11.9.2013.
Temelj filtera
SPIE09 Obrada zvučnih signala
01_04. Projektiranje digitalnih FIR i IIR filtera
Ozren Bilan, viši predavač
Opdenito, filter je
linearan vremenski nepromjenjiv sustav konstruiran za propuštanje pojedinih frekvencija
Digitalni filter je
numerički postupak ili algoritam; transformira zadanu sekvencu u drugu koja ima poželjnija svojstva
PROJEKTIRANJE
DIGITALNIH
FILTERA
Poželjne karakteristike ovise o primjeni:
Ulazni zvučni signal
Generiran elektroakustičkim
pretvaračem (mikrofon)
Digitalni filter je linearan vremenski nepromjenjiv sustav konstruiran za
propuštanje pojedinih frekvencija.
Idealni filter propušta komponente signala određenih frekvencija bez
prigušivanja a komponente na ostalim frekvencijama idealno prigušuje.
Izlazni signal
ima manje šuma i smetnji
Govor
ima manju redundanciju kako bi
se učinkovito transmitirao
Idealni filter:
1.
1.1.
1.2.
1.3.
1.4.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
UVOD
Konti nuirani i diskretni signali i DSP
Ana liza u vremenskom i frekvencijskom području
DSP tra nsformacije
Projektiranje digitalnih filtera
Zvučni signali visoke razlučivosti HD Audio
Di gitalna obrada govora
Sa žimanje zvučnih datoteka
Uvod u obradu zvučnih signala umjetnim neuralnim mrežama
Uvod u obradu i analizu zvučnih signala va lidem Wavelet
Ra zlike DSP i procesora
30 s a ti predavanja + 30 sati laboratorijskih vježbi
Svi MATLAB kodovi nalaze se u skripti LAB VJEŽBE DOZS
propušta komponente signala određenih frekvencija bez prigušivanja, a
komponente na ostalim frekvencijama idealno prigušuje.
Prema tome:
frekvencijska karakteristika ima vrijednost jednaku jedan ili nula.
Ozren Bilan
2
Analiza digitalnih filtera
DSP algoritme filtera analiziramo određivanjem:
Područje frekvencija u kojima frekvencijska karakteristika ima jediničnu
vrijednost naziva se propusni pojas, a područje frekvencija gdje je
frekvencijska karakteristika jednaka nuli je pojas gušenja.
Ozren Bilan
3
Filtri imaju dvije svrhe: odvajanje i restauriranje signala.
Odvajanje signala koristi se u slučajevima u kojima je signala pomiješan s
interferencijama, šumovima ili drugim signalima. Zamislimo uređaj za mjerenje električne
aktivnosti srca fetusa (EKG). Taj signal pomiješan je sa signalom disanja i zvuka srca majke.
Potrebno je koristiti filtar koji de odvojiti signale kako bi ih mogli analizirati individualno.
Restoracija signala koristi se ako je signal na neki način izobličen. Npr. pri snimanju
nesavršenim uređajima mogude je dobiveni signal filtrirati tako da bolje predstavlja zvuk
koji je bio pri snimanju.
Probleme možemo rješavati s analognim ili digitalnim filtrima. Koji su bolji? Analogni filtri
su jeftini, brzi i imaju vrlo veliko dinamičko područje amplitude i frekvencija. Za
usporedbu, digitalni filtri su mnogo bolji po pitanju karakteristika koje je mogude postidi.
Niskopropusni digitalni filtar može imati pojačanje 1+/- 0.0002 od 0 do 1000 Hz i pojačanje
manje od 0.0002 za frekvencije više od 1001 Hz. Čitav prijelaz javlja se samo unutar
frekvencijske širine od 1 Hz. Takvi podaci ne mogu se očekivati od sklopova s operacijskim
pojačalima! Digitalni filtri postižu tisude puta bolje karakteristike od analognih filtara. Zbog
toga nastaje razlika u pristupu problemima pri filtriranju.
 njihovih karakteristika u vremenskom području preko
 Jednadžbe diferencija
 Odziva na jedinični step – impulsnog odziva
 njihovih karakteristika u frekvencijskom području preko
 Područja z-transformacije
 Preko prijenosne funkcije sustava
 Dijagrama nula i polova u z-ravnini
 Fourierovom transformacijom preko
 Frekvencijskog odziva
Ozren Bilan
4
Matlab primjeri obrade signala
rng default;% rng upravlja generatorom slučajnih brojeva
x=ecg(500)'+0.25*randn(500,1); % ecg valni oblik u šumu
h=fdesign.lowpass('N,F3dB',12,0.15);
d1 = design(h,'butter');
y = filtfilt(d1.sosMatrix,d1.ScaleValues,x);
%filtfilt gleda u bududnost signala kako bi eliminirali fazna izobličenja
plot(x,'b-.'); hold on;
plot(y,'r','linewidth',4); grid;
legend('ECG uronjen u šum','Filtriranje nulte faze','location','NorthEast');
QRS kompleks je najvažnija osobina valnog oblika ECG, a na dijagramu, počinje od uzorka 160.
Analognim filtrima težište je na obradi problema ograničenja
elektronike te točnosti i stabilnosti otpornika i kondenzatora.
Digitalni filtri toliko su dobri da se karakteristike filtra zanemaruju.
Težište se pomiče prema ograničenjima signala i teoretskih pitanja
u smislu obrade.
Ozren Bilan
5
Ozren Bilan
6
1
11.9.2013.
U DSP uobičajeno govorimo o ulaznim i izlaznim signalima filtra u vremenskom
području. Zbog toga što signali najčešde nastaju uzorkovanjem u pravilnim
vremenskim intervalima. To nije jedini način nastajanja uzorkovanja. Drugi način
je uzorkovanje u jednakim prostornim intervalima. Moguda su i mnoga druga
područja; međutim, vrijeme i prostor su najuobičajeniji. Uvijek kad vidimo DSP
izraz vremensko područje, ono može stvarno označavati uzorke pribavljene
vremenski ali može predstavljati opdenito bilo koje područje u kojem su
pribavljeni uzorci.
Spektar signala se sastoji od komponenata 60 Hz šum i korisni signal 150Hz i 200Hz.
Potrebno je eliminirati komponentu šuma na 60 Hz iz korisnog signala.
Koristimo uskopojasno nepropusni (notch) IIR filter točno na frekvenciji smetnje
Svaki linearni filtar određen je impulsnim odzivom, odzivom na step i
frekvencijskim odzivom. Svaki odziv sadržava cjelovite informacije o filtru u
različitim oblicima. Za bilo koji specificirani odziv, druga dva su zadana i mogu se
odrediti. Važna su sva tri jer opisuju kako de se filter odazvati u različitim
uvjetima.
Prvi najučinkovitiji način primjene digitalnog filtra je konvoluiranje ulaznog
signala s impulsnim odzivom digitalnog filtra.
Ovim načinom mogu se napraviti svi mogudi linearni filtri. Objasnili smo da
konvolucija opisuje odnose tri signala: ulaznog signala, izlaznog signala i
impulsnog odziva. To je matematička operacija koja svaku vrijednost na izlazu
izražava kao sumu vrijednosti ulaza pomnoženu nizom težinskih koeficijenata.
Koristimo li impulsni odziv na opisani način, projektanti filtra nazivaju ga :
jezgra ili kernel.
7
Ozren Bilan
8
Ozren Bilan
Drugi način izrade digitalnih filtra, nazivamo rekurzijski. Ako implementiramo
filtre konvolucijom, svaki uzorak izlaznog signala računa se ponderiranjem ulaznih
uzoraka i njihovim sumiranjem. Rekurzivni filtri predstavljaju proširenje jer koriste
predhodno izračunate vrijednosti izlaznog signala pored vrijednosti ulaznog signala.
Umjesto korištenja jezgre filtra, rekurzivni filtri određeni su nizom rekurzijskih
koeficijenata, što demo detaljnije opisati. Za sad je najvažnije kako svi linearni filtri
posjeduju impulsni odziv, iako ga ne trebamo koristiti kako bi implementirali filter.
Za određivanje impulsnog odziva rekurzivnih filtera kroz njih propustimo impuls pa
pogledamo oblik signala na izlazu. Impulsni odziv rekurzivnih filtra su sastavljen od
sinusoida koje eksponencijalno slabe amplitudu. Zbog toga je njihov izlaz
beskonačno dugačak. Međutim, amplituda može oslabiti ispod razine šuma
kvantizacije pa preostale uzorke zanemarujemo.
Zbog navedenih karakteristika, rekurzivni filtri se nazivaju filtri beskonačnog
impulsnog odziva (IIR).
Filtri izvedeni konvolucijom nazivaju su filtri konačnog impulsnog odziva (FIR).
Impulsni odziv je izlaz sustava ako je na ulazu impuls, a odziv na step je izlaz ako
je na ulazu step funkcija.
Bududi da je step integral impulsa,
odziv na step je integral impulsnog odziva.
To nam onda omogudava dva načina određivanja odziva na step:
(1) propustiti step valni oblik kroz filtar pa pogledati izlaz ili
(2) integrirati impulsni odziv.
Parametri filtera. Svaki linearni filter ima impulsni odziv, odziv na step i frekvencijski
odziv. Odziv na step, (b), može se odrediti diskretnom integracijom impulsnog odziva,
(a). Frekvencijski odziv može se odrediti iz impulsnog odziva Brzom Furierovom
transformacijom (FFT), a može se prikazati na linearnoj skali, (c) ili u decibelima (d).
Ozren Bilan
9
Kako bi bili matematički ispravni: integracija se koristi s kontinuiranim
signalima, a diskretna integracija, tj., tekuda suma running sum, se koristi s
diskretnim signalima. Frekvencijski odziv se određuje DFT (korištenjem FFT
algoritma) impulsnog odziva, što demo naknadno pokazati. Frekvencijski odziv
može se prikazati s linearnom ordinatom ili na logaritamskoj skali u
decibelima.
Linearna skala najbolje prikazuje gušenje i valovanje u propusnom području,
dok skala u decibelima najbolje pokazuje atenuaciju nepropusnog područja.
Bel, po Alexander Graham Bellu, označava deseterostruku promjenu snage.
Elektronički sklop s 3 Bela pojačanja dat de izlazni signal koji je
10×10×10=1000 puta vede snage od ulaznog. Decibel (dB) je desetina Bela.
Dakle, decibel vrijednosti: -20dB, -10dB, 0dB, 10dB i 20dB, označavaju odnose
snaga od: 0.01, 0.1, 1, 10 i 100. Drugim riječima, svakih deset decibela
označava da se snaga promjenila deseterostruko.
Pri radu koristimo amplitude, a ne snage koje su proporcionalne kvadratu
napona. Ako neko pojačalo ima pojačanje 20dB to po definiciji označava da se
snaga signala povečala 100 puta. Bududi da je amplituda proporcionalna
korijenu snage, amplitude izlaza bit de deseterostruka ulazna amplituda.
Dakle, 20dB znači faktor 100 snage ali samo faktor 10 amplitude. Za svakih
dvadeset decibela amplituda se promjeni za deset puta.
Ozren Bilan
11
10
Ozren Bilan
Jednadžbom to označavamo:
dB= 10 log (P2/P1)
dB= 20 log (A2/A1)
Definicija decibela. Decibel je način
izražavanja odnosa dva signala. Odnos
snaga i odnos amplituda koriste različite
jednadžbe, jer je snaga proporcionalna
kvadratu napona.
Gornje jednadžbe koriste dekadske
logaritme; međutim, mnogi programski
jezici omogudavaju samo funkcije
prirodnih logaritama po bazi e. Tada
modificiramo gornje jednadžbe prema
izrazu:
korištenjem odnosa prema nekoj normi.
Tako izraz: dBV označava amplitudu
prema 1 voltu efektivne vrijednosti. Slično
tome, dBm pokazuje snagu signala prema
1 mW, a dBu napon signala prema
0,775V. Izražavamo li razinu zvučnog tlaka
u decibelima tada je dBspl vrijednost
omjera prema pragu osjeta sluha od
2010-6 Pa. Treba zapamtiti: -3dB znači da
se amplituda smanjila za 0.707, pa se
snaga smanjila na polovinu. Dobro je
zapamtiti slijedede odnose između
decibela i amplituda:
dB =4.342945 loge (P2/P1)
dB =8.685890 loge (A2/A1)
Bududi da decibeli predstavljaju način
izražavanja odnosa dva signala idealni su
za opisivanje pojačanja sustava, tj.,
odnosa između izlaznog i ulaznog signala.
Međutim, decibelima se specificira i
Ozren Bilan
amplitude ili snaga jednog signala
60dB
40dB
20dB
0dB
-20dB
-40dB
-60dB
= 1000
= 100
= 10
=1
= 0.1
= 0.01
= 0.001
12
2
11.9.2013.
Kako signal prikazuje informaciju ?
Najvažniji dio svake DSP zadade je razumijevanje kako je pohranjena
informacija u signalu s kojim radimo. Postoje samo dva uobičajena
načina kojim predstavljamo informaciju u signalima koji se javljaju u
prirodi:
• informacija prikazana u vremenskom području i
• informacija prikazana u frekvencijskom području.
Informacija prikazana u vremenskom području opisuje kada se nešto
dogodilo i kolika je amplituda pojave. Zamislimo pokus kojim se
analizira svjetlost sunca. Intenzitet svjetlosti se izmjeri i pohrani
jednom svake sekendu. Svaki uzorak signala pokazuje što se dogodilo u
određenom trenutku kao i razinu pojave. Pri pojavi solarnog toka,
signal neposredno omogudava vremensku informaciju o trenutku
pojave, trajanju, vremenskoj promjeni, itd. Svaki uzorak sadržava
informaciju koja se može interpretirati bez referencijalne vrijednosti
prema bilo kojem drugom uzorku. Čak i kada posjedujemo samo jedan
uzorak ovog signala, još uvijek znamo nešto o onome što mjerimo. To
je najjednostavniji način pohrane informacije u signalu.
Za razliku od toga, informacije u frekvencijskom području prikazuju se indirektno.
Mnoge pojave svijeta koje nas okružuju imaju periodičnost. npr., kucnemo li
noktom čašu ona de zatitrati što de popratiti istitravajudi zvuk; njihalo antiknog sata
njiše se lijevi desno; zvijezde i planeti rotiraju oko osi i okredu se jedni oko drugih i
tako dalje. Mjerenjem frekvencije, faze i amplitude ovih periodičnih gibanja,
najčešde dobvamo informacije o sustavu u gibanju. Pretpostavimo uzorkovanje
zvuka kojeg daje čaša. Fundamentalna frekvencija i harmonici periodičkih vibracija
povezuju masu i elastičnost materijala. Jedinstveni uzorak, sam po sebi, ne
sadržava informacije o periodičnosti gibanja, pa tako ni informacije o čaši.
Informacija je pohranjena u odnosima mnogih točaka signala.
To nas dovodi do značaja frekvencijskog odziva i odziva na koračnu pobudu. Odziv
na step opisuje kako sustav modificira informaciju predstavljenu u vremenskom
području. Za razliku od toga, frekvencijski odziv pokazuje kako se mijenja
informacija predstavljena u frekvencijskom području. Ta razlika je kritična pri
projektiranju filtra jer ih je nemogude optimizirati za obje primjene. Dobre
karakteristike u vremenskom području imaju za poslijedicu loše karakteristike u
frekvencijskom području i obrnuto. Ako projektiramo filter za eliminiranje šuma iz
EKG signala (što je informacija prikazana u vremenskom područje ), odziv na step je
vrlo važan parametar, a frekvencijski odziv nije. Ako nam je zadada projektiranje
digitalnog filtra aparata za sluh (s informacijom u frekvencijskom području),
frekvencijski odziv je vrlo važan, a odziv na step nije.
Upitajmo se: što čini filtre optimalnim za primjene u vremenskom ili
frekvencijskom području ?
13
Ozren Bilan
Parametri vremenskog područja
Možda odmah nije očito zašto odziv na step ima takav značaj u filtrima
vremenskog područja, a impulsni odziv nije tako važan parametar.
Odgovor je sadržan u načinu kojim ljudski um poima i obrađuje informacije.
Pri tome moramo imati na umu da odziv na step, impulsni odziv i frekvencijski odziv
sadrže identične informacije ali na različite načine. Odziv na step je koristan pri
analizi u vremenskom području jer je prilagođen načinu kojim ljudi sagledavaju
informacije pohranjene u signalu. Pretpostavimo za primjer da vam je zadana
analize signala nepoznatog porijekla. Prvo što de te napraviti je da ga podijelite u
područja sličnih karakteristika. Jednostavno, to je ono što de vaš um napraviti
spontano, automatski bez razmišljanja. Neka područja mogu biti glatka; druga
mogu imati vrhove visokih amplituda; treda mogu biti uronjena u šum. Opisanu
segmentaciju postižemo identificiranjem točaka koja dijele razna područja. To je
upravo način gdje je odlučujudi odziv na step. Step funkcija je najjednostavniji i
najočitiji način predstavljanja podjele između dva različita područja. Vrlo lako
uočavamo početak i kraj neke pojave. Odziv na step nam pokazuje da je nešto što
je nastalo prije (s lijeva) različito od nečega kasnije (s desna). Najopdenitije, kazuje
nam da je nešto s lijeva različito od nečega s desna. To je način kojim ljudski um
sagledava informacije u vremenskom području: grupe step funkcija dijele
informacije u područja sličnih karakteristika. Zbog toga je odziv na step važan jer
opisuje kako se linije podijela mijenjaju primjenom filtra.
Ozren Bilan
Najvažnije parametre odziva na step pri projektiranju filtra prikazujemo grafički.
Kako bi razlikovali događaje unutar signala, trajanje odziva na step mora biti krade
nego što je udaljenost događaja. To uvjetuje da odziv na step bude, DSP žargonom,
što je mogude brži. Najčešdi način određivanja vremena porasta je specificiranje
broja uzoraka između 10% i 90% razine amplitude.
Zašto brzo vrijeme porasta nije uvijek mogude?
Tome su uzrok mnogi razlozi: redukcija šuma, inherentna ograničenja sustava za
akviziciju podataka, spriječavanje aliasa, itd.
Idudi važni parametar je prebačaj u odziv na step. Najopdenitije, prebačaj treba u
potpunosti eliminirati jer mijenja amplitude uzoraka signala; To je temeljno
izobličenje informacija sadržanih u vremenskom području. Najvažnije je znati
odgovoriti na pitanje da li je nastali prebačaj posljedica onoga što želimo izmjeriti ili
zbog primijenjenog filtra?
Konačno, uvijek je poželjno da gornja i donja polovina odziva na step budu
simetrične. Simetrija je potrebna kako bi rubovi porasta signala izgledali isto kao
rubovi slabljenja. Ovu simetriju nazivamo linearna faza, jer se frekvencijski odziv
sastoji od amplitudnog i faznog odziva. Linearni odziv faze predstavljen je ravnom
linijom (što smo ved objasnili u prethodnim poglavljima).
Nabrojena tri parametra treba u potpunosti shvatiti jer su ključni za procjenu
vremenskog područja filtra
15
Ozren Bilan
14
Ozren Bilan
16
Ozren Bilan
18
Parametri procjene
karakteristika u
vremenskom području:
Odziv na step je mjera
ponašanja filtra u
vremenskom područje.
Važna su tri parametra:
Ozren Bilan
•
brzina prijelaza
(transition speed risetime), prikazan na
slikama (a) i (b),
•
prebačaj, prikazan na
(c) i (d), i
•
fazna linearnost
(simetrija gornje i donje
polovine stepa),
pokazuje (e) i (f).
17
Parametri:
• Brzina prijelaza
(transition speed risetime)
• Prebačaj
• Fazna linearnost
(simetrija gornje i donje
polovine stepa)
prikazani su na primjeru
Besselovog,
Butterworthovog i
Čebiševljevog filtra
3
11.9.2013.
Parametri frekvencijskog područja
Postoje četiri temeljna frekvencijska odziva. Svrha filtera je
dopustiti da neke frekvencije prođu nepromijenjene, a da se
istovremeno potpuno blokiraju druge frekvencije. Propusno
područje označava propuštene frekvencije, a nepropusno
područje sadržava sve blokirane frekvencije. Između njih je
prijelazni ili tranzicijski pojas.
Brzo odrezivanje (roll-off) označava vrlo uski prijelazni pojas.
Podijela između propusnog područja i prijelaznog pojasa
nazivamo odrezna frekvencija. Pri projektiranju analognih
filtara, odrezna frekvencija se uobičajeno definira prema
mjestu na kojem se amplituda smanji za 0.707 (tj., -3dB).
Digitalni filteri nisu normirani !!!
Uobičajeno je definiranje odrezne frekvencije pri
99%, 90%, 70.7% i 50% razine amplitude.
Ozren Bilan
19
Slika pokazuje tri parametra
koja pokazuju
karakteristike filtra u
frekvencijskom području.
Kako bi odijelili bliske
frekvencije, filter mora
imati brzo odrezivanje, što
pokazuju slike (a) i (b). U
propusnom području,
frekvencije se moraju
propuštati kroz filter
potpuno nepromijenjene
amplitude, što znači da ne
smije nastajati valovanje u
propusnom području, što
prikazuju slike (c) i (d).
Ozren Bilan
Konačno, kako bi se
zadovoljavajude blokirale
frekvencije u nepropusnom
području, nužno je postidi
dobru atenuaciju
nepropusnog područja, što
pokazuju slike (e) i (f).
Ozren Bilan
Drugim riječima, frekvencijski odziv filtera bit de ustaljen (kontinuiran) signal
između nule i polovine frekvencije uzorkovanja. Izlaz DFT je uzorkovanje ove
kontinuirane linije. Pitanje je onda koju dužinu impulsnog odziva treba
koristiti pri proračunu frekvencijskog odziva filtra? Prvo pokušamo s N=1024,
ali možemo ga i promijeniti ako je to potrebno (npr. ako je nedovoljna
rezolucija ili predugo vrijeme proračuna
23
20
Među opisanim parametrima ne spominje se faza?
Prvo, faza nema značaj u najvedem broju primjena u frekvencijskom području.
Faza audio signala je u potpunosti slučajna i sadržava vrlo malo korisnih
informacija.
Drugo, kada bi faza bila važna, bilo bi vrlo lako projektirati digitalne filtre s
idealnim faznim odzivom, tj., sve frekvencije bi se propuštale kroz filter s nultim
pomakom faze. Analogni filtri pokazuju u tom području vrlo loše karakteristike.
U prethodnim poglavljima opisali smo kako DFT pretvara impulsni odziv sustava u
frekvencijski odziv. Kratko demo ponoviti kako je najbrži način proračuna DFT
preko FFT algoritma. Počinje se kernelom filtra dužine N uzoraka, FFT
proračunava frekvencijski spektar koji se sastoji od realnog dijela od N točaka i
imaginarnog dijela od N točaka. Pri tome samo uzorci od 0 do N/2 realnog i
imaginarnog dijela FFT sadržavaju korisne informacije; sve preostale točke su
negativne frekvencije i mogu se zanemariti. Bududi da su realni i imaginarni dio
ljudima teško shvatljivi, najčešde se pretvaraju u polarni oblik. Tako dobivamo
magnitudu i fazu signala, od uzorak 0 do uzoraka N/2 (tj., N/2+1 uzoraka u
svakom signalu). Npr., impuls odziv od 256 točaka dat de frekvencijski odziv od
točke 0 do 128. Uzorak 0 predstavlja istosmjernu komponentu; tj., nultu
frekvenciju. Uzorak 128 predstavlja polovinu frekvencije uzorkovanja. Treba
zapamtiti kako se u uzorkovanim podacima ne mogu pojaviti frekvencije više od
polovine frekvencije uzorkovanja.
21
Broj uzoraka koji se koristi za prikaz impulsnog odziva može biti po volji velik.
Npr., pretpostavimo da želite odrediti frekvencijski odziv kernela filtra koji se
sastoji od 80 točaka. Bududi da FFT funkcionira samo sa signalima koji su
potencija broja dva, potrebno je dodati 48 nula signalu kako bi imao 128
uzoraka. Ovo dopunjavanje s nulama nede promijeniti impulsni odziv. Kako bi
shvatili zašto je to tako, prisjetimo se što de se dogoditi s dodanim nulama ako
ulazni signal konvoluiramo s impulsnim odzivom sustava. Dodane nule
jednostavno de nestati pri konvoluciji pa nede djelovati na izlazni signal.
Očito je da impulsnom odzivu možemo dodati po volji mnogo nula kako bi ga
napravili dugačkim 256, 512, ili 1024 točaka. Pri tome je važno uočiti kako duži
impulsni odzivi rezultiraju manjom udaljenošdu podatkovnih točaka u
frekvencijskom odzivu. Dakle, postoji više uzoraka između nule i polovine
frekvencije uzorkovanja.
Ako impulsni odziv napunimo s beskonačnim brojem nula, točke podataka u
frekvencijskom odzivu bit de infinitezimalno bliske, tj., dobivamo ustaljenu
(kontinuiranu) liniju, pa tako u MATLAB-u generiramo pseudoanalogne
signale
Ozren Bilan
Četiri uobičajena frekvencijska odziva. Filtri frekvencijskog područja koriste se da bi
propustili neke frekvencije (propusno područje), a blokirali ostale (nepropusno
područje). Najčešda su četiri odziva: niskopropusni, visoki propust, pojasni propust i
pojasna brana ili pojasno nepropusni filter – (vrlo uzak naziva se klanac ili notch)
Ozren Bilan
Klasifikacija filtera
*Napomena:
Poglavlja se odnose na staru skriptu
Čebiševljev, Butterworth,
Eliptički,…
22
Digitalni filtri
implementiraju se na
dva načina,
konvolucijom (što
nazivamo konačni
impulsni odziv ili FIR) i
rekurzijski (beskonačni
impulsni odziv ili IIR).
Filtri koji se izvode
konvolucijom imaju
bolje karakteristike od
rekurzijskih, ali se
izvode mnogo duže.
Uporaba digitalnih filtra dijeli se u tri kategorije: vremensko područje,
frekvencijsko područje i posebni slučajevi.
Kako smo pokazali, filtri
vremenskog područja koriste se sa signalima kojima je informacija kodirana u
valnom obliku. Filtriranje u vremenskom području koristi se za glađenje,
eliminiranje istosmjerne komponente, oblikovanje signala, itd. Za razliku od
njih, filtri frekvencijskog područja koriste se ako je informacija kodirana u
amplitudi, frekvenciji i fazi sinusoidalnih komponenti. Cilj tih filtara je
odvajanje jednog pojasa frekvencija od drugog. Posebni filtri se koriste ako
filtar treba izvesti posebnu akciju, koja je mnogo složenija od temeljnih odziva
filtra.
Ozren Bilan
24
4
11.9.2013.
Matematička analiza filtera
Signali koje susredemo u praksi mogu biti digitalni ili analogni. Analogni
signali su kontinuirani u vremenu i amplitudi, te su za obradu takvog
signala potrebni aktivni i pasivni elementi. Pristup takve obrade signala
imamo npr. kod televizijske i radijske obrade, koja se naziva analogna
obrada signala (ASP).
Analogni signal mogude je obraditi i digitalnim sklopom,
multiplekserima, logičkim elementima ili programskim procesorima ali
je potrebno prilagoditi analogni signal digitalnom sklopu.
Takav sustav uzima vrijednost analognog signala u određenim
trenucima (vremenskim odsječcima) i prikazuje ih u binarnom
brojevnom sustavu.
Proces obrade takve vrste signala nazvan je digitalna obrada signala
(DSP).
Ozren Bilan
frekvencijska ili fazna analiza spektra,
prepoznavanje govora,
analiza govora,
pronalaženje izvora.
Filtriranje signala karakteristično je po odnosu signal ulaza-izlaza.
Takav sustav naziva se filter i on je obično u vremenskom području.
Neke aplikacije su:
•
•
•
•
uklanjanje neželjenog šuma,
uklanjanje smetnji,
odvajanje frekvencija,
ograničavanje spektra.
Ozren Bilan
Bitne kategorije vezane za digitalnu obradu signala su analiza i
filtriranje signala.
Ozren Bilan
Primjena digitalnih filtera u odnosu na primjenu analognih
filtera ima prednosti koje se uglavnom pripisuju digitalnim
sustavima:
• karakteristike se mogu programirati,
• tolerancije komponenata nisu kritične,
• utjecaj okoline i starenja nije značajan,
• postiže se visoka pouzdanost i točnost u radu.
Osnovni nedostaci digitalnih filtera javljaju se pri nižim
brzinama rada i postojanju šuma ali sa razvojem tehnologije ti
su nedostaci u značajnom stupnju otklonjeni.
29
26
Analogni filter
Električni filter je elektronički sklop čija je funkcija da na
određeni način promjeni karakteristiku frekvencijskog spektra
ulaznog signala.
Cilj je umanjiti neželjena svojstva ulaznih veličina i zadržati ili
istaknuti željena svojstva. Postoje pasivni filteri koji su sastavljeni
samo od pasivnih komponenata (zavojnica, kondenzatora,
otpornika) i aktivni filteri koji pored pasivnih sadrže jednu ili više
aktivnih komponenata sa svojstvom pojačanja signala (tranzistori,
operacijska i druga pojačala). Aktivni filter može biti analogni ili
digitalni.
Analogni filter obrađuje analogni signal i može se predstaviti
linearnim četveropolom.
Digitalni filter obrađuje diskretni signal i realizira se pomodu
posebnih integriranih krugova ili kao algoritam kojega izvodi
procesor digitalnog signala.
27
Njihovom primjenom ulazni digitalni niz se transformira u
izlazni tako da sadržava određene željene karakteristike
ulaznog signala, a potiskuje i slabi neželjene karakteristike.
Ozren Bilan
• sustav razvijen na digitalnoj obradi mogude je razvijati i testirati za
vrijeme rada u samome sustavu i programski je prenosiv,
• signal obrađen na ovakav način stabilniji je od vanjskih utjecaja (npr.
temperature),
• omogudava promjene u stvarnom (realnom) vremenu,
jednostavnim programskim promjenama pojedinih parametara
unutar programa,
• korištenjem digitalne obrade (DSP) snižava se cijena proizvoda.
25
Analiza signala ima zadadu mjerenja svojstva signala i odvija se u
frekvencijskom području. Neke aplikacije su:
•
•
•
•
Mogude je obraditi signal analogno i digitalno.
Digitalna obrada signala je na prvi pogled dosta složenija od analogne
ali ima mnoge prednosti:
Ozren Bilan
28
Prijenosna funkcija analognog filtera
Električki filter je sustav, pa ga je u tom smislu mogude
definirati kao skup specifikacija kojima su određeni
odnosi između njegovih ulaza i izlaza. Linearnom i
vremenski nepromjenjivom sustavu odnos između ulaza
i izlaza sustava definiran je konvolucijskim integralom:

y (t )   h(t   ) x( )d ,
gdje su :
0
h (t) impulsni odziv sustava,
x (t) ulaz, poticaj ili pobuda,
y (t) izlaz ili odziv sustava.
Sa matematičkog gledišta sustav je mogude shvatiti kao
operator koji djeluje na ulaznu veličinu, što se može
opisati izrazom:
y (t )  F x(t )
Ozren Bilan
30
5
11.9.2013.
Laplace-ovom transformacijom konvolucijskog integrala dobiva se
odnos ulaznog i izlaznog signala u frekvencijskoj domeni:
Laplace-ovom transformacijom ovoga izraza i izdvajanjem X(s) i Y(s) mogude je
M
prijenosnu funkciju H(s) izraziti kao:
i
Y ( s)  H ( s)  X ( s) ,
H ( s) 
gdje je H(s) prijenosna funkcija filtera.
Prijenosna funkcija H(s) definirana je kao omjer Laplace-ovih
transformacija izlaznog i ulaznog signala, a dana je izrazom:
H ( s) 
Y ( s)
X (s)
a s
i
i 0
N
b s
.
j
j
j 0
Funkcija H(s) je realna racionalna funkcija kompleksne frekvencije s, koju je mogude
prikazati u obliku omjera dvaju polinoma s realnim koeficijentima:
H ( s) 
.
P( s)
Q( s )
.
Tu funkciju H(s) je mogude prikazati i u slijededem obliku:
s  s 
s  s s  s ...s  s s  s  
Opdi oblik električkog filtera, koji se razmatra, je električna mreža
sastavljena od konačnog broja elemenata koji su:
• koncentrirani,
• linearni,
• vremenski nepromjenjivi.
Za takve sustave ulazno-izlazne odnose mogude je definirati
diferencijalnom jednadžbom N-tog reda:
bN
Y ( s ) a M s M  a M 1 s M 1  ...  a1 s  a0


X ( s)
bN s N  bN 1 s N 1  ...  b1 s  b0
M
H ( s)  k
s  s s  s ...s  s s  s   k
oM
oM 1
o2
o1
pN
pN 1
p2
p1
,
pj
 s
r
H ( s)  k
2
i 1
t
 s
2
 2 oi s   oi
2
 2 pj s   pj
j 1
2
  s  
j 1
M
oi
M
 2  oi
2
 s 
s   oi   s   oi 

qoi
i 1 
i 2 r 1
H ( s)  k
.
t 
N


 s 2  pj s   pj 2   s   pj 



q pj
j 1 
 j 2t 1

i  2 r 1
N
  s   
r
,
pj
j  2 t 1
Pošto je kompleksna varijabla s = σ +j Ω , proizlazi da je i funkcija H(s) kompleksna
veličina za neki proizvoljni broj σ. U uvjetima stacionarnog stanja sinusne pobude,
varijabla s postaje jednaka jΩ, pa i prijenosna funkcija H(s) postaje H(jΩ) koja se naziva
kompleksnom frekvencijskom karakteristikom filtera. Osnovna funkcija električnih
filtera sadržana je upravo u obliku frekvencijske karakteristike H(j Ω).
j  
dNy
d N 1 y
dy
 bN 1 N 1  ....  b1  b0 y 
dt N
dt
dt
dMx
d M 1 x
dx
 aM M  aM 1 M 1  ....  a1  a0 x ,
dt
dt
dt
H  j  H  j e
gdje su bi ( i = 0,N) i aj (j = 0,M) realni koeficijenti.
31
Ozren Bilan
oi
i 1
N
 s  s 
.
32
Ozren Bilan
Frekvencijska karakteristika
analognog filtera
Modul prijenosne funkcije električnog filtera često se izražava u
logaritamskom mjerilu:
ln H  j  ln H  j  j   N   j .
Promjene koje električni filter treba unijeti u spektar ulaznog signala
najčešde se svode na prigušenje ili eliminaciju određenih nepoželjnih
frekvencijskih komponenti tog signala. Za zadani ulazni signal x(t) s
pripadajudim frekvencijskim spektrom X(j Ω),
Funkcija aN(Ω) naziva se logaritamskom mjerom pojačanja filtera i
izražava u Neperima *N+. Ako se modul logaritmira po dekadskoj bazi
dobiva se logaritamska mjera pojačanja izražena u decibelima [dB].
X  j  X  j e jx   ,
   20 log H  j  8.686   N  .
spektar izlaznog signala određen je izrazom kao umnožak spektra
signala i prijenosne funkcije.
Y  j  Y  j e jy    H  j X  j ,
Pored fazno frekvencijske karakteristike Φ(Ω), često se koristi i
karakteristika vremena grupnog kašnjenja Tg(Ω) definirana kao:
Tg    
Za module i faze vrijede slijededi izrazi:
d 
.
d
Y ( j)  H ( j)  X ( j) ,
 Y        X   .
33
Ozren Bilan
L
Primjer analognog filtera
U
C
1
R
1
C
U
2
2
|H(j Ω )|
Amplitudno frekvencijska i fazna
karakteristika
Amplitudno frekvencijska
karakteristika je modul izraza i
prikazana na slici
1.4
Prijenosna funkcija H(s)=U2(s)/U1(s) mreže je:
1.2
s 2  o
H ( s)  k
,
p
2
s2 
s p
qp
2
gdje su :
k
C1
, o 
C1  C2
1
,
LC1
p 
34
Ozren Bilan
1
o   2
2
0.8
1
i
LC1  C2 
qp  R
C1  C2
.
L
Uvrstimo R=1 kΩ, C1=C2=1 nF i L=0.5 mH, pa je:
s p1, 2
Nule prijenosne funkcije H(s) su:
so1, 2   j 2 106 .

H ( s) 
1
s 2  2 1012
.
2 s 2  0.5 10 6 s  1012
0.4
0
105
106
107
Ω
-40
o  
.
p
2
p
qp
-80
 2  j
Ozren Bilan
-120
Ω
-160
35

2


  p 


 qp

2
.

