Ασκήσεις-Λύσεις 4-2004

Πακέτο 4: Ασκήσεις Μικροοικονοµικής Θεωρίας Ι/2004-12-8
Προσοχή: ηµεροµηνία παράδοσης 22 ∆εκεµβρίου 2004
Τα πακέτα να παραδοθούν στα φροντιστήρια του κ. Καφούρου.
1
2
3 3
Άσκηση 1 (δύο µονάδες): Η συνάρτηση f ( K , L) = K L είναι οµογενής πρώτου
βαθµού.
(α) Αν σε τρεις τυχαίες καµπύλες ίσου προϊόντος βρούµε τρία σηµεία (ένα σε κάθε
καµπύλη) που έχουν την ίδια κλίση (οριακός λόγος τεχνικής υποκατάστασης ίδιος), τι
κοινό θα έχουν αυτά τα σηµεία;
Απάντηση:
Σε µια συνάρτηση παραγωγής µε σταθερές αποδόσεις (και οµοθετική) τα τρία σηµεία
στις τρεις διαφορετικές καµπύλες ίσου προϊόντος που έχουν την ίδια κλίση, θα
βρίσκονται πάνω στην ίδια ακτίνα που περνά από την αρχή των αξόνων και θα έχουν
τον ίδιο λόγο κεφαλαίου-εργασίας.
(β) Τι µπορούµε να πούµε για τις αποδόσεις κλίµακας γι’ αυτή την συνάρτηση και µε
ποιο τρόπο απεικονίζεται διαγραµµατικά; Πώς θα δείχναµε µια συνάρτηση φθίνουσας
απόδοσης στο ίδιο διάγραµµα;
Απάντηση:
Επειδή είναι σταθερές οι αποδόσεις αν πολλαπλασιάσουµε τους δύο συντελεστές µε
µια σταθερά (κρατώντας τον ίδιο λόγο κεφαλαίου εργασίας) θα πολλαπλασιάζεται
και το προϊόν µε την ίδια σταθερά. ∆είτε το σχήµα 11.2 στην σελίδα 28 του
Nicholson. Στο διάγραµµα αυτό οι αποστάσεις µεταξύ των καµπυλών ίσου προϊόντος
είναι ίδιες εφόσον η διαφορά στο προϊόν είναι ίδια. Αν όµως είχαµε µια συνάρτηση
µε φθίνουσες αποδόσεις τότε για ίσες αυξήσεις κεφαλαίου εργασίας (ίσες αποστάσεις
µεταξύ καµπυλών ίσου προϊόντος) θα είχαµε µικρότερες αυξήσεις του προϊόντος.
Π.χ., στο σχήµα 11.2 αν η πρώτη καµπύλη θα αντιστοιχούσε µε ποσότητα q = 1, η
δεύτερη καµπύλη θα ήταν q = 1,7 (λιγότερο από 2) και η τρίτη q = 2,4 (λιγότερο από
3).
(γ) Τι επιπτώσεις θα είχε στις αποδόσεις κλίµακας ένας µονοτονικός
µετασχηµατισµός αυτής της συνάρτησης παραγωγής (δηλαδή µια οµοθετική
συνάρτηση παραγωγής);
Απάντηση:
Ενώ επιτρέπεται να κάνουµε µονοτονικό µετασχηµατισµό στις συναρτήσεις
χρησιµότητας γιατί το µόνο που έχει σηµασία εκεί είναι να διατηρήσουµε την
ιεραρχία των προτιµήσεων (δεν έχει σηµασία ο αριθµός που προσδίδουµε σε µια
καµπύλη αδιαφορίας), δεν ισχύει το ίδιο σε µια συνάρτηση παραγωγής όπου µια
καµπύλη ίσου προϊόντος αναφέρεται σε πραγµατικές φυσικές µονάδες κάποιου
προϊόντος. Το να πούµε πως µε το ίδιο κεφάλαιο και εργασία παράγουµε διπλάσιο
προϊόν (µε την ίδια τεχνολογία), π.χ., στην περίπτωση που πάρουµε το µονοτονικό
1
2
3 3
µετασχηµατισµό g ( K , L) = 2 f ( K , L) = 2 K L , θα ήταν εντελώς λάθος γιατί η
συνάρτηση παραγωγής αναφέρεται σε φυσικές µονάδες.
1
Ασκηση 2: ∆είξτε διαγραµµατικά πώς θα µπορούσαµε να έχουµε ‘ακραίες λύσεις’
στο πρόβληµα του παραγωγού (ελαχιστοποίηση του κόστους) όπως είχαµε στο
πρόβληµα του καταναλωτή και ερµηνεύστε το διάγραµµα κάνοντας αναφορά στο
ΟΛΤΥ.
