7 0. Εισαγωγή 11. Το λεξιλόγιο της λογικής 22. Σύνολα Άλγεβρα Α΄ Λυκείου 8 0. Εισαγωγή 0.1 Λογική Α Συνεπαγωγές Β Αντιθετοαντιστροφή Γ Ισοδυναµίες ∆ Σύνδεσµοι 0.2 Σύνολα Α Σύνολα Β Σύνολα αριθµών Γ Μαθηµατικά σύµβολα ∆ Παράσταση συνόλου Ε Ισότητα συνόλων Ζ Υποσύνολα Η ∆ιαστήµατα Θ Πράξεις συνόλων Άλγεβρα Α΄ Λυκείου 0.1 9 – Λογική 0.1 Λογική Θεωρία Θα γνωρίσουµε µερικές βασικές έννοιες της λογικής, που θα χρησιµοποιούµε στη συνέχεια, για τη σαφέστερη διατύπωση µαθηµατικών εννοιών, προτάσεων κτλ… Α Συνεπαγωγή Έστω δύο µαθηµατικές έννοιες, ή όπως λέµε, δύο προτάσεις, οι P και Q Η έκφραση «Όταν ισχύει η πρόταση P ισχύει και η πρόταση Q » διατυπώνεται συµβολικά και ως « Ρ ⇒ Q » Η πιο πάνω σύνθετη πρόταση « Ρ ⇒ Q » ονοµάζεται και συνεπαγωγή και συµβολίζεται µε « ⇒ » Αν οι αριθµοί α και β είναι ίσοι, τότε και τα τετράγωνά τους α 2 , β 2 είναι ίσα. ∆ηλαδή, αν α = β , τότε θα είναι και α 2 = β 2 Οπότε, θα µπορούµε να γράψουµε τη σχέση και ως εξής: α = β ⇒ α 2 = β 2 ∆ηλαδή, η πρόταση: P : α = β , συµπεραίνει και την πρόταση: Q : α 2 = β 2 #Είναι ορθή η συνεπαγωγή x + α = y + α ⇒ x=y ; Β Άρνηση Αν θέλουµε να διατυπώσουµε ότι δεν ισχύει η πρόταση Π , θα γράφουµε Π′ Η πρόταση Π′ καλείται άρνηση της πρότασης Π Η άρνηση της πρότασης Π : a > 0 , είναι η πρόταση Π′ : a ≤ 0 #Να γράψετε την άρνηση της πρότασης Π : Ο ακέραιος ν είναι άρτιος. Γ Αντιθετοαντιστροφή Έστω οι προτάσεις P και Q Από τον ορισµό της συνεπαγωγής « Ρ ⇒ Q », προκύπτει ότι « Q ′ ⇒ P ′ » Πραγµατικά Υποθέτουµε ότι η Q ′ είναι αληθής και θα αποδείξουµε ότι και η P ′ είναι Αληθής. Αν η P ′ ήταν Ψευδής, δηλαδή η P ήταν Αληθής, τότε από υπόθεση και η Q θα ήταν Αληθής, το οποίο όµως είναι άτοπο. Οι προτάσεις « α = β ⇒ α 2 = β 2 » , « α 2 ≠ β 2 ⇒ α ≠ β » είναι ίδιες ή όπως θα δούµε αµέσως πιο κάτω, θα λέµε ότι είναι ισοδύναµες. #Αν « Ρ ⇒ Q ′ » Άλγεβρα διατυπώστε µε αντιθετοαντιστροφή, µία ισοδύναµη πρόταση. Α΄ Λυκείου 10 0.1 – Λογική ∆ Η έννοια της ισοδυναµίας Έστω οι προτάσεις P και Q Η έκφραση «Όταν ισχύει η πρόταση P ισχύει και η πρόταση Q » διατυπώνεται συµβολικά και ως « Ρ ⇒ Q » Η έκφραση «Όταν ισχύει η πρόταση Q ισχύει και η πρόταση P » διατυπώνεται συµβολικά και ως « Q ⇒ P » Τώρα, αν ισχύουν ταυτόχρονα και οι δύο προτάσεις θα λέµε ότι ισχύει η διπλή συνεπαγωγή ή η ισοδυναµία « ⇔ » θα γράφουµε « P ⇔ Q » και θα διαβάζουµε « Η P είναι ισοδύναµη µε την Q » ή « P αν και µόνο αν Q » Μπορούµε να λέµε, ότι ισχύει το «ευθύ» ( Ρ ⇒ Q ) και το «αντίστροφο» ( Q ⇒ P ) Ισχύει η συνεπαγωγή « α = β ⇒ α + γ = β + γ » Επίσης, είναι γνωστό ότι ισχύει και η συνεπαγωγή « α + γ = β + γ ⇒ α = β » ∆ηλαδή, ισχύει η ισοδυναµία « α + γ = β + γ ⇔ α = β » Ισχύει η συνεπαγωγή « α = β ⇒ α 2 = β 2 » Όµως, είναι γνωστό ότι δεν ισχύει και η συνεπαγωγή « α 2 = β 2 ⇒ α = β » ∆ηλαδή, δεν ισχύει η συνεπαγωγή για όλους τους πραγµατικούς αριθµούς α , β αφού για παράδειγµα είναι (−3) 2 = 3 2 , ενώ −3 ≠ 3 Τελικά λοιπόν, δεν ισχύει η ισοδυναµία « α 2 = β 2 ⇔ α = β » Να τονίσουµε όµως, ότι ισχύει η ισοδυναµία: « α 3 = β 3 ⇔ α = β » #Ισχύει η ισοδυναµία x − v = y − v ⇔ x=y ; Όλοι οι ισχυρισµοί δεν είναι ισοδύναµοι. Στη συνέχεια, θα δούµε όλους τους µη ισοδύναµους µετασχηµατισµούς. Άλγεβρα Α΄ Λυκείου 0.1 11 – Λογική Ε Σύνδεσµοι Έστω οι προτάσεις P , Q Ε1 Ο σύνδεσµος ή Η πρόταση Ρ ή Q είναι προφανές ότι αληθεύει στην περίπτωση που αληθεύει µία από τις P και Q Η πρόταση « Ρ ή Q » λέγεται διάζευξη των Ρ , Q ( Συµβολίζεται και µε P ∨ Q ) Είναι προφανές ότι α ⋅ β = 0 , όταν ένας τουλάχιστον από τους α ή β είναι ίσος Μηδέν και γράφουµε α = 0 ή β = 0 ∆ηλαδή, από α ⋅ β = 0 ⇒ α = 0 ή β = 0 Γενικότερα, ισχύει και η ισοδυναµία « α ⋅ β = 0 ⇔ α = 0 ή β = 0 » #Πότε αληθεύει η σύνθετη πρόταση x 2 − 1 = 0 ή x 2 − x = 0 ; Να παρατηρήσουµε ότι η πρόταση « ή Ρ ή Q » αληθεύει µόνο όταν αληθεύει µόνο µία από τις Ρ , Q και καλείται αποκλειστική διάζευξη. Ε2 Ο σύνδεσµος και Η πρόταση Ρ και Q είναι προφανές ότι αληθεύει στην περίπτωση που αληθεύει και η P και η Q Η πρόταση « Ρ και Q » λέγεται σύζευξη των Ρ , Q ( Συµβολίζεται και µε P ∧ Q ) Είναι προφανές ότι α ⋅ β ≠ 0 , όταν και οι δύο από τους α και β είναι διαφορετικοί από το Μηδέν και τότε γράφουµε α ≠ 0 και β ≠ 0 ∆ηλαδή, από α ⋅ β ≠ 0 ⇒ α ≠ 0 και β ≠ 0 Γενικότερα, ισχύει και η ισοδυναµία « α ⋅ β ≠ 0 ⇔ α ≠ 0 και β ≠ 0 » Με βάση την αντιθετοαντιστροφή, η πιο πάνω πρόταση είναι ισοδύναµη µε την παραπάνω πρόταση « α = 0 ή β = 0 ⇔ α ⋅ β = 0 » Ας δούµε, πότε είναι ταυτόχρονα 2x − 4 = 0 και x 2 − 2x = 0 2x = 4 Πρέπει 2x − 4 = 0 2 και x − 