1.6 ΜΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ 1 : ΟΡΙΑ ΤΗΣ ΜΟΡΦΗΣ   0 f ( x) με lim g ( x )  0 και x  x0 x x0 g ( x ) 0 lim f ( x )   ,    . Για να υπολογίσουμε ένα τέτοιο όριο εργαζόμαστε ως εξής : Με το συμβολισμό εννοούμε ότι έχουμε όριο της μορφής lim x  x0 1) παραγοντοποιώ τον παρανομαστή και απομονώνω τον παράγοντα που τον μηδενίζει   f ( x) 1  lim  "  "  (1) δηλ. lim v x  x0 g ( x ) x  x0 ( x  x ) 0   2) υπολογίζω το όριο του περισσεύματος   1  3) υπολογίζω το lim  v x  x0 ( x  x )  0     1    α) αν ( x  x0 ) v  0 κοντά στο x0 τότε : lim  v x  x0 ( x  x )  0     1    β) αν ( x  x0 ) v  0 κοντά στο x0 τότε : lim  v x  x0 ( x  x )  0   γ) αν ( x  x0 ) v αλλάζει πρόσημο εκατέρωθεν του x0 , κάνουμε χρήση πλευρικών   1  δεν υπάρχει, αφού τα πλευρικά θα ορίων και διαπιστώνουμε ότι το lim  x  x0 ( x  x ) v  0   είναι το ένα   και το άλλο   . f ( x) 4) Υπολογίζουμε το όριο lim από την (1) εκτελώντας τις πράξεις. x x0 g ( x )  Συμπέρασμα : όριο της μορφής είναι είτε   , είτε   , είτε δεν υπάρχει. 0 ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : 1) (ΕΦΑΡΜΟΓΗ 1 σελ. 180 σχολικό βιβλίο) Να βρεθούν τα όρια : x 2  5x  6  3x  2 i. ii. lim lim x 1 x  2 x 1 ( x  2) 2 Λύση 2 i.  1  x 2  5x  6 0 lim  lim   ( x 2  5 x  6)  έχω :  x 1 x 1 x  1 x 1   lim x  1  0 και x  1  0 κοντά στο x0  1 , άρα lim x 1 x 1 1   x 1 lim ( x 2  5x  6)  2 x 1  1  Άρα lim   ( x 2  5 x  6)     2   x 1 x  1   ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ Σελίδα 1 ΕΝΟΤΗΤΑ 1.6 ΜΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ 4  1   3x  2 0  (3x  2)  έχω : lim  lim  2 2 x 2 ( x  2) x  2 ( x  2)   ii. 1   x 2 ( x  2) 2 lim ( x  2) 2  0 και ( x  2) 2  0 κοντά στο x0  2 , άρα lim x 2 lim (3x  2)  4 x 2  1    (4)    (  3 x  2 ) Άρα lim  x 2 ( x  2) 2   2) (ΕΦΑΡΜΟΓΗ 2 σελ. 181 σχολικό βιβλίο) x2  x 1 Δίνεται η συνάρτηση f ( x)  . Να εξετάσετε αν υπάρχει το lim f ( x) . x2 x2 Λύση : 3 x2  x 1 0  1  lim f ( x)  lim  lim   ( x 2  x  1)  x 2 x 2 x 2 x  2 x2   lim ( x  2)  0 αλλά το x  2 δεν διατηρεί σταθερό πρόσημο κοντά στο x0  2 , οπότε x 2 πρέπει να διακρίνω περιπτώσεις : 1   και lim ( x 2  x  1)  3 x 2 x 2 x  2  1  άρα lim f ( x)  lim   ( x 2  x  1)     3   x 2 x 2  x  2  1  Αν x  2  0  x  2 τότε lim   και lim ( x 2  x  1)  3 x 2 x 2 x  2  1  άρα lim f ( x)  lim   ( x 2  x  1)     3   x 2 x 2  x  2  Παρατηρούμε ότι τα πλευρικά όρια δεν είναι ισα αφού lim f ( x)   , lim f ( x)    Αν x  2  0  x  2 τότε lim x 2 x 2 Άρα το lim f ( x) δεν υπάρχει. x2 x2 x  4 16  x 2 3) Να βρείτε αν υπάρχει