1 4ο ΛΥΚΕΙΟ ΧΑΛΑΝΔΡΙΟΥ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ «ΜΟΝΑΔΕΣ ΜΕΤΡΗΣΗΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΑΡΧΑΙΟΤΗΤΑ ΜΕΧΡΙ ΣΗΜΕΡΑ» Επιβλέπων εκπαιδευτικός: Καρδαμίτσης Σπύρος ΧΑΛΑΝΔΡΙ, ΑΠΡΙΛΗΣ 2013 2 Η εργασία αυτή εκπονήθηκε από τον Σεπτέμβριο του έτους 2012 μέχρι τον Απρίλη του 2013 στα πλαίσια των ερευνητικών εργασιών της Ά τάξης του 4ου ΛΥΚΕΙΟΥ ΧΑΛΑΝΔΡΙΟΥ από τους μαθητές: 1 ΒΑΛΜΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ 2 ΒΛΥΣΙΔΗΣ ΣΤΕΦΑΝΟΣ 3 ΓΕΩΡΓΑΤΟΣ ΑΡΙΣΤΕΙΔΗΣ 4 ΔΑΜΑΛΑΣ ΜΙΧΑΗΛ ΑΓΓΕΛΟΣ 5 ΔΗΜΗΤΡΙΑΔΗΣ ΔΙΑΜΑΝΤΗΣ 6 ΚΑΛΟΓΗΡΑΤΟΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ 7 ΚΟΣΣΑΡΑΣ ΙΩΑΝΝΗΣ 8 ΛΥΜΠΕΡΑΤΟΣ ΒΑΣΙΛΕΙΟΣ 9 ΜΠΟΥΡΓΟΣ ΑΝΑΡΓΥΡΟΣ 10 ΝΙΚΗΤΟΠΟΥΛΟΣ ΚΩΝΣΤΑΝΤΙΝΟΣ 11 ΠΑΓΙΑΤΑΚΗΣ ΣΤΑΥΡΟΣ 12 ΠΑΠΑΙΩΑΝΝΟΥ ΚΑΙΣΑΡ ΓΕΩΡΓΙΟΣ 13 ΠΑΠΑΦΩΤΗΣ ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ 14 ΠΟΥΛΑΚΗΣ ΜΙΛΤΙΑΔΗΣ ΑΝΤΩΝΙΟΣ 15 ΜΗΤΡΟΠΟΥΛΟΣ ΝΕΚΤΑΡΙΟΣ 16 ΧΡΗΣΤΟΥ ΓΕΩΡΓΙΑ 17 ΤΣΕΚΟΣ ΙΩΣΗΦ 18 ΣΤΕΦΑΝΟΠΟΥΛΟΣ ΑΠΟΛΛΩΝ 19 ΚΑΡΑΔΗΜΟΣ ΑΛΕΞΙΟΣ 20 ΚΟΚΟΛΑΚΗΣ ΓΙΩΡΓΟΣ 3 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΣΕΛΙΔΑ Εισαγωγή 4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΠΡΩΤΟ MONAΔΕΣ ΜΕΤΡΗΣΗΣ ΜΗΚΟΥΣ 8 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΔΕΥΤΕΡΟ ΜΟΝΑΔΕΣ ΜΕΤΡΗΣΗΣ ΕΜΒΑΔΟΥ 24 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΤΡΙΤΟ ΜΟΝΑΔΕΣ ΜΕΤΡΗΣΗΣ ΟΓΚΟΥ 32 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΤΕΤΑΡΤΟ ΜΟΝΑΔΕΣ ΜΕΤΡΗΣΗΣ ΜΑΖΑΣ - ΒΑΡΟΥΣ 42 ΕΠΙΛΟΓΟΣ 51 ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ - ΑΝΑΦΟΡΕΣ 52 4 ΜΟΝΑΔΕΣ ΜΕΤΡΗΣΗΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΑΡΧΑΙΟΤΗΤΑ ΜΕΧΡΙ ΚΑΙ ΣΗΜΕΡΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Οι μονάδες μέτρησης χρησιμοποιούνται για να αναθέσουν μια αξία στις φυσικές ποσότητες. Μια μονάδα μέτρησης είναι μια ιδιαίτερη ποσότητα, που καθορίζεται και που υιοθετείται από τη σύμβαση, με την οποία άλλες ποσότητες του ίδιου είδους συγκρίνονται προκειμένου να εκφραστούν τα μεγέθη τους σχετικά με εκείνη την ποσότητα, παραδείγματος χάριν το χιλιόγραμμο, το μέτρο, το λίτρο, το βολτ και το δευτερόλεπτο ..... Από τα πολύ παλιά χρόνια, οι ανάγκες της ζωής, υποχρέωσαν τους ανθρώπους να μετρήσουν διάφορα μεγέθη. Για να εξυπηρετούν οι μετρήσεις αυτές έπρεπε να χρησιμοποιηθούν σταθερά υποδείγματα, τα οποία να διαθέτει ο καθένας οποιαδήποτε στιγμή τα χρειαζόταν. Αρχικά στη μέτρηση χρησιμοποιήθηκαν τα μέλη του ανθρώπινου σώματος αλλά και ο βηματισμός, το άνοιγμα των χεριών και το ύψος. Έτσι, δημιουργήθηκαν οι πρώτες μονάδες. Οι μονάδες αυτές, αν και πολύ χρήσιμες, άρχισαν να χάνουν την αξία τους, διότι δεν είναι ακριβείς, αφού όλοι οι άνθρωποι δεν έχουν το ίδιο ύψος, την ίδια παλάμη, το ίδιο πάχος δακτύλων και το ίδιο άνοιγμα στο βήμα τους. Όταν αναπτύχθηκε η επικοινωνία λαών και κρατών, με τα ταξίδια και το εμπόριο, δημιουργήθηκε η ανάγκη να καθιερωθούν κοινές μονάδες μέτρησης για καλύτερη συνεννόηση και αποφυγή της ταλαιπωρίας των μετατροπών απ' τη μία μονάδα στην άλλη. Οι μονάδες μέτρησης χρησιμοποιούνται για να αναθέσουν μια αξία στις φυσικές ποσότητες. Μια μονάδα μέτρησης είναι μια ιδιαίτερη ποσότητα, που καθορίζεται και που υιοθετείται από τη σύμβαση, με την οποία άλλες ποσότητες του ίδιου είδους συγκρίνονται προκειμένου να εκφραστούν τα μεγέθη τους σχετικά με εκείνη την ποσότητα, παραδείγματος χάριν το χιλιόγραμμο, το μέτρο, το λίτρο, το βολτ και το δευτερόλεπτο. Σχεδόν όλες οι χώρες στον κόσμο έχουν τους κανονισμούς σχετικά με τη χρήση των μονάδων. 5 Ένα σύστημα μονάδων είναι ένα σύνολο κανόνων που υπαγορεύει πώς η μονάδα του μέτρου κάθε ποσότητας που χρησιμοποιείται στις φυσικές επιστήμες και την τεχνολογία καθορίζεται με έναν συνεπή τρόπο. Οι μονάδες μέτρησης που χρησιμοποιούνται παγκοσμίως σήμερα είναι το διεθνές σύστημα μονάδων, στα γαλλικά Systeme International d'Unites (SI). Υιοθετήθηκε επίσημα στο 11ο Γενικό Συνέδριο για βάρη και τα μέτρα (CGPM) το 1960. Το διεθνές σύστημα μονάδων διαφοροποιεί μεταξύ δύο κλάσεων των μονάδων: Μονάδες βάσης και Παραγόμενες μονάδες. Το SI είναι βασισμένο αυτή τη στιγμή στις ακόλουθες επτά μονάδες βάσης: μέτρο, χιλιόγραμμο, δευτερόλεπτο, αμπέρ, Kelvin, γραμμομόριο και καντέλα. Οι παραγόμενες μονάδες λαμβάνονται από τις μονάδες βάσης και τις ίδιες αλγεβρικές σχέσεις (εξισώσεις ποσότητας) που εξακολουθούν να ισχύουν για τις αντίστοιχες ποσότητες στη φύση. Οι διεθνείς συγκρίσεις χρησιμεύουν να εξασφαλίσουν ότι για τους κανόνες εμπορίου και άλλους σκοπούς οι μονάδες που χρησιμοποιούνται σε όλο τον κόσμο είτε συμφωνούν ή διαφέρουν από τα γνωστά ποσά. Γενικός μπορούμε να διατηρήσουμε μια μονάδα με τη μεγαλύτερη ακρίβεια όταν ξέρουμε την απόλυτη αξία της. Ένας σημαντικός παράγοντας των μονάδων βάσης είναι η ανεξαρτησία τους στο διάστημα και το χρόνο δηλαδή πρέπει να είναι αναπαραγώγισημοι με την ίδια ακρίβεια οποιαδήποτε στιγμή σε οποιοδήποτε εργαστήριο. Στην προσπάθεια να εκπληρωθεί αυτή η απαίτηση, οι καθορισμοί των μονάδων έχουν αλλάξει ήδη αρκετές φορές, και 6 βασίζονται σήμερα, με τη μόνη εξαίρεση του χιλιόγραμμου, όχι άλλο στα χειροποίητα αντικείμενα, αλλά μάλλον στη σταθερή ιδιοκτησία της φύσης, η οποία μπορεί να εφαρμοστεί πειραματικά οπουδήποτε και οποιαδήποτε στιγμή. Παραγόμενες Μονάδες Μονάδες SI Παραγόμενη όνομα σύμβολο Εμβαδό Τετραγωνικό μέτρο m2 Όγκος Κυβικό μέτρο m3 Ταχύτητα Μέτρο ανά δευτερόλεπτο m/s Επιτάχυνση Μέτρο ανά δευτ/το στο τετράγωνο m/s2 Γωνία Ακτίνιο (rad) 1 rad=1 m/m Στερεά γωνία Στερεακτινιο(steradian)sr 1 sr=1 m2/m2 Γωνιακή ταχύτητα Ακτίνιο ανά δευτερόλεπτο ω=rad/s Συχνότητα Hz (Hertz) 1 Hz=1/s Δύναμη N (Newton) 1N=1 m*kg/s2 Πίεση Pa (Pascal) 1Pa=1Ν/m2 Ενέργεια, έργο J (Joule) 1J=1Ν*m Ισχύς W (Watt) 1W=1J/s Ηλεκτρικό φορτίο C (coulomb) 1C=s*A Ηλεκτρική τάση V (Volt) 1V=1W/A Ηλεκτρική αντίσταση Ω(Ohm) 1Ω= 1V/Α Ηλ.αγωγιμότητα S (siemens) 1S= 1Ω-1 Χωρητικότητα F (Farad) 1F= 1C/V Μαγνητική ροή Wb (Weber) 1Wb= 1Vs Πυκνότητα μαγνητικής ροής T (Tesla) 1T=1Wb/m2 Επαγωγή H (Henry) 1H= 1Wb/A Λαμπρότητα L (Lambert) 1L=1lm/(m2*sr) Φωτεινή ροή Lm (lumen) 1lm= 1 cd*sr Φωτισμός επιφάνειας Lx(Lux) 1lx=1m-2·lm Ενεργότητα ραδιοκλεϊδίου Bq (Becquerel) 1 Bq=s-1 7 Απορροφούμενη δόση Gy (Gray) 1 Gy = 1 J/Kg Ισοδύναμη δόση Sv (sievert) 1 Sv=1J/Kg Οι μαθητές του Α τμήματος των ερευνητικών εργασιών, συγκέντρωσαν και κατέγραψαν μονάδες μέτρησης για το Μήκος , το Εμβαδό, τον Όγκο και το Βάρος και σας τις παρουσιάζουν. 8 1. ΜΟΝΑΔΕΣ ΜΕΤΡΗΣΗΣ ΜΗΚΟΥΣ Οι άνθρωποι από τα πολύ παλιά χρόνια, είχαν την ανάγκη να μετράνε αποστάσεις, δηλαδή να συγκρίνουν μια απόσταση με ένα γνωστό και γενικά αποδεκτό μήκος. Αυτό το μήκος ονομάζεται μονάδα μέτρησης. Αρχικά, χρησιμοποιήθηκε το ανθρώπινο σώμα για το σκοπό αυτό. 1.1. Βιβλικές μονάδες μέτρησης Βήμα (Β' Σαμουήλ 6:13) Περίπου 92 εκατοστά. Βήμα ποδός (Δευτερονόμιο 2:5, Πράξεις 7:5) Περίπου 30,5-31 εκατοστά. Βολή τόξου (Γένεση 21:16) Η απόσταση που διανύει ένα βέλος. Δάκτυλος (Ιερεμίας 52:21) Το ένα τέταρτο του πάχους της παλάμης, 19 χιλιοστά περίπου. Κάλαμος (Ιεζεκιήλ 42:16,17) Ισοδυναμούσε με 1,5 οργυιά. Μίλι (Ματθαίος 5:41) Μέτρο μήκους, ρωμαϊκό, ίσο με 8 στάδια. Ισοδυναμούσε με χίλια διπλά βήματα, 1480 μέτρα περίπου. οδός ημέρας (Αριθμοί 11:31) 9 Η απόσταση που διανύει ένας άνθρωπος κατά τη διάρκεια μιας μέρας, 35-40 χλμ. περίπου. οδός Σαββάτου (Πράξεις 1:12) Η απόσταση που επιτρεπόταν να διανύσει ένας Ιουδαίος την ημέρα του Σαββάτου, περίπου 1-1,2 χλμ. ή για την ακρίβεια 2040 βήματα. Ο λόγος που νομοθέτησε ο Μωυσής αυτή την απόσταση ήταν γιατί τόσα βήματα απείχε η Σκηνή του Μαρτυρίου από εκεί που έμεναν οι Ισραηλίτες, απ' όπου και επιτρεπόταν να πηγαίνουν για να προσκυνήσουν. Οργυιά (Πράξεις 27:28) Ήταν ίση με τέσσερις πήχεις, περίπου 1,85 μέτρα. Παλάμη (Έξοδος 25:25) Ισοδυναμούσε με το πλάτος των τεσσάρων δακτύλων, 76 περίπου χιλιοστά. Πήχυς (Γένεση 6:15, Έξοδος 25:10, Α Βασιλέων 7:24, Ιεζεκιήλ 40:5, Ματθαίος 6:27, Αποκάλυψη 21:17) Κύρια μονάδα μήκους πολλών λαών όπως Εβραίων, Αιγυπτίων, Βαβυλωνίων. Ήταν ίσο με το μήκος του μπράτσου, από τον αγκώνα μέχρι της άκρες των δακτύλων. Περίπου 44-53 εκατοστά. Σπιθαμή (Α' Σαμουήλ 17:4, Ψαλμός 39:5) Το πλάτος του χεριού από την άκρη του αντίχειρα μέχρι την άκρη του μικρού δακτύλου (τεντωμένη παλάμη). Υπολογιζόταν σε μισό πήχη, 230 χιλιοστά περίπου. Στάδιο (Β' Μακκαβαίων 11:5, Λουκάς 24:13, Ιωάννης 6:19, Αποκάλυψη 14:20) 10 Ίσο με το ελληνικό στάδιο, ισοδύναμο με το 1/8 του μιλίου (185 μέτρα περίπου). Το μήκος όμως κυμαινόταν από περιοχή σε περιοχή και από εποχή σε εποχή ανάμεσα στα 177 και 200 μέτρα. 1.2 ΜΟΝΑ∆ΕΣ ΜΗΚΟΥΣ ΑΡΧΑΙΑΣ ΑΙΓΥΠΤΟΥ Ο πήχης είναι μία αρχαία σωματική μονάδα μέτρησης που ανακαλύφθηκε στην Αίγυπτο.