ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΣΟΥΡΛΑΣ
ΑΝΑΠΛΗΡΩΤΗΣ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ
ΤΜΗΜΑΤΟΣ ΦΥΣΙΚΗΣ
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΠΑΤΡΩΝ
ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ
∫∫ F ⋅ ndS = ∫∫∫∇ ⋅ Fdxdydz
S
V
ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΣΥΜΜΕΤΡΙΑ
ΑΘΗΝΑ 2010
Email: [email protected]
www.physics.upatras.gr
ΠΡΟΛΟΓΟΣ
Η Διανυσματική Ανάλυση, η οποία άρχισε να θεμελιώνεται από τα μέσα του
19ου αιώνα, αποτελεί εδώ και μερικές δεκαετίες ένα θεμελιώδη κλάδο των μαθηματικών, απαραίτητος τόσο για τους μαθηματικούς όσο και για τους φυσικούς, μηχανικούς και άλλους επιστήμονες. Η ανάγκη για την διανυσματική ανάλυση δεν είναι τυχαία. Και αυτό οφείλεται στο γεγονός ότι όχι μόνο παρέχει
έναν συνοπτικό συμβολισμό για την περιγραφή των εξισώσεων, που προέρχονται από την μαθηματική διατύπωση των φυσικών και γεωμετρικών προβλημάτων, αλλά αποτελεί μια φυσική βοήθεια για τον σχηματισμό των νοητικών εικόνων των φυσικών και γεωμετρικών ιδεών. Με άλλα λόγια, η Διανυσματική
Ανάλυση μπορεί να θεωρηθεί σαν η πιο κατάλληλη γλώσσα για την διατύπωση
της φυσικής σκέψης.
Είναι αλήθεια ότι κάθε πρόβλημα που μπορεί να λυθεί με την χρήση διανυσμάτων, μπορεί να αντιμετωπισθεί και με άλλες μεθόδους. Αλλά η Διανυσματική
Ανάλυση, παίζοντας τον ρόλο της “στενογραφίας” απλοποιεί ριζικά τους υπολογισμούς. Για όλους τους παραπάνω λόγους η Διανυσματική Ανάλυση χρησιμοποιείται εκτεταμένα στα εφαρμοσμένα μαθηματικά.
ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ι _______________________________________________ 1
ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΩΝ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ ____________________________________ 1
1.1 Γενικά ________________________________________________________ 1
1.2 Διανυσματική πρόσθεση: ________________________________________ 2
1.3 Βαθμωτός ή αριθμητικός πολλαπλασιασμός _________________________ 3
1.4 Ισότητα διανυσμάτων ___________________________________________ 4
1.5 Εσωτερικό γινόμενο δύο διανυσμάτων _____________________________ 5
1.6 Εξωτερικό γινόμενο δύο διανυσμάτων ______________________________ 7
1.7 Γιατί η πράξη της διαίρεσης δεν ορίζεται στον χώρο των διανυσμάτων___ 8
1.8 Τριπλά γινόμενα _______________________________________________ 9
1.9 Ελεύθερα, εφαρμοστά και ολισθαίνοντα διανύσματα. _______________ 10
1.10 Εφαρμογές __________________________________________________ 13
Α Σ Κ Η Σ Ε Ι Σ ____________________________________________________ 21
ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΙΙ _____________________________________________ 23
ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ __________________________________ 23
2.1 Γενικά _______________________________________________________
2.2 Όριο διανυσματικής συνάρτησης ________________________________
2.3 Συνέχεια διανυσματικής συνάρτησης _____________________________
2.4 Παράγωγος διανυσματικής συνάρτησης ___________________________
2.5 Ολοκλήρωμα διανυσματικής συνάρτησης __________________________
2.6 Εφαρμογές ___________________________________________________
Α Σ Κ Η Σ Ε Ι Σ ____________________________________________________
23
25
26
26
30
32
39
ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΙΙΙ _____________________________________________ 41
ΒΑΘΜΩΤΑ ΠΕΔΙΑ - ΚΑΤΕΥΘΥΝΟΥΣΑ ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ - ΒΑΘΜΩΣΗ _________ 41
3.1 Γενικά _______________________________________________________
3.2 Όριο βαθμωτού πεδίου.________________________________________
3.3 Συνέχεια βαθμωτού πεδίου _____________________________________
3.4 Μερική συνέχεια ενός βαθμωτού πεδίου __________________________
3.5 Μερικές παράγωγοι βαθμωτού πεδίου ____________________________
3.6 Μερικές παράγωγοι 2ης τάξης ____________________________________
3.7 Κατευθύνουσα παράγωγος. _____________________________________
3.8 Ιδιότητες της βάθμωσης ∇f _____________________________________
3.9 Γραφική παράσταση βαθμωτών πεδίων ___________________________
3.10 Μια άλλη προσέγγιση της έννοιας της κατευθύνουσας παραγώγου ___
3.11 Εφαρμογές __________________________________________________
Α Σ Κ Η Σ Ε Ι Σ ____________________________________________________
41
42
43
43
44
46
48
51
57
61
64
69
ΚΕΦΑΛΑΙΟ IV_____________________________________________ 71
ΔΙΑΝΥΣΜΑΤIΚΑ ΠΕΔΙΑ - ΑΠΟΚΛΙΣΗ - ΣΤΡΟΒΙΛΙΣΜΟΣ ________________ 71
4.1 Γενικά ______________________________________________________
4.2 Κατευθύνουσα παράγωγος διανυσματικού πεδίου _________________
4.3 Γεωμετρική και Φυσική σημασία της Απόκλισης και του Στροβιλισμού
ενός διανυσματικού πεδίου ________________________________________
4.4 Συναρτήσεις Δυναμικού ________________________________________
4.5 Κατασκευή Διανυσματικού πεδίου από τον στροβιλισμό του. __________
4.6 Πίνακας Διανυσματικών Ταυτοτήτων που περιέχουν ∇ _______________
4.7 Εφαρμογές __________________________________________________
Α Σ Κ Η Σ Ε Ι Σ ____________________________________________________
71
73
77
82
88
89
90
94
ΚΕΦΑΛΑΙΟ V _____________________________________________ 97
ΕΠΙΚΑΜΠΥΛΙΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ ________________________________ 97
5.1 Γενικά _______________________________________________________ 97
5.2 Επικαμπύλιο ολοκλήρωμα α′ είδους ______________________________ 97
5.3 Ιδιότητες του επικαμπυλίου ολοκληρώματος α′ είδους. ______________ 99
5.4 Εφαρμογές των επικαμπυλίων ολοκληρωμάτων α′ είδους ___________ 102
5.5 Επικαμπύλιο ολοκλήρωμα β′ είδους _____________________________ 106
5.6 Ροή και Κυκλοφορία ενός διανυσματικού πεδίου __________________ 110
5.7 Εφαρμογές του επικαμπυλίου ολοκληρώματος β′ είδους.____________ 111
5.8 Επικαμπύλια ολοκληρώματα άλλων μορφών ______________________ 113
5.9 Εφαρμογές __________________________________________________ 114
Α Σ Κ Η Σ Ε Ι Σ ___________________________________________________ 116
ΚΕΦΑΛΑΙΟ VI____________________________________________ 119
ΔΙΠΛΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ ______________________________________ 119
6.1 Γενικά ______________________________________________________
6.2 Ιδιότητες των διπλών ολοκληρωμάτων ___________________________
6.3 Υπολογισμός των διπλών ολοκληρωμάτων σε ορθογώνιες περιοχές ___
6.4 Υπολογισμός των διπλών ολοκληρωμάτων σε πιο γενικές περιοχές ____
6.5 Μετασχηματισμοί των διπλών ολοκληρωμάτων ___________________
6.6 Εφαρμογές του τύπου του μετασχηματισμού______________________
6.7 Eφαρμογές _________________________________________________
ΑΣΚΗΣΕΙΣ _______________________________________________________
119
119
119
122
129
133
135
137
ΚΕΦΑΛΑΙΟ VII ___________________________________________ 141
ΤΡΙΠΛΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ _____________________________________ 141
7.1 Γενικά ______________________________________________________
7.2 Ορισμός του τριπλού ολοκληρώματος ____________________________
7.3 Εφαρμογές __________________________________________________
Α Σ Κ Η Σ Ε Ι Σ ___________________________________________________
141
141
153
156
ΚΕΦΑΛΑΙΟ VIII __________________________________________ 157
ΕΠΙΦΑΝΕΙΑΚΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ _______________________________ 157
8.1 Γενικά ______________________________________________________
8.2 Η έννοια της επιφάνειας. ______________________________________
8.3 Παραμετρικοποίηση μιας Επιφάνειας ____________________________
8.4 Παραμετρικές εξισώσεις μιας επιφάνειας ________________________
8.5 Καμπύλες σε μια επιφάνεια. ___________________________________
8.6 Εφαπτόμενο επίπεδο σ' ένα σημείο μιας επιφάνειας. _______________
8.7 Επιφανειακά ολοκληρώματα. __________________________________
8.8 Έκφραση του διαφορικού dS ___________________________________
8.9 Αναγωγή του επιφανειακού ολοκληρώματος σε διπλό. ______________
8.10 Αλλαγή της παραμετρικής παράστασης μιας επιφάνειας. ___________
8.11 Εφαρμογές. ________________________________________________
8.12 Επιφανειακό ολοκλήρωμα β′ είδους ____________________________
8.13 Μονόπλευρες και δίπλευρες επιφάνειες _________________________
8.14 Ορισμός του επιφανειακού ολοκληρώματος β′ είδους ______________
8.15 Επιφανειακό ολοκλήρωμα διανυσματικού πεδίου _________________
Α Σ Κ Η Σ Ε Ι Σ ___________________________________________________
157
157
159
163
164
165
167
168
171
176
177
179
180
183
185
187
ΚΕΦΑΛΑΙΟ IX ____________________________________________ 189
ΤΑ ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΤΩΝ GREEN , STOKES ΚΑΙ GAUSS _________________ 189
9.1 Γενικά ______________________________________________________ 189
9.1 Το θεώρημα του Green. _______________________________________ 189
9.3 Άλλες μορφές του θεωρήματος του Green ________________________ 196
9.4 Το θεώρημα του Stokes _______________________________________ 197
9.5 Φυσική σημασία του θεωρήματος του Stokes _____________________ 200
9.6 Το θεώρημα του Gauss ή της απόκλισης( _________________________ 201
9.7 Φυσική ερμηνεία του θεωρήματος του Gauss _____________________ 203
9.8 Εφαρμογές των θεωρημάτων Gauss και Stokes ____________________ 204
9.9 Ολοκληρωτικές μορφές της απόκλισης, της βάθμωσης και του στροβιλισμού
______________________________________________________________ 207
Α Σ Κ Η Σ Ε Ι Σ ___________________________________________________ 212
ΚΕΦΑΛΑΙΟ Χ ____________________________________________ 213
ΜΕΓΙΣΤΑ ΚΑΙ ΕΛΑΧΙΣΤΑ ________________________________________ 213
10.1 Γενικά_____________________________________________________
10.2 Μέγιστα, ελάχιστα και σαγματικά σημεία ________________________
10.3 Ακρότατα υπό συνθήκες – Πολλαπλασιαστές του Lagrange __________
10.4 Μερικές ενδιαφέρουσες περιπτώσεις ___________________________
ΑΣΚΗΣΕΙΣ _______________________________________________________
213
213
225
230
233
ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΧΙ ____________________________________________ 235
ΚΑΜΠΥΛΟΓΡΑΜΜΕΣ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ __________________________ 235
11.1 Μετασχηματισμός Συντεταγμένων. _____________________________
11.2 Ορθογώνιες Καμπυλόγραμμες Συντεταγμένες ____________________
11.3 Μοναδιαία διανύσματα σε καμπυλόγραμμα συστήματα ____________
11.4 Μήκος Τόξου, στοιχεία Επιφάνειας και Όγκου. ____________________
11.5 Το grad, div και curl σε καμπυλόγραμμες συντεταγμένες. ___________
11.6 Παραδείγματα Ορθογωνίων Καμπυλόγραμμων Συντεταγμένων _____
Α Σ Κ Η Σ Ε Ι Σ ___________________________________________________
235
235
236
238
240
240
244
ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΧΙΙ ___________________________________________ 247
εισαγωγη στην τανυστικη αναλυση _____________________________ 247
12.1 Εισαγωγή _________________________________________________
12.2 Μετασχηματισμός των συστημάτων συντεταγμένων _______________
12.3 Συνθήκη αθροίσματος _______________________________________
12.4 Ανταλλοίωτο διάνυσμα ή τανυστής _____________________________
12.5 Συναλλοίωτο διάνυσμα ή τανυστής _____________________________
12.6 Τανυστής μηδενικής τάξης ____________________________________
12.7 Τανυστές ανώτερης τάξης _____________________________________
12.8 Το στοιχειώδες μήκος και ο μετρικός τανυστής ___________________
12.9 Θεμελιώδεις πράξεις επί των τανυστών _________________________
12.10 Σύμβολα του Christoffel _____________________________________
12.11 Παράγωγος ενός τανυστή ____________________________________
12.12 Μερικές εφαρμογές των τανυστών ____________________________
Α Σ Κ Η Σ Ε Ι Σ ___________________________________________________
247
249
250
251
252
253
254
256
258
261
262
263
265
ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α __________________________________________ 267
περι Αντιστροφων βασεων διανυσματων ________________________ 267
1.
2.
3.
4.
5.
