UNIVERZITET U TUZLI
ˇ
PRIRODNO-MATEMATICKI
FAKULTET
Nermin Okiˇci´c
Tautologije i valjane formule kao principi
zakljuˇ
civanja
- Radni materijal -
Lukavac, 2015.
ˇ
ELEMENTI MATEMATICKE
LOGIKE
Sadrˇ
zaj
1 Logiˇ
cki veznici
1
2 Logiˇ
cke operacije
4
3 Tautologije
5
4 Kvantifikatori
8
5 Predikatska logika
10
6 Odnosi medu predikatskim reˇ
cenicama
13
6.1 Logiˇcki kvadrat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
Literatura
21
i
ˇ
ELEMENTI MATEMATICKE
LOGIKE
Predgovor
Logika je nauka o logosu, pri cˇ emu se pod logosom podrazumijeva
govor, rijeˇc, smisao izraˇzen rijeˇcima, pojam duha ili misao. Najuobiˇcajenije shvatanje logike je da je to nauka o miˇsljenju, o poretku
misli ili o poretku razuma. Pri tome se pretpostavlja ili podrazumijeva da se razum ponaˇsa po nekim pravilima, a ta pravila su upravo
logiˇcka pravila. Za logiku kaˇzu da je filozofska disciplina koja se
bavi oblicima valjane misli (G. Petrovi´c) ili da je to disciplina koja
se bavi naˇcelima dosljednog zakljuˇcivanja. Pri tome dosljednost u
zakljuˇcivanju ne treba da zavisi samo o znaˇcenju reˇcenica i rijeˇci,
koje mogu cˇ ak biti i nepoznate. Logiˇcka dosljednost je neˇsto sasvim
apstraktno i treba da se tiˇce same forme i oblika. Zbog toga je logika
formalna nauka.
ˇ
Sta
je matematiˇcka logika? Da li je matematiˇcka logika primjena
matematike prilikom logiˇckih zakljuˇcivanja, ili je neka ”stroˇzija” primjena logike prilikom matematiˇckih dokaza? Da li je matematika
dio logike, ili obratno, ne slaˇzu se ni svi logiˇcari u odgovoru. Intuicionisti smatraju da su matematiˇcke konstrukcije osnova, a logiˇcko
rasudivanje je sekundarno, dok logicisti smatraju da se matematika zasniva na logici tojest, matematika je grana logike. Jedno je
sigurno: matematiˇcka logika je jedna od matematiˇckih teorija. Neki
njeni veliki dijelovi su: teorija skupova, teorija modela, teorija dokaza, teorija rekurzije itd.
Ono sˇ to matematiku izdvaja od drugih disciplina jeste koriˇstenje
dokaza kao glavnog alata za odredivanje istine. Pri tome se naravno
ˇ je dokaz?”. Praktiˇcno govore´ci, dokaz je bilo
postavlja pitanje ”Sta
koji rezonski argument koga prihvataju i drugi matematiˇcari. Naravno da je preciznija definicija dokaza neophodna kako bi smo neki
matematiˇcki rezon htjeli ili nehtjeli prihvatiti. Ovo predstavlja jedan
od osnovnih razloga izuˇcavanja matematiˇcke logike.
Matematiˇcka logika se bavi formalizacijom i analizom vrsta rezonovanja koje koristimo u ostalim dijelovima matematike. Zadatak
matematiˇcke logike nije pokuˇsaj bavljenja matematikom per se potpuno formalno, nego izuˇcavanje formalnih logiˇckih sistema kao matematiˇckih objekata u njihovoj sopstvenoj zakonitosti, radi dokazivanja cˇ injenica o njima.
Jedan dio problema formalizacije matematiˇckog rezonovanja je nuˇzno
vezan za preciznu specifikaciju jezika u kojem radimo. Govorni jezici su i odviˇse kompleksni i ”ˇzivu´ci”, podloˇzni stalnim promjenama,
te su kao takvi teˇsko upotrebljivi u matematici. Za razliku od njih,
jezici formalne logike su kao i programski jezici, strogo odredeni,
jednostavni i fleksibilni, te c´ e jedan od zadataka matematiˇcke logike
ii
ˇ
ELEMENTI MATEMATICKE
LOGIKE
upravo biti utvrdivanje jezika, kao i naˇse opismenjavanje u okviru
istog.
Formalni logiˇcki sistemi zahtjevaju paˇzljivu specifikaciju dozvoljenih pravila rezonovanja, kao i neke ideje o interpretaciji tvrdenja
iskazanih u datom jeziku i utvrdivanju njihovih istinitosti. Upravo
veze izmedu interpretacije tvrdenja, istinitosti i rezonovanja su kvantitativno i kvalitativno stvarna vrijednost ove discipline.
iii
ˇ
ELEMENTI MATEMATICKE
LOGIKE
1 Logiˇ
cki veznici
Definicija 1
Negacija je unarni veznik. Negacija iskaza p, je iskaz ”nije p”,
koga oznaˇcavamo sa ”¬p”.
Negacija taˇcnog iskaza je netaˇcan iskaz i obrnuto, negacija
netaˇcnog iskaza je taˇcan iskaz.
Primjer 1. Ako je iskaz p taˇcan, tada je prema definiciji negacije
iskaz ¬p netaˇcan i obrnuto, ako je iskaz p netaˇcan, tada je iskaz ¬p
taˇcan. Negacija iskaza
q : 2+2=3 ,
je iskaz ”¬q : ¬ ( 2 + 2 = 3 )”, odnosno u matematiˇckoj terminologiji
iskazano
¬q : 2 + 2 6= 3 .
Iskaz q je netaˇcan, pa je iskaz ¬q taˇcan. ♦
Definicija 2
Konjukcija je binarni veznik. Konjukcija iskaza p i q je iskaz ”p
i q”, u oznaci ”p ∧ q”.
Iskaz p ∧ q je taˇcan ako i samo ako su istovremeno i p i q taˇcni
iskazi.
Primjer 2. Neka su dati iskazi:
p : ”Kiseonik cˇ ini vodu.”,
q : ”Sumpor cˇ ini vodu.”
r : ”Vodonik cˇ ini vodu.”.
Iskazi p i r su taˇcni, a iskaz q je netaˇcan. Tada je iskaz p∧q, ”Kiseonik
cˇ ini vodu i sumpor cˇ ini vodu.” ili kra´ce, ”Kiseonik i sumpor cˇ ine
vodu.”, netaˇcan iskaz jer je iskaz q netaˇcan. Iskaz p ∧ r, ”Kiseonik i
vodonik cˇ ine vodu.”, je taˇcan iskaz jer su oba iskaza koji u njemu
uˇcestvuju taˇcni iskazi. ♦
Definicija 3
Disjunkcija je binarni veznik. Disjunkcija iskaza p i q je iskaz
”p ili q”, u oznaci ”p ∨ q”.
