Formule

Formule
Kružnica
Kružnica
1.
Odredite središte i radijus kružnice (x-4)2+(y+3)2=25 .
2.
Odredite središte i radijus kružnice x2+(y-6)2=81.
3.
Odredite središte i radijus kružnice x2+y2=64.
4.
Odredite središte i radijus kružnice x2+y2+14x-6y+33=0.
5.
Odredite središte i radijus kružnice x2+y2-4x-5=0.
6.
Odredite središte i radijus kružnice x2+y2-6y-16=0.
7.
Odredite jednadžbu kružnice koja prolazi točkama A(-3,1), B(5,5), C(-2,4).
8.
Odredite jednadžbu kružnice koja prolazi točkama A(4,-5), B(0,5), C(10,9).
Elipsa
9.
Skicirajte elipsu 9x2+4y2=36.
10.
Skicirajte elipsu x2+4y2=16.
11.
Odredite jednadžbu elipse koja prolazi točkama A(-2,2), B(4,-1).
12.
Odredite jednadžbu elipse koja prolazi točkama A(-18,20), B(24,-15).
Hiperbola
13.
Skicirajte hiperbolu 25x2 - 9y2 =225.
14.
Skicirajte hiperbolu 16x2 - 9y2 =144.
15.
Odredite jednadžbu hiperbole koja prolazi kroz točke A(-9,0) i B(-15,-18).
16.
Odredite jednadžbu hiperbole koja prolazi kroz točke A(-6,-3) i B 18 , 3 .
(
Parabola
17.
Skicirajte parabolu y2=6x.
18.
Skicirajte parabolu y2=10x.
19.
Odredite jednadžbu parabole čiji fokus je
a) na pozitivnom dijelu x osi i koja prozazi kroz točku A(5,-5)
b) na nagativnom dijelu x osi i koja prolazi kroz točku A(-5,-5) .
20.
Odredite jednadžbu parabole čiji fokus je na
a) pozitivnom dijelu x osi i koja prolazi kroz točku A(2,1) ,
b) negativnom dijelu x osi i koja prolazi kroz točku A(-2,1) .
)
Rješenja: Kružnica
Na slici 1. su prikazane kružnice iz zadataka 1, 2 i 3 asredišta sui m po redu: S, C i D.
Opća jednadžba kružnice dana je formulom: (x-p)2+(y-q)2=r2 , pri čemu su p I g coordinate
središta kružnice S = (p,q). a r je radijus kružnice. Lako iz prva tri zadatka pročita iz zadanih
jednadžbi:
1.
iz jednadžbe
(x-4)2+(y+3)2=25 => p = 4, q = -3 => S = (4,-3), r = 5
2.
iz jednadžbe
x2+(y-6)2=81 => p = 0, q = 6 => S = (0,6), r = 9
3. iz jednadžbe
x2+y2=64 => p = 0, q = 0 => S = (0,0), r = 8 => ovu kružnicu koja ima
središte u ishodištu zovemo središnja kružnica.
Jednadžba kružnice (x-p)2+(y-q)2=r2
može se napisati i u obliku:
x2 + y2 + ax + by + c =0,
pri čemu je: a = -2p
b = -2q
c = p2 + q2 – r2
4. Iz jednadžbe:
x2+y2+14x-6y+33=0
vidimo da je 14 = -2p / : (-2)
-6 = -2q / : (-2)
33 = p2 + q2 – r2
=> p = -7, q = 3 => S= (-7,3)
r2 = -33 + (-7)2 + 32 = -33 + 49 +9
r2 = 25
r=5
pa jednadžu možemo pisati kao :
(x+7)2+(y-3)2=25 a graf joj je dan na slici 2.
Slika 1
Slika 2.
5. Iz jednadžbe: x2+y2-4x-5=0 vidimo da je :
Slika 3.
-4 = -2p / : (-2
0 = -2q / : (-2)
-5 = p2 + q2 – r2
=> p = 2, q = 0 => S= (2,0)
r2 = 5 + 22 + 02 = 9
r=5
pa jednadžu možemo pisati kao :
(x-2)2 + y2 = 9 a graf joj je dan na slici 3.