Αντίστροφες βάσεις ___________________________________________
Συναλλοίωτες και ανταλλοίωτες συνιστώσες ενός διανύσματος ________
Φυσικές συνιστώσες ενός διανύσματος____________________________
Σχέσεις μεταξύ συναλλοιώτων και ανταλλοιώτων συνιστωσών ________
Η περίπτωση των ορθογωνίων βάσεων ___________________________
267
270
274
276
278
παραρτημα B____________________________________________ 281
ΜΙα Αλλη προσΕγγιση της Εννοιας του διανΥσματοΣ _______________ 281
ΑΣΚΗΣΕΙΣ _______________________________________________________ 286
παραρτημα Γ ____________________________________________ 287
Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΤΑΝΥΣΤΗ ______________________________________ 287
Εισαγωγή ______________________________________________________
1. Τανυστές μηδενικής τάξεως (βαθμωτά μεγέθη) ______________________
2. Τανυστές πρώτης τάξεως (διανύσματα) ____________________________
3. Τανυστές δευτέρας τάξεως ______________________________________
287
288
289
292
4. Ο τανυστής τάσεως ____________________________________________ 294
5. Ο τανυστής της ροπής αδράνειας _________________________________ 297
6. Τανυστές μεγάλυτερης τάξεως ___________________________________ 299
ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ____________________________________ 303
(1ου Κεφαλαίου) ________________________________________________ 303
ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ___________________________________ 309
(2ου Κεφαλαίου) ________________________________________________ 309
ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ___________________________________ 317
(3ου Κεφαλαίου) ________________________________________________ 317
ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ____________________________________ 325
(4ου Κεφαλαίου) ________________________________________________ 325
ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ____________________________________ 335
(5ου Κεφαλαίου) ________________________________________________ 335
ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ____________________________________ 341
(6ου Κεφαλαίου) ________________________________________________ 341
ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ____________________________________ 355
(7ου Κεφαλαίου) ________________________________________________ 355
ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ____________________________________ 361
(8ου Κεφαλαίου) ________________________________________________ 361
ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ____________________________________ 383
(9ου Κεφαλαίου) ________________________________________________ 383
ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ____________________________________ 397
(10ου Κεφαλαίου) _______________________________________________ 397
ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ____________________________________ 411
(11ου Κεφαλαίου) _______________________________________________ 411
ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ____________________________________ 419
(12ου Κεφαλαίου) _______________________________________________ 419
ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ________________________________________ 429
I)
ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΩΝ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ _________________________________
ΙΙ) ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ___________________________________
III) ΒΑΘΜΩΤΑ ΠΕΔΙΑ _____________________________________________
IV) ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΑ ΠΕΔΙΑ _________________________________________
V) ΕΠΙΚΑΜΠΥΛΙΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ _________________________________
VI) ΔΙΠΛΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ _______________________________________
VΙΙ) ΤΡΙΠΛΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ _____________________________________
429
430
431
433
433
435
436
VΙΙΙ) ΕΠΙΦΑΝΕΙΑΚΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ _______________________________ 437
ΙΧ) ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ GREEN, STOKES, GAUSS_____________________________ 438
X) ΜΕΓΙΣΤΑ ΚΑΙ ΕΛΑΧΙΣΤΑ _________________________________________ 439
ΛΥΣΕΙΣ των γενικων ασκησεων _____________________________ 441
I)
ΙΙ)
III)
IV)
V)
VI)
VΙΙ)
VΙΙΙ)
ΙΧ)
X)
ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΩΝ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ _________________________________
ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ _________________________________
ΒΑΘΜΩΤΑ ΠΕΔΙΑ _________________________________________
ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΑ ΠΕΔΙΑ ______________________________________
ΕΠΙΚΑΜΠΥΛΙΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ _______________________________
ΔΙΠΛΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ ___________________________________
ΤΡΙΠΛΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ __________________________________
ΕΠΙΦΑΝΕΙΑΚΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ _____________________________
ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ GREEN, STOKES, GAUSS _________________________
ΜΕΓΙΣΤΑ ΚΑΙ ΕΛΑΧΙΣΤΑ _______________________________________
441
443
447
455
458
465
476
479
483
491
ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΤΟΛΕΣ ΤΟΥ MAPLE ______________________________ 497
ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ ___________________________________________ 529
ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ι
ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΩΝ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ
1.1 Γενικά
Πολλά γεωμετρικά και φυσικά μεγέθη, όπως μήκος, εμβαδόν, θερμοκρασία,
πίεση, ηλεκτρική τάση, μπορούν να προσδιορισθούν από έναν μόνο αριθμό,
π.χ. 6,28 μέτρα, 22 0C, 220 Volts κ.λ.π. Τα μεγέθη αυτά ονομάζονται βαθμωτά
ή αριθμητικά, και υπακούουν στους κανόνες της απλής αριθμητικής. Π.χ. όταν
περπατάει κάποιος πάνω σε μια ευθεία και διανύει απόσταση 400 μέτρων και
στη συνέχεια περπατάει για άλλα 300 μέτρα, τότε η συνολική απόσταση που
έχει διανύσει είναι 700 μέτρα και 700 μέτρα απέχει από το σημείο από το οποίο
ξεκίνησε. Εάν όμως μετά τα πρώτα 400 μέτρα στραφεί δεξιά και διανύσει απόσταση 300 μέτρων, τότε θα έχει μεν συνολικά διανύσει 700 μέτρα, αλλά
τώρα θα απέχει από το σημείο από το οποίο ξεκίνησε 400 2 + 300 2 = 500
μέτρα, (Σχ. 1.1.1). Αυτό συμβαίνει διότι οι μετατοπίσεις από ένα σημείο σε ένα
άλλο περιγράφονται όχι μόνο από το μήκος τους, αλλά και από την κατεύθυνση.
Υπάρχουν και άλλα γεωμετρικά όπως και φυσικά μεγέθη, π.χ. η ταχύτητα ενός
σώματος, η στροφορμή του, η ένταση του ηλεκτρι300
400
κού πεδίου, που δεν μπορούν να προσδιοριστούν
πλήρως από ένα μόνο αριθμό, αλλά χρειάζεται να
300
γνωρίζουμε και τη φορά και την κατεύθυνση τους.
Τέτοια μεγέθη ονομάζονται διανυσματικά και η
Σχ. 1.1.1
καταλληλότερη μαθηματική έννοια που μπορεί απλά και σύντομα να τα περιγράψει είναι η έννοια του
διανύσματος, η μελέτη του οποίου, όπως και οι εφαρμογές του, αποτελούν ένα
μεγάλο και σημαντικό κλάδο των Μαθηματικών, γνωστός με το όνομα "Διανυσματική Ανάλυση".
Ένα διάνυσμα παριστάνεται γεωμετρικά με ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα(1, η διεύθυνση του οποίου προσδιορίζει τη διεύθυνση του δια(1
Ένα ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ θα λέγεται προσανατολισμένο εάν ένα από τα άκρα του,
έστω το Α, το θεωρήσουμε σαν αρχή και το δεύτερο, το Β, σαν τέλος του ευθυγράμμου
τμήματος. Η διεύθυνση του τότε ορίζεται από την αρχή Α προς το τέλος Β. Τα προσανατολισμένα ευθύγραμμα τμήματα θα τα παριστάνουμε με ένα βέλος.
2 ♦ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1
νύσματος και το μήκος του, το μέτρο του διανύσματος, δηλαδή v=OA (2, (Σχ.
1.1.2α). Αλγεβρικά μπορούμε ένα διάνυσμα να το περιγράψουμε εξ ίσου καλά
με τις συντεταγμένες του στους άξονες κάποιου συστήματος συντεταγμένων
π.χ. OXYZ, δηλαδή v=(vx ,vy ,vz ), (Σχ. 1.1.2β).
Γεωμετρικά λοιπόν τα διανύσματα παριστάνονται με βέλη και αλγεβρικά
με τριάδες. Το σύνολο των διανυσμάτων της παραπάνω μορφής συμβολίζεται
με R3. Το μέτρο ενός διανύσματος v συμβολίζεται με |v| (3 και ορίζεται από το
μήκος του αντίστοιχου βέλους. Με τη βοήθεια του Πυθαγορείου θεωρήματος
εύκολα προκύπτει ότι
v = vx2 + vy2 + vz2
(1.1.1)
Τα διανύσματα με |v|=1 λέγονται μοναδιαία.
z
vz
A
A
v
v
vy
O
y
O
vx
x
Σχ. 1.1.2α
Σχ. 1.1.2β
1.2 Διανυσματική πρόσθεση:
(2
Σε τυπογραφικό κείμενο τα διανύσματα θα τα συμβολίζουμε με έντονα γράμματα
π.χ. ΟΑ , v,u,w, κ.λ.π., ενώ στη γραφή με το χέρι θα σχεδιάζουμε μικρά βέλη ή παύλες
πάνω από τα γράμματα που παριστάνουν τα διανύσματα π.χ. v, v .
(3
Πολλές φορές χρησιμοποιούμε το σύμβολο ||v||, αντί του συμβόλου |v|, για να συμβολίσουμε το μέτρο ενός διανύσματος. Αυτό γίνεται για να μην συγχέουμε την απόλυτη
τιμή ενός πραγματικού ή μιγαδικού αριθμού, που συμβολίζεται με |α|, α∈R ή C, με το
μέτρο ενός διανύσματος. Το σύμβολο ||⋅⋅|| ονομάζεται μέτρο ή norm ή στάθμη. Ο
συμβολισμός αυτός χρησιμοποιείται ιδίως στην Γραμμική Άλγεβρα
Η άλγεβρα των διανυσμάτων ♦3
Γεωμετρικά το διανυσματικό άθροισμα δύο διανυσμάτων v και w ορίζεται
με τη βοήθεια του γνωστού κανόνα του παραλληλογράμμου: Συγκεκριμένα σε
κάποιο σημείο O, που συνήθως είναι
η αρχή του συστήματος συντεταγμέz
νων, μεταφέρουμε τα διανύσματα v
v
και w μετακινώντας τα παράλληλα,
και σχηματίζουμε το παραλληλόγA
r
ραμμο, που έχει προσκείμενες πλευO
ρές τα διανύσματα v και w, (Σχ.
1.2.1). Τέλος το διάνυσμα r, που
y
παριστάνει η διαγώνιος ΟΑ του παw
ραλληλογράμμου, ορίζει το διανυσματικό άθροισμα των διανυσμάτων v
και w. Στο ίδιο διάνυσμα καταλήγουx
Σχ. 1.2.1
με εάν μετακινήσουμε το δεύτερο
διάνυσμα w έτσι ώστε η αρχή του να
συμπέσει με το πέρας του πρώτου
διανύσματος v.
Αλγεβρικά το διανυσματικό άθροισμα των διανυσμάτων v και w με συντεταγμένες (vx ,vy ,vz ) και (wx ,wy ,wz ) αντίστοιχα, ορίζεται από το διάνυσμα που
έχει συντεταγμένες το άθροισμα των αντίστοιχων συντεταγμένων των v και w,
δηλαδή:
r=v+w=(vx+wx , vy+wy , vz+wz)
(1.2.1)
Ο αλγεβρικός και ο γεωμετρικός ορισμός της πρόσθεσης των διανυσμάτων
είναι ισοδύναμος.
1.3 Βαθμωτός ή αριθμητικός πολλαπλασιασμός
Από τα παραπάνω είναι αρκετά λογικό για το διανυσματικό άθροισμα
v+v+v να χρησιμοποιήσουμε το σύμβολο 3v . Μπορούμε να πούμε ότι το διάνυσμα 3v είναι 3 φορές μεγαλύτερο από το διάνυσμα v και προς την ίδια διεύθυνση του v και ότι κάθε συντεταγμένη του 3v είναι τριπλάσια από την αντίστοιχη συντεταγμένη του v. Επεκτείνοντας τα παραπάνω, μπορούμε να ορίσουμε το διάνυσμα λv με λ θετικό αριθμό, να είναι ένα διάνυσμα λ φορές μεγαλύτερο του v και με την ίδια διεύθυνση ή ισοδύναμα κάθε συντεταγμένη του λv
να είναι λ φορές η αντίστοιχη συντεταγμένη του v. Εάν το λ είναι αρνητικός
αριθμός, τότε το διάνυσμα λv ορίζεται όπως πιο πάνω, μόνο που η διεύθυνση
του θα είναι αντίθετη προς την διεύθυνση του v. Εάν το λ=0, τότε το λv=0 όπου
0 το μηδενικό διάνυσμα, (το μηδενικό διάνυσμα ορίζεται να έχει μηδέν μέτρο
και διεύθυνση οποιαδήποτε, αλγεβρικά δε ορίζεται από τη μηδενική τριάδα
0=(0,0,0) ).
4 ♦ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1
Το διάνυσμα λv λέγεται βαθμωτό ή αριθμητικό γινόμενο του πραγματικού
αριθμού λ και του διανύσματος v, η δε αντίστοιχη πράξη βαθμωτός ή αριθμητικός πολλαπλασιασμός.
Με τη βοήθεια της διανυσματικής πρόσθεσης και του βαθμωτού πολλαπλασιασμού μπορούμε να ορίσουμε τη διανυσματική αφαίρεση δυο διανυσμάτων.
Έτσι έχουμε:
v-w=v+(-1)w
(1.3.1)
και η αφαίρεση ανάγεται σε πρόσθεση του διανύσματος v και του διανύσματος
-w, που λέγεται αντίθετο διάνυσμα του w.
1.4 Ισότητα διανυσμάτων
Δύο διανύσματα v και w θα λέγονται ίσα εάν ισχύει: v-w=0. Γεωμετρικά η
ισότητα αυτή μας λέει ότι τα δύο διανύσματα v και w παριστάνονται από το
ίδιο βέλος και αλγεβρικά ότι παριστάνονται από την ίδια τριάδα, δηλαδή
v=w ⇔ (vx ,vy ,vz )=(wx ,wy ,wz ) ⇔ vx = wx , vy = wy , vz = wz
(1.4.1)
Η τελευταία ισοδυναμία μας λέει ότι μια διανυσματική εξίσωση είναι ισοδύναμη με τρεις αλγεβρικές, (βαθμωτές), εξισώσεις. Η παρατήρηση αυτή δείχνει
ότι ένα από τα πλεονεκτήματα της διανυσματικής γραφής είναι ότι μπορεί να
διατυπώσει τους φυσικούς νόμους κατά οικονομικό τρόπο, (π.χ. γράφοντας μια
εξίσωση αντί για τρεις)
Μια άλλη παρατήρηση, που μπορούμε να κάνουμε, είναι η εξής: Στις γεωμετρικές και φυσικές εφαρμογές μπορούμε να εργαστούμε με δύο ισοδύναμους
τρόπους, γεωμετρικά και αλγεβρικά. Ο κάθε τρόπος έχει πλεονεκτήματα και
μειονεκτήματα. Ο γεωμετρικός τρόπος δεν χρειάζεται κανένα σύστημα συντεταγμένων, σε αντίθεση με τον αλγεβρικό τρόπο, ο οποίος χρειάζεται να έχουμε
ορίσει κάποιο σύστημα συντεταγμένων. Από την άλλη πλευρά ο αλγεβρικός
τρόπος μας οδηγεί σε αλγεβρικές σχέσεις, που αντιμετωπίζονται πιο εύκολα
παρά οι αντίστοιχες γεωμετρικές.
