Sveučilište u Splitu
Fakultet građevinarstva, arhitekture i geodezije
Stručni studij Građevinarstvo
Matematika
– nastavni materijali –
S. Pavasović
Split, 2014./2015.
U pripremi ovih nastavnih materijala korišteni su, uz
autoričino odobrenje, materijali iz internih skripata
FGAG-a „Analitička geometrija i linearna algebra“ i
„Matematička analiza“ doc. dr. sc. Jelene Sedlar, na
čemu joj srdačno zahvaljujem.
S. Pavasović
Sadržaj
0.
Nekoliko osnovno/srednjoškolskih lekcija ...................................................................................... 1
0.1
0.2
0.3
1.
Matrice ............................................................................................................................................... 6
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
2.
3.
Vektori .............................................................................................................................................. 23
Operacije s vektorima.................................................................................................................................. 24
Koordinatizacija prostora ............................................................................................................................. 27
Skupovi brojeva............................................................................................................................... 32
4.1
4.2
4.3
4.4
4.3
5.
Uvod .............................................................................................................................................................. 6
Računske operacije s matricama .................................................................................................................. 9
Elementarne transformacije ........................................................................................................................ 12
Determinante ............................................................................................................................................... 13
Rang matrice ............................................................................................................................................... 15
Sustavi linearnih jednadžbi ............................................................................................................ 18
3.1
3.2
4.
Rješavanje jednadžbi i nejednadžbi .............................................................................................................. 1
Pravac u ravnini............................................................................................................................................. 2
Sustav dviju linearnih jednadžbi s dvije nepoznanice ................................................................................... 4
Osnove matematičke logike ........................................................................................................................ 32
Skupovi ........................................................................................................................................................ 34
Skupovi prirodnih, racionalnih i cijelih brojeva (N, Z i Q) ............................................................................ 35
Skup realnih brojeva R ................................................................................................................................ 36
Skup kompleksnih brojeva C ....................................................................................................................... 42
Funkcije ........................................................................................................................................... 46
5.1
5.2
5.2
5.3
5.5
Definicija ...................................................................................................................................................... 46
Graf funkcije ................................................................................................................................................ 47
Pojmovi i svojstva ........................................................................................................................................ 49
Osnovne elementarne funkcije.................................................................................................................... 52
Neke elementarne funkcije .......................................................................................................................... 57
Nekoliko osnovno/srednjoškolskih lekcija
0. Nekoliko osnovno/srednjoškolskih lekcija
Napomena: Ovo poglavlje služi kao „početni trening“ pred izlaganje materije koju obuhvaća
nastavni program predmeta. Unutar pojedinih naslova izloženi su samo odabrani detalji koji su
ili najčešći uzrok pogrešaka pri rješavanju zadataka i razumijevanju teorije, ili će se na njima
(dijelom) graditi izlaganje nekih kasnijih poglavlja (na primjer, sustavi linearnih jednadžbi kao
poopćenje sustava dviju jednadžbi s dvije nepoznanice).
0.1 Rješavanje jednadžbi i nejednadžbi
Riješiti (ne)jednadžbu znači odrediti skup svih njenih rješenja. U tome skupu može biti jedno
rješenje, nekoliko rješenja, beskonačno mnogo rješenja, a skup rješenja može biti i prazan –
(ne)jednadžba može nemati rješenje.
Pritom je važno da u postupku rješavanja (ne)jednadžbi provodimo isključivo tzv. ekvivalentne
transformacije. Na taj način dobivamo međusobno ekvivalentne (ne)jednadžbe, tj. takve
(ne)jednadžbe koje imaju isti skup rješenja.
Ekvivalentne transformacije (ne)jednadžbi su:
−3 + 2 x = 5
2x − 3 = 5
Zamjena poretka članova:
2x + 3 x − 2 < 0
Grupiranje članova:
( 2x + 3 x ) − 2 < 0
2x 2 − 4 x = 0
Izlučivanje zajedničkog faktora:
2x ⋅ ( x − 2 ) = 0
Dodavanje realnog broja objema stranama:
Množenje realnim brojem (različitim od nule):
3x − 4 = 8
+4
3 x = 12
2x − 4 = 8
⋅
1
2
x−2=4
Pri provođenju posljednje transformacije na nejednadžbi, ona „mijenja svoj smjer“ ako ju
pomnožimo negativnim realnim brojem:
−2 x − 4 < 8
 1
⋅− 
 2
x + 2 > −4
U postupku rješavanja, provođenjem ekvivalentnih transformacija (ne)jednadžbu želimo svesti
na njezin najjednostavniji oblik iz kojeg ili vidimo kako izgleda skup rješenja (na primjer, x = 3 ,
x > −2 ) ili – na primjer, u slučaju kvadratne jednadžbe – na oblik iz kojega znamo odrediti skup
rješenja (na primjer, x 2 + x − 2 = 0 , iz čega određujemo rješenja jednadžbe).
1
Matematika – Stručni studij Građevinarstvo
Razmotrimo dva primjera koja nerijetko zbunjuju pri određivanju skupa rješenja (zapisani su
samo početni oblik i završni oblik dobiven ekvivalentnim transformacijama):
1
⋅ ( 2x + 4)
2
0=0
1
⋅ ( 2x + 2)
2
2 <1
x+2=
x+2<
Završne oblike jednadžbe, odnosno nejednadžbe, treba protumačiti kako slijedi:
Jednakost 0 = 0 znači „početna jednadžba će biti valjana za one x-ove za koje je 0 = 0
– dakle, uvijek (za svaki realan broj), pa je skup rješenja jednadžbe cijeli skup R;
Nejednakost 2 < 1 „početna ne jednadžba će biti valjana za one x-ove za koje je 2 < 1
– dakle, nikad (ni za jedan realan broj), pa je skup rješenja jednadžbe prazan skup
(nejednadžba nema rješenja).
Posebno je važno upamtiti: kvadriranje nije ekvivalentna transformacija! Umjesto općeg
dokaza, pogledajmo primjer:
x−2=4
( x − 2)
2
2
= 16
Prva jednadžba ima jedno rješenje x = 6 , a druga (koja je dobivena kvadriranjem prve) ima dva
rješenja x1 = 6; x2 = −2 . Prema tome, kvadriranjem mijenjamo skup rješenja jednadžbe
(naravno, ovo vrijedi i za rješavanje nejednadžbi).
0.2 Pravac u ravnini
Prisjetimo se najprije nekoliko elementarnih činjenica o pravokutnome koordinatnom sustavu u
ravnini:
Svaka točka ravnine ima jedinstvene dvije koordinate;
Sve točke na x-osi imaju drugu koordinatu jednaku nuli;
Sve točke na y-osi imaju prvu koordinatu jednaku nuli;
Ne postoji „točka 1“ u ravnini (kao što se to često kaže za točku (1, 0)) – postoje točke
(1, 0) i (0, 1);
Koordinatne osi dijele ravninu na četiri kvadranta;
Sve točke istog kvadranta imaju međusobno jednake predznake prve i međusobno
jednake predznake druge koordinate (na primjer, sve točke u IV. kvadrantu imaju
pozitivnu prvu i negativnu drugu koordinatu, itd.).
2
Nekoliko osnovno/srednjoškolskih lekcija
Prisjetimo se sada eksplicitnog oblika jednadžbe pravca u ravnini:
y = kx + l .
Značenje koeficijenata u ovoj jednadžbi je sljedeće:
k je koeficijent smjera – o njemu ovisi kako je i koliko pravac „nagnut“ u ravnini;
l je odsječak na y-osi – pravac siječe y-os u točki (0, l).
Posebno, jednadžbe vodoravnih i uspravnih pravaca su oblika:
vodoravni pravac: y = c (sve točke kojima je druga koordinata jednaka c, a prva
koordinata bilo koji realan broj);
uspravni pravac: x = c (sve točke kojima je prva koordinata jednaka c, a druga
koordinata bilo koji realan broj).
Poznavajući koeficijent smjera pravca možemo bez crtanja utvrditi:
raste li pravac ili pada (kako je „nagnut“ u ravnini);
koliko brzo pravac raste, odnosno pada (koliko je „nagnut“ u ravnini).
Na slici je ilustracija veze koeficijenta smjera i nagiba pravca:
Ako je koeficijent smjera pozitivan, pravac raste;
Od dva pravca koji rastu, brže raste („strmiji“ je) onaj s većim koeficijentom smjera (u
primjeru na slici, 2 > 1 pa pravac y = 2 x + 1 brže raste od pravca y = x );
Ako je koeficijent smjera negativan, pravac pada;
Od dva pravca koji padaju, brže pada („strmiji“ je) onaj s manjim koeficijentom smjera
(u primjeru na slici, −2 < −1 pa pravac y = −2 x + 1 brže pada od pravca y = − x ).
Veza brzine rasta (odnosno, pada) pravca i veličine koeficijenta smjera može se objediniti za
oba predznaka koeficijenta smjera kako slijedi:
Ako dva pravca u ravnini rastu (padaju), brže raste (pada) onaj kojemu je apsolutna
vrijednost koeficijenta smjera veća.
Dva pravca u ravnini mogu biti u jednom od sljedećih međusobnih položaja:
pravci se sijeku u jednoj točki (npr. y = −2 x + 1 i y = − x );
pravci su paralelni, odnosno nemaju zajedničkih točaka (npr. y = −2 x + 1 i y = −2 x − 3 );
pravci se preklapaju, odnosno sve su im točke zajedničke (npr. y = 2 x + 1 i 2y = 4 x + 2 ).
Za pravce koji su međusobno paralelni ili međusobno okomiti, vrijedi:
paralelni pravci imaju jednake koeficijente smjera (npr. y = 2 x + 1 i y = 2 x − 3 );
3
Matematika – Stručni studij Građevinarstvo
međusobno okomiti pravci imaju koeficijente smjera koji su suprotnih predznaka i
1
recipročni (npr. y = 2 x + 1 i y = − x − 3 ).
2
Pravac y = kx + l možemo gledati kao skup točaka ravnine, ali i kao graf funkcije f ( x ) = kx + l .
Razmotrimo položaj točaka A, B i C na sljedećoj slici i odgovorimo na jednostavno pitanje: zašto
je točka A na pravcu, a točke B i C nisu?
Jednostavno pitanje ima i jednostavan odgovor:
Točka A pripada pravcu y = kx + l zato što njene koordinate zadovoljavaju jednadžbu
pravca, odnosno zato što je njena druga koordinata funkcijska vrijednost prve;
vrijedi y 0 = k ⋅ x0 + l ;
Točka B ne pripada pravcu y = kx + l zato što njene koordinate ne zadovoljavaju
jednadžbu pravca, odnosno zato što njena druga koordinata nije funkcijska vrijednost prve,
odnosno y1 ≠ k ⋅ x1 + l ; štoviše, točka B je iznad pravca jer vrijedi y1 > k ⋅ x1 + l ;
Točka C ne pripada pravcu y = kx + l zato što njene koordinate ne zadovoljavaju
jednadžbu pravca, odnosno zato što njena druga koordinata nije funkcijska vrijednost prve,
odnosno y 2 ≠ k ⋅ x2 + l ; štoviše, točka C je ispod pravca jer vrijedi y 2 < k ⋅ x2 + l .
0.3 Sustav dviju linearnih jednadžbi s dvije nepoznanice
Kao što se može vidjeti iz samoga naziva, sustav dviju linearnih jednadžbi s dvije nepoznanice
je sustav u kojem imamo:
dvije jednadžbe;
dvije nepoznanice;
linearne jednadžbe – dakle, obje se nepoznanice javljaju samo s „prvom potencijom“.
Tehnika rješavanja ovakvih sustava je jednostavna i najčešće ne pričinja problem. Jedan od
načina je metoda suprotnih koeficijenata: množenjem jedne ili obiju jednadžbi realnim brojem,
svodimo jednadžbe na oblik u kojem se uz jednu od nepoznanica javljaju suprotni koeficijenti, i
potom zbrajanjem jednadžbi problem svodimo na rješavanje dviju linearnih jednadžbi s po
jednom nepoznanicom, kao u sljedećem primjeru:
x+y =3
2x − 3y = 1
4
⋅3
3 x + 3y = 9
5 x = 10
2x − 3y = 1
x=2
y =1
Nekoliko osnovno/srednjoškolskih lekcija
Budući da ćemo nešto kasnije upoznati općenitiji slučaj sustava linearnih jednadžbi (sustava u
kojemu možemo imati i više od dvije jednadžbe te više od dvije nepoznanice), korisno je na
ovom jednostavnom slučaju razmotriti mogući broj rješenja sustava.
Sustav dviju linearnih jednadžbi s dvije nepoznanice može imati:
nijedno rješenje (sustav je nerješiv, kontradiktoran), na primjer:
jedno rješenje (jedinstveno rješenje), na primjer:
beskonačno mnogo rješenja, na primjer:
x + y =1
2 x + 2y = 4
x + y =1
2x + y = 2
x+y =2
2 x + 2y = 4
Sustavi koji nemaju rješenja i koji imaju jedinstveno rješenje ne iziskuju detaljnije komentiranje –
u prvom slučaju imamo jednadžbe koje su proturječne i za koje ne postoji uređeni par realnih
brojeva (x0, y0) koji bi zadovoljavao obje jednadžbe; u drugom slučaju postoji točno jedan takav
uređeni par.
Razmotrimo detaljnije sustav koji ima beskonačno mnogo rješenja: kao prvo, to ne znači da je
svaki uređeni par realnih brojeva (x0, y0) rješenje takvog sustava – postoji beskonačno mnogo
uređenih parova realnih brojeva (x0, y0) koji su rješenja sustava, ali postoji veza između x0 i y0:
oni moraju zadovoljiti jednu od jednadžbi sustava (u našem primjeru mora biti x0 + y 0 = 2 ,
odnosno 2x0 + 2y 0 = 4 ; na primjer, uređeni par ( 3, − 1) jest jedno od rješenja, a uređeni par
( 2, 1)
nije jedno od rješenja ovoga sustava).
Zbog čega sustavi poput onoga u našem primjeru imaju beskonačno mnogo rješenja?
Pojednostavnjeno rečeno, zbog toga što sustav sadrži „nedovoljno uvjeta“ – naime, iako se
sustav sastoji od dvije jednadžbe, vidimo da su te dvije jednadžbe ekvivalentne (u našem se
primjeru druga dobiva množenjem prve sa 2). Zbog toga nam druga jednadžba „ne donosi novi
uvjet“ u sustav u odnosu na prvu, pa ukupno doista imamo samo jedan „uvjet“, što nam nije
dovoljno za jedinstvenu vrijednost dviju nepoznanica.
Konačno, razmotrimo geometrijsku interpretaciju rješavanja sustava dviju linearnih jednadžbi s
dvije nepoznanice: grafički prikaz svake jednadžbe je pravac, a broj rješenja odgovara broju
zajedničkih točaka dvaju tako dobivenih pravaca. Na sljedećoj slici je ilustracija triju primjera.
Vidimo da za geometrijsku interpretaciju vrijedi:
Nerješiv sustav sadrži jednadžbe dvaju paralelnih pravaca;
Sustav s jedinstvenim rješenjem sadrži jednadžbe dvaju pravaca koji se sijeku;
Sustav s beskonačno mnogo rješenja sadrži jednadžbe dvaju pravaca koji se preklapaju.
5
Matematika – Stručni studij Građevinarstvo
1. Matrice
1.1 Uvod
U ovome ćemo poglavlju upoznati pojam i osnovna svojstva matrice realnih brojeva. Ova je
struktura u širokoj uporabi ne samo u matematici, nego i u ostalima (poglavito tehničkim)
znanostima. U opsegu u kojemu ćemo ih upoznati u ovome predmetu, matrice su jednostavna i
lako razumljiva struktura – jedini problem u početku njihova upoznavanja može biti puno novih
pojmova kojima je potrebno ovladati.
Definicija:
Matrica realnih brojeva tipa m × n je pravokutna tablica brojeva:
 a11
a
A =  21
 ⋮

am1
a12
a22
⋯
⋯
⋮
⋮
⋯
am 2
a1n 
a2 n 
⋮ 

amn 
gdje je m, n, ∈ N , aij ∈ R .
Slijedi nekoliko važnijih pojmova vezanih uz matrice realnih brojeva:
broj m je broj redaka matrice;
broj n je broj stupaca matrice;
matrični element (element matrice) u i-tim retku i j-tom stupcu označavamo sa aij;
ako je m = 1, kažemo da je matrice jednoretčana (ili samo retčana matrica);
ako je n = 1, kažemo da je matrice jednostupčana (ili samo stupčana matrica);
jednoretčane i jednostupčane matrice nazivamo još i vektori;
matricu realnih brojeva tipa m× n kraće zapisujemo kao Amn = ai j  .
Evo nekoliko primjera matrica realnih brojeva:
 1
 −3
A=
 1