6. Iz jednadžbe: x2+y2-6y-16=0 vidimo da je
0 = -2p / : (-2
-6 = -2q / : (-2)
-16 = p2 + q2 – r2
=> p = 0, q = 3 => S= (0,3)
r2 = 16 + 02 + 32 = 25
r=5
pa jednadžu možemo pisati kao :
x2 + (y-3)2 = 25 a graf joj je dan na slici 4.
Slika 4.
7. Odredite jednadžbu kružnice koja prolazi točkama A(-3,1), B(5,5), C(-2,4).
Slika 11.
U jednadžbu kružnice (x-p)2+(y-q)2=r2 uvrstimo koordinate točaka A, B i C.
A....(−3 − p ) 2 + (1 − q ) 2 = r 2
B....(5 − p ) 2 + (5 − q) 2 = r 2
C....(−2 − p ) 2 + (4 − q ) 2 = r 2
______________________
A....9 + 6 p + p 2 + 1 − 2q + q 2 = r 2
B....25 − 10 p + p 2 + 25 − 10q + q 2 = r 2 /⋅ (− 1)
C....4 + 4 p + p 2 + 16 − 8q + q 2 = r 2
____________________________
Zbrajanjem prve i druge, te druge i treće jednadžbe dobijemo:
A....9 + 6 p + p 2 + 1 − 2q + q 2 = r 2
B.... − 25 + 10 p − p 2 − 25 + 10q − q 2 = −r 2
B.... − 25 + 10 p − p 2 − 25 + 10q − q 2 = −r 2
C....4 + 4 p + p 2 + 16 − 8q + q 2 = r 2
A + B..... − 16 + 16 p − 24 + 8q = 0
B + C..... − 21 + 14 p − 9 + 2q = 0
__________________________
A + B.....16 p + 8q = 40
B + C.....14 p + 2q = 30 /⋅ (− 4 )
__________________________
A + B.....16 p + 8q = 40
B + C..... − 56 p − 8q = −120 /⋅ (− 4)
__________________________
− 40 p = −80 / : (− 40)
=> 16 ⋅ 2 + 8q = 40 => 8q = 40 – 32 => 8q = 8 /:8 => q = 1
p=2
Uvrstimo p = 2 i q = 1 u početnu jednadžbu sa A:
A....(−3 − 2) 2 + (1 − 1) 2 = r 2 => 25 + 0 = r2 => r = 5
pa jednadžba kružnice glasi:
(x-2)2+(y-1)2=25 , a skica joj je na slici 11.
8. Odredite jednadžbu kružnice koja prolazi točkama A(4,-5), B(0,5), C(10,9).
Po skici na slici 12. provjeri svoje riješenje.
Slika 12.
Rješenje: (x-7)2 + (y-2)2 = 58
Rješenja: Elipsa
9. Elipsa 9x2+4y2=36 dana je općom formulom bx2 + ay2 = a2 b2 Da bi skicirali elipsu treba
jednadžbu elipse prikazati u kanonskom obliku:
x2 y2
+
= 1.
a2 b2
9x2+4y2=36 / :36
x2 y2
+
= 1 => dakle, velika poluos a = 4 = 2 I mala poluos b = 9 = 3
4
9
Kordinate fokusa elipse su: F1, 2 = (± e,0) , ako je a > b,
F1, 2 = (0,±e) , ako je b > a,
a e je linearni ekscentricitet i za njega vrijedi :
e2 = a2 - b2 za a >b
e2 = b2 - a2 za b >a
=> e = b 2 − a 2 = 9 − 4 = 5 = 2,23 => F1, 2 = (0,± 5 )
Slika 5.
10. Elipsa x2+4y2=16
Da bi skicirali elipsu treba jednadžbu elipse prikazati u kanonskom obliku:
x2 y2
+
= 1.
a2 b2
x2+4y2=16 / :16
x2 y2
+
= 1 => dakle, velika poluos a = 16 = 4 I mala poluos b = 4 = 2
16 4
Koordinate fokusa elipse su: F1, 2 = (± e,0) , jer je a > b =>
e2 = a2 - b2
=>
e = a 2 − b 2 = 16 − 4 = 12 = 2 3 = 3,73 => F1, 2 = (±2 3 ,0)
Slika 6.
