Princip inercije Ako tijelo ostavimo na nekom mjestu ono će ostati mirovati ili se gibati jednolikom brzinom po pravcu. Razvio koncept dinamike Pretpostavio je da je gibanje tijela nečim uzrokovano Definirao tri osnovna zakona gibanja Gravitacija Elektro-magnetska sila (Lorentz-ova) Jaka sila Slaba sila proton + Elektromagnetska sila Gravitacijska sila elektron 1038 Jaka sila veže protone i neutrone u atomskoj jezgri proton + Slaba sila: n Raspad neutrona elektron Opis gibanja u klasičnoj mehanici uključuje izbor referentnog sustava. Uključuje izbor: ◦ Prostorno ishodište, ◦ Prostorne koordinate koje odreĎuju poziciju tijela ◦ Vremensko ishodište – mjerenje vremena. Dva referentna sustava se mogu razlikovati na više načina ◦ Različita vremenska ishodišta (istovremenost) ◦ Različita prostorna ishodišta i orijentacija osi ◦ Relativna brzina ili akceleracija Mudar odabir referentnog sustava može jako pomoći pronalaženju riješenja odreĎenog problema. Svi referentni sustavi nisu fizikalno ekvivalentni. ◦ Zakoni mehanike mogu biti formulirani u jednostavnoj formi u inercijalnim sustavima. ◦ Zakoni mehanike neovisni su o upotrijebljenom inercijalnom referentnom sustavu. Masa tijela je mjera inercije, tj. otpor tijela promjeni brzine (akceleraciji). Mjerna jedinica (SI): kilogram Mjerenja mase ◦ Troma masa ◦ Teška (gravitaciona) masa Inercija (tromost) je tendecija tijela da nastavi s gibanje kakvo je imalo prije promjene Masa je mjera tromosti, tj. otpor tijela da promjeni stanje svog gibanja uslijed djelovanja sile Zaštitni pojas Inercija (tromost) je tendecija tijela da nastavi s gibanje kakvo je imalo prije promjene Masa je mjera tromosti, tj. Otpor tijela da promjeni stanje svog gibanja uslijed djelovanja sile Neformalno: mjera djelovanja na tijelo koje uzrokuje njegovo pokretanje. Formalno: mjera akcije potrebne da se tijelo referentne mase (npr. jedinične mase) pokrene s odreĎenom akceleracijom. Mjerna jedinica (SI): njutn (N) ◦ Newton je definiran kao sila potrebna da ubrza masu jednog kilograma akceleracijom od 1 m/s2. kg m N 2 s “Tijelo će ostati u stanju mirovanja ili jednolikog gibanja po pravcu ako na njega ne djeluje niti jedna sila ili ako je zbroj svih sila koje djeluju na njega 0” Prvi zakon je poznat i kao princip inercije. To u stvari ponavlja Galileovu ideju inercije (tromosti). “Akceleracija tijela je direktno proporcionalna ukupnoj sili koja djeluje na to tijelo, a inverzno proporcionalna njegovoj masi.” F m a Demo: povlačenje stolnjaka vaza s cvijećem naglo povući stolnjak Zbog svoje tromosti vaza ostaje na mjestu jer skoro nikakva sila ne djeluije na vazu ako stolnjak povučemo brzo. TakoĎer se može primijeniti i u 3 - dimezije ◦ Akceleracija može takoĎer biti uzrokovana promjenom smjera brzine prikazuje vektorsku sumu svih vanjskih sila koje djeluju na tijelo. raspisano po komponentama u 3D Što je veća sila koja djeluje na objekt, veće je ubrzanje tog objekta. Sila mala sila velika sila ubrzanje malo ubrzanje veliko ubrzanje Što je veća masa objekta, manje je njegovo ubrzanje, ako djelujemo na njega istom silom. mala masa veliko ubrzanje velika masa malo ubrzanje Ubrzanje slobodnog pada Newtonov drugi zakon objašnjava zašto teški i laki predmeti padaju s istim ubrzanjem. Omjer sile teže i mase je uvijek isti (sila teža ovisi o masi) • Svatko