1 MATEMATIKA Zadaci s državne mature – viša razina Brojevi

MATEMATIKA
Zadaci s državne mature – viša razina
Brojevi i algebra
Funkcije
Jednadžbe i nejednadžbe
Geometrija
Trigonometrija
LINEARNA FUNKCIJA
1.
2.
3.
4.
5.
Uz koji uvjet jednadžba Ax+By+C=0 predstavlja pravac?
Koje je značenje broja k u jednadžbi y=kx+l, a koje značenje ima l?
Jesu li pravci x-3y=7 i 2x-6y-16=0 paralelni? Dokaži!
Jesu li pravci x=y+1 i x=-y+1 okomiti? Dokaži!
Kako se definira kut izmeĎu dvaju pravaca?
6. Točke A(-5, 5), B(4, -5) i C(1, a) leže na istom pravcu. Odredi:
a) d(A, B),
b) koeficijent smjera pravca odreĎenog točkama A i B,
c) kut što ga pravac AB zatvara s pozitivnim smjerom osi x,
d) vrijednost realnog broja a.
7. Odredi jednadžbu simetrale dužine AB ako je A(-3, 2), B(5, - 8).
8. Koliki je kut izmeĎu pravaca: 4x + y=3 i
x
4
y ?
2
7
9. Udaljenost točke na osi y od pravca 4x+3y=12 jednaka je 4. Koja je to točka?
2
3
10. Pravac y    x  prikaži u segmentnom obliku, nacrtaj graf i izračunaj površinu
3
4
koji pravac zatvara s koordinatnim osima.
11. Nacrtaj pravac odreĎen jednadžbom:
x y
  1.
5 2
12. Izračunaj:
a) udaljenost točke (5, 6) od pravca x-4y+8=0.
b) kut što ga pravac 2x-3y-7=0 zatvara s pozitivnom zrakom osi x.
13. Zadan je skup svih točaka koje su jednako udaljene od točaka A(-4, 3) i B(2, 1). Napiši
jednadžbu tog skupa i nacrtaj graf.
14. Odredite koordinate točaka u kojima graf funkcije f(x)=ax+b siječe koordinatne osi!
( a, b  R ).
1
15. Zadan je skup svih točaka koje su jednako udaljene od točke T(4, 0) i pravca x=-4.
Napiši jednadžbu tog skupa i nacrtaj graf.
16. Zadane su točke A(9, 2) i B(5, 6) i C(-3, -2). Odredi udaljenost točke C od simetrale
dužine AB .
17. Zadan je skup svih točaka koje su od točke T(2, 4) udaljene za 3. Napiši jednadžbu
tog skupa i nacrtaj graf.
x y
18. Odredite udaljenost točke T(2, 3) od pravca   1.
2 4
19. Zadane su točke A(6, 5) i B(2, -3). Odredi jednadžbu simetrale dužine AB .
20. Odredi skup svih vrijednosti (sliku) funkcije f ( x)  x  1  3 . Nacrtaj graf!
21. Napiši jednadžbu pravca koji prolazi točkom T(6, 3) i sjecištem pravaca 3x+4y-24=0 i
x y
  1.
2 3
22. Točke A(3, 4), B(2, -1) i C(-3, y) leže na istom pravcu. Odredi y!
23. Zadan je pravac 2x-5y-17=0. Odredi jednadžbu pravca koji je okomit na njega i siječe
ga u točki s ordinatom y=3.
x
y
24. Odredi koeficijent smjera (nagib) pravca
  1.
2 3
1
25. Zadan je pravac y    x  4 . Odredi udaljenost ishodišta od toga pravca!
2
1
26. Odredi pravac koji prolazi točkom (4, 0) i usporedan je s pravcem y    x  4 .
2
27. Pravac je zadan jednadžbom y=2x+3. Odredi mjeru kuta koji zatvara s pozitivnom
zrakom x osi i nactraj graf!
28. Napišite jednadžbu pravca koji prolazi točkom (6, 3) i sjecištem pravaca 3x+4y-24=0 i
x y
  1.
2 3
29. Odredite jednadžbu pravca koji prolazi točkama A(2, 5) i B(6, -2).
30. Odredi kut izmeĎu pravaca y=3x + 2 i 2x – 3y + 4= 0.
EKSPONENCIJALNA I LOGARITAMSKA FUNKCIJA
(jednadžbe i nejednadžbe)
1. Odredi domenu funkcije f ( x)  log 4
2x  1
.
x 1
x
1
2. Nacrtaj graf funkcije f ( x)    .
2
3. Koji je realan broj x rješenje jednadžbe log a b  log a x  2, gdje su a>0, b>0 i a  0 ?
2
4. Kiselost otopine (pH) odreĎuje se po formuli pH=-log C, gdje je C koncentracija
vodikovih iona u otopini (u molima po litri). Kiselost otopine pH zaokružuje se na