11. Odredite jednadžbu elipse koja prolazi točkama A(-2,2), B(4,-1).
x2 y2
U jednadžbu elipse : 2 + 2 = 1 uvrstimo koordinate točaka A i B
a
b
2
(
− 2)
A....
22
=1
b2
=>
A....
4
4
+ 2 =1
2
a
b
B....
42 (− 1)
+ 2 =1
a2
b
=>
B....
16 1
+
= 1 / (− 4)
a2 b2
A....
4
4
+ 2 =1
2
a
b
=>
B....
− 64 − 4
+ 2 = −4
a2
b
a
2
+
2
20 = a2 => a = 20 => A....
A + B....
=> zbrojimo jednadžbe =>
− 60
= −3 /⋅ a 2 => − 60 = −3a 2 / : (− 3) =>
2
a
4 4
4
1
4
4
+ 2 = 1 => 2 = 1 − => 2 = /⋅ 5b 2 =>
5
5
20 b
b
b
20 = 4b 2 / : 4 => b 2 = 5 => b = 5 => jednadžba elipse glasi:
x2 y2
+
= 1 /⋅ 20
20 5
=> x 2 + 4 y 2 = 20
Slika 13.
12. Odredite jednadžbu elipse koja prolazi točkama A(-18,20), B(24,-15).
Slika 14.
Rješenje:
x2
y2
+
= 1 /⋅ 22500
900 625
=> 25 x 2 + 36 y 2 = 22500
Rješenja: Hiperbola
13. Da bi skicirali hiperbolu 25x2 - 9y2 =225, zadanu u jednadžbom u općem obliku:
bx2 - ay2 = a2 b2 , trebamo tu jednadžbu prebaciti u kanonski oblik:
x2 y2
−
= 1.
a2 b2
25x2 - 9y2 =225 /: 225
x2 y2
−
= 1 => dakle, velika poluos a = 9 = 3 I mala poluos b = 25 = 5
9 25
Kordinate fokusa hiperbole su: F1, 2 = (± e,0) , ako je jednadžba hiperbole: bx2 - ay2 = a2 b2
F1, 2 = (0,±e) , ako je jednadžba hiperbole: - bx2 + ay2 = a2 b2
a e je linearni ekscentricitet i za njega vrijedi :
e2 = a2 + b2 => e = a 2 + b 2 = 9 + 25 = 34 = 5,83 => F1, 2 = (± 34 ,0)
Asimptote hyperbole a1,2 dane su formulom y = ±
b
x , pa iz toga vidimo da su
a
5
a1, 2 ... y = ± x
3
A tjemena hiperbole su točke: A = (a,0) i B = (-a,0) za hiperbolu bx2 - ay2 = a2 b2
A = (0,b) i B = (0,-b) za hiperbolu -bx2 + ay2 = a2 b2
Pa su tjemena naše hyperbole: A = (3,0) i B = (-3,0)
Skicu hiperbole pogledati na slici 7.
Slika 7.
14. Skicirajte hiperbolu 16x2 - 9y2 =144 za vježbu. Možete se pomoći slikom 8.
Slika 8.
15. Odredite jednadžbu hiperbole koja prolazi kroz točke A(-9,0) i B(-15,-18).
Riješava se kao i zadatak 16. Za pomoć su dani skica i rješenje.
Slika 15.
Rješenje:
x2
y2
−
=1
81 729
4
=>
x2 4y2
−
= 1 /⋅ 729 => 9 x 2 − 4 y 2 = 729
81 729
(
)
16. Odredite jednadžbu hiperbole koja prolazi kroz točke A(-6,-3) i B 18 , 3 .
U jednadžbu hiperbole :
A....
(− 6)2 − (− 3)2
a
2
b
2
2
x2 y2
−
= 1 uvrstimo koordinate točaka A i B
a2 b2
=1
=>
2
18
3
B.... 2 − 2 = 1
a
b
=>
--------------------------A....
