Μηχανικό Στερεό. Μια εργασία για την Επανάληψη Απλές προτάσεις Για τον έλεγχο της κατανόησης και εφαρμογής των εννοιών Δογραματζάκης Γιάννης 9/5/2013 Απλές προτάσεις για τον έλεγχο της κατανόησης και εφαρμογής των εννοιών στο Μηχανικό Στερεό. Πρόταση 1η Ελέγχω τις έννοιες : Κύλιση. Ροπή αδράνειας. Στροφορμή. Κινητική ενέργεια στην κύλιση. Θεώρημα παραλλήλων αξόνων Steiner . Εκφώνηση 1η. Ο κυκλικός δακτύλιος μάζας (m) και ακτίνας (R) του παρακάτω σχήματος εκτελεί σύνθετη κίνηση σε οριζόντιο επίπεδο. Το σημείο Α είναι το σημείο τομής της οριζόντιας διαμέτρου και της εξωτερικής του επιφάνειας και έχει ταχύτητα υΑ = υ √2 . Cm Ερώτημα 10 Να υπολογιστούν οι ταχύτητες του δακτυλίου στα σημεία Β και Γ. Θεωρείται γνωστό το ( υ ). Απάντηση Αναλύω την ταχύτητα υΑ = υ √2 σε δύο συνιστώσες. α. Την οριζόντια συνιστώσα ταχύτητας που εκφράζει την ταχύτητα του κέντρου μάζας . β. Την εφαπτομενική συνιστώσα της ταχύτητας που εκφράζει την γραμμική ταχύτητα του σημείου Α. Cm Παρατηρούμε ότι : που είναι μια από τις συνθήκες κύλισης. Άρα κυκλικός δακτύλιος κυλίεται. Σημείο Β : Σημείο Γ : Ερώτημα 20 Nα υπολογιστεί η ροπή αδράνειας του κυκλικού δακτυλίου ως προς άξονα που περνά από το κέντρο μάζας του δακτυλίου και είναι κάθετος στο επίπεδό του. Γνωστά είναι : m , R . Απάντηση Cm Χωρίζω τον δακτύλιο σε Ν στοιχειώδεις μάζες (dm) που απέχουν από το κέντρο του απόσταση (R) λόγω του πολύ μικρού πάχους του. Η ροπή αδράνειας της κάθε στοιχειώδους μάζας είναι : H συνολική ροπή αδράνειας ως προς άξονα που περνά από το κέντρο μάζας και είναι κάθετος στο επίπεδο του δακτυλίου είναι: Ερώτημα 30 Nα υπολογιστεί η στροφορμή του κυκλικού δακτυλίου ως προς άξονα που περνά από το σημείο επαφής του δακτυλίου με το οριζόντιο επίπεδο (Γ) και είναι κάθετος στο επίπεδο του (οριζόντιος άξονας). Απάντηση Δείξαμε παραπάνω ότι ο κυκλικός δακτύλιος κυλίεται άρα : Υπολογισμός της στροφορμής Cm Η στροφορμή του κυκλικού δακτυλίου ως προς άξονα που περνά από το σημείο επαφής του δακτυλίου με το οριζόντιο επίπεδο (Γ) και είναι κάθετος στο επίπεδο του είναι : Το ΙΓ είναι η ροπή αδράνειας ως προς τον άξονα που περνά από το (Γ) και υπολογίζεται από το θεώρημα των παραλλήλων αξόνων του Steiner : Άρα τελικά : H στροφορμή του δακτυλίου ως προς άξονα που περνά από το σημείο επαφής του δακτυλίου με το οριζόντιο επίπεδο (Γ) και είναι κάθετος στο επίπεδο του έχει την διεύθυνση του άξονα και φορά προς τα μέσα. Ερώτημα 40 Nα υπολογιστεί o λόγος της κινητικής ενέργειας λόγω περιστροφής προς την κινητική ενέργεια λόγω μεταφορικής κίνησης του κυκλικού δακτυλίου. Απάντηση Η κινητική ενέργεια λόγω περιστροφής είναι : Η κινητική ενέργεια λόγω μεταφορικής είναι : Άρα ο λόγος θα είναι : Σχόλιο: Γενικά αν η ροπή αδράνειας ως προς άξονα που περνά από το κέντρο μάζας ενός στερεού που κυλίεται είναι : τότε ο λόγος Πρόταση 2η Ελέγχω