ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 11: ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ - ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Κεφ 2.8: Κυρτότητα – Σημεία Καμπής του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β Παράδειγμα 1. Να προσδιορισθούν τα διαστήματα στα οποία η συνάρτηση f (x) = x4 − 6x 2 είναι κυρτή ή 4 κοίλη και να βρεθούν τα σημεία καμπής της γραφικής της παράστασης. Λύση 4x 3 − 12x =x 3 − 12x και 4 Η f είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο  με f ′(x) = f ′′(x) = 3x 2 − 12 . Έχουμε f ′′(x) = 0 ⇔ 3x 2 − 12 = 0 ⇔ 3(x 2 − 4) = 0 ⇔ x 2 − 4 = 0 ⇔ x 2 = 4 ⇔ x = 2 ⇔ x = 2 ή x = −2 ο παρακάτω πίνακας παρουσιάζει το πρόσημο της f ′′(x) και τα συμπεράσματα για την κυρτότητα και τα σημεία καμπής της f . Παρατηρούμε ότι η f είναι κυρτή στα διαστήματα (−∞, −2] και [ 2, +∞) και κοίλη στο [ −2, 2] . Και παρουσιάζει σημείο καμπής στα σημεία A(−2, f (−2 )) και B(2, f (2)) δηλαδή A(−2, −20) ) και B(2, −20) . Μεθοδολογία Για να μελετήσουμε μια συνάρτηση f ως προς την κυρτότητα και τα σημεία καμπής εργαζόμαστε ως εξής: 1 α) Προσδιορίζουμε την f ′′ στο πεδίο ορισμού της A f . β) Λύνουμε την εξίσωση f ′′(x) = 0 . γ) Βρίσκουμε το πρόσημο της f ′′ στα διαστήματα, που δημιουργούν οι ρίζες της f ′′(x) = 0 και τα εσωτερικά σημεία του A f , στα οποία δεν υπάρχει η f ′′ . δ) Στα διαστήματα που είναι: • f ′′(x) > 0 η f είναι κυρτή. • f ′′(x) < 0 η f είναι κοίλη. ε) Στα σημεία του A f που εκατέρωθεν τους αλλάζει το πρόσημο της f ′′(x) , θα είναι τετμημένες των σημείων καμπής. 2 Παράδειγμα 2. Να προσδιορισθούν τα διαστήματα στα οποία η συνάρτηση f (x) = (x − 3) 4 είναι κυρτή ή κοίλη και να βρεθούν τα σημεία καμπής της γραφικής της παράστασης. Λύση Η f είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο  με f ′(x) = 4(x − 3)3 (x − 3)′ = 4(x − 3)3 και f ′′(x)= 12(x − 3) 2 (x − 3)′= 12(x − 3) 2 . Έχουμε f ′′(x) =0 ⇔ 12(x − 3) 2 =0 ⇔ (x − 3) 2 =0 ⇔ x =3 ο παρακάτω πίνακας παρουσιάζει το πρόσημο της f ′′(x) και τα συμπεράσματα για την κυρτότητα και τα σημεία καμπής της f . Παρατηρούμε ότι η f είναι κυρτή στα διαστήματα (−∞,3] και [3, +∞) αφού η f είναι συνεχής στο x 0 = 3 και f ′′(x) > 0 για κάθε x ≠ 3 . Το x 0 = 3 δεν είναι σημείο καμπής της Cf αφού η f ′′ δεν αλλάζει πρόσημο εκατέρωθεν του x 0 = 3 . Μεθοδολογία Για να μελετήσουμε μια συνάρτηση f ως προς την κυρτότητα και τα σημεία καμπής εργαζόμαστε ως εξής: α) Προσδιορίζουμε την f ′′ στο πεδίο ορισμού της A f . β) Λύνουμε την εξίσωση f ′′(x) = 0 . γ) Βρίσκουμε το πρόσημο της f ′′ στα διαστήματα, που δημιουργούν οι ρίζες της f ′′(x) = 0 και τα εσωτερικά σημεία του A f , στα οποία δεν υπάρχει η f ′′ . δ) Στα διαστήματα που είναι: • f ′′(x) > 0 η f είναι κυρτή. • f ′′(x) < 0 η f είναι κοίλη. ε) Στα σημεία του A f που εκατέρωθεν τους αλλάζει το πρόσημο της f ′′(x) , θα είναι τετμημένες των σημείων καμπής. 3 Παράδειγμα 3. 1. Να μελετήσετε ως προς την κυρτότητα και τα σημεία καμπής τη συνάρτηση f με τύπο f (x) = 3x 5 − 5x 3 + 1 . 