VJEROJATNOST DOBITKA NA LOTU Mnogi od vas zasigurno su promatrali nekoga iz obitelji kako ispunjava listiće lota. Možda ste pri tome i pomagali, nasumce birajući brojeve između 1 i 39. U toj vrlo jednostavnoj igri treba pogoditi kojih će 7 brojeva, od ukupno 39, biti izvučeno iz bubnja. Čini se kako to ne bi trebalo biti teško pogoditi, no ako probate predvidjeti koje će kuglice bubanj izbaciti, najčešće ćete pogoditi samo jedan ili dva broja. Zašto je tako teško učiniti ono što nam se na prvi pogled čini jednostavnim: od 39 ponuđenih brojeva samo je potrebno precrtati 7 pravih!? Odgovor na to pitanje dat ćemo u tekstu koji slijedi, a usput ćemo i izračunati točnu vjerojatnost da upravo vi budete sretni dobitnik sedmice na lotu. Da bismo to mogli učiniti, potrebno je znati takozvanu klasičnu definiciju vjerojatnosti koja se, doduše, uči u višim razredima srednje škole, ali će nam za razumijevanje našega problema biti sasvim dovoljno i znanje stečeno u osnovnoj školi. Prema toj definiciji vjerojatnost nekog događaja jednaka je omjeru broja povoljnih ishoda za taj događaj i broja svih mogućih ishoda. Iz definicije se može zaključiti da je najmanja vjerojatnost jednaka 0 (tzv. nemoguć događaj, koji nastupa kada nema niti jednog povoljnog ishoda), a da je najveća vjerojatnost jednaka 1 (tzv. siguran događaj, kada su svi mogući ishodi povoljni). Osim sigurnih i nemogućih događaja, svi ostali događaji imaju vjerojatnost jednaku nekom broju između 0 i 1. Primjer 1. Izvlačimo jednu od 39 kuglica iz bubnja. Kolika je vjerojatnost da izvučemo kuglicu s brojem 22? Rješenje: Pri izvlačenju jedne kuglice iz bubnja imamo ukupno 39 mogućih ishoda (možemo, naime, izvuči bilo koju od 39 kuglica), a povoljan je samo jedan ishod (ako izvučemo baš kuglicu broj 22). Vjerojatnost toga događaja, dakle, jednaka je 1:39, odnosno 0.025641 ili 2.56%. Rezultat smo zaokružili na konačan broj decimala, što ćemo činiti i ubuduće, jer će i svi ostali rezultati uglavnom biti beskonačni decimalni brojevi. Primjetimo, također, kako je vjerojatnost da izvučemo broj 22 jednaka vjerojatnosti izvlačenja bilo kojeg drugog broja. Zadatak 1. Kolika je vjerojatnost da će se pri izvlačenju jedne kuglice iz bubnja dobiti jednoznamenkasti broj? Zadatak 2. Kolika je vjerojatnost da ćemo pri izvlačenju jedne kuglice dobiti parni broj, a kolika da će biti izvučen neparni broj? Je su li te vjerojatnosti iste? Pogledajmo sada nešto složenije primjere, u kojima najprije imamo izvlačenje dviju, a zatim i svih sedam kuglica. Primjer 2. Kolika je vjerojatnost da prve dvije izvučene kuglice u lotu budu broj 22 i 33? Rješenje: Primjetimo najprije da je vjerojatnost da budu izvučene baš kuglice 22 i 33, jednaka vjerojatnosti izvlačenja bilo kojih drugih dviju kuglica. Broj povoljnih ishoda je 2 (jedan od njih je izvlačenje broja 22, zatim broja 33, a drugi je obrnut redoslijed: 33, pa 22). Broj svih mogućih ishoda izračunat ćemo pomoću pravila prebrojavanja koje kaže: Ako se jedna stvar može napraviti na m načina, a druga na n načina, onda se obje stvari zajedno mogu napraviti na m⋅n načina. U našem slučaju, u prvom izvlačenju možemo dobiti bilo koju od 39 kuglica, a budući da se ta kuglica vadi iz bubnja, u drugom izvlačenju možemo dobiti bilo koju