Η άλγεβρα των διανυσμάτων ♦5
1.5 Εσωτερικό γινόμενο δύο διανυσμάτων
Σαν εσωτερικό γινόμενο των διανυσμάτων v και w, που συμβολίζεται(4 με
v⋅w ορίζουμε το βαθμωτό μέγεθος, που δίνεται από τη σχέση:
v⋅w=|v||w|cosθ
(1.5.1)
όπου θ η μικρότερη γωνία που σχηματίζουν τα διανύσματα v και w. Από τη
σχέση (1.5.1) παρατηρούμε ότι ισχύει η μεταθετική ιδιότητα:
v⋅w=w⋅v
(1.5.2)
Μια χρήσιμη ερμηνεία του εσωτερικού γινομένου (1.5.1) δίνεται στο παρακάτω σχήμα:
Γ
w
θ
v
A
Δ
B
Σχ. 1.5.1
Επειδή |w|cosθ=ΑΔ=προβολή του w στη διεύθυνση του v , μπορούμε να
γράψουμε:
v⋅w= |v|×(προβολή του w στο v) ή v⋅w= |w|×(προβολή του v στο w)
Επίσης μπορούμε να παρατηρήσουμε ότι: Εάν |v|=1 τότε v⋅w=προβολή του
w στο v και
v⋅v=|v|2
(1..5.3)
Μια άλλη ιδιότητα, που έχει το εσωτερικό, γινόμενο είναι η επιμεριστική, δηλαδή ισχύει ότι:
(v+w)⋅u=v⋅u+w⋅u
(1.5.4)
Με τη βοήθεια του εσωτερικού γινομένου μπορούμε να ελέγξουμε την καθετότητα δύο διανυσμάτων. Πράγματι αν v και w είναι δύο μη μηδενικά διανύσματα και ισχύει v⋅w=0, τότε τα διανύσματα v και w είναι κάθετα διότι
v⋅w=|v||w|cosθ=0 ⇒ cosθ=0 ⇒ θ=π/2.
Εάν θεωρήσουμε τώρα ένα τρισορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων OXYZ
με μοναδιαία διανύσματα i, j, k στους αντίστοιχους άξονες OX, OY, OZ,
τότε τα διανύσματα v και w μπορούμε να τα γράψουμε ως εξής:
(4
Υπάρχουν και άλλοι συμβολισμοί για το εσωτερικό γινόμενο π.χ. <v,w> , (v,w)
6 ♦ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1
v=vxi+vyj+vzk
w=wxi+wyj+wzk
(1.5.5)
Το εσωτερικό γινόμενο v⋅w με τη βοήθεια της επιμεριστικής ιδιότητας
(1.5.4) και δεδομένου ότι i⋅j=i⋅k=j⋅k=0 και i⋅i=j⋅j=k⋅k=1, (επειδή τα διανύσματα i, j, k, είναι μοναδιαία και κάθετα μεταξύ τους), παίρνει την εξής μορφή:
v⋅w=vxwx+vywy+vzwz
(1.5.6)
Έτσι το εσωτερικό γινόμενο δύο διανυσμάτων μπορεί να υπολογιστεί είτε από
τη σχέση (1.5.1), είτε από την ισοδύναμη σχέση (1.5.6). Εδώ πρέπει να κάνουμε την εξής βασική παρατήρηση: Η σχέση (1.5.1) για να μας δώσει την τιμή
του εσωτερικού γινομένου των διανυσμάτων v και w χρειάζεται έναν κανόνα,
(μέτρο), με τον οποίο θα μετρήσουμε τα μήκη των διανυσμάτων v και w και
ένα μοιρογνωμόνιο, με το οποίο θα μετρήσουμε τη γωνία θ. Οι μετρήσεις δε
αυτές είναι ανεξάρτητες από οποιοδήποτε σύστημα συντεταγμένων. Απεναντίας ο τύπος (1.5.6) για να μας δώσει το ίδιο εσωτερικό γινόμενο χρειάζεται ένα
τρισορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων, ως προς το οποίο θα οριστούν οι συντεταγμένες vx , vy , vz και wx , wy , wz .
Από την σχέση (1.5.1) προκύπτει ότι
⎛
⎞
⎛ v⋅w ⎞
v⋅w
−1
⎟=
⎟ = cos ⎜
⎝ |v||w | ⎠
⎝ v⋅v w⋅w ⎠
⎞
vx wx + v y wy + vz wz
⎟
2
2
2
2
2
2 ⎟
vx + v y + vz wx + wy + wz ⎠
θ = cos −1 ⎜
⎛
= cos ⎜
⎜
⎝
−1
(1.5.7)
Η σχέση (1.5.7) μας βοηθά να υπολογίσουμε την γωνία θ, που σχηματίζουν
δυο διανύσματα, με την χρήση του εσωτερικού γινομένου ή ισοδύναμα με την
χρήση των συντεταγμένων των.
Ιδιότητες του εσωτερικού γινομένου: Από τον ορισμό του εσωτερικού
γινομένου (1.5.1) ή την ισοδύναμη αλγεβρική έκφραση (1.5.6) προκύπτουν οι
εξής ιδιότητες:
1)
v⋅v≥0 ∀v
2)
v⋅w =w⋅v ∀v,w
3)
και v⋅v=0 ⇔ v=0
(αv+βu)⋅w=α(v⋅w)+β(u⋅w) ∀v, u, w ∀α, β∈R
(1.5.8)
(1.5.9)
(1.5.10)
Η άλγεβρα των διανυσμάτων ♦7
Άσκηση: Να αποδειχθεί ότι το εσωτερικό γινόμενο δύο διανυσμάτων παραμένει αναλλοίωτο, (δηλαδή δεν αλλάζει τιμή), ως προς δύο ορθογώνια συστήματα συντεταγμένων, που έχουν την ίδια αρχή.
1.6 Εξωτερικό γινόμενο δύο διανυσμάτων
Σαν εξωτερικό γινόμενο δύο διανυσμάτων v και w, που συμβολίζεται με
v×w, ορίζουμε το διάνυσμα εκείνο, που έχει μέτρο |v||w|sinθ, όπου θ η γωνία,
που σχηματίζουν τα διανύσματα v και w και διεύθυνση εκείνη που ορίζεται
από τον κανόνα του δεξιού χεριού: τοποθετούμε τα δάκτυλα του δεξιού χεριού
κατά μήκος της κατεύθυνσης του πρώτου διανύσματος και κλείνουμε την παλάμη μας προς το μέρος του δεύτερου διανύσματος, (ακολουθώντας την μικρότερη γωνία). Τότε ο αντίχειρας μας δείχνει την κατεύθυνση του v×w. Με μαθηματική γλώσσα μπορούμε να πούμε ότι η κατεύθυνση του v×w είναι τέτοια
ώστε τα διανύσματα v, w, v×w να ορίζουν ένα δεξιόστροφο σύστημα αξόνων, (Σχ.1.6.1). Επειδή το αποτέλεσμα του εξωτερικού γινομένου δυο διανυσμάτων είναι και αυτό διάνυσμα, πολλές φορές ονομάζεται και διανυσματικό
γινόμενο.
Από τον ορισμό του εξωτερικού γινομένου προκύπτει ότι:
v×w=-w×v
v×w
(1.6.1)
δηλαδή η πράξη του εξωτερικού γινομένου δεν ικανοποιεί την μεταθετική ιδιότητα. Επίσης αν v×w=0, τότε θ=0,
δηλαδή τα διανύσματα v και w είναι
παράλληλα. Με το εξωτερικό γινόμενο
δηλαδή μπορούμε να ελέγξουμε την
παραλληλία δύο διανυσμάτων.
w
w×v
v
Αποδεικνύεται ότι το εξωτερικό γινόμενο ικανοποιεί την επιμεριστική ιδιότητα ως προς την πρόσθεση, δηλαδή
v×(w+u)=v×w+v×u
(1.6.2)
όπως επίσης ότι το εξωτερικό γινόμενο με τη βοήθεια των συντεταγμένων των διανυσμάτων v και w μπορεί να γραφεί:
v×w=(vxi+vyj+vzk)×(wxi+wyj+wz k) (vywz -vzwy)i+(vzwx-vxwz)j+(vxwy-vywx)k ⇒
8 ♦ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1
v×w =
vy
vz
wy
wz
i+
vz
vx
wz
wx
j+
vx
vy
wx
wy
i
k = vx
j
vy
k
vz
wx
wy
wz
(1.6.3)
Το δεξιό μέλος της (1.6.3) δεν είναι ορίζουσα αλλά αποτελεί μια συμβολική
παράσταση χρήσιμη για την απομνημόνευση του εξωτερικού γινομένου.
1.7 Γιατί η πράξη της διαίρεσης δεν ορίζεται στον χώρο των διανυσμάτων
Για να ορίσουμε την πράξη της διαίρεσης στον χώρο των διανυσμάτων, θα
πρέπει την πράξη αυτή να τη δούμε σαν την αντίστροφη διαδικασία του πολλαπλασιασμού. Επειδή στον χώρο των διανυσμάτων έχουμε ορίσει δύο είδη
πολλαπλασιασμού, θα πρέπει να ορίσουμε και δύο αντίστοιχες πράξεις διαίρεσης. Τις πράξεις αυτές ας τις ονομάσουμε "εσωτερική διαίρεση", (που αντιστοιχεί στο εσωτερικό γινόμενο δύο διανυσμάτων), και "εξωτερική διαίρεση", (που
αντιστοιχεί στο εξωτερικό γινόμενο δύο διανυσμάτων), Όμως τα δύο αυτά είδη
της διαίρεσης δεν ορίζονται μονοσήμαντα. Πράγματι:
Ας θεωρήσουμε το εσωτερικό γινόμενο των διανυσμάτων v και w
v⋅w=λ
(1.7.1)
του οποίου το αποτέλεσμα, δηλαδή ο πραγματικός αριθμός λ, είναι μονοσήμαντα ορισμένος.
Σαν εσωτερική διαίρεση εδώ θα όριζε κανείς την πράξη, (διαδικασία), εκείνη κατά την οποία εάν δοθούν το διάνυσμα w και ο πραγματικός αριθμός λ να
μπορεί να ορισθεί το v, έτσι ώστε v.w=λ. Εάν όμως βρεθεί ένα τέτοιο διάνυσμα, τότε και κάθε άλλο διάνυσμα της μορφής v* = v+u με u κάθετο στο w,
δηλαδή u.w=0 ικανοποιεί τη σχέση (1.7.1). Πράγματι:
v*⋅w=(v+u )⋅w=v⋅w+u⋅w=λ+0=λ
Βλέπουμε δηλαδή ότι η εσωτερική διαίρεση δεν μπορεί να ορισθεί μονοσήμαντα.
Το ίδιο συμβαίνει και με την εξωτερική διαίρεση.
Η άλγεβρα των διανυσμάτων ♦9
1.8 Τριπλά γινόμενα
Αφού το εξωτερικό γινόμενο δυο διανυσμάτων είναι και αυτό διάνυσμα,
μπορούμε να μιλάμε για εσωτερικό ή εξωτερικό γινόμενο με ένα τρίτο διάνυσμα. Έτσι σχηματίζουμε ένα τριπλό γινόμενο.
α) Το βαθμωτό τριπλό γινόμενο τριών διανυσμάτων v, w, u ορίζεται από
τη σχέση:
v⋅(w×u)
(1.8.1)
και έχει την εξής γεωμετρική ερμηνεία: Με την βοήθεια των διανυσμάτων v, w,
u, κατασκευάζουμε το παραλληλεπίπεδο, όπως δείχνει το (Σχ. 1.8.1). Τότε το
μέτρο |w×u| είναι το εμβαδόν της βάσεως, διότι |w×u|=|w||u|sinθ, που είναι το
εμβαδόν ενός παραλληλογράμμου με πλευρές w και u και γωνία θ. Το ύψος του
παραλληλεπιπέδου είναι |v|cosφ. Επομένως ο όγκος V του παραλληλεπιπέδου
είναι:
V=|w||u|sinθ|v|cosφ=|w×u||v|cosφ= v⋅(w×u)
Εάν φ>π/2, τότε το τριπλό βαθμωτό γινόμενο v⋅(w×u) γίνεται αρνητικό.
Έτσι θα πρέπει γενικά να γράφουμε:
V = |v⋅(w×u)|
(1.8.2)
w×u
φ
v
u
θ
w
Σχ. 1.8.1
Αποδεικνύεται ότι:
vx
v ⋅ ( w × u ) = wx
ux
vy
vz
wy
uy
wz
uz
(1.8.3)
β) Το εξωτερικό τριπλό γινόμενο τριών διανυσμάτων v, w, u ορίζεται από τη
σχέση:
10 ♦ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1
v×(w×u)
(1.8.4)
και αποδεικνύεται ότι:
v×(w×u)=(v⋅u)w-(v⋅w)u
(1.8.5)
(Ο τύπος του εξωτερικού γινομένου γίνεται ευκολομνημόνευτος εάν αλλάξουμε
συμβολισμό και γράψουμε:
a×(b×c)=b(a⋅c)-c(a⋅b)
(1.8.6)
όπου το δεξιό μέλος μας θυμίζει την έκφραση back up).
1.9 Ελεύθερα, εφαρμοστά και ολισθαίνοντα διανύσματα.
Μπορούμε να προσδιορίσουμε ένα διάνυσμα αν ξέρουμε το μέτρο του, τη
διεύθυνση του και τη φορά του. Το διάνυσμα τότε μπορεί να θεωρηθεί ότι
βρίσκεται οπουδήποτε στο χώρο, όπως επίσης και να μετακινηθεί παράλληλα
προς τον εαυτό του ή κατά μήκος της διεύθυνσης του. Τα παραπάνω ισχύουν
σιωπηρά στην πρόσθεση των διανυσμάτων. Σ' αυτή την περίπτωση μιλάμε για
ελεύθερα διανύσματα.
Μερικές φορές όμως στις φυσικές και γεωμετρικές εφαρμογές χρειαζόμαστε περισσότερες πληροφορίες για ένα διάνυσμα, εκτός από το μέτρο του, τη
διεύθυνση του και τη φορά του. Όταν υπολογίζουμε τη ροπή r×F μιας δύναμης
F γύρω από το σημείο Ο, το διάνυσμα r πρέπει να έχει την αρχή του στο σημείο Ο για να δώσει η έκφραση r×F τη ροπή της δύναμης F ως προς το σημείο
Ο. Σ' αυτή την περίπτωση το διάνυσμα r ονομάζεται εφαρμοστό διάνυσμα.
Έτσι ένα εφαρμοστό διάνυσμα είναι ένα διάνυσμα με την επιπλέον πληροφορία
ότι η αρχή του πρέπει να είναι ένα συγκεκριμένο σημείο.
Επίσης στη ροπή r×F πρέπει να έχουμε περισσότερες πληροφορίες για τη
δύναμη F εκτός από το μέτρο και τη διεύθυνση της. Πρέπει να ξέρουμε την
ευθεία πάνω στην οποία δρα η δύναμη F. Σ' αυτή την περίπτωση ονομάζουμε
το διάνυσμα F ολισθαίνον διάνυσμα. Έτσι ένα ολισθαίνον διάνυσμα είναι ένα
διάνυσμα με την επιπλέον πληροφορία που μας δίνει την ευθεία πάνω στην
οποία οφείλει να βρίσκεται.
