23.10.2014 200 215 230 90.4 90.7 90.2 90.2 90.6 90.4 90.1 90.5 89.9 90.3 90.6 90.1 90.5 90.8 90.4 90.7 90.9 90.1 IENG 461-Deneysel Tasarım 26 Örnek 23.10.2014 7
© Copyright 2024 Paperzz