jednu decimalu.
a) Odredite pH otopine u kojoj je koncentracija vodikovih atoma C  4.7  105 mola po
litri.
b) Odredite koncentraciju vodikovih iona u čistoj vodi kojoj je pH jednak 7.1.
1
5. Riješite jednadžbu 2  6 x  .
8
1
6. Čemu je jednako log 1 , gdje su b>0, x>0 i b  1, x  1?
x
b
7. Zadana je funkcija f ( x)  log( x  1)  log(3  2 x).
a) odredite domenu funkcije.
b) rješite jednadžbu f(x)=0.
8. Koja jednakost povezuje x, y, z ako je log x y  z , gdje su x, y>0 i x  1 ?
9. Primjenom pesticida kontrolira se populacija komaraca oko jezera. Procjenjuje se da je
broj komaraca opisan formulom B  500000 2 0.06667t ,gdje je t vrijeme korištenja
pesticida izraženo u godinama.
a) Koliko godina treba koristiti pesticid da bi se broj komaraca prepolovio?
b) Pesticidi su na tom jezeru primjenjivani 20 godina, a godinu dana nakon toga više
nisu. Te godine se populacija komaraca povećala za 30%. Koliko je komaraca bilo na
kraju te godine?
10. Koliko realnih rješenja ima jednadžba log 2 ( x  2)  log 2 ( x  3)  2  log 2 (2 x  3) ?
11. Odredite koordinate točaka u kojima graf funkcije f ( x)  3  2 x  6 sječe koordinatne
osi!
log 2 3  log 2 6
12. Koliko je
zaokruženo na četiri decimale?
log 2 9
13. Riješite sljedeće zadatke
2 x
1
a) 4 3 x 2   
8
x
b) 6  16  3 x  0.
14. Zadana je funkcija f ( x)  3 x  2.
a) odredite skup svih vrijednosti (sliku) funkcije.
b) koliko rješenja ima jednadžba f(x)=-3 ?
15. Zadana je funkcija f ( x)  log 2 (5 x  1).
a) odredite područje definiciej funkcije f !
b) odredite nul točke funkcije f !
c) izračunajte f(5). Rezultat zaokružite na tri decimale!
3
16. Odredi područje definicije i nul točke funkcije f ( x)  2 x  8. Izračunajte f(-5) i
rezultat zaokružite na tri decimale!
17. Rješite nejednadžbu log (x-2)>1.
18. Ako je log a 2  x i log a 3  y , koliko je log a 24 ?
log 5 (8 x)  1  log 5 4
19. Rješite sustav jednadžbi
xy 
2
5
20. Prema zakonu zaboravljaja, ako je neko gradivo naučeno s uspješnosti U o, tada t
mjeseci nakon toga uspješnost U rješavanja toga gradiva zadovoljava jednadžbu
log U  log U 0  c log(t  1) , gdje je c konstanta koja ovisi o vrsti gradiva.Uspješnost
U mjeri se brojem postignutih bodova na ispitu. Brijo je na ispitu iz matematike
postigao 82 boda (čudo neviĎeno). Nakon godinu dana ponovo će pisati ispit iz istog
gradiva. Koliko bi bodova prema ovom zakonu postigao ako je c=0,3?
log 3 ( x  3)  2,
21. Riješite jednadžbe:
32 x 1 
8
.
4
 x 3
22. Odredite domenu funkcije f ( x)  log 
  log( x  2) .
 x 
23. Riješite nejednadžbu log 2 ( x  1)  log 2 ( x  3)  3 .
1
24. Koliki je zbroj rješenja jednadžbe 5 x  2   
5
x 1
 6.
25. Odredi domenu funkcije f(x) = log (2x+4).
26. Pojednostavi izraz log 2 4a  log 2 2a 2 .
27. Riješite jednadžbu 5  9 x 1  15.
g ( x)  log 5 ( x  4),
28. Odredite domenu funkcija
h( x ) 
log 5 ( x  4)
.
x7
x
?
y
30. Koliki je umnožak rješenja jednadžbe 7  2 x  4 x  12 .
29. Ako je log a x  s i log a y 2  t , koliko je log a
31. Riješite jednadžbu 2  2 2 x  4 x2  2  4 x1  35.
4
KOMPLEKSNI BROJEVI
1. Zapiši broj
z  3i 33  2i 23  4i 10 u trigonometrijskome i standadnom obliku!
2. Zapiši broj z=5+5i u trigonometrijskome obliku.
3. Realan dio kompleksnoga broja z 
6  bi
jednak je 4. Koliki je b?
1  2i
4. Riješite sljedeće zadatke s kompleksnim brojevima.
a  2i
, gdje je a  R .
i
5
5 




