ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ Γυμνασίου Ενότητα 3α: Ρητοί Αριθμοί ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ Γυμνασίου Ενότητα 3α: Ρητοί Αριθμοί Συγγραφή: Ομάδα Υποστήριξης Μαθηματικών Συντονισμός έκδοσης: Χρίστος Παρπούνας, Συντονιστής Υπηρεσίας Ανάπτυξης Προγραμμάτων Έκδοση 2011 ISBN 978-9963-0-4585-3 © ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΚΥΠΡΟΥ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α΄ Γυμνασίου Ενότητα 3α: Ρητοί Αριθμοί ΡΗΤΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Διερεύνηση (1) • Πιο κάτω παρουσιάζεται ένας πίνακας με τα στοιχεία της κατανομής των μαθητών σε αθλήματα στα πλαίσια της διοργάνωσης ενός ενδοσχολικού αθλητικού διαγωνισμού. Κάθε μαθητής μπορούσε να συμμετέχει μόνο σε ένα άθλημα. Άθλημα Αριθμός μαθητών 110 Ποδόσφαιρο 63 Καλαθόσφαιρα 37 Πετόσφαιρα 90 Στίβος Αν οι μαθητές του σχολείου ήταν 500, τι μέρος των μαθητών: i. συμμετείχαν στην αθλητική ημερίδα; ii. έπαιξαν ποδόσφαιρο; iii. δεν ασχολήθηκαν με τα αθλήματα του στίβου; iv. έπαιξαν πετόσφαιρα ή καλαθόσφαιρα; Διερεύνηση (2) • Να μελετήσετε το διπλανό σχήμα και να βρείτε τι μέρος του τετραγώνου αντιστοιχεί στο κάθε χρώμα. Διερεύνηση (3) • Ένα ψυγείο τέθηκε σε λειτουργία στις 8 ∶ 00 𝜋. 𝜇.. Για έξι συνεχόμενες ώρες 3 μειώνεται η θερμοκρασία του κατά 2 4 °𝐶 την ώρα. Αν στις 10: 00 𝜋. 𝜇., η θερμοκρασία ήταν 2 °𝐶, πόση ήταν στις 11: 00 𝜋. 𝜇.; Να σημειώσετε τη θερμοκρασία που βρήκατε σε μια αριθμητική γραμμή. Τι πρέπει να ξέρετε Ρητοί αριθμοί είναι οι αριθμοί που μπορούν να γραφούν στη μορφή είναι ακέραιοι αριθμοί και 𝜈 είναι διαφορετικός από το μηδέν. Δηλαδή, 1 Ρητοί Αριθμοί 𝜇 ℚ = �𝜈 / 𝜇 ∈ ℤ, 𝜈 ∈ ℤ, 𝜈 ≠ 0� 𝜇 𝜈 όπου 𝜇, 𝜈 Δραστηριότητες Παράδειγμα: • Να βρείτε ποιοι από τους πιο κάτω ρητούς αριθμούς είναι θετικοί και ποιοι είναι αρνητικοί: 1 7 38 6 2, , − , + 5, − , + , − 12 3 2 10 5 Λύση: Θετικοί ρητοί αριθμοί: 1 6 2, , +5, + 3 5 Αρνητικοί ρητοί αριθμοί: 7 38 − , − , −12 2 10 1. Να γράψετε το κλάσμα που εκφράζει το σκιασμένο μέρος των παρακάτω σχημάτων. 2. Να σχεδιάσετε ένα τετράγωνο με πλευρά 3 𝑐𝑚 και να χρωματίσετε το μέρος που αντιστοιχεί σε: i. 1 9 ii. 1 3 iii. 1 2 iv. 5 9 3. Να βρείτε ποιοι από τους πιο κάτω ρητούς αριθμούς είναι ομόσημοι: 1 33 6 7, − 3, − , − , 81, + 76, − 25, 9 10 7 2 Ρητοί Αριθμοί 4. Να χαρακτηρίσετε με ΣΩΣΤΟ ή ΛΑΘΟΣ τις παρακάτω προτάσεις, βάζοντας σε κύκλο τον αντίστοιχο χαρακτηρισμό. i. ii. iii. iv. v. vi. Κάθε ακέραιος αριθμός είναι και ρητός. Οι φυσικοί αριθμοί δεν είναι ρητοί. Οι μικτοί κλασματικοί αριθμοί είναι ρητοί. Το 0 ανήκει στους ρητούς αριθμούς. ΣΩΣΤΟ / ΛΑΘΟΣ ΣΩΣΤΟ / ΛΑΘΟΣ ΣΩΣΤΟ / ΛΑΘΟΣ ΣΩΣΤΟ / ΛΑΘΟΣ Οι αριθμοί −3,42 και −2 100 είναι ετερόσημοι. ΣΩΣΤΟ / ΛΑΘΟΣ 3 Το 0 και το + 4 είναι ομόσημοι. ΣΩΣΤΟ / ΛΑΘΟΣ 17 5. Ποιοι από τους πιο κάτω ισχυρισμούς αληθεύουν; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. i. Κάθε φυσικός αριθμός είναι ακέραιος. ii. Κάθε ρητός αριθμός είναι φυσικός. iii. Κάθε ακέραιος αριθμός είναι ρητός. iv. Κάθε ρητός αριθμός είναι ακέραιος. 6. Δίνονται οι αριθμοί +5, −14, 7, 3 5 , 8 17 , −4, −3 Να βρείτε ποιοι από τους πιο πάνω αριθμούς είναι: i. Φυσικοί iv. Αρνητικοί ii. Ακέραιοι iii. v. Θετικοί ακέραιοι Θετικοί vi. Αρνητικοί ακέραιοι 7. Να βρείτε πέντε διαφορετικούς ρητούς αριθμούς που να βρίσκονται μεταξύ των πιο κάτω ζευγαριών αριθμών: 1 3 12 48 i. −2 και +1 ii. − και + iii. και 3 2 10 10 8. Να απαντήσετε τις πιο κάτω ερωτήσεις. i. Τι μέρος του χρόνου είναι ο μήνας; ii. Τι μέρος του λεπτού είναι το δευτερόλεπτο; iii. Τι μέρος του τόνου είναι τα 99 κιλά; iv. Τι μέρους του χιλιομέτρου είναι το εκατοστόμετρο; 9. Να συγκρίνετε τους ρητούς αριθμούς 3 Ρητοί Αριθμοί 3 2 , 7 5 8 7 1 , + 8 , −1, − 15 , + 5 με τη μονάδα. ΔΕΚΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Διερεύνηση (1) • Ο πιλότος Fernando Alonso στο παγκόσμιο πρωτάθλημα της «Φόρμουλα 1» το 2010, έκανε 50 γύρους της πίστας μέσα σε 1 ώρα και 38 λεπτά. Να υπολογίσετε το μέσο όρο του χρόνου ανά γύρο, που έκανε. Διερεύνηση (2) • Πιο κάτω φαίνονται κάποια έντομα. Να υπολογίσετε το μήκος τους ως κλάσμα και ως δεκαδικό αριθμό. Τι πρέπει να ξέρετε • Κάθε ρητός αριθμός, θετικός ή αρνητικός, που είναι γραμμένος σε μορφή κλάσματος μπορεί να εκφραστεί ως δεκαδικό κλάσμα. • Κάθε ρητός αριθμός μπορεί να γραφεί ως δεκαδικός με πεπερασμένο πλήθος σημαντικών ψηφίων ή περιοδικός δεκαδικός και, αντιστρόφως, κάθε δεκαδικός ή περιοδικός δεκαδικός μπορεί να πάρει κλασματική μορφή. 4 Ρητοί Αριθμοί • Ένας δεκαδικός αριθμός ονομάζεται περιοδικός δεκαδικός, όταν στη δεκαδική μορφή του επαναλαμβάνεται ένα «τμήμα» του αριθμού. Το επαναλαμβανόμενο «τμήμα» του αριθμού ονομάζεται περιοδικό τμήμα. Το πλήθος των ψηφίων του περιοδικού τμήματος ονομάζεται περίοδος. • Για να υποδείξουμε ότι επαναλαμβάνεται ένα ψηφίο ή ομάδα ψηφίων βάζουμε μία παύλα πάνω από το επαναλαμβανόμενο ή τα επαναλαμβανόμενα ψηφία, όπως φαίνεται στα πιο κάτω παραδείγματα: 0,333 … = 0, 3� , το 3 είναι το περιοδικό τμήμα του αριθμού �� , το 38 είναι το περιοδικό τμήμα του αριθμού −8,383838 … = −8, 38 �� , το 18 είναι το περιοδικό τμήμα του 34,23181818 … = 34,2318 αριθμού • • Ένας περιοδικός δεκαδικός αριθμός ονομάζεται απλός περιοδικός, όταν το περιοδικό τμήμα αρχίζει αμέσως μετά την υποδιαστολή. (π.χ. 0, 3� , ��) −8, �38 Ένας περιοδικός δεκαδικός αριθμός ονομάζεται μικτός περιοδικός, όταν το περιοδικό τμήμα δεν αρχίζει αμέσως μετά την υποδιαστολή. (π.χ. ��) 34,2318 Δραστηριότητες Παραδείγματα: • Να γράψετε τον αριθμό Λύση: O αριθμός 5,000 -48 20 -16 40 -40 0 5 8 5 8 σε δεκαδική μορφή. ισοδυναμεί με το πηλίκο του 5: 8 8 0,625 5 Ρητοί Αριθμοί Επομένως, 5 8 = 0,625 • Να γράψετε τον αριθμό Λύση: −5 3 σε δεκαδική μορφή. Για να γράψουμε τον αριθμό −5 3 ως δεκαδικό, διαιρούμε τον αριθμό 5 με τον 3 και βάζουμε το αρνητικό πρόσημο. 5,000 -3 20 -18 20 -18 20 … 3 1,666 Επομένως, −5 3 5 = − 3 = −1,666 ⋯ = −1, 6� Μετατροπή Περιοδικού Ρητού σε Κλασματικό Τι πρέπει να ξέρετε • Για να μετατρέψουμε έναν απλό περιοδικό δεκαδικό αριθμό σε κλασματική μορφή, ακολουθούμε τα πιο κάτω βήματα:  Θέτουμε τον αριθμό ίσο με μια μεταβλητή.  Πολλαπλασιάζουμε την ισότητα που προκύπτει με τη δύναμη του 10 που έχει εκθέτη την περίοδο του αριθμού.  Αφαιρούμε κατά μέλη τις δύο ισότητες και λύνουμε την εξίσωση που προκύπτει. Η λύση της εξίσωσης είναι η κλασματική μορφή του περιοδικού αριθμού. • Για να μετατρέψουμε ένα μικτό περιοδικό δεκαδικό αριθμό σε κλασματική μορφή, ακολουθούμε τα πιο κάτω βήματα:  Θέτουμε τον αριθμό ίσο με μια μεταβλητή.  Πολλαπλασιάζουμε την ισότητα με τη κατάλληλη δύναμη του 10 ώστε να προκύψει απλός περιοδικός αριθμός.  