Iskaz p ∨ q je taˇcan iskaz ako i samo ako je bar jedan od iskaza p
i q taˇcan, odnosno on je netaˇcan ako i samo ako su oba iskaza
1
ˇ
ELEMENTI MATEMATICKE
LOGIKE
netaˇcna.
Primjer 3. Za iskaze iz prethodnog primjera, iskaz p ∨ q,
”Kiseonik ili sumpor cˇ ini vodu”,
je taˇcan zbog taˇcnosti iskaza p. Ako uvedemo i iskaz s : ”Fosfor cˇ ini
vodu”, tada c´ e disjunkcija q ∨ s,
”Sumpor ili fosfor cˇ ini vodu”,
zbog netaˇcnosti oba iskaza, biti netaˇcan iskaz. ♦
Definicija 4
Iskljuˇcna disjunkcija ili ekskluzivna disjunkcija je binarni veznik. Iskljuˇcna disjunkcija iskaza p i q je iskaz ”ili p ili q” i
oznaˇcavamo je sa p ⊻ q.
Iskaz p⊻q je taˇcan iskaz ako i samo ako je taˇcno jedan od iskaza
p i q taˇcan.
Primjer 4. Neka su dati iskazi p i q sa:
p : ”π je racionalan broj”
q : ”π je broj ve´ci od 1”
Iskaz p ⊻ q, ”Ili je broj π racionalan broj ili je on ve´ci od 1”, je taˇcan
iskaz jer je iskaz p netaˇcan, a iskaz q taˇcan.
Iskaz ¬p dat je sa ”π nije racionalan broj” i on je taˇcan iskaz (jer je
p netaˇcan iskaz). Tada je iskaz ¬p ⊻ q, ”ili π nije racionalan ili je on
ve´ci od 1”, je netaˇcan iskaz jer su oba iskaza taˇcna. ♦
Definicija 5
Implikacija je binarni veznik. Implikacija iskaza p i q je iskaz
”ako p onda q”, koga oznaˇcavamo sa p ⇒ q.
Iskaz p ⇒ q je netaˇcan ako i samo ako je iskaz p taˇcan, a iskaz
q netaˇcan.
Iskaz p u implikaciji p ⇒ q nazivamo pretpostavka, premisa ili antecedent, a iskaz q nazivamo zakljuˇcak, konkluzija ili konsekvent.
Primjer 5.
Ako je danas utorak onda je sutra srijeda.
{z
} |
{z
}
|
premisa
konkluzija
2
ˇ
ELEMENTI MATEMATICKE
LOGIKE
Soba je osvijetljena ako upalimo f enjer.
{z
} |
{z
}
|
konsekvent
antecedent
♦
Iskaz p ⇒ q cˇ itamo joˇs kao: ”iz p slijedi q”, ”p povlaˇci q”, ”p samo ako
q”, ”q ako p”, ”p je dovoljan za q”, ”q je potreban za p” i sl.
Primjer 6. Primjeri iskazivanja reˇcenice oblika p ⇒ q:
Iz uslova da su katete trougla iste slijedi da je trougao jednakokrak .
|
{z
}
|
{z
}
p
q
Rast cijena povlaˇci smanjenje standarda.
|
{z
}
|
{z
}
p
q
Jedrenjak plovi samo ako ima vjetra.
|
{z
}
|
{z
}
p
q
V jetar duva ako jedrenjak plovi.
|
{z
}
|
{z
}
q
p
Za odlazak
{zna more}, dovoljno je |imati 1000
{z KM}.
|
q
p
1000
Za odlazak
|
|
{zna more} potrebno je imati
{z KM.} ♦
p
q
Primjer 7. Neka osoba svakog jutra kada se probudi izgovori reˇcenicu:
”Ako je danas subota, onda je sutra petak.”
Za koje dane u sedmici je iskaz ove osobe taˇcan?
Ako dotiˇcna osoba ovu reˇcenicu izgovori naprimjer u utorak, jasno
je da ima pravo, tj. ”Ako je danas subota”, sˇ to nije, ”onda je sutra
petak”, sˇ to takode nije. Dakle, ako je danas ”netaˇcno”, onda i sutra
moˇze biti ”netaˇcno”. Spomenuta osoba je u pravu za svaki dan
osim u subotu jer kada izgovara svoju tvrdnju u subotu, ”ako je
danas subota”, sˇ to je taˇcno, ”onda je sutra petak”, sˇ to je netaˇcno jer
sutra mora biti nedjelja, cˇ itava reˇcenica ima oblik ”iz taˇcnog slijedi
netaˇcno” pa je ona netaˇcna. ♦
Definicija 6
Ekvivalencija je binarni veznik. Ekvivalencija iskaza p i q je
iskaz ”p ako i samo ako q”, u oznaci p ⇔ q.
Iskaz p ⇔ q je taˇcan ako i samo ako su iskazi p i q iste istinitosti,
tj. ako i samo ako su istovremeno oba taˇcni ili oba netaˇcni.
Primjer 8. Reˇcenice
p: ”Dva trougla su podudarna.”
3
ˇ
ELEMENTI MATEMATICKE
LOGIKE
q: ”Dva trougla imaju podudarnu stranicu i uglove koji nalijeˇzu
na tu stranicu.”
su ekvivalentni iskazi i tu cˇ injenicu nalazimo kao jedan od vaˇznih
stavova geometrije, iskazanu kao pravilo podudarnosti USU. ♦
2 Logiˇ
cke operacije
Logiˇcke operacije oznaˇcavamo isto kao i odgovaraju´ce logiˇcke veznike jer su njima i motivisane. Medutim, to ipak nisu isti pojmovi;
znak ∧ u iskaznoj formuli p ∧ q je zamjena za veznik ”i” dok znak ∧
u donjoj tablici oznaˇcava operaciju na skupu {⊤, ⊥}.
⊤
⊥
¬
⊥
⊤
∧
⊤
⊥
⊤
⊤
⊥
⊥
⊥
⊥
∨
⊤
⊥
⊤
⊤
⊤
⊥
⊤
⊥
⇒
⊤
⊥
⊤
⊤
⊤
⊥
⊥
⊤
⇔
⊤
⊥
⊤
⊤
⊥
⊥
⊥
⊤
Slika 1: Logiˇcke operacije
Definicija 7
Dodijeljivanje istinitosnih vrijednosti iskaznim slovima koja uˇcestvuju u formuli A nazivamo interpretacija formule A.