može sigurno leći ili sjesti na krevet od čavala, dok god ima dovoljno čavala da je sila po čavlu mala. • Težina od 100 kg(!?) se distribuira na preko 300 čavala. Sila po čavlu je 1/3 kg. • Trebate 5kg po čavlu da bi probušitl kožu. • Jedina stvar koju nikad ne želite učiniti s krevetom od čavala je skočiti u krevet! • Veliko usporavanje znači veliku silu!!!! Tijelo se pod djelovanjem sile giba na takav način da je vremenska promjena (derivacija) njegovog momenta jednaka sili. dp F dt F Vektor koji opisuje veličinu i smjer sile koja djeluje na tijelo p Vector koji opisuje veličinu i smjer impulsa (momenta) ili “količine gibanja” tijela. Impuls ili “količina gibanja” p mv m Skalarna veličina koja opisuje količinu materije (ili tromost) nekog tijela. v Vektorska veličina koja opisuje brzinu i smjer gibanja nekog tijela. r dr v dt Vektorska veličina koja opisuje položaj i udaljenost tijela relativno prema odabranom ishodištu i osima našeg referentnog sustava. Definicija sile je kompletna i točna samo onda kad definiramo što je to “masa”. Uobičajena formulacija Newtonovog drugog zakona Pretpostavimo li da je masa, m, tijela konstantna veličina možemo pisati: dp d dv F mv m dt dt dt Uobičajena formulacija Newtonovog drugog zakona: F ma Gdje je vektor akceleracije a definiran kao vremenska promjena brzine dv a dt Uvodimo simboličku pokratu: dr r dt d 2r r 2 dt Newtonov drugi zakon i mnoge druge veličine mogu biti pisane na slijedeći način: F mv ar v r F mr av Fp Newtonov drugi zakon je vektorska diferencijalna jednadžba drugog reda. mr F U jednoj dimenziji reducira se na x(t) F(t) / m Što se može integrirati 1 x(t) F(t)dt m x(t ) x(t )dt Za konstantne sile dobivamo poznate izraze F v(t ) x(t ) t vo m F 2 x(t) t vot xo 2m “Ako tijelo A djeluje silom na tijelo B (akcija), tada tijelo B djeluje istom silom na tijelo A ali suprotnog smjera (reakcija). Ove dvije sile su iste veličine ali suprotnog smjera. Ovaj zakon vrijedi u zatvorenom sustavu” FAB FB A 1 r F12 F21 (Budite pažljivi s minus predznakom! Ovo je vektorska jednadžba!) 2 F12 n i n’ ◦ n je normalna sila , sila kojom stol djeluje na TV ◦ n je uvijek okomita na podlogu ◦ n’ je reakcija - TV djeluje na stol ◦ n = - n’ Fg i Fg’ ◦ Fg je sila kojom Zemlja djeluje na tijelo (TV) ◦ Fg’ je sila kojom tijelo djeluje na Zemlju ◦ Fg = -Fg’ Pretpostavimo da dva tijela tvore idealan izolirani sustav. Pretpostavimo konstantne mase Akceleracije tih dvaju tijela su u suprotnom smjeru. Omjer akceleracija jednak je inverznom omjeru masa tih dvaju tijela. F1 F2 dp1 dp 2 dt dt d d m1v1 m2v2 dt dt dv1 dv2 m1 m2 dt dt m2 a1 m1 a2 Mjerimo relativnu akceleraciju tijela nepoznate mase i referentne (jedinične) mase. a1 m2 a2 Usporedba težina na vagi. ◦ upotrebljavano F= ma & G=mg ◦ g je novisno o masi tijela. ◦ ekvivalencija trome i teške mase !! Pretpostavke ◦ Objekti se ponašaju kao čestice (sva masa je koncentrirana u jednoj točki) Možemo ignorirati rotaciono gibanje (za sada) ◦ Mase opruga ili niti (njihalo) su zanemarive ◦ Zanimaju nas samo sile koje djeluju na tijelo Troma masa: ◦ Masa tijela odreĎena akceleracijom koju tijelo dobiva pod djelovanjem vanjske sile. Teška masa: ◦ Masa odreĎena gravitacionim privlačenjem meĎu tijelima. Hipoteza da su te dvije mase ekvivalentne naziva se “princip ekvivalencije”. 1. 2. 