Ακολουθούμε τα βήματα της διαδικασίας μετατροπής απλού περιοδικού δεκαδικού αριθμού. 6 Ρητοί Αριθμοί Παραδείγματα: • Να μετατρέψετε τον αριθμό 0, 3� σε κλασματική μορφή. Λύση: 𝑥 = 0,333 … 10𝑥 = 3,333 … 10𝑥 − 𝑥 = 3,333 … − 0,333 … 1 ⇒ 9𝑥 = 3 ⇒ 𝑥 = 3 1 Άρα 0, 3� = 3 • Θέτουμε τον αριθμό ίσο με 𝑥 Πολλαπλασιάζουμε και τα δύο μέλη με το 10 Αφαιρούμε κατά μέλη τις δύο ισότητες και λύουμε την εξίσωση που προκύπτει Να μετατρέψετε τον αριθμό 0,586� σε κλασματική μορφή. Λύση: 𝑥 = 0,58666 … 100𝑥 = 58,666 … 1000𝑥 = 586,66 … 1000𝑥 − 100𝑥 = 586,66 … − 58,666 … 528 44 ⇒ 900𝑥 = 528 ⇒ 𝑥 = 900 = 75 44 Άρα 0,586� = 75 Θέτουμε τον αριθμό ίσο με 𝑥 Πολλαπλασιάζουμε και τα δύο μέλη με το 100 για να γίνει απλός περιοδικός δεκαδικός αριθμός Πολλαπλασιάζουμε και τα δύο μέλη με το 1000 Αφαιρούμε κατά μέλη τις δύο ισότητες και λύουμε την εξίσωση που προκύπτει Δραστηριότητες 1. Να βρείτε με ποιο δεκαδικό αριθμό είναι ίσοι οι επόμενοι περιοδικοί αριθμοί: �� (α) 4, 9� (β) 0,28� (γ) 3,417 3 2. Να γράψετε τα κλάσματα 1 7 και −2 3 σε δεκαδική μορφή. �� σε κλασματική μορφή. �� και 0, �45 3. Να μετατρέψετε τον αριθμό 4, 318 7 Ρητοί Αριθμοί Σύγκριση Ρητών Αριθμών Εξερεύνηση • Ο πιο κάτω πίνακας παρουσιάζει, σε παγκόσμιο επίπεδο, την ποσότητα υλικών που ανακυκλώνουμε, σε σχέση με την παραγωγή τους. Υλικό Χαρτί Αλουμίνια τενεκεδάκια Γυαλί Άχρηστα ελαστικά οχημάτων Μέρος υλικού που ανακυκλώνεται. 5 11 5 8 2 5 3 4 Να σχολιάσετε τα στοιχεία που δίνονται στον πίνακα. Διερεύνηση (1) • Με βάση τα στοιχεία του πιο πάνω πίνακα, να απαντήσετε τα πιο κάτω ερωτήματα: i. Ανακυκλώνουμε περισσότερο ή λιγότερο από το μισό του χαρτιού που παράγουμε; ii. Ανακυκλώνουμε περισσότερα ή λιγότερα από τη μισή ποσότητα αλουμινίων που παράγουμε; 1 iii. Ποια υλικά έχουν ποσοστό ανακύκλωσης μεγαλύτερο από το 2 ; iv. 1 Ποια υλικά έχουν ποσοστό ανακύκλωσης μικρότερο από το 2 ; Τι πρέπει να ξέρετε • Για να συγκρίνουμε ρητούς αριθμούς εργαζόμαστε όπως και στους ακέραιους αριθμούς. Τοποθετούμε τους ρητούς αριθμούς στην ευθεία των ρητών αριθμών και ακολούθως τους συγκρίνουμε. 8 Ρητοί Αριθμοί Δραστηριότητες Παράδειγμα: • Να τοποθετήσετε σε ένα άξονα τους πιο κάτω ρητούς αριθμούς: 32 5 4 5 3, − , +3,5 , −5 , 1 , ,− , −7,3 , 8 20 8 2 Λύση: Μετατρέπουμε τους κλασματικούς αριθμούς σε δεκαδικούς ή τους δεκαδικούς σε κλασματικούς και τους τοποθετούμε στην ευθεία των ρητών αριθμών. − 32 8 = −4 , Έτσι έχουμε: Άρα, 5 20 4 = 0,25 , − 8 = −0,5 , −7,3 < −5 < − 32 8 4 5 2 = 2,5 5 5 < − 8 < 20 < 1 < 2 < 3 < +3,5 1. Να συμπληρώσετε τα κενά με το κατάλληλο σύμβολο <, > ή = ώστε να προκύψουν αληθείς σχέσεις. +6 … + 5 +5 … − 5 − 3 4 1 3 ….+ 2 5 4 …3 7 8 −3 1 2 … −3 2 3 −2010 … − 2011 0 …− 1 2 2 3 +34 … − 70 2. Να συμπληρώσετε τα κενά με έναν κατάλληλο ρητό αριθμό. (α) (δ) −5 < ⋯ < +4 3 7 <⋯ < 8 8 9 Ρητοί Αριθμοί (β) (ε) −3 < ⋯ < 0 1 −3 < ⋯ < −4 4 (γ) (στ) − 1 2 <⋯< 2 3 −3 < ⋯ < +3 3. Να υπολογίσετε τις αριθμητικές παραστάσεις και να τις συγκρίνετε: Α= 10 2 Δ = (−2): (+5) Η = 3: 4 10 Ρητοί Αριθμοί Β = 20: 4 Ε = 8: (−10) 2 Θ = 13 Γ = 4: 3 Ζ = (−12): (−16) 7 Κ=7 ΟΙ ΠΡΑΞΕΙΣ ΤΩΝ ΡΗΤΩΝ Πρόσθεση και Αφαίρεση Διερεύνηση (1) • Στο αγώνισμα «άλμα εις τριπλούν» ένας αθλητής πρέπει να κάνει τρία άλματα το ένα μετά το άλλο χωρίς να διακόψει. Να υπολογίσετε την απόσταση που κάλυψε με τα τρία άλματά του ο αθλητής που αγωνίστηκε στο άλμα εις τριπλούν, με βάση τα δεδομένα που παρουσιάζονται στην πιο κάτω εικόνα. 1 1 64 𝑚 55 𝑚 1 52 𝑚 Διερεύνηση (2) • Στον πίνακα φαίνεται μέρος της κατάστασης του τραπεζικού λογαριασμού του κου Κώστα. Ημερομηνία 𝟒/𝟑/𝟐𝟎𝟏𝟎 𝟓/𝟑/𝟐𝟎𝟏𝟎 𝟏𝟎/𝟒/𝟐𝟎𝟏𝟎 𝟏𝟓/𝟒/𝟐𝟎𝟏𝟎 𝟐𝟎/𝟒/𝟐𝟎𝟏𝟎 𝟐𝟓/𝟒/𝟐𝟎𝟏𝟎 𝟏/𝟓/𝟐𝟎𝟏𝟎 𝟏𝟎/𝟓/𝟐𝟎𝟏𝟎 𝟏𝟖/𝟓/𝟐𝟎𝟏𝟎 i. ii. Καταθέσεις /Αναλήψεις −𝟐𝟏𝟎, 𝟏𝟒 +𝟏𝟎𝟎𝟎, 𝟓𝟓 −𝟏𝟐𝟓, 𝟐𝟎 −𝟕𝟓, 𝟏𝟑 −𝟓𝟎 +𝟑𝟎𝟎𝟎, 𝟔𝟔 −𝟒𝟔𝟕, 𝟑𝟐 −𝟏𝟒𝟓𝟑,24 Υπόλοιπο 𝟑𝟕𝟖, 𝟔𝟖 Να υπολογίσετε το υπόλοιπο του λογαριασμού του στις 19/5/2010. 3 Αν ο κ. Κώστας έδωσε τα 5 του υπόλοιπου που είχε στις 19/5/2010 για να πληρώσει τη δόση του στεγαστικού του δανείου, να βρείτε το νέο υπόλοιπο του λογαριασμού του στις 19/5/2010. 11 Ρητοί Αριθμοί Τι πρέπει να ξέρετε • Ομώνυμα κλάσματα ονομάζονται τα κλάσματα τα οποία έχουν τους ίδιους παρονομαστές. • Ετερώνυμα κλάσματα είναι αυτά που δεν είναι ομώνυμα. Για να μετατρέψουμε τα ετερώνυμα κλάσματα σε ομώνυμα ακολουθούμε τα πιο κάτω βήματα:  Βρίσκουμε το Ε.Κ.Π. των παρονομαστών  Διαιρούμε το Ε.Κ.Π. με καθένα από τους παρονομαστές.  Πολλαπλασιάζουμε τους δύο όρους κάθε κλάσματος επί τον αντίστοιχο αριθμό που βρήκαμε. • Πρόσθεση και Αφαίρεση ομώνυμων κλασμάτων. 𝛂 𝛄 𝛂+𝛄 + = 𝛃 𝛃 𝛃 , 𝛂 𝛄 𝛂−𝛄 − = 𝛃 𝛃 𝛃 𝛃≠𝟎 Ιδιότητες της Πρόσθεσης Εξερεύνηση • Να υπολογίσετε τα αθροίσματα με ή χωρίς τη χρήση του εφαρμογιδίου «Αριθμητική Γραμμή _ Πλακίδια.ggb». Να συγκρίνετε τα αποτελέσματα των πράξεών σας σε κάθε περίπτωση. (α) 21 + (−12) και −12 + 21 (β) −34 + (−27) και −27 + (−34) (γ) 0 + 24 και 24 + 0 (δ) 0 + (−16) και −16 + 0 Τι παρατηρείτε; 12 Ρητοί Αριθμοί Διερεύνηση • Ένας μαθητής χρησιμοποίησε την αριθμητική γραμμή και τα πλακίδια, για να εκτελέσει κατά σειρά τις επόμενες πράξεις: (α) (+6) + (−3) , (β) (−3) + (+6) Πιο κάτω φαίνεται ο τρόπος που εργάστηκε ο μαθητής: (α) (β)  Να περιγράψετε τον τρόπο που εργάστηκε ο μαθητής.  Τι παρατηρείτε ως προς το αποτέλεσμα των δυο πράξεων; Τι πρέπει να ξέρετε • Στην πρόσθεση ισχύουν οι ιδιότητες που έχουμε δει στους φυσικούς αριθμούς.  Αντιμεταθετική ιδιότητα: 𝜶 + 𝜷 = 𝜷 + 𝜶.  Προσεταιριστική ιδιότητα: 𝜶 + 𝜷 + 𝜸 = (𝜶 + 𝜷) + 𝜸 = 𝜶 + (𝜷 + 𝜸)  Το 0 είναι το ουδέτερο στοιχείο της πρόσθεσης: 𝜶 + 𝟎 = 𝟎 + 𝜶 = 𝜶 13 Ρητοί Αριθμοί Δραστηριότητες Παραδείγματα: • Να υπολογίσετε τα παρακάτω αθροίσματα: (α) −7 + 0 Λύση: (α) −7 + 0 = −7 2 5 2 (γ) − 3 + 3 = 0 • 5 5 − + 3 3 (γ) Το μηδέν είναι το ουδέτερο στοιχείο της πρόσθεσης. (β) 0 + �− 3� = − 3 5 2 0 + �− � 3 (β) Το μηδέν είναι το ουδέτερο στοιχείο της πρόσθεσης. Οι προσθετέοι είναι αντίθετοι, το άθροισμα τους είναι μηδέν. 1 5 Να υπολογίσετε το άθροισμα: –1,3 + 5 + 3,2 − 2 2 + 1,3 − 2 Λύση: 1 5 1 5 –1,3 + 5 + 3,2 − 2 2 + 1,3 − 2 = �– 1,3 − 2 2 − 2� + (5 + 3,2 + 1,3) 3 1 1 2 3 = �−1 10 − 2 2 − 2 2� + �5 + 3 10 + 1 10� 3 5 5 2 3 = �−1 10 − 2 10 − 2 10� + �5 + 3 10 + 1 10� 13 5 = −5 10 + 9 10 3 5 = −6 10 + 9 10 2 = 3 10 14 Ρητοί Αριθμοί • Το δημαρχείο της πόλης πρόκειται να ανακαινίσει το θέατρο. Για το σκοπό αυτό διαθέτει 45 χιλιάδες ευρώ. Η ολοκλήρωση του έργου θα απαιτήσει 32 χιλιάδες ευρώ για οικοδομικές εργασίες, 15 χιλιάδες ευρώ για επίπλωση και 7 χιλιάδες ευρώ για ηλεκτρονικό εξοπλισμό. Το δημαρχείο έχει στη διάθεση του μια δωρεά ύψους 4 χιλιάδων ευρώ. Ο λογιστής του δημαρχείου γράφει μια παράσταση για τον υπολογισμό του ποσού που υπολείπεται για τη διεκπεραίωση του έργου. Ο δήμαρχος σημειώνει στο δικό του χαρτί τη δική του παράσταση. (α) Λογιστής: 45 − (32 + 15 + 7 − 4) (β) Δήμαρχος: 45 − 32 − 15 − 7 + 4  Να υπολογίσετε το ποσό που υπολείπεται σύμφωνα με τις δυο παραστάσεις.  