Η άλγεβρα των διανυσμάτων ♦11
Παρατήρηση: Το γεγονός ότι ένα μέγεθος χαρακτηρίζεται από μέτρο και
διεύθυνση είναι μια αναγκαία αλλά όχι ικανή συνθήκη για να ονομάζεται το
μέγεθος αυτό διάνυσμα.. Και τούτο διότι το μέγεθος αυτό πρέπει να υπακούει
στους νόμους της διανυσματικής άλγεβρας και συγκεκριμένα στον νόμο της
διανυσματικής πρόσθεσης. Ας θεωρήσουμε π.χ. ένα στερεό που περιστρέφεται
γύρω από κάποιον άξονα. Η περιστροφή αυτή περιγράφεται πλήρως εάν ξέρουμε τον άξονα περιστροφής και την γωνία θ. Ο άξονας μπορεί να προσδιοριστεί
πλήρως από ένα διάνυσμα u του οποίου το μέτρο το θεωρούμε ίσο προς το
μέτρο της γωνίας θ, δηλαδή |u|=θ. Όμως το u δεν είναι διάνυσμα, διότι εάν
θεωρήσουμε δυο περιστροφές, που περιγράφονται από τα “διανύσματα” u1, u2
αντίστοιχα, τότε η σύνθεση των δυο αυτών περιστροφών δεν προκύπτει από το
διανυσματικό άθροισμα των u1, και u2. Αυτό μπορούμε να το δούμε στο εξής
παράδειγμα: Ας θωρήσουμε μια σφαίρα η οποία περιστρέφεται κατά γωνία θ1
γύρω από τον άξονα ΟΥ έτσι ώστε το σημείο Α1 πηγαίνει στη θέση Α2, (Σχ.
1.9.1). Και έστω ότι αυτή η περιστροφή παριστάνεται από το διάνυσμα u1 με
|u1|=θ1. Στη συνέχεια θεωρούμε μια δεύτερη περιστροφή της σφαίρας γύρω από
τον άξονα ΟΖ κατά γωνία θ2 τέτοια ώστε το σημείο Α2 μεταφέρεται στη θέση
Α3 και έστω ότι αυτή
η περιστροφή παριστάνεται από διάνυσμα u2 με |u2|=θ2. Παρατηρούμε τότε ότι
u3
εάν τα u1 και u2 ήσαν
u2
πράγματι διανύσματα, η περιστροφή που
μεταφέρει το σημείο
Α1 στο Α3 θα έπρεπε
θ1
να περιγράφεται από
u1
θ3
το διάνυσμα u1+u2.
Από την άλλη πλευρά όμως αυτή η πεθ2
ριστροφή θα έπρεπε
να παριστάνεται από
ένα διάνυσμα u3 κάΣχ. 1.9.1
θετο στο επίπεδο
Α1ΟΑ3. Αφού όμως το διάνυσμα u3 δεν βρίσκεται στο επίπεδο ΟΥΖ, δεν μπορεί
να είναι το άθροισμα των u1 και u2. Τα παραπάνω είναι προφανή στην περίπτωση όπου θ1=θ2=π/2, όπου το διάνυσμα u3 είναι κάθετο στο επίπεδο που
ορίζουν τα διανύσματα u1 και u2.
12 ♦ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1
Η έννοια λοιπόν της περιστροφής είναι κάτι διαφορετικό από την έννοια
του διανύσματος. Η κατάλληλη έννοια που περιγράφει τις περιστροφές είναι η
έννοια του τανυστή, βλέπε Κεφάλαιο ΧΙΙ και Παράρτημα Γ.
Εξαίρεση στο σύνολο των περιστροφών αποτελεί το σύνολο των απειροστών περιστροφών, δηλαδή εκείνων των περιστροφών των οποίων οι γωνίες
είναι πολύ μικρές, απειροστές.
Πράγματι: Ας υποθέσουμε ότι οι περιστροφές (u1, θ1), (u2, θ2), (u3, θ3) είναι
απειροστές, δηλαδή οι γωνίες θ1, θ2, θ3 είναι απειροστές. Τότε μπορούμε να
γράψουμε:
ΟΑ2=ΟΑ1+Α1Α2=ΟΑ1+(u1×ΟΑ1)
αφού
(1.9.1)
|u1×ΟΑ1|=θ1|ΟΑ1|=Α1Α2=|Α1Α2|
και επιπλέον το διάνυσμα u1×ΟΑ1 έχει την ίδια διεύθυνση με εκείνη του διανύσματος Α1Α2 .
Ομοίως
ΟΑ3=ΟΑ2+Α2Α3=ΟΑ2+(u2×ΟΑ2)
(1.9.2)
Αντικαθιστώντας την (1.9.1) στην (1.9.2) έχουμε
ΟΑ3=ΟΑ1+(u1×ΟΑ1)+u2×[ΟΑ1+(u1×ΟΑ1)]=
= ΟΑ1+(u1+u2) ×ΟΑ1+u2×(u1×ΟΑ1)
(1.9.3)
Στην περίπτωση που οι γωνίες θ1, θ2 είναι απειροστές, μπορούμε να απαλείψουμε τον τελευταίο όρο που είναι δευτέρας τάξεως απειροστό και να έχουμε:
ΟΑ3= ΟΑ1+(u1+u2) ×ΟΑ1
(1.9.4)
Εάν και η περιστροφή (u3,θ3), είναι απειροστή μπορούμε να γράψουμε:
ΟΑ3= ΟΑ1+u3 ×ΟΑ1
(1.9.5)
Συγκρίνοντας τις (1.9.4) και (1.9.5) προκύπτει:
u3=u1+u2
Επομένως οι απειροστές περιστροφές είναι διανύσματα αφού υπακούουν
στον κανόνα της διανυσματικής πρόσθεσης.
Περισσότερα για την έννοια του διανύσματος μπορεί ο αναγνώστης να διαβάσει στο Παράρτημα Β.
Η άλγεβρα των διανυσμάτων ♦13
1.10 Εφαρμογές
1) α) Το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει τα μέσα των πλευρών ενός τριγώνου είναι παράλληλο προς
την τρίτη πλευρά και το μήκος
A
του ισούται με το ήμισυ του
μήκους της.
β) Οι διαγώνιοι ενός παραλληλογράμμου διχοτομούνται.
Δ
Λύση: α) Έστω Δ και Ε τα
μέσα των πλευρών AΒ και ΑΓ
αντίστοιχα, (Σχ. 1). Από το
σχήμα έχουμε:
B
Ε
Γ
Σχ. 1
ΑΒ+ΒΓ=ΑΓ ⇒ ΔΕ=ΔΑ+ΑΕ=-ΑΔ+ΑΕ=1/2(ΑΓ-ΑΒ)=1/2(ΒΓ)
β) Ας υποθέσουμε ότι οι διαγώνιοι ΑΔ και ΒΓ του παραλληλογράμμου ΑΒΓΔ
δεν διχοτομούνται, (Σχ. 2). Έστω Ρ1 και Ρ2 τα μέσα των διαγωνίων ΑΔ και ΒΓ
αντίστοιχα. Από το σχήμα έχουμε:
Α
Β
ΑΡ2=ΑΓ+ΓΡ2=ΑΓ+1/2ΓΒ=
=ΑΓ+1/2(ΑΒ-ΑΓ)=1/2(ΑΒ+ΑΓ) (1)
και
Ρ2
ΑΡ1=1/2ΑΔ=1/2(ΑΒ+ΒΔ)=
=1/2(ΑΒ+ΑΓ)=ΑΡ2
Γ
(2)
Ρ1
Δ
Σχ. 2
Από τις σχέσεις (1), (2) προκύπτει ΑΡ1=AP2. Επομένως τα σημεία Ρ1 και Ρ2
συμπίπτουν και οι διαγώνιοι ΑΓ και ΒΓ διχοτομούνται
2)
Να αποδειχθεί ότι οι διάμεσοι ενός τριγώνου διέρχονται από ένα σημείο, το οποίο τριχοτομεί κάθε διάμεσο, δηλαδή διαιρεί κάθε διάμεσο σε μέρη 2
προς 1.
Α
Λύση: Στο τρίγωνο ΑΒΓ θεωρούμε τις διαμέσους ΑΔ και ΓΖ,
οι οποίες τέμνονται στο σημείο Η.
Ε
Ζ
Η
Θα αποδείξουμε ότι ΔΗ=1/3ΔΑ,
και ΖΗ=1/3ΖΓ. Επειδή τα διανύσματα ΖΓ και ΗΖ είναι συγγραμΒ
μικά θα ισχύει ΖΗ=μΖΓ (1). ΟμοΓ
Δ
ίως θα έχουμε ΔΗ=λΔΑ (2). Έχουμε:
ΒΗ=ΒΖ+ΖΗ=ΒΖ+μΖΓ
(1)
14 ♦ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1
Εφ’ όσον το Η βρίσκεται στη διάμεσο ΑΔ θα είναι:
ΒΗ=ΒΔ+λΔΑ
(2)
Εξισώνουμε τις (1) και (2):
ΒΖ+μΖΓ=ΒΔ+λΔΑ
(3)
Στη συνέχεια εκφράζουμε όλα τα διανύσματα της σχέσεως (3) με την βοήθεια των διανυσμάτων ΒΑ και ΒΓ:
ΒΖ=1/2ΒΑ, ΒΔ=1/2ΒΓ, ΖΓ=-1/2ΒΑ+ΒΓ, ΔΑ=-1/2ΒΓ+ΒΑ
(4)
Αντικαθιστούμε τις (4) στην (3) και έχουμε:
1/2ΒΑ+μ(-1/2ΒΑ+ΒΓ)=1/2ΒΓ+λ(-1/2ΒΓ+ΒΑ) ⇒
ΒΓ(1/2-μ-1/2λ)=ΒΑ(1/2-λ-1/2μ)
και επειδή τα διανύσματα BΓ, BA δεν είναι συγγραμμικά, θα έχουμε:
½-λ-1/2μ=0 ⇒ μ=λ=1/3.
½-μ-1/2λ=0,
Επομένως ΖΗ=1/3ΖΓ,
ΔΗ=1/3ΔΑ
Κατά τον ίδιο τρόπο αποδεικνύεται ότι ΗΕ=1/3ΒΕ.
3) Να βρεθεί το σημείο Γ, το οποίο διαιρεί το ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ σε λόγο
λ/μ.
Α
Γ
Λύση: Έστω Ο η αρχή των αξόνων
ενός συστήματος συντεταγμένων. Με
ΟΑ, ΟΓ, ΟΒ παριστάνουμε τα διανύσματα θέσεως των σημείων Α, Γ, Β
αντίστοιχα. Για το σημείο Γ έχουμε:
Β
AΓ ΓB
=
λ
μ
Ο
Από το σχήμα προκύπτει:
ΑΓ=ΟΓ-ΟΑ,
Αντικαθιστούμε τις (2) στην (1):
ΓΒ=ΟΒ-ΟΓ
OΓ − OA OB − OΓ
=
λ
μ
(1)
(2)
(3)
Από την (3) λύνουμε ως προς ΟΓ και βρίσκουμε:
ΟΓ=
λOB + μOA
λ+μ
Η εξίσωση (4) δίνει το διάνυσμα θέσης ΟΓ του σημείου Γ.
(4)
Η άλγεβρα των διανυσμάτων ♦15
4) Έστω ΑΒΓΔ ένα τετράπλευρο και ΕΖΗΘ τα μέσα των πλευρών. Να δείξετε ότι το τετράπλευρο ΕΖΗΘ είναι παραλληλόγραμμο.
Απόδειξη: Από το σχήμα έχουμε:
Γ
ΕΖ=1/2ΑΒ+1/2ΒΓ=1/2(ΑΒ+ΒΓ)
ΖΗ=1/2(ΒΓ+ΓΔ)
ΗΘ=1/2(ΓΔ+ΔΑ)
(1)
Η
Δ
Ζ
ΘΕ=1/2(ΔΑ+ΑΒ)
Θ
και
Β
ΑΒ+ΒΓ+ΓΔ+ΔΑ=0
ή
ΑΒ+ΒΓ=-(ΓΔ+ΔΑ)
(2)
Α
Ε
Συνδυάζοντας την (2) και τις (1) παίρνουμε:
ΕΖ=1/2(ΑΒ+ΒΓ)=-1/2(ΓΔ+ΔΑ)=-ΗΘ
(3)
ΖΗ=-1/2(ΒΓ+ΓΔ)=-1/2(ΑΒ+ΔΑ)=-ΘΕ=ΕΘ
Από τις σχέσεις (3) συμπεραίνουμε ότι το τετράπλευρο ΕΖΗΘ είναι παραλληλόγραμμο επειδή οι απέναντι πλευρές του είναι παράλληλες.
5) Η ταχύτητα του νερού ενός
ποταμού είναι 20km/h. Μια βάρκα
διασχίζει το ποτάμι με ταχύτητα
20km/h ως προς το νερό του ποταμού. Ποια είναι η διεύθυνση προς
την οποία θα κινηθεί η βάρκα και
ποια είναι η ταχύτητα της ως προς
την κοίτη του ποταμού; Είναι δυνατό
η βάρκα να διασχίσει το ποτάμι κάθετα;
Ταχύτητα
Ταχύτητα ποταμού
Λύση: Χρησιμοποιώντας τον κανόνα του
παραλληλογράμμου, βρίσκουμε ότι η ταχύτητα της βάρκας ως προς την κοίτη του ποταμού
έχει μέτρο 20√2km/h. και σχηματίζει γωνία
450 ως προς την διεύθυνση της ταχύτητας του
ποταμού. Για να διασχίσει η βάρκα κάθετα το
ποτάμι ακολουθώντας την διαδρομή ΑΒ, πρέπει η ταχύτητα της βάρκας να είναι τέτοια
ώστε η συνισταμένη των ταχυτήτων, της βάρκας και του ποταμού να έχει την διεύθυνση της
διαδρομής ΑΒ. Κάτι τέτοιο όμως είναι αδύνατο, διότι από τον κανόνα του
16 ♦ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1
20
Γ
Β
παραλληλογράμμου το ορθογώνιο
τρίγωνο ΑΒΓ έχει υποτείνουσα μέτρου 20 και μια κάθετη πλευρά μέτρου
20.
20
20
20
6) Ένα αεροπλάνο κινείται βορειοδυτικά με ταχύτητα 250miles/h ως προς
το έδαφος. Η ταχύτητα του ανέμου είναι 80miles/h με διεύθυνση ανατολική.