• ako formula ima samo jedan iskaz (jedno iskazno slovo), mogu´ce
vrijednosti tog iskaza su ⊤ i ⊥, te interpretacija te formule ima
ukupno dvije.
• ako formula sadrˇzi dva iskaza, mogu´ce vrijednosti tih iskaza
u paru su (⊤, ⊤), (⊤, ⊥) , (⊥, ⊤) i (⊥, ⊥), te interpretacija ima
ukupno cˇ etiri.
• ako formula sadrˇzi tri iskaza, mogu´ce vrijednosti tih iskaza su
sljede´ce uredene trojke: (⊤, ⊤, ⊤), (⊤, ⊤, ⊥), (⊤, ⊥, ⊤), (⊥, ⊤, ⊤),
(⊤, ⊥, ⊥), (⊥, ⊤, ⊥), (⊥, ⊥, ⊤) i (⊥, ⊥, ⊥), te interpretacija ima
ukupno osam.
Generalno, u sluˇcaju da formula sdrˇzi n iskaznih slova, broj odgovaraju´cih razliˇcitih n-torki je 2n , tojest razliˇcitih interpretacija te
formule moˇze biti 2n .
Primjer 9. Neka je data iskazna formula A : (p ⇒ q) ∧ ¬p ⇔ ¬q.
Uzmemo li da je τ (p) = ⊤ i τ (q) = ⊥, dobijamo jednu (od mogu´cih
cˇ etiri) inerpretaciju formule A, (⊤ ⇒ ⊥) ∧ ¬⊤ ⇔ ¬⊥.
4
ˇ
ELEMENTI MATEMATICKE
LOGIKE
Za drugi izbor istinitosnih vrijednosti iskaznih slova, τ (p) = ⊤ i
τ (q) = ⊤ dobijamo drugu interpretaciju (⊤ ⇒ ⊤) ∧ ¬⊤ ⇔ ¬⊤. ♦
3 Tautologije
Medu svim iskaznim formulama iskazne algebre, jedne imaju posebnu vaˇznost.
Definicija 8
Formula F je tautologija ako u svakoj svojoj interpretaciji ima
taˇcnu vrijednost.
Sada c´ emo dati spisak poznatijih tautologija sa njihovim imenima.
1. Zakon iskljuˇcenja tre´ceg - Tertium non datur
p ∨ ¬p .
Ovaj zakon je fundamentalan jer na njemu poˇciva klasiˇcna logika, tj. logika u kojoj su jedine mogu´ce istinitosne vrijednosti
taˇcno i netaˇcno.
2. Zakon neprotivurijeˇcnosti
¬(p ∧ ¬p) .
Tautoloˇ
ske implikacije
3. Zakon odvajanja - Modus ponendo ponens ili kra´ce Modus ponens (koji tvrdi)
p ∧ (p ⇒ q) ⇒ q .
Prepriˇcano, on tvrdi da ako vaˇzi p i ako iz p slijedi q (p ⇒ q) onda
zakljuˇcujemo da vaˇzi i q, sˇ to je osnovni princip deduktivnog
zakljuˇcivanja.
4. Modus tollendo tollens (koji negira)
¬q ∧ (p ⇒ q) ⇒ ¬p .
Ovim zakonom se temelji princip opovrgavanja. On u suˇstini
ima sljede´ce znaˇcenje: ako smo iz neke pretpostavke (ovdje p)
zakljuˇcili pogreˇsan zakljuˇcak (ovdje q), onda nam je pretpostavka pogreˇsna. Ovaj metod je izuzetno primjenljiv u raznim
empirijsko-deduktivnim naukama.
5
ˇ
ELEMENTI MATEMATICKE
LOGIKE
5. Modus ponendo tollens (koji tvrdi i negira)
¬(p ∧ q) ∧ p ⇒ ¬q .
6. Modus tollendo ponens (koji negira i tvrdi)
¬p ∧ (p ∨ q) ⇒ q .
7. Zakon pojednostavljivanja
p∧q ⇒p .
8. Zakon dodavanja
p⇒p∨q .
9. Zakon hipotetiˇckog silogizma (tranzitivnost implikacije)
(p ⇒ q) ∧ (q ⇒ r) ⇒ (p ⇒ r) .
10. Zakon nabrajanja
((p ⇒ r) ∧ (q ⇒ r)) ⇒ ((p ∨ q) ⇒ r)
11. Zakon svodenja na apsurd - Reductio ad absurdum
(p ⇒ (q ∧ ¬q)) ⇒ ¬p .
Ovaj zakon cˇ esto koristimo u matematiˇckim dokazima. Naime,
ako iz neke pretpostavke slijedi kontradiktornost (q ∧ ¬q) onda
nije dobra pretpostavka, tj. vaˇzi suprotno od pretpostavke.
12. Istina iz proizvoljnog - Verum ex quolibet
p ⇒ (q ⇒ p) .
13. Iz laˇznog proizvoljno - Ex falso quolibet
¬p ⇒ (p ⇒ q) .
Ovaj zakon pokazuje da ako bi neka teorija bila protivrijeˇcna,
tj. ako bi u njoj mogli na´ci kontradikciju, onda ona ne bi
bila besmislena samo zbog te cˇ injenice, nego i zbog toga sˇ to
bi svako tvrdenje u toj teoriji bilo teorema.
14. Pirsov zakon
((p ⇒ q) ⇒ p) ⇒ p .
6
ˇ
ELEMENTI MATEMATICKE
LOGIKE
15. Zakon zakljuˇcivanja iz suprotnog - Ex contrario
(¬p ⇒ p) ⇒ p .
I ovaj zakon cˇ esto koristimo u matematiˇckim dokazima. Naime, ako pretpostavimo da neki iskaz ne vaˇzi i iz toga zakljuˇcimo da on ipak mora da vaˇzi, onda iz svega toga zakljuˇcujemo
da taj iskaz mora biti taˇcan. U suˇstini on se svodi na Zakon
svodenja na apsurd jer iskazi ¬p i ¬p ⇒ p zajedno daju kontradikciju.
Tautoloˇ
ske ekvivalencije
16. Zakon dvojne negacije
¬¬p ⇔ p
17. Zakon kontrapozicije
(p ⇒ q) ⇔ (¬q ⇒ ¬p) .
18. De Morganovi zakoni
¬(p ∧ q) ⇔ ¬p ∨ ¬q ; ¬(p ∨ q) ⇔ ¬p ∧ ¬q .
19. Zakoni ekvivalencije za implikaciju, disjunkciju i konjukciju
(p ⇒ q) ⇔ ¬p ∨ q ,
p ∨ q ⇔ ((p ⇒ q) ⇒ q) ,
p ∧ q ⇔ ¬(p ⇒ ¬q) .
