ΣΤΡΟΦΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗ (1) 1. Ένας τροχός ακτίνας R=0,3 m μπορεί να περιστρέφεται γύρω από σταθερό άξονα ο οποίος διέρχεται από το κέντρο του. Τη χρονική στιγμή t=0 ο τροχός έχει γωνιακή ταχύτητα ωο= 10 rad/s και ξεκινά επιταχυνόμενη κίνηση με σταθερή γωνιακή επιτάχυνση αγ= 2 rad/s2. α. Να υπολογίσετε τη γωνιακή ταχύτητα του τροχού τη χρονική στιγμή t1=8 s. β. Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της γωνιακής ταχύτητας με το χρόνο. γ. Να υπολογίσετε τη γωνιακή μετατόπιση μιας ακτίνας του τροχού από τη χρονική στιγμή 0 έως τη χρονική στιγμή t1=8 s. δ. Να υπολογίσετε την κεντρομόλο επιτάχυνση ενός σημείου της περιφέρειας του τροχού τη χρονική στιγμή t1=10 s. ε. Τη χρονική στιγμή t1=10 s ο τροχός αποκτά γωνιακή επιβράδυνση και τη χρονική στιγμή t1=20 s ο τροχός σταματά να περιστρέφεται. Ποια η γωνιακή επιβράδυνση και ο αριθμός των στροφών μέχρι να σταματήσει ο τροχός ; (26 r/s , 144 rad , 270 m/s2 , 3 r/s2 , 75/ π) 2. Δακτύλιος ακτίνας R=0,5m περιστρέφεται γύρω από σταθερό άξονα που διέρχεται από το κέντρο του και είναι κάθετος στο επίπεδό του. Η χρονική εξίσωση της μεταβολής του μέτρου της γωνιακής ταχύτητας του δακτυλίου είναι ω=4+2t (S.I). Να υπολογίσετε : Α. τη γωνία στροφής του δακτυλίου από τη χρονική στιγμή t=0 μέχρι τη στιγμή t1=4 s. Β. το μέτρο της γωνιακής ταχύτητας του δακτυλίου τη χρονική στιγμή t2 , αν η γωνιακή μετατόπιση του δακτυλίου στη χρονική διάρκεια από 0 έως t2 ισούται με θ=5 rad. Γ. την κινητική ενέργεια , λόγω γραμμικής ταχύτητας , ενός υλικού σημείου Ζ , μάζας m=10-3kg της περιφέρειας του δακτυλίου τη στιγμή t1. Δ. το μήκος του τόξου που διέγραψε σημείο Κ που απέχει από το κέντρο απόσταση d1=0,1 m στη χρονική διάρκεια από 0 έως t2 Ε. τη γωνιακή μετατόπιση του δακτυλίου κατά την διάρκεια του 2ου δευτερολέπτου της κίνησής του. (32 r , 6r/s , 18.10-3 J , 0.5 m , 5 r) 3. Μια ράβδος ΑΒ μήκους L = 1,5 m είναι αρχικά ακίνητη και μπορεί να περιστρέφεται γύρω από σταθερό άξονα που διέρχεται από το άκρο της Α και είναι κάθετος σ' αυτή. Τη χρονική στιγμή t = 0 η ράβδος ξεκινά να περιστρέφεται με σταθερή γωνιακή επιτάχυνση μέτρου α = 5 rad/s2. Υλικό σημείο Ζ της ράβδου έχει μάζα m = 10-4 kg και απέχει από τον άξονα περιστροφής απόσταση d. Η επιτρόχια συνιστώσα της γραμμικής επιτάχυνσης του υλικού σημείου Ζ έχει μέτρο αε = 4 m/s2. Να υπολογίσετε: α) το μέτρο της γωνιακής ταχύτητας της ράβδου τη χρονική στιγμή t1 = 4 s, β) το μέτρο της γραμμικής ταχύτητας του υλικού σημείου Ζ τη χρονική στιγμή t 1, γ) το μέτρο της κεντρομόλου δύναμης που δέχεται το υλικό σημείο Ζ τη χρονική στιγμή t 1, δ) το μήκος του τόξου που διέγραψε το άκρο Β, καθώς και το υλικό σημείο Ζ , της ράβδου από τη χρονική στιγμή t = 0 μέχρι τη χρονική στιγμή t1. (20 r/s , 0,8 m , 16m/s , 32.10-3 N , 60m , 32 m) 4. Ένας τροχός ακτίνας 0,2 m κυλίεται χωρίς να ολισ0αίνει σε οριζόντιο δάπεδο και το κέντρο μάζας του κινείται με ταχύτητα υcm=4 m/s. Τη χρονική στιγμή t= 0 αρχίζει να επιβραδύνεται με σταθερή επιβράδυνση και συνεχίζοντας να κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει , σταματά αφού έχει διαγράψει Ν1=25 /π στροφές από τη στιγμή που άρχισε να επιβραδύνεται. Να υπολογίσετε : Α. το μέτρο της γωνιακής επιβράδυνσης του τροχού. Β. το μέτρο της ταχύτητας του κέντρου μάζας του τροχού τη χρονική στιγμή που έχει διαγράψει Ν2= 16/π στροφές. Γ. την ταχύτητα του ανώτερου σημείου του τροχού ένα δευτερόλεπτο πριν σταματήσει. Δ. την ταχύτητα και την επιτρόχιο επιβράδυνση ενός σημείου Μ της περιφέρειας του τροχού το οποίο τη χρονική στιγμή t=3s απέχει από το έδαφος απόσταση d=R. (4 r/s2 , 2,4 m/s , 1,6 m/s ) Στεφάνου Μ. Φυσικός 1 5. Ένα σώμα Σ αποτελείται από δύο ομογενείς και ομόκεντρους δίσκους ακτίνων R1= 15cm και R2= 5 cm. Στον εσωτερικό δίσκο είναι τυλιγμένο ένα λεπτό μη εκτατό νήμα και το όλο σύστημα ηρεμεί. Με τη βοήθεια του νήματος που ξετυλίγεται οριζόντια το σώμα Σ αρχίζει να κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει και η γωνιακή ταχύτητα αυξάνεται με σταθερό ρυθμό. Κάποια στιγμή t1 το σώμα Σ έχει διαγράψει Ν = 80/π στροφές και έχει αποκτήσει συχνότητα περιστροφής f=40/π Ηz. Α) Να βρείτε: Α.1 τη γωνιακή επιτάχυνση αγ και την επιτάχυνση αcm του κέντρου μάζας του σώματος Σ. Α.2 τη χρονική στιγμή t1 Α.3 την επιτάχυνση ανημ με την οποία μετακινείται ένα σημείο του νήματος. Β) Όταν ο άξονας περιστροφής του σώματος Σ έχει μετατοπισθεί κατά Δχcm= 96 m, να βρείτε: Β.1 πόσο έχει μετατοπιστεί ένα σημείο του νήματος. Β.2 το μήκος του νήματος που έχει ξετυλιχτεί. 