z1  6 cos
 i sin
 i z 2  2 cos  i sin  . Odredi broj
6
6 
3
3


a) Odredite realni dio kompleksnoga broja
b) Zadani su brojevi
z
z
z1
i zapši ga u trigonometrijskome obliku.
z2
5. Riješite sljedeće zadatke s kompleksnim brojevima.
a) Zadan je kompleksan broj z  2i 7 (a  i ) , gdje je a  R . Zapiši ga u standardnom
obliku (z=x+iy).
2
2
2 



b) Zadani su brojevi
i z 2  3 cos  i sin  . Odredi
z1   cos
 i sin

3
3
3 
6
6

broj z  z1  z 2 i zapiši ga u trigonometrijskome obliku.
6. Riješite sljedeće zadatke s kompleksnim brojevima.
a
a) Zadan je kompleksan broj z  (a  i) 2  , gdje je a  R . Zapiši ga u standardnom
i
obliku (z=x+iy).
2
2
b) Odredi apsolutnu vrijednost broja z  2 cos
.
 i  2 sin
7
7
7. Rješite sljedeće zadatke s kompleksnim brojevima.
a) Izračunajte (1  i )10 i pojednostavnite.
x  2i
b) Za koji realni broj x imaginarni dio kompleksnoga broja
iznosi 1.
1 i
8. Koliko ima kompleksnih brojeva za koje vrijedi z  i  2 i z  4i  1 .
9. Ako je z=1-i, koliko iznosi imaginarni dio broja z 6 .
10. a) Neka je z=3+2i. Koliko je (iz z ) 4 ?
b) Kompleksan broj z=2i prikaži u trigonometrijskome obliku.
c) Koliki je modul kompleksnoga broja (1  i) 6 ?
2  3i
11. a) Čemu je jednak kompleksan broj z 
.
3  2i
5
b) Kompleksan broj (1  2i ) 3 zapiši u obliku a+bi.
c) Za kompleksan broj z=-3+5i odredi z  z
6  4i
d) Čemu je jednak kompleksan broj z 
.
1 i

12. a) Broj z   1  i 3

2009
zapiši u obliku a+ib.
b) Broj z   1  2i 3 zapiši u obliku a+ib.
c) Izračunajte (1  i 2007 ) 2 .
13. U kompleksnoj ravnini zadan je broj z. Odredi bro 1/z
Im z
2
 z
3
14. Ako je z=1+4i, koliko iznosi realan dio broja
Re z
z
?
zz
TRIGONOMETRIJA
1. Pravac na kojem su točke A i B zatvara s ravninom kut 32 012 '. Duljina dužine AB je
12 cm. Kolikaje duljina ortogonalne projekcije dužine AB na tun ravninu?
2. Zadan je trokut ABC. Kut u vrhu A je 46 0 , a kut u vrhu C je 60 0 . Simetrala kuta u
vrhu C sječe trokutu opisanu kružnicu u točkama C i D. Koliki je kut u vrhu B?
3. U trokutu MNK su zadani kutovi u vrhovima N ( 62 0 ) i M ( 42 0 ) i stranica MK =50
cm. Kolika je duljina stranice KN ?
4. Kolika je mjera najmanjeg kuta u trokutu stranica 7 cm, 8 cm i 9 cm?
5. Kolika je površina trokuta kojemu je jedna stranica duljine 5 cm, a mjere kutova uz tu
stranicu 240 36' i 55 0 ?
6
6. U trokutu ABC duljina stranice AB je 12 cm, a mjera kuta u vrhu A je 35 0 . Stranica
BC je dvostruko dulja od stranice AC . Kolika je mjera kuta u vrhu B i kolika je
duljina stranice AC ?
 x  
7. Odredite temeljni period funkcije f ( x)  2 sin    !
 2 4
8. Kolika je maksimalna vrijednost funkcije g ( x)  3 sin x  9 ?



9. Koliki je zbroj rješenja jednadžbe tg  2 x    tg na intervalu 0,   ?
3
3

10. Koje
je
rješenje
jednadžbe
sin( x   ) sin( x  2 )  3 cos(x  3 ) cos(x  4 ) u
 
intervalu  ,   ?
2 
11. Uz koji uvjet za realni broj m  0 jednadžba m sin x  1  0 ima rješenje?
 
12. Odredi sva rješenja jednadžbe 2 cos2 x  sin 2 x na intervalu  0,  .
 2

13. Rješi jednadžbu cos2 x  sin 2 x  0 ; x  0,
!
2
14. Rješi jednadžbu cos2 x  cos x  2  0 !
3
15. Rješi jednadžbu cos x  
; x   ,2 !
2
16. Koliko rješenja ima jednadžba 2 sin(3x)  1  0 na intervalu 0,   ?
17. Čemu je nakon pojednostavljenja jednak izraz
tg ( x  15 )  5tgx
?
ctg  2ctg ( x  18 )
18. Odredi rješenja jednadžbe f(x)=0, ako je zadana funkcija f ( x)  2  sin(3x) !
 
