ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΗΡΙΑ ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΠΑΙΔΕΙΑ ΚΥΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: Ν.ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΠΑΙΔΕΙΑ ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ ΝΙΚΗΤΑΣ 001 ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΠΑΙΔΕΙΑ ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ ΝΙΚΗΤΑΣ 002 ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΠΑΙΔΕΙΑ ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ ΝΙΚΗΤΑΣ 003 ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΠΑΙΔΕΙΑ ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ ΝΙΚΗΤΑΣ 004 ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΠΑΙΔΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ ΝΙΚΗΤΑΣ 005 ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΠΑΙΔΕΙΑ 2-2 ΜΗΧΑΝΙΚΑ ΚΥΜΑΤΑ 1.Τι ονομάζουμε κύμα; Αν προκληθεί μια διαταραχή σε ένα υλικό που ηρεμεί (ισορροπεί), τα μόριά του, στην περιοχή όπου προκλήθηκε η διαταραχή, μετατοπίζονται από τις θέσεις ισορροπίας τους. Επειδή όμως τα μόρια αυτά αλληλεπιδρούν με τα γειτονικά τους δέχονται δυνάμεις που τείνουν να τα επαναφέρουν στις αρχικές τους θέσεις ενώ στα διπλανά τους ασκούνται δυνάμεις που τείνουν να τα εκτρέψουν από τη θέση ισορροπίας. Έτσι, η διαταραχή διαδίδεται από τη μια περιοχή του υλικού στην άλλη και όλα τα σημεία του υλικού εκτελούν διαδοχικά την ίδια κίνηση. Η διάδοση αυτής της διαταραχής στο χώρο ονομάζεται κύμα. 2.Τι χρειάζεται για τη δημιουργία ενός κύματος; Για τη δημιουργία ενός κύματος χρειάζονται η πηγή της διαταραχής ή πηγή του κύματος, δηλαδή η αιτία που θα προκαλέσει τη διαταραχή και ένα υλικό (μέσο) στο οποίο κάθε μόριο αλληλεπιδρά με τα γειτονικά του (ελαστικό μέσο). 3.Τι ονομάζουμε μηχανικό κύμα; Τα κύματα που διαδίδονται σε ένα ελαστικό μέσο ονομάζονται μηχανικά κύματα. Ο κυματισμός στην επιφάνεια της θάλασσας, η διάδοση των δονήσεων κατά μήκος ενός στερεού και ο ήχος είναι μερικά παραδείγματα μηχανικών κυμάτων 4.Τι μεταφέρεται με το κύμα; Κατά τη διάδοση ενός κύματος μεταφέρεται ενέργεια και ορμή από το ένα σημείο του μέσου στο άλλο, όχι όμως και ύλη. 5.Πως ορίζεται η ταχύτητα διάδοσης του κύματος και τι ξέρετε για αυτήν; Αν σε χρόνο t μια διαταραχή διαδίδεται σε απόσταση x από την πηγή παραγωγής της, το πηλίκο υ=x/t είναι η ταχύτητα διάδοσης του κύματος. Η ταχύτητα με την οποία διαδίδεται ένα κύμα σε ένα μέσον εξαρτάται μόνο από τις ιδιότητες του μέσου που διαταράσσεται και όχι από το πόσο ισχυρή είναι η διαταραχή. Λόγου χάρη ο ήχος διαδίδεται στον αέρα με ταχύτητα 344 m/s, ανεξάρτητα από το αν είναι ισχυρός ή ασθενής. Στα στερεά ο ήχος διαδίδεται με μεγαλύτερη ταχύτητα. ΠΡΟΣΟΧΗ: Στο σημείο αυτό να επισημάνουμε τη διάκριση ανάμεσα στην ταχύτητα του κύματος, που είναι σταθερή, και την ταχύτητα με την οποία κινούνται τα σημεία του μέσου γύρω από τη θέση ισορροπίας τους, που δεν είναι στα- ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ ΝΙΚΗΤΑΣ 006 ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΠΑΙΔΕΙΑ θερή. 6.Τι είναι τα εγκάρσια κύματα και τι ξέρετε για αυτά; Εγκάρσια ονομάζονται τα κύματα στα όποία όλα τα σημεία του ελαστικού μέσου ταλαντώνονται κάθετα στη διεύθυνση διάδοσης του κύματος.Τέτοια κύματα διαδίδονται κατά μήκος μιας χορδής. Τα κύματα που διαδίδονται στην επιφάνεια των υγρών μπορούν να θεωρηθούν κατά προσέγγιση εγκάρσια. Τα εγκάρσια κύματα διαδίδονται στα στερεά. 7.Τι είναι τα διαμήκη κύματα και τι ξέρετε για αυτά; Διαμήκη ονομάζονται τα κύματα στα οποία τα σημεία του ελαστικού μέσου ταλαντώνονται παράλληλα στη διεύθυνση διάδοσης του κύματος. Τέτοιο είναι το κύμα που διαδίδεται κατά μήκος του ελατηρίου στο σχήμα 2.3. Τα διαμήκη διαδίδονται τόσο στα στερεά όσο και στα υγρά και τα αέρια. 8.Τι ονομάζουμε περιοδικό κύμα και τι αρμονικό; Αν η πηγή εκτελεί περιοδική κίνηση τα σωματίδια του μέσου κινούνται επίσης περιοδικά. Το κύμα που προκύπτει τότε είναι ένα περιοδικό κύμα. Ειδικότερα, αν η κίνηση της πηγής είναι απλή αρμονική ταλάντωση όλα τα σωματίδια του μέσου εκτελούν επίσης απλή αρμονική ταλάντωση και το κύμα ονομάζεται ημιτονοειδές ή αρμονικό. Τα αρμονικά κύματα έχουν απλή μαθηματική περιγραφή και παίζουν έναν ιδιαίτερα σπουδαίο ρόλο. Οποιαδήποτε κυματική διαταραχή, όσο περίπλοκη και να είναι, μπορεί να θεωρηθεί ότι προέρχεται από το άθροισμα ενός αριθμού αρμονικών κυμάτων. 9.Τι είναι η περίοδος του κύματος; Α) Η περίοδος (Τ) του κύματος είναι το χρονικό διάστημα στο οποίο ένα σωματίδιο του μέσου ολοκληρώνει την κίνησή του (αρμονική ταλάντωση). Β) Περίοδος του κύματος είναι επίσης το χρονικό διάστημα στο οποίο η κυματική εικόνα επαναλαμβάνεται. ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ ΝΙΚΗΤΑΣ 007 ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΠΑΙΔΕΙΑ 10.Τι είναι η συχνότητα του κύματος; Η συχνότητα ( f ) με την οποία ταλαντώνονται τα σημεία του μέσου ονομάζεται και συχνότητα του κύματος. Η συχνότητα του κύματος δείχνει τον αριθμό των κορυφών (αν πρόκειται για εγκάρσιο κύμα) ή των πυκνωμάτων (αν πρόκειται για διάμηκες) που φτάνουν σε κάποιο σημείο του μέσου στη μονάδα του χρόνου κατά τη διάδοση του κύματος. 11. Τι είναι το μήκος του κύματος;λ Α)Η απόσταση στην οποία διαδίδεται το κύμα σε χρόνο μιας περιόδου ονομάζεται μήκος κύματος και συμβολίζεται με λ. Β)Στο σχήμα 2.6α βλέπουμε δύο στιγμιότυπα ενός εγκάρσιου αρμονικού κύματος σε χρονικές στιγμές που διαφέρουν κατά Δt. Σ' αυτό το χρονικό διάστημα μια κορυφή του κύματος μετακινήθηκε κατά υ Σε χρονικό διάστημα μιας περιόδου μια κορυφή (έστω αυτή με το βελάκι) θα έχει μετακινηθεί κατά ένα μήκος κύματος (σχ. 2.6β). Επομένως η απόσταση δύο διαδοχικών κορυφών είναι ίση με λ. Γ)Θα μπορούσαμε, να ορίσουμε το μήκος κύματος ως την απόσταση μεταξύ δύο διαδοχικών σημείων του μέσου που απέχουν το ίδιο από τη θέση ισορροπίας τους και κινούνται κατά την ίδια φορά. ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ ΝΙΚΗΤΑΣ 008 ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΠΑΙΔΕΙΑ 12.Ποια είναι και πως προκύπτει η θεμελιώδης εξίσωση της κυματικής; Αν στη σχέση (2.1) αντικαταστήσουμε το t με την περίοδο του κύματος η απόσταση x στην οποία διαδίδεται το κύμα είναι λκαι η σχέση παίρνει τη μορφή Η σχέση αυτή ονομάζεται θεμελιώδης εξίσωση της κυματικής. 13.Περιγράψτε πως προκύπτει η μαθηματική περιγραφή του κύματος. Ας υποθέσουμε ότι η πηγή αρμονικής διαταραχής Ο αρχίζει να ταλαντώνεται τη χρονική στιγμή t0 0 και ότι η ταλάντωσή της περιγράφεται από τη σχέση y Aημωt . Ένα σημείο Μ του ελαστικού μέσου θα αρχίσεινα ταλαντώνεται τη χρονική στιγμή t 1= x 1/ υ. Επομένως τη χρονική στιγμή t1 ,το σημείο Μ θα ταλαντώνεται επί χρόνο t – t1 = t − x 1 /υ και, με την προϋπόθεση ότι το πλάτος της ταλάντωσης του Μ είναι ίσο με το πλάτος ταλάντωσης του Ο, η εξίσωση της κίνησής του θα είναι ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ ΝΙΚΗΤΑΣ 009 ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΠΑΙΔΕΙΑ Η (2.4) αποτελεί την εξίσωση του κύματος και δίνει κάθε στιγμή την απομάκρυνση που έχουν τα σημεία του ελαστικού μέσου από τη θέση ισορροπίας τους. 14.Τι είναι το πλάτος του κύματος; Το Α ονομάζεται πλάτος του κύματος και είναι η μέγιστη τιμή που μπορεί να πάρει η απομάκρυνση ενός σημείου του μέσου κατά την αρμονική ταλάντωση που εκτελεί. 15.Τι είναι η φάση του κύματος; Η γωνία ονομάζεται φάση και μετριέται σε ακτίνια. Επειδή η φάση εξαρτάται από την απόσταση x από την πηγή προκύπτει ότι τα σημεία του ελαστικού μέσου την ίδια χρονική στιγμή έχουν διαφορετικές φάσεις. 16.Απο πόσες μεταβλητές εξαρτάται η απομάκρυνση ενός σημείου του ελαστικού μέσου; Από τη σχέση (2.4) φαίνεται ότι η απομάκρυνση y κάποιου σημείου του μέσου είναι συνάρτηση δύο μεταβλητών, του χρόνου t και της απόστασης x του σημείου από την πηγή. 17.Ποιές γραφικές παραστάσεις κατασκευάζουμε για το κύμα; Από τη σχέση (2.4) φαίνεται ότι η απομάκρυνση y κάποιου σημείου του μέσου είναι συνάρτηση δύο μεταβλητών, του χρόνου t και της απόστασης x του σημείου από την πηγή. Για το λόγο αυτό δεν είναι δυνατό η σχέση (2.4) να παρασταθεί γραφικά σε επίπεδο σχήμα. Αν όμως η μια από τις δύο μεταβλητές θεωρηθεί σταθερή, η απομάκρυνση είναι συνάρτηση μόνο της άλλης μεταβλητής και είναι δυνατή η γραφική της παράσταση. Α)Στιγμιότυπο του κύματος. Για δεδομένη χρονική στιγμή (t = t1) η σχέση (2.4) παίρνει τη μορφή και δίνει την απομάκρυνση κάθε σημείου του μέσου συναρτήσει της απόστασής του από την πηγή. Το διάγραμμα αυτής της συνάρτησης (σχ. 2.8), δίνει τη θέση των διαφόρων σημείων του μέσου μια ορισμένη χρονική στιγμή και ονομάζεται στιγμιότυπο του κύματος. Β) Ταλάντωση ενός σημείου του μέσου. Για ορισμένη απόσταση από την πηγή (x=x1), η σχέση (2.4) παίρνει τη ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ ΝΙΚΗΤΑΣ 010 ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΠΑΙΔΕΙΑ μορφή και δίνει την απομάκρυνση ενός συγκεκριμένου σημείου του μέσου συναρτήσει του χρόνου. Η γραφική παράσταση της σχέσης αυτής (σχ. 2.9) είναι η γνωστή μας γραφική παράσταση της απλής αρμονικής ταλάντωσης. 2-3 ΕΠΑΛΛΗΛΙΑ Ή ΥΠΕΡΘΕΣΗ ΚΥΜΑΤΩΝ 1.Τι συμβαίνει όταν στο ίδιο ελαστικό μέσο συμβάλλουν, δηλαδή διαδίδονται ταυτόχρονα δύο ή περισσότερα κύματα; Ποια είναι τότε η κίνηση των μορίων του μέσου; Α) Έχει διαπιστωθεί ότι τα κύματα ακολουθούν την αρχή επαλληλίας ή υπέρθεσης, σύμφωνα με την οποία όταν σε ένα μέσο διαδίδονται δύο ή περισσότερα κύματα η απομάκρυνση ενός σημείου του ελαστικού μέσου είναι ίση με τη συνισταμένη των απομακρύνσεων που οφείλονται στα επί μέρους κύματα. Β). Τα κύματα που διαδίδονται στο ίδιο μέσο, δεν αλληλεπιδρούν μεταξύ τους. Κάθε κύμα διαδίδεται σαν να μην υπήρχε το άλλο. Η συνεισφορά κάθε κύματος στην απομάκρυνση ενός σημείου του μέσου είναι ανεξάρτητη από την ύπαρξη του άλλου κύματος. 2.Πότε παραβιάζεται η αρχή της επαλληλίας; Η αρχή της επαλληλίας παραβιάζεται μόνο όταν τα κύματα είναι τόσο ισχυρά ώστε να μεταβάλλουν τις ιδιότητες του μέσου στο οποίο διαδίδονται (όταν οι δυνάμεις που ασκούνται στα σωματίδια του μέσου δεν είναι ανάλογες της απομάκρυνσης). Τέτοιες περιπτώσεις όπου δεν ισχύει η αρχή της επαλληλίας, έχουμε στα κύματα που δημιουργούνται από μια έκρηξη. 3.Πως αντιμετωπίζουμε ένα σύνθετο κύμα; Ενα σύνθετο κύμα μπορούμε να το θεωρήσουμε ως αποτέλεσμα της επαλληλίας ενός αριθμού αρμονικών κυμάτων, με επιλεγμένα πλάτη και μήκη κύματος. 4.Περιγράψτε μερικά παραδείγματα συνθεσης παλμών. Α) Στο σχήμα 2.10 φαίνεται το αποτέλεσμα της ταυτόχρονης διάδοσης δύο παλμών κατά μήκος ενός σχοινιού, στο ίδιο επίπεδο, με αντίθετες κατευ- ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ ΝΙΚΗΤΑΣ 011 ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΠΑΙΔΕΙΑ θύνσεις. Όταν οι δυο παλμοί συναντώνται, τα μόρια του σχοινιού έχουν απομάκρυνση ίση με το αλγεβρικό άθροισμα των απομακρύνσεων που θα είχαν αν οι δυο παλμοί διαδίδονταν ξεχωριστά. Β) 5)Τι ονομάζουμε συμβολή κυμάτων; Η ταυτόχρονη διάδοση δύο ή περισσότερων κυμάτων στην ίδια περιοχή ενός ελαστικού μέσου ονομάζεται συμβολή. 2-4 ΣΥΜΒΟΛΗ ΔΥΟ ΚΥΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΕΠΙΦΑΝΕΙΑ ΥΓΡΟΥ 1.Ποια είναι τα το αποτέλεσματα της συμβολής δύο όμοιων κυμάτων στην επιφάνεια νερού.;(Τα κύματα προκαλούνται στην επιφάνεια νερού από τις πηγές Α και Β.) Βλέπουμε ότι υπάρχουν σημεία (τα οποία μάλιστα σχηματίζουνγραμμές) που παραμένουν ακίνητααπόσβεση), ενώ άλλα ταλαντώνονται πολύ έντονα(ενίσχυση). ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ ΝΙΚΗΤΑΣ 012 ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΠΑΙΔΕΙΑ 2.Τι σημαίνει ότι σε κάποια σημεία τα κύματα συμβάλλουν ενισχυτικά; Στο σχήμα 2.12 το σημείο Σο είναι ένα σημείο στην επιφάνεια του νερού που απέχει εξίσου από τα σημεία Α και Β, (r1 = r2). Επειδή τα δύο κύματα ξεκινούν ταυτόχρονα από τις πηγές και η απόσταση που διανύουν μέχρι να φτάσουν στο Σο είναι ίδια, όταν στο Σο φτάνει ΄΄όρος΄΄ από τη μια πηγή, θα φτάνει ΄΄όρος΄΄ και από την άλλη, σύμφωνα με την αρχή της επαλληλίας, στο Σο θα δημιουργηθεί ΄΄όρος΄΄ με διπλάσιο ύψος. Μετά από χρόνο Τ/2 στο σημείο Σο θα φτάσουν ταυτόχρονα δύο ΄΄κοιλάδες΄΄,έτσι η κοιλάδα που θα δημιουργηθεί στο Σο θα έχει διπλάσιο βάθος. Στην περίπτωση αυτή λέμε ότι τα δύο κύματα συμβάλλουν ενισχυτικά. Ενισχυτική συμβολή έχουμε και σε άλλα σημεία. Για παράδειγμα και στο σημείο Σ1, στο οποίο r1-r2=λ. Όταν στο σημείο Σ1 φτάνει ΄΄όρος΄΄ που προέρχεται από την πηγή Β, ταυτόχρονα φτάνει ΄΄όρος΄΄ που προέρχεται από την πηγή Α και δημιουργήθηκε μια περίοδο νωρίτερα. Το ίδιο συμβαίνει σε όλα εκείνα τα σημεία στα οποία η διαφορά των ποστάσεών τους από τις δύο πηγές είναι ακέραια πολλαπλάσια του μήκους κύματος. αποστάσεών τους από τις δύο πηγές είναι ίση με περιττό πολλαπλάσιο του λ/2. Επομένως Τα σημεία των οποίων οι αποστάσεις r1 και r2, από τις δύο πηγές, διαφέρουν κατά ακέραιο πολλαπλάσιο του μήκους κύματος λ ταλαντώνονται με μέγιστο πλάτος. Τότε έχουμε ενίσχυση. 3.Τι σημαίνει ότι σε κάποια σημεία τα κύματα συμβάλλουν αποσβεστικα; Ας εξετάσουμε τώρα την περίπτωση ενός σημείου Φ1 (σχ. 2.13), στο οποίο οι αποστάσεις r1 και r2 από τις πηγές Α και Β, διαφέρουν κατά λ/2. Όπως είπαμε τα ΄΄όρη΄΄ ξεκινούν ταυτόχρονα από τις δύο πηγές. Όταν στο σημείο Φ1 φτάνει όρος προερχόμενο από την πηγή Β, από την πηγή Α θα φτάνει κοιλάδα, με αποτέλεσμα τα δύο κύματα να α λληλοαναιρούνται. Μετά από χρόνο Τ/2, στο σημείο Φ1, θα φτάσει ΄΄κοιλάδα΄΄ από το Β και ΄΄όρος΄΄ από το Α. Το άθροισμά τους θα είναι πάλι μηδέν. Το σημείο Φ1 παραμένει διαρκώς ακίνητο. Το ίδιο συμβαίνει με όλα εκείνα τα σημεία, στην επιφάνεια του νερού, στα οποία η διαφορά των αποστάσεών τους από τις δύο πηγές είναι ίση με περιττό πολλαπλάσιο του λ/2. Επομένως Τα σημεία των οποίων οι αποστάσεις r1 και r2, από τις δύο πηγές, διαφέρουν κατά περιττό πολλαπλάσιο του μισού μήκους κύματος (λ/2) μένουν διαρκώς ακίνητα. Τότε έχουμε απόσβεση. ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ ΝΙΚΗΤΑΣ 013 ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΠΑΙΔΕΙΑ Όλα τα υπόλοιπα σημεία κάνουν ταλάντωση με ενδιάμεσο πλάτος. 4.Περιγράψτε μαθηματικά την συμβολή δύο κυμάτων,τα οποία έχουν πηγές σε φάση. Τα συμπεράσματα αυτά μπορούν να γίνουν πιο πειστικά αν μελετήσουμε μαθηματικά το φαινόμενο. Έστω ότι ένα τυχαίο σημείο του μέσου στο οποίο διαδίδονται ταυτόχρονα κύματα που προέρχονται από τις πηγές Α και Β, απέχει από αυτές r1 και r2 αντίστοιχα. Μια τυχαία χρονική στιγμή t το σημείο αυτό έχει απομάκρυνση, ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ ΝΙΚΗΤΑΣ 014 ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΠΑΙΔΕΙΑ 5.Τι μορφή έχουν οι γεωμετρικοί τόποι των σημείων ενίσχυσης και απόσβεσης; Ο γεωμετρικός τόπος των σημείων για τα οποία ισχύει r1 − r2 =σταθ είναι υπερβολή. Επομένως τα σημεία στα οποία έχουμε ενισχυτική συμβολή και τα σημεία στα οποία έχουμε απόσβεση, βρίσκονται πάνω σε υπερβολές. 6.Τι σημαίνει ότι οι πηγές είναι σε φάση; Οι πηγές βρίσκονται σε φάση όταν δημιουργούν ταυτόχρονα μέγιστα και ελάχιστα. 2-5 ΣΤΑΣΙΜΑ ΚΥΜΑΤΑ 1.Τι ονομάζουμε στάσιμο κύμα; Στάσιμο κύμα ονομάζεται το αποτέλεσμα της συμβολής δύο κυμάτων της ίδιας συχνότητας και του ίδιου πλάτους που διαδίδονται στο ίδιο μέσο με αντίθετες κατευθύνσεις. ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ ΝΙΚΗΤΑΣ 015 ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΠΑΙΔΕΙΑ 3.Πως μπορούμε να δημιουργήσουμε στάσιμα κύματα; Κρατάμε την ελεύθερη άκρη ενός τεντωμένου σχοινιού, που η άλλη του άκρη είναι στερεωμένη σε ακλόνητο σημείο και της δίνουμε μια ώθηση.Με αυτό τον τρόπο δημιουργείται ένας κυματικός παλμός ο οποίος διαδίδεται κατά μήκος του σχοινιού. Όταν η κυματική διαταραχή φτάσει στην άκρη του σχοινιού το σχοινί ασκεί μια δύναμη στο σημείο στήριξης. Η αντίδραση σε αυτή τη δύναμη δημιουργεί έναν ανακλώμενο παλμό που κινείται στην αντίθετη κατεύθυνση (σχ. 2.15). Εάν εξαναγκάσουμε το ελεύθερο άκρο του σχοινιού να κάνει αρμονική ταλάντωση (σχήμα 2.16) το αρμονικό κύμα που δημιουργείται και το όμοιο του που προκύπτει από την ανάκλαση συμβάλλουν δημιουργώντας στάσιμο κύμα. 4.ΤΙ είναι οι δεσμοί και τι οι κοιλίες του στάσιμου κύματος; ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ ΝΙΚΗΤΑΣ 016 ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΠΑΙΔΕΙΑ Αν φωτογραφίσουμε το σχοινί σε διάφορες χρονικές στιγμές, θαπαρατηρήσουμε ότι υπάρχουν σημεία στο σχοινί - οι δεσμοί που παραμένουν διαρκώς ακίνητα ενώ όλα τα άλλα εκτελούν ταλάντωση με την ίδια συχνότητα. Το πλάτος της ταλάντωσης δεν είναι ίδιο για όλα τα σημεία που ταλαντώνονται. Μέγιστο πλάτος έχουν τα σημεία που βρίσκονται στο μέσο της απόστασης μεταξύ δύο διαδοχικών δεσμών –οι κοιλίες. 5.Γιατι δεν θεωρείται το στάσιμο κύμα; Α) Η ονομασία (στάσιμο = ακίνητο) οφείλεται στο γεγονός ότι εδώ δεν έχουμε να κάνουμε με ένα κύμα, δηλαδή με μια παραμόρφωση που διαδίδεται. Στο κύμα όλα τα σημεία εκτελούν διαδοχικά την ίδια κίνηση ενώ στο στάσιμο δε συμβαίνει το ίδιο. Β) Εφόσον στο στάσιμο κύμα υπάρχουν σημεία που παραμένουν πάντα ακίνητα, δε μεταφέρεται ενέργεια από το ένα σημείο του μέσου στο άλλο (αυτός επίσης είναι ένας βασικός λόγος που διαφοροποιεί την κατάσταση του στάσιμου κύματος από αυτό που ορίσαμε ως κύμα). 6.Περιγραψτε μαθηματικά το στάσιμο κύμα. (εξίσωση στασίμου) Έστω το αρμονικό κύμα με εξίσωση που διαδίδεται κατά τη θετική φορά του άξονα x (στο σχήμα 2.14 το κύμα 1). Ένα δεύτερο κύμα με ίδιο πλάτος και ίδια συχνότητα, που διαδίδεται κατά την αντίθετη κατεύθυνση (στο σχήμα 2.14 το κύμα 2), θα περιγράφεται από την εξίσωση Σύμφωνα με την αρχή της επαλληλίας, η απομάκρυνση ενός σημείου Μ του μέσου τη χρονική στιγμή t, θα είναι ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ ΝΙΚΗΤΑΣ 017 ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΠΑΙΔΕΙΑ η οποία γίνεται από τις (2.9) και (2.10) Κάνοντας χρήση της τριγωνομετρικής ταυτότητας εξαρτάται μόνο από τη θέση x του σημείου και παραμένει σταθερός με το χρόνο. Η σχέση (2.12) παίρνει τη μορφή που είναι η εξίσωση της απλής αρμονικής ταλάντωσης. Επομένως κάθε σημείο του μέσου εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση. 7.Τι παρατηρούμε για το πλάτος των σημείων του μέσου στο οποίο σχηματίζεται στάσιμο κύμα; Α)Τα σημεία τα οποία βρίσκονται σε θέση x τέτοια ώστε έχουν μηδενικό πλάτος ταλάντωσης, δηλαδή παραμένουν συνεχώς ακίνητα. Είναι οι δεσμοί του στάσιμου κύματος. Β) Τα σημεία τα οποία βρίσκονται σε θέση τέτοια ώστε ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ ΝΙΚΗΤΑΣ 018 ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΠΑΙΔΕΙΑ έχουν μέγιστο πλάτος ταλάντωσης, ίσο με 2A. Αποτελούν τις κοιλίες του στάσιμου κύματος. Γ) Τα υπόλοιπα σημεία έχουν πλατος από 0 εως 2Α Δ) Στην παραπάνω μαθηματική μελέτη, η αρχή μέτρησης των αποστάσεων είναι κοιλία (για x=0, έχουμε κοιλία). 8.Ποιά είναι η απόσταση δύο διαδοχικων κοιλιών ή δεσμών. Από τις (2.14) και (2.15) προκύπτει ότι η απόσταση μεταξύ δύο διαδοχικών δεσμών, ή κοιλιών είναι ίση με το μισό του μήκους κύματος λ των κυμάτων από τη συμβολή των οποίων προήλθε το στάσιμο κύμα. 9.Τι είδους κύματα δημιουργούνται στην χορδη μουσικών οργάνων; Στάσιμα κύματα μπορούν να δημιουργηθούν και σε ένα μέσο του οποίου τα δύο άκρα είναι ακίνητα, όπως σε μια χορδή ενός μουσικού οργάνου (εικ. 2.5). Στην περίπτωση αυτή, αν θέλουμε ως αρχή μέτρησης των αποστάσεων να πάρουμε το ένα άκρο (όπου υπάρχει δεσμός), η σχέση (2.12) χρειάζεται τροποποίηση ώστε, για x=0 να δίνει δεσμό. ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ ΝΙΚΗΤΑΣ 019 ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΠΑΙΔΕΙΑ 10.Περιγράψτε ενεργειακά το στασιμο κύμα. Η ενέργεια που είχαν τα αρχικά κύματα, η συμβολή των οποίων έδωσε το στάσιμο κύμα, εγκλωβίζεται ανάμεσα στους δεσμούς. Σε μια χορδή,στην οποία έχει ημιουργηθεί στάσιμο κύμα, η ενέργεια μετατρέπεται συνεχώς από ελαστική δυναμική ενέργεια, όταν η χορδή είναι στιγμιαία ακίνητη,σε κινητική όταν η χορδή διέρχεται από τη θέση ισορροπίας. Στις ενδιάμεσες θέσεις τα μόρια της χορδής, έχουν και κινητική και δυναμική ενέργεια. 2-6 ΠΑΡΑΓΩΓΗ ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΩΝ ΚΥΜΑΤΩΝ 1.Τι ονομάζουμε ταλαντούμενο ηλεκτρικό δίπολο; Γνωρίζουμε ότι ένα σύστημα δύο φορτίων +Q και –Q δημιουργεί ηλεκτρικό πεδίο και ότι ένας αγωγός που διαρρέεται από ρεύμα δημιουργεί γύρω του μαγνητικό πεδίο. Αν δύο μεταλλικές ράβδοι συνδεθούν με πηγή συνεχούς τάσης, φορτίζονται με ετερόσημα φορτία +Q και –Q (σχ. 2.18α,β). Αν συνδεθούν με γεννήτρια εναλλασσόμενης τάσης, όπως στο σχήμα 2.18γ, φορτίζονται εναλλάξ με θετικά και αρνητικά φορτία. Στις άκρες τους εμφανίζεται ζεύγος ηλεκτρικών φορτίων που μεταβάλλονται ημιτονοειδώς με το χρόνο. Η κίνηση αυτή των φορτίων αποτελεί εναλλασσόμενο ρεύμα.Ένα τέτοιο σύστημα ονομάζεται ταλαντούμενο ηλεκτρικό δίπολο και αποτελεί την κεραία εκπομπής των ραδιοφωνικών και τηλεοπτικών σταθμών . 2.Περιγράψτε τη διαδικασία παραγωγής ενός ηλεκτρομαγνητικού κύματος από ένα ταλαντούμενο ηλεκτρικό δίπολο Στο σχήμα 2.19 απεικονίζεται σχηματικά η διαδικασία παραγωγής ηλεκτρομαγνητικού κύματος από ένα ταλαντούμενο ηλεκτρικό δίπολο. Τη χρονική στιγμή μηδέν τα φορτία στις άκρες των αγωγών είναι μηδέν (σχ.2.19α). ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ ΝΙΚΗΤΑΣ 020 ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΠΑΙΔΕΙΑ Καθώς η τάση στις άκρες των αγωγών μεταβάλλεται εμφανίζονται ετερόσημα φορτία και δημιουργείται ηλεκτρικό πεδίο γύρω από αυτούς. Τη χρονική στιγμή t=T/4 τα φορτία στις άκρες των αγωγών έχουν πάρει τη μέγιστη τιμή, ενώ το ηλεκτρικό πεδίο που είχε δημιουργηθεί, από τη στιγμή μηδέν μέχρι τη στιγμή Τ/4, έχει απομακρυνθεί από τις ράβδους (σχ. 2.19β). Στη συνέχεια τα φορτία στα άκρα των ράβδων μειώνονται, επομένως μειώνεται και η ένταση Ε του ηλεκτρικού πεδίου που δημιουργούν. Ένα τέταρτο της περιόδου αργότερα τα φορτία στα άκρα των ράβδων έχουν μηδενισθεί. Εν τω μεταξύ το ηλεκτρικό πεδίο που είχε δημιουργηθεί μέχρι τότε απομακρύνεται από τους αγωγούς, με ταχύτητα c (σχ. 2.19γ). Στη συνέχεια εμφανίζεται αρνητικό φορτίο κάτω και θετικό πάνω. Τα φορτία παίρνουν τη μέγιστη τιμή τους τη στιγμή 3Τ/4, και μηδενίζονται τη στιγμή Τ. Το φαινόμενο επαναλαμβάνεται συνεχώς. Στο ίδιο χρονικό διάστημα δημιουργείται και μαγνητικό πεδίο διότι οι αγωγοί διαρρέονται από εναλλασσόμενο ρεύμα. Τη στιγμή μηδέν οι αγωγοί διαρρέονται από ρεύμα (σχ. 2.20) με αποτέλεσμα γύρω τους να έχει δημιουργηθεί μαγνητικό πεδίο. Το ρεύμα αυτό μειώνεται και μηδενίζεται τη στιγμή Τ/4. Στο μεταξύ το μαγνητικό πεδίο που είχε δημιουργηθεί απλώνεται στο χώρο. Τη στιγμή T/2 οι αγωγοί διαρρέονται πάλι από ρεύμα, μέγιστης έντασης. Γύρω τους έχει δημιουργηθεί εκ νέου μαγνητικό πεδίο κ.ο.κ. Αυτό που έχει σημασία είναι ότι καθώς τα ηλεκτρικά φορτία ταλαντώνονται το ηλεκτρικό και το μαγνητικό πεδίο που συνεχώς δημιουργούν απομακρύνεται από το δίπολο (διαδίδεται) με την ταχύτητα c του φωτός. ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ ΝΙΚΗΤΑΣ 021 ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΠΑΙΔΕΙΑ 3.Τι είναι το ηλεκτρομαγνητικό κύμα και ποια είναι τα χαρακτηριστικά του; Ηλεκτρομαγνητικό κύμα είναι η ταυτόχρονη διάδοση ενός ηλεκτρικού και ενός μαγνητικού πεδίου. Τα ηλεκτρομαγνητικά κύματα διαδίδονται στο κενό με ταχύτητα c= 3 108 m/ s Σε όλα τα υλικά διαδίδονται με μικρότερη ταχύτητα. Α) το ηλεκτρομαγνητικό κύμα είναι εγκάρσιο. Τα διανύσματα του ηλεκτρικού και του μαγνητικού πεδίου είναι κάθετα μεταξύ τους και κάθετα στη διεύθυνση διάδοσης του κύματος. Β) Κάθε στιγμή το λόγος των μέτρων των εντάσεων του ηλεκτρικού και του μαγνητικού πεδίου είναι ίσος με την ταχύτητα διάδοσής τους c=E/B Γ) Τα ηλεκτρομαγνητικά κύματα - όπως και τα μηχανικά - υπακούουν στην αρχή της επαλληλίας. Δ) Η αιτία δημιουργίας του ηλεκτρομαγνητικού κύματος είναι η επιταχυνόμενη κίνηση των ηλεκτρικών φορτίων. Ε) Κατά την ταλάντωση του ηλεκτρικού φορτίου στην κεραία, όταν τα φορτία στα άκρα της έχουν μέγιστη τιμή, το ρεύμα σ΄ αυτή είναι μηδέν και όταν τα φορτία στα άκρα μηδενιστούν η κεραία διαρρέεται από ρεύμα μέγιστης έντασης. Το ηλεκτρικό και το μαγνητικό πεδίο κοντά στην κεραία έχουν διαφορά φάσης 90ο (όταν το ένα είναι μέγιστο το άλλο είναι μηδέν). Σε μεγάλες όμως αποστάσεις τα δύο πεδία είναι σε φάση. ΣΤ) Οι εξισώσεις που περιγράφουν το ηλεκτρικό και το μαγνητικό πεδίο, ενός αρμονικού ηλεκτρομαγνητικού κύματος που διαδίδεται κατά τη διεύθυνση x, είναι ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ ΝΙΚΗΤΑΣ 022 ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΠΑΙΔΕΙΑ Ζ) 2-8 ΤΟ ΦΑΣΜΑ ΤΗΣ ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΗΣ ΑΚΤΙΝΟΒΟΛΙΑΣ 1.Πως γίνεται η θεμελιώδης εξίσωση της κυματικής στα ηλεκτρομαγνητικά κύματα; Εφόσον όλα διαδίδονται στο κενό με την ταχύτητα c, η συχνότητα τους και το μήκος κύματος συνδέονται με τη σχέση 2.Τι γνωρίζετε για τα ραδιοκύματα; Είναι τα ηλεκτρομαγνητικά κύματα με μήκος κύματος από 105m έως μερικά εκατοστά. Δημιουργούνται από ηλεκτρονικά κυκλώματα, όπως τα κυκλώματα LC, και χρησιμοποιούνται στη ραδιοφωνία και την τηλεόραση 3.Τι γνωρίζετε για τα μικροκύματα; Το μήκος κύματός τους εκτείνεται από 30cm έως 1mm περίπου. Παράγονται από ηλεκτρονικά κυκλώματα. Οι φούρνοι μικροκυμάτων με τους οποίους μαγειρεύουμε ή ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ ΝΙΚΗΤΑΣ 023 ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΠΑΙΔΕΙΑ ζεσταίνουμε γρήγορα το φαγητό λειτουργούν με κύματα αυτής της περιοχής. Μικροκύματα χρησιμοποιούν και τα ραντάρ. 4.Τι γνωρίζετε για τα υπέρυθρα κύματα; Καλύπτουν την περιοχή από 1mm έως 710-7 m περίπου. Τα κύματα αυτά εκπέμπονται από τα θερμά σώματα και απορροφώνται εύκολα από τα περισσότερα υλικά. Η υπέρυθρη ακτινοβολία που απορροφάται από ένα σώμα αυξάνει το πλάτος της ταλάντωσης των σωματιδίων από τα οποία αποτελείται, αυξάνοντας έτσι τη θερμοκρασία του. 5.Τι γνωρίζετε για το ορατό φώς; Είναι το μέρος εκείνο της ηλεκτρομαγνητικής ακτινοβολίας που ανιχνεύει ο ανθρώπινος οφθαλμός. Το μήκος κύματος του ορατού φωτός κυμαίνεται από 400 nm έως 700 nm (δηλαδή από 40010-9m έως 70010-9 m). Το ορατό φως παράγεται από την ανακατανομή των ηλεκτρονίων στα άτομα και στα μόρια. Κάθε υποπεριοχή του ορατού φάσματος προκαλεί στον άνθρωπο την αίσθηση κάποιου συγκεκριμένου χρώματος. Προσεγγιστικά τα μήκη κύματος των διαφόρων χρωμάτων του ορατού φάσματος είναι : Μια ακτινοβολία που περιέχει μήκη κύματος σε μια πολύ στενή περιοχή χαρακτηρίζεται μονοχρωματική. Για παράδειγμα, μια ακτινοβολία από 490 έως 491 nm είναι μια πράσινη μονοχρωματική αντινοβολία. Τέτοια ακτινοβολία μπορούμε να πάρουμε με τη χρήση ειδικών πηγών ή φίλτρων. Όταν χρησιμοποιούμε την έκφραση «μονοχρωματικό φως με μήκος κύματος 580 nm» στην πραγματικότητα εννοούμε φως σε μια στενή περιοχή μηκών κύματος γύρω στα 580 nm. Το απόλυτα μονοχρωματικό φως, δηλαδή το φως που αποτελείται μόνο από ένα μήκος κύματος, αποτελεί μια εξιδανίκευση. Τα λέιζερ παράγουν φως που πλησιάζει πολύ στο απόλυτα μονοχρωματικό. 6.Τι γνωρίζετε για την υπεριώδη ακτινοβολία; Η ακτινοβολία αυτή καλύπτει τα μήκη κύματος από 3,810-7 m έως 610-8 m περίπου. Ο Ήλιος είναι ισχυρή πηγή υπεριώδους ακτινοβολίας. Οι υπεριώδεις ακτίνες είναι υπεύθυνες για το ΄΄μαύρισμα΄΄ όταν κάνουμε ηλιοθεραπεία, το καλοκαίρι. Μεγάλες δόσεις υπεριώδους ακτινοβολίας βλάπτουν τον ανθρώπινο οργανισμό. Το εγαλύτερο ροφάται από τα άτομα και τα μόρια της ανώτερης ατμόσφαιρας (στρατόσφαιρα). Το όζον της στρατόσφαιρας, απορροφά κατά κύριο λόγο την επικίνδυνη υπεριώδη ακτινοβολία. Σήμερα ανησυχούμε για την πιθανή καταστροφή αυτής της προστατευτικής ασπίδας ενάντια στις υπεριώδεις ακτίνες του Ήλιου. Το όζον της στρατόσφαιρας μειώνεται εξαιτίας εκτεταμένης χρήσης των χλωροφθορανθράκων, ενώσεων που χρησιμοποιούνται στα ψυγεία, τα κλιματιστικά τους ψεκαστήρες και αλλού. 7.Τι γνωρίζετε για τις ακτίνες χ; ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ ΝΙΚΗΤΑΣ 024 ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΠΑΙΔΕΙΑ Οι ακτίνες Χ (ή ακτίνες Röntgen) είναι ηλεκτρομαγνητική ακτινοβολία με μήκη κύματος από10-8 m έως 10-13 m περίπου. Η πιο κοινή αιτία παραγωγής ακτίνων Χ είναι η επιβράδυνση ηλεκτρονίων που προσκρούουν με μεγάλη ταχύτητα σε ένα μεταλλικό στόχο. Οι ακτίνες Χ χρησιμοποιούνται στην ιατρική, κυρίως για διαγνωστικούς σκοπούς (ακτινογραφίες), και στη μελέτη των διαφόρων κρυσταλλικών δομών. Οι ακτίνες Χ μπορούν να προκαλέσουν βλάβες στους ζωντανούς οργανισμούς και γι’ αυτό πρέπει να αποφεύγουμε την έκθεσή μας σ' αυτές χωρίς σοβαρό λόγο. 8.Τι γνωρίζετε για τις ακτίνες γ; Είναι ηλεκτρομαγνητική ακτινοβολία που εκπέμπεται από ορισμένους ραδιενεργούς πυρήνες καθώς και σε αντιδράσεις πυρήνων και στοιχειωδών σωματιδίων ή ακόμα και κατά τη διάσπαση στοιχειωδών σωματιδίων. Τα μήκη κύματός τους αρχίζουν από10-10 m και φτάνουν ως τα 10-14 m. Είναι πολύ διεισδυτικές και βλάπτουν τους οργανισμούς που τις απορροφούν. 