 −2
2
1
−1
2
0
4
1
0
0
−2 
0
, B=
2
1

3
 1
1

 , C = [ 2] , D =  − 1
1
 0
2

3  , E = [3
0 
2
 1
−2] , F =  −1
 0 
Definicija:
Matrice Amn = ai j  i Bkl =  bi j  su jednake ako su istog tipa (m = k, n = l), i ako je ai j = bi j , ∀i , j .
6
Matrice
Primjeri:
0
Matrice A = 
1
2
Matrice A = 
3
2
Matrice A = 
3
 1 2
1


i
 B =  −1 3  nisu istog tipa pa nisu jednake;
1
 0 0 
1
 2 1
 i B=
 nemaju sve elemente jednake pa nisu jednake;
1
0 2 
1
2 1
 i B=
 su jednake ako je t = 1;
1
3 t 
Definicija:
Matrica Amn je kvadratna ako ima jednaki broj redaka i stupaca, odnosno ako je m = n.
Slijedi nekoliko važnijih pojmova vezanih uz kvadratne matrice realnih brojeva:
Kažemo da je kvadratna matrica Amm reda m, i takvu matricu označavamo kao Am;
Elementi matrice Am =  ai j  za koje je i = j čine glavnu dijagonalu matrice;
Za elemente kvadratne matrice Am =  ai j  iznad glavne dijagonale vrijedi i < j;
Za elemente kvadratne matrice Am =  ai j  ispod glavne dijagonale vrijedi i > j;
Evo nekoliko primjera kvadratnih matrica – razmotrite elemente njihove glavne dijagonale i
indekse elemenata ispod, odnosno iznad glavne dijagonale:
0
A = [3 ] , B = 
1
 1
1

 , C =  −1
0
 0
−1
3
0
1
0

 , D = 0
0
1
1

3
2
1
−1
2
0
4
1
2
0
−2 
.
1

3
Definicija:
Neka je zadana matrica realnih brojeva Amn = ai j  .
T
Transponirana matrica matrice A je matrica Anm
= a j i  .
Drugim riječima, transponiranu matricu AT matrice A dobivamo tako da retke matrice A ispišemo
redom kao stupce matrice AT, kao u sljedećim primjerima:
 1 −1
0


T
, A =  −1
3

0
 0
0 
 1 −1 0 
 1 −1 2 




T
B =  −1
3 4  , B =  −1
3 0
 2
 0
0
1
4
1
2
2
1
1
T
C=
, C = 

 2 −3 
2 −3 
 1
A=
 −1
−1
3
7
Matematika – Stručni studij Građevinarstvo
Iz ovih primjera lako možemo vidjeti „posljedice“ transponiranja matrice:
T
kada transponiramo pravokutnu matricu Amn , transponirana matrica Anm
ima n redaka
(koliko matrica A ima stupaca) i m stupaca (koliko matrica A ima redaka);
kada transponiramo kvadratnu matricu Am , transponirana matrica AmT je istog reda i na
glavnoj dijagonali ima iste elemente kao i matrica A.
S obzirom na do sada definirane pojmove, postoje neki posebni slučajevi matrica :
Matrica Omn je nul-matrica ako je aij = 0 za svaki i, j, odnosno ako su joj svi elementi
jednaki 0 – na primjer:
0 0 0 
0 
0 0 0 


 
O = [0 ] , O = 
 , O = 0 0 0  , O =  0  .
0
0
0


0 0 0 
0 
Kao što vidimo iz definicije, nul-matrica ne mora biti kvadratna.
Kvadratna matrica An je dijagonalna matrica ako je aij = 0 za svaki i ≠ j, odnosno ako
su svi elementi izvan glavne dijagonale jednaki nuli – na primjer:
0
1 0
0
1


A = [3 ] , B = 
0 .
 , C = 0 3
 0 −3 
0 0 −2 
Dijagonalna matrica An je jedinična matrica (označavamo ju sa In) ako je aii = 1 za
svaki i, odnosno ako su svi elementi na glavne dijagonale jednaki 1 (budući da je
dijagonalna, svi elementi izvan glavne dijagonale su jednaki 0) – na primjer:
 1 0 0
 1 0


I1 = [1] , I2 = 
1 0 .
 , I3 = 0
0
1


0 0
1
Kao što vidimo iz definicije, jedinična matrica nije matrica kojoj su svi elementi jednaki
1 (što bismo možda mogli pomisliti na temelju definicije nul-matrice).
Kvadratna matrica An je gornjetrokutasta matrica ako je aij = 0 za svaki i > j, odnosno
ako su svi elementi ispod glavne dijagonale jednaki nuli – na primjer:
1
 1 −3
2
1


A=
0
2 .
 , B = 0
0
−
3


0
0 −2 
Kvadratna matrica An je donjetrokutasta matrica ako je aij = 0 za svaki i < j, odnosno
ako su svi elementi iznad glavne dijagonale jednaki nuli – na primjer:
 1 0 0
0
4


A=
 , B =  2 2 0 .
 1 −3 
 −3 4 0 
Kvadratna matrica An je simetrična matrica ako je aij = aji za svaki i, j, odnosno ako su
elementi koji se u matrici nalaze međusobno „simetrično“ s obzirom na glavnu
dijagonalu, međusobno jednaki – na primjer:
1 −2 
 −2
3 2 


A=
5 .
, B= 1 1
2
1


 −2 5
3 
Kao što vidimo iz definicije, za simetričnu matricu A vrijedi AT = A.
8
Matrice
Kvadratna matrica An je antisimetrična matrica ako je aij = –aji za svaki i, j, odnosno
ako su elementi koji se u matrici nalaze međusobno „simetrično“ s obzirom na glavnu
dijagonalu, međusobno suprotni – na primjer:
−1 −2 
0
 0 2


A=
0
5 .
 , B = 1
−
2
0


 2 −5
0 
Kao što vidimo iz definicije, za antisimetričnu matricu A vrijedi AT = –A. Nadalje, svi
elementi na glavnoj dijagonali antisimetrične matrice moraju biti jednaki 0 (po definiciji,
mora biti aii = –aii).
1.2 Računske operacije s matricama
Nakon što smo definirali matrice realnih brojeva i razmotrili neke njihove posebne oblike,
definirat ćemo računske operacije s matricama:
zbrajanje matrica;
množenje matrice skalarom (brojem); i
množenje matrica.
Prve su dvije računske operacije jasne i intuitivne, dok je množenje matrica naizgled teško
(kada se vidi opći zapis u definiciji), ali se u biti radi o jednostavnome postupku.
Zbrajanje matrica – definicija:
Neka su Amn = ai j  i Bmn =  bi j  matrice istog tipa.
Definiramo zbroj matrica A + B = Cmn = ci j  tako da je ci j = ai j + bi j .
Zbroj matrica različitog tipa nije definiran.
Kao što vidimo iz definicije, matrice zbrajamo tako da zbrojimo njihove odgovarajuće elemente,
kao u sljedećim primjerima:
 1

A =  −2
 3
1
3
4
2
A=
0
1
3
2
A=
0
1
3
2
 1


−1 B =  0
 −2
0 
2
1
1
 1+ 1
0


−3  A + B =  − 2 + 0
 3 + ( −2 )
−2 

3
 2 + ( −2 )
 A+B =
2
 0 +1
1+ 2
3 +1
4 +1
1 + ( −4 )
2+0   2
 
−1 + ( −3 )  =  −2
0 + ( −2 )   1
3
4
5
1
 −2
 B=
0
 1
−4
3
 −2
1

 B= 1
0
 0
−4 

3  – matrice A i B nisu istog tipa, pa A + B nije definirano.
1
3+3
1 + 3  0
=
0 + 2  1
−3
6
2

−4 
−2 
4

2
Lako se vide sljedeća svojstva zbrajanja matrica:
A + B = B + A (komutativnost zbrajanja);
(A + B) + C = A + (B + C) (asocijativnost zbrajanja);
A + O = O + A = A (nul-matrica kao neutralni element s obzirom na zbrajanje);
A + (–A) = –A + A = O (svaka matrica ima suprotnu matricu).
9
Matematika – Stručni studij Građevinarstvo
Množenje matrice realnim brojem (skalarom) – definicija:
Neka je Amn = ai j  i λ ∈ R realan broj (skalar).
Definiramo λ ⋅ A = Bmn =  bi j  tako da je bi j = λ ⋅ ai j .
Kao što vidimo iz definicije, matricu množimo realnim brojem tako da tim brojem pomnožimo
svaki njen element, kao u sljedećim primjerima:
 0

A =  −1
 2
2
4
3
1
 0
,

2  2 A =  −2
 4
−1
4
8
6
2
 0
,

4  −3 A =  3
 −6
−2
−6
−12
−9
−3 

−6  .
3 
Lako se vide sljedeća svojstva množenja matrice realnim brojem:
λ ⋅ ( A + B ) = λ ⋅ A + λ ⋅ B (distributivnost prema zbrajanju matrica);
( λ1 + λ2 ) ⋅ A = λ1 ⋅ A + λ2 ⋅ A (distributivnost prema zbrajanju brojeva);
( λ1 ⋅ λ2 ) ⋅ A = λ1 ⋅ ( λ2 ⋅ A ) (kompatibilnost množenja);
0 ⋅ A = O (množenjem matrice A brojem 0, dobivamo nul-matricu O);
1 ⋅ A = A (broj 1 je neutralni element s obzirom na množenje matrice brojem).
Množenje matrica – definicija:
Neka su Amn = ai j  i Bnp =  bi j  dvije ulančane matrice (druga ima redaka koliko prva stupaca).
n
Definiramo umnožak matrica A ⋅ B = Cmp = ci j  tako da je ci j = ∑ ai k ⋅ bk j .
k =1
Umnožak matrica koje nisu ulančane nije definiran.
Najavili smo već: za razliku od definicije zbrajanja matrica i množenja matrice skalarom, iz
definicije množenja matrica ne vidi se intuitivno kako se (tehnički) to množenje provodi. Na
sljedećem primjeru pokazat ćemo da se u osnovi radi o jednostavnom postupku. Neka su
zadane matrice:
2
 0
 −1
1
1
 0 2
A=
, B=

 −1 −2 
1 3
 −2


1
 1
Vidimo da su matrice A i B ulančane: matrica B ima dva retka, a upravo toliko stupaca ima
matrica A. Nadalje, prema definiciji množenja, umnožak A ⋅ B bit će matrica C koja ima redaka
koliko i matrica A (dakle, 4) i stupaca koliko i matrica B (dakle, 3).
Element u i-tom retku i j-tom stupcu matrice C dobivamo tako što ćemo elemente i-tog retka
matrice A u izvjesnom smislu „pomnožiti“ elementima j-tog stupca matrice B; ovo „množenje“
provodimo tako da množimo odgovarajuće elemente – prvi s prvim, drugi s drugim, itd.
Pogledajmo, na primjer, kako ćemo dobici element c23 matrice C: prema opisanome postupku,
ovaj element dobivamo tako da „množimo“ drugi redak matrice A trećim stupcem matrice B.
10
Matrice
Imamo:
c23 = −1⋅ 1 + 1⋅ 3 = 2 .
Sada je jasno zašto nam treba zahtjev za ulančanost matrica: ako matrice A i B nisu ulančane,
ne možemo provesti ovakvo „množenje“ retka matrice A i stupca matrice B.
Na isti način izračunavamo i ostale elemente umnoška, i dobivamo:
 0 ⋅ 0 + 2 ⋅ ( −2 )

− 1 ⋅ 0 + 1 ⋅ ( −2 )
A⋅B = 
 −1 ⋅ 0 + ( −2 ) ⋅ ( −2 )

 1 ⋅ 0 + 1 ⋅ ( −2 )
0 ⋅ 2 + 2 ⋅1
−1 ⋅ 2 + 1 ⋅ 1
− 1 ⋅ 2 + ( −2 ) ⋅ 1
1⋅ 2 + 1⋅ 1
0 ⋅ 1 + 2 ⋅ 3   −4

−1 ⋅ 1 + 1 ⋅ 3   −2
=
−1 ⋅ 1 + ( −2 ) ⋅ 3   4
 
1 ⋅ 1 + 1 ⋅ 3   −2
2
−1
−4
3
6

2
.
−7 

4
Izračunajmo umnoške A ⋅ B i, ako je definiran, B ⋅ A , za sljedeće matrice:
2
A=
3
0
1
, B = 
−1
3
−1
1
2
2
 , A⋅B = 
−2 
0
−2
−4
 −1

A= 1
 0
3
2

2 , B = 
4
2
−1
1
10
5

,
 A ⋅ B = 10
−2 
 8
4
 −2
A=
 1
2
3
, B=
−1
3
4
0
 , A⋅B = 
4
0
1
2
4
 , B ⋅ A nije definiran.
8
−11
 −3