2. Να αποδείξετε ότι τα σημεία καμπής είναι στην ίδια ευθεία της οποίας να υπολογίσετε την εξίσωση. Λύση 1. Η f ορίζεται και είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο  , άρα το γράφημα της συνάρτησης δέχεται εφαπτομένη σε κάθε σημείο της και έχουμε: • f ′(x) = 15x 4 − 15x 2 , x ∈  • f ′′(x) = 60x 3 − 30x = 30x(2x 2 − 1), x ∈  Είναι f ′′(x) = 0 ⇔ 30x(2x 2 − 1) = 0 ⇔ 30x( 2x − 1)( 2x + 1) = 0 ⇔ x = 0 ή x = 1 1 ή x= − 2 2 Το πρόσημο της f ′′(x) φαίνεται στον παρακάτω πίνακα: Ο πίνακας μεταβολών της f ως προς την κυρτότητα της είναι: Η f στρέφει τα κοίλα κάτω στο (−∞, − 1 ] αφού είναι συνεχής σ’αυτό και f ′′(x) < 0 στο 2 εσωτερικό του. 4 Η f στρέφει τα κοίλα άνω στο [− 1 , 0] αφού είναι συνεχής σ’αυτό και f ′′(x) > 0 στο 2 εσωτερικό του. 1 ] αφού είναι συνεχής σ’αυτό και f ′′(x) < 0 στο 2 Η f στρέφει τα κοίλα κάτω στο [0, εσωτερικό του. Η f στρέφει τα κοίλα άνω στο [ 1 , +∞) αφού είναι συνεχής σ’αυτό και f ′′(x) > 0 στο 2 εσωτερικό του. 2. Παρουσιάζει σημεία καμπής τα A(− 7 4 2 Είναι λ ΑΒ = +1 −1 −1 −0 2 1 7 1 −7 + 1), B(0,1), Γ( + 1) , , 2 4 2 2 4 2 7 7 yΒ − yΓ = 4 2 = − και = λ ΓΒ = −1 2 xΒ − xΓ 4 → 1+ 7 −1 4 2 1 0− 2 7 7 = 4 2 =− −1 2 4 → Δηλαδή λ ΒΑ = λ ΓΒ οπότε τα διανύσματα ΒΑ και ΓΒ έχουν την ίδια κλίση και κοινό άκρο. Άρα τα Α, Β, Γ είναι συνευθειακά και επί της ευθείας −7 −7 (x − 0) ⇔ y = x + 1 4 4 (ε): y − y B =λ ΒΑ (x − x B ) ⇔ y − 1 = Μεθοδολογία Με τον πίνακα μεταβολών του πρόσημου της f ′′ μελετούμε την κυρτότητα και την ύπαρξη σημείων καμπής για μια συνάρτηση f . Απαραιτήτως στις πιθανές θέσεις x 0 των σημείων καμπής θα πρέπει, να εξασφαλίζουμε την ύπαρξη εφαπτομένης και εκατέρωθεν από το x 0 να αλλάζει πρόσημο η f ′′(x) . Για να αποδείξουμε ότι τα σημεία είναι συνευθειακά επιλέγουμε έναν από τους πολλούς τρόπους που έχουμε διδαχθεί στην B΄Τάξη. (π.χ. αν τα σημεία είναι τρία , αρκεί να αποδείξουμε ότι, δύο από τα διανύσματα που σχηματίζονται με άκρα τα σημεία αυτά , έχουν ίσους συντελεστές διεύθυνσης) 5 ΘΕΜΑ Γ Παράδειγμα 1. x<0  − x 2 + 5, Να προσδιορισθούν τα διαστήματα στα οποία η συνάρτηση f (x) =  3 2 − x + x + 5, x ≥ 0 είναι κυρτή ή κοίλη και να βρεθούν τα σημεία καμπής της γραφικής της παράστασης. Λύση Για x < 0 έχουμε: f ′(x) = −2x . Για x > 0 έχουμε: f ′(x) = −3x 2 + 2x . Για x = 0 έχουμε: f (x) − f (0) f (x) − 5 −x3 + x 2 + 5 − 5 −x3 + x 2 x 2 (1 − x) lim+ = lim = lim = lim = lim = 0 x →0 x → 0+ x → 0+ x → 0+ x → 0+ x −0 x x x x lim− x →0 −x 2 + 5 − 5 −x 2 f (x) − f (0 ) f (x) − 5 = lim− = lim− = lim = 0. x →0 x →0 x → 0− x x −0 x x Άρα η f παραγωγίσιμη στο 0 με f ′(0) = 0 . −2x, x<0 . 2 −3x + 2x, x ≥ 0  Άρα f ′(x) =  Για x < 0 : f ′′(x) = −2 . −6x + 2 . Για x < 0 : f ′′(x) = f ′(x) − f ′(0) x −0 −3x 2 + 2x − 0 x −0 −3x 2 + 2x x Για x = 0 : lim= = lim+ = lim 2 + + x →0 και lim− x →0 x →0 x →0 −2x − 0 f ′(x) − f ′(0 ) = lim− = −2 x → 0 x −0 x −0 άρα δεν υπάρχει το f ′′(0) −2, x<0 . −6x + 2, x > 0  τότε έχουμε f ′′(x) =  Tο πρόσημο της f ′′(x) καθώς και τα συμπεράσματα μας για την κυρτότητα και τα σημεία καμπής της Cf φαίνονται στο παρακάτω πίνακα: 6 1   1 Άρα η f είναι κοίλη στα διαστήματα (−∞, 0] και  , +∞  , κυρτή στο  0,  και παρουσιάζει  3  3 1 3  1   3   1 137  .  3 27  καμπή στα σημεία A(0, f (0)) και B  , f    , δηλαδή τα A(0,5) και B  , Σχόλιο: Δεν είναι απαραίτητο να εξετάσουμε την ύπαρξη ή μη της δεύτερης παραγώγου στο 0 (σημείο αλλαγής τύπου). Μας ενδιαφέρει μόνο η πρώτη παράγωγος (ύπαρξη εφαπτομένης). Μεθοδολογία Όταν έχουμε συνάρτηση πολλαπλού τύπου μελετούμε ιδιαιτέρως την ύπαρξη της πρώτης παραγώγου στο σημείο αλλαγής του τύπου, ώστε αν η δεύτερη παράγωγος αλλάζει πρόσημο εκατέρωθέν του, να χαρακτηριστεί ως σημείο καμπής. Επιπλέον μελετούμε την κυρτότητα και την ύπαρξη άλλων σημείων καμπής σε κάθε κλάδο της συνάρτησης μελετώντας το πρόσημο της δεύτερης παραγώγου. 7 Παράδειγμα 2.   