null

Μαθηματικα Α λυκειου (Αλγεβρα
& Γεωμετρια)
Θεωρια & παραδειγματα
σελ. 2 απο 23
Περιεχομενα
ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ
4
ΚΛΑΣΣΙΚΟΣ ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ
ΚΑΝΟΝΕΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ
ΕΦΑΡΜΟΓΗ
ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΟΜΑΛΟΤΗΤΑ (ΝΟΜΟΣ ΤΩΝ ΜΕΓΑΛΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ)
ΓΕΝΙΚΟΣ (ΑΞΙΩΜΑΤΙΚΟΣ) ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ
4
4
5
5
5
ΑΠΟΛΥΤΕΣ ΤΙΜΕΣ
6
ΟΡΙΣΜΟΣ ΑΠΟΛΥΤΗΣ ΤΙΜΗΣ
ΑΠΟΛΥΤΕΣ ΤΙΜΕΣ ΚΑΙ ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΑΠΟΛΥΤΩΝ ΤΙΜΩΝ
6
6
6
ΝΙΟΣΤΕΣ ΡΙΖΕΣ
7
ΟΡΙΣΜΟΣ ΝΙΟΣΤΗΣ ΡΙΖΑΣ
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΝΙΟΣΤΩΝ ΡΙΖΩΝ
7
7
ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ
8
ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 2ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ ΜΕ ΕΝΑΝ ΑΓΝΩΣΤΟ – ΤΥΠΟΙ VIETTA
ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΑΠΟΛΥΤΕΣ ΤΙΜΕΣ
ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΚΛΑΣΜΑΤΑ
ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΟΥ ΑΝΑΓΟΝΤΑΙ ΣΕ ΔΕΥΤΕΡΟΒΑΘΜΙΕΣ
Η ΕΞΙΣΩΣΗ XN = A
ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ
ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΑΝΙΣΩΣΕΩΝ
8
9
9
9
9
10
11
ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ
11
ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 1ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ ΜΕ ΑΠΟΛΥΤΕΣ ΤΙΜΕΣ
ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΓΙΝΟΜΕΝΟ & ΠΗΛΙΚΟ
ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 2ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ (ΓΡΑΦΙΚΗ ΛΥΣΗ)
11
11
12
ΠΡΟΟΔΟΙ
13
ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΚΑΙ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ
ΤΥΠΟΣ ΑΝΑΤΟΚΙΣΜΟΥ
ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΣ ΜΕΣΟΣ
ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΟΣ ΜΕΣΟΣ
13
13
13
13
ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ
14
ΟΡΙΣΜΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ F(X) = ΑX + Β (ΕΥΘΕΙΑ)
ΠΑΡΑΒΟΛΗ
14
15
16
17
ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ
18
ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΚΑΙ ΚΥΚΛΟΙ ΤΡΙΓΩΝΟΥ
ΑΝΙΣΟΤΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΠΛΕΥΡΩΝ
ΓΩΝΙΕΣ ΚΥΡΤΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ
ΠΑΡΑΛΛΗΛΟΓΡΑΜΜΟ
ΟΡΘΟΓΩΝΙΟ ΠΑΡΑΛΛΗΛΟΓΡΑΜΜΟ
ΡΟΜΒΟΣ
ΤΕΤΡΑΓΩΝΟ
ΤΡΑΠΕΖΙΟ
ΙΣΟΣΚΕΛΕΣ ΤΡΑΠΕΖΙΟ
ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΤΑ ΤΡΙΓΩΝΑ
ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΤΑ ΟΡΘΟΓΩΝΙΑ ΤΡΙΓΩΝΑ
ΚΥΚΛΟΣ
18
18
18
19
19
19
20
20
20
21
21
22
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ
23
σελ. 3 απο 23
σελ. 4 απο 23
Πιθανότητες
Κλασσικός ορισμός πιθανότητας
Σε ένα πείραμα τύχης ορίζουμε την πιθανότητα ενός ενδεχομένου
P( ) 
πλήθος ευνοϊκών περιπτώσεων αριθμός στοιχείων του Α N ( )


πλήθος δυνατών περιπτώσεων αριθμός στοιχείων του  N ()
Για παραδειγμα, η πιθανοτητα να φερουμε 6 στο ζαρι ειναι
P()  1  100%
 ισχυει 0  P()  1 .
εξορισμου πιθανότητα
ενδεχομενο
Για καθε δυο ενδεχομενα

ή το

P( ) 
N ( ) 1
  0,1666  16,7 %
N () 6
και ενα αδύνατο ενδεχόμενο έχει εξορισμου πιθανότητα
. Θεωρουμε οτι ενα βέβαιο ενδεχόμενο έχει
P()  0  0% .
Γενικοτερα, για καθε
,  ισχύουν τα εξής:
 Το ενδεχομενο να συμβει τουλαχιστον ενα απο τα
( ή το
 ως εξής:
ή και τα δυο ) ισουται με
, Β
  .

