Zlatni rez

7. stručno – metodički skup učitelja i nastavnika matematike
“ Inovacije u nastavi matematike”
Pula, 13. - 15. listopada 2011.
S margine ili zanemarena lijepa
matematika
Milan Kabić
Srednja Škola Dugo Selo
ZLATNI REZ
“Geometrija posjeduje dva velika blaga: jedno je Pitagorin
poučak, a drugo je zlatni rez. Prvo se može usporediti sa čistim
zlatom,a drugo s draguljem neprocjenjive vrijednosti.“
Johannes Kepler, Mysterium cosmographicum (Svemirska
tajna), Tubingen 1596. godine.
Čovjekova DNA
molekula
Kada i kako je čovjek otkrio zlatni omjer
EGIPAT
Herodot (484. – 424. pr. Kr.): „Jedan egipatski svećenik
govoreći o obliku Keopsove piramide spomenuo mi je da
je kvadrat nad njezinom visinom jednak površini bočnog
trokuta“.  vaa   1.618...
a 
v

2
2
ba  2
2
  arctg 
  arctg 
2
Opširnije o piramidama
GRČKA
Pitagorejci (oko 500. god.pr. Kr.)
dolaze do jednog od najvažnijih
otkrića u matematici: - dijagonala i
stranica kvadrata (?? pravilnog
peterokuta) su nesumjerljive
(inkomensurabilne) dužine.
d
s5


Link
pentagram.html
Iktin (Iktinos),
Kalikrat (Callicrates)
i Fidija (Pheidias):
Partenon
(Djevičin hram)
448. - 438. g. pr. Kr.
Poliklet (Polýkleitos):
Dorifor (Doriforos) Kopljonoša oko 450. – 440. pr. Kr.
EUKLIDOVA DEFINICIJA
Propozicija 11. iz II. knjige
Euklidovih “Elemenata“ glasi:
„Danu dužinu podijeliti tako da
pravokutnik obuhvaćen cijelom
dužinom i jednim odsječkom,
bude jednak kvadratu na drugom
odsječku“.
a(a - x)  x 2
x 2  ax -a 2  0
x  1  5 a
2
Euklidova propozicija interpretirana na suvremenom matematičkom
jeziku glasi: Ako dužinu AB njezina točka T dijeli na dva dijela, tako
da se cijela dužina AB odnosi prema većem dijelu AT , kao što se
taj veći dio AT odnosi prema ostatku BT dužine AB, onda
kažemo da točka T dijeli dužinu AB u zlatnom rezu.
| AB|:| AT |  | AT |:| BT |  a : x  x :(a  x)
x 2  ax -a 2  0  | AT |  x  1  5 a
2
| BT |  a  x  a  1  5 a  3  5 a
2
2
| AT |  1 5  
2
|BT |
• Euklid u Elementi, knjiga VI. Def. 3. “…dijeljenje dužine u
krajnjem i srednjem omjeru” (gr. άκρον καί μέσον λόγον) i
“neprekidna podjela dužine.” (link na GeoGebra datoteku)
• Fra Luca Pacioli (1446. – 1510.) tiskao u Veneciji 1509. djelo
”De divina proportione” koje je imalo veliki utjecaj i nakon kojeg
zlatni rez doživljava pravu renesansu. U njemu opisuje harmonijska
svojstva “božanskog omjera ili “božanske proporcije.” Knjigu je
ilustrirao Leonardo da Vinci.
• Martin Ohm 1835. g. u drugom izdanju udžbenika Die reine
Elementar-Mathematik ( Čista elementarna matematika ) prvi put
koristi termin Zlatni rez.
• Oznaku  je 1909. g. predložio američki matematičar Mark Barr
u čast slavnom starogrčkom kiparu Fidiji (Phidias, gr. Φειδίας 480.
- 430. pr. Kr.). RjeĎe se za oznaku koristi slovo , kao prvo slovo
riječi što znači rez.
Laonardova Mona Lisa (La Gioconda)
Raffaello Santi: Raspeće 1502. – 1503.
Le Corbusier: Modulor – sustav proporcija koji
se oslanja na radove Leonarda da Vincia
RAZNI PRIKAZI BROJA
  5 1 1.618033988...
2
1   1  0.618033988...