5 Έστω η συνάρτηση f δύο φορές παραγωγίσιμη στο  −5,  , τέτοια ώστε να ισχύει: 3  2 (f (x) + x)= f (x)(5 + x) (1) Να αποδείξετε ότι η Cf δεν παρουσιάζει σημεία καμπής. Λύση Έστω M(x 0 , f (x 0 )) σημείο καμπής της Cf . Tότε f ′′(x 0 ) = 0 (2) Παραγωγίζουμε την (1) και έχουμε: 2(f (x) + x)(f ′(x) += 1) f ′(x)(5 + x) + f (x) ⇔ (2f (x) + 2x)(f ′(x) += 1) 5f ′(x) + xf ′(x) + f (x) (3) Παραγωγίζουμε την (3) και έχουμε: (2f ′(x) + 2)(f ′(x) + 1) + (2f (x) + 2x)f ′′(x) = 5f ′′(x) + f ′(x) + xf ′′(x) + f ′(x) Για x = x 0 , θα πάρουμε: (2f ′(x 0 ) + 2)(f ′(x 0 ) + 1) + (2f (x 0 ) + 2x 0 )f ′′(x 0 ) = 5f ′′(x 0 ) + f ′(x 0 ) + x 0 f ′′(x 0 ) + f ′( x 0 ) (λόγω της (2)) (2f ′(x 0 ) + 2)(f ′(x 0 ) + 1) = 2f ′(x 0 ) ⇔ 2[f ′(x 0 )]2 + 2f ′(x 0 ) + 2f ′(x 0 ) + 2 = 2f ′(x 0 ) ⇔ 2 [ f ′(x 0 ) ] + 2f ′(x 0 ) + 2 = 0 ⇔ [ f ′(x 0 ) ] + f ′(x 0 ) + 1 = 0 2 2 η οποία είναι αδύνατη εξίσωση, αφού έχει διακρίνουσα ∆ = −3 < 0 . Άρα καταλήξαμε σε άτοπο. Μεθοδολογία Αν θέλουμε να αποδείξουμε ότι η συνάρτηση f που είναι δυο φορές παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα ∆ , δεν έχει σημεία καμπής, τότε εργαζόμαστε ως εξής: Υποθέτουμε ότι έχει ένα σημείο καμπής A ( x 0 , f (x 0 ) ) στο οποίο έχουμε f ′′(x 0 ) = 0 και προσπαθούμε να καταλήξουμε σε άτοπο. 8 Παράδειγμα 3. Να βρείτε το α ∈  , ώστε η συνάρτηση f (x)= 2x 4 − 4αx 3 + 4 x 28− 2 να είναι κυρτή στο  . Λύση Το πεδίο ορισμού της f είναι όλο το  . Η f ως πολυωνυμική είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο  . Για κάθε x ∈  έχουμε: f ′ ( x ) = 8x 3 − 12αx 2 + 96x και f ′′ ( x= = 24 ( x 2 − αx + 4 ) . ) 24x 2 − 24αx + 96 Η f ′′ ( x ) είναι τριώνυμο με διακρίνουσα ∆ = α 2 − 16 . Διακρίνουμε τις εξής περιπτώσεις για τη διακρίνουσα Δ . 1η Περίπτωση ∆ > 0 ⇔ α 2 − 16 > 0 ⇔ α 2 > 16 ⇔ α > 4 ⇔ α > 4 ή α < −4 Τότε η f ′′(x) έχει δύο ρίζες πραγματικές και άνισες ρ1 < ρ2 και ο πίνακας μεταβολών της f ως προς την κυρτότητά της είναι Οπότε η f δεν είναι κυρτή σε όλο το  . 2η Περίπτωση ∆ < 0 ⇔ α 2 − 16 < 0 ⇔ −4 < α < 4 Τότε η f ′′(x) δεν έχει ρίζες πραγματικές και f ′′(x) > 0 (ομόσημο του συντελεστού του x 2 ) για κάθε x ∈  , οπότε η f είναι κυρτή στο  . 3η Περίπτωση Αν ∆ = 0 ⇔ α 2 − 16 = 0 ⇔ α = 4 ή α = −4 • ( ) Αν α =4 τότε f ′′ ( x= ) 24 x 2 − 4x + 4= 24 ( x − 2 ) > 0 για κάθε x ≠ 2 , οπότε η f 2 είναι κυρτή στο  . 9 • ( ) Αν α = −4 τότε f ′′ ( x= ) 24 x 2 + 4x + 4= 24 ( x + 2 ) > 0 για κάθε x ≠ −2 , οπότε η f 2 είναι κυρτή στο  . Από την παραπάνω μελέτη της f ως προς τα κοίλα ή τα κυρτά της Cf για τις διάφορες πραγματικές τιμές του α προκύπτει ότι η Cf είναι κυρτή αν και μόνο αν α ∈ [ −4, 4] . Μεθοδολογία Για να βρούμε τις τιμές μιας παραμέτρου ώστε μια συνάρτηση f να είναι κυρτή (ή κοίλη αντίστοιχα) σε ένα διάστημα τότε απαιτούμε f ′′(x) ≥ 0 (ή f ′′(x) ≤ 0 αντίστοιχα). 10 Παράδειγμα 4. Δίνεται η συνάρτηση f (x) = e 2x − x . i. Να βρείτε την εφαπτομένη της Cf στο A(0,1) . ii. Να αποδείξετε ότι e 2x ≥ 2x + 1 για κάθε x ∈  . Λύση i. Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο  με f ′= (x) 2e 2x − 1 H εξίσωση της εφαπτομένης της Cf στο σημείο A(0,1) είναι: y − f (0)= f ′(0)(x − 0) όπου f (0) = 1 και f ′(0) = 1 Άρα έχουμε την εξίσωση: y − 1 = 1(x − 0) ⇔ y = x + 1 ii. Έχουμε f ′′= (x) 4e 2x > 0 , άρα η f είναι κυρτή σε όλο το  . Tότε η Cf βρίσκεται πάνω από την εφαπτομένη στο σημείο A(0,1) με εξαίρεση το σημείο αυτό, που σημαίνει ότι f (x) ≥ x + 1 ⇔ e 2x − x ≥ x + 1 ⇔ e 2x ≥ 2x + 1 για κάθε x∈ . Μεθοδολογία Αν θέλουμε να αποδείξουμε μια ανισωτική σχέση της μορφής f (x) ≥ αx + β ή f (x) ≤ αx + β εργαζόμαστε ως εξής: i. Επιλέγουμε κατάλληλο σημείο x 0 , που ανήκει στο πεδίο ορισμού της συνάρτησης f , στο οποίο βρίσκουμε την εφαπτομένη της γραφικής της παράστασης, η οποία είναι y = αx + β . ii. Αξιοποιούμε την γεωμετρική ερμηνεία της κυρτότητας μιας συνάρτησης, δηλαδή: • Αν η f είναι κυρτή σε ένα διάστημα ∆ τότε η Cf βρίσκεται πάνω από κάθε εφαπτομένη της, άρα f (x) ≥ αx + β με εξαίρεση το σημείο επαφής τους. • Αν η f είναι κοίλη σε ένα διάστημα ∆ τότε η Cf βρίσκεται κάτω από κάθε εφαπτομένη της, άρα f (x) ≤ αx + β με εξαίρεση το σημείο επαφής τους. 11 Παράδειγμα 5. Έστω μια συνάρτηση f :  →  παραγωγίσιμη για την οποία ισχύει: f 2011 (x) + f (x) = x για κάθε x ∈  (1). i. Να βρείτε τη μονοτονία της f . ii. Να βρείτε τις ρίζες και το πρόσημο της συνάρτησης f . iii. Να προσδιοριστούν τα διαστήματα στα οποία η συνάρτηση είναι κυρτή ή κοίλη. Λύση i. Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο  , τότε παραγωγίζοντας τα δυο μέλη της ισότητας (1), θα πάρουμε: 2011 ⋅ f 2010 (x) ⋅ f ′(x) + f ′(x) =1 ⇔ f ′(x) ⋅  2011⋅ f 2010 (x) + 1 =1 ⇔ = f ′(x) ii. 1 2011 ⋅ f 2010 (x) + 1 > 0 άρα η f είναι γνησίως αύξουσα στο  . Παρατηρούμε ότι η (1) για x = 0 θα μας δώσει f 2011 (0) + f (0) =0 ⇔ f (0) f 2010 (0) + 1 =0 ⇔ f (0) =0 Άρα το 0 είναι μια ρίζα της f και επειδή η f είναι γνησίως αύξουσα το 0 είναι μοναδική ρίζα της f . Tότε για το πρόσημο της f έχουμε: • Για x > 0 ⇔ f (x) > f (0 ) ⇔ f (x) > 0 • Για x < 0 ⇔ f (x) < f (0 ) ⇔ f (x) < 0 iii. = Έχουμε f ′′(x) 2009 ′ −2011 ⋅ 2010f (x) ⋅ f ′(x) 2010   ⋅ = ⋅ + 2011 f (x) 1 2  2   2011 ⋅ f 2010 (x) + 1  2011 ⋅ f 2010 (x) + 1 −1 • για x = 0 έχουμε f ′′(0) = 0 αφού f 2009 (0) = 0 . • για x > 0 έχουμε f ′′(x) < 0 . • για x < 0 έχουμε f ′′(x) > 0 . Τότε το πρόσημο της έχουμε f ′′ , καθώς και η κυρτότητα και τα σημεία καμπής της f παρουσιάζονται στον παρακάτω πίνακα: 12 Άρα η f είναι κυρτή στο (−∞, 0] , κοίλη στο [ 0, +∞) και παρουσιάζει καμπή στο σημείο A ( 0, 0 ) . 13 Παράδειγμα 6. Να μελετήσετε ως προς την κυρτότητα και τα σημεία καμπής τη συνάρτηση f με τύπο:  x 2 + 5, αν x ≤ 0 f (x) =  3 2  x − 6x + 5, αν x > 0 Λύση Η παράγωγος της συνάρτησης είναι: f ′(x) = 2x αν x < 0 f ′(x) = 3x 2 − 12x αν x > 0 . Στο x 0 = 0 έχουμε: f (x) − f (0 ) x2 + 5 − 5 x2 = lim− = lim = 0 και lim x → 0− x →0 x → 0− x x −0 x x ( x 2 − 6x ) f (x) − f (0 ) x 3 − 6x 2 + 5 − 5 lim = lim+ = lim = 0 x → 0+ x →0 x → 0+ x −0 x x Οπότε η f είναι παραγωγίσιμη και στο x 0 = 0 , συνεπώς ο τύπος της παραγώγου είναι: αν x ≤ 0  2x, f ′(x) =  2 3x − 12x, αν x > 0 Έτσι η f είναι παραγωγίσιμη στο  δηλαδή η Cf δέχεται εφαπτομένη σε κάθε σημείο της M(x, f (x)) με x ∈  . Είναι: Για κάθε x < 0 : f ′′(x)= 2 > 0 Για κάθε x > 0 : f ′′(x) = 6x − 12 = 6(x − 2) και • f ′′(x) = 0 ⇔ 6x − 12 = 0 ⇔ x = 2 • f ′′(x) > 0 ⇔ 6x − 12 > 0 ⇔ x > 2 Ο πίνακας μεταβολών της f ως προς την κυρτότητα της είναι 14 Επομένως: 1. Η f στρέφει τα κοίλα άνω στο (−∞, 0] αφού είναι συνεχής σ’ αυτό και f ′′(x) > 0 στο εσωτερικό του. 2. Η f στρέφει τα κοίλα κάτω στο [0, 2] αφού είναι συνεχής σ’ αυτό και f ′′(x) < 0 στο εσωτερικό του. 3. Η f στρέφει τα κοίλα άνω στο [2, +∞) αφού είναι συνεχής σ’ αυτό και f ′′(x) > 0 στο εσωτερικό του. Παρουσιάζει σημεία καμπής στις θέσεις x = 0 και x = 2 αφού δέχεται (ως παραγωγίσιμη) εφαπτομένη σ’ αυτά και η f ′′(x) αλλάζει πρόσημο εκατέρωθεν αυτών όπως φαίνεται από τις (1) , (2) , (3), τα οποία είναι A(0,5) και B(2, −11) . Μεθοδολογία Όταν έχουμε συνάρτηση πολλαπλού τύπου μελετούμε ιδιαιτέρως την ύπαρξη της πρώτης παραγώγου στο σημείο αλλαγής του τύπου, ώστε αν η δεύτερη παράγωγος αλλάζει πρόσημο εκατέρωθέν του, να χαρακτηριστεί ως σημείο καμπής. Επιπλέον μελετούμε την κυρτότητα και την ύπαρξη άλλων σημείων καμπής σε κάθε κλάδο της συνάρτησης μελετώντας το πρόσημο της δεύτερης παραγώγου. 