το lim Λύση : 6 x2 x2 0 x  2  1  lim  lim  lim   2 x  4 16  x x 4 ( 4  x)(4  x) x 4 4  x 4  x   lim (4  x)  0 αλλά το 4  x δεν διατηρεί σταθερό πρόσημο κοντά στο x0  4 , οπότε x 4 πρέπει να διακρίνω περιπτώσεις :  Αν 4  x  0  x  4 τότε lim x 4 1 x2 6 3   και lim   x 4 4  x 4 x 8 4 x  2 3  1 άρα lim         x 4  4  x 4  x  4 1 x2 6 3  Αν 4  x  0  x  4 τότε lim   και lim   x 4 4  x x 4 4  x 8 4 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ www.pitetragono.gr Σελίδα 2 ΕΝΟΤΗΤΑ 1.6 ΜΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ x  2 3  1 άρα lim         x 4  4  x 4  x  4 x2 δεν υπάρχει. x  4 16  x 2 Παρατηρούμε ότι τα πλευρικά όρια δεν είναι ισα άρα το lim ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ 2 : ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΑ ΟΡΙΑ ΤΗΣ ΜΟΡΦΗΣ  0 Ζητείται πλήρης διερεύνηση για τις διάφορες τιμές των παραμέτρων. Όπως και στα μη παραμετρικά παραγοντοποιώ τον παρανομαστή και απομονώνω τον παράγοντα που τον   f ( x) 1  lim  "  "  και υπολογίζω το όριο για τις μηδενίζει δηλ. lim v x  x0 g ( x ) x  x0 ( x  x ) 0   διάφορες τιμές των παραμέτρων. ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : 2x   για τις διάφορες τιμές του    . x 1 x  2 x 2  x 4) Να βρείτε, εφόσον υπάρχει, το όριο lim 3 (Διερεύνηση) Λύση :  1 2x    2x   2x   2x      lim  lim  lim 3  lim 2 2 2 2 x 1 ( x  1) x 1 x  2 x  x x 1 x( x  2 x  1) x 1 x ( x  1) x   2x    2   Έχω lim     2 , πρέπει να ξέρω το πρόσημο του «περισσεύματος» x 1 x 1 καθώς θα επηρεάσει το τελικό όριο, γι' αυτό διακρίνω περιπτώσεις :  1 2x    1      Αν   2  0    2 , lim   , άρα lim  2 2 x 1 ( x  1) x 1 ( x  1) x    1 2x    1     lim  , άρα   x 1 ( x  1) 2 x 1 ( x  1) 2 x    Αν   2  0    2 , lim  Αν   2  0    2 , τότε lim x 1 0 0 2 0 2 2x  2 2( x  1)  1 2  lim   lim  lim   2 2 x   1 x   1 x   1 x( x  1) x  2x  x x( x  1)  x 1 x  3 2  2 x  1 x lim ( x  1)  0 αλλά το x  1 δεν διατηρεί σταθερό πρόσημο κοντά στο x0  1 , οπότε lim x 1 πρέπει να διακρίνω περιπτώσεις : 1  1 2   και lim       (2)   x 1 x  1 x 1  x  1 x  1  1 2  Αν x  1  0  x  1 τότε lim   και lim       (2)   x 1 x  1 x 1  x  1 x   1 2 Παρατηρούμε ότι τα πλευρικά όρια δεν είναι ισα άρα το lim    δεν υπάρχει. x 1 x  1 x    Αν x  1  0  x  1 τότε lim ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ www.pitetragono.gr Σελίδα 3 ΕΝΟΤΗΤΑ 1.6 ΜΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ 5) (Άσκηση 3 σελ. 182 σχολικό βιβλίο Β΄ Ομάδας) (  1) x 2  x  2 Δίνεται η συνάρτηση f ( x)  . Να βρείτε το    ώστε να υπάρχει x2 1 υπάρχει