2-9 ΑΝΑΚΛΑΣΗ ΚΑΙ ΔΙΑΘΛΑΣΗ Α. Ανάκλαση του φωτός 1.ΤΙ λέγεται κατοπτρική ανάκλαση; Στο σχήμα 2.27α βλέπουμε πώς ανακλώνται οι ακτίνες μιας φωτεινής παράλληλης δέσμης που προσπίπτει πάνω σε λεία και στιλπνή επιφάνεια, (κάτοπτρο). Οι ανακλώμενες ακτίνες εξακολουθούν να είναι παράλληλες μεταξύ τους και η ανάκλαση αυτή ονομάζεται κατοπτρική ανάκλαση. 2.ΤΙ λέγεται διάχυση; Εάν η επιφάνεια πάνω στην οποία προσπίπτει η δέσμη φωτός έχει ανωμαλίες, οι ακτίνες που την αποτελούν ανακλώνται σε διάφορες διευθύνσεις (σχ. 2.27β) καισκορπίζουν στο γύρω χώρο. Η ανάκλαση αυτή, στην οποία οι ανακλώμενες ακτί-νες δεν είναι πια παράλληλες, ονομάζεται διάχυση. ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ ΝΙΚΗΤΑΣ 025 ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΠΑΙΔΕΙΑ 3.Ποιοι είναι οι νομοι της κατοπτρικής ανάκλασης; Έστω ότι μια φωτεινή ακτίνα προσπίπτει υπό γωνία πάνω σε μια λεία επιφάνεια και ανακλάται (σχ. 2.28). Τη γωνία ανάμεσα στην αρχική διεύθυνση της ακτίνας και στην κάθετη στην επιφάνεια την ονομάζουμε γωνία πρόσπτωσης (θα), και τη γωνία ανάμεσα στην κάθετη στην επιφάνεια και στη διεύθυνση της ανακλώμενης ακτίνας, γωνία ανάκλασης (θr), Πειραματικά προκύπτει ότι : 1. Η προσπίπτουσα ακτίνα, η ανακλώμενη και η κάθετη στην επιφάνεια στο σημείο πρόσπτωσης, βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο. 2. Η γωνία ανάκλασης θr, είναι ίση με τη γωνία πρόσπτωσης θα. 4.Πότε συμβαίνει διάθλαση; Όταν το φως συναντήσει την επιφάνεια που διαχωρίζει το μέσον στο οποίο διαδίδεται από ένα άλλο διαφανές μέσο, στο οποίο διαδίδεται με διαφορετική ταχύτητα, ένα μέρος του ανακλάται και το υπόλοιπο μέρος του διαθλάται, δηλαδή περνάει στο δεύτερο μέσο, αλλάζοντας πορεία. 5.Ποιά γωνία λέγεται γωνία διάθλασης; Η γωνία που σχηματίζει η διαθλώμενη ακτίνα με την κάθετη στην επιφάνεια λέγεται γωνία διάθλασης (σχ. 2.29). 6.Τι είναι ο δείκτης διάθλασης ενός οπτικού υλικού και τι ξέρετε για αυτόν; Ο λόγος της ταχύτητας του φωτός στο κενό (c) , προς την ταχύτητά του (υ) στο υλικό ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ ΝΙΚΗΤΑΣ 026 ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΠΑΙΔΕΙΑ ονομάζεται δείκτης διάθλασης (n) του οπτικού υλικού. Ο δείκτης διάθλασης είναι καθαρός αριθμός και για οποιοδήποτε υλικό είναι μεγαλύτερος της μονάδας. 7.Ποιοι είναι οι νόμοι της διάθλασης; 1. Η προσπίπτουσα ακτίνα, η διαθλώμενη και η κάθετη στη διαχωριστική επιφάνεια των δύο μέσων, στο σημείο πρόσπτωσης της ακτίνας βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο. 2. Όταν το φως είναι μονοχρωματικό, ο λόγος του ημίτονου της γωνίας πρόσπτωσης (θα) προς το ημίτονο της γωνίας διάθλασης (θb) είναι ίσος με τον αντίστροφο λόγο των δεικτών διάθλασης των δύο μέσων. Η σχέση αυτή ονομάζεται και νόμος του Snell (Σνέλ). 8.Ποιές είναι οι συνέπειες από το νόμοτου Snell; Α) Η σχέση (2.16) δείχνει ότι όταν μια ακτίνα διέρχεται από ένα υλικό α σε ένα υλικό b στο οποίο η ταχύτητα του φωτός είναι μικρότερη (nb > nα), τότε η γωνία διάθλασης είναι μικρότερη από τη γωνία πρόσπτωσης, δηλαδή η διαθλώμενη ακτίνα πλησιάζει στην κάθετη, στο σημείο πρόσπτωσης. Β) Αντίθετα αν η ταχύτητα του φωτός στο δεύτερο υλικό (b) είναι μεγαλύτερη της ταχύτητάς του στο πρώτο (nb < nα), η διαθλώμενη ακτίνα απομακρύνεται από την κάθετη. Γ) Ο δείκτης διάθλασης του κενού είναι εξ ορισμού ίσος με τη μονάδα, επομένως όταν μια ακτίνα διέρχεται από το κενό σε ένα υλικό, πλησιάζει πάντα την κάθετη. Δ) Όταν μια ακτίνα προσπίπτει κάθετα στη διαχωριστική επιφάνεια, θα=0, ημθα=0 και από (2.16) προκύπτει ότι και θb=0. Δηλαδή η ακτίνα δεν αλλάζει κατεύθυνση. Ε) Από τους νόμους της διάθλασης προκύπτει ότι η πορεία που ακολουθεί μια ακτίνα είναι ίδια είτε αυτή μεταβαίνει από το υλικό α στο b είτε αντίστροφα. 9.Τι παθαίνει η συχνότητα και το μήκος κύματος μιας ακτινοβολίας όταν αυτή περάσει από ένα υλικό σε άλλο; ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ ΝΙΚΗΤΑΣ 027 ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΠΑΙΔΕΙΑ Όταν το μονοχρωματικό φως διέρχεται από ένα υλικό σε κάποιο άλλο, η συχνότητά του (f ), δεν αλλάζει, διότι ο αριθμός των μεγίστων που φτάνουν στη διαχωριστική επιφάνεια στη μονάδα του χρόνου πρέπει να είναι ίσος με τον αριθμό των μεγίστων που στον ίδιο χρόνο την εγκαταλείπουν. Αφού η ταχύτητα με την οποία διαδίδεται το φως είναι διαφορετική στα δυο μέσα και η συχνότητα της ακτινοβολίας μένει σταθερή, το μήκος κύματος της ακτινοβολίας πρέπει να είναι διαφορετικό στα δυο μέσα. ( c λf ). 10 .Περιγράψτε οφθαλμαπάτες που οφείλονται στην διάθλαση. Στο φαινόμενο της διάθλασης οφείλονται πολλές οφθαλμαπάτες, όπως το φαινομενικό σπάσιμο μιας ράβδου που ένα τμήμα της είναι βυθισμένο στο νερό. Μια άλλη οφθαλμαπάτη φαίνεται στο σχήμα 2.31. Το μάτι αντιλαμβάνεται το φως σαν να διαδίδεται ευθύγραμμα. Έτσι βλέπει το ψάρι στην προέκταση της ακτίνας (εστιγμένη γραμμή), πιο κοντά στην επιφάνεια από ότι είναι πραγματικά. 11.Τα φαινόμενα της ανάκλασης και της διάθλασης συμβαίνουν μόνο Στην οπτική; ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ ΝΙΚΗΤΑΣ 028 ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΠΑΙΔΕΙΑ Μελετήσαμε τα φαινόμενα της ανάκλασης και της διάθλασης για το φως κι αυτό γιατί ο ρόλος των φαινομένων στον κλάδο της φυσικής που μελετά το φως και ονομάζεται οπτική είναι σημαντικός, αλλά και γιατί, με το φως τα φαινόμενα είναι εύκολα παρατηρήσιμα. Ωστόσο πρέπει να επισημάνουμε ότι τα φαινόμενα αυτά δεν περιορίζονται μόνο στα φωτεινά κύματα αλλά είναι κοινά σε όλα τα είδη κυμάτων, ηλεκτρομαγνητικά και μηχανικά. 12.Τι ξέρετε για την ανάκλαση των ραδιοκυμάτων Ιδιαίτερο ενδιαφέρον παρουσιάζει το γεγονός ότι τα ραδιοκύματα ανακλώνται σε μεταλλικές επιφάνειες. Θα έχετε παρατηρήσει τις κεραίες εκπομπής με μεταλλικό ΄΄κάτοπτρο΄΄ ή τις κεραίες δορυφορικής λήψης που επίσης φέρουν κάτοπτρο. Οι μεταλλικές επιφάνειες παίζουν για τα ραδιοκύματα το ρόλο που παίζουν οι καθρέφτες για το φως. Σε πολλές κεραίες εκπομπής, υπάρχει μια παραβολική μεταλλική επιφάνεια (κάτοπτρο). Χωρίς το κάτοπτρο, το κύμα που παράγεται από το ταλαντούμενο ηλεκτρικό δίπολο θα διασκορπιζόταν σε όλο το χώρο γύρω του. Με το κάτοπτρο, μετά την ανάκλασή του το κύμα διαδίδεται προς μια μόνο κατεύθυνση. Το κύμα αυτό είναι ικανό να φτάσει πολύ μακριά χωρίς σημαντική εξασθένιση. Στις κεραίες λήψης, το κάτοπτρο ανακλά τα ηλεκτρομαγνητικά κύματα που πέφτουν πάνω του και τα εστιάζει στην κεραία, με αποτέλεσμα το σήμα στην κεραία να είναι πιο ισχυρό. 2-10 ΟΛΙΚΗ ΕΣΩΤΕΡΙΚΗ ΑΝΑΚΛΑΣΗ 1.Τί είναι και πότε συμβαίνει η κρίσιμη γωνία; Το σχήμα 2.33 δείχνει μερικές ακτίνες μονοχρωματικού φωτός που εκπέμπονται από μια σημειακή πηγή Ρ, μέσα σε ένα υλικό α με δείκτη διάθλασης nα. Οι ακτίνες προσπίπτουν στην επιφάνεια που χωρίζει το υλικό α από ένα δεύτερο διαφανές υλικό b που έχει δείκτη διάθλασης nb. Έστω ότι nα > nb. Από το νόμο του Snell, για τη γωνία διάθλασης μιας τέτοιας ακτίνας έχουμε Επειδή ο λόγος nα/nb είναι μεγαλύτερος της μονάδας, το ημθb είναι μεγαλύτερο του ημθα, επομένως θ b > θ a . Άρα υπάρχει μια τιμή της θα – μι- ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ ΝΙΚΗΤΑΣ 029 ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΠΑΙΔΕΙΑ κρότερη από τις 90ο - για την οποία ο νόμος του Snell δίνει ημθb=1 επομένως θb=90ο. Αυτό συμβαίνει στην περίπτωση της ακτίνας 3 του σχήματος 2.33. Η γωνία θα για την οποία η διαθλώμενη ακτίνα κινείται παράλληλα προς τη διαχωριστική επιφάνεια των δύο μέσων ονομάζεται κρίσιμη γωνία (ή οριακή γωνία) και συμβολίζεται με θcrit. 2. Τί είναι και πότε συμβαίνει η ολική ανάκλαση; Όταν η γωνία πρόσπτωσης(σε πυκνότερο υλικό) γίνει μεγαλύτερη από τη θcrit, η ακτίνα ανακλάται ολικά από τη διαχωριστική επιφάνεια. Το φαινόμενο αυτό ονομάζεται ολική εσωτερική ανάκλαση. Μια τέτοια περίπτωση παριστάνεται με την ακτίνα 4 στο σχήμα 2.33. 3.Ποιοι νόμοι διέπουν την ολική ανάκλαση; ¨Ολες οι ακτίνες που υφίστανται ολική ανάκλαση, ακολουθούν το νόμο της ανάκλασης δηλαδή, η γωνία πρόσπτωσης ισούται με τη γωνία ανάκλασης. Μπορούμε να βρούμε την κρίσιμη γωνία θcrit χρησιμοποιώντας το νόμο του Snell. Αν στη σχέση (2.17) θέσουμε θb=90ο προκύπτει Η σχέση (2.18) ισχύει μόνο όταν nα > nb, διαφορετικά θα έδινε ημθcrit >1 , που είναι αδύνατο. Επομένως, το φαινόμενο της ολικής εσωτερικής ανάκλασης συμβαίνει μόνο όταν το φως μεταβαίνει από μέσο (α) σε μέσο (b) για τα οποία ισχύει nα > nb. Για να έχουμε ολική εσωτερική ανάκλαση πρέπει η γωνία πρόσπτωσης να είναι μεγαλύτερη της κρίσιμης γωνίας. ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ ΝΙΚΗΤΑΣ 030 ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΠΑΙΔΕΙΑ 4.Περιγράψτε μερικές εφαρμογές της ολικής ανάκλασης. Α) Για το φως που κατευθύνεται από το γυαλί στον αέρα, η κρίσιμη γωνία είναι 41,1ο. Η κρίσιμη γωνία είναι γενικά μικρή, όταν ένα μέσο έχει μεγάλο δείκτη διάθλασης και το άλλο είναι ο αέρας. Στο διαμάντι η κρίσιμη γωνία είναι 24ο Η μικρή κρίσιμη γωνία είναι ο λόγος που ένα κατεργασμένο διαμάντι (με πολλές έδρες) λαμποκοπά στο φως. Το μεγαλύτερο μέρος του φωτός που εισέρχεται στο διαμάντι,υφίσταται ολική ανάκλαση στις διάφορες έδρες του. Για να εξέλθει πρέπει να προσπέσει σχεδόν κάθετα στις έδρες του. Β) Εάν χρησιμοποιήσουμε το κατάλληλο πρίσμα, μπορούμε με το φαινόμενο της ολικής εσωτερικής ανάκλασης να μεταβάλουμε την κατεύθυνση μιας ακτίνας φωτός. Στο σχήμα 2.34 παρατηρούμε τέτοιες περιπτώσεις. Στο σχήμα 2.34α η φωτεινή ακτίνα με ολική εσωτερική ανάκλαση εκτρέπεται κατά 90ο ενώ στο σχήμα 2.34β εκτρέπεται κατά 180ο (αντιστρέφεται η πορεία της). Τα περισκόπια στα υποβρύχια χρησιμοποιούν συνδυασμό δύο πρισμάτων της περίπτωσης (α) (σχ.2.34γ) ώστε οι άνθρωποι στο εσωτερικό τους να μπορούν να βλέπουν τι γίνεται πάνω από την επιφάνεια του νερού. Γ) ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ ΝΙΚΗΤΑΣ 031 ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΠΑΙΔΕΙΑ ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ ΝΙΚΗΤΑΣ 032 ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΠΑΙΔΕΙΑ ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ ΝΙΚΗΤΑΣ 033 ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΠΑΙΔΕΙΑ ΤΥΠΟΛΟΓΙΑ ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ ΝΙΚΗΤΑΣ 034 ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΠΑΙΔΕΙΑ ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ ΝΙΚΗΤΑΣ 035 ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΠΑΙΔΕΙΑ ΔΙΑΦΟΡΑ ΦΑΣΗΣ ΔΥΟ ΥΛΙΚΩΝ ΣΗΜΕΙΩΝ ΤΟΥ ΜΕΣΟΥ ΟΠΟΥ ΔΙΑΔΙΔΕΤΑΙ ΕΝΑ ΚΥΜΑ, ΤΑ ΟΠΟΙΑ ΑΠΕΧΟΥΝ Δx=x2-x1 , ΤΗΝ ΙΔΙΑ ΧΡΟΝΙΚΗ ΣΤΙΓΜΗ t. 𝑡 𝑥2 𝑡 𝑥1 𝜒1−𝜒2 𝑇 𝜆 𝑇 𝜆 𝜆 Δφ=φ2-φ1=2π( − )- 2π( − )=2π( ) ΔΙΑΦΟΡΑ ΦΑΣΗΣ ΕΝΟΣ ΥΛΙΚΟΥ ΣΗΜΕΙΟΥ ΤΟΥ ΜΕΣΟΥ ΣΕ ΧΡΟΝΙΚΟ ΔΙΑΣΤΗΜΑ Δt=t2-t1. 𝑡2 𝑥 𝑡1 𝑥 𝑡2−𝑡1 𝑇 𝜆 𝑇 𝜆 𝜆 Δφ=φ2-φ1=2π( − )- 2π( − )=2π( ) Eξίσωση ταχύτητας ενός σημείου του ελαστικού μέσου στο οποίο διαδίδεται το κύμα 𝑡 𝑥 𝑇 𝜆 υ=ωΑσυν2π( − ) υ=±ω√𝛢2 − 𝜒 2 ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ ΝΙΚΗΤΑΣ 036 ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΠΑΙΔΕΙΑ Eξίσωση επιτάχυνσης ενός σημείου του ελαστικού μέσου στο οποίο διαδίδεται το κύμα 𝑡 𝑥 𝑇 𝜆 ·· α=-ω2Αημ2π( − ) · α=-ω2y Γραφική παρασταση επιτάχυνσης –θέσης για Ένα σημείο του μέσου Διάδοσης στη θέση χ(στιγμιότυπο επιτάχυνσης) ·· ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ ΝΙΚΗΤΑΣ 037 ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΠΑΙΔΕΙΑ Γραφική παρασταση επιτάχυνσης – χρόνου για Ένα σημείο του μέσου Διάδοσης στη θέση χ ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ ΝΙΚΗΤΑΣ 038 ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΠΑΙΔΕΙΑ ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΓΙΑ ΚΥΜΑΠΟΥ ΔΙΑΔΙΔΕΤΑΙ ΠΡΟΣ ΤΑ ΑΡΙΣΤΕΡΑ Γραφική παρασταση απομάκρυνσης–θέσης κάποια στιγμήt (στιγμιότυπο) ·· Γραφική παρασταση ταχύτητας –θέσης κάποια στιγμήt Γραφική παρασταση απομάκρυνσης – χρόνου για Ένα σημείο του μέσου Διάδοσης στη θέση χ Γραφική παρασταση ταχύτητας – χρόνου για Ένα σημείο του μέσου Διάδοσης στη θέση χ ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ ΝΙΚΗΤΑΣ 039 ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΠΑΙΔΕΙΑ Γραφική παρασταση επιτάχυνσης –θέσης κάποια στιγμήt Γραφική παρασταση επιταχυνσης – χρόνου για Ένα σημείο του μέσου Διάδοσης στη θέση χ Γραφική παρασταση φάσης –θέσης κάποια στιγμήt Γραφική παρασταση επιταχυνσης – χρόνου για Ένα σημείο του μέσου Διάδοσης στη θέση χ ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ ΝΙΚΗΤΑΣ 040 ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΠΑΙΔΕΙΑ Εξίσωση κύματος Αν το Ο (x = 0) ξεκινά να ταλαντώνεται την t = 0 με αρνητική ταχύτητα 𝑡 𝑥 y=-Αημ2π(𝑇 − 𝜆) Εξίσωση κύματος Αν τη χρονική στιγμή t = 0 το κύμα έχει διαδοθεί έως το σημείο Σ(xΣ = λ/2) 𝑡 𝑥 𝑇 𝜆 y=Αημ[2π( − )+π] Διαφορά φάσης δύο σημείων ,την ίδια χρονική στιγμή t 2 x Δx η απόσταση των δύο σημείων του ελαστικού μέσου Συμφωνία φάσης Αν Δφ=2κπ ή Δx=κλ κ=1,2,3.... Τα σημεία του ελαστικού μέσου που έχουν ίσες απομακρύνσεις (y1=y2) και ίσες ταχύτητες (υ1=υ2) κάθε χρονική στιγμή. ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ ΝΙΚΗΤΑΣ 041 ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΠΑΙΔΕΙΑ Αντίθεση φάσης Αν Δφ=(2κ+1)π ή Δx=(2κ+1) λ/2 κ=0,1,2,3.... Τα σημεία του ελαστικού μέσου που έχουν αντίθετες απομακρύνσεις (y1= -y2) και αντίθετες ταχύτητες (υ1= -υ2) κάθε χρονική στιγμή. ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ ΝΙΚΗΤΑΣ 042 ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΠΑΙΔΕΙΑ ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΣΤΙΓΜΙΟΤΥΠΟΥ:ΓΡΑΦΙΚΗΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗΣ y=f(x) ,ή υ=f(x),ή α=f(x) την χρονική στιγμή t Α)Υπολογίζω που έχει φτάσει το κύμα[ φ≥0 ή χ=υt αν η φο=0] Β) Υπολογίζω την τιμή της y (υ ή α) για χ=0 την t Γ) Υπολογίζω την τιμή της y (υ ή α) για χ=λ/4 την t Δ)Συνεχίζω την κατασκευή ανα λ/4 ,μέχρι το σημείο που έχει φτάσει το κύμα x 0 λ/4 .y(x,t) .y(0,t) .y(λ/4 ,t) ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΓΡΑΦΙΚΗΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗΣ φ=f(x) ,ή φ=f(t) Επειδή είναι ευθείες υπολογίζω τα σημεία τομης με τους άξονες ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΓΡΑΦΙΚΗΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗΣ y=f(t) ,ή υ=ft),ή α=f(t ) της ταλάντωσης ενός σημείου του ελαστικού μέσου (το οποίο απέχει χ=c από την αρχή των αξόνων) Α)Υπολογίζω την t που έχει φτάσει το κύμα στο σημειο φ≥0 ή t=χ/υ αν η φο=0] Β) Υπολογίζω την τιμή της y (υ ή α) για χ=c την t Γ) Υπολογίζω την τιμή της y (υ ή α) για χ=c την t+ T/4 Δ)Συνεχίζω την κατασκευή ανα T/4 t t t+T/4 .y(c,t) .y(c,t) .y(c ,t+T/4) ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ ΝΙΚΗΤΑΣ 043 ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΠΑΙΔΕΙΑ ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ ΝΙΚΗΤΑΣ 044 ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΠΑΙΔΕΙΑ ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ ΝΙΚΗΤΑΣ 045 ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΠΑΙΔΕΙΑ ΑΝΑΛΥΤΙΚΑ ΟΙ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΧΗ: .t1=r1/υ η χρονικη στιγμή που φτάνει το κύμα από την πιο κοντινή πηγή .t2=r2/υ η χρονικη στιγμή που φτάνει το κύμα από την πιο μακρινή πηγή Και ξεκινάει η συμβολή ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ ΝΙΚΗΤΑΣ 046 ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΠΑΙΔΕΙΑ ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ Φτιάχνω τον παρακάτω πίνακα τιμων t y υ α t1=r1/υ t1=r1/υ+T/4 t1=r1/υ+2T/4 ………… ………… t2=r2/υ t2=r2/υ+T/4 Με την βοήθειά του φτιάχνω τις γραφικές παραστάσεις ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ ΝΙΚΗΤΑΣ 047 ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΠΑΙΔΕΙΑ ΔΙΑΦΟΡΑ ΦΑΣΗΣ ΤΩΝ ΔΥΟ ΚΥΜΑΤΩΝ ΣΤΟ ΙΔΙΟ ΣΗΜΕΙΟ Για t≥r2/υ 𝑡 𝑟1 𝑇 𝜆 Δφ=2π( − 𝑡 𝑟2 𝑇 𝜆 )-2π( − 𝑟2−𝑟1 )=2π( 𝜆 ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ ΝΙΚΗΤΑΣ ) 048 ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΠΑΙΔΕΙΑ Π1Β=r1 ΚΑΙ Π2Β=r2 ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ ΝΙΚΗΤΑΣ 049 ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΠΑΙΔΕΙΑ Β ΤΡΟΠΟΣ .- Π1 Π2<r1-r2=Π1Β- Π2Β< Π1 Π2 .- Π1 Π2< Νλ < Π1 Π2 Π1 - 𝒅 𝝀 < Ν < 𝒅 𝝀 Π2 Β Σχήμα 1 ∗Η ταχύτητα μένει ίδια αφου το μέσο διάδοσης παραμένει σταθερό υ1=υ2 λ1 f1= λ2 f2 ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ ΝΙΚΗΤΑΣ 050 ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΠΑΙΔΕΙΑ ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ ΝΙΚΗΤΑΣ 051 ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΠΑΙΔΕΙΑ ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ ΝΙΚΗΤΑΣ 052 ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΠΑΙΔΕΙΑ ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ ΝΙΚΗΤΑΣ 053 ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΠΑΙΔΕΙΑ ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΠΙΤΑΧΥΝΣΗΣ ΕΝΟΣ ΣΗΜΕΙΟΥ ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΓΡΑΦΙΚΩΝ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΩΝ y=F(x),υ=F(x),α=F(x) την Χρονικη στιγμη t:Πρωτα φτιάχνουμε τον πινακα χ -λ/2 -λ/4 0 λ/4 λ/2 y(χ,t) υ(χ,t) α(χ,t) Επειτα σημειώνουμε τα σημεία στο σχημα ,τα ενώνουμε και επεκτείνουμε την γραφικη παράσταση δεξια,αριστερά (όσο χρειαστεί) ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ ΝΙΚΗΤΑΣ 054 ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΠΑΙΔΕΙΑ Στα στιγμιοτυπα t=T/4 και t=3T/4 όλα τα σημεία του μέσου είναι ακίνητα, αφού τα σημεία βρίσκονται στις θέσεις της μέγιστης απομάκρυνσης τους. Τα βέλη παριστάνουν διανύσματα ταχυτήτων. ΣΤΙΓΜΙΟΤΥΠΑ ΣΤΑΣΙΜΟΥ ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ ΝΙΚΗΤΑΣ 055 ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΠΑΙΔΕΙΑ ΑΛΓΕΒΡΙΚΗ ΕΥΡΕΣΗ ΔΙΑΦΟΡΑΣ ΦΑΣΗΣ Για χ=λ/2(κοιλια) y(λ/2,t)=2Aσυν =2Α ημ( 2𝜋𝑡 𝑇 2𝜋 𝜆 2 2𝜋𝑡 ημ 𝜆 2𝜋𝑡 =2Aσυνπ ημ 𝑇 2𝜋𝑡 =-2Α ημ 𝑇 𝑇 + 𝜋) Για χ=λ (επομενη κοιλια) y(λ,t)=2Aσυν 2𝜋𝜆 2𝜋𝑡 ημ 𝜆 𝑇 2𝜋𝑡 =2Aσυν2π ημ 𝑇 2𝜋𝑡 =2Α ημ 𝑇 Για χ=3λ/2 (μεθεπομενη κοιλια) y(3λ/2,t)=2Aσυν =2Α ημ( 2𝜋𝑡 𝑇 2𝜋 3𝜆 2 𝜆 2𝜋𝑡 ημ 𝑇 2𝜋𝑡 =2Aσυν3π ημ 𝑇 2𝜋𝑡 =-2Α ημ 𝑇 + 𝜋) ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ ΝΙΚΗΤΑΣ 056 ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΠΑΙΔΕΙΑ ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ ΝΙΚΗΤΑΣ 057 ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΠΑΙΔΕΙΑ ΓΙΑ ΝΑ ΕΙΝΑΙ ΗΜ ΚΥΜΑ ΠΡΕΠΕΙ: Α)ΦΕ=ΦΒ Β) 𝜠 𝜠𝒎𝒂𝒙 = 𝜝 𝑩𝒎𝒂𝒙 =υ=λ f= ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ ΝΙΚΗΤΑΣ 𝝀 𝜯 . 058 ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΠΑΙΔΕΙΑ ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ ΝΙΚΗΤΑΣ 059 ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΠΑΙΔΕΙΑ ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ ΝΙΚΗΤΑΣ 060 ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΠΑΙΔΕΙΑ • Όταν μονοχρωματικό φως μεταβαίνει από διαφανές υλικό (a) σε διαφανές υλικό (b) με μικρότερο δείκτη διάθλασης nb από αυτόν του υλικού (a) (δηλαδή nα >nb ), τότε η ταχύτητα του φωτός και το λ αυξάνονται • Όταν μονοχρωματικό φως μεταβαίνει από διαφανές υλικό (a) σε διαφανές υλικό (b) με μικρότερο δείκτη διάθλασης nb από αυτόν του υλικού (a) (δηλαδή nα <nb), τότε η ταχύτητα του φωτός και το λ μειώνονται . ∙ Όταν μονοχρωματική ακτίνα φωτός διέρχεται από πυκνότερο σε αραιότερο ,τότε απομακρύνεται από την κάθετη(θα<θb). ∙ Όταν μονοχρωματική ακτίνα φωτός διέρχεται από αραιότερο σε πυκνότερο,τότε πλησιάζει από την κάθετη(θα>θb). • Όταν μια μονοχρωματική ακτίνα φωτός διέρχεται από το κενό (ή τον αέρα) σε ένα διαφανές υλικό, τότε προσεγγίζει πάντα την κάθετο. • Όταν μια μονοχρωματική ακτίνα προσπίπτει κάθετα στη διαχωριστική επιφάνεια δύο διαφανών μέσων, τότε η ακτίνα δεν αλλάζει κατεύθυνση. • Όταν το μονοχρωματικό φως διέρχεται από ένα διαφανές υλικό μέσο σε κάποιο άλλο, τότε η συχνότητα του φωτός f δεν αλλάζει (Το φώς είναι ηλεκτρομαγνητική ακτινοβολία). Aν ημθb<1 κανονική ανάκλαση-διάθλαση Aν ημθb=1 κανονική ανάκλαση-διάθλαση με θb=90° Aν ημθb>1 ολική ανάκλαση-όχι διάθλαση ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ ΝΙΚΗΤΑΣ 061 ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΠΑΙΔΕΙΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ-ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ ΝΙΚΗΤΑΣ 062 ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΠΑΙΔΕΙΑ 1. Τρέχοντα μηχανικά αρμονικά κύματα (Ε) Ερωτήσεις Ε1.1 Να συμπληρωθούν τα κενά στις προτάσεις που ακολουθούν: α. Κατά τη διάδοση ενός κύματος, μεταφέρεται ορμή και ενέργεια από το ένα σημείο του μέσου στο άλλο, αλλά όχι…………. β. Εγκάρσια ονομάζονται τα κύματα στα οποία όλα τα σημεία του ελαστικού μέσου ταλαντώνονται………….. στη διεύθυνση διάδοσης του κύματος. γ. Διαμήκη ονομάζονται τα κύματα στα οποία όλα τα σημεία του ελαστικού μέσου ταλαντώνονται ………….. στη διεύθυνση διάδοσης του κύματος. δ. Η ταχύτητα με την οποία διαδίδεται ένα κύμα σε ένα μέσον εξαρτάται μόνο από τις ………….του ελαστικού μέσου και το είδος του ………….. ε. Η απόσταση στην οποία διαδίδεται το κύμα σε χρόνο μιας περιόδου ονομάζεται ………… κύματος. στ. Τα κύματα που διαδίδονται στην επιφάνεια των υγρών μπορούν να θεωρηθούν κατά προσέγγιση …………………… Ε1.2 Να συμπληρωθούν τα κενά στις προτάσεις που ακολουθούν: α. Αν σε χρόνο t μια διαταραχή διαδίδεται σε απόσταση, x τότε το πηλίκο ……. ονομάζεται ταχύτητα ………….. του κύματος. β. Η συχνότητα του κύματος δείχνει τον αριθμό των ………….. αν πρόκειται για εγκάρσιο κύμα ή τον αριθμό των ………….. αν πρόκειται για διαμήκες που φτάνουν σε κάποιο σημείο του μέσου στη μονάδα του χρόνου. γ. Περίοδος κύματος είναι το χρονικό διάστημα μέσα στο οποίο η κυματική εικόνα …………....... δ. Ως μήκος κύματος ορίζεται η απόσταση μεταξύ δύο …………… σημείων του μέσου που απέχουν το ίδιο από τη θέση …………….. και κινούνται κατά την ……… φορά. ε. Η θεμελιώδης εξίσωση της κυματικής είναι: …………….. Ε1.3 Να συμπληρωθούν τα κενά στις προτάσεις που ακολουθούν: α. Η φάση ενός τρέχοντος κύματος εξαρτάται από το ………….. και την …………. από την πηγή και μετριέται σε …………. β. Το διάγραμμα y=f(x) που δίνει τη θέση των διαφόρων σημείων του ελαστικού μέσου σε μια χρονική στιγμή λέγεται ………………. τρέχοντος κύματος. γ. Δύο σημεία ενός ελαστικού μέσου θεωρούνται σε «συμφωνία φάσης» όταν έχουν ……… απομακρύνσεις και ………… φορά κίνησης κάθε χρονική στιγμή. δ. Δύο σημεία ενός ελαστικού μέσου θεωρούνται σε «αντίθεση φάσης» όταν έχουν ………… απομακρύνσεις και …………. φορά κίνησης κάθε χρονική στιγμή. Ε1.4 Να αποδειχθεί η θεμελιώδης εξίσωση της κυματικής, υ=λ,f. Ε1.5 Μια πηγή αρμονικής διαταραχής, Ο βρίσκεται στην αρχή, x=0 του άξονα x⁄x και παράγει εγκάρσια γραμμικά κύματα που διαδίδονται κατά τη θετική φορά. Η πηγή αρχίζει να ταλαντώνεται τη χρονική στιγμή t0=0 με εξίσωση απομάκρυνσης y=Αημ(2πt/Τ). Να αποδειχθεί η εξίσωση του κύματος: y=Αημ2π(t/Τ − x/λ) ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ ΝΙΚΗΤΑΣ 063 ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΠΑΙΔΕΙΑ Ε1.6 Πηγή αρμονικών διαταραχών αρχίζει να παράγει κύματα τη χρονική στιγμή t0=0 τα οποία διαδίδονται κατά τη θετική φορά του άξονα x⁄Οx με εξίσωση κύματος y=Αημ2π(t/Τ − x/λ). Να αποδειχθεί ότι η διαφορά φάσης δύο σημείων του μέσου την ίδια χρονική στιγμή t, που απέχουν μεταξύ τους απόσταση Δx, ισούται με: Δφ=2π,Δx λ Ε1.7 Πηγή αρμονικών διαταραχών αρχίζει να παράγει κύματα τη χρονική στιγμή t0=0 τα οποία διαδίδονται κατά τη θετική φορά του άξονα x⁄Οx με εξίσωση y=Αημ2π(t/Τ − x/λ). Να αποδειχθεί ότι η μεταβολή της φάσης ενός σημείου Μ του ελαστικού μέσου για δύο διαφορετικές χρονικές στιγμές t1, t2 ισούται με: t -t Δφ=2π 2 1 λ Ε1.8 Κατά μήκος ενός γραμμικού ελαστικού μέσου διαδίδεται εγκάρσιο αρμονικό κύμα μήκους κύματος λ, κατά τη θετική φορά του άξονα x⁄Οx με εξίσωση y=Αημ2π(t/Τ−x/λ). Αν δύο σημεία δύο σημεία του ελαστικού μέσου έχουν κάθε χρονική στιγμή την ίδια απομάκρυνση, την ίδια ταχύτητα και κινούνται με την ίδια φορά να αποδειχθεί ότι η διαφορά των αποστάσεών τους Δx=x2−x1 από την πηγή των κυμάτων είναι ίση με ακέραιο πολλαπλάσιο του μήκους κύματος: Σημεία σε συμφωνία φάσης Δx=κλ, με κ=0,1,2… Ε1.9 Κατά μήκος ενός γραμμικού ελαστικού μέσου διαδίδεται εγκάρσιο αρμονικό κύμα μήκους κύματος λ, κατά τη θετική φορά του άξονα x⁄Οx με εξίσωση y=Αημ2π(t/Τ−x/λ). Αν δύο σημεία δύο σημεία του ελαστικού μέσου έχουν κάθε χρονική στιγμή αντίθετες απομακρύνσεις, το ίδιο μέτρο ταχύτητας και κινούνται με αντίθετη φορά να αποδειχθεί ότι η διαφορά των αποστάσεών τους Δx=x2−x1 από την πηγή των κυμάτων είναι ίση με περιττό πολλαπλάσιο του μισού του μήκους κύματος: Σημεία σε αντίθεση φάσης Δx=(2κ+1)λ/2, με κ=0,1,2… Ε1.10 Να παρασταθούν γραφικά σε διαφορετικά διαγράμματα, y=f(x), στιγμιότυπα ενός εγκάρσιου αρμονικού κύματος του οποίου η εξίσωση απομάκρυνσης είναι της μορφής y=Αημ2π(t/Τ − x/λ), τις χρονικές στιγμές: α. t0=0 γ. t2=Τ/2 ε. t4 =Τ στ. t5 =5Τ/4 β. t1=Τ/4 δ. t3=3Τ/4 Ε1.11 Εγκάρσιο αρμονικό κύμα διαδίδεται κατά τη θετική φορά του άξονα Οx. Τη χρονική στιγμή t0=0, το σημείο Ο(x=0), βρίσκεται στη θέση ισορροπίας και κινείται προς τη θετική φορά. Να παραστήσετε γραφικά την απομάκρυνση y σε σχέση με το χρόνο, t ενός σημείου Μ του ελαστικού μέσου το οποίο απέχει απόσταση x1=λ από το Ο, όπου λ το μήκος κύματος. Ε1.12 Κατά τη διάδοση ενός αρμονικού κύματος όλα τα σημεία του ελαστικού μέσου που κινούνται κάνουν: α. Ευθύγραμμη ομαλά μεταβαλλόμενη κίνηση. β. Περιοδική κίνηση. γ. Απλή αρμονική ταλάντωση. δ. Άλλη κίνηση. ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ ΝΙΚΗΤΑΣ 064 ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΠΑΙΔΕΙΑ Ε1.13 Τα εγκάρσια κύματα: α. Διαδίδονται μόνο στα υγρά. β. Διαδίδονται με «όρη» και «κοιλάδες». γ. Προκαλούν μεταβολές πυκνότητας στα μέσα που διαδίδονται. δ. Μεταφέρουν ενέργεια και ορμή από το ένα σημείο του μέσου στο άλλο. ε. Προκαλούν ταλάντωση των υλικών σημείων του μέσου σε διεύθυνση κάθετη στην ευθεία διάδοσης του κύματος. Ποιες από τις προηγούμενες προτάσεις είναι σωστές; Ε1.14 Τα διαμήκη κύματα: α. Διαδίδονται σε στερεά, υγρά αλλά όχι αέρια. β. Προκαλούν μεταβολές του σχήματος του μέσου μέσα στο οποίο ταξιδεύουν. γ. Προκαλούν ταλάντωση των υλικών σημείων του μέσου σε διεύθυνση παράλληλη στην ευθεία διάδοσης του κύματος. δ. Μεταφέρουν ενέργεια, ορμή και ύλη από το ένα σημείο του μέσου στο άλλο. ε. Διαδίδονται με πυκνώματα και αραιώματα. Ε1.15 Όταν διαδίδεται ένα ηχητικό κύμα μεταφέρεται: α. Ύλη και ενέργεια. β. Μόνο ενέργεια. γ. Ενέργεια και ορμή. δ. Ύλη, ενέργεια και ορμή. Ε1.16 Η ταχύτητα διάδοσης του κύματος εξαρτάται: α. Από τις ιδιότητες του ελαστικού μέσου μέσα στο οποίο διαδίδεται και το είδος του κύματος. β. Από τη συχνότητα ταλάντωσης της πηγής. γ. Μόνο από τις ιδιότητες του ελαστικού μέσου μέσα στο οποίο διαδίδεται. δ. Από το πλάτος ταλάντωσης των σωματιδίων του ελαστικού μέσου. Ε1.17 Μήκος κύματος λ είναι: α. Η απόσταση που διατρέχει το κύμα σε χρονικό διάστημα, Δt=1s. β. Η απόσταση μεταξύ δύο οποιονδήποτε σημείων που βρίσκονται στην ίδια ακτίνα διάδοσης και έχουν κάθε χρονική στιγμή την ίδια απομάκρυνση από τη θέση ισορροπίας. γ. Η μέγιστη απομάκρυνση κάθε σημείου από τη θέση ισορροπίας του. δ. Η απόσταση μεταξύ δύο διαδοχικών σημείων που βρίσκονται στην ίδια ακτίνα διάδοσης και έχουν κάθε χρονική στιγμή την ίδια απομάκρυνση από τη θέση ισορροπίας και κινούνται κατά την ίδια φορά. Ε1.18 Η συχνότητα ταλάντωσης των μορίων ενός ελαστικού μέσου στο οποίο διαδίδεται εγκάρσιο αρμονικό κύμα: α. Εξαρτάται και από το ελαστικό μέσο μέσα στο οποίο διαδίδεται το κύμα. β. Δείχνει τον αριθμό των κορυφών που φτάνουν σε κάποιο σημείο του μέσου στη μονάδα του χρόνου. γ. Μεταβάλλεται αν το κύμα αλλάξει ελαστικό μέσο διάδοσης. δ. Δείχνει τον αριθμό των πυκνωμάτων που φτάνουν σε κάποιο σημείο του μέσου στη μονάδα του χρόνου. ε. Είναι ίδια με τη συχνότητα ταλάντωσης της πηγής των κυμάτων. Ποιες από τις προηγούμενες προτάσεις είναι σωστές. Ε1.19 Αν ένα αρμονικό κύμα αλλάξει ελαστικό μέσο, τότε μεταβάλλονται: α. Η συχνότητα και η ταχύτητα διάδοσης. β. Η ταχύτητα διάδοσης και το μήκος κύματος. ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ ΝΙΚΗΤΑΣ 065 ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΠΑΙΔΕΙΑ γ. Η ταχύτητα διάδοσης, η συχνότητα και το μήκος κύματος. δ. Η περίοδος και το μήκος κύματος. Ε1.20 Τα διαμήκη κύματα διαδίδονται: α. Μόνο στα στερεά. β. Στα στερεά και στα υγρά. γ. Στα στερεά, υγρά και αέρια. δ. Μόνο στα αέρια. Ε1.21 Τα εγκάρσια κύματα διαδίδονται: α. Στα στερεά και κατά προσέγγιση στην ελεύθερη επιφάνεια των υγρών. β. Μόνο σε τεντωμένες χορδές. γ. Σε όλα τα ρευστά. δ. Όπου και τα διαμήκη. Ε1.22 Το ηχητικό κύμα: α. Είναι διαμήκες. β. Έχει την ίδια ταχύτητα διάδοσης σε όλα τα υλικά. γ. Προκαλεί μεταβολές στην πυκνότητα του μέσου στο οποίο διαδίδεται. δ. Δεν μεταφέρει ενέργεια. ε. Δεν διαδίδεται στα στερεά. Ποιες από τις προηγούμενες προτάσεις είναι σωστές; Ε1.23 Το στιγμιότυπο του κύματος είναι η γραφική παράσταση: α. Της φάσης ενός σημείου σε συνάρτηση με το χρόνο. β. Της απομάκρυνσης ενός σημείου του μέσου σε συνάρτηση με το χρόνο. γ. Της απομάκρυνσης από τη θέση ισορροπίας τους όλων των σημείων ενός μέσου σε μια δεδομένη χρονική στιγμή. δ. Τίποτα από τα παραπάνω. Ε1.24 Δύο σημεία ενός ελαστικού μέσου έχουν κάποια χρονική στιγμή t1, διαφορά φάσης Δφ. Σε μια επόμενη χρονική στιγμή, t2, η διαφορά φάσης των ίδιων σημείων θα έχει: α. Αυξηθεί. γ. Αυξηθεί ή ελαττωθεί ανάλογα με τις χρονικές στιγμές. β. Ελαττωθεί. δ. Παραμείνει ίδια. Ε1.25 Δύο σημεία ενός ελαστικού μέσου που απέχουν μεταξύ τους απόσταση Δx=4λ έχουν διαφορά φάσης: α. Δφ=0 β. Δφ=8π γ. Δφ=4π δ. Δφ=2π Ποια είναι η σωστή απάντηση; Ε1.26 Η φάση γραμμικού αρμονικού εγκάρσιου κύματος είναι φ=2π(t/Τ−x/λ). Ποιες από τις επόμενες προτάσεις είναι σωστές ή λανθασμένες; α. Το κύμα διαδίδεται κατά τη θετική φορά του άξονα x⁄Οx. β. Όσο πιο απομακρυσμένο είναι ένα σημείο από την πηγή των κυμάτων, O, τόσο μικρότερη φάση έχει. γ. Η φάση ταλάντωσης ενός σημείου είναι ίδια κάθε χρονική στιγμή. δ. Δύο σημεία που απέχουν μεταξύ τους απόσταση, λ, είναι σε συμφωνία φάσης. ε. Η διαφορά φάσης δύο σημείων του ελαστικού μέσου είναι ίδια κάθε χρονική στιγμή. στ. Δύο σημεία με διαφορά φάσης, Δφ=3π/2, απέχουν μεταξύ τους απόσταση ίση με 3λ/4. ζ. Είναι αδύνατο σε μια δεδομένη χρονική στιγμή να υπάρχει σημείο του μέσου που να έχει φάση μηδέν. ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ ΝΙΚΗΤΑΣ 066 ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΠΑΙΔΕΙΑ Ε1.27 Ποιες από τις προτάσεις που ακολουθούν είναι σωστές ή λανθασμένες; α. Κάθε περιοδικό κύμα είναι και αρμονικό. β. Κατά τη διάδοση ενός εγκάρσιου κύματος, μεταφέρεται ενέργεια από το ένα σημείο του μέσου στο άλλο, ενώ κατά τη διάδοση ενός διαμήκους μεταφέρεται ενέργεια και ύλη. γ. Η μέγιστη ταχύτητα ταλάντωσης των μορίων ενός ελαστικού μέσου στο οποίο διαδίδεται αρμονικό κύμα είναι ανάλογη της συχνότητας ταλάντωσης αυτών. δ. Αν το κύμα αλλάξει ελαστικό μέσο μεταβάλλονται η ταχύτητα διάδοσης και το μήκος κύματος. ε. Το μήκος κύματος λ ισούται με την απόσταση που διατρέχει το κύμα σε χρόνο μιας περιόδου. στ. Όλα τα σημεία του ελαστικού μέσου στο οποίο διαδίδεται ένα τρέχον αρμονικό κύμα διέρχονται ταυτόχρονα από τη θέση ισορροπίας τους. Ε1.28 Αν διπλασιάσουμε τη συχνότητα ενός αρμονικού κύματος που διαδίδεται σ’ ένα ελαστικό μέσο, ποιες από τις προτάσεις που ακολουθούν είναι σωστές ή λανθασμένες; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. α. Η ταχύτητα διάδοσης διατηρείται σταθερή. β. Η περίοδος υποδιπλασιάζεται. γ. Το μήκος κύματος διπλασιάζεται. δ. Η μέγιστη ταχύτητα ταλάντωσης των σημείων του ελαστικού μέσου διπλασιάζεται. ε. Η μέγιστη επιτάχυνση ταλάντωσης των σημείων του ελαστικού μέσου τετραπλασιάζεται. Ε1.29 Δύο εγκάρσια αρμονικά κύματα με πλάτη Α και 2Α και συχνότητες ταλάντωσης f και f/2 αντιστοίχως διαδίδονται στο ίδιο ελαστικό μέσο. Να συγκριθούν μεταξύ των δύο κυμάτων: α. Οι ταχύτητες διάδοσης. β. Τα μήκη κύματος. γ. Οι μέγιστες ταχύτητες ταλάντωσης των σωματιδίων του ελαστικού μέσου. δ. Οι μηχανικές ενέργειες ταλάντωσης των σωματιδίων του ελαστικού μέσου. Ε1.30 Κατά μήκος δύο χορδών, ίδιου πάχους, ίδιου υλικού, που είναι τεντωμένες με την ίδια δύναμη διαδίδονται δύο εγκάρσια αρμονικά κύματα με περιόδους Τ1=Τ, Τ2=4Τ και πλάτη Α1=2Α και Α2=Α αντιστοίχως. Ποιες από τις προτάσεις που ακολουθούν είναι σωστές ή λάθος; Να αιτιολογήσετε την κάθε απάντησή σας. α. Για τις ταχύτητες διάδοσης ισχύει η σχέση: υ2=4υ1 β. Για τα μήκη κύματος ισχύει η σχέση λ2=4λ1. γ. Για τις μέγιστες ταχύτητες ταλάντωσης ισχύει η σχέση: 8v02=v01. δ. Για τις μέγιστες επιταχύνσεις ταλάντωσης ισχύει η σχέση: α02=32α01. Ε1.31 Η εξίσωση αρμονικού κύματος είναι y=0,1ημ(20πt−2πx), S.I. Η ταχύτητα διάδοσης του κύματος είναι: α. 10m/s β. 1m/s γ. 0,1m/s δ. 0,01m/s Ε1.32 Η εξίσωση αρμονικού κύματος είναι y=2ημ2π( t − x) στο S.I. H μέγιστη ταχύτητα 2 4 ταλάντωσης των μορίων του ελαστικού μέσου είναι: α. 2π m/s β. 4π m/s γ. 1m/s δ. 20m/s Ε1.33 Η εξίσωση απομάκρυνσης τρέχοντος κύματος είναι y=0,2ημ(400πt −2πx), (S.I) Ποιες από τις ακόλουθες προτάσεις είναι σωστές; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. α. Το κύμα οδεύει προς τη θετική φορά. ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ ΝΙΚΗΤΑΣ 067 ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΠΑΙΔΕΙΑ β. Η εξίσωση της ταχύτητας ταλάντωσης των σημείων είναι v=80πσυν2π(200t−x), (SI). γ. Η ταχύτητα διάδοσης είναι 20m/s. 2 2 δ. Το μέτρο της μέγιστης επιτάχυνσης ταλάντωσης είναι α0=32π m/s . Ε1.34 Αρμονικό κύμα διαδίδεται κατά τη θετική φορά του άξονα διάδοσης x⁄Οx. Κάποια χρονική στιγμή σημείο Α που βρίσκεται στον άξονα διάδοσης έχει φάση φΑ=100π και σημείο Β, φΒ=80π. Το κύμα διαδίδεται: α. Από το Α προς το Β. β. Από το Β προς το Α. γ. Δεν μπορούμε να απαντήσουμε. Ποια είναι η σωστή απάντηση; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. Ε1.35 Αρμονικό κύμα έχει εξίσωση της γενικής μορφής : y=Αημ2π(t/Τ − x/λ). Τη χρονική στιγμή t=4s η γραφική παράσταση της φάσης ως προς την απόσταση x είναι αυτή που φαίνεται στο σχήμα. Ι. Η συχνότητα του κύματος είναι: α. 0,8Ηz β. 1,25Ηz γ. 1Ηz δ. 0,4Ηz ΙΙ. Η ταχύτητα διάδοσης είναι: α. 5m/s β. 50m/s γ. 0,5m/s δ. 2m/s Ποιες απαντήσεις είναι οι σωστές; Να αιτιολογήσετε τις απαντήσεις σας. Ε1.36 Στο σχήμα φαίνεται ένα στιγμιότυπο ενός εγκάρσιου αρμονικού κύματος. Ποιες από τις προτάσεις που ακολουθούν είναι σωστές; α. Το σημείο Γ έχει μέγιστη κατά μέτρο και αλγεβρικά θετική ταχύτητα. β. Τα σημεία Β και Δ έχουν διαφορά φάσης 2π. γ. Τα σημεία Ο και Ζ έχουν κάθε χρονική στιγμή ίσες απομακρύνσεις και κινούνται προς την ίδια κατεύθυνση. δ. Το σημείο Ζ κινείται προς τη θετική κατεύθυνση. Να αιτιολογήσετε τις απαντήσεις σας. Ε1.37 Σε γραμμικό ελαστικό μέσο διαδίδεται αρμονικό κύμα με μήκος κύματος, λ. Δύο σημεία του ελαστικού μέσου τα οποία απέχουν μεταξύ τους απόσταση 7λ/2 έχουν την ίδια στιγμή απομακρύνσεις y1, y2 για τις οποίες ισχύει: α. y1=y2 β. y1=−y2 γ. |y1|≠ |y2| Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. Ε1.38 Σε γραμμικό ελαστικό μέσο διαδίδεται αρμονικό κύμα κατά τη θετική φορά του άξονα x⁄Οx με μήκος κύματος λ. Κάποια χρονική στιγμή η φάση ενός σημείου Μ, με xΜ=10λ, του ελαστικού μέσου είναι φΜ=15π/2, ενώ άλλου σημείου Ν την ίδια χρονική στιγμή είναι, φΝ=5π/2. Βρείτε τη σωστή απάντηση στις ερωτήσεις που ακολουθούν και δικαιολογήστε τις απαντήσεις σας. Ι. Το κύμα διαδίδεται: α. από το Μ προς το Ν. ΙΙ. Η απόσταση xΝ του σημείου Ν από την πηγή των κυμάτων είναι: ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ ΝΙΚ. ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΠΑΙΔΕΙΑ ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ ΝΙΚΗΤΑΣ β. από το Ν προς το Μ. α. 12,5λ, β. 7,5λ, γ. 15λ Σελίδα 69 068 ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΠΑΙΔΕΙΑ Ε1.39 Κατά μήκος ενός γραμμικού μέσου διαδίδεται αρμονικό κύμα με μήκος κύματος λ. Ι. Η μικρότερη απόσταση δύο σημείων που έχουν κάθε στιγμή αντίθετες απομακρύνσεις και αντίθετες ταχύτητες είναι: β. λ/4 γ. λ/2 α. λ ΙΙ. Η διαφορά φάσης των παραπάνω σημείων τους ελαστικού μέσου είναι: α. π rad Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. β. π/2 rad γ. 2π rad Ε1.40 Εγκάρσιο αρμονικό κύμα διαδίδεται σύμφωνα με την εξίσωση: y=0,4ημ[π(t/3 − 2x/3)+π/2], ( στο S.I). Ι. Η ταχύτητα διάδοσης του κύματος είναι: α. 0,5m/s β. 1,5m/s γ. 2m/s ΙΙ. Το κύμα θα φτάσει σε σημείο, Σ, με xΣ=12m, (η αρχή του άξονα έχει x=0) τη χρονική στιγμή: α. 45s β. 24s γ. 22,5s Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. Ε1.41 Σε τεντωμένη χορδή διαδίδεται κύμα, πλάτους Α, με μήκος κύματος λ. Τα σωματίδια του ελαστικού μέσου ταλαντώνονται με μέγιστη επιτάχυνση μέτρου, 16m/s2. Σε μια ίδια ακριβώς χορδή διαδίδεται κύμα πλάτους Α/2 με μήκος κύματος 2λ. Το μέτρο της μέγιστης επιτάχυνσης ταλάντωσης των σωματιδίων θα είναι: α. 2m/s2 β. 16m/s2 γ. 32m/s2 Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. Ε1.42 Γραμμικό αρμονικό κύμα διαδίδεται κατά τη θετική φορά του άξονα x⁄Οx. Το σημείο Ο με x=0 αρχίζει να ταλαντώνεται τη χρονική στιγμή t=0 και μετά από 8 διελεύσεις από τη θέση ισορροπίας του παρατηρούμε ότι αρχίζει να ταλαντώνεται σημείο Μ του άξονα Ox. Η διαφορά φάσης των δύο σημείων Ο και Μ είναι: α. 16π rad Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. β. 8π rad γ. 2π rad E1.43 Κατά μήκος μιας τεντωμένης χορδής διαδίδεται ένα εγκάρσιο αρμονικό κύμα προς τη θετική κατεύθυνση του άξονα x⁄Οx με μήκος κύματος λ=0,8m. Σημείο Μ της χορδής έχει κάποια χρονική στιγμή t απομάκρυνση y=+3cm και ταχύτητα υ=+5m/s. Σημείο Κ της χορδής που βρίσκεται αριστερά από το Μ και απέχει απόσταση 0,4m από αυτό, την ίδια χρονική στιγμή θα έχει απομάκρυνση και ταχύτητα: α. +3cm, +5m/s β. +3cm, −5m/s γ. −3cm, +5m/s δ. −3cm, −5m/s ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ ΝΙΚ. ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΠΑΙΔΕΙΑ ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ ΝΙΚΗΤΑΣ Σελίδα 70 069 ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΠΑΙΔΕΙΑ E1.44 Γραμμικό αρμονικό κύμα διαδίδεται κατά τη θετική φορά του άξονα x⁄Οx. Το σημείο Ο (xO=0) αρχίζει να ταλαντώνεται τη στιγμή t0=0 με v>0. Το τρίτο κατά σειρά σημείο σε αντίθεση φάσης με το Ο, απέχει από το Ο απόσταση 10m, ενώ ο ρυθμός μεταβολής της φάσης του σημείου Ο είναι π rad/s. Η ταχύτητα διάδοσης του κύματος θα είναι: α. 8m/s β. 4m/s γ. 2 m/s Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. Ε1.45 Γραμμικό αρμονικό κύμα διαδίδεται κατά τη θετική φορά του άξονα x⁄Οx. Το σημείο Ο με x=0 αρχίζει να ταλαντώνεται τη χρονική στιγμή t0=0 με v>0 και η εξίσωση του κύματος είναι y=0,1ημπ(40t−0,4x) τα x και y σε cm, το t σε s. Ποιες από τις προτάσεις που ακολουθούν είναι σωστές ή λανθασμένες; Να δικαιολογήσετε τις απαντήσεις σας. α. Το υλικό σημείο Σ με xΣ=0,2m αρχίζει να ταλαντώνεται τη χρονική στιγμή t=0,2s. β. Τη χρονική στιγμή που το Ο φτάνει για δεύτερη φορά στην ακραία θετική θέση ταλάντωσης ένα άλλο σημείο Ρ με xΡ=6cm μόλις αρχίζει να ταλαντώνεται. γ. Τη χρονική στιγμή t=9/80s έχουν σχηματιστεί 3 λόφοι και 2 κοιλάδες. δ. Η διαφορά φάσης δύο σημείων που απέχουν μεταξύ τους 10cm είναι κάθε στιγμή ίση με 4π rad. Ε1.46 Γραμμικό αρμονικό κύμα διαδίδεται κατά τη θετική φορά του άξονα x⁄Οx. Σημείο Μ με xΜ=0,2m ταλαντώνεται με εξίσωση yΜ=0,2ημ2π(2t−2) (SI). Ι. Μεταξύ των σημείων Μ και Λ όπου xΛ=0,6m η κυματική εικόνα επαναλαμβάνεται: α. 1 φορά β. 2 φορές γ. 4 φορές δ. 8 φορές ΙΙ. Το κύμα για να φτάσει από το Μ στο Λ χρειάζεται χρόνο: β. 4s γ. 0,5s α. 2s Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. δ. 1s Ε1.47 Γραμμικό αρμονικό κύμα διαδίδεται κατά τη θετική φορά του άξονα x⁄Οx με εξίσωση y=0,1ημ2π(2t − 2x) ( S.I) Στο διπλανό σχήμα βλέπουμε ένα στιγμιότυπο αυτού του κύματος τη χρονική στιγμή t1. Ι. Η χρονική στιγμή t1 είναι; α. 0,5s β. 1s ΙΙ. Η ταχύτητα ταλάντωσης του σημείου Κ τη χρονική στιγμή t1 είναι:α. υ>0 β. υ=0 γ. υ<0 ΙΙΙ. Η επιτάχυνση ταλάντωσης ενός σημείου Μ με xΜ=1/6m είναι: α. 8√ 3m/s 2 β. −2 √3m/s 2 Ποιες είναι οι σωστές απαντήσεις; Να δικαιολογήσετε τις απαντήσεις σας. Δίνεται π2=10. Ε1.48 Γραμμικό αρμονικό κύμα διαδίδεται με εξίσωση y=Αημ2π(t/Τ−x/λ) και στο σχήμα φαίνεται ένα στιγμιότυπο τη χρονική στιγμή t1. α. Να σχεδιάσετε τα στιγμιότυπα τις χρονικές στιγμές, t2= t1−Τ/4 και t3=t1+Τ/4. β. Να βρείτε στο στιγμιότυπο του σχήματος το πρόσημο της ταχύτητας των σημείων Λ και Μ. γ. Να γίνουν οι γραφικές παραστάσεις ταχύτητας ταλάντωσης, v=f(x) και επιτάχυνσης, α=f(x) για όλα τα σημεία του μέσου και για τις τρεις χρονικές στιγμές t1, t2, t3. ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ ΝΙΚ. ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΠΑΙΔΕΙΑ ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ ΝΙΚΗΤΑΣ Σελίδα 71 070 ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΠΑΙΔΕΙΑ 1.49 Γραμμικό αρμονικό κύμα διαδίδεται με εξίσωση y=Αημ2π(t/Τ−x/0,4) (SI). Δύο σημεία στον άξονα x⁄Οx έχουν θέσεις xΚ=0,2m και xΛ=0,9m. Ποιες από τις ακόλουθες προτάσεις είναι σωστές ή λανθασμένες; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. α. Η απόλυτη τιμή της διαφοράς φάσης είναι 2,5π rad. β. Το Κ προηγείται του Λ κατά 3,5π rad. γ. Τη στιγμή που το σημείο Κ περνά από τη θέση ισορροπίας με θετική ταχύτητα, το Λ βρίσκεται στη μέγιστη θετική απομάκρυνση. δ. Μεταξύ των Κ και Λ υπάρχουν 3 λόφοι. Ε1.50 Στο διπλανό διάγραμμα φαίνεται ένα στιγμιότυπο αρμονικού κύματος που οδεύει κατά τη θετική φορά του άξονα Οx με το σημείο x=0 να έχει y=0 τη χρονική στιγμή t=0 και v>0. Το στιγμιότυπο είναι τη χρονική στιγμή t1=0,3s. Ποιες από τις προτάσεις που ακολουθούν είναι σωστές ή λάθος και γιατί. α. Η ταχύτητα διάδοσης του κύματος είναι 2m/s. β. Τη χρονική στιγμή t=0,35s το σημείο Β θα έχει ταχύτητα v=0,1πm/s. γ. Τα σημεία Β και Η παρουσιάζουν διαφορά φάσης 2,5π rad. δ Τα σημεία Β και Γ έχουν κάθε χρονική στιγμή αντίθετες απομακρύνσεις και ταχύτητες. ε. Το σημείο Η έχει μεγαλύτερη φάση από το Ζ. στ. Το πρόσημο της ταχύτητας ταλάντωσης του Δ είναι θετικό. Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. Ε1.51 Αρμονικό κύμα με συχνότητα f=10Ηz διαδίδεται κατά τη θετική φορά του άξονα Οx και η εξίσωση ταλάντωσης της πηγής Ο (x=0) είναι y=Αημ2πft. Στο διπλανό σχήμα φαίνονται γραφικές παραστάσεις της φάσης του κύματος σε σχέση με την απόσταση x δύο χρονικές στιγμές t1 και t2. α. Να βρείτε τις χρονικές στιγμές t1, t2. β. Να σχεδιάσετε τα στιγμιότυπα του κύματος τις χρονικές στιγμές t1 και t2. γ. Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της φάσης του κύματος σε σχέση με το χρόνο για ένα σημείο Η με xΗ=1/8m στο χρονικό διάστημα από 0,1s έως 0,4s. Ε1.52 Αρμονικό κύμα διαδίδεται κατά τη θετική φορά του άξονα Οx και η εξίσωση ταλάντωσης της πηγής Ο (x=0) είναι y=Αημωt. Στο διπλανό σχήμα φαίνεται η γραφική παράσταση της φάσης σε σχέση με το χρόνο για ένα σημείο Μ με xΜ=1m. Ι. Ο χρόνος μιας πλήρους ταλάντωσης ενός σημείου του ελαστικού μέσου είναι: α. 0,4s β. 0,8s γ. 0,5s ΙΙ. Η ελάχιστη απόσταση μεταξύ δύο σημείων που έχουν κάθε χρονική στιγμή αντίθετες απομακρύνσεις και αντίθετες ταχύτητες είναι: α. 0,8m β. 0,4m γ. 0,2m ΙΙΙ. Τη χρονική στιγμή t=0,4s ο αριθμός των λόφων που σχηματίζονται πάνω στη χορδή είναι: α. 1 β. 2 γ. 4 ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ ΝΙΚ. ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΠΑΙΔΕΙΑ ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ ΝΙΚΗΤΑΣ 071 Σελίδα 72 ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΠΑΙΔΕΙΑ Ε1.53 Σε γραμμικό ομογενές μέσο διαδίδεται κύμα στη θετική κατεύθυνση του άξονα Οx με ταχύτητα διάδοσης υ=2m/s. Το στιγμιότυπο του σχήματος είναι τη χρονική στιγμή t1=0,25s. Η εξίσωση του κύματος στο SI είναι: α. y=0,1ημ(20πt−10πx) β. y=0,1ημ2π(2t−10x +0,25) γ. y=0,1ημ2π(10t−5x +0,5) Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. Ε1.54 Γραμμικό αρμονικό κύμα διαδίδεται σε άξονα x⁄Οx με εξίσωση y=0,2ημπ(2t−4x+1/2) (SI). Ι. Τη χρονική στιγμή t=0 η επιτάχυνση ταλάντωσης του σημείου O (x=0) είναι: α. μηδέν β. −0,8π2 m/s2 γ. 0,8π2m/s2 ΙΙ. Τη χρονική στιγμή t1=2,25s το κύμα έχει φτάσει σε απόσταση, x : α. 1m β. 1,25m γ. 1,5m ΙΙΙ. Σε απόσταση x=1,25m από το Ο (x=0) χωράνε: α. 1μήκος κύματος β. 2,5μήκη κύματος γ. 2μήκη κύματος Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. Ε1.55 Στο διάγραμμα του σχήματος φαίνεται η γραφική παράσταση της φάσης της μορφής, φ=2πt/Τ−2πx/λ ενός αρμονικού κύματος σε σχέση με την απόσταση x τη χρονική στιγμή t1. Το κύμα οδεύει κατά τη θετική φορά του άξονα x⁄Οx. Ι. Τη χρονική στιγμή t1 το σημείο Κ με xΚ =0,2m: α. Περνά από τη θέση ισορροπίας με θετική ταχύτητα. β. Περνά από τη θέση ισορροπίας με αρνητική ταχύτητα. γ. Είναι στη μέγιστη αρνητική απομάκρυνση. ΙΙ. Τη χρονική στιγμή t1+Τ το σημείο Λ με xΛ=0,1m έχει φάση: α. 13π rad β. 13π/4 rad γ. 13π/2 rad Να βρείτε τις σωστές απαντήσεις και να δικαιολογήσετε τις επιλογές σας. Ε1.56 Γραμμικό αρμονικό κύμα διαδίδεται κατά μήκος του άξονα x⁄Οx και κατά την αρνητική κατεύθυνση. Το σημείο Ο, με x=0 αρχίζει να ταλαντώνεται τη χρονική στιγμή t=0 με εξίσωση απομάκρυνσης y=Αημωt. Στο σχήμα φαίνεται ένα στιγμιότυπο του κύματος τη χρονική στιγμή t1=3s. Ι. Η εξίσωση του κύματος στο (SI) είναι: γ. y=0,2ημ2π(t+x) α. y=0,2ημ π (t−x) β. y=0,2ημ π(t+x) 2 2 II. H ταχύτητα ταλάντωσης του σημείου Β είναι: α. μηδέν β. −0,1π m/s γ. +0,1π m/s ΙΙΙ. Τα σημεία που βρίσκονται μεταξύ των Α και Δ (χωρίς αυτά) έχουν ταχύτητα: α. v<0 β. v>0 α. vΖ>0 β. VZ<0 ΙV. Το σημείο Ζ έχει ταχύτητα: Να βρείτε τις σωστές απαντήσεις και να δικαιολογήσετε τις επιλογές σας. ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ ΝΙΚ. ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΠΑΙΔΕΙΑ ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ ΝΙΚΗΤΑΣ 072 Σελίδα 73 ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΠΑΙΔΕΙΑ Ε1.57 Μια πηγή αρμονικής διαταραχής Ο αρχίζει να ταλαντώνεται τη χρονική στιγμή t0=0 και η ταλάντωση έχει εξίσωση, απομάκρυνσης, y=Αημωt. Η πηγή Ο βρίσκεται στην αρχή του άξονα διάδοσης Οx του κύματος και έχει x=0. Το κύμα διαδίδεται κατά τη θετική φορά. Τη χρονική στιγμή t1 που το υλικό σημείο Κ με xΚ=+2λ φτάνει για τρίτη φορά σε ακραία θέση ταλάντωσής του, ο αριθμός των σημείων του ελαστικού μέσου που βρίσκονται στη θέση απομάκρυνσης y=+Α/2 είναι: β. 5 γ. 7 α. 4 Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. Ε1.58 Μια πηγή αρμονικής διαταραχής Ο βρίσκεται στην αρχή του άξονα διάδοσης Οx του κύματος και έχει x0=0. Το κύμα διαδίδεται κατά τη θετική φορά του άξονα. Το σημείο Ο ταλαντώνεται με εξίσωση απομάκρυνσης, y=Αημ(ωt+π/2). Κάποια χρονική στιγμή t σημείο Μ του άξονα Οx βρίσκεται στη θέση y=+Α. Την ίδια στιγμή άλλο σημείο Λ του ίδιου άξονα του οποίου η φάση προηγείται της φάσης του Μ κατά 5π/3 θα βρίσκεται σε θέση: α. y=0 β. y=+Α γ. y=−Α δ. y=+Α/2 Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ ΝΙΚΗΤΑΣ 073 ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΠΑΙΔΕΙΑ (Α) Ασκήσεις και προβλήματα Α1.1 Η εξίσωση ενός εγκάρσιου αρμονικού κύματος που διαδίδεται κατά μήκος του άξονα x⁄Οx είναι y=0,2ημ2π(t−0,5x) στο S.I. α. Να υπολογιστεί το μήκος, λ και η ταχύτητα διάδοσης του κύματος, υ. β. Να γραφεί η εξίσωση της ταχύτητας ταλάντωσης των σημείων του ελαστικού μέσου. γ. Να κατασκευαστεί το στιγμιότυπο του κύματος τη χρονική στιγμή t=1s. δ. Να βρεθεί η ελάχιστη απόσταση x ενός σημείου που τη στιγμή t=1s έχει απομάκρυνση y=0,1m. α. λ=2m, υ=2m/s, β. v=0,4πσυν2π(t−0,5x) στο S.I. δ. x=7/6m Α1.2 Το σημείο Ο ομογενούς ελαστικής χορδής αρχίζει τη χρονική στιγμή t=0 να εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση με εξίσωση y=0,05ημ8πt (SI) κάθετα στη διεύθυνση της χορδής. Το κύμα που παράγεται διαδίδεται κατά τη θετική φορά του άξονα x⁄Οx κατά μήκος της χορδής που διέρχεται από το σημείο Ο και έχει ταχύτητα διάδοσης 20m/s. α. Να βρεθεί το μήκος κύματος, λ. β. Να γραφεί η εξίσωση του κύματος. γ. Να βρεθεί η χρονική στιγμή που αρχίζει να ταλαντώνεται σημείο Μ, με xΜ=10m. δ. Να βρεθεί τη χρονική στιγμή t1=1s, η απομάκρυνση y, από τη θέση ισορροπίας του σημείου Μ. ε. Να γίνει η γραφική παράσταση της φάσης των σημείων της χορδής σε σχέση με την απόσταση x, τη χρονική στιγμή t=1s. α. 5m, β. y=0,05ημ2π(4t−0,2x) στο SI, γ. 0,5s, δ.y=0 Α1.3 Στην ήρεμη επιφάνεια μιας λίμνης πέφτουν σταγόνες νερού με ρυθμό 60 σταγόνες ανά λεπτό. Η απόσταση του πρώτου λόφου από την δεύτερη κοιλάδα είναι 30cm. Να υπολογιστούν: α. Το μήκος κύματος. β. Η ταχύτητα διάδοσης του κύματος. γ. Η απόσταση που θα έχει διαδοθεί το κύμα σε χρόνο σε χρονικό διάστημα Δt=5s; δ. Το πλήθος των λόφων και το πλήθος των κοιλάδων που περιέχονται σε μήκος 100cm. α. 20cm, β. 20cm/s, γ. 100cm, δ. 5λόφοι και 5 κοιλάδες Α1.4 Τρέχον κύμα περιγράφεται από την εξίσωση: y=ημ(200πt-2πx) με y και x σε cm και t σε s. α. Να βρεθεί η χρονική στιγμή που ένα σημείο με x=100cm περνάει για δεύτερη φορά από τη θέση ισορροπίας. β. Να βρεθεί η απόλυτη τιμή της διαφορά φάσης δύο σημείων που απέχουν μεταξύ τους, Δx=5cm. γ. Να βρεθεί το μέτρο της ταχύτητας ταλάντωσης ενός σημείου τη στιγμή που έχει απομάκρυνση y. =0,5 √ 2cm δ. Να γίνει η γραφική παράσταση της απομάκρυνσης y σε σχέση με το χρόνο t για ένα σημείο με x=2cm για το χρονικό διάστημα μιας περιόδου. α. 1,005s, β. 10π rad, γ.100 √ 2πcm/s. Α1.5 Κατά μήκος μιας χορδής που εκτείνεται κατά μήκος άξονα x⁄Οx παράγονται εγκάρσια αρμονικά κύματα που κινούνται προς τη θετική κατεύθυνση και έχουν μήκος κύματος λ=0,1m. Θεωρούμε ένα σημείο Ο της χορδής ως αρχή του άξονα το οποίο τη χρονική στιγμή t=0 αρχίζει να ταλαντώνεται με εξίσωση απομάκρυνσης y=0,2ημ2πt (S.I) και δύο σημεία του ελαστικού μέσου Β και Γ που βρίσκονται στον θετικό ημιάξονα και έχουν την ίδια χρονική στιγμή φάσεις φΒ=40π rad και φΓ=10π rad. ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ ΝΙΚΗΤΑΣ 074 ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΠΑΙΔΕΙΑ α. Να βρείτε τη μεταβολή φάσης ενός σημείου της χορδής σε χρονικό διάστημα Δt=2s; β. Να εξετάσετε αν το κύμα διαδίδεται από το Β προς το Γ και να βρείτε την απόσταση ΒΓ. γ. Να γίνει η γραφική παράσταση φ=f(x) των σημείων της χορδής τη χρονική στιγμή, t1=20s. δ. Να γίνει η γραφική παράσταση φ=f(t) για σημείο x=1,5m σε χρονικό διάστημα μιας περιόδου. α.4πrad, β. Από Β→Γ, ΒΓ=1,5m Α1.6 Αρμονικό κύμα έχει συχνότητα f=1000Ηz, και διαδίδεται με ταχύτητα υ=1000m/s στον άξονα x⁄Οx κατά τη θετική φορά και δύο σημεία Α και Β που βρίσκονται στην ευθεία διάδοσης του κύματος έχουν μεταξύ τους απόσταση ΑΒ=2m, με το Β μετά Α. α. Αν το σημείο Β έχει κάποια χρονική στιγμή t1, φάση φB=10π rad, πόση είναι η φάση του σημείου A την ίδια χρονική στιγμή; β. Αν κάποια χρονική στιγμή t2 το Α περνάει από τη θέση ισορροπίας του με ταχύτητα αρνητικής κατεύθυνσης πόση είναι η απομάκρυνση και η κατεύθυνση της ταχύτητας του σημείου Β την ίδια χρονική στιγμή ; γ. Να εξετάσετε αν η διαφορά φάσης των σημείων Α και Β την ίδια χρονική στιγμή θα μεταβληθεί με την πάροδο του χρόνου. α. 14π rad, β. yB=0, vΒ<0 A1.7 Γραμμικό αρμονικό κύμα διαδίδεται κατά μήκος γραμμικού ελαστικού μέσου με ταχύτητα υ=40m/s προς τη θετική κατεύθυνση του άξονα x⁄Οx. Κάποια χρονική στιγμή t οι φάσεις των ταλαντώσεων δύο σημείων Α και Β του μέσου είναι φΑ=15π rad και φΒ=45π rad αντίστοιχα. Το σημείο Β έχει θέση xΒ=+5m και είναι το τρίτο κατά σειρά σε αντίθεση φάσης με την πηγή Ο. α. Να εξετάσετε αν το κύμα οδεύει από το Α προς το Β ή αντίθετα. β. Να υπολογίσετε τη συχνότητα του κύματος. γ. Να βρείτε την απόσταση των θέσεων ισορροπίας των δύο σημείων Α και Β. δ. Τη στιγμή που το σημείο Α περνά από τη θέση ισορροπίας του κινούμενο κατά τη θετική φορά ποια είναι η θέση και η κατεύθυνση κίνησης του Β; α. Β→Α, β. 20Ηz, Δx=30m, δ. y=0, v>0 Α1.8 Μια πηγή κυμάτων Ο που βρίσκεται στην αρχή, x=0, ενός άξονα x⁄Οx αρχίζει να εκτελεί ταλαντώσεις τη χρονική στιγμή t=0 με εξίσωση y=0,2ημωt, (S.I) και το κύμα διαδίδεται κατά τη θετική κατεύθυνση με ταχύτητα υ=4m/s. Η φάση κάθε σημείου μεταβάλλεται κατά 4πrad κάθε 1s. α. Να υπολογίσετε τη συχνότητα ταλάντωσης και το μήκος κύματος. β. Να γράψετε την εξίσωση του κύματος. γ. Να βρείτε την απομάκρυνση από τη θέση ισορροπίας, y, του σημείου Ο εκείνη τη χρονική στιγμή που το κύμα φτάνει στο σημείο Μ με xΜ=8m. δ. Να βρείτε τη πρώτη χρονική στιγμή που το σημείο Μ βρίσκεται στη θέση y=+0,2m. ε. Να βρείτε τη θέση x όλων των σημείων που τη χρονική στιγμή t=0,25s έχουν y=+0,1m. α. f=2Ηz, λ=2m, β. y=0,2ημ2π(2t−0,5x), (SI) ,γ. y=0, δ. t=2,125s ε. 1/6m, 5/6m Α1.9 Αρμονικό γραμμικό κύμα έχει διαδίδεται κατά τη θετική φορά άξονα Οx με εξίσωση κύματος y=0,1ημ2π(t−0,5x), στο S.I. Θεωρούμε ότι το σημείο Ο, με xO=0, αρχίζει να ταλαντώνεται τη χρονική στιγμή t0=0 με εξίσωση y=Αημωt. Να κατασκευαστούν: α. Στιγμιότυπο κύματος, y=f(x), τη χρονική στιγμή t1=1s. β. Η γραφική παράσταση της φάσης των σημείων του μέσου σε σχέση με την απόσταση x, φ=f(x), τη χρονική στιγμή t2=4s. ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ ΝΙΚ. ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ ΝΙΚΗΤΑΣ ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΠΑΙΔΕΙΑ 075 Σελίδα 76 ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΠΑΙΔΕΙΑ γ. Η γραφική παράσταση της απομάκρυνσης y σε σχέση με το χρόνο t, y=f(t) για σημείο με x=2m. δ. Η γραφική παράσταση φάσης σε σχέση με το χρόνο, φ=f(t), για το σημείο που βρίσκεται σε απόσταση x=2m, για χρονικό διάστημα μιας περιόδου. Α1.10 Η φάση ενός αρμονικού κύματος δίνεται από το γενικό τύπο φ=2π(t/Τ−x/λ) και στο σχήμα φαίνεται η γραφική παράσταση της φάσης αυτής σε σχέση με την συντεταγμένη x τη χρονική στιγμή t=4s. Να υπολογιστούν : α. Η συχνότητα ταλάντωσης της πηγής των κυμάτων. β. Το μήκος του κύματος. γ. Η ταχύτητα διάδοσης του κύματος. δ. Να σχεδιαστεί η γραφική παράσταση φ=f(t) για σημείο με x=2m. α. f=2Ηz, β. λ=0,25m, γ. 0,5m/s Α1.11 Ημιτονοειδές εγκάρσιο κύμα διαδίδεται κατά μήκος γραμμικού ελαστικού μέσου και κατά τη θετική φορά του άξονα x⁄Οx. Η εξίσωση ταλάντωσης της πηγής Ο είναι της μορφής y=0,2ημωt (S.I) στο σχήμα φαίνεται η γραφική παράσταση της φάσης ταλάντωσης ενός σημείου που βρίσκεται στη θέση x=0,1m, σε σχέση με το χρόνο, t. α. Να υπολογιστούν το μήκος κύματος και η περίοδος ταλάντωσης. β. Να γραφεί η εξίσωση του κύματος. γ. Να υπολογιστεί η επιτάχυνση τη χρονική στιγμή t=10s ενός σημείου με θέση x=0,2m. δ. Να σχεδιαστεί στιγμιότυπο του κύματος τη χρονική στιγμή t=3s. Ε.Πόσο σημεία έχουν απομάκρυνση -0,1m την t=3s. Δίνεται π2=10. α. λ=0,1m και Τ=2s, β. y=0,2ημ(πt−20πx), στο S.I, γ. α=0 Α1.12 Ημιτονοειδές εγκάρσιο κύμα διαδίδεται κατά μήκος γραμμικού ελαστικού μέσου και κατά τη θετική φορά του άξονα x⁄Οx. Η εξίσωση ταλάντωσης της πηγής Ο είναι της μορφής y=Αημωt. α. Να γράψετε την εξίσωση του κύματος. β. Να βρείτε την ταχύτητα ταλάντωσης του σημείου Κ που φαίνεται στο στιγμιότυπο τη χρονική στιγμή t=2s. γ. Προς ποια κατεύθυνση θα κινηθεί το σημείο Κ την αμέσως επόμενη χρονική στιγμή; δ. Σημείο Ν παρουσιάζει διαφορά φάσης με το Ο κατά 4π. Να γίνει η γραφική παράσταση y=f(t) για το σημείο Ν σε σχέση με το χρόνο και για χρονικό διάστημα μιας περιόδου. α. y=0,1ημ2π(15t−5x),(SI), β. v=−3πm/s, γ. Προς τα κάτω. Α1.13 Γραμμικό αρμονικό κύμα διαδίδεται στη διεύθυνση του άξονα x⁄Οx προς τη θετική κατεύθυνση και η αρχή του άξονα Ο, (x=0) αρχίζει να ταλαντώνεται τη χρονική στιγμή t=0. Σημείο Μ με xΜ=2m ταλαντώνεται και το διπλανό σχήμα δίνει τη γραφική παράσταση της απομάκρυνσης y αυτού του σημείου από ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ ΝΙΚ. ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΠΑΙΔΕΙΑ ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ ΝΙΚΗΤΑΣ Σελίδα 77 076 ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΠΑΙΔΕΙΑ τη θέση ισορροπίας του σε σχέση με το χρόνο, t. α. Να γράψετε την εξίσωση απομάκρυνσης y=f(x,t) του κύματος. β. Να κατασκευάσετε στιγμιότυπο τη χρονική στιγμή t=2s. γ. Αν το κύμα χρειάζεται χρόνο Δt=1,2s για να πάει από το Μ στο Λ να βρείτε τη διαφορά φάσης Δφ=φΜ−φΛ μια χρονική στιγμή που ταλαντώνονται και τα δύο σημεία. δ. Να βρείτε πόσα σημεία μεταξύ των Μ και Λ είναι σε συμφωνία φάσης με το Μ και να προσδιορίσετε τη θέση τους. α. y=0,8ημπ(5t−x) (SI), γ. Δφ=3π rad, δ. x1=6m 2 Α1.14 Γραμμικό αρμονικό κύμα διαδίδεται στη διεύθυνση του άξονα x⁄Οx προς τη θετική κατεύθυνση και η αρχή του άξονα Ο, (xO=0) αρχίζει να ταλαντώνεται τη χρονική στιγμή t0=0 με εξίσωση απομάκρυνσης y=0,1ημωt, στο S.I. Κάθε σημείο του ελαστικού μέσου που ταλαντώνεται διέρχεται 4 φορές από τη θέση ισορροπίας του σε χρονικό διάστημα Δt=8s. Στο χρονικό διάστημα που χρειάζεται ένα σημείο του άξονα για να μεταβεί από την ανώτερη στην κατώτερη θέση της τροχιάς του, η διαταραχή διανύει μήκος 1,5m του ελαστικού μέσου. α. Να βρεθούν, η ταχύτητα διάδοσης και το μήκος κύματος. β. Να κατασκευαστεί η εξίσωση του κύματος. γ. Να σχεδιαστεί ένα στιγμιότυπο του κύματος και η α= f (χ) τη χρονική στιγμή t1=2s. δ. Να σχεδιαστεί η γραφική παράσταση της ταχύτητας ταλάντωσης σε σχέση με το χρόνο, v=f(t), για ένα σημείο, Μ με xΜ=6m, από τη στιγμή t0=0, μέχρι τη στιγμή που μπήκε σε ταλάντωση ένα άλλο σημείο Λ με xΛ=9m. Ε.Πόσες φορές το Μ έχει ταχύτητα υmax/2 στον ίδιο χρόνο; α. υ=3/4m/s, λ=3m β. y=0,1ημ2π(t/4-x/3), (SI) Α1.15 Αρμονικό κύμα με εξίσωση y=Αημ(4πt−20πx), (SI) διαδίδεται κατά μήκος του άξονα x⁄Οx που ταυτίζεται με μια ελαστική χορδή. Στο σχήμα φαίνεται ένα στιγμιότυπο του κύματος τη χρονική στιγμή t1. α. Να βρεθεί η χρονική στιγμή t1. β. Να βρεθεί η φορά κίνησης του σημείου Ζ τη χρονική στιγμή t1. γ. Να γίνει η γραφική παράσταση, α=f(x) για t=t1. 