15 Παράδειγμα 7. Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο f (x) = α 2 x 4 − 4(α + 2)x 3 + 54αx 2 + κx + λ , με x ∈  και α, κ, λ ∈  . Βρείτε τις τιμές για το α ώστε ένα από τα σημεία καμπής της γραφικής παράστασης της f να έχει τετμημένη x 0 = 3 . Λύση Η f είναι δύο φορές παραγωγίσιμη ως πολυωνυμική στο  με f ′(x) = 4α 2 x 3 − 12(α + 2)x 2 + 108αx + κ και f ′′(x)= 12α 2 x 2 − 24(α + 2)x + 108α= 12[α 2 x 2 − 2(α + 2)x + 9α] . Αν α =0 τότε f ′′(x) = −48x και f ′′ ( 3) = −144 ≠ 0 οπότε η Cf δεν μπορεί να έχει σημείο καμπής με τετμημένη x 0 = 3 . Επομένως θα είναι α ≠ 0 . Αναγκαία συνθήκη για να έχει η Cf σημείο καμπής με τετμημένη x 0 = 3 , όντας δύο φορές παραγωγίσιμη σ’ αυτό, είναι f ′′ ( 3) = 0 ⇔ 12[9α 2 – 6(α + 2) + 9α] = 0 ⇔ 9α 2 – 6α – 12 + 9α = 0 ⇔ 3α 2 + α – 4 = 0⇔ 4 (3α + 4)(α –1) = 0 ⇔ α=− ή α =1 3 Για να παρουσιάζει η f σημείο καμπής στο x 0 = 3 , η συνθήκη f ′′(3) = 0 που χρησιμοποιήσαμε για τον προσδιορισμό του α δεν αρκεί, αφού πρέπει επιπλέον και η f ′′(x) να αλλάζει πρόσημο εκατέρωθεν του x 0 . Έτσι απαιτείται επαλήθευση των τιμών του α που βρήκαμε ώστε να εξασφαλίσουμε και την αλλαγή του πρόσημου για την f ′′(x) . • 4 έχουμε 3 16 4 4 16 = 12( x 2 − x − 12) = 12[ (4x 2 − 3x − 27)] = f ′′(x) (4x + 9)(x − 3) είναι f ′′(x) < 0 9 3 9 3 9 9  για x ∈ (− ,3) και f ′′(x) > 0 για x ∈  −∞, −  ∪ (3, +∞) δηλαδή στο x 0 = 3 η Cf 4 4  9 4 παρουσιάζει σημείο καμπής (όπως και στο x1 = − ) άρα η τιμή α = − είναι δεκτή. 4 3 • Για α =1 έχουμε f ′′(x) = 12( x 2 − 6x + 9)= 12(x − 3) 2 > 0 για κάθε x ≠ 3 οπότε στο Για α = − x 0 = 3 η Cf δεν παρουσιάζει σημείο καμπής, αφου η f ′′(x) δεν αλλάζει πρόσημο εκατέρωθεν του 3. Άρα η τιμή α =1 απορρίπτεται. 16 Μεθοδολογία Όταν δίνεται παραμετρική συνάρτηση, δύο φορές παραγωγίσιμη στο πεδίο ορισμού της, και ζητείται να προσδιορίσουμε τις παραμέτρους ώστε η γραφική της παράσταση να παρουσιάζει σημείο καμπής σε δεδομένο x 0 , απαιτούμε να ικανοποιείται η αναγκαία συνθήκη f ′′(x o ) = 0 . Επειδή όμως η συνθήκη αυτή δεν αρκεί ( πρέπει επιπλέον η f ′′(x) να αλλάζει πρόσημο εκατέρωθεν του xo) , χρειάζεται να επαληθεύουμε ότι οι τιμές που θα προκύψουν από τη συνθήκη f ′′(x o ) = 0 είναι πράγματι δεκτές. 17 ΘΕΜΑ Δ Παράδειγμα 1. Έστω η συνάρτηση f δυο φορές παραγωγίσιμη στο [ x1 , x 2 ] και x 3 ∈ (x1 , x 2 ) με f (x 3 ) = 0 . Επιπλέον η f είναι κυρτή στο [ x1 , x 2 ] . Να αποδείξετε ότι: f (x1 ) f (x 2 ) > x 3 − x1 x 3 − x 2 Λύση Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο [ x1 , x 2 ] και παραγωγίσιμη στο (x1 , x 2 ) . Άρα είναι συνεχής στα διαστήματα [ x1 , x 3 ] , [ x 3 , x 2 ] και παραγωγίσιμη αντίστοιχα στα διαστήματα ( x1 , x 3 ) , ( x 3 , x 2 ) . Τότε λόγω Θ.Μ.