Π-1 Π1. ΕΡΜΙΤΙΑΝΑ ΜΗΤΡΩΑ Τα Ερµιτιανά µητρώα αποτελούν σηµαντική κατηγορία µητρώων µιγαδικών. Στην παράγραφο αυτή δίνεται µια σύνοψη των ιδιοτήτων τους και µερικά απλά παραδείγµατα χρήσης τους σε υπολογισµούς. Τα Eρµιτιανά µητρώα συνιστούν γενίκευση της συµµετρίας στο χώρο Μn(C). Ένα τετραγωνικό µητρώο µιγαδικών Ζ καλείται Eρµιτιανό όταν (Π1.1) Ζ=Ζ* T όπου Z * = Z , δηλ. ο συζυγής ανάστροφος του Ζ (προσφιλής και ο συµβολισµός ΖΗ). Συνεπώς, ισοδύναµα θα είναι: zij = z ji (1) για κάθε i,j=1,…,n, θα είναι Παράδειγµα: τα παρακάτω µητρώα F, G είναι ερµιτιανά: 1 − 2i 3i   1 1 + 2i 3 + i   , G = 1 − 2i 5 + 3i 2  F =  4   3−i  − 3i 2 1 + i  Από τον ορισµό προκύπτουν αρκετές βασικές ιδιότητες των Ερµιτιανών µητρώων, που είναι αντίστοιχες µε αυτές των συµµετρικών µητρώων. Παραθέτουµε τις πιο σηµαντικές: 1) Ένα µητρώο πραγµατικών είναι Ερµιτιανό αν και µόνον αν είναι συµµετρικό. Τα συµµετρικά µητρώα πραγµατικών αποτελούν ειδική περίπτωση Eρµιτιανών µητρώων. 2) Τα στοιχεία της κύριας διαγωνίου ενός Ερµιτιανού µητρώου είναι πραγµατικά (ισχύει zii = zii , και άρα z πραγµατικός). 3) Αν Α, Β Eρµιτιανά µητρώα, τότε και το Α ± Β είναι Eρµιτιανό: (Α ± Β)*= Α* ± Β*= Α ± Β. 4) Αν c∈R, z∈C και H Ερµιτιανό, τότε το γινόµενο cH είναι Ερµιτιανό, ενώ το zH όχι αναγκαστικά (π.χ. το µητρώο iI δεν είναι Ερµιτιανό). Κατ’ ακολουθία, τα Ερµιτιανά µητρώα δεν αποτελούν δ.χ. πάνω στο C, ενώ δείχνουµε εύκολα ότι αποτελούν διανυσµατικό χώρο Η2n πάνω στο R, µε dim Η2n = n2. 5) Το ανάστροφο ΑΤ ενός Eρµιτιανού µητρώου Α είναι οµοίως Eρµιτιανό: ( ) ( AT ) * = AΤ T = Α = AΤ 6) Το αντίστροφο Α-1 (αν υπάρχει) ενός Eρµιτιανού µητρώου Α είναι οµοίως Eρµιτιανό: 1 n Υπενθυμίζονται μερικές βασικές ιδιότητες των χώρων C και Mn(C). Αν Α,Β∈Mn(C), ισχύουν: T Z = Z T , κατ’ αναλογία με τον C : z * = z T = z T (η αναστροφή δεν επηρεάζει τη συζυγία). Κατ’ αντιστοιχία με την πράξη αναστροφής, για τα συζυγή ανάστροφα ισχύει: * * * * * * * * -1 * * -1 * * * * (Α ) =Α, (Α+Β) = Β +Α , (ΑΒ) = Β Α , (Α ) =(Α ) , Α Α=||A||, (c A) =cA . * * Τέλος: Α+Α =2*real(Α), Α-Α =2*imag(Α), κλπ. n ΘΕΜΑΤΑ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ & ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ Χ. Α. Αλεξόπουλος Τμήμα Μηχ. Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Πατρών 5/27/2011 Π-2 Ερμιτιανά Μητρώα ( ) = (A ) = (A ) = (A ) ( A −1 ) * = A −1 T T −1 −1 −1 = A −1 7) Κάθε ακέραια δύναµη An ενός Eρµιτιανού είναι Eρµιτιανό. 8) Το γινόµενο ΑΒ δύο Ερµιτιανών Α και Β είναι Ερµιτιανό αν και µόνον αν ισχύει ΑΒ=ΒΑ. 9) Για οποιοδήποτε µητρώο C∈Μn(C) το άθροισµα C+C* είναι Ερµιτιανό, ενώ η διαφορά C-C* αντι-Ερµιτιανό (2): (C-C*)* =C*-C=-(C-C*). 