6. Για ένα αυτοκίνητο η ταχύτητά του υcm με το χρόνο μεταβάλλεται όπως στο σχήμα. Οι τροχοί του αυτοκινήτου έχουν ακτίνα 0,4 m. α. Να σχεδιάσετε το διάγραμμα της γωνιακής ταχύτητας των τροχών με το χρόνο. β. Να γράψετε σε ποια χρονικά διαστήματα οι τροχοί έχουν γωνιακή επιτάχυνση και πόση είναι αυτή. γ. Τη χρονική στιγμή t1=7 s για το σημείο της περιφέρειας που βρίσκεται στην οριζόντια διάμετρο του τροχού να υπολογίσετε το μέτρο της συνολικής επιτάχυνσής του. δ. Τη χρονική στιγμή t=15 s για το υψηλότερο σημείο της περιφέρειας των τροχών να υπολογίσετε το μέτρο της επιτρόχιας επιτάχυνσης. ε. Να υπολογίσετε πόσες περιστροφές έκαναν οι τροχοί από 10 s έως 20 s. ( 25 r/s , 5 r/s2 , -2,5 r/s2 , 250 m/s2 , -1m/s2 ,25/π ) 7. Τρακτέρ του οποίου οι εμπρόσθιοι τροχοί έχουν ακτίνα r = 1/π m και οι οπίσθιοι R = 2/π m κινείται σε ευθύγραμμο δρόμο με σταθερή ταχύτητα υcm= 36 km/h. Τη χρονική στιγμή to = 0 το τρακτέρ φρενάρει και μέχρι να σταματήσει διανύει διάστημα 25 m. Καθ' όλη τη διάρκεια του φρεναρίσματος οι τροχοί του τρακτέρ κυλίονται χωρίς να ολισθαίνουν. 1. Να παραστήσετε γραφικά σε συνάρτηση με το χρόνο στο ίδιο σύστημα αξόνων: α. Τη γωνιακή επιτάχυνση των εμπρόσθιων και οπίσθιων τροχών. β. Τη γωνιακή ταχύτητα των εμπρόσθιων και οπίσθιων τροχών. 2. Κάποια χρονική στιγμή μετά την έναρξη του φρεναρίσματος ένα κομμάτι , λάσπης που ήταν κολλημένο σε έναν από τους εμπρόσθιους τροχούς ξεκολλάει ενώ η αντίστοιχη ακτίνα είναι παράλληλη με το έδαφος και εκτινάσσεται με ταχύτητα μέτρου 62 m/s. Να προσδιορίσετε τη χρονική στιγμή. 3. Να προσδιορίσετε, μετά πόσο χρόνο από την έναρξη του φρεναρίσματος ο ένας από τους εμπρόσθιους τροχούς θα έχει κάνει 4,5 στροφές, 8. Η ράβδος ΑΔ είναι ομογενής με βάρος w1=100N και μήκος ΑΒ=12 m . Δίνονται : w2=400 N και ΑΓ=12 m και το σύστημα ισορροπεί. Να βρεθούν οι τάσεις των νημάτων ΒΓ , ΒΔ και η δύναμη στην άρθρωση Α. (477 Ν , 450 Ν , 400 Ν) Στεφάνου Μ. Φυσικός 2 9. Η σκάλα του διπλανού σχήματος είναι ομοιόμορφη, έχει μάζα m = 40 kg, μήκος L = 4 m και η μία άκρη της ακουμπά σε λείο κατακόρυφο τοίχο. Η σκάλα μόλις που ισορροπεί χωρίς να γλιστρά στο οριζόντιο δάπεδο, σχηματίζοντας με αυτό γωνία φ = 45ο . α) Να υπολογίσετε τη δύναμη που ασκεί ο κατακόρυφος τοίχος στη σκάλα καθώς και τη δύναμη που ασκεί το οριζόντιο δάπεδο στη σκάλα. β) Να υπολογίσετε το συντελεστή στατικής τριβής μεταξύ σκάλας και οριζόντιου δαπέδου. γ)'Ένας άνθρωπος επανατοποθετεί τη σκάλα ώστε να σχηματίζει με το οριζόντιο δάπεδο γωνία φ = 37° (ημ37° = 0,6, συν37° = 0,8). Να βρείτε μέχρι ποιο σημείο μπορεί ν' ανέβει στη σκάλα ένα μικρό παιδί μάζας Μ= 40 kg, ώστε η σκάλα να μη γλιστρήσει. Δίνεται g=10 m/s2 . (200N , 2005 N ,0.5, 1m) 10. Ομογενής δοκός ΑΒ μήκους L= 4m και βάρους w1=600 N στηριζόμενη στο άκρο Α και σε ένα σημείο Γ, το οποίο απέχει απόσταση d = 2, 5 m από το άκρο Α , όπως φαίνεται στο σχήμα. Ένα παιδί βάρους w2 = 300 Ν στέκεται πάνω στη δοκό, στο σημείο Γ, και αρχίζει να προχωράει προς το άκρο Β. α. Να σχεδιάσετε τις δυνάμεις που ασκούνται στη δοκό, όταν το παιδί βρίσκεται σε απόσταση χ από το σημείο Γ. β. Να εκφράσετε τα μέτρα των δυνάμεων που ασκούν στη δοκό τα στηρίγματα σε συνάρτηση με την απόσταση χ. Να παραστήσετε γραφικά τις δύο αυτές δυνάμεις, στο ίδιο διάγραμμα. γ. Μέχρι ποια απόσταση μπορεί να προχωρήσει το παιδί, χωρίς να ανατραπεί η δοκός δ. Ποιο είναι το μέτρο της δύναμης που ασκεί στη δοκό το υποστήριγμα στο σημείο Γ στην περίπτωση του ερωτήματος (γ) ε) Σε πόση απόσταση από το άκρο της σανίδας πρέπει να τοποθετηθεί το υποστήριγμα Γ, ώστε το παιδί να μπορεί να φτάσει στο άκρο Β χωρίς να ανατρέπεται η σανίδα; (780+120χ , 120-120χ , 1m , 900 N) 11. Η ομογενής ράβδος ΑΒ του διπλανού σχήματος έχει μήκος L = 25 m, βάρος w= 40Ν και ισορροπεί σε οριζόντια θέση με τη βοήθεια αβαρούς και μη εκτατού νήματος, όπως φαίνεται στο σχήμα. Η ράβδος μπορεί να περιστρέφεται με τη βοήθεια άρθρωσης γύρω από οριζόντιο άξονα που διέρχεται από το άκρο της Α και είναι κάθετος σε αυτή. Στη ράβδο έχουμε τοποθετήσει σώμα μάζας m1 = 12,5 kg αμελητέων διαστάσεων, το οποίo απέχει από το άκρο Α απόσταση d = 16 m. Το όριο θραύσης του νήματος ισούται με Τθρ= 240 Ν. α. Να υπολογίσετε την τάση του νήματος. β. Να υπολογίσετε το μέτρο της δύναμης που δέχεται η ράβδος από την άρθρωση. γ. Το σώμα