3. Prvi test principa ekvivalencije izveo je Galileo (Pisa). Newton je razmatrao taj problem koristeći njihala iste duljine imase ali načinjenih od različitih materijala. Recentni eksperimenti daju jednakost do na nekoliko djelova u 1012. U stvarnosti je nemoguće imati izolirani sistem ipak… Treći Newtonov zakon implicira: d p1 p2 0 dt p1 p2 constant Implicira zakon očuvanja količine gibanja Vjeruje se da striktno vrijedi pod svim uvijetima. Esencijalno se koristi kao postulat/osnova moderne fizike. Zakoni gibanja imaju smisla samo u inercijalnim referentnim sustavima. Referentni sustav smatramo inercijalnim ako se u njemu tijelo na koje ne djeluje nikakva vanjska sila giba jednoliko po pravcu ili miruje. Ako Newtonovi zakoni vrijede u datom referentnom sustavu onda vrijede u bilo kojem referentnom sustavu koji se giba jednolikom brzinom relativno prema prvom sustavu. Promjena referentnog sustava koja uključuje konstantnu brzinu ne mijenja jednadžbe. d (v (t ) vo ) dv (t ) F m m dt dt Ovo se naziva Galilejeva invarijantnost ili princip Newtonovske relativnosti Ne postoji nešto što bi mogli proglasiti “apsolutnim mirovanjem” ili “apsolutnim inercijalnim referentnim sustavom” I prostor i vrijeme se pretpostavljeju/zahtijevaju da su homogeni. Drugi zakon za fiksno tijelo: dp F dt d mv dv F m mr dt dt Diferencijalna jednadžba drugog reda. Ako znamo F (silu) i početne i rubne uvijete ta jednadžbu možemo integrirati da bismo našli položaj tijela kao funkciju vremena: r r (t ) Sila općenito može biti funkcija bilo koje kombinacije položaja, brzine i vremena. Općenito ju označavamo kao: Uz podsjetnik: • Bez vanjske sile tijelo ostaje na miru ili se giba jednoliko po pravcu. Činjenica da je vanjska sila jednaka nuli može takoĎer značiti da je suma svih sila koje djeluju na tijelo jednaka nuli. • • F r , v, t Uz djelovanje vanjske sile tijelo dobiva akceleraciju koja je u smjeru sile i ovisi o masi tijela. Fi 0 i Svakoj akciji suprostavlja se reakcija jednaka po iznosu ali suprotnog smjera. a F m Neke osnovne informacije Kada se primjenjuju Newtonovi zakoni, interesiraju nas samo vanjske sile! Zašto? Jer, kao što je opisano Newtonovim prvim zakonom, objekt će zadržati svoje sadašnje kretanje, sve dok na njega ne djeluje neka vanjska sila. Normalna sila, N: Napetost, T: Dijagram slobodnog tijela Sila reakcije koja reagira na gravitacijsku silu. Njezin pravac je okomit na površinu tijela. Sila reakcije opruge na vanjsku silu na nju. Grafički alat koji je dijagram vanjskih sila na objekt te je izuzetno koristan analizu snaga i pokreta! Crta se samo na objektu. Dijagram slobodnog tijela • Dijagram sila koje djeluju na tijelo 1. 2. 3. 4. 5. 6. Odaberite točku na objektu (hvatište) Identificirajte sve sile koje djeluju samo na odabrani objekt Definirajte referentni sustav s određenim pozitivnim i negativnim osima Nacrtati strelice koje predstavljaju vektore sila u odabranoj točki Izrazite jednadžbu sila Izrazite sile po komponentama FN FN Što mislite koje sile djeluju na objekt? FG M g M FG M g FT Sila otpora koja dolazi od podloge FT Koje sile djeluju u dizalu? Gravitaciona sila FN Me FG M g Sila kojom dižemo dizalo (napetost) FN Što je s paketom u dizalu? m FG M g Gravitaciona sila F GB m g Gravitaciona sila Normalna sila F BG m g 45 MeĎusobna privlačna sila izmeĎu bilo koja dva tijela Izražena