Ποια θα ήταν η ταχύτητα του αεροπλάνου εάν η ταχύτητα του ανέμου ήταν
μηδέν;
Α
Λύση: Έστω vα η ταχύτητα του ανέμου, v1 η ταχύτητα του αεροπλάνου ως
προς το έδαφος όταν φυσάει άνεμος
και v2 η ταχύτητα του αεροπB
λάνου
χωρίς άνεμο. Τότε:
v1=v2+vα
v2
Από τον νόμο των συνημιτόνων
έχουμε:
v1
(v2)2=(v1)2 +(vα)2vα
A
2v1vαcos(1350)=311.7miles/h
και από τον νόμο των ημιτόνων:
v2
v
0
= 1 ⇒ sinα=0.567 ⇒ α=34.55 .
0
sin 135
sin α
Τελικά χωρίς άνεμο, το αεροπλάνο θα είχε ταχύτητα μέτρου 311.7miles/h
και κατεύθυνση 34.550 βορειοδυτικά.
7) Έστω Α ένα σταθερό σημείο στο επίπεδο ΟΧΥ και Β, Γ δυο άλλα σημεία, τα οποία κινούνται έτσι ώστε |ΑΒ|=3 και |ΒΓ|=2.
α) Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος του σημείου Γ.
β) Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος του σημείου Γ, εάν το σημείο Β κινείται
στο επίπεδο ΟΧΥ έτσι ώστε |ΑΒ|=3 και το Γ κινείται στο χώρο ενώ |ΒΓ|=2.
γ) Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος του σημείου Γ εάν τα σημεία Β και Γ
κινούνται στον χώρο.
Η άλγεβρα των διανυσμάτων ♦17
Λύση: α) Εφ’ όσον το Α είναι σταθερό σημείο και το Β κινείται έτσι ώστε
|ΑΒ|=3, το Β διαγράφει κύκλο με κέντρο το σημείο Α και ακτίνα 3. Σε κάθε
θέση του σημείου Β, το σημείο Γ διαγ2
ράφει κύκλο με κέντρο το σημείο Β
B
Γ
και ακτίνα 2. Επομένως ο γεωμετρικός
τόπος του σημείου Γ είναι ο δακτύλιος
3
A
με κέντρο το σημείο Α και ακτίνες 1
και 5.
β) Στην περίπτωση αυτή το Γ κινείται στο χώρο έτσι ώστε |ΒΓ|=2. Επομένως σε κάθε θέση του σημείου Β το
Γ κινείται πάνω σε επιφάνεια
σφαίρας που έχει κέντρο το
σημείο Β και ακτίνα 2. Τελικά
ο γεωμετρικός τόπος του σημείου Γ είναι ένας τόρος (5,
όπως δείχνει το διπλανό σχήμα.
γ) Εδώ και το σημείο Β κινείται στο χώρο. Η ελαχίστη
απόσταση του σημείου Γ από
το Α θα είναι 1 και η μεγίστη 5.
Ο αντίστοιχος γεωμετρικός
τόπος θα είναι το στερεό ενός
σφαιρικού φλοιού με κέντρο το
σημείο Α και ακτίνες 1 και 5.
Γ
8) Τα διευθύνοντα συνημίτονα ενός διανύσματος r ορίζονται σαν τα συνημίτονα των γωνιών που σχηματίζονται από το διάνυσμα r και τους θετικούς
ημιάξονες ενός συστήματος συντεταγμένων. Να δειχθεί ότι
cos2α +cos2β+cos2γ=1.
Λύση: Θεωρούμε το διάνυσμα r=(x,y,z) και έστω α, β, γ οι γωνίες που σχηματίζει με τους θετικούς ημιάξονες ΟΧ, ΟΥ, ΟΖ. Το τρίγωνο ΟΒΑ είναι ορθογώνιο με ορθή γωνία την ΟΒΑ, επομένως
cosα=x/r
(1)
(5
Ο τόρος είναι η επιφάνεια που έχει μια σαμπρέλα αυτοκινήτου. Περισσότερα για τον
τόρο μπορεί ο αναγνώστης να βρει στην παράγραφο 8.3.
18 ♦ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1
όπου r=|r| το μέτρο του διανύσματος r. Επίσης από το ορθογώνιο
τρίγωνο ΑΓΟ έχουμε:
Δ
Α
cosβ=y/r
γ
Γ
(2)
Τέλος από το ορθογώνιο τρίγωνο
ΟΑΔ έχουμε:
Β
cosγ=z/r
(3)
Επίσης ισχύει:
x2+y2+z2=r2
Τελικά θα είναι:
(4)
cos2α +cos2β+cos2γ=x2/r2+y2/r2+z2/r2=r2/r2=1
9) α) Να υπολογιστούν οι γωνίες που σχηματίζει το διάνυσμα v(2,4,-5) με
τους άξονες ΟΧ, ΟΥ, ΟΖ. β) Να βρεθεί η προβολή του διανύσματος v(2,5,1)
στο διάνυσμα u(1,1,3).
Λύση: α) Έστω α, β, γ οι γωνίες που σχηματίζει το διάνυσμα v με τους άξονες ΟΧ, ΟΥ, ΟΖ. Έχουμε:
v⋅i=|v||i|cosα ⇒ 2= 4 + 16 + 25 cosα ⇒ cosα=
2
=0.298 ⇒ α=730
45
Κατά τον ίδιο τρόπο έχουμε:
v⋅j=|v||j|cosβ ⇒ 4= 4 + 16 + 25 cosβ ⇒ cosβ=
4
=0.596 ⇒ β=530
45
v⋅k=|v||k|cosγ ⇒ -5= 4 + 16 + 25 cosγ ⇒ cosγ=
−5
=-0.745 ⇒ γ=1380
45
β) Η συνιστώσα ενός διανύσματος v η παράλληλη προς ένα διάνυσμα u ονομάζεται προβολή του διανύσματος v
στο διάνυσμα u. Για την συγκεκριμένη περίπτωση η προβολή του v
v
στο διάνυσμα u είναι η συνιστώσα
του ΟΑ′ όπως φαίνεται στο σχήμα.
θ
Για να υπολογίσουμε την προβολή
ΟΑ′ πρώτα θα υπολογίσουμε το
μοναδιαίο διάνυσμα το παράλληλο
u
προς το u. Προφανώς αυτό θα
είναι:
Η άλγεβρα των διανυσμάτων ♦19
u0 =
u
1
=
(1,1,3)
|u|
11
και η ζητούμενη προβολή θα είναι:
⎡
1
3 ⎞⎤ 1
⎛ 1
,
,
(1,1,3) =
⎟⎥
⎝ 11 11 11 ⎠ ⎦ 11
1
10
(1,1,3) = (1,1,3)
11
11
( v ⋅ u0 ) u0 = ⎢( 2,5,1) ⋅ ⎜
⎣
=
1
( 2 + 5 + 3)
11
10) Θεωρούμε δυο μοναδιαία διανύσματα u1, u2 στο επίπεδο ΟΧΥ, τα οποία
σχηματίζουν γωνία α, β με τον θετικό ημιάξονα ΟΧ αντίστοιχα. Με την βοήθεια του εσωτερικού γινομένου να αποδείξετε τις σχέσεις:
j
cos(β-α)=cosβcosα+sinβsinα (1)
u2
cos(β+α)=cosβcosα-sinβsinα
(2)
Απόδειξη: Από το σχήμα 1 έχουμε:
u1
β
u1=cosαi+sinαj
u2=cosβi+sinβj
α
Υπολογίζουμε το εσωτερικό γινόμενο των u1 και u2:
Σχ. 1
u1⋅u2=|u1| |u2|cos(β-α) ⇒
cosαcosβ+sinαsinβ=cos(β-α)
i
j
Για να αποδείξουμε την δεύτερη σχέση χρησιμοποιούμε το
σχήμα 2. από το οποίο έχουμε:
u2
u1=cosαi-sinαj
u2=cosβi+sinβj
και από το εσωτερικό γινόμενο
των u1 και u2
β
προκύπτει: u1⋅u2=|u1| |u2|cos(β+α)
⇒ cosαcosβ-sinαsinβ=cos(β+α)
α
Η σχέση (2) μπορεί να προκύψει
από την (1) αντικαθιστώντας το α
με –α.
i
u1
Σχ. 2
20 ♦ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1
11) Για μια επίπεδη επιφάνεια, ορίζουμε το διάνυσμα επιφάνειας σαν το
διάνυσμα το οποίο έχει μέτρο το εμβαδόν της επιφάνειας και διεύθυνση την
κάθετο προς την επιφάνεια. Η
φορά επιλέγεται αυθαίρετα.
Συνήθως εάν η επιφάνεια είναι
κλειστή, επιλέγουμε σαν φορά
S3
c
a
εκείνη που οδηγεί προς τα έξω
b
S1
S2
της επιφάνειας (6. Να δείξετε ότι
c-a
b-a
S1+ S2+ S3+ S4=0
S4
όπου S1, S2, S3, S4, τα διανύσματα επιφανείας που ορίζονται
στις έδρες ενός τετραέδρου.
Λύση: Το εμβαδόν ενός τριγώνου, που ορίζεται από δυο διανύσματα a, b,
δίνεται από το ήμισυ του μέτρου του εξωτερικού γινομένου των διανυσμάτων
1
αυτών, δηλαδή a × b , (βλέπε άσκηση 4). Για τις έδρες του τετραέδρου έχου2
με:
1
1
1
1
S1= a × b , S2= b × c , S3= c × a , S4= ( c − a ) × ( b − a )
2
2
2
2
Επομένως:
1
1
1
1
S1+ S2+ S3+ S4= a × b + b × c + c × a + ( c − a ) × ( b − a ) =
2
2
2
2
=
1
[a × b + b × c + c × a + c × b − c × a − a × b + a × a ] = 0
2
Το παραπάνω αποτέλεσμα εύκολα μπορεί να γενικευθεί για οποιοδήποτε
κλειστό πολύεδρο.
(6
Ο πιο γενικός ορισμός της έννοιας του διανύσματος επιφάνειας δίνεται στο κεφάλαιο
VIII των επιφανειακών ολοκληρωμάτων
Η άλγεβρα των διανυσμάτων ♦21
ΑΣΚΗΣΕΙΣ
1.
Να αποδειχθεί η επιμεριστική ιδιότητα του εσωτερικού γινομένου:
(v+w )⋅u =v⋅u+w⋅u
2.
Να αποδειχθεί ότι: |v+u| ≤ |v|+|u|
3.
Να αποδειχθεί η ανισότητα των Cauchy-Schwarz: |v⋅u|≤|v||u|
4.
Να αποδειχθεί ότι το εμβαδόν ενός τριγώνου ΑΒΓ δίνεται από τον τύ-
πο:
S=1/2|α×β|=1/2αβsinΓ όπου α το διάνυσμα που αντιστοιχεί στην πλευρά α,
β το διάνυσμα που αντιστοιχεί στην πλευρά β και Γ η περιεχομένη μεταξύ των
πλευρών α, β γωνία.
5. Με την βοήθεια διανυσμάτων να αποδειχθεί:
α) ο νόμος των ημιτόνων:
α
sin Α
=
β
sin Β
=
γ
sin Γ
και
β) ο νόμος των συνημιτόνων:
α2=β2+γ2-2βγcosΑ , β2=α2+γ2-2αγcosΒ , γ2=α2+β2-2αβcosΓ
σ' ένα τρίγωνο ΑΒΓ με πλευρές α, β, γ.
6. Να αποδειχθούν οι ταυτότητες:
α)
|v+u|2 -|v-u|2=4 v.u
β)
|v+u|2+|v-u|2=2|v|2+2|u|2
7.
Να αποδειχθούν οι σχέσεις:
α) v×(u×w) = u(v⋅w)-w(v⋅u)
β) (v×u)×w = u(v⋅w)-v(u⋅w)
γ) (v×u)⋅(w×r) = (v⋅w)(u.r)-(v⋅r)(u⋅w)
8.
Να αποδείξετε την ταυτότητα του Jacobi:
v×(u×w) + u×(w×v) + w×(v×u) = 0
9. Δείξτε ότι εάν v≠0 και ισχύουν οι σχέσεις: v⋅u=v⋅w και v×u = v×w
τότε u=w. Εάν όμως ισχύει μια μόνο από τις παραπάνω σχέσεις, τότε u≠w.
10. Έστω a, b, c τρία διανύσματα που δεν βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο και
δεν είναι κατ’ ανάγκη ορθογώνια μεταξύ τους. Να αποδείξετε ότι κάθε διάνυσμα v μπορεί να γραφεί συναρτήσει των a, b, c με την βοήθεια της σχέσεως:
22 ♦ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1
⎛ v ⋅b×c ⎞ ⎛ v ⋅a×c ⎞
⎛ v ⋅b×a ⎞
v=⎜
⎟a + ⎜
⎟b + ⎜
⎟c
⎝ a ⋅b ×c ⎠ ⎝ b ⋅a×c ⎠
⎝ c⋅b×a ⎠
11. Θεωρούμε ένα σύστημα αποτελούμενο από n ηλεκτρικά φορτία e1, e2,
…, en . Έστω ri το διάνυσμα θέσεως του φορτίου ei (i=1,2, …, n) ως προς την
αρχή Ο. Η διπολική ροπή του συστήματος των φορτίων ορίζεται από την σχέση:
n
p = ∑ ei ri
i =1
και το κέντρο του φορτίου του συστήματος από την σχέση:
n
R=
p
n
∑e
i =1
n
όπου
∑e
i =1
i
i
=
∑e r
i =1
n
i i
∑e
i =1
i
≠ 0 . Το σύστημα των φορτίων ονομάζεται ουδέτερο εάν
n
∑e
i =1
i
=0
α) Δείξτε ότι η διπολική ροπή ενός ουδετέρου συστήματος είναι ανεξάρτητη
από την αρχή Ο.
β) Εκφράστε αυτή την ροπή συναρτήσει των κέντρων των αρνητικών και θετικών φορτίων που αποτελούν το αρχικό σύστημα.
ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΙΙ
ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ
2.1 Γενικά
Μέχρι τώρα ασχοληθήκαμε με διανύσματα, τα οποία θεωρούσαμε ότι είναι
σταθερά, δηλαδή με διανύσματα της μορφής:
r=rxi+ryj+rzk
όπου οι συντεταγμένες rx ,ry,rz είναι αριθμοί, όπως π.χ. r=3i-2j+6k. Στη φυσική
όμως τα διανυσματικά φυσικά μεγέθη
γενικά δεν παραμένουν σταθερά αλλά
μεταβάλλονται, όπως π.χ. η ταχύτητα
ενός κινητού, που κινείται κατά μήκος
μιας καμπύλης του χώρου. Τότε οι τρεις
συνιστώσες τους δεν είναι σταθεροί αριθμοί, αλλά συναρτήσεις μιας ή δυο ή
περισσότερων μεταβλητών.
z
r
k
j
y
i
x
Στην περίπτωση της μιας μεταβλητής,
που ας την συμβολίσουμε με t, το διάνυσμα r έχει την έκφραση:
r=x(t)i+y(t)j+z(t)k
(2.1.1)
και ονομάζεται διανυσματική συνάρτηση μιας πραγματικής μεταβλητής.
