ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO - ΠΡΟΣΗΜΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΘΕΩΡΗΜΑ ΕΝΔΙΑΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ - ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΓΙΣΤΗΣ ΚΑΙ ΕΛΑΧΙΣΤΗΣ ΤΙΜΗΣ - ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Ενότητα Βασικά Θεωρήματα του κεφ.1.8 Μέρος Β΄ του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Β Άσκηση 1. x −1 με x > 2 . Να εξετάσετε αν ικανοποιούνται οι x2 −1 προϋποθέσεις του θεωρήματος Bolzano στο διάστημα [0,1] . Δίνεται η συνάρτηση f (x) = Λύση Το πεδίο ορισμού της f είναι προφανώς το (2, +∞) στο οποίο η f είναι συνεχής ως πηλίκο συνεχών συναρτήσεων. Το [0,1] όμως δεν είναι υποσύνολο του (2, +∞) οπότε δεν μπορούμε να μιλάμε για συνέχεια σε αυτό ή για ισχύ των προϋποθέσεων του θεωρήματος Bolzano. 1 Άσκηση 2. Να δείξετε ότι η εξίσωση x − 1= 3ηµx έχει δύο τουλάχιστον ρίζες στο διάστημα [−π, 0] . Λύση Η δοθείσα εξίσωση ισοδύναμα γράφεται: x − 1= 3ηµx ⇔ 3ηµx − x + 1= 0 Θεωρούμε τη συνάρτηση f (x) = 3ηµx − x + 1 ορισμένη στο  και συνεχή σε αυτό ως άθροισμα των συνεχών συναρτήσεων 3ηµx και − x + 1 . Άρα θα είναι συνεχής και στο [−π, 0] . π 2 Διαχωρίζουμε το δοθέν διάστημα στα υποδιαστήματα [−π, − ], [− παρατηρούμε ότι π , 0] και 2 f (−π) = 3ηµ(−π) + π + 1 = 0 + π + 1 > 0 π π π π π−4 f (− ) =3ηµ(− ) + + 1 =−3 + + 1 = <0 2 2 2 2 2 f (0) = 3ηµ0 − 0 + 1= 1 > 0 • π 2 π 2 Για το διάστημα [−π, − ] έχουμε f (− ) ⋅ f ( −π) < 0 . Συνεπώς ικανοποιούνται οι π 2 προϋποθέσεις του θεωρήματος Bolzano στο διάστημα [−π, − ] άρα υπάρχει π 2 τουλάχιστον μία ρίζα στο (−π, − ) . • π π , 0] έχουμε f (− ) ⋅ f (0) < 0 . Συνεπώς ικανοποιούνται οι 2 2 π προϋποθέσεις του θεωρήματος Bolzano στο διάστημα [− , 0] , άρα υπάρχει 2 π τουλάχιστον μία ρίζα στο (− , 0) . 2 Επίσης για το διάστημα [− Με αυτό τον τρόπο αποδείξαμε την ύπαρξη τουλάχιστον 2 ριζών της εξίσωσης x − 1= 3ηµx στο διάστημα [−π, 0] . Μεθοδολογία Διαχωρίζουμε κατάλληλα το δοθέν διάστημα σε δύο επιμέρους υποδιαστήματα (με δοκιμές) και εφαρμόζουμε το θεώρημα Bolzano σε καθένα απ΄ αυτά. 2 Άσκηση 3. Βρείτε το πρόσημο της συνάρτησης f (x) = ηµ 2x − συνx στο διάστημα [ 0, π] . Λύση • Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο [ 0, π] ως διαφορά συνεχών. • f ( x )= 0 ⇔ ηµ 2x − συνx= 0 ⇔ 2ηµx ⋅ συνx − συνx= 0 ⇔ συνx ( 2ηµx − 1)= 0 ⇔ συνx = 0 ή 2ηµx − 1 = 0. π π ⇔ x = 2 κπ ± , κ ∈ Ζ. 2 2 π Επειδή x ∈ [ 0, π] , έχουμε: x = . 2 5π π π 2ηµx − 1 = 0 ⇔ ηµx = ηµ ⇔ x= 2 κπ + ή x= 2κπ + , κ ∈ Ζ. 6 6 6 5π π . Επειδή x ∈ [ 0, π] , έχουμε: x = ή x = 6 6 Είναι: συνx = 0 ⇔ συνx = συν • Ο παρακάτω πίνακας δείχνει τα αποτελέσματα του ελέγχου του πρόσημου της f. Διάστημα  π 0, 6    π π  6,2    π 5π   2, 6     5π   6 ,π    Επιλεγμένος αριθμός x 0 0 π 3 2π 3 π f ( x0 ) −1 Πρόσημο − 1 2 ( ) 3 −1 + − 1 2 ( ) 3 −1 − 1 + 3 Άσκηση 4. Να δείξετε ότι η εξίσωση 1 = ln x , έχει μοναδική ρίζα. 2x Λύση Θεωρούμε τη συνάρτηση f (x) = 1 − ln x, x ∈ ( 0, +∞ ) . 2x H f είναι συνεχής ως διαφορά συνεχών συναρτήσεων. H f είναι γνησίως φθίνουσα διότι: για οποιαδήποτε x1 , x 2 ∈ ( 0, +∞ ) , με x1 < x 2 ⇒ 2 x1 < 2 x 2 ⇒ 1 1 > x 2 και lnx1 < ln x 2 ⇒ −lnx1 > − ln x 2 . Με πρόσθεση κατά μέλη x1 2 2 1 1 − ln x1 > x 2 − ln x 2 ⇒ f (x1 ) > f (x 2 ) . x1 2 2 1  1  lim f (x) = lim+  x − ln x  = +∞ γιατί lim+ ( x ) = 1 και lim+ (ln x) = −∞ → 0 x x → 0+ x →0  2 x →0 2  1 1  1  ( x ) lim ( ) x 0 και lim (ln x) = +∞ = = lim f (x) = lim  x − ln x  = −∞ γιατί lim + + x →+∞ x →+∞ 2 x →+∞ x →0 2 x →0 2   έχουμε Το σύνολο τιμών της f είναι το ( lim f (x), lim f (x)) = x →+∞ x → 0+ ( −∞, +∞ ) =  . Το μηδέν ανήκει στο σύνολο τιμών, άρα υπάρχει μία τουλάχιστον ρίζα της εξίσωσης f (x) = 0 . Αυτή η ρίζα είναι μοναδική αφού η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα, άρα και 1 –1 . 4 Άσκηση 5. Έστω η συνεχής συνάρτηση f :  →  . Αν η f είναι γνησίως αύξουσα στο ( −∞, 2] , γνησίως φθίνουσα στο [ 2, +∞ ) , lim f (x) = lim f (x) = −∞ και f (2) = 0 , τότε: x →−∞ x →+∞ α) Να βρείτε το σύνολο τιμών της f. β) Να λύσετε την εξίσωση f (x) = 0 . Λύση α) Επειδή η f είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα στο ( −∞, 2] , το σύνολο τιμών της σ’ αυτό θα είναι το διάστημα Δ1 = ( lim f (x), f (2) = ( −∞, 0] . ( lim f (x), f (2) = ( −∞, 0] . x →−∞ Επειδή η f είναι συνεχής και γνησίως φθίνουσα στο [ 2, +∞ ) , το σύνολο τιμών της σ’ αυτό θα είναι το διάστημα Δ 2 = x →+∞ Το σύνολο τιμών της f είναι το Δ = Δ1 ∪ Δ 2 = ( −∞, 0] . β) Η εξίσωση f (x) = 0 έχει μοναδική ρίζα την x = 2 , στο διάστημα ( −∞, 2] , αφού η f είναι γνησίως αύξουσα στο ( −∞, 2] και f (2) = 0 . Επίσης, η εξίσωση f (x) = 0 έχει μοναδική ρίζα την x = 2 , στο διάστημα [ 2, +∞ ) , αφού η f είναι γνησίως φθίνουσα στο [ 2, +∞ ) και f (2) = 0 . Άρα η εξίσωση έχει ακριβώς μία ρίζα την x = 2 . 5 ΘΕΜΑ Γ Άσκηση 1. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση 3x + 2x + 1 = 0 έχει ακριβώς μία ρίζα στο (−1, 2) . Λύση Θεωρούμε τη συνάρτηση f (x) = 3x + 2x + 1 ορισμένη στο  και συνεχή σε αυτό ως άθροισμα των συνεχών συναρτήσεων 3x και 2x + 1 . Άρα θα είναι συνεχής και στο [−1, 2] . Παρατηρούμε ότι 1 2 f (−1) = − 2 + 1 =− < 0 και f (2) = 9 + 4 + 1 = 14 > 0 . Άρα ισχύει f (2) ⋅ f (−1) < 0 . 3 3 Συνεπώς ικανοποιούνται οι προϋποθέσεις του θεωρήματος Bolzano στο διάστημα [−1, 2] . Οπότε προκύπτει ότι υπάρχει τουλάχιστον μία ρίζα της f (x) = 3x + 2x + 1 στο (−1, 2) . Θα αποδείξουμε ότι η f είναι γνησίως μονότονη στο (−1, 2) . Γνωρίζουμε ότι η 3x είναι γνησίως αύξουσα συνάρτηση. Ομοίως και η 2x + 1 . Άρα και η f (x) = 3x + 2x + 1 θα είναι γνησίως αύξουσα συνάρτηση ως άθροισμα γνησίως αυξουσών συναρτήσεων. Συνεπώς θα είναι 1-1. Κατ΄ επέκταση η συνάρτηση θα έχει ακριβώς μία ρίζα. 6 Άσκηση 2. Έστω συνάρτηση f ορισμένη και συνεχής στο [0,5] με f (1) + f (2) + f (3) = 0 (1). Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f (x) = 0 έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο [0,5] . Λύση (2 τρόποι λύσης) Α’ Τρόπος: Από τη σχέση (1) συμπεραίνουμε ότι • f= (1) f = (2) f= (3) 0 ή • 2 από τους προσθετέους είναι ετερόσημοι. i) Έστω ότι είναι f (1) ⋅ f (2) < 0 και επειδή η f συνεχής στο [1, 2] ⊆ [0,5] εφαρμόζουμε το θεώρημα Bolzano . Άρα θα υπάρχει τουλάχιστον ένα ξ ∈ (1, 2) ώστε f (ξ) =0 δηλαδή υπάρχει τουλάχιστον μία ρίζα της f (x) = 0 στο (1, 2) . ii) Αν f (1) ⋅ f (3) < 0 με όμοιο τρόπο θα υπάρχει τουλάχιστον μία ρίζα της f (x) = 0 στο (1,3) . iii) Αν f (2) ⋅ f (3) < 0 με όμοιο τρόπο θα υπάρχει τουλάχιστον μία ρίζα της f (x) = 0 στο (2,3) . Άρα σε οποιαδήποτε περίπτωση θα υπάρχει τουλάχιστον μία ρίζα της f στο [0,5] . Β’ Τρόπος: Έστω ότι δεν έχει καμία ρίζα, δηλαδή f (x) ≠ 0 ⇔ f (x) > 0 ή f (x) < 0 για κάθε x ∈ [0,5] . Άρα f (1) + f (2) + f (3) > 0 ή f (1) + f (2) + f (3) < 0 που είναι άτοπο. Μεθοδολογία 1. Έχουμε 2 περιπτώσεις: • Οι ρίζες είναι τα x1 , x 2 , x 3 ή • Κατασκευάζουμε τρία διαστήματα με τα x1 , x 2 , x 3 και εφαρμόζουμε το θεώρημα Bolzano σε καθένα από αυτά. 2. Εφαρμόζουμε την εις άτοπο απαγωγή. 7 Άσκηση 3. 2 Δίνεται ότι ο μιγαδικός αριθμός z1 = 1 + i είναι ρίζα της εξίσωσης z + ( λ − κ ) ⋅ z − 5κ + λ = 0 , κ, λ ∈  . Να αποδείξετε ότι υπάρχει ξ ∈ (0,1) τέτοιο ώστε: ξ3 + ( κ − λ ) ξ + κeξ = 0. Λύση 2 Επειδή η εξίσωση z + ( λ − κ ) ⋅ z − 5κ + λ = 0 έχει πραγματικούς συντελεστές και ο z1 = 1 + i είναι ρίζα αυτής, η άλλη ρίζα θα είναι η συζυγής δηλαδή, z 2 =z1 ⇔ z 2 =− 1 i. λ−κ  + = − z z 1 2  κ−λ 1 ⇔  (1 + i ) + (1 − i ) = Από τους τύπους Vieta έχουμε:  ⇔  1 + i ⋅ 1 − i = − 5 κ + λ 5 − κ + λ ( ) ( )   z ⋅ z =  1 2 1  κ − λ =2  κ = −1 ⇔  −5κ + λ = 2 λ = −3 Θα αποδείξουμε πλέον ότι υπάρχει ξ ∈ (0,1) τέτοιο ώστε: ξ3 + 2ξ − eξ = 0 . 3 x Θεωρούμε τη συνάρτηση f ( x ) = x + 2x − e και εφαρμόζουμε το Θ. Bolzano στο [ 0,1] . • Η f είναι συνεχής στο [ 0,1] ως διαφορά συνεχών. • f ( 0 ) ⋅ f (1) =( −1) ⋅ ( 3 − e ) =e − 3 < 0 . 3 ξ Άρα υπάρχει ένας τουλάχιστον ξ ∈ ( 0,1) ώστε f ( ξ )= 0 ⇔ ξ + 2ξ − e = 0 . 8 Άσκηση 4. Έστω συνάρτηση f η οποία είναι περιττή και συνεχής στο  με lim f ( συνx )  = 2. x →0 Να αποδείξετε ότι υπάρχει ένας τουλάχιστον x 0 ∈ ( 0,1) ώστε f ( x 0 ) = 1. Λύση 0. Θα αποδείξουμε ότι υπάρχει ένας τουλάχιστον x 0 ∈ ( 0,1) ώστε f ( x 0 ) − 1 = Θεωρούμε τη συνάρτηση g= ( x ) f ( x ) − 1 και εφαρμόζουμε το Θ. Bolzano στο [0,1]. • Η g είναι συνεχής στο [ 0,1] διότι η f είναι συνεχής στο [ 0,1] ως συνεχής στο  . • g ( 0 ) ⋅ g (= 1) f ( 0 ) − 1 ⋅ f (1) − 1 (1) Επειδή η f είναι περιττή στο  , έχουμε ότι για κάθε x ∈ , ισχύει − x ∈  και f (− x) = −f (x) . −f ( 0 ) ⇔ 2f ( 0 ) = 0 ⇔ f ( 0) = 0. Για x = 0 βρίσκουμε: f ( 0 ) = (2) Επειδή η συνάρτηση f ( συνx ) είναι συνεχής, ως σύνθεση συνεχών, έχουμε: lim f ( συνx ) = 2 ⇔ f (1)= 2 . x →0 (3) Από την (1) λόγω των (2) και (3) έχουμε: g ( 0 ) ⋅ g (1) =( 0 − 1) ⋅ ( 2 − 1) =−1 < 0 . Συνεπώς υπάρχει ένας τουλάχιστον x 0 ∈ ( 0,1) ώστε g ( x 0 ) = 0 ⇔ f ( x 0 ) − 1 = 0 ⇔ f ( x 0 ) = 1. 9 Άσκηση 5. Έστω συνάρτηση f η οποία είναι ορισμένη και περιττή στο  με f ( 5 ) = 7. Αν η εξίσωση f ( x ) = 6 είναι αδύνατη να αποδείξετε ότι η f δεν είναι συνεχής στο  . Λύση Επειδή η f είναι περιττή στο  , έχουμε ότι για κάθε x ∈  ισχύει − x ∈  και f (− x) = −f (x) . −f ( 0 ) ⇔ 2f ( 0 ) = 0 ⇔ f ( 0) = 0. Για x = 0 βρίσκουμε: f ( 0 ) = Έστω ότι η συνάρτηση f είναι συνεχής στο  . Θεωρούμε τη συνάρτηση g= ( x ) f ( x ) − 6 και εφαρμόζουμε το Θ. Bolzano στο [0,5] . • Η g είναι συνεχής στο [ 0,5] διότι η f είναι συνεχής στο  . • g ( 0 ) ⋅ g ( 5 ) =f ( 0 ) − 6  ⋅ f ( 5 ) − 6  =( 0 − 6 )( 7 − 6 ) =−6 < 0 . Άρα υπάρχει ένας τουλάχιστον x 0 ∈ ( 0,5 ) ώστε g ( x 0 ) = 0 ⇔ f ( x 0 ) − 6 = 0 ⇔ f ( x 0 ) = 6 που είναι άτοπο διότι η εξίσωση f ( x ) = 6 είναι αδύνατη. Άρα η συνάρτηση f δεν είναι συνεχής στο  . 10 Άσκηση 6. Έστω οι μιγαδικοί αριθμοί z, w τέτοιοι ώστε: z = 1 και w = 2. Έστω επίσης συνάρτηση f συνεχής στο  τέτοια ώστε: f 3 ( x ) + z + w ⋅ f 2 ( x ) + 5f ( x ) = x 2 + 2x − 1 για κάθε x ∈ . Να αποδείξετε ότι υπάρχει ένας τουλάχιστον x 0 ∈ ( 0,1) ώστε f ( x 0 ) = 0. Λύση Για κάθε x ∈  έχουμε: f (x) ⋅ f 2 ( x ) + z + w ⋅ f ( x ) + 5 = x 2 + 2x − 1 (1) 2 Η παράσταση f (x) + z + w ⋅ f (x) + 5 , αν θέσουμε f (x) = y , γίνεται το τριώνυμο y 2 + z + w ⋅ y + 5 που έχει διακρίνουσα ∆= z + w − 20 < 0 διότι ισχύει: 2 z + w ≤ z + w =1 + 2 =3 , οπότε: z + w ≤ 3 ⇔ z + w ≤ 9 ⇔ z + w − 20 ≤ −11 < 0 . 2 2 Άρα είναι f (x) + z + w ⋅ f (x) + 5 > 0 για κάθε x ∈  Τότε από την (1) έχουμε: f (x) = 2 (2) x 2 + 2x − 1 . f 2 (x) + z + w ⋅ f (x) + 5 Εφαρμόζουμε το Θ. Bolzano για την f στο [ 0,1] . • Η f είναι συνεχής στο [ 0,1] ως συνεχής στο  . • f ( 0 ) ⋅ f (1) = −1 2 ⋅ 2 < 0 λόγω της (2). f ( 0 ) + z + w ⋅ f ( 0 ) + 5 f (1) + z + w ⋅ f (1) + 5 2 Άρα υπάρχει ένας τουλάχιστον x 0 ∈ ( 0,1) ώστε f (x 0 ) = 0 . 11 Άσκηση 7. Έστω συνάρτηση f συνεχής στο [ 0,1] , τέτοια ώστε 0 ≤ f ( x ) ≤ 1 για κάθε x ∈ [ 0,1] . 2 Να αποδείξετε ότι υπάρχει ένας τουλάχιστον x 0 ∈ [ 0,1) ώστε f ( x 0 ) + x 0 e x0 = f ( x0 ). Λύση Θα αποδείξουμε ότι υπάρχει ένας τουλάχιστον x 0 ∈ [ 0,1) ώστε f 2 (x 0 ) − f (x 0 ) + x 0 e x 0 = 0. Θεωρούμε τη συνάρτηση g(x) = f 2 (x) − f (x) + xe x . Έχουμε: • Η g είναι συνεχής στο [ 0,1] διότι προκύπτει από πράξεις συνεχών στο [ 0,1] . • g ( 0 ) = f 2 ( 0 ) − f ( 0 ) = f ( 0 ) ⋅ f ( 0 ) − 1 ≤ 0 διότι 0 ≤ f ( 0 ) ≤ 1 όπως προκύπτει από την εκφώνηση. g (= 1) f 2 (1) − f (1) + e < 0 διότι αν θέσουμε f (x) = y , το τριώνυμο y 2 − y + e είναι πάντοτε θετικό αφού έχει διακρίνουσα ∆ = ( −1) − 4 ⋅1 ⋅ e = 1 − 4e < 0 . 