10) Για οποιοδήποτε µητρώο C∈Μn(C) τα γινόµενα CC* και C*C είναι Ερµιτιανά: (CC*)* =C*(C*)*= C*C. 11) Κάθε τετραγωνικό µητρώο C µπορεί να γραφτεί ως άθροισµα ενός Ερµιτιανού µητρώου A και ενός αντι-Ερµιτιανού Β: C = A + B µε Α=1/2(C+C*) και B=1/2(C-C*). 12) Αν A Ερµιτιανός, τότε η ορίζουσα det(A) έχει πραγµατική τιµή. 13) Οι οδηγοί στην απαλοιφή Gauss είναι πραγµατικοί. Η πιο σηµαντική ίσως ιδιότητα των Ερµιτιανών µητρώων είναι ότι είναι κανονικά, δηλ. ισχύει γι’ αυτά το θεµελιώδες φασµατικό θεώρηµα που ισχύει για τα συµµετρικά πραγµατικά µητρώα: Αν Α Ερµιτιανό µητρώο, τότε έχει πραγµατικές ιδιοτιµές και ένα πλήρες σύνολο ορθογωνίων ιδιοδιανυσµάτων. Τα ιδιοδιανύσµατα που αντιστοιχούν σε διαφορετικές ιδιοτιµές είναι ορθογώνια. Ο τύπος της διαγωνοποίησης είναι: Α=UDU* όπου U*U=UU*=I A = [u1 u 2 (Π1.2) * σ 1  u 1   0   u * σ2  2  K un ]  O   M   0   * σ n   u 2  (Π1.3) όπου U µοναδιαίο µητρώο και D διαγώνιο µητρώο µε τις ιδιοτιµές σi,. Το U περιέχει µια ορθοκανονική βάση του Cn από n ιδιοδιανύσµατα ui, µιγαδικούς ή πραγµατικούς. Από την παραπάνω διάσπαση προκύπτει ότι τα Ερµιτιανά µητρώα εκφράζονται σαν αθροίσµατα µητρώων προβολής: n A= ∑σ u u * i i i (Π1.4) i =1 H παραπάνω διαγωνοποίηση επιτρέπει την εύρεση µιας ορθοκανονικής βάσης U=[u1, u2, …,un] ιδιοδιανυσµάτων του Cn. Κάθε διάνυσµα x∈ ∈Cn µπορεί τώρα να εκφρασθεί ως προς τη βάση αυτή (αλλαγή σε ορθοκανονικό σύστηµα συντεταγµένων): n x= ∑c u i i = Uc ⇔ c = [c1 , c2 ,K, cn ]∗ = U *x i =1 2 * Ένα μητρώο Ζ λέγεται αντι-Ερμιτιανό όταν Ζ=-Ζ . ΘΕΜΑΤΑ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ & ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ Χ. Α. Αλεξόπουλος Τμήμα Μηχ. Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Πατρών 5/27/2011 Π-3 Ερμιτιανά Μητρώα To c υπολογίζεται εύκολα, αφού δεν απαιτείται αντιστροφή. Τότε η (Π1.3) δίνει: ∑σ u u x =∑σ u u Uc =∑σ (u Uc)u =∑σ (e c)u =∑σ c u n Ax = n * i i i n * i i i i =1 i =1 n i * i n i i =1 i * i i i =1 i i i , i =1 αποτέλεσµα που παίρνουµε βέβαια και απ’ ευθείας από την (4.2): n Α=UDU*⇒ Αx=UDU*x= UDU*Uc= UDc= ∑σ c u i i i i =1 Η σχέση n Ax = ∑σ c u i i i = Uw (Π1.5) i =1 εκφράζει το µετασχηµατισµό Y: Cn → Cn µε y=Αx, ως προς τη νέα ορθοκανονική βάση των ιδιοδιανυσµάτων. Τα Ερµιτιανά µητρώα εµφανίζονται σε πληθώρα εφαρµογών όπως, διαγωνοποίηση, τετραγωνικές µορφές (βλ. §2), παραγοντοποιήσεις κ.ά. Παραθέτουµε δύο από αυτές στο Παρ.Π1.1. Παράδειγµα Π1.1 – Υπολογισµοί µε µιγαδικά µητρώα Για το πιο κάτω µιγαδικό µητρώο Ζ και για το Η=Ζ*Ζ εφαρµόζουµε στο Matlab διαγωνοποίηση και η διάσπαση Choleski. 