Prvi navedeni zakon koristimo za zamjenu implikacije negacijom i disjunkcijom, drugi koristimo za eliminaciju disjunkcije
njenom zamjenom pomo´cu implikacije i tre´ci koristimo za zamjenu konjukcije pomo´cu negacije i implikacije.
20. Zakon negacije implikacije
¬(p ⇒ q) ⇔ p ∧ ¬q .
21. Zakon ekvivalencije
(p ⇔ q) ⇔ (p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p) .
22. Zakon unoˇsenja i iznoˇsenja
(p ∧ q ⇒ r) ⇔ (p ⇒ (q ⇒ r)) .
7
ˇ
ELEMENTI MATEMATICKE
LOGIKE
23. Zakon apsorpcije
p ∧ (p ∨ q) ⇔ p ; p ∨ (p ∧ q) ⇔ p .
24. Zakon idempotentnosti
p∧p⇔ p ; p∨p⇔p .
25. Zakoni komutativnosti konjukcije i disjunkcije
p∧q ⇔q∧p ; p∨q ⇔q∨p .
26. Zakoni asocijativnosti konjukcije i disjunkcije
p ∧ (q ∧ r) ⇔ (p ∧ q) ∧ r ; p ∨ (q ∨ r) ⇔ (p ∨ q) ∨ r .
27. Zakoni distributivnosti
p ∧ (q ∨ r) ⇔ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r) ,
p ∨ (q ∧ r) ⇔ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r) .
Koristimo li i simbole ⊤ i ⊥, bilo kao logiˇcke konstante, bilo kao
zamjenu za iskaze p ∨ ¬p (uvijek taˇcan iskaz) i p ∧ ¬p (uvijek netaˇcan
iskaz), tada su tautologije i formule
(p ∧ ⊤) ⇔ p ; (p ∧ ⊥) ⇔ ⊥ ; (p ∨ ⊤) ⇔ ⊤ ; (p ∨ ⊥) ⇔ p ,
(p ⇒ ⊤) ⇔ ⊤ ; (p ⇒ ⊥) ⇔ ¬p ; (⊤ ⇒ p) ⇔ p ; (⊥ ⇒ p) ⇔ ⊤ ,
(p ⇔ ⊤) ⇔ p ; (p ⇔ ⊥) ⇔ ¬p ,
(p ⇒ p) ⇔ ⊤ ; (p ⇔ p) ⇔ ⊤ .
4 Kvantifikatori
Izraz x < 3, interpretiran kao formula koja se odnosi na prirodne
brojeve, ne moˇze biti ni taˇcan ni netaˇcan jer njegova taˇcnost ovisi
o tome koju vrijednost iz skupa N uzima promjenljiva x. Ali, ako
datu formulu dopunimo prefiksom za svaki prirodan broj x ili
postoji prirodan broj x, tada ve´c ima smisla govoriti o taˇcnosti
takve formule. Ove prefikse nazivamo kvantifikatori ili kvantori i
obiljeˇzavamo ih posebnim simbolima.
Ako sa P (x) oznaˇcimo reˇcenicu koju cˇ itamo ”x ima osobinu P ”, onda
reˇcenicu
Za svaki x, x ima osobinu P
8
ˇ
ELEMENTI MATEMATICKE
LOGIKE
zapisujemo simboliˇcki
(∀x) P (x) .
Simbol ”∀” cˇ itamo ”za svaki”, ”za svaku”, ”za svako”, ”za sve”, ”bilo
koji”, ”ma koji” i naziva se univerzalni kvantifikator. Znak ”∀” predstavlja obrnuto slovo ”A”, kao prvo slovo engleske rijeˇci ”All” (sve).
Njime naglaˇsavamo da je neka tvrdnja (P (x)) ”uvijek” taˇcna, tj. za
svako a iz nekog skupa A je τ (P (a)) = ⊤. Naprimjer, u reˇcenici
”Svaki cˇ ovjek ima pet cˇ ula.” sa kvantifikatorom ”svaki” naglaˇsavamo
ˇ
da je reˇcenica ”Covjek
ima pet cˇ ula.” univerzalno taˇcna.
Reˇcenicu ”postoji x tako da x ima osobinu P ” zapisujemo sa
(∃x) P (x) .
Simbol ”∃” cˇ itamo ”postoji” i naziva se egzistencijalni kvantifikator.
Znak ”∃” predstavlja obrnuto slovo ”E”, prvo slovo engleske rijeˇci
”Exist” (postoji). U obiˇcnom govoru rijeˇci ”neki”, ”za neko”, ”bar
jedan” ukazuju na koriˇsc´ enje egzistencijalnog kvantifikatora. Njime
naznaˇcavamo da je neka tvrdnja (P (x)) ”ponekad” taˇcna, tj. postoji
a iz nekog skupa A, za koga je τ (P (a)) = ⊤. U reˇcenici ”Neki ljudi
imaju sˇ esto cˇ ulo.” kvanifikatorom ”neki” naglaˇsavamo da je reˇcenica
ˇ
”Covjek
ima sˇ esto cˇ ulo.” ponekad taˇcna.
Tako bi sada na poˇcetku spomenuta formula izgledala
(∀x) x < 3
;
(∃x) x < 3 .
Kada zˇ elimo da istaknemo skup na koga se odnosi dati kvantifikator, sˇ to u gornjem primjeru nismo uradili, a sˇ to bi obiˇcnim rijeˇcima
reˇceno bilo: ”svi prirodni brojevi su manji od 3” i ”postoji prirodan
broj manji od 3”, to onda moˇzemo uˇciniti na viˇse naˇcina, kao npr.
(∀x ∈ N) x < 3
;
(∃x ∈ N) x < 3 ,
(∀x) (x ∈ N ⇒ x < 3)
;
(∃x) (x ∈ N ⇒ x < 3) .
ili
Koriˇstenje kvantifikatora u zapisima, bilo jeziˇckim bilo formalnologiˇckim, nazivamo kvantifikacija. Kada iskaˇzemo reˇcenicu ”Svaki
cˇ ovjek je dobar”, njenu kvatifikaciju iskazujemo na sljede´ci naˇcin,
( svaki cˇ ovjek ) cˇ ovjek je dobar .
Ako ”ˇcovjeka” zamjenimo varijablom x, tada ovo iskazujemo sa
(∀x) x je dobar .
Dakle, varijablu x stavljamo tamo gdje je i bila u reˇcenici, a kvantifikator prefiksiramo otvorenoj reˇcenici (x je dobar) i ”dodijelimo” mu
9
ˇ
ELEMENTI MATEMATICKE
LOGIKE
tu varijablu. Time ustvari naglasimo da je kvantificirana varijabla
x, tj. da smo varijablu vezali kvantifikatorom.