αρχίζει να ολισθαίνει πάνω στη ράβδο κινούμενο προς τα δεξιά με σταθερή ταχύτητα υ = 4m/s . Να υπολογίσετε μετά από πόσο χρόνο από την εκκίνηση του σώματος θα σπάσει το νήμα. Δίνεται: η επιτάχυνση της βαρύτητας, g=10 m/s2. (200 N , 185 N , 1 s ) Στεφάνου Μ. Φυσικός 3 12. Η ράβδος ΓΔ είναι αβαρής ενώ η ράβδος ΑΕ είναι ομογενής και ισοπαχής, με βάρος w1= 200 Ν και μήκος (ΑΕ) = 4 m. Το σώμα έχει μάζα m = 4 kg και το ελατήριο σταθεράς Κ = 400 Ν/m έχει επιμηκυνθεί, όταν το σύστημα ισορροπεί, κατά 0,2 m. Να βρεθούν: α) Η τάση του νήματος ΖΗ και οι αντιδράσεις στις αρθρώσεις Α, Γ. β) Κόβουμε το νήμα τη χρονική στιγμή t = 0. Να γραφεί η εξίσωση της κίνησης του σώματος και να βρεθούν οι δυνάμεις στη ράβδο τη χρονική στιγμή t = Τ/2 , όπου Τ η περίοδος ταλάντωσης του σώματος. Δίνεται (ΑΓ)=1m , g=10 m/s2. (40N , 720N , 440N , 0,1ημ(10t+3π/2) ,Fελ=0 , 400N , 200N) 13. Μια ομογενής ράβδος μάζας m και μήκους l φέρει προσαρμοσμένη στο ένα της άκρο σφαίρα μάζας Μ και ακτίνας R, Να υπολογίσετε τη ροπή αδράνειας του σώματος που προκύπτει ως προς άξονα κάθετο στο άλλο άκρο της ράβδου, αν γνωρίζουμε ότι l=9R και m=Μ. Δίνονται οι ροπές αδράνειας ως προς άξονα που περνά από το κέντρο μάζας των σωμάτων: για τη ράβδο Ιcm = m l2/12 για τη σφαίρα Ιcm=(2/5).m.R2. 14. Ομογενής ράβδος ΒΓ μήκους L = 3 m και μάζας Μ =2 kg , ισορροπεί οριζόντια με τη βοήθεια αβαρούς μη εκτατού νήματος το οποίο είναι στερεωμένο στο μέσο Κ της ράβδου και σε κατακόρυφο τοίχο. Το νήμα σχηματίζει με τη ράβδο γωνία φ=30ο . Το άκρο Β της ράβδου συνδέεται με τον τοίχο μέσω άρθρωσης. Στο άκρο Γ της ράβδου είναι στερεωμένο κατακόρυφο αβαρές ιδανικό ελατήριο σταθεράς Κ=100 N/m , στο άλλο άκρο του οποίου έχει προσδεθεί και ισορροπεί σημειακή μάζα m=1 kg. Τη στιγμή t=0 προσδίνουμε στη μάζα m ταχύτητα μέτρου υ=2 m/s με φορά θετική προς τα κάτω., οπότε το σύστημα ελατήριο- μάζα αρχίζει να εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση. Αν το όριο θραύσης του νήματος είναι Τθρ=120Ν , να υπολογίσετε : Α. το μέτρο της τάσης του νήματος κατά τη διάρκεια της ισορροπίας του συστήματος ελατήριο – μάζας. Β. την περίοδο Το και το πλάτος Α της ταλάντωσης του συστήματος ελατήριο – μάζας και να γράψετε την εξίσωση της απομάκρυνσης του σε συνάρτηση με το χρόνο , θεωρώντας θετική φορά προς τα κάτω. Γ. τη χρονική στιγμή που θα κοπεί το νήμα. Δ. την ταχύτητα της μάζας m τη στιγμή που κόβεται το νήμα. Δίνεται: g=10 m/s2 (80 Ν , π/5 sec , 0,2 m , 0.2ημ10t , π/60 sec , √3 m/s ) 15. Από ένα ομογενή και ισοπαχή δίσκο ακτίνας R αφαιρούμε ένα κυκλικό τμήμα ακτίνας R/2 όπως φαίνεται στο διπλανό σχήμα. Να βρείτε τη ροπή αδράνειας του στερεού που απομένει ως προς άξονα που διέρχεται από το κέντρο Ο του δίσκου και είναι κάθετος στο επίπεδο του δίσκου. Δίνεται η ροπή αδράνειας του ομογενούς δίσκου μάζας M και ακτίνας R ως προς άξονα που είναι κάθετος στο επίπεδό του και διέρχεται από το κέντρο μάζας του είναι Ιcm=(1/2)M R2 . Στεφάνου Μ. Φυσικός R Ο 4 16. Μια λεία ομογενής σανίδα ΑΓ μήκους l=2m και μάζας m1=2 kg είναι αρθρωμένη σε κατακόρυφο τοίχο με το κάτω άκρο της Α. Το άλλο άκρος της είναι δεμένο με κατακόρυφο νήμα με όριο θραύσης Τθρ=52 Ν. Πάνω στη σανίδα ισορροπεί σώμα Σ μάζας m2=5kg που είναι δεμένο σε ελατήριο σταθεράς Κ=125 Ν/m και φυσικού μήκους lo=1 m. Α) Να βρείτε την τάση του νήματος όταν το σύστημα ισορροπεί. Την στιγμή t =0 θέτουμε το σώμα Σ σε ταλάντωση, δίνοντας σε αυτό θετική ταχύτητα υ=1,5m/s παράλληλη με την σανίδα και με φορά προς τα πάνω. Β) Να βρείτε το πλάτος ταλάντωσης του Σ. Γ) Να γράψετε στο τη χρονική εξίσωση της δύναμης που ασκεί το νήμα στη σανίδα. Δ) Ποια η τιμή της δύναμης που ασκεί το νήμα στη σανίδα τη χρονική στιγμή t = Τ/12 (Τ η περίοδος της ταλάντωσης); Ε) Ποια η μέγιστη ταχύτητα υ που μπορούμε να δώσουμε στο σώμα Σ χωρίς να κοπεί το νήμα; Δίνονται: ημφ=0,8, συνφ=0,6, και g =10 m/s2. 