Sličnost trouglova

www.matematiranje.com
A)
Najpre na polupravoj Oy uočimo date duži OP i PQ. Dalje razmišljamo koje duži su njima odgovarajuće na Ox .
To su OA koja odgovara duži OP i AB koja odgovara duži PQ.
Pogledajmo to i na slici:
Q
y
P
O
x
A 6cm B
9cm
Koristimo Talesovu teoremu:
OP : PQ = OA : AB = 9 : 6 i ako malo skratimo sa 3, dobijamo OP : PQ = OA : AB = 9 : 6 = 3: 2
B)
OQ : OP=?
Q
y
P
O
9cm
A 6cm
B
x
Duži OQ odgovara duž OB ( pazi : OB = 9+6 = 15) dok duži OP odgovara duž OA.
Dakle
OQ : OP = OB : OA = 15 : 9 i ako opet malo skratimo sa 3 , dobijamo
OQ : OP = OB : OA = 15 : 9 = 5 : 3
1
www.matematiranje.com
Proučimo najpre sliku.
Trouglovi OBQ i AOP su slični jer su pravougli i uglovi BOQ i POA su im jednaki kao unakrsni!
Najpre ćemo na trougao OBQ primeniti Pitagorinu teoremu i naći stranicu OB.
OB 2 = OQ 2 − QB 2
OB 2 = 42 − 32
OB 2 = 16 − 9
OB 2 = 7
OB = 7cm
A
6c
m
Q 4cm
O
3c
m
B
P
7cm
Odgovarajuće stranice smo obeležili “ crticama”.
2
www.matematiranje.com
QB : AP = BO : OA
QB : AP = QO : OP
3 : 6 = 4 : OP
3 : 6 = 7 : OA
3 ⋅ OP = 6 ⋅ 4
6⋅4
OP =
3
OP = 4cm
3 ⋅ OA = 6 ⋅ 7
6 7
3
OA = 2 7cm
OA =
Iskoristićemo činjenicu da težište deli težišnu duž u odnosu 2 : 1. Obeležimo tačku M na slici.
C
2
E
T
1
A
Dalje upotrbljavamo Talesovu teoremu:
CE : EA = CT : TM = 2 : 1
M
CT:TM=2:1
B
( Jer na CE odgovara CT, a na EA odgovara TM)
AC : AE = CM : TM = 3 : 1 ( Jer na AC odgovara CM ( 2+1 = 3) , a na AE odgovara TM)
3
www.matematiranje.com
Ovde je slika neophodna!
E
D
C
P
A
Uočimo trouglove ABP i DPE.
B
Oni su slični jer imaju jednake uglove BAP = DEP i BAP = DEP kao uglove sa paralelnim kracima
( a možemo ih posmatrati i kao uglove na transverzali) a i APB = DPE kao unakrsni uglovi.
Iz njihove sličnosti proizilazi da su odgovarajuće stranice proporcionalne . Pronađimo odgovarajuće stranice i
obeležimo ih ‘po naški’ crticama.
BP : PD = AB : DE Kako je tačka E na sredini stranice DC , biće:
BP : PD = AB : DE = 2 : 1
Nađimo najpre drugu osnovicu i dopunimo dati crtež:
4
www.matematiranje.com
b = 4cm
m = 5cm
a=?
a+b
m=
2
a+4
5=
→ a + 4 = 10 → a = 6cm
2
D
b=4cm
C
E
A
a=6cm
B
Trouglovi ABE i DEC su slični, jer imaju jednake uglove BAE = DCE i ABE = CDE , koji su
jednaki kao uglovi sa paralelnim kracima a i AEB = DEC ( unakrsni)
Obeležimo odgovarajuće stranice i postavimo odnos:
AE : EC = AB : DC = 6 : 4 ( i ako malo skratimo sa 2, dobijamo: )
AE : EC = 3 : 2
Proučimo najpre sliku :
5
www.matematiranje.com
P
x
6cm
C
4cm
D
A
9cm
B
Trouglovi ABP i DCP su slični jer imaju jednake uglove.