Από μαθηματικής πλευράς η διανυσματική συνάρτηση ορίζεται σαν αντιστοιχία της μορφής:
r: I⊂R → A⊂R3
r: t∈I → r(t)∈Α
(2.1.2)
Το πεδίο τιμών Α μιας διανυσματικής συνάρτησης, δηλαδή η γραφική της
παράσταση, παριστάνει καμπύλη. Οι εξισώσεις x=x(t), y=y(t), z=z(t) ονομάζονται παραμετρικές εξισώσεις της καμπύλης και η εξίσωση (2.1.1) διανυσματική παραμετρική εξίσωση της καμπύλης.
24 ♦ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΙΙ
Παράδείγματα: Η διανυσματική συνάρτηση:
1.
r(t) = Rcosti + Rsintj με t∈[0,2π)
παριστάνει κύκλο στο επίπεδο ΟXY με κέντρο την αρχή των αξόνων και ακτίνα
R.
Πράγματι, θέτοντας x=Rcost και y=Rsint έχουμε: x2+y2=R2.
2.
r(t) = αcosti + βsintj με t∈[0,2π)
παριστάνει έλλειψη στο επίπεδο ΟXY με μεγάλο ημιάξονα α και μικρό β.
Πράγματι, θέτοντας x=αcost και y=βsint έχουμε:
3.
x2
α2
+
y2
β2
=1.
r(t) = αcosti + βsintj + γtk με t∈[t1 ,t2]⊆R
παριστάνει ελλειπτική έλικα στο χώρο OXYZ.
4. r(t) = coshti + sinhtj με t∈R
παριστάνει τον δεξιό κλάδο της υπερβολής x2-y2=1. Πράγματι από την ταυτότητα cosh2t-sinh2t=1 και θέτοντας x=cosht, y=sinht προκύπτει η εξίσωση της υπερβολής. Επειδή όμως x=cosht>0, η παραπάνω διανυσματική συνάρτηση
παριστάνει τον δεξιό κλάδο της υπερβολής.
Από το τελευταίο παράδειγμα συμπεραίνουμε ότι μερικές φορές οι παραμετρικές εξισώσεις και η καρτεσιανή εξίσωση μιας καμπύλης δεν περιγράφουν
αναγκαστικά την ίδια πραγματικότητα.
Από τον ορισμό της διανυσματικής συνάρτησης και από τα παραπάνω παραδείγματα εύκολα προκύπτει ότι τα πέρατα των διανυσμάτων που παίρνουμε
για τις διάφορες τιμές της μεταβλητής t κείνται επί μιας καμπύλης η οποία ονομάζεται ίχνος της διανυσματικής συνάρτησης και μπορεί να θεωρηθεί σαν
γραφική παράσταση της διανυσματικής συνάρτησης.
Έτσι τα ίχνη των παραπάνω διανυσματικών συναρτήσεων έχουν τις εξής
γραφικές παραστάσεις:
Διανυσματικές Συναρτήσεις♦25
1. Κύκλος
2. Έλλειψη
r ( t ) = R cos ti + R sin t με t ∈[0,2π ), r ( t ) = a cos ti + β sin t με t ∈[0,2π )
3. Ελλειπτική έλικα
r(t) = costi + 2sintj + t/2k με t∈[0 ,4π]
4. Υπερβολή (δεξιός κλάδος)
r(t) = coshti + sinhtj με t∈R
2.2 Όριο διανυσματικής συνάρτησης
Μια διανυσματική συνάρτηση r=rx(t)i+ry(t)j+rz(t)k λέμε ότι έχει όριο το
διάνυσμα l=lxi+lyj+lzk όταν το t τείνει στο t0, εάν ισχύει:
26 ♦ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΙΙ
limt →t0 rx (t ) = lx , limt →t0 ry (t ) = l y , limt →t0 rz (t ) = lz
και θα γράφουμε: limt →t0 r (t ) = l
(2.2.1)
t →t
0
⎯
→l
ή r(t) ⎯⎯
Άσκηση 1 Να δειχθεί η ισοδυναμία:
limt →t0 r(t ) = l ⇔ limt →t0 | r(t ) − l |= 0 ⇔
(∀ε>0)(∃δ(ε,t0)>0)[|t-t0|<δ →|r(t)-l|<ε]
(2.2.2)
Άσκηση 2 Να δειχθεί ότι εάν limt →t0 r (t ) = l ⇒ limt →t0 | r(t ) |=| l |
Το αντίστροφο ισχύει ;
Άσκηση 3 Το όριο l όταν υπάρχει είναι μοναδικό.
2.3 Συνέχεια διανυσματικής συνάρτησης
Μια διανυσματική συνάρτηση r(t)=rx(t)i+ry(t)j+rz(t)k λέγεται συνεχής στο
σημείο t0 εάν το όριο της συνάρτησης ισούται με τη τιμή της συνάρτησης στο
t=t0, δηλαδή αν
limt →t0 r(t ) = r(t0 )
(2.3.1)
ή ισοδύναμα εάν κάθε συνιστώσα της είναι συνεχής στο t0 δηλαδή:
limt →t0 rx (t ) = rx (t0 ) , limt →t0 ry (t ) = ry (t0 ) , limt →t0 rz (t ) = rz (t0 )
Επίσης μπορούμε να γράφουμε:
t →t 0
r(t ) ⎯⎯
⎯→r(t 0 )
2.4 Παράγωγος διανυσματικής συνάρτησης
Η παράγωγος μιας διανυσματικής συνάρτησης r(t) στο σημείο t0 ορίζεται από τη σχέση:
r (t + h) − r (t0 )
dr (t0 )
= r′(t0 ) = lim h →0 0
=
dt
h
Διανυσματικές Συναρτήσεις♦27
=lim h → 0
+lim h →0
r (t + h ) − ry (t0 )
rx (t0 + h ) − rx (t0 )
i + lim h → 0 y 0
j+
h
h
rz (t0 + h) − rz (t0 )
k = rx′(t0)i+ry′(t0)j+rz′(t0)k
h
Γενικά η έκφραση της παραγώγου δίνεται από τον τύπο:
r′(t)=
dr(t )
= rx′(t0)i+ry′(t0)j+rz′(t0)k
dt
(2.4.1)
Όπως βλέπουμε η παράγωγος μιας διανυσματικής συνάρτησης ανάγεται στις
παραγώγους των συνιστωσών της.
Η γεωμετρική ερμηνεία της παραγώγου μπορεί να φανεί στο σχήμα 2.4.1,
όπου βλέπουμε ότι η παράγωγος είναι διάνυσμα
r′(t0)
εφαπτόμενο της καμπύλης,
r(t0+h)-r(t0)
z z
που έχει διανυσματική
εξίσωση r(t).
Παράδειγμα: Έστω ότι
(x,y,z) είναι οι συντεταγμένες ενός υλικού σημείου,
που κινείται ως προς το
χρόνο t, δηλαδή οι συντεταγμένες x,y,z είναι συναρτήσεις του χρόνου t :
r(t0+h) r(t0)
y
x
Σχ. 2.4.1
x=x(t), y=y(t), και z=z(t).
Το διάνυσμα θέσης του υλικού σημείου είναι:
Η ταχύτητα του είναι:
v (t ) =
r(t) = x(t)i + y(t)j + z(t)k
dr (t ) dx(t ) dy (t )
dz (t )
j+
k
=
i+
dt
dt
dt
dt
και η επιτάχυνση του:
a (t ) =
d v (t ) d 2 r (t ) d 2 x ( t )
d 2 y (t )
d 2 z (t )
=
=
i
+
j
+
k
dt
dt 2
dt 2
dt 2
dt 2
Παρατήρηση 1: Η παράγωγος του γινομένου ενός βαθμωτού επί ένα διανυσματικό μέγεθος λ(t)r(t), όπως επίσης η παραγώγιση του εσωτερικού γινομένου δυο διανυσματικών μεγεθών r(t)⋅v(t) και του εξωτερικού γινόμενου
r(t)×w(t) ακολουθεί τον κανόνα της παραγώγισης ενός γινομένου με μια μόνο
εξαίρεση: Πρέπει να διατηρούμε τη σειρά των διανυσματικών συναρτήσεων
στο εξωτερικό γινόμενο. Έτσι εύκολα κανείς μπορεί να αποδείξει ότι:
28 ♦ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΙΙ
d
dλ (t)
dr (t)
r (t) + λ (t)
[λ(t)r(t)] =
dt
dt
dt
(2.4.2α)
d
dr(t )
dv(t )
⋅ v(t ) + r(t ) ⋅
[r(t ) ⋅ v(t )] =
dt
dt
dt
(2.4.2β)
d
dr(t )
dv(t )
× v(t ) + r(t ) ×
[r(t ) × v(t )] =
dt
dt
dt
(2.4.2γ)
Μια καμπύλη C με διανυσματική παραμετρική εξίσωση r(t) λέγεται ομαλή
όταν υπάρχει η παράγωγος dr/dt και είναι συνεχής διανυσματική συνάρτηση.
Στη συνεχεία θα εξετάσουμε δυο συνθήκες, που μας εγγυώνται πότε μια
διανυσματική συνάρτηση έχει σταθερό μέτρο ή διεύθυνση.
Πρόταση 1: Ικανή και αναγκαία συνθήκη για να έχει η διανυσματική συνάρτηση r(t) σταθερό μέτρο, είναι να είναι κάθετη προς την παράγωγο της:
r (t ) ⋅
dr (t )
= 0 ∀t∈I
dt
(2.4.3)
Απόδειξη: Αναγκαίο. Έστω ότι |r(t)|=r(t)=σταθερό. Τότε
r2(t)=r.r=σταθ. ⇒
2r (t ) ⋅
d
dr (t )
dr (t )
⋅ r (t ) + r (t ) ⋅
=0 ⇒
[r(t ) ⋅ r (t )] = 0 ⇒
dt
dt
dt
d r (t )
dr (t )
=0
= 0 δηλαδή r (t ) ⋅
dt
dt
Ικανό: Έστω ότι r (t ) ⋅
dr (t )
= 0 . Έχουμε: r2(t) =r⋅r ⇒
dt
d 2
dr (t )
⎡⎣ r (t ) ⎤⎦ = 2r (t ) ⋅
=0
dt
dt
⇒ r2(t)=σταθερό. ⇒ r(t)=|r(t)|=σταθερό.
Πρόταση 2: Ικανή και αναγκαία συνθήκη για να έχει η διανυσματική συνάρτηση r(t) σταθερή διεύθυνση, είναι να είναι παράλληλη προς την παράγωγο της:
r(t ) ×
dr (t )
=0
dt
∀t∈I
Απόδειξη: Αναγκαίο: Θεωρούμε τη διανυσματική συνάρτηση:
(2.4.4)
Διανυσματικές Συναρτήσεις♦29
r0(t)=
r (t )
r (t )
=
| r (t ) | r (t )
που έχει μέτρο |r0(t)|=1 και σταθερή διεύθυνση, δηλαδή η διανυσματική συνάρτηση r0(t) είναι σταθερή και επομένως r0′(t)=0.
Έχουμε:
r(t)=r(t)r0(t) ⇒ r′(t)=r′(t)r0(t)+r(t)r0′(t)=r′(t)r0(t) ⇒
r(t)×r′(t)=r′(t)r(t)×r0(t)= =r′(t)r(t)×
και επομένως
r ( t ) r ′( t )
r(t)×r(t)=0
=
r (t ) r (t )
r(t)×r′(t)=0
Ικανό: Έστω ότι r(t)×
dr (t )
=0. Έχουμε:
dt
d r0 (t ) d r (t )
r ′( t )
1
= − 2 r (t ) +
=
r ′( t ) =
dt
dt r (t )
r (t )
r (t )
−r(t)r′(t )r(t ) + r 2 (t )r′(t )
=
r3 (t )
αλλά
r2(t)=r(t)⋅r(t) ⇒ 2r(t)r′(t)=2r(t)⋅r′(t)
δηλαδή
r(t)r′(t)=r(t)⋅r′(t)
(2.4.5)
(2.4.6)
Η σχέση (2.4.5) με τη βοήθεια της (2.4.6) γίνεται:
dr0 (t ) −[r(t ) ⋅ r′(t )] r(t ) + [r(t ) ⋅ r(t )] r′(t )
=
=
dt
r 3 (t )
1
⎡{r (t ) ⋅ r (t )} r ′(t ) − {r (t ) ⋅ r ′(t )} r (t ) ⎤⎦ =
r (t ) ⎣
1
= 3 ⎡⎣ r (t ) × {r ′(t ) × r (t )}⎤⎦
r (t )
3
αλλά επειδή r(t)×r′(t)=0 έχουμε
dr0 (t )
= 0 ⇒ r0(t)=σταθερό.
dt
Άρα η διανυσματική συνάρτηση r(t) έχει σταθερή διεύθυνση.
Παράδειγμα: Ας θεωρήσουμε την κίνηση ενός σημείου σε μια περιφέρεια
ακτίνας r και με σταθερό μέτρο ταχύτητας v. Έχουμε:
r2=r⋅r=σταθερό,
v2=v⋅v=σταθερό
Εάν παραγωγίσουμε τις δυο αυτές σχέσεις, χρησιμοποιώντας τις (2.4.3),
προκύπτει ότι:
30 ♦ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΙΙ
2 r⋅
dr
=0 ⇒ r⋅v=0
dt
2v ⋅
dv
= 0 ⇒ v⋅α=0
dt
(2.4.7)
(2.4.8)
Επίσης παραγωγίζοντας τη σχέση r⋅v=0 έχουμε:
dr
dv
⋅v +r⋅
= 0 ⇒ v⋅v+r⋅α=0 ⇒ r⋅α=-v2
dt
dt
(2.4.9)
Η εξίσωση (2.4.7) μας λέει ότι η ταχύτητα v είναι κάθετη στο διάνυσμα
θέσης r. Η εξίσωση (2.4.8) μας λέει ότι το διάνυσμα α της επιτάχυνσης είναι
κάθετο στο διάνυσμα v της ταχύτητας. Άρα είναι συγγραμμικό του διανύσματος θέσης r και ομόρροπο ή αντίρροπο εάν η γωνία θ των διανυσμάτων r και α
είναι 0 ή 180 μοίρες. Αλλά από τη σχέση (2.4.9) και από τον ορισμό του εσωτερικού γινομένου έχουμε:
r⋅α=|r||α|cosθ=-v2 ⇒ cosθ<0 άρα θ=1800
και επομένως
|r||α|(-1)=-v2 ⇒ α=v2/r
Βλέπουμε δηλαδή ότι με τη βοήθεια της παραγώγου διανυσματικής συνάρτησης μπορέσαμε να αποδείξουμε τα χαρακτηριστικά της ομαλής κυκλικής
κίνησης, ότι δηλαδή η επιτάχυνση κατευθύνεται πάντοτε προς το κέντρο της
περιφέρειας, έχει μέτρο v2/r και ότι η ταχύτητα v είναι ένα διάνυσμα εφαπτόμενο της περιφέρειας.