 Το ενδεχομενο να συμβουν ταυτοχρονα και το
και το
 ισουται με    .
 Το ενδεχομενα να μην συμβει το
διαβαζεται συμπληρωμα του
 Το ενδεχομενο να συμβει το
γραφεται ως
 γραφεται ως  και
.

και να μην συμβει το

      .
 Το ενδεχομενο να μην συμβει το
συμπληρωμα του
 ονομαζεται
 και γραφεται  . Ισχυουν οι
εξισωσεις:
     ,     
 Το ενδεχομενο να μην συμβει κανενα απο τα ,  (ουτε το
 To εδεχομενο να συμβει μονο το

ή μονο το


ούτε το

) γραφεται ως
     .
η ισοδυναμα, να συμβει ακριβως ενα απο τα
, 
(αλλά όχι και τα δυο) γραφεται ως
                    .
Τέλος, για καθε δυο ενδεχομενα ισχυουν οι παρακατω ισοτητες:

        

  
,
,
        
  
,
  
,
  
Κανονες υπολογισμου πιθανοτητων
    P (  )  P ( )
    P (    )  P ( )  P (  )
P( )  1  P( )
P       P(   )  P     P     
P (   )  P (  )  P (  )  P (    )
(προσθετικος νομος)
.
σελ. 5 απο 23
Εφαρμογη
Εξεταζουμε ενα συνολο μαθητων ως προς τις αθλητικες τους προτιμησεις. Το 32 % παιζει ποδοσφαιρο, το 84 % δεν παιζει τεννις ενω το 2 % παιζει και τα
δυο. Διαλεγουμε στην τυχη εναν μαθητη.

Ποια η πιθανοτητα να παιζει τεννις;

Ποια η πιθανοτητα να παιζει τουλαχιστον ενα αθλημα;

Ποια η πιθανοτητα να παιζει μονο τεννις;

Ποια η πιθανοτητα να παιζει μονο ποδοσφαιρο;

Ποια η πιθανοτητα να μην κανει κανενα απο τα δυο αθληματα;

Ποια η πιθανοτητα να παιζει μονο τεννις ή μονο ποδοσφαιρο;

Αν οι μαθητες που παιζουν μονο ποδοσφαιρο ειναι 120, ποιο ειναι το μεγεθος του δειγματος;
Στατιστική ομαλότητα (νόμος των μεγάλων αριθμών)
Αν ρίξουμε ένα αμερόληπτο νόμισμα αρκετές φορές και καταγράψουμε τα
αποτελέσματα θα διαπιστώσουμε ότι περίπου τις μισές φορές έρχεται κορώνα (Κ)
και τις άλλες μισές γράμματα (Γ). Με άλλα λόγια, η σχετική συχνότητα του κάθε
ενδεχομένου θα είναι γύρω στο
1
:
2
αριθμός Κ
αριθμός Γ
1


συνολικός αριθμός ρίψεων συνολικός αριθμός ρίψεων 2
Ομοίως, αν ρίξουμε ένα αμελόπηπτο 6-πλευρο ζάρι αρκετές φορές θα διαπιστώσουμε ότι κάθε αριθμός εμφανίζεται με σχετική συχνότητα περίπου μια
στις έξι, δηλαδη σε ποσοστο
1
 16,67% .
6
Η κατάσταση αυτή ισχύει γενικότερα. Είναι εμπειρικά αποδεδειγμένο ότι στα πειράματα τύχης η σχετική συχνότητα κάθε ενδεχομένου τείνει (συγκλίνει)
προς κάποιο συγκεκριμένο, αναμενόμενο και υπολογίσιμο αριθμό.
Τονιζουμε οτι τόσο στο νόμισμα όσο και στο ζάρι, κάθε στοιχείο  του δειγματικού χώρου
Τέτοια ενδεχόμενα που έχουν ίσες πιθανότητες να εμφανιστούν ονομάζονται ισοπίθανα.