36 9
−
=1
a2 b2
B.... −
A....
B....
36 9
−
=1
a2 b2
=> zbrojimo jednadžbe =>
18 3
−
= 1 / (− 3)
a2 b2
----------------------------A + B....
=>
− 18
= −2 /⋅ a 2 => − 18 = −2a 2 / : (− 2) =>
2
a
54 9
+
= −3
a2 b2
--------------------------9 = a2 => a = 9 = 3 => A....
36 9
9
9
− 2 = 1 => − 2 = 1 − 4 => − 2 = −3 /⋅ (−b 2 ) =>
9 b
b
b
9 = 3b 2 / : 3 => b 2 = 3 => b = 3 => jednadžba hiperbole glasi:
x2 y2
+
= 1 /⋅ 9
9
3
=> x 2 + 3 y 2 = 9
Linearni ekscentricitet e = a 2 + b 2 = 9 + 3 = 12 = 2 3 pa su koordinate fokusa:
F1,2 = ( ± 2 3 ,0 )
Slika 16.
Rješenja: Parabola
17. Skicirajte parabolu y2=6x.
Jednadžba parabole je: y2=2px. => 2p = 6 => p = 3, parameter parabole, a jednadžba
direktrise ii ravnalice je x = −
p
3
⎛p ⎞
⎛3 ⎞
=> x = − . Koordinate fokusa F = ⎜ ,0 ⎟ => F = ⎜ ,0 ⎟
2
2
⎝2 ⎠
⎝2 ⎠
Slika 9.
18. Skicirajte parabolu y2=10x za vježbu. Možete se pomoći slikom 10.
Slika 10.
19. Odredite jednadžbu parabole čiji fokus je na
a) pozitivnom dijelu x osi i koja prolazi kroz točku A(5,-5),
b) negativnom dijelu osi x i koja prolazi kroz točku A(-5,-5) .
Rješenje:
Jednadžba parabole y2 = 2px ovisno o vrijednosti parametra p može imati različiti
grafiči prikaz:
za p>0, a fokus F se nalazi na pozitivnom dijelu osi x
za p<0, a fokus F se nalazi na negativnom dijelu osi x
(− 5)2 = 2 p ⋅ 5
a) Uvrstimo koordinate točke A i jednadžbu parabole: 25 = 10 p /⋅ (−10) => y 2 = 5 x =>
25 5
=
p=
10 2
⎛ p ⎞ ⎛5 ⎞
a koordinate fokusa su F = ⎜ ,0 ⎟ = ⎜ ,0 ⎟ , a ravnaloca ili direktrisa:
⎝ 2 ⎠ ⎝4 ⎠
Slika 17.
x=−
5
4
(− 5)2 = 2 p ⋅ (−5)
b) Uvrstimo koordinate točke A i jednadžbu parabole: 25 = −10 p /⋅ (−10) => y 2 = −5 x =>
25
5
=−
p=−
10
2
⎛p ⎞ ⎛ 5 ⎞
a koordinate fokusa su F = ⎜ ,0 ⎟ = ⎜ − ,0 ⎟ , a ravnaloca ili direktrisa:
⎝2 ⎠ ⎝ 4 ⎠
Slika 18.
20. Odredite jednadžbu parabole čiji fokus je na
a) pozitivnom dijelu x osi i koja prolazi kroz točku A(2,1),
b) negativnom dijelu osi x i koja prolazi kroz točku A(-2,1) .
Isti zadatak kao i 20. Skica rješenja dana na slici 19.
Slika 19.
x=
5
4
Odnos krivulje i pravca
21.
Odredite jednadžbu tangente i normale kružnice (x-1)2+(y+2)2=26 u točki D(0,3).
22.
Odredite jednadžbu tangente i normale elipse
23.
Odredite jednadžbu tangente i normale hiperbole 2x2-9y2=18 u točki D(9,4).
24.
Odredite jednadžbu tangente i normale parabole y2=18x u točki D(2,6).
25.