2.5 Ολοκλήρωμα διανυσματικής συνάρτησης
Θεωρούμε μια συνεχή διανυσματική συνάρτηση:
r(t)=x(t)i+y(t)j+z(t)k
(2.5.1)
Ορίζουμε σαν ολοκλήρωμα της διανυσματικής συνάρτησης r(t) την διανυσματική συνάρτηση u(t) η οποία ικανοποιεί τη σχέση:
du(t )
= r(t )
dt
(2.5.2)
και θα γράφουμε:
u(t ) = ∫ r(t ) dt + c
όπου c τυχαίο σταθερό διάνυσμα.
(2.5.3)
Διανυσματικές Συναρτήσεις♦31
Παράδειγμα 1: Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα της διανυσματικής συνάρτησης
r(t)=(t2+1)i+2j-t3k.
Λύση:
u(t ) = ∫ r (t ) dt = ∫
( ( t + 1) i + 2 j − t k ) dt =
2
3
⎛ t3
⎞
⎛ t4
⎞
= ⎜ + t + c1 ⎟ i + ( 2t + c2 ) j − ⎜ − c3 ⎟ k =
⎝3
⎠
⎝4
⎠
⎛ t3 ⎞
⎛ t4 ⎞
+ t ⎟ i + ( 2t ) j − ⎜ ⎟ k + c όπου c=c1i+c2j+c3k.
⎝3
⎠
⎝4⎠
=⎜
Παρατήρηση 1: Από τον ορισμό του ολοκληρώματος μιας διανυσματικής
συνάρτησης και από το προηγούμενο παράδειγμα, παρατηρούμε ότι το ολοκλήρωμα μιας διανυσματικής συνάρτησης ανάγεται στα ολοκληρώματα των συνιστωσών της. Έτσι μπορούμε να γράψουμε:
u(t ) = ∫ r(t ) dt + c = ∫ x(t ) dti + ∫ y(t ) dtj + ∫ z(t ) dtz +c
(2.5.4)
Εκτός όμως από το ολοκλήρωμα της παραπάνω μορφής, που μπορούμε να
το ονομάσουμε αόριστο ολοκλήρωμα μιας διανυσματικής συνάρτησης, μπορούμε να συζητάμε και για ορισμένο ολοκλήρωμα μιας διανυσματικής συνάρτησης, που ορίζεται από την σχέση:
∫
t2
t1
r(t ) dt = ∫ [ x(t )i + y(t ) j + z(t )k ] dt
t2
(2.5.5)
t1
3
Παράδειγμα 2: Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα:
∫ ((t
2
)
+ 1) i + 2 j − t 3k dt
2
3
Λύση:
∫(
2
3
⎛ t3 ⎞
⎛ t4 ⎞
( t + 1) i + 2 j − t k dt = ⎜ 3 + t ⎟ i + ( 2t ) j − ⎜ 4 ⎟ k =
⎝
⎠
⎝ ⎠ 2
2
3
)
⎛
22
65
⎡8 ⎤ ⎞
⎛ 81 ⎞
= ⎜ [9 + 3] − ⎢ + 2⎥ ⎟ i + ( 6 − 4) j − ⎜ − 4 ⎟ k = i + 2 j −
3
4
⎣3 ⎦ ⎠
⎝4
⎠
⎝
Άλλες μορφές ολοκληρωμάτων, που αναφέρονται σε διανυσματικές συναρτήσεις είναι:
32 ♦ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΙΙ
∫
t2
t1
r(t ) ⋅ v(t ) dt
(2.5.6)
∫
και
t2
t1
r(t ) × v(t ) dt
(2.5.7)
Παράδειγμα 3: Να υπολογιστούν τα ολοκληρώματα:
α)
∫
3
0
r(t ) ⋅ v(t ) dt
β)
r(t)=t2i+(t+1)j-t3k,
όπου
∫
2
0
r(t ) × v(t ) dt
v(t)=2i-tj+t2k
Λύση: α) r(t)⋅v(t)=2t2-t2-t-t5=-t5=t2-t.
Επομένως
3
t6 t3 t 2
r
(
t
)
⋅
v
(
t
)
dt
-t
+t
-t
dt
=
−
+ −
= −117
=
)
∫0
∫0 (
6 3 20
3
3
5
2
β) r(t)×v(t)=(t3+t2-t4)i+(-2t2-t4)j+(-t-2t-2)k.
Επομένως
r(t ) × v(t ) dt = ∫ ⎡⎣( −t 4 + t 3 + t 2 ) i + ( −t 4 − 2t 3 ) j + ( −t 3 − 2t − 2) k ⎤⎦ dt =
0
0
∫
2
2
2
⎡⎛ t 5 t 4 t 3 ⎞ ⎛ t 5 t 4 ⎞ ⎛ t 4 2
⎞ ⎤
4
72
= ⎢⎜ − + + ⎟ i + ⎜ − − ⎟ j + ⎜ − − t − 2t ⎟ k ⎥ = i − j − 12k
5
⎠ ⎦ 0 15
⎣⎝ 5 4 3 ⎠ ⎝ 5 2 ⎠ ⎝ 4
2.6 Εφαρμογές
1) Ένα σώμα κινείται στο χώρο με επιτάχυνση a(t)=t2i+sintj-t3k. Να βρεθεί η ταχύτητα και η θέση του σώματος για κάθε χρονική στιγμή t. Θεωρούμε
ότι για t=0 το σώμα βρίσκεται στην αρχή των αξόνων και η ταχύτητα του είναι
μηδέν.
Λύση: Επειδή a =
dv
έχουμε:
dt
v = ∫ adt = ∫ ⎡⎣t 2i + sin tj − t 3k ⎤⎦ dt =
t3
t4
i − cos tj − k + c1
3
4
Διανυσματικές Συναρτήσεις♦33
όπου c1 ένα σταθερό διάνυσμα, το οποίο θα προσδιοριστεί από τις αρχικές συνθήκες:
Για t=0 έχουμε v(0)=0
Επομένως
v=
⇒ -j+c1=0 ⇒ c1=j.
t3
t4
i + (1 − cos t ) j − k
3
4
Στη συνέχεια για να βρούμε το διάνυσμα θέσεως r(t) ολοκληρώνουμε την
προηγούμενη σχέση:
⌠ ⎡ t3
t4 ⎤
r (t ) = ∫ v(t )dt = ⎮ ⎢ i + (1 − cos t ) j − k ⎥ dt =
4 ⎦
⌡⎣3
=
t4
t5
i + (t − sin t ) j − k + c 2
12
20
Από την αρχική συνθήκη r(0)=0 προκύπτει: c2=0. Επομένως
r (t ) =
t4
t5
i + (t − sin t ) j −
k
12
20
2) Θεωρούμε την κίνηση ενός σώματος υπό την επίδραση μιας κεντρικής
δυνάμεως. (Μια δύναμη λέγεται κεντρική όταν διευθύνεται προς ή από ένα
σταθερό σημείο Ο και το μέτρο της εξαρτάται μόνο από την απόσταση r από το
σημείο Ο).
Η γενική μορφή μιας κεντρικής δυνάμεως είναι: Fc = f ( r )
r
r
Η στροφορμή ενός σώματος ορίζεται από την σχέση: L = r × mv
και η εμβαδική ταχύτητα από την σχέση:
h=
1
r×v.
2
(1)
(2)
Δείξτε ότι ένα σώμα κινούμενο υπό την επίδραση μιας κεντρικής δυνάμεως
έχει σταθερή στροφορμή και εμβαδική ταχύτητα. Μελετήστε τις περιπτώσεις
για τις οποίες f(r)>0 και f(r)<0.
Λύση: Από τον δεύτερο νόμο του Newton: ma=Fc προκύπτει:
m
d 2r
r
= f (r )
2
dt
r
Πολλαπλασιάζουμε την (3) εξωτερικά με το r:
(3)
34 ♦ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΙΙ
⎛ d 2r ⎞
r⎞
⎛
r × ⎜ m 2 ⎟ = r × ⎜ f (r ) ⎟ = 0 ⇒
r⎠
⎝
⎝ dt ⎠
mr ×
d 2r
d⎛
dr ⎞
dr
0
r
0
r
m
m
=
⇒
×
=
⇒
×
=c ⇒
⎜
⎟
dt 2
dt ⎝
dt ⎠
dt
L = r × mv =c
Εφ’ όσον η μάζα m του σώματος είναι σταθερά, έχουμε:
h=
1
11
c = σταθερό
(r × v ) =
2
2m
Για την περίπτωση f(r)<0 η επιτάχυνση a(t) έχει φορά αντίθετη της φοράς
του διανύσματος θέσεως r(t) και επομένως η δύναμη διευθύνεται προς την αρχή
Ο, δηλ. το σώμα έλκεται προς την αρχή.
Εάν f(r)>0 η επιτάχυνση a(t) έχει την ίδια φορά με την φορά του διανύσματος θέσεως r(t) και επομένως το σώμα απωθείται από την αρχή.
Η βαρυτική δύναμη της γης είναι ένα παράδειγμα για το οποίο ισχύει f(r)<0.
3) Δώστε μια γεωμετρική ερμηνεία των αποτελεσμάτων της προηγουμένης εφαρμογής, η οποία λέει ότι υπό την επίδραση μιας κεντρικής δύναμης, ένα
σώμα έχει σταθερή εμβαδική ταχύτητα. Εφαρμόστε τα αποτελέσματα στην
κίνηση των πλανητών.
Λύση: Ας θεωρήσουμε ένα σώμα, που κινείται υπό την επίδραση μιας κεντρικής δύναμης. Στο σχήμα 2.6.1 σημειώνουμε τις θέσεις του σώματος r(t), r(t′)
για τις χρονικές στιγμές t και t′. Χωz
ρίς βλάβη της γενικότητας θεωρούμε
ότι τα διανύσματα r(t) και r(t′) βρίσκονται στο επίπεδο ΟΧΥ. Έστω
h
Δr=r′-r και Δt=t′-t. Κατά το χρονικό
διάστημα
Δt το διάνυσμα r διαγράφει
O
μια περιοχή της οποίας το εμβαδόν
r′
ΔΕ, κατά προσέγγιση, είναι:
y
r
Β
1
ΔΕ= r × Δr
Α Δr
2
x
Σχ. 2.6.1
Το δε εμβαδόν, που διαγράφει το
διάνυσμα r στην μονάδα του χρόνου,
είναι κατά προσέγγιση:
Διανυσματικές Συναρτήσεις♦35
ΔΕ 1
Δr
= r×
Δt 2
Δt
και η στιγμιαία μεταβολή του εμβαδού ως προς τον χρόνο, είναι:
dE
ΔΕ 1
dr 1
= lim Δt →0
= r×
= r× v
dt
dt 2
Δt 2
όπου v η ταχύτητα του σώματος.
Το διάνυσμα h =
1
r × v ονομάζεται εμβαδική ταχύτητα.
2
Πολλαπλασιάζουμε την προηγούμενη σχέση εσωτερικά με r και έχουμε:
h⋅r=0
Από την τελευταία σχέση συμπεραίνουμε ότι τα διανύσματα h, r είναι κάθετα. Επειδή δε το διάνυσμα της
εμβαδικής ταχύτητας h είναι
σταθερό, η κίνηση του σώματος γίνεται σ’ ένα επίπεδο κάθετο στο διάνυσμα h.
Από τον νόμο της βαρύτητας έχουμε ότι δυο μάζες m και
Μ έλκονται με μια δύναμη της
μορφής:
F = −G
mM
r
r3
Έστω ότι το Μ παριστάνει
την μάζα του ήλιου και το m
την μάζα κάποιου πλανήτη.
Επιλέγουμε το σύστημα συντεταγμένων έτσι ώστε ο ήλιος να βρίσκεται στην
αρχή Ο των αξόνων. Η εξίσωση της κίνησης του πλανήτη
γράφεται:
Σχ. 2.6.2
m
d 2r
mM
= −G 3 r
2
dt
r
⇒
d 2r
M
= −G 3 r
2
dt
r
Επειδή ο πλανήτης υφίσταται κεντρική δύναμη, συμπεραίνουμε ότι το διάνυσμα θέσεως του πλανήτη διαγράφει ίσα εμβαδά σε ίσους χρόνους.
Ο παραπάνω νόμος είναι ένας από τους τρεις νόμους του Kepler και αποτυπώνεται στο παραπάνω σχήμα. Παρατηρούμε ότι εάν ο πλανήτης κινείται από
το σημείο Α στο σημείο Β στο χρονικό διάστημα tAB και από το σημείο Γ στο
σημείο Δ στο χρονικό διάστημα tΓΔ, και εάν tAB=tΓΔ τότε τα αντίστοιχα γραμμοσκιασμένα εμβαδά είναι ίσα, δηλαδή:
36 ♦ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΙΙ
Εμβαδόν(ΔΓΟ)=Εμβαδόν(BAO)
4) Εάν η κίνηση ενός πλανήτη, που περιστρέφεται γύρω από τον ήλιο
περιγράφεται από την εξίσωση:
και
d 2r
M
= −G 3 r
2
dt
r
(1)
1
dr
r×
= h =σταθερή
2
dt
(2)
δείξτε ότι η τροχιά του πλανήτη είναι μια έλλειψη. Σε μια δε από τις εστίες της
βρίσκεται ο ήλιος.