1 , B ⋅ A = 
 −3
−4 
0
 −2
, B⋅A = 
0
 −2
14 
.
10 
2
.
2
Prethodni primjeri ilustriraju i sljedeće činjenice:
Općenito, A ⋅ B ≠ B ⋅ A (štoviše, ako je A ⋅ B definirano, ne mora biti definirano i B ⋅ A );
Da bi bilo A ⋅ B = O , ne mora biti A = O ili B = O (nul-matrica može biti umnožak dviju
matrica od kojih nijedna nije nul-matrica).
Neka od svojstava množenja matrica su (pretpostavljamo da su umnošci definirani):
( A ⋅ B ) ⋅ C = A ⋅ ( B ⋅ C ) (asocijativnost množenja);
( A + B ) ⋅ C = A ⋅ C + B ⋅ C (distributivnost množenja prema zbrajanju);
A ⋅ I = I ⋅ A = A (jedinična matrica kao neutralni element s obzirom na množenje);
(A ⋅ B)
T
= BT ⋅ AT .
Znamo da u skupu realnih brojeva za svaki broj x ≠ 0 postoji i njemu inverzan broj x–1 takav da
vrijedi x ⋅ x −1 = x −1 ⋅ x = 1. Iz definicije množenja matrica i prikazanih primjera vidjeli smo da
množenje matrica nije komutativna operacija. Čak i u slučaju kvadratnih matrica, samo za neke
kvadratne matrice možemo naći matricu koja će pomnožena s njima dati jediničnu matricu.
Definicija:
Neka je An = ai j  kvadratna matrica. Kažemo da je matrica Bn =  bi j  inverzna matrica
matrice A, ako vrijedi A ⋅ B = B ⋅ A = In . Ako postoji, ovakva matrica B je jedinstvena i
označavamo ju s A–1.
Ako matrica An = ai j  ima inverznu matricu, kažemo da je regularna matrica. U protivnom
kažemo da je matrica A singularna matrica.
11
Matematika – Stručni studij Građevinarstvo
Napomenimo:
Oznaka A–1 je formalna, simbolička oznaka i nema nikakve veze s potencijama matrice A;
U okviru ovoga predmeta upoznat ćemo jedan od načina utvrđivanja je li neka
kvadratna matrica regularna (odnosno, postoji li njena inverzna matrica);
Općenito, određivanje inverzne matrice nije jednostavno za provođenje „na ruke“.
1.3 Elementarne transformacije
Pri rješavanju jednadžbi i nejednadžbi u skupu realnih brojeva, definirali smo ekvivalentne
transformacije koje čuvaju skup rješenja jednadžbe, odnosno nejednadžbe.
Elementarne transformacije matrice A, koje ćemo sada definirati, također su ekvivalentne – u
smislu da čuvaju nepromijenjenima neka važna svojstva matrice. O tim ćemo svojstvima, kao i o
primjeni elementarnih transformacija, nešto kasnije – najprije ćemo definirati o kojim se
transformacijama radi.
Definicija: Elementarne transformacije matrice po retcima su:
međusobna zamjena dvaju redaka matrice;
množenje nekog retka matrice realnim brojem različitim od 0;
dodavanje nekom retku matrice drugog retka pomnoženoga realnim brojem.
Definicija: Elementarne transformacije matrice po stupcima su:
međusobna zamjena dvaju stupaca matrice;
množenje nekog stupca matrice realnim brojem različitim od 0;
dodavanje nekom stupcu matrice drugog stupca pomnoženoga realnim brojem.
Definicija:
Kažemo da su matrice Amn = ai j  i Bmn =  bi j  ekvivalentne (pišemo A ~ B) ako se jedna iz
druge mogu dobiti primjenom konačno mnogo elementarnih transformacija.
Nekoliko napomena o elementarnim transformacijama matrice:
Elementarne transformacije čuvaju tip matrice;
Znamo da ekvivalentne transformacije jednadžbi i nejednadžbi čuvaju skup rješenja –
tek trebamo vidjeti što čuvaju elementarne (ekvivalentne) transformacije matrica;
Posebno će nas zanimati elementarne transformacije kojima postupno matricu svodimo
na oblik u kojem su elementi ispod dijagonale (ili, ako matrica nije kvadratna, elementi
ispod „dijagonale“ – odnosno, elementi kojima su prvi i drugi indeks jednaki) jednaki
nuli.
Na sljedećem primjeru prikazat ćemo primjenu elementarnih transformacija na retcima,
odnosno stupcima matrice. Pritom ove transformacije provodimo samo kao primjer njihove
12
Matrice
primjene, bez nekoga ciljanog oblika matrice koji želimo postići – kasnije ćemo primjenom
elementarnih transformacija svoditi matricu na željeni oblik.
Zadanoj matrici A ćemo redom:
međusobno zamijeniti prva dva retka;
međusobno zamijeniti drugi i treći stupac;
pomnožiti drugi redak sa –2;
dodati drugom stupcu treći stupac pomnožen sa –2.
 2

A= 1
 −3
 1

~  −4
 −3
−1
0
−1
2
−6
4
−2   1
0
2
−1  1
 
 
2
−1 ~  2 −1 3
−2  ~  2
4
3   −3
−1 4
3   −3
0
−1  1
2
0
−1
 

2
4  ~  −4
−10
2
4
−1
3   −3
6
−1
3 
3
2
0
3
4
−1
−1
−1

−2  ~
3 
1.4 Determinante
Svakoj kvadratnoj matrici An = ai j  možemo pridružiti njenu determinantu – realan broj koji
označavamo sa det A = ai j . Napomena: „uspravne zagrade“ u oznaci determinante nemaju
nikakve veze s apsolutnom vrijednošću realnog broja.
Determinanta postaje u izvjesnom smislu neugodna već kod kvadratnih matrica reda 3 – zbog toga
ćemo za potrebe ovoga predmeta pokazati neke načine na koje se može izračunati determinanta
kvadratne matrice reda 3, a nećemo razmatrati determinante kvadratnih matrica većega reda.
Determinanta matrice reda 1 – definicija:
Determinantu matrice A1 = [a11 ] definiramo kao det A = a11 = a11 .
Determinanta matrice reda 2 – definicija:
a12 
a11 a12
a
Determinantu matrice A2 =  11
= a11 ⋅ a22 − a21 ⋅ a12 .
 definiramo kao det A =
a21 a22
a21 a22 
Slijede primjeri izračunavanja determinante matrica reda 1 i 2. Još jednom napominjemo da u
prvom primjeru oznaka determinante nema veze s apsolutnom vrijednošću, tj. da je vrijednost
determinante –12:
A1 = [ −12], det A1 = −12 = −12 .
3 4
 3 4
A2 = 
= 3 ⋅ 1 − ( −1) ⋅ 4 = 7 .
 , det A2 =
−1 1
 −1 1 
13
Matematika – Stručni studij Građevinarstvo
Determinanta matrice reda 3 – izračunavanje:
 a11 a12 a13 
Determinantu matrice A3 = a21 a22 a23  možemo, između ostalog, izračunati kako slijedi:
a31 a32 a33 
primjenom Sarrusova pravila: dopisat ćemo determinanti prva dva stupca i onda
formirati umnoške kako slijedi:
a11 a12 a13 a11 a12
det A3 = a21 a22 a23 a21 a22 = a11 ⋅ a22 ⋅ a33 + a12 ⋅ a23 ⋅ a31 + a13 ⋅ a21 ⋅ a32
a31 a32 a33 a31 a32
−a31 ⋅ a22 ⋅ a13 − a32 ⋅ a23 ⋅ a11 − a33 ⋅ a21 ⋅ a12
takozvanim razvojem po prvom retku:
a11 a12 a13
det A3 = a21 a22 a23
a31 a32 a33
= a11 ⋅ ( a22 ⋅ a33 − a32 ⋅ a23 ) − a12 ⋅ ( a21 ⋅ a33 − a31 ⋅ a23 ) + a13 ⋅ ( a21 ⋅ a32 − a31 ⋅ a22 )
Pokazat ćemo oba načina izračunavanja determinante matrice trećeg reda na primjeru matrice
 − 1 −1 0 


A =  1 −2 2  .
 0
3 4 
Sarrusovo pravilo:
−1 −1 0 −1 −1
det A = 1 −2 2 1 −2 = −1 ⋅ ( −2 ) ⋅ 4 + ( −1) ⋅ 2 ⋅ 0 + 0 ⋅ 1 ⋅ 3 − 0 ⋅ ( −2 ) ⋅ 0 − 3 ⋅ 2 ⋅ ( −1) − 4 ⋅ 1 ⋅ ( −1) =
0 3 4 0 3
= 8 + 0 + 0 − 0 − ( −6 ) − ( −4 ) = 18
Razvoj po prvom retku:
−1 −1 0
det A = 1
0
−2 2 = −1⋅ ( −8 − 6 ) − ( −1) ⋅ ( 4 − 0 ) + 0 ⋅ ( 3 + 2 ) = 18
3
4
Navest ćemo bez dokazivanja neka svojstva determinanti:
Ako matrica A ima redak (stupac) koji se sastoji od nula, det A = 0;
Ako matrica A ima dva jednaka ili proporcionalna retka (stupca), det A = 0;
Determinanta trokutaste matrice jednaka je umnošku elemenata na glavnoj dijagonali;
det AT = det A.
Razmotrimo što se događa s determinantom pri provođenju elementarnih transformacija:
Ako matricu B dobijemo zamjenom dva retka (stupca) matrice A, det B = –det A;
Ako matricu B dobijemo množenjem retka (stupca) matrice A brojem λ, det B = λ det A;
Ako nekom retku (stupcu) matrice A dodamo drugi redak (stupac) pomnožen nekim
brojem, vrijednost determinante se neće promijeniti.
14
Matrice
1.5 Rang matrice
Pri razmatranju ekvivalentnih transformacija matrica, privremeno smo ostavili bez odgovora
pitanje o svojstvu matrice koje provođenjem elementarnih transformacija ostaje nepromijenjeno,
tj. očuvano. Sada ćemo upoznati to svojstvo koje nazivamo rang matrice.
Rang matrice može je broj koji se može definirati na razne načine. Mi ćemo ga definirati tako
što ćemo promatrati takozvane podmatrice zadane matrice, a potom ćemo vidjeti kako
provođenjem elementarnih transformacija možemo jednostavno odrediti rang zadane matrice.
Definicija:
Podmatrica matrice Amn = ai j  je svaka matrica koja se iz matrice A može dobiti tako da se
matrici A ukloni jedan ili više redaka, odnosno stupaca.
2
 −1 −1 0

U sljedećem primjeru zapisane su neke od podmatrica zadane matrice A =  1 −2 2 3  .
 0
3 4 −4 
uklanjanje prva dva retka i prva tri stupca: A1 = [ −4 ] ;
0
uklanjanje trećeg retka i prva dva stupca: A2 = 
2
2
;
3
 1 −2 2 3 
uklanjanje prvog retka: A3 = 
;
0 3 4 −4 
 −1 2 
uklanjanje prvog i trećeg stupca: A4 =  −2 3  .
 3 −4 
Definicija:
Rang r ( A ) matrice Amn = ai j  je red njene najveće kvadratne podmatrice kojoj je determinanta
različita od 0.
Sljedeći primjeri trebali bi pojasniti pojam ranga matrice, ali ne i najjednostavniji način njegova
određivanja (rang matrice jednostavno ćemo odrediti provođenjem elementarnih transformacija):
1 −2 1 3 
A=

1 3 1 −2 
uočimo da rang ove matrice može biti najviše 2 (jer ne postoji kvadratna podmatrica
reda 3);
dovoljno je naći jednu podmatricu reda 2 čija je determinanta različita od nule;
1 −2 
jedna takva matrica je A1 = 
 , čija je determinanta jednaka 5;
1 3 
dakle, r ( A ) = 2 .
15
Matematika – Stručni studij Građevinarstvo
 1 −2 1 3 


A =  1 3 1 −2 
0
0 0 0 
uočimo da rang ove matrice može biti najviše 3 (jer ne postoji kvadratna podmatrica
reda 4);
svaka kvadratna podmatrica reda 3 imat će u trećem retku nule, pa će joj determinanta
biti jednaka nuli – dakle, rang ove matrice ne može biti 3;
dovoljno je naći jednu podmatricu reda 2 čija je determinanta različita od nule;
1 −2 
jedna takva matrica je A1 = 
 , čija je determinanta jednaka 5;
1 3 
dakle, r ( A ) = 2 .
Spomenuli smo već da ispitivanje vrijednosti determinanti svih kvadratnih podmatrica nije
najjednostavniji način određivanja ranga matrice – promotrimo, na primjer, matricu:
 1 −2 1 3 


A =  1 3 1 −2 
 2
1 2
1
Da bismo utvrdili da je r ( A ) = 2 , trebalo bi izračunati vrijednost determinanti svih triju mogućih
kvadratnih podmatrica reda 3 i uvjeriti se da su sve te determinante jednake 0.
Umjesto toga, za izračunavanje ranga matrice iskoristit ćemo tvrdnju sljedećeg teorema, koju
iskazujemo bez dokaza.
Teorem: Elementarne transformacije ne mijenjaju rang matrice.
Ovaj ćemo teorem iskoristiti tako što ćemo provođenjem elementarnih transformacija svesti
matricu na ekvivalentan oblik iz kojeg jednostavno možemo očitati rang. Takav oblik matrice
nazivamo reducirana forma matrice, a definiramo kako slijedi.
Definicija:
Matrica Amn = ai j  je u reduciranoj formi ako vrijedi:
ako postoje, svi nul-retci (retci u kojima su svi elementi jednaki 0) su „na dnu“ matrice;
za svaki i vrijedi da su svi elementi u i-tom stupcu ispod elementa Aii jednaki 0.
Nakon što provođenjem elementarnih transformacija svedemo matricu na njenu reduciranu
formu, rang matrice odredit ćemo s pomoću sljedeće definicije.
Definicija: Rang r ( A ) matrice Amn = ai j  je broj ne-nul redaka u reduciranoj formi matrice A.
Postupak svođenja matrice na njenu reduciranu formu vrlo je jednostavan, a prepoznavanje
ranga matrice koja je u reduciranoj formi još jednostavnije – treba prebrojati ne-nul retke te matrice.
16
Matrice
Matricu svodimo na njenu reduciranu formu tako da po stupcima redom, slijeva nadesno,
provodimo sljedeće transformacije:
ako je aii = 0, zamjenjujemo i-ti redak matrice s nekim retkom ispod njega, tako da na
mjesto aii dođe element različit od 0 (ako takav redak postoji ispod i-tog retka);
zamjenu redaka možemo (ali ne moramo) napraviti i ako je aii ≠ 0, ali se negdje ispod
njega u i-tom stupcu nalazi element koji je jednak 1 ili –1. Ovakva zamjena će nam
olakšati sljedeći korak svođenja na reduciranu formu;
redom provodimo elementarne transformacije po retcima ispod i-tog retka tako da svi
a
elementi u i-tom stupcu postanu 0 (j-tom retku dodajemo i-ti redak pomnožen sa − ji ).
aii
Jednostavnost ovog postupka nije toliko vidljiva iz njegova općenitog opisa, koliko na
konkretnom primjeru: sljedeću matricu svest ćemo na njenu reduciranu formu:
 2 −4 3 4 
A =  −1 2 0 1 ~
 3
1 2 −1
 −1
 zamjena prva dva  
~
~ 2
 retka - jednostavnije   3

 −1 2
 3 ⋅ prvi redak  
~
~ 0 0
 dodajemo trećem   0 7

2 0 1
 −1 2 0 1
  2 ⋅ prvi redak  

−4 3 4  ~ 
 ~  0 0 3 6 ~
dodajemo
drugom
  3 1 2 −1
1 2 −1 


0 1
 −1 2 0 1
  zamjena 2. i 3.  