19. Odredi x iz jednadžbe sin x=0.8 uz uvjet x   ,   !
2 


20. Za koju vrijednost x iz intervala 0,   funkcija f ( x)  tg  x   nije definirana?
3

sin x  cos x
21. Ako je tgx  a , izračunajte
.
sin x  cos x
3
22. Neka je sin t  0.6 i t   ,
. Koliko je sin 2t?
2
x
23. Odredite amplitudu i period funkcije f ( x)  sin te sve nultočke iz intervala 0,6  .
2
24. Odredite rješenja jednadžbe cos2x  cos x  0 iz intervala 0,2  .
7
25. Kolika je mjera najvećeg kuta trokuta sa stranicama 3, 8 i 9 cm?
26. U trokutu ABC stranica a je dvostruko veća od stranice b. Mjera kuta nasuprot stranice
a je   740 . Kolika je mjera kuta nasuprot stranice b?
27. Jednog
ljetnoga dana temperatura u pustinji mijenjala se po formuli
 t  15 
0
T (t )  16 cos
  32 , gdje je t vrijeme od 0 do 24 sata, a T temperatura u C .
 12

a) Kolika je bila temperatura u 7 sati ujutro?
b) U koliko sati poslije podne je temperatura bila 41 0 C ?
DERIVACIJE
1. Odredi derivaciju funkcije f(x)=2+sin(3x).
2. Odredi jednadžbu tangente na graf funkcije f ( x)  x 2  2 x  3 u točki s apsisom 4.
3. Odredi derivaciju funkcije f ( x)  x 3 sin x .
 f ( x)  2 x 4
4. Derivirajte funkcije: 
 g ( x)  sin(3x  11)
5. Odredi koeficijent smjera (nagib) tangente na graf funkcije h( x)  x 3  1 u točki grafa
s apscisom 2.
6. Dervirajte funkciju f(x)=sin(5x).
x2
7. Koliki je koeficijent smjera (nagib) tangente na graf funkcije g ( x)  2 u točki
x
T(1, 3)?
8. Za koji realna broj x funkcija h( x)   x 3  9 x 2  15 x  2 postiže lokalni minimum?
9. Dervirajte funkciju f ( x)   cos x .
10. Kolika je derivacija funkcije g(x) u točki s apscisom 6, ako je g ( x)  (2 x  3) 3 .
2
9
5
11. Za koji realan broj x funkcija h( x)  x 3  x 2  5 x  postiže lokalni minimum?
3
2
6
3
12. Za koji realan broj x funkcija h( x)  x  3x  5 postiže lokalni maksimum?
x2
.
3x  5
14. Odredi prvu derivaciju funkcije f ( x)  x sin x .
13. Odredi prvu derivaciju funkcije f ( x) 
x3 x2

 6 postiže lokalni minimum?
15. Za koji realan broj x funkcija h( x) 
3
2
16. Zadana je funkcija f ( x)  x 3  3x 2
a) Odredi nul točke funkcije!
b) Deriviraj funkciju!
c) Odredi lokalne ekstreme funkcije!
d) Odredi jednadžbu tangente u točki T(-1, y)!
e) Nacrtaj graf!
8
1
17. Zadana je funkcija f ( x)  ( x  3)(x 2  24).
8
a) Odredi koordinate sjecišta grafa funkcije s osi apsica! (nul točke)
b) Deriviraj funkciju!
c) Odredi lokalne ekstreme funkcije!
d) Odredi jednadžbu tangente u točki T(-4, y)!
e) Nacrtaj graf!
18. Zadana je funkcija f ( x)  ( x 2  5 x  4)( x  1).
a) Odredi sjecište grafa s kordinatnim osima!
b) Deriviraj funkciju!
c) Odredi lokalne ekstreme funkcije!
d) Nacrtaj graf!
1
19. Zadana je funkcija f ( x)   ( x 2  16)(x  1).
4
a) Odredi nul točke funkcije!
b) Deriviraj funkciju!
c) Odredi lokalne ekstreme funkcije!
d) Odredi intervale rasta funkcije!
e) Nacrtaj graf!
1
20. Zadana je funkcija f ( x)  ( x 3  2 x 2  15x) .
5
a) Odredi nul točke funkcije!
b) Deriviraj funkciju!
c) Odredi lokalne ekstreme funkcije!
d) Odredi jednadžbu tangente u točki T(-1, y)!
e) Nacrtaj graf!
VEKTORI






1. Zadani su vektori a  2i  3 j i b  i  7 j . Kolika je mjera kuta izmeĎu vektora
  
  
 
c i d gdje su vektori zadani: c  a  b i d  a  b ?
2. Odredite površinu trokuta ABC ako je točka O ishodište
koordinatnog sustava, vektor




 


OA  2i  j , vektor AB  5i  3 j , vektor AC je usporedan s vektorom i , a
 
skalarni umnožak AB  BC  0 .
Napomena: Po potrebi skicirajte problem u koordinatnom sustavu.