Newtonovim zakonom univerzalne gravitacije: m1 m2 Fg G 2 r Ne mogu čitati jer moji nisu uplatili račun za gravitaciju Iznos gravitacione sile koja djeluje na tijelo mase m u blizini Zemljine površine naziva se težina tijela G. Gravitaciona sila daje akceleraciju od g=9.81 m/s2 što znači da je sila oblika G mg Specijalni slučaj drugog Newtonovog zakona Primjer: gimnastičarka mase 51kg ima težinu od 500N (jedinice!!!). Težina nije inherentno svojstvo tijela ◦ masa je inherentno svojstvo Težina ovisi o lokaciji Bez težine? • da li stvarno? (NASA) Težina djeluje tako kao da joj je hvatište u težištu tijela Njoj se suprotstavlja normalna sila koja dolazi od podloge. Normalne sile dolaze zbog odbijanja atoma Normalne sile su okomite na površinu Da li težina i normalna sila predstavljaju par akcija reakcija? Napetost nit dolazi kod užadi ili opruga i ovisi o pojedinačnoj konfiguraciji sila. Za niti bez mase napetost je konstantna duž cijele dužine niti. Pretpostavimo da imamo nit s masom, te je potrebno u računu uzeti u obzir i njezinu težinu. U statičkom slučaju: T1 T 2 wR zašto? Zapamtite, težina je sila te je njen smjer važan!! Razbijte problem na manje dijelove. Definirajte sile na manjim dijelovima problema. Obratite pažnju na parove akcija – reakcija. (VAŽNO). Kolica mase mass m1 postavljena su na kosinu nagiba 15o. Užetom su vezana s kantom pijeska kao na slici. Koju masu pijeska m2 moramo objesiti da bi se kolica gibala jednolikom brzinom? (pretpostavite da nema trenja) Primjer dijagrama slobodnog tijela Problem: Dijete drži sanjke na snježnoj padini (nema trenja) kao na slici. Ako sanjke imaju težinu od 77.0 N, naĎi napetost užeta T i normalnu silu n kojom sanjke pritišću podlogu. • • Odaberite koordinatni sustav takav da je x – os orijentirana duž kosine, a yos je okomita na podlogu Zamjenite gravitacionu silu s njenim komponentama 1. Uvodimo koordinatni sustav: Oy: y – okomito na podlogu Ox: x – duž kosine Početni podaci: kut: a=30° težina: w=77.0 N Napetost užeta T=? Normalna sila n=? F 0 Ox : Fx T mg sin a 0, T mg (sin 30 ) 77.0 N (sin 30 ) 38.5 N Oy : Fy n mg cos a 0, T mg (cos 30 ) 77.0 N (cos 30 ) 66.7 N Sanduk mase M se nalazi na kosini bez trenja koja je nagnuta pod kutom q. a) Odrediti ubrzanje sanduka nakon što je otpušten. y n x q F Fg n ma n Fx Max Fgx Mg sin q Dijagram Slobodnog tijela x q Fg y Pretpostavimo da je sanduk pušten na vrhu kosine duljine d. Koliko dugo treba sanduku da dođe do dna i kolika je njegova brzina pri dnu? ax g sin q F= -Mg F Ma n F n mg cos q 0 y y gy 1 2 1 v t a xt g sin q t 2 t d ix 2 2 vxf vix axt g sin q 2d g sin q 2d 2dg sin q g sin q vxf 2dg sin q Mikroskopski površine nisu idealno glatke već se satoje od neravnina. Te neravnine uzrokuju trenje. Koja sila u stvari uzrokuje trenje? Metali imaju mnogo kompliciranije trenje. Kako površine dolaze u bliski kontakt atomi podliježu hladnom varenju. Razbijanje tih struktura doprinosi trenju. Broj atoma u kontaktu definira kako su jako plohe pritisnute jedna o drugu. Eksperimentalno je otkriveno da je iznos trenja proporcionalan komponenti težine normalnoj (okomitoj) na podlogu. Statičko trenje: sila trenja opire se sili koja nastoji pomaknuti tijelo. Kinetičko trenje: Sila trenja koja dolazi zbog gibanja tijela. http://www.physics.usyd.edu.au/~ gfl/Lecture Kako se