Τ θα υπάρχουν: ξ1 ∈ (x1 , x 3 ) τέτοιο ώστε = f ′(ξ1 ) f (x 3 ) − f (x1 ) −f (x1 ) = x 3 − x1 x 3 − x1 (1) f (x 2 ) − f (x 3 ) f (x 2 ) (2) = x 2 − x3 x 2 − x3 αλλά η f είναι κυρτή στο [x1 , x 2 ] , άρα η f ′ είναι γνησίως αύξουσα στο [x1 , x 2 ] και συνεπώς για x1 < ξ1 < x 3 < ξ 2 < x 2 προκύπτει: f ′(ξ1 ) < f ′(ξ 2 ) ⇔ (από (1),(2)) και ξ 2 ∈ (x 3 , x 2 ) τέτοιο ώστε = f ′(ξ2 ) −f (x1 ) f (x 2 ) < ⇔ x 3 − x1 x 2 − x 3 f (x1 ) f (x 2 ) . > x 3 − x1 x 3 − x 2 Μεθοδολογία Αν θέλουμε να αποδείξουμε μια ανισωτική σχέση που περιέχει δυο τιμές μιας συνάρτησης f , έστω f (α) και f (β) όπου α, β σημεία του πεδίου ορισμού της f με α < β , ένας τρόπος να εργαστούμε είναι και ο ακόλουθος: α) Επιλέγουμε κατάλληλο x 0 ∈ (α, β) β) Εφαρμόζουμε το θεώρημα μέσης τιμής του διαφορικού λογισμού στα διαστήματα (α, x 0 ) και (x 0 , β) αντίστοιχα. γ) Αξιοποιούμε την κυρτότητα της f στο διάστημα (α, β) , δηλαδή τη μονοτονία της f ′ και αποδεικνύουμε τη ζητούμενη σχέση. 18 Παράδειγμα 2. Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο: f (x) = x3 1 − αe x , α > , x ∈  . 6 e i. Αποδείξτε ότι ex ≤ e x για κάθε x ∈  . ii. Αποδείξτε ότι η f δεν έχει σημεία καμπής. Λύση i. Θεωρούμε τη συνάρτηση g με τύπο g(x) = ex − e x , x ∈  . Η συνάρτηση g στο  είναι συνεχής ως παραγωγίσιμη σ’αυτό, πράξεις παραγωγισίμων συναρτήσεων στο  , με g′(x)= e − e x . Είναι: • g′(x) < 0 ⇔ e − e x < 0 ⇔ e1 < e x ⇔ x > 1 , διότι η ex είναι γνησίως αύξουσα συνάρτηση. • g′(x) > 0 ⇔ e − e x > 0 ⇔ e1 > e x ⇔ x < 1 , διότι η ex είναι γνησίως αύξουσα συνάρτηση. Η g είναι γνησίως αύξουσα στο (−∞,1] αφού είναι συνεχής σ’ αυτό και g′(x) > 0 στο εσωτερικό του. Επομένως : για x < 1 είναι g(x) < g(1) ⇔ ex − e x < 0 (1) . Η g είναι γνησίως φθίνουσα στο [1, +∞) αφού είναι συνεχής σ’ αυτό και g′(x) < 0 στο εσωτερικό του. Επομένως : για x > 1 είναι g(x) < g(1) ⇔ ex − e x < 0 (2) . Προφανώς για x = 1 είναι ex − e x = 0 (3) . Έτσι έχουμε για κάθε x ∈  ότι ex ≤ e x με την ισότητα να ισχύει μόνο όταν x = 1 . ii. Η συνάρτηση f με τύπο f (x) = x3 − αe x είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο  , ως 6 πράξεις παραγωγισίμων στο  , (οπότε και συνεχής σ’ αυτό) με x2 x − αe x και f ′′(x)= x − αe x = e x ( x − α) . f ′(x) = 2 e Όμως α > 1 1 x x 1 ⇔ −α < − ⇔ x − α < x − και από το (i) ερώτημα προκύπτει ότι e e e e e ex ≤ e x ⇔ x 1 − ≤ 0. ex e 19 Επομένως f ′′(x) < 0 για κάθε x ∈  δηλαδή η γραφική παράσταση της f στρέφει τα κοίλα κάτω στο  και συνεπώς δεν παρουσιάζει σημείο καμπής . Δεύτερος τρόπος: (με άτοπο) Αν υποθέσουμε ότι η Cf παρουσιάζει σημείο καμπής σε κάποιο x 0 ∈  τότε , ως δύο e o ≠0 x x 0 φορές παραγωγίσιμη σ’αυτό θα ισχύει f ′′(x 0 )= 0 ⇔ e ( x0 − α) = 0 ⇔ = α το eo exo x 1 οποίο είναι άτοπο, αφού από το (i) ερώτημα είναι x0 ≤ < α . o e e x xo Μεθοδολογία Για να αποδείξουμε ότι μια συνάρτηση, η οποία είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο  , δεν έχει σημείο καμπής αρκεί να αποδείξουμε ότι η δεύτερη παράγωγός της διατηρεί σταθερό πρόσημο στο  (έστω και αν μηδενίζεται σε μεμονωμένα σημεία του) . Εναλλακτικά έχουμε τη δυνατότητα να αποδείξουμε ότι η δεύτερη παράγωγος δεν μηδενίζεται σε κανένα x 0 ∈  .(υποθέτοντας ότι υπάρχει x 0 ώστε f ′′(x 0 ) = 0 και καταλήγοντας σε άτοπο). 