3. Zadane su točke M(-2, -3), N(1, 1) iP (-1, 2). Vektor MN  NP prikažite kao linearnu
kombinaciju jediničnih vektora i i j .



4. Početna točka vektora AB  8i  6 j je A(-2, 3). Odredite koordinate točke B.

 


 

5. Odredite duljinu vektora a  b ako su a  2i  4 j i b  5i  10 j .
9
6. Točke A(3, -3), B(2, 1) i C( -3, 2) odreĎuju tokut ABC. Izračunaj mjeru kuta u vrhu C

 
i vektor AB prikaži kao linearnu kombinaciju jediničnih vektora i i j .

7. Točke A(2, 1) i B(26, 10) odreĎuju vektor. AB prikaži kao linearnu kombinaciju
 
jediničnih vektora i i j .

8. Točke A(2, 1) i B(3, 5) odreĎuju vektor. AB prikaži kao linearnu kombinaciju
 
jediničnih vektora i i j .

 

9. Izračunaj (2i  3 j )  (i  4 j ) .

  


10. Odredi  tako da vektori a  i  3 j i b  i  4 j budu okomiti.

 



11. Odredi kut izmeĎu vektora a  3i  4 j i b  3i  4 j .
ANALITIČKA GEOMETRIJA
1. Zadana je kružnica k sa središtem u točki S(3, -1.5). Pravci t1 .... y  2 x  2 i
t 2 .... y  2 x  7 su tangente kružnice k. Odredite površinu četverokuta omeĎenog
zadanim pravcima, osi y i promjerom kružnice k okomitim na pravac t1 .
2. Točke T(27, 18) leži na paraboli y 2  2 x . Koliko je točka T udaljena od ravnalice
(direktrise) te parabole?
3. Odredite jednadžbu kružnice koja dira os y i kojoj je središte u točki (-3, 2)!
4. Luk na ulazu u tunel ima oblik poluelipse. Pri zemlji je širok 12 m, a maksimalna
visina mu je 4.5 m.Iznad točke na zemlji, koja je udaljena 2 m od desnog ruba tunela,
na luku je postavljena sigurnosna kamera. Na kojoj se visini nalazi kamera?
5. Zadana je jednadžba kružnice ( x  1) 2  ( y  3) 2  5 . NaĎite jednadžbu tangenata koje
su usporedne s pravcem y  2 x  32.67 .
6. Hiperbola je zadana jednadžbom 9 x 2  4 y 2  36  0 . Izračunajte koordinate žarišta i
jednadžbe asimptota.
7. Cesta prolazi ispod nadvožnjaka koji je u obliku poluelipse. Širina nadvožnjaka u
razini ceste je 7 m. Koliko najviše može biti visok kamion širine 2.6 m da bi prošao
ispod nadvožnjaka? Najviša točka nadvožnjaka je 4.2 m. Smatra se da kamion može
proći ispod nadvožnjaka ako je vertikalna udaljenost izmeĎu krova kamiona i
nadvožnjaka najmanje pola metra.
8. Poprečni presjek rakete je u obliku elipse kojoj je velika os 4.8 m, a mala 4.2 m. U nju
treba staviti meteorološki satelit koji je u presjeku pravokutnog oblika. Koliko najviše
satelit može biti širok ako mu je duljina 4.4 m?
10
9. Zadan je skup svih točaka koje su od točke (2, 4) udaljene za 3. Napiši jednadžbu tog
skupa!
10. Tijelo kreće iz točke A(4, -5) i giba se po kružnici sa središtem u S(3, 2) u pozitivnom
5 2 
smjeru do točke B(x, y). Duljina kružnog luka AB 
. Odredi koordinate
2
točke B!
11. Točka T(10, y) leži na krivulji 2 y 2  5 x . Koliko je ta točka udaljena od žarišta
krivulje?
12. Odredi koordinate fokusa krivulje zadane jednadžbom x²-8y²=2.
13. Odredi jednadžbu hiperbole kojoj je asimptota pravac y=2x i koja prolazi točkom T(5,
8).
14. Putanja Zemlje oko Sunca je elipsa sa Suncem u jednom žarištu. Udaljenost Zemlje od
Sunca u perihelu (točka u kojoj je Zemlja najbliže Suncu) približno iznosi 147
milijuna kilometara, a udaljenost u afelu (točka u kojoj je Zemlja najudaljenija od
Sunca) iznosi 152 milijuna kilometar. Koliki je numerički ekscentricitet ε Zemljine
putanje?
e
Napomena: Numerički ekscentricitet računa se po formuli   .
a
15. Halleyev komet giba se oko Sunca po eliptičnoj putanji kojoj je numerički
