3.1 Κίνηση σε περισσότερες διαστάσεις Σε καρτεσιανές συντεταγμένες το διάνυσμα θέσης (Σχ. 1) δίνεται από r r = x ⋅ iˆ + y ⋅ ˆj + z ⋅ kˆ (1) z Στη γενική περίπτωση της κίνησης το διάνυσμα θέσεως μεταβάλλεται με το χρόνο r r (t ) = x (t ) ⋅ iˆ + y(t ) ⋅ ˆj + z(t ) ⋅ kˆ k (2) Η πρώτη χρονική παράγωγος του διανύσματος θέσεως ορίζει τη διανυσματική ταχύτητα r r d r (t ) r& v (t ) = ≡ r (t ) = x&(t ) ⋅ iˆ + y&(t ) ⋅ ˆj + z&(t ) ⋅ kˆ dt (3) y j i x Σχήμα 1. Διάνυσμα θέσεως ενώ η δεύτερη παράγωγος ορίζει τη διανυσματική επιτάχυνση r r r d v (t ) d 2 r (t ) &&r a (t ) = = ≡ r (t ) = && x(t ) ⋅ iˆ + y&&(t ) ⋅ ˆj + && z(t ) ⋅ kˆ dt dt 2 (4) όπου προφανώς κατά τη διαδικασία της παραγώγισης τα μοναδιαία διανύσματα θεωρούνται σταθερά. Τα μέτρα των διανυσμάτων της θέσεως, ταχύτητας και επιτάχυνσης δίνονται αντίστοιχα από: r r r r (t ) = x 2 (t ) + y 2 (t ) + z 2 (t ), v (t ) = x& 2 (t ) + y& 2 (t ) + z&2 (t ), a (t ) = && x 2 (t ) + y&&2 (t ) + && z 2 (t ) (5) 3.2 Κεντρομόλος και επιτρόχια συνιστώσα της επιτάχυνσης Στην γενικευμένη περίπτωση της καμπύλης τροχιάς μπορούμε να ορίσουμε την ταχύτητα ως το γινόμενο του μέτρου της επί ένα μοναδιαίο v’ διάνυσμα eˆT (το οποίο δεν είναι σταθερό), εφαπτόμενο στην τροχιά eT ‘ v r r v (t ) = v (t ) eˆT = v(t )eˆT (6) eT η χρονική μεταβολή του διανύσματος της ταχύτητας σε αυτή την περίπτωση (Σχ. 2) dφ eR συνίσταται: (1) στην αλλαγή του μέτρου της ταχύτητας πάνω στη διεύθυνση της κίνησης και (2) στην αλλαγή της διεύθυνσης της ταχύτητας λόγω της αλλαγής της διεύθυνσης της κίνησης. Σχήμα 2. Μεταβολή της ταχύτητας Γράφοντας την εξίσωση της επιτάχυνσης, τα παρασε καμπυλόγραμμη κίνηση. πάνω μεταφράζονται ως r r d v (t ) r d v (t) r deˆ dv (t ) deˆ a (t ) = = eˆT + v (t ) T = eˆT + v(t ) T (7) dt dt dt dt dt 1 όπου eˆT dv(t ) / dt το διάνυσμα που εφάπτεται στην καμπύλη τροχιά και έχει μέτρο το ρυθμό μεταβολής του μέτρου της ταχύτητας, ενώ v (t )deˆT / dt το διάνυσμα που προκύπτει από το ρυθμό μεταβολής της διεύθυνσης της ταχύτητας. Το δεύτερο διάνυσμα ισούται με v(t ) deˆT dϕ v(t ) ds v 2 (t ) = v(t )eˆR = eˆR = eˆR dt dt R dt R (8) όπου το μοναδιαίο διάνυσμα eˆR έχει τη διεύθυνση της ακτίνας καμπυλότητας της τροχιάς R και φορά προς το κέντρο της. Η ακτίνα καμπυλότητας της τροχιάς μπορεί να βρεθεί από τη σχέση dϕ (9) R −1 = K = ds όπου Κ η καμπυλότητα της τροχιάς, φ η επίκεντρη γωνία και s το διανυθέν τόξο. Κατόπιν των παραπάνω, το διάνυσμα της επιτάχυνσης στην καμπυλόγραμμη κίνηση αναλύεται σε r r δύο συνιστώσες (Σχ. 3) την επιτρόχια aT (t ) και την κεντρομόλο a R (t ) συνιστώσα, έτσι ώστε r r r a (t ) = aT (t ) + a R (t ) (10) όπου