2 Άρα ισχύει ότι: g ( 0 ) ⋅ g (1) ≤ 0 .  Αν g ( 0 ) ⋅ g (1) < 0 , τότε, σύμφωνα με το Θ. Βolzano, υπάρχει τουλάχιστον x 0 ∈ ( 0,1) ώστε g(x 0 ) = 0 . g (1) ≠ 0 0 ⇔ g ( 0) = 0 , τότε το x 0 = 0 είναι ρίζα της εξίσωσης g(x) = 0 .  Αν g ( 0 ) ⋅ g (1) = Άρα σε κάθε περίπτωση υπάρχει ένα τουλάχιστον x 0 ∈ [ 0,1) ώστε να ισχύει: g(x 0 ) = 0 ⇔ f 2 (x 0 ) − f (x 0 ) + x 0 e x 0 = 0 12 Άσκηση 8. Αν α1 , α 2 , , α100 ∈ [ 0,1] , να αποδείξετε ότι υπάρχει ένας τουλάχιστον ξ ∈ [ 0,1] ώστε: ξ − α1 + ξ − α 2 +  + ξ − α100 = 50. Λύση Θα αποδείξουμε ότι υπάρχει ένας τουλάχιστον ξ ∈ [ 0,1] ώστε: ξ − α1 + ξ − α 2 +  + ξ − α100 − 50 = 0. Θεωρούμε τη συνάρτηση f ( x )= x − α1 + x − α 2 +  + x − α100 − 50. Έχουμε: • Η f είναι συνεχής στο [ 0,1] ως άθροισμα απολύτων συνεχών συναρτήσεων • f ( 0 ) = −α1 + −α 2 +  + −α100 − 50 = ( α1 + α 2 +  + α100 ) − 50, διότι οι α1 , α 2 , , α100 είναι μη αρνητικοί. f (1) = 1 − α1 + 1 − α 2 +  + 1 − α100 − 50= (1 − α1 ) + (1 − α 2 ) +  + (1 − α100 ) − 50= 50 − ( α1 + α 2 +  + α100 ) , διότι 1 − α1 ≥ 0, 1 − α 2 ≥ 0, , 1 − α100 ≥ 0. Άρα: f ( 0 ) ⋅ f (1)= ( α1 + α 2 +  + α100 ) − 50  ⋅ 50 − ( α1 + α 2 +  + α100 ) = − ( α1 + α 2 +  + α100 ) − 50  ≤ 0. 2  Αν f ( 0 ) ⋅ f (1) < 0, τότε, σύμφωνα με το Θ. Βolzano, υπάρχει τουλάχιστον ξ ∈ ( 0,1) ώστε f ( ξ ) =0. 0, τότε f ( 0 ) = 0 ή f (1) = 0, οπότε το ξ =0 ή το ξ =1 είναι ρίζα της  Αν f ( 0 ) ⋅ f (1) = εξίσωσης f ( x ) = 0. Άρα σε κάθε περίπτωση υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ ∈ [ 0,1] ώστε να ισχύει: f ( ξ ) = 0 ⇔ ξ − α1 + ξ − α 2 +  + ξ − α100 − 50 = 0. 13 Άσκηση 9. α. Να αποδείξτε ότι η εξίσωση ρ1 , ρ2 ∈ ( −κ, κ ) . β. Αν 1 λ2 µ2 + + = 0 με κ ⋅ λ ⋅µ ≠ 0, έχει ακριβώς δύο ρίζες x x+κ x−κ 1 1 + = µ 2 − λ 2 , να βρείτε τον αριθμό κ. ρ1 ρ 2 Λύση α. Για κάθε x ≠ −κ, 0, κ έχουμε: 1 λ2 µ2 + + = 0 ⇔ ( x + κ )( x − κ ) + λ 2 x ( x − κ ) + µ 2 x ( x + κ )= 0 x x+κ x−κ Θεωρούμε τη συνάρτηση f ( x = ) ( x + κ )( x − κ ) + λ 2 x ( x − κ ) + µ 2 x ( x + κ ) Θ. Bolzano στα διαστήματα [ −κ, 0] και [ 0, κ ] . • και εφαρμόζουμε το Η f είναι συνεχής (αθροίσματα συνεχών γινομένων) σε καθένα από τα διαστήματα [ −κ, 0] και [0, κ]. • Έχουμε: f ( −κ ) = 2 κ 2 λ 2 > 0 αφού κ ⋅ λ ≠ 0. f ( 0 ) = −κ 2 < 0 αφού κ ≠ 0. f ( κ ) = 2 κ 2µ 2 > 0 αφού κ ⋅µ ≠ 0. Άρα: f ( −κ ) ⋅ f ( 0 ) = −2 κ 4 λ 2 < 0 και f ( 0 ) ⋅ f ( κ ) = −2 κ 4µ 2 < 0. Άρα, η εξίσωση f ( x ) = 0 έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο ρ1 ∈ ( −κ, 0 ) και μία τουλάχιστον ρίζα ρ2 ∈ ( 0, κ ) . Επειδή η συνάρτηση f ( x = ) ( x + κ )( x − κ ) + λ 2 x ( x − κ ) + µ 2 x ( x + κ ) ⇔ f ( x= ) x 2 − κ2 + λ 2 x 2 − κλ 2 x + µ 2 x 2 + κµ 2 x ⇔ f (x= ) (1 + λ 2 + µ 2 ) x 2 + ( κµ 2 − κλ 2 ) x − κ 2 είναι τριώνυμο δευτέρου βαθμού, δεν μπορεί να έχει περισσότερες από δύο ρίζες. Συνεπώς η εξίσωση f ( x ) = 0 έχει ρίζες μόνο τους αριθμούς ρ1 , ρ2 ∈ ( −κ, κ ) που είναι δεκτές. 14 β. Για τις ρίζες ρ1 , ρ2 του τριωνύμου f ( x = ) (1 + λ 2 + µ 2 ) x 2 + ( κµ 2 − κλ 2 ) x − κ 2 ισχύουν οι σχέσεις: κ ( λ2 − µ2 ) −κ 2 κµ 2 − κλ 2 και ρ ρ = ρ1 + ρ2 = − ⇔ ρ + ρ = 1 2 1 2 1 + λ2 + µ2 1 + λ2 + µ2 1 + λ2 + µ2 κ ( λ2 − µ2 ) Άρα: 1 1 ρ2 + ρ1 1 + λ 2 + µ 2 µ 2 − λ 2 += = = −κ 2 ρ1 ρ 2 ρ1 ⋅ρ2 κ 2 2 1+ λ + µ Τότε έχουμε: (µ 2 1 1 µ2 − λ2 + = µ2 − λ2 ⇔ = µ2 − λ 2 ⇔ µ2 − λ2 = κ (µ2 − λ 2 ) ⇔ ρ1 ρ 2 κ − λ 2 ) (1 − κ ) = 0 ⇔ (µ 2 = λ 2 ή κ= 1) ⇔ (µ = ±λ ή κ =1). Άρα: Αν µ = λ ή µ = −λ, τότε ο κ μπορεί να είναι οποιοσδήποτε μη μηδενικός πραγματικός αριθμός. Αν µ ≠ λ και µ ≠ −λ, τότε κ =1. 15 Άσκηση 10. Έστω συνάρτηση f ορισμένη και συνεχής στο R τέτοια ώστε: f ( x ) x 3 − ηµx + e x ≥ e x − συνx + 1 για κάθε x ∈ . ( ) Να βρείτε το πρόσημο της f (x) . Λύση Έστω ότι η f δεν διατηρεί σταθερό πρόσημο στο  . Τότε θα υπάρχουν x1 , x 2 ∈  με x1 < x 2 , ώστε f (x1 ) ⋅ f (x 2 ) ≤ 0 . Διακρίνουμε περιπτώσεις: • Αν f (x1 ) ⋅ f (x 2 ) < 0 , τότε και επειδή η f είναι συνεχής στο [ x1 , x 2 ] , ως συνεχής στο  , θα ισχύει το Θ. Βolzano για την f στο [ x1 , x 2 ] . Άρα θα υπάρχει ένας τουλάχιστον ξ ∈ ( x1 , x 2 ) ώστε f (ξ) = 0 . • Αν f (x1 ) ⋅ f (x 2 ) = 0 , τότε f (x1 ) = 0 ή f (x 2 ) = 0 , άρα ξ = x1 ή ξ = x 2 Σε κάθε περίπτωση λοιπόν θα υπάρχει ένας τουλάχιστον ξ ∈  , ώστε f (ξ) = 0 . ( ) Τότε από τη σχέση f ( x ) x 3 − ηµx + e x ≥ e x − συνx + 1 για x = ξ προκύπτει ότι 0 ≥ eξ − συνξ + 1 που είναι άτοπο αφού για κάθε ξ ∈  είναι: eξ > 0 και συνξ ≤ 1 ⇔ −συνξ ≥ −1 ⇔ −συνξ + 1 ≥ 0 , οπότε είναι eξ − συνξ + 1 > 0 . Άρα η συνάρτηση f διατηρεί σταθερό πρόσημο στο  . Για x = 0 από δοθείσα σχέση βρίσκουμε: f ( 0 ) ⋅1 ≥ 1 − 1 + 1 ⇔ f ( 0 ) ≥ 1 . Επειδή f ( 0 ) θετικό και η f διατηρεί σταθερό πρόσημο στο  , είναι f (x) > 0 για κάθε x∈ . 16 Άσκηση 11. Δίνεται η συνεχής συνάρτηση f : [ 0, 2] ∪ [3, 4] →  με f (0) = 2, f (2) = −2, f (3) = −1, f (4) = 7. Αν η f είναι γνησίως μονότονη σε καθένα από τα διαστήματα του πεδίου ορισμού της, τότε: α) Να βρείτε το σύνολο τιμών της f. β) Να βρείτε το πλήθος των ριζών της εξίσωσης f (x) = 0 . Λύση α) Στο διάστημα [ 0, 2] η f είναι γνησίως φθίνουσα διότι είναι γνησίως μονότονη και για 0 < 2 ⇒ f (0) > f (2) . Επίσης είναι συνεχής άρα το σύνολο τιμών της στο [ 0, 2] είναι το διάστημα Δ1 = [f (2), f (0)] = [ −2, 2] . Στο διάστημα [3, 4] η f είναι γνησίως αύξουσα διότι είναι γνησίως μονότονη και για 3 < 4 ⇒ f (3) < f (4) . Επίσης είναι συνεχής άρα το σύνολο τιμών της στο [3, 4] είναι το διάστημα Δ 2 = [f (3), f (4)] = [ −1, 7] . Δ1 ∪ Δ 2 = Τελικά το σύνολο τιμών της f είναι το Δ = [ −2, 7] . β) Η εξίσωση f (x) = 0 έχει μοναδική ρίζα στο διάστημα ( 0, 2 ) , αφού η f είναι γνησίως φθίνουσα και το μηδέν ανήκει στο Δ1 (Προφανώς ρίζες της εξίσωσης δεν είναι οι αριθμοί 0 και 2). Η εξίσωση f (x) = 0 έχει μοναδική ρίζα στο διάστημα ( 3, 4 ) , αφού η f είναι γνησίως αύξουσα και το μηδέν ανήκει στο Δ 2 (Προφανώς ρίζες της εξίσωσης δεν είναι οι αριθμοί 3 και 4). Άρα η εξίσωση έχει ακριβώς δύο ρίζες άνισες. 