0
H ( j)  k
 2
  2P 
 q  
   S    0   arctg  2 P 2
P  
Ф(Ω) [o ]
4
0
Uvrštenjem s = jΩ u prijenosnu funkciju H(s) dobiva se kompleksna
frekvencijska karakteristika filtera H(jΩ):
2
2
2
p
Fazno frekvencijska karakteristika
filtera dana je slijededim izrazom
a prikazana je na slici:
0.2
1
15
  106  j
106 .
4
4
Polovi prijenosne funkcije H(s) su:
H ( j )  k
0.6
105
106

Nule na imaginarnoj osi uzrokuju
skok u faznoj karakteristici na
frekvenciji Ω = Ωo, što ima za
posljedicu promjenu predznaka
funkcije H(j Ω) na toj frekvenciji.
7
10Ozren
Bilan
36
6
11.9.2013.
Karakteristika vremena grupnog
kašnjenja
Tipovi analognih filtera
Karakteristika vremena grupnog kašnjenja Tg(Ω), dobiva se derivacijom
izraza za fazu po frekvenciji Ω:
Tg       0  


2
P
2
P

 
  2   P / qP
  2   P  / qP
Analogne filtere je mogude s obzirom na oblik
frekvencijske karakteristike podijeliti u dvije
skupine:

2
Dirakov δ-impuls u točki Ω = Ωo, ima za posljedicu skok u fazi, odnosno
postojanje nula prijenosne funkcije na imaginarnoj osi.
Tg ( Ω) [ μs]
• selektivni filteri,
• korektori.
4
3
2
1
Ω
0
106
105
107
37
Ozren Bilan
Selektivni filteri
Kod selektivnih filtera oblik |H(jΩ)| je takav da omoguduje jasnu razliku
frekvencijskih područja u kojima je ulazni signal prigušen od onih u kojima je on
propušten.
Područje propuštanja filtera:
• predstavlja pojas frekvencija u kojima amplitudno frekvencijska
karakteristika ima vrijednost približno jednaku jedinici,
• komponente pobudnog signala čije su frekvencije unutar tog pojasa
pojavljuju se na izlazu filtera s približno istom amplitudom kao i na ulazu.
Područje gušenja filtera:
• predstavlja pojas frekvencija u kojima amplitudno frekvencijska
karakteristika ima vrijednost približno jednaku nuli,
• frekvencijske komponente ulaznog signala koje se nalaze unutar tog pojasa
nisu propuštene na izlaz.
Prijelazno područje filtera:
• predstavlja područje frekvencija na prijelazu između područja propuštanja i
područja gušenja,
• područje je kontinuirano jer amplitudno frekvencijska karakteristika |H(j Ω)|
je funkcija bez diskontinuiteta.
S obzirom na položaj svakog od spomenutih područja na frekvencijskoj osi
mogude je razlikovati četiri osnovna tipa selektivnih filtera:
39
Ozren Bilan
38
Ozren Bilan
1.
•
•
•
niskopropusni (NP) filter
područje propuštanja za 0 < Ω < Ω 1 ,
područje gušenja za Ω 2 < Ω < ∞ ,
vrijedi da je Ω1 < Ω2.
2. visokopropusni (VP) filter
• područje propuštanja za Ω2 < Ω < ∞,
• područje gušenja za 0 < Ω < Ω1,
• vrijedi da je Ω1 < Ω2.
3.
•
•
•
pojasno propusni (PP) filter
područje propuštanja za Ω2 < Ω < Ω3,
područja gušenja za 0 < Ω < Ω1 i Ω4 < Ω < ∞,
vrijedi da je Ω1 < Ω2 < Ω3 < Ω4.
4.
•
•
•
pojasna brana (PB)
područje propuštanja za 0 < Ω < Ω1 i Ω4 < Ω < ∞,
područja gušenja za Ω2 < Ω < Ω3,
vrijedi da je Ω1 < Ω2 < Ω3 < Ω4.
Ozren Bilan
j
1
0
1
2

1
2

1
2
j
1
0
j
1
0
1
2
3
4
1
2
3
4
1
2
3
4
1
2
3
4

j
1
0

40
Filterski korektori
Filterski korektori za razliku od selektivnih filtera nemaju jasno
definirana područja propuštanja, odnosno područja gušenja. Oni služe
za korekciju frekvencijske karakteristike nekog drugog sustava. S
obzirom na činjenicu korigiraju li amplitudno-frekvencijsku ili faznofrekvencijsku karakteristiku sustava dijele se na:
• amplitudne korektore i
• fazne korektore.
Od faznih korektora najčešde se koriste svepropusni filteri:
• amplitudno-frekvencijska karakteristika im je ravna na cijelom
frekvencijskom području,
• sve su frekvencijske komponente signala prenesene bez prigušenja
ali su fazno pomaknute prema definiranim filterskim
specifikacijama.
j
1

0
Ozren Bilan
41
Analogni filteri u Matlabu
Mogu se projektirati slijededi tipovi filtera
Projektirat demo pojasno propusni (BP) Chebyshev tip I filter 10.og reda, s 3 dB
valovanja u propusnom pojasu:
[z,p,k] = cheb1ap(5,3);
z, p, i k sadrže polove, nule i pojačanje niskopropusnog analognog filtera s
odreznom frekvencijom Wc 1 rad/s. Koristimo lp2bp funkciju za transformaciju LP
prototipa u pojasno propusni filter s pojasnim rubovima W1 = p/5 i W2 = p.
Ozren Bilan
42
7
11.9.2013.
Digitalni filter
Digitalni filter je linearan vremenski nepromjenjiv sustav konstruiran
za propuštanje pojedinih frekvencija.
Idealni filter propušta komponente signala određenih frekvencija bez
prigušivanja a komponente na ostalim frekvencijama idealno prigušuje.
Prema tome frekvencijska karakteristika ima vrijednost jednaku jedan
ili nula. Područje frekvencija u kojima frekvencijska karakteristika ima
vrijednost jedan naziva se propusni pojas ωp a područje frekvencija
gdje je frekvencijska karakteristika jednaka nuli je pojas gušenja ωs.
Osnovni tipovi digitalnih filtera su
[z,p,k] = cheb1ap(5,3);
[A,B,C,D] = zp2ss(z,p,k);
% konvertira u state–space oblik prostora stanja
u1 = 0.1*2*pi; u2 = 0.5*2*pi;
% u radijanima u sekundi
Bw = u2-u1;
Wo = sqrt(u1*u2);
[At,Bt,Ct,Dt] = lp2bp(A,B,C,D,Wo,Bw);
[b,a] = ss2tf(At,Bt,Ct,Dt);
% konverzija u TF oblik
w = linspace(.01,1,500)*2*pi;
% generira frekvencijski vektor
h = freqs(b,a,w);
% računa frekvencijski odziv
semilogy(w/2/pi,abs(h)), grid
% crta log. magnitudu u ovisnosti f.
Ozren Bilan
niskopropusni
43
visokopropusni
pojasno propusni
pojasno blokirni
Ozren Bilan
44
1    H e   1  
za
 
Propusni pojas dan je izrazom:
H e j    S
za S    
Pojas gušenja digitalnog filtera:
Često se prijenosna karakteristika filtera zadaje u logaritamskom
mjerilu:
H    20 log10 H e j 
tada je: valovitost u propusnom pojasu:  P  20 log10 1   P  dB
minimalno gušenje u pojasu gušenja:  S  20 log10  S 
dB
Granične frekvencije područja propuštanja i područja gušenja računaju
se na slijededi način
2f S
2f P
j
P
P
P 
P
S 
fT
fT
gdje je fT frekvencija uzorkovanja, a fp i fs su granične frekvencije
pojasa propuštanja i pojasa gušenja u Hz.
Maksimalna vrijednost amplitudne karakteristike je jedan. Maksimalna
devijacija u propusnom pojasu je:
1/ 1   2
2
maksimalno gušenje u propusnom pojasu iznosi  max  20 log10  1    dB
Maksimum amplitudne karakteristike u pojasu gušenja je 1/A.
45
Ozren Bilan
Podjela digitalnih filtera
Za razliku od analognih filtera gdje je karakteristika dana ovisnošdu napona i struje
kod digitalnih filtera karakteristika je dana ovisnošdu između ulaza i izlaza.
Ulazni niz x(n) i izlazni niz y(n) digitalnog filtera povezani su jednadžbom
diferencija sa konstantnim koeficijentima. Jednadžba u opdem obliku:
M
N
k 0
k 1
yn    ak xn  k   bk yn  k 
46
Ozren Bilan
Primijenimo z-transformaciju na lijevu i desnu stranu relacije:
Y z  


  a xn  k z

M
n  
k 0
M
  ak
n 0
n
k


  b yn  k z


M
n  

 xn  k z n   bk
n  
n 1
M
M
k 0
k 1
k 1
n

 yn  k z n 
n  
 x z  a k z  k  y  z  bk z  k ,
Dobivamo prijenosnu funkciju H(z):
M
Nizovi aK i bK karakteriziraju dani filter i nazivaju se koeficijentima filtera. U
daljem razmatranju bez značajnog utjecaja izjednačit demo M i N, te za daljnju
analizu potrebno je definirati početne uvjete i odrediti y(n) za n≥0. Ako su poznati
koeficijenti filtera aK i bK, ulazni niz x(n) za n≥-N, početni uvjeti y(-1), Y(-2),…, y(N), korištenjem relacije može se odrediti vrijednost y(n) za bilo koje n≥0.
x1(n)
a
x(n)
x(nAnalizirajudi jednadžbu
x(n)
ax(n)
1)
z-1
x1(n)+x2(n)
vidimo da je za realizaciju
x2(n)
digitalnih filtera potrebno
izvršiti operacije
x1(n)
x(n)
a
ax(n)
x(n)
x(nz-1
x1(n)+x2(n)
sumiranja, množenja i
1)
kašnjenja (prikazan je
x2(n)
način njihovog
a) sumiranje
b) množenje
c) kašnjenje
Ozren Bilan
47
označavanja):
k

M
H z  
Y z 

X z 
a z
k 0
M
k
k
1   bk z k
.
k 0
Prijenosnu funkciju H(z) često nazivamo i funkcijom sustava.
To je racionalna funkcija od z čiji su koeficijenti ak i bk identični koeficijentima
jednadžbe diferencija.
Digitalne filtere dijelimo u dvije grupe:
• rekurzivne IIR-filtere,
• nerekurzivne FIR-filtere.
Ozren Bilan
48
8
11.9.2013.
Diferencijalna jednadžba za bk =0, k=1,…,N svodi se na:
Stabilnost digitalnih filtera
M
a prijenosna funkcija na:
yn    ak xn  k  ,
k 0
M
H z    ak z
k
Digitalni filter je stabilan ako njegov impulsni odziv zadovoljava slijededi uvjet:
.
E
k 0
M
Z hn   H z    hn z
n
.
 
K 1  z
1  p z
1
2
z 1
M
z 1
1
i
i 1
M
,
1
k
gdje su zi i pi, za i = 1,…,M, nule odnosno polovi H(z), dok je a realna konstanta.
Rastavljanjem desne strane na parcijalne razlomke dobivamo slijededi izraz:
H z   a 
Re sX ( z ), a  lim z  a X z  .
z a
49
50
Ozren Bilan
Strukture rekurzivnih digitalnih filtera

Potreban i dovoljan uvjet da impulsni odziv zadovoljava
uvjet stabilnosti slijedi iz relacije:
pi  1 .
Iz ove relacije proizlazi da se svi polovi H(z) trebaju nalaziti
unutar jediničnog kruga u z-domeni. Kako prijenosna funkcija
nerekurzivnih digitalnih filtera, relacije nema konačnih
polova zbog toga je ovaj tip filtera uvijek stabilan.
Provjera stabilnosti rekurzivnih digitalnih filtera svodi se na
neposredno određivanje položaja polova u z-domeni.
Ova metoda je jednostavna jer postoje efikasne numeričke
metode za pronalaženje korijena polinoma.
51
Ozren Bilan
a1
a2
aM


,
1  p1 z 1 1  p2 z 1
1  pM z 1
gdje su ai ostaci u polovima pi, za i = 1,…,M i određuju se relacijom:
hn  a1 p1n  a2 p2n  ...  aM pMn un  a n .
Direktna struktura rekurzivnog digitalnog
x(n)
filtera dobivena direktno iz jednadžbe
diferencija prikazana je na slici. Za
realizaciju je potrebno 2M jediničnih
kašnjenja, 2M množača i jedan sumator sa
2M ulaza jer se koriste posebni množači i
elementi kašnjenja za brojnik i nazivnik
prijenosne funkcije. Ta struktura ima više
teoretski nego praktični značaj jer je jako
osjetljiva i na male promjene vrijednosti
koeficjenata. Direktna struktura I kreirana
je tako da je svaka racionalna funkcija od
H(z) kaskadno odvojena sa vezom između
njih (brojnik je u jednome smjeru, a
nazivnik u drugome). Pošto postoje dvije
kaskade i veza između njih ova struktura se
može reducirati eliminiranjem veze te
dobivamo direktnu strukturu II. S ulaznoizlazne točke ove dvije strukture su jednake
ali je unutarnja struktura različita kao i
Ozren Bilan
unutarnji signali.
a0
z -1
z -1
z -1
a1
-b1
a2
-b2
aM
-bM
y(n)
z -1
z -1
z -1
52
Implementacija linearnih digitalnih filtera u Matlabu
Direktna struktura II
realizira se naredbom filter. Funkcija filter filtrira realnu ili kompleksnu ulaznu sekvencu
digitalnim filterom. Filter predstavlja direktni oblik II transponirane implementacije
standardne jednadžbe diferencija.
Format je:
b0
x(n)
-a1
-a2
-a3
-a4
z -1
z -1
z -1
z -1
y = filter( b, a, x);
y(n)
b1
gdje su:
b2
b = [b0, b1, b2, ... bM ];
a = [ 1, a1, a2, a3, ... aN ];
b3
b4
Za proračun prvih P+1 uzoraka impulsnog odziva filtera koristi se naredba:
y = filter( b, a, [1 zeros(1,P)]);
Direktna struktura II za M=4
Kanonična struktura
Transponirana kanonična struktura
Kaskadna struktura
Paralelna struktura

1  p
k 1
Primjenom inverzne z-transformacije nad relacijom dobivamo:
•
•
•
•

a 1  z1 z 1 1  z 2 z 1 K 1  z M z 1
1
Ozren Bilan
Postoje i druge direktne strukture kod kojih je
mogude smanjiti broj memorijskih elemenata
ali tada prijenosnu funkciju H(z) treba razložiti
na faktore manjeg stupnja:
  a 1  z z 

 1  p z 
M
H z  
Očigledno na osnovi relacije ovakvi filteri imaju konačan impulsni
odziv dužine M. Zbog toga se ovi filteri nazivaju i digitalnim filterima
konačnog impulsnog odziva, FIR.
Rekurzivni filteri su definirani diferencijalnom jednadžbom i
prijenosnom funkcijom. Izlazni uzorak ovisi i od prethodnih ulaznih i
od prethodnih izlaznih uzoraka. Odziv na niz δ(n) ima beskonačno
trajanje, pa se ovi filteri nazivaju i digitalni filteri beskonačnog
impulsnog odziva, IIR.
Direktna struktura I kreirana je tako da je
svaka racionalan funkcija od H(z) kaskadno
odvojena sa vezom između njih (brojnik je u
jednome smjeru, a nazivnik u drugome). Pošto
postoje dvije kaskade i veza između njih ova
struktura se može reducirati eliminiranjem
veze te dobivamo direktnu strukturu II.
Gledano sa ulazno-izlazne točke ove dvije
strukture su jednake ali je unutarnja struktura
različita kao i unutarnji signali.
.
Ako razmotrimo uvjete stabilnosti u z-domeni, brojnik i nazivnik prijenosne funkcije
zadane relacijom su polinomi kompleksne promjenjive z-1 ravnine sa realnim
koeficijentima, pa se prijenosna funkcija može napisati:
n 0