2x = 0 ⇔ x ( x − 2) = 0 x=2 ⇔ x=0 ή x=2 ⇔ x=2 Θα µπορούσαµε φυσικά, να λύσουµε την πιο απλή, την 2x − 4 = 0 ⇔ x = 2 και να αντικαταστήσουµε στην πιο σύνθετη, την x 2 − 2x = 0 και να δούµε αν αυτή ικανοποιείται. Πραγµατικά, για x = 2 , αυτή γίνεται 2 2 − 2 ⋅ 2 = 0 προφανής. #Πότε αληθεύει η σύνθετη πρόταση x 2 − 1 = 0 και x 2 − x = 0 ; Άλγεβρα Α΄ Λυκείου 12 0.1 – Λογική α Σχόλια Ας δούµε µερικά παραδείγµατα στις προτάσεις. Παράδειγµα 1 Έστω οι προτάσεις P1 : Υπάρχει πραγµατικός α , ώστε α 4 + α 2 < 0 P2 : Υπάρχει φυσικός ν , ώστε 1 2 = ν 3 P3 : Αν κ < −1 , τότε κ 2 > 1 Από τις παραπάνω, Αληθής είναι η P3 , αφού κάθε αρνητικός κάτω από το −1 αν υψωθεί στο τετράγωνο γίνεται πάνω από το 1 Οι άλλες είναι Ψευδείς. Παράδειγµα 2 Έστω οι προτάσεις P1 : Ο α είναι άρτιος. P2 : Ο β είναι περιττός P3 : Ο α + β είναι περιττός. P4 : Ο αβ είναι άρτιος. Η πρόταση « P1 και P2 ⇒ P4 » είναι Αληθής αφού, αν ο α είναι άρτιος και ο β είναι περιττός, ο αβ είναι περιττός. Η πρόταση « P1 και P3 ⇒ P2 » είναι Αληθής αφού, αν ο α είναι άρτιος και ο α + β είναι περιττός, ο β είναι περιττός. Η πρόταση « P2 και P3 ⇒ P1 » είναι Αληθής αφού, αν ο β είναι περιττός και ο α + β είναι περιττός, α είναι άρτιος. Ας δούµε, πως διατυπώνεται µία αντίστροφη σύνθετη πρόταση συνεπαγωγής αν η υπόθεση είναι και αυτή σύνθετη. Έστω ότι αν Ρ1 και Ρ2 ⇒ Q Έχουµε δύο αντίστροφες προτάσεις: Αν Ρ1 και Q ⇒ Ρ2 Αν Ρ2 και Q ⇒ Ρ1 , οι οποίες ισχύουν ή όχι. Στο παραπάνω παράδειγµα, είδαµε την αληθή πρόταση « P1 και P2 ⇒ P4 » Ένα αντίστρφο είναι « P4 και P2 ⇒ P1 » η οποία είναι Αληθής αφού αν ο αβ είναι άρτιος και ο β είναι περιττός, ο α είναι άρτιος. Άλγεβρα Α΄ Λυκείου 0.1 13 – Λογική Να τονίσουµε κάτι σηµαντικό. Η άρνηση της σύνθετης πρότασης Ρ ∨ Q , είναι η (Ρ ∨ Q )′ = Ρ ′ ∧ Q ′ Η άρνηση της σύνθετης πρότασης Ρ ∧ Q , είναι η (Ρ ∧ Q )′ = Ρ ′ ∨ Q ′ Παράδειγµα 3 Έστω οι προτάσεις Ρ1 : a < −1 , Ρ2 : a > 1 Θεωρούµε και την πρόταση P = Ρ1 ή Ρ 2 , δηλαδή την πρόταση Ρ : a < −1 ή a > 1 Η άρνηση της πρότασης Ρ είναι η πρόταση P ′ = (Ρ1 ή Ρ 2 )′ = Ρ1′ και Ρ2 ′ −1 1 δηλαδή η πρόταση Ρ ′ : a ≥ −1 και a ≤ 1 ⇔ −1 ≤ a ≤ 1 Παράδειγµα 4 Αν για τους α, β είναι α 2 + β 2 = 1 , είναι βέβαιο ότι α ≠ 0 ή β ≠ 0 Πραγµατικά Με αντιθετοαντιστροφή , η πρόταση αυτή είναι ισοδύναµη µε την πρόταση Αν όχι ( α ≠ 0 ή β ≠ 0 ) , τότε όχι ( α 2 + β 2 = 1 ) ∆ηλαδή, αν α = 0 και β = 0 , τότε θα είναι α 2 + β 2 ≠ 1 ή 0 2 + 0 2 ≠ 1 ή 0 ≠ 1 Προφανές. Παράδειγµα 5 Γνωρίζουµε ότι, αν η πρόταση Ρ1 είναι Αληθής και η πρόταση Ρ2 είναι Ψευδής τότε η πρόταση Q είναι Αληθής. Με αντιθετοαντιστροφή είναι βέβαιο ότι αν η Q δεν είναι Αληθής δεν είναι αληθής και η πρόταση ( Ρ1 είναι Αληθής και η πρόταση Ρ2 είναι Ψευδής). ∆ηλαδή αν η Q είναι Ψευδής , η πρόταση Ρ1 είναι Ψευδής, ή η πρόταση Ρ2 είναι Αληθής. Παράδειγµα 6 Έστω το τρίγωνο ΑΒΓ O Αν το τρίγωνο είναι ισοσκελές ξέρουµε ότι οι γωνίες στη βάση του είναι ίσες. Με αντιθετοαντιστροφή έχουµε το πρόβληµα: σε ένα τρίγωνο δύο γωνίες τους είναι άνισες τότε και οι πλευρές απέναντι αυτών είναι άνισες. O Αν Άλγεβρα A A B ω φ Γ B ω φ Γ Α΄ Λυκείου 14 0.1 – Λογική Συνεπαγωγές & Ισοδυναµίες Το σύµβολο « ⇒ » σηµαίνει ότι από την πρώτη σχέση προκύπτει η δεύτερη σχέση. Αν από την πρώτη σχέση προκύπτει η δεύτερη και αντίστροφα δηλαδή, αν από την δεύτερη σχέση προκύπτει και η πρώτη τότε χρησιµοποιούµε το σύµβολο της ισοδυναµίας « ⇔ » Οπότε, η πρώτη σχέση, είναι ισοδύναµη, δηλαδή είναι ίδια, µε την δεύτερη. Υπάρχουν όπως ξέρουµε, µετασχηµατισµοί, που δεν είναι ισοδύναµοι. Για παράδειγµα αν α 2 = β 2 , τότε δεν είναι βέβαιο ότι και α = β , αφού µπορεί να είναι α = −β Ας εξηγήσουµε τώρα, τι είναι πραγµατικά το συνεπάγεται. Υποθέτουµε ότι ζητάµε να βρούµε κάτι για παράδειγµα, να βρούµε τη ρίζα µίας εξίσωσης, δηλαδή να λύσουµε µια εξίσωση. Αν κινηθούµε µε συνεπάγεται, σηµαίνει ότι αυτό που θα βρούµε είναι πιθανώς αυτό που ψάχνουµε και αποκλείεται να συµβαίνει κάτι άλλο. Για παράδειγµα: είναι φανερό ότι η εξίσωση 2x = 2 έχει µοναδική ρίζα την x = 1 Ας δούµε όµως τώρα την πιο κάτω πορεία. (2x ) 2 = (2) 2 Από 2x = 2 ⇒ …υψώνουµε στο τετράγωνο ή 4x 2 = 4 ή x = 1 ή x = −1 Αυτή τη στιγµή, εµείς βρήκαµε ότι αν η αρχική εξίσωση είχε λύση, θα ήταν ή το 1 ή το −1 και κάποιος άλλος αριθµός αποκλείεται να είναι λύση της εξίσωσης. Τώρα µε µία δοκιµή αν στην αρχική εξίσωση βάλουµε όπου x = 1 , έχουµε 2 ⋅ 1 = 2 Προφανής αν στην αρχική εξίσωση βάλουµε όπου x = −1 , έχουµε 2 ⋅ (−1) = −2 Αδύνατη Άρα, διαπιστώσαµε ότι το 1 είναι µοναδική λύση της εξίσωσης. ∆ηλαδή, το «συνεπάγεται» µαζί µε δοκιµή, σου δείχνει ακριβώς τι γίνεται. ∆ηλαδή, σου κάνει «ισοδυναµίες». Αργότερα, θα δούµε όλους τους ισοδύναµους µετασχηµατισµούς. Άλγεβρα Α΄ Λυκείου 0.1 15 – Λογική Ασκήσεις α.1 ⇒ α2 = 0 α.2 ⇒ α=0 α.3 ⇒ α2 = 1 α.4 ⇒ α=1 α.5 ⇒ α3 = 1 α.6 ⇒ α=1 α.7 ⇔ α2 ≠ 0 α.8 ⇔ α2 ≠ 1 α.9 ⇒ α2 > 1 α.10 ⇒ α2 < 1 α.11 ⇒ α2 = α α=0 α2 = 0 α=1 α2 = 1 α=1 α3 = 1 α≠0 α≠1 α>1 α<1 α=1 α.12 α=1 α.13 α=1 ή β=1 α.14 α ≠ 0 και β ≠ 0 α.15 α ≠ 1 και β ≠ 1 α2 = α ⇒ α⋅β = 1 ⇔ α⋅β ≠ 0 ⇔ α⋅β ≠ 1 ⇔ α.16 α=β α.17 ⇒ λα = λβ ⇒ α.18O λα = λβ α=β Να γράψετε µε σύµβολα την πιο κάτω πρόταση: Αν δύο αριθµοί είναι ίσοι, τότε και οι κύβοι τους είναι ίσοι αριθµοί. α.19O Να γράψετε µε σύµβολα την πιο κάτω πρόταση: Αν δύο αριθµοί είναι ίσοι, τότε και τα διπλάσιά τους είναι ίσα και αντίστροφα. α.20O Έστω η πρόταση «Αν έχω χρήµατα, θα πάω στο θέατρο» ∆ιατυπώστε µε αντιθετοαντιστροφή, µία ισοδύναµη πρόταση αυτής. Άλγεβρα Α΄ Λυκείου 16 0.1 – Λογική 3 3Εργασία 1 α = 0 ⇒ 2 α < 0 ⇒ α2 > 0 3 α 3 > 1 ⇒ α>1 4 x(x − 1) = 0 ⇔ α3 = 0 x=0 ή x=1 5 Αν όταν ισχύει η πρόταση P ισχύει και η πρόταση Q τότε αν ισχύει η πρόταση Q , θα ισχύει σίγουρα και η πρόταση P 6 Αν όταν δεν ισχύει η πρόταση P ισχύει η πρόταση Q τότε αν δεν ισχύει η πρόταση Q , θα ισχύει η πρόταση P 7 Αν ισχύει η ισοδυναµία « P ⇔ Q » , ισχύει και η ισοδυναµία « P ′ ⇔ Q ′ » 8Στις παρακάτω διαδικασίες να συµπληρώσετε µε το σύµβολο του « ⇔ » όπου είναι δυνατό ή µε το « ⇒ » α) x = 0 … αx = 0 δ) x = 1 … 2x = 2 β) x + 1 = y + 1 … x = y γ) x = 1 και y = 2 … x + y = 3 ε) x = 1 … x 2 = 1 9O Η Σοφία λέει την αλήθεια κάθε ∆ευτέρα, Τρίτη, Τετάρτη και Πέµπτη Η αδερφή της η Μαρία λέει την αλήθεια κάθε Παρασκευή , Σάββατο και Κυριακή. Αν και δύο πουν στην µητέρα τους ότι «Χτες είπα ψέµατα», τι µέρα είναι σήµερα ; 10Οι δύο φρουροί ενός βασιλιά, έπιασαν έναν, ο οποίος προσπάθησε να κλέψει το βασιλικό στέµα και πριν τον φυλακσίσουν, του έδωσαν µία ευκαιρία. Υπάρχουν δύο πόρτες από τις οποίες η µία οδηγεί στη Φυλακή και η άλλη στην Ελευθερία. Επίσης ο ένας φρουρός λέει πάντα την Αλήθεια και ο άλλος λέει πάντα Ψέµατα. Αν καταφέρει ο αιχµλάλωτος µε µία ερώτηση σε έναν από τους δύο φρουρούς να ανακαλύψει την πόρτα της ελευθερίας, τότε θα τον αφήσουν ελεύθερο. Τι λέτε, αν ρωτούσε τον ένα φρουρό: «Κατά τη γνώµη του συναδέλφου σου ποια είναι η πόρτα που οδηγεί στην Ελευθερία», θα κατάφερνε να την γλυτώσει; Άλγεβρα Α΄ Λυκείου 0.2 17 – Σύνολα 0.2 Σύνολα Θεωρία Α Α Σύνολα Σύνολο, είναι κάθε συλλογή αντικειµένων που προέρχονται από την εµπειρία µας ή τη διανόησή µας είναι καλά ορισµένο και τα στοιχεία του διακρίνονται το ένα από το άλλο. ∆ηλαδή, λέµε κάθε οµάδα διαφορετικών αντικειµένων µε µία σαφή κοινή ιδιότητα. Τα σύνολα τα συµβολίζουµε µε ένα από τα κεφαλαία γράµµατα του αλφάβητου. Η οµάδα των µαθητών της πόλης της Λαµίας, αποτελεί ένα σύνολο. Με την έκφραση «οι καλοί µαθητές της πόλης της Λαµίας» δεν διατυπώνουµε σύνολο, αφού δεν είναι σαφώς ορισµένη η έννοια του καλού µαθητή. #Γράψτε ένα σύνολο. Β Σύνολα αριθµών Ας δούµε πρώτα τα χαρακτηριστικότερα γνωστά µας σύνολα αριθµών. Β1 Σύνολο φυσικών Ν Είναι το σύνολο των αριθµών 0,1,2,3,... Β2 R A Q Z Σύνολο ακεραίων Ζ N Είναι το σύνολο των αριθµών 0 , ± 1 , ± 2 , ± 3, ... Β3 Σύνολο ρητών Q Είναι το σύνολο των αριθµών, που γράφονται σαν κλάσµατα µε όρους ακεραίους π.χ. 1 2 Β4 Σύνολο άρρητων A Είναι το σύνολο των αριθµών που δεν γράφονται σαν κλάσµατα µε όρους ακέραιους αριθµούς, π.χ. 2 Β5 Σύνολο πραγµατικών R Είναι το σύνολο όλων των αριθµών, ρητών και άρρητων. Ο αριθµός 3 είναι φυσικός, αλλά µπορεί να χαρακτηριστεί και ακέραιος αλλά και σαν ρητός, αφού 3 = 3 , αλλά προσοχή δεν είναι άρρητος. 1 #Να βρείτε, ποιοι από τους αριθµούς −1 , − 23 , 0 , Άλγεβρα 3, 2 , 4 είναι ακέραιοι. 3 Α΄ Λυκείου 18 0.2 – Σύνολα Γ Μαθηµατικά σύµβολα Ας προσέξουµε πρώτα, όλα τα πιο κάτω σύµβολα που µας βοηθούν να γράφουµε πιο κοµψά τις σχέσεις µας. ∈ σηµαίνει «Ανήκει» ∉ σηµαίνει «∆εν ανήκει» ∃ ∀ ⇒ σηµαίνει «Υπάρχει» σηµαίνει «Για κάθε» και τα γνωστά µας σύµβολα σηµαίνει «Συνεπάγεται» ⇔ σηµαίνει «Ισοδύναµο» …Το οποίο δεν χρησιµοποιείται. …Το οποίο δεν χρησιµοποιείται. Για παράδειγµα, από δω και πέρα, αντί να λέµε ο αριθµός ν είναι φυσικός θα µπορούµε να γράφουµε « ν ∈ Ν » Η έκφραση: Ο αριθµός 1 1 δεν είναι ακέραιος, γράφεται ως ∉ Z 2 2 #Είναι ορθός ο ισχυρισµός 2 ∈ Q ; ∆ Παράσταση συνόλου Για να συµβολίσουµε ένα σύνολο στα Μαθηµατικά, χρησιµοποιούµε ένα από τα κεφαλαία γράµµατα του Ελληνικού ή του Λατινικού αλφαβήτου ενώ για τα στοιχεία του