 2   1
  1  1 1  ...
  1 1 1 1...

RAZNI PRIKAZI BROJA 
 11
 11 1 1 1 1  ...
11
1 1
11
 1
1
1
1
1 1
1...
Prikaz preko verižnog razlomka:
  1,1,1,...








RAZNI PRIKAZI BROJA 
 1 2sin 
10

1
2sin 
10
 1 2cos
5
  2sin 3
10
 (1)n1 (2n1)!
13
  
8 n0 (n2)! n! 42n3
ROGERS - RAMANUJANOVI IDENTITETI
1


2

1 ee4
1 e6
1
1...
5 5  5 1 e25  e25  5 
2
2















































1
5

 e
1

2

5
5
5
1 e 4 5
3
2
1 54  1 1
1 e 6 5
1 e
1...




















2
5





Prvih 1000 znamenaka broja 
1. 61803398874989484820458683436563811772030917980576286213544862270526046281890
244970720720418939113748475408807538689175212663386222353693179318006076672635
244970720720418939113748475408807538689175212663386222353693179318006076672635
443338908659593958290563832266131992829026788067520876689250171169620703222104
443338908659593958290563832266131992829026788067520876689250171169620703222104
321626954862629631361443814975870122034080588795445474924618569536486444924104
321626954862629631361443814975870122034080588795445474924618569536486444924104
432077134494704956584678850987433944221254487706647809158846074998871240076521
432077134494704956584678850987433944221254487706647809158846074998871240076521
705751797883416625624940758906970400028121042762177111777805315317141011704666
705751797883416625624940758906970400028121042762177111777805315317141011704666
599146697987317613560067087480710131795236894275219484353056783002287856997829
599146697987317613560067087480710131795236894275219484353056783002287856997829
778347845878228911097625003026961561700250464338243776486102838312683303724292
778347845878228911097625003026961561700250464338243776486102838312683303724292
675263116533924731671112115881863851331620384005222165791286675294654906811317
675263116533924731671112115881863851331620384005222165791286675294654906811317
159934323597349498509040947621322298101726107059611645629909816290555208524790
159934323597349498509040947621322298101726107059611645629909816290555208524790
352406020172799747175342777592778625619432082750513121815628551222480939471234
352406020172799747175342777592778625619432082750513121815628551222480939471234
145170223735805772786160086883829523045926478780178899219902707769038953219681
145170223735805772786160086883829523045926478780178899219902707769038953219681
9861514378031499741106926088674296226757560523172777520353613936 21076738937645
9861514378031499741106926088674296226757560523172777520353613936
link
Heronova konstrukcija
U pravokutnom trokutu
u kojem je jedna kateta
dvostruko dulja od druge,
zlatni rez dulje katete
jednak je razlici hipotenuze
i kraće katete.
Konstrukcija zlatnog reza Geogebra datoteka
ZLATNI PRAVOKUTNIK I SPIRALA
r1 1
 l1 
r2  1

r3 
1
2
q 1


2
 l2 

2
 l3 
 s  l1
Konstrukcija spirale
GeoGebra datoteka

2 2
1


1 q 2( 1)
ZLATNI TROKUT I SPIRALA
GeoGebra datoteka
Jednakokračni trokut čiji su kutovi 36  , 72  i 72 
zovemo zlatni trokut. Njegova je osnovica sukladna
zlatnom rezu kraka.
Stranica pravilnog deseterokuta, jednaka je zlatnom
rezu polumjera tom trokutu opisane kružnice.
KONSTRUKCIJA PRAVILNOG
PETEROKUTA I DESETOROKUTA
GeoGebra
datoteka
Geogebra datoteka
d :s 
5
Zlatni rez dijagonale
jednak je stranici peterokuta.
Nestandardne konstrukcije pravilnog peterokuta
Geogebra datoteke:
1. Euklidov dokaz
2. Klasična
konstrukcija
3. Nestandardna (1)
4. Nestandardna (2)
5. Konstrukcija od
zadane stranice

Download Report