3 6 ~ 
 ~  0 7 2 2
retka
zbog
nule
  0 0 3 6
2 2  


Vidimo da matrica A ima tri ne-nul retka u svojoj reduciranoj formi, pa je r ( A ) = 3 .
Evo još jednog primjera svođenja na reduciranu formu:
1
 2 −3

A = 1
1 −1 ~
 1 6 −4 
1 −1
1 −1
1
1
 zamjena prva dva  
  -2 ⋅ prvi redak  

~
1 ~ 
 ~  2 −3
 ~ 0 −5 3  ~
retka
jednostavnije
dodajemo
drugom

  1 6 −4  
  1 6 −4 




1 −1
1
 1 1 −1
 −1 ⋅ prvi redak  
 
  drugi redak

~
3 ~ 
 ~ 0 −5
 ~ 0 −5 3 
dodajemo
trećem
dodajemo
trećem

 0 5 −3  
 0 0 0 




Vidimo da matrica A ima dva ne-nul retka u svojoj reduciranoj formi, pa je r ( A ) = 2 .
Konačno, iskažimo (bez dokaza) teorem koji povezuje regularnost matrice (pa onda i postojanje
inverzne), rang matrice i determinantu matrice.
Teorem: Sljedeće tvrdnje su ekvivalentne (vrijede ili sve tri ili nijedna):
Kvadratna matrica An je regularna;
Rang kvadratne matrice An jednak je n (kažemo da matrica ima „puni rang“);
Determinanta kvadratne matrice An različita je od 0.
17
Matematika – Stručni studij Građevinarstvo
2. Sustavi linearnih jednadžbi
U uvodnome dijelu, u kojem smo se prisjetili nekih poglavlja iz osnovno- i srednjoškolske
matematike, detaljno smo raspravili sustave dviju linearnih jednadžbi s dvije nepoznanice.
Posebno smo naglasili mogući broj rješenja sustava dviju linearnih jednadžbi s dvije
nepoznanice:
jedinstveno rješenje (postoji točno jedan uređeni par (x0, y0) realnih brojeva koji
zadovoljavaju obje jednadžbe);
nijedno rješenje (nijedan par (x0, y0) realnih brojeva ne zadovoljava obje jednadžbe);
beskonačno mnogo rješenja (postoji beskonačno mnogo uređenih parova (x0, y0)
realnih brojeva koji zadovoljavaju obje jednadžbe – pritom su x0 i y0 povezani jednom
jednadžbom sustava, tj. za proizvoljno odabrani x0 postoji točno jedan y0 – ili, za
proizvoljno odabrani y0 točno jedan x0 – tako da je (x0, y0) rješenje sustava).
U ovom ćemo poglavlju poopćiti naša razmatranja na sustav linearnih jednadžbi koji ima m
jednadžbi i n nepoznanica, pri čemu ne mora nužno biti n = m.
Na samome početku slijedi niz definicija – svojevrstan dogovor o nazivima pojmova i objekata s
kojima se susrećemo pri rješavanju ovih sustava.
Definicija:
Linearna jednadžba s n nepoznanica je jednadžba oblika:
a1x1 + a2 x 2 + … + an x n = b .
Realni brojevi ai su koeficijenti jednadžbe. Realan broj b je slobodni član jednadžbe.
Definicija:
Rješenje linearne jednadžbe a1x1 + a2 x 2 + … + an x n = b je svaka uređena n-torka realnih brojeva
(x1, ..., xn) koji zadovoljavaju jednadžbu.
Definicija:
Sustav od m linearnih jednadžbi s n nepoznanica je sustav oblika:
a11x1 + a12 x2 + … + a1n xn = b1
a21x1 + a22 x2 + … + a2 n xn = b2
⋮
am1x1 + am 2 x2 + … + amn xn = bm
Realni brojevi aij su koeficijenti sustava. Realni brojevi bi su slobodni članovi sustava.
Definicija:
Rješenje sustava od m linearnih jednadžbi s n nepoznanica je svaka uređena n-torka realnih
brojeva (x1, ..., xn) koji zadovoljavaju svaku od jednadžbi sustava.
18
Sustavi linearnih jednadžbi
Postupak kojim ćemo rješavati ove sustave sastoji se od tri osnovna koraka:
formiranja matričnog zapisa sustava;
svođenja matričnog zapisa na reduciranu formu provođenjem elementarnih
transformacija po retcima; i
utvrđivanja postojanja rješenja, naravi rješenja i samoga skupa rješenja sustava iz
reducirane forme matričnog zapisa.
Primijetimo da se sustav od m linearnih jednadžbi s n nepoznanica može zapisati u obliku
umnoška sljedećih matrica:
 a11
a
 21
 ⋮

am1
a12
a22
⋯
⋯
⋮
⋮
⋯
am 2
a1n 
 b1 
 x1   

a2 n     b2 
.
⋅ ⋮ =
⋮     ⋮ 
 x   
amn   n   bm 
Ako matricu sustava (matricu koeficijenata sustava) označimo sa A, vektor (jednostupčanu
matricu) nepoznanica sa x, a vektor slobodnih članova sa b, sustav možemo zapisati kao
matrični umnožak:
A⋅x = b
Doista, primjenom pravila za množenje matrica vidimo da je zapis množenja i-toga retka prve
matrice vektorom u kojem su nepoznanice xi, upravo zapis i-te jednadžbe sustava – na primjer,
množenje drugog retka nam daje jednadžbu:
a21x1 + a22 x 2 + … + a2 n x n = b2
Definicija: Proširena matrica sustava od m linearnih jednadžbi s n nepoznanica je matrica Ap:
Ap = [ A
 a11
a
b ] =  21
 ⋮

am1
a12
a22
⋯
⋯
a1n
a2 n
⋮
⋮
⋯
⋮
am 2
amn
b1 
b2 
.
⋮ 

bm 
Uočite da proširena matrica sustava nije ništa drugo do matrični zapis sustava u kojem je u
svakom retku zapisana jedna jednadžba sustava! Korisno se sjetiti ove jednostavne činjenice u
slučajevima poput nedoumica oko postojanja rješenja sustava, broja rješenja sustava i slično.
Najavili smo da ćemo nakon formiranja matričnog zapisa sustava taj matrični zapis svesti na
reduciranu formu provođenjem elementarnih transformacija po retcima. Način svođenja na
reduciranu formu već smo upoznali u prethodnom poglavlju – trebamo još samo razmotriti što
elementarne transformacije po retcima znače za skup rješenja sustava:
zamjena dvaju redaka proširene matrice sustava odgovara zamjeni redoslijeda
jednadžbi u sustavu;
množenje retka matrice brojem različitim od nule odgovara množenju jednadžbe
sustava brojem različitim od nule;
dodavanje jednog retka matrice drugome odgovara dodavanju jedne jednadžbe
sustava drugoj.
Lako je vidjeti da nijedna od ovih transformacija ne mijenja skup rješenja sustava.
19
Matematika – Stručni studij Građevinarstvo
Definicija:
Kažemo da su sustavi linearnih jednadžbi ekvivalentni ako su njihove proširene matrice
sustava ekvivalentne.
Teorem: Ekvivalentni sustavi imaju isti skup rješenja.
Prema tome, svođenjem proširene matrice sustava na reduciranu formu, čuvamo skup rješenja
početnoga sustava. Kao što smo već spomenuli, iz reducirane forme proširene matrice sustava
najprije utvrđujemo narav (odnosno, broj) rješenja, a potom određujemo sama rješenja.
O naravi rješenja sustava linearnih jednadžbi govori nam sljedeći važan teorem.
Teorem (Kronecker – Capelli):
Neka je sustav od m linearnih jednadžbi s n nepoznanica matrično prikazan sa A ⋅ x = b . Vrijedi:
Sustav ima rješenje ako i samo ako je r ( A ) = r ( Ap ) (odnosno, sustav nema rješenja
ako je r ( A ) < r ( Ap ) );
Ako je r ( A ) = r ( Ap ) = n , sustav ima jedinstveno rješenje;
Ako je r ( A ) = r ( Ap ) < n , sustav ima beskonačno rješenja, odnosno parametarsko
rješenje sa n − r ( A ) parametara.
Kao što vidimo iz teorema, postojanje i narav rješenja sustava linearnih jednadžbi posljedica su
ranga matrice sustava i proširene matrice sustava. Evo nekoliko napomena koje bi trebale
pomoći lakšem razumijevanju teorema:
Proširena matrica sustava Ap nastaje tako da matrici sustava A zdesna dodamo vektor
slobodnih članova b. Jasno je da na dodavanjem jednoga retka matrici ne možemo
smanjiti rang, tj. da on može ostati nepromijenjen ili se povećati za 1. Prema tome,
uvijek vrijedi r ( A ) ≤ r ( Ap ) ;
Zbog čega sustav nema rješenja ako je r ( A ) < r ( Ap ) ? Odgovor na ovo pitanje
jednostavan je ako razmotrimo na koji način uopće može biti r ( A ) < r ( Ap ) . To znači da
negdje u proširenoj matrici sustava imamo redak oblika
⋮

0
⋮
0
⋮
⋯
⋮
0
⋮
, t ≠ 0 .
t
Prisjetimo se: svaki redak proširene matrice zapravo je skraćeni zapis jedne od
jednadžbi sustava; u ovom slučaju, ta jednadžba glasi
0 ⋅ x1 + 0 ⋅ x 2 + … + 0 ⋅ x n = t , t ≠ 0 ,
što je, naravno, nemoguće pa sustav nema rješenja;
Ako je rang matrice sustava jednak broju nepoznanica, to zapravo znači da doista
imamo n jednadžbi koje „postavljaju uvjete“ na nepoznanice, pa će takav sustav imati
jedinstveno rješenje (za bolje razumijevanje po potrebi pogledajte još jednom raniju
raspravu o broju rješenja sustava dviju linearnih jednadžbi s dvije nepoznanice).
20
Sustavi linearnih jednadžbi
Postupak rješavanja sustava linearnih jednadžbi provest ćemo primjenom takozvane Gaussove
metode eliminacije, koja se sastoji od sljedećih koraka:
Proširena matrica sustava se provođenjem elementarnih transformacija po retcima
svede na reduciranu formu;
Primjenom Kronecker-Capellijeva teorema utvrdi se postojanje i narav rješenja;
Ako rješenje postoji, utvrđuje ga se postupnim rješavanjem od posljednje prema prvoj
jednadžbi u reduciranome matričnom zapisu sustava.
Provođenje Gaussove metode eliminacije jednostavan je postupak za koji je, u osnovi, dovoljno
jednom ili dvaput riješiti s razumijevanjem po jedan sustav bez rješenja, sustav s jedinstvenim
rješenjem i sustav s parametarskim rješenjem. Pogledajmo tri primjera primjene ove metode.
Primjer: Gaussovom metodom eliminacije riješite sustav linearnih jednadžbi:
x1 + 2 x 2 − x 3 = 4
2 x1 + 2 x 2 − x 3 = 6
x1 + 4 x 2 − 3 x 3 = 6
1

2
 1
2
−1
2
−1
4
−3
4  1
 
6  ~ 0
6  0
2
−1
−2
1
2
−2
4  1
 
−2  ~  0
2  0
2
−1
−2
1
0
−1
4

−2 
0 
Rangovi matrice sustava i proširene matrice: r ( A ) = r ( Ap ) = 3 ;
Rangovi su međusobno jednaki i jednaki broju nepoznanica, pa imamo jedinstveno
rješenje koje ćemo dobiti rješavajući redom jednadžbe od posljednje prema prvoj:
− x3 = 0
−2 x 2 + x3 = −2
x1 + 2 x 2 − x 3 = 4
x3 = 0
−2 x 2 + 0 = − 2
x1 + 2 − 0 = 4
x2 = 1
x1 = 2
2
Dakle, rješenje sustava je vektor x =  1 .
0 
Primjer: Gaussovom metodom eliminacije riješite sustav linearnih jednadžbi:
2 x 2 − x 3 = −1
2 x1 + 2 x 2 + x3 = 4
x1 + 2 x2 = −3
0

2
 1
2
−1
2
1
2
0
−1  1
 
4  ~ 2
−3  0
2
0
2
1
2
−1
−3   1
 
4  ~ 0
−1 0
2
0
−2
1
2
−1
−3   1
 
2  ~ 0
−1 0
2
0
−2
1
0
0
−3 

2
1
Na početku smo zamijenili prvi i treći redak matrice (zbog nule na dijagonali);
Rangovi matrice sustava i proširene matrice: r ( A ) = 2, r ( Ap ) = 3 ;
Rang matrice sustava manji je od ranga proširene matrice, pa sustav nema rješenja.
Primijetimo da smo do ovog zaključka mogli doći i bez Kronecker-Capellijeva teorema:
posljednja jednadžba sustava glasi 0 ⋅ x1 + 0 ⋅ x 2 + 0 ⋅ x3 = 1 , a to je očito nemoguće.
21
Matematika – Stručni studij Građevinarstvo
Napomena:
U prvome smo primjeru imali redak matrice [0
[0
0
0
0
−1
1] .
0 ] , a u drugom primjeru redak
Iako su naizgled slični, ovi su retci (u smislu rješavanja jednadžbe) potpuno različiti:
prvi od njih je kraći zapis jednadžbe − x3 = 0 , što znači da je x3 = 0 ;
drugi od njih je kraći zapis jednadžbe 0 ⋅ x1 + 0 ⋅ x 2 + 0 ⋅ x3 = 1 , odnosno 0 = 1 , što znači
da ovaj sustav linearnih jednadžbi nema rješenja.
Primjer: Gaussovom metodom eliminacije riješite sustav linearnih jednadžbi:
x1 + 2 x 2 − x 3 = 2
2 x1 + 3 x 2 − x 3 = 3
x1 + 3 x 2 − 2 x 3 = 3
1