2 δ. Να γραφεί η εξίσωση επιτάχυνσης της ταλάντωσης για το σημείο Κ. Δίνεται π =10. α. t=1,5s, β. Προς τα πάνω. δ. α=−32ημ2π(2t−3), (SI) Α1.16 Κατά μήκος ενός γραμμικού ελαστικού μέσου που έχει τη διεύθυνση του άξονα x⁄Οx διαδίδεται εγκάρσιο αρμονικό κύμα με πλάτος Α=0,04m και περίοδο Τ=0,01s. Το κύμα διαδίδεται κατά την αρνητική φορά του άξονα και θεωρούμε ότι τη χρονική στιγμή t0=0 φτάνει στην αρχή του άξονα Ο ( xΟ=0). Το σημείο Ο αρχίζει να κάνει απλή αρμονική ταλάντωση με εξίσωση y=Αημωt. Δύο σημεία Κ και Λ με xΚ=−0,4m και xΛ=−0,95m παρουσιάζουν απόλυτη διαφορά φάσης Δφ=5,5π rad. α. Να γράψετε την εξίσωση του κύματος. β. Να βρείτε την κατεύθυνση της κίνησης των σημείων Κ και Λ τη χρονική στιγμή t1=0,5s. γ. Να βρείτε τη διαφορά φάσης Δφ=φΑ−φΒ δύο σημείων Α και Β με xΑ=45cm και xΒ=−45cm. δ. Όταν το σημείο Α είναι στη μέγιστη θετική απομάκρυνση που βρίσκεται το σημείο Β; ε. Να κάνετε το στιγμιότυπο κύματος και υ=f(x) στον αρνητικό ημιάξονα τη χρονική στιγμή t=0,01s. α. y=0,04ημ(200πt+10πx), (SI) β. vK>0, vΛ=0, Δφ=9π δ. y=−0,04m ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ ΝΙΚ. ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ ΝΙΚΗΤΑΣ ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΠΑΙΔΕΙΑ Σελίδα 78 077 ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΠΑΙΔΕΙΑ 1.17 Γραμμικό ελαστικό μέσο εκτείνεται κατά μήκος του άξονα x⁄Οx και το σημείο Ο για το οποίο είναι xΟ=0, αρχίζει να ταλαντώνεται τη χρονική στιγμή t0=0 με εξίσωση απομάκρυνσης y=Αημωt, παράγοντας κύματα που διαδίδονται κατά τη θετική φορά. Κατά κάποια χρονική στιγμή t, δύο σημεία Κ και Λ του μέσου έχουν φάσεις φK=15π/2 rad και φΛ=45π/2 rad, αντιστοίχως. α. Εξετάστε αν το κύμα διαδίδεται από το Κ προς το Λ ή αντιστρόφως. β. Αν το σημείο Λ απέχει από το Ο απόσταση xΛ=0,4m και έχει καθυστέρηση φάσης 5π, ως προς το Ο, να υπολογιστεί η απόσταση ΚΛ. γ. Πόση είναι η απομάκρυνση και η φορά της κίνησης του σημείου Κ, τη χρονική στιγμή κατά την οποία το σημείο Λ διέρχεται από τη θέση ισορροπίας κινούμενο κατά τη θετική φορά. δ. Πόσοι λόφοι σχηματίζονται στο τμήμα που ενώνει τις θέσεις ισορροπίας των Λ και Κ, τη χρονική στιγμή που το Λ περνάει από τη θέση ισορροπίας με θετική φορά κίνησης. α. Από Λ στο Κ, β. (ΚΛ)=1,2m, γ. yΚ=0, vΚ<0, δ. 8 λόφοι Α1.18 Ημιτονοειδές εγκάρσιο κύμα διαδίδεται κατά μήκος γραμμικού ελαστικού μέσου και κατά τη θετική φορά του άξονα x⁄Οx. Η εξίσωση ταλάντωσης της πηγής Ο (xΟ=0) είναι της μορφής y=0,1ημωt (S.I) και στο διπλανό σχήμα δίνεται η γραφική παράσταση της φάσης του κύματος σε συνάρτηση με την απόσταση από την πηγή, x τη χρονική στιγμή t1=2s. α. Να γραφεί η εξίσωση του κύματος. β. Να βρεθεί τη χρονική στιγμή t2=4s, η ταχύτητα ταλάντωσης σημείου Μ που βρίσκεται στη θέση xΜ=1m. γ. Να γίνει στο ίδιο διάγραμμα η γραφική παράστασης της φάσης ταλάντωσης σε σχέση με την απόσταση x, τη χρονική στιγμή t3=3s. δ. Να σχεδιαστεί η γραφική παράσταση της ταχύτητας ταλάντωσης των σημείων σε σχέση με την απόσταση x, v=f(x), τη χρονική στιγμή t4=0,4s. α. y=0,1ημ2π( 2,5t−2,5x), β. −0,5πm/s Α1.19 Ημιτονοειδές εγκάρσιο κύμα διαδίδεται κατά μήκος γραμμικού ελαστικής χορδής και κατά τη διεύθυνση του άξονα x⁄Οx. Η εγκάρσια απομάκρυνση σημείου Κ της χορδής περιγράφεται από την εξίσωση y1=Αημ30πt (SI) ενώ η εγκάρσια απομάκρυνση ενός άλλου σημείο Λ που βρίσκεται δεξιά του Κ, σε απόσταση x=6cm από αυτό, περιγράφεται από την εξίσωση: y2=Αημ(30πt +π/6) (SI). Στο σχήμα φαίνεται ένα τυχαίο στιγμιότυπο του κύματος. Δίνεται π=3,14. α. Ποια είναι η φορά διάδοσης του κύματος; β. Πόση είναι η ταχύτητα διάδοσης του κύματος; γ. Αν η ταχύτητα διάδοσης είναι ίση κατά μέτρο με τη μέγιστη ταχύτητα ταλάντωσης των σημείων της χορδής, να υπολογίσετε το πλάτος του κύματος. δ. Ποια είναι η φορά της ταχύτητας των σημείων Β,Ζ,Δ. ε. Πόση είναι η ταχύτητα των σημείων Η, Γ, Ε και Α. (ΘΕΜΑ ΠΑΝ/ΚΩΝ 2005) α. αρνητική, β. υ=10,8m/s, γ. Α=0,36/π m/s. δ. vΒ>0, vΔ<0, vΖ<0. ε. vΗ=vΓ=0, vΑ=10,8m/s, vΕ=−vΑ ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ ΝΙΚ. ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΠΑΙΔΕΙΑ ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ ΝΙΚΗΤΑΣ Σελίδα 79 078 ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΠΑΙΔΕΙΑ Α1.20 Γραμμικό αρμονικό κύμα διαδίδεται με ταχύτητα υ=4cm/s, πλάτος Α=2cm και περίοδο Τ=2s πάνω σε άξονα x⁄Οx κατά τη θετική φορά. Το κύμα έχει αρχίσει ήδη να διαδίδεται σε προγενέστερο χρόνο με πηγή το σημείο Ο, (xΟ=0) και διαπιστώνουμε ότι τη χρονική στιγμή t0=0 η απομάκρυνση του Ο από τη θέση ισορροπίας είναι y=+2cm για πρώτη φορά. α. Να γραφεί η εξίσωση του κύματος. β. Να βρεθεί η χρονική στιγμή, t1, που αρχίζει να ταλαντώνεται σημείο Ζ, με xΖ=6cm. γ. Σημείο Η αρχίζει να ταλαντώνεται τη στιγμή t2 που η πηγή Ο περνά για δεύτερη φορά από τη θέση ισορροπίας της μετά από τη στιγμή t0=0. Να υπολογιστεί η θέση xΗ του σημείου Η. δ. Να σχεδιαστεί το στιγμιότυπο του κύματος τη χρονική στιγμή t=2s. α. y=2ημ2π(t/2−x/8+1/4) (SI), β. t1=1s, γ. 8cm Α1.21 Πηγή Ο παραγωγής εγκάρσιων γραμμικών αρμονικών κυμάτων βρίσκεται στη θέση x=0, άξονα x⁄Οx και ταλαντώνεται με εξίσωση απομάκρυνσης από τη θέση ισορροπίας y=0,02ημ(2πt+φ0) (SI). Το κύμα έχει αρχίσει να διαδίδεται σε προγενέστερο χρόνο, αλλά θεωρούμε ότι τη χρονική στιγμή t0=0 η πηγή, Ο, βρίσκεται για πρώτη φορά στη μέγιστη θετική απομάκρυνση, ενώ έχει ξεκινήσει από τη θέση ισορροπίας με θετική ταχύτητα. Τη στιγμή που η πηγή, Ο, περνάει για τρίτη φορά από τη θέση ισορροπίας της, μετά τη χρονική στιγμή t0, αρχίζει να ταλαντώνεται σημείο Μ με xΜ=0,3m. α. Να υπολογίσετε την ταχύτητα διάδοσης του κύματος. β. Να γράψετε την εξίσωση του κύματος, αν αυτό διαδίδεται κατά τη θετική φορά του άξονα xx⁄. γ. Να παραστήσετε γραφικά τη φάση σε συνάρτηση με την απόσταση, x, τη χρονική στιγμή, t1=5s. δ. Να σχεδιάσετε το στιγμιότυπο του κύματος τη χρονική στιγμή t=1,5s. α. 0,2m/s, β. y=0,02ημ2π(t−5x+1/4), SI 1.22 Γραμμικό αρμονικό κύμα διαδίδεται κατά μήκος άξονα x⁄Οx και κατά τη θετική φορά με ταχύτητα υ=10cm/s, συχνότητα f=0,25Hz και πλάτος Α=2cm. Το κύμα έχει αρχίσει ήδη να διαδίδεται σε προγενέστερο χρόνο με πηγή το σημείο Ο, (xΟ=0) και διαπιστώνουμε ότι τη χρονική στιγμή t0=0, η απομάκρυνση του σημείου O, είναι y=+1cm και η ταχύτητα ταλάντωσης έχει αρνητική αλγεβρική τιμή. α. Να γραφεί η εξίσωση του κύματος. β. Να υπολογιστεί η φάση ενός σημείου Μ με xΜ=10cm, τη χρονική στιγμή, t1, που το σημείο Ο περνάει για δεύτερη φορά από τη θέση ισορροπίας, μετά τη χρονική στιγμή t0=0. γ. Να βρεθεί απόσταση από το Ο ενός άλλου σημείου Λ το οποίο την ίδια χρονική στιγμή t1 καθυστερεί ως προς το Μ κατά π/5 rad. α. y=2ημ2π( t/4− x/40 +5/12) τα x, y σε cm, το t σε s, β. 3π/2, γ. xΛ=14cm A1.23 Γραμμικό αρμονικό κύμα διαδίδεται στη διεύθυνση του άξονα x⁄Οx προς τη θετική κατεύθυνση. Στοιχειώδης μάζα m=2,10−6kg του ελαστικού μέσου βρίσκεται στην αρχή του άξονα Ο, (x=0), και τη χρονική στιγμή t=0 βρίσκεται στη μέγιστη θετική απομάκρυνση και έχει ενέργεια ταλάντωσης Ε=4,10−5J. Ο χρόνος μετάβασης της στοιχειώδους μάζας από την πάνω ακραία θέση στην κάτω ακραία είναι Δt=0,2s και μέσα στο διάστημα αυτό το κύμα έχει ταξιδέψει κατά Δx=0,4m. α. Πόση είναι η ταχύτητα διάδοσης του κύματος; β. Πόση είναι η μέγιστη ταχύτητα ταλάντωσης της στοιχειώδους μάζας; ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ ΝΙΚ. ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΠΑΙΔΕΙΑ ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ ΝΙΚΗΤΑΣ Σελίδα 80 079 ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΠΑΙΔΕΙΑ γ. Να κάνετε ένα στιγμιότυπο του κύματος τη χρονική στιγμή t1=Τ/2, όπου Τ η περίοδος ταλάντωσης των στοιχειωδών μαζών του ελαστικού μέσου. δ. Να υπολογίσετε το μέτρο της ταχύτητα ταλάντωσης ενός σημείου Μ τη στιγμή που η απομάκρυνση από τη θέση ισορροπίας είναι y=0,2m. ε. Αν το Μ έχει κάποια στιγμή θετική ταχύτητα και απομάκρυνση y=0,2m, πόση ταχύτητα ταλάντωσης έχει σημείο Λ του οποίου η φάση προηγείται της φάσης του Μ κατά 4π rad. α. 2m/s, β. 2πm/s, δ υ=π√ 3m/s, ε. υ=π √ 3m/s 1.24 Γραμμικό αρμονικό κύμα διαδίδεται κατά μήκος άξονα x⁄Οx και κατά τη θετική φορά με πλάτος Α=0,02m και μήκος κύματος λ=0,1m. Το κύμα έχει αρχίσει ήδη να διαδίδεται σε προγενέστερο χρόνο με πηγή το σημείο Ο, (xΟ=0) και διαπιστώνουμε ότι τη χρονική στιγμή t0=0, το σημείο Ο φτάνει για πρώτη φορά στη μέγιστη αρνητική του απομάκρυνση, ενώ έχει αρχίσει να ταλαντώνεται από τη θέση ισορροπίας του με θετική ταχύτητα. Τη χρονική στιγμή t1=0,1s το κύμα φτάνει στο σημείο Μ με xΜ=0,1m. υ=π 3m/s, ε. υ=π 3m/s α. Να γράψετε την εξίσωση του κύματος. β. Να σχεδιάσετε στιγμιότυπο του κύματος τη χρονική στιγμή t3=0,2s. γ. Να βρεθεί η απόλυτη τιμή της απομάκρυνσης y ενός υλικού σημείου του ελαστικού μέσου τη στιγμή που η δυναμική του ενέργεια γίνεται ίση με την κινητική. α. y=0,02ημ2π(2,5t−10x+3/4) (S.I), γ. y=√2 10−2m. Α1.25 Γραμμικό αρμονικό κύμα διαδίδεται στη διεύθυνση του άξονα x⁄Οx προς τη θετική κατεύθυνση και η αρχή του άξονα Ο, (x=0) αρχίζει να ταλαντώνεται τη χρονική στιγμή t=0, με εξίσωση ταλάντωσης y=Αημωt. Το στιγμιότυπο του κύματος τη χρονική στιγμή t=1,4s φαίνεται στο διπλανό σχήμα. α. Να βρείτε την ταχύτητα διάδοσης του κύματος. β. Να βρείτε τη φορά κίνησης του σημείου Κ την αμέσως επόμενη χρονική στιγμή και τον αριθμό των ταλαντώσεων που έχει κάνει μέχρι τη στιγμή t=1,4s. γ. Να σχεδιάσετε τη φάση των σημείων σε σχέση με την απόσταση x τη χρονική στιγμή t2=2,4s. α. υ=2m/s, β. θετική, μια Α1.26 Εγκάρσιο αρμονικό κύμα διαδίδεται κατά μήκος γραμμικού ελαστικού μέσου με ταχύτητα 4m/s και έχει πλάτος Α=0,04m και f=10Ηz. Το σημείο Ο έχει x=0, θεωρείται πηγή των κυμάτων και τη χρονική στιγμή t0=0 έχει απομάκρυνσης y=0,04m. Το κύμα διαδίδεται στη θετική φορά του x⁄Οx. α. Να γράψετε την εξίσωση στιγμιότυπου y=f(x) τη χρονική στιγμή t1=0,1s και να κάνετε τη γραφική παράσταση. β. Να παραστήσετε γραφικά την απομάκρυνση y σε σχέση με το χρόνο t, σημείου Μ, με xΜ=0,8m. γ. Να παραστήσετε γραφικά τη φάση ταλάντωσης των σημείων του θετικού ημιάξονα, Οx σε συνάρτηση με το x, τη χρονική στιγμή t2=3s. δ. Να παραστήσετε γραφικά τη φάση ταλάντωσης του σημείου Σ σε σχέση με το χρόνο, t. Α1.27 Δύο ομογενείς και τεντωμένες χορδές από διαφορετικά υλικά είναι ενωμένες στο ένα άκρο τους Ο που ταυτίζεται με την αρχή άξονα x⁄Οx. Τη χρονική στιγμή t0=0 το σημείο Ο μπαίνει σε γραμμικές αρμονικές ταλαντώσεις με εξίσωση y=0,2ημ10πt (SI), οπότε αρχίζουν να διαδίδονται κύματα και στις δύο χορδές. Στη χορδή (1), που εκτείνεται στο θετικό ημιάξονα Οx, τρέχει κύμα με ταχύτητα υ1 ενώ στη χορδή (2) που εκτείνεται στον αρνητικό ημιάξονα Οx⁄ το ίδιο κύμα τρέχει με ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ ΝΙΚ. ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΠΑΙΔΕΙΑ ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ ΝΙΚΗΤΑΣ Σελίδα 81 080 ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΠΑΙΔΕΙΑ ταχύτητα υ2=4m/s. Μεταξύ των σημείων Κ του θετικού ημιάξονα (xΚ>0) και του συμμετρικού του, Λ στον αρνητικό ημιάξονα (xΛ=−xΚ), σχηματίζονται συνολικά 10 κύματα, 4 στη χορδή (1) και 6 στη χορδή (2), αφότου και τα δύο σημεία έχουν αρχίσει να ταλαντώνονται. α. Πόση είναι η ταχύτητα διάδοσης του κύματος, υ1, στη χορδή (1); β. Να γράψετε τις εξισώσεις των αρμονικών κυμάτων που διαδίδονται κατά μήκος των δύο αξόνων. γ. Να υπολογίσετε την ταχύτητα ταλάντωσης του σημείου Κ τη χρονική στιγμή που αρχίζει να ταλαντώνεται σημείο Μ με xΜ=−4,5m. δ. Να κάνετε σε κοινό διάγραμμα στιγμιότυπα και των δύο κυμάτων τη χρονική στιγμή t2=0,5s α. υ1= 6m/s, β.y1=0,2ημ2π(5t−5x/6), x>0, y2=0,2ημ2π(5t+5x/4), x<0, γ. v=−π √ 2 m/s Α1.28 Δύο σημαδούρες Α και Β απέχουν μεταξύ τους απόσταση ΑΒ = 13,5m και η ευθεία που διέρχεται από αυτές είναι κάθετη στην ακτογραμμή. Πλοίο που κινείται παράλληλα στην ακτογραμμή, μακριά από τις σημαδούρες δημιουργεί κύμα, με φορά διάδοσης από την Α προς την Β, το οποίο θεωρούμε εγκάρσιο αρμονικό. Το κύμα διαδίδεται προς την ακτή. Εξ αιτίας του κύματος η κάθε σημαδούρα διέρχεται από τη θέση ισορροπίας της 30 φορές το λεπτό. Ο χρόνος που απαιτείται, για να φθάσει ένα «όρος» του κύματος από τη σημαδούρα Α π στη Β, είναι 9s. Η μέγιστη ταχύτητα ταλάντωσης κάθε σημαδούρας είναι 0 m/s. Θεωρούμε ως αρχή μέτρησης 5 των αποστάσεων τη σημαδούρα Α και ως αρχή μέτρησης των χρόνων τη στιγμή που η σημαδούρα Α βρίσκεται στη θέση ισορροπίας και κινείται προς τα θετικά. i) Να υπολογιστεί το μήκος του κύματος. ii) Πόσο απέχει η σημαδούρα Α από την ακτή, αν αυτή βρίσκεται για 21η φορά στην ανώτερη θέση της ταλάντωσής της, όταν το κύμα φθάσει στην ακτή. iii) Να γραφεί η εξίσωση ταλάντωσης της σημαδούρας Β, καθώς το κύμα διαδίδεται από τη σημαδούρα Α προς τη Β. iv) Να βρεθεί το μέτρο της ταχύτητας ταλάντωσης της σημαδούρας Β κάποια χρονική στιγμή που η σημαδούρα Α βρίσκεται στο ανώτατο σημείο της ταλάντωσής της. Επαναληπτικές Εξετάσεις Ε.Λ. 2006 Α1.29. Σε ένα σημείο μιας λίμνης, μια μέρα χωρίς αέρα, ένα σκάφος ρίχνει άγκυρα. Από το σημείο της επιφάνειας της λίμνης που πέφτει η άγκυρα ξεκινά εγκάρσιο κύμα. Ένας άνθρωπος που βρίσκεται σε βάρκα παρατηρεί ότι το κύμα φτάνει σ’ αυτόν 50 s μετά την πτώση της άγκυρας. Το κύμα έχει ύψος 10 cm πάνω από την επιφάνεια της λίμνης, η απόσταση ανάμεσα σε δύο διαδοχικές κορυφές του κύματος είναι 1 m, ενώ μέσα σε χρόνο 5 s το κύμα φτάνει στη βάρκα 10 φορές. Να υπολογίσετε: v) Την περίοδο του κύματος που φτάνει στη βάρκα. vi) Την ταχύτητα διάδοσης του κύματος. vii) Την απόσταση της βάρκας από το σημείο πτώσης της άγκυρας. viii) Τη μέγιστη ταχύτητα ταλάντωσης του ανθρώπου στη βάρκα. Εξετάσεις Εσπερινών 2005 ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ ΝΙΚΗΤΑΣ ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ ΝΙΚ. Συγχρονη παιδεια 081 Σελίδα 82 ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΠΑΙΔΕΙΑ 2. Συμβολή κυμάτων στην επιφάνεια υγρού (Ε) Ερωτήσεις E2.1 Να συμπληρωθούν τα κενά στις ακόλουθες προτάσεις: α. Όταν δύο ή περισσότερα………….. διαδίδονται ταυτόχρονα στην …………περιοχή του ελαστικού μέσου, καθένα τους διαδίδεται ………… από το άλλο, και η ολική απομάκρυνση, σε κάθε σημείο του μέσου και σε κάθε χρονική στιγμή, είναι ίση με το ……………..των απομακρύνσεων που οφείλονται στο κάθε κύμα χωριστά. β. Η ταυτόχρονη διάδοση δύο ή περισσοτέρων κυμάτων στην ίδια περιοχή ενός ελαστικού μέσου ονομάζεται …………. γ. Οι πηγές κυμάτων που έχουν την ίδια φάση σε όλη τη διάρκεια εκπομπής τους και δίνουν ταυτόχρονα μέγιστα και ελάχιστα ονομάζονται……………. Ε2.2 Δύο πηγές κυμάτων λέγονται σύγχρονες όταν: α. Έχουν το ίδιο πλάτος ταλάντωσης. β. Έχουν την ίδια φάση σε όλη τη διάρκεια της εκπομπής τους. γ. Παράγουν κύματα στο ίδιο ελαστικό μέσο. δ. Ταλαντώνονται με την ίδια συχνότητα και το ίδιο πλάτος. Ε2.3 Η αρχή της επαλληλίας (ή υπέρθεσης) των κυμάτων: α. Παραβιάζεται μόνο αν τα κύματα είναι τόσο ισχυρά, ώστε οι δυνάμεις που ασκούνται στα σωματίδια του μέσου, δεν είναι ανάλογες των απομακρύνσεων. β Δεν παραβιάζεται ποτέ. γ. Ισχύει μόνο όταν τα κύματα που συμβάλλουν, προέρχονται από πηγές που βρίσκονται σε φάση. δ. Δεν ισχύει όταν συμβάλλουν περισσότερα από δύο κύματα. Ε2.4 Σύμφωνα με την αρχή της επαλληλίας: α. Η συνεισφορά κάθε κύματος στην απομάκρυνση κάποιου σημείου του μέσου εξαρτάται από την ύπαρξη του άλλου κύματος. β. Η απομάκρυνση ενός σημείου του ελαστικού μέσου είναι ίση με το άθροισμα των απόλυτων τιμών των απομακρύνσεων που οφείλονται στα επιμέρους κύματα. γ. Η απομάκρυνση ενός σημείου του ελαστικού μέσου είναι ίση με το αλγεβρικό άθροισμα των απομακρύνσεων που οφείλονται στα επιμέρους κύματα. δ. Η απομάκρυνση ενός σημείου του ελαστικού μέσου είναι ίση με το αλγεβρικό άθροισμα των απομακρύνσεων που οφείλονται στα επιμέρους κύματα, μόνο αν οι πηγές είναι σύγχρονες. Ε2.5 Δύο σύγχρονες πηγές κυμάτων: α. Αρχίζουν να ταλαντώνονται ταυτόχρονα. β. Παράγουν κύματα με σταθερή διαφορά φάσης. γ. Δημιουργούν ταυτόχρονα μέγιστα και ελάχιστα σε όλη τη διάρκεια εκπομπής τους. δ. Τίποτα από τα παραπάνω. Ε2.6 Δύο σημειακές πηγές αρμονικών και μηχανικών κυμάτων βρίσκονται στην επιφάνεια υγρού. Οι εξισώσεις που περιγράφουν τις απομακρύνσεις από τις θέσει ισορροπίας τους σε συνάρτηση με το χρόνο είναι y=Αημ(2πt/Τ). Τα κύματα που παράγονται συμβάλλουν και για ένα σημείο του μέσου που κάνει σύνθετη ταλάντωση και απέχει αποστάσεις x1, x2 από τις πηγές, η εξίσωση απομάκρυνσης από τη θέση ισορροπίας είναι: ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ ΝΙΚΗΤΑΣ 082 ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΠΑΙΔΕΙΑ Ε2.7 Δύο σύγχρονες πηγές Κ και Λ παράγουν αρμονικά κύματα και οι απομακρύνσεις από τη θέση ισορροπίας τους δίνονται από τη σχέση y=Αημ(2πt/Τ). Τα σημεία της επιφάνειας του υγρού, στα οποία τα κύματα συμβάλλουν, ταλαντώνονται με πλάτος, Α', που είναι: α. Α'=2Α γ. 0< Α'<2Α β. 0< Α'<Α δ. 0≤ Α'≤2Α Ε2.8 Δύο σύγχρονες πηγές Κ και Λ παράγουν αρμονικά κύματα και οι απομακρύνσεις από τη θέση ισορροπίας τους δίνονται από τη σχέση y=Αημ(2πt/Τ). Τα σημεία της επιφάνειας του υγρού, στα οποία τα κύματα συμβάλλουν, ταλαντώνονται με συχνότητα f⁄, που είναι: α. f '=1/Τ β. f '=2/Τ γ. f '=1/2Τ δ. f '=0 Ε2.9 Δύο σημειακές πηγές αρμονικών και μηχανικών κυμάτων βρίσκονται στην επιφάνεια υγρού. Οι εξισώσεις που περιγράφουν τις απομακρύνσεις από τις θέσεις ισορροπίας τους σε συνάρτηση με το χρόνο είναι y=Αημ(2πt/Τ). Τα κύματα που παράγονται συμβάλλουν και για ένα σημείο του μέσου που κάνει σύνθετη ταλάντωση με μέγιστο πλάτος οι αποστάσεις του x1, x2 από τις πηγές, ικανοποιούν τη σχέση: α. x1−x2=κλ, κ=0,1,2,3… β. |x1−x2|=κλ, κ=0,1,2,3… γ. |x1−x2|=(2κ+1)λ/2 κ=0,1,2,3… Ε2.10 Δύο σημειακές πηγές αρμονικών και μηχανικών κυμάτων βρίσκονται στην επιφάνεια υγρού. Οι εξισώσεις που περιγράφουν τις απομακρύνσεις από τις θέσει ισορροπίας τους σε συνάρτηση με το χρόνο είναι y=Αημ(2πt/Τ). Τα κύματα που παράγονται συμβάλλουν και ένα σημείο του μέσου που απέχει ίσες αποστάσεις από τις πηγές των κυμάτων, το πλάτος της σύνθετης ταλάντωσης Α' είναι: α. Α'=2Α β. Α'=0 γ. 0≤ Α'≤2Α Ε2.11 Δύο σημειακές πηγές αρμονικών και μηχανικών κυμάτων βρίσκονται στην επιφάνεια υγρού. Οι εξισώσεις που περιγράφουν τις απομακρύνσεις από τις θέσει ισορροπίας τους σε συνάρτηση με το χρόνο είναι y=Αημ(2πt/Τ). Τα κύματα που παράγονται συμβάλλουν και για ένα σημείο του μέσου που μένει ακίνητο, οι αποστάσεις του x1, x2 από τις πηγές, ικανοποιούν τη σχέση: α. |x1−x2|=κλ/2, κ=0,1,2,… β. x1−x2=(2κ+1)λ/2, κ=0,1,2,… γ. |x1−x2|=(2κ+1)λ/2 κ=0,1,2,… Ε2.12 Δύο σύγχρονες πηγές κυμάτων που βρίσκονται στην επιφάνεια ενός ομογενούς και ισότροπου υγρού, αρχίζουν να ταλαντώνονται τη χρονική στιγμή t0=0 με εξισώσεις απομάκρυνσης y1=y2=Αημ2πt/Τ. Τα αρμονικά κύματα που παράγονται οδεύουν προς όλες τις κατευθύνσεις με μήκος κύματος λ και κάποια χρονική στιγμή συμβάλλουν και στο σημείο Σ του υγρού που απέχει από τις πηγές των κυμάτων αποστάσεις r1, r2. α. Να γραφούν οι εξισώσεις των δύο κυμάτων που συμβάλουν στο σημείο Σ, σε τυχαία χρονική στιγμή t. ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ ΝΙΚΗΤΑΣ 083 ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΠΑΙΔΕΙΑ β. Να εφαρμοστεί η αρχή της επαλληλίας και να αποδειχθεί η σχέση που δίνει την απομάκρυνση yΣ του σημείου Σ, σε τυχαία χρονική στιγμή t. γ. Να αποδειχθούν οι σχέσεις που δίνουν τη διαφορά των αποστάσεων |r1−r2| σε σχέση με το μήκος κύματος , λ, ώστε το σημείο Σ: γ1. Να ταλαντώνεται με μέγιστο πλάτος. γ2. Να μένει ακίνητο. Ε2.13 Δύο σύγχρονες πηγές Κ και Λ παράγουν αρμονικά κύματα ίδιου πλάτους Α, ίδιου μήκους κύματος λ που διαδίδονται στο ίδιο ελαστικό μέσο. α. Δείξτε ότι αν σε κάποιο σημείο Σ που απέχει αποστάσεις r1, r2 από τις πηγές ισχύει, |r1−r2|=κλ με κ=0,1,2… τότε τα δύο κύματα που φτάνουν εκεί κάθε χρονική στιγμή έχουν διαφορά φάσης 2κπ. β. Δείξτε ότι αν σε κάποιο σημείο Ρ που απέχει αποστάσεις r1, r2 από τις πηγές ισχύει |r1−r2|=(2κ+1)λ/2 με κ=0,1,2… τότε τα δύο κύματα που φτάνουν εκεί κάθε χρονική στιγμή έχουν διαφορά φάσης (2κ+1)π. Ε2.14 Δύο σημειακές πηγές αρμονικών και μηχανικών κυμάτων βρίσκονται στις θέσεις Κ και Λ μιας ευθείας xx⁄, στην επιφάνεια υγρού. Η εξίσωση που περιγράφει τις απομακρύνσεις από τις θέσεις ισορροπίας τους σε συνάρτηση με το χρόνο είναι y=Αημ(2πt/Τ). Η απόσταση ΚΛ είναι 6cm και το μήκος κύματος των κυμάτων 4cm. Σε κάποιο σημείο της ευθείας xx⁄, το οποίο δεν ανήκει στο ευθύγραμμο τμήμα ΚΛ και δεν βρίσκεται κοντά στις πηγές, το πλάτος ταλάντωσης Α'θα είναι: (Πανελλαδικές 2006) β. Α '=0 γ. 0< Α '<2Α α. Α '=2Α Ε2.15 Δύο σημειακές πηγές αρμονικών και μηχανικών κυμάτων βρίσκονται στις θέσεις Κ και Λ μιας ευθείας xx⁄, στην επιφάνεια υγρού. Η εξίσωση που περιγράφει τις απομακρύνσεις από τις θέσεις ισορροπίας τους σε συνάρτηση με το χρόνο είναι y=Αημ(2πt/Τ). Το μήκος κύματος των κυμάτων που παράγονται είναι λ=2m. Να αντιστοιχίσετε τις αποστάσεις r1, r2 του κάθε σημείου από τις πηγές, της στήλης Ι, με τα πλάτη σύνθετης ταλάντωσης της στήλης ΙΙ. Ι ΙΙ 1. r1=15m, r2=10m α. Α '=0 β. Α '=2Α 2. r1=10m, r2=10m 3. r1=14m, r2=10m γ. Α '=Α √ 2 4. r1=15,5m, r2=14m δ. Α '=Α/2 Ε2.16 Δύο σύγχρονες πηγές κυμάτων βρίσκονται στα σημεία Κ και Λ μιας ευθείας x⁄x και εκπέμπουν κύματα με μήκος κύματος λ<λ, όπου λ η απόσταση των δύο πηγών. Οι απομακρύνσεις των πηγών από τη θέση ισορροπίας τους δίνονται από τη σχέση y=Αημωt. Σημείο Σ που βρίσκεται πάνω στο ευθύγραμμο τμήμα ΚΛ απέχει απόσταση x από το άκρο Κ και ταλαντώνεται με πλάτος 2Α. Η απόσταση, x, ικανοποιεί τη σχέση: Ε2.17 Δύο σύγχρονες πηγές κυμάτων βρίσκονται στα σημεία Κ και Λ μιας ευθείας x⁄x και εκπέμπουν κύματα με μήκος κύματος λ=2m. Η απόσταση των δύο πηγών είναι λ=8m. Οι απομακρύνσεις των πηγών από τη θέση ισορροπίας τους δίνονται από τη σχέση y=Αημωt. Το πλήθος των σημείων του ευθυγράμμου τμήματος ΚΛ που ταλαντώνονται με μέγιστο πλάτος είναι: ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ ΝΙΚΗΤΑΣ 084 ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΠΑΙΔΕΙΑ α. 8 σημεία β. 7 σημεία γ. 9 σημεία Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. Ε2.18 Σε ένα ελαστικό μέσο διαδίδονται ταυτόχρονα δύο αρμονικά κύματα από σύγχρονες πηγές. Σύμφωνα με την αρχή της επαλληλίας, τα μόρια του ελαστικού μέσου: α. Έχουν απομάκρυνση που είναι ίση με το αλγεβρικό άθροισμα των απομακρύνσεων που θα είχαν αν τα δύο κύματα διαδίδονταν χωριστά. β. Έχουν πλάτος ταλάντωσης που είναι ίσο με το αλγεβρικό άθροισμα των πλατών που θα είχαν αν τα δύο κύματα διαδίδονταν χωριστά. γ. Έχουν συχνότητα ταλάντωσης που είναι ίδια με τις συχνότητες που έχουν τα δύο κύματα. δ. Έχουν μέγιστη ταχύτητα ταλάντωσης που είναι ίση με το αλγεβρικό άθροισμα των αντιστοίχων μέγιστων ταχυτήτων που θα είχαν, αν τα δύο κύματα διαδίδονταν χωριστά. Ποιες από τις προηγούμενες προτάσεις είναι σωστές; Ε2.19 Δύο πηγές κυμάτων Κ και Λ παράγουν στην ίδια περιοχή του ίδιου ελαστικού μέσου, αρμονικά κύματα με εξισώσεις y1=0,2ημ2π(10t−x1/3) και y2=0,2ημ2π(10t−x2/3) (SI) αντίστοιχα. Σημείο του ελαστικού μέσου απέχει από τις πηγές αποστάσεις x1=5m και x2=6m και κάνει ταλαντώσεις με μέγιστη ταχύτητα: α. v0=4π m/s β. v0=0 γ. v0=8π m/s Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. Ε2.20 Δύο σύγχρονες πηγές κυμάτων παράγουν πάνω στην ελεύθερη επιφάνεια του υγρού κύματα με πλάτος Α και μήκος κύματος, λ. Σημείο, Μ, της επιφάνειας του υγρού ταλαντώνεται λόγω συμβολής των δύο κυμάτων με πλάτος Α√2. Η μικρότερη διαφορά δρόμου x1−x2 των κυμάτων από τις πηγές στο σημείο Μ είναι: β. λ/2 γ. λ/4 δ.λ/2 α. λ/6 Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. Ε2.21 Δύο σημειακές σύγχρονες πηγές βρίσκονται πάνω στα άκρα Κ και Λ ευθυγράμμου τμήματος μήκους λ. Τα κύματα που παράγονται έχουν ίδιο πλάτος Α και ίδιο μήκος κύματος λ με λ<λ. Ι. Το υλικό σημείο που βρίσκεται στο μέσο Μ του τμήματος ΚΛ έχει πλάτος ταλάντωσης λόγω συμβολής των δύο κυμάτων Α⁄ ίσο με: α. Α'=0 β. Α'=2Α γ, Α'=Α ΙΙ. Σημείο Γ που βρίσκεται πάνω στο ευθύγραμμο τμήμα ΚΛ είναι το πλησιέστερο προς το Μ στο οποίο το πλάτος μηδενίζεται. Η απόσταση x=ΜΓ είναι ίση με: α. x=λ/2 β. x=λ/4 γ. x=λ/8 Να αιτιολογήσετε τις απαντήσεις σας. Ε2.22 Δύο σύγχρονες πηγές κυμάτων παράγουν πάνω στην ελεύθερη επιφάνεια του υγρού κύματα με πλάτος Α και μήκος κύματος, λ. Σημείο Γ της επιφάνειας του υγρού απέχει από τις πηγές αποστάσεις r1=4λ/3 και r2=λ αντιστοίχως. Ι. Το πλάτος ταλάντωσης του σημείου Γ είναι: α. Α'=0 β. Α'=Α/2 γ. Α'=2Α δ.Α'=Α ΙΙ. Η διαφορά φάσης με την οποία συμβάλλουν τα κύματα στο σημείο, Γ είναι: ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ ΝΙΚΗΤΑΣ 085 ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΠΑΙΔΕΙΑ α. π/3 β.2π/3 γ. 7π/3 δ. 4π/3 Να αιτιολογήσετε τις απαντήσεις σας. Ε2.23 Δύο σύγχρονες πηγές κυμάτων παράγουν πάνω στην ελεύθερη επιφάνεια του υγρού κύματα με πλάτος Α και μήκος κύματος, λ. Σε σημείο Δ της επιφάνειας του υγρού, τα κύματα φτάνουν με διαφορά φάσης Δφ=4π rad. Το πλάτος ταλάντωσης του σημείου Δ θα είναι: α. Α'=Α β. Α'=2Α γ. Α'=0 Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. Ε2.24 Δύο πηγές κυμάτων Π1, Π2 παράγουν πάνω στην ελεύθερη επιφάνεια υγρού εγκάρσια μηχανικά κύματα. Οι εξισώσεις απομάκρυνσης των πηγών είναι y1=Αημωt και y2=Αημ(ωt+φ). Αν στη μεσοκάθετο του ευθυγράμμου τμήματος Π1Π2 όλα τα σημεία παραμένουν διαρκώς ακίνητα, τότε η τιμή της γωνίας φ είναι: α. φ=π β. φ=π/2 γ. φ=0 Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. Ε2.25 Δύο σύγχρονες πηγές κυμάτων βρίσκονται στα σημεία Κ και Λ μιας ευθείας x⁄x και εκπέμπουν κύματα με μήκος κύματος λ=1m. Οι απομακρύνσεις των πηγών από τη θέση ισορροπίας τους δίνονται από τη σχέση y=Αημωt. Ι. Η απόσταση δύο διαδοχικών σημείων του τμήματος ΚΛ που παραμένουν ακίνητα είναι: α. Δx=0,5m β. Δx=1m γ. Δx=0,25m ΙΙ. Η μικρότερη απόσταση μεταξύ ενός σημείου που ταλαντώνεται με πλάτος 2Α και ενός που παραμένει διαρκώς ακίνητο είναι Δr: α. Δr=0,5m β. Δr=1m γ. Δr=0,25m Να αιτιολογήσετε τις απαντήσεις σας. Ε2.26 Δύο σημειακές πηγές αρμονικών και μηχανικών κυμάτων βρίσκονται στις θέσεις Κ και Λ μιας ευθείας xx⁄, στην επιφάνεια υγρού. Η εξίσωση που περιγράφει τις απομακρύνσεις από τις θέσεις ισορροπίας τους σε συνάρτηση με το χρόνο είναι y=Αημ(2πt/Τ). Σε σημείο Σ της επιφάνειας του υγρού η συμβολή αρχίζει τη χρονική στιγμή t1=3Τ και η εξίσωση απομάκρυνσης των ταλαντώσεων του Σ μετά τη συμβολή είναι y=0,04ημ(2πt/Τ−4π), (SI). Το πλάτος της ταλάντωσης, Α των δύο πηγών είναι: α. Α=0,02m β. Α=0,03m γ. Α=0,04m Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. Ε2.27 Δύο σύγχρονες πηγές κυμάτων βρίσκονται στα σημεία Κ και Λ μιας ευθείας x⁄x και εκπέμπουν κύματα με μήκος κύματος λ=1m. Η απόσταση των δύο πηγών είναι λ=2m. Οι απομακρύνσεις των πηγών από τη θέση ισορροπίας τους δίνονται από τη σχέση y=Αημωt. Ι. Το πλήθος των σημείων του ευθυγράμμου τμήματος ΚΛ που παραμένουν ακίνητα είναι: α. 3 σημεία β. 4 σημεία γ. 6 σημεία ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ ΝΙΚΗΤΑΣ 086 ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΠΑΙΔΕΙΑ ΙΙ. Η ελάχιστη απόσταση ενός ακίνητου σημείου του τμήματος ΚΛ από το σημείο Κ είναι: α. 0,25m β. 0,5m γ. 0,2m Να αιτιολογήσετε τις απαντήσεις σας. Ε2.28 Στο σχήμα φαίνονται δύο σύγχρονες πηγές κυμάτων Π1, Π2 που εκπέμπουν κύματα ίδιου πλάτους με συχνότητα f=100Ηz που τρέχουν με ταχύτητα υ=80m/s στην επιφάνεια ελαστικού μέσου. Ένας ανιχνευτής που μπορεί να κινείται πάνω στην ευθεία yy⁄ ξεκινάει από το σημείο Μ της μεσοκαθέτου ΟΜ του τμήματος Π1Π2, και όταν φτάνει στο σημείο Δ διαπιστώνει ότι εκεί συμβαίνει η τρίτη κατά σειρά αποσβετική συμβολή. Αν η απόσταση Π1Δ=4m τότε η απόσταση d=Π1Π2 είναι: α. d=6m β. d=2 √3m γ. d=2√5m Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. E2.29 Στην επιφάνεια του υγρού δημιουργούμε κύματα που προέρχονται από την πηγή Π και φτάνουν στον ανιχνευτή Α είτε απευθείας είτε μέσω ανάκλασης στον καθρέπτη Κ. Η απόσταση ΠΑ=d=6λ. Τα κύματα έχουν μήκος κύματος λ. Ο καθρέπτης ξεκινάει από το μέσον Μ της απόστασης ΠΑ και όταν φτάνει στη θέση Β, ο ανιχνευτής καταγράφει για πρώτη φορά ελάχιστο. Ο καθρέπτης συνεχίζει και όταν φτάνει στο σημείο Γ στο οποίο ΒΓ=11λ/4 ο ανιχνευτής καταγράφει μέγιστο. Τα μέγιστα που μετράει ο ανιχνευτής κατά τη μετατόπιση του καθρέπτη από το σημείο Β στο σημείο Γ, είναι: β. 3 μέγιστα γ. 4 μέγιστα α. 2 μέγιστα Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. Ε2.30 Δύο σύγχρονες πηγές κυμάτων βρίσκονται στα σημεία Κ και Λ μιας ευθείας x⁄x και εκπέμπουν κύματα με μήκος κύματος λ. Η απόσταση ΚΛ είναι ίση με λ. Οι απομακρύνσεις των πηγών από τη θέση ισορροπίας τους δίνονται από τη σχέση y=Αημωt. Οι γεωμετρικοί τόποι των σημείων που παραμένουν ακίνητα είναι υπερβολές. Οι αποστάσεις δύο διαδοχικών σημείων τομής αυτών των υπερβολών με το τμήμα ΚΛ: α. Αυξάνονται αν αυξηθεί η απόσταση των πηγών λ. β. Αυξάνονται αν αυξηθεί το μήκος κύματος, λ. γ. Είναι ανεξάρτητες από το λ και το λ. Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. Ε2.31 Δύο σύγχρονες πηγές κυμάτων Π1, Π2 που εκπέμπουν κύματα ίδιου πλάτους με συχνότητα f=10Ηz που τρέχουν με ταχύτητα υ=1m/s στην επιφάνεια υγρού. Σημείο Ζ απέχει από την πηγή Π1 απόσταση x1=80cm και βρίσκεται στον τέταρτο κροσσό ενισχυτικής συμβολής μετά τη μεσοκάθετο του ευθύγραμμου τμήματος Π1Π2 και προς την πλευρά της πηγής Π2. Η απόσταση r2 του σημείου Ζ από την πηγή Π2 είναι: α. r2=1,1m β. r2=0,5m γ. r2=0,4m Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ ΝΙΚΗΤΑΣ 087 ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΠΑΙΔΕΙΑ Ε2.32 Δύο σύγχρονες πηγές Π1 και Π2 παράγουν αρμονικά κύματα ίδιου πλάτους Α, ίδιου μήκους κύματος λ που διαδίδονται στο ίδιο ελαστικό μέσο. Αν ένα σημείο Σ απέχει από τις πηγές αποστάσεις r1, r2 κάνει σύνθετη ταλάντωση με πλάτος ίσο με Α, τότε, η διαφορά |r1−r2| είναι δυνατόν να είναι: α. λ β. λ/6 γ. 2λ δ. λ/3 Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. Ε2.33 Στις κορυφές Α και Γ τετραγώνου πλευράς α=1m υπάρχουν μικρές σύγχρονες ηχητικές πηγές που παράγουν απλούς ήχους συχνότητας f και ίδιου πλάτους (έντασης). Οι ήχοι τρέχουν στο ισότροπο μέσο που περιβάλλει το χώρο με ταχύτητα υ=320m/s. Δίνεται √2=1,4. Ι. Δέκτης βρίσκεται στην κορυφή Μ και σημειώνει ήχο μέγιστου πλάτους. Οι τιμές της συχνότητας των πηγών πρέπει είναι: α. Ακέραια πολλαπλάσια των 800Ηz. β. Περιττά πολλαπλάσια των 400Ηz. γ. Οποιαδήποτε τιμή. δ. Τίποτα από τα παραπάνω. ΙΙ. Αν μεταφέρουμε τη μια πηγή από το σημείο Α στο σημείο Β, τότε ο δέκτης στο σημείο Μ θα καταγράφει ήχο: α. Μηδενικού πλάτους (έντασης) για κάθε τιμή της συχνότητας, f. β. Μέγιστου πλάτους (έντασης) για κάθε τιμή της συχνότητας, f. γ. Τίποτα από τα παραπάνω. Να αιτιολογήσετε τις απαντήσεις σας. E2.34 Στην επιφάνεια του υγρού δημιουργούμε κύματα που προέρχονται από την πηγή Π και φτάνουν στον ανιχνευτή Α είτε απευθείας είτε μέσω ανάκλασης στον καθρέπτη Κ. Τα κύματα έχουν μήκος κύματος λ. Ο καθρέπτης ξεκινάει από το μέσον Μ της απόστασης ΠΑ και όταν φτάνει στη θέση Β, ο ανιχνευτής καταγράφει ελάχιστο. Τότε η απόσταση ΠΒ είναι 4m. Ο καθρέπτης συνεχίζει και όταν φτάνει στο σημείο Γ στο οποίο ΠΓ=5m ο ανιχνευτής καταγράφει το αμέσως επόμενο μέγιστο. Το μήκος κύματος είναι: α. λ=4m β. λ=2m γ. λ=8m Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ ΝΙΚΗΤΑΣ 088 ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΠΑΙΔΕΙΑ (Α) Ασκήσεις και προβλήματα Α2.1 Δύο σύγχρονες πηγές κυμάτων Π1 και Π2 που ταλαντώνονται με εξισώσεις απομάκρυνσης y=0,02ημ20πt (SI), παράγουν στην ελεύθερη επιφάνεια υγρού, κύματα με ταχύτητα διάδοσης υ=1m/s. Αν σημείο Σ της επιφάνειας του υγρού απέχει από τις πηγές αποστάσεις x1=40cm και x2=60cm αντιστοίχως να βρεθούν: α. Η χρονική στιγμή που άρχισε να ταλαντώνεται το σημείο Σ. β. Η χρονική στιγμή που άρχισε το σημείο Σ να κάνει σύνθετη ταλάντωση; γ. Το πλάτος της σύνθετης ταλάντωσης του σημείου Σ; δ. Η τάξη του κροσσού στον οποίο βρίσκεται το σημείο Σ. ε. Η πρώτη χρονική στιγμή που το σημείο Σ περνάει από τη θέση y=−0,04m. α. 0,4s, β. 0,6s, γ. 0,04m, δ. τρίτος ε. 0,675s Α2.2 Δύο σύγχρονες σημειακές πηγές Κ και Λ ταλαντώνονται με εξίσωση απομάκρυνσης y=0,2ημ4πt, (SI) και παράγουν κύματα τα οποία διαδίδονται στην επιφάνεια υγρού με ταχύτητα υ=4m/s. Σημείο Η, που βρίσκεται πάνω στη μεσοκάθετο του ευθύγραμμου τμήματος ΚΛ και απέχει από το Κ απόσταση, r1=8m. Να σχεδιάσετε σε βαθμολογημένους άξονες τη γραφική παράσταση της απομάκρυνσης y από τη θέση ισορροπίας του σημείου Η στο χρονικό διάστημα από t0=0 που άρχισαν να ταλαντώνονται οι πηγές έως τη χρονική στιγμή t1=3s. Α2.3 Δύο σύγχρονες πηγές κυμάτων Π1 και Π2 παράγουν κύματα στην ελεύθερη επιφάνεια υγρού αρχίζοντας τις ταλαντώσεις τους τη χρονική στιγμή t0=0 με εξισώσεις απομάκρυνσης y1=y2=0,02ημ20πt, (SI). Παρατηρούμε ότι μικρό κομμάτι φελλού που βρίσκεται σε σημείο P της επιφάνειας του υγρού και απέχει 0,1m από την κάθε πηγή αρχίζει να ταλαντώνεται τη χρονική στιγμή t1=0,25s. α. Να υπολογιστεί η ταχύτητα διάδοσης των κυμάτων. β. Να γραφεί η εξίσωση απομάκρυνσης y=f(t) της σύνθετης ταλάντωσης του σημείου P. γ. Να υπολογιστεί η πρώτη χρονική στιγμή κατά την οποία το σημείο P φτάνει σε απομάκρυνση y=0,04m; δ. Να υπολογιστεί το μέτρο της ταχύτητας ταλάντωσης του φελλού στο σημείο Ρ εκείνη τη στιγμή που η δυναμική του ενέργεια γίνεται ίση με την αντίστοιχη κινητική. α. 0,4m/s, β. y=0,04ημ2π(10t−2,5) στο S.I γ. 0,275s δ. v=0,4π√ 2m/s Α2.4 Δύο σύγχρονες πηγές κυμάτων Κ και Λ που βρίσκονται στην επιφάνεια υγρού αρχίζουν, τη χρονική στιγμή t0=0, να παράγουν κύματα με περίοδο Τ=1s και πλάτος Α=0,01m. Τα κύματα διαδίδονται στην επιφάνεια του υγρού με ταχύτητα υ=1m/s. Σημείο Ν της επιφάνειας του υγρού απέχει από τις πηγές των κυμάτων αποστάσεις r1=3m και r2=4m αντιστοίχως. α. Να γραφούν οι εξισώσεις κίνησης του σημείου Ν. β. Ποια χρονική στιγμή περνάει το σημείο Ν για πρώτη φορά από τη θέση y=+0,01m; γ. Ποια χρονική στιγμή η ταχύτητά του Ν μηδενίζεται για πρώτη φορά κάνοντας σύνθετη ταλάντωση; δ. Να σχεδιαστεί η γραφική παράσταση της απομάκρυνσης y του σημείου Ν σε σχέση με το χρόνο από t0=0 έως t1=5s. ε. Σε ποιας τάξης και τι είδους υπερβολή βρίσκεται το σημείο Ν; ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ ΝΙΚΗΤΑΣ 089 ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΠΑΙΔΕΙΑ Α2.5 Δύο ακίδες Κ και Λ που βρίσκονται στην επιφάνεια υγρού αρχίζουν, τη χρονική στιγμή t0=0, να παράγουν σύγχρονα κύματα με συχνότητα 60 χτύπους ανά λεπτό και πλάτος Α=0,01m τα οποία διαδίδονται στην επιφάνεια του υγρού με ταχύτητα υ=5m/s. Σ’ ένα σημείο της επιφάνειας του υγρού βρίσκεται σημείο Σ που απέχει από τις πηγές των κυμάτων αποστάσεις r1=15m από την Κ και r2=20m από τη Λ αντιστοίχως. α. Να υπολογιστεί η απομάκρυνση του σημείου Σ από τη θέση ισορροπίας του τις χρονικές στιγμές: i) t1=1s, ii) t2=3,25s, iii) t3=5s. β. Να βρεθεί η χρονική στιγμή που το Σ βρίσκεται για πρώτη φορά σε απομάκρυνση y=−0,01m. γ. Να σχεδιαστεί η γραφική παράσταση της απομάκρυνσης y του σημείου Σ σε σχέση με το χρόνο από t0=0 έως t=5s. α. y1=0, y2=0,01m, y3=0, β. 3,75s Α2.6 Πάνω στην ελεύθερη επιφάνεια του υγρού υπάρχουν δύο ακίδες Κ και Λ που αποτελούν σύγχρονες πηγές κυμάτων και κάνουν απλές αρμονικές ταλαντώσεις με εξίσωση y=0,2ημ8πt, (SI). Οι πηγές αρχίζουν να ταλαντώνονται τη χρονική στιγμή t0=0 και τα κύματα που διαδίδονται έχουν μήκος κύματος λ=0,1m. Σημείο Δ απέχει απόσταση r1=1m από την ακίδα Κ και βρίσκεται στο δεύτερο κροσσό ενισχυτικής συμβολής μετά τη μεσοκάθετο προς τη μεριά της ακίδας, Λ. α. Να βρεθεί πόσο απέχει το σημείο Δ από το Λ; β. Να γραφεί η εξίσωση κίνησης του σημείου Δ για το χρονικό διάστημα, t;2,5s. γ. Να βρεθεί η απομάκρυνση του σημείου Δ από τη θέση ισορροπίας 1s μετά την έναρξη των ταλαντώσεων αυτού. α. 0,8m, β. y=0,4ημ2π(4t−9) στο S.I., γ. y=0 Α2.7 Δύο σύγχρονες πηγές που βρίσκονται στην επιφάνεια υγρού προκαλούν αρμονικά κύματα περιόδου πλάτους Α, συχνότητας f που διαδίδονται με ταχύτητα υ=100m/s. Σημείο Σ που βρίσκεται πάνω στην επιφάνεια του υγρού ταλαντώνεται σύνθετα με εξίσωση απομάκρυνσης της μορφής: y=0,2συν4π·ημ2π(100t−3) στο S.I. Να υπολογιστούν: α. Το πλάτος ταλάντωσης της κάθε πηγής. β. Οι αποστάσεις r1, r2 που απέχει το Σ από τις πηγές των κυμάτων. γ. Η μέγιστη τιμή της ταχύτητας ταλάντωσης του σημείου Σ. α. 0,1m, β. 5m, 1m, γ. 40π m/s Α2.8 Δύο σύγχρονες πηγές κυμάτων, Β και Γ που βρίσκονται πάνω στην ελεύθερη επιφάνεια υγρού παράγουν αρμονικά κύματα με συχνότητα f=100Ηz που διαδίδονται με ταχύτητα 200m/s. Οι πηγές απέχουν μεταξύ τους απόσταση d=4m. Να βρείτε τις αποστάσεις από την πηγή Β, όλων των σημείων που βρίσκονται πάνω στην ευθεία που ορίζουν τα Β και Γ, είναι μεταξύ των B και Γ και: α. Ταλαντώνονται με μέγιστο πλάτος. β. Παραμένουν ακίνητα. α. 1m, 2m, 3m, β. 0,5,1,5m, 2,5m, 3,5m Α2.9 Δύο σύγχρονες πηγές κυμάτων Κ και Λ που βρίσκονται στην επιφάνεια υγρού παράγουν κύματα με εξισώσεις ταλάντωσης y=0,02ημ2πt, (S.I.) και αρχίζουν να ταλαντώνονται τη χρονική στιγμή t0=0. Μέχρι η κάθε πηγή να φτάσει για πρώτη φορά σε απομάκρυνση y=−0,02m από τη θέση ισορροπίας της, τα κύματα έχουν διαδοθεί σε απόσταση 0,3m από την κάθε πηγή. α. Να υπολογιστεί το μήκος κύματος των δύο κυμάτων. ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ ΝΙΚΗΤΑΣ 090 ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΠΑΙΔΕΙΑ β. Σημείο Σ απέχει από το σημείο Κ απόσταση ΣΚ=r1=2,4m είναι πλησιέστερα προς το σημείο Λ και βρίσκεται στη δεύτερη ενισχυτική υπερβολή μετά τη μεσοκάθετο. β1. Να βρεθεί η απόσταση του σημείου Σ από την πηγή, Λ. β2 Να γραφούν οι εξισώσεις απομάκρυνσης των ταλαντώσεων του σημείου Σ. β3. Να υπολογιστεί το μέτρο της ταχύτητας ταλάντωσης του σημείου Σ τη στιγμή που για πρώτη φορά, το σημείο Σ έχει απομάκρυνση ίση με y=0,01m. α. λ=0,4m, β1. r2=1,6m, β2. y1=0 για t<4s, y2=0,02ημ2π(t−4) για 4s<t<6s, y3=0,04ημ2π(t−5) για t≥6s, γ. υ=2π√ 3·10−2m/s Α2.10 Δύο σύγχρονες πηγές κυμάτων βρίσκονται στα άκρα ευθυγράμμου τμήματος ΑΒ και παράγουν κύματα ίδιου πλάτους με συχνότητα f=20Ηz που διαδίδονται στο ίδιο ελαστικό μέσο με ταχύτητα 40m/s. Δύο σημεία Κ και Λ βρίσκονται δεξιά της μεσοκαθέτου του ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ και η διαφορά των αποστάσεών του από τα Α και Β είναι για το Κ, ΚΑ − ΚΒ=40m και ΛΑ − ΛΒ=50m αντιστοίχως. α. Βρείτε αν τα σημεία βρίσκονται σε υπερβολή μέγιστου ή ελάχιστου πλάτους. β. Πόσες υπερβολές ενισχυτικής συμβολής υπάρχουν μεταξύ των σημείων Κ και Λ; γ. Αν οι υπερβολές πάνω στις οποίες βρίσκονται τα Κ και Λ τέμνουν το ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ στα σημεία Π και Ρ να βρεθεί η απόσταση ΠΡ. α. Μέγιστου, β. 4, γ. 5m Α2.11 Δύο σύγχρονες πηγές κυμάτων Π και Ρ ταλαντώνονται κάθετα στην επιφάνεια υγρού με συχνότητα f=5Ηz και παράγουν κύματα που διαδίδονται με ταχύτητα υ=10m/s. Δύο σημεία Α και Β αριστερά και δεξιά από τη μεσοκάθετο του ευθύγραμμου τμήματος ΠΡ απέχουν από τις πηγές αποστάσεις ΑΠ=17m, ΑΡ=20m, ΒΠ=21m, ΒΡ=15m. α. Βρείτε αν στα σημεία Α και Β έχουμε ενισχυτική ή αποσβετική συμβολή. β. Οι υπερβολές πάνω στις οποίες βρίσκονται τα Α και Β τέμνουν το τμήμα ΠΡ στα σημεία και Κ Λ. Να βρεθεί η απόσταση ΚΛ. γ. Πόσες υπερβολές ενισχυτικής και πόσες αποσβετικής συμβολής τέμνουν το τμήμα ΠΡ ανάμεσα από τα Κ και Λ; α. Α απόσβεση, Β ενίσχυση, β. ΚΛ=4,5m, γ. 4 ενισχυτική, 4 αποσβετική Α2.12 Δύο ηχητικές Π1 και Π2 πηγές παράγουν σύγχρονους απλούς ήχους με συχνότητα f που διαδίδονται στον αέρα με ταχύτητα υ=340m/s. Οι πηγές απέχουν μεταξύ τους απόσταση Π1Π2=7m και ένα δέκτης ήχων βρίσκεται αρχικά πάνω στη μεσοκάθετο της ΟΜ και σε απόσταση 6m από το μέσον Ο της Π1Π2. Αν ο δέκτης μετακινηθεί παράλληλα προς την Π1Π2 κατά ΜΔ=1m από την μεσοκάθετο, τότε συλλαμβάνει το πρώτο ελάχιστο πλάτος, (ελάχιστο της έντασης του ήχου). Να υπολογιστεί η συχνότητα f, των ήχων. f=170Ηz Α2.13 Στα σημεία Κ και Λ βρίσκονται δυο σημειακές πηγές αρμονικών κυμάτων που ταλαντώνονται με εξισώσεις y1=y2=Αημωt και παράγουν κύματα που διαδίδονται στο ίδιο μέσο με ταχύτητα υ=320m/s και οι συχνότητές τους μπορούν να κυμαίνονται από 300Ηz έως 500Ηz. Οι πηγές απέχουν απόσταση d=6m. Σημείο Ζ του μέσου απέχει από την πηγή Κ απόσταση ΚΖ=8m. ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ ΝΙΚΗΤΑΣ 091 ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΠΑΙΔΕΙΑ α. Για ποιες τιμές της συχνότητας f έχουμε στο σημείο Ζ: i.ενισχυτική συμβολή. ii. αποσβετική συμβολή. β. Αν η συχνότητα των πηγών είναι f=400Ηz με πόση διαφορά φάσης φτάνουν τα δύο κύματα στο σημείο Ζ την ίδια χρονική στιγμή; α. i. 320Ηz, 480Ηz ii. 400Ηz, β.Δφ=5π rad Α2.14 Δύο σύγχρονες γεννήτριες απλών ήχων Π1, Π2 απέχουν μεταξύ τους απόσταση (Π1Π2)=d=(3+√20)m.Σημείο Δ απέχει από τοτμήμα Π1Π2 απόσταση (ΔΚ)=4m, ενώ δίνεται ακόμα και η απόσταση (Π1Κ)=3m. Οι ήχου που παράγουν οι πηγές διαδίδονται με ταχύτητα υ=340m/s. Για ποιες τιμές της συχνότητας f των πηγών, αν f<1000Ηz, ακροατής που βρίσκεται στο σημείο Δ θα αντιλαμβάνεται: α. Ενισχυτική συμβολή. β. Ακυρωτική συμβολή. α. 340Ηz, 680Ηz, β. 170Ηz, 510Ηz, 850Ηz Α2.15 Δύο σύγχρονες σημειακές πηγές ήχου ταλαντώνονται με εξισώσεις απομάκρυνσης y=Αημωt. Οι πηγές βρίσκονται στα άκρα Κ και Λ ευθύγραμμου τμήματος ΚΛ=30cm. Στο σημείο Γ που βρίσκεται πάνω στο ευθύγραμμο τμήμα ΚΛ και απέχει από το μέσο Μ απόσταση ΜΓ=4,25cm, η ένταση του ήχου μηδενίζεται για πρώτη φορά. α. Πόση είναι η συχνότητα f του ήχου. β. Πόσα σημεία του KΛ ταλαντώνονται με μέγιστο πλάτος και πόσα μένουν ακίνητα; Δίνεται η ταχύτητα του ήχου στον αέρα υ=340m/s. α. f=2000Ηz, β. 3 σημεία, 4 σημεία Α2.16 Δύο σύγχρονες πηγές κυμάτων ταλαντώνονται σύμφωνα με την εξίσωση απομάκρυνσης y=Αημ200πt και τα κύματα που παράγονται διαδίδονται με ταχύτητα υ=50m/s. Οι πηγές απέχουν μεταξύ τους απόσταση ΠΡ με ΠΡ=d=5m. Πόσα σημεία του τμήματος ΠΡ ταλαντώνονται με μέγιστο πλάτος και πόσα μένουν συνεχώς ακίνητα; 21 και 20 Α2.17 Δύο σύγχρονες πηγές κυμάτων Κ και Λ ταλαντώνονται σύμφωνα με την εξίσωση απομάκρυνσης y=Αημ200πt, (SI) και απέχουν μεταξύ τους απόσταση ΚΛ=20cm. Ανάμεσα στα Κ και Λ και πάνω στο ευθύγραμμο τμήμα ΚΛ παρουσιάζονται 4 σημεία που παραμένουν συνεχώς ακίνητα. Το 1ο ακίνητο σημείο μετά το μέσο και προς τη μεριά του Λ απέχει από το Κ, 12,5cm. α. Να υπολογιστεί η ταχύτητα διάδοσης των κυμάτων. β. Σημείο Ζ βρίσκεται πάνω στην πρώτη υπερβολή των ακίνητων σημείων μετά τη μεσοκάθετο και πλησιέστερα προς το Λ, απέχει δε από το Λ απόσταση, ΖΛ=20cm. Να βρεθεί η απόσταση του Ζ από την πηγή Κ. α. υ=10m/s, β. (ΖΚ)=25cm Α2.18 Δύο σύγχρονες πηγές κυμάτων βρίσκονται στα σημεία Α και Β της ελεύθερης επιφάνειας υγρού και προκαλούν όμοια εγκάρσια κύματα που διαδίδονται στην επιφάνεια του υγρού με ταχύτητα υ=0,5m/s. Σημείο Κ βρίσκεται πάνω στο τμήμα ΑΒ απέχει από το Α απόσταση r1, από το Β απόσταση r2 με r1>r2. Το σημείο Κ είναι το πλησιέστερο προς το μέσο Μ της ΑΒ και ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ ΝΙΚΗΤΑΣ 092 ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΠΑΙΔΕΙΑ ταλαντώνεται με μέγιστο πλάτος. Η απομάκρυνση του Κ από τη θέση ισορροπίας του δίνεται από την εξίσωση: y=0,2ημ 5π(t−2) (SI). 3 Να υπολογιστούν: α. Η περίοδος, το μήκος κύματος και το πλάτος των κυμάτων που συμβάλλουν. β. Η απόσταση ΑΒ των δύο πηγών. γ. Οι αποστάσεις r1, r2 του σημείου Κ από τα Α και Β. δ. Ο αριθμός των σημείων του ΑΒ που λόγω συμβολής έχουν πλάτος ίσο με το πλάτος της ταλάντωσης του σημείου Κ. Πανελλαδικές επαναληπτικές 2004 α. Τ=1,2s, Α=0,1m, λ=0,6m, β. ΑΒ=2m, r1=1,3m, r2=0,7m, δ. 7 σημεία A2.19 Στο σημείο Π βρίσκεται πηγή που ταλαντώνεται σύμφωνα με την εξίσωση y=0,03ημ16πt (SI) και παράγει κύματα που διαδίδονται στην επιφάνεια του υγρού με ταχύτητα υ=1,92m/s. Τα κύματα ανακλώνται χωρίς απώλειες ενέργειας στον καθρέπτη Γ και καταλήγουν στον ανιχνευτή Α, ο οποίος όμςω δέχεται κύματα και απευθείας από την πηγή Π. Δίνονται οι αποστάσεις ΠΑ=d=18cm και ΓΜ=40cm όπου Μ το μέσο της ΠΑ. Να υπολογιστούν: α. Η χρονική στιγμή που άρχισε το σημείο Α να κάνει σύνθετη ταλάντωση. β. Το πλάτος της σύνθετης ταλάντωσης του Α. γ. Η ελάχιστη μετατόπιση του καθρέπτη κατά μήκος της ΓΜ και προς σημεία μακρύτερα του τμήματος ΠΑ ώστε το σημείο Α να ταλαντώνεται με μέγιστο πλάτος. α. t=0,427s, β. Α⁄=3cm, γ. 4,1cm Α2.20 Δύο μεγάφωνα Π1, Π2 που τροφοδοτούνται από την ίδια γεννήτρια συχνοτήτων αποτελούν σύγχρονες πηγές κυμάτων με εξίσωση y=Αημ2π(t/Τ−x/λ). Τα μεγάφωνα τοποθετούνται στις θέσεις (0,0) και (4m,0) αντίστοιχα ενός ορθογωνίου συστήματος αξόνων xΟy. Ανιχνευτής ήχου τοποθετείται στη θέση Σ(0,3m). Καθώς η συχνότητα της γεννήτριας μεταβάλλεται από την τιμή f1=200Ηz στην τιμή f2=1000Ηz, ο ανιχνευτής καταγράφει μια σειρά μεγίστων και ελαχίστων του ήχου. Δίνεται ταχύτητα ήχου υ=300m/s. Να υπολογιστούν: α. Η διαφορά φάσης των ηχητικών κυμάτων που φτάνουν στο Σ και έχουν συχνότητα f=300Ηz. β. Η συχνότητα της γεννήτριας όταν ο ανιχνευτής, Σ καταγράφει το πρώτο μέγιστο ήχου. γ. Ο αριθμός των ελαχίστων του ήχου που μπορεί να καταγράψει ο ανιχνευτής. δ. Η συχνότητα της γεννήτριας όταν ο ανιχνευτής καταγράφει το τελευταίο ελάχιστο ήχου. α. 4πrad, β.300Ηz, γ. 6, δ. 975Ηz Α2.21 Δύο σύγχρονες πηγές κυμάτων βρίσκονται στα σημεία Α και Β της ελεύθερης επιφάνειας υγρού και προκαλούν όμοια εγκάρσια κύματα που διαδίδονται στην επιφάνεια του υγρού με ταχύτητα υ=0,4m/s και συμβάλλουν. Η εξίσωση ταλάντωσης των πηγών είναι y=0,2ημ4πt, (SI). Σε ένα σημείο, Σ το κύμα από την πηγή Α φτάνει μετά από χρόνο Δt=1s από τη στιγμή που έφτασε το κύμα από την πηγή Β. Οι αποστάσεις του Σ από τα Α και Β είναι r1, r2 αντιστοίχως και ισχύει ότι r1+r2=4λ, όπου λ το μήκος κύματος των κυμάτων που συμβάλλουν. α. Να γράψετε την εξίσωση απομάκρυνσης των σύνθετων ταλαντώσεων του σημείου Σ. β. Να βρείτε την απομάκρυνση του Σ μετά από 1/16s από τη στιγμή που άρχισε η συμβολή των κυμάτων στο σημείο αυτό. γ. Πόσοι λόφοι του κύματος που προέρχεται από την πηγή Α χωράνε μέσα στην απόσταση ΑΣ; ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ ΝΙΚΗΤΑΣ 093 ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΠΑΙΔΕΙΑ δ. Να υπολογιστεί η απόσταση d των δύο πηγών αν είναι γνωστό ότι στο τμήμα ΑΒ παρατηρείται ακυρωτική συμβολή σε 6 σημεία και το πλησιέστερο προς την πηγή Α απέχει από αυτή x1=0,05m. α. y=0,4ημ4π(t−1), β. y=0,2√ 2,γ.3 λόφοι, δ. d=0,6m Α2.22 Δύο σύγχρονες πηγές Κ και Λ που βρίσκονται στην επιφάνεια του νερού και απέχουν μεταξύ τους απόσταση ΚΛ=14cm αρχίζουν να ταλαντώνονται τη χρονική στιγμή t0=0 και να προκαλούν αρμονικά κύματα περιόδου Τ=0,2s, πλάτους Α=2cm. Μικρό κομμάτι φελλού βρίσκεται σε σημείο Σ της επιφάνειας που απέχει από τις δύο πηγές των κυμάτων αποστάσεις 28cm και 44cm αντιστοίχως. Η ταχύτητα διάδοσης των κυμάτων στην επιφάνεια του νερού είναι 40cm/s. Να υπολογιστούν: α. Η εξίσωση απομάκρυνσης των σύνθετων ταλαντώσεων του φελλού. β. Η απομάκρυνση του φελλού από τη θέση ισορροπίας τη χρονική στιγμή, t=1,05s . γ. Ο αριθμός και η θέση όλων των σημείων του ευθύγραμμου τμήματος ΚΛ που παραμένουν συνεχώς ακίνητα. δ. Ο αριθμός και η θέση όλων των σημείων του ευθύγραμμου τμήματος ΚΛ που ταλαντώνονται με μέγιστο πλάτος. α. y=4ημ2π(5t−4,5), ( το t σε s, το y σε cm), β. y=−2cm, γ. 4 σημεία σε αποστάσεις 1cm, 5cm, 9 cm, 13 cm από το Κ. δ. 3 σημεία σε αποστάσεις 3cm, 7cm, 11cm από το Κ. Α2.23 Δύο αρμονικά κύματα ίδιου πλάτους Α και ίδιας συχνότητας, διαδίδονται στο ίδιο γραμμικό ελαστικό μέσο με την ίδια φορά, με αρχή το σημείο Ο, (xΟ=0), του άξονα x⁄Οx. Αν φτάσουν σε κάποιο σημείο, x, του ελαστικού μέσου την ίδια χρονική στιγμή, με διαφορά φάσης, Δφ=π/2, πόσο είναι το πλάτος ταλάντωσης του σημείου αυτού; Α'=Α √ 2 Α2.24 Κατά μήκος μιας χορδής διαδίδονται αρμονικά κύματα της ίδιας κατεύθυνσης με την ίδια περίοδο Τ, μήκος κύματος λ, και το ίδιο πλάτος Α. Το πρώτο κύμα διέρχεται από ένα σημείο της χορδής Ο τη χρονική στιγμή t0=0 ενώ το άλλο μετά χρόνο Τ/4. α. Να γραφεί η εξίσωση απομάκρυνσης της σύνθετης κίνησης που εκτελεί οποιοδήποτε σημείο που απέχει απόσταση x από το Ο. β. Πόση είναι η απομάκρυνση σημείου Σ που απέχει από το Ο απόσταση ίση με ένα μήκος κύματος λ, τις χρονικές στιγμές t1=Τ και t2=2Τ μετά τη χρονική στιγμή που άρχισε να ταλαντώνεται το σημείο Ο. α. y=Α √ 2ημ(2πt/Τ−2πx/λ−π/4), β. y1=0, y2=−Α Α2.25 Γραμμικό αρμονικό κύμα έχει εξίσωση της μορφής y1 =0,8 ημ2π(80t−0,1x) στο S.I. α. Πόση είναι η ταχύτητα διάδοσης του κύματος; β. Το κύμα αυτό κινείται στην ίδια κατεύθυνση και στο ίδιο μέσο με άλλο κύμα ίδιου πλάτους, ίδιας συχνότητας που διαδίδεται στο ίδιο ελαστικό μέσο με την ίδια ταχύτητα. Το 1ο κύμα διέρχεται από σημείο Ο τη χρονική στιγμή t0=0, ενώ το δεύτερο διέρχεται από το ίδιο σημείο με καθυστέρηση φάσης π/2. Να κατασκευαστεί η εξίσωση του κύματος που προκύπτει από τη συμβολή των δύο κυμάτων. γ. Πόση είναι η απομάκρυνση σημείου Σ που απέχει από το Ο δύο μήκη κύματος τη χρονική στιγμή t1=1/32s. α. 800m/s, β. y=0,8 √ 2ημ2π(80t−0,1x−0,125), γ. 0,8m ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ ΝΙΚΗΤΑΣ 094 ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΠΑΙΔΕΙΑ Α2.26 Πάνω στην ήρεμη επιφάνεια υγρού υπάρχουν τρία σημεία, Α,Β, Γ που ορίζουν ένα ορθογώνιο τρίγωνο με γωνία Α=900και πλευρές ΑΒ=3m, ΑΓ=4m. Τα σημεία Α και Β αποτελούν πηγές αρμονικών κυμάτων. Οι εξισώσεις ταλάντωσης των σημείων αυτών είναι για μεν το Α, y1=0,2ημ(2πt+π/2) και για δε το Β y2=0,2ημ2πt και οι δύο στο S.I. Τα κύματα που παράγονται διαδίδονται στην επιφάνεια του υγρού με μήκος κύματος λ=1m και κάποια στιγμή φτάνουν και στο σημείο Γ και το θέτουν σε σύνθετες αρμονικές ταλαντώσεις. Να υπολογιστούν: α. Η ταχύτητα διάδοσης των κυμάτων. β. Το πλάτος των σύνθετων ταλαντώσεων του σημείου Γ. γ. Ο αριθμός των σημείων που ταλαντώνονται με μέγιστο πλάτος και βρίσκονται πάνω στην πλευρά ΑΒ και μεταξύ των Α και Β. δ. Ο αριθμός των σημείων που παραμένουν ακίνητα και βρίσκονται πάνω στην πλευρά ΑΒ και μεταξύ των Α και Β. α. 1m/s, β. 0,2 √ 2m, γ. 5 σημεία, δ. 6 σημεία Α2.27 Σε σημείο Σ της επιφάνειας υγρού φτάνουν ταυτόχρονα δύο κύματα με εξισώσεις, y1=Αημ(2πt−2πx1) και y2=Αημ(2πt−2πx2+π/2). Να υπολογιστούν οι τιμές της διαφοράς των αποστάσεων Δx = x2−x1 του σημείου Σ από τις πηγές ώστε αυτό να: α. Παραμένει ακίνητο. β. Να ταλαντώνεται με πλάτος 2Α. α. Δx=κ+3/4 με κ=0, ±1, ±2,.. β. Δx=κ+1/4 με κ=0, ±1, ±2,.. Α2.28 Δύο σύγχρονες πηγές κυμάτων Π1, Π2 ταλαντώνονται κάθετα στην επιφάνεια υγρού τη χρονική στιγμή t0=0 και παράγουν κύματα που διαδίδονται με ταχύτητα υ=2m/s. Το κύμα που προέρχεται από την πηγή Π1 προκαλεί σε σημείο Σ της επιφάνειας του υγρού ταλάντωση με εξίσωση y1=0,02ημ(4πt−3π) (SI). Μετά τη συμβολή των δύο κυμάτων το Σ ταλαντώνεται σύμφωνα με την εξίσωση y=Α'ημ(4πt−13π/4) (SI) α. Να βρείτε την εξίσωση ταλάντωσης y2=f(t) του σημείου Σ εξαιτίας του κύματος που προέρχεται από την πηγή Π2. β. Να βρείτε το πλάτος Α'. γ. Μεταβάλλοντας την κοινή συχνότητα των δύο πηγών πετυχαίνουμε ενισχυτική συμβολή των δύο κυμάτων στο Σ. Ποια είναι η ελάχιστη τιμή της συχνότητας f ώστε να συμβεί αυτό; δ. Ποια θα έπρεπε να ήταν η ελάχιστη τιμή της αρχικής φάσης, φ0, (φ0>0), στην εξίσωση ταλάντωσης της πηγής Π¸ ώστε στο σημείο Σ να παρατηρείται ενισχυτική συμβολή; α. y2=0,02ημ(4πt−7π/2) (SI),β . Α'=0,02 √ 2m, γ. 8Ηz, δ. φ0=3π/2 rad Α2.29 Δύο σύγχρονες πηγές κυμάτων Π1,Π2 βρίσκονται στα σημεία Κ και Λ της επιφάνειας του υγρού και απέχουν απόσταση d=6m. Οι πηγές κάνουν ΑΑΤ με εξίσωση y=0,2ημωt (SI) και δημιουργούν κύματα με μήκος κύματος λ=1m τα οποία διαδίδονται στην επιφάνεια του υγρού. Σημείο Ζ της επιφάνειας που απέχει r1 από το Κ και r2 από το Λ με r2>r1 ξεκινά να ταλαντώνεται τη χρονική στιγμή t1=1,75s και αφού κάνει 2,5 ταλαντώσεις σταματάει. Τη στιγμή που το Ζ ακινητοποιείται το κύμα από τη πηγή Π2 φτάνει στην πηγή Π1. α. Να βρεθούν οι αποστάσεις r1, r2. β. Να βρείτε τον αριθμό των σημείων του τμήματος ΚΖ τα οποία τη χρονική στιγμή t1 βρίσκονται σε ακραία θέση ταλάντωσης αν υποτεθεί ότι τα σημεία αυτά ταλαντώνονται μόνο εξ αιτίας του κύματος που προέρχεται από την πηγή Π1. ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ ΝΙΚΗΤΑΣ 095 ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΠΑΙΔΕΙΑ γ. Να γράψετε την εξίσωση ταλάντωσης του Ζ από τη στιγμή που άρχισε να ταλαντώνεται μέχρι τη στιγμή που ακινητοποιήθηκε. δ. Να βρείτε τον αριθμό των σημείων ακυρωτικής συμβολής μεταξύ των Κ και Ζ και πάνω στο τμήμα ΚΖ. α. r1=3,5m, r2=6m, β.7 λόφοι, γ. y=0,3ημ2π2t−3,5), 1,75s< t<3s, δ. τρία ακίνητα σημεία Α2.30 Δύο πηγές κυμάτων Π1, Π2 ταλαντώνονται κάθετα στην ελεύθερη επιφάνεια υγρού και δημιουργούν αρμονικά κύματα με εξισώσεις αντίστοιχα: y1=0,2ημ(2πt−πx1+π/3) και y2=0,2ημ(2πt−πx2) στο SI. α. Να βρείτε την ταχύτητα διάδοσης των κυμάτων στην επιφάνεια του υγρού. β. Να βρείτε τη μέγιστη ταχύτητα ταλάντωσης των σημείων της μεσοκάθετης του ευθυγράμμου τμήματος που ορίζουν οι δύο πηγές. γ. Σημείο Κ απέχει αποστάσεις r1, r2 από τις πηγές Π1, Π2. Ποια πρέπει να είναι η ελάχιστη διαφορά των αποστάσεων r1−r2, ώστε το σημείο Κ να παραμένει διαρκώς ακίνητο. δ. Ποια θα έπρεπε να ήταν η ελάχιστη αρχική φάση φ0, (φ0>0) ταλάντωσης της πηγής Π1 αντί της π/3, ώστε στο σημείο Κ (για το οποίο ισχύει r1−r2=2/3m) να παρατηρείται ενισχυτική συμβολή. α. 2m/s, β. 0,4π √ 3m/s, γ. 2/3m, δ. 4π/3 rad Α2.31 Δύο σύγχρονες πηγές Π1, Π2 δημιουργούν στην επιφάνεια υγρού εγκάρσια αρμονικά κύματα. Η εξίσωση της ταλάντωσης κάθε πηγής είναι y = 0,01⋅ημ(10πt) (SI) και η ταχύτητα διάδοσης των εγκαρσίων κυμάτων στην επιφάνεια του υγρού είναι ίση με 1,5 m/s. Ένα σημείο Λ της επιφάνειας του υγρού απέχει από την πηγή Π1 απόσταση 0,6 m και από την πηγή Π2 απόσταση 1 m, όπως δείχνει το σχήμα. Λ 0,6m Π1 1m Π2 Οι πηγές Π1, Π2 αρχίζουν να ταλαντώνονται τη χρονική στιγμή t = 0. α. Να υπολογισθεί το μήκος κύματος των κυμάτων που δημιουργούν οι πηγές. β. Πόση είναι η συχνότητα της ταλάντωσης του σημείου Λ μετά την έναρξη της συμβολής; γ. Να υπολογισθεί το πλάτος της ταλάντωσης του σημείου Λ μετά την έναρξη της συμβολής. δ. Να προσδιορισθεί η απομάκρυνση του σημείου Λ από τη θέση ισορροπίας του, τη χρονική στιγμή t = 4/3 s. Δίνεται συν(4π/3)= -1/2 Α2.32 Στην επιφάνεια ενός υγρού που ηρεμεί, βρίσκονται δύο σύγχρονες σημειακές πηγές Π1 και Π2, που δημιουργούν στην επιφάνεια του υγρού εγκάρσια αρμονικά κύματα ίσου πλάτους. Οι πηγές αρχίζουν να ταλαντώνονται τη χρονική στιγμή t0=0 ξεκινώντας από τη θέση ισορροπίας τους και κινούμενες προς την ίδια κατεύθυνση, την οποία θεωρούμε θετική. Η χρονική εξίσωση της ταλάντωσης ενός σημείου Μ, που βρίσκεται στη μεσοκάθετο του ευθύγραμμου τμήματος Π1Π2, μετά τη συμβολή των κυμάτων δίνεται στο SI από τη σχέση: yM=0,2ημ2π(5t-10). Η ταχύτητα διάδοσης των κυμάτων στην επιφάνεια του υγρού είναι υ=2 m/s. Έστω Ο το μέσο του ευθύγραμμου τμήματος Π1Π2 και d=1m η απόσταση μεταξύ των πηγών. Να βρείτε: 096 ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ ΝΙΚΗΤΑΣ Γ1. Την απόσταση ΜΠ1. ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΠΑΙΔΕΙΑ Γ2. Τη διαφορά φάσης των ταλαντώσεων των σημείων Ο και Μ. Γ3. Πόσα σημεία του ευθύγραμμου τμήματος Π1Π2 ταλαντώνονται με μέγιστο πλάτος. Γ4. Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της απομάκρυνσης του σημείου Μ σε συνάρτηση με τον χρόνο t για 0≤ t≤2,5s Να χρησιμοποιήσετε το μιλιμετρέ χαρτί στο τέλος του τετραδίου. Εξετάσεις ΓΕΛ 2011 ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ ΝΙΚΗΤΑΣ 097 ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΠΑΙΔΕΙΑ 3. Τα στάσιμα κύματα (Ε) Ερωτήσεις Ε3.1 Να συμπληρώσετε τα κενά στις προτάσεις που ακολουθούν: α. Στάσιμο κύμα ονομάζεται το αποτέλεσμα συμβολής δύο κυμάτων ίδιας συχνότητας και ίδιου πλάτους που διαδίδονται στο ίδιο ελαστικό μέσο με ……………….. κατευθύνσεις. β. Το πλάτος ταλάντωσης σε ένα στάσιμο κύμα δεν είναι το ίδιο για όλα τα σημεία αλλά εξαρτάται από τη ……… αυτών. γ. Σε ένα στάσιμο κύμα θεωρούμε ότι η αρχή μέτρησης των αποστάσεων (x=0) είναι κοιλία. Το μήκος κύματος των κυμάτων που συμβάλλουν είναι λ. Η θέση των κοιλιών προσδιορίζεται από τη σχέση x=……… και των δεσμών από τη σχέση, x=………. δ. Το στάσιμο δεν είναι κύμα εφόσον δεν μεταφέρει τη………….. του. ε. Η απόσταση δύο διαδοχικών δεσμών, ή κοιλιών είναι ίση με το ……… του μήκους λ των κυμάτων από τη συμβολή των οποίων προήλθε το στάσιμο. στ. Σε μια χορδή στην οποία έχει δημιουργηθεί στάσιμο κύμα, η ενέργεια μετατρέπεται συνεχώς από ελαστική ……………… ενέργεια, όταν η χορδή είναι στιγμιαία ακίνητη, σε κινητική όταν η χορδή διέρχεται από τη θέση ……………. και αντίστροφα. Ε3.2. Στάσιμο κύμα είναι το αποτέλεσμα συμβολής δύο αρμονικών κυμάτων: α. Ίδιας συχνότητας και ίδιου πλάτους. β. Ίδιας συχνότητας και ίδιου πλάτους, που διαδίδονται στο ίδιο ελαστικό μέσο. γ. Ίδιας συχνότητας, ίδιου πλάτους, που διαδίδονται στο ίδιο ελαστικό μέσο με αντίθετες κατευθύνσεις. δ. Ίδιας συχνότητας, ίδιου πλάτους, που διαδίδονται στο ίδιο ελαστικό μέσο με ίδιες κατευθύνσεις. Ε3.3 Το πλάτος ταλάντωσης του στάσιμου κύματος: α. Είναι ίδιο για κάθε σημείο του ελαστικού μέσου. β. Εξαρτάται από το χρόνο. γ. Είναι ανεξάρτητο του πλάτους των κυμάτων που συμβάλλουν. δ. Εξαρτάται από τη θέση του σημείου του ελαστικού μέσου. Ε3.4 H απόσταση μεταξύ δύο διαδοχικών δεσμών σ΄ ένα στάσιμο κύμα είναι: α. λ/4 β. λ/2 γ. λ/3 δ. λ όπου λ το μήκος των κυμάτων που συμβάλλουν. Ε3.5 Η απόσταση μεταξύ ενός δεσμού και της αμέσως επόμενης κοιλίας σ΄ ένα στάσιμο είναι: α. λ/4 β. λ/2 γ. λ/3 δ. λ όπου λ το μήκος των κυμάτων που συμβάλλουν. Ε3.6 Όλα τα σημεία μεταξύ δύο διαδοχικών δεσμών ενός στάσιμου κύματος έχουν: α. Διαφορετική συχνότητα ταλάντωσης. γ. Ίδια φάση. β. Ίδιο πλάτος. δ. Ίδια ενέργεια. Ε3.7 Σε ένα γραμμικό ελαστικό μέσο δημιουργείται στάσιμο κύμα. Τότε: α. Όλα τα σημεία ταλαντώνονται με το ίδιο πλάτος. β. Όλα τα σημεία κάνουν ΓΑΤ. γ. Όλα τα σημεία έχουν δυναμική και κινητική ενέργεια. ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ ΝΙΚΗΤΑΣ 098 ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΠΑΙΔΕΙΑ δ. Όλα τα σημεία διέρχονται ταυτόχρονα από τη θέση ισορροπίας. Ε3.8 Δύο σημεία μιας χορδής στην οποία έχει δημιουργηθεί στάσιμο κύμα βρίσκονται αριστερά και δεξιά από ένα δεσμό και απέχουν απόσταση λ/3 από αυτόν, όπου λ το μήκος των κυμάτων που συμβάλλουν. Τα σημεία αυτά έχουν: α. Διαφορά φάσης π. β. Ίδια φάση. γ. Ίδια συχνότητα ταλάντωσης. δ. Ίδιο πλάτος. Ποιες από τις προηγούμενες προτάσεις είναι σωστές; Ε3.9 Δύο σημεία μιας χορδής στην οποία έχει δημιουργηθεί στάσιμο κύμα βρίσκονται αριστερά και δεξιά από μια κοιλία και απέχουν απόσταση λ/6 από αυτήν, όπου λ το μήκος των κυμάτων που συμβάλλουν. Τα σημεία αυτά έχουν: α. Διαφορετικό πλάτος. β. Ίδια περίοδο ταλάντωσης. γ. Ίδια ενέργεια. δ. Ίδια φάση. Ποιες από τις προηγούμενες προτάσεις είναι σωστές; Ε3.10 Δύο σημεία μιας χορδής στην οποία έχει δημιουργηθεί στάσιμο κύμα βρίσκονται αριστερά και δεξιά από μια κοιλία και απέχουν απόσταση λ/4 από αυτήν, όπου λ το μήκος των κυμάτων που συμβάλλουν. Τα σημεία αυτά έχουν: α. Μέγιστο πλάτος ταλάντωσης. β. Διαφορά φάσης, π. γ. Ταχύτητα ταλάντωσης συνεχώς μηδέν. δ. Διαφορετική ενέργεια. Ε3.11 Ποιες από τις προτάσεις που ακολουθούν και αναφέρονται στα στάσιμα κύματα είναι σωστές ή λανθασμένες; α. Δεν μεταφέρουν ενέργεια. β. Όλα τα σημεία μεταξύ δύο διαδοχικών δεσμών έχουν κάθε χρονική στιγμή την ίδια φάση. γ. Όλα τα σημεία μεταξύ δύο διαδοχικών δεσμών ταλαντώνονται με πλάτος 2Α. δ. Όλα τα σημεία που είναι εκατέρωθεν ενός δεσμού και απέχουν από αυτόν απόσταση μικρότερη από λ/2 έχουν κάθε χρονική στιγμή, διαφορά φάσης π. ε. Όλα τα σημεία διέρχονται ταυτόχρονα από τη θέση ισορροπίας τους. Ε3.12 Στο διπλανό σχήμα φαίνονται οι ακραίες θέσεις που παίρνει μια χορδή στην οποία σχηματίζεται στάσιμο κύμα. Τα κύματα που συμβάλλουν έχουν μήκος κύματος λ, πλάτος Α και συχνότητα f. Ποιες από τις προτάσεις που ακολουθούν είναι σωστές ή λανθασμένες και γιατί; α. Τα σημεία Γ, Ζ και Δ είναι δεσμοί. β. Τα σημεία Κ, Μ, και Ν είναι κοιλίες. γ. Οι θέσεις ισορροπίας των Κ και Μ απέχουν μεταξύ τους 1λ. δ. Οι δύο ακραίες θέσης ταλάντωσης του Μ απέχουν 2Α. ε. Το μήκος της χορδής ΟΔ ισούται με 5λ/4. στ. Η διαφορά φάσης των σημείων Μ και Ν είναι μηδενική. ζ. Τα σημεία Κ, Μ και Ν έχουν την ίδια ενέργεια ταλάντωσης. ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ ΝΙΚΗΤΑΣ 099 ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΠΑΙΔΕΙΑ Ε3.13 Στο σχήμα φαίνονται ένα στιγμιότυπο στάσιμου κύματος που δημιουργείται σε χορδή που είναι στερεωμένη σε ακλόνητο σημείο από το ένα της άκρο, Δ. Το σημείο Κ είναι κοιλία και βρίσκεται στη μέγιστη απομάκρυνση, το δε στιγμιότυπο είναι τη χρονική στιγμή t0=0. Να σχεδιάσετε στο ίδιο σχήμα τα στιγμιότυπα τις χρονικές στιγμές, t1=Τ/4 και t2=Τ/2, όπου Τ η περίοδος ταλάντωσης των σημείων της χορδής. Ε3.14 Στο διπλανό σχήμα δίνεται το στιγμιότυπο κύματος σε τεντωμένη χορδή, που είναι στερεωμένη και στα δύο της άκρα, τη χρονική στιγμή t=0. Ι. Να γίνουν τα στιγμιότυπα του κύματος τις χρονικές στιγμές, Τ/4, Τ/2, 3Τ/4 και Τ. ΙΙ. Αν τα κύματα που συμβάλλουν έχουν μήκος κύματος λ η απόσταση ΓΒ είναι: α. λ β. λ/2 γ. 3λ/2 Ποια είναι η σωστή απάντηση; Ε3.15 Χορδή είναι οριζόντια στερεωμένη και με τα δύο άκρα της σε ακλόνητα σημεία. Στη χορδή παράγονται στάσιμα κύματα και στα δύο άκρα παράγονται δεσμοί. Να σχεδιαστεί από ένα στιγμιότυπο της χορδής στις περιπτώσεις που παράγονται: α. Μία κοιλία. β. Τρεις κοιλίες. Τα στιγμιότυπα που θα κάνετε φροντίστε να έχουν τις κοιλίες στη μέγιστη απομάκρυνσή τους. Ε3.16. Χορδή είναι οριζόντια στερεωμένη με το ένα της άκρο σε ακλόνητο σημείο ενώ το άλλο είναι ελεύθερο. Στο ελεύθερο παράγεται κοιλία, στο ακλόνητο δεσμός ενώ συνολικά παράγονται 4 δεσμοί. Τη χρονική στιγμή t0=0 η χορδή είναι οριζόντια και το ελεύθερο άκρο είναι έτοιμο να κινηθεί προς τα πάνω. Να σχεδιαστούν στο ίδιο σχήμα τα στιγμιότυπα τις χρονικές στιγμές: t1=Τ/4, t2=Τ/2, t3=3Τ/4, t4=Τ. Ε3.17 Σε μια τεντωμένη ομογενή χορδή συμβάλλουν δύο κύματα με εξισώσεις y1=Αημ2π(t/Τ−x/λ) και y2=Α ημ2π(t/Τ+x/λ). α. Να αποδειχθεί η εξίσωση του στάσιμου κύματος που προκύπτει. β. Ποια σημεία της χορδής ονομάζονται δεσμοί και ποια κοιλίες; γ. Πόσο απέχουν οι δεσμοί και οι κοιλίες από την αρχή των αποστάσεων (x=0), αν υποτεθεί ότι αυτή είναι κοιλία. δ. Πόσο απέχουν μεταξύ τους δύο διαδοχικοί δεσμοί; ε. Να περιγράψετε τις ενεργειακές μετατροπές που συμβαίνουν στα μόρια ενός ελαστικού μέσου στο οποίο παράγεται στάσιμο κύμα και να αιτιολογήσετε γιατί στο στάσιμο κύμα δεν μεταφέρεται ενέργεια. E3.18 Σε μια τεντωμένη χορδή που ταυτίζεται με τον άξονα Οx παράγονται στάσιμα κύματα με εξίσωση της μορφής y=2Ασυν(2πx/λ)·ημ(2πt/Τ). Να αποδείξετε ότι: α. Όλα τα σημεία που ταλαντώνονται περνούν ταυτόχρονα από τη θέση ισορροπίας τους και φτάνουν ταυτόχρονα στη μέγιστη απομάκρυνσή τους. β. Οι ταλαντώσεις δύο διαδοχικών κοιλιών έχουν διαφορά φάσης Δφ=π rad. γ. Το σημείο με x=0 είναι κοιλία. ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ ΝΙΚΗΤΑΣ 100 ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΠΑΙΔΕΙΑ δ. Το πρώτο σημείο της χορδής που έχει πλάτος ίσο με Α, έχει θέση x=λ/6. Ε3.19 Στάσιμο κύμα έχει εξίσωση y=0,4συν(πx/3)·ημπt, (SI). Ι. Η απόσταση μεταξύ δύο διαδοχικών δεσμών του κύματος είναι: α. 1m β. 3m γ. 6m δ. 0.75m ΙΙ. Ο χρόνος μιας πλήρους ταλάντωσης μια κοιλίας είναι: α. π s β. 2s γ. 4s δ. 1s Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. Ε3.20 Στο σχήμα φαίνονται ένα στιγμιότυπο στάσιμου κύματος που δημιουργείται σε χορδή που είναι στερεωμένη σε ακλόνητο σημείο από το ένα της άκρο, Δ. Το σημείο Κ είναι κοιλία και βρίσκεται στη μέγιστη απομάκρυνση. Αν το μήκος κύματος είναι λ και το μήκος της χορδής λ και το στιγμιότυπο αυτό είναι τη χρονική στιγμή t0=0, ποιες από τις προτάσεις που ακολουθούν είναι σωστές; Να αιτιολογήσετε την κάθε απάντηση. α. Η σχέση που συνδέει τα λ και λ είναι, λ =4λ/3. β. Τα σημεία Κ και Λ απέχουν μεταξύ τους λ/2. γ. Τη χρονική στιγμή t=Τ/4 όλα τα σημεία της χορδής έχουν μηδενική απομάκρυνση. δ. Τα σημεία Κ και Μ έχουν διαφορά φάσης π. ε. Τα σημεία Ζ και Μ έχουν διαφορά φάσης ίση με μηδέν. Ε3.21 Στο σχήμα φαίνεται ένα στιγμιότυπο μιας χορδής στην οποία παράγεται στάσιμο κύμα. Το στιγμιότυπο αυτό αντιστοιχεί σε χρονική στιγμή t0=0 και το σημείο Κ είναι κοιλία και βρίσκεται στη μέγιστη θετική απομάκρυνση. 1. Να σχεδιάσετε τα στιγμιότυπα τις χρονικές στιγμές t1=Τ/4 και t2= Τ/2. 2. Ποιες από τις προτάσεις που ακολουθούν είναι σωστές; Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. α. Την αμέσως επόμενη χρονική στιγμή το σημείο Ζ θα κινηθεί προς τα πάνω. β. Το σημείο Λ είναι πάντοτε ακίνητο. γ. Η διαφορά φάσης των σημείων Ζ και Μ είναι μηδέν σε κάθε χρονική στιγμή. δ. Η απόσταση ΛΝ είναι ίση με λ. ε. Τα σημεία Μ και Ζ έχουν ίσες κινητικές ενέργειες όταν περνάνε από τη θέση ισορροπίας. Ε3.22 Δύο σημεία Κ και Λ ενός γραμμικού ελαστικού μέσου απέχουν Δx=1m και είναι ο 3ος και 6ος δεσμός αντίστοιχα, στάσιμου κύματος. Αν η ταχύτητα διάδοσης είναι υ=100m/s τότε η συχνότητα του κύματος. α. f=150Ηz β. f=300Ηz γ. f=75Ηz Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. Ε3.23 Στάσιμο κύμα δημιουργείται πάνω σε χορδή της οποίας το ένα άκρο είναι ελεύθερο και σχηματίζεται κοιλία, ενώ το άλλο είναι ακλόνητο και σχηματίζεται δεσμός. Στο ελεύθερο άκρο ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ ΝΙΚΗΤΑΣ 101 ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΠΑΙΔΕΙΑ θεωρείται ότι είναι x=0. Η συχνότητα των τρεχόντων κυμάτων που δημιούργησαν το στάσιμο είναι f=100Hz, και η απόσταση του 2ου δεσμού από τη 5η κοιλία, είναι Δx=1m. Ι. Η ταχύτητα διάδοσης των κυμάτων που δημιούργησαν το στάσιμο είναι: α. υ=60m/s β. υ=80m/s γ. υ=20m/s ΙΙ Αν παράγονται συνολικά 5 δεσμοί, το μήκος της χορδής είναι: α. 1,6m β. 1,8m γ. 2m Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. Ε3.24 Οι εξισώσεις y1=0,5συν4πx,ημ10πt (SI) και y2=0,2συν2πx·ημ20πt (SI) περιγράφουν στάσιμα κύματα. α. Σε ποιο από τα δύο είναι μεγαλύτερη η απόσταση δύο διαδοχικών κοιλιών; β. Σε ποιο από τα δύο η μέγιστη ταχύτητα μιας κοιλίας είναι μεγαλύτερη; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. Ε3.25 Τα άκρα μιας χορδής μήκους λ=2m είναι και τα δύο ακλόνητα. Στη χορδή παράγονται στάσιμα κύματα από δύο κύματα μήκους λ=0,5m ου συμβάλλουν. Ο αριθμός των δεσμών στη χορδή, μαζί με τα άκρα είναι: β. 7 γ. 9 α. 5 Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. Ε3.26 Χορδή μήκους λ=7/8m είναι στερεωμένη στο ένα άκρο της σε ακλόνητο σημείο ενώ το άλλο είναι ελεύθερο. Στη χορδή δημιουργούνται στάσιμα κύματα από δύο κύματα μήκους λ=0,5m που συμβάλλουν και στο ελεύθερο άκρο υπάρχει πάντοτε κοιλία. Ο αριθμός των κοιλιών στη χορδή είναι: β. 5 γ. 6 α. 4 Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. Ε3.27 Κατά μήκος μιας χορδής δημιουργείται στάσιμο κύμα. Δύο σημεία Κ και Λ της χορδής απέχουν απόσταση d=5λ/2, όπου λ το μήκος των κυμάτων που συμβάλλουν. Η διαφορά φάσης των ΑΑΤ των σημείων είναι: α. Δφ=0 rad β. Δφ=π rad Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. Ε3.28 Σε μια χορδή δημιουργείται στάσιμο κύμα. Η μέγιστη ταχύτητα ταλάντωσης μιας κοιλίας είναι 2m/s, ενώ η μέγιστη αντίστοιχη επιτάχυνση 5m/s2. Το πλάτος των κυμάτων που συμβάλλουν είναι: β. 0,2m γ. 0,4m α. 0,1m Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. Ε3.29 Κατά μήκος μιας χορδής συμβάλλουν δύο κύματα μήκους λ, πλάτους, Α και δημιουργείται στάσιμο κύμα. Σημείο Χ της χορδής έχει πλάτος ταλάντωσης Α’=Α και απέχει από τον πλησιέστερο προς αυτό δεσμό απόσταση: α. λ/6 β. λ/12 γ. λ/24 Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. Ε3.30 Κατά μήκος μιας χορδής συμβάλλουν δύο σύγχρονα κύματα μήκους λ, και δημιουργείται στάσιμο κύμα. Δύο σημεία της χορδής τα K και λ είναι τα πλησιέστερα μεταξύ τους που ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ ΝΙΚΗΤΑΣ 102 ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΠΑΙΔΕΙΑ ταλαντώνονται με το ίδιο πλάτος, έχουν διαφορά φάσης Δφ=π rad, βρίσκονται προς την ίδια πλευρά ενός δεσμού, Δ από τον οποίο απέχουν τις ελάχιστες δυνατές αποστάσεις για τέτοια σημεία, ΔΚ=0,5m και ΔΛ=1,1m. Το μήκος κύματος των κυμάτων που συμβάλλουν είναι: β. λ=1,2m γ. λ=1,6m α. λ=0,8m Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. Ε3.31 Σε χορδή μήκους λ=3m, που είναι στερεωμένη με τα δύο άκρα της σε ακλόνητα σημεία, παράγονται στάσιμα κύματα με δεσμούς και στα δύο άκρα. Αν στη χορδή σχηματίζονται συνολικά τέσσερις δεσμοί και η ταχύτητα διάδοσης των κυμάτων είναι υ=0,4m/s, τότε η συχνότητα ταλάντωσης θα είναι: β. 100Ηz, γ. 0,2Ηz α. 0,5Ηz Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. E3.32 Στο διπλανό σχήμα φαίνεται ένα στιγμιότυπο στάσιμου κύματος τη χρονική στιγμή t1=Τ/4=0,2s, πάνω σε μια χορδή μήκους λ=5m, (0<x<5m). Όλα τα σημεία της χορδής βρίσκονται σε μέγιστη απομάκρυνση. α. Να γράψετε την εξίσωση του στάσιμου κύματος. β. Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της επιτάχυνσης των σημείων της χορδής σε σχέση με την απόσταση, x. γ. Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της ταχύτητας των σημείων της χορδής σε σχέση με την απόσταση, x για τη χρονική στιγμή t2=0,4s. δ. Να σχεδιάσετε σε κοινά διαγράμματα τις γραφικές παραστάσεις της δυναμικής και της κινητικής ενέργειας όλων των σημείων της χορδής τις χρονικές στιγμές t1=0,2s και t2=0,4s. Ε3.33 Στο διπλανό σχήμα φαίνεται ένα στιγμιότυπο στάσιμου κύματος τη χρονική στιγμή t1=Τ/4=0,1s. Όλα τα σημεία της χορδής έχουν μέγιστη δυναμική ενέργεια. Ποιες από τις προτάσεις που ακολουθούν είναι σωστές ή λανθασμένες; Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. α. Το μήκος των κυμάτων που συμβάλλουν είναι λ=4m. β. Το σημείο x=3m, τη χρονική στιγμή t2=Τ/2, θα έχει απομάκρυνση, x=+0,4m. γ. Η ταχύτητα διάδοσης των κυμάτων που δημιούργησαν το στάσιμο είναι, υ=10m/s. δ. Τα σημεία με x1=2m και x2=4m έχουν διαφορά φάσης Δφ=π rad. ε. Το σημείο x=0, περνάει 10 φορές από τη θέση ισορροπίας του σε χρονικό διάστημα Δt=2s. Ε3.34 Στάσιμο κύμα έχει εξίσωση y=0,4συν(2πx/λ)·ημ2πt, (SI). To στιγμιότυπο που φαίνεται στο σχήμα είναι κάποια χρονική στιγμή t1, που είναι η πρώτη φορά που το σημείο x=0 περνάει από τη θέση αυτή, ενώ στη χορδή σχηματίζεται στάσιμο κύμα. Ποιες από τις προτάσεις που ακολουθούν είναι σωστές ή λανθασμένες; Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. α. Η χρονική στιγμή t1 ισούται με 1/12s. β. Το σημείο, x1=3m, τη χρονική στιγμή t2=1/6s θα έχει ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ ΝΙΚΗΤΑΣ 103 ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΠΑΙΔΕΙΑ απομάκρυνση μεγαλύτερη από y=0,2m. γ. Το μήκος κύματος των κυμάτων που συμβάλλουν είναι λ=2m. δ. Η μέγιστη ταχύτητα ταλάντωσης του σημείου x=0,5m είναι, v=0,4 √ 2π m/s. E3.35 Η ελαστική ράβδος του σχήματος αποτελείται από στοιχειώδεις μάζες m=2·10−6kg και είναι στερεωμένη με το ένα άκρο της σε ακλόνητο σημείο. Στη ράβδο παράγονται στάσιμα κύματα και στο σχήμα φαίνεται ένα στιγμιότυπο τη χρονική στιγμή t=3Τ/4=0,25s. Όλα τα σημεία της χορδής βρίσκονται σε μέγιστη απομάκρυνση. Ποιες από τις προτάσεις που ακολουθούν είναι σωστές ή λανθασμένες; Να δικαιολογήσετε τις απαντήσεις σας. α. Όλα τα σημεία της χορδής στο στιγμιότυπο αυτό έχουν μηδενική κινητική ενέργεια. β. Τη χρονική στιγμή t2=Τ, η στοιχειώδης μάζα που βρίσκεται στο σημείο Μ θα έχει κινητική ενέργεια ίση με Κ=576·10−7J. γ. Οι στοιχειώδεις μάζες που βρίσκονται στα σημεία Μ και Ν έχουν συνεχώς ίσες ενέργειες. δ. Τη στιγμή που η στοιχειώδης μάζα στο σημείο Μ έχει μέγιστη δυναμική ενέργεια, η αντίστοιχη στο σημείο Λ έχει μέγιστη κινητική και αντίστροφα. ε. Τη χρονική στιγμή t=1/3s όλα οι στοιχειώδεις μάζες, εκτός από αυτές που βρίσκονται στους δεσμούς, θα έχουν μέγιστη κινητική ενέργεια, η οποία όμως δεν θα έχει ίδια τιμή για όλες. Ε3.36 Σε χορδή που είναι στερεωμένη μόνο στο ένα άκρο της συμβάλλουν δύο κύματα με μήκος κύματος λ=2m και παράγεται στάσιμο κύμα. Στο ελεύθερο άκρο της χορδής δημιουργείται κοιλία. Ι. Το ελάχιστο μήκος της χορδής για να είναι δυνατή η δημιουργία στάσιμου κύματος είναι: α.λ=1m β. λ=2m γ. λ=0,5m ΙΙ. Αν η χορδή είναι λ=8,5m και το λ=2m σχηματίζονται συνολικά: α. 8 δεσμοί β. 7 δεσμοί γ. 9 δεσμοί ΙΙΙ. Αν η χορδή είναι λ=8,5m και το λ=2m τότε μεταξύ των θέσεων x1=2m και x2=6,25m υπάρχουν: α. 4 δεσμοί β. 5 δεσμοί γ. 6 δεσμοί Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. Ε3.37 Τα κύματα που διαδίδονται σε ένα ελαστικό μέσο έχουν ταχύτητα υ=1000m/s και η συχνότητά τους κυμαίνεται από 1200Ηz έως 1800Ηz. Αν δύο σημεία του μέσου είναι δεσμοί και απέχουν απόσταση λ=1m, τότε, η ακριβής συχνότητα του κύματος είναι: α. 1400Ηz β. 1500Ηz γ. 1600Ηz Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. E3.38 Σε μια χορδή στην οποία σχηματίζονται στάσιμα κύματα, τα τρέχοντα κύματα που συμβάλλουν έχουν πλάτος Α και μήκος κύματος λ. Δύο σημεία Κ και Λ απέχουν από τον ίδιο δεσμό αποστάσεις λ/3 και λ/6 αντιστοίχως. Ι. Τα Κ και Λ ταλαντώνονται με διαφορά φάσης: α. 0 β. π rad γ. 0 ή π rad ΙΙ. Το πλάτος ταλάντωσης των σημείων Κ και Λ είναι: α. Α'=Α β. Α'=Α √ 3 γ. Α'=Α √ 3/2 Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ ΝΙΚΗΤΑΣ 104 ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΠΑΙΔΕΙΑ (Α)Ασκήσεις και προβλήματα Α3.1 Στάσιμο κύμα σχηματίζεται κατά μήκος του άξονα Οx που ταυτίζεται με γραμμικό ελαστικό μέσο και έχει εξίσωση y=20συν(πx/3)ημ20πt, ( x σε cm, t σε s). Στη αρχή του άξονα, Ο, (x=0) σχηματίζεται κοιλία. Να υπολογιστούν: α. Το πλάτος, η συχνότητα και η ταχύτητα διάδοσης των κυμάτων από τη συμβολή των οποίων προέκυψε το στάσιμο. β. Η απόσταση δύο διαδοχικών κοιλιών. γ. Η θέση του πέμπτου δεσμού. δ. Το πλήθος των δεσμών μεταξύ των θέσεων x1=3cm και x2=12cm. α. 10cm, 10Hz, 60cm/s, β. 3cm, γ. 13,5cm, 3 δεσμοί Α3.2 Σημειακή ηχητική πηγή ταλαντώνεται με εξίσωση απομάκρυνσης y=0,03·ημ720πt, στο S.I. Ο ήχος που παράγεται προσπίπτει κάθετα σε κατακόρυφο τοίχο και ανακλάται κάθετα, χωρίς να μεταβληθεί κανένα χαρακτηριστικό του, με αποτέλεσμα να δημιουργείται στάσιμο κύμα. Η απόσταση μιας τυχαίας κοιλίας και του 5ου δεσμού από αυτήν είναι d=2m. Να υπολογιστούν: α. Το μήκος κύματος, λ. β. Η ταχύτητα, υ, του ήχου. γ. Η εξίσωση του στάσιμου κύματος. α. 8/9m, β. 320m/s, γ. y=0,06συν(9πx/4)ημ(720πt) στο S.I. Α3.3 Στάσιμο κύμα παράγεται κατά μήκος ενός ελαστικού μέσου που ταυτίζεται με τον άξονα Οx. Στην αρχή του άξονα, x=0, σχηματίζεται κοιλία. Δύο διαδoχικές κοιλίες απέχουν μεταξύ τους 40cm, ενώ η εξίσωση απομάκρυνσης μιας κοιλίας είναι y=10ημ8πt, το y σε cm, το t σε s. Να υπολογιστούν οι εξισώσεις του στάσιμου και των τρεχόντων κυμάτων που το δημιούργησαν. y=10συν(πx/40)ημ8πt, y1,2 =5ημ2π(4t±x/80), (y,x σε cm, t σε s) Α3.4 Tα δύο άκρα μιας χορδής μήκους 0,4m είναι στερεωμένα σε ακλόνητα σημεία. Προκαλούμε κατά μήκος της χορδής κύμα, που συμβάλλει με το ανακλώμενο στο ακλόνητο άκρο και προκαλεί στάσιμο κύμα. Αν ο αριθμός των κοιλιών που σχηματίζονται είναι 10 και η συχνότητα του αρχικού κύματος είναι 100Ηz, να υπολογίσετε την ταχύτητα του αρχικού κύματος. υ=8m/s Α3.5 Τεντωμένη χορδή, ΟΖ, μήκους λ=1,5m είναι στερεωμένη σε ακλόνητο σημείο στο ένα άκρο της Ζ ενώ το άλλο άκρο της Ο είναι ελεύθερο. Το άκρο Ο θεωρείται ως αρχή των αποστάσεων με x=0. Τη χρονική στιγμή t=0 το σημείο x=0 έχει y=0 και κινείται κατά τη θετική φορά. Πάνω στη χορδή παράγονται λόγω ανάκλασης στο σημείο Ζ, στάσιμα κύματα και στο Ο δημιουργείται κοιλία. Τα κύματα που συμβάλλουν πάνω στη χορδή έχουν συχνότητα f=6Ηz και διαδίδονται με ταχύτητα υ=4m/s. α. Πόσοι δεσμοί και πόσες κοιλίες σχηματίζονται πάνω στη χορδή; β. Ποια είναι η ελάχιστη τιμή της συχνότητας των κυμάτων ώστε στην ίδια χορδή να παράγονται στάσιμα κύματα; α. 5δεσμοί και 5 κοιλίες, β. fmin=2/3Ηz Α3.6 Σκοινί, ΟΔ, είναι στερεωμένο σε ακλόνητο σημείο στο ένα άκρο του Δ, ενώ το άλλο άκρο του Ο είναι ελεύθερο. Το άκρο Ο θεωρείται ως αρχή των αποστάσεων με x=0. Πάνω στο σκοινί παράγονται λόγω ανάκλασης στο σημείο Δ, στάσιμα κύματα και στο Ο δημιουργείται κοιλία. Τη χρονική στιγμή t=0 το σημείο x=0 έχει y=0 και κινείται κατά τη θετική φορά. Όταν η συχνότητα ταλάντωσης του ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ ΝΙΚΗΤΑΣ 105 ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΠΑΙΔΕΙΑ σημείου Ο είναι f1=500Ηz τότε στο σκοινί σχηματίζονται 3 δεσμοί. Πόσοι δεσμοί θα σχηματίζονται αν η συχνότητα ταλάντωσης του Ο γίνει f2=1100Ηz; 6 δεσμοί Α3.7 Μια χορδή που εκτείνεται κατά μήκος του άξονα Οx ταλαντώνεται σύμφωνα με την εξίσωση y=10·συν(2πx/3)ημ50πt, (τα x και y σε cm, το tσε s). Στο σημείο Ο θεωρούμε ότι x=0. Να υπολογιστούν: α. Το πλάτος και η ταχύτητα διάδοσης των κυμάτων από το οποίο προέκυψε το στάσιμο. β. Η θέση, x1, της τέταρτης κοιλίας. γ. Η θέση x2, του έκτου δεσμού. δ. Η ταχύτητα που έχει τη χρονική στιγμή t=4,9s, ένα σημείο της χορδής με x3=3cm. α. Α=5cm, υ=75m/s, β. 4,5cm, γ. 8,25cm, δ. v=−500π cm/s Α3.8 Δύο κύματα με εξισώσεις απομάκρυνσης y1=10ημ(πt-πχ/3) και y2=10ημ(πt+πχ/3) (τα y, x σε cm, το t σε s) τρέχουν στο ίδιο γραμμικό ελαστικό μέσο, συμβάλλουν και δίνουν στάσιμο κύμα. Το γραμμικό μέσο είναι μια ελαστική λεπτή ράβδος που είναι στερεωμένη ακλόνητα μόνο στο ένα της άκρο και στο ελεύθερο άκρο της, Ο, θεωρείται ότι είναι η αρχή των αποστάσεων με x=0. Στο σημείο Ο δημιουργείται κοιλία. Τη χρονική στιγμή t=0 το σημείο x=0 έχει y=0 και κινείται κατά τη θετική φορά. Να υπολογιστούν: α. Η ταχύτητα διάδοσης του κάθε τρέχοντος κύματος. β. Η εξίσωση του στάσιμου κύματος που προκύπτει. γ. Το πλάτος της ταλάντωσης σημείου Μ, με xΜ=15cm. δ. Η εξίσωση της στιγμιαίας ταχύτητας ταλάντωσης των σημείων της ράβδου. ε. Το μήκος λ της ράβδου, αν παράγονται πάνω της 10 δεσμοί συνολικά. α. 3cm/s, β. y=20συν(πx/3)ημπt, β. ΑΜ’=20cm, γ. v=20πσυν(πx/3)συνπt, δ. 28,5cm Α3.9 Στο σχήμα φαίνονται τρία στιγμιότυπα στάσιμου κύματος. Το (1) στη χρονική στιγμή t0=0, το (2) στην t2=Τ/4, και το (3) στην t3=3Τ/4, όπου Τ=0,4s, η περίοδος ταλάντωσης των μορίων της χορδής. Δίνονται οι αποστάσεις που φαίνονται στο σχήμα, ΟΔ=0,3m, ΖΖ’=0,08m και στο σημείο Ο θεωρείται ότι x=0. Να υπολογιστούν: α. Η ταχύτητα διάδοσης και το πλάτος των κυμάτων που συμβάλλουν πάνω στη χορδή. β. Η εξίσωση του στάσιμου κύματος, γ. Η μέγιστη απομάκρυνση του σημείου Γ,(xΓ=0,25m) από τη θέση ισορροπίας του. δ. Η ταχύτητα ταλάντωσης του σημείου Γ τη χρονική στιγμή t=0,1s. ε. Η διαφορά φάσης μεταξύ των σημείων Ζ και Γ. α. 1m/s, 0,02m, β. y=0,04συν5πx,ημ5πt, (S.I), γ. y=0,02 √ 2m, δ. v=0, ε.Δφ=0 Α3.10 Δύο κύματα διαδίδονται κατά μήκος γραμμικού ελαστικού μέσου μεγάλου μήκους και περιγράφονται από τις εξισώσεις y1=15ημπ(40t-x/20), y2=15ημπ(40t+x/20), (x,y σε cm, t σε s). Το γραμμικό μέσο είναι μια ελαστική λεπτή ράβδος που είναι στερεωμένη ακλόνητα μόνο στο ένα της άκρο και στο ελεύθερο άκρο της, Ο, θεωρείται ότι είναι η αρχή των αποστάσεων με x=0. Στο σημείο ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ ΝΙΚΗΤΑΣ 106 ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΠΑΙΔΕΙΑ Ο δημιουργείται κοιλία. Τη χρονική στιγμή t=0 το σημείο x=0 έχει y=0 και κινείται κατά τη θετική φορά. Να υπολογιστούν: α. Η συχνότητα, το μήκος κύματος και ταχύτητα διάδοσης των δύο κυμάτων. β. Οι θέσεις των τριών πρώτων δεσμών που βρίσκονται στο θετικό μέρος του άξονα x⁄Οx πλησιέστερα προς τη θέση x=0. γ. Τη μέγιστη απομάκρυνση από τη θέση ισορροπίας σημείου της χορδής που βρίσκεται στη θέση x=0,85m. δ. Σε πόση απόσταση από ένα δεσμό του στάσιμου, ένα σημείο της χορδής ταλαντώνεται με πλάτος ίσο με 15cm. α. 20Ηz, 40cm, 8m/s, β. 10cm,30cm,50cm, γ. 15 √ 2cm, δ. 10/3cm Α3.11 Δύο κύματα διαδίδονται κατά μήκος γραμμικού ελαστικού μέσου μεγάλου μήκους με αντίθετες κατευθύνσεις. Το κύμα που οδεύει προς την αρνητική κατεύθυνση περιγράφεται από την εξίσωση y=0,03ημπ(100t+25x/3), (SI). Το γραμμικό μέσο είναι μια ελαστική λεπτή ράβδος που είναι στερεωμένη ακλόνητα μόνο στο ένα της άκρο και στο ελεύθερο άκρο της, Ο, θεωρείται ότι είναι η αρχή των αποστάσεων με x=0. Στο σημείο Ο δημιουργείται κοιλία. Τη χρονική στιγμή t=0 το σημείο x=0 έχει y=0 και κινείται κατά τη θετική φορά. Δίνεται π2=10. α. Να γράψετε την εξίσωση του στάσιμου κύματος. β. Να γράψετε την εξίσωση επιτάχυνσης της ταλάντωσης ενός σημείου της ράβδου με x=+48cm. γ. Να βρείτε τον αριθμό των κοιλιών του στάσιμου που περιέχονται μεταξύ ενός τυχαίου δεσμού και ενός άλλου σημείου της χορδής, τα οποία απέχουν μεταξύ τους απόσταση Δx=1m. δ. Να βρείτε το πλήθος των σημείων που δεν είναι κοιλίες, ταλαντώνονται με το ίδιο πλάτος και βρίσκονται μεταξύ του Ο και του Κ όπου xΚ=54cm; 3 α. y=0,06συν(25πx/3)·ημ100πt (SI), β. α=−6·10 ημ100πt (SI), γ. 8 κοιλίες, δ. 9 σημεία Α3.12 Τεντωμένο οριζόντιο σχοινί ΟΑ μήκους L εκτείνεται κατά τη διεύθυνση του άξονα x. Το άκρο του Α είναι στερεωμένο ακλόνητα στη θέση x=L, ενώ το άκρο του Ο στη θέση x=0 είναι ελεύθερο, έτσι ώστε με κατάλληλη διαδικασία να δημιουργείται στάσιμο κύμα με 5 συνολικά κοιλίες. Στη θέση x=0 εμφανίζεται κοιλία και το σημείο εκτελεί ΑΑΤ. Τη χρονική στιγμή t=0 το σημείο x=0 έχει y=0 και κινείται κατά τη θετική φορά. Η απόσταση των ακραίων θέσεων ταλάντωσης αυτού του σημείου είναι 0,1m.. Το συγκεκριμένο σημείο περνάει από τη θέση ισορροπίας του 10 φορές κάθε δευτερόλεπτο και απέχει κατά τον άξονα x από τον πλησιέστερο δεσμό απόσταση 0,1m. α. Να βρείτε την περίοδο του κύματος , Τ. β. Να υπολογίσετε το μήκος L. γ. Να γράψετε την εξίσωση του στάσιμου κύματος. δ. Να υπολογίσετε το μέτρο της ταχύτητας ταλάντωσης του σημείο Ο με x=0, κατά τη χρονική στιγμή που η απομάκρυνση από τη θέση ισορροπίας είναι y=0,03m. (3ο ΘΕΜΑ ΠΑΝ/ΚΩΝ 2004) α. 1/5s β. 0,9m, γ. y=0,05συν(5πx)·ημ10πt στο SI, δ. 0,4πm/s. Α3.13 Κατά μήκος μιας ελαστικής χορδής η οποία συμπίπτει με τον άξονα Οx δημιουργείται στάσιμο κύμα το οποίο περιγράφεται από την εξίσωση, y=8συν(πx/6)ημ8πt (x και y σε cm, t σε s). α. Να προσδιορίσετε τη θέση των 4 πρώτων σημείων της χορδής τα οποία ταλαντώνονται με πλάτος 4cm. β. Να υπολογίσετε την απόσταση του κάθε σημείου του (α) ερωτήματος από τον πλησιέστερο προς αυτό δεσμό. ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ ΝΙΚΗΤΑΣ 107 ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΠΑΙΔΕΙΑ γ. Να υπολογίσετε τις διαφορές φάσης μεταξύ του πρώτου και του δεύτερου και του πρώτου και του τέταρτου κατά σειρά σημείου του (α) ερωτήματος. α. 2cm, 4cm, 8cm, 10cm, β. 1cm, γ. Δφ1,2=π rad, Δφ1,4=0 Α3.14 Κατά μήκος ράβδου στερεωμένης με το ένα άκρο της σε ακλόνητο σημείο Μ παράγονται τρέχοντα κύματα μήκους κύματος λ=12cm. Λόγω ανάκλασης στο Μ παράγονται στη ράβδο στάσιμα κύματα με δεδομένο ότι στο ελεύθερο άκρο της ράβδου Ο, σχηματίζεται κοιλία. Σε πόση απόσταση εκατέρωθεν ενός δεσμού του στάσιμου κύματος υπάρχουν σημεία στα οποία η ταλάντωση έχει πλάτος ίσο προς το πλάτος του κάθε τρέχοντος κύματος. d= ± λ =± 1cm 12 Α3.15 Το οριζόντιο σχοινί ΟΑ μήκους L εκτείνεται κατά τη διεύθυνση του άξονα x. Το άκρο του Α είναι στερεωμένο ακλόνητα στη θέση x=L=0,35m, ενώ το άκρο του Ο στη θέση x=0 είναι ελεύθερο, έτσι ώστε με κατάλληλη διαδικασία να δημιουργείται στάσιμο κύμα. Στη θέση x=0 εμφανίζεται κοιλία και το σημείο εκτελεί ΑΑΤ με συχνότητα f=20Ηz. Τη χρονική στιγμή t=0 το σημείο x=0 έχει y=0 και κινείται κατά τη θετική φορά. Στο διπλανό σχήμα φαίνεται ένα στιγμιότυπο του στάσιμου τη χρονική στιγμή t1 κατά την οποία η δυναμική ενέργεια ταλάντωσης των σημείων του σχοινιού είναι ίση με την κινητική και το σημείο Ο κινείται προς τη μέγιστη θετική απομάκρυνση. α. Να βρεθεί η ταχύτητα διάδοσης των κυμάτων στο σχοινί. β. Να σχεδιαστεί στιγμιότυπο της χορδής τη χρονική στιγμή t2 που το Ο περνάει για πρώτη φορά από τη θέση ισορροπίας του μετά τη χρονική στιγμή t1. γ. Να βρεθεί η χρονική διαφορά των στιγμών t2−t1. δ. Να γραφεί η εξίσωση του στάσιμου. ε. Να βρεθεί το μέτρο της ταχύτητα του σημείου Ζ με xΖ=2/3m εκείνη τη χρονική στιγμή που διέρχεται από το μέσο της απόστασης μεταξύ της θέσης ισορροπίας και της μέγιστης θετικής απομάκρυνσης. α. υ=4m/s, γ. t2−t1=3/160s, δ. y=0,2 2συνμ10πxημ40πt (SI), ε.v=2 √ 6π m/s Α3.16 Δύο εγκάρσια κύματα μήκους λ=4cm, συχνότητας f=2Ηz και πλάτους Α=2cm διαδίδονται πάνω στην ίδια ευθεία σε αντίθετες κατευθύνσεις και ξεκινούν από δύο σημεία Κ και Λ που είναι σύγχρονες πηγές των κυμάτων απέχουν μεταξύ τους απόσταση, ΚΛ=16cm. Λαμβάνουμε ως αρχή των χρόνων τη στιγμή που τα δύο κύματα φθάνουν στο μέσον Ο, της ΚΛ, το οποίο ταλαντώνεται με μέγιστο πλάτος. Για την ταλάντωση του σημείου Ο θεωρούμε ότι τη χρονική στιγμή t=0, y=0 και v>0. α. Να γράψετε τις εξισώσεις των δύο τρεχόντων κυμάτων και την εξίσωση του στάσιμου κύματος που προκύπτει. β. Να υπολογίσετε τον αριθμό των δεσμών και των κοιλιών που δημιουργούνται μεταξύ των σημείων Κ και Λ συμπεριλαμβανομένων και των σημείων αυτών. γ. Να γράψετε την εξίσωση απομάκρυνσης και την εξίσωση ταχύτητας για ένα σημείου που βρίσκεται στην πρώτη κοιλία δεξιά από το Ο. α. y1=2ημ2π(2t-x/4), y2=2ημ2π(2t+x/4), y=4(συνπx/2)·ημ4πt, ( x,y σε cm, t σε s) β. 8 δεσμοί, 9 κοιλίες, γ. y=4ημ4πt, v=16πσυν4πt ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ ΝΙΚΗΤΑΣ 108 ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΠΑΙΔΕΙΑ Α3.17 Κατά μήκος ενός γραμμικού ομογενούς ελαστικού μέσου που εκτείνεται στη διεύθυνση x⁄Οx δημιουργείται στάσιμο κύμα που περιγράφεται από την εξίσωση y=8συν(0,1πx),ημ(10πt), (x και y σε cm, t σε s). Το σημείο Ο με x=0 ταλαντώνεται με μέγιστο πλάτος. α. Πόσες κοιλίες σχηματίζονται μεταξύ δύο σημείων Κ και Λ που βρίσκονται σε θέσεις xΚ= −25cm και xΛ=+25cm. β. Να γράψετε τις εξισώσεις των τρεχόντων κυμάτων τα οποία με τη συμβολή τους δημιουργούν το στάσιμο κύμα. α. 5 κοιλίες, β. y12=4ημ2π(5t±x/20) (x και y12 σε cm, t σε s) Α3.18 Στα σημεία Α και Β ενός ελαστικού μέσου απέχουν απόσταση ΑΒ=8cm. Στην ευθεία ΑΒ διαδίδονται δύο κύματα με αντίθετες κατευθύνσεις που φτάνουν ταυτόχρονα στο μέσο Μ και το αναγκάζουν να κινηθεί προς τα πάνω. Ως θετική φορά θεωρείται από το Μ προς το Β και ως αρχή του άξονα το σημείο Μ. Τα δύο κύματα έχουν ίδια πλάτη, συχνότητα και ταχύτητα διάδοσης. Το αποτέλεσμα της συμβολής των δύο κυμάτων είναι ένα στάσιμο κύμα και διαπιστώνουμε ότι: i) Τα Α και Β είναι κοιλίες. ii) Μεταξύ των Α και Β υπάρχουν 3 κοιλίες. iii) Ο χρόνος που χρειάζεται για να κινηθεί το σημείο μιας κοιλίας από το ένα πλάτος στο άλλο είναι 1s. iv) Οι ακραίες θέσεις μιας κοιλίας απέχουν 20cm. Να υπολογιστούν: α. Το πλάτος , η ταχύτητα το μήκος κύματος λ των κυμάτων που συμβάλλουν. β. Να γραφούν οι εξισώσεις των κυμάτων που συμβάλλουν και η εξίσωση του στάσιμου αν ληφθεί ως t0=0 η στιγμή που τα κύματα φτάνουν στο Μ. γ. Να γραφούν οι εξισώσεις που περιγράφουν την κίνηση ενός σημείου Σ στο οποίο xΣ=2cm. δ. Να γίνει η γραφική παράσταση y=f(t) για το Λ στο χρονικό διάστημα 0:t:3s. ε. Πόση πρέπει να είναι η συχνότητα των κυμάτων που συμβάλλουν αν θέλαμε τα Α και Β να ήταν δεσμοί και μεταξύ τους να υπήρχαν δύο κοιλίες. α. Α=5cm, λ=4cm, υ=2cm/s, β. y=10συνπx/2ημπt (x,y σε cm, t σε s), γ. yΣ= 5ημ(πt+π), 0≤t≤1s, και yΣ=−10ημπt, 1s≤t≤3s. ε. 0,25Ηz Α3.19 Στο διπλανό σχήμα φαίνεται ένα στιγμιότυπο στάσιμου κύματος τη χρονική στιγμή t1, όπου όλα τα σημεία βρίσκονται στη μέγιστη απομάκρυνση από τη θέση ισορροπίας τους. Όσα σημεία της χορδής κινούνται, ταλαντώνονται με συχνότητα f=0,25Ηz και δύο διαδοχικά ακίνητα σημεία απέχουν μεταξύ τους 6m. Θεωρούμε ότι η αρχή του άξονα, x=0, τη χρονική στιγμή t0=0, έχει μηδενική απομάκρυνση λόγω των δύο κυμάτων που συμβάλλουν και κινείται κατά τη θετική φορά. α. Να γράψετε την εξίσωση του στάσιμου κύματος. β. Να σχεδιάσετε στο ίδιο σύστημα αξόνων στιγμιότυπα του στάσιμου της χρονικές στιγμές t2=(t1+1s) και t3=(t1+2)s. γ. Να γράψετε τις εξισώσεις απομάκρυνσης για δύο σημεία Κ και Λ με xΚ=13,5m και xΛ=67,5m αντίστοιχα. δ. Πόσοι δεσμοί και πόσες κοιλίες σχηματίζονται μεταξύ των σημείων Κ και Λ; α. y=0,2συν(πx/6)ημ(πt/2), (SI), γ. yΚ=0,1 √ 2ημ(πt/2), yΛ=0,1 √ 2ημ(πt/2+π), δ. 9 δεσμοί. 