17 Άσκηση 12. Δίνεται η συνάρτηση f (x)= 1 − x + 2, x ∈ ( 0,1) . ln x α) Να βρείτε το σύνολο τιμών της f. 1 είναι αδύνατη, στο ( 0,1) . β) Να δείξετε ότι η εξίσωση ( x + 1) ln x = Λύση α)Η f είναι συνεχής ως διαφορά συνεχών συναρτήσεων. Η f είναι γνησίως φθίνουσα διότι: για οποιαδήποτε x1 , x 2 ∈ ( 0,1) , με x1 < x 2 ⇒ ln x1 < ln x 2 ⇒ 1 1 και − x1 > − x 2 ⇒ − x1 + 2 > − x 2 + 2 . > ln x1 ln x 2 Με πρόσθεση κατά μέλη έχουμε 1 1 − x1 + 2 > − x2 + 2 ⇒ f ( x1 ) > f ( x2 ) . ln x1 ln x2  1  lim+ f ( x) = lim+  − x + 2 = 0 − 0 + 2 = 2 . x →0 x → 0  ln x   1  lim− f ( x) = lim−  − x + 2  = −∞ γιατί x →1 x →1  ln x  1 ) = −∞ (Αφού lim− ln x = 0 και x < 1 ⇔ ln x < 0 ) − x + 2) = lim( 1 και lim( − − x →1 ln x x →1 x →1 ( ) Το σύνολο τιμών της f είναι το lim− f ( x), lim+ f ( x) = x →1 x →0 Αν x ∈ ( 0,1) έχουμε ( x + 1) ln x = 1 ⇔ x + 1 = ( −∞, 2 ) . 1 1 ⇔ − x + 2 = 3 ⇔ f (x) = 3 . ln x ln x Όμως ο αριθμός 3 δεν ανήκει στο σύνολο τιμών της f άρα η εξίσωση f (x) = 3 είναι αδύνατη 1. στο ( 0,1) . Το ίδιο θα ισχύει και για την ισοδύναμή της εξίσωση ( x + 1) ln x = 18 Άσκηση 13. Δίνεται η συνάρτηση f: ( 0, +∞ ) →  με f (x) = ln x + e x − 2 . α) Να βρεθεί το σύνολο τιμών της f. e x e 2 ( α − ln x ) , έχει μοναδική ρίζα για κάθε α ∈  . β) Να δείξετε ότι η εξίσωση= γ) Να λυθεί η εξίσωση e ln x + e x −1 = 1. Λύση α) Η συνάρτηση f είναι συνεχής ως άθροισμα συνεχών συναρτήσεων. Επίσης είναι γνησίως αύξουσα διότι: x1 < x 2 ⇒ ln x1 < ln x 2 (1) και x1 − 2 < x 2 − 2 ⇒ e x1 − 2 < e x 2 − 2 (2). Προσθέτοντας κατά μέλη τις (1) και (2) προκύπτει ln x1 + e x1 − 2 < ln x 2 + e x 2 − 2 ⇒ f (x1 ) < f (x 2 ) . lim+ f (x) = lim+ ( ln x + e x − 2 ) = −∞ γιατί lim+ ln x = −∞ και lim+ e x − 2 = x →0 x →0 x →0 x →0 ( ) 1 e2 και lim f (x) = lim ln x + e x − 2 = +∞ γιατί lim f ( x) = lim ln x = +∞ και lim e x − 2 = +∞ x →+∞ x →+∞ x →+∞ ( ) Το σύνολο τιμών της f είναι το lim+ f (x), lim f (x) = x →0 x →+∞ x →+∞ x →+∞ ( −∞, +∞ ) = . ex =α − ln x ⇔ ln x + e x − 2 =α ⇔ f (x) =α . Επειδή το α ανήκει στο e2 σύνολο τιμών της f, το  , υπάρχει ένα τουλάχιστον x 0 ∈ ( 0, +∞ ) ώστε f(x 0 ) = 0 . Το x 0 είναι μοναδικό αφού η f είναι γνησίως αύξουσα. Άρα η εξίσωση f (x) = α έχει μοναδική ρίζα και το β) e x =e 2 ( α − ln x ) ⇔ e x e 2 ( α − ln x ) . ίδιο ισχύει και για την ισοδύναμή της, αρχική εξίσωση= γ) Η εξίσωση έχει προφανή ρίζα το x 0 = 1 αφού ισχύει e ln1 + e1−1 = 1 ⇔ 1 = 1 . Επίσης αυτή γράφεται e ln x + e x −1 =1 ⇔ e ln x + ex =1 ⇔ e 2 ln x + e x =e ⇔ e x =e − e 2 ln x ⇔ e 1  ⇔ e x= e 2  − ln x  . (3) e  Σύμφωνα με το προηγούμενο ερώτημα, για α = αρχική εξίσωση έχει μοναδική ρίζα το x 0 = 1 . 1 , η εξίσωση (3) έχει μοναδική ρίζα. Έτσι, η e 19 Άσκηση 14. Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο [ α,β ] και f (α) < f (β) , να δείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον x o ∈ (α,β) ώστε f(x 0 ) = f (α) + 2f (β) . 3 Λύση Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο [ α,β ] και ισχύει f (α) ≠ f (β) . Επίσης για τον αριθμό η = f (α) < f (α) + 2f (β) f (α) + 2f (β) ισχύει ότι f (α) < < f (β) διότι 3 3 f (α) + 2f (β) ⇔ 3f (α) < f (α) + 2f (β) ⇔ f (α) < f (β) που ισχύει και 3 f (α) + 2f (β) < f (β) ⇔ f (α) + 2f (β) < 3f (β) ⇔ f (α) < f (β) που ισχύει. 3 Έτσι, σύμφωνα με το θεώρημα ενδιάμεσων τιμών υπάρχει ένα τουλάχιστον x 0 ∈ ( α,β ) ώστε f(x 0 ) = f (α) + 2f (β) . 3 20 Άσκηση 15. Να βρεθούν οι συνεχείς συναρτήσεις f :  →  για τις οποίες ισχύει f 4 (x) − f 3 (x) + 2f 2 (x) − 4f (x) − 8 = 0 για κάθε x ∈  . Λύση Για κάθε x ∈ R είναι: f 4 (x) − f 3(x) + 2f 2 (x) − 4f (x) − 8 = 0 ⇔ ( f (x) +1)( f (x) − 2 ) ( f 2 (x) + 4 ) = 0, άρα για x 0 ∈  ισχύει ( f (x ο ) +1)( f (x ο ) − 2 ) ( f 2 (x ο ) + 4 ) = 0 , οπότε ή f (x ο ) = −1 ή f (x ο ) = 2 , (επειδή μια συνάρτηση σε ένα x ο δεν μπορεί να πάρει δύο διαφορετικές τιμές). Οι τιμές λοιπόν που μπορεί να πάρει η συνάρτηση f στο x ο είναι ή το −1 ή το 2 . Θα αποδείξουμε τώρα ότι για κάθε x ∈ R ισχύει: ή f (x) = −1 ή f (x) = 2 , δηλαδή η f είναι σταθερή συνάρτηση. Έστω ότι η f δεν είναι σταθερή συνάρτηση τότε θα υπάρχουν x 1 , x 2 ∈ R με x 1 ≠ x 2 (χωρίς βλάβη της γενικότητας μπορούμε να υποθέσουμε ότι x 1 < x 2 ) τέτοια , ώστε f (x 1 ) = −1 και f (x 2 ) = 2 . Για τη συνάρτηση f έχουμε ότι είναι συνεχής στο  x 1 , x 2  και = −1 f (x1 ) ≠ f (x= 2 , άρα 2)   ισχύει το Θεώρημα Ενδιαμέσων Τιμών, οπότε η f θα παίρνει όλες τις τιμές μεταξύ των f (x 1 ) = −1 και f (x 2 ) = 2 , οπότε θα υπάρχει ένα τουλάχιστον x ο ∈ ( x1 , x 2 ) τέτοιο, ώστε f (x ο ) = 0 που είναι άτοπο, γιατί ( 0 + 1)( 0 − 2 )( 0 + 4 ) = − 8 ≠ 0 Επομένως: ή f (x) = −1 για κάθε x ∈ R ή f (x) = 2 για κάθε x ∈ R 21 Άσκηση 16. Δίνεται η συνάρτηση f συνεχής στο διάστημα [1,3] . Να αποδείξετε ότι υπάρχει ξ ∈ [ α,β ] , ώστε f (ξ) = f (1) + 3f (2) + 5f (3) . 