2
 1
2
−1
3
−1
3
−2
2  1
 
3  ~ 0
3  0
2
−1
−1
1
1
−1
2  1
 
−1 ~ 0
1 0
2
−1
−1
1
0
0
2

−1
0 
Rangovi matrice sustava i proširene matrice: r ( A ) = r ( Ap ) = 2 ;
Rangovi su međusobno jednaki, sustav ima rješenje. Međutim, rangovi su manji od broja
nepoznanica, i to za 1 ( r ( A ) = r ( Ap ) = 2 , a sustav ima tri nepoznanice) – to znači da
sustav ima beskonačno mnogo rješenja, odnosno parametarsko rješenje s 3 – 2 = 1
parametrom;
U ovakvom slučaju, za vrijednost jedne od nepoznanica postavljamo parametar t (za
vrijednost parametra t moći ćemo uvrštavati bilo koji realan broj). Obično nam je
najjednostavnije parametar t postaviti kao vrijednost posljednje nepoznanice. Sada
rješavamo sustav „odozdo prema gore“ kao u prvome primjeru:
x3 = t
− x2 + x3 = −1
x1 + 2 x2 − x3 = 2
− x2 + t = −1
x2 = t + 1
x1 + 2 ⋅ ( t + 1) − t = 2
x1 = −t
0 
 −1


Rješenje sustava možemo zapisati u matričnom obliku kao x =  1 + t ⋅  1 .
0 
 1
Napomene:
Ponovimo još jednom: u sustavu s parametarskim rješenjem najčešće možemo kao
parametar t postaviti vrijednost bilo koje nepoznanice; ako to možemo, odabiremo
posljednju nepoznanicu radi jednostavnosti rješavanja.
U sva tri primjera smo rješavali sustave tri linearne jednadžbe s tri nepoznanice, a
dobili tri različite vrste rješenja (jedinstveno rješenje, bez rješenja, beskonačno mnogo
rješenja s jednim parametrom). Prema tome, ne možemo unaprijed znati narav
rješenja sustava samo na temelju broja nepoznanica i broja jednadžbi u sustavu!
22
Vektori
3. Vektori
U ovom ćemo poglavlju upoznati pojam vektora, njihova osnovna svojstva i operacije definirane
nad vektorima – a sve u trodimenzionalnome prostoru. Pritom ćemo najprije razmotriti vektore u
prostoru E3 „kao takvome“, a potom ćemo prostor koordinatizirati, tj. uspostavit ćemo
(trodimenzionalan pravokutni) koordinatni sustav.
Krenimo od pojma dužine. Neka su P i Q dvije točke. Znamo da tim dvjema točkama prolazi
točno jedan pravac. Dio toga pravca omeđen točkama P i Q (uključujući i te točke) nazivamo
dužinom PQ . Pritom ne razlikujemo početnu i krajnju točku dužine, tj. PQ = QP .
Ako nam je iz nekog razloga važno razlikovati početnu i završnu točku, tj. ako nas osim pravca
nositelja (pravca na kojem dužina leži) i duljine zanima i smjer (od početne ka završnoj točki
dužine PQ ), definiramo vektor PQ kojemu je P početna, a Q završna točka. Duljina vektora
(označavamo ju s PQ ) je duljina dužine PQ .
Prokomentirat ćemo detalj koji može izazvati konfuziju. Naime, naši vektori se (za sada) nalaze
„slobodni“ u trodimenzionalnom prostoru, tj. nismo ih „fiksirali“ nikakvim koordinatnim sustavom;
stoga ima smisla smatrati ekvivalentnima dva vektora jednake duljine koji leže na paralelnim
pravcima i „gledaju u istom smjeru“ (uskoro ćemo formalno definirati smjer vektora, no intuitivno
je jasno o čemu govorimo). Prema tome, mi razmatramo razrede (klase) ekvivalencije, i to
tako da je vektor kojeg razmatramo predstavnik svojega razreda ekvivalencije (u kojem je i
beskonačno drugih vektora). Lako vidimo da razred ekvivalencije čine svi vektori koje možemo
dobiti tako da bilo kojega predstavnika razreda translatiramo u prostoru.
Definicija: Vektori PQ
1 1 i P2Q2 su ekvivalentni ako
Q1
se dužine PQ
1 2 i P2Q1 međusobno raspolavljaju.
Q2
n
m
n
m
P1
P2
Definicija:
Nul-vektor je vektor PP s istom početnom i završnom točkom (oznaka 0 );
Jedinični vektor je svaki vektor duljine 1;
Dva su vektora kolinearna ako leže na istome pravcu ili na paralelnim pravcima;
Dva kolinearna vektora a i b mogu imati isti smjer
ili suprotne smjerove, što definiramo na sljedeći
način: uzmemo njihove predstavnike PQ1 i PQ2 koji
imaju zajedničku početnu točku P. Smjer je isti ako
su im završne točke s iste strane točke P (lijeva
slika), a suprotan ako su završne točke na suprotnim
stranama točke P (desna slika).
Q2
Q2
Q1
P
P
Q1
23
Matematika – Stručni studij Građevinarstvo
Definicija:
Kut između vektora a i b je kut između njihovih predstavnika
sa zajedničkom početnom točkom.
Napomena:
U definiciji kuta između dva vektora ne razlikujemo „prvi“ i „drugi“ vektor, tj. ne govorimo o
smjeru kuta. Stoga kut između dva vektora može poprimiti vrijednosti između 0 i π.
Iz do sada izloženoga zaključujemo:
vektor PQ je jednoznačno određen s tri podatka: pravcem na kojem leže točke P i Q,
duljinom i smjerom;
dva su vektora ekvivalentna ako su kolinearni, iste duljine i istog smjera.
3.1 Operacije s vektorima
Kao i obično, nakon što definiramo neku strukturu definirat ćemo i operacije koje s tim
strukturama možemo izvoditi. U slučaju vektora spomenut ćemo:
zbrajanje (dva ili više) vektora;
množenje (jednog) vektora skalarom (brojem);
skalarni umnožak (dva) vektora;
vektorski umnožak (dva) vektora;
mješoviti umnožak (tri) vektora.
Za svaku od ovih operacija važno je znati što je njen rezultat (vektor ili broj) i kako se izvodi.
Zbrajanje vektora
Zbrajanjem dva ili više vektora kao rezultat dobivamo vektor.
Vektore možemo zbrajati primjenom jednoga od sljedeća dva pravila:
„pravilo trokuta“ – zbrajamo predstavnike tako da je početna točka drugog vektora
jednaka završnoj točki prvoga;
„pravilo paralelograma“ – zbrajamo predstavnike koji imaju zajedničku početnu točku.
Pravilo trokuta
24
Pravilo paralelograma
Zbrajanje više vektora
Vektori
Lako se vidi da zbrajanje vektora ima sljedeća svojstva:
komutativnost: a + b = b + a ;
(
)
(
)
asocijativnost: a + b + c = a + b + c ;
neutralnost nul-vektora s obzirom na zbrajanje: a + 0 = 0 + a = a .
Zadatak:
Nacrtajte proizvoljan trokut ABC. Koliko je AB + BC + CA ?
Rješenje:
Zbrajanjem po pravilu trokuta vidimo da je AB + BC + CA = AA = 0 .
Množenje vektora skalarom (brojem)
Množenjem (jednog) vektora skalarom kao rezultat dobivamo vektor.
Za vektor a ≠ 0 i realni broj λ ≠ 0 definiramo umnožak λ a kako slijedi:
λ a je vektor kolinearan vektoru a ;
ako je λ > 0, onda λ a ima smjer jednak smjeru vektora a ;
ako je λ < 0, onda λ a ima smjer suprotan smjeru vektora a ;
duljina vektora λ a jednaka je |λ|| a | (pritom |λ| označava apsolutnu vrijednost realnoga
broja λ, a | a | označava duljinu vektora a ).
Ako je a = 0 ili λ = 0, umnožak λ a je nul-vektor.
Množenje vektora skalarom ima sljedeća svojstva:
1⋅ a = a ;
(
)
λ ⋅ a + b = λa + λ b ;
( λ ⋅ µ ) a = λ ⋅ ( µa ) .
Teorem: Vektori a i b su kolinearni ako i samo ako je a = λ b .
Definicija: Neka je zadan vektor a ≠ 0 . Jedinični vektor (ort) vektora a je vektor a0 =
a
.
a
Napomena:
Nemojte miješati pojmove „jedinični vektor“ (bilo koji vektor duljine 1) i „jedinični vektor
vektora a „ (vektor duljine 1 u smjeru vektora a );
Neformalno možemo reći da jedinični vektor vektora a „nosi“ prostornu informaciju o
vektoru a , a da nije „opterećen“ duljinom vektora a .
25
Matematika – Stručni studij Građevinarstvo
Zadatak:
Nacrtajte proizvoljan vektor a duljine 3, potom nacrtajte:
Pripadni jedinični vektor a0 ;
Vektore b = 2a i c = −3a ;
Vektor d koji je kolinearan i istog smjera kao a , a duljina mu je d = 5 .
Rješenje:
Jedinični vektor a0 dobivamo kao trećinu vektora a .
Vektor b je kolinearan, dvostruko dulji i istog smjera kao i a . Vektor c je kolinearan,
trostruko dulji i suprotnog smjera od smjera vektora a .
Vektor d dobivamo pomoću jediničnog vektora a0 : d = 5a0 .
Množenje vektorâ
Upoznat ćemo se s dva osnovna načina na koje množimo vektore – skalarnim i vektorskim
umnoškom – kao i s njihovom kombinacijom, tzv. mješovitim umnoškom. Ove su operacije
prilično jednostavne ako se vodi računa o tome koja od njih kao rezultat daje skalar (broj), a
koja vektor.
Definicija: Neka su zadani vektori a , b i c . Definiramo:
Skalarni umnožak (dva) vektora: a ⋅ b = a ⋅ b cos ϕa,b ;
Vektorski umnožak (dva) vektora: a × b = c , gdje je:
vektor c okomit na vektore a i b ;
c = a ⋅ b sin ϕ a,b ;
vektori a , b i c čine tzv. desni (pozitivan) sustav, tj. vektor c nalazi se na onoj
strani na koju bi napredovao desni („normalan“) vijak kada ga se zakreće od vektora a
prema vektoru b ;
(
)
Mješoviti umnožak (tri) vektora je umnožak a × b ⋅ c .
Važno je znati:
Skalarni umnožak dva vektora je broj;
Skalarni umnožak najčešće koristimo kao „alat za ispitivanje kuta između vektora“
(posebno, za utvrđivanje okomitosti dvaju vektora);
Vektorski umnožak dva vektora je vektor;
Vektorski umnožak najčešće koristimo kao „alat za postizanje okomitosti“ (u smislu da
pomoću njega dobivamo vektor koji je okomit na oba zadana vektora);
Mješoviti umnožak tri vektora je broj. Apsolutna vrijednost mješovitog umnoška jednaka je
volumenu paralelepipeda kojeg razapinju vektori a , b i c .
26
Vektori
Neka svojstva skalarnog umnoška su:
komutativnost: a ⋅ b = b ⋅ a ;
(
)
distributivnost prema zbrajanju: a ⋅ b + c = a ⋅ b + a ⋅ c ;
( )
λ a ⋅ b = (λa) ⋅ b ;
ako su dva vektora različita od nul-vektora, okomiti su ako im je skalarni umnožak 0;
cos ϕ a,b =
a⋅b
a⋅b
;
2
a = a ⋅a .
Neka svojstva vektorskog umnoška su:
antikomutativnost: a × b = − b × a ;
(
)
distributivnost prema zbrajanju: a × b + c = a × b + a × c ;
(
)
λ a × b = (λa ) × b ;
Prisjetimo se: jedna od formula za površinu trokuta sa stranicama a i b je
a ⋅ b ⋅ sin φa,b
. Iz definicije vektorskog umnoška vidimo da je površina trokuta kojeg
P∆ =
2
određuju vektori a i b jednaka polovini duljine vektorskog umnoška a × b :
1
P∆ = ⋅ a × b .
2
3.2 Koordinatizacija prostora
Do sada smo govorili o vektorima kao predstavnicima razreda ekvivalencije, pri čemu smo
trodimenzionalni prostor E3 promatrali bez ikakvoga referentnog sustava koji bi nam
omogućavao razmatranje (međusobnog) položaja točaka (pa onda i objekata) u prostoru.
Analogno koordinatnom sustavu na pravcu, a potom i u ravnini (koje ste upoznali tijekom
dosadašnjeg školovanja), trodimenzionalni prostor ćemo koordinatizirati kako slijedi:
odabiremo jednu točku u prostoru kao ishodište (oznaka: O);
odabiremo tri međusobno okomita brojevna pravca (koordinatne osi: x-os, y-os i z-os) koji
prolaze ishodištem;
koordinatnim osima pridjeljujemo nazive tako da tvore tzv. desni koordinatni sustav, tj. tako
da se z-os nalazi u smjeru napredovanja desnog vijka kada ga se zakreće od pozitivnoga
dijela x-osi prema pozitivnome dijelu y-osi.
Ovako definiran koordinatni sustav nazivamo Kartezijev pravokutni koordinatni sustav.
Napomena:
Ovo nipošto nije jedini način koordinatizacije prostora. Štoviše, brojne su situacije u kojima nije
ni najprikladniji. Međutim, u okvirima ovog predmeta koristit ćemo se samo Kartezijevim
pravokutnim koordinatnim sustavom.
27
Matematika – Stručni studij Građevinarstvo
U koordinatiziranome prostoru svaka točka A jedinstveno je određena svojim trima
koordinatama, pišemo A(xA, yA, zA).
Definirajmo na koordinatnim osima redom jedinične vektore i , j i k kao vektore koji imaju
početnu točku u ishodištu, a krajnju u točkama (redom) (1, 0, 0), (0, 1, 0) i (0, 0, 1). Lako se vidi
da je svakoj točki A jednoznačno pridružen vektor a = OA , kao i da vrijedi jednakost
a = x A i + y A j + zA k .
Kažemo da smo vektor a prikazali kao linearnu kombinaciju vektora i , j i k . Zbog toga
možemo vektor a također označavati preko njegovih „koordinata“: a = ( x A , y A , zA ) .
Napomena:
Oznaka a = ( x A , y A , zA ) upotrijebljena je kako bi se naglasila veza vektora a i točke A u
koordinatnome prostoru. Ubuduće ćemo koristiti oznaku vektora a = ( ax , ay , az ) .
z
zA
A
1
→
a
→
k
→
1
yA
j
→
i
0
1
y
xA
x
Napomena:
U ovako definiranome koordinatnom sustavu svaki razred ekvivalencije vektora ćemo
predstavljati onim njegovim predstavnikom kojemu je početna točka u ishodištu, tj. takozvanim
radij-vektorom.
Lako se vide sljedeća svojstva jediničnih vektora i , j i k :
i ⋅ i = j ⋅ j = k ⋅ k = 1;
i ⋅ j = j ⋅k = k ⋅i = 0;
i ×i = j × j = k ×k = 0;
i × j = k , j ×k = i , k ×i = j .
Dokazivanje ovih svojstava jediničnih vektora ilustrirat ćemo na primjerima:
po definiciji skalarnog umnoška, vrijedi i ⋅ i = i ⋅ i ⋅ cos ϕ ii = 1 ⋅ 1 ⋅ cos 0 = 1;
po definiciji skalarnog umnoška, vrijedi i ⋅ j = i ⋅ j ⋅ cos ϕij = 1⋅ 1⋅ cos
28
π
2
=0;
Vektori
po definiciji vektorskog umnoška, i × i je vektor čija je duljina jednaka
i ⋅ i ⋅ sin ϕ ii = 1 ⋅ 1 ⋅ sin 0 = 0 ; dakle, to je nul-vektor;
po definiciji vektorskog umnoška, i × j je vektor čija je duljina jednaka
i ⋅ j ⋅ sin ϕij = 1⋅ 1⋅ sin
π
= 1 , koji je okomit na vektore i i j , a orijentiran je po „pravilu
2
desnog vijka“ – dakle, to je vektor k .
Iz definicije operacija s vektorima i njihovih svojstava te iz svojstava jediničnih vektora slijedi da
je u koordinatiziranome prostoru:
a + b = ( ax + bx , ay + by , az + bz ) ;
λa = ( λax , λay , λaz ) ;
(
)(
)
a ⋅ b = ax i + ay j + az k ⋅ bx i + by j + bz k = ( distributivnost prema zbrajanju) =
= ax ⋅ bx + ay ⋅ by + az ⋅ bz
a × b = i ( ay bz − az by ) − j ( ax bz − az bx ) + k ( ax by − ay bx ) ;
(a × b ) ⋅ c = a (b c
x
y
z
− bz c y ) − ay ( bx cz − bz c x ) + az ( bx c y − by c x ) .
Nadalje, lako se vidi da u koordinatiziranome prostoru vrijedi AB = ( xB − xA , y B − y A , zB − zA ) .
Vektorski umnožak izračunavamo kao vrijednost determinante (razvoj po prvom retku):
i
j
a × b = ax
bx
ay
by
k
az = i (ay bz − az by ) − j (a x bz − az bx ) + k (a x by − ay bx ) .
bz
Mješoviti umnožak izračunavamo kao vrijednost determinante (budući da su elementi
determinante realni brojevi, jednako je jednostavno primijeniti razvoj po prvom retku ili
Sarrusovo pravilo):
ax
a × b ⋅ c = bx
cx
(
)
ay
by
cy
az
bz = ax (by c z − bz c y ) − ay (bx c z − bz c x ) + az (bx c y − by c x ) .
cz
Iz definicije operacija s vektorima i svojstava pojedinih operacija slijedi:
Vektori a i b su okomiti ako im je skalarni umnožak jednak nuli:
ax bx + ay by + az bz = 0 .
Vektori a i b su kolinearni ako su im koordinate proporcionalne:
ax = λbx , ay = λby , az = λbz ;
Duljina vektora je kvadratni korijen „skalarnoga kvadrata“, odnosno skalarnoga
umnoška vektora sa samim sobom:
a =
a ⋅a =
a x 2 + ay 2 + az 2
Kut između dva vektora računamo s pomoću definicije skalarnog umnoška:
ax bx + ay by + az bz
cos φa,b =
;
2
ax + ay 2 + az 2 ⋅ bx 2 + by 2 + bz 2
29
Matematika – Stručni studij Građevinarstvo
Zadatak:
Gdje su u koordinatnome sustavu vektori (točke) kojima je:
točno jedna koordinata jednaka nuli?
točno dvije koordinate jednake nuli?
Rješenje:
Ako je jedna koordinata vektora jednaka nuli, vektor leži u koordinatnoj ravnini određenoj
s preostale dvije koordinate (npr. vektor a = (–1, 1, 0) leži u xy-koordinatnoj ravnini).
Ako su dvije koordinate vektora jednake nuli, vektor leži na koordinatnoj osi određenoj
trećom koordinatom (npr. vektor a = ( −2, 0, 0) leži na x-osi).
Zadatak:
Zadani su vektori a = ( −1, − 1, 0) , b = (1, − 2, 2 ) i c = ( 0, 3, 4 ) .
Nacrtajte ove vektore u koordinatnom sustavu i izračunajte:
2a – 4b ,
a ⋅ b;
| c |;
kut između vektora a i b ;
a × b;
(a × b ) ⋅c .
Rješenje:
2a − 4b = 2 ⋅ ( −1, − 1, 0 ) − 4 ⋅ (1, − 2, 2) = ( −6, 6, − 8 )
a ⋅ b = −1⋅ 1 + ( −1) ⋅ ( −2) + 0 ⋅ 2 = 1
c = 02 + 32 + 42 = 5
cos ϕa,b =
a⋅b
a⋅b
−3
2⋅ 9
=−
2
3π
;ϕ=
2
4
i
a × b = −1
1
j
−1
−2
k
0 = i ( −2 − 0 ) − j ( −2 − 0 ) + k ( 2 + 1) = −2i + 2 j + 3k
2
−1
−1
0
1
0
−2
3
(a × b ) ⋅ c =
30
=
2 = −1 ⋅ ( −8 − 6 ) − ( −1) ⋅ ( 4 − 0 ) + 0 ⋅ ( 3 + 2 ) = 18
4
Vektori
Zadatak:
Zadani su vektori a = ( −1, − 1, 0) i b = (1, − 2, 2 ) .
Odredite koordinate nekoliko proizvoljnih vektora koji su kolinearni vektoru a ;
Odredite koordinate nekoliko proizvoljnih vektora koji su okomiti na vektor a ;
Odredite koordinate nekoliko proizvoljnih vektora koji su okomiti i na a i na b ;
Odredite koordinate jediničnih vektora a0 i b0 ;
Odredite koordinate vektora koji je kolinearan vektoru b , a duljina mu je 10.
Rješenje:
Tražene vektore dobivamo kako slijedi:
Vektoru a bit će kolinearan svaki vektor s proporcionalnim koordinatama, npr.:
c (–2, –2, 0); c (–3, –3, 0); c (5, 5, 0); itd.
Na vektor a bit će okomit svaki vektor čiji je skalarni umnožak s a jednak nuli. Jednu
od koordinata biramo proizvoljno, a preostale dobivamo tako da budu jedno od rješenja
jedne jednadžbe s dvije nepoznanice. Na primjer:
▪ Vektor oblika (0, cy, cz): mora biti –1 ⋅ cy + 0 ⋅ cz = 0.
Možemo uzeti c (0, 0, 1); c (0, 0, –3), itd.;
▪ Vektor oblika (cx, cy, 0): mora biti –1 ⋅ cx – 1 ⋅ cy = 0.
Možemo uzeti c (1, –1, 0); c (–2, 2, 0), itd.;
Na oba vektora bit će okomiti svi vektori kolinearni njihovom vektorskom umnošku. U
prethodnom zadatku izračunali smo a × b = ( −2, 2, 3 ) . Prema tome, svaki vektor oblika
( −2 t, 2 t, 3 t )
a0 =
b0 =
bit će okomit na a i b , npr. c (–2, 2, 3), c (4, –4, –6), itd.
 1