17. Η ράβδος ΑΒ μήκους L=4 m και βάρους W=100 N μπορεί να στρέφεται γύρω από οριζόντιο άξονα που διέρχεται από το άκρο της Α και ισορροπεί όπως στο σχήμα, δεμένη με νήμα στο άκρο της Β, το οποίο είναι κάθετο σε αυτήν. Κατά μήκος της ράβδου κινείται ένα σώμα Σ μάζας m1=5kg με επιτάχυνση α=2 m/s2. Αν η κλίση της σανίδας είναι θ, όπου ημθ=0,6 και συνθ = 0,8, να βρεθούν η τάση του νήματος και οι συνιστώσες της δύναμης που δέχεται η σανίδα από τον άξονα Fx, και Fy όπου η μια έχει την διεύθυνση της σανίδας και η άλλη κάθετη σε αυτήν τη στιγμή που το σώμα περνά από την θέση O, απέχοντας 1m από το άκρο Β. Δίνεται g= 10m/s2. (20 Ν , 70 Ν , 60 Ν) 18. Το διπλανό στερεό σώμα αποτελείται από μια σφαίρα μάζας Μ = 10 kg και ακτίνας R = 0,5 m και από μια λεπτή, ομογενή ράβδο μήκους L = 2 m και μάζας m = 3 kg, στα άκρα της οποίας έχουμε στερεώσει δύο σημειακές μάζες m1 = 1 kg και m2 = 2 kg. Η ράβδος εφάπτεται στη σφαίρα σε σημείο Ζ, το οποίο είναι το μέσο της ράβδου. Να υπολογίσετε τη ροπή αδράνειας: α) του συστήματος των δύο σημειακών μαζών ως προς τον άξονα yy' που είναι κάθετος στη ράβδο και διέρχεται από το κέντρο της σφαίρας. β) του στερεού σώματος ως προς τον άξονα χ΄χ, γ) του στερεού σώματος ως προς τον άξονα yy΄ . Δίνονται η ροπή αδράνειας της ράβδου ως προς άξονα που διέρχεται από το μέσο της και είναι κάθετος σ' αυτή: Ιρ = 1/12 mL2 και η ροπή αδράνειας της σφαίρας ως προς άξονα που διέρχεται από το κέντρο της: Ισ = 2/5 (Μ R2 ). (3 Kg.m2 , 3,5 Kg.m2 , 5 Kg.m2 ) 19. Το στερεό τετράγωνο ΑΒΓΔ του σχήματος αποτελείται από τέσσερις ομογενείς ράβδοι ίδιου μήκους L και ίδιας μάζας m. Να βρείτε τη ροπή αδράνειας του τετραγώνου Α) ως προς τον άξονα χχ΄που διέρχεται από την πλευρά ΑΔ και είναι παράλληλος με αυτόν που διέρχεται από το κέντρο μάζας. Β) ως προς τον άξονα yy΄ κάθετο στο επίπεδο του τετραγώνου, που διέρχεται από την κορυφή Α και είναι παράλληλος με αυτόν που διέρχεται από το κέντρο μάζας.. Δίνεται η ροπή αδράνειας της ράβδου ως προς τον άξονα που διέρχεται από το κέντρο μάζας και είναι παράλληλος με τους παραπάνω είναι Ιcm=mL2 /12 . Στεφάνου Μ. Φυσικός 5 20. Ομογενής οριζόντιος δίσκος, ακτίνας R=0,2 m και μάζας Μ=10kg μπορεί να περιστρέφεται γύρω από σταθερό κατακόρυφο άξονα που διέρχεται από το κέντρο του O. Αρχικά ο δίσκος είναι ακίνητος. Τη χρονική στιγμή t=0 ο δίσκος δέχεται δύο οριζόντιες δυνάμεις σταθερού μέτρου F1=20 N και F2=10 N εφαπτομενικές στα αντιδιαμετρικά σημεία Κ και Λ της περιφέρειας του δίσκου, όπως φαίνεται στο σχήμα. Η ροπή αδράνειας του δίσκου δίνεται από τη σχέση Ιcm= ½.M.R2. α) Να υπολογιστεί η γωνιακή επιτάχυνση του δίσκου. β) Τη χρονική στιγμή t1 =2 s διπλασιάζεται η δύναμη F2. Να υπολογιστεί ο αριθμός των περιστροφών που διαγράφει ο δίσκος από τη χρονική στιγμή t=0 μέχρι τη χρονική στιγμή t2=4 s. γ) Τη χρονική στιγμή t2=4 s καταργείται η δύναμη F1. Να βρεθεί ποια χρονική στιγμή θα σταματήσει στιγμιαία ο δίσκος. 21. Ομογενής ράβδος ΑΒ μήκους 1=2 m και μάζας Μ=3 kg βρίσκεται ακίνητη σε οριζόντιο επίπεδο και μπορεί να περιστρέφεται γύρω από σταθερό κατακόρυφο άξονα που διέρχεται από το μέσο της Ο. Δύο F m1 m2 σώματα με μάζες m1=m2=4,5 kg A O βρίσκονται στα σημεία Κ και Λ της ράβδου, που απέ χουν από το μέσο O B Λ K αποστάσεις ΟΚ=ΟΛ=L/3 αντίστοιχα. F Τη χρονική στιγμή t=0 στα άκρα Α και Β της ράβδου ασκείται ζεύγος δυνάμεων μέτρου F=10 Ν, όπως φαίνεται στο σχήμα. Να υπολογιστούν: α) η ροπή αδράνειας του συστήματος β) η γωνιακή επιτάχυνση του συστήματος γ) το τόξο που διαγράφει το σώμα μάζας m1 μέχρι τη χρονική στιγμή t=5 s. δ) το μέτρο της γραμμικής ταχύτητας και της επιτρόχιας επιτάχυνσης του άκρου Α της ράβδου τη χρονική στιγμή t=5 s. Δίνονται η ροπή αδράνειας της ράβδου ως προς άξονα που διέρχεται από το μέσο της και είναι κάθετος σ' αυτή: Ιρ = 1/12 ML2 (5 kg.m2 , 4 r/s2 , 100/3 m , 20 m/s , 4 m/s2 ) 22. Η λεπτή ομογενής ράβδος του διπλανού σχήματος έχει μήκος 1 = 2 m, μάζα Μ= 2 kg και μπορεί να περιστρέφεται χωρίς τριβές γύρω από οριζόντιο σταθερό άξονα ο οποίος διέρχεται από το άκρο της Ο και είναι κάθετος σ' αυτή. Η ράβδος ισορροπεί αρχικά σε οριζόντια θέση με τη βοήθεια αβαρούς, μη εκτατού νήματος, όπως φαίνεται στο σχήμα. Το σημείο Ζ της ράβδου στο οποίο είναι δεμένο το νήμα απέχει από το άκρο Ο απόσταση 11 = 1,25 m. α) Να υπολογίσετε την τάση του νήματος καθώς και τη δύναμη που δέχεται η ράβδος στο σημείο Ο. β) Κόβουμε το νήμα. Να υπολογίσετε το μέτρο της γωνιακής επιτάχυνσης που αποκτά η ράβδος: i) τη χρονική στιγμή που κόψαμε το νήμα, ii) τη χρονική στιγμή που η ράβδος σχηματίζει με την κατακόρυφο που διέρχεται από το άκρο Ο γωνία 60°. iii) τη χρονική στιγμή που η ράβδος διέρχεται από την κατακόρυφη θέση της. Αυτή τη χρονική στιγμή να βρείτε τη δύναμη που δέχεται το σημείο Ο από τον άξονα περιστροφής , αν η γωνιακή ταχύτητα της ράβδου είναι τότε 10 r/s. Δίνεται ότι η ροπή αδράνειας της ράβδου Ιcm = 1/12 Μ12 και g = 10 m/s2. (16 N , 4 N , 7,5 r/s2 , 220 N) Στεφάνου Μ. Φυσικός 6 23. Οι δύο ράβδοι του