τις έννοιες : Ισορροπία στερεού σώματος. Θεμελιώδης Νόμος της Μηχανικής στην Στροφική κίνηση. Θεώρημα παραλλήλων αξόνων Steiner. Αρχή της Διατήρησης της Ενέργειας. Εκφώνηση 2η. Η ομογενής ράβδος έχει μάζα (m) μήκος (l) και ισορροπεί οριζόντια με το ένα άκρο της συνδεμένο σε άρθρωση και το άλλο σε νήμα αμελητέας μάζας όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα. Ερώτημα 10 Να σχεδιαστούν οι δυνάμεις που ασκούνται στην ομογενή ράβδο και να δειχθεί ότι οι φορείς τους περνούν από το ίδιο σημείο. Απάντηση Στην ράβδο όπως φαίνεται στο σχήμα ασκούνται οι δυνάμεις : α. Το βάρος W στο μέσο της ράβδου. β. Η δύναμη από το νήμα Τ. γ. Η δύναμη από την άρθρωση Α. Η ράβδος ισορροπεί. φ Η συνισταμένη των ροπών των δυνάμεων ως προς οποιοδήποτε σημείο του επιπέδου θα είναι μηδέν ( Στ = 0 ). θ Έστω ότι ο φορέας της δύναμης (Τ) και ο φορέας του βάρος (W) τέμνονται στο σημείο Κ . Ας υποθέσουμε ότι ο φορέας της δύναμης (Α) από την άρθρωση δεν περνά από το σημείο Κ αλλά απέχει από αυτό απόσταση (d). Αφού η ράβδος ισορροπεί : όμως η δύναμη (Α) είναι διάφορη του μηδενός. Άρα ο φορέας της δύναμης Α από την άρθρωση περνά και αυτός από το σημείο της μεσοκαθέτου Κ. Σχόλιο : Μπορούμε να γενικεύσουμε την παραπάνω περίπτωση με ένα σώμα που του ασκούνται (ν) ομοεπίπεδες δυνάμεις και ισορροπεί. α. Αν οι φορείς των (ν-1) δυνάμεων όπου ν ≥ 3 περνούν από ένα σημείο του επιπέδου τότε περνά και ο φορέας της ν-ιοστής δύναμης. β. Αν οι φορείς των (ν-1) δυνάμεων όπου ν ≥ 3 είναι παράλληλοι τότε και ο φορέας της ν-ιοστής δύναμης είναι παράλληλος με αυτούς. Ερώτημα 20 Να υπολογιστούν η δύναμη από το νήμα (Τ) και η δύναμη από την άρθρωση (Α) που ασκούνται πάνω στην ράβδο. Γνωστά θεωρούνται: m , g , φ. Απάντηση Επιλέγω ορθογώνιο σύστημα αξόνων (χ , y). Αναλύω όλες τις δυνάμεις που ασκούνται στην ράβδο πάνω στους άξονες (χ , y ) όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα. φ φ Στο προηγούμενο ερώτημα δείξαμε ότι οι φορείς των δυνάμεων τέμνονται στο ίδιο σημείο (Κ) που είναι σημείο της μεσοκαθέτου (C K). Έτσι σχηματίζεται ένα ισοσκελές τρίγωνο με βάση την ράβδο. Οι γωνίες στην βάση του είναι ίσες άρα η κάθε μία είναι (φ). Τχ = Τσυνφ Αναλύω τις δυνάμεις :Τ Αχ = Ασυνφ και Α Τy = Τημφ Αy = Αημφ Άξονας (χ): (1) Άξονας (y): Με την βοήθεια της (1) Ερώτημα 30 Κάποια στιγμή κόβουμε το νήμα. Η ράβδος αρχίζει να περιστρέφεται γύρω από την άρθρωση και στο κατακόρυφο επίπεδο χωρίς απώλειες ενέργειας . α. Να βρεθεί η σχέση που συνδέει τον ρυθμό μεταβολής της στροφορμής της ράβδου με την γωνία που σχηματίζει η ράβδος με την αρχική οριζόντια διεύθυνση (dL/dt)Λ = f (θ). β. Σε ποια θέση ο ρυθμός μεταβολής της στροφορμής (dL/dt)Λ είναι μέγιστος και σε ποια ελάχιστος για πρώτη φορά. Γνωστά : m,g. Απάντηση α. Στο σχήμα η ράβδος είναι σε μια τυχαία θέση που σχηματίζει με την οριζόντια διεύθυνση γωνία (θ). Από την εφαρμογή του Θεμελιώδη Νόμου της Μηχανικής στην Στροφική κίνηση παίρνουμε: Α Αλλά W = mg και β. Όταν η θ = 00 τότε συνθ =1: Όταν η θ = 900 τότε συνθ = 0: Ερώτημα 40 α. Να βρεθεί η σχέση που συνδέει τον ρυθμό μεταβολής της γωνιακής ταχύτητας της ράβδου με την γωνία που σχηματίζει η ράβδος με την αρχική οριζόντια διεύθυνση (dω/dt) = f (θ) . β. Σε ποια θέση ο ρυθμός μεταβολής (dω/dt) είναι μέγιστος και σε ποια ελάχιστος για πρώτη φορά. Γνωστά : m,g, l. Δίνεται για την ράβδο Ιcm= 1/12 ml2. Απάντηση α. Στο σχήμα η ράβδος είναι σε μια τυχαία θέση που σχηματίζει με την οριζόντια διεύθυνση γωνία (θ). Α Ο ρυθμός μεταβολής της γωνιακής ταχύτητας της ράβδου dω/dt = αγων είναι η γωνιακή επιτάχυνση της ράβδου. Από την εφαρμογή του Θεμελιώδη Νόμου της Μηχανικής στην Στροφική κίνηση παίρνουμε: αλλά όμως . Παίρνω το θεώρημα Steiner για τον άξονα περιστροφής που περνά από το Λ : Άρα : β. Όταν η θ = 00 τότε συνθ = 1: Όταν η θ = 900 τότε συνθ = 0: Ερώτημα 50 Να βρεθεί η σχέση που συνδέει την γωνιακή ταχύτητα της ράβδου (ω) σε συνάρτηση με την γωνία που σχηματίζει η ράβδος με την αρχική οριζόντια διεύθυνση (θ). Να γίνει η γραφική παράσταση (ω – θ) για τιμές της γωνίας από 0 ≤ θ ≤ π. Γνωστά : m, g, l. Απάντηση Εφαρμόζω την Αρχή της Διατήρησης της Ενέργειας για την ράβδο. Αρχικά Στην οριζόντια θέση: Τελικά Στην θέση που η ράβδος σχηματίζει με την αρχική οριζόντια διεύθυνση γωνία (θ) . πό την Αρχή της Διατήρησης της Ενέργειας για την ράβδο: Γραφική παράσταση της γωνιακής ταχύτητας της ράβδου (ω) με την γωνία που σχηματίζει η ράβδος με την αρχική οριζόντια διεύθυνση (θ) για τιμές της γωνίας από 0 ≤ θ ≤ π. Σχόλιο: α. Από την εφαρμογή του Θεμελιώδη Νόμου της Μηχανικής στην Στροφική κίνηση μπορούμε να υπολογίσουμε την γωνιακή επιτάχυνση (αγων ) και τον ρυθμό μεταβολής της στροφορμής (dL/dt). β. Από την Αρχή της Διατήρησης της Ενέργειας υπολογίζουμε την γωνιακή ταχύτητα (ω). Πρόταση 3η Ελέγχω τις έννοιες : Ισορροπία στερεού σώματος. Θεμελιώδης Νόμος της Μηχανικής στην Στροφική κίνηση. Αρχή της Διατήρησης της Ενέργειας. Εκφώνηση 3η. Ομογενής στερεός κύλινδρος μάζας M και ακτίνας R μπορεί περιστρέφεται γύρω από ένα άξονα του χωρίς τριβές. Ο άξονας του στηρίζεται σε δύο λεία στηρίγματα (Σ1 και Σ2). Δύο μάζες m1 και m2 είναι αναρτημένες με ελαφρά νήματα αμελητέας μάζας που είναι τυλιγμένα γύρω από τον κύλινδρο. Το σύστημα αρχικά είναι ακίνητο με τις μάζες στην ίδια οριζόντιο. Κάποια στιγμή αφήνεται ελεύθερο να κινηθεί. Ερώτημα 10 Να σχεδιαστούν οι δυνάμεις που ασκούνται: α. Στις μάζες m1 και m2 β. Στον ομογενή στερεό κύλινδρο μάζας M με τον άξονά του. Απάντηση Στο παρακάτω σχήμα είναι σχεδιασμένες όλες οι ζητούμενες δυνάμεις. Ν2 Ν1 T΄1 T΄2 Σ1 Σ2 T1 m1 W1 Wκ T2 m2 W2 α. Στις μάζες m1 και m2 Στη μάζα m1 : To βάρος W1 = m1g και δύναμη από το νήμα T1 . Στη μάζα m2 : To βάρος