Περιστροφικές κινήσεις, Κ.χ.ολίσθηση, ροπή δύναμης, ροπή αδράνειας 11. ΘΕΜΑ Α 1. Διπλή τροχαλία ισορροπεί με τη βοήθεια οριζόντιας δύναμης μέτρου F = 2mg η οποία ασκείται όπως φαίνεται στο σχήμα. Το πηλίκο των ακτίνων R1 ισούται με: R2 α. 2,5 β. 4 5 γ. δ. 4,5 (μονάδες 1) Να δικαιολογήσετε την επιλογή σας. (μονάδες 7 ) 2. Η ράβδος του διπλανού σχήματος έχει μήκος L, ισορροπεί οριζόντια και δέχεται από το νήμα τάση που έχει μέτρο ίσο με το μισό του μέτρου του βάρους της. Επειδή η ράβδος δεν είναι ομογενής, το σημείο εφαρμογής του βάρους της απέχει απόσταση x από το μέσο της Μ, όπως φαίνεται στο σχήμα. Η απόσταση x ισούται με: α. L/6 β. L/8 γ. L/5 δ. L/4 (μονάδες 1) Να δικαιολογήσετε την επιλογή σας. (μονάδες 8 ) 3. Σε οριζόντιο δίσκο μάζας Μ και ακτίνας R, που περιστρέφεται γύρω από κατακόρυφο ακλόνητο άξονα ο οποίος διέρχεται από το κέντρο Ο του δίσκου, είναι στερεωμένο ένα σημειακό M , σε απόσταση d από τον άξονα περιστροφής. Η ροπή αδράνειας του αντικείμενο μάζας m = 8 1 δίσκου ως προς τον άξονα αυτόν υπολογίζεται από τον τύπο: I = MR2 . Αν το σημειακό 2 αντικείμενο μεταφερθεί από το σημείο όπου βρισκόταν αρχικά στο κέντρο Ο του δίσκου, τότε η ροπή αδράνειας του συστήματος δίσκος - σημειακό αντικείμενο μεταβάλλεται κατά 20%. Η αρχική απόσταση d του σημειακού αντικειμένου από τον άξονα περιστροφής ισούται με: α. R β. R/2 R/4 γ. δ. R/8 (μονάδες 1) Να δικαιολογήσετε την επιλογή σας. (μονάδες 7 ) ΘΕΜΑ Β Η ροπή αδράνειας μιας ομογενούς σφαίρας ακτίνας R και μάζας Μ, που περιστρέφεται 7 γύρω από άξονα ο οποίος εφάπτεται σε αυτή, ισούται με I = MR2 . Η ροπή αδράνειας της 5 σφαίρας ως προς άξονα που διέρχεται από το κέντρο της ισούται με: 4I 3I 5I 2I β. γ. δ. α. 7 4 21 7 1. (μονάδες 1) Να δικαιολογήσετε την επιλογή σας. (μονάδες 5 ) 1 Περιστροφικές κινήσεις, Κ.χ.ολίσθηση, ροπή δύναμης, ροπή αδράνειας Η τροχαλία του παρακάτω σχήματος, μάζας Μ και ακτίνας R, μπορεί να περιστρέφεται 2. χωρίς τριβές γύρω από οριζόντιο άξονα που διέρχεται από το κέντρο της. Το μικρό σώμα που είναι δεμένο στο αβαρές και μη έκτατο νήμα έχει μάζα m = Μ/4 και η ροπή αδράνειας της τροχαλίας ως 1 προς τον άξονα περιστροφής της υπολογίζεται από τον τύπο I = MR2 . Αρχικά το σύστημα το 2 κρατάμε ακίνητο με το νήμα τεντωμένο. Τη χρονική στιγμή t = 0 αφήνουμε ελεύθερο το σύστημα να κινηθεί. Η δύναμη που δέχεται η τροχαλία από τον άξονα περιστροφής της έχει μέτρο: 5Mg 4Mg 8Mg 7Mg β. γ. δ. α. 4 3 7 6 Να δικαιολογήσετε την επιλογή σας. (μονάδες 1) (μονάδες 5 ) 3. Στο παρακάτω σχήμα φαίνεται ένας κύλινδρος μάζας Μ και ακτίνας R, ο οποίος κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει σε οριζόντιο δάπεδο με τη βοήθεια κατακόρυφης σταθερής δύναμης F, εξαιτίας της οποίας το αβαρές και μη εκτατό νήμα που είναι τυλιγμένο στον κύλινδρο ξετυλίγεται g χωρίς να γλιστρά. Το κέντρο μάζας του κυλίνδρου επιταχύνεται με επιτάχυνση μέτρου , όπου g 3 η επιτάχυνση της βαρύτητας, και η ροπή αδράνειας του κυλίνδρου ως προς άξονα που διέρχεται 1 από το κέντρο του και είναι κάθετος στις δύο βάσεις του υπολογίζεται από τον τύπο: I = MR2 . 2 Το μέτρο της δύναμης F ισούται με: α. Mg 2 β. Mg 4 Mg 3 γ. δ. Mg 8 Να δικαιολογήσετε την επιλογή σας. (μονάδες 1) (μονάδες 6 ) 4. Ένας λεπτός και ομογενής δακτύλιος βάρους w και ακτίνας R, αφήνεται ελεύθερος να κινηθεί από την κορυφή κεκλιμένου επιπέδου που έχει γωνία κλίσης φ = 30° (ημ300=1/2, συν300= 3 / 2 ) . Μέχρι να φτάσει στη βάση του κεκλιμένου επιπέδου ο δακτύλιος κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει. Το μέτρο της στατικής τριβής που δέχεται ο δακτύλιος κατά τη διάρκεια της κίνησης του στο κεκλιμένο επίπεδο ισούται με: α) w β) w/2 w/4 γ) δ) w/8 (μονάδες 1) Να δικαιολογήσετε την επιλογή σας. (μονάδες 5 ) 2 Περιστροφικές κινήσεις, Κ.χ.ολίσθηση, ροπή δύναμης, ροπή αδράνειας ΘΕΜΑ Γ Μια τροχαλία μάζας Μ = 8 kg και ακτίνας R = 0,4 m μπορεί να περιστρέφεται χωρίς τριβές γύρω από σταθερό οριζόντιο άξονα που διέρχεται από το κέντρο της και είναι κάθετος στο επίπεδο της. Στην τροχαλία έχουμε τυλίξει αβαρές, μη έκτατο νήμα μεγάλου μήκους, στο ελεύθερο άκρο του οποίου έχουμε δέσει μικρό σώμα μάζας m = 1 kg. Αρχικά το σύστημα τροχαλία - μικρό σώμα διατηρείται ακίνητο 40 με τη βοήθεια σταθερής, οριζόντιας δύναμης μέτρου F = Ν, η 3 οποία ασκείται σε σημείο Κ της τροχαλίας, όπως φαίνεται στο σχήμα. α. Να υπολογίσετε την απόσταση x του Κ από τον άξονα περιστροφής της τροχαλίας. ) (μονάδες 5 β. Τη δύναμη που δέχεται η τροχαλία από τον άξονά της (μέτρο και διεύθυνση). (μονάδες 5 ) γ. Τη χρονική στιγμή t = 0 καταργούμε ακαριαία τη δύναμη F, οπότε τη χρονική στιγμή t1 η κινητική ενέργεια της τροχαλίας έχει αυξηθεί κατά 32 J. Να υπολογίσετε: 1) 2) την κατακόρυφη απόσταση που έχει διανύσει το μικρό σώμα από τη χρονική στιγμή t=0 έως τη χρονική στιγμή t1, (μονάδες 5 ) (μονάδες 5 ) το μέτρο της στροφορμής της τροχαλίας τη χρονική στιγμή t1. Να επαληθεύσετε ότι ισχύει η αρχή διατήρησης της ενέργειας για το σύστημα τροχαλία – 20 σώμα από την αρχή της κίνησης μέχρι τη χρονική στιγμή που η τροχαλία έχει εκτελέσει π (μονάδες 5 ) περιστροφές. δ. Δίνεται ότι η ροπή αδράνειας της τροχαλίας ως προς τον άξονα περιστροφής της υπολογίζεται από 1 τον τύπο: I = MR2 και 745 ≃ 27,3 . Η επιτάχυνση της βαρύτητας ισούται με g = 10 m/s2. 