Odredite zajedničke točke pravca x-2y+3=0 i kružnice (x-4)2+(y-6)2=25 .
26.
Odredite zajedničke točke pravca 4x+3y+1=0 i kružnice x2+y2-6x-8y=0.
27.
Odredite zajedničke točke pravca x-y+2=0 i kružnice (x+2)2+(y-3)2=4.
28.
Odredite zajedničke točke elipse x2+4y2=20 i pravca 3x+2y-10=0.
29.
Odredite zajedničke točke elipse x2+4y2=16 i pravca y= - x+5.
30.
Odredite zajedničke točke elipse x2+4y2=20 i pravca x+4y+10=0.
31.
Odredite zajedničke točke pravca 3x-4y-2=0 i hiperbole x2-2y2=2.
32.
Odredite zajedničke točke pravca 15x-8y+18=0 i hiperbole 9x2-4y2=36.
33.
Odredite zajedničke točke pravca 2x-y+1=0 i hiperbole x2-2y2=2.
34.
Odredite zajedničke točke pravca 4x+y-4=0 i parabole y2=8x.
35.
Odredite zajedničke točke pravca 2x-y+2=0 i parabole y2=4x.
x2 y2
+
= 1 u točki D(0,-1).
5
1
Rješenja:
21. Odredite jednadžbu tangente i normale kružnice (x-1)2+(y+2)2=26 u točki D(0,3).
Rješenje: Ako je zadana jednadžba kružnice: (x-p)2+(y-q)2=r2 i točka D(x1, x2 ) koja leži na
toj kružnici jednadžba pravca koji dira tu kružnicu u toj točki, odnosno tangenta dana je
formulom: y − y1 = −
x1 − p
(x − x1 ) , a pravac koji je okomit na tangentu i prolazi kroz točku
y1 − q
dirališta, odnosno normala, dan je formulom: y − y1 =
y 1 −q
(x − x1 ) .
x1 − p
Kružnica: (x-1)2+(y+2)2=26 ima središte u točki S(1,-2) i radijus: r = 26
Slika 20.
Izračunavanje jednadžba tangente: y − y1 = −
=> y − 3 =
1
1
x => y = x + 3
5
5
x1 − p
(x − x1 ) => y − 3 = − 0 − 1 (x − 0)
3 − (−2)
y1 − q
u eksplicitnom obliku ili t...x -5y +15 = 0 u implicitnom
obliku.
Izračunavanje jednadžba normale: y − y1 =
x1 − p
(x − x1 ) => y − 3 = 3 − (−2) (x − 0)
0 −1
y1 − q
=> y − 3 = −5 x => y = −5 x + 3 u eksplicitnom obliku ili n...5x +y -3 = 0 u implicitnom
obliku.
22. Odredite jednadžbu tangente i normale elipse
Rješenje: Ako je zadana jednadžba elipse:
x2 y2
+
= 1 u točki D(0,-1).
5
1
x2 y2
+
= 1 i točka D(x1, x2 ) koja leži na toj
a2 b2
elipsi jednadžba pravca koji dira tu elipsu u toj točki, odnosno tangenta dana je formulom:
y − y1 = −
b 2 x1
(x − x1 ) , a pravac koji je okomit na tangentu i prolazi kroz točku dirališta,
a 2 y1
a 2 y1
odnosno normala, dan je formulom: y − y1 = 2 ( x − x1 ) .
b x1
Elipsa:
x2 y2
+
= 1 ima veliku poluos a = 5 , a malu poluos b = 1, a linearni ekscentricitet
5
1
e = 5 − 1 = 2 pa su koordinate fokusa F1, 2 = (±2,0) . Skiciramo elipsu i diralište:
Slika 21.
Iz slike 21. lako je očitati da je t...y = -1, a n...x = 0 . Provjerimo to računski:
t... y − y1 = −
n... y − y1 =
b 2 x1
12 ⋅ 0
(
)
(x − 0) => t... y +1 = 0
x
−
x
=>
t
...
y
−
(
−
1
)
=
−
1
a 2 y1
5 2 ⋅ (− 1)
a 2 y1
5 2 ⋅ (− 1)
(
)
(x − 0) /⋅ 0 => 0 = −25 x => n...x = 0
n
y
−
−
=
x
−
x
=>
...