W2 = m2g και δύναμη από το νήμα T2. β. Στον ομογενή κύλινδρο μάζας M με τον άξονα του. Στον ομογενή κύλινδρο : To βάρος Wκ = Μg οι δυνάμεις από τα νήματα T΄1 και T΄2. Στον άξονα του κυλίνδρου: Οι δυνάμεις από τα στηρίγματα Ν1 και Ν2. Ερώτημα 20 Να δειχθεί ότι οι μάζες m1 και m2 αποκτούν την ίδια μεταφορική επιτάχυνση α1 = α2 = α που συνδέεται με την γωνιακή επιτάχυνση (αγων) περιστροφής του κυλίνδρου με την σχέση α = αγων R. Τα νήματα δεν γλιστρούν στον κύλινδρο. Απάντηση Σε χρόνο dt o κύλινδρος στρέφεται γύρω από τον άξονα του κατά dφ. Τα νήματα δεν γλιστρούν στον κύλινδρο. Το τμήμα (dx) που ξετυλίγεται από το νήμα της κάθε μάζας είναι ίσο με το μήκος του τόξου (ds) που στρέφεται ο κύλινδρος γύρω από τον άξονα του και αντιστοιχεί σε γωνία στροφής dφ. Από την σχέση: Αυτή είναι και η μεταφορική επιτάχυνση της κάθε μάζας. Ερώτημα 30 Να υπολογιστούν οι μεταφορικές επιταχύνσεις των μαζών και η γωνιακή επιτάχυνση του περιστρεφόμενου κυλίνδρου. Να προσδιοριστεί το είδος κίνησης της κάθε μάζας και του περιστρεφόμενου κυλίνδρου. Γνωστά: m1, m2 , M , g , R. Ροπή αδράνειας του κυλίνδρου Απάντηση Για την μάζα m1 : Για την μάζα m2 : Στον ομογενή κύλινδρο ασκούνται To βάρος του Wκ = Μg Οι δυνάμεις από τα νήματα T΄1 και T΄2 Αλλά οι T΄1 και T΄2 είναι ζεύγη δράσης – αντίδρασης με τις δυνάμεις και αντίστοιχα άρα μπορούμε να γράψουμε για τα μέτρα τους και Στον άξονα ασκούνται δυνάμεις από τα στηρίγματα Ν1 και Ν2. Ο Θεμελιώδης Νόμος της Μηχανικής Ν1 στην Στροφική κίνηση ως προς τον άξονα περιστροφής του κυλίνδρου T΄1 T΄2 Σ1 μας δίνει : T1 m1 W1 Αν αντικαταστήσουμε θα πάρουμε και με την βοήθεια της παίρνουμε Από τις παραπάνω σχέσεις : (+)  Και με την βοήθεια της : και η Wκ T2 m2 W2 Ν2 Σ2 Από τις παραπάνω σχέσεις παρατηρούμε ότι η μεταφορική επιτάχυνση(α) των μαζών και η γωνιακή επιτάχυνση (αγων) του κυλίνδρου είναι σταθερές. Άρα οι κινήσεις είναι : α. Για τις μάζες είναι ευθύγραμμες ομαλά επιταχυνόμενες κινήσεις. β. Για τον κύλινδρο ομαλά επιταχυνόμενη στροφική κίνηση. Ερώτημα 40 Να υπολογιστούν οι δυνάμεις από τα νήματα T1 και T2 . Γνωστά: m1, m2 , M , g. Απάντηση Η δύναμη από το νήμα T1. Παίρνω την σχέση : Η δύναμη από το νήμα T2. Παίρνω την σχέση : Ερώτημα 50 Να υπολογιστούν οι ταχύτητες των μαζών (υμετ) και η γωνιακή ταχύτητα (ω) του κυλίνδρου όταν οι μάζες έχουν κατεβεί κατά απόσταση (h). Οι δύο μάζες αρχικά βρίσκονται στην ίδια οριζόντια (δες το σχήμα). Απάντηση Θα εφαρμόσουμε την Αρχή της Διατήρησης της Ενέργειας . Αρχική ενέργεια συστήματος ω ω Τελική ενέργεια συστήματος . Οι ταχύτητες των δύο μαζών είναι ίσες (υ1= υ2= υμετ ) όπως δείξαμε και παραπάνω : Επίπεδο αναφοράς Αλλά δεν έχουμε μετατροπή ενέργειας σε θερμότητα άρα: Από την σχέση: Πρόταση 4η Ελέγχω τις έννοιες : Αρχή της Διατήρησης της στροφορμής . Θεώρημα παραλλήλων αξόνων Steiner.