tijelo ne giba → nema sile Empirijska formula gdje je s koeficijent statičkog trenja Sila trenja Ff uravnotežuje vanjsku silu do trenutka kad je F=Ff. Sila otpora koja djeluje na tijelo sve do neposredno prije početka gibanja Što nam kaže ova formula? Sila trenja raste dok ne dosegne neku graničnu vrijednost!!! Kinetičko trenje suprostavlja se gibanju tijela gdje je K koeficijent kinetičkog trenja Izvan granične vrijednosti, nema više statičkog trenja, već imamo kinetičko trenje (trenje gibanja). Za razliku od statičkog trenja, kinetičko trenje ima fiksnu vrijednost i ne ovisi o vanjskoj sili. (Da li je to stvarno točno?) Općenito, s je veći od K (npr. čelik - čelik; s=0.74 and K=0.57) Nema relativnog gibanja Relativno gibanje Nema klizanja Samo što nije došlo do klizanja Klizanje Fx mx mg sin q f Početni položaj x(0) = 0 Početna brzina v(0) = 0 Fy my N mg cos q 0 ali y f N mx mg sin q mg cosq O f N x g sinq cosq x g sinq cosq t G mg q x x 1 g sin q cosq t 2 2 N mg cosq Konj tvrdi da “zbog trećeg Newtonovog zakona kako god ja jako vukao kola i kola će mene vući istom silom. Kako uopće ja mogu povući kola?!?” Sila na sanjke kojom vuče čovjek Sila trenja na sanjke zbog podloge Sila na podlogu zbog sanjki Sila kojom sanjke djeluju na čovjeka Sila trenja na čovjeka zbog podloge Sila na čovjeka zbog podloge Newtonovi zakoni djeluju savršeno u inercijalnim sustavima Za promatrače koji miruju ili se gibaju jednolikom brzinom u odnosu na situaciju koju promatraju svi Newtonovi zakoni su isti premda su neke veličine koje opisujemo (npr. brzina) relativne. Ako pretpostavimo da imamo akcelerirajuće (ili rotirajuće) sustave (neinercijalne) tada Newtonovi zakoni više ne vrijede!!! ALI mi možemo učiniti da Newtonovi zakoni vrijede i u neinercijalnim sustavima ako izmislimo fiktivne sile koje u stvari ne postoje (pod time smatramo da ne postoji fizikalni izvor sile). Tako u rotirajućim sustavima možemo dodati centrifugalnu silu da uravnotežimo centripetalnu silu! Općenito sile nisu konstantne. Primjer toga je Hooke-ov zakon za oprugu, gdje je sila dana izrazom: - k je konstanta opruge Da bi izračunali Newtonove zakone s ne-konstantnim silama, potrebno je integrirati razne vektorske veličine što je pipkav posao. U slijedećim predavanjima vidjeti ćemo da se takvi problemi mnogo jednostavnije rješavaju koristeći koncepte rada i energije. Elastična svojstva tijela Mi smo do sada pretpostavljali da tijela ne mijenjaju svoj oblik kada na njih djeluju vanjske sile. Dali je to realno? NE. U stvarnosti, tijela se deformiraju kako vanjske sile djeluju na njih, iako se unutrašnje sile odupiru deformaciji. Deformaciju tijela možemo promatrati kao: Naprezanje i deformaciju Naprezanje: veličina proporcionalna sili uzrokuje deformacije. Deformacija: Mjera za stupanj deformacije To je empirijski poznato da je za mala naprezanja, deformacija proporcionalna sili naprezanja Konstante proporcionalnosti se zovu moduli elastičnosti Modulu elastičnosti sila naprezanja deformacija Tipovi modula elastičnosti 1. 2. 3. Young-ov modul: mjeri elastičnost u jednoj dimenziji (duljina) Shear-ov modul: mjeri elastičnost u ravnini Volumni modul elastičnosti Young-ov modul elastičnosti Uzmimo šipku površine poprečnog presjeka A i početne duljine Li. Li Fex Lf=Li+DL Nakon rastezanja Fex=Fin površina poprečnog presjeka Fex Vlačno naprezanje Vlačno naprezanje A Vlačna deformacija Vlačna deformacija Fex Young-ov modul definiran je kao Koja je jedinica Youngovog modula? Eksperimentalna zapažanja 1. 