Βασική µονάδα µήκους ήταν το cubit, το οποίο αντιστοιχεί σε µήκος 52,3 εκατοστών του µέτρου ή 20,6 ίντσες. Κάθε cubit είχε 7 παλάµες και κάθε παλάµη 4 δακτύλους. Για µεγάλα µήκη χρησιµοποιούσαν το hayt ή khet, που είχε µήκος 100 cubits. Έτσι, οι µονάδες µήκους µπορούν να αποδοθούν ως εξής: 1 khet =100 cubits =700 παλάµες =2800 δάκτυλοι 1 cubit =7 παλάµες 1 παλάµη =28 δάκτυλοι =4 δάκτυλοι Σε μερικές περιπτώσεις χρησιµοποιούσαν και µια άλλη µονάδα µήκους, την οποία ονόµαζαν διπλό renen και η οποία αντιστοιχούσε σε µήκος 74 εκατοστών του µέτρου. ∆ηλαδή το απλό renen είχε µήκος 37 εκατοστά. 1.3. Μονάδες μέτρησης στην αρχαία Ελλάδα Οι αρχαίοι Έλληνες χρησιμοποιούσαν το στάδιο για να μετρούν τις αποστάσεις. Το μήκος του σταδίου διέφερε στις αρχαίες πόλεις και εξαρτιόταν από το μήκος του ποδός το αττικό στάδιο είχε μήκος 184,98 μέτρα, το ολυμπιακό στάδιο 192,27 μέτρα, το οδοιπορικό στάδιο 157,50 μέτρα Αθήνα – Ολυμπία : (660 στάδια) Ελευσίνα – Ιωλκός : (550 στάδια) Μεγαλόπολη – Φιγάλεια : (660 στάδια) 11 Ιδαίον άνδρο στην Κρήτη – Σμύρνη : (2198 στάδια) Πέλλα – Κέρκυρα : (1350 στάδια) Κινύρα Θάσου – Καρδαμύλη Χίου : (1700 στάδια) Δωδώνη – Διόν : (1010 στάδια) 1.4 Aρχαίες Μονάδες Μέτρησης Μήκους Βαβυλώνας Μέτρα και σταθμά των Βαβυλωνίων. Στους αρχαίους πολιτισμούς συναντούμε μονάδες μήκους που έχουν σχέση με μέλη του ανθρώπινου σώματος, π.χ. πόδας, πήχης, δάκτυλος, παλάμη. Στην Ιστορία των Μαθηματικών του G. Loria (Γένοβα το 1928) αναφέρεται ότι οι Βαβυλώνιοι είχαν καθιερώσει ένα πλήρες σύστημα μέτρων και σταθμών Βασική μονάδα μήκους ήταν το su-si το οποίο αντιστοιχεί σε ¾ εκατοστά του μέτρου. Η αμέσως μεγαλύτερη μονάδα ήταν ο βαβυλωνιακός δάκτυλος γνωστός και ως kus που αντιστοιχεί σε μήκος cubit ή 20,6 ίντσες ή περίπου 52 εκατοστά. Tο 1 kus έχει 30 su-si. Άλλες μονάδες μέτρησης μήκους ήταν το gi, το gar, το ese και το danna. Ο βαβυλωνιακός δάκτυλος ή κας, ίσος με 0,530 μέτρα (βασική μονάδα μήκους) Το su-si, 1/30 του βαβυλωνιακού δακτύλου, Ο πόδας (πους), τα 2/3 του βαβυλωνιακού δακτύλου. Οι σχέσεις των μονάδων ήταν: 1 danna=180 ese=1800 gar=3600gi=21600 kus=64800su-si 1 ese=10 gar=20 gi=120 kus=3600 su-si 1 gar=2 gi=12 kus=360 su-si 1 gi=6 kus=180 su-si 1 kus=30 su-si Ο βαβυλωνιακός δάκτυλος ή κας, ίσος με 0,530 μέτρα (βασική μονάδα μήκους) 12 Το su-si, ίσο με το 1/30 του βαβυλωνιακού δακτύλου, Ο πόδας (πους), ίσος με τα 2/3 του βαβυλωνιακού δακτύλου. 1.5 ΑΡΧΑΙΕΣ ΜΟΝΑΔΕΣ ΜΕΤΡΗΣΗΣ 1 αιγυπτιακός σχοινός = 40 οδοιπ. στάδια 1 περσικός παρασάγγης = 30 οδοιπ. στάδια ο δόλιχος = 12 στάδια = 2219 μέτρα ή κατ’ άλλους 24 στάδια, περίπου 5 χιλιόμετρα 1 ιππικόν = 4 στάδια ο δίαυλος = 2 στάδια. το στάδιο = 600 πόδες = 185 περίπου μέτρα. (αττικό στάδιο) το πλέθρο = 100 πόδες = 30,88 μέτρα. η άμμα = 18,4 μέτρα 1 πήχυς = 1,5 πόδες = 24 δάκτυλοι = 46,32 εκατοστά 1 πυγών = 20 δάκτυλοι = 38,60 εκατοστά 1 πυγμή = 18 δάκτυλοι = 34,74 εκατοστά 1 πους = 16 δάκτυλοι = 30,88 εκατοστά 1 σπιθαμή = 12 δάκτυλοι = 23,16 εκατοστά 1 λιχάς = 0,5 πους = 8 δάκτυλοι = 15,44 εκατοστά 1 παλαιστή ή παλαστή = 4 δάκτυλοι = 7,72 εκατοστά 1 δάκτυλος = 1,93 εκατοστά 1.6 ΚΙΝΑ Ο θρυλικός Κίτρινος Αυτοκράτορας δηµιούργησε το πρώτο σύστηµα για τις µονάδες µέτρησης που προέρχονται από το ανθρώπινο σώµα. Επειδή όµως το ανθρώπινο σώµα έχει διαφορετικές διαστάσεις σε κάθε άνθρωπο, οι µονάδες ήταν ασυνεπείς. Έτσι ο Yu ο Μέγας, δηµιούργησε το ενοποιηµένο σύστηµα µετρήσεων µήκους µε χάρακες. Πληροφορίες έχουµε από τους τάφους της Shang δυναστείας. Μετά η δυναστεία Zhou δημιούργησε τις δικές της µονάδες μέτρησης από πολιτεία σε πολιτεία, όπως και η δυναστεία Qin Shi Huang, η ενωμένη 13 Κίνα και αργότερα η ∆υναστεία Χαν. Αστρονομικά όργανα δείχνουν μικρή µεταβολή του µήκους του chi, στους αιώνες που ακολούθησαν στο ηµερολόγιο. Με την εισαγωγή των δεκαδικών µονάδων στην περίοδο της δυναστείας των Μινγκ το παραδοσιακό σύστηµα αναθεωρήθηκε. Το 1928, η κυβέρνηση της Λαϊκής ∆ηµοκρατίας της Κίνας ενέκρινε το μετρικό σύστηµα ως το επίσημο πρότυπο. Το 1976 το Χονγκ Κονγκ µετρικό σύστηµα επέτρεψε τη βαθµιαία αντικατάσταση του συστήµατος µε το διεθνές Σύστημα Μονάδων (SI). Η κυβέρνηση της Λαϊκής ∆ηµοκρατίας της Κίνας, χρησιµοποιεί το παραδοσιακό σύστηµα µέχρι το 1984,ενώ µετά εγκρίνει το σύστηµα SI. Το σύστηµα SI έγινε το εθνικό πρότυπο το 1987. ΑΡΧΑΙΕΣ ΜΟΝΑ∆ΕΣ ΜΗΚΟΥΣ Παραδοσιακές µονάδες µήκους ήταν το chi (尺), bu (步), και li (里). Η ακριβής διάρκεια αυτών των µονάδων, καθώς και οι σχέσεις µεταξύ τους, έχει αλλάξει µε την πάροδο τουχρόνου. BU = 5 ή 6 chi, 1 li = 300 ή 360 bu. 1.8 ΙΝ∆ΙΑ Σε όλο το χρονικό διάστηµα από το 500 π.Χ. µέχρι και ολόκληρο τον 5° αιώνα µ.Χ. δεν είναι γνωστό κανένα ινδικό έργο µε κύριο περιεχόµενο τα Μαθηµατικά. Από έρευνες που έχουν γίνει πιστεύαμε ότι η χρήση και η ανάπτυξη των Μαθηματικών στην Ινδία µέχρι το 500 µ.Χ. ήταν υπόθεση των ιερέων, που τα χρησιμοποιούσαν σαν βοηθητικό µέσο για την κατασκευή βωµών και εξυπηρέτηση αναγκών σε σχέση µε τη θρησκεία. Οι στήλες µε χαραγμένα τα λεγόµενα «Έδικτα του Ασόκα», δυναστεία που έζησε το 330 π.Χ., είναι τα αρχαιότερα γραπτά κείµενα που έχουν βρεθεί στην Ινδία µέχρι σήµερα. Ό,τι γνωρίζουµε για τα προγενέστερα χρόνια προέρχονται από δύο έργα µη µαθηµατικού περιεχοµένου το «Sulva Sutra” (Σούλβα Σούτρα) και το “Siddhanta” (Σιντχάντα). Το πρώτο παρουσιάζει ένα µεγάλο αριθµό από κανόνες για τη κατασκευή βωµών, ενώ το δεύτερο είναι ένα σηµαντικό έργο αστρονοµικού περιεχοµένου. Για το µήκος χρησιµοποιούσαν τα εξής: 1 angulas, 1 yojanas 14 1.8 ΤΟΥΡΚΙΚΕΣ ΜΟΝΑΔΕΣ ΜΕΤΡΗΣΗΣ ΜΗΚΟΥΣ 1) Ασκελιά ή ασκελέ: Είναι το μήκος κανονικού βήματος ενός ανθρώπου και χρησιμοποιείται σαν πρόχειρο μέτρο μήκους για μικρές αποστάσεις. Υπολογίζεται προς 0,70 – 0,75 του μέτρου. 2) Το κονταρόξυλο: Είναι συμβολικό μήκος του ξύλου που χρησιμοποιούσαν για να τρίβουν το φούρνο, του τρίφτη δηλαδή. Το κονταρόξυλο ισοδυναμεί με 3 – 4 μέτρα μήκος και το χρησιμοποιούνταν ειδικά για την περίπτωση του ύψους του ηλίου κατά την ανατολή και τη δύση, π.χ. ο ήλιος θέλει δύο κονταρόξυλα να βασιλέψει.3) Το μπόι: Το μπόι είναι κι αυτό συμβατικό ύψος και ισούται με το μέσο όρο του κανονικού ύψους ενός ανθρώπου, δηλαδή περίπου 1,70 μέτρα. Λέγεται για να προσδιορισθεί το ύψος δένδρων, τοίχων, ηλίου. 4) Η οργυιά: Είναι το αρχαιότερο από την εποχή του Ομήρου μέτρο μήκους και ισούται προς την έκταση των χεριών ενός ωρίμου ανθρώπου μαζί με το πλάτος του στήθους. Ισούται με 1,82 μέτρα. Την οργυιά την χρησιμοποιούσαν όταν ήθελαν να μετρήσουν πρόχειρα το μάκρος σχοινιών, ξύλων, κ.λ.π. 5)Η Πιθαμή: Στα μικρά μήκη γίνεται χρήση πιθαμών σαν πρόχειρο μέτρο μήκους. Αυτές έχουν μικρές αυξομειώσεις και αντιστοιχούν γύρω στα 0,20 του μέτρου, ανάλογα με το μήκος που παρουσιάζουν τα τεντωμένα δάκτυλα (αντίχειρας και μικρός) του χεριού κάθε ανθρώπου. 6) Τα Πόδια: Στα λίγο μεγαλύτερα διαστήματα μεταχειρίζονται τα πόδια, δηλαδή το μήκος που παρουσιάζει το παπούτσι που φοράει ο ώριμος άνδρας. 7) Η ζευγαρέ: Είναι συμβατική μονάδα επιφανείας με την οποία γινόταν υπολογισμός του εμβαδού γης, που ήταν ίσο με αυτό που μπορούσαν να καλλιεργήσουν με «αροτριώντα» ζώα, συνήθως βόδια, σε μια μέρα. Είναι τμήμα ακαθόριστης εκτάσεως, που εξαρτάται από την ικανότητα και του ζευγολάτη και των «αροτριώντων» ζώων. Έτσι λέμε, π.χ. πόσες ζευγαρές ταή έσπειρες 1.9 σημερινές μονάδες μέτρησης του μήκους Μήκος ενός ευθύγραμμου τμήματος ονομάζεται η απόσταση μεταξύ των δύο άκρων του. Μήκος μιας γραμμής με αρχή και τέλος είναι το θετικό μέγεθος με τις εξής ιδιότητες: 15 Το μήκος μιας γραμμής που αναλύεται σε δύο γραμμές ισούται με το άθροισμα των μηκών των δύο γραμμών. Το μήκος δύο ίσων γραμμών είναι ίδιο. Το μήκος μιας γραμμής που τείνει σε μια σταθερή γραμμή τείνει να ισούται με το μήκος της σταθερής γραμμής. Ο ορισμός που έχει δοθεί παραπάνω δεν είναι πλήρης. Χρειάζεται οπωσδήποτε μία μονάδα μέτρησης, δηλαδή να προσδιοριστεί ένα ευθύγραμμο τμήμα που έχει μήκος ίσο με 1. Θεωρούμε ότι το μήκος του ευθύγραμμου τμήματος δεν αλλάζει, αν αλλάζει μόνο ο προσανατολισμός του. Κάθε σύστημα μονάδων καθορίζει τη δικιά του μονάδα μέτρησης. Με άλλα λόγια το μήκος είναι ένα μέγεθος μέτρησης γραμμών, αντίστοιχο με το εμβαδόν και τον όγκο. Το μήκος συνεκδοχικά έχει λάβει και μία άλλη έννοια σαν διάσταση. Συνήθως η μεγαλύτερη (οριζόντια) διάσταση ενός αντικειμένου καλείται μήκος, ενώ η άλλη οριζόντια καλείται πλάτος και η κατακόρυφη ύψος. Αν και οι τρεις διαστάσεις έχουν διαφορετικό όνομα δε διαφέρουν ως προς τις κύριες ιδιότητές τους, για αυτό και οι τρεις μετρούνται με τον ίδιο τρόπο και τις ίδιες μονάδες. Το μήκος μπορεί να θεωρηθεί ως τιμή μιας συνάρτησης, η οποία δέχεται ως ορίσματα γραμμές και δίνει ως τιμές θετικούς αριθμούς. Από τα παραπάνω συμπεραίνεται ότι το μήκος ενός σημείου είναι (ή σε πιο αυστηρή μαθηματική γλώσσα το μήκος μιας γραμμής που τείνει να εκφυλιστεί σε σημείο τείνει στο) 0 και αντίστροφα ότι αν το μήκος μιας γραμμής είναι μηδέν, τότε αυτή είναι σημείο (αν μια γραμμή τείνει να εκφυλιστεί σε σημείο, το μήκος τείνει στο μηδέν). 