Kvantifikacija moˇze biti i viˇsestruka. Naprimjer reˇcenicu ”Za svaki
lonac postoji poklopac.” kvantificiramo tako sˇ to otvorenoj reˇcenici
”poklopac od lonca” prefiksiramo prvo kvantifikator ”Postoji”, a onda
takvoj reˇcenici prefiksiramo kvantifikator ”Za svaki”. Tako dobijamo
reˇcenicu
Za svaki lonac, postoji poklopac, tako da je poklopac od lonca.
Ako varijablu ”lonac” zamjenimo sa x, a varijablu ”poklopac” sa y,
to onda izgleda
(∀x)(∃y) y je poklopac od x .
5 Predikatska logika
Od terma (izraz koji nema istinitosnu vrijednost) se do reˇcenica (formula) dolazi kada terme poveˇzemo relacijskim simbolima i logiˇckim
simbolima. Gramatiˇcki gledano, relacije igraju ulogu glagola koji
u reˇcenici odreduju predikat, pa otuda odgovaraju´ce formule zovemo predikatske, a dio logike koji se takvim reˇcenicama bavi nazivamo predikatska logika. Kada se termi poveˇzu odgovaraju´cim
relacijskim znakom dobijamo najjednostavnije formule koje nazivamo atomarne formule. Ovaj pojam formalno uvodimo sljede´com
definicijom.
Definicija 9
Neka je Rin n-arni relacijski znak i t1 , t2 , ..., tn termi. Tada se
izraz
Rin (t1 , t2 , ..., tn )
naziva atomarna formula.
Primjer 10. Reˇcenica ”Jery je miˇs” primjer je atomarne reˇcenice. U
ovoj reˇcenici Jery je term, a na njega djeluje relacija ”biti miˇs”. Ako
datu relaciju oznaˇcimo sa M , onda datu reˇcenicu cˇ itamo M (Jery).
Reˇcenica ”Zlata je Semirova majka”, je takode atomarna reˇcenica
u kojoj su Zlata i Semir termi, a relacija je ”biti majka”. Ako ovu
relaciju oznaˇcimo sa ”Majka”, onda data reˇcenica se moˇze zapisati
sa M ajka(Zlata, Semir). Uoˇcavamo da je bitan poredak terma u
datoj relaciji jer nije isto re´ci M ajka(Semir, Zlata) (”Semir je Zlatina
majka.”) ♦
10
ˇ
ELEMENTI MATEMATICKE
LOGIKE
Kombinuju´ci atomarne formule sa logiˇckim operacijama i kvantifikatorima dobijamo sloˇzenije formule, koje nazivamo predikatske
formule.
Primjer 11. Primjer pravljenja sloˇzenijih formula od atomarnih u
kontekstu skra´cenijeg zapisa moˇze biti:
Jery je miˇs. Svaki miˇs ima rep. Dakle, Jery ima rep.
Atomarnu reˇcenicu ”Jery je miˇs.” zapiˇsimo sa Miˇs(Jery) ili kra´ce
M (Jery). Reˇcenicu ”Svaki miˇs ima rep.” sa (∀ miˇs)Rep(miˇs) ili kra´ce
(∀ miˇs)R(miˇs). Tada reˇcenica ”Jery ima rep.” glasi Rep(Jery) ili
R(Jery).
Sada gornja argumentacija izgleda ovako
(M (Jery) ∧ (∀ miˇs)R(miˇs)) ⇒ R(Jery) .
Pri tome, broj argumenata (objekata, individua) u predikatu odreduje njegovu duˇzinu, a koju c´ emo zvati mjesnost predikata. Ako se
lista argumenata predikatske reˇcenice sastoji od samo jednog argumenta, kaˇzemo da je predikat jednomjesan, ako se sastoji od dva
argumenta, govorimo o dvomjesnom predikatu. U opˇstem sluˇcaju,
ako se lista argumenata sastoji od n argumenata, govorimo o nmjesnom predikatu.
Bilo koji n-mjesni predikat predstavlja atomarnu reˇcenicu. Pri tome
jednomjesni predikat nazivamo osobina ili svojstvo. Kako c´ emo mi
najˇceˇsc´ e koristiti jednomjesne i dvomjesne predikate, razmotrimo
nekoliko situacija u vezi njih.
Ako kvantifikatorima djelujemo na jednomjesni predikat P (x), dobijamo iskaze (∀x)P (x) i (∃x)P (x).
Ako kvantifikatorima djelujemo na dvomjesni predikat P (x, y), dobijamo ponovo predikatske reˇcenice:
P1 (x) := (∀y)P (x, y)
P2 (x) := (∃y)P (x, y)
P3 (y) := (∀x)P (x, y)
P4 (y) := (∃x)P (x, y) .
U predikatima P1 i P2 varijabla y je vezana, a varijabla x je slobodna,
dok je u predikatima P3 i P4 varijabla x je vezana, a varijabla y je
slobodna.
Vezivanjem slobodnih varijabli u gornjim predikatima dobijamo no-
11
ˇ
ELEMENTI MATEMATICKE
LOGIKE
vih osam formula koje predstavljaju iskaze:
Q1 := (∀x)P1 (x) := (∀x)(∀y)P (x, y)
Q2 := (∃x)P1 (x) := (∃x)(∀y)P (x, y)
Q3 := (∀x)P2 (x) := (∀x)(∃y)P (x, y)
Q4 := (∃x)P2 (x) := (∃x)(∃y)P (x, y)
Q5 := (∀y)P3 (x) := (∀y)(∀x)P (x, y)
Q6 := (∃y)P3 (x) := (∃y)(∀x)P (x, y)
Q7 := (∀y)P4 (x) := (∀y)(∃x)P (x, y)
Q8 := (∃y)P4 (x) := (∃y)(∃x)P (x, y) .
Predikatske formule koje su opˇstevaˇze´ce nazivamo valjane formule.
Neke od najvaˇznijih valjanih formula dat c´ emo u obliku teorema.
Teorem 1: O zamjeni mjesta kvantifikatorima
Neka je F proizvoljna predikatska formula. Sljede´ce formule su
valjane:
1. (∀x)(∀y)F ⇔ (∀y)(∀x)F .
2. (∃x)(∃y)F ⇔ (∃y)(∃x)F .
3. (∃x)(∀y)F ⇒ (∀y)(∃x)F .
Teorem 2: De Morganovi zakoni za kvantifikatore
Neka je F proizvoljna predikatska formula. Sljede´ce formule su
valjane:
1. ¬(∀x)F ⇔ (∃x)¬F .
2. ¬(∃x)F ⇔ (∀x)¬F .