χρησιµοποιούµε συνήθως, τα µικρά γράµµατα αυτών. Για παράδειγµα, το σύνολο των ψηφίων του αριθµού του τηλεφώνου µου το συµβολίζουµε µε Α και το τυχόν ψηφίο του αριθµού του τηλεφώνου, µε α ∆1 Αναγραφή των στοιχείων Όταν δίνονται τα στοιχεία του και είναι λίγα σε πλήθος, γράφουµε τα στοιχεία αυτά µεταξύ δύο αγκίστρων { _ , _ , _ , . . . } χωρίζοντας τα µε κόµµα. Η σειρά των στοιχείων του ανάµεσα στα δύο άγκιστρα δεν έχει σηµασία. Πολλές φορές πάλι, γράφουµε ανάµεσα στα άγκιστρα µερικά παραλείποντας τα υπόλοιπα, αρκεί βέβαια να είναι σαφές ποια είναι αυτά που λείπουν και µάλιστα γράφονται από µία φορά. Αυτός ο τρόπος, λέγεται παράσταση συνόλου µε αναγραφή των στοιχείων. Το σύνολο των µονοψήφιων αριθµών µε αναγραφή, είναι το Α = {0,1,2,...,9} #Παραστήστε το σύνολο των γραµµάτων της λέξης «ΛΑΜΑ», µε αναγραφή. Άλγεβρα Α΄ Λυκείου 0.2 19 – Σύνολα ∆2 Περιγραφή των στοιχείων Τα σύνολα όµως, µπορούµε να τα παραστήσουµε και µε βάση την κοινή ιδιότητα που χαρακτηρίζει τα στοιχεία τους. Αυτός ο τρόπος, λέγεται παράσταση συνόλου µε περιγραφή των στοιχείων. Για να δηλώσουµε ότι ένα στοιχείο x ανήκει στο σύνολο A , γράφουµε x ∈ A Για παράδειγµα 0 ∈ {0,1,2,3} Το σύνολο Α = {1,2,3} µε περιγραφή, είναι το Α = {ν ∈ N , µε 1 ≤ ν ≤ 3} Το σύνολο των άρτιων ακεραίων συµβολίζεται Α = {ν ∈ Z , όπου ν : άρτιος} ή Α = {ν = 2ρ , όπου ρ : ακέραιος} #Παραστήστε το σύνολο των γραµµάτων της λέξης ∆3 «ΜΑΜΑ», µε αναγραφή. ∆ιαγράµµατα Venn Για µια πιο εποπτική παρουσίαση των συνόλων χρησιµοποιούµε και τα διαγράµµατα του Venn όπου τοποθετούµε τα στοιχεία τους µε «τελίτσες». Το σύνολο Σ των γραµµάτων της λέξης «Μαµά» παριστάνεται ως: α Σ Μ µ ά Προσοχή, εδώ είναι διαφορετικό το α από το ά και το Μ από το µ #Παραστήστε το σύνολο των µονοψηφίων αριθµών, µε διάγραµµα Venn Ε Ισότητα συνόλων ∆ύο σύνολα Α και Β λέγονται ίσα όταν έχουν ακριβώς τα ίδια στοιχεία και τότε θα γράφουµε Α = Β ∆ηλαδή δύο σύνολα Α και Β λέγονται ίσα, όταν κάθε στοιχείο του Α είναι και στοιχείο του Β και αντιστρόφως κάθε στοιχείο του Β είναι και στοιχείο του Α Αν δύο σύνολα δεν είναι ίσα, είναι διάφορα, όχι άνισα και γράφουµε Α ≠ Β Τα σύνολα Α = {0,1,2} και Β = {1,0,2} είναι ίσα. #Εξετάστε αν τα σύνολα Α = {x ∈ R µε Άλγεβρα x 2 = 4} και Β = {2} είναι ίσα. Α΄ Λυκείου 20 0.2 – Σύνολα Ζ Υποσύνολα Α Β Ένα σύνολο Β λέγεται υποσύνολο ενός συνόλου Α όταν κάθε στοιχείο του Β είναι και στοιχείο του Α και συµβολίζουµε Β ⊆ Α Είναι προφανές ότι Α ⊆ Α για κάθε σύνολο Α (Ανακλαστική) Αν Α ⊆ Β και Β ⊆ Α , τότε Α = Β (Αντισυµµετρική) Αν Α ⊆ Β και Β ⊆ Γ , τότε Α ⊆ Γ (Μεταβατική) Το σύνολο που δεν έχει στοιχεία, λέγεται κενό σύνολο και συµβολίζεται µε ∅ ή { } Το κενό σύνολο, δεχόµαστε ότι είναι υποσύνολο κάθε συνόλου. Το σύνολο Α = {0,1} είναι ένα υποσύνολο του Ω = {0,1,2,3} #Γράψτε ένα µη κενό υποσύνολο Α του συνόλου Ω = {0,1,2,3} Είναι προφανές, ότι Α ⊆ Β όταν για το τυχόν κ ∈ Α είναι και κ ∈ Β ∆ηλαδή, για να αποδείξουµε ότι το σύνολο Α είναι υποσύνολο του Β αρκεί να θεωρήσουµε το τυχόν στοιχείο κ ∈ Α και να διαπιστώσουµε ότι και κ ∈ Β Είναι προφανές τώρα, ότι ένα σύνολο A δεν είναι υποσύνολο ενός συνόλου B όταν έστω και ένα στοιχείο του A δεν ανήκει στο B Το σύνολο Ν είναι ένα υποσύνολο του R , αφού κάθε φυσικός αριθµός ν είναι και πραγµατικός, δηλαδή αφού για το τυχόν ν ∈ N είναι και ν ∈ R Το σύνολο Ζ δεν είναι υποσύνολο του Ν , αφού ο αριθµός −1 του Ζ δεν ανήκει στο Ν #Να εξετάσετε αν το σύνολο {x ∈ N ώστε 2x 2 − x = 0 } είναι υποσύνολο του N Να τονίσουµε, ότι στην περίπτωση που Α ⊆ Β και υπάρχει έστω και ένα στοιχείο του Β που δεν ανήκει στο Α Β Α ειδικότερα λέµε, ότι το Α είναι γνήσιο υποσύνολο του Β και γράφουµε Α ⊂ Β …αλλά σαν έννοια χρησιµοποιείται σπάνια. Άλγεβρα Α΄ Λυκείου 0.2 21 – Σύνολα Η ∆ιαστήµατα Μπορούµε να παραστήσουµε όλους τους πραγµατικούς αριθµούς πάνω σε έναν άξονα, ο οποίος λέγεται άξονας των πραγµατικών αριθµών. Το σύνολο όλων των αριθµών που είναι για παράδειγµα β α µεγαλύτεροι από το α και µικρότεροι από το β συµβολικά το γράφουµε (α, β) και το λέµε ανοιχτό διάστηµα από α µέχρι β ∆ηλαδή (α, β) = {x ∈ R ώστε α < x < β } Αν θέλουµε το σύνολο αυτό να περιλαµβάνει και τους αριθµούς α και β τότε το γράφουµε [α, β ] και το λέµε κλειστό διάστηµα από α µέχρι β Οι αριθµοί α και β λέγονται άκρα του διαστήµατος. α β ∆ηλαδή [α, β ] = {x ∈ R ώστε α ≤ x ≤ β } Κάθε διάστηµα, ανοιχτό ή κλειστό, περιλαµβάνει όλους τους αριθµούς που είναι ανάµεσα στα άκρα του. Η διαφορά µεταξύ κλειστού και ανοιχτού διαστήµατος, είναι ότι το κλειστό περιλαµβάνει