2. Fex Y Vlačno naprezanje A Vlačna deformacija DL Li Sila po površini DL Li Koristi se za karakterizaciju deformacije štapa ili žice kad ih rastežemo ili komprimiramo Za fiksne vanjske sile, promjena u dužini je proporcionalna samoj dužine Sila potrebne za generiranje deformacije proporcionalna je površini poprečnog presjeka Granica elastičnosti : Najveće naprezanje koje se može primijeniti na tijelo prije nego što se trajno deformira Ciljevi: i) Razumijevanje osobine valnog gibanja, posebice sinusne valove i jednostavna harmonička gibanja, te razumjeti matematički opis takvih valova; ii) Razumijevanje važnosti jednostavnog harmoničkog gibanja u velikom broju različitih fizikalnih situacija; iii) Razumijevanje principa linearne superpozicije valova i što se podrazumijeva pod konstruktivnom ili destruktivnom interferencijom; koherencija; iv) rješavanje jednostavnih problema putujućih valova. • Mehanički valovi (vidi http://library.thinkquest.org/27948/waves.html): • • Mehanički val je poremećaj koji putuje kroz neki materijal. Čestica se u mediju giba na način koji ovisi o vrsti vala. • Transverzalni val: pomaci okomito (poprečno) na smjer putovanja vala, tj. val na niti. • Longitudinalni val: pomaci su u istom smjeru kao i smjer putovanja vala, tj. valovi u plinu (zvuk). • Plin u ravnoteži – nema poremećaja Zajedničke značajke valova: dobro definiran uvjet ravnoteže (npr. opruga ispružena u ravnoj liniji ili plin u cijevi ima konstantnu gustoću) Medij kao cjelina se ne miče: poremećaj putuje s dobro definiranom brzino v, brzina vala. mora se primijeniti energija na sustav da bi se generirao poremećaj. Poremećaj prenosi energiju iz jedne pozicije na drugu. Periodički valovi: Periodički valovi se generiraju ako se sila koja djeluje varira u vremenu na periodičan način. Oni imaju dobro definiranu: a) Frekvencija f: broj puta koliko seu sekundi uzorak ponavlja. (Jedinica: 1 Hertz = 1 ciklus / s = 1 s-1) b) kružna frekvencija: 2f (rad / s) c) Period: vrijeme izmeĎu ponavljajućih uzoraka. T 1 2 f (s) F kx Kada je x pozitivan F je negativna Kada je u ravnoteži (x = 0) F = 0; QuickTime™ and a Animation decompressor are needed to see this picture. Kada je x negativna, F je pozitivna • Hooke-ov zakon: Sila opruge je proporcionalna produljenju ili kompresiji opruge od ravnotežnog položaja (za male x). Fx kx ravnotežni položaj FX = 0 x=0 x gdje je x pomak iz položaja ravnoteže i k konstanta proporcionalnosti. (konstanta opruge) zamislite gibanje objekta (bez trenje) obješenog na idealnu oprugu (ona koja se ponaša u skladu sa Hookeovim zakonom). Kako se pomak, brzina i ubrzanje objekta mijenjaju s vremenom? Analogija: jednostavno harmoničko gibanje duž x ↔ x komponenta jednolikog kružnog gibanja A T A : amplituda (duljina, m)T : period (vrijeme, s) Sinusni valovi: kontinuirani slijed transverzalnih sinusoidalnih poremećaja. Valna duljina (l): duljina periodičnog oblika (m). Točka se pomiče gore-dolje uz period T, a križić pomaknut za t - x/v. To znači da križić ima isti obrazac kao u ranije vrijeme t - x/v. Marker se pomiče uzduž osi za udaljenost l u vremenu T. Prema tome brzina vala: v