Obeležimo dužinu DP sa x, i obeležimo koja kojoj stranici odgovara sa crticama.
AB : DC = AP : DP
9 : 6 = (4 + x) : x
9 ⋅ x = 6 ⋅ (4 + x)
9 ⋅ x = 24 + 6 ⋅ x
9 ⋅ x − 6 ⋅ x = 24
3 x = 24
x = 8cm
Odavde je : DP = 8cm i AP = 8+4 = 12cm
6
www.matematiranje.com
x
3cm
8cm
N
F
12cm
Uočimo slične trouglove ABE i DCE , koji kao i u prethodnim zadacima imaju jednake uglove.
Uočimo visinu trougla ABE koja je očigledno EF = 3 + x i visinu trougla DCE koja je EN = x.
a : a1 = ha : ha1
12 : 8 = (3 + x) : x
12 x = 8(3 + x)
12 x = 24 + 8 x
12 x − 8 x = 24
4 x = 24
x = 6cm
Dakle, visina trougla EF = 3 + x = 3 + 6 = 9 cm
7
www.matematiranje.com
Kao i obično , prvo uočimo sličnost ova dva trougla. Oni imaju po dva jednaka ugla.
Dalje uočimo odgovarajuće stranice:
Q
4cm
β
C
12cm
R
6cm
β
A
15cm
B
P
Kako imamo podatke za najmanje duži ( sa po jednom crvenom crtkom) one će biti na početku proporcije...
BC : RQ = AC : PR
6 : 4 = 12 : PR
6 ⋅ PR = 4 ⋅12
48
PR =
6
PR = 8cm
BC : RQ = AB : PQ
6 : 4 = 15 : PQ
6 ⋅ PQ = 4 ⋅15
60
6
PQ = 10cm
PQ =
8
www.matematiranje.com
D
9cm
α
E
4cm
C
b
b
α
A
B
AED BCE jer imaju po dva ista ugla ( ugao alfa i prav ugao)
Crtkama smo obeležili odgovarajuće stranice, postavljamo proporciju:
b:4 = 9:b
b2 = 9 ⋅ 4
b 2 = 36
b = 6cm
9
www.matematiranje.com
ABC BCD jer imaju jednake uglove alfa i beta.
C
β
β
B 3cm
D
6cm
A
Uočimo dalje da nam stranice sa po tri crtice ( najduže) ne trebaju, jer nijedna od njih nema datu dužinu.
Moramo paziti jer je zajednička stranica BC istovremeno najkraća za trougao ABC i
srednja po dužini za
trougao BDC.
Dakle:
AB : BC = BC : BD
6 : BC = BC : 3
BC ⋅ BC = 6 ⋅ 3
2
BC = 18
BC = 18
BC = 9 ⋅ 2 = 3 2
10
www.matematiranje.com
Najpre ćemo izračunati ugao β , jer je trougao ABC pravougli a znamo da je jedan ugao 54 stepeni.
β = 900 − 540 = 360
Kako je i trougao BDC pravougli to je γ = 900 − 360 = 540
ADC je takođe pravougli , pa je α = 900 − 540 = 360
C
o
36 54
o
o
o
54
A
4cm D
36
9cm
B
Trouglovi ADC i BDC imaju jednake uglove , pa su slični.
11
www.matematiranje.com
AD : DC = DC : DB
4:h = h:9
h2 = 9 ⋅ 4
h 2 = 36
h = 6cm
Primenom Pitagorine teoreme ćemo naći dužinu hipotenuze prvog trougla.
c2 = a 2 + b2
c 2 = 6 2 + 82
c 2 = 36 + 64
c 2 = 100
c = 100
c = 10cm
Kako su trouglovi slični, odgovarajuće stranice su proporcionalne:
a:a' = c:c'
6 : a ' = 10 : 30
b:b' = c:c'
8 : b ' = 10 : 30
10 ⋅ a ' = 30 ⋅ 6
30 ⋅ 6
a' =
10
a ' = 18cm
10 ⋅ b ' = 30 ⋅ 8
30 ⋅ 8
b' =
10
b ' = 24cm
12
www.matematiranje.com
jarbol
Mare
x
1,5m
6m
0,5m
Uočimo slične trouglove i postavimo proporciju:
x :1,5 = 6 : 0,5
0,5 ⋅ x = 6 ⋅1,5
6 ⋅1,5
x=
0,5
x = 6 ⋅ 3 → x = 18m
Ovde ćemo upotrebiti:
a : a1 = b : b1 = c : c1 = O : O1 = k
Najpre se pitamo : koja je to stranica u sličnom trouglu data?