Απάντηση:
Με αυτές τις καµπύλες ίσου προϊόντος και µε την κλίση της συνάρτησης συνολικό
∂f
w ∂L
κόστος (λόγος τιµών εργασίας – κεφαλαίου) έχουµε <
σε όλα τα σηµεία της
v ∂f
∂K
καµπύλης ίσου προϊόντος. Με αυτά τα δεδοµένα η ελαχιστοποίηση του κόστους
επιβάλει την χρήση µόνο εργασίας (αφού και η τελευταία µονάδα εργασίας είναι
‘σχετικά φτηνότερη’ από το κεφάλαιο µε δεδοµένο τις σχετικές τιµές και την
απόδοση). Μια άλλη διατύπωση: το µοναδιαίο κόστος της τελευταίας µονάδας
προϊόντος που παράγεται κοστίζει λιγότερο να παραχθεί µε εργασία παρότι δεν έχει
χρησιµοποιηθεί καθόλου κεφάλαιο. Η τεχνολογία που απεικονίζεται την περίπτωση
που το κεφάλαιο δεν είναι απαραίτητη εισροή στην παραγωγή (µπορεί να παραχθεί το
προϊόν και χωρίς κεφάλαιο).
1
2
Ασκηση 3: Έστω πως έχουµε την συνάρτηση παραγωγής f ( K , L) = 10 K 3 L3 .
(α) Ποια είναι η µέση παραγωγικότητα της εργασίας και του κεφαλαίου;
1
2
q
Απάντηση: APL = = 10( K / L) 3 APK = 10( L / K ) 3
L
(β) Παραστήστε διαγραµµατικά την καµπύλη APL για Κ = 50.
2
APL
35
30
25
20
15
5
10
15
20
L
(γ) Παραστήστε διαγραµµατικά την καµπύλη ίσου προϊόντος για q = 20 .
K
10
8
6
4
2
L
2
4
6
8
10
(δ) Εµφανίζει αυτή η συνάρτηση φθίνοντα οριακό λόγο τεχνικής υποκατάστασης;
Απάντηση:
2K
Ο λόγος τεχνικής υποκατάστασης του L στο K είναι RTS =
, το οποίο φθίνει
L
καθώς αυξάνουµε το L (και µειώνεται και το Κ).
(ε) Προσδιορίστε όλες τις βραχυχρόνιες (K σταθερό) και µακροχρόνιες συναρτήσεις
κόστους (STC, TC, SAVC, SAFC, AVC, AFC, SMC, MC). Τα AVC, AFC, έπρεπε
να είναι απλώς AC, γιατί µακροχρόνια δεν υπάρχει ‘σταθερό’ κόστος.
Απάντηση:
1
2
Ελαχιστοποιούµε L = vK + wL + λ (q − 10 K 3 L2 )
ΣΠΤ:
⎫
10 L 23
v−λ ( ) = 0 ⎪
⎪ w 2K
3 Κ
⎬⇒ =
1
v
L
20 K 3
w − λ ( ) = 0⎪
⎪⎭
3 L
Αν τώρα πάρουµε την συνάρτηση παραγωγής και την διαιρέσουµε µε L
q
K 13 10 2 K 13
)
Έχουµε = 10( ) = 1 (
L
L
L
3
2
w 2K
Κάνοντας και χρήση της παραπάνω σχέσης =
έχουµε:
v
L
3
1
3
1
3
1
1
−
3
3
2
q 10 w
= 1 ( ) ⇒ L = qw v
10
L
v
23
1
3
1
1
−
2
3
⇒ wL = qw v 3
10
2
2 2
−
23
Παροµοίως βρίσκουµε vK = qw 3 v 3
10
2
3
2
3
1
3
1
1
−
2
2
3
TC =
qw v + qw v 3
10
10
−
2
3
2
1
2 3 − 23 23 2 3 13 − 13
w v + wv
AC = TC/q =
10
10
2
1
2 3 − 23 23 2 3 13 − 13
MC =
w v + w v =AC
10
10
3
wq 2
STC = vK1 +
3
2
1
2
1
10 K
3
wq 2
vK1 +
3
1
10 2 K12
q
SATC=
1
SAVC=
wq 2
3
1
10 2 K12
vK
SAFC= 1
q
1
3 wq 2
SMC=
2 32 12
10 K1
(στ) Για τιµές των εισροών v=w=2, και K1 =5, δείξετε διαγραµµατικά όλες τις
παραπάνω συναρτήσεις κόστους.
Απάντηση:
4
TC
5
4
3
2
1
q
5
10
15
20
AC,MC
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
q
5
10
15
20
STC
12
10
8
6
4
2
q
5
10
15
20
SATC
10
8
6
4
2
q
5
10
15
20
5
SAVC
1
0.8
0.6
0.4
0.2
q
5
10
15
20
5
10
15
20
SAFC
20
17.5
15
12.5
10
7.5
5
2.5
q
Άσκηση 4: Λύστε την άσκηση 11.6 του Nicholson.
Απάντηση:
∂q 1 ρ
( 1− ρ ) / ρ
• ρ K ρ −1
= [K + L ρ ]
11.6 α.