έχει την ίδια δυνατότητα να εμφανιστεί με κάθε άλλο.
Γενικός (αξιωματικος) ορισμός πιθανότητας
Έστω ένας δειγματικός χώρος
Σε καθε απλο ενδεχομενο
  {1 , 2 ,... } του οποίου τα στοιχεία δεν είναι κατανάγκη ισοπίθανα.
{i } αντιστοιχει καποιος πραγματικος αριθμος P(i )
που ονομαζεται πιθανοτητα του ενδεχομενου ετσι ωστε να ισχυουν
τα εξης:
0  P i   1
P     P 1   ...  P    1
P {i , k }  P i   P k 
σελ. 6 απο 23
Απολυτες τιμες
Ορισμος απολυτης τιμης
Η απολυτη τιμη ενος αριθμου οριζεται ως εξης:
x

x  0,
  x,

αν x  0
αν x  0
αν x  0
Γεωμετρικα, η απολυτη ενος αριθμου μας δειχνει την αποσταση του απο το το 0. Γενικοτερα, η παρασταση
του
x
απο το
y
. Για παραδειγμα, αν ειναι
x 1
και
y  2
τοτε θα γραψουμε
x  y  d ( x, y)
εκφραζει την αποσταση
d (1, 2)  1  (2)  3 . Αυτο σημαινει οτι το σημειο -2 απεχει 3
μοναδες απο το σημειο 1 πανω στον αξονα των αριθμων.
Ιδιότητες απόλυτων τιμών
x 0 x 0
Απολυτες τιμες και διαστηματα
Θυμιζουμε οτι:
  x    x  ( ,  )
  x    x  [ ,  )
  x    x  [ ,  ]
x    x  [ , )
x    x  [, a)
x y  yx
x y  x  y
,
x  xn
(n  )
x  xn
(n αρτιος)
n
n
x
x

y
y
x  y  x  y
,
x  y  x  y
x  y  x y  x  y
( τριγωνική ανισότητα)
Αν
 
ειναι πραγματικοι αριθμοι, τοτε το μεσο του
διαστηματος
ωστε
[ ,  ] θα ειναι εκεινος ο αριθμος x0
d ( , x0 )  d ( x0 ,  ) . Αμεσα προκυπτει οτι
x2  y  y  x  x  y ή x   y
x0 
Ο αριθμος
Αν
 0
τότε:
x      x  
x    x   ή x  
x  x0   
x0    x  x0  
x  x0   
x  x0   ή x  x0  
ετσι

 
2
 
2
λεγεται ακτινα του διαστηματος.
σελ. 7 απο 23
Νιοστές Ρίζες
Ορισμός νιοστής ρίζας
Νιοστή ρίζα ενός αριθμού
r
x
, x  0 είναι εκείνος ο αριθμός
, r  0 έτσι ώστε:
rn  x
για κάποιο
n
,n0
Ιδιότητες νιοστών ριζών
x, y  0 , n, k , m 
 x
n
Ο r γράφεται τότε ως
rn xx
n
x
1
n
n
xn  x
( n άρτιος)
Συνεπώς ισχύει η ισοδυναμία:
r x 
n
n
x r
n
xm   x
km
x x
Παραδειγματα:
23  8  3 8  2
34  81 
4
kn
1
m n

kn
km
x
m
n
n
m
 x  m xn
81  3
Σημείωση 1: Η νιοστή ρίζα είναι γενίκευση της τετραγωνικής ρίζας. Την
τετραγωνική ρίζα μπορούμε να τη γράψουμε και ως
x2xx
1
2
n
x  n y  n x y
n
x

y
n
m n
Σημείωση 2: Οι νιοστές ρίζες είναι δυνάμεις με ρητούς εκθέτες. Όλες οι
ιδιότητες των δυνάμεων με ακέραιους εκθέτες (που έχουμε δει σε
προηγούμενη τάξη) συνεχίζουν να ισχύουν και για τις δυνάμεις με άρρητο
εκθέτη.
n
x
y
x  mn x
x y n x  n y
, n, k , m  0
σελ. 8 απο 23
Εξισώσεις
Εξισωσεις 2ου βαθμου με εναν αγνωστο – Τυποι Vietta
Εξίσωση 2ου βαθμού με έναν άγνωστο είναι κάθε εξίσωση που μπορεί να έρθει στη μορφή
P( x)   x 2   x    0
( ,  ,  
*
)
   2  4   
Η εξίσωση αυτή είναι επιλύσιμη σε κάθε περίπτωση. Για να τη λύσουμε υπολογίζουμε τη διακρίνουσα
και ανάλογα με το πρόσημό
της διακρίνουμε τις παρακάτω περιπτώσεις:
Αν   0 τότε η εξίσωση έχει δύο λύσεις
διαφορετικές μεταξύ τους:
  
x1 
2
Αν 
 0 τότε η εξίσωση έχει μια (διπλή) λύση:
  
x2 
2
Επιπλέον, το πολυώνυμο παραγοντοποιείται και
γράφεται ως
P   x2   x      x  x1  x  x2 
x1  x2 