σχήματος έχουν μήκος L=0,6 m, μάζα m=1 kg κάθε μία και είναι συγκολλημένες σταθερά στο Λ ώστε να σχηματίζουν την ορθή γωνία ΚΛΜ. Το σύστημα των δύο ράβδων ισορροπεί όπως φαίνεται στο σχήμα. Η ράβδος ΛΜ είναι κατακόρυφος ενώ η ΚΛ είναι οριζόντια συγκρατούμενη στο μέσο της Ρ από σχοινί το οποίο σχηματίζει με την κατακόρυφο γωνία φ=60°. Κόβουμε το σχοινί οπότε το σύστημα αρχίζει να περιστρέφεται γύρω από το K χωρίς τριβές. Να υπολογίσετε: α. την τάση του νήματος πριν κοπεί. β. τη ροπή αδράνειας του συστήματος των δύο ράβδων ως προς το Κ. γ. τη γωνιακή επιτάχυνση που θα αποκτήσει το σύστημα τη στιγμή που θα κοπεί το νήμα δ. το ρυθμό μεταβολής της γωνιακής ταχύτητας του συστήματος τη στιγμή που η ράβδος ΚΛ γίνεται κατακόρυφη. Δίνεται Ιcm(ράβδου)=1/12 m L2 , g=10 m/s2. (60N , 0,6Kgm2 , 15 r/s2 ) 24. Τέσσερις ίδιες, λεπτές, ισοπαχείς ράβδοι ΟΑ, ΑΒ, ΒΓ και ΓΟ, που έχουν μάζα Μ=2 kg μήκος L = 1,5 m η καθεμία , συγκολλούνται στα άκρα τους Ο, Α, Β και Γ, ώστε να σχηματίζουν τετράγωνο ΟΑΒΓ. Το σύστημα των τεσσάρων ράβδων μπορεί να περιστρέφεται περί οριζόντιο άξονα, κάθετο στο επίπεδο του τετραγώνου, που διέρχεται από την κορυφή του Ο. Το σύστημα αρχικά συγκρατείται στη θέση όπου η ράβδος ΟΑ είναι οριζόντια, με τη βοήθεια οριζόντιας δύναμης F, όπως φαίνεται στο σχήμα. Α. Να υπολογίσετε τη ροπή αδράνειας του συστήματος ως προς τον άξονα περιστροφής που διέρχεται από το σημείο Ο. Β. Να υπολογίσετε το μέτρο της δύναμης F Γ. Κάποια στιγμή η δύναμη καταργείται και από την αρχική του θέση το σύστημα αφήνεται ελεύθερο να περιστραφεί σε κατακόρυφο επίπεδο περί τον άξονα περιστροφής στο σημείο Ο, χωρίς τριβές. Να υπολογίσετε το μέτρο της γωνιακής επιτάχυνσης του συστήματος, κατά τη στιγμή της εκκίνησης. Δ. Τη χρονική στιγμή της εκκίνησης να βρείτε τις επιτρόχιες επιταχύνσεις (μέτρα και διανύσματα) των σημείων Α , Β , Γ και του μέσου Μ της ράβδου ΑΒ. Η ροπή αδράνειας της κάθε ράβδου ως προς τον άξονα που διέρχεται από το κέντρο μάζας της και είναι κάθετος στη ράβδο είναι Ιcm = 1/12ΜL2 και η επιτάχυνση της βαρύτητας είναι g=10 m/s2. (15 Kg.m2 , 40 N , 4 r/s2 ) 25. Η λεπτή, ομογενής ράβδος ΟΑ του σχήματος έχει μήκος L, μάζα M και μπορεί να περιστρέφεται σε κατακόρυφο επίπεδο γύρω από οριζόντιο ακλόνητο άξονα (άρθρωση) που διέρχεται από το άκρο της Ο. Στο άλλο άκρο Α της ράβδου είναι δεμένο ένα αβαρές νήμα, στο άλλο άκρο του οποίου είναι αναρτημένο, μέσω τροχαλίας ακτίνας R, ένα σώμα Σ μάζας m1=0,1√5 kg. Το νήμα είναι κάθετο στη ράβδο ΟΑ στο άκρο της Α. Η ράβδος, το σώμα Σ και η τροχαλία ισορροπούν ακίνητα, με τη ράβδο να σχηματίζει γωνία φ=45ο με το οριζόντιο δάπεδο. Να βρείτε: α) το μέτρο της τάσης Τ1 του νήματος στο σημείο Α. β) τη μάζα Μ της ράβδου. γ) το μήκος L της ράβδου, αν η ροπή αδράνειάς της ως προς τον άξονα που διέρχεται από το σημείο Ο είναι Io=15√10.10-4 kg.m2 δ) Το μέτρο της δύναμης F που ασκεί η άρθρωση στη ράβδο. Δίνονται: Η επιτάχυνση βαρύτητας g=10 m/s2. Στεφάνου Μ. Φυσικός 7 26. Η τροχαλία του διπλανού σχήματος έχει μάζα Μ = 4 kg και ακτίνα R = 0,2 m, τα σώματα έχουν μάζες m1 = 1 kg και m2 = 2 kg και το σχοινί είναι αβαρές. Αρχικά το σύστημα είναι ακίνητο. Αν αφήσουμε τα σώματα ελεύθερα, να βρείτε: α. την επιτάχυνση των σωμάτων, β. τη ροπή που δέχεται η τροχαλία γ. τις τάσεις του σχοινιού, δ. μετά από πόσο χρόνο τα σώματα θα απέχουν μεταξύ τους d = 8 m. ε. το μέτρο της ταχύτητας των δύο σωμάτων τη χρονική στιγμή t1=2 sec ζ. το μέτρο της γωνιακής ταχύτητας της τροχαλίας όταν το σώμα m1 μετακινηθεί από τη θέση που βρισκόταν τη στιγμή t=0 κατά 16 m .Δίνεται : Ιcm=m.R2 /2 , g=10m/s2 (2m/s2 , 0,8N.m , 12N , 16N , 2s 4m/s, 40r/s) 27. Ο δίσκος του σχήματος μάζας m=0,6 Κg και ακτίνας R=0,2m , έχει τυλιγμένο γύρω του αβαρές νήμα , το ελεύθερο άκρο του οποίου είναι στερεωμένο έτσι ώστε αυτό να είναι ακίνητο. Τη χρονική στιγμή t=0 αφήνουμε ελεύθερο το δίσκο. Να βρείτε : 1) την επιτάχυνση του κέντρου μάζας του δίσκου, καθώς και το μέτρο της γωνιακής επιτάχυνσης του δίσκου 2) Το μέτρο της τάσης του νήματος. 3) Το μέτρο της ταχύτητας του κέντρου μάζας του δίσκου τη στιγμή που έχει εκτελέσει 12/π στροφές. 