9 κοιλίες ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ ΝΙΚΗΤΑΣ 109 ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΠΑΙΔΕΙΑ 4. Τα ηλεκτρομαγνητικά κύματα (Ε) Ερωτήσεις Ε4.1 Να συμπληρώσετε τα κενά στις προτάσεις που ακολουθούν: α. Ηλεκτρομαγνητικό κύμα είναι η ταυτόχρονη διάδοση ενός ………………και ενός …………..πεδίου. β. Τα ηλεκτρομαγνητικά κύματα διαδίδονται στο κενό με την ταχύτητα του ………… Σε όλα τα άλλα υλικά διαδίδονται με …………….. ταχύτητα. γ. Το ηλεκτρομαγνητικό κύμα είναι ένα …………. κύμα. Τα διανύσματα του ηλεκτρικού και του μαγνητικού πεδίου είναι ……………. μεταξύ τους και κάθετα στη ……………. διάδοσης του κύματος. δ. Το πηλίκο των μέτρων των στιγμιαίων τιμών των εντάσεων του ηλεκτρικού και του μαγνητικού πεδίου που αποτελούν το ηλεκτρομαγνητικό κύμα ισούται με την …………….διάδοσής τους. ε. Αιτία του ηλεκτρομαγνητικού κύματος είναι η …………………κίνηση των ηλεκτρικών φορτίων. στ. Τα ηλεκτρομαγνητικά κύματα υπακούουν στην αρχή της ……………… Ε4.2 Να σχεδιάσετε ένα ταλαντούμενο ηλεκτρικό δίπολο και: α. Να περιγράψετε τη διαδικασία παραγωγής ηλεκτρομαγνητικού κύματος από το δίπολο αυτό. β. Να γράψετε τις εξισώσεις που περιγράφουν το ηλεκτρικό και το μαγνητικό πεδίου ενός αρμονικού ηλεκτρομαγνητικού κύματος. γ. Να σχεδιάσετε ένα στιγμιότυπο ενός ηλεκτρομαγνητικού κύματος που διαδίδεται κατά τη διεύθυνση x. Ε4.3 Να δώσετε απαντήσεις στα ερωτήματα που ακολουθούν: α. Ποια είναι η αιτία παραγωγής ενός ηλεκτρομαγνητικού κύματος; β. Τι είναι ηλεκτρομαγνητικό κύμα; γ. Ποια σχέση συνδέει τα μέτρα των εντάσεων του ηλεκτρικού και του μαγνητικού πεδίου στο ηλεκτρομαγνητικό κύμα; Ε4.4 Τα ηλεκτρομαγνητικά κύματα παράγονται από: α. Σταθερά ηλεκτρικά πεδία. β. Σταθερά μαγνητικά πεδία. γ. Ακίνητα ηλεκτρικά φορτία. δ. Μεταβαλλόμενα ηλεκτρικά και μαγνητικά πεδία. Ε4.5 Τα ηλεκτρομαγνητικά κύματα: α. Διαδίδονται μόνο στο κενό. β. Δεν διαδίδονται στο νερό. γ. Δεν διαδίδονται στο κενό. δ. Διαδίδονται στο κενό και στην ύλη. Ε4.6 Εκπομπή ηλεκτρομαγνητικής ακτινοβολίας έχουμε από: α. Ακίνητο ηλεκτρικό φορτίο. β. Συνεχές και σταθερό ρεύμα. γ. Ταλαντούμενο ηλεκτρικό δίπολο. ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ ΝΙΚΗΤΑΣ 11 110 1 ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΠΑΙΔΕΙΑ δ. Ηλεκτρικό φορτίο που κινείται ισοταχώς. Ε4.7 Τα ηλεκτρομαγνητικά κύματα είναι: α. Εγκάρσια και διαμήκη. β. Εγκάρσια μόνο στο κενό. γ. Μόνο εγκάρσια. δ. Μόνο διαμήκη. Ε4.8 Τα ηλεκτρομαγνητικά κύματα: α. Διαδίδονται στο κενό και στην ύλη. β. Μεταφέρουν ενέργεια ηλεκτρικού και μαγνητικού πεδίου. γ. Υπακούουν στην αρχή της επαλληλίας. δ. Μεταφέρουν ηλεκτρικά φορτία. ε. Είναι διαμήκη κύματα. στ. Παράγονται από επιταχυνόμενα ηλεκτρικά φορτία. Ποιες από τις προηγούμενες προτάσεις είναι σωστές; Ε4.9 Η ταχύτητα του φωτός: α. Είναι ίση με 3·108m/s σε κάθε διαφανές μέσο. β. Είναι μικρότερη από 3·108m/s σε κάθε διαφανές υλικό μέσο. γ. Είναι μεγαλύτερη από 3·108m/s σε κάθε διαφανές υλικό μέσο. δ. Είναι διαφορετική για κάθε ακτινοβολία που διαδίδεται στο κενό. Ε4.10 Το πηλίκο των μέτρων των εντάσεων ηλεκτρικού και μαγνητικού πεδίου ισούται: α. Με την ταχύτητα του φωτός στο μέσο που διαδίδεται το κύμα. β. Με c=3·108m/s ανεξάρτητα από το μέσο στο οποίο διαδίδεται το κύμα. γ. Με την ταχύτητα του φωτός, μόνο αν το κύμα διαδίδεται στο κενό. δ. Τίποτα από τα παραπάνω. Ε4.11 Το ηλεκτρικό και το μαγνητικό πεδίο που συγκροτούν το ηλεκτρομαγνητικό κύμα έχουν διαφορά φάσης Δφ, κοντά στην κεραία που το εκπέμπει, ίση με: α. Δφ=00 β. Δφ=450 γ. Δφ=900 δ. Δφ=1800 Ε4.12 Το ηλεκτρικό και το μαγνητικό πεδίο που συγκροτούν το ηλεκτρομαγνητικό κύμα: α. Έχουν διαφορά φάσης 900 μακριά από την κεραία που το εκπέμπει. β. Είναι σε φάση σε οποιοδήποτε σημείο του χώρου. γ. Έχουν παντού διαφορά φάσης 1800. δ. Είναι σε φάση μακριά από την κεραία που το εκπέμπει. Ε4.13 Ταλαντούμενο ηλεκτρικό δίπολο είναι ένα σύστημα δύο αγωγών που: α. Συνδέονται με πηγή συνεχούς τάσης. β. Συνδέονται με γεννήτρα εναλλασσόμενης τάσης. γ. Κάνουν απλή αρμονική ταλάντωση. δ. Είναι φορτισμένοι με αντίθετα σταθερά φορτία. Ε4.14 Το ταλαντούμενο ηλεκτρικό δίπολο είναι: ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ ΝΙΚΗΤΑΣ 11 111 2 ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΠΑΙΔΕΙΑ α. Η κεραία εκπομπής των ηλεκτρομαγνητικών κυμάτων σε ραδιοφωνικούς και τηλεοπτικούς σταθμούς. β. Η κεραία εκπομπής των ηλεκτρομαγνητικών κυμάτων μόνο σε ραδιοφωνικούς σταθμούς. γ. Αιτία παραγωγής ορατού φωτός. Ε4.15 Στο ηλεκτρομαγνητικό κύμα, τα διανύσματα του ηλεκτρικού και του μαγνητικού πεδίου είναι: α. Κάθετα μεταξύ τους, αλλά παράλληλα στην ευθεία διάδοσης του κύματος. β. Παράλληλα μεταξύ τους, αλλά κάθετα στην ευθεία διάδοσης του κύματος. γ. Κάθετα μεταξύ τους, αλλά και κάθετα στην ευθεία διάδοσης του κύματος. δ. Παράλληλα μεταξύ τους, αλλά και παράλληλα στην ευθεία διάδοσης του κύματος. Ε4.16 Ηλεκτρομαγνητικό κύμα αποτελείται από ένα ηλεκτρικό και ένα μαγνητικό πεδίο που μεταβάλλονται αρμονικά με το χρόνο. Ποιες από τις προτάσεις που ακολουθούν είναι σωστές ή λάθος; α. Αν συνδέσουμε τους πόλους μιας μπαταρίας συνεχούς τάσης με δύο αγωγούς είναι δυνατόν να παραχθούν ηλεκτρομαγνητικά κύματα β. Ηλεκτρομαγνητική ακτινοβολία που διαδίδεται στο κενό, μπορεί να έχει μήκος κύματος λ=1m μόνο αν η συχνότητά της είναι f=3·108 Ηz. γ. Τα δύο κύματα που συνιστούν το ηλεκτρομαγνητικό κύμα είναι σε φάση σε σημεία που βρίσκονται μακριά από την πηγή των κυμάτων. δ. Η αλγεβρική τιμή των διανυσμάτων Ε και Β διατηρείται συνεχώς σταθερή. ε. Η συχνότητα μιας ηλεκτρομαγνητικής ακτινοβολίας εξαρτάται από τις ιδιότητες του μέσου μέσα στο οποίο διαδίδεται. Ε4.17 Ηλεκτρομαγνητικό κύμα αποτελείται από ένα ηλεκτρικό και ένα μαγνητικό πεδίο που μεταβάλλονται αρμονικά με το χρόνο. Ποιες από τις προτάσεις που ακολουθούν είναι σωστές ή λάθος; α. Οι εξισώσεις που περιγράφουν ένα τέτοιο κύμα είναι: t x max 2 ( ) T t x max 2 ( ) T β. Η σχέση που συνδέει τα μέτρα των μέγιστων τιμών των εντάσεων μαγνητικού και ηλεκτρικού πεδίου είναι Ε0=Β0/c. γ. Κάθε αγωγός που διαρρέεται από ηλεκτρικό ρεύμα αποτελεί πηγή ηλεκτρομαγνητικών κυμάτων. ⃗ είναι πάντοτε κάθετα μεταξύ τους και κάθετα στην ευθεία διάδοσης του δ. Τα διανύσματα𝛦⃗ και 𝛣 κύματος. ε. Η θεμελιώδης εξίσωση της κυματικής για τα ηλεκτρομαγνητικά κύματα είναι, c=λ·f. Ε4.18 Αν ένα ηλεκτρομαγνητικό κύμα αλλάξει καθοδόν υλικό μέσο μέσα στο οποίο διαδίδεται, η σχέση του μέτρου του πλάτους της έντασης του ηλεκτρικού με το πλάτος της έντασης του μαγνητικού πεδίου που δημιουργεί στο χώρο ισούται είναι: α. Ε0=Β0 β. Β0=cΕ0 γ. Ε0/Β0=1/c δ. Β0/Ε0=1/c Ε4.19 Αν ηλεκτρομαγνητικό κύμα περάσει καθοδόν από το κενό στο νερό τότε ο λόγος Ε0/Β0, θα: 11 112 3 ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ ΝΙΚΗΤΑΣ ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΠΑΙΔΕΙΑ α. Μείνει σταθερός. β. Αυξηθεί. γ. Μειωθεί. Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. Ε4.20 Σε αρμονικό κύμα που διαδίδεται στο κενό, το ηλεκτρικό πεδίο περιγράφεται από την εξίσωση Ε=30ημ2π(6·1010t−2·102x),(SI). Να εξετάσετε αν το μαγνητικό πεδίο του παραπάνω ηλεκτρομαγνητικού κύματος περιγράφεται από την εξίσωση: Β=10−7·ημ2π(6·1010t−2·102x) (SI). Δίνεται η ταχύτητα του φωτός στο κενό c=3·108m/s. (Πανελλαδικές 2003) Ε4.21 Δίνονται τα πιο κάτω ζεύγη εξισώσεων όπου Ε η ένταση ηλεκτρικού πεδίου και Β η ένταση μαγνητικού πεδίου: α. Ε=75·ημ2π(12·1010t−4·104x), Β=25·10−8·ημ2π(12·1010t−4·104x) (SI) β. 10 2 −8 10 2 Ε=300·ημ2π(6·10 t−2·10 x), Β=100·10 ·ημ2π(6·10 t−2·10 x) (SI) γ. 10 2 −8 10 2 Ε=150·ημ2π(9·10 t−3·10 x), Β=50·10 ·ημ2π(9·10 t+3·10 x) (SI) Ποιο από τα ζεύγη αυτά περιγράφει ηλεκτρομαγνητικό κύμα που διαδίδεται στο κενό; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. (Πανελλαδικές 2005) Ε4.22 Το μαγνητικό πεδίο ενός ηλεκτρομαγνητικού κύματος που ταξιδεύει στο κενό είναι Β=Β0ημ2π(f0t−x/λ0), ενώ αν το ίδιο κύμα περάσει στο νερό η ίδια εξίσωση γίνεται: Β’=Β0’ημ2π(ft−x/λ). Ποιες από τις ακόλουθες σχέσεις είναι σωστές ή λανθασμένες; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. α. f>f0 β. Ε0/Β0=Ε0’/Β0’ γ. λ<λ0 δ. c0/λ0=c/λ Ε4.23 Σε ένα χώρο διαδίδεται ηλεκτρομαγνητικό κύμα. Η ένταση του ηλεκτρικού πεδίου περιγράφεται από την εξίσωση: Ε=100ημπ(4·1010t − 200x), (SI). Ποιες από τις ακόλουθες σχέσεις είναι σωστές ή λανθασμένες; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. α. Το κύμα διαδίδεται στο κενό. β. Η εξίσωση της έντασης του μαγνητικού πεδίου είναι: Β=5·10−7·ημπ(4·1010t − 200x), (SI). γ. Τα δύο κύματα έχουν διαφορά φάσης μηδέν. δ. Οι εντάσεις των δύο πεδίων μειώνονται με την πάροδο του χρόνου. Ε4.24 Παλλόμενο ηλεκτρικό δίπολο έχει μέγιστη τιμή ηλεκτρικού φορτίου, Q, μέγιστη τιμή έντασης ρεύματος, Ι, και περίοδο ταλάντωσης, Τ. Στο διπλανό σχήμα φαίνονται οι καταστάσεις του δίπολου αυτού σε συγκεκριμένες χρονικές στιγμές. α. Να συμπληρωθούν τα κενά στις τιμές του φορτίου q και της έντασης του ρεύματος i. β. Να σχεδιαστεί η φορά του ρεύματος στα σχήματα. γ. Να σχεδιαστούν στιγμιότυπα της έντασης Ε του ηλεκτρικού πεδίου σε σχέση με την απόσταση x από το δίπολο, στις χρονικές στιγμές που φαίνονται στο σχήμα. ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ ΝΙΚΗΤΑΣ 11 113 4 ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΠΑΙΔΕΙΑ Ε4.25 Ποιες από τις προτάσεις που ακολουθούν και αναφέρονται στα ραδιοκύματα είναι σωστές; α. Έχουν μήκη κύματος από 105m έως μερικά εκατοστά. β. Δημιουργούνται από ηλεκτρονικά κυκλώματα. γ. Είναι ορατά στο ανθρώπινο μάτι. δ. Χρησιμοποιούνται για ακτινογραφίες. ε. Είναι χρήσιμα στις τηλεπικοινωνίες. Ε4.26 Ποιες από τις προτάσεις που ακολουθούν και αναφέρονται στα μικροκύματα είναι σωστές; α. Έχουν μήκη κύματος μεγαλύτερα από τα ραδιοκύματα. β. Παράγονται από ηλεκτρονικά κυκλώματα. γ. Έχουν εφαρμογή στους φούρνους και στα ραντάρ. δ. Είναι ιδιαίτερα διεισδυτικά στην ύλη. Ε4.27 Ποιες από τις προτάσεις που ακολουθούν και αναφέρονται στα υπέρυθρα κύματα είναι σωστές; α. Έχουν μήκη κύματος από 1mm έως 700nm. β. Εκπέμπονται από πολύ ψυχρά σώματα. γ. Απορροφώνται επιλεκτικά από υλικά σώματα και προκαλούν θέρμανση αυτών. δ. Είναι υπεύθυνα για το μαύρισμα στην ηλιοθεραπεία. Ε4.28 Ποιες από τις προτάσεις που ακολουθούν και αναφέρονται στο ορατό φως είναι σωστές; α. Κυμαίνεται σε μήκη κύματος από 400mm έως 700mm. β. Το ορατό φως του ήλιου είναι μονοχρωματικό. γ. Τα λέιζερ παράγουν σχεδόν μονοχρωματικό ορατό φως. δ. Χρησιμοποιείται για ακτινογραφίες. Ε4.29 Ποιες από τις προτάσεις που ακολουθούν και αναφέρονται στις υπεριώδεις ακτινοβολίες είναι σωστές; α. Έχουν μήκη κύματος μικρότερα από 4·10−7m. β. Σε μεγάλες δόσεις βλάπτουν τον ανθρώπινο οργανισμό. γ. Απορροφούνται κατά μεγάλο μέρος από το όζον της στρατόσφαιρας. δ. Χρησιμοποιούνται στη ραδιοφωνία και την τηλεόραση. ε. Είναι υπεύθυνες για το μαύρισμα στην ηλιοθεραπεία. Ε4.30 Ποιες από τις προτάσεις που ακολουθούν και αναφέρονται στις ακτίνες Χ είναι σωστές; α. Έχουν μήκη κύματος μικρότερα από τις υπεριώδεις αλλά μεγαλύτερα από τις ακτίνες, γ. β. Παράγονται κατά την επιβράδυνση ηλεκτρονίων όταν προσκρούουν σε μεταλλικό στόχο. γ. Είναι ακίνδυνες για το ανθρώπινο σώμα. δ. Χρησιμοποιούνται στην ιατρική για διαγνωστικούς λόγους. ε. Είναι περισσότερο διεισδυτικές από τις υπεριώδεις ακτινοβολίες. Ε4.31 Ποιες από τις προτάσεις που ακολουθούν και αναφέρονται στις ακτίνες γ είναι σωστές; α. Έχουν τα μεγαλύτερα μήκη κύματος από όλες τις ακτινοβολίες. β. Είναι πολύ διεισδυτικές. γ. Βλάπτουν ιδιαίτερα τους οργανισμούς. δ. Παράγονται από ηλεκτρονικά κυκλώματα. 11 114 5 ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ ΝΙΚΗΤΑΣ ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΠΑΙΔΕΙΑ ε. Εκπέμπονται από ραδιενεργούς πυρήνες ή διασπάσεις στοιχειωδών σωματιδίων. Ε4.32 Ποιες από τις ακόλουθες προτάσεις που αναφέρονται στο φάσμα των ηλεκτρομαγνητικών κυμάτων είναι σωστές; α. Οι ακτινοβολίες με τα πολύ μεγάλα μήκη κύματος είναι γενικώς επικίνδυνες για τον άνθρωπο. β. Τα ραδιοκύματα έχουν γενικώς χαμηλές συχνότητες. γ. Οι ακτίνες Χ παράγονται κατά την επιβράδυνση ηλεκτρονίων υψηλών ταχυτήτων, λόγω σύγκρουσής τους με ιόντα αερίων. δ. Διάπυρα σώματα μπορούν να εκπέμψουν υπέρυθρα κύματα. ε. Η υπεριώδης ακτινοβολία έχει μήκη κύματος μεγαλύτερα από 400nm. στ. Οι ακτίνες γ έχουν πολύ μεγάλη διεισδυτική ικανότητα. Ε4.33 Να συμπληρώσετε τα κενά στις προτάσεις που ακολουθούν: α. Τα υπέρυθρα κύματα έχουν μήκη κύματος ……………. από τα υπεριώδη. β. Τα υπεριώδη κύματα έχουν μήκη κύματος ……….. από 4·10−7m. γ. Τα μικροκύματα έχουν …………… πολύ μικρότερες από τις ακτίνες Χ. δ. Τα μήκη κύματος των …………… κυμαίνονται από 10−10 m έως 10−14 m. ε. Οι συχνότητες των ραδιοκυμάτων είναι …………… από αυτές των μικροκυμάτων. στ. Οι συχνότητες του ………… ………. κυμαίνονται από 4,3·1014 Ηz έως 7,5·1014 Ηz. Ε4.34 Από τις ακόλουθες διαζευκτικές προτάσεις που αναφέρονται στις ιδιότητες των διαφόρων ακτινοβολιών του ηλεκτρομαγνητικού φάσματος, διαλέξτε τη σωστή εκδοχή διαγράφοντας τη λανθασμένη. α. Τα ραδιοκύματα έχουν τις μικρότερες ή τις μεγαλύτερες συχνότητες στο φάσμα των ηλεκτρομαγνητικών κυμάτων; β. Τα μικροκύματα έχουν πιο έντονες θερμαντικές ή χημικές ιδιότητες; γ. Τα υπέρυθρα κύματα διέρχονται ή απορροφούνται από τα σύννεφα και την ομίχλη. δ. Το μονοχρωματικό φως αποτελείται, στην πραγματικότητα, από ένα σύνολο ακτινοβολιών που καλύπτουν μια πολύ στενή περιοχή του φάσματος ή από μια μόνο συχνότητα; ε. Τα υπεριώδη κύματα χρησιμοποιούνται για νυκτερινή φωτογράφηση ή για αποστείρωση ιατρικών εργαλείων; στ. Οι ακτίνες Χ έχουν συχνότητες μεγαλύτερες ή μικρότερες από τις ακτίνες γ; ζ. Οι ακτίνες γ παράγονται από κυκλώματα LC ή από ραδιενεργούς πυρήνες; ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ ΝΙΚΗΤΑΣ 11 115 6 ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΠΑΙΔΕΙΑ Ε4.36 Η ένταση του ηλεκτρικού πεδίου ενός ηλεκτρομαγνητικού κύματος δίνεται από την εξίσωση Ε=3·10−2ημπ(1015t−2·107x) (SI). Ι. Το κύμα διαδίδεται: α. Στον αέρα β. Σε άλλο πυκνότερο υλικό ΙΙ. Η ένταση του μαγνητικού πεδίου δίνεται από τη σχέση: α. Β=6·10−10ημπ(1015t−2·107x) (SI) β. Β=10−10ημπ(1015t−2·107x) (SI) ΙΙΙ. Αυτό το ηλεκτρομαγνητικό κύμα ανήκει στα: α. Υπεριώδες, β. Ορατό, γ. Μικροκύμα Να αιτιολογήσετε τις απαντήσεις σας. (Α) Ασκήσεις και προβλήματα Α4.1 Ιδανικό κύκλωμα LC εκτελεί αμείωτες ηλεκτρικές ταλαντώσεις και εκπέμπει ηλεκτρομαγνητικά κύματα που διαδίδονται στο κενό με ταχύτητα c =3·108m/s και έχουν μήκος κύματος 0 λ0=500m. Να υπολογιστούν: α. Η συχνότητα των κυμάτων. β. Η χωρητικότητα του πυκνωτή, αν ο συντελεστής αυτεπαγωγής του πηνίου είναι L=2·10−5H. γ. Αν η μέγιστη τιμή της έντασης του ηλεκτρικού πεδίου είναι 12·10−3V/m, πόση είναι η μέγιστη τιμής της έντασης του μαγνητικού πεδίου που μεταφέρει το κύμα; α. f=6·105Hz, β. C ≈3,5· 10−9 F, γ. Β =4·10−11Τ 0 Α4.2 Αρμονικό ηλεκτρομαγνητικό κύμα διαδίδεται στην θετική κατεύθυνση του άξονα Οx με ταχύτητα c =3·108m/s. Αν0 η εξίσωση μεταβολής της έντασης του ηλεκτρικού πεδίου είναι της μορφής Ε=750·ημ24π·107t, (S.I) να γραφούν οι εξισώσεις που περιγράφουν την ένταση του ηλεκτρικού και του μαγνητικού πεδίου σε σχέση με το χρόνο t και την απόσταση x από το σημείο Ο. Ε=750 ημ (24π·107t−0,8πx) και Β=25·10−7·ημ(24π·107t−0,8πx), (S.I) ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ ΝΙΚΗΤΑΣ 11 116 7 ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΠΑΙΔΕΙΑ Α4.3 Ιδανικό κύκλωμα LC ταλαντώνεται και εκπέμπει ηλεκτρομαγνητικά κύματα μήκους κύματος λ=3·10 3m; 0 των οποίων το πλάτος της έντασης του ηλεκτρικού πεδίου είναι Ε =12·10−3V/m. O συντελεστής αυτεπαγωγής −4 του πηνίου είναι L=2·10 H και τα κύματα διαδίδονται στο κενό με ταχύτητα c0=3·108 m/s. Δίνεται π2 =10. α. Να βρεθεί η χωρητικότητα του πυκνωτή C. β. Να βρεθεί το πλάτος της έντασης του μαγνητικού πεδίου του κύματος. γ. Να γραφούν οι εξισώσεις του ηλεκτρομαγνητικού κύματος. A4.4 Κατά τη διάδοση ενός ηλεκτρομαγνητικού κύματος διαπιστώνουμε ότι το πλάτος της έντασης του μαγνητικού πεδίου είναι Β0 =20 10−2T και του ηλεκτρικού Ε0=6·106V/m. ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ ΝΙΚΗΤΑΣ 11 117 8 ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΠΑΙΔΕΙΑ α. Σε ένα σημείο του χώρου και σε μια χρονική στιγμή t, η ένταση του μαγνητικού πεδίου του ίδιου κύματος είναι Β=10−2Τ. Να υπολογιστεί η ένταση του ηλεκτρικού πεδίου στο ίδιο σημείο την ίδια χρονική στιγμή. β. Αν η συχνότητα του κύματος είναι f=2·103 Ηz να βρεθεί η περίοδος και το μήκος κύματος. γ. Να γραφούν οι εξισώσεις μεταβολής του ηλεκτρικού και μαγνητικού πεδίου σε σχέση με το χρόνο και το χώρο σε μεγάλη απόσταση από την πηγή. δ. Αν για τη λήψη του κύματος αυτού απαιτείται κύκλωμα LC με πυκνωτή C=0,25μF, να υπολογιστεί ο συντελεστής αυτεπαγωγής του πηνίου L. Δίνεται π2=10. α. 3 106 V/m, β. Τ=5,10−4s, λ=15,104m, δ. 25mΗ A4.5 H εξίσωση που περιγράφει την ένταση του ηλεκτρικού πεδίου σε ένα ηλεκτρομαγνητικό κύμα είναι, Ε=0,03ημ(2π·1015t−2π·107x/3) (SI). α. Να γραφεί η εξίσωση που περιγράφει την ένταση του μαγνητικού πεδίου. β. Να εξεταστεί αν το κύμα αυτό ανήκει στην ορατή περιοχή του φάσματος. γ. Να υπολογιστεί η διαφορά φάσης Δφ μεταξύ δύο σημείων που απέχουν μεταξύ τους απόσταση Δx=4,5·10−7m, την ίδια χρονική στιγμή. δ. Να βρεθεί η απόσταση x που έχει φτάσει το κύμα τη χρονική στιγμή, t=500s. ε. Να σχεδιαστεί στιγμιότυπο του ηλεκτρικού κύματος τη χρονική στιγμή t=2·10−15s. α. Β=10−10ημ(2π1015t−2π·107x/3) (SI), β.Οχι, γ. Δφ=3π rad, δ. x=15·1010m Α4.6 Ηλεκτρομαγνητικό κύμα συχνότητας f ταξιδεύει στον αέρα με ταχύτητα c=3·10 8m/s προσπίπτει σε κατακόρυφο εμπόδιο και ανακλάται χωρίς απώλειες ενέργειας. Έτσι σχηματίζεται στάσιμο κύμα με δεσμό στον τοίχο. Η πρώτη από το εμπόδιο κοιλία απέχει από τον τέταρτο από το εμπόδιο δεσμό, απόσταση d=5·10−2m και το πλάτος της έντασης του μαγνητικού πεδίου είναι Β0=8·10 −7 Τ. α. Να βρεθεί η συχνότητα της ακτινοβολίας. β. Να γραφούν οι εξισώσεις ως προς x και t που περιγράφουν τις εντάσεις ηλεκτρικού και μαγνητικού πεδίου. α. f=7,5·109Ηz, β.Ε=240ημ2π(7,5 109t−25x), Β=8·10−7·ημ2π(7,5 109t−25x) (SI) Α4.7 Πηγή μικροκυμάτων εκπέμπει μπροστά από κατακόρυφο ανακλαστήρα. Τα κύματα συχνότητα f=1010Ηz προσπίπτουν κάθετα στον ανακλαστήρα, ανακλώνται χωρίς απώλειες ενέργειας ή άλλη αλλοίωση και συμβάλλουν με τα προσπίπτοντα. Δέκτης μικροκυμάτων που κινείται πάνω στη νοητή ευθεία που συνδέει πηγή και ανακλαστήρα καταγράφει μηδενική ένταση όταν είναι σε επαφή με τον τοίχο και στη συνέχεια 10 ακόμα μηδενισμούς, για μετατόπιση κατά διάστημα d. Δίνεται η ταχύτητα των κυμάτων c=3·108m/s. α. Να βρεθεί η απόσταση d. β. Αν σε κάποια θέση και κάποια χρονική στιγμή η ένταση του ηλεκτρικού πεδίου είναι Ε=300V/m, πόση είναι η ένταση του μαγνητικού πεδίου του κύματος στην ίδια θέση και χρονική στιγμή; α. d=0,15m, β. Β=10−6Τ Α4.8 Ένας μεταλλικός καθρέπτης είναι συνδεδεμένος στο ελεύθερο άκρο ελατηρίου και μπορεί να ταλαντώνεται σε οριζόντιο επίπεδο. Το άλλο άκρο του ελατηρίου είναι στερεωμένο σε ακλόνητο ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ ΝΙΚΗΤΑΣ 11 118 9 ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΠΑΙΔΕΙΑ σημείο. Ο καθρέπτης κάνει αρμονικές ταλαντώσεις με εξίσωση απομάκρυνσης x=2,2ημt (SI). Ο μεταλλικός αυτός καθρέπτης μπορεί να λειτουργήσει και ως ανακλαστήρας ηλεκτρομαγνητικών κυμάτων, τα οποία εκπέμπονται από πηγή που είναι τοποθετημένη στο σημείο Π, του σχήματος. Στο σημείο Σ υπάρχει δέκτης κυμάτων και τα κύματα μπορούν να φτάσουν σε αυτόν είτε απευθείας από την πηγή, Π, είτε μέσω ανάκλασης στον καθρέπτη Κ. Οι ταλαντώσεις του καθρέπτη γίνονται πάνω στη μεσοκάθετο του τμήματος ΠΣ. Τη χρονική στιγμή t0=0, ο καθρέπτης βρίσκεται σε απόσταση r=3m από την πηγή, Π και στο Σ παρατηρείται ενισχυτική συμβολή. Να βρείτε ποια είναι η αμέσως επόμενη χρονική στιγμή κατά την οποία παρατηρείται και πάλι ενισχυτική συμβολή στο σημείο, Σ. Δίνονται η απόσταση ΠΣ=2m, η συχνότητα του κύματος f=1,5·108Ηz και η σχέση των πλατών των εντάσεων ηλεκτρικού και μαγνητικού πεδίου, Ε0=3·108Β0. Να θεωρηθεί ότι η θετική κατεύθυνση της ταλάντωσης είναι προς τα δεξιά και √2=1,4 √3=1,7. t1=π/6s ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ ΝΙΚΗΤΑΣ 12 119 0 ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΠΑΙΔΕΙΑ 5. Ανάκλαση και διάθλαση του φωτός (Ε) Ερωτήσεις Ε5.1 Να συμπληρώσετε τα κενά στις προτάσεις που ακολουθούν: α. Όταν οι ανακλώμενες ακτίνες μιας παράλληλης προσπίπτουσας φωτεινής δέσμης εξακολουθούν να είναι παράλληλες μεταξύ τους, τότε η ανάκλαση λέγεται ………………… β. Όταν οι ανακλώμενες ακτίνες μιας παράλληλης προσπίπτουσας φωτεινής δέσμης δεν είναι πια παράλληλες μεταξύ τους, τότε η ανάκλαση λέγεται ………………… γ. Η προσπίπτουσα ακτίνα , η ανακλώμενη και η κάθετος στην επιφάνεια στο σημείο πρόσπτωσης, βρίσκονται στο ίδιο ……………. δ. Η γωνία ανάκλασης είναι ίση με τη γωνία …………………. Ε5.2 Να συμπληρώσετε τα κενά στις προτάσεις που ακολουθούν: α. Δείκτης διάθλασης ενός οπτικού υλικού ονομάζεται το πηλίκο της ταχύτητας του φωτός στο ………….. προς την ταχύτητα του φωτός στο υλικό. β. Ο δείκτης διάθλασης κάθε οπτικού υλικού εκτός του αέρα, είναι ……………….. από τη μονάδα. γ. Η προσπίπτουσα ακτίνα , η διαθλώμενη και η ……………. στη διαχωριστική επιφάνεια των δύο μέσων στο σημείο πρόσπτωσης, βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο. δ. Όταν μια ακτίνα μονοχρωματικού φωτός διαθλαστεί, ο λόγος του ημίτονου της γωνίας πρόσπτωσης προς το ημίτονο της γωνίας διάθλασης είναι ίσος με τον …………… λόγο των δεικτών διάθλασης των δύο μέσων. ε. Το μήκος κύματος μιας μονοχρωματικής ακτινοβολίας όταν μεταβαίνει από το κενό ή τον αέρα σε κάποιο άλλο οπτικό μέσο …………….. στ. Όταν μια ακτίνα μονοχρωματικού φωτός μεταβαίνει από αραιότερο σε πυκνότερο υλικό τότε ……………… προς την κάθετη στο σημείο πρόσπτωσης. Ε5.3 Να συμπληρώσετε τα κενά στις προτάσεις που ακολουθούν: α. Το φαινόμενο της ολικής εσωτερικής ανάκλασης συμβαίνει μόνο όταν το φως μεταβαίνει από μέσο, (α), σε οπτικά ……………. μέσο, (β). β. Για να συμβεί ολική εσωτερική ανάκλαση θα πρέπει η γωνία πρόσπτωσης να είναι………………..της κρίσιμης γωνίας. γ. Όταν το φως μεταβαίνει από πυκνότερο σε αραιότερο μέσο και η γωνία πρόσπτωσης είναι ίση με την κρίσιμη γωνία, τότε η διαθλώμενη ακτίνα κινείται……………….προς τη διαχωριστική επιφάνεια των δύο υλικών. δ. Η μετάδοση των ηλεκτρομαγνητικών κυμάτων στις οπτικές ………….. οφείλεται στο φαινόμενο της ολικής ανάκλασης. Ε5.4 Κατά την κατοπτρική ανάκλαση μιας μονοχρωματικής δέσμης παράλληλων ακτίνων: α. Μεταβάλλεται το μήκος κύματος της δέσμης. β. Οι ακτίνες κατευθύνονται σε διαφορετικές κατευθύνσεις. γ. Οι ακτίνες συνεχίζουν να έχουν την ίδια κατεύθυνση με την αρχική. δ. Οι ακτίνες συνεχίζουν να είναι παράλληλες αλλά σε διαφορετική κατεύθυνση. Ε5.5 Η διάχυση είναι μια μορφή ανάκλασης κατά την οποία μια παράλληλη δέσμη: ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ ΝΙΚΗΤΑΣ 12 120 1 ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΠΑΙΔΕΙΑ α. Συνεχίζει να είναι παράλληλη. β. Παύει πια να είναι παράλληλη. γ. Προσπίπτει σε λεία και στιλπνή επιφάνεια. Ε5.6 Κατά την ανάκλαση μιας ακτίνας φωτός: α. Αλλάζει η ταχύτητα του φωτός. β. Δεν μεταβάλλεται η κατεύθυνση της ακτίνας. γ. Η γωνία πρόσπτωσης είναι ίση με τη γωνία ανάκλασης. δ. Όλα τα προηγούμενα. Ε5.7 Όταν μια δέσμη φωτός προσπίπτει στη διαχωριστική επιφάνεια δύο διαφορετικών οπτικών μέσων, τότε: α. Ένα μέρος του φωτός ανακλάται και το υπόλοιπο διαθλάται. β. Όλο το φως ανακλάται. γ. Όλο το φως διαθλάται. δ. Όλο το φως ανακλάται, αν το δεύτερο οπτικό μέσο είναι οπτικά πυκνότερο. Ε5.8 Ο δείκτης διάθλασης ενός οπτικού υλικού είναι: α. Μικρότερος της μονάδας. β. Καθαρός αριθμός γ. Πάντοτε ακέραιος. δ. Τίποτα από τα παραπάνω. Ε5.9 Ο δείκτης διάθλασης ενός οπτικού υλικού ισούται: α. Με το 1, αν το υλικό είναι διαφανές. β. Με το πηλίκο της ταχύτητας του φωτός στο υλικό προς την ταχύτητα του φωτός στο κενό. γ. Με το πηλίκο της ταχύτητας του φωτός στο κενό προς την ταχύτητα του φωτός στο υλικό. δ. Με το γινόμενο της ταχύτητας του φωτός στο κενό επί την ταχύτητα του φωτός στο υλικό. Ε5.10 Μια ακτίνα μονοχρωματικού φωτός μεταβαίνει από οπτικό μέσο (α) σε οπτικό μέσο (β) με γωνία πρόσπτωσης, θα και αντίστοιχη γωνία διάθλασης, θδ. Η μαθηματική διατύπωση του νόμου ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ ΝΙΚΗΤΑΣ 12 121 2 ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΠΑΙΔΕΙΑ Ε5.11 Μια ακτίνα μονοχρωματικού φωτός μεταβαίνει από οπτικό μέσο (α) σε οπτικό μέσο (β) και προσπίπτει κάθετα στη διαχωριστική επιφάνεια των δύο υλικών. Η διαθλώμενη ακτίνα: α. Έχει διαφορετική συχνότητα από την προσπίπτουσα. β. Έχει διαφορετική διεύθυνση από την προσπίπτουσα. γ. Έχει ίδια ταχύτητα διάδοσης με την προσπίπτουσα. δ. Συνεχίζει κάθετα στο οπτικό μέσο (β). Ε5.12 Μονοχρωματική ακτίνα φωτός μεταβαίνει από οπτικό μέσο (α) σε οπτικό μέσο (β) με γωνιά πρόσπτωσης θα και γωνία διάθλασης θβ. Η τιμή του λόγου, ημθα/ημθβ : α. Εξαρτάται από την τιμή της γωνίας θα. β. Εξαρτάται από τους δείκτες διάθλασης των δύο οπτικών μέσων γι’ αυτήν την ακτινοβολία. γ. Είναι πάντοτε μικρότερος της μονάδας. δ. Είναι πάντοτε μεγαλύτερος της μονάδας. Ε5.13 Κατά τη διάθλαση μιας μονοχρωματικής ακτινοβολίας: α. Μεταβάλλεται το χρώμα. β. Μειώνεται πάντοτε το μήκος κύματος. γ. Μεταβάλλεται η ταχύτητα διάδοσης. δ. Δεν μεταβάλλεται ποτέ η διεύθυνση διάδοσης. Ε5.14 Μονοχρωματική ακτινοβολία μεταβαίνει από τον αέρα στο γυαλί και προσπίπτει πλάγια στη διαχωριστική επιφάνεια των δύο οπτικών μέσων. Η διαθλώμενη ακτίνα: α. Συγκλίνει προς την κάθετο στη διαχωριστική επιφάνεια. β. Αποκλίνει από την κάθετο στη διαχωριστική επιφάνεια. γ. Συνεχίζει στην ίδια κατεύθυνση. δ. Εκτρέπεται κατά 1800 από την αρχική της κατεύθυνσή. Ε5.15 Μονοχρωματική ακτινοβολία μεταβαίνει από οπτικά πυκνότερο σε οπτικά αραιότερο μέσο και προσπίπτει πλάγια στη διαχωριστική επιφάνεια των δύο οπτικών μέσων. Η διαθλώμενη ακτίνα: α. Συγκλίνει προς την κάθετο στη διαχωριστική επιφάνεια. β. Αποκλίνει από την κάθετο στη διαχωριστική επιφάνεια. γ. Συνεχίζει στην ίδια κατεύθυνση. δ. Εκτρέπεται κατά 1800 από την αρχική κατεύθυνσή της. Ε5.16 Κατά τη διάθλαση μιας ακτινοβολίας μεταβάλλεται: α. Το χρώμα, η ταχύτητα και το μήκος κύματος. β. Η συχνότητα της ακτινοβολίας. γ. Μόνο η ταχύτητα του φωτός. δ. Η ταχύτητα και το μήκος κύματος της ακτινοβολίας. Ε5.17 Μια ακτίνα μονοχρωματικού φωτός μεταβαίνει από οπτικά πυκνότερο σε οπτικά αραιότερο μέσο και προσπίπτει στη διαχωριστική επιφάνεια των δύο μέσων με την κρίσιμη γωνία των δύο υλικών. Τότε: α. Ανακλάται και επιστρέφει στο αρχικό μέσο. β. Διαθλάται με γωνία διάθλασης μικρότερη από 900. 