20 Παράδειγμα 3. Αν f (x) = ln i. 1 1 και g(x) = x ln να αποδείξετε ότι : x x Η γραφική παράσταση της f στρέφει τα κοίλα άνω ενώ η γραφική παράσταση της g στρέφει τα κοίλα κάτω. ii. Οι γραφικές παραστάσεις των f , g έχουν μοναδικό κοινό σημείο στο οποίο έχουν κοινή εφαπτομένη. iii. x ln 1 1 ≤ 1 − x ≤ ln , για κάθε x > 0 . x x Λύση ∆ (0, +∞) . Οι συναρτήσεις f , g έχουν κοινό πεδίο ορισμού το = i. Η f είναι δύο φορές παραγωγίσιμη ως σύνθεση παραγωγισίμων συναρτήσεων στο = ∆ (0, +∞) με 1 1 − ,x > 0 f ′(x) = (ln )′ = (− ln x)′ = x x 1 1 f ′′(x) = (− )′ =2 > 0 για κάθε x ∈ = ∆ (0, +∞) . x x Επομένως η f στρέφει τα κοίλα άνω στο ∆ . Η g είναι δύο φορές παραγωγίσιμη ως πράξεις παραγωγισίμων συναρτήσεων στο = ∆ (0, +∞) με 1 1 −(x)′ ln x − x(ln x)′ = − ln x − x = − ln x − 1, x > 0 και g′(x) = (x ln )′ = (− x ln x)′ = x x 1 − < 0 για κάθε x ∈ = g′′(x) = (− ln x − 1)′ = ∆ (0, +∞) . Επομένως η f στρέφει τα x κοίλα κάτω στο ∆ . ii.  y = f (x) δίνει τα κοινά σημεία των γραφικών παραστάσεων των f , g .  y = g(x) Το σύστημα  Είναι: f (x) = g(x) ⇔ ln 1 1 1 1 = x ln ⇔ (x − 1) ln = 0 ⇔ x − 1 = 0 ή ln = 0 ⇔ x =1 x x x x 21 Άρα το σημείο M(1, f (1)) δηλαδή το M(1, 0) είναι το (μοναδικό) κοινό σημείο των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων f , g . Στο σημείο M η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f έχει εξίσωση: y − f (1) = f ′(1)(x − 1) ⇔ y − 0 = −1(x − 1) ⇔ y = −x + 1 Στο σημείο M η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της g έχει εξίσωση: y − g(1) = g′(1)(x − 1) ⇔ y − 0 = −1(x − 1) ⇔ y = −x + 1 Επομένως οι γραφικές παραστάσεις των f , g έχουν στο κοινό τους σημείο M(1, 0) κοινή εφαπτομένη (ε) με εξίσωση y =− x + 1 . iii. Η γραφική παράσταση της f στρέφει τα κοίλα άνω (κυρτή) όπως αποδείξαμε στο (i). Τότε η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f σε κάθε σημείο του Δ βρίσκεται “κάτω” από τη γραφική της παράσταση, με εξαίρεση το σημείο επαφής τους. Επομένως για την εφαπτομένη (ε) στο M(1, 0) θα ισχύει: f (x) ≥ − x + 1 ⇔ 1 − x ≤ ln 1 , για κάθε x > 0 , x (1). Η γραφική παράσταση της g στρέφει τα κοίλα κάτω (κοίλη) όπως αποδείξαμε στο (i). Τότε η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της g σε κάθε σημείο του Δ βρίσκεται “πάνω” από τη γραφική της παράσταση, με εξαίρεση το σημείο επαφής τους. Επομένως για την εφαπτομένη (ε′) στο M(1, 0) θα ισχύει: g(x) ≤ − x + 1 ⇔ x ln 1 ≤ 1 − x , για κάθε x > 0 , x (2). Συνεπώς από τις σχέσεις (1) και (2) προκύπτει η ζητούμενη σχεση, δηλαδή: x ln 1 1 ≤ 1 − x ≤ ln . x x Μεθοδολογία Για την απόδειξη ανισοτήτων της μορφής A(x) ≥ λx + κ με κ, λ ∈  ή της μορφής A(x) ≤ λx + κ όπου Α(x) είναι μία κυρτή (αντίστοιχα κοίλη) συνάρτηση στο πεδίο ορισμού της, χρησιμοποιούμε τη χαρακτηριστική ιδιότητα της κυρτής (αντίστοιχα κοίλης) συνάρτησης, όπου η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης σε κάθε σημείο του πεδίου ορισμού της θα βρίσκεται “κάτω” ( αντίστοιχα “πάνω”) από τη γραφική της παράσταση με εξαίρεση το σημείο επαφής τους. Αρκεί να προσδιορίσουμε ένα σημείο της στο οποίο η εφαπτομένη είναι η ευθεία y = λx + κ . 22 Παράδειγμα 4. i. Αν η f είναι κυρτή ή κοίλη στο διάστημα ∆ και κ, λ ∈ ∆ με κ < λ τότε να δείξετε ότι  κ+λ   , f (λ) δεν μπορεί να είναι με τη σειρά που δίνονται  2   κ+λ  διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου δηλαδή f ( κ) + f (λ ) ≠ 2 f  .  2  οι αριθμοί f ( κ) , f  ii.  α+β    2  Αποδείξτε ότι για κάθε α, β ∈ (0, π) με α < β θα είναι ηµα + ηµβ < 2ηµ  Λύση i. Θα αποδείξουμε ότι όταν η f είναι κυρτή στο ∆ και κ < λ τότε είναι  κ+λ  f ( κ) + f (λ ) > 2 f    2  Η f είναι κυρτή στο ∆ , επομένως η f ′ είναι γνησίως αύξουσα στο Δ (1). Δηλαδή η f είναι παραγωγίσιμη στο Δ άρα και συνεχής σ’ αυτό. Έτσι εφαρμόζεται το Θ.Μ.Τ. για την f σε καθένα από τα διαστήματα [ κ, κ+λ κ+λ ] και [ , λ] . 