16 Η μονάδα μέτρησης του μήκους στο Διεθνές σύστημα μονάδων είναι: Το μέτρο θεμελιώδης μονάδα μέτρησης Το Δεκατόμετρο( 10d=1m) Το Εκατοστό(100cm=10d=1m) Το Χιλιοστό (1000mm=100cm=10d=1m) Το Χιλιόμετρο ( 1km=1000m) Με τις παραπάνω στοιχειώδεις μονάδες μέτρησης μπορούμε να μετρήσουμε τα μήκη διαφόρων αντικειμένων όπως πλοίων (σε 17 μέτρα) καθώς και αποστάσεις (σε χιλιόμετρα) 18 1.10 Αγγλία και Αμερική Στην Αγγλία, την Αμερική και σε μερικές ακόμη χώρες, το σύστημα μέτρησης είναι δωδεκαδικό και η βασική μονάδα μήκους είναι η υάρδα ή γιάρδα (yd). Μια γιάρδα ήταν το μήκος από τη μύτη του βασιλιά μέχρι το τέλος του αντίχειρά του. Αφού ο βασιλιάς δεν μπορούσε να παραβρίσκεται σε κάθε μέτρηση, οι άνθρωποι χρησιμοποιούσαν το δικό τους χέρι τεντωμένο για να μετράνε τα μήκη σε γιάρδες. Σήμερα η 1 γιάρδα διαιρείται σε 3 πόδια, και το 1 πόδι σε 12 ίντσες. Οι σχέσεις των μονάδων αυτών μεταξύ τους αλλά και με το μέτρο είναι: 1yd =3ft =36in, 1yd =0,9144m =91,44cm 1ft =12in, 1ft =0,3048m =30,48cm 1in =0,0254m =2,54cm Στις ίδιες χώρες για µέτρηση μεγάλων αποστάσεων χρησιμοποιούν το µίλι. Παλιά ένα µίλι ήταν ίσο µε 1000 βήµατα (1 βήµα=0,75 µέτρα) ενός Ρωµαίου στρατιώτη. Σήµερα είναι 1 µίλι=1609m =1,609km. Στη ναυτιλία χρησιµοποιούν για µονάδα µήκους το ναυτικό µίλι, που είναι 1 ναυτικό µίλι=1852m και τη ναυτική λεύγα, που 19 είναι 1 ναυτική λεύγα= 2,999 ναυτικά µίλια και την οργιά για µέτρηση ειδικά του βάθους του νερού, ίση µε 1,829µ. Ναυτικές ορολογίες είναι: 1 γουµενιά =120 οργιές ή 200 περίπου µέτρα 1 κλειδί= αλυσίδα 15 οργιών Στην Ελλάδα παλιότερα χρησιμοποιούνταν: το ρούπι η οργιά και στην αρχαία Ελλάδα, το στάδιο 1.11 ΑΣΤΡΟΝΟΜΙΚΕΣ ΜΟΝΑΔΕΣ ΜΕΤΡΗΣΗΣ ΜΗΚΟΥΣ Το Έτος φωτός είναι μονάδα μέτρησης μήκους - απόστασης (και όχι χρόνου). Ορίζεται ως η απόσταση που θα ταξιδέψει ένα φωτόνιο, κινούμενο στο κενό, μακριά από μάζες Στην αστρονομία, σαν μονάδες μήκους χρησιμοποιούνται, εκτός από το χιλιόμετρο, τα ηλεκτρομαγνητικά πεδία, σε ένα Ιουλιανό έτος (365,25 ημέρες με 86.400 δευτερόλεπτα η καθεμιά). Το σύμβολό του είναι το ly (από το αγγλικό light year). Η ταχύτητα του φωτός στο κενό είναι 299.792.458 μέτρα ανά δευτερόλεπτο, m/s, επομένως το έτος φωτός ισοδυναμεί με 9.460.730.472.580,8 κm ή περίπου εννιάμισι τρισεκατομμύρια χιλιόμετρα. Για να πάρουμε μια ιδέα του πόσο τεράστια είναι αυτή η απόσταση, αν τα χίλια χιλιόμετρα είχαν μήκος ενός χιλιοστού του μέτρου, το έτος φωτός θα ισοδυναμούσε με την απόσταση ανάμεσα στην Αθήνα και το Τόκυο. Το έτος φωτός χρησιμοποιείται για τη μέτρηση αποστάσεων μεταξύ άστρων, ενώ για μεγαλύτερες αποστάσεις χρησιμοποιείται το παρσέκ. Σε εκλαϊκευτικά βιβλία για την αστρονομία πάντως χρησιμοποιείται το έτος φωτός, επειδή είναι πιο εύκολο να εξηγηθεί σαν έννοια. Υποδιαιρέσεις Μικρότερες υποδιαιρέσεις είναι οι ημέρες φωτός, ώρες φωτός, λεπτά φωτός και δευτερόλεπτα φωτός, που είναι η απόσταση που θα ταξιδέψει το φως σε μια μέρα, μια ώρα, ένα λεπτό και ένα δευτερόλεπτο αντίστοιχα. Οι υποδιαιρέσεις αυτές δεν 20 έχουν το χαρακτήρα χρησιμοποιούνται που μερικές έχουν φορές οι αντίστοιχες προκειμένου ημερολογιακές, απλά να περιγράψουν μικρότερες ένας αστέρας παρουσιάζει αποστάσεις. Δηλαδή: Ημέρα φωτός: 25.902.068.371.200 μέτρα Ώρα φωτός: 1.079.252.848.800 μέτρα Λεπτό φωτός: 17.987.547.480 μέτρα Δευτερόλεπτο φωτός: 299.792.458 μέτρα Ισοδυναμίες Ένα έτος φωτός ισοδυναμεί με: 63.241 Αστρονομικές Μονάδες (AU) 0,30675 Παρσέκ Παρσέκ ονομάζεται η απόσταση στην οποία ετήσια παράλλαξη ίση προς ένα δεύτερο λεπτό της μοίρας (1”) Η απόσταση αυτή λαμβάνεται πολύ συχνά ως μονάδα μέτρησης των αποστάσεων στις αστρονομικές παρατηρήσεις. Η ονομασία του μέτρου παρσέκ είναι σύντμηση των λέξεων παράλλαξη + σεκόντ (δευτερόλεπτο) και συμβολίζεται διεθνώς ως pc. Μεταξύ παράλλαξης και των μονάδων μήκους: παρσέκ, αστρονομικής μονάδας και έτους φωτός υφίσταται η ακόλουθη αντιστοιχία: Παράλλαξη 1” = 1 παρσέκ = 206.265 α.μ. = 3,26 ε.φ. Παράλλαξη 0”,1 = 10 παρσεκ = 2.062.650 α.μ. = 32,60 ε.φ., κ.ο.κ. Το Παρσέκ (parsec) είναι μονάδα μέτρησης μήκους (αποστάσεων) στην αστρονομία. Αντιστοιχεί σε περίπου 3,26έτη φωτός, το οποίο είναι περίπου 30,9 τρισεκατομύρια (3,09 × 1013 ) χιλιόμετρα. Ανάλυση σχέσεων Η ετήσια παράλλαξη (θ) ενός ουράνιου σώματος είναι η γωνία με την οποία ένας παρατηρητής που βρίσκεται στο ουράνιο αυτό σώμα βλέπει τη μέση ακτίνα της 21 τροχιάς της Γης γύρω από τον Ήλιο (μία αστρονομική μονάδα ή 1 AU). Από την τριγωνομετρία προκύπτει ότι: όπου d η απόσταση του ουράνιου αντικειμένου από τον Ήλιο (και χωρίς μεγάλο σφάλμα και από τη Γη). Επειδή η γωνία θ είναι πάρα πολύ μικρή τότε χωρίς μεγάλο σφάλμα ισχύει: tanθ = θ όταν η γωνία θ είναι εκφρασμένη σε ακτίνια (rad). Έτσι η σχέση μεταξύ της απόστασης d του ουράνιου σώματος με ετήσια παράλλαξη θ rad και της μέσης ακτίνας της Γης είναι: Η σχέση μεταξύ ακτινίου (rad) και δεύτερου λεπτού της μοίρας (”) είναι: Έτσι από τον ορισμό του παρσέκ προκύπτει ότι: όπου l.y. = έτη φωτός. Η ονομασία παρσέκ προκύπτει από το παράλλαξη + sec. Η Αστρονομική Μονάδα (α.μ.) είναι μονάδα μέτρησης αποστάσεων. Είναι ίση με 149.597.870.700 μέτρα. Παλιότερα η Αστρονομική μονάδα οριζόταν ως η μέση απόσταση της Γης από τον Ήλιο. Χρησιμοποιείται για τη μέτρηση αποστάσεων μέσα στο Ηλιακό Σύστημα (π.χ. της απόστασης κάποιου σώματος από τον Ήλιο). Το διεθνές σύμβολό της είναι το AU (από το αγγλικό Astronomical Unit) και στην ελληνική α.μ. Σύμφωνα με τον ορισμός της διεθνούς Αστρονομικής Ένωσης, η αστρονομική ομάδα ισούται με 149.597.870.700 μέτρα ακριβώς. Αλλαγή στον ορισμό οφείλεται στο γεγονός ότι ο παλιός ορισμός βασιζόταν στην νευτώνια φυσική και δεν καλυπτόταν από τη γενική σχετικότητα. Η απόσταση ανάμεσα στη Γη και τον Ήλιο δεν είναι σταθερή, καθώς η τροχιά της Γης δεν είναι κυκλική αλλά ελλειπτική. Για το λόγο αυτό ως Αστρονομική Μονάδα θεωρείται η μέση απόσταση. Αρχικά είχε οριστεί ως το μισό του μήκους του μεγάλου 22 άξονα αυτής της έλλειψης. Ένας αυστηρότερος ορισμός, που καθιερώθηκε από τη Διεθνή Αστρονομική Ένωση το 1976, ορίζει την Αστρονομική Μονάδα ως την απόσταση από τον Ήλιο όπου ένα σωματίδιο αμελητέας μάζας, σε κυκλική τροχιά γύρω από αυτόν και χωρίς να δέχεται επίδραση εξωτερικών δυνάμεων, θα είχε περίοδο 365,2568983 ημερών (Γκαουσιανό Έτος). Ακόμα πιο αυστηρά η AU ορίζεται ως η απόσταση στην οποία η ηλιοκεντρική βαρυτική σταθερά είναι ίση με (0,017 202 098 95)² AU³/d². Σύμφωνα με ένα άλλο ορισμό αστρονομική μονάδα είναι η ακτίνα μιας αδιατάρακτης νευτώνιας τροχιάς γύρω από τον Ήλιο ενός σώματος απείρως μικρής μάζας το οποίο κινείται με μέση μετατόπιση 0,01720209895 rad ανά ημέρα (σταθερά Γκάους). Επειδή ο Ήλιος χάνει σιγά σιγά μάζα καθώς ακτινοβολεί ενέργεια, η περίοδος ενός σώματος σε τροχιά γύρω από αυτόν μεγαλώνει ανεπαίσθητα. Έτσι η Αστρονομική Μονάδα (με βάση τον ορισμό της Διεθνούς Αστρονομικής Ένωσης) μίκραινε κατά ένα εκατοστό το χρόνο. Μερικές χαρακτηριστικές αποστάσεις σε AU Αποστάσεις πλανητών από τον Ήλιο: Ερμής: 0,39 AU Αφροδίτη: 0,72 AU Γη: 1,00 ± 0,02 AU Άρης: 1,52 AU Δίας: 5,20 AU Κρόνος: 9,54 AU Ουρανός: 19,18 AU Ποσειδώνας: 30,06 AU Πλούτωνας: 39,53 AU Η Σελήνη απέχει 0,0026 ± 0,0001 AU απ' τη Γη. Ο Βόγιατζερ 1 τον Φλεβάρη του 2005 απείχε 94 AU από τον Ήλιο. Η διάμετρος του Ηλιακού Συστήματος, μαζί με το Νέφος του Oort, είναι περίπου 105 AU. Ο Εγγύτατος Κενταύρου (το κοντινότερο σε μας αστέρι) απέχει από τον Ήλιο περίπου 268 000 AU. Η απόσταση από τον Ήλιο ως το κέντρο του Γαλαξία μας είναι περίπου 1,7 δισεκατομμύρια AU. 23 Ισοδυναμίες 1 AU = 149 597 870,700 χιλιόμετρα ≈ 92 955 807 μίλια ≈ 8,317 λεπτά φωτός ≈ 499 δευτερόλεπτα φωτός. 1 δευτερόλεπτο φωτός ≈ 0,002 AU. 1 λεπτό φωτός ≈ 0,120 AU. 1 ώρα φωτός ≈ 7,214 AU. 1 ημέρα φωτός ≈ 173 AU. 1 έτος φωτός ≈ 63 241 AU .1 παρσέκ ≈206265AU. 24 ΜΟΝΑΔΕΣ ΜΕΤΡΗΣΗΣ ΕΜΒΑΔΟΥ 2.1 Ορισμός-Ετυμολογία Εμβαδόν είναι το μέγεθος που χρησιμοποιούμε για να μετρήσουμε τις επιφάνειες . Το εμβαδόν θεωρείται ένα βασικό μέγεθος των δισδιάστατων σχημάτων όπως τα τετράγωνα και οι κύκλοι, τα οποία δεν έχουν όγκο. Το εμβαδόν επίπεδων σχημάτων και επιφανειών μπορεί να υπολογιστεί με μεθόδους του ολοκληρωτικού λογισμού. προέρχεται από την λέξη εμβαίνω που σημαίνει κάνω κάτι με τα πόδια, περπατώ. 2.2 Αρχαία Ελλάδα Στην αρχαία Ελλάδα τα κυριότερα μέτρα επιφάνειας το ήταν τετραγωνικό πλέθρον=950 τετραγωνικά μέτρα, η άρουρα (1/4 του πλέθρου=2025 τμ) και ο έκτος (1/6 του πλέθρου). Το πλέθρον χρησιμοποιήθηκε περισσότερο σε υπαίθριες αποστάσεις παρά σε αστικές ή σε αρχιτεκτονικά έργα. Υποδεέστερη μονάδα του πλέθρου ήταν το ημίπλεθρον, το μισό του πλέθρου, και πολλαπλάσιό του ήταν το δεκάπλεθρον (το δεκαπλάσιο του πλέθρου). Στα ομηρικά έπη απαντάται και το απέλεθρον που ταυτίζεται με το άπειρον. Επίσης άλλη μονάδα μέτρησης ήταν το μόδιον ή μόδι που ήταν κυρίως μονάδα χωρητικότητας. Ήταν επίσης και μονάδα επιφάνειας, του οποίου η αξία διέφερε πάρα πολύ από τόπο σε τόπο. Ένας μόδιος γης ήταν η έκταση που μπορούσε να σπαρθεί με ένα μόδιο σιταριού. Κατά μια εκδοχή, το μόδιο ισούται με 8 μουτζούρια ή 3200 τετρ.