a
1
1
=
⋅ ( −1, 1, 0 ) =  −
,
, 0 ;
a
2
2
2 

b
b
=
1
2 2
1
⋅ (1, − 2, 2 ) =  , − ,  .
3
3 3
3
Postoje dva takva vektora. Međusobno su suprotni, a iznose 10 b0 i –10 b0 :
2 2   10
20 20 
20 
1
 10 20
c1 = 10 b0 = 10 ⋅  , − ,  =  , −
,
; c2 = −10 b0 =  − ,
,−
.

3 3  3
3 3 
3 
3
 3 3
31
Matematika – Stručni studij Građevinarstvo
4. Skupovi brojeva
4.1 Osnove matematičke logike
Kao uvod u naša razmatranja najprije skupova brojeva, a potom i funkcija definiranih na skupu
realnih brojeva, navest ćemo neke od elementarnih pojmova matematičke logike.
Definicija:
Sud (izjava) je svaka smislena izjavna rečenica koja je u danom trenutku ili istinita ili lažna.
Primjeri:
„4 je paran broj“ – ovo je sud koji je istinit uvijek;
„10 je troznamenkast broj“ – ovo je sud koji nikad nije istinit;
„Danas je utorak“ – ovo je sud koji je istinit ako danas doista jest utorak;
„Zeleni kanarinac ako možda ili ne“ – ovo nije smislena rečenica, pa nije ni sud.
Definicija:
Osnovne logičke operacije nad sudovima A i B su:
negacija ¬A („nije A“);
konjunkcija A ∧ B („A i B“);
disjunkcija A ∨ B („A ili B“);
implikacija A ⇒ B („Ako je A istina, onda je istina i B“ ili „Iz A slijedi B“ ili „A implicira B“);
ekvivalencija A ⇔ B („A je istina ako i samo ako je istina i B“ ili „A je ekvivalentno B“).
Primjeri:
Negacija (istinitoga) suda „4 je manje od 10“ je (neistinit) sud „4 nije manje od 10“.
Negacija „mijenja“ istinitost suda;
Konjunkcija sudova „2 + 2 = 4“ i „10 je negativan broj“ (od kojih je prvi istinit, a drugi
neistinit) je (neistinit) sud „2 + 2 = 4 i 10 je negativan broj“.
Konjunkcija A ∧ B je istinit sud samo ako su oba suda A i B istiniti sudovi;
Dovoljno je da barem jedan od sudova A i B ne bude istinit sud pa da konjunkcija A ∧ B
nije istinit sud;
Disjunkcija (istinitih) sudova „2 + 2 = 4“ i „10 je paran broj“ je (istinit) sud „2 + 2 = 4 ili je 10
paran broj“.
Uočimo da disjunkcija nije takozvano „isključivo ili“ (odnosno, „ili jedan ili drugi“);
U našem primjeru, disjunkcija nije sud „ili je 2 + 2 = 4, ili je 10 paran broj“;
Disjunkcija A ∨ B je istinita ako je barem jedan od sudova A i B istinit.
32
Skupovi brojeva
Implikacija sudova „Pada kiša“ i „Pločnici su mokri“ je sud „Ako pada kiša, onda su pločnici
mokri“.
Uočimo da ovaj sud ne znači i „Ako ne pada kiša, onda pločnici nisu mokri“ – moguće
je da kiša ne pada, a da pločnici budu mokri na neki drugi način (polijevanjem);
Uočimo da ovaj sud znači i „Ako pločnici nisu mokri, onda ne pada kiša“ – nemoguće je
da pločnici ne budu mokri, a da kiša pada.
Ekvivalencija sudova „Student je položio ispit“ i „Student je znao odgovore na ispitu“ je sud
„Student je položio ispit ako i samo ako je znao odgovore na ispitu“.
Uočimo da ovaj sud znači „Student nije položio ispit ako i samo ako nije znao
odgovore na ispitu“;
Ekvivalencija dvaju sudova znači da oba jesu istinita ili da oba nisu istinita; ono što
znamo o istinitosti jednoga od njih, nužno vrijedi i za drugi sud.
Definicija:
Otvorena rečenica ili predikat je izjavna rečenica koja sadrži parametre i koja postaje sud
kada ti parametri poprime određenu vrijednost.
Primjeri:
„x je paran broj“;
„x je troznamenkast broj“;
„x je veći ili jednak 10“.
Sva tri primjera su istiniti, odnosno neistiniti, ovisno o tome koji se konkretan broj uvrsti na
mjesto parametra x.
Definicija:
Kvantifikatori su operatori koji određuju za koliko je vrijednosti parametara predikat istinit:
univerzalni kvantifikator ∀x, P ( x ) („za svaki x vrijedi P(x));
egzistencijalni kvantifikator ∃x, P ( x ) („postoji x takav da vrijedi P(x)).
Primjeri:
Evo nekoliko primjera rečenica u kojima koristimo sudove, logičke operacije i kvantifikatore
(Napomena: iako u ovom predmetu još nismo „službeno“ upoznali skupove brojeva, vjerujemo
da neće biti problem to što se ovdje pod „x“ podrazumijeva „broj“):
∀x, x > 2 „Za svaki x, x je veći od 2“ – neistinita;
∃x, x > 2 „Postoji x takav da je x veći od 2“ – istinita;
∃x, ( ( x > 2 ) ∧ ( x < 5 ) ) „Postoji x takav da je x veći od 2 i x manji od 5“ – istinita;
∀x, ( ( x > 2 ) ∨ ( x < 5 ) ) „Za svaki x, x je veći od 2 ili je x manji od 5“ – istinita;
(( x
∀x, ( ( x
∀x,
2
2
)
)
> 0 ) ∧ ( x < 10 ) )
2
> 0 ∨ ( x < 10 ) „Za svaki x, x je veći od 0 ili je x manji od 10“ – istinita;
„Za svaki x, x2 je veći od 0 i x je manji od 10“ – neistinita.
33
Matematika – Stručni studij Građevinarstvo
4.2 Skupovi
Svi imamo nekakvu intuitivnu ideju o pojmu skupa, ali kada tu ideju treba pretočiti u definiciju,
eto nas u problemu. Najčešći pokušaj je definicija po kojoj „skup čine objekti koje povezuje neko
zajedničko svojstvo“. Je li ova definicija korektna – odnosno, možemo li pomoću nje prepoznati
što jest, a što nije skup?
Primijenimo ovu definiciju na jednostavni primjer: mogu li elementi jednog skupa biti krava,
telefon i lopta? Naravno da mogu; ako iz nekih čudnih razloga želimo zadati skup čiji će
elementi biti krava, telefon i nogometna lopta, možemo to učiniti. Pritom je jedino „zajedničko
svojstvo“ ova tri elementa činjenica da pripadaju tome skupu.
Skup je jedan od temeljnih matematičkih pojmova i ne definira se. Skup je dobro definiran
(određen) ako se točno zna tko/što jest a tko/što nije njegov element. Neki od primjera
„skupova“ koji nisu dobro definirani su pametni (mladi, lijepi, ...) ljudi, visoke planine, duboka
mora, itd..
Nekoliko osnovnih napomena definicija koje bi trebale biti poznate iz ranijeg školovanja:
Definicija:
Skup možemo zadati:
nabrajanjem njegovih elemenata – na primjer, A = {1, 3, 7, 9} ;
navođenjem svojstva koje njegovi elementi moraju zadovoljavati:
{Ljudi mlađi od 25 godina} , {Parni brojevi manji od 72} .
Dva skupa su jednaka ako sadrže iste elemente.
Broj elemenata skupa A zovemo kardinalni broj skupa A i označavamo s c(A).
Skup bez elemenata nazivamo prazan skup, i označavamo sa ∅. Prazan skup sadržan je
u svakome skupu, a njegov kardinalni broj je 0.
Definicija:
Skup A je podskup skupa B (pišemo A ⊆ B ), ako je svaki element skupa A ujedno i element
skupa B. Posebno, ako je pritom A ≠ B , kažemo da je skup A pravi podskup“ skupa B i
pišemo A ⊂ B .
Definicija:
Presjek skupova A i B (pišemo A ∩ B ) je skup koji sadrži zajedničke elemente, dakle
elemente koji su i u skupu A i u skupu B;
Unija skupova A i B (pišemo A ∪ B ) je skup koji sadrži sve elemente koji su u barem
jednom od skupova A i B;
Razlika skupova A i B (pišemo A \ B ) je skup koji sadrži one elemente skupa A koji
nisu u skupu B;
Kartezijev umnožak skupova A i B (pišemo A × B ) je skup uređenih parova ( a, b )
takvih da je a ∈ A, b ∈ B .
34
Skupovi brojeva
Sljedeća slika prikazuje upravo definirane skupovne operacije presjeka, unije i skupovne
razlike:
Primjer: Odredite presjek, uniju i skupovnu razliku skupova:
A = {Neparni brojevi manji od 12} ;
B = {Djelitelji broja 12} .
Rješenje
A = {1, 3, 5, 7, 9,11} ;
B = {1, 2, 3, 4, 6, 12} ;
A ∩ B = {1, 3} ;
A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9, 11, 12} ;
A \ B = {5, 7, 9, 11} .
4.3 Skupovi prirodnih, racionalnih i cijelih brojeva (N, Z i Q)
Posebno će nas zanimati skupovi brojeva, a najviše skup realnih brojeva. Za početak,
razmotrimo skup prirodnih brojeva N.
Skup N definira se aksiomatski: za naše potrebe samo ćemo spomenuti da skup N gradimo
definiranjem elementa koji zovemo „jedinica“ i funkcije sljedbenika koja svakom prirodnom broju
pridružuje njegov sljedbenik (koji je također prirodan broj). Tako je broj 2 sljedbenik broja 1, broj
3 sljedbenik broja 2 (odnosno, „sljedbenik sljedbenika broja 1“), itd.
Vrijedi:
zbroj i umnožak dvaju prirodnih brojeva je prirodan broj;
razlika i kvocijent dvaju prirodnih brojeva nije nužno prirodan broj;
skup N ima beskonačno mnogo elemenata, ima najmanji i nema najveći element.
Sada je lakše; „dokopali“ smo se osnovnoga skupa brojeva – ostale skupove dobit ćemo
njegovim proširivanjem. Motivi za proširivanje su dvojaki: „matematički“ – na primjer, željeli
bismo skup brojeva u kojem bi bile definirane sve računske operacije, i „životni“ – željeli bismo
skup brojeva kojima bismo mogli iskazati različite primjere iz života.
Zapamtimo: nula nije prirodan broj! Za situacije u kojima osim prirodnih brojeva razmatramo i
nulu, koristimo skup N0 koji definiramo na sljedeći način: N0 = N ∪ {0} .
35
Matematika – Stručni studij Građevinarstvo
Prvo „pravo“ proširenje skupa N je skup cijelih brojeva Z, koji osim prirodnih brojeva i nule
sadrži i negativne cijele brojeve: Z = {0, 1, –1, 2, –2, 3, –3, ...}.
Vrijedi:
zbroj, razlika i umnožak dvaju cijelih brojeva je cijeli broj;
kvocijent dvaju cijelih brojeva nije nužno cijeli broj;
dijeljenje s nulom nije definirano;
skup Z ima beskonačno mnogo elemenata, nema najmanji ni najveći element.
Napomena:
Pogrešno je izjavljivati da je „neki broj podijeljen s nulom jednak beskonačno“ jer to nije istina!
Jedina istinita izjava o dijeljenju s nulom je da ono nije definirano ni na jednom skupu brojeva.
Na ovu napomenu ćemo se vratiti kada budemo razmatrali limes funkcije);
Sljedeće proširenje je skup racionalnih brojeva Q. Najjednostavnije (i ne sasvim precizno),
racionalni brojevi su razlomci.
p