Teorem 3
Neka su F i G proizvoljne predikatske formule. Sljede´ce formule su valjane:
1. (∀x)(F ∧ G) ⇔ (∀x) F ∧ (∀x) G
2. (∃x)(F ∧ G) ⇒ (∃x) F ∧ (∃x) G
12
ˇ
ELEMENTI MATEMATICKE
LOGIKE
3. (∀x) F ∨ (∀x) G ⇒ (∀x)(F ∨ G)
4. (∃x) (F ∨ G) ⇔ (∃x) F ∨ (∃x) G
5. (∀x) (F ⇒ G) ⇒ ((∀x) F ⇒ (∀x) G)
6. (∃x) (F ⇒ G) ⇔ ((∀x) F ⇒ (∃x) G)
7. (∀x) (F ⇔ G) ⇒ ((∀x) F ⇔ (∀x) G)
8. (∃x) (F ⇔ G) ⇔ ((∃x) F ⇔ (∃x) G).
6 Odnosi medu predikatskim reˇ
cenicama
Iskazi koji imaju predikatsku formu (x ima osobinu P ) mogu se dijeliti po kvantitetu, po kvalitetu, po modalitetu i po relaciji. U ovom
dijelu mi c´ emo se bazirati na podjele po kvantitetu i kvalitetu predikatskih reˇcenica.
Po kvantitetu iskaze dijelimo u tri klase:
1. univerzalne,
2. partikularne i
3. singularne.
Univerzalni iskazi govore o nekoj osobini koju imaju svi cˇ lanovi neke
skupine. Naprimjer, iskaz
”Sve ribe diˇsu na sˇ krge.”.
Partikularnim iskazom tvrdimo da bar jedan (a moˇzda i svi) cˇ lan
skupine ima neku osobinu. Takav je iskaz,
”Postoji vodena zˇ ivotinja koja diˇse plu´cima.”.
Singularni iskazi nam govore o osobini pojedinog cˇ lana skupine naprimjer,
”Som diˇse na sˇ krge.”.
Po kvaliteti iskaze dijelimo na:
1. afirmativne,
2. negativne i
3. limitativne.
13
ˇ
ELEMENTI MATEMATICKE
LOGIKE
Afirmativnim iskazom tvrdimo da subjekat (entitet) ima neku osobinu,
”Djeca su iskrena.”
Negativni iskaz nam govori da subjekat nema neku osobinu,
”Postoje ljudi koji nisu iskreni.”
Limitativnim iskazom govorimo da subjekat ima neku osobinu opisanu negacijom,
”Politiˇcari su neiskreni.”.
Kombinuju´ci gornje podjele dolazimo do raznih oblika iskaza. Tako
jedan univerzalan iskaz moˇze biti afirmativan, negativan ili limitativan i u tom sluˇcaju ga nazivamo univerzalno-afirmativan , univerzalnonegativan ili univerzalno-limitativan iskaz. Takode je mogu´ce praviti partikularno-afirmativne, partikaularno-negativne i partikularnolimitativne iskaze.
Primjer 12. Iskaz oblika (∀x) P (x) je univerzalno-afirmativan. Konkretan primjer bi bio, ”Svi ljudi su dobri.”
Iskaz oblika (∀x) ¬P (x) je univerzalno-negativan. Naprimjer, ”Svi
ljudi nisu dobri.”
Iskaz oblika (∃x) P (x) je partikularno-afirmativan. Takav je iskaz,
”Postoje dobri ljudi.”
Iskaz oblika (∃x) ¬P (x) je partikularno-negativan iskaz. Naprimjer,
”Postoji osoba koja nije dobra.” ♦
U ovom dijelu zˇ elimo posmatrati predikatske reˇcenice izraˇzene jednomjesnim predikatom P (x), gdje je varijabla x iz neke skupine (domena) subjekata i njihovim medusobnim odnosima. Pri tome c´ emo
podrazumijevati da subjekti o kojima priˇcamo postoje. Naime, u
reˇcenici ”Svi ljudi su dobri.”, eksplicitno se ne zahtjeva postojanje
niti jednog ”ˇcovjeka” tojest, datu reˇcenicu shvatamo na naˇcin da
ako postoji cˇ ovjek, onda su svi ljudi dobri. Koriste´ci kvantifikaciju i
negaciju, mogu´ce je napraviti sljede´ce iskaze:
(∀x) P (x) , ¬(∀x) P (x) , (∀x) ¬P (x) , (∃x) P (x) , ¬(∃x) P (x) , (∃x) ¬P (x) .
Nas c´ e zanimati odnosi izmedu ovako konstruisanih iskaza koje nazivamo jednostavni iskazi i to odnos koji izraˇzava opoziciju (suprotnost). To je odnos u kome jednim iskazom negiramo (nijeˇcemo) ono
sˇ to tvrdimo drugim iskazom. To negiranje moˇze biti:
• kontrarno, potpuno ili suprotno,
• kontradiktorno ili protuslovno,
14
ˇ
ELEMENTI MATEMATICKE
LOGIKE
• subalternirano ili podredeno i
• subkontrarno ili podsuprotno.
Kod para iskaza koji se nalaze u jednom od gore navedenih odnosa
subjekti i predikati su isti, a ono sˇ to cˇ ini dati odnos je koriˇstenje
kvantifikatora (kvantitet) i negacija (kvalitet).
Kontrarni iskazi Kontrarni iskazi su jednaki po kvantitetu (univerzalni), a razliˇciti su po kvalitetu (jedan je afirmativan, a drugi
je negativan). Kod kontrarnih sudova, prvi sud je univerzalnoafirmativan, a drugi je univerzalno-negativan. Dakle, govorimo o
paru iskaza oblika:
I1 : (∀x) P (x) i I2 : (∀x) ¬P (x) .
Primjer 13. Iskazi
”Svi kiˇcmenjaci su uspravni.”
”Svi kiˇcmenjaci nisu uspravni.” ,
su medusobno kontrarni iskazi. Ili,
”Svi parni brojevi su prirodni brojevi.”
”Svi parni brojevi nisu prirodni brojevi.”
♦
Dati odnos nazivamo suprotnom opozicijom ili kontrarnost. Kod kontrarnih iskaza ne mogu oba iskaza biti istiniti ili drugaˇcije reˇceno
bar jedan mora biti neistinit. Naprimjer, iskaz
”Svi ljudi su smrtni.”
je taˇcan iskaz, ali njemu kontraran iskaz
”Svi ljudi nisu smrtni.”
je netaˇcan iskaz. Naravno da ovdje moˇze do´ci do nejasno´ce jer kod
kontrarnih iskaza oba iskaza mogu biti netaˇcna. Naime, iskazi
”Svi lavovi su maˇcke.”