οργιές. Τέλος, κατά μια άλλη εκδοχή το μόδιο ισούται με 940 τετραγωνικά μέτρα περίπου, όσο και η επιφάνεια της βραχονησίδας Μόδι (απέναντι από την Καλαβρία). 2.3 Αρχαία Αίγυπτος Στην αρχαία Αίγυπτο βασική μονάδα μέτρησης επιφάνειας ήταν το τετραγωνικό Cubit (τετραγωνικός πήχυς, 0,25m²). Άλλες μονάδες ήταν η Arura( ή 25 αλλιώς τετραγωνικό khet, ή setat) και το cubit-strip(που είναι ένα ορθογώνιο με μήκος 100 cubits και πλάτος 10 cubits). Οι αναλογίες ήτανε: arura = 1 setat 1= 1τετραγωνικό khet =10000 τετραγωνικά cubits 1 cubit-strip = 100 τετραγωνικά cubits 1 arura = 100 cubit-strips Επιπλέον για τους Αρχαίους Αιγύπτιους γνωρίζουμε τον τρόπο με τον οποίο υπολογίζανε τα εμβαδά των τριγώνων και των τετραπλεύρων. Υπολόγιζαν σωστά το εμβαδόν τριγώνου βρίσκοντας πρώτα το μισό της βάσης του (τετραγωνισμός του τριγώνου) στη και συνέχεια πολλαπλασίαζαν το αποτέλεσμα με το ύψος αυτού.6 Για τον υπολογισμό του εμβαδού του τραπεζίου υποδιπλασίαζαν το άθροισμα των βάσεων αυτού και πολλαπλασίαζαν το αποτέλεσμα με το ύψος. Στην περίπτωση τυχαίου τετραπλεύρου εκτελούσαν πολλαπλασιασμό των ημιαθροισμάτων των ζευγών των απέναντι πλευρών, κάτι που ασφαλώς είναι εσφαλμένο, αφού ισχύει μόνο στην περίπτωση του ορθογωνίου παραλληλογράμμου. Στην πόλη Εντφού και πιο συγκεκριμένα στο ναό του Ώρου βρέθηκαν χαραγμένες δωρεές, στις οποίες αναγράφονταν εμβαδά τριγώνων και τετραπλεύρων και μάλιστα σε ένα από αυτά εκτελείται ο λαθεμένος τύπος υπολογισμού του εμβαδού τριγώνου Ε = (ημιάθροισμα δύο πλευρών)·(μισό της τρίτης πλευράς). Για το Εμβαδόν ορθογωνίου παραλληλογράμμου με βάση τους παπύρους που έχουν διασωθεί διαπιστώνεται ότι οι Αιγύπτιοι γραφείς το υπολόγιζαν δια του πολλαπλασιασμού των δύο διαστάσεών του (γινόμενο της βάσεως επί το ύψος). 2.4 Αρχαία Βαβυλώνα 26 Στην Βαβυλώνα αρχαία η βασική μονάδα μέτρησης εμβαδού λεγότανε Sar που αντιστοιχεί σε περίπου 40 m². Άλλες μονάδες που χρησιμοποιούσανε ήταν οι: sur, b’uru, bur, iku όπου και οι αναλογίες τους ήταν: 1 sur = 6 bur'u = 60 bur =1080 iku =108000 sar 1 bur'u =10 bur = 180 iku = 18000 sar 1 bur =18 iku 1 iku =100 sar =1800 sar 2.5 Αρχαία Ρώμη Το ασσάριο ήταν αρχαία Ρωμαϊκή μονάδα μέτρησης βάρους, μήκους, εμβαδού, χωρητικότητας, αλλά και ομώνυμο νόμισμα. Το όνομα προέρχεται από τη λατινική λέξη as , assis (= ένας, μία), η οποία προήλθε από τη Δωρική διάλεκτο του Τάραντα. Το ασσάριο ήταν βασική μετρική μονάδα αρχικά των Ετρούσκων και στη συνέχεια των Ρωμαίων. Ως μονάδα αγροτικής επιφάνειας ήταν ίσο με 2.500 τετραγωνικά μέτρα. 27 2.6 Αρχαία-Σύγχρονη Κίνα Στην αρχαία Κίνα βασική μονάδα μέτρησης επιφάνειας ήταν η li που ισούταν με τετραγωνικές 7,973 γιάρδες ή 6,68 τετραφωνικά μέτρα Στην σύγχρονη Κίνα χρησιμοποιούνται οι εξής μονάδες επιφάνειας: fang CUN (1.722 m2 ), fang chǐ ( 1/9 m2 ), Swamp ( 66 m2 ), shi (1.647 στρέμματα) και την qǐng (16,47 στρέμματα ) 2.7 Σύγχρονες Μονάδες Μέτρησης Η κυριότερη σύγχρονη μονάδα μέτρησης είναι το τετραγωνικό μέτρο (m²) το οποίο έχει: Πολλαπλάσια: Άριο = 100m² Στρέμμα = 1000 m² Εκτάριο = 10000 m² Τετ. Χιλιόμετρο = 100000 m² Υποπολλαπλάσια Τετραγωνικό δεκατόμετρο = 0,01 m² Τετραγωνικό εκατοστόμετρο = 0,0001 m² Τετραγωνικό χιλιοστόμετρο = 0,000001 m² Στρέμμα: Μονάδα μέτρησης εμβαδού, χρησιμοποιούμενη κυρίως στην Ελλάδα για την μέτρηση προς πώληση εκτάσεων γης, ιδίως αγροτεμαχίων. Ένα στρέμμα ισοδυναμεί με 1000 τετραγωνικά μέτρα. Υπήρχε το νέο ή βασιλικό στρέμμα που ισούται προς το 1/10 του εκτάριου η προς 10 άρια. Το στρέμμα αν θεωρηθεί ως τετράγωνο έχει πλευρά 31,628 μέτρα. Το παλιό στρέμμα ισούται προς 1270 m². μέτρα και ως 28 τετράγωνο έχει πλευρά 55 πήχεων. Επίσης υπήρχε και το παλιό στρέμμα των Παρισίων το οποίο είχε εμβαδόν 3419 m². μέτρα και ως τετράγωνο είχε πλευρά 180 πόδια. Είναι μονάδα που άρχισε να χρησιμοποιείται την εποχή της Βυζαντινής αυτοκρατορίας και ήταν ίσο με το μόδιο. Πρώτη φορά αναφέρεται το 1239. Η χρήση του επεκτείνεται κατά την Τουρκοκρατία οπότε οι τούρκοι το χρησιμοποιούν ως μονάδα επιφάνειας με το όνομα “donum” το οποίο αλλού φαίνεται να είναι 900, 918919, 939-938, 1250, 1600 ή και 2.500 τετραγωνικά μέτρα. Σήμερα είναι ίσο 1000 τετραγωνικά μέτρα Εκτάριο Η λέξη εκτάριο προέρχεται από την γαλλική λέξη hectare, η οποία προέρχεται από την αρχαία Ελληνική λέξη εκατόν και την Γαλλική λέξη are (αρ), το οποίο είναι επιφάνεια μεγέθους 100 τετραγωνικών μέτρων. Αντίστοιχα στην Κύπρο υπάρχει και το δεκάριο , το οποίο ισούται με 1000 τετραγωνικά μέτρα. Έϊκρ (Acre) Το έϊκρ (acre) είναι μονάδα εμβαδού στα αγγλοσαξονικά συστήματα μονάδων, όπως είναι το Αυτοκρατορικό σύστημα μονάδων και το σύστημα των ΗΠΑ. Τα ευρύτερα χρησιμοποιούμενα έϊκρ, είναι το διεθνές και το αμερικανικό. Το έϊκρ δεν πρέπει να συγχέεται με τις μονάδες του S.I αρ (άριο) και εκτάριο. Ένα έϊκρ ισούται με 4.047 τετραγωνικά μέτρα, 4.840 τετραγωνικές γιάρδες ή 43.560 τετραγωνικά πόδια. Αρχικά ένα έϊκρ ήταν μια έκταση γης με μήκος 1 φέρλον και πλάτος 1 τσέιν. Σήμερα όμως είναι μονάδα εμβαδού χωρίς κάποιο ιδιαίτερο πλάτος, μήκος ή σχήμα. Το έϊκρ χρησιμοποιείται συχνά για να δηλώσει εκτάσεις γης στις αγγλοσαξονικές χώρες όπως το στρέμμα στην Ελλάδα. Ένα έϊκρ ισούται με 4,047 στρέμματα. Τέλος, να αναφέρουμε ενδεικτικά ότι ένα γήπεδο αμερικάνικου ποδοσφαίρου έχει έκταση περίπου 1,32 έϊκρ. 2.8 Άλλες Μονάδες Μέτρησης Τετραγωνική ίντσα (6.45cm²) Αγγλική Μονάδα Τετραγωνική γιάρδα (0,84m²) ΗΠΑ και χώρες Βρετανικής Κοινοπολιτείας Τετραγωνικό μίλι (2,6km²) κυρίως στην ναυτιλία Acre (4m²) στα αγγλοσαξονικά συστήματα μονάδων 29 2.9 Εμβαδομέτρηση Το σύνολο των ενεργειών και υπολογισμών που επιτρέπουν τον υπολογισμό του εμβαδού μιας επιφάνειας. Ο υπολογισμός του εμβαδού τυχαίων επιφανειών σε χάρτες ή σχέδια μπορεί να γίνει και με την βοήθεια του εμβαδομέτρου. Το μαθηματικό όργανο που χρησιμοποιείται για την άμεση μέτρηση του περικλειόμενου από μια μη γεωμετρική καμπύλη εμβαδού και κατ’ επέκταση και της τιμής ενός ορισμένου ολοκληρώματος ονομάζεται εμβαδόμετρο . Το πρώτο εμβαδόμετρο εφευρέθηκε το 1814 από τον Βαυαρό μηχανικό Γ.χ. Χέρμαν. Ένα πρακτικό και φθηνό εμβαδόμετρο εφευρέθηκε το 1854 από τον Ελβετό μαθηματικό Γιάκομπ Άμσλερ. 2.10 Μέθοδοι εμβαδομέτρησης Οι μέθοδοι υπολογισμού του εμβαδού περιγράφονται παρακάτω, αρχίζοντας απ’ αυτήν με τη μικρότερη ακρίβεια και συνεχίζοντας προς αυτές με μεγαλύτερη ακρίβεια. Α. Μηχανική μέθοδος Όπως προκύπτει από τον τίτλο, ο υπολογισμός του εμβαδού γίνεται με τη βοήθεια ενός μηχανήματος, του εμβαδόμετρου. Το περισσότερο διαδεδομένο εμβαδόμετρο είναι του τύπου Amsel, όπως φαίνεται και στα πιο πάνω σχήματα. Τα πλεονεκτήματα της μεθόδου είναι η ταχύτητα της εμβαδομέτρησης και η δυνατότητα υπολογισμού του εμβαδού σε καμπύλα ή μη γεωμετρικά σχήματα. Το μειονέκτημα είναι η πολύ μικρή ακρίβεια υπολογισμού του εμβαδού. Τα τελευταία χρόνια κυκλοφόρησαν ψηφιακά εμβαδόμετρα με οθόνη στη θέση του μετρικού συστήματος, τα οποία αποδίδουν αμέσως το εμβαδόν χωρίς τη χρήση πολλαπλασιαστή. 30 Β. Γραφική μέθοδος Για τον υπολογισμό του εμβαδού με τη μέθοδο αυτή, κάθε απαιτούμενη απόσταση μετριέται από το σχέδιο με τη βοήθεια ενός κλιμακόμετρου ή απλού μετρητικού χάρακα και αναγωγή στην κλίμακα. Η γραφική μέθοδος εφαρμόζεται χωρίζοντας το σχήμα σε άλλα γνωστά γεωμετρικά σχήματα (τρίγωνα, τραπέζια κλπ. ) και υπολογίζοντας το εμβαδό του κάθε γεωμετρικού σχήματος χωριστά. Το πλεονέκτημα της μεθόδου είναι ο απλός τρόπος υπολογισμού του εμβαδού, όταν έχουμε ένα απλό σχήμα χωρίς άλλα στοιχεία. Το μειονέκτημα είναι η μικρή ακρίβεια υπολογισμού του εμβαδού. Γ. Ημιγραφική μέθοδος Κατά τη μέθοδο αυτή διαιρούμε την επιφάνεια που θέλουμε να εμβαδομετρήσουμε σε γεωμετρικά σχήματα όπως στην προηγούμενη περίπτωση, με τη διαφορά ότι ορισμένα στοιχεία τους είναι γνωστά από απ’ ευθείας μετρήσεις στο έδαφος και αναφέρονται στο σχέδιο, τα δε υπόλοιπα αναγκαία στοιχεία υπολογίζονται γραφικά από το σχέδιο με τη βοήθεια κλιμακόμετρου ή μετρητικού χάρακα. Το πλεονέκτημα της μεθόδου έναντι των προηγούμενων, είναι η καλύτερη αποδιδόμενη ακρίβεια στο εμβαδό, η δε ακρίβεια του αποτελέσματος είναι ανάλογη με το ποσοστό των μηκών που έχουμε μετρήσει με ακρίβεια. Το μειονέκτημα της μεθόδου είναι η μικρότερη ακρίβεια υπολογιζόμενου εμβαδού, σε σχέση με την επόμενη μέθοδο. Δ. Αναλυτική μέθοδος Στη μέθοδο αυτή εφαρμόζονται οι γνωστοί αναλυτικοί τύποι της γεωμετρίας, της τριγωνομετρίας και της τοπογραφίας για τον υπολογισμό των εμβαδών επίπεδων σχημάτων, χρησιμοποιώντας μεγέθη που έχουν μετρηθεί όλα στο έδαφος ή αναφέρονται στο τοπογραφικό διάγραμμα. Ε. Μέθοδος με GPS Το GPS είναι το παγκόσμιο σύστημα προσδιορισμού θέσης. Είναι ένα δίκτυο δορυφόρων σε τροχιά που μεταδίδουν στη Γη ακριβείς αναλυτικές πληροφορίες σχετικές με τη θέση τους στο διάστημα. Τα σήματα λαμβάνονται από συσκευές GPS, όπως είναι οι συσκευές δορυφορικής πλοήγησης και χρησιμοποιούνται για τον δορυφορικό εντοπισμό της θέσης, της ταχύτητας με την οποία κινείται ένα όχημα και της ακριβούς ώρας της ημέρας στη συγκεκριμένη θέση. Με τον όρο δορυφορικός εντοπισμός θέσης εννοείται ο προσδιορισμός των απόλυτων και σχετικών 31 συντεταγμένων σημείων (επί της Γης, στην ξηρά, στη θάλασσα ή επάνω από τη Γη). Σήμερα χρησιμοποιείται το GPS (Global Positioning System- Παγκόσμιο σύστημα εντοπισμού θέσης) συχνά και για γεωδαιτικές εφαρμογές όπου με διάφορες μεθόδους και με τον κατάλληλο εξοπλισμό μπορεί να μας δώσει τις συντεταγμένες των σημείων που επιθυμούμε με μεγάλη ακρίβεια. Το GPS αποτελείται από τρία τμήματα: το δορυφορικό τμήμα, το τμήμα ελέγχου και το τμήμα χρήσης. 