Skup racionalnih brojeva definiran je sljedećim izrazom: Q =  : p, q ∈ Z, q ≠ 0
q


Uočite da smo i ovdje zabranili nulu u nazivniku (jer dijeljenje s nulom nije definirano). Još
jednom naglašavamo da se ne radi o tome da ćemo, nakon što definiramo beskonačnost,
„dopustiti“ da npr. 1/0 bude beskonačno – dijeljenje s nulom neće biti definirano ni tada.
Vrijedi:
zbroj, umnožak, i razlika dvaju racionalnih broja je racionalan broj. Kvocijent
p
q
racionalnih brojeva je racionalan broj ako je q ≠ 0, inače nije definiran;
skup Q ima beskonačno mnogo elemenata, nema najmanji ni najveći element;
za razliku od skupova N i Z, podskup skupa Q može imati i najmanji i najveći element,
a ipak imati beskonačno mnogo elemenata (na primjer, A = {z ∈ Z, 0 ≤ z ≤ 1} .
4.4 Skup realnih brojeva R
Skupovi brojeva koje smo do sada spomenuli ne sadrže broj koji je, na primjer, odgovor na
pitanje „Kolika mora biti stranica kvadrata da bi mu površina bila 2?“, odnosno rješenje
jednadžbe x 2 = 2 . Može se dokazati da rješenje ove jednadžbe, a koje zapisujemo kao
2,
nije racionalan broj tj. da se 2 ne može prikazati kao razlomak. Sve brojeve koje ne možemo
prikazati kao razlomak nazivamo iracionalni brojevi, i oni tvore skup iracionalnih brojeva I.
Skup realnih brojeva R je unija skupa racionalnih brojeva Q i skupa iracionalnih brojeva I.
Geometrijski prikaz brojeva
Prirodne, cijele i racionalne brojeve možemo prikazati na brojevnome pravcu: to je pravac na
kojemu smo odredili dvije točke i njima pridružili brojeve 0 i 1 (nakon čega svakome broju
možemo jednoznačno pridijeliti njemu pripadajuću točku brojevnog pravca).
36
Skupovi brojeva
Intuitivno je jasno i ne treba posebno dokazivati da prirodni i cijeli brojevi ne prekrivaju cijeli
brojevni pravac, tj. da postoji beskonačno mnogo točaka brojevnoga pravca kojima nismo
pridijelili nijedan prirodan (odnosno, cijeli) broj. Nešto je manje očita činjenica da ni racionalni
brojevi ne prekrivaju cijeli pravac – intuitivno nam izgleda da razlomaka ima „jako puno“ i da
prekrivaju cijeli pravac. Na slici vidimo jednostavan način kako se iracionalnome broju 2
pridjeljuje točka na brojevnome pravcu (dijagonala kvadrata stranice 1, za čiju duljinu po
Pitagorinom poučku znamo da je jednaka 2 , preslika se na brojevni pravac) – dakle, tek skup
realnih brojeva potpuno prekriva brojevni pravac.
Napomena:
Budući da je pridruživanje točaka brojevnog pravca realnim brojevima jednoznačno (svaka
točka pridružena je točno jednom broju, svaki broj ima točno jednu pridruženu točku),
pojednostavnjeno kažemo npr. „točki 1“, iako bi zapravo trebalo reći „točka na brojevnom
pravcu pridružena broju 1“. Slično ćemo pojednostavnjenje kasnije koristiti kod razmatranja
dvodimenzionalnoga koordinatnog sustava i grafova funkcija.
Podskupovi skupa R, intervali
Kao i za svaki drugi skup, podskupove skupova N, Z i Q označavali smo tako da u vitičastim
zagradama nabrojimo njihove elemente ili tako da navedemo svojstvo koje elementi
zadovoljavaju. Na isti način, naravno, možemo označavati i podskupove skupa R. Međutim, tek
u skupu R možemo definirati i posebnu vrstu podskupova, tzv. intervale.
Definicija: Za realne brojeve a i b, gdje je a < b, definiramo sljedeće podskupove:
otvoreni interval ( a, b ) = {x ∈ R, a < x < b} ;
zatvoreni interval [a, b ] = { x ∈ R, a ≤ x ≤ b} ;
poluotvoreni interval [a, b ) = {x ∈ R, a ≤ x < b} ;
poluotvoreni interval ( a, b ] = { x ∈ R, a < x ≤ b} .
Ovakav zapis podskupova skupa R praktičan nam je jer ćemo se intervalima često koristiti, pa
bi bilo naporno svaki put ispisivati „puni“ zapis skupa.
Osim toga, zapis intervala nas vizualno podsjeća da se u geometrijskom prikazu radi o dijelu
brojevnoga pravca od točke a do točke b.
Prisjetimo se: racionalni, cijeli ili prirodni brojevi x za koje je a < x < b ne prekrivaju sve točke
brojevnoga pravca između a i b.
37
Matematika – Stručni studij Građevinarstvo
Primjer: Odredite A ∩ B , A ∪ B i A \ B za skupove:
1 
A = [0, 1) , B =  , 2  ;
2 
A = [0, 1) , B = ( −1, 0] ;
A = [0, 1) , B = ( −1, 0 ) .
Rješenje: Rješenja zadatka prikazana su u sljedećoj tablici:
A
B
A∩B
A∪B
A\B
[0, 1)
1 
 2 , 2