0   1+ i 2  Z =  − 2i 2 − 1 + i  1 + 2i 2 0  Σηµειώνουµε εδώ ότι το R=real(Z) ήταν το µητρώο του Παραδείγµατος 3.2. % το Ζ δεν είναι θετικά ορισµένο ούτε θετικά ηµιορισµένο >> det(Z(1:1, 1:1)) ans = 1.0000 + 1.0000i >> det(Z(1:2, 1:2)) ans = 2.0000 + 6.0000i >> det(Z(1:3, 1:3)) ans = -2.0000 - 2.0000i % το Ζ είναι αντιστρέψιµο >>inv(Z) ans = 0.0000 + 1.0000i -0.0000 + 0.0000i -0.0000 - 1.0000i 1.0000 - 0.5000i 0.0000 -0.5000 + 0.5000i 2.5000 + 1.5000i -0.5000 - 0.5000i -2.0000 - 1.0000i % ∆ιαγωνοποίηση του Ζ: µητρώα V (ιδιοδιανύσµατα) και D (ιδιοτιµές). Μιγαδικές ιδιοτιµές. >> [V,D]=eig(Z) V= 0.2814 + 0.4413i 0.1057 + 0.3268i 0.5439 - 0.0590i 0.7131 0.0946 - 0.2838i 0.0223 + 0.3638i 0.0941 + 0.4569i 0.8903 0.7535 D= 2.4650 - 1.2978i 0 0 0 -0.4028 - 0.0330i 0 0 0 0.9378 + 2.3308i ΘΕΜΑΤΑ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ & ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ Χ. Α. Αλεξόπουλος Τμήμα Μηχ. Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Πατρών 5/27/2011 Π-4 Ερμιτιανά Μητρώα >> chol(Z) % H µέθοδος Choleski αποτυγχάνει. Ο Ζ δεν είναι θετικά ορισµένος. ??? Error using ==> chol Matrix must be positive definite with real diagonal. >>ΖΖ= Z'*Z % το Z'*Z είναι Ερµιτιανό και θ.ο. µητρώο ΖΖ = 11.0000 4.0000 - 2.0000i -2.0000 - 2.0000i 4.0000 + 2.0000i 12.0000 -2.0000 + 2.0000i -2.0000 + 2.0000i -2.0000 - 2.0000i 2.0000 >>eig(ΖΖ) % αναµένουµε θετικές ιδιοτιµές ans = 0.0569 8.6039 16.3392 >> [V,D]=eig(ΖΖ) % ∆ιαγωνοποίηση του Z'*Z: µητρώα µε ιδιοδιανύσµατα και ιδιοτιµές. V= 0.1602 + 0.2891i 0.0997 + 0.6710i 0.6347 - 0.1663i 0.1441 - 0.2730i 0.0283 - 0.5996i 0.7348 + 0.0662i 0.8919 -0.4236 -0.1586 D= 0.0569 0 0 0 8.6039 0 0 0 16.3392 >>U=chol(ZZ) % εφαρµογή µεθόδου Choleski σε θ.ο. Ερµιτιανό µητρώο: U’*U=A U= 3.3166 0 0 1.2060 - 0.6030i -0.6030 - 0.6030i 3.1909 -0.5128 + 0.9687i 0 0.2673 >>norm(ΖΖ,2) %νόρµα 2 θετικά ορισµένου µητρώου = ρ(Ζ’*Ζ) ans = 16.3392 >> norm(Z,2) %νόρµα 2 µιγαδικού µητρώου = τετραγ. ρίζα φασµατικής ακτίνας του Ζ’*Ζ ans = 4.0422 >> norm(Z,1) % φυσικές νόρµες 1 και «άπειρο» του µιγαδικού Ζ. ans = 6 >> norm(Z,inf) ans = 5.4142 □ Βιβλιογραφικές Αναφορές [1] Saunders MacLane, Garrett Birkhoff, “Algebra”, Macmillan, London, 1967 [2] J. H. Hubbard, Barbara Burke Hubbard, «Διανυσματικός Λογισμός, Γραμμική Άλγεβρα και Διαφορικές Μορφές», Εκδόσεις Πανεπιστημίου Πατρών, 2006. [3] G. Strang: «Εισαγωγή στη Γραμμική Άλγεβρα». [4] Γ. Δονάτος, Μ. Αδάμ, «Γραμμική Άλγεβρα, Θεωρία και Εφαρμογές», Gutenberg. [5] A. Kurosh, “Cours d’Algebre Superieure”, Editions de Moscou [6] D. S. Lay, “Linear Algebra and its Applications”, Addison-Wesley, P. Co., 1994. ΘΕΜΑΤΑ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ & ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ Χ. Α. Αλεξόπουλος Τμήμα Μηχ. Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Πατρών 5/27/2011