2 2 Επομένως θα υπάρχουν: ένα τουλάχιστον ξ1 ∈ ( κ, κ+λ ) τέτοιο ώστε να ισχύει 2  κ+λ  κ+λ f f  − f ( κ)  − f ( κ) 2  2    (2) και = f ′(ξ1 ) = ⇔ f ′(ξ1 ) κ+λ λ−κ −κ 2 2 κ+λ ένα τουλάχιστον ξ 2 ∈ ( , λ) τέτοιο ώστε να ισχύει 2  κ+λ  κ+λ f (λ ) − f  f (λ ) − f    2  2    (3) = f ′(ξ 2 ) ⇔ f ′(ξ 2 ) = κ+λ λ−κ λ− 2 2 Όμως ξ1 < f΄ γν. αυξ. (2),(3) κ+λ < ξ2 δηλαδή ξ1 < ξ 2 ⇔ f ′(ξ1 ) < f ′(ξ 2 ) ⇔ 2 23  κ+λ  κ+λ f  − f ( κ) f (λ ) − f    2   2  ⇔ f  κ + λ  − f ( κ ) < f (λ ) − f  κ + λ  <     λ−κ λ−κ  2   2  2 2 (αφού λ − κ > 0 ) ⇔ f ( κ) + f (λ ) > 2 f( κ+λ ) (4) 2 Ομοίως αποδεικνύεται ότι όταν f είναι κοίλη στο ∆ και κ < λ τότε είναι f ( κ) + f (λ) < 2 f( κ+λ ) (5) 2 Επομένως σε κάθε περίπτωση f ( κ) + f (λ ) ≠ 2 f( 2f ( ii. κ+λ ) οπότε οι αριθμοί f ( κ) , 2 κ+λ ) , f (λ) δεν μπορεί να είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου. 2 Εργαζόμαστε όπως και στο (i) ερώτημα θεωρώντας τη συνάρτηση g(x) = ηµx με x ∈ [α, β] όπου 0 < α < β < π . Επειδή g′(x) = συνx , g′′(x) = −ηµx < 0 για κάθε x ∈ (α, β) ⊆ (0, π) και g συνεχής στο [α, β] , η συνάρτηση g είναι κοίλη στο [α, β] και εφαρμόζοντας την (5) έχουμε ότι α +β ηµα + ηµβ < 2ηµ( ). 2 Μεθοδολογία Αν έχουμε ως δεδομένο ότι μια συνάρτηση είναι κυρτή (αντίστοιχα κοίλη) και ζητείται να αποδείξουμε ανίσωση A < B ή A > B , αρκεί να αντιστοιχίσουμε τα A, B σε τιμές f ′(x1 ), f ′(x 2 ) και να χρησιμοποιήσουμε τη μονοτονία της f ′ που έχουμε από τον ορισμό της κυρτής (αντίστοιχα κοίλης) συνάρτησης. Μια συνηθισμένη τακτική είναι να εφαρμόσουμε Θ.Μ.Τ. σε δύο υποδιαστήματα του πεδίου ορισμού ξένα μεταξύ τους. 24 Παράδειγμα 5. Η συνάρτηση f είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο  με την f ′ να είναι κυρτή στο  . Αν ο f ′′(1)+ i είναι φανταστικός: αριθμός ω = 2 ′′ f (1)+2 i ( ) i) Να αποδείξετε ότι ένας μιγαδικός είναι αντίθετος με το συζυγή του αν και μόνον αν είναι φανταστικός. ii) Αποδείξτε ότι f ′′(1) = 0 . iii) Αποδείξτε ότι η f παρουσιάζει σημείο καμπής στο x 0 = 1 . Λύση i. ii. Έστω ω∈ με ω = α + β i, µε α, β ∈  . Tότε: ω = −ω ⇔ α − βi = −α − βi ⇔ 2α = 0 ⇔ α = 0 ⇔ ω = β i ⇔ ω∈  . z −i Ονομάζουμε = z f ′′(1) + 2i . Τότε είναι ω = 2 , z ≠ 0 z Με την χρήση του i) έχουμε ότι: z −i z + i −z + i  z −i  ω∈ I ⇔ ω =- ω ⇔  2  = − 2 ⇔ 2 = 2 z z  z  z ⇔ z z2 + i z2 = z z ( z + z ) + i ( z2 − z 2 ) = 0⇔ − z z 2 + i z 2 ⇔ z z 2 + i z 2 + z z 2 − i z 2 =⇔ 0 0⇔ z z ( z + z ) + i ( z − z )( z + z ) = 0 ⇔ ( z + z ) ( z z + i ( z − z )) = ( ) 2 Re z ⋅ z + i ⋅ 2i Im z =0 2 = z f ′′(1) + 2i . Άρα 2f ′′(1) ⋅ (f ′′ 2 (1) + 4 − 4) = 0 ⇔ 2f ′′ 3 (1) = 0 ⇔ f ′′(1) = 0 . Όπου iii. Η f είναι παραγωγίσιμη στο 1 οπότε ορίζεται εφαπτομένη της Cf στο σημείο A (1, f (1) ) . Αρκεί να αποδείξουμε ότι η f ′′ αλλάζει πρόσημο εκατέρωθεν του x 0 = 1 . Πράγματι αφού η f ′ είναι κυρτή στο  έπεται ότι η f ′′ είναι γνησίως αύξουσα στο  . Έτσι: • αν x < 1 τότε f ′′(x) < f ′′(1) ⇔ f ′′(x) < 0 • αν x > 1 τότε f ′′(x) > f ′′(1) ⇔ f ′′(x) > 0 Οπότε η f ′′(x) είναι αρνητική για x < 1 και θετική για x > 1 δηλαδή η f παρουσιάζει σημείο καμπής στο x 0 = 1 . 25 Μεθοδολογία Όταν δίνεται ότι μία συνάρτηση G είναι κυρτή (αντίστοιχα κοίλη) σε ένα διάστημα ∆ και η παράγωγός της G ′ , μηδενίζεται σε κάποιο xο εσωτερικό του ∆ , χρησιμοποιούμε τον ορισμό ( G ′ γνησίως αύξουσα για την κυρτή ή γνησίως φθίνουσα για την κοίλη) για να αποδείξουμε ανισότητες τύπου G ′(x) > 0 ή G ′(x) < 0 για x εκατέρωθεν του x 0 . Ημερομηνία τροποποίησης: 8/2/2012 26