Να εξετάσετε την ορθότητα των δυο μεθόδων. Λύση: Λογιστής: 45 − (32 + 15 + 7 − 4) = 45 − (54 − 4) = 45 − 50 = −5 Δήμαρχος: 45 − 32 − 15 − 7 + 4 = 49 − 54 = −5 Υπολείπονται 5 χιλιάδες ευρώ. Και με τις δύο μεθόδους βρίσκουμε την ίδια απάντηση. Παρατήρηση: Όταν μια παρένθεση έχει μπροστά της το πλην, " − " , τότε μπορούμε να την απαλείψουμε γράφοντας τους όρους που περιέχει με αντίθετο πρόσημο. −(𝜶 + 𝜷 − 𝜸 − 𝜹 + 𝜺 ⋯ ) = −𝜶 − 𝜷 + 𝜸 + 𝜹 − 𝜺 ⋯ 1. Να κάνετε τις πράξεις. 3 1 1 − +2 8 8 8 (α) 1 3 1 (β) 1 − + 2 10 5 (γ) 3− 5 3 −1 8 4 2. Να υπολογίσετε την τιμή των παραστάσεων. A = (−2,4 + 1,5)— 3,71 + 1,71 + (−6 + 1,5 + 1,3) 1 3 B = −3 + 2 − 2,3 + 5 Γ= Α + Β 2 3. Αν 𝑥 = −3, 𝑦 = + 3, να υπολογίσετε την αριθμητική τιμή της παράστασης: 15 Ρητοί Αριθμοί 5 3 + �𝑥 − 𝑦 − � 3 4. Να βρείτε το 𝑥 σε κάθε περίπτωση: (α) (δ) (ζ) (β) −12 + 𝑥 = 0 3 −𝑥 =0 8 16 �− � + 𝑥 = 0 5 (ε) (η) 𝑥 + (−3) = 0 7 =𝑥 9 2 2 � + �+0=𝑥 5 3 0− (γ) 𝑥 + (−12) = −12 (στ) 2,3 + 𝑥 = 0 (θ) 2𝑥 + |−4,6| = 0 5. Ποιο είναι το συμπέρασμά σας για τους ρητούς 𝛼 και 𝛽 αν: (α) 𝛼 + 𝛽 = 0 (β) 𝛼 + 𝛽 = 𝛼 (γ) 𝛼 + 𝛽 = 0 και 𝛼 + 𝛽 = 𝛼 6. Να εξετάσετε κατά πόσο αν ισχύει η αντιμεταθετική ιδιότητα στην αφαίρεση. 7. Να υπολογίσετε την τιμή των παραστάσεων: (α) (γ) 12 − (11 − 3) + (5 − 7) − (8 + 6) 7 1 2 1 3 −� − �−� + � 12 4 3 6 4 (β) (δ) −(13,7 − 2,6) + 14,8 − (−8,7 + 5) 3 1 3 1 − �2 − 7,3� − � − 2 � + � − 7,3� 5 3 5 3 8. Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης, 𝛢 = −4 − 𝛼 + 8 − 𝛽 − 13, όταν 𝛼 + 𝛽 = −6. Πολλαπλασιασμός Ρητών Διερεύνηση  Η Έλενα θέλει να φτιάξει μπισκοτάκια με σοκολάτα. Η συνταγή που έχει είναι για 60 μπισκότα, αλλά η Έλενα θέλει να φτιάξει μόνο 20.  Πώς θα μειώσει κατάλληλα τα υλικά της συνταγής;  Στην αρχική συνταγή τα 2 5 των υλικών είναι βούτυρο. Να βρείτε τι μέρος του βουτύρου της αρχικής συνταγής πρέπει να χρησιμοποιήσει. 16 Ρητοί Αριθμοί  Το μοντέλο που ακολουθεί παρουσιάζει γεωμετρικά τον τρόπο υπολογισμού του βουτύρου.  Τι αντιπροσωπεύει το καθένα από τα τρία ορθογώνια;  Τι αντιπροσωπεύει το σκιασμένο μέρος σε κάθε ορθογώνιο;  Πώς μπορεί γεωμετρικά να κατασκευαστεί το τρίτο ορθογώνιο, χρησιμοποιώντας τα πρώτα δυο;  Ποια πράξη παριστάνει το πιο κάτω μοντέλο;  Να χρησιμοποιήσετε την ιδέα του γεωμετρικού μοντέλου, για να βρείτε τα γινόμενα, (α) Τεχνολογία: 3 4 ∙ 4 5 και 1 2 (β) 1 4 ∙ 3  Να χρησιμοποιήσετε το εφαρμογίδιο, « ginomeno_klasmaton.html», για να 1 3 βρείτε τα γινόμενα, (α) 2 ∙ 5 (β) 2 4 ∙ 3 7 Τι πρέπει να ξέρετε • Γινόμενο κλασμάτων 𝛂 𝛄 𝛂∙𝛄 ∙ = 𝛃 𝛅 𝛃∙𝛅 • 𝛃 ≠ 𝟎 ,𝛅 ≠ 𝟎 Δύο ρητοί αριθμοί 𝜶 και 𝜷 που έχουν γινόμενο ίσο με τη μονάδα, ονομάζονται αντίστροφοι. Δηλαδή, 𝒂 ⋅ 𝜷 = 𝟏 ⇔ ο α είναι ο αντίστροφος του β και ο β είναι ο αντίστροφος του α. 17 Ρητοί Αριθμοί Ιδιότητες του Πολλαπλασιασμού Διερεύνηση (1) • Δύο μαθητές χρησιμοποιούν ένα γεωμετρικό μοντέλο, για να βρουν το 3 4 γινόμενο 7 ∙ 5. Πιο κάτω φαίνεται πώς εργάστηκε ο κάθε μαθητής: (α) (β) × = × =  Να περιγράψετε τον τρόπο που εργάστηκε ο κάθε μαθητής.  Να βρείτε τα γινόμενα −2 5 3 ∙ 6 και 4 1 ∙ �− 4� . 7  Να γράψετε ένα γενικό κανόνα για το γινόμενο των ρητών αριθμών που να συνοψίζει τα πιο πάνω. Διερεύνηση (2) • Η βροχόπτωση της τελευταίας εβδομάδας του Δεκεμβρίου αποτελεί το 1 3 της συνολικής μέσης βροχόπτωσης του μήνα. Η μέση βροχόπτωση του Δεκεμβρίου αντιστοιχεί περίπου στο 1 4 της συνολικής ετήσιας βροχόπτωσης που είναι περίπου 450 χιλιοστόμετρα.  Τι εκφράζει το γινόμενο  Τι εκφράζει το γινόμενο 1 ∙ 450 ; 4 1 1 ∙ ; 3 4  Πόσα χιλιοστόμετρα ήταν η βροχόπτωση της τελευταίας εβδομάδας του Δεκεμβρίου;  Να συγκρίνετε τις πιο κάτω παραστάσεις: (α) 1 1 ∙ �4 ∙ 450� , 3 18 Ρητοί Αριθμοί 1 1 (β) �3 ∙ 4� ∙ 450 και 1 1 (γ) �3 ∙ 450� ∙ 4 . Τι πρέπει να ξέρετε • Στον πολλαπλασιασμό ισχύουν οι ιδιότητες που έχουμε δει στους φυσικούς αριθμούς. Δηλαδή αν 𝛼, 𝛽, 𝛾 είναι ρητοί αριθμοί, τότε:  Αντιμεταθετική ιδιότητα: 𝒂 ⋅ 𝜷 = 𝜷 ⋅ 𝒂  Προσεταιριστική ιδιότητα: (𝒂 ⋅ 𝜷) ⋅ 𝜸 = 𝜶 ⋅ (𝜷 ⋅ 𝜸)  Επιμεριστική ιδιότητα ως προς την πρόσθεση και την αφαίρεση: 𝒂 ⋅ (𝜷 + 𝜸) = 𝒂 ⋅ 𝜷 + 𝒂 ⋅ 𝜸 και 𝒂 ⋅ (𝜷 − 𝜸) = 𝒂 ⋅ 𝜷 − 𝒂 ⋅ 𝜸  Το 𝟏 είναι το ουδέτερο στοιχείο του πολλαπλασιασμού: 𝟏⋅ 𝜶 = 𝜶⋅ 𝟏 = 𝜶  Όταν ένας ρητός αριθμός πολλαπλασιάζεται με το 0 το γινόμενο ισούται με 𝟎: 𝟎⋅𝜶 = 𝜶⋅𝟎 = 𝟎 Δραστηριότητες Παραδείγματα: • Να κάνετε τις πράξεις. 2 i. 3 ∙ �− � 4 5 Λύση: i. ii. • 3 4 2 3∙2 ii. 3 ∙ �− 5� = − 4∙5 = − 10 3 5∙3 (−5) ∙ �− 3 � 10 3 (−5) ∙ �− � = + = 10 10 2 Να χρησιμοποιήσετε την επιμεριστική ιδιότητα για να απλοποιήσετε τις ακόλουθες παραστάσεις: (𝑥 + 4) − 2 ∙ (𝑥 + 5) (α) (β) 1 ∙ (4𝑧 + 6) 2 Λύση: (α) (𝑥 + 4) − 2 ∙ (𝑥 + 5) = 𝑥 + 4 − 2𝑥 − 10 = (1 − 2)𝑥 − 6 = −𝑥 − 6 (β) 1 1 1 ∙ (4𝑧 + 6) = 2 ∙ 4𝑧 + 2 ∙ 6 = 2𝑧 + 3 2 19 Ρητοί Αριθμοί 1. Να κάνετε τις πράξεις: 2 1 ∙ �− � 5 4 α) β) 7 ∙ �− 3 � 14 γ) �− 5 1 �∙ 12 2 δ) 1 4 1 ∙ �− � 3 7 2. Να συμπληρώσετε τα κενά με το κατάλληλο σύμβολο <, =, > ώστε να προκύψουν αληθείς σχέσεις: 2 α) (+6) �− 3� … + 5 1 3 β) �− 2� ⋅ (+6) … . � + 5� ⋅ (−10) 1 𝜸) �− 2� ∙ (+2) … 0 3. Να συμπληρώσετε τον πίνακα: ⋅ 1 2 5 + 3 + − 1 −2 0 3 4. Να απλοποιήσετε τις επόμενες παραστάσεις: (α) (γ) (ε) (ζ) (θ) (4 + 𝑥) − (𝑥 + 2) (β) 0,25 ∙ (6𝛼 + 32) (δ) 4 ∙ (𝜇 + 7) − 6 ∙ (4 − 𝜇) (ι) 0,6 ∙ (0,2𝑥 − 2) (𝜌 + 3) ∙ (−5) (στ) (η) (𝑥 + 2) − 7 −4,2 ∙ (𝜅 − 11) (2 − 𝜆) ∙ (−6) 6 − (𝑥 − 5) + 7 −5 ∙ (𝑦 − 11) + 2𝑦 5. Να χρησιμοποιήσετε την επιμεριστική ιδιότητα, για να απλοποιήσετε τις παραστάσεις: (α) 9𝑥 + 12 3 (β) − 6𝑧 − 2 8 6. Να χρησιμοποιήσετε την επιμεριστική ιδιότητα για να υπολογίσετε το γινόμενο: i. ii. 6 ∙ (19,99) 9 ∙ (5998) 20 Ρητοί Αριθμοί Διαίρεση Ρητών Διερεύνηση • Το εμβαδόν του ορθογωνίου ΑΒΓΔ είναι 8 15 𝑚2. Το ορθογώνιο αποτελείται από οκτώ ίσα μικρά ορθογώνια. Να βρείτε διαστάσεις ενός μικρού ορθογωνίου. τις Τι πρέπει να ξέρετε • Διαίρεση κλασμάτων α γ α δ α∙δ ∶ = ∙ = β δ β γ β∙γ • • • β ≠ 0 , γ ≠ 0, δ ≠ 0 Το κλάσμα του οποίου ένας τουλάχιστον από τους δύο όρους του είναι κλάσμα λέγεται σύνθετο κλάσμα. Ένα σύνθετο κλάσμα μετατρέπεται σε απλό διαιρώντας τον αριθμητή με την παρονομαστή. 𝛂 𝛃 𝛂 𝛄 𝛂∙𝛅 𝛄 = 𝛃 ∶𝛅= 𝛃∙𝛄 𝛅 𝛃 ≠ 𝟎 , 𝛄 ≠ 𝟎, 𝛅 ≠ 𝟎 Στη διαίρεση ισχύει η επιμεριστική ιδιότητα.  