Αρχή της Διατήρησης της Ενέργειας. Θεώρημα μεταβολής της Κινητικής Ενέργειας στην Στροφική κίνηση. Εκφώνηση 4η. (Το παράδειγμα Σχολικού βιβλίου …με παραλλαγές) Ο άνθρωπος στο διπλανό σχήμα έχει τα χέρια του τεντωμένα και στο κάθε χέρι του κρατάει ένα βαράκι μάζας m = 4 kg. Εξ’ αιτίας μιας ώθησης που δέχτηκε ο άνθρωπος περιστρέφεται με γωνιακή ταχύτητα ωα = 4 rad/s. Το κάθισμα πάνω στο οποίο κάθεται μπορεί να στρέφεται χωρίς τριβές γύρω από κατακόρυφο άξονα που είναι και ο άξονας συμμετρίας. Ερώτημα 10 Να σχεδιαστούν οι δυνάμεις που ασκούνται στο σύστημα άνθρωπος – βαράκια. Να δειχθεί ότι η συνισταμένη των ροπών τους ως προς το κατακόρυφο άξονα είναι μηδέν ( Στ = 0). Απάντηση Οι δυνάμεις από τα δύο βαράκια στα χέρια του ανθρώπου : w = mg (το καθένα) Το βάρος του ανθρώπου:Wα = Mg (στο κέντρο μάζας) Η δύναμη από το κάθισμα : Fκ Επειδή ο άνθρωπος δεν εκτελεί μεταφορική κίνηση : ΣF = 0  2w +W + Fκ = 0  Fκ = - (2w +W) Βλέπουμε ότι η δύναμη από το κάθισμα Fκ είναι αντίθετης κατεύθυνσης με τα βάρη άρα κατακόρυφη. Συμπέρασμα: Όλες οι δυνάμεις έχουν κατακόρυφη διεύθυνση και είναι παράλληλες στον κατακόρυφο άξονα περιστροφής. Άρα δεν δημιουργούν ροπές ( Στ = 0 ) Ερώτημα 20 Να δειχθεί ότι ισχύει η Αρχή της Διατήρησης της Στροφορμής ως προς το κατακόρυφο άξονα περιστροφής . Απάντηση Από την γενικότερη διατύπωση του Θεμελιώδους Νόμου της Στροφικής κίνησης έχουμε ότι : όμως δείξαμε παραπάνω Άρα η στροφορμή του συστήματος ανθρώπου – βαράκια μένει σταθερή. Ερώτημα 30 Κάποια στιγμή ο άνθρωπος συμπτύσσει τα χέρια του έτσι ώστε τα βαράκια να πλησιάσουν στον κατακόρυφο άξονα περιστροφής που εξακολουθεί να είναι άξονας συμμετρίας. Η ροπή αδράνειας του ανθρώπου (χωρίς τα βαράκια που κρατάει) όταν έχει τα χέρια του τεντωμένα είναι 3,25 kgm2 και όταν συμπτύσσει τα χέρια του είναι 2,5 kgm2. Κάθε βαράκι απέχει από τον άξονα περιστροφής R1= 1m αρχικά και R2 = 0,2 m τελικά. Η ροπή αδράνειας του καθίσματος θεωρείται αμελητέα. Να υπολογιστεί γωνιακή ταχύτητα (ωτ) που θα στρέφεται τελικά το σύστημα άνθρωπος – βαράκια. Απάντηση Δείξαμε παραπάνω ότι ισχύει η Αρχή της Διατήρησης της Στροφορμής ως προς το κατακόρυφο άξονα περιστροφής. Lα Lτ ωτ ωα Αρχικά Τελικά Η αρχική ροπή αδράνειας ( Iα ) του συστήματος ως προς τον άξονα περιστροφής, όταν ο άνθρωπος είχε τα χέρια του τεντωμένα ήταν το άθροισμα της ροπής αδράνειας του ανθρώπου και της ροπής αδράνειας που έχουν τα βαράκια που κρατάει. Η ροπή αδράνειας ( Ιτ ) του συστήματος όταν ο άνθρωπος συμπτύξει τα χέρια τα χέρια του είναι η νέα ροπή αδράνειας του ανθρώπου και η νέα ροπή αδράνειας που έχουν τα βαράκια που κρατάει. Αν αντικαταστήσουμε στην σχέση : Ερώτημα 40 Να υπολογιστεί το έργο των δυνάμεων του μυϊκού συστήματος του ανθρώπου κατά την διάρκεια της σύμπτυξης . Απάντηση Εφαρμόζω το Θεώρημα μεταβολής της Κινητικής Ενέργειας στην Στροφική κίνηση. Δογραματζάκης Γιάννης