αναλυτικά οι δύο συνιστώσες της επιτάχυνσης γράφονται r d v(t ) r v 2 (t ) aT (t ) = eˆT , a R (t ) = eˆR dt R eT α (11) r Προφανώς λόγω της ορθογωνιότητας των aT (t ) και r a R (t ) ισχύει a2 (t ) = aT2 (t ) + aR2 (t ) αΤ (12) eR αR Σχήμα 3. Ανάλυση του διανύσματος της επιτάχυνσης σε κεντρομόλο και επιτρόχια συνιστώσα 3.3 Κυκλική κίνηση Στην περίπτωση της κυκλικής κίνησης η ακτίνα καμπυλότητας παραμένει σταθερή και το διαγραμμένο τόξο σε κάθε χρονική στιγμή (από τη σχέση 9) είναι s = R ⋅ϕ (13) Το μέτρο της ταχύτητας δίνεται από dR ⋅ϕ (14) = R ⋅ϕ& = R ⋅ ω (t ) dt όπου ω η γωνιακή ταχύτητα της κίνησης. Η επιτάχυνση κατά τα προηγούμενα αναλύεται σε επιτρόχια συνιστώσα με μέτρο v (t )deˆT / dt και κεντρομόλο συνιστώσα με μέτρο v 2 (t ) / R . Αυτό μπορεί να φανεί με ιδιαίτερη σαφήνεια αν θεωρήσουμε κυκλική κίνηση με κέντρο το σημείο Ο του καρτεσιανού συστήματος συντεταγμένων (Σχ. 4). Η θέση του κινητού καθορίζεται από την απόσταση R και τη γωνία φ. Επομένως το διάνυσμα θέσης είναι v(t ) = s&(t ) = 2 r r = R cos ϕ ⋅ iˆ + R sinϕ ⋅ ˆj (15) Η ταχύτητα του σώματος επακόλουθα υπολογίζεται ως y = R sinφ R r r d r (t ) dϕ dϕ v (t ) = = −R sinϕ (t ) ⋅ iˆ + R cos ϕ (t ) ⋅ ˆj dt dt dt dϕ =R − sinϕ (t ) ⋅ iˆ + cos ϕ (t ) ⋅ ˆj = RωeˆT dt φ O ( x = R cosφ ) (16) όπου το εφαπτόμενο στην τροχιά μοναδιαίο διάνυσμα eˆT προφανώς ισούται με Σχήμα 4. Κυκλική κίνηση eˆT (t ) = − sinϕ (t ) ⋅ iˆ + cos ϕ (t ) ⋅ ˆj (17) (από την προηγούμενη ισότητα να αποδειχτεί ότι το μέτρο του eˆT (t ) είναι μονάδα). Η επιτάχυνση υπολογίζεται από τη χρονική παράγωγο της ταχύτητας r r 2 r d 2ϕ dv (t ) d 2 r (t )  dϕ  ˆ ˆ ˆ ˆ a (t ) = = = R 2 − sinϕ (t ) ⋅ i + cos ϕ (t ) ⋅ j − R   cos ϕ (t ) ⋅ i + sinϕ (t ) ⋅ j dt dt 2 dt  dt  ( ) ( ) (18) ή αντικαθιστώντας με τη γωνιακή ταχύτητα, r dω a (t ) = R − sinϕ (t ) ⋅ iˆ + cos ϕ (t ) ⋅ ˆj + Rω 2 − cos ϕ (t ) ⋅ iˆ − sinϕ (t ) ⋅ ˆj dt ( ) ( ) (19) (Ποιο είναι το μοναδιαίο eˆR ; Να αποδειχτεί ότι έχει τη διεύθυνση της ακτίνας και φορά προς το κέντρο του κύκλου) Σημείωση: Η κύλιση τροχού είναι ένα χαρακτηριστικό παράδειγμα κυκλικής κίνησης. Κύλιση εξασφαλίζεται όταν το μέτρο της ταχύτητας περιστροφής ισούται με τη μεταφορική ταχύτητα του κέντρου του τροχού. 3.4 Προβλήματα r (1) Το διάνυσμα θέσεως ενός υλικού σημείου είναι: r (t ) = (t 2 /2) ⋅ iˆ + (2t + 1) ⋅ ˆj + (t − 2) ⋅ kˆ Ζητούνται τη χρονική στιγμή (α) Η ταχύτητα και η επιτάχυνση του σημείου, καθώς και τα μέτρα τους (β) Το μέτρο της επιτρόχιας και της κεντρομόλου επιτάχυνσης (γ) Η καμπυλότητα της τροχιάς (2) Υλικό σημείο ρίχνεται με ταχύτητα μέτρου v0, υπό γωνία φ ως προς την οριζόντια (πλάγια