Επιμεριστική ιδιότητα ως προς την πρόσθεση και την αφαίρεση: (𝜷 + 𝜸): 𝒂 = 𝜷 ∶ 𝒂 + 𝜸 ∶ 𝒂 και (𝜷 − 𝜸): 𝜶 = 𝜷 ∶ 𝒂 − 𝜸 ∶ 𝒂 Ειδικές περιπτώσεις:  𝜶∶𝜶=𝟏  𝜶∶𝟏=𝜶  𝟎∶𝜶=𝟎 21 Ρητοί Αριθμοί Δραστηριότητες Παραδείγματα: • Να κάνετε τις πράξεις. α) Λύση: α) β) 5 4 : �− � 12 25 β) (−2): �− 7 � 10 5 4 5 25 125 29 : �− � = · �− � = − = −2 12 25 12 4 48 48 (−2): �− 7 10 20 6 � = (−2) · �− � = + =2 10 7 7 7 1. Να κάνετε τις πράξεις. α) 3 21 : �− � 25 10 β) 7: �− 1 � 14 γ) 2 9 �−1 � : 3 2 δ) 2. Να εξετάσετε την ορθότητα των πιο κάτω πράξεων: α) γ) −1 2 : �− � = 1 5 5 6 6 : =1 7 7 β) δ) � 1 1 7 : �− � 2 2 10 3 � : �− � = 1 3 10 1 8 −1 : �− � = 1 7 7 3. Να συμπληρώσετε τους πιο κάτω πίνακες: 𝜶: 𝜷 +𝟐 −𝟐 𝜷 +𝟒 −𝟒 𝜶 +𝟏𝟔 −𝟑𝟐 −𝟏𝟐 −𝟏𝟐𝟖 22 Ρητοί Αριθμοί 𝜶∶𝜷 𝟐 𝟑 𝟐 − 𝟓 𝟒 + 𝟕 𝟒 − 𝟗 + 𝜷 − 𝟏 𝟐 + 𝟏 𝟑 𝜶 −𝟏 𝟎 4. Να χαρακτηρίσετε ΣΩΣΤΟ ή ΛΑΘΟΣ τις πιο κάτω προτάσεις, βάζοντας σε κύκλο τον αντίστοιχο χαρακτηρισμό. i. [(+16): (+4)]: (+2) = (+16): [(+4): (+2)] ΣΩΣΤΟ / ΛΑΘΟΣ [(−36): (+6)]: (−2) = (−36): [(+6): (−2)] ΣΩΣΤΟ / ΛΑΘΟΣ ΣΩΣΤΟ / ΛΑΘΟΣ v. [(+25) + (−10)]: (−5) = (+25): (−5) + (−10): (−5) vi. Στη διαίρεση ισχύει η προσεταιριστική ιδιότητα ii. iii. iv. (12 + 6): 2 = 12: 2 + 6: 2 ΣΩΣΤΟ / ΛΑΘΟΣ 2: (3 + 5) = 2: 3 + 2: 5 ΣΩΣΤΟ / ΛΑΘΟΣ ΣΩΣΤΟ / ΛΑΘΟΣ 5. Να κάνετε τις πράξεις: 7 3 2 1 (α) �+ 3� : (−4) + �− 2 + 3� : �− 4� (β) (γ) 1 3 1 2 5 (−2)⋅�− � 3 �− �+�− � 1 2 3 3 4 −2:�− � 3 − + 6. Να κάνετε τις πράξεις: (α) 2 −4 −2 + − −5 3 5 1 −1− 3 1 (β) �− −3 + −7 3 −2 − 2� : �2010� 7. Αν 𝛼 = −3 , 𝛽 = −2 και 𝛾 = 4, να υπολογίσετε την αριθμητική τιμή των παραστάσεων : (α) 𝛼⋅𝛽+𝛾𝛼 𝛽 23 Ρητοί Αριθμοί (β) (𝛼−𝛽)⋅(𝛼+𝛽) 𝛾 Ρητοί και Υπολογιστική Αριθμομηχανή Κλάσματα Τετραγωνική ρίζα Εκθέτης Δύναμης Παρενθέσεις Μετατροπή κλάσμα Δεκαδικός Σύμβολα για τις 4 πράξεις Υποδιαστολή Επαναφορά προηγούμενου αποτελέσματος Το πάτημα του κουμπιού μας δίνει το αποτέλεσμα της πράξης Εκθέτης δύναμης με βάση το 10 = Ίσον (Βρίσκει την τιμή της παράστασης) ∙ Υποδιαστολή ΕΧΡ Ans 𝜒0 Εκθέτης δύναμης με βάση το 10 𝛸10 𝜒 𝜒𝑦 Επαναφορά τελευταίου αποτελέσματος ^ Δύναμη Ποντίκι (Mouse) DEL Ενεργοποίηση της εντολής που βρίσκεται πάνω από κάθε κουμπί Επανεκκίνηση υπολογιστικής Σβήσε το τελευταίο ψηφίο ή εντολή Abs Απόλυτη τιμή(μόνο σε μερικές υπολογιστικές) (-) Εισαγωγή Πρόσημου - SHIFT 2nd F AC a b/c SD CLR 2 3 a b/c Mcl Κλάσμα Μετατροπή Κλάσμα Δεκαδικός Σβήσιμο μνήμης M+ Πρόσθεσε τον αριθμό στην μνήμη M- Αφαίρεσε τον αριθμό από την μνήμη M Ανακάλεσε τον αριθμό της μνήμης 24 Ρητοί Αριθμοί Πράξη Εντολές υπολογιστικής 3+4 2,34 – 1,1 3∙2 4 = 2 3 ∙ 3 x 5 2 3 4 5 3 4 2 3 2∙(7-3) 2-(-3) |−3| 3 4 = a b/c 2 x ( 7 – 3 ) 7 – 3 = 2 x Ans 2 – ( 3 ) = Αν 0,25 αποτέλεσμα μιας πράξης (-) Ανάκληση μνήμης 3∙(9-6:2) – 6:(9-6:2) 25 Ρητοί Αριθμοί 3 Χ = 2 2ΧΑns 2-(-3) |−3| 3 = a b/c Μ – 2 ┘3 ┘4 √4 2Χ(7-3) = ή Υπολογισμός και αποθηκευση 9 – 6 ÷ 2 = Μ+ 9-6:2 24 5 SD SHIFT 5000 3 4 = 3 4 = Abs ή 5Χ103 32 3┘4 2 (-) 5 3 4 = 4 = a b/c 1.24 6 5Ε3 5 X² = 2∙(7-3) 2.34 – 1.1 2^5 ή 2 4 2 √ 5 = 3 = a b/c ή 2 1 7 3X2 3 SHIFT √4 1 ∙ = ΕΧP 3 – 2 = a b/c ή 3+4 4 2 𝜒0 5 5 ∙ 103 2 3 + Στην οθόνη 6 ÷ Μ = 2 25 8 8 5 3 1 4 9 – 6 : 2 Μ+ 3ΧΜ–6:Μ 6 17 Δραστηριότητες Να κάνετε τις πράξεις και στη συνέχεια να επαληθεύεστε την απάντηση σας με τη βοήθεια της υπολογιστικής μηχανής. i. iii. v. vii. ix. x. xi. 127 − 25 + 2 15 − [4 ∙ (2 + 3) − 8] −2+6 = ( −2 + 4).( −1) ( −6).( +2) + ( −4 − 3) + 1 (10 − 8) + 7 ii. iv. vi. viii. 1 1 ( − ).( −3 ) 2 = 2 1 1 − − (− ) 3 2 2 1 − 1  −  − 2 1  −  1 + 2 − 1 + 1  =       2009 2009   2 3  6 3 1 3 2 42 – 7 ∙ 5 27+6 3 1 4 1 �2,3 − 1 5� : 8 + 0,25 36 − 23 : �2 − 0,25� + √25 − 70 + �4� − 9 ∙ 0,125 26 Ρητοί Αριθμοί 5 5 ∙ �2 + 6� Δραστηριότητες Εμπλουτισμού 1 . Να χαρακτηρίσετε με ΣΩΣΤΟ ή ΛΑΘΟΣ τις παρακάτω προτάσεις, βάζοντας σε κύκλο τον αντίστοιχο χαρακτηρισμό. i. Ο αριθμός – 𝑥 είναι πάντοτε ένας αρνητικός ρητός αριθμός. ΣΩΣΤΟ / ΛΑΘΟΣ Ο αριθμός – 𝑥 είναι ο αντίθετος του αριθμού 𝑥. Οι αντίθετοι αριθμοί έχουν αντίθετες απόλυτες τιμές. Η απόλυτη τιμή ενός αριθμού μπορεί να είναι και αρνητικός αριθμός. ΣΩΣΤΟ / ΛΑΘΟΣ v. Οι αντίστροφοι αριθμοί έχουν γινόμενο 0 ΣΩΣΤΟ / ΛΑΘΟΣ vi. Οι αντίστροφοι αριθμοί έχουν γινόμενο –1 ΣΩΣΤΟ / ΛΑΘΟΣ vii. Οι αντίστροφοι αριθμοί έχουν γινόμενο 1 ΣΩΣΤΟ / ΛΑΘΟΣ ii. iii. iv. ΣΩΣΤΟ / ΛΑΘΟΣ ΣΩΣΤΟ / ΛΑΘΟΣ 2 . Σε καθεμιά από τις πιο κάτω προτάσεις να υπογραμμίσετε τι ισχύει. i. ii. iii. Το γινόμενο δύο αριθμών είναι αρνητικός αριθμός Α. Οι αριθμοί είναι αρνητικοί. Β. Οι αριθμοί είναι ομόσημοι. Γ. Οι αριθμοί είναι ετερόσημοι. Δ. Οι αριθμοί είναι θετικοί. Το γινόμενο δύο αριθμών είναι θετικός αριθμός. Α. Οι αριθμοί είναι αρνητικοί. Β. Οι αριθμοί είναι ομόσημοι. Γ. Οι αριθμοί είναι ετερόσημοι. Δ. Οι αριθμοί είναι θετικοί. Έστω οι ρητοί αριθμοί 𝜶 , 𝜷 , 𝜸, ώστε 𝜶 ∙ 𝜷 ∙ 𝜸 = 𝟏 Α. Οι αριθμοί 𝛼 , 𝛽 , 𝛾 είναι αντίστροφοι. Β. Οι αριθμοί 𝛼 , 𝛽 , 𝛾 είναι ομόσημοι. Γ. Ο αριθμός 𝛼 είναι αντίστροφος του 𝛽. Δ. Ο αριθμός 𝛼 είναι αντίστροφος του 𝛽𝛾. 27 Ρητοί Αριθμοί 9. Αν κ . λ = −11 να βρείτε την τιμή της παράστασης: 1 3 – κ ∶ �λ� + 11 ∙ κ ∙ (−2) ∙ λ 2 𝛽 10. Αν 𝛼, 𝛽, 𝛾, 𝛿 είναι ρητοί αριθμοί και ισχύει ότι – 3 ∙ 𝛼 ∙ 𝛽 ∙ 𝛾 ∙ 𝛿 > 0, 𝛼 = −222 και 𝛾 31 < 0, να βρείτε το πρόσημο του 𝛿 και να δικαιολογήσετε την απάντηση σας. 3 11. Αν η απόλυτη τιμή του αριθμού α είναι 8, να βρείτε το α. 28 Ρητοί Αριθμοί ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΡΗΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ Δυνάμεις Ρητών Αριθμών με Εκθέτη Φυσικό Αριθμό Εξερεύνηση • Λέγεται ότι πριν από πολλά χρόνια στις Ινδίες ζούσε ένας αυτοκράτορας ο Βέλχιμπ, του οποίου η αυτοκρατορία ήταν τεράστια. Ένας Βραχμάνος ιερέας ο Σίσσα επινόησε και πρόσφερε το σκάκι στον αυτοκράτορα. Ο αυτοκράτορας γοητεύθηκε τόσο πολύ που θέλησε να τον ευχαριστήσει με ένα δώρο. Ο εφευρέτης σκέφτηκε για λίγο και του απάντησε: «Θέλω να μου δώσεις δύο σπυριά σιτάρι για το πρώτο τετράγωνο του σκακιού, τα διπλάσια για το δεύτερο και τα διπλάσια του προηγούμενου για κάθε επόμενο τετράγωνο». Ο αυτοκράτορας παραξενεύτηκε για το φτηνό δώρο που ζήτησε ο Σίσσα και ζήτησε από τους αποθηκάριους του να του χαρίσουν το σιτάρι που ήθελε. Άρχισε λοιπόν το μέτρημα ώσπου εμφανίστηκε ένα πρόβλημα, που έκανε τον αυτοκράτορα να μην μπορεί να ξεπληρώσει την υπόσχεσή του.  