 hk   
k 
Iz relacije slijedi da izlazni uzorak ovisi od ulaznoga signala koji su
prethodili promatranom trenutku a ne ovisi od uzorka izlaznoga
signala. Takvi filteri nazivaju se nerekurzivni digitalni filteri.
Ako je x(n) = δ(n), tada je y(n) = h(n), a kako je z{δ(n)} = 1, tada je:
Odziv na step računa se naredbom:
y = filter( b, a, [ones(1,P)]);
Ozren Bilan
53
Ozren Bilan
54
9
11.9.2013.
Strukture nerekurzivnih digitalnih filtera
Kod nerekurzivnih digitalnih filtera najčešde se koristi direktna struktura u
obliku takozvanog transverzalnog filtera
Izraz za izlazni signal y(n) vidljiv je sa slike : yn  a xn  a xn 1    a xn  M 
Primjenom z-transformacije na lijevu i desnu stranu izraza dobivamo
H z   1  a1 z 1  a2 z 2    aM z M .
prijenosnu funkciju sustava:
0
1
M
Kao i kod analognih filtera projektiranje digitalnih filtera
sastoji se iz postupka aproksimacije željene frekvencijske
karakteristike i postupka sinteze.
Aproksimacija se sastoji iz postupka kojim se željena
karakteristika zamjenjuje onom koja još uvijek zadovoljava
postavljene uvjete a može se relativno lako realizirati.
Na primjer, pri projektiranju niskofrekventnog filtera idealna
pravokutna amplitudna karakteristika, koja se ne može
realizirati, aproksimira se onom koja se najjednostavnije
može realizirati.
Kod digitalnih filtera kada se odrede polovi i nule realizacija
para kompleksnih nula i polova lako se izvodi, za razliku od
analognih filtera, spajajudi kaskadno ili paralelno odgovarajude
rezonantne krugove.
.
M
k
. znači da promatrana struktura
Relacija identična je relaciji H z    ak z što
k 0
realizira nerekurzivni digitalni filter. Nerekurzivni digitalni filter može se
H1i z  H 2i z  ,
realizirati i u kaskadnom obliku H z   
i
i
ili se H(z) može rastaviti na polinome prvoga i drugoga reda:
H1i z   a0i  a1i z 1 ,
gdje je:
H 2i z   a0i  a1i z 1  a2i z 2 .
Ozren Bilan
Sinteza digitalnih filtera
55
Sinteza nerekurzivnih digitalnih filtera
Nerekurzivni digitalni filteri (FIR), odnosno filteri s konačnim
impulsnim odzivom, imaju linearnu fazu. Simetrija impulsnog
odziva je nužan preduvjet za linearnu fazu.
Vrijedi slijededi teorem: ako impulsni odziv nerekurzivnog
digitalnog filtera zadovoljava relaciju
Ozren Bilan
56
Ovisno o tipu simetrije impulsnog odziva definiramo
4 tipa nerekurzivnih digitalnih filtera:
Nerekurzivni digitalni filter tipa I prikazan je na slici
• simetričan impulsni odziv,
• neparan broj uzoraka impulsnog odziva.
Nerekurzivni digitalni filter tipa II prikazan je na slici
• simetričan impulsni odziv,
• paran broj uzoraka impulsnog odziva.
hn  hM  1  n ,
Nerekurzivni digitalni filter tipa III prikazan je na slici
• asimetričan impulsni odziv,
• neparan broj uzoraka impulsnog odziva.
za n = 0,1,…M/2-1 ako je M parno, i
za n=0,1,…,(M-1)/2 ako je M neparno,
tada nerekurzivni digitalni filter ima linearnu karakteristiku
Ozren Bilan
57
Nerekurzivni digitalni filter tipa IV prikazan je na slici
• asimetričan impulsni odziv
• paran broj uzoraka impulsnog odziva.
Ozren Bilan
58
Filtri pomične srednje vrijednosti
Primjena konvolucijom
Moving average
Kao što im ime govori, filter pomične srednje vrijednosti
funkcionira usrednjavanjem točaka ulaznog signala kako bi
proizveo svaku točku izlaznog signala. U obliku jednadžbe
to pišemo:
Filter pomične srednje vrijednosti (moving average) je najčešdi filtar u
DSP. Razlog tome je što je on najlakši digitalni filter za shvadanje i
primjenu.
Pored svoje jednostavnosti filtar pomične srednje vrijednosti optimalan
je za opdu namjenu: reduciranje slučajnog šuma uz istovremeno
zadržavanje oštrog odziva na step.
To ga čini prvim izborom za signale kodirane u vremenskom području.
Međutim, filtar pomične srednje vrijednosti je i prvi izbor za signale
kodirane u frekvencijskom području, ali uz malu sposobnost odvajanja
frekvencijskih pojaseva.
Možemo ga implementirati konvolucijom i rekurzijom.
Gdje je x[ ] ulazni signal, y[ ] izlazni signal, a M broj
usrednjenih točaka.
Tako je filtru pomične srednje vrijednosti u 5 točaka, točka
80 u izlaznom signalu određena je izrazom:
Alternativno, mogude je odabrati simetrično oko izlazne
točke grupu točaka ulaznog signala:
Ozren Bilan
60
10
11.9.2013.
To odgovara promjeni sume u jednadžbi
Redukcija šuma i odziv na step
od: j=0 do M-1, do: j=-(M-1)/2 do (M-1)/2. Filtru pomične
srednje vrijednosti u 10 točka, indeks, j, je od 0 do 11
(jednostrano usrednjavanje) ili -5 to 5 (simetrično
usrednjavanje). Simetrično usrednjavanje zahtijeva da M bude
neparan broj. Programiranje je nešto lakše s točkama na samo
jednoj strani; međutim, tako dolazi do relativne translacije
između ulaznog i izlaznog signala.
Potrebno je prepoznati da je filter pomične srednje
vrijednosti (moving average) konvolucija koja koristi vrlo
jednostavnu jezgru filtra.
Filter s 5 točaka ima jezgru: 0, 0, 1/5, 1/5, 1/5, 1/5, 1/5, 0, 0 . .
Filter pomične srednje vrijednosti je krajnje jednostavan
pa je zbog toga prvi izbor pri rješavanju problema. Čak i
ako se problem u potpunosti riješi oni koji ga primjenjuju
još uvijek misle da se moglo nešto bolje napraviti.
Situacija je ironična. Ne samo da je filtar pomične
srednje vrijednosti vrlo dobar za mnoge primjene,
optimalan je za opdi problem, redukcije slučajnog
bijelog šum uz zadržavanje najoštrijeg odziva na step.
Pokazat demo princip rada.
Filter pomične srednje vrijednosti je konvolucija ulaznog
signala s kvadratnim impulsom jedinične površine.
Ozren Bilan
61
Signal na slici (a) predstavlja impuls. Na
slici (b) uronjen je u slučajan šum. Na
slikama (c) i (d), prikazano je glađenje
signala filtrom
pomične
srednje
vrijednosti s 11 i 501 točaka. Kako broj
točaka filtra postaje vedi, šum se
snižava (jer je slučajan); međutim,
rubovi gube oštrinu.
Filtar snižava amplitude slučajnog šuma
(što je dobro) ali istovremeno smanjuje
oštrinu bridova (što je loše).
Od svih mogudih linearnih filtara koje
možemo primijeniti, filter pomične
srednje vrijednosti (moving average)
rezultira najnižim šumom za zadanu
oštrinu rubova. Iznos redukcije šuma
jednak je kvadratnom korijenu broja
točaka u prosjeku.
Tako filtar pomične srednje vrijednosti
u 100 točka smanjuje šum za faktor 10.
Ozren Bilan
63
Filter pomične srednje vrijednosti i njegovi srodnici su podjednaki pri
reduciranju slučajnog šuma uz zadržavanje oštrog odziva na step. Razlika leži u
načinu kojim se mjeri vrijeme porasta odziva na step. Ako vrijeme porasta
mjerimo od 0% do 100% stepa, kako smo pokazali, filter pomične srednje
vrijednosti je najbolje što možemo napraviti. Za usporedbu, mjerimo li
vrijeme porasta od 10% do 90% Blackmanov otvor postaje bolji od filtra
pomične srednje vrijednosti. Smisao je u tome da je riječ o teoretskom
nadmudrivanju, pa filtre trebamo shvatiti jednakim po pitanju ovog
parametra.
Najveda razlika između filtera je brzina izvođenja. Primjenom rekurzivnog
algoritma (kojeg demo opisati), filtar pomične srednje vrijednosti je
nevjerojatno brz. To je najbrži digitalni filter.
Višestruki propusti filtra pomične srednje vrijednosti bit de proporcionalno
sporiji ali još uvijek vrlo brz. Za usporedbu, Gaussov i Blackman filtri su vrlo
spori jer koriste konvoluciju. Približni faktor je jednak desetorostrukom broju
točaka jezgre filtra (temeljem da je množenje oko 10 puta sporije od
zbrajanja). Tako možemo očekivati da de Gaussov filtar od 100 točka biti 1000
puta sporiji od filtra pomične srednje vrijednosti korištenjem rekurzije.
Ozren Bilan
65
62
Ozren Bilan
Frekvencijski odziv
Slika pokazuje frekvencijski odziv filtra pomične srednje vrijednosti. Matematički
ga opisujemo Fourierovom transformacijom kvadratnog impulsa, kako smo
pokazali:
Frekvencijski odziv filtra M točaka pomične
srednje vrijednosti. Frekvencija, f, između 0
i 0.5. za f=0. H[f]=1
Gušenje mu je vrlo sporo, a atenuacija nepropusnog područja vrlo loša. Potpuno
je jasno da filter pomične srednje vrijednosti ne može odvajati frekvencijske
pojaseve. Zapamtimo, dobre karakteristike u vremenskom području daju loše
karakteristike u frekvencijskom području i obrnuto. Najkrade, filter pomične
srednje vrijednosti je izuzetno dobar za glađenje (djelovanje u vremenskom
području) ali je izuzetno loš nisko propusni filter (djelovanje u frekvencijskom
području ).
Ozren Bilan
64
Rekurzivna implementacija
Najveda prednost filtra pomične srednje vrijednosti: može se implementirati s
algoritmom, dakle izvedba je vrlo brza. Kako bi razumjeli taj alogritam, zamislimo
propust ulaznog signala, x[ ] , kroz filtar pomične srednje vrijednosti s ciljem dobivanja
izlaznog signala, y[ ]. Pogledamo li kako se računaju dvije susjedne izlazne točke, y[50] i
y[51]:
y [50] =x [47] + x[48] + x [49] + x[50] + x [51] + x[52] + x [53]
y [51] =x [48] + x[49] + x [50] + x[51] + x [52] + x[53] + x [54]
vidimo da je riječ o skoro istom proračunu; točke x[48] do x[53] moraju se zbrojiti za
y[50], i ponovno za y[51]. Ako je y[50] ved izračunato, najučinkovitiji način proračuna
y[51] je:
y[51] =y[50] + x [54] - x[47]
Nakon što y[51] odredimo korištenjem y[50], tada y[52] možemo izračunati iz uzorka
y[51], itd. Nakon što izračunamo prvu točku u y[ ], sve ostale točke možemo odrediti
samo s jednim sumiranjem i oduzimanjem po točki. To izražavamo jednadžbom:
y[i]=y[i-1]+x[i+p]-x[i-q]
gdje je p=(M-1)/2
q=p+1
Ozren Bilan
66
11
11.9.2013.
Uočite kako ova jednadžba koristi dva izvora podataka za proračun svake točke izlaza: točke
ulaznog i prethodno izračunate točke izlaznog signala. To nazivamo rekurzijska jednadžba, s
značenjem da se rezultat jednog proračuna koristi kasnije za druge proračune.
(Izraz rekurzivni također ima druga značenje, posebno u računalstvu). Naknadno demo
obraditi niz različitih rekurzivnih filtara detaljnije. Moramo biti svjesni da su rekurzivni filtri
pomične srednje vrijednosti znatno različiti od ostalih rekurzivnih filtara. Posebno treba
naglasiti kako najvedi broj rekurzivnih filtara ima beskonačno dug impulsni odziv (IIR),
sastavljen od sinusoida i eksponencijalnih funkcija. Impulsni odziv filtra pomične srednje
vrijednosti je kvadratni impuls (konačni impulsni odziv ili FIR).
Ovaj algoritam je brži od drugih digitalnih filtra zbog četiri razloga:
1.
postoje samo dva proračuna za svaki uzorak, bez obzira na dužinu jezgre filtra.
2.
sumiranje i oduzimanje su jedine dvije potrebne matematičke operacije, dok ostali
tipovi filtra zahtijevaju dužu operaciju množenja.
3.
shema indeksiranja je vrlo jednostavna. Svaki indeks jednadžbe rekurzije određuje se
sumiranjem ili oduzimanjem cjelobrojnih konstanti, koje se mogu izračunati prije nego
počne postupak filtriranja (tj., p i q).
4.
cjelokupni algoritam izvodi se cjelobrojnim vrijednostima. S obzirom na primijenjeno
sklopovlje, proračuni cjelobrojnim vrijednostima uvijek su za red veličine brži od
proračuna s realnim vrijednostima. Iznenađujude je što proračun ovog algoritma
cjelobrojnim vrijednostima radi mnogo bolje nego proračun realnim, pored toga što je
brži. Greška zaokruživanja aritmetike s realnim brojevima daje neočekivane rezultate.
Zamislimo filtriranje 10000 uzoraka signal opisanim postupkom. Posljednji uzorak filtriranog
signala sadržava akumuliranu grešku 10000 sumiranja i 10000 oduzimanja. Greška de se
pojaviti u izlaznom signalu kao promjenjiva istosmjerna vrijednost (drifting offset).
Cjelobrojne vrijednosti nemaju takav problem jer ne postoji aritmetička greška zaokruživanja.
Prijenosne karakteristike nerekurzivnih digitalnih filtera mogu se
predstaviti pomodu Fourier-ove transformacije (DFT) kao:
M 1

H k   H z 
z e
Relacija predstavlja osnovu za realizaciju nerekurzivnih digitalnih filtera
uzorkovanjem u frekvencijskoj domeni i pruža mogudnost rekurzivne
sinteza FIR-filtera. Naime, navedena relacija odgovara kaskadnoj vezi
nerekurzivnih filtera sa prijenosnom funkcijom:
1
j
2k
M
.
Da bi se izvršila sinteza filtera, polazi se od H e  , koja je poznata i
definirana. Prvo se određuje H k  kao niz od M uniformiranih uzoraka:
hn  
pa je:
1
M
H z  
a zatim H(z) pomodu relacije:
H z  
2k

M
 H k e
Primjenom izraza dobivamo:
j
2nk
M
,
 M M 1
1 z
M
H z  

 H k 
k 0
1
1  z 1e
j
.
2k
M
68
H(ejω)
H(k)
2π
0
5
10
k
15
H k 

2k
j
1  z 1e 16
1
1
1



1  z 1e j 0 / 4 1  z 1e j / 8  1  z 1e j 15 / 8  
1  z 16 15

16 k 0
16
1 z
16
 H 1 z H 2 z   H 3 z   H 4 z  .
M 1
 H k 
k 0
1
1  z 1e
j
2k
M
Prijenosne funkcije se realiziraju kaskadnom vezom nerekurzivnog filtera H1(z)
sa paralelnom vezom rekurzivnih filtera H2(z), H3(z) i H4(z) gdje je:
.
H1 z  
Ovaj postupak omogudava da se dobiveni frekvencijski odziv preklapa
sa željenim u točkama:
2k
 
za k = 0,1,…,M-1.
M
Ozren Bilan
1  z 16
,
16
H 2 z  
1
,
1  z 1
69
H 3 z  
1
1

,
1  z 1e j / 8 1  z 1 cos  / 8  j sin  / 8
H 4 z  
1
1

.
1  z 1e j 15/ 8 1  z 1 cos  / 8  j sin  / 8
Ozren Bilan
Slika ilustrira ideju filtra vremenskog otvora. Slika pokazuje
frekvencijski odziv idealnog nisko propusnog filtra. Sve frekvencije
ispod odrezne frekvencija, fc , propuštaju se s jediničnom amplitudom,
a sve više frekvencije se ne propuštaju. Propusno područje je idealno
ravno, atenuacija u nepropusnom područje je beskonačna, a tranzicija
među njima je infinitezimalno mala.
FT
Izračunamo li Inverznu
Fourierovu Transformaciju
ovog
idealnog
frekvencijskog odziva dobit
demo idealnu jezgru filtra
(impulsni odziv, kernel)
prikazan na slici (b). Kako
smo ved pokazali dobivena
krivulja ima opdi oblik:
sin(x)/x, određena izrazom:
X
POMNOŽIMO sinc sa Blackman
Idealni frekvencijski odziv (brick wall)
=
Dobije se glatka jezgra nakon
propusta kroz vremenski otvor
FT
71
70
Strategija filtra
vremenskog
otvora
(prozora)
IFT
Sinteza primjenom prozora i apodizacija
Ozren Bilan
,
k 0
Primjer:
Za dane uzorke amplitudne karakteristike
niskofrekventnog filtera na slici odrediti
odgovarajudu prijenosnu funkciju H(z).
,
1  z M
M
2
nk
M
Ozren Bilan

 
j
n 0
M 1 
j
H k   h e j
  hn e
U ovom slučaju je: H 0  H 1  H 15  1 ,
H k   0 k  2,3,4,...,14; M=15.
i filtera koji sačinjava paralelna veza M rekurzivnih filtera prvoga reda:
1  z 1e
2
k
M
ω
1  z M
,
M
H R z   H k 
j
pri čemu predstavlja M uniformirano raspoređenih uzoraka
frekvencijskog odziva nerekurzivnih filtera.
Impulsni odziv h(n) može se izraziti kao:
67
Ozren Bilan
H NR z  
Sinteza uzorkovanjem
u frekvencijskoj domeni
Ozren Bilan
72
12
11.9.2013.
Konvolucijom ulaznog signala s jezgrom filtra dobije se idealan nisko propusni
filter. Tada nastaje problem: sinc funkcija se nastavlja u negativnu i pozitivnu
beskonačnost bez slabljenja na nulu. U matematici, ovo protezanje u
beskonačnost ne predstavlja problem, ali u praksi zaustavlja rad računala.
Jednostavni postupak može bitno popraviti situaciju. Slika (e)
pokazuje glatko zakrivljenu krivulju nazvanu Blackmanov otvor.
Pomnožimo li skradenu sinc, (c), s Blackmanovim otvorom (e), rezultat
jezgre (impulsnog odziva) filtra pokazuje (f). Ideja je ublažiti strmine
skradenih krajeva što poboljšava frekvencijski odziv. Slika (g) pokazuje
ovo poboljšanje. Propusno područje je sada ravno, a atenuacija
nepropusnog područje je tako dobra da se na ovom grafu ne može
vidjeti.
Postoji vedi broj vremenskih otvora, a dobili su imena po autorima u
1950-im godinama. Vrijedi spomenuti Hammingov i Blackmanov
vremenski otvor. Definirani su jednadžbama:
Kako bi smo riješili problem, uvest demo dvije modifikacije sinc funkcije na
slici (b), što rezultira valnim oblikom na slici (c). Prvo, funkcija je skradena na
M+1 točku, koje su odabrane simetrično oko glavnog loba, a M je paran
broj. Svi ostali uzorci, izvan ovih M+1 točaka, postavljaju se na nulu.
Drugo, čitava sekvenca translatirana je na desno, tako da počinje u 0, a
završava u M. Tako jezgru filtra prikazujemo korištenjem samo pozitivnih
indeksa. Iako mnogi programski jezici dopuštaju korištenje negativnih
indeksa, pri radu mogu nastati problemi. Jedini učinak translacije jezgre
(impulsnog odziva) filtra za M/2 je translacija izlaznog signal za isti iznos.
Bududi da je modificirana jezgra (impulsnog odziva) filtra samo aproksimacija
idealne jezgre (impulsnog odziva), očito je da nede imati idealni frekvencijski
odziv. Kako bi odredili frekvencijski odziv koji smo postigli možemo izvršiti
Fourierovu transformaciju signal na slici (c), pa dobijemo krivulja na slici (d).
Valovanje je prenaglašeno u propusnom području, a loše je i slabljenje u
nepropusnom području (prisjetimo se Gibbsovog učinka). Problemi nastaju
zbog naglih diskontinuiteta na rubovima skradene sinc funkcije. Problemi se
ne može riješiti produžimo li dužinu jezgre filtra; utjecaj diskontinuitet
ostaje značajan bez obzira na dužinu M.
Hammingov otvor. Mijenja se od i=0 do M, za ukupno M+1
Blackman otvor
73
Ozren Bilan
Slika pokazuje oblik ova dva otvora za M=64 (tj., ukupno 64 točke na
krivuljama). Kada demo i koji demo vremenski otvor upotrijebiti? To ovisi o
parametrima. Prema slici, Hamming ima 20% brže gušenje od Blackmana.
Međutim, pokazuje da Blackman pokazuje bolje gušenje. Blackman u području
gušenja je -74dB (-0.02%), dok je Hamming -53dB (-0.2%). Iako se to na
grafovima ne vidi, Blackman pokazuje valovanje od 0.02%, a Hamming 0.2%.
Blackman je prvi izbor jer je sporije gušenje manje nepovoljno od lošijeg
slabljenja u propusnom dijelu karakteristike.
Hamming Window
1
Amplituda
Amplituda
0.8
0.6
0.4
0.2
0
10
20
30
40
Vrijeme (uzorak)
50
60
0
10
20
30
40
Vrijeme (uzorak)
50
60
70
0
Magnitude (dB)
Magnitude (dB)
0.4
0
70
-20
-40
-60
-80
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
Normalizirana frekvencija (perioda/uzorku))
0.8
0.9
Magnituda (dB)
-40
-60
-80
-100
-0.5
-40
-60
-80
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
Normalizirana frekvencija (perioda/uzorku))
0.7
0.8
-0.4
-0.3
-0.2
-0.1
0
0.1
Normalizirana frekvencija (perioda/uzorku)
0.2
0.3
0.9
1
0.4
0.5
0
-20
-0.4
-0.3
-0.2
-0.1
0
0.1
0.2
Normalizirana frekvencija (perioda/uzorku)
0.3
0.4
0.5
Pri projektiranju filtra vremenskog otvora potrebno je odrediti dva
parametra: odreznu frekvenciju, fC i dužinu jezgre filtra (impulsnog
odziva), M. Odrezna frekvencija se izražava kao dio frekvencije
uzorkovanja pa treba biti između 0 i 0.5. Vrijednost M gušenje prema
aproksimaciji:
M4/BW
Dužina filtra u ovisnosti o slabljenju. Dužina jezgre filtra, M, određuje
prijelazna širina pojasa filtera, BW. To je samo aproksimacija bududi da
gušenje ovisi o karakteristikama vremenskog otvora koji se koristi.
-20
-100
1
0
Magnituda (dB)
0.6
0.2
0
0
-100
Projektiranje filtra vremenskog otvora
Blackman Window
1
0.8
74
Ozren Bilan
-20
-40
-60
-80
-100
-0.5
Ozren Bilan
75
Nakon što smo odabrali fC i M, jezgra filtra proračunava se relacijom:
76
Ozren Bilan
Sinteza primjenom prozora – analitičko rješenje
Identificiramo tri komponente: sinc funkciju, translaciju M/2 i Blackmanov
vremenski otvor. Filtru koji mora imati istosmjerno jedinično pojačanje, konstanta
K mora se odabrati tako da suma svih uzoraka bude jednaka jedan. U praksi, K se
ignorira za vrijeme proračuna jezgre (impulsnog odziva) filtra, a nakon toga
normaliziraju se svi uzorci na potrebnu vrijednost. Potrebno je obratiti pozornost i
na način proračuna u centru sinc, i=M/2, gdje dolazi do dijeljenja s nulom.
Ova jednadžba je složena ali koristi se s lakodom; jednostavno se upiše u program
i računalo obavi proračun. Nije preporučljivo ručno rješavanje.
Pokušat demo biti određeniji gdje se jezgra filtra opisanog jednadžbom nalazi u
postavi računala. Za primjer demo izabrati M=100. Pri tome M mora biti paran
broj. Prva točka u jezgri filtra je lokaciji 0, a posljednja točka u lokaciji 100. To znači
da je čitav signal dug 101 točku. Centar simetrije je u točki 50, tj., M/2. 50 točaka
na lijevo od točke 50 su simetričnih 50 točaka na desno. Točka 0 ima istu vrijednost
kao točka 100, a točka 49 je ista kao točka 51.
Ako postoji specifičan broj uzoraka jezgre (impulsnog odziva) filtra, kao pri uporabi
FFT, jednostavno dodamo nule na jednu ili drugu stranu. npr., s M =100, možemo
pridijeliti uzorcima od 101 do 127 nultu vrijednost, kako bi smo postigli jezgre
(impulsnog odziva) filtra dužine 128 točaka.
Ozren Bilan
BW je širina prijelaznog frekvencijskog područja u Hz. Mjeri se od točke
u kojoj je krivulja skoro jednaka jediničnoj vrijednosti do mjesta gdje
skoro poprima nultu vrijednost (recimo od 99% do 1%). Prijelazna
širina pojasa također se izražava dijelom frekvencije uzorkovanja i
mora biti između 0 i 0.5.
Oblik frekvencijskog odziva ne ovisi o izabranoj odreznoj frekvenciji.
77
Kako je frekvencijski odziv H e j  periodična funkcija od ω, može se
rastaviti u Fourier-ov red kao:

H e j    hn e  jn ,
n  
gdje je:
1
hn  
2



 H e e d
j
j n
,

Fourier-ovi koeficijenti u izrazu predstavljaju impulsni odziv digitalnog
filtera. Kako Fourier-ov red po pravilu ima beskonačan broj
koeficijenata, da bi smo dobili FIR filter, potrebno ga je svesti na
konačan niz. Svođenje beskonačnog na konačni niz pravokutnim
prozorom je uzimanje konačnog broja elemenata niza. Takvo
svođenje izaziva Gibbs-ov efekt koji se ogleda u pojavi pulsiranja i
prebačaja prije i poslije točke diskontinuiteta na amplitudnoj
karakteristici. Slika a. Ovo pulsiranje se ne smanjuje s povedanjem
dužine niza pod uvjetom da je niz konačan, Slika b.
Ozren Bilan
78
13
11.9.2013.
Takvo ograničenje Fourier-ovog reda može se predstaviti kao njegovo
množenje sa težinskom funkcijom, tj. pravokutnim prozorskim oblikom:

PM n   M n   

1
0
0  n  M 1
za ostale n ,
čiji je modul Fourier-ove transformacije, odnosno spektar, dan izrazom:

PM    WM   
sin M
2 .
sin 
Množenju dva niza u vremenskoj domeni odgovara konvolucija u
frekvencijskoj domeni.
Ozren Bilan
79
Pravokutni prozor
a P n  1,
U blizini točke diskontinuiteta konvolucija dovodi do pojave dva efekta:
• javlja se greška u rezonantnoj amplitudnoj karakteristici,
• javlja se konačna strmina između propusnog i nepropusnog pojasa.
Prelazna strmina između propusnog i nepropusnog pojasa ovisi od širine glavne
arkade spektra prozora. Ukoliko je širina arkade manja, to je strmina prijelaza veda,
odnosno bolje je razdvajanje propusnog od nepropusnog pojasa. Pulsiranje ovisi od
amplituda bočnih arkada. Ukoliko su ove arkade više potisnute, to je i pulsiranje
manje. Optimalni prozor bi trebao imati maksimalnu širinu glavne arkade i minimalnu
površinu pod bočnim arkadama.
Ova dva zahtjeva su proturječna i potrebno je nadi odgovarajudi kompromis. Zbog
toga je predloženo više tipova prozora. Ozren Bilan
80
Hamming-ov prozor:
0  n  M 1
a H n    H n   0,54  0,46 cos
2n
M 1
0  n  M 1 ,
Barlettov prozor
2n


M 1
a B n   
2n
2 
,
 M 1
0n
Blackman-ov prozor:
M 1
2
M 1
 n  M 1 ,
2
a Bl n    Bl n   0,42  0,5 cos
2n
4n
 0,08 cos
M 1
M 1
0  n  M 1 .
Hammov prozor
a Hn n    Hn n  
1
2n 
1  cos

2
M 1
0  n  M 1 ,
Ozren Bilan
81
Ozren Bilan
82
Ozren Bilan
84
Usporedba svih prozora
Primjer analize spektra signala
u programu SpectraLAB
Grafički prikaz prozora i amplitudno-frekvencijske karakteristike prozora
Ozren Bilan
83
14
11.9.2013.
Apodizacija - poboljšanje zvuka
1. Uzimamo impulsni odziv brickwall filtera odrezne frekvencije
fc = 20 kHz i frekvencije sempliranja fs:
2. Biramo prozor w(t,β) vrlo niskih bočnih lobova.
3. Računamo b(t) = w(t,β) g(t) i pripadni spektar.
4. Ponavljamo korake 1 do 3 podešavajudi β i fc dok ne
dobijemo željeno slabljenje nepropusnog područja.
5. Lagano mijenjamo fc kako bi maksimizirali slabljenje u
okolišu fs.
PCM signali koriste idealne niskopropusne (brickwall) 6. Primjenjujemo apodizaciju koristedi drugi prozor kojim
filtre koji generiraju čujne učinke. Zbog toga ih oblikujemo prijelazno područje.
moramo obraditi posebnim algoritmima. DSD signali
ne generiraju ove učinke jer ih pro korisnici ne Objasnit demo na primjerima dužine 4T i 10T s T = 1/fs i fs = 48
filtriraju, a u potrošačkim uređajima koristi se vrlo kHz primjenom Kaiser prozora.
blagi nagib filtera. Pretpostavimo Dirac delta impuls
preringing
(vidi slajd 75.) sa linearnim spektrom do beskonačnosti.
Propustimo li ga kroz filter s određenim frekvencijskim
odzivom, izlazni spektar impulsa bit de jednak odzivu
filtra. Na izlazu de se pojaviti pojasno ograničeni Funkcija sinc x= (sin x)/x
impuls b(t). Bududi da je izvedba algoritama
temeljenih na b(t) proporcionalna intervalu
sempliranja T, moraju biti što brži. Teoretski se koriste
brickwall filtri beskonačnog slabljenja izvan audio
pojasa, međutim tada na izlazu dobivamo impuls
Pojasno ograničeni impuls dužine = 4T, fs = 48 kHz, fc = 15 kHz, normaliziran
oblika sinc funkcije koja sporo slabi. U praksi rješenje
Glavni prozor Kaiser (β = 8.3), prozor apodizicije 1- 0.5·Kaiser (β = 0.5)
je vremensko ograničenje impulsa filtriranjem s
Ozren Bilan
85
prozorskom funkcijom konačne dužine. Npr. postupak :
Apodizacija pojasno
ograničenog impulsa
MATLAB kod apodizacija pojasno ograničenog impulsa
fs = 48000; % frekvencija sempliranja
fc = 19000; % odrezna frekvencija brick wall filtera
rlen = 10; % dužina impulsa u intervalu sempliranja
ppiv = 100; % broj uzoraka po intervalu sempliranja
beta = 9.0; % parameter glavnog prozora
apof = 0.9; % faktor apodizacije (0 = bez apodizacije, 1 = max)
apobeta = 0.7; % parametar apodizacije prozora
% generiranje pojasno ograničenog impulsa
pts = ppiv*rlen+1; % dužina impulsa uzoraka
x1 = 0:1:pts-1; % dodajemo jedan za simetrični impuls
x2 = rlen*2*(x1 - (pts-1)/2 + 0.00001)/(pts-1);
x3 = pi*fc/fs*x2;
početno rješenje – zvuči loše
međukorak
cilj apodizacije – dobar zvuk
Pojasno ograničen impuls (dužina = 10T, fs = 48 kHz, fc = 20 kHz, normaliziran)
Glavni prozor Kaiser (β = 9), bez apodizacije
MATLAB vidi skriptu vježbe
86
Ozren Bilan
Optimalna sinteza (Remez II)
Svodi se na određivanje koeficijenata nerekurzivnih digitalnih filtera pri
određenim kriterijima optimalnosti. Razvijeno je više klasa optimalnih filtera koji
se međusobno razlikuju po izboru promjenjivih parametara i kriteriju
optimalnosti.
Prva klasa optimalnih filtera svodi se na minimiziranje veličine:
gdje je:
h = sin(x3)./x3; % impulsni odziv brickwall filtera
w = kaiser(pts,beta); % kaiser prozor
g = w.*h'; % impulsu ograničavamo spektar primjenom prozora
aw = 1 - apof*kaiser(pts,apobeta); % apodizacija i normalizacija
g = aw.*g;g = g/max(g);
figure(1);subplot(1,2,1); %crtanje pojasno ograničenog impulsa
plot(x2/2,g);axis([-rlen/2 rlen/2 -0.2 1.0001]);
xlabel('Vrijeme u intervalima sempliranja');title('Pojasno ograničeni
impuls');
subplot(1,2,2); % nacrtaj spektar
zpad = 20; % faktor umetanja nula
g2 = [g ; zeros((zpad-1)*pts,1)+; % umetanje nula povedava rezoluciju
wspec = abs(fft(g2));
wspec = max(wspec/max(wspec), 0.00001);
fmax = 60000; % maksimalno prikazana frekvencija
rng = round(rlen*zpad*fmax/fs); xidx = 0:1:rng;
semilogy(fmax/1000*xidx/rng,wspec(1:(rng+1)));
xlabel('Frekvencija u kHz');title('Amplitudni spektar');% markeri
hold;
plot([20 20], [0.00001 1], 'g');
plot([fs/1000-20 fs/1000-20], [0.00001 1], 'r');
plot([fs/1000 fs/1000], [0.00001 1], 'r'); hold off;
Signal prikazan na slici prikladan je ako nam je bitna kompaktnost valnog oblika. Pri tome moramo imati na umu da se
ne koristi impuls nego integral impulsa nakon filtriranja u kojem je mnogo manja količina visokofrekvencijskog
sadržaja. Dakle, zahtjevi za slabljenjem u nepropusnom području su daleko manji. Moramo ekvalizirati zaobljene
rubove propusnog područja kako bi poboljšali zvuk.
Mogude ih je je primijeniti kao postfilter ili prefilter pod uvjetom da slabljenje ne prelazi određeni broj dB na 20 kHz.
Isto tako možemo sniziti fc impulsa od 4-uzorka kako bi smanjili osjetljivost na alias i izveli intenzivnije filtriranje.
Nastali fazni pomak i malo ranije filtriranje signala dobro zvuči velikom broju ljudi, a neki govore da je rezultirajudi zvuk
premekan. Digitalni filter kojim se izvodi apodizacija je besplatni algoritam koji se može izvesti odgovarajudim
čipovima. Sa stručnog stajališta rješenje je vrlo povoljno jer nije skupo, dok ga proizvođači skupo napladuju.
LP 
1
s
s


 De  H e  d
j
j
P
,
0
- granica intervala aproksimacije,
De  - željena spektralna karakteristika,
H e  - aproksimirana funkcija čije koeficijente određujemo u procesu
minimiziranja.
Za p = 2, problem se svodi na minimiziranje po metodi najmanjih kvadrata i
znatno pojednostavljuje jer se optimizacija svodi na sintezu linearnih jednadžbi.
Ako je p > 2, problem je nelinearan, te su ove metode optimizacije računski
znatno složeniji od linearnih, pa se zbog toga i rijetko koriste.
Drugi pristup, koji je također u literaturi široko razvijen, temeljena je na
Chebyshevljevoj aproksimaciji. Greška aproksimacije pri optimalnom rješenju ima
M+1 linearnih jednadžbi sa M+1 nepoznanica. Za sintezu filtera sa takvom
karakteristikom razvijeno je više pristupa i metoda, od kojih je najprihvatljivija
metoda, koju nazivamo: tzv. drugi algoritam Remez ili Remez II
s
j
j
Pojasno ograničen impuls (dužina = 10T, fs = 48 kHz, fc = 19 kHz, normaliziran)
Glavni prozor Kaiser ( β= 9), prozor apodizacije : 1- 0.9·Kaiser (β = 0.7)
Mnogi DAC imaju ugrađene FIR filtre kojima korisnik može djelovati na oblik
impulsa opisanim djelovanjem objašnjenim u MATLAB simulaciji
87
Ozren Bilan
Sinteza rekurzivnih (IIR) digitalnih filtera
Razvoj sinteze rekurzivnih digitalnih filtera bio je omoguden brzim
razvojem teorije i metoda projektiranja analognih filtera. Prvi uspjesi
su bili ostvareni transformacijom prijenosne funkcije analognog filtera
u prijenosnu funkciju odgovarajudeg digitalnog filtera. Kod
projektiranja rekurzivnih (IIR) digitalnih filtera imamo dva pristupa:
• projektira se analogni niskopropusni prototip, zatim se izvrši
frekvencijska transformacija s → s, pa nakon toga izvrši
transformacija iz analognog u digitalni filter s → z.
• projektira se analogni niskopropusni prototip, zatim se izvrši
transformacija iz analognog u digitalni filter s → z, pa nakon toga
izvrši frekvencijska transformacija z → z.
Prvo demo u opdim crtama iznijeti osnovne osobine najviše korištenog
analognog niskofrekventnog filtera. Frekvencijski odziv analognog
1
niskofrekventnog filtera dan je izrazom:
 H  j  1 za
  ,
88
Ozren Bilan
gdje su:
• ε konstanta koja određuje valovitost,
• Ωp frekvencija propuštanje *rad/s+,
• Ωs frekvencija gušenje *rad/s+.
Frekvencijska karakteristika analognog niskopropusnog filtera dana je
na slijededoj slici. Iz karakteristike je vidljivo da je:
H  j 
2
1
1  2
H  j 
2
1
A2
za
  p
za
  s
2
1  2
a
p
0  H a  j 
2
Ozren Bilan
1
A2
za
s   ,
89
Ozren Bilan
90
15
11.9.2013.
Parametri ε i A na skali u dB ovisni su o parametrima Rp i As koji se
mogu izračunati preko izraza:
R p  10 log 10
Butterworth-ov filter
1
R / 10
   10 p  1
1  2
i
As  10 log 10
1
 A  10 AS / 20
A2
Ovi parametri na apsolutnoj skali ovisni su o parametrima δ1 i δ2 koji se
mogu izračunati preko izraza:
i
2 1
1  1
1

 
1 2
1  1
1  2
2
1  1

1  1
1
 A
A
2
Prijenosnu funkciju analognog filtera dobivamo pomodu izraza:
2
H a  j  H a  jH a*  j  H a  jH a  j  H a s H a  s  s  j
ili preko:
H a s H a  s   H a  j
2
 s / j
pa su polovi kvadratne amplitudne karakteristike određeni izrazom:
1
j

2N
2 k  N 1
H  j  
2
1
  

1   j
 j c 
2N
gdje je granična frekvencija filtera. Na slici
je prikazana ovisnost modula prijenosne
funkcije o frekvenciji za razne vrijednosti N.
Dijagram pokazuje da je amplitudna
karakteristika ravna i monotona i u
propusnom i u nepropusnom pojasu. Sa
porastom N prijelaz između propusnog i
nepropusnog pojasa je sve strmiji s tim što
je na graničnoj frekvenciji vrijednost
amplitude uvijek jednaka 1 / 2 .
Na osnovi relacije dobivamo da je: H a s H a  s  
91
Ozren Bilan
pk   1 2 N j c   c e
Filteri realizirani ovom aproksimacijom su
monotoni u području propuštanja i
području
gušenja.
Kvadrat
modula
prijenosne funkcije, odnosno kvadratna
amplituda karakteristika Butterworth-ovog
niskofrekventnog filtera dana je izrazom:
,
odnosno:
 cN
H a s  
 s  p 
k
LHPpolovi
H a  j 
2
 s / j
Ozren Bilan

1
 s 

1  
 j c 
2N

 j2 N
s 2 N   j C 
2N
92
Red Butterworth-ovog filtera određujemo preko izraza:
k  0,1,....,2 N  1
Svi 2N polovi nalaze se na radijusu kružnice u s-domeni i uniformirano su
raspoređeni simetrično u odnosu na imaginarnu os. Kut između susjednih
polova iznosi π/N. Polovi se ne mogu nalaziti na imaginarnoj osi. a za neparno
N polovi se nalaze i na realnoj osi. Za N parno prvi pol ima fazu od π/2N.
Kako je prvih 2N-1 izvoda amplitudne karakteristike jednako nuli za ω=0,
Butterworth-ovi filteri se nazivaju filteri s maksimalnom ravnom
amplitudnom karakteristikom. Prikazani je raspored polova za red N=3 i N=4
Butterworth-ovog filtera.



 log 10 R p / 10  1 / 10 As / 10  1 
N   10

2 log 10  p /  s 


parametar Ωc možemo izračunati preko izraza:
c 
p
2N
10
R p / 10

1
Ili
c 
93
Ozren Bilan
s
2N
10
As / 10

1
94
Ozren Bilan
Kvadratna amplitudna karakteristika u propusnom pojasu oscilira između 1 i
  .Za ω=0 i za N neparno jednaka je jedinici. Za N parno jednaka je 1/1   
Ukoliko je    kvadratna amplitudna karakteristika ima vrijednost 1 /1   
Čebiševljev filter
1/ 1   2
2
2
C
Za razliku od Butterworth-ovih filtera, Chebyshevi filteri imaju amplitudnu
karakteristiku koja oscilira između dvije dane vrijednosti u cijelom
propusnom pojasu. Iz toga razloga imamo dvije vrste ovih filtera,
Chebyshev tip I i Chebyshev tip II. Chebyshev tip I ima monotonu
karakteristiku u području gušenja a valovitu u području propuštanja, dok
Chebyshev tip II ima upravo obrnute karakteristike. Kvadratna amplitudna
1
karakteristika dana je izrazom: H  j 
2
  

1   2TN2 
 c 
Kvadratna amplitudna karakteristika Chebyshev-og filtera za N = neparno
gdje je TN - Chebyshev polinom N–tog reda kojeg možemo odrediti
pomodu slijededeg izraza:
T x   2 xT x   T x   0
N 1
N
T0 x   0
sa početnim uvjetima:
ili pomodu ekvivalentne relacije:
gdje je:
T1 x   x
 cosN arccos x ,
TN  x   
chN archx ,
x
N 1
T2 x   2 x 2  1
x 1
x 1

c
Ozren Bilan
95
Kvadratna amplitudna karakteristika
Chebyshev-og filtera za N = parno
Ozren Bilan
96
16
11.9.2013.
Pomodne varijable računaju se preko slijededih izraza:
Polovi filtera su na elipsi u s-domeni čiji centar leži u koordinatnom
ishodištu. Dužina velike osi je 2b C , a male osi 2a C , gdje su b i a
određeni izrazom:

1
b, a    2  1   1
2

1/ M


2
1  
1

1 / M
a


 N1
b
1
2

N
  N1


1

 1
1
2
K
n
 s  p 
k
gdje je K dan izrazom:
N  neparno
 1,

H a  j 0   1 , N  parno
 1   2
Red filtera određujemo preko izraza:
  2k  1 
 k  a c  cos  


k=0,…,N-1 ,
  2k  1 
 k  b c sin  
2 N 
2
k=0,…,N-1 .
2N

k 1
k=0,…,N-1 ,
2
i
N
H a s  
Polove Chebyshev-og filtera izračunavamo prema slijededem izrazu:
gdje su:

Uvrste li se polovi iz lijeve poluravnine u izraz za prijenosnu funkciju
slijedi:
Polovi su simetrični u odnosu na imaginarnu os. Za N neparno nalaze
se i na realnoj osi, dok za N parno ne leže na realnoj osi.
p k   k  j k
1
2



gdje je:
r 
Ozren Bilan

 log g  g 2  1 
10

N 
 log 10  r   2r  1 
s
p
97
g
A
2

1 /  2
Ozren Bilan
98
Tipični odzivi prikazani su na slijededim slikama
Eliptički ili Cauerov filter
Imaju uniformnu karakteristiku u propusnom i u
nepropusnom pojasu čime se za isti red i pri istoj grešci
postiže najmanja širina prelaznog područja između
propusnog i nepropusnog pojasa, tj. imaju najvedu
strminu. Kvadratna amplitudna karakteristika eliptičkog
filtera ima oblik:
1
H  j  
Kvadratna amplitudna karakteristika Eliptičkog filtera za N = neparno
2

1   2U n2 

 c 
gdje su:
• Un - Jacobi-jeva eliptička funkcija,
• ε - parametar koji određuje grešku u propusnom
pojasu. Za    greška je jednaka 1 / 1   2  , gdje je Δ
maksimalna vrijednost . sn 
p
Ozren Bilan
Analiza izraza
H  j  
2
Kvadratna amplitudna karakteristika Eliptičkog filtera za N = parno
99
gdje su:


K k K 1  k12
K k1 K 1  k 2
k


102
Bessel filtar nema valovanje u propusnom
području, ali mu je gušenje mnogo lošije od
Butterworthovog filtra.
Potrebno je još procijeniti karakteristiku
odziv na step, koja nam pokazuje kako se
filter ponaša u odzivu kada se izlaz brzo
promijeni s jedne vrijednosti na drugu. Slika
pokazuje odziv na step svakog filtra.
s
k1 
Ozren Bilan
Butterworth filtar je najbolji izbor ako
želimo postidi najbrže slabljenje bez
valovanja u propusnom području. Obično se
naziva maksimalno linearan filtar, a
identičan je Čebiševljevom projektiranom
bez valovanja u propusnom području.
p
i
100
USPOREDBA TRI FILTERA
1
  

1   2U n2 
 c 
je teška pa za lakšu analizu koristimo slijededi izraz:
N
Ozren Bilan

Vodoravna os pokazuje karakteristike filter s
odreznom frekvencijom od 1 Hz. Odziv je
mogude skalirati za bilo koju višu odreznu
frekvenciju. Npr., odrezna frekvencija 1000
Hz pokazuje odziv na step u milisekundama
umjesto sekundama.
A2  1
Parametar k1 određuje grešku u nepropusnom pojasu.
za Ω ≥ Ωs ta greška je jednaka 1/A2.
Ozren Bilan
101
Butterworth i Čebiševljev filtar pokazuje
prebačaj i istitravanje (ringing - titranje sa
sporim
slabljenjem
amplitude).
Za
usporedbu, Bessel filtar ne pokazuje
nijedan od spomenutih problema.
17
11.9.2013.
Slika ilustrira ovu povoljnu
karakteristiku Bessel filtra.
Odziv na step tri filtra
Vrijeme prikazano na vodoravnoj osi odgovara odreznoj frekvenciji od 1 Hz.
Bessel je optimalni filter ako treba minimizirati prebačaj i
istitravanje.
(a) pokazuje impulsni valni oblik, koju
je mogude promatrati kao korak
porasta kojeg prati korak pada.
(b) i (c) pokazuju kako se ovaj valni
oblik pojavljuje nakon filtriranja
Besselovim i Čebiševljevim filtrima.
Pretpostavimo da je riječ o video
signalu. Izobličenje koje nastaje nakon
Čebiševljevog filtra bilo bi :
Prebačaj valnog oblika promijenio bi
svjetlinu rubova svih objekata prema
centru slike.
Nadalje, lijeva strana svih objekata
bila bi vrlo svjetla, a desna strana bila
bi vrlo tamna.
Mnoge primjene ne podnose loše
karakteristike odziva na step funkciju.
Tu su najbolji Besselovi filtri jer je
oblik simetričan bez prebačaja.
103
Ozren Bilan
Transformacija analognih u digitalne
filtere
Prilikom transformacije analognih filtera u digitalne moramo biti sigurni da digitalni IIR-filteri zadržavaju
željene osobine analognih filtera kao što su na primjer amplitudna i fazna karakteristika. Uvjet koji se mora
ispuniti da bi dobiveni digitalni filter bio stabilan svodi se na preslikavanje lijeve s-poluravnine u unutrašnjost
jediničnog kruga u z-domeni. Taj uvjet se može napisati:
s R s   0  z z  1
e
Drugi uvjet koji nije obavezan ali je najčešde ispunjen svodi se na to da se imaginarna os s-domene preslikava
u z-domenu na rub jediničnog kruga:
s  j        z  e
j
Im (s)
  0  

Bilinearna transformacija
Ova metoda daje najefikasnije rješenje
od svih navedenih.
1  z 1
Ona se definira relacijom: s  k 1  z 1
ks
a inverzan transformacija dana je izrazom: z 
gdje je k
ks
konstanta.
Iz relacije slijedi da je za s  j z  1, pa zaključujemo da se imaginarna os
preslikava na rub jediničnog kruga čime je ispunjen uvjet. Ako izraz ima
slijededi oblik:
z
Im (z)
k    j
k    j
Kako modul od z ima slijededi oblik:
jedinični krug
z 
Oba uvjeta prikazana su na slici
Metode koje se najčešde koriste su:
• bilinearna transformacija,
• jednakog impulsnog odziva i
• prilagođena z-transformacija.
Re(s)
s-domena
Re(z)
105
odnosno,
1  e  jT
1  e jT
  ktg
T
Ozren Bilan
k
C
tg
CT
2
gdje su i granične frekvencije analognog odnosno digitalnog filtera.
Međutim češde se uzima da je k jednako 2/T ili 1, te se bilinearna
transformacija može zapisati slijededim izrazom:
s
2
ova ovisnost je nelinearna a za k = 1 prikazana je na idudoj slici.
Za male vrijednosti ovisnost je uglavnom linearna, dok je za vedi dio
frekvencijske skale preslikavanje nelinearno.
106
Ozren Bilan
Konstanta k određuje se iz relacije:
Relacija između frekvencija analognog  i digitalnog filtera   dobiva
se iz relacije ako se uvrsti s  j i z  e jT (T-period uzorkovanja) te:
j  k
k   2   2
k   2   2
slijedi da je za   0 z  1 a za   0 z  1 čime je ispunjen uvjet da se
lijeva s-poluravnina preslikava u unutrašnjost jediničnog kruga pa je
dobiveni digitalni filter stabilan. To grafički prikazujemo:
z-domena
Ozren Bilan
104
Ozren Bilan
2 1  z 1
1  sT / 2
z
T 1  z 1
1  sT / 2
Polazedi od analognog filtera linearne faze ovom metodom se ne može
ostvariti digitalni filter s linearnom fazom jer frekvencijska izobličenja
izazivaju fazna izobličenja.
107
Ozren Bilan
108
18
11.9.2013.
Grafički prikaz bilinearne transformacije
Metoda jednakog impulsnog odziva
Ova metoda preslikava odziv analognog filtera u odziv digitalnog filtera tako
da su oni međusobno jednaki za t=kT
.
k  0,1,2,...,n
Osnovna ideja je nadi prijenosnu funkciju čiji je impulsni odziv jednak
jednoliko otipkanom impulsnom odzivu prototipnog analognog filtera.
Dobivena frekvencijska karakteristika IIR-filtera znatno odstupa od polaznog
analognog filtera i javlja se pojava preklapanja spektra, pa se ta transformacija
može primijeniti jedino pri projektiranju niskofrekventnih filtera i filtera
propusnika pojasa.
Ozren Bilan
109
110
Ozren Bilan
REKAPITULACIJA SINTEZE U MATLABU
Prilagođena z-transformacija
IIR
FIR
Ova metoda je eksponencijalna transformacija polova i nula H(s)
analognog filtera u odgovarajude polove i nule H(z). Realni polovi i nule
preslikavaju se pomodu zamjene:
s  a  1  z 1
a kompleksni polovi ili nule preslikavaju se transformacijom:
s  a2  b 2  1  2z 1 cosbT   z 1e 2aT
Dobivena prijenosna funkcija H(z) je u obliku parcijalnih razlomaka
prvoga ili drugoga reda. Oni se mogu lako realizirati, npr. u direktnom ili
transponiranom kanoničnom obliku. Ova transformacija daje istu
konfiguraciju polova kao i standardna z-transformacija. Međutim
konfiguracija nula zahtjeva neke modifikacije da bi se dobili
zadovoljavajudi rezultati.
Ova metoda ne daje zadovoljavajude rezultate za širokopojasne filtere.
Ozren Bilan
111
Projektiranje FIR i IIR filtera u MATLAB-u
Projektiranje frekvencijski selektivnih FIR filtera
Problem pri projektiranju frekvencijski selektivnih filtera je
određivanje impulsnog odziva h[n] željenog frekvencijskog
odziva H(Ω)
Opdenito se rješava primjenom inverzne diskretne Fourierove
transformacije (DTFT):
FIR filteri
Finite Impulse Response Filter
CILJ
• Opisati opdi pristup projektiranja FIR filtra pomodu matematičkog modela.
• Definirati izobličenja faze signala i pokazati djelovanje na izlazni signal.
• Pokazati kako odzivom linearne faze eliminiramo fazna izobličenja.
• Pokazati uvjet simetrije impulsnog odziva FIR filtra koji kao posljedicu imaju linearni
fazni odziv.
• Izvesti impulsni odziv idealnog niskopropusnog i visokopropusnog filtra linearne faze.
• Opisati i pokazati postupke projektiranja primjenom filtera vremenskog otvora kojim
se dobivaju fazno linearni FIR filtri.
• Pokazati projektiranje nisko-propusnog, visoko-propusnog, pojasno-propusnog i
pojasno-nepropusnog FIR filtra.
• Opisati i pokazati projektiranje fazno linearnog FIR filtra postupkom sampliranja.
• Pokazati MATLAB alate za optimalno projektiranje FIR filtera postupkom ParksMcClellan algoritma.
Ozren Bilan
112
Ozren Bilan
H () 

 h[n]e
 jn
n 
h[n] 
113
1
2

  H ()e

jn
d
Ozren Bilan
for -  n  
114
19
11.9.2013.
Linearna faza
Fazna izobličenja
analogni filter
Fazna izobličenja su posljedica promjenjivog (vremenskog ili faznog) kašnjenja za
različite frekvencijske komponente signala.
Ako je fazni odziv filtera linearna funkcija frekvencije, tada je fazno kašnjenje
konstantno za sve frekvencije pa nema faznih izobličenja.
sin (ωt1+θ1)
ωt1
θ1
ω(t2
sin (ωt2+θ2)
(t 2
t1 )
(θ2
θ1 )
t
θ
θ
ω
θ
kf
n
Phase
delay
kašnjenje
faze
n 
promjena
faze
Phase
change
Δn je konstantno ako je Δt konstantno
n  k
   k 
θ
2πf
delay
grupnoGroup
kašnjenje
Uvjet promjene faze pri konstantnom
grupnom kašnjenju neovisnom o frekvenciji:
promjena faze je linearna funkcija frekvencije
Konstantno grupno kašnjenje je znak
linearne faze
t=0:.04/1000:.04; f0=50;
komp1=(2/pi)*sin(2*pi*(f0)*t+pi/6);
komp2=(2/(3*pi))*sin(2*pi*(3*f0)*t+pi/6);
komp3=(2/(5*pi))*sin(2*pi*(5*f0)*t+pi/6);
komp4=(2/(7*pi))*sin(2*pi*(7*f0)*t+pi/6);
komp5=(2/(9*pi))*sin(2*pi*(9*f0)*t+pi/6);
s=komp1+komp2+komp3+komp4+komp5;
plot(t*1000,s);
grid
title('Kvadratni valni oblik od 5
komponenti s konstantnim faznim
pomakom od 30 stupnjeva ');
xlabel('ms');
117
k
Dovoljan uvjet linearne faze
Ako se FIR filter sastoji od neparnog broja koeficijenata, M + 1, gdje je M paran i simetričan s
obzirom na izraz M/2, filter de imati linearni fazni odziv Δθ = −(M/2)Ω. Grupno kašnjenje filtera de
biti M/2.
Takav filter nazivamo filter tip I (neparne dužine i pozitivne simetrije). Drugi tipovi filtera imaju
različite permutacije dužine i simetrije. Filter tip I je najčešdi i najlakši za projektiranje.
Translatirani impulsni odziv
1. Neparni broj točaka impulsnog odziva
2. Točka simetrije n=2
3. Jednake vrijednosti impulsnog odziva
s obje strane centra simetrije
4. Grupno kašnjenje = 2
2
k
2π
Translacija
centar simetrije
.01π
θ
118
Ozren Bilan
Proračun s konstantnim faznim
(vremenskim) kašnjenjem 5 ms i
linearnom fazom. Linearna faza nema
faznog izobličenja.
kf
2πf
116
Konstantna promjene faze od
+30 stupnjeva za svaku
sinusoidu daje fazno izobličenje.
komp1=(2/pi)*sin(2*pi*(f0)*t-.01*pi*(f0));
komp2=(2/(3*pi))*sin(2*pi*(3*f0)*t-.01*pi*(3*f0));
komp3=(2/(5*pi))*sin(2*pi*(5*f0)*t-.01*pi*(5*f0));
komp4=(2/(7*pi))*sin(2*pi*(7*f0)*t-.01*pi*(7*f0));
s=komp1+komp2+komp3+komp4;
plot(t*1000,s);
grid;
title('Kvadratni val od 4 komponente s 5ms faznog kašnjena');
xlabel('ms')
θ
2πf
d θ
d
Ozren Bilan
Razlika konstantne i linearne faze
.005


Konstantna faza i linearna faza
t=0:.04/1000:.04; f0=50;
% vrlo mali prirast t aproksimira analogni signal
izraz1=(2/pi)*sin(2*pi*(f0)*t);
izraz2=(2/(3*pi))*sin(2*pi*(3*f0)*t);
izraz3=(2/(5*pi))*sin(2*pi*(5*f0)*t);
izraz4=(2/(7*pi))*sin(2*pi*(7*f0)*t);
izraz5=(2/(9*pi))*sin(2*pi*(9*f0)*t);
s= izraz1+ izraz2+ izraz3+ izraz4+izraz5;
plot(t*1000,s);grid
title('Kvadratni valni oblik s 5 komponenti');
xlabel('ms');
Nulta promjena faze svake
komponente kvadratnog
valnog oblika = generirani valni
oblik nalikuje na kvadratni
t
0
t
 tf s  sample
delay
kašnjenje
uzorka
Ts
n  
0
Konstantna faza i linearna faza
Ozren Bilan
θ
ulaznoj
t  nTs
0
115
Ozren Bilan
t=0:.04/1000:.04; f0=50;
% vrlo mali prirast t aproksimira analogni signal
izraz1=(2/pi)*sin(2*pi*(f0)*t);
izraz2=(2/(3*pi))*sin(2*pi*(3*f0)*t);
izraz3=(2/(5*pi))*sin(2*pi*(5*f0)*t);
izraz4=(2/(7*pi))*sin(2*pi*(7*f0)*t);
s= izraz1+ izraz2+ izraz3+ izraz4;
plot(t*1000,s);grid
title(‘Sintetiziran kvadratni valni oblik s 4 komponente');
xlabel('ms');
θ2
θ1 )
θ
t
t2
Linearna faza: Ulazni signal plava sinusoida obrađena digitalnim filtriranjem
(pojasni propust) pokazat de se na izlazu kao izlazni signal (crvena
sinusoida). Pri tome de opdenito pretrpjeti promjenu faze (ϴ1 u ϴ2) i
vremensko zatezanje ili kašnjenje (t1 u t2).
ωt2
t1 ) (θ2
ω t
t1
digitalni filter
Izlazna amplituda jednaka je
amplitudi u propusnom području
Izlazna amplituda jednaka je ulaznoj
amplitudi u propusnom području
.01πf
Ozren Bilan
119
Ozren Bilan
120
20
11.9.2013.
H(Ω)
Dovoljan uvjet linearne faze
Idealni niskopropusni filter
1
h=[-1,1,2,1,-1];
fvtool(h,1)
Magnitude (dB) and Phase Responses
0
-1
-14.2352
-2
-27.2654
-3
-40.2955
-π
Phase (radians)
-1.205
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
Normalized Frequency ( rad/sample)
0.8
1 
H ()e jn d 
2 
1 -0     0
H() = 
inače
0 otherwise
1 0 jn
h[n] 
e d
2 0
0
1

e jn
0
2 jn
1 1 jn0
e

 e  jn0 
n 2 j 
0.9
0
3.6
-60
2.7
-120
1.8
-180
0.9
0
Phase (degrees)
Magnitude
Magnitude and Phase Responses
4.5
-240
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
Normalized Frequency ( rad/sample)
0.8
-300
0.9
Pole/Zero Plot
1
0.8
0.6
0.4
4
h[n] 
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
Real Part
Ozren Bilan
•
h[n] 
•
•
•
•
h[n] 
0

1
n
sinc(0 n) -  n  
 1 
sin(0 n)  
  0 n  sin c(0 n)
n 
0

sinc(0 n) -  n  
Ozren Bilan
122
Primjer: niskopropusni filter s 21 koeficijentom gdje je Ω0 = π/4
Translatirani niskopropusni impulsni odziv
Magnitude Response Estimate
0.3
Impulsni odziv ima linearnu fazu zbog svojstva simetrije h[-n] = h[n]
Impulsni odziv ne može se izračunati jer je beskonačan i antikauzalan
Za proračun moramo konačni skup vrijednosti M+1 h[n] kasniti za M/2
uzoraka kako bi h[n] postao konačan i kauzalan
Napravimo li impulsni odziv konačnim, djelovat demo na svojstva filtera ali
ne i na linearni odziv faze
0
0.25
-5
0.2
0.15
0.1
-10
-15
-20
0.05
-25
0
-30
-0.05
0
2
4
6
n
8
10
0
0.2
0.4
0.6
0.8
Normalized Frequency ( rad/sample)
niskopropusni filter s 11 koeficijenata gdje je Ω0 = π/4
Uočavamo svojstvo
linearne faze
impulsnog odziva
10
Ozren Bilan
1
n
h[n] 
sin( 0 n)
n=0:20; % broj uzoraka 21
omega=pi/4; % odrezna frekvencija
h=(omega/pi)*sinc(omega*(n-10)/pi);
% translacija centra simetrije za 10 uzoraka na desno
stem(n,h)
title('Translatirani niskopropusni impulsni odziv')
xlabel('n')
ylabel('h[n]')
fvtool(h,1)
Impulsni odziv idealnog niskopropusnog filtera:
n0
or
ili
121
Impulsni odziv idealnog niskopropusnog filtera
n0
sin( x)
sinc( x) 
x
ilior
0.2
0
 0
 