od preostalih 38 kuglica. Ukupan broj mogućih ishoda jednak je umnošku 39⋅38 = 1482, a vjerojatnost da to budu baš naši brojevi 22 i 33 jednaka je 2:1482, odnosno 0.001 349 ili 0.13%. Zadatak 3. Izračunajte vjerojatnost da prva tri izvučena broja budu 7, 19 i 32. Je li vjerojatnost izvlačenja tih brojeva veća ili manja od vjerojatnosti izvlačenja kuglica s brojevima 1, 2 i 3? Primjer 3. Od 39 ponuđenih brojeva odabrali smo 7. Kolika je vjerojatnost da svi oni budu izvučeni, odnosno kolika je vjerojatnost dobitka sedmice na lotu? Rješenje: Već smo naučili da uopće nije potrebno navoditi brojeve koje smo odabrali. Vjerojatnost izvačenja svake kombinacije od 7 brojeva uvijek je ista, bez obzira o kojim se brojevima radilo. Najprije izračunajmo broj mogućih ishoda. U bubnju ima 39 kuglica i u prvom izvlačenju može se izvuči bilo koja od njih. Dakle, prvo izvlačenje možemo obaviti na 39 načina. Pri drugom izvlačenju u bubnju je jedna kuglica manje, pa drugo izvlačenje možemo obaviti na 38 načina. Analogno, treće se izvlačenje može obaviti na 37 načina, četvrto na 36, peto na 35, šesto na 34 i sedmo na 33 načina. Ukupan broj mogućih ishoda je, prema navedenom pravilu prebrojavanja, 39⋅38⋅37⋅36⋅35⋅34⋅33 = 77 519 922 480. Broj povoljnih ishoda izračunat ćemo na isti način. Prvi izvučeni broj smije biti bilo koji od naših 7 unaprijed odabranih brojeva, drugi izvučeni broj smije biti bilo koji od preostalih 6, treći broj smije biti jedan od preostalih 5 itd... Dakle, prvi se broj može odrediti na 7 načina, drugi na 6 načina, treći na 5 načina, četvrti na 4 načina, peti na 3 načina, šesti na 2 načina i posljednji, sedmi, na samo 1 način. Ukupan broj povoljnih ishoda je 7⋅6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1 = 5 040. Vjerojatnost da se na lotu izvuče baš onih 7 brojeva koje ste vi unaprijed odredili, jednaka je omjeru 5 040:77 519 922 480 = 0.000 000 065 (zaokruženo na 9 decimala) tj. 0.0000065%. Zadatak 4. Osim Lota 7 od 39, Hrvatska lutrija nedjeljom organizira i Loto 6 od 45. Tada se u bubnju nalazi 45 kuglica, a izvlači ih se 6. Izračunajte vjerojatnost da u toj igri osvojite “šesticu”, odnosno da pogodite svih šest izvučenih brojeva. Vjerojatnost da pogodite “sedmicu” na lotu je, dakle, 0.000 000 065, no taj vam broj vjerojatno malo toga govori. Koliki je on zapravo i kako to zorno predočiti? U tome će nam pomoći jedna zanimljiva činjenica koju smo zapravo već naveli i koja proizlazi iz pretpostavke da u svakom pojedinom izvlačenju, sve kuglice koje se nalaze u bubnju imaju potpuno jednaku vjerojatnost da budu izvučene. Primjer 4. Kolika je vjerojatnost da se u jednom kolu lota izvuče kombinacija koja se sastoji od prvih sedam prirodnih brojeva: 1, 2, 3, 4, 5, 6 i 7? Rješenje: Iskusni igrači lota odmah će reći da je izvlačenje ovakve kombinacije brojeva – nemoguće. Pregled dobitnih kombinacija u posljednjih desetak kola govori da su tek jednom izvučena tri uzastopna broja. Kada bismo pregledali rezultate izvlačenja unazad jedne godine, moguće je da bi pronašli i četiri uzastopna broja, ali više od toga...gotovo sigurno - ne! Dakle, praksa (pa i zdrav razum) govore da je gore navedena kombinacija nemoguća, no matematika kaže nešto drugo. Već ranije smo izračunali da je vjerojatnost svake, pa i ove, izabrane kombinacije jednaka 0.000 000 065. Dakle, vjerojatnost izvlačenja neke, za stalne igrače lota “prihvatljive” kombinacije, primjerice 1, 9, 13, 20, 24, 36 i 38, jednaka je - uvjetno rečeno “nemogućoj” kombinaciji 1, 2, 3, 4, 5, 6 i 7! A ako smo prihvatili takav “paradoks”, onda možemo shvatiti i tvrdnju koja iz njega proizlazi i koja na najbolji mogući način pokazuje koliko je teško dobiti sedmicu na lotu, odnosno koliko je vjerojatnost 0. 