2
Παραδείγματα:
Παραδείγματα:
2x  4x  6  0
2
x  4x  5  0
2
Επιλέον ισχυουν οι παρακατω τυποι (Vietta):
S  x1  x2  




P( x)   x 2   x    x 2  Sx  P
P  x1  x2 
Παραδείγματα:
3x 2  4 x  2  0
Επιπλέον, το πολυώνυμο παραγοντοποιείται και
γράφεται ως
P   x 2   x      x  x1 
x2  2x  1  0
16 x 2  8 x  1  0
Αν   0 τότε η εξίσωση είναι αδύνατη (δεν
έχει καμία λύση στους πραγματικούς).
2
6 x2  5x  2  0
σελ. 9 απο 23
Εξισώσεις με κλάσματα
Εξισώσεις με απόλυτες τιμές
Για να λύσουμε μια εξίσωση που περιέχει κλάσματα ακολουθούμε
συγεκριμένα βήματα. Ας τα δούμε με ένα παράδειγμα:
Για να λύσουμε μια εξίσωση που περιέχει απόλυτες τιμές συνήθως
εφαρμόζουμε τις παρακάτω ιδιότητες:
x  a  x  a ή x  a
x
4
 2
x 1 x  x
x  a  x  a ή x  a
1. Βρίσκουμε τις νόμιμες τιμές που μπορεί να πάρει το
x:
x  1  0 και x 2  x  0
x  1 και x( x  1)  0
x2  x
Παραδειγμα:
x  1 και x  0
x 2  2 x  1  3x  5
2. Παραγοντοποιουμε τους παρονομαστες:
( x  1) 2  3 x  5
x
4

x  1 x( x  1)
x  1  3x  5
3. Πολλαπλασιαζουμε με το ΕΚΠ των παρονομαστων:
άρα:
x  1  3x  5  x  2
ή
x
4

x  1 x( x  1)
4
x
x
x2  4
x  1  3 x  5  x 
3
2
x  2
Η εξίσωση xn = a
n περιττός
Εξισωσεις που αναγονται σε δευτεροβαθμιες
a0
a0
Μοναδική λύση:
Μοναδική λύση :
x n a
x  n a
x  n a
x 2  7 x  12  0
( x  1) 2  4 x  1  5  0
Δύο λύσεις:
n άρτιος
Καποιες εξισωσεις αναγονται σε δευτεροβαθμιες με καταλληλη
αλλαγη μεταβλητης:
Αδύνατη
Ως παράδειγμα, ας λύσουμε τις παρακάτω απλές εξισώσεις:
2
1
1


x


5
x




60
x
x


x 4  6 x 2  40  0
2
2 x 4 x 6  0
x3  27  x  3 27  3 33  3
x3  27  x   3 27   3 27  3
x 4  16  x   4 16   4 24  2
x 4  16
 αδύνατη 
σελ. 10 απο 23
Παραμετρικες εξισωσεις
Δίνεται η εξίσωση
x2   x   1  0
(  2) .

Να αποδείξετε ότι η εξίσωση έχει δύο πραγματικές και άνισες ρίζες.

Αν

Να βρείτε τις τιμές του λ ώστε να ισχύει η ισοτητα
x1 , x2
Δίνεται η εξίσωση
ειναι οι ριζες της εξισωσης, να υπολογίσετε τις παραστάσεις
x1  x2
και
x1  x2 .
3x1  3x2  3  x12 x2 2
 2  1 x2  2 x  1  0 .


Για ποιες τιμές του

Να αποδείξετε ότι η εξίσωση έχει πραγματικές ρίζες για κάθε

Λυστε την εξισωση για

Αν
x1 , x2
ειναι η ειναι εξίσωση 2ου βαθμού;

.
2.
είναι οι ρίζες της αρχικης εξισωσης να βρεθούν οι τιμές του

1
2
που ικανοποιούν την ανισότητα
1 1
  3x1 x2
x1 x2
Δινεται η εξίσωση
4 x2  4    2  x   2  36  0 .
Να βρείτε, με τη βοήθεια των τύπων Vietta, για ποιές τιμές της παραμέτρου
εξίσωση έχει:

Δύο διαφορετικές ετερόσημες ρίζες (απάντηση: -6 <

Δύο διαφορετικές θετικές ρίζες (απάντηση: 6 <


< 10)
< 6)

η
σελ. 11 απο 23
Ανισώσεις
Ιδιότητες ανισώσεων
  
1
1
(    0)
 
       
  
     
  