1 
 2 , 1


[0, 2)
 1
0, 2 


[0, 1)
[0, 1)
( −1, 0]
{0}
( −1, 1)
( 0,1)
( −1, 0 )
∅
( −1, 1)
[0,1)
Definirali smo intervale kojima su rubovi realni brojevi s pomoću kojih, na primjer, jednostavno
možemo zapisati skup svih realnih brojeva većih od 0 i manjih od 5. Međutim, takva definicija
intervala nam ne omogućava zapisati u obliku intervala skupove poput sljedećih:
skup svih realnih brojeva manjih ili jednakih 1;
skup svih realnih brojeva većih od 2;
skup R.
Da bismo i ovakve skupove realnih brojeva mogli zapisati u obliku intervala (dakle, radi
jednostavnijeg zapisivanja izraza), skup R proširujemo s dva elementa koje nazivamo „minus
beskonačno“ (oznaka: −∞ ) i „beskonačno“ (oznaka: ∞ ). Ove elemente definiramo kako
slijedi:
∀x ∈ R , x < ∞;
∀x ∈ R , x > −∞.
Koristeći ova dva elementa, ranije spomenute skupove zapisujemo kao intervale kako slijedi:
skup svih realnih brojeva manjih ili jednakih 1: ( −∞, 1] ;
skup svih realnih brojeva većih od 2:
( 2, ∞ ) ;
skup R:
( −∞, ∞ ) .
Napomena:
− ∞ i ∞ nisu realni brojevi i za njih ne vrijede računske operacije definirane u skupu realnih
brojeva (zbog toga se uz − ∞ i ∞ kao granicu intervala uvijek stavlja obla zagrada). Skup R je
ostao kakav je bio i do sada, nema ni najmanji ni najveći element.
Nažalost, nerijetko se pokušava improvizirati nekakvo „računanje s beskonačnošću“: na primjer,
česta je (i pogubna) zabluda kako je ∞ − ∞ = 0 .
U poglavlju o limesu funkcije mi ćemo govoriti o tzv. „računanju s beskonačnošću“, ali ćemo
jasno odrediti što pod time podrazumijevamo.
38
Skupovi brojeva
Apsolutna vrijednost realnog broja
Apsolutna vrijednost realnog broja definira se kao:
 x,
x =
− x,
ako je x ≥ 0;
ako je x < 0.
Problem ponekad nastaje u pravilnom čitanju ove definicije, što se vidi kada treba u istoj formi
zapisati čemu je jednako, npr. |2x – 3|. Nerijetko se i ova apsolutna vrijednost (pogrešno!)
definira ovisno o tome je li x veći ili manji od nule.
Kod definicija poput ove (kao ni kod nekih drugih izraza koji nas tek očekuju) važno je ne
shvaćati x „doslovno“. Definicija apsolutne vrijednosti zapravo definira apsolutnu vrijednost bilo
kakvog „realnog izraza“. Nije jako matematički, ali nije ni pogrešno govoriti o „krumpirima“ (u
namjeri da se eliminira „robovanje“ x-u), pa u ovom slučaju reći da je apsolutna vrijednost
„krumpira“ definirana ovako:
 izraz,
izraz = 
−izraz,
ako je izraz ≥ 0;
ako je izraz < 0.
Osnovna svojstva apsolutne vrijednosti lako se provjere „zdravorazumski“:
x ⋅ y = x⋅y
x+y ≤ x + y
U ovim svojstvima govorimo o „ponašanju“ apsolutne vrijednosti pri množenju i zbrajanju, a x i y
su realni brojevi (ili izrazi – dakle, opet „krumpiri“) koji mogu biti pozitivni ili negativni – prema
tome, uz malo razmišljanja može se lako zaključiti što apsolutna vrijednost „radi“ umnošku ili
zbroju.
Geometrijska interpretacija apsolutne vrijednosti je sljedeća:
|x| je udaljenost broja x od nule na brojevnom pravcu;
|x – y| je međusobna udaljenost točaka x i y na brojevnom pravcu.
Primjer:
Analogno definiciji za x zapišite definiciju za 2x − 3 .
 2 x − 3, ako je 2x − 3 ≥ 0, tj. x ≥ 3 / 2
Rješenje: 2 x − 3 = 
.
−2x + 3, ako je 2x − 3 < 0, tj. x < 3 / 2
Primjer:
Riješite jednadžbu: 3 x − 2 = 1 .
Rješenje:
Za x <
2
1
jednadžba glasi −3 x + 2 = 1 , pa je jedno rješenje x = ;
3
3
Za x ≥
2
jednadžba glasi 3 x − 2 = 1, pa je drugo rješenje x = 1.
3
39
Matematika – Stručni studij Građevinarstvo
Ograničenost skupa realnih brojeva
Općenito (i gledano šire od matematičkog konteksta, kažemo da je „nešto“ ograničeno kada to
„nešto“ ima granicu.
Neki podskup skupa R može biti ograničen odozgo ili odozdo (naravno, može biti i neograničen)
– u skladu s općim poimanjem pojma ograničenosti, to znači da ima neku gornju ili donju
granicu.
Primjer:
Za koje od sljedećih skupova smatrate da imaju gornju granicu? Odredite neku gornju granicu
tim skupovima.
A = {x ∈ R, x ≤ 1} ;
B = { x ∈ R, x < 1} ;
C = { x ∈ R, x ≥ −1} .
Rješenje:
A = ( −∞, 1] . Svi elementi skupa A manji su od, na primjer, 10.
B = ( −∞, 1) . Svi elementi skupa B manji su od, na primjer, 5.
C = [ −1, ∞ ) . Ne postoji nijedna gornja granica skupa C.
Primijetite da skup A i skup B imaju beskonačno mnogo gornjih granica (kao gornju granicu
možemo uzeti svaki broj veći od 1). Posebno nas zanima najmanja od tih gornjih granica, tj.
najmanji broj od kojega su svi elementi skupa još uvijek manji ili jednaki.
U oba slučaja (i za skup A i za skup B), ta najmanja gornja granica je broj 1. Uočite da je ta
najmanja gornja granica element skupa A, a nije element skupa B.
Slično je i s traženjem donje granice nekoga podskupa skupa R: on će biti ograničen odozdo
ako ima neku donju granicu.
Primjer:
Za koje od sljedećih skupova smatrate da imaju donju granicu? Odredite im neku donju granicu.
A = { x ∈ R, x > 0} ;
B = { x ∈ R, 0 ≤ x ≤ 1} ;
C = { x ∈ R, x < −1} .
Rješenje:
A = ( 0, ∞ ) . Svi elementi skupa A veći su od, na primjer, –1;
B = [0, 1] . Svi elementi skupa B veći su od, na primjer, –5;
C = ( ∞, − 1) . Ne postoji nijedna donja granica skupa C.
40
Skupovi brojeva
Kao i u primjerima s gornjom granicom skupa, skup A i skup B imaju beskonačno mnogo donjih
granica (kao donju granicu možemo uzeti svaki broj manji od 0). Posebno nas zanima najveća
od tih donjih granica, tj. najveći broj od kojega su svi elementi skupa još uvijek veći ili jednaki.
U oba slučaja (i za skup A i za skup B), ta najveća donja granica je broj 0. Uočite da je ta
najmanja gornja granica element skupa B, a nije element skupa A.
Konačno, uočite da skup B ima i gornju i donju granicu.
Nakon ovakvog, intuitivnog određivanja donje i gornje granice, posve je razumljiva sljedeća
definicija ograničenosti skupa realnih brojeva, kao i pojmova vezanih uz ograničenost.
Definicija:
Skup S ⊆ R je ograničen odozdo ako postoji realni broj m koji je manji ili jednak od svih
elemenata iz S. Svaki ovakav broj m zovemo donja granica skupa S;
Ako je realni broj m najveća donja granica skupa S ⊆ R i ako je m ∉ S , kažemo da je m
infimum skupa S;
Ako je realni broj m najveća donja granica skupa S ⊆ R i ako je m ∈ S , kažemo da je m
minimum skupa S.
Definicija:
Skup S ⊆ R je ograničen odozgo ako postoji realni broj M koji je veći ili jednak od svih
elemenata iz S. Svaki ovakav broj M zovemo gornja granica skupa S;
Ako je realni broj M najmanja gornja granica skupa S ⊆ R i ako je M ∉ S , kažemo da je M
supremum skupa S;
Ako je realni broj M najmanja gornja granica skupa S ⊆ R i ako je M ∈ S , kažemo da je M
maksimum skupa S.
Definicija:
Skup S ⊆ R je ograničen ako je ograničen odozgo i odozdo.
Primjer:
Odredite (ako postoje) infimum, supremum, minimum i maksimum za skupove:
A = [1, 2 ) ;
B = ( −∞, 3] ;
D = ( −∞, ∞ ) .
Rješenje:
Skup A je ograničen; min ( A ) = 1 , sup ( A ) = 2 ;
Skup B je ograničen odozgo; max ( B ) = 3 ;
Skup C je neograničen.
41
Matematika – Stručni studij Građevinarstvo
4.3 Skup kompleksnih brojeva C
Definicija, pojmovi, računske operacije
Postupnim proširivanjem skupova brojeva došli smo do skupa R, odnosno do realnih brojeva
kojima smo uspjeli prekriti cijeli brojevni pravac (u smislu da je svakoj točki brojevnog pravca
pridružen točno jedan realan broj i svakom realnom broju točno jedna točka).
Međutim, u skupu R ne možemo riješiti, na primjer, jednadžbu x 2 = −1 ; ne postoji realan broj čiji
bi kvadrat bio jednak –1.
Očito postoji potreba za još jednim (konačnim :)) proširenjem skupa brojeva, odnosno
proširenjem skupa realnih brojeva R do skupa brojeva u kojem bi i jednadžbe poput x 2 = −1
imale rješenje.
Definicija:
Imaginarna jedinica i je broj takav da je i 2 = −1.
Skup kompleksnih brojeva C je skup brojeva oblika z = x + y i , gdje su x i y realni brojevi, a
i imaginarna jedinica.
U zapisu z = x + y i kompleksnoga broja, broj x zovemo realni dio kompleksnoga broja i
označavamo s Re(x), a broj y imaginarni dio kompleksnoga broja i označavamo s Im(x).
Nekoliko napomena o skupu kompleksnih brojeva C:
Prije svega, uočimo da je skup realnih brojeva R podskup skupa kompleksnih brojeva
C – naime, svaki se realan broj x može zapisati kao z = x + 0 ⋅ i ;
Kompleksan broj određen je s dva podatka – realnim dijelom i imaginarnim dijelom;
Ako su zadana dva kompleksna broja z1 = x1 + y1 i i z2 = x2 + y 2 i , vrijedi
z1 = z2 ⇔ x1 = x2 i y1 = y 2 .
Drugim riječima, da bi dva kompleksna broja bila jednaka moraju imati jednake realne i
jednake imaginarne dijelove;
Definiciju realnoga i imaginarnog dijela treba čitati tako da je realni dio kompleksnoga
broja „sve što uz sebe nema imaginarnu jedinicu“, a imaginarni dio kompleksnoga broja
„sve što uz sebe ima imaginarnu jedinicu“. Pritom imaginarna jedinica i nije dio
imaginarnoga dijela kompleksnoga broja!
Razmotrimo sada potencije imaginarne jedinice i. Vrijedi:
i 1 = i (prva potencija svakoga broja je taj broj);
i 2 = −1 (broj i smo upravo ovako i definirali);
i 3 = i 2 ⋅ i = −1⋅ i = −i ;
i 4 = i 2 ⋅ i 2 = −1 ⋅ ( −1) = 1.
Vidimo da se daljnjim potenciranjem ponavljaju ove četiri vrijednosti: tako je i 5 = i , i 6 = −1 , itd.
Sve potencije broja i računamo tako da utvrdimo ostatak pri dijeljenju eksponenta brojem 4: na
primjer, i 307 = i 4⋅76+3 = i 3 = −i , i 280 = i 4⋅70+0 = i 0 = 1, i 122 = i 4⋅30+2 = i 2 = −1 , i 33 = i 4⋅8+1 = i 1 = i .
42
Skupovi brojeva
Definicija:
Za kompleksan broj z = x + y i definiramo:
Konjugirano kompleksni broj broja z: z = x − y i ;
Apsolutnu vrijednost broja z: z = x 2 + y 2 .
Primjer:
Sljedećim kompleksnim brojevima z odredite redom Re ( z ) , Im ( z ) , z , z :
z = 2 − 3i ;
z = −3 i
z = 2.
Rješenje:
z = 2 − 3 i , Re ( z ) = 2, Im ( z ) = −3, z = 2 + 3i , z = 22 + ( −3 ) = 13 ;
2
z = −3 i = 0 − 3i , Re ( z ) = 0, Im ( z ) = −3, z = 3i , z = 02 + ( −3 ) = 3 ;
2
z = 2 = 2 + 0 ⋅ i , Re ( z ) = 2, Im ( z ) = 0, z = 2, z = 22 + 02 = 2 .
Definicija:
Za dva kompleksna broja z1 = x1 + y1 i i z2 = x2 + y 2 i , definiramo:
zbrajanje: z1 + z2 = ( x1 + x2 ) + ( y1 + y 2 ) i ;
oduzimanje: z1 − z2 = ( x1 + x2 ) − ( y 1 + y 2 ) i ;
množenje: z1 ⋅ z2 = ( x1 + y1 i ) ⋅ ( x 2 + y 2 i ) = ( x1x2 − y1y 2 ) + ( x1y 2 + x2 y1 ) i ;
dijeljenje:
z1 x1 + y1 i x2 − y 2 i ( x1x2 + y1y 2 ) ( x1y 2 − x2 y1 )
=
⋅
=
+
i , z2 ≠ 0 .
z2 x2 + y 2 i x2 − y 2 i
x22 + y 22
x22 + y 22
Vidimo da kompleksne brojeve zbrajamo (odnosno, oduzimamo) tako da im zasebno zbrojimo
(odnosno, oduzmemo) realne i imaginarne dijelove.
Nije potrebno posebno pamtiti formule za množenje i dijeljenje kompleksnih brojeva:
kompleksne brojeve množimo tako da njihove dijelove pomnožimo „svaki sa svakim“, imajući na
umu da je i 2 = −1, a dijelimo ih tako da brojnik i nazivnik pomnožimo konjugirano kompleksnim
brojem nazivnika, i tako uklonimo imaginarnu jedinicu iz nazivnika.
Primjer: odredite Re ( z ) i Im ( z ) ako je z =
1 + 2i
.
3 − 4i
1
2
, Im ( z ) =
, ili nekakve druge vrijednosti dobivene
3
−4
sličnom „logikom“. Realni i imaginarni dio kompleksnoga broja vidimo tek kada jasno možemo
odvojiti dio koji ne sadrži imaginarnu jedinicu i dio koji ju sadrži! Postupamo kako slijedi:
Rješenje: Uočite da ne vrijedi Re ( z ) =
z=
1 + 2i 3 + 4i (1 ⋅ 3 − 2 ⋅ 4 ) + ( 2 ⋅ 3 + 1⋅ 4 ) i −5 10
1 2
⋅
=
=
+
i =− + i.
2
2
3 − 4i 3 + 4i
3 +4
25 25
5 5
43
Matematika – Stručni studij Građevinarstvo
Geometrijski prikaz kompleksnoga broja
Sve ranije skupove brojeva (N, Z, Q i R) prikazivali smo na brojevnome pravcu, dakle na
jednodimenzionalnoj strukturi. Budući da je kompleksan broj određen dvama podacima (realnim
i imaginarnim dijelom), očito je da nam za njegov geometrijski prikaz treba dvodimenzionalna
struktura, a to je ravnina.
Ravninu u kojoj prikazujemo kompleksne brojeve nazivamo Gaussova ili kompleksna ravnina.
Prikaz je jednostavan i prirodan: svakome kompleksnom broju z1 = x0 + y 0 i pridružujemo točku
ravnine Z ( x0 , y 0 ) . Očito je svakome kompleksnom broju pridružena točno jedna točka
Gaussove ravnine, i svakoj točki Gaussove ravnine točno jedan kompleksan broj.
Primjer: Prikažite u Gaussovoj ravnini brojeve: z1 = 2 + i , z2 = −2 , z3 = 3 , z4 = −i , z5 = 2 i .
Rješenje:
Iz definicije prikaza kompleksnoga broja u Gaussovoj ravnini te iz prethodnoga primjera vidimo
da vrijedi:
svima realnim brojevima pridružene su točke na x-osi;
„čisto imaginarnim brojevima“ (onima čiji je realni dio jednak nuli) pridružene su točke
na y-osi;
apsolutna vrijednost kompleksnog broja z je udaljenost od ishodišta točke koja je u
Gaussovoj ravnini pridružena broju z. Naime, apsolutna vrijednost je hipotenuza
pravokutnoga trokuta čije su duljine kateta Re ( z ) i Im ( z ) .
Nadalje, točke koje su pridružene paru konjugirano kompleksnih brojeva z i z , simetrične su
jedna drugoj s obzirom na x-os.
Napomena:
Iz definicije kompleksnoga broja, a pogotovo iz njegova geometrijskoga prikaza, očito je da, za
razliku od skupova brojeva N, Z, Q i R, u skupu kompleksnih brojeva C ne postoji uređaj, tj. za
dva kompleksna broja možemo reći samo da su jednaki ili različiti, ali ne i da je jedan veći ili
manji od drugoga.
U sljedećim primjerima prikazat ćemo u Gaussovoj ravnini skupove točaka koji su rješenja
zadanih jednadžbi, nejednadžbi ili zadovoljavaju kombinaciju zadanih uvjeta.
44
Skupovi brojeva
Primjer: Prikažite u Gaussovoj ravnini skupove kompleksnih brojeva koji zadovoljavaju
jednadžbu:
Re ( z ) = 1 ;
Im ( z ) = −2 ;
Re ( z ) + Im ( z ) = 1.
Rješenje: Rješenja su, redom, pravci x = 1, y = −2 i y = 1 − x :
Primjer: Prikažite u Gaussovoj ravnini skupove kompleksnih brojeva koji zadovoljavaju uvjete:
z <2;
z =2;
Rješenje: Rješenja su, redom, točke za koje je
z >2.
x2 + y 2 < 2 ,
x 2 + y 2 = 2 , odnosno
x 2 + y 2 > 2 (u prvom i trećem primjeru točke kružnice ne pripadaju skupu rješenja):
Primjer: Prikažite u Gaussovoj ravnini skupove kompleksnih brojeva koji zadovoljavaju uvjete:
Re ( z ) ≥ 0, 0 ≤ Im ( z ) ≤ 2 ;
Re ( z ) ≤ 0, z ≤ 2 ;
Re ( z ) ⋅ Im ( z ) ≤ 0, z ≤ 2 .
Rješenje: Rješenja su prikazana na sljedećim slikama:
45

Demo poglavlje - Pripreme za državnu maturu | Algebra

Magnetske karakteristike materijala

3-dnevno jedrenje za djevojke

Predavanja iz Lineara algebra 2, 2014

iterativne procedure koje sam dosad proučio

Mapa procesa 2

Peticija svjećara

SanskrtVel_Sezona2-1.pdf - TM

Ortogonalni latinski kvadrati i konačne projektivne - Math.e

Galtonova daska

Pročitajte... - Recro

201007051823510.112-119 fashion_15.pdf

ispis - Hrvatski sindikat pošte

„PiPl mast trast as!“

Čitanka broj 1

Kvantitativne metode za poslovno odlučivanje II. Linearni operatori i

SVEUČILIŠTE U ZAGREBU