”Svi lavovi nisu maˇcke.”
jesu kontrarni, ali ni jedan od njih nije taˇcan (postoje i morski lavovi).
15
ˇ
ELEMENTI MATEMATICKE
LOGIKE
Kontradiktorni iskazi Kontradiktorni iskazi su razliˇciti i po kvantitetu i po kvalitetu. Jedan od njih je univerzalno-afirmativan, a
drugi je partikularno-negativan. Takvi iskazi predstavljaju par iskaza oblika:
I1 : (∀x) P (x) i I2 : (∃x) ¬P (x) .
Primjer 14. Iskazi
”Svi studenti vole logiku.”
”Neki studenti ne vole logiku.”,
primjer su kontradiktornih iskaza. Takode, kontradiktorni su i iskazi
”U svim trouglovima zbir uglova je 180◦ .”
”Postoji trougao u kome zbir uglova nije 180◦ .”
♦
Ovaj odnos nazivamo protivurijeˇcnost ili kontrdiktorna opozicija, a
cˇ esto i kratko´ce radi kontradikcija. Dva kontradiktorna iskaza ne
mogu oba istovremeno biti istinita. Iskazu
”Svi prirodni brojevi su pozitivni.”,
koji je taˇcan iskaz, kontradiktoran je iskaz
”Postoji prirodan broj koji nije pozitivan.” ,
koji je oˇcigledno netaˇcan iskaz. U kontradikciji se nalaze i sljede´ca
dva iskaza:
(∀x ∈ R) x + 0 = x , (∃x ∈ R) x + 0 6= x .
Prvi od njih je taˇcan, a drugi netaˇcan iskaz. Medutim, posmatrajmo
iskaz
”Sve sˇ to sija je zlato.”
i naravno da je to netaˇcan iskaz. Njemu kontradiktoran iskaz je
”Postoji neˇsto sˇ to sija, a nije zlato.” ,
a on je taˇcan iskaz. Ovo nam govori da dva iskaza koja su u kontradikciji ne mogu istovremeno biti ni netaˇcni. Dakle, zakljuˇcujemo
da kontradiktorni iskazi ne mogu biti istovremeno oba taˇcni niti istovremeno oba netaˇcni tojest, ako je jedan od njih taˇcan, drugi je
netaˇcan.
16
ˇ
ELEMENTI MATEMATICKE
LOGIKE
Subalternirani iskazi Za dva iskaza koja su jednaka po kvaliteti,
a razliˇciti po kvantiteti kaˇzemo da su subalternirani. Jedan od takvih iskaza je univerzalno-afirmativan, a drugi je onda partikularnoafirmativan ili je jedan univerzalno-negativan, a drugi partikularnonegativan. Ove dvije varijante u opˇstem sluˇcaju predstavljaju parove iskaza:
I1 : (∀x) P (x) i I2 : (∃x) P (x) ,
ili
I1 : (∀x) ¬P (x) i I2 : (∃x) ¬P (x) .
Primjer 15. Iskazi
”Svi ljudi su pametni.”
”Neki ljudi su pametni.”,
su subalternirani iskazi. Druga varijanta subalterniranih iskaza su
iskazi
”Svi koˇsarkaˇsi nisu visoki.” i
”Neki koˇsarkaˇsi nisu visoki.”
♦
Za ovaj odnos kaˇzemo da je subalterniraju´ca opozicija, podredenost
ili subalternacija. Ako su dva iskaza u subalternaciji, za onaj od njih
koji je univerzalnog tipa kaˇzemo da je subalterniraju´ci ili nadreden,
a onaj koji je partikularnog tipa je subalterniran ili podreden.
Oba iskaza koji su u subalternaciji mogu biti istiniti. Naprimjer,
”Sve sˇ to postoji je sastavljeno od atoma.” i
”Neˇsto sˇ to postoji je sastavljeno od atoma.” ,
su iskazi u subalternaciji i oba su taˇcni iskazi.
Iskazi koji su u alternaciji mogu biti oba i neistiniti. Naprimjer,
”Sve ptice su sisari.” (netaˇcno) i
”Postoji ptica koja je sisar.” (netaˇcno).
Kod ove vrste odnosa mogu´ce je da nadredeni iskaz bude neistinit,
a podredeni da bude istinit. Iskazi
”Na svim planetama postoji zˇ ivot.” i
”Postoji planeta na kojoj postoji zˇ ivot.” ,
jesu u alternaciji, ali prvi od njih (nadredeni) je netaˇcan (na Merkuru nema zˇ ivota), a drugi (podredeni) je taˇcan (Na Zemlji postoji
zˇ ivot).
Kod subalterniranih iskaza nije mogu´ca jedino varijanta da nadredeni
17
ˇ
ELEMENTI MATEMATICKE
LOGIKE
iskaz bude taˇcan, a da podredeni bude netaˇcan. Zaista, nadredeni
iskaz je univerzalan, govori da neku osobinu imaju svi subjekti, a
podredeni je partikularan, govori da tu osobinu imaju neki subjekti.
Time c´ e taˇcnost prvog iskaza (svi imaju osobinu) uzrokovati taˇcnost
i drugog iskaza (neki imaju osobinu), drugaˇcije reˇceno, sˇ to vrijedi
za sve, vrijedi i za neke. Ovo moˇzemo iskoristiti i u kontrapoziciji,
sˇ to ne vrijei za neke ne´ce vrijediti ni za sve. Naprimjer, ako je taˇcan
iskaz
”Svi politiˇcari su korumpirani.”,
taˇcan je i njemu subalterniran iskaz
”Neki politiˇcari su korumpirani.”
Subkontrarni iskazi Subkontrarni iskazi su jednaki po kvantitetu (partikularni), a razliˇciti su po kvalitetu (jedan je afirmativan,
a drugi negativan). Dakle, to su iskazi gdje je jedan partikularnoafirmativan, a drugi partikularno-negativan. U formalnom zapisu
to je par iskaza oblika:
I1 : (∃x) P (x) i I2 : (∃x) ¬P (x) .
Primjer 16. Iskazi
”Neki politiˇcari su poˇsteni.” i
”Neki politiˇcari nisu poˇsteni.” ,
su subkontrarni iskazi. Subkontrarnost je takode i medu iskazima
”(∃x ∈ R) sin x = 0.” i
”(∃x ∈ R) sin x 6= 0.”.
♦
Za iskaze u ovom odnosu kaˇzemo da su subkontrarni, podsuprotni,
subkontrarno opozicioni, a odnos nazivamo subkontrarnost.
