ΤΟ ΑΠΕΙΡΟ ΚΑΙ ΤΑ ΠΑΡΑΔΟΞΑ ΤΟΥ ΖΗΝΩΝΑ.

ΤΟ ΑΠΕΙΡΟ ΚΑΙ
ΤΑ ΠΑΡΑΔΟΞΑ ΤΟΥ ΖΗΝΩΝΑ.
Κώστας Γ. Σάλαρης
Η έννοια του απείρου απασχόλησε την ανθρώπινη σκέψη διαχρονικά. Πρώτη η
Ιόνιος φιλοσοφία (5-ος αιώνας π.χ ) ασχολήθηκε με το άπειρο, τον ορισμό του ,την
κατανόησή του, και τις εφαρμογές που έχει στα μαθηματικά στη φυσική στην
αστρονομία και στη φιλοσοφία. Μεταξύ άλλων ασχολήθηκε με τα προβλήματα του
απείρως μικρού αλλά και του απείρως μεγάλου. Αν δούμε το άπειρο από πλευράς
μεγέθους θα μπορούμε να υποθέσουμε ότι ένα μέγεθος είναι διαιρετό σε άπειρα
μεγέθη ή ότι είναι μια σύνθεση από μικρά αδιαίρετα μέρη. Στην αρχαία Ελλάδα
είχαν αναπτυχθεί δύο φιλοσοφικές αντικρουόμενες σκέψεις.
Μία που εκπροσωπείται από την πλατωνική σχολή και δέχεται την ιδέα της άπειρης
διαιρετότητας των μεγεθών και μία άλλη σχολή η σχολή του Δημόκριτου του
Αβδηρίτη (460-370 π. Χ) και των μαθητών του. Αυτή απορρίπτει την ιδέα της
συνέχειας και βασίζεται στην περίφημη θεωρία των «άτμητων», (ατόμων).
Ο Έλληνας μαθηματικός και φιλόσοφος Ζήνων ο Έλεάτης (496-429 π.Χ ) κύριος
εκπρόσωπος των Στωικών φιλοσόφων σε ένα από τα προβλήματα (Πρόβλημα
Διχοτομίας) που άπτεται της φιλοσοφίας και των μαθηματικών του απείρου
αναφέρει:
«Για να κινηθεί ένα σώμα από τη θέση Α στη θέση Β πρέπει να περάσει πρώτα από το
σημείο Γ ,μέσο της απόστασης ΑΒ, δηλαδή πρέπει να διανύσει τη μισή απόσταση του
ΑΒ. Στη συνέχεια πρέπει να περάσει από το σημείο Δ που είναι το μέσο της απόστασης
ΓΒ και έτσι συνεχίζεται αυτή η διαδικασία. Οι αποστάσεις γίνονται συνεχώς
μικρότερες και απαιτείται για κάθε μια από αυτές συγκεκριμένος χρόνος που γίνεται
συνεχώς μικρότερος όσο μικραίνουν τα διαστήματα, αλλά απόλυτα υπαρκτός. Το
άθροισμα των απείρων αυτών χρονικών διαστημάτων είναι άπειρο και κατά συνέπεια
η πραγματοποίηση της κίνησης από το σημείο Α στο σημείο Β είναι αδύνατη».
Έχουν προταθεί πολλές λύσεις για να εξηγηθεί η αντινομία αυτή.
Η πλέον αντιπροσωπευτική θεωρεί ότι το λάθος οφείλεται στην αποδοχή ότι
« Το άθροισμα απείρου αριθμού ορισμένων χρονικών διαστημάτων είναι άπειρο»
Με ένα αντιπαράδειγμα θα αποδείξουμε την ορθότητα της άποψης που δίνεται από
την αντιπροσωπευτική λύση.
Η απόσταση δύο σημείων Α και Β είναι 2 χιλιόμετρα και ένα κινητό κινείται με
ομαλή ταχύτητα 1 χιλιόμετρο το πρώτο λεπτό.
Το μισό της απόστασης θα διανυθεί σε χρόνο Τ1=1 πρώτο λεπτό, το μισό της
υπόλοιπης απόστασης θα διανυθεί σε χρόνο Τ2  1 του πρώτου λεπτού , το μισό της
2
υπόλοιπης απόστασης σε χρόνο Τ3  1 του πρώτου λεπτού και συνεχίζοντας θα
έχουμε συνολικό
4
1
1
χρόνο   1    .......  1  ...
2 4
2ν
Το άθροισμα των όρων της σειράς αυτής δεν είναι άπειρο( αν και το πλήθος των
όρων της σειράς είναι άπειρο) ,αλλά προσεγγίζει τον αριθμό 2 . Άρα ο χρόνος είναι
  2 πρώτα λεπτά και όχι άπειρος.
Εκτός από το πρόβλημα της Διχοτομίας ο Ζήνωνας διατύπωσε και άλλα τρία
προβλήματα που αναφέρονται στον ίδιο χώρο σκέψης:
1.Το Πρόβλημα του Αχιλλέα και της Χελώνας.
2.Το Πρόβλημα του “πετώντος βέλους”.
3.Το Πρόβλημα του Σταδίου.
Τα παραπάνω τρία προβλήματα μαζί με το πρόβλημα της διχοτομίας που με
λεπτομέρεια αναπτύξαμε ονομάζονται.
«Παράδοξα του Ζήνωνα».

Download Report