Ποιο νομίζετε ότι ήταν το πρόβλημα που αντιμετώπισε ο αυτοκράτορας; Διερεύνηση (1) • Να συμπληρώσετε τον πιο κάτω πίνακα για να υπολογίσετε πόσο σιτάρι ζήτησε: Τετράγωνο 1 2 3 4 … 8 9 10 … 20 … 32 … 64 29 Ρητοί Αριθμοί Αριθμός σπυριών Σιταριού Δύναμη Αποτέλεσμα Διερεύνηση (2) • Να συμπληρώσετε τους πιο κάτω πίνακες: Πρόσημο Αποτελέσματος Δύναμη Δύναμη Πρόσημο Αποτελέσματος (−2)1 (+2)1 (−3)2 (+3)2 (−4)3 (+2)3 (−2)4 (+1)4 (−1)7 (+1)7 (−1)368 (+1)368 (−1)1962 (+1)1962 (+1)2011  Τι παρατηρείτε; (−1)2011  Μπορεί μια δύναμη με βάση θετικό αριθμό να δώσει αρνητικό αποτέλεσμα; Αν ναι, να δώσετε ένα παράδειγμα. Τι πρέπει να ξέρετε  Η Δύναμη με βάση θετικό αριθμό είναι θετικός αριθμός. Αν, 𝜶 > 𝝄 τότε 𝜶𝝂 > 𝟎  Η Δύναμη με βάση αρνητικό αριθμό είναι:   θετικός αριθμός, αν ο εκθέτης είναι άρτιος Αν, 𝜶 < 𝝄 και 𝝂 άρτιος τότε 𝜶𝝂 > 𝟎 αρνητικός αριθμός, αν ο εκθέτης είναι περιττός. Αν, 𝛂 < 𝛐 και 𝝂 περιττός τότε 𝜶𝝂 < 𝟎 30 Ρητοί Αριθμοί Δραστηριότητες Παραδείγματα: • Να βρείτε το πρόσημο των πιο κάτω δυνάμεων: i. 52 ii. (−5)2 Λύση: i. 52 > 0 iv. (−1256)27 η βάση της δύναμης είναι θετικός αριθμός ii. (−5)2 > 0 η βάση της δύναμης είναι αρνητικός αριθμός και ο εκθέτης άρτιος αριθμός. iii. (+4)5 > 0 η βάση της δύναμης είναι θετικός αριθμός. iv. (−1256)27 > 0 • iii. (+4)5 η βάση της δύναμης είναι αρνητικός αριθμός και ο εκθέτης περιττός αριθμός. Να υπολογίσετε τις πιο κάτω παραστάσεις: i. (−4)2 Λύση: i. ii. iii. iv. v. • ii. −42 (−4)2 = 16 −42 = −16 (−3)3 = −27 iii. (−3)3 iv. (+4,2)0 v. (+1)2011 −42 = −(4)2 = −4⋅4 = −16 (+4,2)0 = 1 (+1)2011 = +1 Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης: (−1 + 2)12 − (−1 − 23 ): (+3)2 = Λύση: (−1 + 2)12 − (−1 − 8): (+3)2 = (+1)12 − (−1 − 8): (+9) = (+1) − (−9): (+9) = (+1) − (−1) = +1 + 1 = +2 31 Ρητοί Αριθμοί 1. Να συμπληρώσετε τον πιο κάτω πίνακα: Δύναμη (−2)3 Βάση Εκθέτης −6,3 2 1 1 1 1 �− � ∙ �− � ∙ �− � ∙ �− � 3 3 3 3 3 . Να βρείτε το πρόσημο των δυνάμεων: i. (−3)4 ii. Γινόμενο 2 5 �− 3� iii. −2,1252 4 . Να συμπληρώσετε το κενό με το κατάλληλο πρόσημο: iv. (+2011)2012 (−2)4 = ⋯ 16 (−1)7 = … 1 (+3)3 = … 27 (+1)6 = ⋯ 1 (+1)21 = … 1 (−5)3 = … 125 (−1)5 = ⋯ 1 1 4 1 �− � = ⋯ 3 81 (−2)5 = … 32 (−2,75)1 = … 2,75 (−6)2 = … 36 (0,5)3 = … 0,125 5 . Να συμπληρώσετε με το κατάλληλο σύμβολο <, =, >, ώστε να προκύψουν αληθείς σχέσεις: (+2)2 …… (−2)2 (−7)8 …… (+7)8 (−2)2007 …… (+2)2007 (+4)41 …… (−4)41 (+12)3 …… (−12)3 (+113)2 …… (−113)2 6 . Να γράψετε τους πιο κάτω αριθμούς υπό μορφή δύναμης, με περισσότερους από ένα τρόπους: i. ii. iii. 25 −8 1 32 Ρητοί Αριθμοί 7 . Να υπολογίσετε τις παραστάσεις: i. ii. iii. iv. v. vi. −3(−3)2 6 − (−2 + 1)5 (−2)3 + (−3)2 + 50 − 120 (23 − 3): 5 + (3 − 5)2 1 2 7,25 − �− 2� ∙ (−1 + 2)3 + (−3): (−4,2)0 [−5 2 +(−6) 2 ]:(−2+1) − (8−9) 1 1 8 . Να διατάξετε τους αριθμούς (−6)2 , 61 , (−6)0 , 69 από το μικρότερο στο μεγαλύτερο, χωρίς να υπολογίσετε τις δυνάμεις. 9 . Ο Χρίστος έκανε τις πιο κάτω πράξεις. Να εξετάσετε την ορθότητα των πράξεων του. 10 . Να υπολογίσετε την τιμή της παράσταση: (–1) + (–1)2 + (–1)3 + (–1)4 + (–1)5 + …… +(–1)2011 +(–1)2012 = 11 . Αν 𝛼 = −2 και 𝛽 = 3 να υπολογίσετε τη τιμή των παραστάσεων: i. ii. 3α2 +2αβ + β2= (α2 − β):( −1) + αβ2 = 12 . Αν o 𝜅 είναι άρτιος αριθμός, να δείξετε ότι: 1𝜅 + (−1)𝜅+1 + (+1)𝜅+2 + (−1)𝜅+3 = 0 33 Ρητοί Αριθμοί Ιδιότητες Δυνάμεων με Εκθέτη Φυσικό Αριθμό Εξερεύνηση Μεγάλος: >8R : Μεγάλες απώλειες ανθρώπινων ζωών και μεγάλες καταστροφές. Σημαντικός: 7R-7.9R : Σοβαρότατες ζημιές και πέραν των 100 χλμ. Ισχυρός: 6R-6.9R : Σοβαρές ζημιές εντός 100 τετραγωνικών χλμ. Μέτριος: 5R-5.9R : Ζημιές συνήθως εντός 10 τετραγωνικών χλμ. Ασθενής: 4R-4.9R : Αισθητοί με ελαφρές συνήθως ζημιές γύρω από το επίκεντρο. Ασήμαντος: 3R-3.9R : Αισθητοί χωρίς ζημιές. Μικρός: < 3R : Πολλές φορές ανεπαίσθητοι. H δόνηση που προκαλείται από ένα σεισμό καταγράφεται στην κλίμακα Ρίχτερ. Κάθε βαθμός αύξησης στην κλίμακα Ρίχτερ σημαίνει ότι ο σεισμός είναι 10 φορές πιο δυνατός.  Γιατί ένας σεισμός 9 βαθμών στην κλίμακα Ρίχτερ προκάλεσε τόσες πολλές ζημιές; 34 Ρητοί Αριθμοί Διερεύνηση (1) • Το 1941 σημειώθηκε στην Κύπρο σεισμός 5,9 βαθμών στην κλίμακα Ρίχτερ προκαλώντας πολλές ζημίες στην επαρχία Αμμοχώστου.  Να συγκρίνετε πόσος πιο δυνατός ήταν ο σεισμός στην Ιαπωνίας από αυτό που σημειώθηκε στο νησί μας. Διερεύνηση (2) • Στον πιο κάτω πίνακα φαίνεται ένας τρόπος με τον οποίο μπορούμε να υπολογίσουμε πόσο σιτάρι ζήτησε ο εφευρέτης του σκακιού από τον αυτοκράτορα. Τετράγωνο 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 … 15 … 20 … 32 … 64 Αριθμός σπυριών Σιταριού Δύναμη Αποτέλεσμα 2 21 2 2·2 22 4 2·2·2 23 8 2·2·2·2 24 16 2·2·2·2·2 25 32 2·2·2·2·2·2 26 64 2·2·2·2·2·2·2 27 128 2·2·2·2·2·2·2·2 28 256 2·2·2·2·2·2·2·2·2 29 512 210 ; 215 32 768 220 1 048 576 232 4 294 967 296 264  Πώς μπορείτε, χρησιμοποιώντας τις τιμές του πιο πάνω πίνακα, με ένα μόνο πολλαπλασιασμό να υπολογίσετε το 210;  Πόσους διαφορετικούς τρόπους μπορείτε να βρείτε; Να γράψετε όλα τα γινόμενα.  Να γράψετε το 210 ως γινόμενο τριών ή περισσοτέρων παραγόντων. 35 Ρητοί Αριθμοί  Ο Αλέξης ισχυρίζεται ότι μπορεί να βρει την τιμή του 210 , διαιρώντας το 220 με το 2. Να εξετάσετε την ορθότητα του ισχυρισμού του.  Μπορείτε, χρησιμοποιώντας τις τιμές του πιο πάνω πίνακα, να υπολογίσετε το 210 , κάνοντας μια διαίρεση; Διερεύνηση (3) • Το pH ενός διαλύματος περιγράφει την οξύτητά του. Το pH του αποσταγμένου νερού είναι 7, ενώ το pH του χυμού λεμονιού είναι 3. Για κάθε μονάδα που μειώνεται το pH σε ένα διάλυμα, αυξάνεται η οξύτητά του κατά 10 φορές. Έτσι ένα διάλυμα με pH 5 είναι 10 φορές πιο όξινο από ένα διάλυμα με pH 6. pH  8 7 6 5 4 Πόσες φορές είναι πιο όξινο από διάλυμα με pH9 10 10 ∙10=100 10∙10∙10 = 1000 10 ∙ 10 ∙ 10 ∙ 10 =10 000 10 ∙ 10 ∙ 10 ∙ 10 ∙ 10= 100 000 Σε μορφή Δύναμης 101 10 ∙ 10 = 101 ∙ 101 102 ∙ 10 = 102 ∙ 101 103 ∙ 10 = 103 ∙ 101 104 ∙ 10 = 104 ∙ 101 1 = = = = Να μελετήσετε τον πίνακα και να γράψετε τις παρατηρήσεις σας. 102 103 104 105 Διερεύνηση (4) • Να συμπληρώσετε τους πιο κάτω πίνακες και να γράψετε τις παρατηρήσεις σας. Γινόμενο δυνάμεων Γινόμενο παραγόντων Δύναμη 24 ∙ 23 𝛼3 ∙ 𝛼5 (3,1)2 ∙ (3,1)4 27 2∙2∙2∙2∙2∙2∙2 (−3)2 ∙ (−3)3 ∙ (−3) 𝛼𝜇 ∙ 𝛼𝜈 Πηλίκο δυνάμεων Διαγραφή/Απλοποίηση Γινόμενο Δύναμη 27 23 2∙2∙2∙2∙2∙2∙2 2∙2∙2 2∙2∙2∙2 24 𝑥5 x2 58 : 52 𝛼𝜇: 𝛼𝜈 36 Ρητοί Αριθμοί Τι πρέπει να ξέρετε   Το γινόμενο δυνάμεων που έχουν την ίδια βάση είναι μια δύναμη που έχει ως βάση την κοινή βάση και εκθέτη το άθροισμα των εκθετών. 𝜶𝝁 · 𝜶𝝂 = 𝜶 𝝁+𝝂 όπου 𝜇, 𝜈 ∈ ℕ και 𝛼 ≠ 0 Το πηλίκο δυνάμεων που έχουν την ίδια βάση είναι μια δύναμη που έχει ως βάση την κοινή βάση και εκθέτη τη διαφορά του εκθέτη του διαιρέτη από τον εκθέτη του διαιρετέου. 𝛂𝛍 ∶ 𝛂𝛎 = 𝛂 𝛍−𝛎 𝜶𝝁  𝜶𝝂 = 𝜶𝝁−𝝂 όπου 𝜇, 𝜈 ∈ ℕ και 𝛼 ≠ 0 όπου 𝜇, 𝜈 ∈ ℕ και 𝛼 ≠ 0 Αν δύο δυνάμεις με την ίδια βάση είναι ίσες, τότε και οι εκθέτες τους είναι ίσοι. 𝜶𝝁 = 𝜶𝝂 ⇔ 𝝁 = 𝝂 όπου 𝜇, 𝜈 ∈ ℕ και 𝛼 ≠ 0 και 𝛼 ≠ ±1 Δραστηριότητες Παραδείγματα: Να γράψετε σε μορφή μιας δύναμης ή δυνάμεων τις πιο κάτω παραστάσεις: 53 · 5 i. ii. iv. (37 · 𝑥 6 ): (33 · 𝑥 4 ) v. Λύση: i. ii. iii. iv. v. 3 7 (−3)2 · (+3)3 53 · 5 = 53 · 51 = 53+1 = 54 3 7 3 2 3 7−2 �− 5� : �− 5� = �− 5� 3 2 �− 5� : �− 5� 3 5 = �− 5� 3 · 9 · 81 = 31 · 32 · 34 = 31+2+4 = 37 (37 · 𝑥 6 ) ∶ (33 · 𝑥 4 ) = 37−3 · 𝑥 6−4 = 34 · 𝑥 2 (−3)2 · (+3)3 = (+3)2 · (+3)3 = (+3)2+3 = (+3)5 37 Ρητοί Αριθμοί iii. 3 · 9 · 81 vi. 35 + 7⋅35 − 35 + 2⋅35 (Υπενθύμιση 5 = 51 ) γράφουμε κάθε αριθμό ως δύναμη με την ίδια βάση παρατηρούμε ότι δεν έχουν την ίδια βάση, το (−3)2 = (+3)2 ενώ το (−3)3 ≠ (+3)3 . Άρα μπορούμε να αντικαταστήσουμε το (−3)2 = (+3)2 για να εφαρμόσουμε την ιδιότητα. 