ekscentricitet   0.967 . Sunce se nalazi u fokusu te elipse. Nahmanja udaljenost
kometa od Sunca je 8.75  1010 m. Koliko iznosi najveća udaljenost Halleyeva kometa
od Sunca?
16. Kružnica u prvom kvadrantu ima polumjer 4 i dira os ordinata u točki A(0, 5). Napiši
jednadžbu te kružnice!
17. Točka T(6, 5) nalazi se na elipsi čija je velika poluos a  9 Odredi jednadžbu elipse i
udaljenost meĎu fokusima!
18. Kružnica k prolazi točkom T(-3, 2) i ima isto središte kao i kružnica zadana
jednadžbom ( x  2) 2  ( y  5) 2  20 .
Koliki je polumjer kružnice k?
19. Kako glasi jednadžba kružnice kojoj su zadane koordinate rubnih točaka promjera A(3, 2) i B(1, 4).
20.
a) Parabola zadana jednadžbom y 2  2 px prolazi točkom T(3, 3). Odredi p!
b) Parabola je zadana jednadžbom y 2  12 x . Odredi udaljenost fokusa od pravca
y  2x  5 .
c) Parabola zadana jednadžbom y 2  2 px ima fokus F(1, 0) i prolazi točkom
A(x, -3). Odredi jednadžbu tangente na tu parabolu u njezinoj točki A.
11
21. Točka S(-2, 3) je središte kružnice koja prolazi ishodištem koordinatnog sustava. Kako
glasi jednadžbe te kružnice?
22. Kružnica je zadana jednadžbom ( x  1) 2  ( y  2) 2  25 .
a. Odredi točku T(-1, y) zadane kružnice za koju je y>0.
b. Odredi jednadžbu tangente u točki A(2, 6).
23. Odredi fokus elipse zadane jednadžbom 3 x 2  8 y 2  120 .
24. Odredi središte S i polumjer kružnice r zadane jednadžbom x 2  y 2  6 x  8 y  9  0 .
25. Elipsa je zadana jednadžbom 3x 2  4 y 2  48 .
a. odredi duljinu velike i male poluosi.
b. Odredi jednadžbu tangente elipse u njezinoj točki T(-2, 3).
24. Kružnica je zadana jednadžbom ( x  1) 2  ( y  3) 2  17 .
c. Točka A(2, y) pripada kružnici. Odredi y.
d. Odredi jednadžbu tangente na kružnicu u točki A.
25. Asimptota hiperbole je pravac y=2x. Na hiperboli je točka (5, 8). Odredi jednadžbu
hiperbole.
s pravcem x  2 y  8  0 povučene su tangente na kružnicu
x  ( y  1)  20 . Odredite njihove jednadžbe.
26. Usporedno
2
2
ELEMENTARNA GEOMETRIJA
PLANIMETRIJA
1. U trokutu KLM pravi kut je u vrhu L. Duljina stranice KM je 5 cm, a mjera kuta u
vrhu M je 27°. Kolika je duljina najkraće stranice toga trokuta?
2. Na skici je prikazan paralelogram ABCD u kojemu je stranica AB duljine 5 cm, a
visina na tu stranicu 8 cm. Točka S je sjecište njegovih dijagonala, a točka T polovište
dužine BS . Izračunajte površinu trokuta ABT.
D
C
v
S
T
A
B
3. Kolika je mjera najmanjeg kuta u trokutu kojemu su stranice duljina, 7, 8, i 9 cm?
4. Kolika je površina trokuta kojemu je jedna stranica duljine 5 cm, a mjere kutova uz tu
stranicu 24°36' i 55°.
12
5. Na skici je prikazan konveksan četverokut ABCD u kojemu je         180  .
Pravci AB i CD sijeku se u točki T. Točka T je 3 cm udaljena od točke A, 6 cm od
točke D i 10 cm od od točke C. Kolika je duljina stranice AB ?
C
γ
D δ
T
α
A
β
B
6. Ljestve duljna 4.2 m i 5.6 m naslonjene su na zid i dosežu istu visinu. Podnožje duljih
ljestava je za 1.96 m udaljenije od zida nego podnožje kraćih ljestava. Koliko je
podnožje kraćih ljestava udaljeno od zida? Na kojoj su visini od poda ljestve
naslonjene na zid?
7. Površina tupokutnog trokuta je 28.67 cm². Duljine dviju kraćih stranica tog trokuta su
7 i 10 cm. Kolika je mjera tupog kuta?
8. U trokutu ABC duljine stranica su c=8 cm, b=10 cm i a= 12 cm. Na stranici a nalazi se
BD
 2 . Koliko su udaljene točke A i D?
točka D tako da vrijedi
DC
9. Kolika je mjera najmanjeg kuta u pravokutnome trokutu čije su dulj ine kateta 12 i 6
cm?