Pa pošto je b najduža stranica u prvom trouglu , to je b1 = 27cm .
Dalje računamo obim prvog trougla:
O = a+b+c
O = 12 + 18 + 8
O = 38cm
Sada koristimo deo ove velike proporcije koji nam treba:
13
www.matematiranje.com
b : b1 = O : O1
18 : 27 = 38 : O1
18 ⋅ O1 = 27 ⋅ 38
27 ⋅ 38
18
O1 = 57cm
O1 =
a : a1 = b : b1 = c : c1 = O : O1 = k
Najpre nađemo obim prvog trougla O = a + b + c → O = 18 + 6 + 21 → O = 45cm
O : O1 = k
45 : 30 = k
k = 1,5
a : a1 = k
b : b1 = k
c : c1 = k
18 : a1 = 1,5
6 : b1 = 1,5
21: c1 = 1,5
18 180
=
1,5 15
a1 = 12cm
a1 =
6 60
=
1,5 15
b1 = 4cm
b1 =
21 210
=
1,5 15
c1 = 14cm
c1 =
Pošto nam je slika data u prostoru, mi ćemo je nacrtati u ravni i uočiti veze između podataka.
14
www.matematiranje.com
B
B
9-4=5cm
9cm
A
A
12cm
4cm
4cm
A’
12cm
B’
A’
12cm
B’
Osenčeni trougao je pravougli i tu primenjujemo Pitagorinu teoremu.
AB 2 = 122 + 52
AB 2 = 144 + 25
AB 2 = 169
AB = 169
AB = 13cm
15
www.matematiranje.com
O
8 cm
B
12cm
8cm
S
12c
m
T
A
Uočimo trouglove OAT i BTS. Oni su jednakokraki i imaju jednake uglove. Dakle, slični su.
AT : TB = OT : TS
AT : TB = 12 : 8
AT : TB = 3 : 2
(skratimo sa 4)
16
www.matematiranje.com
q
S
10cm
O
So
18cm
4cm
Po
P
p
OSP OS0 P0 ,imaju jednake uglove.
SO : S0O = PS : P0 S
SO :10 = 18 : 4
4 ⋅ SO = 18 ⋅10
180
4
SO = 45cm
SO =
Najpre uočimo jednu nepravilnost kod ovog zadatka! Očigledno je AB duže od BP a na slici je AB=6cm a DP=8cm?
Bilo kako bilo, mi ćemo zadatak rešiti primenom sličnosti.
17
www.matematiranje.com
Uglovi BAD i BCD su nad istim lukom BD pa moraju biti isti, dakle zaključimo da je α = 360 .
Uglovi BPA i DPA su unakrsni i jednaki .
Dakle trouglovi ABP i DPE su slični jer imaju po dva ista ugla.
C
A
36
O
36
O
6cm
P
8cm
12cm
B
D
DC : AB = DP : BP
DC : 6 = 12 : 8
8 ⋅ DC = 12 ⋅ 6
72
DC =
8
DC = 9cm
Proučimo najpre sliku.
18
www.matematiranje.com
C
m
8c
6cm
S
m
4c
A
B
P
10cm
Trouglovi APS i ABC su slični jer imaju po dva ista ugla ( jedan prav a ugao BAC im je zajednički)
AB : AS = CB : SP
10 : 4 = 6 : SP
10 ⋅ SP = 4 ⋅ 6
24
SP =
10
SP = 2, 4cm
19

Download Report