Subkontrarni sudovi mogu biti istovremeno istiniti. Naprimjer, iskazi
”Postoji plava ruˇza.” i
”Postoji ruˇza koja nije plava.” ,
su istiniti subkontrarni iskazi. Od dva subkontrarna iskaza moˇze
biti jedan istinit, a drugi neistinit. Iskaz
”Neki ljudi su smrtni.” ,
je taˇcan, a njemu subkontraran iskaz
18
ˇ
ELEMENTI MATEMATICKE
LOGIKE
”Neki ljudi nisu smrtni.” ,
je netaˇcan iskaz. Za subkontrarne iskaze nije mogu´ce da su oba
istovremeno netaˇcni. U suˇstini, subkontrarni sudovi tvrde da ”neˇsto
jeste” i ”neˇsto nije”, pa je jasno da se jedno mora dogoditi. Dakle,
od dva subkontrarna iskaza bar jedan mora biti taˇcan iskaz.
6.1 Logiˇ
cki kvadrat
t
on
r
Subkontrarnost
E
Subalternacija
ja
ci
di
k
ra
on
t
K
ja
ja
K
ja
ci
ci
I
ci
ik
ad
k
di
k
di
(∃x)¬P (x)
Kontrarnost
ra
ra
Subkontrarnost
A
t
on
t
on
(∃x)P (x)
(∀x)¬P (x)
K
K
Subalternacija
Kontrarnost
Subalternacija
(∀x)P (x)
Subalternacija
Medu iskazima predikatskog oblika, razlikuju´ci ih po kvantitetu i
kvalitetu, uoˇcili smo cˇ etiri vrste odnosa. Tradicionalno ti se odnosi
prikazuju dijagramom na slici 2, koga nazivamo logiˇcki kvadrat.
O
Slika 2: Logiˇcki kvadrat
Uobiˇcajeno se univerzalno-afirmativan iskaz oznaˇcava samoglasnikom ”A”, univerzalno-negativan sa ”E”, partikularno-afirmativan
sa ”I” i partikularno-negativan sa ”O”, radi jednostavnijeg crtanja
logiˇckog kvadrata.
Primjer 17. Posmatrajmo iskaz (A) ”Svi ljudi su smrtni.”, koji je
taˇcan.
⊤
⊥
ja
ra
k
di
ra
ci
ja
t
on
k
di
K
Subkontrarnost
Njemu kontraran iskaz (E) je ”Svi ljudi nisu
smrtni.” i on je netaˇcan iskaz. Subalterniraju´ci iskaz (I), ”Neki ljudi su smrtni.”
je taˇcan iskaz, a kontradiktoran iskaz (O),
”Neki ljudi nisu smrtni.” je netaˇcan iskaz.
To bi u logiˇckom kvadratu predstavili slikom
sa strane.
♦
E
Subalternacija
ci
t
on
I
⊤
Kontrarnost
K
Subalternacija
A
O
⊥
Znaju´ci istinitosne odnose izmedu iskaza A,E,I i O, treba primjetiti
sljede´ce:
19
ˇ
ELEMENTI MATEMATICKE
LOGIKE
Ako znamo da je iskaz A taˇcan, tada je iskaz E netaˇcan, iskaz I
taˇcan i iskaz O netaˇcan.
Ako znamo da je iskaz E taˇcan, tada je A netaˇcan, I je netaˇcan i O
je taˇcan iskaz.
Ako znamo da je iskaz I netaˇcan, tada je A netaˇcan, E je taˇcan i O
je taˇcan.
Ako znamo da je O netaˇcan, tada je E netaˇcan, A taˇcan i I taˇcan
iskaz.
Ovo moˇzemo generalizovati tvrdnjom da ako znamo da su univerzalni iskazi taˇcni ili ako znamo da su partikularni iskazi netaˇcni,
onda znamo istinitost svih ostalih iskaza u logiˇckom kvadratu.
Ako znamo da je iskaz A netaˇcan, tada jedino znamo da je iskaz O
taˇcan, a za iskaze E i I ne moˇzemo utvrditi sa sigurnoˇsc´ u njihovu
istinitost.
Ako znamo da je iskaz E netaˇcan, tada jedino znamo da je iskaz I
taˇcan, a za iskaze A i O ne moˇzemo utvrditi sa sigurnoˇsc´ u njihovu
istinitost.
Ako znamo da je iskaz I taˇcan, tada jedino znamo da je iskaz E
netaˇcan, a za iskaze A i O ne moˇzemo utvrditi sa sigurnoˇsc´ u njihovu istinitost.
Ako znamo da je iskaz O taˇcan, tada jedino znamo da je iskaz A
netaˇcan, a za iskaze E i I ne moˇzemo utvrditi sa sigurnoˇsc´ u njihovu
istinitost.
Dakle, ako znamo da su univerzalni iskazi netaˇcni ili partikularni
iskazi da su taˇcni, tada nemamo pouzdanu informaciju o taˇcnosti
svih iskaza logiˇckog kvadrata.
Primjer 18. Posmatrajmo univerzalno-afirmativne iskaze (A), ”Svi
ptice lete.” (netaˇcno) i ”Svi neograniˇceni nizovi su konvergentni.”
(netaˇcno). Formiraju´ci za njih logiˇcke kvadrate vidimo da pouzdano
znamo jedino istinitost iskaza O (taˇcan), a da za iskaze E i I su
mogu´ce dvije varijante. ♦
O
I
⊤
(a) ”Sve ptice lete.”
⊥
K
t
on
r
Subkontrarnost
E
Subalternacija
ja
ja
Subkontrarnost
⊤
ci
ik
ad
i
kc
di
r
ja
t
on
i
kc
di
K
Kontrarnost
ra
ra
Subalternacija
ja
⊤
A
t
on
t
on
ci
ik
ad
⊥
E
K
K
I
Kontrarnost
Subalternacija
⊥
A
Subalternacija
⊥
O
⊤
(b) ”Svi neograniˇceni nizovi su konvergentni.”
20
ˇ
ELEMENTI MATEMATICKE
LOGIKE
Literatura
[1] S. G. Simpson: Mathematical Logic, The Pensilvania State University, 2005.
[2] S. Bilaniuk: A Problem Course in Mathematical Logic, Trent
University, Peterborough Ontario, Canada, 2003.
ˇ c: Novija filozofija matematike, Nolit, Beograd 1987.
[3] Z. Sili´
[4] M. Vukovi´c: Matematiˇcka logika 1, Sveuˇciliˇste u Zagrebu, Zagreb 2006.
[5] http://www.iq-testovi.com/test-logickog-razmisljanja.php
[6] http://www.321.ba/logike
[7] http://gimnazija-osma-tbrezovackog-zg.skole.hr/
[8] http://marul.ffst.hr/ logika/seminar/doku.php
21
© Copyright 2024 Paperzz