βολή). Η αντίσταση του αέρα είναι αμελητέα. (α) Να γραφούν οι διαφορικές εξισώσεις κίνησης. (β) Να βρεθεί το διάνυσμα της ταχύτητας και το διάνυσμα θέσης σα συναρτήσεις του χρόνου t, και η εξίσωση της τροχιάς. (γ) Να βρεθεί η επιτρόχιος και η κεντρομόλος επιτάχυνση συναρτήσει του χρόνου t. Σε ποια χρονική στιγμή είναι ίσες; (δ) Να βρεθούν η ακτίνα καμπυλότητας και η καμπυλότητα της τροχιάς συναρτήσει του χρόνου t. 3 (3) Στο παραπάνω πρόβλημα να βρεθούν, η εξίσωση της τροχιάς, το βεληνεκές, το μέγιστο ύψος και ο χρόνος της βολής, συναρτήσει των v0 και φ. Αν η ακτίνα καμπυλότητας της τροχιάς στο ανώτατο σημείο ταυτίζεται με το μέγιστο ύψος, και αν η βολή διαρκεί 10s να βρείτε την τιμή του βεληνεκούς της. (4) Υλικό σημείο κινείται στο επίπεδο Οxy και έχει διάνυσμα θέσης: r(t) = a∙cos(ωt) i + b∙sin(ωt) j, όπου a, b και ω δοσμένες θετικές σταθερές. Ζητούνται: (α) Η ταχύτητα και η επιτάχυνση του σωματιδίου για t > 0. (β) Να αποδείξετε ότι το διάνυσμα της επιτάχυνσης είναι αντιπαράλληλο αυτού της θέσεως (γ) Να βρεθεί η εξίσωση της τροχιάς. (5) Ένα υλικό σημείο κινείται σε κύκλο ακτίνας R, σύμφωνα με τη σχέση: φ(t) = a∙t4 - b∙t2, όπου α, b θετικές σταθερές. Ζητούνται: (α) η γωνιακή ταχύτητα ω(t) και η γωνιακή επιτάχυνση ω(t) (β) το τόξο s(t) και η ταχύτητα v(t) (γ) η κεντρομόλος, η επιτρόχιος και η ολική επιτάχυνση. (6) Το διανυόμενο τόξο s και η ταχύτητα v ενός υλικού σημείου που κάνει κυκλική κίνηση με ακτίνα R συνδέονται με τη σχέση v = k∙s1/2. Ζητείται ο λόγος της κεντρομόλου προς την επιτρόχιο επιτάχυνση. (7) Υλικό σημείο κάνει κυκλική κίνηση ακτίνας R. Κάθε χρονική στιγμή το μέτρο της κεντρομόλου επιτάχυνσης είναι ίσο με το μέτρο της επιτρόχιας. Ζητείται η ταχύτητα v(t) συναρτήσει του χρόνου, αν για το χρόνο t = 0 είναι v(0) = v0. Ζητείται επίσης η έκφραση της ταχύτητας συναρτήσει του διανυθέντος τόξου v(s). (8) Ένα σωματίδιο κινείται σε κυκλική τροχιά ακτίνας R. Η κινητική του ενέργεια δίνεται από τη σχέση: Τ = λs2, όπου λ θετική σταθερά και s το διανυθέν τόξο. Αν m είναι η μάζα του σωματιδίου να βρεθεί η κεντρομόλος, η επιτρόχιος και η συνολική του επιτάχυνση. (9) Ένας τροχός κυλίεται στο οριζόντιο επίπεδο καθώς περιστρέφεται με σταθερή γωνιακή ταχύτητα κατά την ωρολογιακή φορά. Να βρεθεί για τη χρονική στιγμή t>0: (α) Η μετατόπιση του κέντρου του τροχού (β) Οι συντεταγμένες ενός σημείου το οποίο για t = 0 βρίσκονταν σε επαφή με το έδαφος (θεωρείστε αυτό το σημείο την αρχή των αξόνων). (γ) Η ταχύτητα και η επιτάχυνση του Α. Να βρεθεί η ταχύτητα και η επιτάχυνση του όταν βρίσκεται στην ανώτατη θέση καθώς και όταν βρίσκεται σε επαφή με το έδαφος. (10) Σωμάτιο μάζας m ρίχνεται υπό γωνία φ ως προς την οριζόντια διεύθυνση από ύψος h. Η αντίσταση του αέρα R δίνεται από τη σχέση R = -kv, όπου το k θετική σταθερά. Ζητείται η διανυσματική ταχύτητα, το διάνυσμα θέσης και η εξίσωση που δίνει το χρόνο στον οποίο το σωμάτιο φτάνει στο έδαφος. 