10. Mjere kutova u trokutu se odnose kao 3:5:4. Najdulja stranica tog trokuta je duljine 15
cm. Kolika duljina je najkraće stranice?
11. Na skici je prikazana kružnica i njezine tetive AB i CD . Duljine dužina su: DE =7
cm, BE =6 cm, CE =3 cm i AE = x cm. Koliko je x? Točka E je sjecište dužina AB
i CD .
C
A
E
B
13
D
12. U trokutu MNK mjere kutova su: 62° u vrhu N i 42° u vrhu M. Duljina stranice MK =
50 cm. Kolika je duljina stranice KN ?
13. U trokutu ABC duljina stranica su a=20 cm i b=30 cm, a duljina težišnice iz vrha A je
t a =25 cm. Kolika je duljina stranice c tog trokuta?
14. Mjere kutova trapeza su 20° i 125°. Odredite mjere preostalih dvaju kutova trapeza.
15. Pravac na kojem su točke A i B s ravninom zatvara kut 32°12'. Duljina dužine AB je
12 cm. Kolika je duljina ortogonalne projekcije dužine AB na tu ravninu?
16. Zadan je trokut ABC. Mjera kuta u vrhu A je 46°, a kuta u vrhu C je 60°. Simetrala
kuta u vrhu C siječe trokutu opisanu kružnicu u točkama C i D. Kolika je mjera kuta u
vrhu B?
17. Izračunaj površinu pravilnoga peterokuta čija je stranica duljine 6 cm.
18. Kolika je mjera najvećega kuta trokuta ako su mu stranice duljine 3, 8 i 9 cm?
19. Četverokut ABCD upisan je u kružnicu tako da je dijagonala AC ujedno i promjer
BD  10 cm i
kružnice. Dijagonale AC i BD su meĎusobno okomite. Ako je
CD  5 5 cm, kolika je duljina dijagonale AC ?
20. U pravokutnom trokutu jedna kateta je duljine 5 cm, a kut nasuprot njoj ima mjeru
30°. Odredi ostale kutove i stranice trokuta!
21. Etikete za omatanje mliječnih proizvoda izrezane su iz recikliranoga kartona oblika
kružnoga vijenca. Dimenzije jedne etikete su l1  14 .6 cm, l1  14 .6 cm i d=9.3 cm
( d  r2  r1 , gdje su r1 i r2 radijusi pripadnih koncentričnih kružnica). Koliko
kvadratnih centimetara kartona je ostalo nakon što je iz kružnoga vijenca izrezan
maksimalni broj etiketa?
l1
l2
l
S
14
22. Kvadrat ABCD na skici ima stranice duljine 7 cm, a kvadrat BEFG stranice duljine 5
cm. Kolika je duljina dužine DE . Odredi omjer dužina BH i HG . Točka H je
sjecište dužina DE i BC .
D
C
G
F
A
E
B
23. Na slici je prikazan trokut ABC kojemu je AD =12.12 cm jedna težišnica. Kolike su
duljine dužina BD i AC , ako je dužina AB =10.80 cm? Kut u vrhu B jednak je 122°.
C
D
A
B
24. Duljine stranica trokuta iznose 12.5, 10 i 18.5 cm. Duljina najduže stranice njemu
sličnoga trokuta iznosi 20 cm. Koliki je omjer površina zadanoga i njemu sličnoga
trokuta?
25. Duljina osnovice jednakokračnoga trokuta je 10 cm, a kraka 14 cm. Kolika je duljina
visine toga trokuta?
26. U trokutu ABC duljina stranice AB je 12 cm, a mjera kuta u vrhu a je 35°. Stranica
BC je dvostuko dulja od stranice AC . Kolika je mjera kuta u vrhu B i duljina stranice
AC ?
27. Dužina AB ima duljinu 80 cm. Točka C je polovište dužine AB . Trokuti ACD i CBG
su jednakokračni. Duljina visine iz vrha D na strancu AC iznosi 30 cm, a visina iz
vrha G na stranicu CB je 21 cm. Koliki je opseg trokuta GDC?
D
G
15
A
C
B
28. Mjere dvaju kutova trokuta su 36° i 75°. Duljina najkraće stranice toga trokuta je 10
cm. Kolika je duljina najduže strance toga trokuta?
29. Duljine stranica trokuta su 12.5 cm, 10 cm i 8.5 cm. Razlika duljina najdulje i najkraće
stranice njemu sličnoga trokuta iznosi 4.8 cm. Koliko iznosi duljina treće stranice
sličnoga trokuta?
30. Slika prikazuje oblik zemljišta i neke njegove mjere. Izračunaj udaljenost točaka A i