h[n]  
 1 sin( n)
0
  n
Magnitude (dB)
0.2
h[n]
0.1
1 0 j  0
1 0
e d 
d 
2 0
2 0

1
1
0  (0 )  (20 )  0
2
2

h[0] 
π
h[n] 
-5
0
Ω0
-Ω0
Impulsni odziv
-4
-53.3257
translacija
123
Ozren Bilan
124
Učinak Hamming vremenskog otvora
Primjer: niskopropusni filter s 201 koeficijentom gdje je Ω0 = π/4
Magnitude Response (dB)
0
n=0:200;
% postavljamo red filtera dužine (n)=201 uzorak
omega=pi/4;
h=(omega/pi)*sinc((n-100)*omega/pi);
% pomak na desno za 100 uzoraka
fvtool(h,1)
Ublažuju naglo odrezivanje impulsnog odziva
prema nuli
primjer: Hamming vremenski otvor ili prozor filter
-10
-20
Magnitude (dB)
Imaginary Part
Magnitude (dB)
11.8252
-30
-40
w[n]
-50
-60
.54 .46 cos
2πn
N 1
hW [n]
w[n]h[n]
-70
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
Normalized Frequency ( rad/sample)
0.7
0.8
0.9
niskopropusni filter s 501 koeficijentom gdje je Ω0 = π/4
Viši red filtera ima strmiji prijelaz
Valovanje Gibbsovog učinka nastaje
zbog naglog odrezivanja impulsnog
odziva
Ozren Bilan
125
n=0:20;
omega=pi/4;
h=(omega/pi)*sinc((n-10)*omega/pi);
w=0.54+0.46*cos(2*pi*(n-10)/20);
% Hamming prozor kojemu je N-1=20
hw=h.*w;
% koristimo “ .* “ za množenje h i w uzorak po uzorak
stem(n,w)
title('Hamming prozor')
figure,stem(n,h,'ro')
hold
stem(n,hw,'bd')
title('Usporedba impulsnog odziva pravokutnog i
Hammingovog prozora ')
legend('pravokutni','Hamming')
fvtool(hw,1)
Ozren Bilan
126
21
11.9.2013.
Idealni visokopropusni filter
1 π
H ( )e j n d
2π π
0
1
1
ej n d
ej n d
2π π
2π 0
1 1 j n 0
1 1 j nπ
e
e
π
0
2π jn
2π jn
1 1
1 1 jπn
j 0n
jπn
e
e
e
e j 0n
πn 2 j
πn 2 j
1 1
1 1 jπn
e j 0n e j 0n
e
e jπn
πn 2 j
πn 2 j
1
1
sin(πn)
sin( 0 n)
πn
πn
h[n]
1
-π
Ω0
-Ω0
π
H(Ω)
h[n]
sinc(πn)
0
π
sinc(
0
n)
1
ΩH
128
Primjer pojasno-nepropusni i pojasno-propusni
hbr = hLP + hHP
ΩL
Ozren Bilan
>> n=0:200;
>> fs=2000;
>> omegaL=2*pi*400/fs;
>> omegaH=2*pi*600/fs;
>> hLPL=(omegaL/pi)*sinc(omegaL*(n-100)/pi).*hamming(201)';
>> hLPH=(omegaH/pi)*sinc(omegaH*(n-100)/pi).*hamming(201)';
>> hHP=(sinc(n-100)-(omegaH/pi)*sinc(omegaH*(n-100)/pi)).*hamming(201)';
>> h_bandpass=hLPH-hLPL;
>> h_bandreject=hLPL+hHP;
>> fvtool(h_bandpass,1)
>> fvtool(h_bandreject,1)
HBR = HLP + HHP
0
Blackman
prozor
više
potiskuje
bočne
lobove
nepropusnog područja
127
Pojasno-nepropusni i pojasno-propusni filter
Nastaje sumiranjem
niskopropusnog i
visokopropusnog filtera
>> n=0:200;
>> omega=3*pi/4;
>> h=sinc(n-100)-(omega/pi)*sinc(omega*(n-100)/pi);
% Both terms shifted by 100 samples
>> hw=h.*blackman(201)';
>> fvtool(hw,1)
n
Ozren Bilan
pojasno-nepropusni
Primjer: Idealni visokopropusni filter s 201 koeficijentom gdje je Ω0 = 3π/4
π
HHP
HLP
pojasno-propusni filter
hbp = hLPH - hLPL
1
HLPH - HLPL
Nastaje oduzimanjem
niskopropusnog s višom
odreznom frekvencijom i
niskopropusnog filtera s nižom
odreznom frekvencijom
ΩL
0
ΩH
HLPL
π
HLPH
Ozren Bilan
129
Ozren Bilan
130
Projektiranje FIR filtera postupkom sempliranja
Učinak grupnog kašnjenja filtra 200. reda
DFT i DTFT filtera
Temelj postupka sempliranja je svojstvo po kojem DFT predstavlja uzorak DTFT
Kako bi se u to uvjerili napravit demo DFT frekvencijskog odziva filtera:
m=1:250;
% sinusoida dužine 250 uzoraka
fs=2000;
n=0:10;
% Projektiramo niskopropusni
%filter postupkom prozora
omega=pi/4;
h1=(omega/pi)*sinc(omega*(n-5)/pi);
dtft_demo(h1,0,2*pi,512);
% Prikaz DTFT filtera
hold
[H1,f]=dft_demo(h1);
% Računamo DFT filtera
stem(f/pi,abs(H1), 'r‘, ‘filled');
legend('DTFT od h1','DFT od h1')
title('Fourierova transformacija
impulsnog odziva h1')
hold off
f=2*pi*100/fs;
x=sin(f*m);
y=filter(hLPL,1,x);
% Naredba filter izvršava filtriranje signala x
subplot(2,1,1),
plot(x),
title('Sinusoida frekvencije 100 Hz na ulazu'),
axis([0,250,-2,2]);
grid;
Izlazni signal
kasni 100 uzoraka
subplot(2,1,2),
plot(y),
title('Izlaz niskopropusnog filtra'),axis([0,250,-2,2]);
grid;
Ozren Bilan
131
Ozren Bilan
132
22
11.9.2013.
Projektiranje FIR filtera postupkom sempliranja
Jednoliko udaljeni uzorci frekvencijskog odziva u frekvencijskom području Ω =
0 do 2π predstavljaju diskretnu Fourierovu transformaciju (DFT) konačnog
impulsnog odziva iste dužine:
N 1
H [k ]   h[n]e
 j 2
Projektiranje FIR filtera postupkom sempliranja
1: Određujemo kritičnu frekvenciju Ω0
2: Određujemo red filtera M, koji mora biti paran
3: Konstruiramo vektor sastavljen od M+1 realnih vrijednosti frekvencijskog odziva jednoliko
udaljenih od Ω = 0 do 2π. Za lakši rad koristimo gotove funkcije.
k
n
N
[H,omega]=selectH_lp(Ω0,M+1) ili
[H,omega]=selectH_hp(Ω0,M+1)
n 0
k  0,1, 2,...N  1
4: Kreiramo kauzalni frekvencijski odziv tako da kasnimo odziv za M/2.
H_delay=exp(-j*omega*M/2).*H
Ako je zadan frekvencijski odziv, impulsni odziv računamo inverznom DFT
frekvencijskog odziva
h=inv_dft_demo(H_delay)
k
j 2 n
1 N 1
 H [k ]e N
N k 0
n  0,1,...N  1
h[n] 
Ozren Bilan
5: Računamo impulsni odziv filtera s frekvencijskim odzivom koji kasni za M/2 primjenom
inverzne diskretne Fourierove transformacije:
6: Impulsni odziv propuštamo kroz funkciju prozora: npr. hamming:
hw=h.*hamming(length(h))'
133
134
Ozren Bilan
Primjer : projektiranje FIR filtera postupkom sempliranja
Projektiranje sempliranjem FIR2
Specifikacija filtera.
• Niskopropusni 100. reda
• Odrezna frekvencija 500 Hz
• Frekvencija sempliranja 3000 Hz
• Hammingov prozor
B=fir2(N,F,A)
• N = red filtera
• F = Odrezna frekvencija Ω izražena pomodu π
• A = Amplituda koja odgovara odreznoj frekvenciji F
n=0:100;
fs=3000;
fc=500;
omega_cutoff=2*pi*fc/fs;
[x,f]=selectH_lp(omega_cutoff,length(n));
% kreiramo uzorke odziva
M=length(x)-1;
H=exp(-j*f*M/2).*x;
% računamo frekvencijski odziv kauzalnog filtera
h=inv_dft_demo(H);
% računamo impulsni odziv
h_hamming=h.*hamming(length(n))';
% Hamming prozor
subplot(2,1,1),dtft_demof(h,0,1500,512,3000);grid;
% crtanje magnitudnog odziva
title('Projektiranje sempliranjem – pravokutni prozor')
subplot(2,1,2),
dtft_demof(h_hamming,0,1500,512,3000);grid;
title('Projektiranje sempliranjem - Hamming prozor')
F = [0, 0.3, 0.3, 1]
A = [1, 1, 0, 0]
0
Ozren Bilan
135
π
0.3π
Ozren Bilan
136
Optimalni projekt filtera
Projektiranje sempliranjem FIR2 filter
N=100;
% red filtera
fs = 3000;
% frekvencija sempliranja
fc=500;
% odrezna frekvencija
F=[0,2*fc/fs,2*fc/fs,1];
% vektor frekvencijskih točaka
A=[1,1,0,0];
% Amplitude koje odgovaraju F
B=fir2(N,F,A);
%računamo impulsni odziv
dtft_demof(B,0,1500,512,3000);grid;
title('Projektiranje sempliranjem FIR2 filtera')
Red filtera, širinu prijelaznog područja i valovanje su relacijski međusobno povezani pa ih nije mogude
specificirati neovisno. Zadaju se dva parametra, a vrijednost tredeg određuju zadani.
MATLAB pri proračunu FIR2 koristi Hamming
Za unaprijed određeno valovanje i širinu prijelaznog području, proračun daje optimalni red filtera
Parks-McClellan postupkom projektiranja.
Ozren Bilan
137
Ozren Bilan
138
23
11.9.2013.
Projektiranje Parks-McClellan niskopropusnog filtera
Specifikacija:
• Niskopropusni 20. reda
• Kritična frekvencija π/4
• Širina prijelaznog područja 0.2π
• Specificiranjem reda i prijelazne širine
proračunava se valovanje u propusnom i
nepropusnom području
% Projekt pomodu prozora
n=0:20;
omega=pi/4;
hwin=(omega/pi)*sinc(omega*(n10)/pi).*blackman(21)';
Usporedba postupaka
% Projekt sempliranjem
[H,f]=selectH_lp(pi/4,21);
%funkcija koja generira uzorke odziva
% i frekvencije niskopropusnog filtera
M=20;
Hk=exp(-j*f*M/2).*H;
hs=inv_dft_demo(Hk);
hsamp=hs.*blackman(21)';
% propušteno kroz Blackman prozor
f=[0 .15 .35 1];
% određujemo rubove pojasa normaliziranom
frekvencijom
% prijelazno područje je između 0.15 i 0.35 tj. = 0.20
a=[1 1 0 0];
% željeni amplitudni odziv u propusnom i
nepropusnom području dobiva se određenjem
amplitude na rubovima područja
N=20;
% red filtera
% dužina filtera je onda N + 1.
h=firpm(N,f,a);
grid;
fvtool(h,1)
% Optimalni projekt
f=[0,.15,.35,1];
a=[1,1,0,0];
w=[1,1];
N=20;
hopt=firpm(N,f,a,w);
fvtool(hwin,1) %Filter Visualization Tool
fvtool(hsamp,1)
fvtool(hopt,1)
Najbolje prijelazno područje za zadani red filtera
fvtool(hwin,1,hsamp,1,hopt,1)
Kako bi popravili valovanje potrebno je povisiti red
ili proširiti prijelazno područje
Ozren Bilan
139
Ozren Bilan
140
Primjena antikauzalnog filtra nulte faze
FIR filterima mogude je projektirati filter linearne faze koji u primjeni kasne izlaz
za nepromjenjivi broj uzoraka. IIR filteri su po pitanju faznih izobličenja vrlo
nelinearni. filtfilt funkcija koristi informaciju u signalu u točkama prije i nakon
trenutne točke. U biti gledaju u budućnost signala kako bi eliminirali fazna
izobličenja. Kako bi se uvjerili u takvo ponašanje filtera projektiranog funkcijom
filtfilt, prisjetimo se: ako je z-transformacija realne sekvence x(n) -> X(z), ztransformacija vremenski obrnute sekvence x(n) je X(1/z). Tako signal trajanja 2
sekunde sampliran sa 200 Hz, a sastavljen od dvije sinusoidalne komponente
na 3 Hz i 25 Hz bit de u Matlabu:
Fs = 200;
t = 0:1/Fs:1;
x = sin(2*pi*t*3)+.25*sin(2*pi*t*40);
Kreiramo usrednjavajudi averaging FIR filter u 10 točaka kako bi filtrirali x. Za
usporedbu demo primjenit funkcije filter i filtfilt :
b = ones(1,10)/10;
y = filtfilt(b,1,x);
yy = filter(b,1,x);
plot(t,x,t,y,'--',t,yy,':')
% usrednjavajuci filter u 10 tocaka
% nekauzalno filtriranje
% normalno filtriranje
Ozren Bilan
filter
filtfilt
x(t)
Obje verzije filtera očito eliminiraju sinusoidu od 25 Hz vidljivu u izvornom signalu (plava
puna linija). Vidimo i razliku filter i filtfilt; isprekidana zelena linija (filtfilt) u fazi je s
izvornom sinusoidom od 3 Hz. Točkasta crvena linije (filter) kasni za 5 uzoraka i vidljivo je
nepravilnog oblika. Amplituda isprekidane linije je manja zbog učinka filtfilt.
Nadalje filtfilt, smanjuje učinke tranzijenata pri uključivanju pažljivim izborom početnih
uvjeta i dodavanja na izlaznu sekvencu kratkog reflektiranog dijela ulazne sekvence.
Najbolji rezultati se postižu ako je sekvenca koju filtriramo bar tri puta duža od reda filtera
i podešena na nulu na oba kraja signala. Više na vježbama.
141
Ozren Bilan
Zaključak: FIR filteri
IIR filteri
Infinite Impulse Response Filter
•
Prikazali smo tri postupka projektiranja fazno linearnog FIR filtera:
 Postupak idealnog prozora
 Postupak sempliranja
 Optimalni Parks-McClellan postupak
•
FIR filterima se lako projektiraju fazno linearni filteri koji nemaju fazna
izobličenja signala.
IIR filteri su fazno nelinearni
•
142
CILJ









Ozren Bilan
Opis opdeg koncepta i pristupa pri projektiranju IIR filtera.
Pokazati projekt digitalnog oscilatora lokacijom polova.
Pokazati projekt uskopojasnog pojasno nepropusnog filtera
lokacijom polova i nula.
Opisat karakteristike četiri klasična prototipa analognih filtera
Prikazati projekt prototipnog analognog filtera MATLABom.
Izvod i opis bilinearne transformacije.
Pokazati postupak projekta IIR filtera bilinearnom
transformacijom
Prikazati primjenu MATLAB funkcija za projektiranje IIR filtera s
odzivima klasičnih analognih filtera.
Prikazati učinak kvantizacije koeficijenata na karakteristike IIR
filtera.
143
24
11.9.2013.
Temeljni koncept projektiranja IIR filtera
Tipična primjena IIR Filtera
• Frekvencijski odziv DSP filtera je vrijednost prijenosne funkcije
na jediničnoj kružnici u z-području.
• Položaj polova i nula određuje oblik prijenosne funkcije u
kompleksnoj ravnini.
• Stabilnom sustavu polovi moraju biti unutar jedinične kružnice
• Digitalni oscilatori
• Uskopojasni nepropusni notch filteri
• Digitalni ekvivalenti analognih prototipova:
H () 
–
–
–
–
b0  b1e j  b2e j 2  b3e j3  ...  bM e jM
a0  a1e j  a2e j 2  a3e j3  ...  aN e jN
Butterworthovog
Čebiševljevog I
Čebiševljevog II
Eliptičkog ili Cauerovog filtera
145
Ozren Bilan
146
Ozren Bilan
Rezultati projektiranja digitalnog oscilatora
Digitalni oscilator
Y ( z)  H ( z) X ( z)
X ( z )  Z  [n]  1
onda
je
so
Y ( z)  H ( z)
Z 1 Y ( z )  Z 1 H ( z )  A sin(0 n)u[n]
•
H ( z) 
A sin(0 ) z 1
1  2cos(0 ) z 1  z 2
Prijenosna funkcija digitalnog oscilatora
Pri frekvenciji sempliranja 8 kHz trajanje uzorka je 0.125 ms. 40 uzoraka = 5 ms
= period sinusne funkcije 200 Hz.
f=200;
fs=8000;
omega=2*pi*f/fs;
b=[0,sin(omega)];
a=[1,-2*cos(omega),1];
fvtool(b,a)
% Pomodu fvtool prikazujemo različite podatke
x su lokacije polova = ±Ω0 = ±2π (200/8000) = ±0.1571 radijana
147
Ozren Bilan
Uskopojasno nepropusni notch filteri
• Projektiraju se položajem polova i nula
• Nule su locirane na frekvenciji klanca Ω
• Polovi su u blizini nula, unutar jedinične
kružnice, a upravljaju širinom klanca.
• Na svim ostalim frekvencijama je jedinični
faktor pojačanja
• Na višestrukim frekvencijama projektira se
pomodu kaskade ili konvolucije a i b vektora
koeficijenata individualnih filtera.
148
Ozren Bilan
Prijenosna funkcija uskopojasno nepropusnog filtera
Magnitude Response
1.4
g [1  2cos(0 ) z 1  z 2 ]
H ( z)  0
1  2r cos(0 ) z 1  r 2 z 2
Pole/Zero Plot
0.76
g0 
0.74
0.72
|1  2r cos(0 )  r 2 |
2 |1  cos(0 ) |
1.2
1
Pole/Zero Plot
1
0.8
0.8
0.6
0.4
0.6
Imaginary Part
•
•
Ω0 predstavlja digitalnu frekvenciju oscilatora u
radijanima
A je amplituda dobivene sinusoide
Ponekad se naziva dvopolni rezonator jer
prijenosna funkcija ima 2 pola na +/- Ω0 točno
na jediničnoj kružnici pa je stabilan
Frekvencija u Hz Ω = 2πf/fs
Zadatak:
Projektiraj oscilator frekvencije 200 Hz u sustavu
kojemu je frekvencija sempliranja 8 kHz.
0.4
0.2
0
-0.2
-0.4
-0.6
0.2
-0.8
-1
Imaginary Part
•
A sin(0 ) z
A sin(0 ) z 1

z 2  2 cos(0 ) z  1 1  2 cos( 0 ) z 1  z 2
Magnitude
Z  A sin(0 n)u[n]  H ( z ) 
0.7
r  1
0.68

