ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ Επιμέλεια: Καρράς Ιωάννης Μαθηματικός Εἰ ἄρα ὁ δίκαιος ἀργύριον δεινὸς φυλάττειν, καὶ κλέπτειν δεινός. [email protected] 2o ΛΥΚΕΙΟ ΓΕΡΑΚΑ- ΚΑΡΡΑΣ 2 a β a + βi ∈ R ⇔ 1. Να αποδειχθεί ότι γ δ γ + δi 2. Να υπολογιστεί το άθροισμα k X = 0. ((2ν − 2) + (2ν − 1)i). ν=1 3. Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του z, αν z−i ∈ I. z+i 4. Αν z1 , z2 ∈ C και z 2 = z1 z2 να δειχθεί ότι z1 + z2 z1 + z2 + z + − z . |z1 | + |z2 | = 2 2 5. Αν |z − 10| = 3|z − 2|, τότε |z − 1| = 3 6. Δίνονται οι μιγαδικοί z1 , z2 , z3 , με τις ιδιότητες |z1 | = |z2 | = |z3 | και z1 + z2 + z3 = 0. Να δειχθεί ότι τα διανύσματα θέσης των αριθμών αυτών, ανά δύο σχηματίζουν γωνία 2π . 3 7. Δίνονται οι μιγαδικοί z1 , z2 , z3 , με τις ιδιότητες |z1 | = |z2 | = |z3 | και z1 + z2 + z3 = 0. Να δειχθεί ότι καθένα από τα διανύσματα θέσης των αριθμών αυτών διχοτομεί τη μη κυρτή γωνία των άλλων δύο. 8. Αν οι μιγαδικοί αριθμοί z1 , z2 , z3 ικανοποιούν τη σχέση z1 + z2 + z3 = 0 και καθένα από τα διανύσματα θέσης των αριθμών αυτών διχοτομεί τη μη κυρτή γωνία των δύο άλλων, τότε ισχύει |z1 | = |z2 | = |z3 |. 9. Αν για τους μιγαδικούς αριθμούς z1 , z2 , z3 ισχύουν οι σχέσεις |z1 | = |z2 | = |z3 | και z1 + z2 + z3 = 0 τότε √ |z1 − z2 | = |z2 − z3 | = |z3 − z1 | = |z1 | 3. 10. Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών z για τους οποίους ισχύει |z + 1| = |z − 2i| 11. Να αποδείξετε ότι για κάθε μιγαδικό αριθμό z ισχύει η σχέση |z| + |z + 3| ≥ |z + 1| + |z + 2|. 12. Αν z1 − z2 + z3 − z4 = 0 να δείξετε ότι οι εικόνες των z1 , z2 , z3 , z4 είναι κορυφές παραλληλογράμμου. 13. Να αποδειχθεί ότι |z1 − z2 |2 ≤ (1 + |z1 |2 )(1 + |z2 |2 ), όπου z1 , z2 ∈ C. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ - ΚΑΡΡΑΣ 3 14. Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των σημείων z του μιγαδικού επιπέδου, (των εικόνων του μιγαδικού z στο Κερτεσιανό επίπεδο), των οποίων ο λόγος των αποστάσεών του από τους z1 = −3 και z2 = 3 ισούται με 2. 15. Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των z = x + iy με x, y ∈ R, αν ισχύει η σχέση xz + yz > 0. 16. Αν |z + 1 − i| ≤ 3, να δείξετε ότι 2 ≤ |z − 3 + 2i| ≤ 8. 17. Δίνεται η συνάρτηση f (z) = |z| − iz, z ∈ C. α: Να λύσετε την εξίσωση f (z) = 2 − i. √ β: Αν |f (|z|)| = 2, να βρείτε το |z|. γ: Αν |z| = 1 να δείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του w = f (z) είναι κύκλος που διέρχεται από την αρχή των αξόνων. 18. Δίνεται η εξίσωση zz + 4Re [(1 − 2i)z] + 4 = 0. α: Να αποδείξετε ότι η εξίσωση έχει άπειρες μιγαδικές λύσεις. β: Να αποδείξετε ότι το μέτρο της διαφοράς δύο οποιωνδήποτε ριζών της εξίσωσης δεν είναι μεγαλύτερο από 8. γ: Αν t1 , t2 είναι οι τιμές των ριζών z1 , z2 για τις οποίες η παράσταση |z1 − z2 | γένεται μέγιστη, να δείξετε ότι για κάθε ν ∈ N∗ ισχύει |t1 + t2 |2ν + |10(t1 − t2 )|ν = 24ν+1 · 5ν 19. Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί z1 , z2 , με εικόνες αντίστοιχα τα σημεία M1 , M2 . Αν O είναι η αρχή των αξόνων και οι αριθμοί z1 , z2 ικανοποιούν τις συνθήκες i : |z1 | = 1 ii : (z1 − 1) (z12 + 1) 6= 0 iii : 1 z2 = z12 − z1 + 1 να αποδείξετε ότι η ευθεία που ορίζεται από τα σημεία M1 και M2 διέρχεται από το σημείο με συντεταγμένες (1, 0). Στη συνέχεια να αποδείξετε ότι οι άξονες διχοτομούν εσωτερικά και εξωτερικά τη γωνία M\ 1 OM2 του τριγώνου M1 OM2 . 20. Να αποδείξετε ότι ικανή και αναγκαία συνθήκη ώστε η εξίσωση az + βz + γ = 0 με a, β, γ ∈ C να παριστάνει ευθεία στο μιγαδικό επίπεδο είναι η a = β και γ ∈ R ή a = −β και γ ∈ I. 2o ΛΥΚΕΙΟ ΓΕΡΑΚΑ- ΚΑΡΡΑΣ 4 21. Να προσδιορίσετε τον z ∈ C ώστε (3 − i)z + 9z + 2 + i = 0. 22. Να προσδιοριστεί ο z ώστε iz + z + 2 = 0. 23. Αν Rez1 · Rez2 + Imz1 · Imz2 = 0 και Rez1 · Rez2 · Imz1 · Imz2 6= 0, να z1 ∈ I. αποδείξετε ότι z2 24. Αν |z| = ρ να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του w = iz + z. 25. Αν z1 , z2 ∈ C να δείξετε ότι z1 z1 · z2 + z1 · z2 Re = και z2 2z2 · z2 z1 · z2 − z1 · z2 z1 . Im = z2 2z2 · z2 · i 26. Για τις ρίζες z1 , z2 της εξίσωσης z 2 + 4z + 8 = 0 να δείξετε ότι ισχύει η z + 1 + z2 + 4i ∈ I. σχέση z1 · z2 + 8i 27. Αν οι εικόνες των μιγαδικών αριθμών z1 και z2 βρίσκονται επί κύκλου με 2 z1 + z2 κέντρο την αρχή των αξόνων, να δείξετε ότι ∈ R. z1 − z2 28. Να αποδείξετε ότι ο κύκλος |z − z0 | = a, a > 0 γράφεται και στη μορφή zz − 2Re(zz 0 ) − a2 + |z0 |2 = 0. 29. Δίνεται η συνάρτηση f : C → C με τις ακόλουθες ιδιότητες: α: Για κάθε z1 , z2 ∈ C ισχύει f (z1 + z2 ) = f (z1 ) + f (z2 ) β: Για κάθε z1 , z2 ∈ C ισχύει f (z1 z2 ) = f (z1 )f (z2 ) γ: Για κάθε πραγματικό αριθμό a ισχύει f (a) = a. Να αποδείξετε ότι f (z) = z ή f (z) = z. 30. Θεωρούμε τα σημεία Α, Β, Γ, Δ ως εικόνες των μιγαδικών αριθμών 0, 3, 6 + 3i, 3 + 3i αντίστοιχα. Αφού εξετάσετε το είδος του τετραπλεύρου ΑΒΓΔ να βρείτε την ελάχιστη τιμή της συνάρτησης f (z) = |z| + |z − 3| + |z − 3 − 3i| + |z − 6 − 3i|, z ∈ C. 31. Να βρεθεί μια ικανή και αναγκαία συνθήκη μεταξύ των πραγματικών συντελεστών του πολυωνύμου f (z) = z 3 +az 2 +β, ώστε η εξίσωση f (z) = 0 να δέχεται ως ρίζα τον w = ρ + ρi με ρ ∈ R∗ . ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ - ΚΑΡΡΑΣ 5 32. Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών αριθμών z για τους οποίους ισχύει |z − 1| ≤ |z − 3| και z + z = 2. 33. Δίνονται οι αριθμοί z1 , z2 ∈ C. Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του z ∈ C για τους οποίους ισχύει (z − z1 )(z − z 1 ) + (z − z2 )(z − z 2 ) = 4. Ποιό είναι το ελάχιστο της παράστασης |z − z2 |; 34. Αν |z + 2 + 3i| = 3 ποιά είναι η μέγιστη και ποιά η ελάχιστη τιμή της παράστασης y = |z−2−i|; Ποιά η γεωμετρική ερμηνεία του προβλήματος; z1 + z2 35. Δίνονται οι μιγαδικοί z1 , z2 . Αν z3 = και z4 είναι μια λύση του συ2 |z − z1 | = r1 στήματος ,όπου 2r2 = |z1 − z2 |, r1 ∈ R+ , r1 < |z1 − z2 |, |z − z3 | = r2 να δείξετε ότι οι πραγματικοί αριθμοί z6 − z2 |, |z4 − z2 | και |z5 − z2 | είναι, με τη σειρά που δίνονται, διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου, όπου z5 , z6 είναι οι μιγαδικοί για τους οποίους |z − z1 | = r1 και η παράσταση y = |z − z2 | λαμβάνει αντίστοιχα μέγιστη και ελάχιστη τιμή. 36. Αν για τους z1 , z2 ∈ C ισχύει z1 · z2 6= 0 και z1 · 2002|z1 | + z2 · 2002|z2 | = (z1 + z2 ) · 2002|z1 +z2 | , να δείξετε ότι: α: |z1 + z2 | = |z1 | = |z2 | ή z1 ∈R z2 −→ β: Αν τα σημεία Ο, A(z1 ), B(z2 ) δεν κείνται επί ευθείας, τότε τα AB και −→ OΓ, όπου Γ(z1 + z2 ), είναι κάθετα μεταξύ τους. 37. Αφού υπολογίσετε τις τιμές των (1 + i)4 και |12 − 5i| να προσδιορίσετε τις τιμές του ν ∈ N, ν ≥ 2 για τις οποίες ισχύει (12 − 5i)ν−2 − (1 + i)4 = 13ν−1 − 8. 38. Αν z ∈ C με z 6= ±1 και (1 − z ν )(1 + z) να δείξετε ότι (1 + z)ν (1 − z) 1 f (z) = f , z 6= 0. z Επίσης, με την επιπλέον υπόθεση ότι |z| = 1 να δείξετε ότι f (z) = f (z). 39. Για z ∈ C, z 6= 1 ορίζουμε f (z) = w = 2 − iz . 1−z 2o ΛΥΚΕΙΟ ΓΕΡΑΚΑ- ΚΑΡΡΑΣ 6 α: Να βρεθούν οι k ∈ N ώστε [f (2)]k ∈ R. β: Να γραφεί ο z ως συνάρτηση του w. γ: Αν Μ είναι η εικόνα του z και Κ η εικόνα του w, να δείξετε ότι −→ KA −→ | OM | = −→ , όπου Α, Β είναι σταθερά σημεία του μιγαδικού BK επιπέδου. δ: Αν το Μ κινείται επί του κύκλου με κέντρο το Ο και ακτίνα τη μονάδα, να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Κ. 40. Δίνονται οι αριθμοί a ∈ C και λ ∈ R. Να προσδιοριστούν οι εικόνες των μιγαδικών z για τους οποίους ισχύει az + az = 2λ. 41. Τα σημεία Α, Β, Γ σχηματίζουν ισοσκελές ορθογώνιο τρίγωνο με κορυφή το Β και μπορούν να θεωρηθούν στο μιγαδικό επίπεδο ως εικόνες των μιγαδικών αριθμών z1 , z2 και z3 αντίστοιχα. Να δείξετε ότι z12 + 2z22 + z32 = 2z2 (z1 + z3 ). 42. Οι εικόνες των μιγαδικών z1 , z2 , z3 είναι κορυφές τριγώνου στο μιγαδικό επίπεδο. Να αποδείξετε πως ικανή και αναγκαία συνθήκη για να αποτε z4 − z1 λεί η εικόνα του z4 ορθόκεντρο του τριγώνου, είναι η Re = z2 − z3 z4 − z3 z4 − z2 = Re = 0. Re z3 − z1 z1 − z2 43. Να αποδείξετε ότι για κάθε z ∈ C − R και για κάθε ν ∈ N, οι εικόνες 2ν 2ν z z των μιγαδικών w = 1 + και u = −1 ορίζουν ευθεία |z| |z| που διέρχεται από την αρχή των αξόνων 44. Αν οι μιγαδικοί αριθμοί z1 και z2 επαληθεύουν τις σχέσεις α: |z1 | = 1 β: (z1 − 1)(z12 + 1) 6= 0 1 γ: = 1 − z1 + z12 z2 i Να δείξετε ότι οι εικόνες M1 και M2 των z1 και z2 αντίστοιχα, ορίζουν ευθεία που διέρχεται από το σημείο I(1, 0). ii Να δείξετε ότι οι άξονες αποτελούν την εσωτερική και εξωτερική διχοτόμο της M\ 1 OM2 , με Ο την αρχή των αξόνων. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ - ΚΑΡΡΑΣ 7 45. Αν για τους μιγαδικούς αριθμούς z1 και z2 ισχύει η σχέση |z1 |2 + |z2 |2 = |z1 + z2 |2 να δείξετε ότι ισχύει και η |z1 + z2 | = |z1 − z2 |. 46. Αν |z1 | = |z2 | = 1 να δείξετε ότι ο αριθμός z = z1 + z2 είναι πραγματι1 + z1 z2 κός. 47. Να δείξετε ότι οι εικόνες των z1 , z2 , z3 είναι κορυφές ισοπλεύρου τριγώνου, όταν και μόνον όταν z12 + z22 + z32 = z1 z2 + z2 z3 + z3 z1 . 48. Αν οι μιγαδικοί zi , i ∈ {1, 2, 3, . . . , ν} ικανοποιούν την z1 − i z2 − i + + . . . + zν − i < 1 z1 + i z2 + i zν + i θα ικανοποιούν και την (z1 + z2 + . . . + zν ) − i (z1 + z2 + . . . + zν ) + i < 1 49. Να βρεθεί τι παριστάνει γεωμετρικά το σύνολο z − 5 =3 A = z ∈ C, z 6= −5 : z + 5 50. Να βρεθεί τι παριστάνει γεωμετρικά η τομή των συνόλων z − 1 A = z ∈ C, z 6= −1 : >2 z + 1 z − 2 <3 B = z ∈ C, z 6= −2 : z + 2 51. Δίνεται ο z ∈ I, του οποίου το μέτρο είναι μικρότερο της μονάδας. Να δείξετε ότι οι εικόνες Α, Β, Γ, των z1 = 1 − z, z2 = 1 − z 2 και z3 = 1 − z 3 αντίστοιχα, σχηματίζουν τρίγωνο. 52. Αν ΑΒΓΔ είναι ένα επίπεδο τετράπλευρο, να δείξετε ότι −→ −→ −→ −→ −→ −→ | A∆ | · | BΓ | + | AB | · | ∆Γ | ≥ | AΓ | + | B∆ | 2o ΛΥΚΕΙΟ ΓΕΡΑΚΑ- ΚΑΡΡΑΣ 8 53. Θεωρούμε τους μιγαδικούς z που έχουν την ιδιότητα z = λ + (λ2 + 1)i, λ ∈ R. α: Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του z. β: Να βρεθούν οι εικόνες Α, Β των z για τους οποίους τα διανύσματα −→ −→ OA και OB σχηματίζουν αντίστοιχα τη μικρότερη και τη μεγαλύτερη δυνατή γωνία με τον άξονα xx0 . 54. Αν z = −λ + (λ − 1)i και w = (λ − 3) − λi, λ ∈ R να βρεθεί η μικρότερη δυνατή τιμή του |z − w|. 55. Αν z − λ = eλ i, λ ∈ R να βρεθεί η γραμμή που διαγράφει η εικόνα του z. 56. Να βρεθεί ο μιγαδικός z με το μεγαλύτερο δυνατό μέτρο, αν ισχύει 2|z| 2 = (1 − i)z + (1 + i)z. 57. Αν για το μιγαδικό αριθμό z ισχύει η |z + i| = |z − 1 + 2i| να βρεθούν: α: Το γεωμετρικό τόπο των εικόνων του z. β: Την ελάχιστη τιμή του |z|. γ: Τον μιγαδικό αριθμό z που έχει το μικρότερο μέτρο. p 58. Να δειχθεί ότι |z1 + z2 | = |z1 | 2 + |z2 | 2 ⇔ z1 z2 ∈ I 59. Να δείξετε ότι οι εξισώσεις |z −a| = |z −b| και 2Re[(b−a)z] = |b| 2 −|a| 2 είναι ισοδύναμες. 60. Να βρείτε την εξίσωση της γραμμής στην οποία κινείται η εικόνα του z, όταν |z − 3| + |z + 3| = 10 61. Αν z1 , z2 , z3 μιγαδικοί αριθμοί για τους οποίους |z1 | = |z2 | = z3 | = 1 και 1 1 1 z1 + z2 + z3 = 1 να δείξετε ότι + + =1 z1 z2 z3 62. Αν z1 , z2 , z3 μιγαδικοί αριθμοί για τους οποίους |z1 | = |z2 | = z3 | = 1 , z1 z2 z3 = 1 και z1 + z2 + z3 = 1 να δείξετε ότι z1 z2 + z2 z3 + z3 z1 = 1 63. Αν z = x + iy και |z 2 | = z 2 να δείξετε ότι για κάθε ν ∈ N ισχύει x2ν+1 + (y − x)2ν+1 = 0 64. Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί w, z για τους οποίους ισχύει |z − 1| = 3 και (w − 3)z = w. Να δείξετε ότι |w| = |z|