2.11 Διάφορες Νεοελληνικές μονάδες • Πινάκι Μονάδα μέτρησης επιφάνειας καλλιεργήσιμων χωραφιών στο νησί της Σκιάθου. • Εργάτης Μονάδα εκτίμησης επιφάνειας αμπελιού στα Χανιά της Κρήτης (αντιστοιχεί σε μισό ως ένα στρέμμα αμπελιού) 32 3. ΜΟΝΑΔΕΣ ΜΕΤΡΗΣΗΣ ΟΓΚΟΥ 3.1 ΜΟΝΑΔΕΣ ΜΕΤΡΗΣΗΣ ΟΓΚΟΥ ΣΤΗΝ ΑΡΧΑΙΟΤΗΤΑ Οι μονάδες μέτρησης του όγκου είναι ήδη γνωστές από την αρχαιότητα, κατά την οποία ήταν αναγκαίο για τους πολίτες η εύρεση ενός κοινού μέτρου για τον όγκο. Οι νέες, για τότε, γνώσεις για τον όγκο εφαρμόστηκαν κυρίως για την μέτρηση χωρητικότητας υγρών, ξηρών καρπών και κυρίως σιτηρών. Είναι φανερό όμως ότι στην αρχαιότητα ο όγκος δεν είχε πλήρως διαφοροποιηθεί από το βάρος. Μέχρι σήμερα μας είναι γνωστό ότι στην αρχαιότητα οι μονάδες μέτρησης του όγκου χωρίζονταν σε δύο βασικές κατηγορίες, στα υγρά και στα ξηρά ή στερεά. Στην αρχαιότητα για τον καθορισμό των μονάδων αρχικά λαμβανόταν ως αφετηρία το ανθρώπινο σώμα. Ο Ιπποκράτης και οι μετά από αυτόν για μονάδες όγκου χρησιμοποίησαν τους όρους: χειροπληθής, χειροπληθιαίος (ό,τι γεμίζει το χέρι), δραγμίς, όσον λαμβάνεται από τρία δάκτυλα, «όσον αστράγαλον» (όσον το μέγεθος ζωικού αστραγάλου), Επίσης, γινόταν «μαγίς» συγκρίσεις με (ψίχουλο). κόκκους κέγχρου, φασιόλου «όσον κυάμου» και υπήρχαν και κάποιες αόριστες εκφράσεις, όπως «ολίγον», «πολύ» κλπ. Τα μέτρα και σταθμά ήταν διαφορετικά στις διάφορες πόλεις της Ελλάδος. Μονάδες μέτρησης όγκου στερεών Εκτεύς (μόδιος): 1 ἑκτεύς (μόδιος) = 32 κοτύλαι = 8.75 λίτρα Ημίεκτο: Το Ημίεκτο ήταν για τους αρχαίους μια υποδιαίρεση του όγκου που σήμερα αντιστοιχεί σε περίπου 4,33 λίτρα. 1 ἡμίεκτον = 16 κοτύλαι 33 Κοτύλη: Η κοτύλη για τους αρχαίους ήταν είδος μέτρου και είδος ποτηριού. Ως μέτρο χωρητικότητας ήταν η ελάχιστη υποδιαίρεση του μεδίμνου και του μετρητή (αμφορευς), ποίκιλλε δε το ποσόν αυτής κατά τόπους, διότι υπήρχε η αττική κοτύλη, η αλεξανδριωτική κ.α. Μία κοτύλη αντιστοιχεί σε 0,27 λίτρα Ακόμα: 1 «κοτύλη» = 6 «κύαθοι» Κοχλιάριο: Το Κοχλιάριο ήταν για τους αρχαίους μια υποδιαίρεση του όγκου που σήμερα αντιστοιχεί σε μία «κουταλιά» ή 0.0045 λίτρα. Ακόμα: 1 κοχλιάριον = 0,1 κύαθοι Κύαθος: Ο κύαθος ήταν ένα αρκετά εύχρηστο αγγείο το οποίο ήταν το απαραίτητο σκεύος στις οικίες των πλουσίων αλλά και των φτωχών. Χρησίμευε και ως μέτρο της ενδεδειγμένης από τον οινοχόο αναλογίας μείξεως του οίνου με το νερό. Μία κύαθος αντιστοιχεί σε 0,045 λίτρα. Μέδιμνος: Αρχαίο μέτρο χωρητικότητας που χρησιμοποιούνταν στην Αθήνα για ξηρά εδώδιμα (κυρίως σιτηρά), το οποίο αντιστοιχούσε σε περίπου 52 λίτρα. Θεσπίστηκε από τον Σόλωνα στην Αθήνα, ενώ υποδιαιρέσεις του ήταν ο τριτεύς (ένα τρίτο), ο εκτεύς (ένα έκτο), το ημίεκτο (ένα δωδέκατο), ο χοίνιξ (ένα τεσσαροκοστό όγδοο) και η κοτύλη (ένα εκατοστό ενενηκοστό δεύτερο). Τον 3o αι. π.Χ. θεσπίστηκε νέο μετρικό σύστημα και η χωρητικότητα του μεδίμνου αυξήθηκε σε 58,92 λίτρα. Οι υποδιαιρέσεις του παρέμειναν ίδιες, με εξαίρεση την κοτύλη, που ορίστηκε στο 1/288 του μεδίμνου. Στη Σπάρτη της κλασικής περιόδου ο μέδιμνος είχε χωρητικότητα 71-77 λίτρα. Στην αρχαιότητα, ήταν 34 ακόμα γνωστό, πως η μία μέδιμνος σιταριού αντιστοιχούσε στην ποσότητα σιταριού που μπορούσε τότε να μεταφέρει ένας ενήλικας. Ακόμα: 1 μέδιμνος = 48 «χοίνικες» = 96 «ξέσται» = 192 «κοτύλαι» = 1152 «κύαθοι» Ξέστης: Ο Ξέστης είναι ένα μέτρο που χρησιμοποιούταν για την μέτρηση των υγρών και συναντάται στην Καινή Διαθήκη. Ο ένας ξέστης ισοδυναμεί με 0.5 λίτρα. Ακόμα: 1 «ξέστης» = 2 «κοτύλαι» = 12 «κύαθοι» Οξύβαθο: 1 ὀξύβαφον = 1,5 κύαθοι = 1/16 λίτρα Χοίνιξ: Ο Χοίνιξ είναι ένα μέτρο που χρησιμοποιούταν για την μέτρηση του όγκου των στερεών και συναντάται στην Καινή Διαθήκη. Ο ένας χοίνιξ ισοδυναμεί με 1,2 λίτρα. Ακόμα: 1 «χοῖνιξ» = 2 «ξέσται» = 4 «κοτύλαι» = 24 «κύαθοι» Μονάδες μέτρησης όγκου υγρών: Αμφορεύς ή Μετρητής: 1 μετρητής (ἀμφορεύς) = 12 χόες = 144 κοτύλαι = 864 κύαθοι = 8640 κοχλιάρια = 39 λίτρα Χους: 1 χοῦς = 12 κοτύλαι = 72 κύαθοι = 720 κοχλιάρια = 3,3 λίτρα Κοτύλη: 1 κοτύλη = 6 κύαθοι = 60 κοχλιάρια = 1 ἡμίνα = 0,27 λίτρα Κύαθος: 1 κύαθος = 10 κοχλιάρια = 0,045 λίτρα Κοχλιάριο: 1 κοχλιάριον = 0,0045 λίτρα 35 Μόδιος: Ο Μόδιος ήταν αρχαίο ρωμαϊκό μέτρο χωρητικότητας υγρών, αλλά και ξηρών καρπών και ειδικότερα των σιτηρών. Η περιεκτικότητά του ισοδυναμούσε με το 1/6 του ελληνικού μέδιμνου που ισοδυναμούσε με 8.7 λίτρα. Χήμη: 1 χήμη = 2 κοχλιάρια = 0.01 λίτρα Μύστρο: 1 μύστρον = 2,5 κοχλιάρια = 0.0125 λίτρα Οξύβαθο: 1 ὀξύβαφον = 1,5 κύαθοι = 0.0625 λίτρα Τέταρτο: 1 τέταρτον = 1 ἡμικοτύλιον = 3 κύαθοι = 0.125 λίτρα Ξέστης: 1 ξέστης = 12 κύαθοι = 0,5 λίτρα Άλλες μονάδες: Κυβικός πους = 4096 κυβικοί δάκτυλοι. Κυβικός πήχυς = 13824 κυβικοί δάκτυλοι. Στη συνέχεια ο Ήρων επεκτείνει τα μέτρα του σε μέτρα βάρους (σταθμά) και μέτρα χρηματικά που καθορίζουν νομισματική αξία (νομίσματα). 1 τάλαντο χρυσού = 60 μναι, 1 μνα = 25 στατήρες, 1 στατήρας = 4 δραχμαί ή ολκαί, 1 δραχμή = 6 οβολοί, 1 οβολός = 8 χαλκοί. 1 τάλαντο χρυσού είχε βάρος 26.200 γραμμάρια και αξία δεκαπλάσια από το αντίστοιχο τάλαντο ασημιού. Ως μονάδα των συναλλαγών χρησιμοποίησαν τη δραχμή (4,36 γραμμάρια χρυσού). 1 λίτρα = 12 ουγγιές, 1 ουγγιά = 8 δραχμαί 1 δραχμή = 3 γράμματα, 1 γράμμα = 2 οβολοί. Οι επιστήμες όμως δεν αναπτύσσονταν μόνο στην αρχαία Ελλάδα αλλά και σε άλλες χώρες της αρχαιότητας. Συνεπώς την έννοια του όγκου άλλοι λαοί την 36 ερμήνευαν με διαφορετικό τρόπο και με διαφορετικές μονάδες μέτρησης. Πιο συγκεκριμένα: Μονάδες όγκου υγρών στην Αγία Γραφή Καφ = 0,333 λίτρα Λογ = 0,3-0,5 λίτρα Κάβος = 1,2-2 λίτρα Ιν ή Ειν ή Χιν = 3,6-6,5λίτρα Βαθ ή Βατ = 24-33 λίτρα Μέτρο = 40 λίτρα Κάβ = 2,024 λίτρα Ξεστό = 0,3 λίτρα Χομόρ = 220 λίτρα Βάτος = 39,5 λίτρα Γομόρ = 3,3 λίτρα Μονάδες όγκου στερεών στην Αγία Γραφή Λογ = 0,30-0,33 λίτρα Ξέστο = 0,3-0,5 λίτρα Χηνικά = 1-1,2 λίτρα Κάβος = 1,2-1,33 λίτρα Γομόρ = 2,2-4 λίτρα Μόδιο = 8,89 λίτρα Εφά = 22-40 λίτρα Χομόρ = 220-400 λίτρα Μέτρο = 13,33 λίτρα Βάθ = 33 λίτρα Κόρος = 525 λίτρα Λέθεχ = 110 λίτρα Σάτα = 13 λίτρα Σεά = 7,3 λίτρα 37 3.2 Η ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΩΝ ΒΑΒΥΛΩΝΙΩΝ- ΜΕΤΡΗΣΗ ΟΓΚΟΥ ΣΤΕΡΕΩΝ ΣΧΗΜΑΤΩΝ Όγκος κόλουρης πυραμίδας και κόλουρου κώνου Ορισμός και στοιχεία κόλουρης πυραμίδας Αν τμήσουμε μία πυραμίδα μεταξύ κορυφής και βάσης, με επίπεδο παράλληλο στη βάση, τότε το μέρος της πυραμίδας που περιλαμβάνεται μεταξύ των δύο παράλληλων επιπέδων λέγεται κόλουρη πυραμίδα. Τα δύο όμοια πολύγωνα λέγονται βάσεις (μικρή και μεγάλη) της κόλουρης πυραμίδας και το ευθύγραμμο τμήμα που έχει άκρα στα επίπεδα των βάσεων και είναι κάθετο σε αυτά λέγεται ύψος της κόλουρης πυραμίδας. Κόλουρος κώνος Έστω κώνος (ΚΟ, ρ), ο οποίος τέμνει ένα επίπεδο κάθετο στον άξονά του στο σημείο Ο' μεταξύ Κ και Ο (σχ. 41). Δημιουργείται έτσι ένας μικρότερος κώνος, με την ίδια κορυφή και βάση έναν κύκλο παράλληλο προς τον αρχικό, με μικρότερη ακτίνα, ο οποίος αφαιρείται από τον αρχικό κώνο. Το σχήμα που απομένει λέγεται κόλουρος κώνος και αποτελείται από το μέρος του κώνου που περιλαμβάνεται μεταξύ της βάσης και ενός επιπέδου παράλληλου σε αυτό, μεταξύ κορυφής και βάσης. Οι δύο παράλληλοι κύκλοι λέγονται βάσεις του κόλουρου κώνου (μικρή και μεγάλη) και το ευθύγραμμο τμήμα ΟΟ' που συνδέει τα κέντρα των βάσεων λέγεται άξονας ή ύψος. Το τμήμα ΑΑ' λέγεται γενέτειρα ή πλευρά. Σε τρεις βαβυλωνιακές πλάκες (που βρίσκονται στο Βρετανικό Μουσείο) υπάρχουν αρκετά προβλήματα υπολογισμού του όγκου κόλουρης πυραμίδας και κόλουρου κώνου. Μελετώντας τα προβλήματα υπολογισμού του όγκου κόλουρου κώνου, διαπιστώνουμε ότι ο υπολογισμός αυτός γίνεται προσθέτοντας τα 3 των τετραγώνων 4 των διαμέτρων των δύο βάσεων, διαιρώντας το άθροισμα δια 2 και πολλαπλασιάζοντας το πηλίκο επί το ύψος. Δηλαδή, με σημερινή ορολογία, τον όγκο κόλουρου κώνου με διαμέτρους βάσεων D και d αντίστοιχα, τον υπολόγιζαν λανθασμένα από τη σχέση (1) 38 Vk 13 2 3 2 D d 24 4 όπου υ η απόσταση των δύο βάσεων. Μελετώντας τα προβλήματα υπολογισμού του όγκου κόλουρης πυραμίδας με βάσεις τετράγωνα , διαπιστώνουμε ότι σε όλα τα προβλήματα αυτά εκτός από ένα, ο υπολογισμός του όγκου γίνεται πολλαπλασιάζοντας το μισό του αθροίσματος των τετραγώνων των πλευρών των βάσεων επί το ύψος. Με σημερινή ορολογία, τον όγκο κόλουρης πυραμίδας η οποία έχει βάσεις τετράγωνα με πλευρές α και β αντίστοιχα, τον υπολόγιζαν, λανθασμένα επίσης, σύμφωνα με τη σχέση (2) Vk 1 2 a 2 2 Επομένως, σύμφωνα και με τον Van der Waerden, μπορούμε να συμπεράνουμε ότι από κανένα κείμενο δεν προκύπτει ότι οι Βαβυλώνιοι υπολόγιζαν τον όγκο της κόλουρης πυραμίδας με το σωστό τύπο. Για τέτοιους υπολογισμούς χρησιμοποιούσαν πάντοτε τη σχέση (2). 