  
    
  
   n  n ,
Ανισώσεις 1ου βαθμού με απόλυτες τιμές
Για να λύσουμε τετοιες ανισωσεις χρησιμοποιούμε
κατάλληλα τις ιδιότητες των απόλυτων τιμών:
x4 5
5  x  4  5
5  4  x  5  4
1  x  9
x  [1,9]
Ως ασκηση λυστε τις παρακάτω ανισώσεις:
x2
1
4 x
2  x  8x  6
x5  9 x
            
( ,  ,  ,   0)
(n  ,  ,   0)
Ανισώσεις γινόμενο & πηλίκο
Μια ανίσωση της οποίας το ένα μέλος είναι γινόμενο ή πηλίκο παραγόντων και το άλλο
μέλος 0, λύνεται με κατάλληλο πίνακα προσήμων.
Συχνα ειναι απαραιτητο να φερουμε την ανισωση στην επιθυμητη μορφη. Για παραδειγμα:
2 x  4
2 x  4
4
40
x 1
x 1
2 x  4 4  x  1

0
x 1
 x  1
2 x  4  4  x  1
0
x 1
6 x  8
0
x 1
Τώρα μπορούμε να βρούμε τις λύσεις με κατάλληλο πίνακα τιμών:
x2 1 x2
 
3
5
2
 Υπενθυμιση: Αποφευγουμε να πολλαπλασιάσουμε ή να διαιρέσουμε μια ανίσωση με
μεταβλητή γιατι υπάρχει σοβαρό ενδεχόμενο να οδηγηθούμε σε λάθος.
σελ. 12 απο 23
Ανισώσεις 2ου βαθμου (γραφικη λυση)
Μπορουμε να λυσουμε μια ανισωση 2ου βαθμου με τη βοηθεια του παρακατω σχηματος:
Για παραδειγμα, εστω οτι θελουμε να βρουμε το προσημο του πολυωνυμου
P  x 2  6 x  5 . Τοτε:
 0
9
x1  5
x2  1
Αρα:
P  0 για x  (5, 1)
P  0 για x  (, 5)  (1, )
Ως ασκηση, βρειτε σε ποια διαστηματα συναληθευουν (αν συναληθευουν) οι ανισωσεις
x2  4x  5  0
2 x 2  6 x  4  0
σελ. 13 απο 23
Πρόοδοι
Αριθμητική και γεωμετρική πρόοδος
v  1, 2,3,,,
1  0
Αριθμητική πρόοδος
Γεωμετρική πρόοδος
Αναδρομικός τύπος
 1    
 1    
Ευθύς τύπος
  1    1  
  1    1
Άθροισμα
v
v
S  1  ...    1      21  (  1)   
2
2
0
 1
  1
S  1  ...    1
 1
Τυπος ανατοκισμου
Μια γεωμετρική πρόοδος που εμφανίζεται συχνά σε διάφορες εφαρμογές είναι η εξής: Έστω ότι έχουμε ένα ποσό το οποίο αρχικά έχει την τιμή
αυξάνεται (ή μειώνεται) με σταθερό ρυθμό
 , όπου 

και
κάποιο ποσοστό επί τοις εκατό. Σε κάθε βήμα έχουμε:
1    
 2  1  1  1 1   
 3   2   2   2 1     a1 (1   ) 2
 4   3   3   3 (1   )  1 (1   )3
....
 1       1     1 (1   )
Συνεπώς η ακολουθία είναι γεωμετρική πρόοδος με ευθύ τύπο:
  1    1
       1     1
 1
 1

       1

Αριθμητικός μέσος
Έστω μια αριθμητική πρόοδος και 3 διαδοχικοί όροι της
όρος

ονομάζεται αριθμητικός μέσος των
 , .
Γεωμετρικός μέσος
 ,  , . Ο
Αποδεικνύεται ότι 3 αριθμοί είναι διαδοχικοί όροι μιας αριθμητικής
προόδου αν και μόνο αν

 
2
Έστω μια γεωμετρική πρόοδος και 3 διαδοχικοί όροι της
ονομάζεται γεωμετρικός μέσος μέσος των
 , .
 ,  ,  . Ο όρος 
Αποδεικνύεται ότι 3 αριθμοί είναι διαδοχικοί όροι μιας αριθμητικής προόδου αν
και μόνο αν
 2   
σελ. 14 απο 23
Συναρτήσεις
Ορισμός συνάρτησης
Συνάρτηση
στοιχείο
Το
f από ένα σύνολο Α σε ένα σύνολο Β είναι ένας κανόνας (τύπος) με τον οποίο κάθε στοιχείο
y  f ( x) του Β.
x είναι η ανεξάρτητη μεταβλητή και τo y
η εξαρτημένη μεταβλητή. Το
f ( x)
ονομάζεται και τιμή της
f
x του Α αντιστοιχεί σε ακριβώς ένα
στο
x.
Το σύνολο Α ονομάζεται σύνολο ορισμού και το σύνολο B σύνολο τιμών:
   x : f να ορίζεται
  f ( )   f ( x) : x  A
Αν για κάποια συνάρτηση δεν είμαστε σίγουροι ποιό ακριβώς είναι το σύνολο τιμών μπορούμε πάντα να θεωρήσουμε ότι
Με βάση τον παραπάνω ορισμό απαγορεύεται μια συνάρτηση να έχει δύο τιμές για το ίδιο
f ( x)  
με
 