2
Q
0

-1.5
0
0
0.1
0.2
-1
-0.5
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
Normalized Frequency ( rad/sample)
0
Real Part
0.8
0.5
1
1.5
0.9
0.66
• Prijenosna funkcija uskopojasno nepropusnog filtera s frekvencijom klanca Ω0
0.64
• ΔΩ je širina s odzivom -3 dB, što još nazivamo faktor dobrote.
0.62
0.64
0.66
0.68
0.7
Real Part
0.72
0.74
0.76
• parameter r je polumjer pola
• Faktor pojačanja g0.
• Projektiranje usklađuje polumjer pola i širinu klanca.
Ozren Bilan
149
Ozren Bilan
150
25
11.9.2013.
Primjer 1: uskopojasno nepropusnog filtera
Primjer 2: uskopojasno nepropusnog filtera
Projektiraj uskopojasno nepropusni filtera s frekvencijom
Ω0 = π/4 i
Q faktorom 20
Pretpostavimo da je zadan uskopojasno nepropusni (notch) filter s
impulsnim odzivom (jezgrom ili kernelom) filtra H(z):
omega=pi/4;
Q=20;
delta_omega=omega/Q;
r=1-delta_omega/2;
g=abs(1-2*r*cos(omega)+r^2)/(2*abs(1-cos(omega)));
% g0 faktor pojačanja
bn=g*[1,-2*cos(omega),1];
% b koeficijenti filter
an=[1,-2*r*cos(omega),r^2];
%The a coefficients of the notch filter
fvtool(bn,an)
Uočavamo nule na jediničnoj
Primijenimo na ulaz sinusnu funkciju:
Pole/Zero Plot
0.76
x(n)= sin((2pi f1 n)/fs) + sin((2pi f2 n)/fs) + sin((2pi f3 n)/fs)
0.74
Imaginary Part
0.72
gdje je
f1=150 Hz , f2=60 Hz, f3=200 Hz i fs, frekvencija sampliranja 1000Hz.
0.7
0.68
0.66
0.64
kružnici s pripadajudim
polovima unutar jedinične
kružnice u kompleksnoj
ravnini na Ω0 = π/4
Primjenom programa nacrtajmo:
Ulazni spektar, Magnitudni odziv filtera, Izlazni spektar
0.62
0.72
0.74
0.76
151
Ozren Bilan
PROGRAM:
subplot(1,3,1);
clear;
N=4096; % ukupni broj uzoraka
fs=1000; % frekvencija sampliranja
f1=150; % prva frekvencijska
komponenta
f3=200; % treda frekvencijska
komponenta
f2=60; % druga frekvencijska
komponenta
n=0:N-1;
x=sin(2*pi*(f1/fs)*n)+sin(2*pi*(f2/fs)*
n)+sin(2*pi*(f3/fs)*n);
[pxx,fx]=psd(x,2*N,fs);
plot(fx,20*log10(pxx));
grid;
title('Magnitudni spektar x(n)');
xlabel('Frekvencija (Hz)');
ylabel('Magnituda (dB)');
sin(2*pi*(f2/fs)*n);
[pxx,fx]=psd(x,2*N,fs);
plot(fx,20*log10(pxx));
grid;
title('Magnitudni spektar signala x(n) s
tri komponente');
xlabel('Frekvencija Hz');
ylabel('Magnituda dB');
Ozren Bilan
magnitudu u dB u
% ovisnosti o frekvenciji
grid; % dodaje mrežu na slici
title('Magnitudni odziv filtera koji
eliminira 60Hz');
xlabel('Frekvencija');
ylabel('Magnituda dB');
y=filter(b,a,x);
*pyy,fy+=psd(y,2*N,fs); % određuje
spektar
*h,f+=freqz(b,a,1024,fs); % određuje
frekvencijski odziv
subplot(1,3,3); % bira tredi stupac slike
% filtera s koeficijentima 'b' i 'a'
% korišenjem 4096 točie oko
plot(fy,20*log10(pyy));
% jedinične kružnice uz frekvenciju
% crta izlazni spektar u dB
% sampliranja fs. Funkcija
grid; % dodaje mrežu
% vrada vrijednost prijenosne
title('Magnitudni spektar y(n)
% funkcije h, za svaku frekvenciju f u Hz. filtriranog signala');
magH=abs(h); % određuje magnitudu xlabel('Frekvencija Hz');
filtera
ylabel('Magnituda dB');
phaseH=angle(h); % određuje fazni kut
filtera
Spektar signala sastoji od tri sinusne
komponente na 60Hz, 150Hz i 200Hz.
Iz magnitudnog odziva
filtera vidljivo je da
filter atenuira
komponentu na
frekvenciji od 60 Hz.
Magnitudni spektar signala x(n) s tri komponente
subplot(1,3,2);
Magnitudni odziv filtera koji eliminira 60Hz
60
2
40
0
20
0
-20
-40
-60
Magnitudni spektar y(n) filtriranog signala
60
40
-2
20
-4
-6
-8
-10
-60
-80
-16
0
100
200
300
Frekvencija Hz
400
500
-18
0
100
200
300
Frekvencija
400
500
153
Analogni tip
Valovanje
propusnog područja
Valovanje
nepropusnog
područja
Prijelazno
područje
monotono
široko
monotono ili
maksimalno ravno
jednoliko
Čebiševljev-II
Eliptički (Cauerov)
Razlika tipa I i II
0
100
200
300
Frekvencija Hz
Ozren Bilan
Prototipni analogni filteri i specifikacije
Butterworth
-100
400
500
Izlazni spektar sastoji od
signala na 150 i 200 Hz te
prigušenog signala na
60Hz.
Ozren Bilan
Čebiševljev-I
-40
-14
% dijeli sliku u dva retka i
% jedan stupac i aktivira prvi red
plot( f, 20*log10(magH)); % crta
figure(1);
0
-20
-12
-80
-100
-120
b=[1 -1.8596 1];
a=[1 -1.8537 0.9937];
k=0.9969;
b=k*b;
152
Magnituda dB
0.7
Real Part
gušenje
0.68
Magnituda dB
0.66
Magnituda dB
0.64
monotono
usko
monotono
jednoliko
usko
jednoliko
jednoliko
vrlo usko
154
Prijenosne funkcije
Analogni filter:
H ( s) 
Y ( s) b0 s m  b1s m1  b2 s m2  ...  bm
 n
X (s)
s  a1s n 1  a2 s n 2  ...  an
Digitalni filter:
H ( z) 
Ozren Bilan
155
Y ( z ) b0  b1 z 1  b2 z 2  ...  bM z  M

X ( z ) a0  a1 z 1  a2 z 2  ...  aN z  N
Ozren Bilan
156
26
11.9.2013.
Primjer analognog filtera
MATLAB naredbe za projektiranje prototipova filtera
Projektiramo Eliptički analogni filter 4. reda s
odreznom frekvencijom 10 Hz, maksimalnim
valovanjem propusnog pojasa 1 dB i minimalnim
slabljenjem nepropusnog pojasa -20 dB.
[B,A] = BUTTER(N,Wn)
[B,A] = CHEBY1(N,R,Wn)
[B,A] = CHEBY2(N,R,Wn)
[B,A] = ELLIP(N,Rp,Rs,Wn)
• N = red filtera
• R = valovanje u dB, propusnog područja (cheby1)
• R = valovanje u dB, nepropusnog područja (cheby2)
• Rp i Rs označuju isto za eliptični filter.
• Wn = odrezna frekvencija u rad/s za analogni filter ili normalizirana digitalna
frekvencija izraženi u pi za digitalni filter
• [B,A] = koeficijenti analognog filtera u s-području ili digitalnog u z-području
cutoff=2*pi*10; % odrezna frekvencija 2 pi f
% parametri filtera
order=4;% 4. red
Rp=1; % valovanje u propusnom pojasu
Rs=20; % valovanje u nepropusnom pojasu
[b,a]=ellip(order,Rp,Rs,cutoff,'s');
% s opcija za analogni filter označava s-područje
W=linspace(0,2*pi*20);
% kreiramo linearni frekvencijski vektor od 100 točaka 0
do 20 Hz
[H,f]=freqs(b,a,W);
% Naredba freqs vrada kompleksnu vrijednost
prijenosne funkcije frekvencijskog vektora W
kopiranog u vektor f
plot(f/(2*pi),abs(H)); grid;
% crtamo magnitudu H u ovisnosti frekvencije u Hz
title('Eliptički filter 4. reda s odreznom frekvencijom 10
Hz')
xlabel('Frekvencija Hz')
ylabel('Magnitudni odziv')
157
Ozren Bilan
Ozren Bilan
Postupak projektiranja filtera DSP
implementacijom
Digitalni projekt analognog prototipa
Bilinearna transformacija
s
Bilinearna transformacija mapira kompleksnu varijablu s u analognoj
prijenosnoj funkciji u kompleksnu varijablu z u digitalnoj prijenosnoj funkciji
S ravnina
2  z 1 


T  z 1 
•
•
•
•
ili
or
z
Z ravnina
s  j 

2  sT
2  sT
2  z  1  2  e j  1 


 
T  z  1  T  e j  1 
2  e [e
e
]


T  e j  / 2 [e j  / 2  e  j  / 2 ] 
j / 2
j / 2
 j / 2


2 j sin   
2
 2 

T
 
 2 cos  2  
 

j2


tan  
T
2
or

Bilinearno mapiranje
ili

Kompleksna varijabla s preslikava se u analognu prijenosnu funkciju
kompleksne varijable z digitalne prijenosne funkcije
Ozren Bilan
2

tan  
T
2
MATLAB postupak projektiranja IIR filtera sastoji se od dvije naredbe za:
1) određivanje reda filtera i kritične frekvencije,
2) proračuna koeficijenata filtera.
Primjer: Butterworth
Ozren Bilan
160
Primjer: Čebiševljev visokopropusni filter II-tipa
Specifikacija filtera:
• Odziv Čebiševljev tip-II valovanje u
nepropusnom pojasu
• Granica propusnog pojasa = 1000 Hz
• Granica nepropusnog pojasa = 900 Hz
• Valovanje u propusnom pojasu = 1 dB
• Slabljenje u nepropusnom pojasu= -40 dB
• Frekvencija sempliranja= 8 kHz
fs=8000;
Wp=[2*1000/fs];
% normalizirana digitalna frekvencija granice
propusnog pojasa
Ws=[2*900/fs];
% normalizirana digitalna frekvencija granice
nepropusnog pojasa
[N,Wn]=cheb2ord(Wp,Ws,1,40);
% red filtera
[B,A]=cheby2(N,40,Wn,'high');
% naredba projektiranja filtera koja zahtjeva
slabljenje nepropusnog pojasa kao parametar
fvtool(B,A)
-1dB i
-20 dB
Ozren Bilan
MATLAB IIR Design Tools opdi pristup projektiranju
159
Rub propusnog i
nepropusnog
pojasa
fs=2000;
Wp=[2*400/fs,2*600/fs];
% Normalizirana digitalna frekvencija
rubova propusnog pojasa
Ws=[2*300/fs,2*700/fs];
% Normalizirana digitalna frekvencija
rubova nepropusnog pojasa
[N,Wn]=buttord(Wp,Ws,1,20);
% naredba reda
[B,A]=butter(N,Wn);
% naredba projekta filtera
fvtool(B,A) %prikazuje sve parametre
(str. 158.)
Parametri naredbe su:
Wp = Ω rubovi propusnog pojasa izraženi pomodu π
Ws = Ω rubovi nepropusnog pojasa izraženi pomodu π
Rp = valovanje propusnog pojasa u dB
Rs = valovanje nepropusnog pojasa u dB
or
ili
 T 
  2tan -1 

 2 
Odredi željenu odreznu frekvenciju za digitalni filter, Ω0
Izračunaj ekvivalentnu odreznu frekvenciju analognog filtera ω0, primjenom jednadžbe
Projektiraj analogni filter određenjem koeficijenata vektora a i b.
Bilinearnom transformacijom s→z odredi koeficijente digitalnog filtera
[N, Wn] = BUTTORD(Wp, Ws, Rp, Rs)
[B,A] = BUTTER(N,Wn,'tip') gdje je tip high (visokopropusni) ili stop, ako je određeno.
Primjer Butterworth
Specifikacija željenog filtera:
• Butterworth odziv
• Rub propusnog pojasa= 400 Hz i 600 Hz
• Rub nepropusnog pojasa = 300 Hz i 700 Hz
• Valovanje propusnog pojasa = 1 dB
• Slabljenje nepropusnog pojasa = -20 dB
• Frekvencija sempliranja = 2000 Hz
158
161
Ozren Bilan
162
27
11.9.2013.
Usporedba eliptičkog filtra s Parks-McClellan
Parks-McClellan projekt prema specifikaciji
Specifikacija filtera:
• niskopropusni
• Širina propusnog pojasa = 475 Hz
• Širina nepropusnog pojasa= 525 Hz t.j. prijelazno područje širine 50 Hz
• Valovanje u propusnom pojasu manje od 0.01 u apsolutnom iznosu ili 20log(1-0.01) = 0.0873 dB
• Slabljenje u nepropusnom pojasu vede od -40 dB t.j. 0.01 valovanje u apsolutnom iznosu
• Frekvencija sempliranja 2000 Hz
Određivanje reda Parks-McClellan filtera
[N,Fo,Ao,W] = FIRPMORD(F,A,DEV,Fs)
B = FIRPM(N,Fo,Ao,W)
F = [475,525];
A = [1,0];
DEV = [.01,.01];
Fs = 2000;
[N,Fo,Ao,W] = firpmord(F,A,DEV,Fs);
B = firpm(N,Fo,Ao,W);
fvtool(B,1)
>> N
N=
78 red filtera
N = red filtera
F = opseg, Ω izražen pomodu π ili u Hz ako je zadana Fs
A = amplituda unutar opsega određenim rubovima u F *dužina (F) jednaka je 2*length(A)-2]
DEV = devijacija ili valovanje u svakom području određen F u apsolutnim jedinicama, a ne u dB
Fs = frekvencija sempliranja u Hz
Ozren Bilan
163
164
Ozren Bilan
Utjecaj kvantizacije koeficijenata Čebiševljevog visoko propusnog
filtera tipa II dvostrukom preciznosti i 16 bitnom točnosti
Projekt eliptičkog filtera prema specifikaciji
Polovi x stabilnog IIR filtera moraju
biti unutar jedinične kružnice u
kompleksnoj ravnini
Kvantizacija i greške zaokruživanja
mogu uzrokovati pomak polova što
daje nestabilni IIR filter
Magnitude Response (dB)
0
-10
-20
Magnitude (dB)
fs=2000;
fpass=475;
fstop=525;
Wp=2*fpass/fs;
Ws=2*fstop/fs;
Rp=0.0873;
Rs=40;
[N,Wn]=ellipord(Wp,Ws,Rp,Rs);
[Be,Ae]=ellip(N,Rp,Rs,Wn);
fvtool(Be,Ae)
N
-30
stabilni filter
-40
-50
-60
fs=8000;
Wp=[2*1000/fs];
MATLAB HELP
% normalizirana digitalna frekvencija ruba
help quantize Y=quantize(X,BITS)
This function takes the numbers in x and quantizes the range of x with the
propusnog pojasa
number of BITS. For example, if BITS=3, the function rounds the values of x to he nearest
of 8 equally spaced levels between the maximum and minimum of x.
Ws=[2*900/fs];
% normalizirana digitalna frekvencija ruba
nepropusnog pojasa
[N,Wn]=cheb2ord(Wp,Ws,1,40);
% red filtera
[B,A]=cheby2(N,40,Wn,'high');
% Odznači A i B da vidiš učinak proračuna
% 16 bitne točnosti na IIR filter
% A=quantize(A,16);
nestabilni filter
% B=quantize(B,16);
% cheby2 je naredba filter pa sintaksa zahtjeva
% drugi parametar slabljenje nepropusnog pojasa
% Naredbom fvtool prikazujemo karakteristike
fvtool(B,A)
0
N=
7
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
Normalized Frequency ( rad/sample)
0.7
0.8
0.9
Isti filter s različitom
preciznosti koeficijenata
Magnitude Response (dB)
21.9117
13.3673
Koeficijenti brojnika
i nazivnika filtera
4.8229
Magnitude (dB)
-3.7215
-12.2659
-20.8103
-29.3547
-37.8992
-46.4436
-54.988
0
Ozren Bilan
165
Zaključak: IIR filteri
•
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
Normalized Frequency ( rad/sample)
0.7
0.8
0.9
Ozren Bilan
166
Primjer usporedbe dva niskopropusna filtera
Zadana su dva niskopropusna filtera sustav
br. 1 i br. 2. s različitom atenuacijom u
propusnom području. Razlika je posebno
izražena na frekvencijama ulaznog signala.
Interesira nas koji filter ima bolju
karakteristiku
potiskivanja
visokofrekvencijske komponente ulaznog signala
x[n]?
Vremenski
diskretni
sustavi
karakterizirani su jednadžbama diferencije:
IIR filteri mogu se projektirati lokacijama nula i polova na jediničnoj
kružnici
• Digitalni oscilatori imaju polove na jediničnoj kružnici
• Uskopojasni nepropusni Notch filteri: nule na jediničnoj kružnici sa
bliskim polovima koji upravljaju širinom filtera
•
Klasični analogni filteri projektiraju se bilinearnom transformacijom
Sustav br. 1
y[n] = 0.5 x[n] + 0.27 x[n − 1] + 0.77 x[n − 2],
•
IIR filteri imaju prednost nižeg reda za zadani frekvencijski odziv.
•
IIR filteri imaju nedostatak mogude nestabilnosti zbog učinka kvantizacije
koeficijenata i nelinearnog odziva faze.
Sustav br. 2
y[n] = 0.45 x[n] + 0.5 x[n − 1] + 0.45 x[n − 2] +
0.53 y[n − 1] − 0.46 y[n − 2].
MATLAB Program računa izlaz oba sustava
ako je zadan ulaz:
Ozren Bilan
167
Ozren Bilan
% Generiraj ulaznu sekvencu
clf;
n = 0:299;
x1 = cos(2*pi*10*n/256);
x2 = cos(2*pi*100*n/256);
x = x1+x2;
% Izracunaj izlazne sekvence
num1 = [0.5 0.27 0.77];
y1 = filter(num1,1,x);
% Izlaz sustava br. 1
den2 = [1 -0.53 0.46];
num2 = [0.45 0.5 0.45];
y2 = filter(num2,den2,x);
% Izlaz sustav br. 2
% Nacrtaj izlazne sekvence
subplot(2,1,1);
plot(n,y1);axis([0 300 -2 2]);
ylabel('Amplituda');
title('Izlaz sustava br. 1');grid;
subplot(2,1,2);
plot(n,y2);axis([0 300 -2 2]);
xlabel('vremenski indeks n'); ylabel('Amplituda');
title('Izlaz sustava br. 2');grid;
168
28
11.9.2013.
Usporedba rekurzivnih i nerekurzivnih digitalnih filtera
Ni jedan postupak sinteze FIR i IIR filtera nije najbolja za sve primjene.
Izbor između FIR i IIR-filtera ovisi od parametara koji imaju najvedu težinu pri
projektiranju i primjeni zadanog filtera.
IIR-filter ima prednost ako se zahtjeva brzo projektiranje jer se čitave familije
frekvencijsko selektivnih filtera mogu projektirati direktnom zamjenom
koeficijenata (polova i nula) u sustavu jednadžbi analognih filtera.
Kod FIR-filtera ta mogudnost ne postoji, a vedina metoda sinteze je invertirana,
zahtjeva više vremena i složena je za realizaciju.
IIR-filter možemo proračunati ručnim kalkulatorom i tablicama analognih filtera
pod uvjetom da se ne razmatra fazna karakteristika. Cijena brzog projektiranja je i
smanjena fleksibilnost amplitudne karakteristike IIR-filtera.
Brzim proračunom IIR-eliptičnog niskofrekvencijskog filtera sa odličnom
amplitudnom karakteristikom dobiti demo jako nelinearnu faznu karakteristiku na
granicama propusta. Uz to, filter može oscilirati.
FIR možemo lako postidi linearnu fazu i stabilnost.
169
Ozren Bilan
Ozren Bilan
170
FIR-filteri imaju linearnu faznu karakteristiku ali su proračuni za dobivanje
aproksimacijske amplitudne karakteristike vrlo složeni. FIR-filteri nemaju
povratnu spregu pa su uvijek stabilni.
Bitan parametar je i sklopovska složenost i vrijeme potrebno za izvršavanje
funkcije filtera. Ovi faktori su direktno povezana sa redom filtera koji je
neophodan da bi se ostvarila željena amplitudna karakteristika.
• Ako zanemarimo faznu karakteristiku, mnogo vedu selektivnost i oštriju
amplitudnu karakteristiku možemo ostvariti sa IIR-filterom.
• Ako je značajna linearnost fazne karakteristike FIR-filteri su nezamjenjivi.
U pogledu utjecaja konačne dužine riječi, a posebno utjecanja kvantizacije
koeficijenata, FIR-filteri su znatno pogodniji za primjenu. Drugim riječima
izbor IIR ili FIR-filter ovisi o više faktora.
Bessel je optimalni filter ako treba minimizirati prebačaj i istitravanje.
Konačna odluka ovisi od inženjerske intuicije, proračuna, realizacije, a
naročito primjene filtera.
Ozren Bilan
171/171
29

Arheoakustičke pojave Nekromanteiona kod Aheronta

SERVIS I REZERVNI DIJELOVI 2015 - Poljo

02 Fiziološka i psihološka akustika (PDF 5897 KB)

Korekcije zvučničkog sustava i akustike prostorije

4. Sažimanje zvučnih datoteka (PDF 1341KB)

12_13 Sustavi ozvučenja

Arheoastronomska orijentacija Dioklecijanovih tvrđava

Arheoakustički učinci u arhitekturi drevne civilizacija

Arheoastronomska orijentacija Dioklecijanovih tvrđava

Brza provjera akustike prostora i zvučnika s bitperfect