3.3 ΟΓΚΟΣ ΚΑΙ ΣΥΓΧΡΟΝΕΣ ΜΟΝΑΔΕΣ ΜΕΤΡΗΣΗΣ ΟΓΚΟΥ Ο όγκος, που ονομάζεται επίσης και χωρητικότητα, είναι η ποσότητα του χώρου που καταλαμβάνει ένα αντικείμενο, δηλαδή μετράει πόσο χώρο πιάνει ένα αντικείμενο. Συμβολίζεται συνήθως με το αγγλικό γράμμα V (Volume) Στο σύστημα SI, θεμελιώδες μέγεθος είναι το μήκος, με μονάδα το μέτρο (m), και παράγωγο αυτού μέγεθος είναι ο όγκος, εκφρασμένος σε κυβικά μέτρα. Συνεπώς, η διεθνής μονάδα μέτρησης όγκου είναι το κυβικό μέτρο (m3), δηλαδή ο όγκος ενός κύβου με πλευρά ένα μέτρο. Στο αγγλικό σύστημα το κυβικό foot (ft3), και γενικά σε κάθε διαφορετικό σύστημα μέτρησης αντιστοιχεί η "κυβική" μονάδα μέτρησης της απόστασης. Εξαιρούνται μονάδες μέτρησης που αναφέρονται συγκεκριμένα στον όγκο, όπως το ένα λίτρο 1L=1dm3, που χρησιμοποιούνται συνήθως στη μέτρηση του όγκου των ρευστών. 39 Στο χημικό εργαστήριο συνήθως χρησιμοποιούνται μικρότερες μονάδες, όπως είναι το κυβικό δεκατόμετρο ( dm 3 ), που είναι περίπου ίσο με το λίτρο (L), και το κυβικό εκατοστόμετρο ( cm 3 ), που είναι περίπου ίσο με το χιλιοστόλιτρο (mL). Ο αρχικός όγκος ισούται με το άθροισμα όλων των όγκων των τμημάτων του. Έτσι, για τον υπολογισμό του όγκου τρισδιάστατων σχημάτων εκτός από τα παραπάνω, τα αναλύουμε στα παραπάνω στερεά ή, αν αυτό δε γίνεται, χρησιμοποιούμε μαθηματικές μεθόδους από άλλους κλάδους των μαθηματικών (ολοκληρωτικός, αναλυτική γεωμετρία). Ο γενικός μαθηματικός τύπος υπολογισμού οποιουδήποτε γεωμετρικού σώματος είναι: V Ah dh όπου h μία διάσταση του σώματος και Α η συνάρτηση του εμβαδού διατομής του σώματος ως προς τη διάσταση h. Μονάδα μέτρησης όγκου και οι υποδιαιρέσεις 1 κ.μ. = 1.000 κ.δεκ. = 1.000.000 κ.εκ. = 1.000.000.000 κ.χιλ. 1 κ.δεκ. = 1.000 κ.εκ. = 1.000.000 κ.χιλ. 1 κ.εκ. = 1.000 κ.χιλ. Επίσης ως μονάδα μέτρησης χρησιμοποιούμε το 1 λίτρο το οποίο είναι ίσο με το 1 κ.δεκ. 1 λίτρο = 1.000 χιλιοστόλιτρα 1.κ.μ. = 1.000 λίτρα = 1.000 τόνοι 1 κ.δεκ. = 1 λίτρο = 1 κιλό 1 κ.εκ. = 1 χιλιοστόλιτρο = 1 γραμμάριο Τη μέτρηση του όγκου μπορούμε να την εκφράσουμε με φυσικό, συμμιγή, δεκαδικό ή κλασματικό αριθμό. Για να βρω τον όγκο του κύβου, πολλαπλασιάζω μήκος, πλάτος και ύψος 40 Δηλαδή: Όγκος κύβου a 3 Όγκος άλλων γεωμετρικών σχημάτων: Τύπος υπολογισμού Σχήμα ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο πρίσμα πυραμίδα κύλινδρος κώνος σφαίρα Διαστάσεις α, β, γ: τα μήκη των τριών ακμών του παραλληλεπιπέδου Ε, h: το εμβαδόν διατομής και το ύψος αντίστοιχα Ε, h: το εμβαδόν βάσης και το ύψος αντίστοιχα ρ, h: η ακτίνα της βάσης και το ύψος αντίστοιχα ρ, h: η ακτίνα της βάσης και το ύψος αντίστοιχα ρ: η ακτίνα της σφαίρας Το Λίτρο είναι μονάδα μέτρησης του όγκου. Ο διεθνής συμβολισμός του λίτρου είναι το λατινικό γράμμα "L" (σπανιότερα τα δύο γράμματα "lt"). Το λίτρο ισούται με το 1/1000 του κυβικού μέτρου ή, ισοδύναμα, ένα λίτρο είναι ίσο με τον όγκο ενός κύβου με ακμή 10 εκατοστά (cm), ισούται δηλαδή με ένα κυβικό δεκατόμετρο. Ως μονάδα όγκου έχει εφαρμογή κυρίως σε μικρούς χώρους όπως ψυγείων, αποθηκευτικών χώρων οχημάτων κ.λπ, ενώ για εφαρμογές μεγαλύτερων διαστάσεων χρησιμοποιείται το κυβικό μέτρο. Χρησιμοποιείται συχνά και σαν μονάδα μέτρησης της ποσότητας των υγρών. Δηλαδή το περιεχόμενο εμπορικής συσκευασίας διάφορων υγρών εκφράζεται συχνά σε λίτρα και όχι σε γραμμάρια, και αντίστοιχα το κόστος σε χρηματικές μονάδες ανά λίτρο. Η αντιστοίχηση μάζας-όγκου εξαρτάται από το ειδικό βάρος του υγρού, για παράδειγμα ένα λίτρο (1L) νερό έχει μάζα περίπου ένα κιλό (1Kg), ενώ ένα λίτρο ελαιόλαδο έχει μάζα περίπου 915 γραμμάρια. Ακόμα είναι γνωστό, ότι τo λίτρο (L) ορίζεται ως ο όγκος που καταλαμβάνει 1 kg νερού στους 4 °C. Λόγω της μικρής τους διαφοράς το mL και cm 3 μπορούν να χρησιμοποιηθούν αδιάκριτα. 41 Η μέτρηση του όγκου στο χημικό εργαστήριο γίνεται με τη βοήθεια ογκομετρικών οργάνων όπως είναι η προχοΐδα, το σιφώνιο (πιπέτα), ο ογκομετρικός κύλινδρος, η ογκομετρική φιάλη κ.λ.π. Υποδιαιρέσεις του Λίτρου: Πικόλιτρο 10 12 L pl ή pL Νανόλιτρο 10 9 L nl ή nL Μικρόλιτρo 10 6 L μl ή μL Χιλιοστόλιτρο 10 3 L ml ή mL Εκατοστόλιτρο 10 2 L cl ή cL Δεκατόλιτρο 10 1 L dl ή dL Μετατροπή σε άλλες μονάδες όγκου: 1 κυβικό εκατοστό (cm3) = 0,0610 in3 = 1 ml 1 κυβικό δεκατόμετρο (dm3)= 1000 cm3 = 0,0363 ft3 1 κυβικό μέτρο (m3) = 1000 dm3 = 1,3080 yd3 1 λίτρο(L) = 1 dm3 = 1,7600 pt 1 γαλόνι(gal) = 4,546 λίτρα 1 ουγγιά = 28,413 ml 42 4. ΜΟΝΑΔΕΣ ΜΕΤΡΗΣΗΣ ΤΗΣ ΜΑΖΑΣ 4.1 Η ΜΑΖΑ Μάζα είναι μία εγγενής ιδιότητα των φυσικών σωμάτων και είναι η ποσότητα της ύλης που περιέχεται σε ένα σώμα. Στο Διεθνές Σύστημα μονάδων (SI) η μάζα μετράται σε χιλιόγραμμα και αποτελεί θεμελιώδη μονάδα μέτρησης στο σύστημα αυτό. Επίσης, μάζα ορίζεται ως η ιδιότητα της ύλης που αντιστέκεται σε μεταβολές της κίνησής του. Το μέτρο της αντίστασης που παρουσιάζει κάθε σώμα στη μεταβολή της κινητικής του κατάστασης (αδράνεια), το ονομάζουμε μάζα του σώματος. 1 Τόνος = 1000 κιλά = 2.204 λίβρες = 220,5 γαλόνια 1 Λίβρα = 0,453 κιλά = 0,10 γαλόνια 1 Γαλόνι = 4,53 κιλά = 9,99 λίβρες 4.2 ΜΟΝΑΔΕΣ ΜΕΤΡΗΣΗΣ ΣΤΗΝ ΑΡΧΑΙΑ ΕΛΛΑΔΑ Στην αρχαία Ελλάδα η βάση των μονάδων για την μέτρηση των ήταν ο κύαθος, ένα εύχρηστο αγγείο. 1 κύαθος = 0,046 λίτρα 1 μέδιμνος = 6 εκτείς 1 μέδιμνος = 79, 488 λίτρα 1 εκτεύς = 8 χοίνικες 1 εκτεύς = 13,248 λίτρα 1 ημίεκτον = 4 χοίνικες 1 ημίεκτον = 6,624 λίτρα 1 χοίνικας = 2 ξέστες 1 χοίνικας = 1,656 λίτρα 1 ξέστης = 3 κότυλες 1 ξέστης = 0,828 λίτρα 1 κοτύλη = 6 κύαθοι 1 κοτύλη = 0,276 λίτρα 1 μετρητής = 12 χόες 1 μετρητής = 39,4 λίτρα 1 χους = 16 ξέστες 1 χους = 3,28 λίτρα 1 ξέστης = 2 κοτύλες 1 ξέστης = 0,205 λίτρα 1 κοτύλη = 2 ημικότυλα 1 κοτύλη = 0,1025 λίτρα 1 ημικότυλον = 2 οξύβαφα 1 ημικότυλον = 0,051 λίτρα 1 οξύβαφον = 1,5 κύαθοι 1 οξύβαφον = 0,025 λίτρα Μία ακόμα μονάδα μέτρησης της μάζας ήταν ο οβολός (0.72 γραμμάρια) (Η μνα, το τάλαντο, ο οβολός και η δραχμή ήταν αρχικά μονάδες μάζας και αργότερα και νομισματικές μονάδες) Παράγωγες μονάδες από τον οβολό: • 1 δραχμή = 6 οβολοί = 4.32 γραμμάρια • 1 μνα = 100 δραχμές = 0.44 κιλά • 1 τάλαντο = 60 μνες = 26.6 κιλά Το βάρος μιας ασημένιας δραχμής ποίκιλε κατά τόπους: 43 • Αιγηνήτικο ή φειδώνιο σύστημα = 6.06 γραμμάρια • Φοινικικό – ροδιακό σύστημα = κυμαινόταν από 3.64 έως 7.28 γραμμάρια • Ευβοϊκό – αττικό σύστημα = κυμαινόταν από 4.366 έως 8.73 γραμμάρια 4.3 ΜΟΝΑΔΕΣ ΜΕΤΡΗΣΗΣ ΒΑΡΟΥΣ ΣΤΗΝ ΒΙΒΛΟ Αργότερα στην εποχή της Βίβλου υπήρχαν οι ακόλουθες μονάδες μέτρησης: Σίκλος: Κύρια μονάδα βάρους και νόμισμα. Ισοδυναμούσε με 20 γερά. Στην Παλιά Διαθήκη ζύγιζε 11,4 γραμμάρια περίπου και ισοδυναμούσε με 1 ελληνική μνα. Βεκάχ: Μισός σίκλος, περίπου 6 γραμμάρια. Γερά: Ισοδυναμούσε με το ένα εικοστό του σίκλου, 0,5 γραμμάρια περίπου. Ήταν η μικρότερη μονάδα μέτρησης βάρους. Κεσιτά: Ισοδυναμούσε με 4 σίκλους, 46 γραμμάρια περίπου. Λίτρα: Ρωμαϊκή μονάδα βάρους, περίπου 320-327 γραμμάρια. Μνα: Μονάδα βάρους των Εβραίων. Ισοδυναμούσε με 60 σίκλους, 500-570 γραμμάρια περίπου. Τάλαντο: Νόμισμα αρκετών αρχαίων λαών και μονάδα βάρους που διέφερε ανάμεσα σε διάφορους λαούς και εποχές. Ισοδύναμο με 3000 σίκλους ή 60 μνες, ζύγιζε 34,2 κιλά περίπου. Το τάλαντο στη Καινή Διαθήκη ζύγιζε σύμφωνα με διαφορετικές εκτιμήσεις, από 20-40 κιλά. 44 Χοίνικας: Μονάδα μέτρησης σιτηρών. Αναφέρεται μόνο μία φορά στην Αποκάλυψη. Με μια χοίνικα σιταριού, ή τρία κριθαριού, μπορούσε να παρασκευαστεί ψωμί αρκετό για τη διατροφή ενός ατόμου, για μια μέρα. 4.4 ΜΟΝΑΔΕΣ ΜΕΤΡΗΣΗΣ ΣΤΗ ΒΑΒΥΛΩΝΑ Τα αρχαιότερα από όλα τα σταθμά της ήταν η μνα η οποία αντιστοιχούσε σε 640 ή 978gr και το σίλκο (πρότυπο εβραϊκού νομίσματος και μονάδας βάρους.) Βασική μονάδα ήταν το μάκα ή μίνα που αντιστοιχεί σε 500gr περίπου. Άλλες μονάδες βάρους είναι το se, το gin και το gu. Πολλοί συγγραφείς αναφέρουν το gu ως τάλαντο και το gin ως baskel ή πολλές φορές το shekel. Οι σχέσεις μεταξύ των μονάδων αυτών είναι οι εξής : 1 gu ή τάλαντο = 60 maka = 3600gin ή baskel = 64800 se 1 mana = 60 gin ή baskel = 10800 se 1 gin ή baskel = 180 se ΣΗΜΕΙΩΣΗ: Aπο το σύστημα των Βαβυλωνίων προήλθε κατά πάσα πιθανότητα το σύστημα της Ισραηλητικής κοινωνίας. 