9 Λύση • Αν η συνάρτηση f είναι σταθερή τότε f = (x) c, c ∈  . Άρα f= (1) f = (2) f= (3) c και f (1) + 3f (2) + 5f (3) c + 3c + 5c ⇔= f (ξ) ⇔= f (ξ) c . Άρα ως ξ μπορούμε να 9 9 επιλέξουμε οποιοδήποτε σημείο του [1,3] . = f (ξ) • Αν η συνάρτηση f δεν είναι σταθερή τότε αφού είναι συνεχής στο κλειστό διάστημα [1,3] , ισχύει το θεώρημα μέγιστης και ελάχιστης τιμής. Δηλαδή, η συνάρτηση θα έχει μια ελάχιστη τιμή m και μια μέγιστη τιμή Μ. Οπότε: m ≤ f (1) ≤ M (1) m ≤ f (2) ≤ M ⇒ 3m ≤ 3f (2) ≤ 3M (2) (3) m ≤ f (3) ≤ M ⇒ 5m ≤ 5f (3) ≤ 5M Προσθέτουμε κατά μέλη τις (1), (2) και (3) και προκύπτει: 9m ≤ f (1) + 3f (2) + 5f (3) ≤ 9M ⇒ m ≤ f (1) + 3f (2) + 5f (3) ≤ M . Δηλαδή ο αριθμός 9 f (1) + 3f (2) + 5f (3) ανήκει στο σύνολο τιμών της f , άρα υπάρχει ξ ∈ [1,3] ώστε 9 f (ξ) = f (1) + 3f (2) + 5f (3) . 9 22 ΘΕΜΑ Δ Άσκηση 1. Αν μία συνάρτηση f είναι συνεχής και 1-1 σε ένα διάστημα Δ τότε είναι και γνησίως μονότονη στο Δ. Λύση ΑΠΟΔΕΙΞΗ : Έστω α, β ∈ ∆ με α ≠ β . Αφού η f είναι 1-1 ισχύει ότι f (α) ≠ f (β) . Ας υποθέσουμε ότι α < β και f (α) < f (β) . Θα δείξουμε ότι για κάθε κ ∈ (α, β) ισχύει f (α) < f ( κ) < f (β) . Θα εργασθούμε με την εις άτοπο απαγωγή. Έστω δηλαδή f (α) > f ( κ) . Επειδή η f στο διάστημα [ κ, β] είναι συνεχής , έχουμε σαν αποτέλεσμα να παίρνει όλες τις τιμές μεταξύ του f ( κ) και του f (β) . Άρα αφού f ( κ) < f (α) < f (β) , υπάρχει ξ1 ∈ ( κ, β) έτσι ώστε f (ξ1 ) = f (α) που είναι άτοπο διότι η f είναι 1-1. Ας υποθέσουμε τώρα ότι f ( κ) > f (β) . Επειδή η f στο διάστημα [α, κ] είναι συνεχής, έχουμε σαν αποτέλεσμα να παίρνει όλες τις τιμές μεταξύ του f (α) και του f ( κ) . Άρα αφού f (α) < f (β) < f ( κ) υπάρχει ξ 2 ∈ (α, κ) έτσι ώστε f (ξ 2 ) = f (β) που είναι άτοπο διότι η f είναι 1-1. Επίσης ισχύει ότι f (α) ≠ f ( κ) ≠ f (β) διότι η f είναι 1-1. Άρα ισχύει ότι f (α) < f ( κ) < f (β) για κάθε κ ∈ (α, β) δηλαδή η f είναι γνησίως αύξουσα στο τυχαίο [α, β] ⊆ ∆ . Με αντίστοιχο τρόπο αποδεικνύεται ότι η f είναι γνησίως φθίνουσα στο Δ. 23 Άσκηση 2. Δίνεται συνάρτηση g ορισμένη και συνεχής στο [α, β] . Αν x1 , x 2 , x 3 ∈ [α, β] να αποδείξετε ότι υπάρχει x 0 ∈ [α, β] έτσι ώστε να ισχύει: g(x 0 ) = α1g(x1 ) + α 2 g(x 2 ) + α3g(x 3 ) όπου α1 , α 2 , α 3 > 0 α1 + α 2 + α3 Λύση Αφού η συνάρτηση g είναι συνεχής στο [α, β] , τότε έχει μέγιστο Μ και ελάχιστο m. Άρα • m ≤ g(x) ≤ M για κάθε x ∈ [α, β] . Αν m = Μ δηλαδή η συνάρτηση g είναι σταθερή τότε μπορούμε να επιλέξουμε ένα τυχαίο x 0 ∈ [ α, β] για το οποίο θα ισχύει α1g(x1 ) + α 2 g(x 2 ) + α3g(x 3 ) (α1 + α 2 + α3 )g(x 0 ) = = g(x 0 ) . α1 + α 2 + α3 (α1 + α 2 + α3 ) • Αν m < Μ τότε έχουμε m ≤ g(x1 ) ≤ M ⇔ α1m ≤ α1g(x1 ) ≤ α1M m ≤ g(x 2 ) ≤ M ⇔ α 2 m ≤ α 2 g(x 2 ) ≤ α 2 M m ≤ g(x 3 ) ≤ M ⇔ α3 m ≤ α3g(x 3 ) ≤ α3 M Αν προσθέσουμε κατά μέλη λαμβάνουμε: (α1 + α 2 + α3 )m ≤ α1g(x1 ) + α 2 g(x 2 ) + α3g(x 3 ) ≤ (α1 + α 2 + α3 )M ή α g(x ) + α 2 g(x 2 ) + α3g(x 3 ) m≤ 1 1 ≤ M. α1 + α 2 + α3 Συνεπώς σύμφωνα με το θεώρημα ενδιαμέσων τιμών υπάρχει x 0 ∈ ( α, β ) ώστε g(x 0 ) = α1g(x1 ) + α 2 g(x 2 ) + α3g(x 3 ) . α1 + α 2 + α3 Άρα τελικά υπάρχει x 0 ∈ [ α, β] τέτοιο ώστε g(x 0 ) = α1g(x1 ) + α 2 g(x 2 ) + α3g(x 3 ) . α1 + α 2 + α3 24 Άσκηση 3. Δίνονται οι πραγματικοί αριθμοί α, β, γ τέτοιοι ώστε: α ≠ 0 και αγ − βγ + γ 2 < 0. Να αποδείξετε ότι β2 > 4αγ . Λύση Θεωρούμε τη συνάρτηση f (x) = αx 2 + β x + γ και εφαρμόζουμε το Θ. Bolzano στο [ −1, 0] . • Η f είναι συνεχής στο [ −1, 0] ως πολυωνυμική. • f ( −1) ⋅ f ( 0 ) = ( α − β + γ ) ⋅ γ = αγ − βγ + γ 2 < 0 2 Άρα η εξίσωση f ( x )= 0 ⇔ αx + β x + γ= 0 έχει μια τουλάχιστον πραγματική λύση (στο διάστημα ( −1, 0 ) ) Άρα το τριώνυμο αx 2 + β x + γ έχει μη αρνητική διακρίνουσα. Δηλαδή ισχύει: β2 − 4αγ ≥ 0 ⇔ β2 ≥ 4αγ . Αρκεί τώρα να δείξουμε ότι β2 ≠ 4αγ . β2 , αφού α ≠ 0 . Αν υποθέσουμε ότι β = 4αγ , τότε γ = 4α 2 Αντικαθιστώντας το γ στη δοθείσα ανισοτική σχέση έχουμε: 2 β2 β2  β2  αβ2 β3 β4 4α 2β2 − 4αβ3 + β4 α −β + < ⇔ − + < ⇔ <0⇔ 0 0  4α 4α  4α  4α 4α 16α 2 16α 2 ( β2 4α 2 − 4αβ + β2 16α 2 ) < 0 ⇔ β2 ( 2α −β )2 < 0 , που είναι άτοπο. 16α 2 Επομένως είναι β2 > 4αγ . 25 Άσκηση 4. Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί z, w και η συνάρτηση f (x) = w ⋅ x 3 − z ⋅ x 2 + w − z . Να αποδείξετε υπάρχει x 0 ∈ [ −1,1] ώστε f (x 0 ) = 0 . Λύση • Η f είναι συνεχής στο [ −1,1] ως πολυωνυμική. • f ( −1) = − w − z + w − z ≤ 0 διότι: w − z = w + ( −z ) ≤ w + −z ≤ w + z . f (1) = w − z + w − z ≥ 0 διότι: w − z = w + ( −z ) ≥ w − −z = w − z ≥ − ( w − z ) = − w + z . Άρα έχουμε ότι: f ( −1) ⋅ f (1) ≤ 0.  Αν f ( −1) ⋅ f (1) < 0, τότε, σύμφωνα με το Θ. Bolzano, υπάρχει τουλάχιστον x 0 ∈ ( −1,1) ώστε f ( x 0 ) = 0. 0 ή f (1) = 0, οπότε το x 0 = −1 ή το x 0 = 1 είναι ρίζα 0 , τότε f ( −1) =  Αν f ( −1) ⋅ f (1) = της εξίσωσης f ( x ) = 0. Άρα σε κάθε περίπτωση υπάρχει ένα τουλάχιστον x 0 ∈ [ −1,1] ώστε να ισχύει: f ( x 0 ) = 0. 26 Άσκηση 5. (   ) Να αποδείξτε ότι η εξίσωση ln ηµ 2 x + e x = 0 έχει μία τουλάχιστον ρίζα x 0 ∈  0, π . 2 Λύση ( ) Θεωρούμε τη συνάρτηση f ( x= ) ln ηµ 2 x + e x και θα αποδείξουμε ότι υπάρχει ένας   π 2 τουλάχιστον x 0 ∈  0,  ώστε f (x 0 ) = 0 . Είναι: • lim f (x) = lim+ ln ( ηµ 2 x ) + e x  = −∞ , γιατί lim+ ( e x= ) e=0 1 και αν θέσουμε x →0 x →0 x → 0+ ηµ 2 x = u , τότε όταν το x → 0+ το u → 0+ , οπότε έχουμε: lim+ ln(ηµ 2 x)  = lim+ (ln u) = −∞ . x →0 u →0 Επειδή lim+ f (x) = −∞ , είναι f (x)<0 κοντά στο μηδέν από μεγαλύτερες τιμές. x →0   Άρα υπάρχει ένας τουλάχιστον x1 ∈  0 , π π  ώστε f (x1 )<0 . 2 π π f   =ln1 + e 2 =0 + e 2 > 0. 2   π Επομένως ισχύει το θεώρημα Bolzano για την f στο  x1 ,  διότι: 2    π • η f είναι συνεχής στο  x1 ,  ως πράξεις συνεχών συναρτήσεων. 2 • π f (x1 ) ⋅ f   < 0 . 2    Άρα υπάρχει ένας τουλάχιστον x 0 ∈  x1 , π  π  ⊆  0 ,  , ώστε f (x 0 ) =0 . 