και τα άκρα του, ενώ το ανοιχτό όχι. Άλλες µορφές διαστηµάτων είναι: [α, β) - Κλειστό αριστερά, ανοιχτό δεξιά. (α, β ] - Ανοιχτό αριστερά, κλειστό δεξιά. Με µορφή διαστήµατος, µπορούµε να γράψουµε και το σύνολο όλων των αριθµών που είναι µεγαλύτεροι ή ίσοι του β και συµβολίζεται µε [β,+∞ ) Επίσης, το σύνολο των αριθµών που είναι µικρότεροι ή ίσοι του α γράφεται (−∞, α] Τα σύµβολα −∞ , +∞ διαβάζονται «πλην άπειρο», «συν άπειρο» αντίστοιχα και θεωρούνται κατ’ εκδοχή, σαν αριθµοί. Τα διαστήµατα είναι υποσύνολα του R και περιέχουν άπειρα στοιχεία. Για παράδειγµα: [0,1] = { x ∈ R µε 0 ≤ x ≤ 1} Το διάστηµα D = [0,1) µε περιγραφή είναι το D = {x ∈ R , 0 ≤ x < 1} #Παραστήστε µε τη µορφή διαστήµατος, το σύνολο D = {x ∈ R , − 1 < x ≤ 0} Άλγεβρα Α΄ Λυκείου 22 0.2 – Σύνολα Θ Πράξεις συνόλων Πράξεις Όταν χρησιµοποιούµε σύνολα Θ1 τα θεωρούµε υποσύνολα ενός συνόλου Ω Α που λέγεται βασικό ή καθολικό σύνολο αναφοράς. Συνήθως, το βασικό σύνολο το συµβολίζουµε µε ένα ορθογώνιο µέσα στο οποίο παριστάνουµε κάθε υποσύνολό του µε µια κλειστή καµπύλη γραµµή. Θ2 Ω Ένωση Το σύνολο που έχει ως στοιχεία τα κοινά και τα µη κοινά στοιχεία των Α , Β δηλαδή όλα τα στοιχεία των Α , Β δηλαδή το σύνολο των στοιχείων του βασικού συνόλου Ω που ανήκουν τουλάχιστον σε ένα από τα Α , Β λέγεται ένωση των συνόλων Α , Β και συµβολίζουµε Α ∪ Β Β Α ∆ηλαδή, η ένωση περιέχει όλα τα στοιχεία των Α , Β ∆ηλαδή Α ∪ Β = {x ∈ Ω | x ∈ A ή x ∈ B} Ω Α∪Β Αν Α = {0,1,2,3} και Β = {2,3,4,5} είναι Α ∪ Β = {0,1,2,3,4,5} #Αν Α = {0,1,2} και Β = {2,3,4} , γράψτε το σύνολο Α ∪ Β Θ3 Τοµή Τοµή δύο υποσυνόλων Α και Β ενός βασικού συνόλου Ω Β Α λέγεται το σύνολο των στοιχείων του Ω που ανήκουν και στα δύο σύνολα Α , Β και συµβολίζεται µε Α ∩ Β ∆ηλαδή, η τοµή περιέχει τα κοινά στοιχεία των Α , Β Ω Α∩Β ∆ηλαδή Α ∩ Β = {x ∈ Ω | x ∈ A και x ∈ B} Αν Α = {0,1,2,3} και Β = {2,3,4,5} , είναι Α ∩ Β = {2,3} #Αν Α = {0,1,2} και Β = {3,4} , γράψτε το σύνολο Α ∩ Β Στην περίπτωση που δύο σύνολα Α και Β δεν έχουν κοινά στοιχεία δηλαδή, όταν Α ∩ Β = ∅ , τα δύο σύνολα λέγονται και ξένα µεταξύ τους. Άλγεβρα Α΄ Λυκείου 0.2 23 – Σύνολα Θ4 Συµπλήρωµα Ονοµάζουµε συµπλήρωµα ενός συνόλου Α ⊆ Ω Ω το σύνολο που περιέχει εκείνα τα στοιχεία του Ω Α τα οποία δεν ανήκουν στο Α Α′ Το συµπλήρωµα του Α το συµβολίζουµε Α ′ ( ή Α c ) ∆ηλαδή Α ′ = {x ∈ Ω | x ∉ A} Έστω το σύνολο αναφοράς Ω = {0,1,2,...,9} και το υποσύνολό του Α = {0,1,2,3} Είναι Α ′ = { 4,5,6,7,8,9} #Έστω το σύνολο αναφοράς Ω = {0,1,2,...,9} και το υποσύνολό του Α = {0,1,2} Γράψτε το σύνολο Α ′ Στην ουσία το συµπλήρωµα Α ′ του Α, είναι η άρνηση του Α Θ5 ∆ιαφορά συνόλων Ορίζουµε σαν διαφορά Α − Β το σύνολο που έχει σαν στοιχεία Α Β εκείνα τα στοιχεία του συνόλου Α που δεν ανήκουν στο σύνολο Β Α-Β Ω ∆ηλαδή Α − Β = {x ∈ Α και x ∉ Β} Είναι προφανές ότι Α − Β = Α ∩ Β ′ = Α − (Α ∩ Β ) −∞ Είναι R * = R − {0} = (−∞ ,0) ∪ (0,+∞ ) +∞ 0 #Παραστήστε µε διάγραµµα Venn το σύνολο Α = {0,1,2,3} − {1,3} Στην ουσία το Α-Β είναι το συµπλήρωµα του Β, µε σύνολο αναφορά το Α Άλγεβρα Α΄ Λυκείου 24 0.2 – Σύνολα α Ίσα σύνολα Ίσα σύνολα είναι εκείνα τα σύνολα, που έχουν ακριβώς τα ίδια στοιχεία. Θέµα 1 Να βρείτε σε ποιες από τις περιπτώσεις α) Α = {α, β, γ } Β = { γ, α, β} β) Α = {2,4,6,8} Β = { 4,6,8} γ) Α = {x ∈ Z /− 3 ≤ x < 1} Β = { −3,−2,−10} έχουµε ίσα σύνολα. Απάντηση α) Είναι Α = Β , γιατί έχουν τα ίδια ακριβώς στοιχεία. β) Είναι Α ≠ Β , γιατί 2 ∈ Α , ενώ 2 ∉ Β γ) Είναι προφανές ότι Α = { −3,−2,−1,0} και άρα Α ≠ Β Θέµα 2 Αν τα σύνολα Α = {1,2, x } και B = {2,5, y} είναι ίσα, θα βρούµε τους x και y Απάντηση Επειδή το 2 ανήκει και στα δύο σύνολα, πρέπει x = 5 και y = 1 Θέµα 3 Θα εξετάσουµε αν τα σύνολα {1,2} ∩ {12} και {1} ∩ { } είναι κενά. Απάντηση Είναι {1,2} ∩ {12} = ∅ , αφού τα σύνολα δεν έχουν κανέναν κοινό στοιχείο. Είναι {1} ∩ { } = ∅ , αφού η τοµή µε το κενό είναι πάντα το κενό. Ασκήσεις α.1O Να βρείτε σε ποιες από τις παρακάτω περιπτώσεις: α) Α = {2,5,9} Β = {2,9,5} { β) Α = y ∈ Ν / y2 = 4 } Β = {2 } γ) Α = {x ∈ Ζ / − 2 ≤ x < 2} Β = { −2,−1,0,1,2} έχουµε ίσα σύνολα. α.2O Αν τα σύνολα Α = {3,5,2, y} και B = {2,5,7, x } είναι ίσα, να βρείτε τους x, y α.3O Ποιο απ’ τα Α = {x ∈ R : x + 5 = 5 } , Β = x ∈ R : x 2 + 5 = 0 α.4O Αν { −1 , 2 λ2 , 2 λ + 1} = {κ , 8 ,5} , λ ∈ Ζ , να αποδείξετε ότι κ = −1 , λ = 2 { Άλγεβρα } είναι κενό ; Α΄ Λυκείου 0.2 25 – Σύνολα β Παράσταση συνόλου Θέµα 1 Θα γράψουµε µε αναγραφή τα σύνολα α) Α = {κ ∈ Ζ / − 3 ≤ κ ≤ 3} β) Β = { ν ∈ Ν / ν 2 = 16} γ) Γ = { (x, y) / x ∈ N , y ∈ N ώστε x + y = 