για κανένα

.
x . Με άλλα λόγια δε μπορεί να ισχύει f ( x)  
και
x.
x . Για παράδειγμα, ας πάρουμε τη συνάρτηση f ( x)  x 2 . Το x μπορεί να
2
είναι οποιοσδήποτε πραγματικός, άρα   . Όποια τιμή και αν πάρει το x , το f ( x) θα είναι πάντα θετικός ή 0, άρα    x : x    [0, )
Όμως μπορεί ένα συγκεκριμένο
f ( x)
να αντιστοιχεί σε δύο διαφορετικά
. Θα γράψουμε λοιπόν:
f:
 [0, )
f ( x)  x 2
Παρατηρήστε ότι για τη συγκεκριμένη συνάρτηση δύο διαφορετικά
x μπορεί να αντιστοιχούν στο ίδιο y , πχ: y  4  f (2)  f (2)
.
σελ. 15 απο 23
Γραφική παράσταση συνάρτησης
Η γραφική παράσταση
Cf
μιας συνάρτησης
παράσταση είναι όλα τα σημεία
f
στους άξονες είναι όλα τα ζευγάρια
 x, f ( x)  : x   . Με άλλα λόγια, η γραφική
 x, y  στο επίπεδο που επαληθεύουν τον κανόνα της συνάρτησης.
Για να είναι μια καμπύλη γραφική παράσταση συνάρτησης πρέπει κάθε ευθεία παράλληλη στον άξονα
y
να τέμνει την καμπύλη το πολύ σε ένα
σημείο.
Στο διπλανό σχέδιο βλέπουμε πως μοιάζει μια καμπύλη που είναι συνάρτηση
(μπλέ χρώμα) και μια καμπύλη που δεν είναι συνάρτηση (κόκκινο χρώμα).
Έστω ότι έχουμε δύο συναρτήσεις

Η λύση της εξίσωσης

Η λύση της ανίσωσης
ανίσωση
f , g . Τότε ισχύουν τα παρακάτω:
f ( x)  g ( x)
x στα οποία τέμνονται οι καμπύλες C f , Cg .
f ( x)  g ( x) (αν υπάρχει) θα μας δώσει όλα τα x για τα οποία η C f βρίσκεται κάτω από τη C g . Αντίστοιχα για την
(αν υπάρχει) θα μας δώσει όλα τα
f ( x)  g ( x) .

Η λύση της εξίσωσης
f ( x)  0 (αν υπάρχει) θα μας δώσει όλα τα
x στα οποία η C f
τέμνει τον άξονα
x.

Η λύση της εξίσωσης
y  f (0)
y στα οποία η C f
τέμνει τον άξονα
y.

Η λύση της ανίσωσης
την ανίσωση
(αν υπάρχει) θα μας δώσει όλα τα
f ( x)  0 (αν υπάρχει) θα μας δώσει όλα τα
f ( x)  0 .
x για τα οποία η C f
βρίσκεται πάνω από τον άξονα
x . Αντίστοιχα για
σελ. 16 απο 23
Η συνάρτηση f(x) = αx + β (ευθεία)
Σε προηγούμενες τάξεις είχαμε αναφερθεί στη συνάρτηση
Υπενθυμίζουμε ότι ο συντελεστής του
Αν





y  f ( x)   x  
και είχαμε πει ότι η γραφική της παράσταση είναι μια ευθεία.
x , το  , ονομάζεται κλίση της ευθείας ή συντελεστής διεύθυνσης.
  00 ,1800  είναι η γωνία (κατά τη θετική φορά) που σχηματίζει μια ευθεία 
με τον άξονα
  00    0   / / xx  y  
   00 ,900   a  0  y   x  
  900       / / yy  x    x0
   900 ,1800     0  y   x  
  0   διερχεται απο το (0,0)  y   x
Σε κάθε περίπτωση, αν
 x1 , y1  και  x2 , y2  είναι δύο οποιαδήποτε σημεία μιας ευθείας τότε ισχύει

y2  y1
 εφ  
x2  x1
Τέλος, αν δύο ευθείες έχουν ίσους συντελεστές διεύθυνσης τότε ειναι παρααλληλες.
x , τότε:
σελ. 17 απο 23
Παραβολη
Κάθε συνάρτηση με γενική μορφή
y  P( x)   x 2   x  
 ,  , 
 0
ονομάζεται παραβολή. Η γραφική παράσταση της
παραβολής στη γενική μορφή της είναι μια καμπύλη που μοιάζει με κύπελο.
Για τη γραφική παράσταση της παραβολής ισχύουν τα εξής:
 