35 + 7⋅35 − 35 + 2⋅35 = 35 + 7⋅35 − 35 + 2⋅35 = (1+7−1+2)⋅35 = 9 ⋅ 35 = 32 ⋅ 35 = 37 vi. • Να υπολογίστε την τιμή της παράστασης: Εφαρμόζουμε την ιδιότητα του πηλίκου δυνάμεων με την ίδια βάση και ακολούθως εφαρμόζουμε τους κανόνες προτεραιότητας των πράξεων (−2)10 : (−2)7 − (−3)3 + (−3 + 4)99 = (−2)3 − (−3)3 + (+1)99 = (−8) − (−27) + (+1) = −8 + 27 + 1 = −8 + 28 = +20 1. Να συμπληρώσετε τα κενά με τον κατάλληλο εκθέτη: i. ii. iii. 2. 24 ∙ 210 = 2⎕ (+2)12 ∙ (+2)⎕ = (+2)20 (−2)⎕ ∙ (−2)⎕ ∙ (−2)⎕ = (−2)10 = Να γράψετε τις παραστάσεις σε μορφή μιας δύναμης: i. iii. v. vii. (−7)5 : (−7)3 ii. (−2)4 ∙ (−2)2:( −2)3 iv. (ψ15:ψ3 ) ∙ (ψ7: ψ6) viii. (α5 ∙ α ∙ α4 ) : α10 vi. 1 5 1 5 �3� · �3� (55 : 52) ∙ 53 (−3y 4 ) · (−2y) (0,1)19 ⋅ (0,1)2 ∙ (0,1)22 3. Να χαρακτηρίσετε με σωστό ή λάθος τις πιο κάτω σχέσεων, βαζοντας σε κύκλο τον αντίστοιχο χαρακτηρισμό: i. ii. iii. (−2)5 + (−2)3 = (−2)8 ΣΩΣΤΟ / ΛΑΘΟΣ 310 : 52 = 38 ΣΩΣΤΟ / ΛΑΘΟΣ (−5)7 : (−5)3 = (−5)4 38 Ρητοί Αριθμοί ΣΩΣΤΟ / ΛΑΘΟΣ 4. Να υπολογίσετε την τιμή του 𝑥: i. 2𝑥 ∙ 25 = 29 ii. (−3)2 ∙ (−3)𝑥 ∙ (−3) = (−3)8 iii. 2𝑥 : 23 = 27 iv. (−3,1)4 : (−3,1)𝑥 = −3,1 1 3 1 7 v. � � : � � = 5𝑥 5 5 5. Να γράψετε τις παραστάσεις σε μορφή μιας δύναμης: i. iii. v. 6. 25 ⋅ (–5)3 (–2)3 ⋅ (+2)4 (–8) ⋅ 16 ⋅ 4 ii. iv. 4 ⋅16 ⋅ (–2)7 (–3)5 ⋅ (+3)2 ⋅ (–3)4 Να γράψετε τις παραστάσεις σε μορφή μιας δύναμης: i. ii. iii. iv. 23 + 23 + 23+ 23 3 ⋅ 73 + 5 ⋅ 73 − 73 = 27 : 22 + 2 ∙ 24 + 3 ∙ 25 – 22 ∙ 23 = 312 : 34 + 38 +(34)2 + 2· 33 · 33 ·32 − 2 · 38 = 7. Η ταχύτητα επεξεργασίας εντολών ενός υπολογιστή είναι 1011 ανά δευτερόλεπτο. Ένας άλλος υπολογιστής είναι 104 φορές γρηγορότερος. Πόσες εντολές ανά δευτερόλεπτο μπορεί να εκτελέσει ο δεύτερος υπολογιστής; 8. Σε ένα κάλαθο αχρήστων τα μικρόβια διπλασιάζονται καθημερινά. Αν σήμερα το πλήθος των μικροβίων είναι 240 , ποιο θα ήταν το πλήθος τους πριν από δύο μέρες; 9. Η απόσταση του ήλιου από τον πλανήτη Αφροδίτη είναι περίπου 108 Κm. Η απόσταση του Κρόνου από τον ήλιο είναι περίπου 109 Κm. Πόσες φορές πιο μακριά από τον ήλιο είναι ο Κρόνος από την Αφροδίτη; 39 Ρητοί Αριθμοί Εξερεύνηση Ο Αρχιμήδης (3ος αι. π.Χ.) θεωρείται ο μεγαλύτερος φυσικομαθηματικός της αρχαιότητας. Η φήμη του ως ευφυούς μαθηματικού και κατασκευαστή εκπληκτικών μηχανών είχε δημιουργηθεί ήδη από την αρχαιότητα και πιθανότατα για το λόγο αυτό οι σωζόμενες για τον Αρχιμήδη μαρτυρίες είναι πολλές. Στο βιβλίο του «Ψαμμίτης» (Άμμου καταμέτρης), ο Αρχιμήδης υποστηρίζει, ότι ο αριθμός των κόκκων της άμμου δεν είναι άπειρος, όπως πίστευαν πολλοί, αλλά πεπερασμένος αριθμός. Προκειμένου να υπολογίσει τους κόκκους της άμμου, έπρεπε πρώτα να επινοήσει ένα σύστημα ονομασίας μεγάλων αριθμών. Ξεκίνησε λοιπόν από τον μεγαλύτερο αριθμό εκείνης της εποχής, την μυριάδα μυριάδων. Η μυριάδα ισούται με 10 000, συνεπώς η μυριάδα μυριάδων, ήταν η μυριάδα στο τετράγωνο. Ο Αρχιμήδης συνειδητοποίησε ότι με απλούς υπολογισμούς δεν μπορούσε να φθάσει εύκολα στο αποτέλεσμα που ήθελε. Χρησιμοποιώντας τη μυριάδα μυριάδων ως βάση δημιούργησε μεγαλύτερους αριθμούς, υψώνοντας δύναμη σε δύναμη, αφού με αυτό τον τρόπο οι αριθμοί αυξάνονται εντυπωσιακά. 8 108 16 Τελικά σταμάτησε στον αριθμό: �(108 )�10 � � = 108⋅10 ο οποίος είναι μία μυριάδα μυριάδων εις την μυριοστή μυριάδα και όλο στην μυριοστή μυριάδα. Ο αριθμός αυτός είναι ασύλληπτα μεγάλος και αποτελείται από το 1 ακολουθούμενο από 8⋅1016 μηδενικά. Τέλος λαμβάνοντας υπόψη αστρονομικές μετρήσεις υπολόγισε το μέγεθος του Σύμπαντος και κατέληξε στο συμπέρασμα ότι δεν χρειάζονται πάνω από 1063 κόκκοι άμμου για να γεμίσει ολόκληρο το Σύμπαν. Ποια η σχέση μεταξύ του συμπεράσματος του Αρχιμήδη και των κόκκων του σιταριού που ζήτησε ο Σίσσα από τον αυτοκράτορα; Ο Αρχιμήδης επίσης ανακάλυψε και απέδειξε την ιδιότητα 10α⋅ 10β = 10 α+β απαραίτητη για το χειρισμό δυνάμεων του 10. 40 Ρητοί Αριθμοί Διερεύνηση (1) • Το μήκος της πλευράς του κύβου είναι 24 cm.  Να γράψετε μία παράσταση σε μορφή γινομένου που θα δίνει τον όγκο του κύβου.  Να απλοποιήσετε την παράσταση γράφοντάς την ως δύναμη με βάση το 2 . 24  Να γράψετε την παράσταση 24 · 24 · 24 σε μορφή δύναμης με βάση το 24 .  Να εξηγήσετε γιατί (24 )3 = 212 . Διερεύνηση (2) • Να συμπληρώσετε τον πιο κάτω πίνακα και να γράψετε τις παρατηρήσεις σας. Δύναμη σε δύναμη Γινόμενο δυνάμεων Δύναμη (72 )4 (72 ) · (72 ) · (72 ) ∙ (72 ) 78 [𝛼 3 ]5 (𝛼 𝜇 )𝜈 ((𝛼 3 )2 )5 Τι πρέπει να ξέρετε Μια δύναμη 𝜶𝝁 που είναι υψωμένη σε εκθέτη 𝝂 είναι μια δύναμη που έχει ως βάση το 𝜶 και εκθέτη το γινόμενο των εκθετών 𝝁 ∙ 𝝂. (𝜶𝝁 )𝝂 = 𝜶 𝝁 · 𝝂 όπου 𝜇, 𝜈 ∈ ℕ και 𝛼 ≠ 0 41 Ρητοί Αριθμοί Δραστηριότητες Παραδείγματα: • Να γράψετε τις παραστάσεις σε μορφή μιας δύναμης: i. Λύση: (54 )2 i. (54 )2 = 54 ∙2 = 58 7 3 4 7 3 4 ii. 3 4·7 ii. ��7� � = �7� ��7� � iii. 1254 3 28 = �7� iii. 1254 = (53 )4 = 53·4 = 212 1. Να γράψετε σε μορφή μιας δύναμης τα πιο κάτω: i. iv. (32 )7 4 3 2 ��− 4� � (0,12 )3 ii. (𝑥 2 ∙ 𝑥 3 )4 v. 2. Να γράψετε σε μορφή μιας δύναμης τα πιο κάτω: i. ii. 92 ∙ (+3)3 ∙ 272 = (+16) ∙ 42 ∙ (−2)5 = Διερεύνηση (1) • Στην Α΄ ενότητα εξετάσαμε πως μπορεί ένας αριθμός να αναλυθεί σε γινόμενο πρώτων παραγόντων.  Να αναλύσετε το 104 με αντίστοιχο τρόπο και να γράψετε τις παρατηρήσεις σας.  Μπορείτε να βρείτε πώς θα αναλυθεί το 105 χωρίς να κάνετε την πιο πάνω διαδικασία;  Η Νεφέλη ακολούθησε τα πιο πάνω βήματα, για να αναλύσει τη δύναμη που τους ζήτησε ο καθηγητής της. Στο τετράδιο της όμως, χύθηκε μελάνι και τώρα δεν φαίνονται όλοι οι αριθμοί. Μπορείτε να βρείτε ποια δύναμη έχει αναλύσει η Νεφέλη. 42 Ρητοί Αριθμοί iii. vi. [ (−2)2 ]4 = ( α4)2 ∙ (α2 )3 = Διερεύνηση (2) • Να συμπληρώστε τον πιο κάτω πίνακα: Γινόμενο σε δύναμη (7 ∙ 𝑥)4 (4 ∙ 𝑥 ∙ 𝑦)2 Γινόμενο παραγόντων 7∙𝑥∙7∙𝑥∙7∙𝑥∙7∙𝑥 (𝛼 ∙ 𝛽)𝜈  Δύναμη 7∙7∙7∙7∙𝑥∙𝑥∙𝑥∙𝑥 74 ∙ 𝑥 4 Τι πρέπει να ξέρετε Το γινόμενο ρητών αριθμών που είναι υψωμένο σε δύναμη είναι ίσο με το γινόμενο του κάθε παράγοντα της αρχικής βάσης υψωμένου στον αρχικό εκθέτη. (𝜶 ∙ 𝜷)𝝂 = 𝜶𝝂 · 𝜷𝝂 , όπου 𝜈 ∈ ℕ και 𝛼, 𝛽 ≠ 0 Διερεύνηση • Να συμπληρώσετε τον πιο κάτω πίνακα και να γράψετε τις παρατηρήσεις σας. Πηλίκο σε δύναμη 3 4 � � 5 4 3 � � 𝑥 𝛼 𝜈 � � 𝛽 Γινόμενο κλασμάτων Πηλίκο Δύναμη 3 3 3 3 � �·� �·� �·� � 5 5 5 5 3·3·3·3 5·5·5·5 34 54 Τι πρέπει να ξέρετε  Το πηλίκο ρητών αριθμών που είναι υψωμένο σε δύναμη είναι ίσο με το πηλίκο των δυνάμεων που προκύπτουν αν υψώσουμε τον κάθε όρο του πηλίκου στον αρχικό εκθέτη. 