(
1
)
1
b 2 x1
12 ⋅ 0
23. Odredite jednadžbu tangente i normale hiperbole 2x2-9y2=18 u točki D(9,4).
Rješenje: Ako je zadana jednadžba hiperbola:
x2 y2
−
= 1 i točka D(x1, x2 ) koja leži na toj
a2 b2
hiperboli jednadžba pravca koji dira tu hiperbolu u toj točki, odnosno tangenta dana je
formulom: y − y1 =
b 2 x1
(x − x1 ) , a pravac koji je okomit na tangentu i prolazi kroz točku
a 2 y1
dirališta, odnosno normala, dan je formulom: y − y1 = −
x2 y2
Hiperbola: 2x -9y =18 / :18 =>
−
=1
9
2
2
2
a 2 y1
(x − x1 ) .
b 2 x1
ima veliku poluos a = 3, a malu poluos
b = 2 , a linearni ekscentricitet e = 9 + 2 = 11 pa su koordinate fokusa F1, 2 = (± 11,0) .
Skiciramo hiperbolu i diralište:
Slika 22.
Provjerimo sliku računski:
t... y − y1 =
=> y =
b 2 x1
(x − x1 ) => y − 4 = 2 ⋅ 9 (x − 9) =>
2
9⋅4
a y1
y−4=
1
(x − 9) => y = 1 x − 9 + 4
2
2
2
1
1
x − u eksplicitnom obliku ili t ... x -2y -1= 0 u implicitnom obliku.
2
2
n.... y − y1 = −
a 2 y1
(x − x1 ) =>
b 2 x1
y = −2 x + 18 + 4
=>
y−4= −
9⋅4
(x − 9)
2⋅9
=>
y − 4 = −2( x − 9 )
=>
y = −2 x + 22 u eksplicitnom obliku ili t ... 2x + y - 22= 0 u
implicitnom obliku.
24. Odredite jednadžbu tangente i normale parabole y2=18x u točki D(2,6).
Rješenje: Ako je zadana jednadžba parabole:
y2
= 2px i točka D(x1, x2 ) koja leži na toj
paraboli jednadžba pravca koji dira tu parabolu u toj točki, odnosno tangenta dana je
formulom: y ⋅ y1 = p ( x + x1 ) , a pravac koji je okomit na tangentu i prolazi kroz točku
dirališta, odnosno normala, dan je formulom: y − y1 = −
y1
(x − x1 ) .
p
9
Parabola y2=18x ima parametar p=9, a jednadžba ravnalice joj je x = − , a fokus u točki
2
⎛9 ⎞
F = ⎜ ,0 ⎟ , pa u točki D(2,6) možemo izračunati jednadžbu tangente pomoću formule:
⎝2 ⎠
t..... y ⋅ y1 = p ( x + x1 )
=> y ⋅ 6 = 9( x + 2 ) / : 6
y=
=>
3
(x + 2)
2
=> t... y =
3
x+3 u
2
eksplicitnom obliku, a u implicitnom glasi t.... 3x – 2y + 6 =0.
A jednadžbu normale formulom: n... y − y1 = −
y1
(x − x1 )
p
=> n... y − 6 = −
6
(x − 2)
9
=>
2
22
2
4
u eksplicitnom obliku, a u implicitnom
n... y = − x + + 6 => n... y = − x +
3
3
3
3
2x + 3y + 22 = 0. Pogledajmo rješenja na skici na slici 23.
Slika 23.
25. Odredite zajedničke točke pravca x-2y+3=0
i
kružnice (x-4)2+(y-6)2=25 .Nađi
jednadžbe tangenti u točkama presjeka.