2  2 27 Άσκηση 6. f (x) f (x) = 0 και lim = −1 . x →−∞ x x →+∞ x Έστω συνάρτηση f συνεχής στο  τέτοια ώστε: lim Να αποδείξετε ότι οποιαδήποτε ευθεία παράλληλη στη διχοτόμο της πρώτης γωνίας των αξόνων τέμνει τη γραφική παράσταση της f σε ένα τουλάχιστον σημείο. Λύση Οι ευθείες που είναι παράλληλες στη διχοτόμο της πρώτης γωνίας των αξόνων έχουν εξίσωση της μορφής y= x + α με α ∈  . Θα αποδείξουμε ότι η εξίσωση f (x)= x + α έχει μία τουλάχιστον πραγματική ρίζα. Θεωρούμε τη συνάρτηση g(x) = f (x) − x − α, x ∈  και θα αποδείξουμε ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα x 0 ∈  ώστε g(x 0 ) = 0 . Έχουμε:   f (x) α  lim g(x) = lim [ f (x) − x − α ] = lim  x  − 1 −   = +∞ , γιατί x →−∞ x →−∞ x →−∞ x    x α  f (x) − 1 −  = 0 − 1 − 0 = 1 και lim x = −∞ . lim  x →−∞ x →−∞ x  x Άρα υπάρχει κ < 0 ώστε: g( κ) > 0 .   f (x) α  lim g(x) = lim [ f (x) − x − α ] = lim  x  − 1 −   = −∞ , γιατί x →+∞ x →+∞ x →+∞ x    x α  f (x) − 1 −  =−1 − 1 − 0 =−2 και lim x = +∞ . lim  x →+∞ x →+∞ x  x Άρα υπάρχει λ > 0 ώστε: g(λ ) < 0 . Από τα παραπάνω προκύπτει ότι ισχύει το θεώρημα Bolzano για την g στο [ κ, λ ] διότι: • η g είναι συνεχής στο [ κ, λ ] αφού η f είναι συνεχής στο  . • g( κ) ⋅ g(λ) < 0 . Άρα υπάρχει ένας τουλάχιστον x 0 ∈ ( κ, λ ) ώστε g(x 0 ) = 0 . 28 Άσκηση 7.  α x − 2α, x≥0 όπου α > 0. Δίνεται η συνάρτηση f ( x ) =  ln ( x + 1) − ηµ3x, − 1 < x < 0 α. Να βρείτε την τιμή του α ώστε η συνάρτηση f να είναι συνεχής. β. Για την τιμή του α του προηγούμενου ερωτήματος να αποδείξετε ότι η εξίσωση α x += 2 ln ( x + 1) έχει μία ακριβώς θετική ρίζα. Λύση α. Αν x > 0, η f είναι συνεχής ως διαφορά της εκθετικής y = α x με τον αριθμό 2α. Αν −1 < x < 0, η f είναι συνεχής αφού οι συναρτήσεις ln ( x + 1) και ηµ3x είναι συνθέσεις συνεχών. Αν x = 0, έχουμε: lim f ( x ) = lim+ ( α x − 2α ) = 1 − 2α. x → 0+ x →0 lim f ( x )= lim− ln ( x + 1) − ηµ3x = 0 − 0= 0. x →0 x → 0− f ( 0 ) =α 0 − 2α =1 − 2α. 1 . 2 Για να είναι η f συνεχής αρκεί 2α − 1= 0 ⇔ α = x 1 1 β. Για α = έχουμε: α x + 2= ln ( x + 1) ⇔   + 2 − ln ( x + 1= ) 0. 2 2 x 1 2 μοναδικός x 0 ∈ ( 0, +∞ ) ώστε g ( x 0 ) = 0. Θεωρούμε τη συνάρτηση g ( x= )   + 2 − ln ( x + 1) και θα αποδείξουμε ότι υπάρχει Είναι: • g ( 0 ) =1 + 2 − 0 = 3 > 0. •  1  x  lim g(x) = lim   + 2 − ln ( x + 1)  = −∞ x →+∞ x →+∞  2    1  x  γιατί lim   + 2  = 0 + 2 = 2 και lim [ ln(x + 1) ] = + ∞ x →+∞ x →+∞  2   Επομένως είναι g ( x ) < 0 στην περιοχή του +∞. Άρα υπάρχει κ > 0 ώστε: g ( κ ) < 0. 29 Επομένως ισχύει το θεώρημα Bolzano για την g στο [ 0, κ ] διότι: • η g είναι συνεχής στο [ 0, κ ] αφού προκύπτει από πράξεις συνεχών συναρτήσεων. • g ( 0) ⋅ g ( κ) < 0 Άρα υπάρχει ένας τουλάχιστον x 0 ∈ ( 0, κ ) ⊂ ( 0, +∞ ) ώστε g ( κ ) =0. Για να αποδείξουμε ότι η ρίζα x 0 είναι μοναδική, αρκεί να αποδείξουμε ότι η συνάρτηση g είναι γνησίως μονότονη στο ( 0, +∞ ) . Για κάθε x1 , x 2 ∈ ( 0, +∞ ) με x1 < x 2 έχουμε: 1 2 x  Η συνάρτηση y =   είναι γνησίως φθίνουσα στο ( 0, +∞ ) οπότε: x x x x 1 2 1 2 1 1 1 1 x1 < x 2 ⇔   >   ⇔   + 2 >   + 2 2 2 2 2 (1)  Η συνάρτηση y = ln x είναι γνησίως αύξουσα στο ( 0, +∞ ) οπότε: x1 < x 2 ⇔ x1 + 1 < x 2 + 1 ⇔ ln ( x1 + 1) < ln ( x 2 + 1) ⇔ − ln ( x1 + 1) > − ln ( x 2 + 1) ( 2) Αν προσθέσουμε τις (1) και (2) προκύπτει ότι για κάθε x1 , x 2 ∈ ( 0, +∞ ) με x1 < x 2 θα έχουμε: x x 1 2 1 1 x1 < x 2 ⇔   + 2 − ln ( x1 + 1) >   + 2 − ln ( x 2 + 1) ⇔ g ( x1 ) > g ( x 2 ) 2 2 Άρα η συνάρτηση g είναι γνησίως φθίνουσα στο ( 0, +∞ ) , οπότε η ρίζα x 0 είναι μοναδική. 30 Άσκηση 8. Έστω συνάρτηση f : [ −2, 4] → , η οποία είναι συνεχής στο [ −2, 4] με f ( −2 ) = f ( 4). α. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης g(x)= f ( x − 1) − f ( x + 1) και να αποδείξετε ότι αυτή είναι συνεχής. β. Να αποδείξετε ότι: g(−1) + g(1) + g(3) = 0. γ. Να αποδείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ ∈ [ −1,3] ώστε: f ( ξ − 1)= f ( ξ + 1) . Λύση α. Η συνάρτηση f ( x − 1) , ως σύνθεση των f ( x ) με Df = [ −2, 4] και της h ( x )= x − 1 με x∈R  D h = R, ορίζεται όταν:  ⇔ −1 ≤ x ≤ 5 ⇔ x ∈ [ −1,5] . −2 ≤ x − 1 ≤ 4 Η συνάρτηση f ( x + 1) , ως σύνθεση των f ( x ) με Df = [ −2, 4] και της ϕ ( x ) =x + 1 με x∈R  Dϕ = R, ορίζεται όταν:  ⇔ −3 ≤ x ≤ 3 ⇔ x ∈ [ −3,3] . −2 ≤ x + 1 ≤ 4 Άρα το πεδίο ορισμού της g είναι: D g = [ −1,5] ∩ [ −3,3] = [ −1,3] . Προφανώς η g είναι συνεχής στο D g αφού προκύπτει από σύνθεση και διαφορά συνεχών συναρτήσεων. β. Θέτοντας στην g ( x )= f ( x − 1) − f ( x + 1) διαδοχικά x = −1, x = 1 και x = 3, προκύπτουν οι σχέσεις: g ( −1) = f ( −2 ) − f ( 0 ) , g= (1) f ( 0 ) − f ( 2 ) και g= ( 3) f ( 2 ) − f ( 4 ) . Προσθέτοντας κατά μέλη τις παραπάνω σχέσεις, έχουμε: g ( −1) + g (1) + g ( 3) = f ( −2 ) − f (4) = 0. (1) γ. Διακρίνουμε τις εξής περιπτώσεις:  Η (1) να αληθεύει όταν: g ( −1= ) g (1=) g ( 3=) 0. Τότε οι αριθμοί −1, 1, 3 είναι λύσεις της εξίσωσης g ( x ) = 0 .  Η (1) να αληθεύει όταν δεν είναι και οι τρεις προσθετέοι του πρώτου μέλους μηδέν. Τότε οι δύο από αυτούς είναι ετερόσημοι. Έστω g ( −1) ⋅ g (1) < 0. 31 Τότε ισχύει στο [ −1,1] το Θ. Bolzano για την g, αφού ήδη η g είναι συνεχής στο [ −1,1] ως συνεχής στο [ −1,3] . Άρα υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ ∈ ( −1,1) ⊂ ( −1,3) τέτοιο ώστε: g ( ξ ) =0. Όμοια, αν g ( −1) ⋅ g ( 3) < 0 ή g (1) ⋅ g ( 3) < 0, η εξίσωση g ( x ) = 0 έχει μία τουλάχιστον λύση στο ( −1,3) ή στο (1,3) ⊂ ( −1,3) αντίστοιχα. Τελικά σε κάθε περίπτωση υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ ∈ [ −1,3] τέτοιο ώστε: g ( ξ )= 0 ⇔ f ( ξ − 1)= f ( ξ + 1) . 32 Άσκηση 9. Έστω συνάρτηση f συνεχής στο R και τέτοια ώστε: f 2 (x) + 2f (x) ⋅ συν= x x 2 + ηµ 2 x για κάθε x ∈  και f ( 0 ) = −2. α. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση g(x) = f (x) + συνx διατηρεί σταθερό πρόσημο για κάθε x ∈ . β. Να βρείτε τη συνάρτηση f. Λύση α. Έστω ότι η συνεχής (ως άθροισμα συνεχών) συνάρτηση g δεν διατηρεί σταθερό πρόσημο στο  . Τότε θα υπάρχουν x1 , x 2 ∈  με x1 < x 2 , ώστε g(x1 ) ⋅ g(x 2 ) ≤ 0 . Διακρίνουμε περιπτώσεις: • Αν g(x1 ) ⋅ g(x 2 ) < 0 , τότε εφαρμόζοντας για τη συνάρτηση g το Θ. Βolzano στο [ x1 , x 2 ] συμπεραίνουμε ότι θα υπάρχει ένας τουλάχιστον ξ ∈ ( x1 , x 2 ) ώστε g(ξ) = 0 . • Αν g(x1 ) ⋅ g(x 2 ) = 0 , τότε g(x1 ) = 0 ή g(x 2 ) = 0 , άρα ξ = x1 ή ξ = x 2 . Σε κάθε περίπτωση λοιπόν θα υπάρχει ένας τουλάχιστον ξ ∈  ώστε g(ξ) = 0 ⇔ f (ξ) = − συνξ .Όμως τότε από τη δοθείσα σχέση για x = ξ έχουμε: f 2 (ξ) + 2f (ξ) ⋅ συνξ = ξ 2 + ηµ 2 ξ ⇔ (−συνξ) 2 + 2(−συνξ) ⋅ συνξ = ξ 2 + ηµ 2 ξ ⇔ −συν 2 ξ = ξ2 + ηµ 2 ξ ⇔ −συν 2 ξ − ηµ 2 ξ = ξ2 ⇔ −1 = ξ2 , που είναι άτοπο Συνεπώς η συνάρτηση g διατηρεί σταθερό πρόσημο στο  . Όμως g ( 0 ) = f ( 0 ) + συν0 = −2 + 1 = −1 < 0. Άρα g ( x ) < 0 για κάθε x ∈  . β. Για κάθε x ∈  έχουμε: f 2 ( x ) + 2f ( x ) ⋅ συν= x x 2 + ηµ 2 x ⇔ f 2 ( x ) + 2f ( x ) ⋅ συν= x x 2 + 1 − συν 2 x ⇔ f 2 ( x ) + 2f ( x ) ⋅ συνx + συν 2= x x 2 + 1 ⇔ [f (x) + συν= x]2 ( x 2 + 1) 2 ⇔ g 2 (x) − ( x 2 + 1) 2 = 0 ⇔ [g(x) − x 2 + 1] ⋅ [g(x) + x 2 + 1] = 0 . (1) Επειδή g(x) < 0 για κάθε x ∈  , έχουμε: g(x) − x 2 + 1 < 0 για κάθε x ∈  . Επομένως από την (1) βρίσκουμε: g(x) + x 2 + 1 =0 ⇔ g(x) =− x 2 + 1 ⇔ f (x) + συνx = − x 2 + 1 ⇔ f (x) = −συνx − x 2 + 1 , x ∈  . 33 Άσκηση 10. Δίνεται η συνεχής συνάρτηση f για την οποία ισχύει f 2 (x) + f (x) = x 2 + x + 2, για κάθε x ∈  (1) και f (0) = 1 . Να δείξετε ότι: α) Η εξίσωση f (x) = 0 είναι αδύνατη. β) f (x) > 0, για κάθε x ∈  . 1 + 17 τέμνει τη γραφική παράσταση της f σε ένα τουλάχιστον σημείο με 4 τετμημένη x 0 ∈ ( 0,1) . γ) Η ευθεία y = Λύση α) Υποθέτουμε ότι η εξίσωση f (x) = 0 έχει ρίζα τον αριθμό ρ ∈  . Τότε ισχύει f (ρ) = 0 και η (1) γίνεται f 2 (ρ) + f (ρ) = ρ 2 + ρ + 2 ⇔ ρ 2 + ρ + 2 = 0 αδύνατη αφού έχει Δ < 0 . Άρα η εξίσωση f (x) = 0 είναι αδύνατη. β) Επειδή η f είναι συνεχής και f (x) ≠ 0 , για κάθε x ∈  , η συνάρτηση f θα διατηρεί σταθερό πρόσημο στο  . Επιπλέον είναι f (0)= 1 > 0 . Άρα f (x) > 0, για κάθε x ∈  . 1 + 17 . 4 Στην (1), για x = 1 , έχουμε f 2 (1) + f (1) − 4 = 0 . Λύνουμε την εξίσωση με άγνωστο το f (1) και γ) Αρκεί να δείξουμε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον x 0 ∈ ( 0,1) , τέτοιο ώστε f (x 0 ) = −1 + 17 −1 − 17 = ή f (1) < 0 (απορρίπτεται).Επίσης έχουμε 2 2 1 + 17 −1 + 17 < ⇔ 4 < 1 + 17 < −2 + 2 17 που ισχύει. f (0)= 1 ≠ f (1) και 1 < 4 2 Άρα, από το θεώρημα ενδιάμεσων τιμών υπάρχει ένα τουλάχιστον x 0 ∈ ( 0,1) , τέτοιο ώστε προκύπτει = f (1) f (x 0 ) = 1 + 17 . 4 34 Άσκηση 11. Δίνεται η συνεχής συνάρτηση f :  →  για την οποία ισχύουν: 8, για κάθε x ∈  (1). Να δείξετε ότι: f (1) = 3 και f ( f(x) ) + f (x) = α) η f δεν είναι 1 − 1 . β) υπάρχει ένα τουλάχιστον x 0 ∈ (1,3) τέτοιο, ώστε g(x 0 ) = 6, όπου g(x) = f (x) + x . γ) η γραφική παράσταση της f διέρχεται από το σημείο Α ( 3, 01, 4,99 ) . Λύση α) Στην (1) για x = 1 , έχουμε f ( f(1) ) + f (1) = 8 ⇒ f (3) + 3 = 8 ⇒ f (3) = 5 . Στην (1) για x = 3 , έχουμε f ( f(3) ) + f (3) = 8 ⇒ f (5) + 5 = 8 ⇒ f (5) = 3 . Έτσι, είναι 1 ≠ 5, όμως f (1) = f (5) . Άρα η f δεν είναι 1 − 1 . β) Η συνάρτηση g είναι συνεχής στο [1,3] ως άθροισμα συνεχών συναρτήσεων. g(1)= f (1) + 1= 4 και g(3)= f (3) + 3= 8 . Άρα είναι g(1) ≠ g(3) . Επίσης ο αριθμός η = 6 , βρίσκεται μεταξύ των g(1), g(3) . Σύμφωνα με το θεώρημα ενδιάμεσων τιμών υπάρχει ένα τουλάχιστον x 0 ∈ (1,3) τέτοιο, ώστε g(x 0 ) = 6 . γ) Η f είναι συνεχής στο [1,3] και f(1) ≠ f(3) . Ο αριθμός κ = 3, 01 βρίσκεται μεταξύ των f(1) και f(3) (3 < 3,01 < 5) . Σύμφωνα με το θεώρημα ενδιάμεσων τιμών υπάρχει ένα τουλάχιστον x1 ∈ (1,3) τέτοιο, ώστε f(x1 ) = 3, 01 . 8 ⇒ f (3, 01) + 3, 01 = 8 ⇒ f (3, 01) = 4,99 . Στην (1) για x = x1 , έχουμε f ( f(x1 ) ) + f (x1 ) = Άρα η γραφική παράσταση της f διέρχεται από το σημείο Α ( 3, 01, 4,99 ) . 35 Άσκηση 12. Δίνεται η συνεχής συνάρτηση f : [1, 2] →  και οι μιγαδικοί αριθμοί z1 = 1 + 2i και z2 = f (1) + f (2)i, f (2) ≠ 0 . Αν z1 ⋅ z 2 φανταστικός, τότε: α) να δείξετε ότι η εξίσωση f (x) = 0 έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο (1, 2 ) β) Αν επιπλέον, η f είναι γνησίως μονότονη και f (2) < 0 , να δείξετε ότι: i) f (x) ≤ f (1), για κάθε x ∈ [1, 2] . ii) η γραφική παράσταση της f έχει μόνο ένα κοινό σημείο με την ευθεία y = − f (2) . 2 Λύση α) Αφού ο z1 ⋅ z 2 είναι φανταστικός, τότε z1 ⋅ z 2 = −z1 ⋅ z 2 ⇔ z1 ⋅ z 2 = −z1 ⋅ z 2 ⇔ ⇔ (1 + 2i ) ⋅ ( f (1) − f (2)i ) = − (1 − 2i ) ⋅ ( f (1) + f (2)i ) ⇔ ⇔ f (1) − f (2)i + 2f (1)i + 2f (2) = −f (1) − f (2)i + 2f (1)i − 2f (2) ⇔ ⇔ 2f (1) = −4f (2) ⇔ f (1) = −2f (2) . Η f είναι συνεχής στο [1, 2] και ισχύει f (1) ⋅ f (2) = −2f 2 (2) < 0, αφού f (2) ≠ 0 . Σύμφωνα με το θεώρημα Bolzano η εξίσωση f (x) = 0 έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο (1, 2 ) . β) i) Από το ερώτημα (α) έχουμε f (1) = −2f (2) . Είναι f (2) < 0 άρα f (1) > 0 , δηλαδή για 1 < 2 ⇒ f (1) > f (2) και αφού η f είναι γνησίως μονότονη, θα είναι γνησίως φθίνουσα. Επειδή η f είναι και συνεχής, το σύνολο τιμών της είναι το [ f (2), f (1) ] . Οπότε, το f (1) είναι το μέγιστο και ισχύει f (x) ≤ f (1), για κάθε x ∈ [1, 2] . ii) Η f είναι συνεχής στο [1, 2] και f (1) ≠ f (2) . Επιπλέον ο αριθμός η = − μεταξύ των f (2) και f (1) αφού f (2) βρίσκεται 2 f (2) < f (1) ⇔ 2f (2) < −f (2) < 2f (1) ⇔ 2f (2) < −f (2) < −4f (2) ⇔ 