T f Mi ćemo pretpostaviti da se v ne mijenja s l i f. Ovo ne vrijedi i za svjetlost koja putuje kroz medij jer brzina ovisi o frekvenciji (disperzije svjetlosti). Primjer: Kolika je valna duljina zvučnog vala, ako je frekvencija f = 262 Hz (srednji C na glasoviru)? Brzina zvuka = 344 m / s v 344ms 1 f 262 s 1 1.31m A T x Acost T 2 Amplituda: A Period: T Frekvencija: f = 1/T Kutna frekvencija: T 2 , f 2 Matematički opis valova Transverzalni valovi: Vertikalni pomak vala varira s vremenom. U odreĎenom vremenu, val ima dobro definiran profil a pomaka je različit za različite čestice. Amplituda A je maksimalni pomak u smjeru y (m) Valni dijagram (val s lijeva na desno): y y x=0 A T/4 T/2 3T/4 T t -A t=0 l/4 l/2 3l/4 l x -A Vertikalni pomak s vremenom. y ( x 0, t ) A sin v A 2 t A sin t T Profil vala u t = 0. y( x, t 0) Asin kx Sinusoidalni val je najjednostavniji primjer periodičnog kontinuiranog vala i može se koristi za konstrukciju složenijih valova Valna funkcija (val putuje s lijeva na desno): Općenito valna funkcija ovisi o x i t: y = y (x, t) U trenutku t, čestica je pomaknuta od x = 0 za t-x/v y ( x 0, t ) A sin t y ( x, t ) A sin t 2 Definiramo valni broj k: k (radian/m) x t x A sin 2 v T y( x, t ) A sin(t kx) Valna funkcija (val putuje s desna na lijevo): Vremenski pomak je t + x/v. Dakle, valna funkcija je: x t x y ( x, t ) A sin t A sin 2 A sin(t kx) v T Faza valne je: t kx (u radijanima) Valna funkcija y A sin(kx t ) pretpostavlja da je vertikalni pomak y nula u x = 0 i t = 0, a na to ne mora biti slučaj. Ako nije, izražavamo općenitu valnu funkciju u obliku y A sin(kx t ) Često se faza φ uključuje da se brijeg (vrh) vala prebaci vremenu: Faza od 90-stupnjeva mijenja sinus u kosinus cos t sin t 2 Kad je ubrzanje objekta proporcionalno njegovom pomaku iz ravnotežnog položaja i usmjereno je u smjeru suprotnom od pomaka, objekt se giba jednostavnim harmoničkim gibanjem. Položaj x jednostavnog harmonijskog oscilatora mijenja periodično u vremenu prema izrazu x A cos(t ) • Brzina i ubrzanje jednostavnog harmoničkog oscilatora su: dx v A sin(t ) dt dv d 2 x a 2 2 A cos(t ) dt dt v A2 x 2 x Brzina je 90° “izvan faze” s x: Kad je x u maksimumu, v je u minimumu .... Ubrzanje je 180° “izvan faze” s x T v T a F k a x m m T Nađite vmax pomoću zakona očuvanja E x A cos t v vmax sin t a amax cos t 1 2 1 2 kA mvmax 2 2 k vmax A m Nađite amax koristeći II Newtonov zakon F = ma kx ma kA cos t mamax cos t amax k A m Projekcija na os kružno gibanje sa stalnom kutnom brzinom Jednostavno harmoničko gibanje 1 f T 2 2 f T x A cos( t ) v Asin( t ) a 2 A(cos t ) k m • • • • • • • Progresivni val giba se u odreĎenom smjeru i pritom se energija prenosi sa čestice na česticu. Stojni val je takav val kod kojeg neke čestice titraju, a neke stalno miruju. Suprotno progresivnom valu, pri stojnom se valu energija ne širi prostorom. Valni paket je valno gibanje ograničeno na odreĎeni dio prostora Dx. Dok čestica napravi jedan puni titraj, val prevali odreĎeni put koji zovemo valna duljina . Fazna brzina vala (njom se širi odreĎena faza vala) povezana je s valnom duljinom i frekvencijom, v=f. Brzina vala ovisi o osobinama sredstva kroz koje prolazi. Brzina i valna duljina se mijenjaju, ali frekvencija ostaje ista. Brzina širenja energije zove se grupna brzina.
© Copyright 2024 Paperzz