𝜶 𝝂 � � = 𝜷 43 Ρητοί Αριθμοί 𝜶𝝂 𝜷𝝂 όπου 𝜈 ∈ ℕ και 𝛽 ≠ 0 Δραστηριότητες 1. Με τη βοήθεια των ιδιοτήτων των δυνάμεων να γράψετε τα πιο κάτω υπό μορφή δύναμης ή δυνάμεων. ( 42 )3 i. ii. (5𝑦 4 )7 iii. iv. (3 · 𝑥 2 )4 · (5𝑥 6 )2 v. vi. (𝛼 3 )2 (−6𝑎2 𝛽 3 )4 3 2 �5 𝑥 6 · 𝑦 4 � 2. Να εκφράσετε το εμβαδόν τετραγώνου σε μορφή δύναμης, όταν δίνεται η πλευρά: i. 5 cm ii. 6𝑥 2 ⋅ 𝑦 iii. 3𝑎5 2𝛽 7 3. Να εκφράσετε τον όγκο κύβου σε μορφή δύναμης, όταν δίνεται η ακμή: i. ii. iii. 4 cm 2𝑥 3 · 𝑦 3 0,4 · 𝛼 5 ∙ 𝛽 2 4. Να υπολογίσετε τις παραστάσεις: i. ( −20)3 = ( −5)3 iii. ( −6)5 = 125 v. �3� 1 2000 ⋅ 32000 ii. iv. 83 ⋅ 33 = ( −6)3 ( +2)8 ⋅ ( +5)8 = 1000 5. Αν α = (+3)2∙(–7)5 , β= 23∙(+3)∙(–7)3 και γ=22∙(–7), να γράψετε τις παραστάσεις σε μορφή δυνάμεων: i. ii. α∙β = (α∙β)2 : γ3 = 44 Ρητοί Αριθμοί Δυνάμεις Ρητών Αριθμών με Ακέραιο Εκθέτη Διερεύνηση (1) • Το Ινστιτούτο Γενετικής συμμετέχει σε ένα ερευνητικό πρόγραμμα στο οποίο μελετούν την εξέλιξη ενός είδους βακτηρίων. Παρατηρούν ότι κάθε μέρα ο όγκος της καλλιέργειας περίπου διπλασιάζεται. Στις 19 Σεπτεμβρίου ένας γενετιστής άρχισε να παρατηρεί και να καταγράφει τις μετρήσεις στον πιο κάτω πίνακα. Ημερομηνία … Όγκος καλλιέργειας Δύναμη 1μm3 20 15 Σεπτεμβρίου 16 Σεπτεμβρίου 17 Σεπτεμβρίου 18 Σεπτεμβρίου 19 Σεπτεμβρίου 20 Σεπτεμβρίου 21 Σεπτεμβρίου 22 Σεπτεμβρίου 22 Σεπτεμβρίου 23 Σεπτεμβρίου 24 Σεπτεμβρίου 25 Σεπτεμβρίου 26 Σεπτεμβρίου …  Αν στις 19 Σεπτεμβρίου ο όγκος της καλλιέργειας ήταν 1 𝜇𝑚3 , να βρείτε πόσος ήταν ο όγκος ύστερα από τρείς μέρες.  Να υπολογίσετε πότε ο όγκος θα γίνει 128 𝜇𝑚3 για να είναι έτοιμη η καλλιέργεια να δεκτεί αντιβίωση.  Να συμπληρώσετε πόσος ήταν ο όγκος της καλλιέργειας στις 17 Σεπτεμβρίου που ξεκίνησε η έρευνα. 45 Ρητοί Αριθμοί Διερεύνηση (2) • Ο Ανδρέας και η Ναταλία έχουν να λύσουν την άσκηση, 73 : 76 = ……… Η άσκηση ζητά να γραφεί η παράσταση σε μορφή μιας δύναμης. Αφού τελείωσαν την άσκηση έλεγξαν το αποτέλεσμα και διαπίστωσαν ότι έχουν βρει διαφορετική απάντηση και με διαφορετικό τρόπο. Μπορείτε να ελέγξετε τον τρόπο που εργάστηκαν; Αφού έχω διαίρεση Ναταλία: δυνάμεων με την ίδια 73 : 76 = 7 3−6 = 7 −3 βάση, ο κανόνας λέει ότι αφαιρώ τους εκθέτες. Ανδρέας: 3 73 7∙7∙7 1 1 13 1 7 :7 = 6 = = = 3 = 3 =   7 7∙7∙7∙7∙7∙7 7.7.7 7 7  7  3 6 Τι πρέπει να ξέρετε  Τα σύμβολα 𝛼 0 , 𝛼 1 και 𝛼 −𝜈 , 𝜈 φυσικός, δεν προκύπτουν από τον ορισμό της δύναμης. Για να γίνουν τα σύμβολα δεκτά, δημιουργήσαμε τις παραδοχές:  𝜶𝟏 = 𝜶 με 𝛼 ∈ ℚ  𝜶𝟎 = 𝟏 με 𝛼 ∈ ℚ, 𝛼 ≠ 0 𝟏   𝜶−𝝂 = 𝜶𝝂 με 𝛼 ∈ ℚ, 𝛼 ≠ 0 και 𝜈 φυσικός (θετικός ακέραιος). Μια δύναμη με ακέραιο εκθέτη είναι ίση με τη δύναμη που έχει βάση τον αντίστροφο της αρχικής βάσης και εκθέτη τον αντίθετο του αρχικού εκθέτη. 𝟏 𝝁  𝟏 𝜶−𝝁 = � � = 𝝁 𝜶 𝜶 όπου 𝜇 ∈ ℤ και 𝛼 ≠ 0 Οι ιδιότητες των δυνάμεων με εκθέτη φυσικό αριθμό ισχύουν και στις περιπτώσεις που ο εκθέτης είναι ακέραιος αριθμός. 46 Ρητοί Αριθμοί Δραστηριότητες Παραδείγματα: Να υπολογίσετε τις δυνάμεις: i. Λύση: i. ii. 1. iv. vi. viii. 1 2 −2 �− 3� 3 2 3−3 �− 3� iii. 1−5 1 9 = �− 2� = + 4 –2 v. (2𝛼)–3 vii. �– 5� − 2    3 −3 ii. iii. iv. 1 −2 �− 4� 2 −2 ii. ix. Να γίνουν οι πράξεις: i. 3. 1 2 4−2 = �4� = 42 = 16 Να υπολογίσετε τις δυνάμεις: i. 2. 4−2 − 3    5 1 3 1 (− 2 + 4) +  − 2  ⋅ (− 7)−1 +  − +   4 2  3 −2 −3 −3  − 1  − ( −2)−2 − ( −5)2 :  + 2 1  − ( −2 − 1)−2      2  2 3.( −2)2 + 4 ⋅ 2−1 − ( +5)1 52 − 2 ⋅ (2007 − 2008)−3 Να συγκρίνετε τους αριθμούς 4−2 και (−4)2; 47 Ρητοί Αριθμοί −2  1 −2      2   1 −3 + 32 − 1−3 − �+ 2� 2 –2 ��– 2� � −2 4. Εφαρμόζοντας τις ιδιότητες των δυνάμεων να γράψετε σε μορφή δύναμης ή δυνάμεων τα πιο κάτω: i. iv. vii. 5. 54 ∶ 5−3 ii. 76 v. 7−4 24·𝑦 5 𝛼 −3 ∶ 𝛼 2 (0,25)4 1 −12 �3� · �3� −3·𝑦 −3 Να γράψετε σε μορφή δύναμης ή δυνάμεων με θετικό εκθέτη τα πιο κάτω: 1 iii. ( −2)3 ⋅  −   2 ii. 𝛼 −3 : 𝛼 2 −2 −4 1 iv. ( −7)3 ⋅  −   7 3 v. ( −3)−3 ⋅  − 1  ⋅  − 1   3 3 vi. 25 ·  3 vii. 16 ⋅  + 1  ⋅ ( +2)− 4  2 2 1 54 viii. 82 · 16−2 · (+2)−3 · Να υπολογίσετε την τιμή του 𝑥 : i. ii. 7. 1 5 vi. (0,25)−3 i. (−3)6 : (−3)−3 6. (−5) ⋅ (−5)4 : (−5)−3 iii. 1 25 (−3)−5 · (−3)𝑥 · (−3) = (−3)8 (−0,2)7 · (−0,2)𝑥 = (−0,2)−5 2 6 2 𝑥 8 2 4 iii. �5� : �5� = ��5� � iv. �7� · �3� 3 6 7 −5 3 𝑥 ·� � =1 7 Να επιλέξετε την ορθή απάντηση: i. ii. Ο αριθμός 4 δεν μπορεί να γραφεί ως: Α. (+2)2 Β. (–4)–1 Γ.  1 −   2 −2 Δ. (–2)2 Ποια από τις ακόλουθες αριθμητικές παραστάσεις δεν ισούται με τις υπόλοιπες; Δ . (𝛼 3 )2 Α . 𝛼2 ∙ 𝛼4 Β . 𝛼6: 𝛼 Γ . 𝛼 ∙ 𝛼 3 ∶ 𝛼 –2 48 Ρητοί Αριθμοί 8. Να γράψετε τις πιο κάτω παραστάσεις σε δυνάμεις με βάση το 3: 9 = 1 = 81 9. 272 = 1= 1 (−3)4 = 93 Να συμπληρώσετε με το κατάλληλο σύμβολο = ή ≠ (−1756)0 ...... (−1)−8 �– 1� 𝑥11 + 𝑥 −3 ...... 𝑥 8 , 𝑥 ≠ 0 10. = 99 …….. (+1)−99 155 ......... 9∙  1    55 3 −3 Να γράψετε σε μορφή μιας δύναμης τις πιο κάτω παραστάσεις: i. ii. 23 ∙ (8)−2 ∙ 162 1 −6 32 · 34 + 39 : 33 + 2 · (32 )3 + 5 ∙ �3� 11. Να επιλέξετε τρία κλάσματα μεταξύ του 0 και του 1. Να βρείτε την τιμή του κάθε κλάσματος, όταν υψωθεί σε δύναμη με εκθέτη −1. Ποια είναι η σχέση μεταξύ του αρχικού κλάσματος και του κλάσματος υψωμένου στην −1. 12. Με τη βοήθεια των ιδιοτήτων των δυνάμεων να αποδείξετε τις σχέσεις: i. αµ · α−ν = α µ−ν ii. αµ ∶ α−ν = α µ+ν 13. Η μάζα του ατόμου του λιθίου είναι περίπου το ένα εκατοστό του ενός εκατομμυριοστού του 10−18 του κιλού. Να εκφράσετε σε κιλά τη μάζα του ατόμου που έχει το λίθιο. 49 Ρητοί Αριθμοί ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΗ ΡΙΖΑ ΜΗ ΑΡΝΗΤΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ Διερεύνηση (1) • Ένας αρχιτέκτονας ετοιμάζει τα σχέδια για μια κατοικία η οποία θα κτιστεί σε γωνιακό οικόπεδο. Με βάση το συντελεστή κάλυψης ο οποίος καθορίστηκε από την πολεοδομία, στο συγκεκριμένο οικόπεδο μπορεί να κτιστεί σπίτι με εμβαδό βάσης 289 𝑚2 . Αν η βάση της κατοικίας είναι τετράγωνη, ποιο είναι το μήκος της πλευράς της τετραγωνικής βάσης του σπιτιού; Διερεύνηση (2) • Από τον 5ο αιώνα π.Χ. οι Αρχαίοι Έλληνες ασχολήθηκαν με τη μελέτη των αριθμών. Οι Πυθαγόρειοι χρησιμοποιούσαν χαλίκια τα οποία διάτασσαν με διάφορους τρόπους για να εξετάσουν τις ιδιότητες των αριθμών. Τις διατάξεις αυτές τις αναπαριστούσαν με κουκίδες. Π.χ 3 6 10 Η μελέτη των διαφόρων τρόπων διάταξης των αριθμών οδήγησε στην ταξινόμηση τους σε πολλές κατηγορίες: άρτιους, περιττούς , τρίγωνους, τετράγωνους, τέλειους, φίλους κ.α.  Ποιους αριθμούς νομίζετε ότι ονόμαζαν τετράγωνους;  Να αναπαραστήσετε σχηματικά τους πρώτους 5 τετράγωνους αριθμούς.  Πόσοι τετράγωνοι αριθμοί υπάρχουν μέχρι το 100;  Να εξετάσετε αν ο αριθμός 169 είναι τετράγωνος αριθμός. Να περιγράψετε τη μέθοδο που χρησιμοποιήσατε. 