4.5 ΜΟΝΑΔΕΣ ΜΕΤΡΗΣΗΣ ΣΤΗΝ ΑΙΓΥΠΤΟ Όσον αφορά την Αίγυπτο έχει προσφέρει σημαντικά στην διαμόρφωση των σύγχρονων μονάδων μέτρησης εφόσον έχουν διασωθεί περίπου 3400 σταθμά, μερικά εκ των οποίων βασίζονταν σε γεωμετρικά σχήματα αλλά και στη μέτρηση του μεγέθους των μελών του ανθρώπινου σώματος. Τοσύστημα μέτρησης σύμφωνα με τις πληροφορίες που έχουμε, έχει βασιστεί σε μια μονάδα μέτρησης γνωστής ως καϊτ = 29,9gr και στα πολλαπλάσια της ντέμπεν και σεπ. Βασική μονάδα μέτρησης του βάρους των δημητριακών ήταν το «χεκάτ», το οποίο αντιστοιχούσε σε χωρητικότητα σε 292,24 κυβικές ίντσες. Βέβαια κάποιοι μελετητές θεωρούν πως το ένα «χεκάτ» ισούται με ένα γαλόνι ή τέσσερα λίτρα. Για τη μέτρηση της ποσότητας της μπύρας χρησιμοποιούσαν μια ειδική μονάδα το «des-jug» που αντιστοιχούσε σε 414 gr μπύρας. Χρησιμοποιούσαν επίσης και διάφορα πολλαπλάσια ή υποπολλαπλάσια των παραπάνω μονάδων όπως για παράδειγμα το “khar” που ήταν είκοσι χεκάτ, το κυβικό κιούμπιτ που ήταν τριάντα χακάτ σιταριού και τα υποπολλαπλάσια του χεκάτ. Έτσι οι μονάδες μέτρησης δημητριακών που συχνότερα χρησιμοποιούνταν ήταν : 1 κυβικό κιούμπιτ =1 + 2 khars = 30 hekats = 30hinu=9600vo 1 khar 20 hekats 200hinu 6400 vo 1 kehar 10 hinu=320 vo. Την ποιότητα του ψωμιού και της μπύρας εκτιμούσαν ανάλογα με την ποσότητα των δημητριακών που είχαν χρησιμοποιηθεί για την παρασκευή τους. Τον λόγο του 45 αριθμού των ψωμιών δια του αριθμού των χεκατς των δημητριακών που είχαν χρησιμοποιηθεί για την παρασκευή τους το ονόμαζαν «pesu» του ψωμιού. Όσο μεγαλύτερο ήταν το «pesu» του ψωμιού ή της μπύρας, τόσο κατώτερη ήταν και η ποιότητά τους. Ζύγισμα των Ψυχών των Νεκρών στην αρχαία Αίγυπτο Εικονογράφηση από τον Πάπυρο του Ουνεφέρ, περίπου το 1375 π.Χ Τα Βιβλία των Νεκρών περιέχουν συλλογές από επωδούς, αριθμούς και μαγικές επικλήσεις για χρήση από τους νεκρούς στη μεταθανάτια ζωή. Είχαν το ρόλο να καθοδηγήσουν τους νεκρούς στις διάφορες δοκιμασίες που θα συναντούσαν πριν φθάσουν στον Κάτω Κόσμο (Ντουάτ).Η πιο σημαντική δοκιμασία ήταν το ζύγισμα της ψυχής του νεκρού, που έκανε ο Θεός Άνουβις : η καρδιά του νεκρού ζυγιζόταν σε σχέση το Φτερό της Αλήθειας της Θεάς Μά'ατ. Αν η καρδιά ήταν πιο ελαφριά από το φτερό, επιτρεπόταν να προχωρήσει, αν όχι καταβροχθιζόταν από το τέρας Αμμίτ, ένα συνδυασμός κροκόδειλου, λιονταριού και ιπποπόταμου. Ο Θεός Θωθ κατέγραφε το αποτέλεσμα. 4.6 ΜΟΝΑΔΕΣ ΜΕΤΡΗΣΗΣ ΣΤΗΝ ΙΝΔΙΑ Χρησιμοποιούσε το βρετανικό και Ακμπάρ σύστημα. Βήματα διαμόρφωσης του συστήματος 1)Προακμπάρ 2)Ακμπάρ Περίοδο 3)Βρετανικό σύστημα Κατά την Προακμπάρ περίοδο η μονάδα μέτρησης του βάρους ποικίλει από περιοχή σε περιοχή. Για την μέτρηση του βάρους βασίστηκαν στην αναλογία βάρους αντικειμένου – βάρους διάφορων σπόρων και κατάλαβαν την ανάγκη για τη χρήση ενός ενιαίου συστήματος, ωστόσο δεν δημιουργήθηκε νέο σύστημα. 4.7 ΜΟΝΑΔΕΣ ΜΕΤΡΗΣΗΣ ΣΤΗΝ ΡΩΜΑΙΚΗ ΑΥΤΟΚΡΑΤΟΡΙΑ Η βασική ρωμαϊκή μονάδα βάρους, η λίμπρα ή λίβρα, απέκτησε γερμανική ονομασία σε μέρη τηςβόρειας Ευρώπης, αλλά διατήρησε τη ρωμαϊκή της ταυτότητα στην αγγλική σύντμηση της λέξης, ωςlb. Mια ακόμη μονάδα μέτρησης ήταν το ένα ασσάριο του οποίου οι υποδιαιρέσεις σχετίζονται με τις υποδιαιρέσεις της λίμπρας. Αρκετά από τα ονόματα των μονάδων προέρχονταν από ονόματα νομισμάτων κατά την ρωμαϊκή εποχή. ΕΤΥΜΟΛΟΓΙΑ: Ασσάριο : προέρχεται από τη λατινική as γενική πτώση του assis (ένας , μια ) που προήλθε από τη δωρική διάλεκτο του Τάραντα : «as»,«ais»=ένας. Λίμπρα : προέρχεται από την ιταλική λέξη libbra=ζυγός 4.8 ΜΟΝΑΔΕΣ ΜΕΤΡΗΣΗΣ ΣΤΟ ΒΥΖΑΝΤΙΟ 46 Κατά τη βυζαντινή εποχή για τη μέτρηση του βάρους μικρών αντικειμένων χρησιμοποιούσαν το ζυγό ή δημωδό ο οποίος αποτελείτο από δύο πλάστιγγες όπου στην μια έβαζαν τα σταθμά και στην άλλη τα προς μέτρηση αντικείμενα. Σε επίσημα κείμενα ο ζυγός αναφερόταν και ως «κάμπανον» και αντιστοιχούσε στον στατήρα. Το κάμπανον ή αλλιώς καντάρι στη Θεσσαλία, την Εύβοια, την Αρτοτίνη, την Κύθνο και την Λάστα ονομαζόταν και στατέρι. Όσον αφορά τα εξάγια ή σταθμία λέγεται πως τα χρησιμοποιούσαν για τη μέτρηση σιδήρου, λιθαριών, βορλιών και άλλων λίθων. 4.9 ΜΟΝΑΔΕΣ ΜΕΤΡΗΣΗΣ ΣΤΗΝ ΝΕΟΤΕΡΗ ΕΛΛΑΔΑ Η οκά (τουρκ. okka), ήταν Οθωμανική μονάδα μέτρησης μάζας. Ύστερα από την κατάρρευση της Οθωμανικής Αυτοκρατορίας, συνέχισε να χρησιμοποιείται στα κράτη που προέκυψαν από τη διάλυσή της. Στην Ελλάδα, η οκά αντιστοιχούσε σε 1282 γραμμάρια. Υποδιαίρεση της οκάς ήταν το δράμι (τουρκ. dram). Μία οκά ισοδυναμούσε με 400 δράμια (1 δράμι = 3,2 γραμμάρια). Πολλαπλάσιο της οκάς ήταν το καντάρι (τουρκ. kantar). Ένα καντάρι ήταν ίσο με 44 οκάδες (= 57 περίπου κιλά). Η οκά παρέμενε σε παράλληλη χρήση με τις μονάδες που είχαν υιοθετηθεί από το 1876. Η επίσημη κατάργηση όλων των παλαιών μέτρων και σταθμών έγινε στις 31 Μαρτίου 1959. Παρ’ όλα αυτά, η χρήση της παρέμεινε ως τη δεκαετία του ’90, στις συσκευασίες εμφιάλωσης ούζου, τσίπουρου κ.λ.π με τις ονομασίες «εικοσιπενταράκι» ( 80 γραμ) , «πενηνταράκι» (160 γραμ) και «κατοσταράκι» (320 γραμ). ΕΤΥΜΟΛΟΓΙΑ : Καντάρι: η τουρκική ονομασία του, kantar, προέρχεται πιθανότατα από το κεντηνάριο (centenarium) δηλαδή εκατόλιτρο( κοινή ονομασία του στατήρα.). Τουρκική μονάδα βάρους ίση με 57 kg περίπου που χρησιμοποιήθηκε από την Ελλάδα πριν από την εισαγωγή του κιλού. Δράμι: (αντιδάνειο),προέρχεται από το αραβικό ντιράμ το οποίο προέρχεται από την αρχαία δραχμή. Οκά : oka = ok + -a (κατάληξη επιθέτων) = όγδοος Άλλες τοπικές μονάδες ήταν οι εξής : ΗΠΕΙΡΟΣ: 1 μουντζούρι=20 οκάδες (σιτηρά)=1 ταγάρι ΚΡΗΤΗ: 1 αξάι = 1 οκά 1 μουζούρι = 10-12 οκάδες δημητριακά 47 1 στέμα = ποσότητα ελαιοκάρπου για μια αλεσιά στο ελαιοτριβείο ΧΙΟΣ: 1 μισάρι = 1 κοιλό = 24 οκάδες ΛΕΣΒΟΣ: 1 μόδι = 500 οκάδες ελιές ΚΥΠΡΟΣ: 1 κεράτιο, μονάδα μέτρησης βάρους νομισμάτων και πολύτιμων μετάλλων. 4.10 ΜΟΝΑΔΕΣ ΒΑΡΟΥΣ ΣΤΟ ΣΗΜΕΡΑ Σήμερα, η βασική μονάδα μέτρησης μάζας στο S.I είναι το χιλιόγραμμο (Kg) ή κιλό. Πολλαπλάσια και υποδιαιρέσεις του κιλού είναι τα εξής : 1 τόνος (t) = 1000 κιλά (Kg) 1 κιλό (Kg) = 1000 γραμμάρια (gr) 1 γραμμάριο (gr) = 1000 χιλιοστόγραμμα (mg) Τόνος: Ο τόνος είναι μονάδα μάζας. Στην περίπτωση του τόνου του μετρικού συστήματος, ο τόνος συμβολίζεται με το γράμμα t, αλλά για να ξεχωρίσει από άλλες μονάδες με το ίδιο όνομα αναφέρεται και με την εξήγηση μετρικός τόνος (Metric Ton) ή με τα γράμματα ΜΤ ή mt.Στο αμερικανικό σύστημα μονάδων βάρους, με τον όρο τόνος (ton) περιγράφεται και ο short ton, ο οποίος αντιστοιχεί σε περίπου 0,907 t (2000 pounds). Μια άλλη ακόμη μονάδα με το όνομα τόνοςείναι στο Βρετανικό Σύστημα μονάδων, ο long ton, ο οποίος αντιστοιχεί σε 1,016 t περίπου (2240 pounds). Χιλιοστόγραμμο: το χιλιοστόγραμμο (mg) είναι υποπολλαπλάσιο του κιλού και αποτελεί βασική μονάδα μέτρησης στην σύγχρονη ζωή. Πιο συγκεκριμένα, στην εποχή μας η χρήση του βρίσκει εφαρμογή σε πολλούς τομείς της επιστήμης όπως την χημεία, τη φαρμακευτική, τη βιολογία κ.ά. Amu: η μονάδα ατομικής μάζας ισούται με το 1/12 της μάζας του ατόμου του C. Παλαιότερα είχε οριστεί 1 amu = μάζα 1 ατόμου H (19ος αι.) και 1 amu μάζας 1 ατόμου Ο (1904). Καράτι : Το καράτι πήρε το όνομά του από την Ελληνική λέξη «κεράτιον» που θα πει χαρούπι ( ο καρπός ενός δένδρου, της χαρουπιάς).Ο σπόρος του χαρουπιού, έχει βάρος 200 milligram δηλαδή ένα καράτι. Στην Μεγάλη Βρετανία παλαιότερα η λέξη karat αναφερόταν σε μία μικρή υποδιαίρεση της ουγκιάς. Από το 1914 όμως, και αυτοί, όπως και στις Η.Π.Α., δέχονται σαν carat το βάρος των 200 milligram. Έτσι το καράτι είναι παγκόσμια κοινή μονάδα μέτρησης βάρους, ανεξαρτήτως μετρικού συστήματος. Υποδιαίρεση του καρατιού είναι το point που είναι το 1/100 του καρατιού δηλαδή 0,002 gram. Καράτι για μέταλλα (Karat) 48 Σε καράτια μετράμε την περιεκτικότητα ενός κράματος σε καθαρό χρυσό (ή πλατίνα). Αν το εξεταζόμενο κράμα αποτελείται από καθαρό χρυσό, τότε λέμε πως είναι 24 καράτια. Αν το κράμα είναι μισό χρυσό, και μισό άλλα μέταλλα, είναι 12 καράτια. Στον πίνακα φαίνεται η αντιστοιχία των καρατιών, που χρησιμοποιούνται περισσότερο στις Η.Π.Α. με τον Ευρωπαϊκό τρόπο μέτρησης της περιεκτικότητας των πολύτιμων κραμάτων. Ο προσδιορισμός της περιεκτικότητας του κράματος σε χρυσό, παλαιότερα γινόταν με την Λυδία λίθο και την χρησιμοποίηση οξέων. Σήμερα χρησιμοποιείται όλο και περισσότερο μία ηλεκτρονική συσκευή που προσδιορίζει την περιεκτικότητα των κραμάτων σε χρυσό, μετρώντας την διαφορετική ηλεκτρική αγωγιμότητα του κάθε κράματος. Καράτι για πέτρες (Carat) Η λέξη καράτι χρησιμοποιείται με τελείως διαφορετική σημασία, σαν μονάδα για τη μέτρηση του βάρους των πολύτιμων πετρών.