3} Απάντηση α) Α = { −3,−2,−1,0,1,2,3} β) ν 2 = 16 ⇔ ν = 4 ή ν = −4 και επειδή ν ∈ N , είναι ν = 4 , οπότε Β = { 4} γ) Θα βρούµε όλα τα ζεύγη των φυσικών αριθµών, µε άθροισµα 3 Είναι προφανές, ότι το σύνολο αυτών εκφράζεται ως: Γ = {(0,3), (1,2), (2,1), (3,0)} Θέµα 2 Θα γράψουµε µε περιγραφή των στοιχείων του, το σύνολο Α = {0,1,2,3,...,9} Απάντηση Είναι προφανές ότι Α = { ν ∈ N , ώστε ο ν να είναι µονοψήφιος αριθµός} Θέµα 3 Θα παραστήσουµε µε διάγραµµα του Venn, το σύνολο Α = {0,1,2,3} Απάντηση 1 2 0 3 Είναι προφανής η διπλανή παράσταση. Ασκήσεις β.1O Να παραστήσετε µε αναγραφή των στοιχείων το σύνολο Α = {( x, y) ώστε x, y ∈ Ζ και x 2 + y 2 = 5} β.2O Να παραστήσετε µε αναγραφή των στοιχείων το σύνολο Α = { x ∈ Z , ώστε 6688 < −2x + 6709 ≤ 6699} β.3O Να παραστήσετε µε περιγραφή των στοιχείων του, το Α = {−9,−8,...,0,1,2,...,9} β.4O Να παραστήσετε µε διάγραµµα του Venn, το σύνολο Α = {−9,−8,...,0} β.5O 10 ⎧ ⎫ ∈ Ν⎬ Να γράψετε µε αναγραφή των στοιχείων, το Α = ⎨ ν ∈ Ν : ν ⎩ ⎭ Άλγεβρα Α΄ Λυκείου 26 0.2 – Σύνολα γ Πράξεις µε σύνολα Θέµα 1 Έστω τα σύνολα Α = {0,3,5} , Β = {0} , Γ = {3,5} και ∆ = {5,3} Θα εξετάσουµε ποιοι από τους παρακάτω ισχυρισµούς α) Α ⊆ Β β) Β ⊆ Γ γ) Γ ⊆ ∆ είναι ορθοί. Απάντηση α) Έχουµε 3 ∈ Α ενώ 3 ∉ Β , άρα ο ισχυρισµός Α ⊆ Β είναι Ψευδής. β) Όµοια το 0 ∈ Β ενώ 0 ∉ Γ , άρα ο ισχυρισµός Β ⊆ Γ είναι Ψευδής. γ) Ισχύει Γ = ∆ είναι Αληθής. , άρα ο ισχυρισµός Γ ⊆ ∆ Θέµα 2 Έστω το σύνολο αναφοράς Ω = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10} Ω 0 και τα υποσύνολά του Α = {2,4,6,8} και Β = {1,2,3,4,5,6,7} 4 2 8 5 6 9 6 Β Α Θα βρούµε τα σύνολα Α ∪ Β , Α ∩ Β , Α' και Β' 8 7 Απάντηση Α ∪ Β = {1,2,3,4,5,6,7,8} , Α ∩ Β = {2,4,6} , Α' = {1,3,5,7,9,10} , Β' = {8,9,10} Ασκήσεις γ.1O Για τα σύνολα Α = { −1,2,3,0} , Β = {2,−1,0} , Γ = {2} και ∆ = {0,−1,2} ποιος από τους παρακάτω ισχυρισµούς είναι σωστός. α) Α ⊆ Β γ.2O β) Γ ⊆ Β δ) Γ ∈ Β γ) Β ⊆ ∆ Έστω το σύνολο αναφοράς Ω = {−1,0,1,2,3,4,5} και τα Α = {0,1,3} , Β = {1,3,4,5} Να βρείτε τα σύνολα Α ′ , Β ′ , ( Α ∪ Β) ′ , Α ′ ∪ Β , ∅ ′ και Ω ′ γ.3O Αν Α = {0,2,3,7,−4} , Β = {0,5,7,−4} και Γ = {2,3,7,1} να βρείτε τα σύνολα Α ∩ (Β ∪ Γ) και ( Α ∪ Β) ∪ ( Α ∩ Γ) γ.4O Να βρείτε τα σύνολα, που προκύπτουν από τις πιο κάτω τοµές και ενώσεις. α) (− ∝,4 ] ∪ [ −2,7 ) γ.5O γ) (− 4,2 ] ∪ (2,+ ∝ ) Να βρείτε τα σύνολα, που προκύπτουν από τις πιο κάτω τοµές και ενώσεις. α) (−1,2 ] ∩ {− 1,1,2} γ.6O β) [− 5,10) ∩ [10,12] β) (−1,2 ] ∪ {− 1,1,2} Να βρείτε το πλήθος των στοιχείων, των παρακάτω συνόλων. α) { } Άλγεβρα β) ∅ γ) { ∅ } δ) { { } ε) { { } } ζ) { { , } } Α΄ Λυκείου 0.2 27 – Σύνολα δ ∆ιευκρινίσεις στα σύνολα αριθµών Ας δούµε και τους συµβολισµούς. N * = { 1 , 2 , 3 ,...} Z − = { 0, − 1, − 2, − 3,...} R − = { x ∈ R µε x ≤ 0 } R + = { x ∈ R µε x ≥ 0 } Z + = { 0, + 1, + 2, + 3...} = Ν R * = { x ∈ R µε x ≠ 0 } Οι πιο πάνω συµβολισµοί, µας δίνουν περισσότερη άνεση στη γραφή. Ο αριθµός π ισούται περίπου µε π = 3,141592... και µε άπειρα δεκαδικά ψηφία. και προφανώς δεν είναι ρητός. αφού δεν µπορεί να γραφτεί ως κλάσµα ακεραίων. Να τονίσουµε, ότι δύο ρητοί σε κάθε πράξη τους, δίνουν πάντα ρητό αριθµό. Όµως δύο άρρητοι, δεν συµπεριφέρονται το ίδιο. Για παράδειγµα, αν θεωρήσουµε τους άρρητους αριθµούς α = 2 και β = 1 − 2 το άθροισµά τους α + β , είναι ο αριθµός α + β = 2 + 1 − 2 = 1 : ρητός. Θέµα 1 Αν ο α είναι ρητός και ο β άρρητος, ο α + 1 είναι ρητός και ο α + β είναι άρρητος Απάντηση κ κ κ+λ , κ ∈ Ζ , λ ∈ Ζ * , είναι α + 1 = + 1 = , που είναι προφανώς ρητός. λ λ λ µ Αν ο α + β ήταν ρητός, έπρεπε να υπάρχουν µ ∈ Ζ , ν ∈ Ζ * ώστε α + β = ν µ κ µλ − κν και ισοδύναµα β = − = ∈ Q Άτοπο, οπότε ο α + β είναι άρρητος. ν λ λν Αν α = Ασκήσεις δ.1O Ποιοι από τους αριθµούς 1 , 4 , 3 , 1 1 2 , και είναι ρητοί ; 11,1 11 3 2ν + 3 , ν ∈ Ν * δεν είναι φυσικός. 2ν δ.3O ∆ώστε ένα παράδειγµα δύο άρρητων αριθµών, ώστε το άθροισµά τους δ.2O Να αποδείξετε ότι ο αριθµός Α = να είναι ρητός αριθµός. δ.4O Αν ο α είναι ρητός, να αποδείξετε ότι και ο αριθµός Α = α+1 α2 + 1 είναι ρητός. 