50 Ρητοί Αριθμοί Διερεύνηση (3) • Στο σχήμα παρουσιάζονται πέντε τετράγωνα. Το εμβαδόν του τετραγώνου Α είναι μία τετραγωνική μονάδα και το μήκος της πλευράς του είναι μία μονάδα μήκους.  Με βάση το σχήμα να συμπληρώσετε τον πιο κάτω πίνακα. Τετράγωνο Μήκος πλευράς Εμβαδόν Α 1 1 Β Γ Δ Ε  Να περιγράψετε τη σχέση που συνδέει την πλευρά του τετραγώνου με το εμβαδόν του.  Αν ένα τετράγωνο έχει πλευρά 𝛼, να υπολογίσετε το εμβαδόν του. Τι πρέπει να ξέρετε  Τετραγωνική ρίζα ενός θετικού αριθμού 𝛼, (𝛼 > 0), λέγεται ο θετικός αριθμός, ο οποίος, όταν υψωθεί στο τετράγωνο, δίνει τον αριθμό 𝛼. Η τετραγωνική ρίζα του 𝛼 συμβολίζεται με √𝛼. √𝛼 Υπόριζος ποσότητα 51 Ρητοί Αριθμοί Ριζικό ή Σύμβολο Ρίζας Η επιγραφή αργίλου με κωδικό «YBC 7289», που ανήκει στη βαβυλώνια συλλογή του Πανεπιστημίου του Yale, και χρονολογείται μεταξύ 1800-1600 π.Χ., αποδεικνύει ότι ότι οι Βαβυλώνιοι ήξεραν να υπολογίζουν την τετραγωνική ρίζα ενός αριθμού με καταπληκτική ακρίβεια (την ίδια που έχει σήμερα μια υπολογιστική μηχανή).   √𝛼 = 𝛽 ⇔ 𝛽 2 = 𝛼 , 𝛼 > 0, 𝛽 > 0 02 = 0, ορίζουμε ως √0 = 0. Δραστηριότητες Παραδείγματα: • Να υπολογίσετε την παράσταση: √9 Λύση: √9 = 3, γιατί 32 = 9 • Να υπολογίσετε την αριθμητική τιμή της παράστασης: �8√4 Λύση: √4 = 2, γιατί 22 = 4 �8√4 = √8 ∙ 2 = √16 = 4 1. Να υπολογίσετε τις τετραγωνικές ρίζες: √64, √25, �(−11)2 2. Να υπολογίσετε την αριθμητική τιμή της παράστασης: 𝛢 = −√4 + 2√16 3. Να χαρακτηρίσετε με ΣΩΣΤΟ ή ΛΑΘΟΣ τις παρακάτω προτάσεις, βάζοντας σε κύκλο τον αντίστοιχο χαρακτηρισμό. i. ii. iii. iv. v. √16 = 8 √16 + 9 = 5 ΣΩΣΤΟ / ΛΑΘΟΣ ΣΩΣΤΟ / ΛΑΘΟΣ ΣΩΣΤΟ / ΛΑΘΟΣ �(−3)2 = 3 ΣΩΣΤΟ / ΛΑΘΟΣ �(−9)2 = −9 2 �√36� = 36 52 Ρητοί Αριθμοί ΣΩΣΤΟ / ΛΑΘΟΣ 4 4. Να υπολογίσετε τις παραστάσεις: �9, √0,16, −√0,09, √0,0001 5. Η οργανωτική επιτροπή μιας συναυλίας θέλει να τοποθετήσει 900 καθίσματα σε ένα κλειστό γήπεδο. Τα καθίσματα θα τοποθετηθούν σε τετράγωνη διάταξη. Πόσα καθίσματα θα τοποθετήσουν σε κάθε σειρά; 6. Η πυραμίδα των Khufu είναι η μεγαλύτερη στον κόσμο. Η βάση της πυραμίδας είναι τετράγωνη με εμβαδόν 50625 τετραγωνικά μέτρα. Να υπολογίσετε το μήκος της πλευράς της βάσης της πυραμίδας. 7. Να υπολογίσετε την αριθμητική τιμή της παράστασης: �3√9. 8. Να υπολογίσετε την αριθμητική τιμή της παράστασης: �√81. 9. Ρώτησαν ένα μαθηματικό του 20ου αιώνα, πόσων ετών είναι. Αυτός απάντησε ως εξής: «Η τετραγωνική ρίζα του έτους που γεννήθηκα είναι ακριβώς ίση με τη σημερινή ηλικία μου». Πόσων ετών ήταν και ποια χρονολογία έγινε η ερώτηση; ΚΥΒΙΚΗ ΡΙΖΑ ΜΗ ΑΡΝΗΤΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ Διερεύνηση (1) • Στο σχήμα δίνεται ένας κύβος ο οποίος κατασκευάστηκε χρησιμοποιώντας 27 μικρότερους κύβους με ακμή 1 𝑐𝑚.  Να υπολογίσετε το μήκος της ακμής του μεγάλου κύβου.  Να σχεδιάσετε ή να περιγράψετε πώς θα είναι ο κύβος με 64 μικρούς κύβους.  Να εξετάσετε κατά πόσο μπορεί να κατασκευαστεί κύβος με 216 μικρούς κύβους. Να περιγράψετε τη μέθοδο με την οποία εργαστήκατε.  Χρησιμοποιώντας την υπολογιστική σας, να εξετάσετε αν μπορεί να κατασκευαστεί κύβος με 300 και 343 μικρούς κύβους. 53 Ρητοί Αριθμοί Διερεύνηση (2) • Στο πιο κάτω σχήμα δίνονται τρεις κύβοι με ακμή βάσης 2 𝑐𝑚, 3 𝑐𝑚 και 4 𝑐𝑚, αντίστοιχα.  Να συμπληρώσετε τον πιο κάτω πίνακα: Ακμή κύβου 𝟐 𝟑 𝟒 𝟓 𝟔 Όγκος κύβου  Να γράψετε τη σχέση που συνδέει την πλευρά του κύβου με τον όγκο του.  Αν ένας κύβος έχει πλευρά 𝛼, να υπολογίσετε τον όγκο του. Τι πρέπει να ξέρετε    Κυβική ή τρίτη ρίζα ενός θετικού αριθμού 𝛼, (𝛼 > 0), λέγεται ο θετικός αριθμός, ο οποίος, όταν υψωθεί στην τρίτη δύναμη, δίνει τον αριθμό 𝛼. Η 3 κυβική ρίζα του 𝛼 συμβολίζεται με √𝛼 . 3 √𝛼 = 𝛽 ⇔ 𝛽 3 = 𝛼, 𝛼 > 0, 𝛽 > 0 3 Επειδή, 03 = 0, ορίζουμε ως √0 = 0. Δραστηριότητες Παράδειγμα: 3 • Να υπολογίσετε την παράσταση: √125 Λύση: 3 √125 = 5, γιατί 53 = 125 54 Ρητοί Αριθμοί 3 3 1. Να υπολογίσετε τις παραστάσεις: √8, − √27, 3√0,001 3 3 1 2. Να υπολογίσετε την τιμή της αριθμητικής παράστασης: 𝛢 = √64 + �8 3 3 3. Να υπολογίσετε την τιμή της αριθμητικής παράστασης: �4√8 Δραστηριότητες Εμπλουτισμού 1. Να γράψετε τις πιο κάτω παραστάσεις σε μορφή δύναμης ενός αριθμού: i. 54 ∙ 252 ∙ (−125)3 ∙ (−5)4 ii. 27 10 2 �∙� � 1000 3 −0,33 ∙ (0,01 ∙ 9)4 ∙ � 2. Ο Λίνος και ο Μάριος έχουν από μία υπολογιστική μηχανή. Ο Λίνος ξεκινά από το 100 και αφαιρεί 7 κάθε φορά, ενώ ο Μάριος ξεκινά από το 0 και προσθέτει 3 κάθε φορά και καταγράφουν το αποτέλεσμα τους. Υπάρχει περίπτωση οι υπολογιστικές μηχανές σε κάποια στιγμή να δείχνουν τον ίδιο αριθμό; Αν ναι, να βρείτε τον αριθμό αυτό. Να εξηγήσετε τον τρόπο που εργαστήκατε. 3. Αν 𝑥 = −1 και 𝑦 = 2 , να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης: 𝐴= 4𝑥 3 +3𝑦 2 (𝑥+𝑦)2011 + 3𝑥 2 ∙𝑦 3 (3𝑥+𝑦)2012 −2𝑥𝑦+5𝑦 + (3𝑦+5𝑥)2013 4. Δίνεται η παράσταση Α= [(𝑥 2 · 𝑦 3 )−2 · (𝑥 · 𝑦 3 )4 ]: � i. Να δείξετε ότι 𝛢 = 𝑥 9 · 𝑦 9 𝑥3 � 𝑦 −1 −3 1 ii. Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης για 𝜒 = 2010 και 𝑦 = 2010 5. Να γράψετε 5 διαφορετικούς τρόπους με τους οποίους θα μπορούμε να γράψουμε τον αριθμό 10100 σε μορφή δύναμης. 6. Να εξετάσετε ποια από τις παραστάσεις είναι μεγαλύτερη 𝑦 6 164 𝑥 9 · �2𝑥� (22 · 𝑥 −1 ∙ 𝑦 4 ) · (8𝑥 2 · 𝑦)2 7. Αν οι αριθμοί 𝑥, 𝑦 είναι αντίστροφοι, να βρεις την τιμή της παράστασης: 𝛢 = [ (𝑥 7 𝑦−2 )2 ∶ (𝑥𝑦 7 )―3]2005 55 Ρητοί Αριθμοί 8. Να δείξετε τις πιο κάτω σχέσεις i. (−123)201 + (+123)201 = 0 ii. iii. 1650 = 2200 (−25)500 = 51000 9. Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης, αν ο α είναι άρτιος αριθμός και ο β περιττός αριθμός: (−1)α + (+1)β –(−1)β+1 +(α)2011 +(−α)2011 = 10. Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης 𝛤 αν: 8 2 2 6  7 4 2 A=11∙12 +12 ∙12∙12 και Β=   ⋅ 3 ⋅ 3 3 Α 1 1 Γ = ∙ −  Β 2 3 7 11. Να γράψετε την πιο κάτω παράσταση σε μορφή μιας δύναμης: Α= (10 + 20 + 30 + ... + 90)2009 (1 + 2 + 3 + ... + 9)2009 12. Αν ν φυσικός αριθμός, να δείξετε ότι ο αριθμός 2𝜈 + 2𝜈+1 + 2𝜈+2 είναι πολλαπλάσιο του 7 13. Ο πίνακας παρουσιάζει το εμβαδόν Μήκος τετραγώνου και τον όγκο κύβου, όταν Ακμής η ακμή τους είναι δεδομένη. 𝛼 i. Να συμπληρώσετε τον πίνακα. 𝑥 ii. Να περιγράψετε πώς επηρεάζεται το εμβαδόν τετραγώνου και ο όγκος 2𝑥 του κύβου, όταν διπλασιαστεί η 3𝑥 ακμή τους. 𝑥2 iii. Να περιγράψετε πώς μεταβάλλεται 𝑥3 το εμβαδόν τετραγώνου και ο όγκος κύβου, όταν τριπλασιαστεί η ακμή τους. 56 Ρητοί Αριθμοί Εμβαδόν τετραγώνου Όγκος Κύβου 𝛼2 𝛼3 14. Να συμπληρώσετε τα παρακάτω τετράγωνα, ώστε να γίνουν μαγικά τετράγωνα: (α) (β) +13 (γ) −4 −55 −6 −21 +9 −2 −3 −5 −1 +4 −1 +4 −3 +6 +1 −6 15. Να υπολογίσετε την περίμετρο ενός τετραγώνου του οποίου το εμβαδόν είναι 121 𝑐𝑚2 . 16. Να δείξετε τις πιο κάτω σχέσεις: i. ii. �7 + �2 + �1 + √9 = 3 �√4 + √9 = 2 2 57 Ρητοί Αριθμοί