 
K  
,

 2 4 

Η παραβολή είναι συμμετρική ως προς την ευθεία x  
.
2
 Η κορυφή της παραβολής είναι το σημείο

όπου
 η διακρίνουσα του τριωνύμου  x 2   x  
 Αν   0 τότε η κορυφή της παραβολής « κοιτάει » προς τα κάτω (το κυπελλο ειναι ορθιο). Αν
προς τα πάνω (το κυπελλο ειναι αναποδα).
 Όσο μεγαλύτερη η απόλυτη τιμή του
 Ανεξάρτητα από το πρόσημο του
 τόσο πιο « κλειστή » ή « απότομη » η παραβολή.
 , αν η διακρίνουσα 
είναι:

θετική, τότε η παραβολή τέμνει τον άξονα x σε δύο διαφορετικά σημεία.

μηδέν, τότε η παραβολή τέμνει τον άξονα x σε ακριβώς ένα σημείο.

αρνητική, τότε η παραβολή δεν τέμνει τον άξονα x.
Όλα τα παραπάνω συνοψίζονται γραφικά στα παρακάτω σχήματα:
.
  0 τότε η κορυφή της παραβολής « κοιτάει »
σελ. 18 απο 23
Γεωμετρια
Στοιχεια και κυκλοι τριγωνου
Ανισοτικες σχεσεις πλευρων
Σε καθε τριγωνο:
 Απεναντι απο τη μεγαλυτερη γωνια βρισκεται η μεγαλυτερη
πλευρα.
 Καθε πλευρα ειναι μικροτερη απο το αθροισμα των αλλων δυο και
μεγαλυτερη απο τη διαφορα τους (τριγωνικη ανισοτητα).
Γωνιες κυρτων πολυγωνων
Σε καθε κυρτο (κλειστο) πολυγωνο  πλευρων:
 Το αθροισμα των γωνιων του πολυγωνου ειναι ισο με
1  ...    1800   2 
 Το αθροισμα των εξωτερικων γωνιων του πολυγωνου ειναι ισο με
1   ...     3600
σελ. 19 απο 23
Παραλληλογραμμο
Ειναι ενα κλειστο τετραπλευρο με τις απεναντι πλευρες παραλληλες (και ισες).
Ενα τετραπλευρο ειναι παραλληλογραμμο αν και μονο αν:
 Οι δυο απεναντι πλευρες του ειναι ισες και παραλληλες.
 Ολες οι απεναντι πλευρες του ειναι ανα δυο ισες.
 Ολες οι απεναντι γωνιες του ειναι ανα δυο ισες.
 Οι διαγωνιοι διχοτομουνται μεταξυ τους.
Ορθογωνιο παραλληλογραμμο
Ειναι ενα παραλληλογραμο με ολες τις εσωτερικες του γωνιες ορθες (αρκει να εχει μια εσωτερικη ορθη γωνια).
Ενα τετραπλευρο ειναι ορθογωνιο παραλληλογραμμο αν και μονο αν:
 Ειναι παραλληλογραμμο και εχει μια ορθη εσωτερικη γωνια
 Ειναι παραλληλογραμμο και οι διαγωνιοι του ειναι ισες
 Εχει τρεις ορθες γωνιες
 Ολες οι γωνιες του ειναι ισες.
Ρομβος
Ειναι ενα παραλληλογραμο με ολες τις πλευρες του ισες μεταξυ τους.
Ενα τετραπλευρο ειναι ρομβος αν και μονο αν:
 Ολες οι πλευρες του ειναι ισες
 Ειναι παραλληλογραμμο και δυο διαδοχικες του πλευες ειναι ισες.
 Ειναι παραλληλογραμμο και οι διαγωνιες του τεμνονται καθετα.
 Ειναι παραλληλογραμμο και η μια διαγωνιος διχοτομει τη μια γωνια.
σελ. 20 απο 23
Τετραγωνο
Ειναι ενα παραλληλογραμμο που ειναι ορθογωνιο και ρομβος.
Ενα παραλληλογραμμο ειναι τετραγωνο αν και μονο αν:
 Οι διαγωνιοι του ειναι ισες και καθετες μεταξυ τους.
 Εχει μια ορθη γωνια και δυο διαδοχικες πλευρες ισες.
 Εχει μια γωνια ορθη και η μια διαγωνιος διχοτομει τη μια γωνια του
 Εχει μια γωνια ορθη και οι διαγωνιες τεμνονται καθετα.
 Οι διαγωνιοι ειναι ισες και δυο διαδοχικες πλευρες ειναι ισες.
 Οι διαγωνιοι του ειναι ισες και η μια διαγωνιος διχοτομει μια γωνια του.
Τραπεζιο
Ειναι ενα κλειστο τετραπλευρο με δυο μονο πλευρες παραλληλες. Η διαμεσος ενος τραπεζιου ειναι παραλληλη στις βασεις και διχοτομει τις διαγωνιες.
Ισοσκελες τραπεζιο
Ειναι ενα τραπεζιο με τις μη παραλληλες πλευρες ισες.
Ενα τραπεζιο ειναι ισοσκελες αν και μονο αν:
 Οι διαγωνιες του ειναι ισες.
 Οι γωνιες βασης ειναι ισες.
σελ. 21 απο 23
Εφαρμογες στα τριγωνα
Εφαρμογες στα ορθογωνια τριγωνα
σελ. 22 απο 23
Κυκλος
σελ. 23 απο 23
Ασκησεις γεωμετριας
Επιλεγμενες ασκησεις απο το βιβλιο
Ερωτησεις κατανοησης:
σελ. 99: 1, 3, 4, 5
σελ 103: 1,5
σελ 110 1, 2, 3, 4
Ασκησεις εμπεδωσης:
Σελ. 43, 3
Σελ. 111: 1, 2, 3, 4, 7
Αποδεικτκες ασκησεις:
σελ 43:
σελ. 111: Αποδεικτικες 2, 3 .
Συνθετα θεματα
σελ. 43: 3
σελ. 111: 5
Hints ακησεων βιβλιου
Κεφαλαιο 5, Ασκησεις σελ. 111 – 112