1 9 δ.6O Αν ο α είναι άρρητος, να αποδείξετε ότι οι αριθµοί α + 1 , 2α είναι άρρητοι. δ.5O Να αποδείξετε ότι ο αριθµός d = 0,1111... είναι ρητός και ισούται µε d = Άλγεβρα Α΄ Λυκείου 28 0.2 – Σύνολα ε Θεωρητικά θέµατα Ας δούµε τα πιο κάτω θέµατα. Θέµα 1 Έστω τα σύνολα Α και Β του συνόλου αναφοράς Ω Θα βρούµε το σύνολο Κ , µε στοιχεία εκείνα τα στοιχεία του Ω ώστε αυτά να ανήκουν στο Α και να µην ανήκουν στο Β Απάντηση Είναι προφανές ότι Κ = Α − Β Επίσης, αξίζει να παρατηρήσουµε B A Ω \ ότι Κ ∩ (Α ∩ Β) = ( Α − Β) ∩ ( Α ∩ Β) = ∅ και Κ ∪ (Α ∩ Β) = Α A ∩B Κ = A−B Θέµα 2 Έστω τα σύνολα Α και Β του συνόλου αναφοράς Ω Επιλέγουµε ένα στοιχείο του Ω , που να µην ανήκει σε κανένα από τα Α και Β Θα βρούµε σε ποιο σύνολο ανήκει. Απάντηση Το στοιχείο του Ω που δεν ανήκει σε κανένα από τα Α , Β δηλαδή, ούτε στο Α ούτε στο Β Ω Α Β (A ∪ B)′ ανήκει τελικά στο σύνολο ( A ∪ B) ′ , δηλαδή στο συµπλήρωµα της ένωσης A ∪ B Θέµα 3 Έστω τα σύνολα Α και Β του συνόλου αναφοράς Ω Επιλέγουµε ένα στοιχείο του Ω , που ανήκει ή µόνο στο Α ή µόνο στο Β Θα βρούµε σε ποιο σύνολο ανήκει. Απάντηση Το σύνολο που έχει σαν στοιχεία τα στοιχεία του Α Ω Α Β που δεν ανήκουν στο Β είναι το Α − Β που γράφεται και ως: Α − Β = Α − (Α ∩ Β) = Α ∩ Β ′ A−B Β− Α Όµοια το σύνολο που έχει σαν στοιχεία τα στοιχεία του B που δεν ανήκουν στο A είναι το B − A , που γράφεται και B − A = B − A ∩ B = B ∩ A ′ Το στοιχείο του Ω που ανήκει ή µόνο στο Α ή µόνο στο Β , ανήκει στο ένα από τα σύνολα A − B ή Β − Α δηλαδή, είναι τελικά το σύνολο ( A − B) ∪ (Β − Α) Άλγεβρα Α΄ Λυκείου 0.2 29 – Σύνολα Θέµα 4 Έστω τα σύνολα Α και Β , του συνόλου αναφοράς Ω Ξέρουµε ότι για κάθε στοιχείο του Ω που ανήκει στο Α , ανήκει και στο Β Θα βρούµε τα σύνολα Α ∩ Β , Α ∪ Β , Α ∩ Β ′ και Α ′ ∪ Β Απάντηση Το Α είναι προφανώς υποσύνολο του Β Ω Β Α Οπότε Α ∩ Β = Α , Α ∪ Β = Β , Α ∩ Β ′ = ∅ και Α ′ ∪ Β = Ω Θέµα 5 Έστω τα σύνολα Α , Β και Γ του συνόλου αναφοράς Ω Θα παραστήσουµε µε διάγραµµα του Venn το ενδεχόµενο ( Α ∩ Β) ∩ Γ Α Απάντηση Β Γ Είναι προφανές το διπλανό σχήµα. Θέµα 6 Για τα ενδεχόµενα Α , Β , είναι ( A ∪ B) ′ = Α ′ ∩ Β ′ …Τύπος De Morgan Απάντηση Αν ω είναι ένα στοιχείο του ( A ∪ B)′ τότε το ω δεν θα ανήκει στο A ∪ B και αυτό θα συµβαίνει µόνο αν το ω δεν ανήκει στο Α και δεν ανήκει στο Β Ω Β Α δηλαδή, µόνο όταν το ω ανήκει στο Α ′ και ανήκει στο Β ′ δηλαδή, όταν το ω ανήκει στο Α ′ ∩ Β′ και άρα ( A ∪ B) ′ ⊆ Α ′ ∩ Β ′ Αν ω είναι ένα στοιχείο του Α ′ ∩ Β ′ τότε το ω θα ανήκει στο Α ′ και το ω θα ανήκει στο Β ′ και αυτό θα συµβαίνει µόνο αν το ω δεν ανήκει στο Α και το ω δεν ανήκει στο Β δηλαδή, µόνο όταν το ω δεν ανήκει στο Α ή στο Β δηλαδή, όταν το ω ανήκει στο ( A ∪ B)′ και άρα Α ′ ∩ Β ′ ⊆ ( A ∪ B) ′ Ω Β Α (A ∪ B)′ Οπότε ( A ∪ B)′ = Α′ ∩ Β′ Θα µπορούσαµε να αποδείξουµε τα πιο πάνω, µόνο µε τα διαγράµµατα Venn. Επίσης ισχύει ( A ∩ B) ′ = Α ′ ∪ Β ′ Άλγεβρα Α΄ Λυκείου 30 0.2 – Σύνολα Ασκήσεις Ω ε.1O Έστω τα σύνολα Α και Β του συνόλου αναφοράς Ω Επιλέγουµε ένα στοιχείο του Ω που δεν ανήκει στο Α ή δεν ανήκει στο Β Να βρείτε σε ποιο σύνολο ανήκει. Β Α Ω Α ε.2O Β Έστω τα σύνολα Α και Β του συνόλου αναφοράς Ω Ξέρουµε ότι κάθε στοιχείο του Ω που δεν ανήκει στο Α , δεν ανήκει και στο Β Να βρείτε τα σύνολα Α ∩ Β , Α ∪ Β και Α ∪ Β ′ ε.3O Έστω τα σύνολα Α και Β του συνόλου αναφοράς Ω Ξέρουµε ότι κάθε στοιχείο του Ω που ανήκει στο Α , δεν ανήκει στο Β Να εξετάσετε αν τα Α και Β είναι ξένα. ε.4O Να αποδείξετε και µε τη θεωρία συνόλων, ότι για τα οποιαδήποτε υποσύνολα Α και Β ενός συνόλου αναφοράς Ω , είναι ( A ∩ B)′ = Α ′ ∪ Β′ Να δώσετε επίσης και την παράσταση µε τη βοήθεια των διαγραµµάτων του Venn ε.5O Να αποδείξετε ότι για τα όλα σύνολα Α και Β µε Α ⊆ Β , είναι Β ′ ⊆ A ′ Α ε.6O Έστω τα σύνολα Α , Β και Γ του συνόλου αναφοράς Ω Να παραστήσετε µε διάγραµµα του Venn το ( Α ∩ Β) ∪ Γ ε.7O Αν {k, k ∈ N * } ⊆ {n ∈ Ν : n 3 = 4n} , να αποδείξετε ότι k = 2 ε.8O Να αποδείξετε ότι Β Γ Ω αν οι αριθµοί λ + 1 , 4 λ + 2 , λ ∈ Ν , αποτελούν στοιχεία ενός συνόλου Α και οι αριθµοί 3 λ − 1 , 6λ , λ ∈ Ν , αποτελούν κι΄ αυτά στοιχεία ενός συνόλου Β Αν τώρα είναι Α = Β , να αποδείξετε ότι λ = 1 ε.9O Έστω το σύνολο αναφοράς Ω και τα µη κενά υποσύνολά του Α, Β, Γ όπως φαίνονται στο πια κάτω σχήµατα , µε τα διαγράµµατα του Venn Α Ω α) Α Β Ω Γ Β Γ β) Να εκφράσετε τα γραµµοσκιασµένα χωρία , ως συνάρτηση των Α, Β, Γ Άλγεβρα Α΄ Λυκείου 0.2 31 – Σύνολα 3 3Εργασία 1 Είναι {∅} = { } 2 Είναι (−∞ ,1] ∩ [1,+∞ ) = {1} 3 Είναι (−∞ ,1] − [1,+∞ ) = ∅ 4 Είναι (−∞ ,1] ∪ (1,+∞ ) = R 1 ⎧ 1 1 1 1 ⎫ ⎧ ⎫ 5 Είναι ⎨1, , , , ,K⎬ = ⎨ x / x = ,v ∈ N * ⎬ v ⎩ 2 3 4 5 ⎭ ⎩ ⎭ 6 Η τοµή δύο µη κενών συνόλων, είναι πάντα υποσύνολο της ένωσης αυτών. 7 Το κενό σύνολο είναι υποσύνολο κάθε συνόλου. 