MP K =
∂K ρ
= q1− ρ • K ρ −1 = (q/K )1− ρ
1− ρ
⎛q⎞
Με αντίστοιχο τρόπο βρίσκουµε MP L = ⎜ ⎟
⎝ L⎠
β.
RTS = MP K / MP L = (L/K )1− ρ
γ.
−ρ
eq, K = ∂q /∂K • K/q = (q /K ) =
−ρ
eq, L = (q /L ) =
1
1 + (L /K )ρ
1
1
=
ρ
1 + (K /L ) 1 + (L /K )− ρ
Με κοινό παρονοµαστή βρίσκουµε:
eq, K + eq, L = 1 που µας δείχνει ότι έχουµε σταθερές αποδόσεις.
6
δ.
Εφόσον σ =
1
το αποτέλεσµα βγαίνει αβίαστα από το (α).
1− ρ
Άσκηση 5: Λύστε την άσκηση 11.8 του Nicholson.
q = f(K, L) έχει σταθερές αποδόσεις κλίµακας. Οπότε για κάθε m > 0
f(mK, mL) = mf(K, L).
Το θεώρηµα του Euler
mf(K, L) = f1K + f2L.
Εδώ το εφαρµόζουµε για την περίπτωση που το m = 1:
οπότε, q = f(K, L) =fK ⋅ K + fL . L
MPL = fL, APL = q/L.
If fL > q/L, then fL ⋅ L > q (εφόσον L > 0). Οπότε για να ισχύει η ισότητα q =
fK ⋅ K + fL ⋅ L, το fK πρέπει να είναι αρνητικό (εφόσον δεν θεωρούµε ότι
µπορεί να πάρει αρνητικές τιµές το K).
Άσκηση 6: Λύστε την άσκηση 12.4 του Nicholson αντικαθιστώντας την συνάρτηση
παραγωγής στο εγχειρίδιο µε την συνάρτηση παραγωγής q = min(6 K , 2 L ) .
12.4
q = min(6K, 2L) v = 1 w = 3 TC = vK + wL = K + 3L
α.
Μακροχρόνια, πρέπει 6K = 2L, 3K = L
LTC = K + 3 *3K = 10 K =
β.
10
L,
3
LAC =
10 K 5
=
6K 3
MC =
5
.
3
K = 10 q = min(60, 2L)
L < 30, q = 2 L
AC =
TC = 10 + 3L = 10 +
3q
2
10 3
+
q 2
Εάν L > 5, q = 60 TC = 10 + 3L
AC =
10 + 3L
60
MC είναι άπειρο για q > 60. Μέχρι να φτάσουµε τις 60 µονάδες του
προϊόντος το κόστος παραγωγής της κάθε µονάδας εξαρτάται µόνο από τις
7
επιπλέον µονάδες εργασίας – αφού το κεφάλαιο είναι σταθερό. Μετά την
ποσότητα 60 µονάδων εφόσον δεν µπορούµε να αυξήσουµε το κεφάλαιο όσο
και να αυξάνουµε την εργασία δεν θα αυξήσουµε την παραγόµενη ποσότητα.
Το οριακό κόστος παραγωγής µιας επιπλέον µονάδας γίνεται άπειρο.
MC10 = MC50 = .3/2
MC100 είναι άπειρο.
Άσκηση 7: Λύστε την άσκηση 13.2
π(q) = R(q) - C(q)
Εφάπαξ φόρος T
π(q) = R(q) - C(q) - T
∂π ∂R ∂C
−
=
−0=0
∂q ∂q ∂q
MR = MC , καµία αλλαγή
Αναλογικός φόρος π(q) = (1 - t)(R - C),
∂π
= (1 − t )(MR − MC ) = 0,
∂q
MR = MC , καµία αλλαγή
Φόρος ανά µονάδα π(q) = R(q) - C(q) - tq
∂π
= MR − MC − t = 0
∂q
MR = MC + t, το q αλλάζει: οπότε ο φόρος κατά µονάδα
έχει επίδραση στο συνολικό προϊόν.
Άσκηση 8 (δύο µονάδες): Λύστε την άσκηση 13.4
Απάντηση:
q = 100 - 2P
MC = AC = 10
α.
Μεγιστοποιείται το κέρδος όταν MR = MC
= 50q - q2/2
TR = Pq = (50 - q/2)q
MR = 50 - q MR = MC:
50 - q = 10, q = 40, P = 30, π = 800
β.
Μέγιστα έσοδα: MR = 0
50 - q = 0
q = 50, P = 25, π = 750
γ.
Περιορισµός π = 768
50q - q2/2 - 10q = 768
Βρίσκουµε: q = (32, 48)
8
Αλλά θέλουµε να µεγιστοποιήσουµε τα έσοδα οπότε q = 48, P = 26.
δ.
50
40
30
20
10
20
40
60
80
100
9

Download Report