3f (2) < 0 < −3f (2) 2 που ισχύει, αφού f (2) < 0 . f (2) < − Σύμφωνα με το θεώρημα ενδιάμεσων τιμών υπάρχει ένα τουλάχιστον x 0 ∈ (1, 2 ) ώστε f (2) . Αυτό το x 0 είναι μοναδικό αφού η f είναι γνησίως φθίνουσα. Άρα η γραφική 2 f (2) . παράσταση της f έχει μόνο ένα κοινό σημείο με την ευθεία y = − 2 f (x 0 ) = − 36 Άσκηση 13. Δίνεται η συνεχής και γνησίως μονότονη συνάρτηση f : [1,5] →  με f (1) = 5 και f (5) = 1 . α) Να βρείτε το σύνολο τιμών της f. β) Να βρείτε το πλήθος των ριζών της εξίσωσης f (x) = c, όπου c ∈ [1,5] . γ) Να δείξετε ότι υπάρχει μοναδικό γ ∈ (1,5 ) τέτοιο ώστε 9f (γ) = 2f (2) + 3f (3) + 4f (4) . Λύση α) Ισχύει 1 < 5 ⇒ f (1) > f (5) ,αφού f (1) = 5 και f (5) = 1 και η f είναι γνησίως μονότονη. Άρα θα είναι γνησίως φθίνουσα. Επειδή επιπλέον είναι και συνεχής, το σύνολο τιμών της είναι το διάστημα [f (5), f (1)] = [1,5] . β) Επειδή ο αριθμός c ∈ [1,5] που είναι το σύνολο τιμών της f, σύμφωνα με το θεώρημα ενδιάμεσων τιμών, υπάρχει ένα τουλάχιστον x 0 ∈ [1,5] ώστε f (x 0 ) = c . Αυτό το x 0 είναι μοναδικό διότι η f είναι γνησίως φθίνουσα. γ) Η f είναι συνεχής στο [1,5] . i. f (1) ≠ f (5) . ii. 1 < 2 < 5 ⇒ f (1) > f (2) > f (5) ⇒ 2f (1) > 2f (2) > 2f (5) (1) iii. 1 < 3 < 5 ⇒ f (1) > f (3) > f (5) ⇒ 3f (1) > 3f (3) > 3f (5) (2) iv. 1 < 4 < 5 ⇒ f (1) > f (4) > f (5) ⇒ 4f (1) > 4f (4) > 4f (5) (3) Προσθέτω κατά μέλη τις (1), (2), (3) και προκύπτει: 9f (1) > 2f (2) + 3f (3) + 4f (4) > 9f (5) ⇒ f (1) > 2f (2) + 3f (3) + 4f (4) > f (5) . 9 Σύμφωνα με το θεώρημα ενδιάμεσων τιμών, υπάρχει ένα τουλάχιστον γ ∈ (1,5 ) ώστε f (γ) = 2f (2) + 3f (3) + 4f (4) ⇔ 9f (γ) = 2f (2) + 3f (3) + 4f (4) . Το γ είναι μοναδικό γιατί η f είναι 9 γνησίως φθίνουσα. 37 Άσκηση 14. Δίνεται η συνεχής συνάρτηση f :  →  για την οποία ισχύει f (x 2 − 2x) + f (x) = 3x 2 − 3x + 8, x ∈  (1). Να δείξετε ότι: α) Υπάρχει ένα τουλάχιστον x 0 ∈ ( 0, 2 ) τέτοιο ώστε f (x 0= ) x0 + 5 . β) Η ευθεία y = c με c ∈ (1,13) έχει με την γραφική παράσταση της f ένα τουλάχιστον κοινό σημείο με τετμημένη x1 ∈ ( −1,3) . Λύση α) Στην (1) για x = 0 , έχουμε f (0) + f (0) = 8 ⇔ f (0) = 4 και για x = 2 , έχουμε f (0) + f (2) = 12 − 6 + 8 ⇒ f (2) = 10 . Θεωρούμε τη συνάρτηση g(x)= f (x) − x − 5, x ∈ [ 0, 2] . Η g είναι συνεχής στο [ 0, 2] ως διαφορά συνεχών συναρτήσεων. g(0) =f (0) − 5 =4 − 5 =−1 < 0 και g(2) = f (2) − 2 − 5 = 10 − 7 = 3 > 0 . Δηλαδή είναι g(0) ⋅ g ( 2 ) < 0 . Σύμφωνα με το θεώρημα Bolzano υπάρχει ένα τουλάχιστον x 0 ∈ ( 0, 2 ) τέτοιο ώστε g(x 0 ) = 0 ⇔ f (x 0 ) = x0 + 5 . β) Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο [ −1,3] και θέτοντας στην (1) x = 3 , προκύπτει f (3) + f (3) = 27 − 9 + 8 ⇔ 2f (3) = 26 ⇔ f (3) = 13 , ενώ για x = −1 προκύπτει f (3) + f (−1) = 3 + 3 + 8 ⇒ f (−1) =14 − 13 ⇒ f (−1) =1 . Δηλαδή είναι f (−1) ≠ f (3) . Σύμφωνα με το θεώρημα ενδιάμεσων τιμών, για κάθε αριθμό c μεταξύ των f (−1) και f (3) , δηλαδή c ∈ (1,13) , υπάρχει x1 ∈ ( −1,3) , τέτοιο ώστε f (x1 ) = c . Αυτό σημαίνει ότι η ευθεία y = c με c ∈ (1,13) έχει με την γραφική παράσταση της f ένα τουλάχιστον κοινό σημείο με τετμημένη x1 ∈ ( −1,3) . 38 Άσκηση 15. Δίνονται οι συναρτήσεις f, g συνεχείς στο [ 0, 2] για τις οποίες ισχύουν τα εξής: • f 2 (0) + f 2 (2) = 4 ( f (2) − 1) • 0 ≤ g(x) ≤ 2 για κάθε x ∈ [ 0, 2] (1) α) Να δείξετε ότι υπάρχει x 0 ∈ ( 0, 2 ) τέτοιο, ώστε f (x 0 ) = 1 . β) Να δείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f και g τέμνονται σε ένα τουλάχιστον σημείο με τετμημένη x1 ∈ [ 0, 2] . γ) Αν επιπλέον η f είναι γνησίως μονότονη, να δείξετε ότι η εξίσωση f (x) = f (2 − x) έχει μοναδική ρίζα στο ( 0, 2 ) . Λύση α) Από την ισότητα (1) έχουμε: f 2 (0) + f 2 (2) − 4f (2) + 4 = 0 ⇔ f 2 (0) + ( f (2) − 2 ) = 0 ⇔ f (0) = 0 και f (2) = 2 . Δηλαδή f (0) ≠ f (2) και ο αριθμός 1 βρίσκεται μεταξύ των f (0) και f (2) . 2 Επιπλέον η f είναι συνεχής στο [ 0, 2] . Από το θεώρημα ενδιάμεσων τιμών προκύπτει ότι υπάρχει x 0 ∈ ( 0, 2 ) τέτοιο, ώστε f (x 0 ) = 1 . β) Αρκεί να δείξουμε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον x1 ∈ [ 0, 2] , ώστε f (x1 ) = g(x1 ) ⇔ f (x1 ) − g(x1 ) = 0 . f (x) − g(x), x ∈ [ 0, 2] . Είναι συνεχής στο [ 0, 2] ως διαφορά Θεωρούμε τη συνάρτηση h(x) = συνεχών συναρτήσεων. h(0) = f (0) − g(0) = −g(0) ≤ 0 και h(2) = f (2) − g(2) = 2 − g(2) ≥ 0 . Δηλαδή h(0) ⋅ h(2) ≤ 0 . Διακρίνουμε τις περιπτώσεις : • Αν h(0) ⋅ h(2) < 0 , τότε σύμφωνα με το θεώρημα Bolzano υπάρχει ένα τουλάχιστον x1 ∈ ( 0, 2 ) ώστε h(x1 ) = 0 ⇔ f (x1 ) − g(x1 ) = 0. • Αν h(0) ⋅ h(2) = 0 ⇔ h(0) = 0 ή h(2) = 0 , δηλαδή οι αριθμοί 0 και 2 είναι ρίζες της εξίσωσης h(x) = 0 . 39 Τελικά υπάρχει ένα τουλάχιστον x1 ∈ [ 0, 2] , ώστε f (x1 ) = g(x1 ) ⇔ f (x1 ) − g(x1 ) = 0 . γ) Έστω η συνάρτηση φ(x) = f (x) − f (2 − x) . Για το πεδίο ορισμού της έχουμε: x ∈ [ 0, 2] και 0 ≤ 2 − x ≤ 2 ⇒ −2 ≤ − x ≤ 0 ⇒ 0 ≤ x ≤ 2 . Τελικά το πεδίο ορισμού της φ είναι το [ 0, 2] . H φ είναι συνεχής στο [ 0, 2] ως διαφορά συνεχών συναρτήσεων. φ(0) =f (0) − f (2) =−2 < 0 και φ(2) = f (2) − f (0) => 2 0 . Άρα φ(0) ⋅ φ(2) < 0 . Σύμφωνα με το θεώρημα Bolzano η εξίσωση φ(x) = 0 έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο ( 0, 2 ) , η οποία είναι μοναδική αφού και η φ είναι γνησίως αύξουσα: Η f είναι γνησίως μονότονη και ισχύει, f (0) = 0 < 2 = f (2) άρα είναι γνησίως αύξουσα. x1 < x 2 ⇒ f (x1 ) < f (x 2 ) (2) και − x1 > − x 2 ⇒ 2 − x1 > 2 − x 2 ⇒ f (2 − x1 ) > f (2 − x 2 ) ⇒ −f (2 − x1 ) < −f (2 − x 2 ) (3). Προσθέτουμε κατά μέλη τις (2) και (3) και προκύπτει f (x1 ) − f (2 − x1 ) < f (x 2 ) − f (2 − x 2 ) ⇒ φ ( x1 ) < φ(x 2 ) . Ημερομηνία τροποποίησης: 26/8/2011 40