Rješenje :
Ako napišemo jednadžbu pravca i kružnice jednu ispod druge dobivamo sustav dvije
jednadžbe sa svije nepoznanice. A rješenja tog sustava su koordinate točaka presjeka pravca i
kružnice.
x-2y+3=0
2
=> x = 2y -3
2
=> (2y -3 – 4 )2 + (y – 6)2 = 25 => (2y - 7 )2 + (y – 6)2 = 25 =>
(x-4) +(y-6) =25
-----------------------
4y2 - 28y + 49 + y2 -12y +36 – 25 =0 => 5y2 - 40y + 60 =0 / : 6 => y2 - 8y + 12 =0
y1, 2 =
− (− 8) ±
(− 8)2 − 4 ⋅ 1 ⋅ 12
2 ⋅1
=
8± 4
=> y1 = 6, y 2 = 2
2
=>
x1 = 2 ⋅ 6 − 3 = 9
x2 = 2 ⋅ 2 − 3 = 1
=>
točke presjeka su : A=(1,2) i B=(9,6). A jednadžbe tangenti i normali u točkama A i B su : t1
... 3x+4y=11 n1 ..... 4x-3y=-2 t2 ... x=9 n2 ... y=6 Vidi na slici 24.
Slika 24.
26. Odredite zajedničke točke pravca 4x+3y+1=0 i kružnice x2+y2-6x-8y=0. Nađi jednadžbe
tangenti i normala u točkama presjeka.
Postupak rješavanja isti kao i u zadatku 25.Rezultate provjeri na slici 25.
Rješenje A = (-1,1), pravac a je tangenta kružnice : 4x -3y +1 = 0, a normala n...-3x+4y=7
Slika 25.
27. Odredite zajedničke točke pravca x-y+2=0 i kružnice (x+2)2+(y-3)2=4. Nađi jednadžbe
tangenti i normali u točkama presjeka.
Rješenje :
Slika 26.
A=(-6.7, 4.7) B=(-0.3, -1.7) t1 …-4,7x+1.7y-39.51=0 t2 … -1.7x+4.7y+7.49=0
n1 … 1.7x+4.7y-10.7=0 n2 …4.7x+1.7y+4.3=0
28. Odredite zajedničke točke elipse x2+4y2=20 i pravca 3x+2y-10=0. Nađi jednadžbe
tangenti u točkama presjeka.
Rješenje:
Slika 27.
Točke presjeka: B=(2,2) C=(4,-1) t1 …y=-0,5x+2,5 t2 …. y=x-5,01
Kružnica - zadatci za vježbu
1. Odredi koordinate središta i polumjer kružnice kojoj je središnja jednadžba
( x − 1) 2 + ( y + 3) 2 = 9 .
1
2. Kako glasi centralna jednadžba kružnice kojoj je središte u točki S (−3, ) , a polumjer
4
r = 15 ?
3. Odredi koordinate središta kružnice, polumjer kružnice i prikaži grafički kružnicu :
a) x 2 + y 2 = 16
b)
(x − 2)2 + ( y − 3)2 = 9
4. Kako glasi jednadžba kružnice: S (3,0), r = 5
5. Odredi jednadžbu kružnice koncentrične kružnici x 2 + ( y − 2) = 49 čiji je polumjer r = 1.
2
6. Kako glasi jednadžba kružnice kojoj je središte S(4,2) , a prolazi točkom A(3,-1).
7. Odredi jednadžbu kružnice kojoj je AB promjer ako je A(-3,-4), B(10,-1).
8. Odredi jednadžbu kružnice koja prolazi kroz točke A(2,5), B(4,1),C(8,3).
9. Odredi jednadžbu kružnice koja prolazi točkama A(6,6),B(-3,3) a središte joj je na x
osi.