4) Το μέτρο γωνιακής ταχύτητας του δίσκου όταν έχει ξετυλιχτεί νήμα μήκους 1,2 m. 5) Αυτή τη χρονική στιγμή κόβεται το νήμα. Να βρείτε τη γωνιακή ταχύτητα και την ταχύτητα του κέντρου μάζας μετά από χρόνο t=2 s, αφότου κοπεί το νήμα. Δίνεται η ροπή αδράνειας Ιcm=1/2 m R2 και το g=10 m/s2 . (100/3 r/s2 , 2N , 8 m/s , 20 r/s ) 28. Ένα σύστημα διπλής τροχαλίας αποτελείται από δύο ομογενείς λεπτούς δίσκους Α και Β με ακτίνες R1=0.2 m και R2=0.1 m αντίστοιχα. Το σύστημα μπορεί να περιστρέφεται γύρω από οριζόντιο σταθερό άξονα, που περνά από το κέντρο του και είναι κάθετος στο επίπεδό του. Ο άξονας αυτός, αποτελεί μέρος άρθρωσης, με την οποία το σύστημα είναι στερεωμένο ακλόνητα στην οροφή, όπως φαίνεται στο σχήμα. Γύρω από τους δίσκους είναι τυλιγμένα αβαρή νήματα, τα οποία δεν ολισθαίνουν πάνω στους δίσκους. Στις ελεύθερες άκρες των νημάτων των τροχαλιών Α και Β έχουν δεθεί σώματα Σ1,Σ2 , με μάζες m1=2 kg και m2=1 kg αντίστοιχα. Το σώμα Σ2 βρίσκεται πάνω σε λείο οριζόντιο επίπεδο. Τη χρονική στιγμή t=0 το σύστημα αφήνεται ελεύθερο να κινηθεί. α) Να σχεδιάσετε τις δυνάμεις που ασκούνται στη διπλή τροχαλία και στα σώματα Σ1,Σ2. β) Να υπολογίσετε το μέτρο της γωνιακής επιτάχυνσης αγ της διπλής τροχαλίας και να δείξετε την κατεύθυνσή της στο σχήμα. γ) Τη χρονική στιγμή που το σώμα Σ1 κατεβαίνει κατά 64 m , να βρείτε την ταχύτητα των δύο σωμάτων Σ1 και Σ2 , καθώς και τη γωνιακή ταχύτητα της διπλής τροχαλίας. δ) Πόσες στροφές έκανε η διπλή τροχαλία το παραπάνω χρονικό διάστημα ; Η ροπή αδράνειας της διπλής τροχαλίας ως προς τον άξονα περιστροφής της είναι Icm=0.01 kg.m2. Δίνεται: g=10 m/s2. Στεφάνου Μ. Φυσικός 8 40. Η τροχαλία Σ του σχήματος μπορεί να περιστρέφεται γύρω από οριζόντιο ακλόνητο άξονα που διέρχεται από το κέντρο της και είναι κάθετος στο επίπεδό της. Η ροπή αδράνειας της τροχαλίας ως προς τον άξονα της, είναι Ι=0,01 kg.m2 και η ακτίνα της είναι R=0,1 m. Γύρω από την τροχαλία είναι τυλιγμένο πολλές φορές λεπτό αβαρές και μη εκτατό νήμα, το οποίο δεν ολισθαίνει πάνω στην τροχαλία. Στη μία άκρη του νήματος έχει αναρτηθεί το σώμα Σ1. Στην άλλη άκρη του νήματος έχει προσδεθεί το σώμα Σ2, το οποίο βρίσκεται πάνω σε λείο οριζόντιο επίπεδο. Το σύστημα ισορροπεί ακίνητο με τη βοήθεια ιδανικού ελατηρίου σταθεράς k=100 N/m, στο οποίο έχει προσδεθεί στο ένα άκρο του το σώμα Σ2 και το άλλο άκρο του σε ακλόνητο στήριγμα. Τα σώματα Σ1 και Σ2 έχουν μάζα m=1kg το καθένα. α) Να βρεθεί το μέτρο της δύναμης που ασκεί το ελατήριο στο σώμα Σ 2, όταν το σύστημα ισορροπεί. β) Τη χρονική στιγμή t=0 κόβουμε το νήμα στο σημείο που συνδέει το σώμα Σ2 με την τροχαλία, με αποτέλεσμα η τροχαλία να ξεκινήσει να περιστρέφεται και το σύστημα ελατήριο – Σ 2 να ξεκινήσει απλή αρμονική ταλάντωση. Να βρείτε: β1) Το μέτρο της γωνιακής επιτάχυνσης της τροχαλίας. β2) Πόσο έχει κατέβει το σώμα Σ1 από τη χρονική στιγμή t=0 μέχρι τη χρονική στιγμή t1 κατά την οποία το μέτρο της γωνιακής ταχύτητας της τροχαλίας γίνεται αριθμητικά ίσο με τη γωνιακή συχνότητα της απλής αρμονικής ταλάντωσης του συστήματος ελατήριο – Σ 2. Δίνεται: g=10 m/s2 29. Η τροχαλία του σχήματος έχει μάζα Μ=4kg και ηρεμεί όπως στο σχήμα, όπου ένα αβαρές νήμα έχει περαστεί στο αυλάκι της. Το ένα του άκρο του νήματος έχει δεθεί σε ταβάνι, ενώ το άλλο του άκρο Α συγκρατείται σε τέτοια θέση, ώστε να απέχει κατά h=0.36 m από τo νταβάνι. Ασκούμε κατάλληλη σταθερή κατακόρυφη δύναμη F στο άκρο A του νήματος, ώστε τo άκρο αυτό να φτάσει στο ταβάνι σε χρόνο t1=0.6 s. α) Να αποδειχθεί ότι η τροχαλία κινείται προς τα πάνω με σταθερή επιτάχυνση κέντρου μάζας. β) Να δειχτεί ότι το άκρο Α έχει διπλάσια επιτάχυνση από το κέντρο Ο της τροχαλίας. Να υπολογιστεί η επιτάχυνση του άκρου Α. γ) Να βρεθεί το μέτρο της ασκούμενης δύναμης F. Δίνεται η ροπή αδράνειας ης τροχαλίας ως προς τον άξονα περιστροφής ης I=1/2 (M R2) και g= 10m/s2 (2 m/s2 , 23 N) 30. Σε κεκλιμένο επίπεδο γωνίας κλίσης φ (ημφ = 0,6, συνφ = 0,8) βρίσκονται ένας ομογενής κύλινδρος μάζας m1 = 2kg και ακτίνας R = 0,1 m και ένας κύβος ίδιας μάζας που είναι δεμένοι με ένα νήμα, όπως στο σχήμα. Το σύστημα κατέρχεται , ξεκινώντας από την ηρεμία και με τον κύλινδρο να κυλίεται χωρίς ολίσθηση, τον δε κύβο να παρουσιάζει με το κεκλιμένο επίπεδο συντελεστή τριβής ολίσθησης μ=0,3. Α) Να δείξτε ότι ο κύλινδρος αν κινιόταν μόνος του θα είχε μεγαλύτερη επιτάχυνση από τον κύβο, οπότε το σύστημα κατέρχεται με το νήμα τεντωμένο. Β) Να βρείτε τον ελάχιστο συντελεστή στατικής τριβής του κυλίνδρου ώστε να κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει. Γ) Να βρείτε την επιτάχυνση του κέντρου μάζας του κυλίνδρου. Δ) Να βρείτε το μέτρο της δύναμης F που ασκεί το νήμα σε κάθε σώμα και τις δυνάμεις τριβής που δέχονται ξεχωριστά