Αποδεικτικες
1.
2.
3.
4.
i) ΕΑΖ = ΕΔΖ
Φερτε και την αλλη διαγωνιο (κεντρο = Κ) και δουλεψτε στα τριγωνα ΔΒΓ και ΗΕΓ για να δειξετε οτι Η μεσο ΚΓ.
Το τριγωνο ΜΑΓ ειναι ισοσκελες και το τριγωνο ΑΒΔ ειναι ορθογωνιο.
Το ΕΒΔΖ ειναι παραλληλογραμμο (δυο απεναντι πλευρες παραλληλες και ισες). Αν Τ σημειο τομης ΔΕ, ΑΓ και Ρ σημειο τομης ΖΒ, ΑΓ,
δουλεψτε στα τριγωνα ΔΤΓ, ΑΡΒ.
5. Οπως η 4.
6. Θεωρηστε το μεσο Ζ της ΕΓ και φερτε την ΜΖ. Δουλεψτε πρωτα στο τριγωνο ΒΕΓ και υστερα στο ΑΜΖ.
7. i) Παρατηρηστε το τριγωνο ΑΔΕ.
ii) Αν Κ μεσο ΑΗ, φερτε την ΚΒ. Τοτε στο ΑΗΕ, ΚΒ // ΗΕ -> ΚΒ // ΗΖ. Απο τριγωνο ΚΒΓ και λογω i), πρεπει Η μεσο ΚΓ.
8. i) ΑΜΔ ισοσκελες (γωνιες βασεις = 30)
ii) Εστω Ζ μεσο ΔΒ. Φερνουμε τη ΜΖ και παρατηρουμε οτι ΜΔΖ ισοπλευρο, αρα ΜΔ = ΑΔ = ΔΖ = ΖΒ.
9. Εστω οτι η ΚΖ τεμνει την ΕΗ στο Μ. Αρκει νδο οτο αθροισμα των αλλων δυο γωνιων του ΗΜΚ ειναι 90. Παρατηρηστε οτι τα ΗΕΒ και ΚΖΒ ειναι
ισοσκελη, αρα ΜΗΚ γωνια = ΕΒΚ γωνια και ΖΚΒ γωνια = ΚΒΖ γωνια. Επισης, ΗΚΜ γωνια = ΖΚΒ γωνια ως κατακορυφην. Τελος, ΑΒΓ γωνια =
90.

Συνθετα θεματα
1. Προεκτεινετε τη ΒΕ και παρατηρηστε οτι ΑΒΖ ισοσκελες (διχοτομος = υψος).

Download Report