4 r (1) Το διάνυσμα θέσεως ενός υλικού σημείου είναι: r (t ) = (t 2 /2) ⋅ iˆ + (2t + 1) ⋅ ˆj + (t − 2) ⋅ kˆ Ζητούνται τη χρονική στιγμή t: (α) Η διανυσματική ταχύτητα και η επιτάχυνση του σημείου, καθώς και τα μέτρα τους (10) (β) Το μέτρο της επιτρόχιας και της κεντρομόλου επιτάχυνσης (5) (γ) Η καμπυλότητα της τροχιάς (5) (2) Μία δοκός με βάρος W στηρίζεται πάνω σε τρεις όμοιους κυλίνδρους με βάρος W/3 και ακτίνα R, κατεβαίνει πάνω σε κεκλιμένο επίπεδο, όπως φαίνεται στο σχήμα. Υποθέτοντας ότι δεν υπάρχει ολίσθηση, να βρεθεί η επιτάχυνση a της δοκού. Δίνεται ότι η ροπή αδράνειας κάθε κυλίνδρου ως προς τον άξονα του είναι (3) Ομογενής αλυσίδα έχει μήκος ℓ (m) και γραμμική πυκνότητα λ (kg/m). Το ένα άκρο της αλυσίδας αρχίζει να υψώνεται με τη βοήθεια γερανού. Να βρεθούν: (α) Η δύναμη F που ασκεί ο γερανός στην αλυσίδα ως συνάρτηση της θέσης του άνου άκρου της, ώστε η ταχύτητα της ανύψωσης να είναι σταθερή. (10) (β) Το έργο της δύναμης μέχρι τη στιγμή που ακριβώς η μισή αλυσίδα έχει ανυψωθεί από το έδαφος. (10) (4) (1) Σε μια επιφάνεια με κλίση 30ο σε σχέση με το οριζόντιο επίπεδο, σώμα βάρους 8N κινείται προς τα πάνω με σταθερή ταχύτητα υπό την επίδραση δύναμης F χωρίς τριβή. Ποιο είναι το μέτρο της δύναμης όταν α) είναι παράλληλη με την επιφάνεια β) είναι οριζόντια 5 και γ) σχηματίζει γωνία 60ο με το οριζόντιο επίπεδο; Ποιο είναι το μέτρο της δύναμης που εξασκείται κάθε φορά πάνω στην επιφάνεια; (2) Υλικό σημείο μάζας (1) Ένα υλικό σημείο κινείται σε κύκλο ακτίνας R, σύμφωνα με τη σχέση: φ(t) = a∙t4 όπου α, b θετικές σταθερές. Ζητούνται: (α) η γωνιακή ταχύτητα ω(t) και η γωνιακή επιτάχυνση ω(t) (β) το τόξο s(t) και η ταχύτητα v(t) (γ) η κεντρομόλος, η επιτρόχιος και η ολική επιτάχυνση. b∙t2, (10) (5) (15) (3) Σώμα μάζας 1 Kg τοποθετείται μπροστά από ελατήριο σταθεράς k = 1000 N/m, το οποίο αρχικά βρίσκεται σε φυσικό μήκος, όπως φαίνεται στο σχήμα. Το ελατήριο συσπειρώνεται κατά x m και αφήνεται ελεύθερο. Το σώμα αρχικά ολισθαίνει στην οριζόντια διαδρομή με συντελεστή κινηματικής τριβής μκ = 0.5 και στη συνέχεια εισέρχεται σε κυκλική στεφάνη χωρίς τριβή. Ζητούνται: η σχέση της ταχύτητας του σώματος στο ανώτερο σημείο της κυκλικής τροχιάς ως προς τη συσπείρωση του ελατηρίου. (10) Η ελάχιστη συσπείρωση ώστε το σώμα να εκτελέσει την κυκλική τροχιά (15) R=1m 2m 6