ο κύλινδρος και ο κύβος. Ε) Όταν ο κύλινδρος κατέβει κατακόρυφη απόσταση Η=28,8 cm , να βρείτε την ταχύτητα του κέντρου μάζας του κύβου και την γωνιακή ταχύτητα του κυλίνδρου. Δίνονται: η ροπή αδράνειας του κυλίνδρου ως προς τον άξονά του, Ι cm=1/2.MR2 ,και η επιτάχυνση της βαρύτητας 10 m/s2 ( 4 m/s2 , 3.6 m/s2 , 0,25, 3,8 m/s2 , 3,84 N , 4,8 N , 0,48 N , 1.92 m/s) Στεφάνου Μ. Φυσικός 9 31. Συμπαγής και ομογενής κύλινδρος μάζας Μ= 10 kg και ακτίνας R = 0,45 m βρίσκεται πάνω σε οριζόντιο επίπεδο. Στην επιφάνεια του κυλίνδρου έχουμε τυλίξει λεπτό αβαρές νήμα, το οποίο περιβάλλει την περιφέρεια ακίνητης τροχαλίας, αμελητέας μάζας. Σώμα Σ άγνωστης μάζας m κρέμεται στο ελεύθερο άκρο του νήματος, όπως φαίνεται στο σχήμα. Αρχικά το σύστημα είναι ακίνητο. Αφήνουμε το σύστημα κυλίνδρου – τροχαλίας-σώματος Σ ελεύθερο να κινηθεί, οπότε το σώμα Σ κινείται προς τα κάτω και ο κύλινδρος κυλίεται πάνω στο οριζόντιο επίπεδο χωρίς να ολισθαίνει. Τη χρονική στιγμή t1 που το σώμα Σ έχει μετατοπιστεί προς τα κάτω κατά h = 1,8 m, το μέτρο της ταχύτητας του κέντρου μάζας του κυλίνδρου είναι υ= 2 m/s . Να υπολογίσετε: α. το μέτρο της ταχύτητας του κέντρου μάζας του σώματος Σ τη χρονική στιγμή t1. β. τη μάζα m του σώματος Σ. γ. το μέτρο της επιτάχυνσης του κέντρου μάζας του κυλίνδρου. δ. το μέτρο της στατικής τριβής που ασκείται στον κύλινδρο Δίνονται: η ροπή αδράνειας του κυλίνδρου ως προς τον άξονά του, Ιcm=1/2.MR2 ,και η επιτάχυνση της βαρύτητας 10 m/s2 . (4 m/s , 3 kg , 20/9 m/s2 ) 32. Η ομογενής σφαίρα του σχήματος έχει μάζα m = 5 kg ακτίνα R = 0,4 m και βρίσκεται συνέχεια σε επαφή με τα δύο επίπεδα της ορθής γωνίας. Η αρχική γωνιακή ταχύτητα της σφαίρας έχει μέτρο ωo = 60 r/s και ο συντελεστής τριβής ολίσθησης μεταξύ της σφαίρας και των επιπέδων είναι μ = 0,5. Να βρείτε: α) Τα μέτρα των τριβών που δέχεται η σφαίρα από τα επίπεδα. β) Τη γωνιακή επιβράδυνση της σφαίρας. γ) Το χρόνο που χρειάζεται για να σταματήσει η περιστροφή της σφαίρας. δ) Τη συνολική γωνία στροφής της σφαίρας από τη στιγμή που αφήνεται μέχρι που σταμάτησε. ε) Τον αριθμό των στροφών μέχρι να σταματήσει. Δίνεται ροπή αδράνειας της σφαίρας ως προς άξονα που διέρχεται από το κέντρο μάζας Icm=(2/5).m.R2 και g=10m/s2. (20 Ν, 10 Ν , 15 r/s2 , 4 s , 120 rad , 60/π ) 33. Στη διάταξη του διπλανού σχήματος το σώμα Σ έχει μάζα m1 ο δίσκος έχει μάζα m2 = 3kg και ακτίνα R = 0,2 m. Η τροχαλία Τ είναι αβαρής και μπορεί να στρέφεται χωρίς τριβές γύρω από τον άξονά της. O δίσκος κατέρχεται εκτελώντας σύνθετη κίνηση απέχοντας αρχικά απόσταση h = 30 cm από το έδαφος ενώ το σώμα Σ παραμένει συνεχώς ακίνητο. Να υπολογίσετε: α. τη γωνιακή επιτάχυνση του δίσκου. β. την τιμή της μάζας m1 γ. σε πόσο χρόνο ο δίσκος φτάνει στο έδαφος. δ. την ταχύτητα που αποκτά ο δίσκος τη στιγμή που φτάνει στο έδαφος. Δίνονται: η επιτάχυνση της βαρύτητας g= 10m/s2 και η ροπή αδράνειας του κυλίνδρου, ως προς τον άξονα περιστροφής του Ι =1/2 Μ.R2 (100/3 r/s2 , 1 kg , 3 s ) Στεφάνου Μ. Φυσικός 10 34. Στο διπλανό σχήμα φαίνονται δύο μη λείες σφαίρες ίσης μάζας Μ=1 kg και ίδιας ακτίνας R=0.1 m. Η μία σφαίρα είναι συνδεδεμένη με οριζόντιο ελατήριο σταθεράς Κ=70Ν/m που δεν εμποδίζει την περιστροφή της σφαίρας και η δύναμη του ελατηρίου ασκείται στο κέντρο της σφαίρας. Συσπειρώνουμε το ελατήριο σε σχέση με το φυσικό του μήκος κατά χ=0,2m και φέρνουμε σε επαφή τις δύο σφαίρες. Την χρονική στιγμή t=0 αφήνουμε ελεύθερο το σύστημα. Οι σφαίρες συνεχώς κυλίονται χωρίς να ολισθαίνουν και δεν αναπηδάνε. Α) Ποια χρονική στιγμή θα χαθεί η επαφή των δύο σφαιρών; Β) Να βρεθεί το τελικό πλάτος ταλάντωσης του κέντρου μάζας της σφαίρας που είναι δεμένη στο ελατήριο. Ιcm=0,4.M.R2. ( π/10 s , 0.1√2 m ) 35. Το σύστημα του διπλανού σχήματος ισορροπεί, ώστε το κατακόρυφο ελατήριο να έχει το φυσικό του μήκος lo. Το σώμα, το οποίο είναι εξαρτημένο στο ελατήριο, έχει μάζα m = 1 kg και ο δακτύλιος στο κεκλιμένο επίπεδο έχει μάζα Μ και ακτίνα R = (π/10)m. Το κεκλιμένο επίπεδο έχει γωνία κλίσης φ με ημφ = 0,8, η τροχαλία Τ είναι αβαρής και το νήμα που τυλίγεται στο δακτύλιο είναι παράλληλο στο κεκλιμένο επίπεδο. 1. Να υπολογίσετε: α. το μέτρο της τάσης του νήματος και της στατικής τριβής στο δακτύλιο και τη μάζα Μ του δακτυλίου. 