000 000 065 zaista mala. Mogućnost da dobijete sedmicu na lotu jednaka je vjerojatnosti da će jedne večeri biti izvučene kuglice sa svih sedam početnih prirodnih brojeva. Stalni igrači lota stavili bi ruku u vatru da se to neće nikada dogoditi, a ipak ispunjavaju listiće lota vjerujući da i nije tako teško od 39 ponuđenih brojeva odabrati 7 pravih. Očito nisu u pravu - niti u jednom, niti u drugom. Sljedeća dva primjera, u kojima ćemo se dotaknuti pojma tzv. geometrijske vjerojatnosti, dodatno će nam predočiti koliko je ranije izračunata vjerojatnost od 0.000 000 065 mala. Primjer 5. Negdje unutar kružnog jezera promjera 100 metara nalazi se kružni otočić promjera 1 metar. Kolika je vjerojatnost da predmet koji je, primjerice, iznad jezera izbačen iz zrakoplova, ne padne u jezero nego na otočić? Rješenje: Kada bi otočić bio veći (odnosno manji), jasno je da bi i vjerojatnost pada predmeta na njega bila veća (manja). Kada bi cijelo jezero bilo otok (odnosno kopno) - vjerojatnost bi bila 1, a kada otoka ne bi bilo - vjerojatnost bi bila 0. Logično je vjerojatnost pada predmeta na otok definirati kao omjer površine otoka (to je naš povoljni ishod) i površine cijelog jezera, uključujući i otok (to su svi mogući ishodi jer nas pad predmeta izvan jezera ne zanima). Ako se poslužimo poznatom formulom za površinu kruga, P = r2π, lako ćemo izračunati da je površina otoka 0.785 m2, a površina jezera 7850 m2. Odatle dobivamo da je vjerojatnost pada predmeta na otok 0.0001, što je više od 1500 puta vjerojatnije od dobitka sedmice na lotu. Koliko je vjerojatnost dobitka sedmice na lotu stvarno mala, bit će nam još jasnije ako primjer s otokom u jezeru preformuliramo. Primjer 6. Koliki bi morao biti promjer otočića na kružnom jezeru promjera 100 metara da bi vjerojatnost pada predmeta na njega bila jednaka vjerojatnosti dobitka sedmice na lotu? Rješenje: Izračunali smo da je površina jezera 7850 m2, pa iz omjera P:7850 = 0.000 000 065 slijedi da površina otočića mora biti 0.000 51025 m2. Iz jednakosti r2π = 0.000 51025, dobivamo da je polumjer otoka 0.012 m. Dakle, promjer tog otočića morao bi biti oko 2.5 cm! Zadatak 5. Koliki bi morao biti promjer jezera da bi vjerojatnost pada predmeta na otok promjera 1 m bila jednaka vjerojatnosti dobitka sedmice na lotu? Morate priznati da je prilično nevjerojatno da od jezera promjera 100 m predmet padne baš na otočić širine 2.5 cm, a pokazali smo da iste mogućnosti imamo i mi kada na loto-listiću precrtamo svojih 7 brojeva. Unatoč tomu vjerujemo da, ni nakon što pročitaju ovaj tekst, stalni igrači lota neće odustati od svoje omiljene igre. Uostalom, ma kako malen broj 0.000 000 065 bio, on je još uvijek veći od nule, što znači da je dobitak moguć. Malo vjerojatan, ali moguć. Sretno!
© Copyright 2024 Paperzz