8 Ένα σύνολο αποκλείεται να ισούται µε το συµπλήρωµά του. 9 Το σύνολο [1,2 ] έχει πιο πολλά στοιχεία από το σύνολο {1,2} 10 Το σύνολο [1,2 ] έχει πιο πολλά στοιχεία από το σύνολο (1,2) 11 Με σύνολο αναφοράς το N , είναι [1,+∞ ) ′ = {0} 12 Με σύνολο αναφοράς το R , είναι [0,+∞ ) ′ = (−∞ ,0) 13 Αν Α = Β , τότε Α ⊆ Β και Β ⊆ Α 14 Αν για το τυχόν x ∈ A , είναι και x ∈ B , τότε A ⊆ B 15 Αν για το τυχόν x ∉ A , είναι και x ∉ B , τότε A ′ ⊆ B ′ 16 Αν Ω είναι ένα σύνολο αναφοράς, τότε για κάθε υποσύνολο Α του Ω είναι Α ′ ∪ Α = Ω 17Να βρείτε τον αριθµό των στοιχείων των συνόλων: Α = { − } , Β = { { , } } , Γ = { { ∅ } } , ∆ = { { , ⊄, } } και Ε = { { − } } 18< Να βρείτε ποια απ’ τα παρακάτω σύνολα είναι κενά. ⎧ Α: ⎨ x ∈ R / ⎩ Άλγεβρα 1 ⎫ = 0⎬ x ⎭ Β: {x ∈ R / x + 5 = 0} Γ: {x ∈ N / − 6 < x < −3} Α΄ Λυκείου 32 0.2 – Σύνολα 19O Έστω Α το σύνολο των συµφώνων και Β το σύνολο των φωνηέντων της ελληνικής αλφαβήτου. Να βρείτε τα σύνολα Α ∩ Β και Α ∪ Β 20O Να γράψετε το σύνολο που περιέχει τα υποσύνολα του συνόλου Α = {0,1,2} εκτός του εαυτού του. 21O Να γράψετε το σύνολο των υπολοίπων της διαίρεσης του τυχόντος φυσικού µε τον αριθµό 3 22O Αν { ν, ν ∈ N} ⊆ {κ ∈ Ζ : κ 2 = 4} , να αποδείξετε ότι ν = 2 23O Αν οι αριθµοί 1, λ, λ2 , όπου λ ∈ Ν αποτελούν σύνολο Α µε Ν( Α) = 2 να αποδείξετε ότι λ = 0 24O Αν Ω = { −1, λ, λ2 } , λ ∈ R , να αποδείξετε ότι λ ≠ −1,0,1 Αν τώρα ξέρουµε ότι −2 ∈ Ω , να αποδείξετε ότι Ω = { −1,2,4} 25O Να αποδείξετε ότι αν οι αριθµοί 1 , 4 λ + 5 , λ ∈ R , αποτελούν στοιχεία ενός συνόλου Α και οι αριθµοί −1 , λ , λ ∈ R , αποτελούν στοιχεία ενός συνόλου Β Αν τώρα είναι Α ∩ Β = {1} , να αποδείξετε ότι Α ∪ Β = { −1,1,9} 26O Να αποδείξετε ότι το άθροισµα ρητού µε άρρητο, είναι άρρητος. 27O Αν ο Α = ν+2 , ν ∈ Ν * είναι φυσικός, να αποδείξετε ότι Α = 2 ή Α = 3 ν 28O Έστω τα σύνολα Α, Β, Γ , µε Α ⊆ Β ⊆ Γ Γνωρίζουµε ότι το κάθε ένα απ΄ αυτά ισούται µε ένα από τα σύνολα: Κ = {n ∈ Ν : n 2 ≤ 9} , Λ = { x ∈ R : x 2 = x } και M = {k ∈ z : k(k − 1)(k − 2) = 0} Να αποδείξετε ότι A = Λ , Β = Μ και Γ = Κ Ω 0 29O Έστω τα διπλανά σύνολα. Να γράψετε µε αναγραφή των στοιχείων τα σύνολα Α ∩ Β′ , Α ∪ Β′ Άλγεβρα 1 3 Α 8 7 5 2 4 9 6 Β Α΄ Λυκείου 33 0 – Εισαγωγή ∆ιαγώνισµα Όνοµα:………………………………………………..…… ΒΑΘΜΟΣ:…..…… ∆ιάρκεια: 3ώρες Ηµεροµηνία: ……/……/…..…… 1ο ΘΕΜΑ Απαντήστε µε ένα Σωστό ή Λάθος. (8 µονάδες) Α1 Η έκφραση «Ο Κώστας ο αδερφός µου, ο σηµερινός Πάπας της Ρώµης και ο πύργος του Άιφελ» αποτελούν σύνολο. Α2 Η έκφραση «Ο Νίκος , ο σηµερινός Πάπας της Ρώµης και ο πύργος του Άιφελ» αποτελούν σύνολο. Α3 Η έκφραση «Οι αριστούχοι µαθητές της πόλης σου», αποτελούν σύνολο. Α4 Η έκφραση «Οι µαθητές που γράφουν 20 στις Πανελλήνιες εξετάσεις» αποτελούν σύνολο. Απαντήστε µε ένα Σωστό ή Λάθος. (4 µονάδες) Β Όταν ισχύει η πρόταση Q ισχύουν οι προτάσεις P και R Άρα, όταν δεν αληθεύει η P ή R , τότε θα αληθεύει και η Q ′ Απαντήστε µε ένα Σωστό ή Λάθος. (8 µονάδες) Γ1 Είναι {− 1,1} ⊆ [ −1,1] Γ2 Είναι {− 1,1} ∪ (−1,1) = [ −1,1] ∆Να γράψετε τον αριθµό των στοιχείων (5 µονάδες) των διπλανών συνόλων: Α = { 0} , Β = { 00 } και Γ = { 0,0 } Άλγεβρα Α΄ Λυκείου 34 0 – Εισαγωγή 2ο ΘΕΜΑ Έστω τα 3 αδέλφια, ο Νίκος, ο Βασίλης και ο Κώστας. Όταν ο Νίκος λέει µία Αληθή πρόταση τότε ο Βασίλης πρέπει να πει µια Ψευδή και ταυτόχρονα ο Κώστας µία Αληθή. Να εξετάσετε ποιες από τις παρακάτω προτάσεις δεν αληθεύουν. Α) Αν ο Βασίλης λέει Αλήθεια και ο Κώστας λέει Ψέµατα τότε είναι βέβαιο ότι ο Νίκος λέει Ψέµατα. (6 µονάδες) Β) Αν ο Βασίλης λέει Ψέµατα και ο Νίκος λέει Αλήθεια τότε είναι βέβαιο ότι ο Κώστας θα λέει Αλήθεια. (6 µονάδες) Γ) Αν ο Βασίλης λέει Αλήθεια ή ο Κώστας λέει Ψέµατα τότε είναι βέβαιο ότι ο Νίκος λέει Ψέµατα. (6 µονάδες) ∆) Αν ο Νίκος λέει ψέµατα τότε ο Βασίλης λέει Αλήθεια ή ο Κώστας θα λέει Ψέµατα. (7 µονάδες) 3ο ΘΕΜΑ Α) Έστω το σύνολο αναφοράς Ω = {0,1,2,3} Ξέρουµε ότι Α ∪ Β = {0,1,2} , 0 ∈ Α , 2 ∈ Β , 0 ∉ Β , 2 ∉ Α και Α ∩ Β ≠ ∅ Να αποδείξετε ότι Α = {0,1} και Β = {1,2} (8 µονάδες) Β) Ξέρουµε ότι Α ∪ Β = {1,2,3,4,5} και Α ∩ Β = {1,2,3,4} Αν υπάρχει στοιχείο του Α που δεν ανήκει στο Β, να βρείτε τα Α , Β (8 µονάδες) Γ) Έστω το σύνολο αναφοράς Ω = {1,2,3} Ξέρουµε ότι Α ′ = {1} , Β ′ = {3} Να βρείτε τα σύνολα Α ∪ Β και Α ∩ Β (9 µονάδες) 4ο ΘΕΜΑ Α) Να δώσετε µε διάγραµµα Venn και να γράψετε µε πράξεις των Α και Β το σύνολο A ∩ B ′ (8 µονάδες) Β) Έστω το σύνολο αναφοράς Ω και τα υποσύνολά του Α και Β τα οποία υποθέτουµε ότι δεν είναι ασυµβίβαστα. Να δώσετε µε διάγραµµα Venn και να γράψετε µε πράξεις των Α και Β το σύνολο που περιέχει εκείνα τα στοιχεία του Ω που περιέχονται ή µόνο στο Α ή µόνο στο Β (9 µονάδες) Γ) Έστω το σύνολο αναφοράς Ω και τα υποσύνολά του Α , Β , Γ Β Α Ω Γ Να δώσετε µε πράξεις συνόλων των Α , Β και Γ το γραµµοσκιασµένο σύνολο. (8 µονάδες) ÊáëÞ åðéôõ÷ßá ! Άλγεβρα Α΄ Λυκείου