2 ΘΕΜΑ Δ Αβαρής ράβδος ΖΘ, μήκους ℓ =2 m μπορεί να περιστρέφεται χωρίς τριβές σε κατακόρυφο επίπεδο γύρω από οριζόντιο, ακλόνητο άξονα κάθετο στη ράβδο που διέρχεται από σημείο της Ο, το οποίο απέχει απόσταση ℓ 1 = 0,5 m από το άκρο Ζ. Στο άκρο Ζ της ράβδου έχουμε κολλήσει σημειακή μάζα m1=2kg. Σε σημείο Δ της ράβδου που απέχει απόσταση x1 από το σημείο Ο έχουμε δέσει το ένα άκρο αβαρούς και μη εκτατού νήματος μεγάλου μήκους, το οποίο έχουμε τυλίξει σε δίσκο μάζας m = 3 kg και ακτίνας R=0,1m. Αρχικά η ράβδος κρατείται σε οριζόντια θέση, το νήμα είναι τεντωμένο και ο δίσκος ακίνητος. Κάποια στιγμή t=0 , αφήνουμε ελεύθερη τη ράβδο και το δίσκο, οπότε ο τελευταίος αρχίζει να κατεβαίνει με το νήμα να ξετυλίγεται χωρίς να γλιστρά στο αυλάκι του, ενώ η ράβδος ισορροπεί ακίνητη. Κατά τη διάρκεια της καθόδου του δίσκου, το νήμα παραμένει τεντωμένο. 3 Περιστροφικές κινήσεις, Κ.χ.ολίσθηση, ροπή δύναμης, ροπή αδράνειας α. Να υπολογίσετε την επιτάχυνση του κέντρου μάζας του κυλίνδρου, την τάση του νήματος και το ρυθμό μεταβολής της στροφορμής του. ( μονάδες 1 2 1) β. Να υπολογίσετε την απόσταση x1. γ. Τη στιγμή t1 που ο δίσκος έχει πέσει κατακόρυφα κατά h=1,2 m να υπολογίσετε την ταχύτητα του κέντρου μάζας του και τον αριθμό των περιστροφών που έχει εκτελέσει από την αρχή της κίνησης. Να επαληθεύσετε την αρχή διατήρησης της ενέργειας για την κίνηση του δίσκου κατά την πτώση αυτή. ( μονάδες 4) ( μονάδες 1 2 1) Τη στιγμή t1 που ο δίσκος έχει πέσει κατά h=1,2m κόβουμε το νήμα, οπότε η ράβδος αρχίζει αμέσως να περιστρέφεται, ανεξάρτητα από την κίνηση του δίσκου. δ. 1. Να υπολογίσετε την αρχική γωνιακή επιτάχυνση του συστήματος ράβδος – m1. ( μονάδες 4) 2. Να περιγράψετε αναλυτικά το είδος της κίνησης (περιστροφική και μεταφορική) που εκτελεί ο δίσκος μετά το κόψιμο του νήματος. Υπολογίστε την ταχύτητα του κέντρου μάζας του υCM και τη γωνιακή ταχύτητά του 0,4 sec μετά το κόψιμο του νήματος. ( μονάδες 2 1 1) ( μονάδες 2 1 1) 3. Σχεδιάστε τη γραφική παράσταση της υCM καθώς και της γωνιακής ταχύτητας του δίσκου από την αρχή της κίνησης t=0 μέχρι και τη στιγμή 0,4 sec μετά το κόψιμο του νήματος. Να υπολογίσετε τη συνολική μετατόπιση του κέντρου μάζας και τη συνολική γωνία στροφής μέχρι τη στιγμή αυτή. ( μονάδες 2 1 1 1) 2 Δίνεται g = 10 m/s . Η ροπή αδράνειας του δίσκου ως προς άξονα που διέρχεται από το κέντρο του 1 και είναι κάθετος στο επίπεδο του υπολογίζεται από τον τύπο: I = MR2 . 2 4