12 122 3 ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ ΝΙΚΗΤΑΣ ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΠΑΙΔΕΙΑ γ. Διαθλάται με γωνία διάθλασης ίση με 900. δ. Χρειαζόμαστε και άλλα στοιχεία για τα οπτικά μέσα για να απαντήσουμε. Ε5.18 Για να συμβεί ολική εσωτερική ανάκλαση πρέπει το φως να μεταβαίνει: α. Από το πυκνότερο προς το αραιότερο οπτικά μέσο και να προσπίπτει με την κρίσιμη γωνία στη διαχωριστική επιφάνεια των δύο υλικών. β. Από το πυκνότερο προς το αραιότερο οπτικά μέσο και να προσπίπτει στη διαχωριστική επιφάνεια των δύο υλικών με γωνία μεγαλύτερη από την κρίσιμη. γ. Από το πυκνότερο προς το αραιότερο οπτικά μέσο και να προσπίπτει στη διαχωριστική επιφάνεια των δύο υλικών με γωνία μικρότερη από την κρίσιμη. δ. Από το αραιότερο προς το πυκνότερο οπτικά μέσο και να προσπίπτει στη διαχωριστική επιφάνεια των δύο υλικών με γωνία μεγαλύτερη από την κρίσιμη. Ε5.19 Ένα κατεργασμένο διαμάντι λαμποκοπά στο φως χάρις στο φαινόμενο της: α. Διάχυσης του φωτός. β. Κατοπτρικής ανάκλασης του φωτός. γ. Ολικής εσωτερικής ανάκλασης του φωτός. δ. Συμβολής του φωτός. Ε5.20 Ένας δύτης που βρίσκεται μέσα στο νερό και κοιτάζει προς την επιφάνεια μπορεί να βλέπει: α. Μόνο την επιφάνεια του νερού. β. Μόνο το βυθό. γ. Μόνο τον αέρα. δ. Όλα τα προηγούμενα. Ε5.21 Να εξηγήσετε με λίγα λόγια: α. Τη διαφορά κατοπτρικής ανάκλασης και διάχυσης. β. Τους νόμους της κατοπτρικής ανάκλασης. γ. Τους νόμους της διάθλασης. δ. Πότε συμβαίνει ολική εσωτερική ανάκλαση. ε. Γιατί ο δείκτης διάθλασης των οπτικών μέσων είναι, n≥1. Ε5.22 Με τη βοήθεια του νόμου του Snell να ελέγξετε την αλήθεια των ακόλουθων προτάσεων και να δώσετε πλήρη αιτιολόγηση της ορθότητας αυτών. α. Αν μονοχρωματική ακτίνα φωτός περάσει από οπτικά πυκνότερο σε οπτικά αραιότερο μέσο, η διαθλώμενη ακτίνα αποκλίνει από την κάθετο. β. Αν μονοχρωματική ακτίνα φωτός περάσει από οπτικά αραιότερο σε οπτικά πυκνότερο μέσο η διαθλώμενη ακτίνα συγκλίνει προς την κάθετο. γ. Αν μονοχρωματική ακτίνα φωτός προσπέσει κάθετα στη διαχωριστική επιφάνεια δύο διαφανών υλικών δεν αλλάζει κατεύθυνση. Ε5.23 Να δικαιολογήσετε την αλήθεια της ακόλουθης πρότασης: «Όταν το μονοχρωματικό φως διέρχεται από ένα οπτικό υλικό σε κάποιο άλλο, η συχνότητα δεν μεταβάλλεται». Ε5.24 Να δοθούν σύντομες απαντήσεις στα ερωτήματα που ακολουθούν: ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ ΝΙΚΗΤΑΣ 12 123 4 ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΠΑΙΔΕΙΑ α. Κατά τη μετάβαση μιας ακτίνας μονοχρωματικού φωτός από ένα οπτικό μέσο στο άλλο, ποια γωνία ονομάζεται κρίσιμη ή οριακή γωνία; β. Ποιοι παράγοντες και πως καθορίζουν την τιμή της κρίσιμης γωνίας μεταξύ δύο οπτικών υλικών; γ. Υπό ποιες προϋποθέσεις συμβαίνει το φαινόμενο της ολικής εσωτερικής ανάκλασης; δ. Πως εξηγείται η λαμπρότητα των διαμαντιών; Ε5.25 Ποιες από τις προτάσεις που ακολουθούν είναι σωστές; α. Αν το φως προσπέσει πάνω σε λεία και στιλπνή επιφάνεια (κάτοπτρο) τότε όσες ακτίνες επιστρέψουν στο ίδιο οπτικό μέσο ακολουθούν συγκεκριμένη διεύθυνση που καθορίζεται από την κλίση της επιφάνειας. β. Αν το φως προσπέσει πάνω σε μια ακανόνιστη και τραχιά επιφάνεια τότε όσες ακτίνες επιστρέψουν στο ίδιο οπτικό μέσο διασπείρονται προς όλες τις κατευθύνσεις. γ. Κατά τη διάχυση του φωτός, η κάθε ακτίνα που ανακλάται στην επιφάνεια ακολουθεί τους νόμους της κατοπτρικής ανάκλασης. δ. Κατά την ανάκλαση ή τη διάχυση του φωτός η ταχύτητα διάδοσης αυτού μεταβάλλεται. Ε5.26 Ποιες από τις ακόλουθες προτάσεις που αναφέρονται στην ανάκλαση του φωτός είναι σωστές; α. Η προσπίπτουσα ακτίνα, η ανακλώμενη και η κάθετη στην επιφάνεια στο σημείο πρόσπτωσης μιας ακτίνας, βρίσκονται σε διαφορετικά επίπεδα. β. Η γωνία ανάκλασης είναι ίση με τη γωνία πρόσπτωσης. γ. Αν μια ακτίνα φωτός προσπέσει σε επίπεδο κάτοπτρο με διεύθυνση που σχηματίζει γωνία 300 με την επιφάνεια του κατόπτρου, η ανακλώμενη θα σχηματίζει γωνία 600 με την κάθετη στο σημείο πρόσπτωσης. δ. Αν μια ακτίνα φωτός προσπέσει σε επίπεδο κάτοπτρο με διεύθυνση που σχηματίζει γωνία 300 με την επιφάνεια του κατόπτρου, η κατεύθυνση της ανακλώμενης σχηματίζει με την κατεύθυνσης της προσπίπτουσας γωνίας 1200. Ε5.27 Ποιες από τις προτάσεις που ακολουθούν και αναφέρονται στη διάθλαση είναι σωστές; α. Αιτία της διάθλασης είναι η διαφορετική ταχύτητα που έχει το φως στα δύο οπτικά μέσα. β. Η ταχύτητα του φωτός σε ένα οπτικό μέσο είναι μικρότερη από αυτή που έχει το φως στο κενό. γ. Ο (απόλυτος) δείκτης διάθλασης για όλα τα διαφανή υλικά (εκτός του αέρα) είναι πάντοτε μεγαλύτερος της μονάδας. δ. Όταν το φως μεταβαίνει από οπτικά πυκνότερο σε οπτικά αραιότερο μέσο, η ταχύτητα και η συχνότητα μεταβάλλονται. Ε5.28 Μονοχρωματική ακτινοβολία μεταβαίνει από τον αέρα στο γυαλί και προσπίπτει πλάγια στη διαχωριστική επιφάνεια των δύο οπτικών μέσων. Ποιες από τις ακόλουθες προτάσεις είναι σωστές ή λανθασμένες; Να αιτιολογήσετε τις απαντήσεις σας. α. Η συχνότητα της ακτινοβολίας μεταβάλλεται. β. Η ταχύτητα της ακτινοβολίας διατηρείται σταθερή. γ. Το μήκος κύματος της ακτινοβολίας μειώνεται. δ. Η διεύθυνση της ακτινοβολίας συγκλίνει προς την κάθετο στην επιφάνεια στο σημείο πρόσπτωσης. Ε5.29 Ακτίνα μονοχρωματικού φωτός μεταβαίνει από οπτικό μέσο, (1), με δείκτη διάθλασης n1 σε οπτικό μέσο, (2), με δείκτη διάθλασης n2. Ποιες από τις ακόλουθες προτάσεις είναι σωστές; α. Η ολική ανάκλαση είναι δυνατή μόνο αν, n1>n2. β. Η κρίσιμη ή οριακή γωνία δίνεται από τη σχέση ημθα = n1/η2. γ. Για να συμβεί ολική ανάκλαση πρέπει η γωνία πρόσπτωσης να είναι μικρότερη από τη κρίσιμη γωνία θcr. 12 124 5 ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ ΝΙΚΗΤΑΣ ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΠΑΙΔΕΙΑ δ. Αν η γωνία πρόσπτωσης είναι ίση με τη κρίσιμη γωνία, τότε το φως περνάει στο μέσο (2) με διεύθυνση κάθετη στη διαχωριστική επιφάνεια των δύο υλικών. Ε5.30 Ποιες από τις ακόλουθες προτάσεις που αναφέρονται στην κρίσιμη γωνία είναι σωστές ή λανθασμένες; Να αιτιολογήσετε τις απαντήσεις σας. α. Η κρίσιμη γωνία αναφέρεται σε ζεύγη υλικών και όχι στο καθένα από αυτά. β. Η κρίσιμη γωνία για ένα ζεύγος υλικών εξαρτάται μόνο από τους δείκτες διάθλασης των υλικών για την ακτινοβολία αυτή. γ. Αν ένα υγρό, έχει για μια ακτινοβολία, δείκτη διάθλασης nυ= √ 2, η κρίσιμη γωνία του υγρού αυτού ως προς τον αέρα είναι 450. δ. Αν ένα δύτης βρίσκεται μέσα στο νερό και κοιτάζει προς τα πάνω, μπορεί να δει έξω από το νερό υπό οποιαδήποτε γωνία και αν κοιτάζει. Ε5.31 Ποιο από τα φαινόμενα που ακολουθούν δεν οφείλεται στην ολική εσωτερική ανάκλαση; α. Η παγίδευση ακτίνας φωτός σε οπτική ίνα. β. Τα κατεργασμένα διαμάντια λαμποκοπούν πολύ έντονα. γ. Ένα μολύβι μισοβυθισμένο σ’ ένα ποτήρι με νερό φαίνεται σαν σπασμένο. δ. Με το περισκόπιο οι άνθρωποι μέσα στο υποβρύχιο βλέπουν τι γίνεται πάνω από την επιφάνεια του νερού. Ε5.32 Ο δείκτης διάθλασης ενός διαφανούς οπτικού μέσου: α. Έχει μόνο μια τιμή για το μέσο αυτό. . β. Μπορεί να είναι και 3/2 γ. Είναι αντιστρόφως ανάλογος με την ταχύτητα του φωτός μέσα στο οπτικό μέσο. δ. Είναι αδύνατον να είναι μικρότερος της μονάδας. Ποιες από τις προηγούμενες προτάσεις είναι σωστές; Ε5.33 Τα φαινόμενα της ανάκλασης και της διάθλασης ισχύουν: α. Μόνο για τα φωτεινά κύματα. β. Για όλα τα ηλεκτρομαγνητικά κύματα. γ. Για τα μηχανικά κύματα. δ. Όλα τα παραπάνω. Ε5.34 Αν μια επίπεδη κατοπτρική επιφάνεια περιστραφεί κατά γωνία φ και η κατεύθυνση της προσπίπτουσας ακτίνας διατηρηθεί σταθερή, τότε η ανακλώμενη ακτίνα θα περιστραφεί κατά: α. φ β. 2φ γ. φ/2 Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. Ε5.35 Δύο επίπεδες κατοπτρικές επιφάνειες σχηματίζουν μεταξύ τους μια στερεή γωνία, θ=900 και μια φωτεινή ακτίνα προσπίπτει στη μία επιφάνεια υπό γωνία φ, όπου φ<900, ανακλάται, προσπίπτει και στη δεύτερη επιφάνεια και ανακλάται και πάλι. Η τελική ανακλώμενη και η αρχική προσπίπτουσα είναι μεταξύ τους: α. Παράλληλες. β. Κάθετες γ. Σχηματίζουν γωνία 600. Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ ΝΙΚΗΤΑΣ 12 125 6 ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΠΑΙΔΕΙΑ Ε5.36 Όταν μονοχρωματικό φως μεταβαίνει από το κενό ή τον αέρα σε κάποιο άλλο οπτικό μέσο, το μήκος κύματος: α. Αυξάνεται β. Μειώνεται γ. Μένει σταθερό Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. Ε5.37 Μια ακτίνα μονοχρωματικού φωτός μεταβαίνει από αραιότερο οπτικό υλικό σε πυκνότερο και προσπίπτει στη διαχωριστική επιφάνεια των δύο υλικών υπό γωνία θ1 ως προς την κάθετο. Η ακτίνα διαθλάται και εισέρχεται στο άλλο υλικό υπό γωνία θ2 ως προς την κάθετο. Ι. Ποια από τις ακόλουθες σχέσεις γωνιών είναι η σωστή; α. θ1>θ2, β. θ1<θ2, γ. θ1=θ2 ΙΙ. Ποια από τις ακόλουθες σχέσεις μηκών κύματος είναι η σωστή; α. λ1>λ2, β. λ1<λ2, γ. λ1=λ2 Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. Ε5.38 Στο σχήμα φαίνονται δύο διαθλάσεις μιας μονοχρωματικής ακτίνας φωτός που προσπίπτει στη διαχωριστική επιφάνεια δύο οπτικών μέσων. Να βρείτε αν οι εικόνες είναι σωστές ή λανθασμένες. Να αιτιολογήσετε την θετική ή αρνητική απάντησή σας. Ε5.39 Μονοχρωματική ακτίνα φωτός μεταβαίνει από οπτικό μέσο (α) με δείκτη διάθλασης nα =3/2 σε μέσο (β) με nβ=3 √ 2/2. Η γωνία πρόσπτωσης στη διαχωριστική επιφάνεια των δύο υλικών είναι θα=450. Η γωνία διάθλασης θβ θα είναι: α. 300 β. 450 γ. 600 Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. Ε5.40 Ακτίνα μονοχρωματικής ακτινοβολίας προσπίπτει στην έδρα ΑΒ, πρίσματος τριγωνικής κύριας τομής ΑΒΓ, με γωνία πρόπτωσης α1 και εξέρχεται από την πλευρά ΑΓ υπό γωνία α2 ως προς την κάθετο σ’ αυτήν. Αν Α είναι η διαθλαστική γωνία του πρίσματος, να αποδείξετε ότι η γωνία εκτροπής ε της ακτίνας αυτής λόγω του πρίσματος δίνεται από τη σχέση: α. ε= α1+α2−2Α β. ε = Α−α1−α2 ε = α1+α2 −Α Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. γ. ε = α1+α2 δ. Ε5.41 Έστω πρίσμα τριγωνικής κύριας τομής που περιβάλλεται από αέρα, του οποίου έχουμε τη δυνατότητα να μεταβάλλουμε τον δείκτη διάθλασης n. Αν θεωρήσουμε μονοχρωματική ακτινοβολία που προσπίπτει στην μια έδρα με σταθερή γωνία πρόσπτωσης α1, ενώ η διαθλαστική γωνία Α είναι σταθερή και αυξάνουμε το δείκτη διάθλασης n, τότε η γωνία εκτροπής ε: ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ ΝΙΚΗΤΑΣ 12 126 7 ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΠΑΙΔΕΙΑ α. Διατηρείται σταθερή β. Αυξάνεται γ. Μειώνεται Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας κάνοντας χρήση του νόμου του Snell και της σχέσης που δίνει τη γωνία εκτροπής, ε=α1+α2−Α. Ε5.42 Θεωρούμε πρίσμα κύριας τομής ορθογώνιου ισοσκελούς τριγώνου με δείκτη διάθλασης, n> √ 2 για μια μονοχρωματική ακτινοβολία και μια ακτίνα που προσπίπτει κάθετα σε μια από τις δύο κάθετες έδρες του πρίσματος. Να δείξετε ότι θα υποστεί ολική ανάκλαση και θα εξέλθει από την άλλη κάθετη έδρα και μάλιστα κάθετα σ’ αυτήν. Ε5.43 Το πρίσμα που φαίνεται στο σχήμα έχει τομή σχήματος ορθογώνιου ισοσκελούς τριγώνου και αποτελείται από υλικό με δείκτη διάθλασης n=3/2. Να σχεδιάσετε την πορεία μιας μονοχρωματικής φωτεινής ακτίνας που εισέρχεται στο πρίσμα κάθετα στην υποτείνουσα έδρα, μέχρι να εξέλθει από αυτό και να αιτιολογήσετε τη μορφή της. Ε5.44 Μονοχρωματική ακτίνα φωτός που διαδίδεται στο γυαλί προσπίπτει στη διαχωριστική επιφάνεια του γυαλιού με τον αέρα με γωνία πρόσπτωσης θ1 με ημθ1= √ 3/2. Ο δείκτης διάθλασης του γυαλιού είναι n1= √ 2. Η ακτινοβολία θα: α. Διαθλαστεί και θα βγει στον αέρα. β. Κινηθεί παράλληλα στη διαχωριστική επιφάνεια. γ. Ανακλαστεί ολικά από τη διαχωριστική επιφάνεια. Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. (Πανελλαδικές 2004) Ε5.45 Μονοχρωματική ακτίνα φωτός που διαδίδεται στον αέρα προσπίπτει πλάγια στην επιφάνεια γυάλινης πλάκας με γωνία πρόσπτωσης θ1. Η πλάκα παρουσιάζει για την ακτινοβολία αυτή δείκτη διάθλασης n. Αν η ανακλώμενη ακτίνα είναι κάθετη στη διαθλώμενη, τότε ισχύει: α. εφθ1=1/n β. εφθ1=n γ. ημθ1=1/n Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. Ε5.46 Στο διπλανό σχήμα φαίνεται η πορεία μιας μονοχρωματικής ακτίνας φωτός που προσπίπτει κάθετα στην κάθετη πλευρά ορθογώνιου γυάλινου πρίσματος. Δίνεται για το πρίσμα η φ=600. Ο δείκτης διάθλασης για την ακτινοβολία αυτή είναι: α. n=2 β. n=3/2 γ. √3 Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ ΝΙΚΗΤΑΣ 12 127 8 ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΠΑΙΔΕΙΑ Ε5.47 Μια ακτίνα μονοχρωματικού φωτός προσπίπτει στην υποτείνουσα έδρα γυάλινου πρίσματος με γωνία θ=450. Η γωνία του πρίσματος είναι Α=300 και η ακτίνα βγαίνει κάθετα από την έδρα ΑΒ. Ο δείκτης διάθλασης του γυαλιού είναι: α. n=2 √ 2 β. n= √2 γ. n =2 Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. Ε5.48 Μονοχρωματική ακτίνα φωτός συναντά τη διαχωριστική επιφάνεια δύο οπτικών μέσων και ανακλάται όπως φαίνεται στο σχήμα. Ποιες από τις προτάσεις που ακολουθούν είναι σωστές; Να αιτιολογήσετε τις απαντήσεις σας. α. Συμβαίνει το φαινόμενο της ολικής ανάκλασης. β. Για τους δείκτες διάθλασης ισχύει n1>n2. γ. Για τις ταχύτητες του φωτός στα δύο οπτικά μέσα ισχύει υ1<υ2. δ. Για τη γωνία θ ισχύει ημθ=n1/n2. ε. Για τις γωνίες πρόσπτωσης και ανάκλασης ισχύει θ=φ. Ε5.49 Στο σχήμα η οριζόντια γραμμή είναι η διαχωριστική επιφάνεια δύο οπτικών μέσων με δείκτες διάθλασης n1=3/2 και n2=3 √ 2/4. Τρεις ακτίνες της ίδιας ακτινοβολίας διαθλώνται στην επιφάνεια αυτή με τον τρόπο που φαίνεται στο σχήμα. Ποιες από τις εικόνες είναι σωστές ή λανθασμένες; Να αιτιολογήσετε την κάθε επιλογή σας. Ε5.50 Μονοχρωματική ακτίνα φωτός προσπίπτει κάθετα στην επιφάνεια της έδρας ΑΒ ενός πρίσματος του οποίου η κάθετη τομή έχει σχήμα ορθογωνίου τριγώνου ΑΒΓ, όπως φαίνεται στο σχήμα. Ο δείκτης διάθλασης του γυαλιού για την ακτινοβολία αυτή είναι n=2 √ 3/3. Η ελάχιστη τιμή της γωνίας φ του πρίσματος για την οποία η ακτίνα εξέρχεται στον αέρα από την επιφάνεια της έδρας ΒΓ, είναι: α. 450 β. 300 γ. 600 Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ ΝΙΚΗΤΑΣ 12 128 9 ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΠΑΙΔΕΙΑ Ε5.51 Ακτίνα μονοχρωματικής ακτινοβολίας προσπίπτει κάθετα στη μια κάθετη έδρα γυάλινου πρίσματος, κύριας τομής ισοσκελούς ορθογωνίου τριγώνου. Το πρίσμα περιβάλλεται από νερό δείκτη διάθλασης nν=4/3 και η ακτίνα προέρχεται από το νερό. Οι τιμές του δείκτη διάθλασης του γυαλιού του πρίσματος για αυτήν την ακτινοβολία, ώστε η ακτίνα να υφίσταται ολική ανάκλαση όταν προσπίπτει στην υποτείνουσα έδρα του πρίσματος, είναι: α. n>√ 2 β. n>4 √ 2/3 γ. n<4 √ 2 Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. Ε5.52 Σημειακή πηγή μονοχρωματικού φωτός, Π, βρίσκεται σε βάθος Η κάτω από την επιφάνεια υγρού, το οποίο έχει για αυτήν την ακτινοβολία δείκτη διάθλασης n= √ 2. Η πηγή εκπέμπει μια ακτίνα φωτός που κατευθύνεται σε σημείο Α της επιφάνεια της υγρού. Το σημείο Α απέχει απόσταση d=3m από το σημείο Ο, στο οποίο η κατακόρυφη που διέρχεται από το Π, τέμνει την επιφάνεια του υγρού. Οι τιμές του βάθους Η της πηγής για τις οποίες είναι δυνατή η έξοδος της ακτίνας στον αέρα, από το σημείο Α είναι: α. Η≥3m β. Η≤3m γ. Η≥2m Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. Ε5.53 Ακτίνα μονοχρωματικού φωτός προσπίπτει με γωνία πρόσπτωσης θ στη μια κάθετη έδρα ΒΑ, γυάλινου πρίσματος που έχει τομή ορθογωνίου τριγώνου ΒΑΓ, με Α=900. Το πρίσμα περιβάλλεται από αέρα. Η ακτίνα αυτή αναδύεται από ένα σημείο της έδρας ΑΓ, εφαπτομενικά προς αυτή. Ι. Η σχέση που συνδέει την τιμή της γωνίας θ και το δείκτη διάθλασης του γυαλιού είναι: α. ημθ=1/n β. ημθ=n−1 γ. ημθ= √n2 − 1 ΙΙ. Έστω ότι τι πρίσμα έχει δείκτη διάθλασης n=√ 3/2 και μια ακτίνα φωτός προσπέσει στο πρίσμα αυτό με γωνία θ =600, ποιο1από τα δύο θα συμβεί: α. Η ακτίνα θα υποστεί ολική εσωτερική ανάκλαση στην έδρα ΑΓ. β. Η ακτίνα θα αναδυθεί από την έδρα ΑΓ. Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. Ε5.54 Η κύρια τομή του πρίσματος είναι το ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ και ο δείκτης διάθλασης του διαφανούς υλικού από το οποίο αποτελείται είναι n=3/2. Μονοχρωματική ακτίνα φωτός προσπίπτει κάθετα στην έδρα ΑΒ και φτάνει μέχρι την έδρα ΑΓ. Η ακτίνα φωτός: α. Εξέρχεται εφαπτομενικά της έδρας ΑΓ. β. Εξέρχεται από την έδρα ΑΓ. γ. Υφίσταται ολική εσωτερική ανάκλαση στην έδρα ΑΓ. Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ ΝΙΚΗΤΑΣ 13 129 0 ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΠΑΙΔΕΙΑ Ε5.55 Μονοχρωματική ακτίνα φωτός διαδίδεται στο νερό, προσπίπτει με γωνία, θ στη γυάλινη πλάκα και μετά εξέρχεται στον αέρα, εφαπτομενικά, στη πάνω οριζόντια έδρα της πλάκας. Αν οι δείκτες διάθλασης του νερού είναι nν=4/3 και του γυαλιού, nγ=2, τότε, για τη γωνία πρόσπτωσης, θ, ισχύει: α. ημθ=1/2 β. ημθ=1/3 γ. ημθ=3/4 Ε5.56 Μισός γυάλινος κύλινδρος ισορροπεί όπως φαίνεται στο σχήμα και από το σημείο Α εισέρχεται σ’ αυτόν μονοχρωματική ακτινοβολία με γωνία θ=450. Ο δείκτης διάθλασης του γυαλιού για την ακτινοβολία αυτή είναι n= 2. Ι. Να σχεδιάσετε την πορεία της ακτίνας μέχρι την έξοδό της από τον κύλινδρο και να τη δικαιολογήσετε. ΙΙ. Η γωνία που σχηματίζει η ακτίνα εισόδου με την ακτίνα εξόδου από τον κύλινδρο είναι: α. 00 β. 450 γ. 900 (Α)Ασκήσεις και προβλήματα Α5.1 Ακτίνα μονοχρωματικού φωτός μήκους κύματος λ1=600nm ταξιδεύει σε οπτικό μέσο (1) και προσπίπτει στη διαχωριστική επιφάνεια αυτού με άλλο οπτικό μέσο (2), υπό γωνία 600 και διαθλάται υπό γωνία 300.Ο δείκτης διάθλασης του οπτικού μέσου (1) για την ακτινοβολία αυτή είναι n1=3/2. Να υπολογιστούν: α. Ο δείκτης διάθλασης του μέσου (2). β. Ο λόγος των ταχυτήτων του φωτός, c1/c2 στα δύο οπτικά μέσα. γ. Το μήκος κύματος της ακτινοβολίας στο μέσο (2). α. n2=1,5 √ 3, β. c1/c2= √3, γ. λ2=200 √3nm Α5.2 Ακτίνα μονοχρωματικού φωτός συχνότητας f=( √ 2/2)·1015Ηz εισέρχεται από τον αέρα στο γυαλί με γωνία πρόσπτωσης 450. α. Αν η ταχύτητα του φωτός αυτού μέσα στο γυαλί γίνεται υ=1,5 √ 2·108m/s, πόση είναι η γωνία διάθλασης; β. Σε πόσο χρόνο διανύει πάχος γυαλιού 10cm; γ. Πόσα μήκη κύματος από αυτή την ακτινοβολία περιέχονται σε μια διαδρομή 30cm στο γυαλί; Δίνεται c=3·108m/s. α. 300, β. t=0,47ns, γ. 106 μήκη Α5.3 Μονοχρωματική δέσμη φωτός μήκους κύματος 500nm μεταβαίνει από τον αέρα σε γυαλί και μετρήθηκε ότι η γωνία πρόσπτωσης στην επιφάνεια του γυαλιού είναι 450, ενώ η γωνία διάθλασης 300. Να υπολογιστούν: α. Ο δείκτης διάθλασης του γυαλιού γι’ αυτήν τη δέσμη. β. Το μήκος κύματος του φωτός στο γυαλί. γ. Αν ο αριθμός των μηκών κύματος που περιέχονται σε κομμάτι του ίδιου γυαλιού είναι 2·105, ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ ΝΙΚΗΤΑΣ 13 130 1 ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΠΑΙΔΕΙΑ πόσο είναι η διαδρομή που διανύει το φως μέσα στο γυαλί; α. n= √2, β. λ=250 √ 2nm, γ. 5 √ 2cm Α5.4 Μονοχρωματική ακτίνα φωτός συχνότητας f=5·1014 Hz μεταβαίνει από ένα υγρό στον αέρα, και προσπίπτει στην επιφάνεια του υγρού υπό γωνία 600 ως προς αυτήν και διαθλάται υπό γωνία 450 ως προς την επιφάνεια. α. Πόσο είναι το μήκος κύματος του φωτός αυτού μέσα στο υγρό; β. Πόση είναι η κρίσιμη γωνία του υγρού ως προς τον αέρα. γ. Αν το ίδιο φως μεταβεί από τον αέρα στο υγρό με γωνία πρόσπτωσης 900 ,πόση θα είναι η γωνία διάθλασης; Δίνεται η ταχύτητα του φωτός στο κενό c=3·108 m/s. α. λ=300 √ 2nm, β. θc=450, γ. θ=450 Α5.5 Μονοχρωματική ακτίνα φωτός μεταβαίνει από τον αέρα σε υγρό δείκτη διάθλασης n= √2 και προσπίπτει στην διαχωριστική επιφάνεια αέρα − υγρού με γωνία πρόσπτωσης 450. Η κάθε ακτίνα αυτού του φωτός εν μέρει ανακλάται και εν μέρει διαθλάται μέσα στο υγρό. α. Να σχεδιάσετε τις πορείες της προσπίπτουσας, της ανακλώμενης και τη διαθλώμενης. β. Να υπολογίσετε τη γωνία μεταξύ της διαθλώμενης και της ανακλώμενης ακτίνας. β. ω=1050 A5.6 Ηλεκτρομαγνητικό κύμα διαδίδεται στο κενό και η εξίσωση της έντασης του ηλεκτρικού πεδίου είναι Ε=6·10−3ημ(π·108t−kx) (SI). α. Πόσο είναι το μήκος κύματος, λ0 και το πλάτος της έντασης του μαγνητικού πεδίου; β. Αν το κύμα αυτό περάσει από το κενό στο νερό, του οποίου ο δείκτης διάθλασης γι’ αυτήν την ακτινοβολία είναι n=4/3, το πλάτος της έντασης του μαγνητικού πεδίου γίνεται ίσο με το 1/3 της τιμής που είχε στο κενό. Να γραφεί η εξίσωση της έντασης του ηλεκτρικού πεδίου σε συνάρτηση με τα x και t όταν το κύμα διαδίδεται στο νερό. Η ταχύτητα του φωτός στο κενό είναι c=3·108m/s .α. λ0=6m, Β0=2·10−11m, β. Ε=1,5·10-3ημπ(108 t − 4x/9), (SI) Α5.7Δεξαμενή κυλινδρικού σχήματος με αδιαφανή τοιχώματα έχει πυθμένα διαμέτρου d=3m,είναι ανοικτή από το πάνω μέρος και γεμάτη με διαφανές υγρό.Ακτίνα μονοχρωματικού φωτός προσπίπτει στο σημείο Α της επιφάνειας του υγρού υπό γωνία 300 ως προς την επιφάνεια αυτήν, και αφού διαθλαστεί στο υγρό καταλήγει στο σημείο Β της δεξαμενής όπως φαίνεται και στο σχήμα. Το ύψος τηςδεξαμενής είναι h=4m. Να υπολογιστούν: α. Ο δείκτης διάθλασης του υγρού. β. Η ταχύτητα του φωτός μέσα στο υγρό. γ. Η επί τοις % μεταβολή της ταχύτητας του φωτός όταν περάσει από τον αέρα στο υγρό αυτό; Δίνεται c=3·108m/s. α. n=1,44, β. 2,083,108m/s, γ. −30,55% ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ ΝΙΚΗΤΑΣ 13 131 2 ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΠΑΙΔΕΙΑ Α5.8 Προκειμένου να μετρήσουμε το δείκτη διάθλασης ενός υγρού πραγματοποιούμε το εξής πείραμα. Παίρνουμε ένα άδειο δοχείο με σχήμα ορθογώνιου παραλληλεπιπέδου, που έχει βάση μήκους d=30cm και ύψος h= 40cm. Φωτίζουμε το δοχείο με μια ακτίνα μονοχρωματικής ακτινοβολίας έτσι ώστε η ακτίνα να περνάει από την κορυφή Α και να καταλήγει στην κορυφή Δ. Τα σημεία Α και Δ βρίσκονται στο ίδιο κατακόρυφο επίπεδο που τέμνει κάθετα τις έδρες του δοχείου. Γεμίζουμε το δοχείο με υγρό και χωρίς να αλλάξουμε την κατεύθυνση της ακτινοβολίας στο σημείο Α, διαπιστώνουμε ότι τώρα η ακτίνα διαθλάται και καταλήγει στο μέσο Μ, της βάσης. Να υπολογιστεί ο δείκτης διάθλασης του υγρού, γι’ αυτήν την ακτινοβολία. n=1,709 Α5.9 Σημειακή φωτεινή πηγή, A, μονοχρωματικής ακτινοβολίας βρίσκεται μέσα στο νερό πισίνας και σε βάθος h κάτω από την επιφάνειά του. Η πηγή εκπέμπει μονοχρωματικό φως προς όλες τις κατευθύνσεις, το οποίο μέσα στο νερό έχει ταχύτητα υ=1,5 √ 2·108m/s. Παρατηρητής που βρίσκεται σε κάποιο σημείο ψηλά πάνω από την επιφάνεια του νερού, παρατηρεί ότι στην επιφάνεια σχηματίζεται φωτεινός δίσκος ακτίνας r=2m. Δίνεται η ταχύτητα του φωτός στο κενό c=3·108m/s. Να υπολογιστούν: α. Ο δείκτης διάθλασης του νερού. β. Το βάθος, h, στο οποίο βρίσκεται η πηγή. α. n= 2 β. h=2m Α5.10 Σημειακή φωτεινή πηγή, Α, εκπέμπει μονοχρωματικό φως μέσα από δεξαμενή που περιέχει νερό με δείκτη διάθλασης n=4/3. Η πηγή βρίσκεται σε βάθος Η=4m κάτω από την επιφάνεια του νερού, αλλά παρατηρητής που στέκεται πάνω από το νερό την βλέπει φαινομενικά ανυψωμένη και νομίζει ότι βρίσκεται στη θέση, Ε. Δεχόμαστε ότι η γωνία η γωνία πρόσπτωσης, θ, ως προς την κάθετο στην επιφάνεια, με την οποία βλέπει ο παρατηρητής τη φωτεινή πηγή είναι πολύ μικρή, έτσι ώστε να μπορούμε να θεωρήσουμε ότι ημθ=εφθ. Να υπολογιστεί το βάθος, h, στο οποίο βλέπει ο παρατηρητής τη φωτεινή πηγή. h=3m Α5.11 Αντικείμενο, Α, βρίσκεται μέσα στο νερό μιας λίμνης και αιωρείται σε βάθος Η κάτω από την τελείως λεία επιφάνεια του νερού. Παρατηρητής που βρίσκεται έξω από το νερό κοιτάζει το αντικείμενο με γωνία θ=600ως προς την κάθετο στην επιφάνεια και διαπιστώνει ότι το βλέπει στο σημείο Ε που βρίσκεται σε βάθος h=1m. Ο δείκτης διάθλασης του νερού είναι n=4/3. Να υπολογιστεί το πραγματικό βάθος, Η, που βρίσκεται το αντικείμενο, Α. Η=2,03m ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ ΝΙΚΗΤΑΣ 13 132 3 ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΠΑΙΔΕΙΑ Α5.12 Πρίσμα που περιβάλλεται από αέρα έχει κύρια τομή ισοπλεύρου τριγώνου ΒΑΓ και αποτελείται από υλικό με δείκτη διάθλασης n= 2, για μια ακτινοβολία. Ακτίνα αυτής της ακτινοβολίας προσπίπτει υπό γωνία α1=450 ως προς την κάθετο, στην μια έδρα ΒΑ, του πρίσματος και αφού διαθλαστεί εξέρχεται από ένα σημείο της έδρας ΑΓ. α. Να σχεδιάσετε την πορεία της ακτίνας στο εσωτερικό του πρίσματος από την είσοδο μέχρι την έξοδό της από το πρίσμα. β. Να αποδείξετε ότι είναι δυνατή αυτή η έξοδος από την έδρα ΑΓ του πρίσματος. γ. Να υπολογίσετε τη γωνία υπό την οποία εξέρχεται η ακτίνα από το πρίσμα ως προς την κάθετο στην έδρα. δ. Να σημειώσετε στο σχήμα τη γωνία εκτροπής, ε, και να την υπολογίσετε. γ. 450 δ. ε=300 Α5.13 Γυάλινο πρίσμα έχει εγκάρσια τομή σχήματος ισοπλεύρου τριγώνου ΑΒΓ, όπως και στο σχήμα της προηγούμενης άσκησης. Ακτίνα μονοχρωματικού φωτός προσπίπτει στην έδρα ΑΒ με γωνία πρόσπτωσης α1=600. Η ταχύτητα διάδοσης αυτής της ακτινοβολίας μέσα στο πρίσμα είναι c= √ 3·105km/s. α. Να υπολογιστεί ο δείκτης διάθλασης του πρίσματος γι’ αυτήν την ακτινοβολία. β. Να αποδείξετε ότι η ακτίνα του φωτός θα βγει από το πρίσμα. γ. Να υπολογίσετε τη γωνία εκτροπής, ε, της ακτίνας όταν θα εξέλθει από το πρίσμα. Δίνεται η ταχύτητα του φωτός στο κενό c=3·108m/s. α. n= 3, γ. ε=600 Α5.14 Ένα πρίσμα έχει εγκάρσια τομή ισοσκελούς τριγώνου γωνίας ΒΑΓ με Α=300 και ΑΒ=ΑΓ. Μια ακτίνα μονοχρωματικού φωτός εισέρχεται στο πρίσμα κάθετα στην έδρα ΑΒ. Ο δείκτης διάθλασης του γυαλιού του πρίσματος γι’ αυτήν την ακτινοβολία είναι n=√ 3. α. Να αποδείξετε ότι η ακτίνα θα αναδυθεί από την έδρα ΑΓ και δεν θα υποστεί ολική εσωτερική ανάκλαση. Το πρίσμα περιβάλλεται από αέρα. β. Να υπολογιστεί η γωνία εκτροπής της ακτίνας κατά την έξοδό της. γ. Για ποια τιμή του δείκτη διάθλασης του γυαλιού του πρίσματος η ίδια ακτίνα εξέρχεται οριακά από την έδρα ΑΓ; β. ε=300 γ. n=2 Α5.15 Πρίσμα κύριας τομής τριγώνου ΒΑΓ βρίσκεται στον αέρα και είναι κατασκευασμένο από διαφανές υλικό με δείκτη διάθλασης n= 2 για μια συγκεκριμένη ακτινοβολία. Μια ακτίνα αυτής της ακτινοβολίας προσπίπτει στην έδρα ΒΑ υπό γωνία 450 ως προς την κάθετο και αμέσως μετά προσπίπτει στην έδρα ΑΓ. α. Πόση πρέπει να είναι η τιμή της διαθλαστικής γωνίας, Α, του πρίσματος, ώστε η ακτινοβολία να εξέρχεται οριακά από την έδρα ΑΓ; β. Πόση είναι η γωνία εκτροπής της ακτινοβολίας στην περίπτωση της οριακής εξόδου από το πρίσμα; α. Α=750, β. ε=600 ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ ΝΙΚΗΤΑΣ 13 133 4 ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΠΑΙΔΕΙΑ Α5.16 Ακτίνα μονοχρωματικού φωτός προσπίπτει στην οριζόντια επιφάνεια ορθογώνιου πρίσματος γυαλιού υπό γωνία 450 ως προς την κάθετο σε αυτήν. α. Αν το γυαλί περιβάλλεται από αέρα, για ποιες τιμές του δείκτη διάθλασης του γυαλιού είναι δυνατή η έξοδος της ακτίνας από την κατακόρυφη έδρα της πλάκας; β. Αν το γυαλί είναι βυθισμένο ολόκληρο μέσα σε υγρό με δείκτη διάθλασης nυ =1,20 για ποιες τιμές του δείκτη διάθλασης του γυαλιού συμβαίνει ολική ανάκλαση στην κατακόρυφη έδρα του πρίσματος; Η ακτίνα του φωτός στην περίπτωση αυτή προέρχεται από το υγρό. α.n≤ 3/2 β. n> 2,16 Α5.17 Η κύρια τομή ΑΒΓ ενός πρίσματος είναι ισοσκελές ορθογώνιο τρίγωνο του οποίου η ορθή γωνία είναι η Α, οι ίσες πλευρές έχουν μήκος, ΑΒ=ΑΓ=12 cm και περιβάλλεται από αέρα. Μια παράλληλη δέσμη μονοχρωματικού φωτός προσπίπτει στην έδρα ΑΒ παράλληλα προς την έδρα ΒΓ έτσι ώστε να την καλύπτει ολόκληρη. α. Βρείτε σε πόση απόσταση από την κορυφή Α προσπίπτει εκείνη η ακτίνα της δέσμης η οποία διαθλώμενη διέρχεται από την κορυφή Γ. β. Αν μια ακτίνα μετά την διάθλασή της στην έδρα ΑΒ προσπέσει πρώτα στην έδρα ΒΓ από ποια έδρα θα βγει από το πρίσμα και υπό ποια γωνία ως προς την κάθετο προς την έδρα αυτή. γ. Αν μια άλλη ακτίνα μετά την διάθλασή της επί της έδρας ΑΒ προσπέσει πρώτα στην έδρα ΑΓ από ποια έδρα θα βγει από το πρίσμα και υπό ποια γωνία ως προς την κάθετο προς την έδρα αυτή. Δίνονται ο δείκτης διάθλασης του πρίσματος n= √2 και ημ150=0,259, ημ210,42=0,365. α. 4 √ 3 cm, β. Από την ΑΓ με 450, γ. Από τη ΒΓ με 210 42’ Α5.18 Ακτίνα μονοχρωματικού φωτός προερχόμενη από τον αέρα προσπίπτει στο μέσο Μ της πλευράς ΑΔ ορθογώνιας διαφανούς πλάκας με πλευρές ΑΔ=10cm και ΓΔ=20cm υπό γωνία πρόσπτωσης θ=600 όπως φαίνεται στο σχήμα. Ο δείκτης διάθλασης του υλικού της πλάκας για την ακτινοβολία αυτή είναι n= √ 3=1,7. α. Να σχεδιαστεί η πορεία της ακτίνας και να δικαιολογηθεί η απάντησή σας. β. Να προσδιοριστεί το σημείο και η γωνία εξόδου, δ, της ακτίνας στον αέρα. β. δ=600, Από σημείο Κ της ΒΓ με ΚΒ=6,7cm A5.19 H εγκάρσια τομή ενός διπλού πρίσματος που βρίσκεται στο αέρα είναι ισόπλευρο τρίγωνο.Το πρίσμα αποτελείται απόδιαφορετικά διαφανή υλικά με n1= √2 και n2= √ 3 για μια μονοχρωματική ακτινοβολία. Μια ακτίνα αυτού τουφωτός προσπίπτει στην έδρα ΑΒ υπό γωνία θ=450 και τελικά βγαίνει από το πρίσμα. α. Να σχεδιάσετε την πορεία της ακτίνας μέχρι την έξοδό της. β. Να υπολογίσετε τη γωνία εκτροπής της. . Να επαναλάβετε τα ερωτήματα (α) και (β) αν το υλικό (2) είχε δείκτη διάθλασης n2=2. ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ ΝΙΚΗΤΑΣ 13 134 5 ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΠΑΙΔΕΙΑ β. ε=450 Α5.20 Η γυάλινη σφαίρα ακτίνας R=1m που φαίνεται στο σχήμα ισορροπεί πάνω σε οριζόντιο κάτοπτρο, Κ και περιβάλλεται από αέρα. Μια ακτίνα μονοχρωματικού φωτός προσπίπτει στην κορυφή Α σε διεύθυνση οριζόντια μετά διαθλάται, βγαίνει από τη σφαίρα και φτάνει στο σημείο Γ του κατόπτρου. Ο δείκτης διάθλασης της σφαίρας για την ακτινοβολία αυτή είναι n=2 √ 3/3. α. Να σχεδιάσετε την πορεία της ακτίνας από το Α στο Γ. β. Να υπολογίσετε την απόσταση ΑΓ. γ. Ποιος θα έπρεπε να ήταν ο δείκτης διάθλασης της γυάλινης σφαίρας ώστε η ακτίνα μετά το σημείο Γ να επέστρεφε στο Α, ακολουθώντας την ίδια διαδρομή αλλά με αντίθετη φορά. β. ΑΓ= √7m, γ. n’= √ 2 ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ ΝΙΚΗΤΑΣ 13 135 6 ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΠΑΙΔΕΙΑ ΠΑΠΑΓΙΑΝΝΗΣ ΝΙΚΗΤΑΣ 13 136 7
© Copyright 2024 Paperzz