2. Τη χρονική στιγμή t=0 κόβουμε το νήμα, οπότε το σώμα μάζας m εκτελεί κατακόρυφη απλή αρμονική ταλάντωση και ο δακτύλιος κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει μέχρι τη βάση του κεκλιμένου επιπέδου. Όταν το σώμα μάζας m έχει εκτελέσει μια πλήρη απλή αρμονική ταλάντωση, το κέντρο μάζας του δακτυλίου έχει μετατοπιστεί κατά χ= 2π2 m. α. Να υπολογίσετε τον αριθμό των περιστροφών του δακτυλίου, όταν το κέντρο μάζας του έχει μετατοπιστεί κατά χ και τη σταθερά Κ του ελατηρίου. β. Να γράψετε τη χρονική εξίσωση της απομάκρυνσης της απλής αρμονικής ταλάντωσης του σώματος μάζας m, θεωρώντας θετική φορά προς τα πάνω. Δίνονται: η επιτάχυνση της βαρύτητας g=10 m/s2 και η ροπή αδράνειας του δακτυλίου ως προς τον άξονα περιστροφής του Ιcm= ΜR2. (10 Ν , 10 Ν , 2.5 kg , 10 , 4 Ν/m , 2.5 ημ(2τ+π/2) ] 36. Δύο κύλινδροι με ακτίνες r=0.1 m και R= 0,2M είναι κολλημένοι και μπορούν να στρέφονται χωρίς τριβές γύρω από σταθερό οριζόντιο κοινό άξονα ο οποίος διέρχεται από τα κέντρα των βάσεών τους. Το σύστημα των δύο κυλίνδρων έχει ροπή αδράνειας Ι = 0,5 kg.m2 και ισορροπεί με τη βοήθεια δύο νημάτων, που είναι τυλιγμένα στην περιφέρεια τους. Το ένα νήμα είναι οριζόντιο, μέσω του οποίου ασκούμε δύναμη μέτρου F = 20Ν, το άλλο νήμα είναι κατακόρυφο και είναι δεμένο σε σώμα Σ μάζας m = 1 kg όπως στο σχήμα. Το ελατήριο έχει σταθερά Κ = 100 N/m α. Να υπολογίσετε την τάση του κατακόρυφου νήματος. β. Κάποια χρονική στιγμή (t = 0) το κατακόρυφο νήμα κόβεται, με συνέπεια το σώμα Σ, που είναι στερεωμένο στο άκρο του ελατηρίου, ν’ αρχίσει να εκτελεί αρμονική ταλάντωση και το σύστημα των δύο κυλίνδρων ν’ αρχίσει να στρέφεται. α. Να γράψετε την εξίσωση της απομάκρυνσης σε συνάρτηση με το χρόνο για το σώμα Σ, θεωρώντας θετική φορά προς τα κάτω. β. Να υπολογίσετε τη γωνιακή επιτάχυνση του συστήματος των δύο κυλίνδρων. γ. Να υπολογίσετε την ταχύτητα του συστήματος των δύο κυλίνδρων, όταν το σώμα Σ έχει εκτελέσει είκοσι (20) πλήρεις ταλαντώσεις. Δίνονται: π2 = 10 και η επιτάχυνση της βαρύτητας g = 10 m/s2 (10 N , 0.1ημ(10t+π/2), 4 r/s2 ) Στεφάνου Μ. Φυσικός 11 37. Ο κύλινδρος του σχήματος έχει μάζα m=20 kg και ακτίνα R=0.5 m και παρουσιάζει με τον τοίχο συντελεστές τριβής μ=μσ=0, 2. Γύρω του έχουμε τυλίξει ένα αβαρές νήμα στο άκρο του οποίου ασκούμε μια μεταβλητή δύναμη. Παρατηρούμε ότι για να αρχίσει να στρέφεται ο κύλινδρος απαιτείται να του ασκήσουμε δύναμη τουλάχιστον F=50Ν όπως στο σχήμα όπου ημθ=0,6 α) Να βρεθεί η οριζόντια και η κατακόρυφη συνιστώσα της δύναμης που ασκείται στον κύλινδρο από τον άξονα περιστροφής του. β) Αν αυξήσουμε το μέτρο της δύναμης στην τιμή F=60Ν, παρατηρούμε ότι ο κύλινδρος αποκτά γωνιακή ταχύτητα ω=20 r/s σε χρονικό διάστημα Δt=5s. Υπολογίστε στην περίπτωση αυτή την οριζόντια και την κατακόρυφη συνιστώσα της δύναμης που ασκείται στον κύλινδρο από τον άξονα περιστροφής του. Δίνεται για τον κύλινδρο ως προς τον άξονα περιστροφής φ F του I= ½. ΜR2 και g= 10m/s2. (280 N, 290N , 236N. 288N) 38. Τα δύο γρανάζια του διπλανού σχήματος μπορούν να περιστρέφονται χωρίς τριβές γύρω από σταθερούς άξονες που διέρχονται από τα κέντρα τους. Το δεξί γρανάζι έχει μάζα m και ακτίνα 2R και το αριστερό έχει μάζα 2m και ακτίνα 3R. Το δεξί γρανάζι έχει μικρό αυλάκι ακτίνας R γύρω από το οποίο είναι τυλιγμένο νήμα που στο άλλο του άκρο είναι δεμένο βαρίδι μάζας 2 m το οποίο κρέμεται κατακόρυφα. Αφήνουμε το βαρίδι ελεύθερο. Να βρεθεί: α. Η επιτάχυνση του βαριδίου. β Η γωνιακή επιτάχυνση του μεγάλου γραναζιού σε συνάρτηση με την ακτίνα R (Τα γρανάζια θεωρούνται ομογενείς δίσκοι με : Ιcm = 1/2 MR2) (g /4 , g /6R ) 39. Μία ομογενής ράβδος ΟA μάζας Μ =3 kg και μήκους l = 1 m φέρει στο άκρο της Α σφαιρίδιο μάζας m =1 kg. Η ράβδος μπορεί να περιστρέφεται σε κατακόρυφο επίπεδο περί οριζόντιο άξονα που διέρχεται από το άκρο της Ο. Αρχικά, ενώ η ράβδος ισορροπεί σε κατακόρυφη θέση, ασκούμε στο άκρο Α δύναμη σταθερού μέτρου F = 21Ν της οποίας η διεύθυνση είναι συνεχώς κάθετη στη ράβδο. Στην στροφική κίνηση της ράβδου υπάρχουν τριβές με ροπή ως προς τον άξονα περιστροφής μέτρου τΤ= 1 Ν.m. Η ροπή αδράνειας της ράβδου ως προς άξονα κάθετο σ’ αυτή που διέρχεται από το μέσον της είναι Icm=1/12.M.l2. Α) Να υπολογίσετε τη ροπή αδράνειας του συστήματος Σ “ράβδοςσφαιρίδιο” ως προς τον άξονα περιστροφής. Β) Ποια η γωνιακή επιτάχυνση του συστήματος Σ, όταν η ράβδος σχηματίζει με την αρχική της θέση γωνία φ (ημφ=0,6) Γ) Καθώς το σύστημα ανέρχεται, να βρείτε την τιμή της γωνίας μεταξύ ράβδου και κατακόρυφης όπου μεγιστοποιείται η γωνιακή ταχύτητα του συστήματος. Δίνεται: g=10 m/s2 Στεφάνου Μ. Φυσικός 12