Όταν τα καράτια αναφέρονται στις πολύτιμες πέτρες, είναι μονάδα βάρους. Δηλαδή σε καράτια μετράμε το βάρος της πολύτιμης πέτρας. Έχει προφανώς εντελώς διαφορετική έννοια από το καράτι που αφορά τα μέταλλα. Στην Αγγλική γλώσσα έχει και διαφορετική ορθογραφία (carat – karat). Χρησιμοποιείται από το 1575 μ.Χ. για την μέτρηση του βάρους των πολύτιμων λίθων. Ένα καράτι είναι 0,20 του γραμμαρίου. Π.χ. ένα διαμάντι 5 καρατιών, έχει βάρος ενός γραμμαρίου. Ο πίνακας του Ολλανδού ζωγράφου Johannes Vermeer με τίτλο «η γυναίκα που ζυγίζει μαργαριτάρια». Η γυναίκα ισορροπεί στο χέρι της μία μικρή ζυγαριά στην οποία θα ζυγίσει τα μαργαριτάρια και τον χρυσό, που βρίσκονται ακουμπισμένα στο τραπέζι. Το δωμάτιο είναι σκοτεινό, μόνο μπαίνει μία δέσμη φωτός από τον φεγγίτη, που φωτίζει το ζύγισμα. Ο πίνακας είναι ζωγραφισμένος το 1664, και βρίσκεται στο National Gallery of Art στην Ουάσιγκτον, Η.Π.Α. Ουγκιά : Η ουγκιά (ή ουγγία, ή ουγγιά, συντετμημένα διεθνώς oz ), είναι μονάδα μέτρησης μάζας. Χρησιμοποιείται κυρίως στο Ηνωμένο Βασίλειο και τις Ηνωμένες Πολιτείες ως μονάδα μάζας για τα κοινά εμπορεύματα και ισοδυναμεί με το 1/16 της κοινής (avoirdupois) λίβρας. Παγκόσμια, χρησιμοποιείται ευρέως ως μονάδα μάζας πολύτιμων μετάλλων και σ' αυτή την περίπτωση ισοδυναμεί με το 1/12 της ευγενούς (troy) λίβρας. Η ισοδυναμία σε γραμμάρια είναι : 1 κοινή ουγκιά = 28,35 γραμμάρια, ενώ 1 ευγενής ουγκιά = 31,10 γραμμάρια. Άλλες σε χρήση λίβρες είναι η αγγλική (pound) βάρους 454,8 γραμμαρίων και υποδιαιρούμενη σε 16 ουγκιές και η βαριά ενετική λίβρα, ίση με 480 γραμμάρια. Η ουγκιά είναι το διεθνές μέτρο, για την μέτρηση του βάρους των πολυτίμων μετάλλων. Η ουγκιά των πολυτίμων μετάλλων έχει βάρος 31,1034768 γραμμάρια. Στην καθημερινή ζωή στην Αγγλία και στην Αμερική, χρησιμοποιούν σαν μέτρο βάρους την ουγκιά, η οποία όμως είναι 28,349523125 γραμμάρια, δηλαδή έχει μικρότερο βάρος από την ουγκιά πολυτίμων μετάλλων. Η απλή ουγκιά στην αγγλική γλώσσα λέγεται Avoirdupois Ounce ενώ η ουγκιά των πολύτιμων μετάλλων λέγεται Troy Ounce. Είναι αυτονόητο πως αν κάποιος προτίθεται να αγοράσει πολύτιμα μέταλλα, πρέπει να διευκρινίζει για ποιά ουγκιά γίνεται η συζήτηση. 49 Σε όλη τη διάρκεια της ανθρώπινης ιστορίας, και ειδικά στις περιόδους αναταραχών και πολέμων, οι άνθρωποι αποθησαύριζαν τις οικονομίες τους σε πολύτιμα μέταλλα, κυρίως χρυσό και ασήμι, λόγω της μεγάλης αξίας που συμπυκνώνεται σε μικρό όγκο. Αυτή η ανάγκη σήμερα καλύπτεται από τα εθνικά νομισματοκοπεία αλλά και άλλους οργανισμούς, που εκδίδουν κατά καιρούς αναμνηστικά νομίσματα σε πολύτιμα μέταλλα, τα οποία αγοράζουν συλλέκτες και επενδυτές. Τα νομίσματα αυτά δεν έχουν κανονική κυκλοφορία στην αγορά αλλά προορίζονται για συλλογές. Συνήθως έχουν βάρος μιας ουγκιάς ή υποδιαιρέσεών της. Στην Ελλάδα επί πολλές δεκαετίες το βασικό νόμισμα αποθησαυρισμού ήταν η χρυσή αγγλική λίρα. Οι λίρες αυτές είναι νομίσματα που κόπηκαν από την κεντρική τράπεζα της Αγγλίας κατά τη διάρκεια του 19ου αιώνα μέχρι το 1914 οπότε καταργήθηκε η χρήση των χρυσών νομισμάτων. Στη διάρκεια αυτών των 100 χρόνων η χρυσή αγγλική λίρα απετέλεσε τη βάση του μονομεταλλικού νομισματικού συστήματος που επικρατούσε στην τότε Βρετανική αυτοκρατορία. Στην Ελλάδα ανέκαθεν κυκλοφορούσαν πολλές απ΄ αυτές τις αγγλικές λίρες, και κατά τις δεκαετίες 1940 και 1950 αποτελούσαν βασικό συναλλακτικό μέσο. Σήμερα αγοραπωλησία χρυσών λιρών γίνεται νόμιμα από την Τράπεζα της Ελλάδος. Τα τεχνικά χαρακτηριστικά αυτών των λιρών είναι τα εξής: Οι διαστάσεις της λίρας είναι: διάμετρος 22,05 mm και το πάχος 1,52 mm. Το βάρος μίας λίρας είναι περίπου 8 gr και για την ακρίβεια 7,9881 gr. Η περιεκτικότητα του χρυσού στο κράμα κατασκευής της λίρας είναι 91,6%, (ή αλλιώς 22 καράτια). Κάνοντας πράξεις με τα δύο τελευταία νούμερα βρίσκουμε πως η κάθε λίρα περιέχει 7,3224 gr καθαρού χρυσού. Από την καθημερινή τιμή του χρυσού, προκύπτει κατά βάση και η αντίστοιχη τιμή της λίρας. Ενδέχεται το βάρος της λίρας να είναι λίγα δέκατα του γραμμαρίου μικρότερο από το προβλεπόμενο, λόγω της φθοράς που έχει προκληθεί στο χρυσό μετά από δεκαετίες κυκλοφορίας του νομίσματος. 4.11 ΑΤΟΜΙΚΗ ΜΟΝΑΔΑ ΜΑΖΑΣ Η ατομική μονάδα μάζας (atomic mass unit, amu ή και πιο απλά u) είναι μια μονάδα μέτρησης μάζας που χρησιμοποιείται για να εκφράσει ατομικές, μοριακές ή ιονικές μάζες. Ορίζεται ως το 1/12 της μάζας του ατόμου του άνθρακα-12 (12C) (στη βασική κατάσταση αδράνειας). Πρακτικά ταυτίζεται περίπου με το ημιάθροισμα της μάζας ενός πρωτονίου και ενός νετρονίου Η μάζα των ηλεκτρονίων αγνοείται ως πολύ μικρότερη. Η μάζα κάθε ατόμου ισούται με το άθροισμα της μάζας των πρωτονίων και των νετρονίων του πυρήνα του, μείον το λεγόμενο έλλειμμα μάζας, δηλαδή μια ποσότητα μάζας στην οποία αντιστοιχεί η πυρηνική ενέργεια που εκλύεται από τυχόν διάσπασή του. 4. Ισοδυναμίες 1 5. Μονάδες amu 6. 1,660 538 782(8 7. g 50 3) ·10-24 8. 1,660 538 782(8 9. kg 3) ·10-27 10. 931,494 028(23) 11. eV/c2 ·106 51 ΕΠΙΛΟΓΟΣ Οι μονάδες μέτρησης καθιερώθηκαν από την ανάγκη του ανθρώπου να μετρήσει τα φυσικά μεγέθη με ακρίβεια χρησιμοποιώντας πρότυπα για κάθε φυσικό μέγεθος (π.χ. για το μήκος το Μέτρο, για τον όγκο το Λίτρο, για την μάζα το Χιλιόγραμμο κ.λ.π.). Στην παρούσα εργασία είδαμε ότι οι μονάδες μέτρησης μήκους ,εμβαδού αλλά και γενικότερα όλων των μεγεθών είναι αναπόσπαστο κομμάτι της ανθρώπινης καθημερινότητας. Παντού γύρω μας οι περισσότερες από τις μονάδες που αναφέραμε χρησιμοποιούνται αρκετά συχνά. Λόγου χάρη όταν κάποιος θέλει να αγοράσει ένα σπίτι μετράει το εμβαδόν δηλαδή τα τετραγωνικά μέτρα. Άλλο παράδειγμα είναι οι διαστάσεις ενός σώματος όπου χρησιμοποιούμε μονάδες μέτρησης του μήκους. Οι μονάδες που χρησιμοποιούνται σήμερα είναι αυτές του System International Units (S.I) για όλο τον κόσμο και αυτό βοήθησε στην ανάπτυξη των επιστημών και του εμπορίου αφού άνθρωποι από διαφορετικά σημεία του κόσμου μπορούν πρακτικά να ανταλλάσσουν απόψεις και να κλείνουν συμφωνίες έχοντας στο μυαλό τους κοινές θεμελιώδεις μονάδες μέτρησης για τα φυσικά μεγέθη. Τα παραπάνω ισχύουν μεν για το εμπόριο και τις επιστήμες, δεν εφαρμόζονται όμως στην καθημερινότητα των απλών ανθρώπων. Ακόμα και σήμερα που υπάρχει το System International Units (SI) σε διαφορετικά μέρη του κόσμου οι άνθρωποι χρησιμοποιούν χωριστές μονάδες μέτρησης για κάποια φυσικά μεγέθη όπως για παράδειγμα το μήκος και τον όγκο. Μερικές χώρες όπως η Ηνωμένες Πολιτείες, η Αγγλία, η Αυστραλία κ.α. χρησιμοποιούν την Γιάρδα ενώ η Ευρώπη χρησιμοποιεί το Μέτρο. Θα μπορέσει άραγε η παγκοσμιοποίηση να εξαλείψει την διαφοροποίηση των μονάδων στο μέλλον; Θα είναι δυνατόν όλοι οι άνθρωποι του πλανήτη να χρησιμοποιούν στην καθημερινή τους ζωή τις ίδιες μονάδες μέτρησης για όλα τα φυσικά μεγέθη; Τα παραπάνω ερωτήματα να μπορέσουν να απαντηθούν μόνο από τους ιστορικούς του μέλλοντος. Σας ευχαριστούμε για την προσοχή σας. 52 ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ – ΑΝΑΦΟΡΕΣ 1. Ευκλείδεια Γεωμετρία (Α Γενικού Λυκείου 2. Θεόδωρος Γ. Εξαρχάκος, ΑΘΗΝΑ 1997, «Ιστορία των Μαθηματικών» Τόμος Α’, σελ. 234 ΙΣΤΟΣΕΛΙΔΕΣ 1. http://hatzikos.blogspot.gr/2010/05/blog-post_7630.html 2. http://egpaid.blogspot.com/2010/09/blog-post_7309.html 3. http://www.jesuslovesyou.gr/ 4. 5. http://eleysis69.wordpress.com/ / 6. Hans Lindemann & Hans Färber, (2003), «Griechische Grammatik Teil II Satzlehre, Dialektgrammatik und Metrik», Universitätsverlag Winter Heidelberg. 7.«ΜΟΔΙΟΣ» http://el.wikipedia.org/wiki/Μόδιος (προσπελάστηκε στις 15/11/2012) 8. Wilhelm Dindorf, (1824), «Julius Pollux (of Naucratis)», Libraria Kuehniana «ΚΟΤΥΛΗ» http://www.hellenicpantheon.gr/kotili.htm (προσπελάστηκε στις 15/11/2012) 9. «ΚΥΑΘΟΣ» http://www.hellenicpantheon.gr/kyathos.htm (προσπελάστηκε στις 15/11/2012) 10. «ΒΙΒΛΙΚΕΣ ΜΟΝΑΔΕΣ ΜΕΤΡΗΣΗΣ» http://el.wikipedia.org/wiki/Βιβλικές_μονάδες_μέτρησης (προσπελάστηκε στις 15/11/2012) «ΜΕΔΙΜΝΟΣ» http://www.ygeiaonline.gr/index.php?option=com_k2&view=item&id=34182: medimnos «ΟΓΚΟΣ» http://el.wikipedia.org/wiki/Όγκος «ΜΑΘΗΜΑ 69ο : ΟΓΚΟΣ - ΧΩΡΗΤΙΚΟΤΗΤΑ /// ΜΑΘΗΜΑ 70ο : ΟΓΚΟΣ ΚΥΒΟΥ ΚΑΙ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟΥ ΠΑΡΑΛΛΗΛΕΠΙΠΕΔΟΥ» http://kodikosdaskalos.blogspot.gr/2009/05/69-70.html (προσπελάστηκε στις 26/11/2012) http://www.tmth.edu.gr/aet/thematic_areas/p489.html (προσπελάστηκε στις 18/11/2012) 53 www.kalyterotera.gr/2012/10/blog-post_6250.html (προσπελάστηκε στις (προσπελάστηκε στις 26/11/2012) http://www.sikyon.com/korinth/Pottery/vase36.jpg 26/11/2012) http://digitalschool.minedu.gov.gr/modules/ebook/show.php/DSGL111/482/3 167,12764/ (προσπελάστηκε στις 9/12/2012) http://www.worldlight.gr/dso/wlight.dll/t?tid=716&tcat=41&lan=el 11. http://eleysis69.wordpress.com 12. http://www.miclub.gr 13. http://el.wikipedia.org 14. http://www.jesuslovesyou.gr/ 15. http://books.eudoxus.gr/ 16. http://1lyk-spart.lak.sch.gr/
© Copyright 2024 Paperzz