στο  το lim f ( x) . x1 Λύση :  1 (  1) x 2  x  2  (  1) x 2  x  2 (  1) x 2  x  2   lim  lim   x 1  x  1 x 1 x 1 x 1 x 1 ( x  1)( x  1) x2 1   2 (  1) x  x  2   2 Έχω lim , πρέπει να ξέρω το πρόσημο του «περισσεύματος»  x 1 x 1 2 καθώς θα επηρεάσει το τελικό όριο, γι’αυτό διακρίνω περιπτώσεις : lim f ( x)  lim  2  0    2  0    2 , τότε : lim ( x  1)  0 αλλά το x  1 δεν διατηρεί x 1 2 σταθερό πρόσημο κοντά στο x0  1 , οπότε πρέπει να διακρίνω περιπτώσεις : 1  Αν x  1  0  x  1 τότε lim   , άρα lim f ( x)   x 1 x 1 x  1 1  Αν x  1  0  x  1 τότε lim   , άρα lim f ( x)   x 1 x 1 x  1 Παρατηρούμε ότι τα πλευρικά όρια δεν είναι ισα άρα το lim f ( x) δεν υπάρχει.  Αν x1  2  0    2  0    2 , τότε : lim ( x  1)  0 αλλά το x  1 δεν διατηρεί x 1 2 σταθερό πρόσημο κοντά στο x0  1 , οπότε πρέπει να διακρίνω περιπτώσεις : 1  Αν x  1  0  x  1 τότε lim   , άρα lim f ( x)   x 1 x 1 x  1 1  Αν x  1  0  x  1 τότε lim   , άρα lim f ( x)   x 1 x 1 x  1 Παρατηρούμε ότι τα πλευρικά όρια δεν είναι ισα άρα το lim f ( x) δεν υπάρχει.  Αν x1  2 0 ( x  1)( x  2) 3 x2  x  2 0    Αν  lim  0    2 τότε lim f ( x)  lim 2 x 1 x 1 ( x  1)( x  1) x 1 2 2 x 1 Άρα το lim f ( x) υπάρχει στο  μόνο αν   2 . x1 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ www.pitetragono.gr Σελίδα 4 ΕΝΟΤΗΤΑ 1.6 ΜΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ 3 : ΜΗ ΒΟΗΘΗΤΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΚΑΙ Όταν γνωρίζουμε το όριο μιας παράστασης που περιέχει μια συνάρτηση f (x ) και θέλουμε να βρούμε το lim f ( x ) , τότε εργαζόμαστε ως εξής : θέτουμε με g (x ) την παράσταση του x x0 ορίου που γνωρίζουμε, λύνουμε ως προς f (x ) και υπολογίζουμε το lim f ( x ) . x x0 ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : 6) (Άσκηση 4 σελ. 182 σχολικό βιβλίο Β΄ ΟΜΑΔΑΣ) Να βρείτε το lim f ( x) , όταν : x1 i. lim x 1 x4   f ( x) Λύση : i. Έστω g ( x)   f ( x)  x4 g ( x) ii. lim x 1 f ( x)   x2 x4 , άρα f ( x) iii. lim[ f ( x)(3x 2  2)]   x 1 lim g ( x)   , έχω x 1 g ( x)  x4  g ( x) f ( x)  x  4  f ( x) ( g ( x)  0 κοντά στο x0  1 αφού lim g ( x)   ) x 1 x4 3  0 x 1 x 1 g ( x)  f ( x) f ( x) ii. Έστω h( x)  , άρα lim h( x)   , έχω h( x)   f ( x)  h( x)( x  2) x 1 x2 x2 Άρα lim f ( x)  lim[h( x)( x  2)]    3   Άρα lim f ( x)  lim x 1 iii. x 1 Έστω  ( x)  f ( x)(3x 2  2) , άρα lim  ( x)   x 1  ( x)  f ( x)(3x 2  2)  f ( x)   ( x) 3x 2  2  ( x)  Άρα lim f ( x)  lim 2    x 1 x 1 3 x  2 1 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ ( 3x 2  2  0 κοντά στο x0  1 ) www.pitetragono.gr Σελίδα 5