C! Izračunaj mjeru kuta u vrhu A! Kolika je površina zemljišta sa slike?
47 m
C
D
120°
31 m
55 m
40°
A
B
31. Zadan je pravokutni trokut s hipotenuzom duljine 7.5 cm. Izračunaj duljinu katete
nasuprot kutu α=50°.
32. Opseg pravokutnika na slici iznosi 54 cm. Kolika je površina trokuta ABC?
C
a
A
a+3
B
33. Kolika je mjera označenoga kuta α na slici?
3.2 cm
43°
6.4 cm
78°
α
2.8 cm
78°
5.6 cm
34. U trokutu ABC na slici omjer kutova je α : β: γ = 3 : 2 : 13, a za duljine stranica vrijedi
a – b =3 cm. Kolika je duljina najkraće stranice toga trokuta?
C
b
α
γ
a
β
16
A
c
B
35. U trokutu ABC je mjera kuta α = 20º , AB =36 cm i AC =18 cm. Odredi duljinu
stranice BC i izračunaj kut β pri vrhu B.
36. Mjere kutova trokuta su u omjeru 1 : 10 : 4. Najdulja stranica ima duljinu 1 cm. Kolika
je tada duljina najkraće stranice?
37. Odredi polumjer kružnice, ako istaknute dužine na slici imaju duljine 1 cm i 7 cm.
38. Duljine osnovica jednakokračnoga trapeza su 20 cm i 6 cm, a površina mu je 31.2 cm².
Kolika je duljina kraka trapeza?
39. Pravokutan i jednakokračan trokut (ABC) imaju zajednički vrh C. Odredi mjeru
šiljastoga kuta α u pravokutnom trokutu na slici. Odredi mjeru kuta β uz osnovicu
jednakokračnoga trokuta ABC.
B
C
α
β
A
64º
40. U trokutu ABC zadane su stranice c=13 cm, a=9 cm i mjera kuta β=24º. Odredi duljinu
stranice b i površinu toga trokuta.
STEREOMETRIJA
41. Koliki je obujam kuglice polumjera 2 cm? Koliki će biti polumjer kugle ako se 12
željeznih kuglica polumjera 2 cm taljenjem preoblikuju u tu kuglu?
42. Zadan je stožac kojemu je baza krug polumjera 4 cm, a duljina izvodnice 5 cm. Koliki
je obujam tog stošca? Plašt toga uspravnog stošca razvijen u ravnini je kružni isječak.
Kolika je mjera središnjega kuta tog kružnog isječka?
43. Obujam pravilne šesterostrane prizme je 540 3 cm³, a visina prizme je 10 cm. Koliko
je oplošje te prizme?
17
44. Mjera šiljastog kuta pravokutnog trapeza je 50°. Duljine njegovih osnovica iznose 4
cm i 6 cm. Koliki je obujam tijela koje se dobije rotacijom zadanog trapeza oko dulje
osnovice? (str 332)
45. Koliko je oplošje pravilne trostrane piramide (tetraedra) kojoj su svi bridovi duljine 3
cm?
46. Zadana je pravilna uspravna šesterostrana piramida kojoj je duljina osnovnog brida 4
cm, a bočnoga 11.7 cm. Koliki je obujam zadane piramide?
47. Blok debljine 6.5 mm sastoji se od 100 listova papira dimenzija 21.5 cmX29.7 cm.
Gustoća papira je 1.20 g/cm³. Kolika je masa jednog lista papira u tom bloku?
48. Valjak je upisan u uspravnu pravilnu peterostranu prizmu kojoj je osnovni brid duljine
6 cm, a visina 8 cm. Koliki je obujam valjka?
49. Zadana je pravilna četverostrana piramida kojoj duljine svih bridova iznose a cm.
Kolika je mjera kuta izmeĎu baze (osnovke) i strane (pobočke)?
50. Duljina prostorne dijagonale drvene kocke je 24 cm. Iz kocke je izrezan valjak
najvećeg mogućeg obujma. Koliki je obujam toga valjka?
51. Osnovka (baza) uspravne četverostrane piramide je kvadrat. Duljina visine piramide je
8 cm. Mjera kuta izmeĎu bočnoga brida i ravnine osnovke je 55°. Odredi oplošje
piramide!
52. Metalna kugla ima obujam 288 π cm³. Koliki joj je polumjer?
53. Kuglu polumjera 5 cm treba pretopiti u valjak. Ako će polumjer baze valjka biti 4 cm,
odredi visinu valjka zaokruživši rezultat na dvije decimale.
54. Duljina hipotenuze pravokutnoga trokuta je 9 cm. Izračuna obujam stošca koji nastaje
rotacijom toga trokuta oko katete duljine 4 cm.
18

Download Report