10. Odredi polumjer i središte kružnice x 2 + y 2 + 2 x − 2 y − 7 = 0
11. Odredi jednadžbu kružnice polumjera r = 1 koncentrične kružnici x 2 + y 2 − 6 x + 10 y − 9 = 0
12. Odredi presjek pravca i kružnice 3x + y − 16 = 0 i x 2 + y 2 − 4 x − 6 = 0
13. Odredi duljinu tetive kružnice određene pravcem ako je zadano: x 2 + y 2 − 4 y − 21 = 0
i x + 7 y − 39 = 0
14. Odredi jednadžbu tangente na kružnicu x 2 + y 2 = 100 u njezinoj točki D(-6,-8).
15. Odredi jednadžbu tangente na kružnicu x 2 + y 2 − 4 x + 6 y − 12 = 0 u njezinoj točki D(5,1).
16. Odredi jednadžbu tangente na kružnicu ( x + 1) 2 + ( y − 1) = 169 u njezinoj točki D(x>-1, -9)
2
17. Odredi jednadžbe tangenata povučene iz točke T(1,9) na kružnicu ( x − 1) 2 + ( y − 4) = 5
2
18. Odredi jednadžbe tangenata kružnice (x − 1) + ( y − 4) = 50 paralelnih pravcu
y = x − 10
2
2
19. Kako glase jednadžbe kružnica koje diraju obje koordinatne osi i kojima je r = 2 ?
20. Odredi polumjer i središte kružnice x 2 + y 2 + 2 x − 2 y − 7 = 0 .
21. Napiši jednadžbu tangente na kružnicu x 2 + y 2 = 100 u njenoj točki D (8, y < 0) .
22. Odredi položaj točke T ( 4,2) obzirom na kružnicu ( x + 2 ) + ( y − 3) 2 = 16.
2
23. Kako glasi jednadžba kružnice koja prolazi točkama A(−2,0) , B ( 2,0) i C (0,2) ?
Elipsa - zadatci za vježbu
1.Odredi osnu jednadžbu elipse parametra
9
i male osi duljine 3.
4
2.Odredi jednadžbu elipse koja prolazi točkama A(4,-2) i B( 6 ,3).
3.Žarišta elipse i jedno njezino tjeme vrhovi su jednakostraničnog trokuta površine 9 3
.Odredi jednadžbu elipse.
4.Koliki kut zatvaraju tangente na elipsu
x2 y2
+
= 1 iz točke P(12,-3)?
32 18
5.U kojim točkama tangente elipse 3x 2 + 4 y 2 = 48 paralelne s pravcem 3x–2y +18 = 0
dodiruju elipsu?
6.Odredite zajedničke točke pravca x-2y+4=0 i parabole y2=4x. Odredi m ∈ R elipse
mx 2 + 16 y 2 = 192 tako da je pravac x + 4y - 16 = 0 tangenta elipse. Odredi numerički i
linearni ekscentricitet elipse.
7.Odredi tangentu na elipsu 3x 2 + 4 y 2 = 48 iz točke T(4,2).Odredi numerički i linearni
ekscentricitet te parametar elipse. Slika.
8.Odredi normalu elipse x 2 + 4 y 2 = 20 u točki T ( 2, y > 0) .Odredi kut normale i pravca y x = 2.
Hiperbola - zadatci za vježbu
1.Odredi jednadžbu tangente i normale hiperbole 9 x 2 − y 2 = 144 u točki sjecišta hiperbole i
pravca y = 5.
2.Odredi jednadžbu hiperbole numeričkog ekscentriciteta
4
i linearnog ekscentriciteta 2.
3
3.Odredi jednadžbu hiperbole linearnog ekscentriciteta 17 ako je a - b + 7 = 0.
4.Odredi tangentu hiperbole 3x 2 − y 2 = 3 iz točke (3,5). Slika.
5.Kolika je površina trokuta što ga zatvaraju asimptote hiperbole x 2 −
1 2
y = 4 s pravcem koji
2
prolazi žarištem okomito na os apscisu? Koliki kut zatvaraju tangente hiperbole povučene u
točkama trokuta?
6.Kolika je površina trokuta što ga zatvaraju asimptote hiperbole 2 x 2 − y 2 = 8 s pravcem koji
prolazi žarištem okomito na os apscisu?
7.Pravac 3 x − 2 y = 0 je asimptota hiperbole kojoj su žarišta udaljena 4 13 . Odredi jednadžbu
hiperbole.
8.Odredi zajedničke tangente krivulja x 2 + 4 y 2 = 4 i 4 x 2 − 9 y 2 = 36 .

Download Report