Λύση: Έστω r0 το μοναδιαίο διάνυσμα, που αντιστοιχεί στο διάνυσμα r,
δηλαδή
r=r r0
Παραγωγίζουμε την (3):
(3)
dr dr
dr
= v = r 0 + r0
dt
dt dt
(4)
Έχουμε:
dr
⎛ dr0 dr ⎞
+ r0 ⎟ = mr 2r0 × 0
dt
⎝ dt dt ⎠
L=2mh=mr×v= mrr0 × ⎜ r
(5)
Παίρνουμε το εξωτερικό γινόμενο της (1) και της (5):
d 2r
dv
Mm
×L =
× L = −G 2 r0 × L
2
dt
dt
r
(6)
Αντικαθιστούμε το δεξιό μέλος της (5) στην (6):
dr ⎞
dv
Mm
⎛
× L = −G 2 r0 × ⎜ r 2r0 × 0 ⎟ =
dt
r
dt ⎠
⎝
⎡ ⎛ dr ⎞
dr ⎤
dr
= −GmM ⎢⎜ r0 ⋅ 0 ⎟ r0 − ( r0 ⋅ r0 ) 0 ⎥ = GmM 0
dt ⎠
dt ⎦
dt
⎣⎝
(7)
(Εδώ χρησιμοποιήσαμε την ταυτότητα του τριπλού εξωτερικού γινομένου:
v×(u×w) = u(v⋅w)-w(v⋅u) και την Πρόταση 1).
Επειδή το L είναι σταθερό διάνυσμα, μπορούμε να γράψουμε:
dv
d
× L = ( v × L)
dt
dt
(8)
Διανυσματικές Συναρτήσεις♦37
Συνδυάζοντας τις (7), (8) παίρνουμε:
dr
d
( v × L ) = GmM 0
dt
dt
(9)
Ολοκληρώνουμε την (9):
v×L=GmMr0+c
(10)
όπου c τυχαίο σταθερό διάνυσμα. Στη συνέχεια παίρνουμε το εσωτερικό γινόμενο της (10) με το r και οδηγούμαστε στην σχέση:
r⋅(v×L)=GmMr⋅r0+r⋅c=GmMr+rr0⋅c= GmMr+rc cosθ
(11)
όπου θ η γωνία μεταξύ του διανύσματος r0 και του c.
Επειδή
r⋅(v×L)=(r×v)⋅L=(L/m)⋅L=L2/m
η (11) γράφεται:
ή
L2=GmMr+rc cosθ
(12)
L2
L2
GmM
r=
=
c
GmM + cm cos θ 1 +
GmM cos θ
(13)
Από την Αναλυτική Γεωμετρία γνωρίζουμε ότι η πολική εξίσωση μιας κωνικής τομής με εστία την αρχή των αξόνων έχει την μορφή:
r=
b
1 + e cos θ
(14)
όπου b είναι κάποια σταθερά και e η εκκεντρότητα. Επομένως η εξίσωση (13)
περιγράφει μια κωνική τομή με εκκεντρότητα e =
c
.
GmM
Για ανοιχτές κωνικές τομές η εκκεντρότητα είναι e=1 για την παραβολή και
e>1 για την υπερβολή. Για την έλλειψη, που είναι κλειστή καμπύλη, η εκκεντρότητα είναι e<1. Επειδή οι τροχιές των πλανητών είναι κλειστές καμπύλες,
καταλήγουμε στο συμπέρασμα ότι οι τροχιές είναι ελλείψεις.
5)
Εάν η τροχιά ενός σώματος δίνεται από την εξίσωση
r=αcosωti+βsinωtj όπου α, β, ω σταθερές, να βρεθεί η εμβαδική ταχύτητα.
Λύση: Η εμβαδική ταχύτητα δίνεται από τον τύπο: h=1/2r×v.
Έχουμε: v=dr/dt=-αωsinωti+βωcosωtj . Επομένως:
h=1/2r×v=1/2(αcosωti+βsinωtj)×(-αωsinωti+βωcosωtj)=1/2αβωk.
38 ♦ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΙΙ
6) Δείξτε ότι το τόξο της καμπύλης, που ορίζεται από τις παραμετρικές
εξισώσεις: x=cost, y=sint, z=0 με 0≤t≤2π είναι λείο. Ελέγξτε εάν το τόξο είναι
κλειστό και ορίστε τον προσανατολισμό του.
Λύση: Ένα τόξο λέγεται λείο εάν η παραμετρική διανυσματική εξίσωση:
r=r(t), t1≤t≤t2 ικανοποιεί τις εξής συνθήκες:
α) η παράγωγος dr/dt υπάρχει και είναι συνεχής διανυσματική συνάρτηση
για t1≤t≤t2
β) εάν ta≠tb τότε r(ta)≠r(tb) (εκτός ίσως από τα άκρα του)
γ)
dr/dt≠0 για όλες τις τιμές του t, t1≤t≤t2
Τώρα για την συγκεκριμένη καμπύλη έχουμε:
r(t)=costi+sintj ⇒ dr/dt=-sinti+costj
Από την τελευταία σχέση συμπεραίνουμε ότι η παράγωγος dr/dt υπάρχει και
είναι συνεχής διανυσματική συνάρτηση. Άρα η συνθήκη α) εκπληρούται όπως
και η β). Για 0≤t≤2π η παράγωγος dr/dt≠0. Επομένως το τόξο είναι λείο.
Για να είναι κλειστό θα πρέπει r(0)=r(2π). Έχουμε r(0)=i και r(2π)=i. Άρα
το τόξο είναι κλειστό.
Ο προσανατολισμός του, που είναι ουσιαστικά η φορά διαγραφής του εάν η
παράμετρος t παίζει τον ρόλο του χρόνου, καθορίζεται από την διεύθυνση της
παραγώγου:
dr/dt=-sinti+costj
Από την τελευταία έκφραση εύκολα προκύπτει ότι η φορά διαγραφής είναι η
θετική, (η αντίθετη προς την φορά κινήσεως των δεικτών του ωρολογίου).
Διανυσματικές Συναρτήσεις♦39
ΑΣΚΗΣΕΙΣ
1.
Να αποδειχθούν οι σχέσεις:
d
d λ (t )
dr (t )
r (t ) + λ (t )
[ λ (t )r (t )] =
dt
dt
dt
d
dr (t )
dv (t )
⋅ v (t ) + r (t ) ⋅
[r (t ) ⋅ v(t )] =
dt
dt
dt
d
dr (t )
dv(t )
× v(t ) + r (t ) ×
[r(t ) × v(t )] =
dt
dt
dt
2. Να βρεθεί η διανυσματική συνάρτηση r(t) και το διάστημα μεταβολής Ι
της ανεξάρτητης μεταβλητής t έτσι ώστε το ίχνος της r(t), (δηλαδή το σύνολο
των σημείων, τα οποία αποτελούν το πέρας του διανύσματος r(t) όταν το t μεταβάλλεται στο διάστημα Ι), να είναι η καμπύλη:
α) (x-5)2+(y-3)2=9
με τη θετική φορά διαγραφής (7
β) 4x2+9y2=36
με την αρνητική φορά διαγραφής
γ) y=x2
με φορά διαγραφής από τ' αριστερά προς τα δεξιά
δ) y=x3
με φορά διαγραφής από τ' αριστερά προς τα δεξιά
3.
Οι καμπύλες με διανυσματικές παραμετρικές εξισώσεις:
r1(t)=(et-1)i+2sintj+ln(t+1)k
r2(u)=(u+1)i+(u2-1)j+(u3+1)k
τέμνονται στην αρχή των αξόνων. Να υπολογισθεί η γωνία της τομής των.
4. Να βρεθεί η διανυσματική συνάρτηση r(t) με πεδίο ορισμού το διάστημα [0,2π], που να ικανοποιεί την αρχική συνθήκη r(0)=αi και η γραφική της
παράσταση της r(t) να είναι η έλλειψη:
x2
α2
+
y2
β2
= 1 η οποία διαγράφεται:
α) μια φορά κατά τη θετική φορά
β) δυο φορές κατά τη θετική φορά
γ) μια φορά κατά την αρνητική φορά
δ) δυο φορές κατά την αρνητική φορά
(7
Μια καμπύλη λέγεται ότι διαγράφεται κατά την θετική φορά όταν η κίνηση είναι
αντίθετη προς την φορά της κινήσεως των δεικτών του ωρολογίου. Σε διαφορετική
περίπτωση θα λέμε ότι διαγράφεται κατά την αρνητική φορά.
40 ♦ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΙΙ
5. Ένα σωμάτιο κινείται κατά μήκος μιας καμπύλης με παραμετρικές εξισώσεις x(t)=e-t, y(t)=2cos3t, z(t)=2sin3t, όπου t ο χρόνος. α) Να υπολογισθεί η
ταχύτητα και η επιτάχυνση για κάθε χρονική στιγμή t. β) Να υπολογισθεί το
μέτρο της ταχύτητας και της επιτάχυνσης για την χρονική στιγμή t=0.
6. Ένα σωμάτιο κινείται κατά μήκος μιας καμπύλης με παραμετρικές εξισώσεις x(t)=2t2, y(t)=t2-4t, z(t)=3t-5, όπου t ο χρόνος. Να υπολογισθούν οι
συνιστώσες της ταχύτητας και της επιτάχυνσης ως προς την διεύθυνση του
διανύσματος u=i-3j+2k την χρονική στιγμή t=1.
7. Μια καμπύλη C ορίζεται από τις παραμετρικές εξισώσεις x=x(s),
y=y(s), z=z(s), όπου s το μήκος του τόξου της καμπύλης C μετρουμένου από
ένα σταθερό σημείο της C. Εάν r είναι τo διάνυσμα θέσεως ενός τυχόντος σημείου της C, δείξτε ότι το διάνυσμα dr/ds είναι ένα μοναδιαίο διάνυσμα εφαπτομενικό της C.
8. α) Να βρεθεί το μοναδιαίο εφαπτομενικό διάνυσμα σε τυχαίο σημείο
της καμπύλης x(t)=t2+1, y(t)=4t-3, z(t)=2t2-6t. β) Να υπολογίσετε το μοναδιαίο
εφαπτομενικό διάνυσμα στο σημείο που αντιστοιχεί για t=2.
9. Δίνονται οι διανυσματικές συναρτήσεις:
1
t
v(t)= e t i + j − t 3k
r(t)=2costi+sintk,
Να υπολογιστούν τα ολοκληρώματα:
α)
∫
π /2
0
r(t ) dt , β)
∫
π /2
0
v(t ) dt , γ)
4
d 2 r (t )
10. Να υπολογιστεί το ⌠
r
(
t
)
×
dt εάν:
⎮
dt 2
⌡
2
r(2)=3i+1j+1k,
r(4)=6i+7j+3k,
dr(t )
= 0,
dt t =2
dr(t )
= i + j+k
dt t =4
∫
π /2
0
r(t ) ⋅ v(t ) dt
ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΙΙΙ
ΒΑΘΜΩΤΑ ΠΕΔΙΑ - ΚΑΤΕΥΘΥΝΟΥΣΑ
ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ - ΒΑΘΜΩΣΗ
3.1 Γενικά
Πολλά φυσικά βαθμωτά μεγέθη μεταβάλλονται από σημείο σε σημείο στο
χώρο. Π.χ. η θερμοκρασία σ' ένα δωμάτιο είναι διαφορετική σε διαφορετικά
σημεία. Είναι υψηλή κοντά σ' ένα καλοριφέρ και χαμηλή κοντά σ' ένα ανοικτό
παράθυρο κατά τους χειμερινούς μήνες. Έτσι η θερμοκρασία Τ σε κάποιο σημείο ενός δωματίου από μαθηματικής πλευράς είναι μια συνάρτηση των συντεταγμένων (x,y,z) του διανύσματος θέσης r=xi+yj+zk αυτού του σημείου, δηλαδή:
Τ=Τ(x,y,z)=T(r)
Γενικά μια αντιστοιχία f της μορφής:
f: A⊂Rn → B⊂R
f: (x1 ,x2 ,...,xn )∈A → f(x1 ,x2 ,...,xn)∈B
(3.1.1)
ονομάζεται βαθμωτό πεδίο ή συνάρτηση n μεταβλητών.
Εάν το βαθμωτό πεδίο είναι συνάρτηση δυο μεταβλητών: z=f(x,y), τότε η
γραφική του παράσταση είναι μία επιφάνεια στον χώρο R3, π.χ. το βαθμωτό
2
2
2
πεδίο z = R − x − y έχει σαν γραφική παράσταση την επιφάνεια του άνω
ημισφαιρίου μιας σφαίρας κέντρου την αρχή των αξόνων και ακτίνας R. Εάν το
βαθμωτό πεδίο είναι συνάρτηση τριών μεταβλητών: w=f(x,y,z), τότε μπορούμε
να πούμε ότι η γραφική του παράσταση είναι μια επιφάνεια στο χώρο R4 των
τεσσάρων διαστάσεων για την οποία όμως δεν έχουμε γεωμετρική εποπτεία.
Γενικά η γραφική παράσταση ενός βαθμωτού πεδίου f(x1 ,x2 ,...,xn) n μεταβλητών είναι μια επιφάνεια σ' ένα χώρο n+1-διαστάσεων.
42 ♦ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΙΙΙ
Στα επόμενα θα ασχοληθούμε με βαθμωτά πεδία τριών μεταβλητών (x,y,z),
που συνήθως είναι οι χωρικές συντεταγμένες ενός διανύσματος θέσης(8. Η επέκταση σε περισσότερες μεταβλητές ή ο περιορισμός σε δυο δεν δημιουργεί
κανένα πρόβλημα.
3.2 Όριο βαθμωτού πεδίου.
Ένα βαθμωτό πεδίο f=f(r) έχει όριο τον αριθμό
εάν ισχύει:
, όταν το r τείνει στο r0 ,
(∀ε>0)(∃δ>0)[|r-r0|<δ → |f(r)- |<ε]
(3.2.1)
και γράφουμε:
lim r → r0 f (r ) =
ή
r →r0
f (r ) ⎯⎯⎯
→
(3.2.2)
Ο ορισμός (3.2.1) του ορίου του βαθμωτού πεδίου f(r) είναι γενίκευση της
έννοιας του ορίου μιας συνάρτησης f(x) μιας μεταβλητής.
Παρατήρηση 1. Το όριο του f(r) πρέπει να είναι το ίδιο με οποιονδήποτε
τρόπο και αν πλησιάσουμε το σημείο r0 . Εάν υπάρχουν δυο τουλάχιστον διαφορετικοί τρόποι, που οδηγούν σε διαφορετικά όρια, τότε το βαθμωτό πεδίο
f(r) δεν έχει όριο.
Παράδειγμα. Το βαθμωτό πεδίο f ( x, y ) =
xy + y3
δεν έχει όριο στο σημεx2 + y 2
ίο (0,0). Πράγματι:
α) εάν πλησιάσουμε το σημείο (0,0) κατά μήκος του άξονα ΟX, (οπότε
y=0), θα έχουμε:
f(x,y)=f(x,0)=0 → 0 όταν x→ 0
β) εάν πλησιάσουμε το σημείο (0,0) κατά μήκος του άξονα ΟY, (οπότε
x=0), θα έχουμε:
f(x,y)=f(0,y)=y → 0 όταν y → 0
γ) εάν πλησιάσουμε το σημείο (0,0) κατά μήκος της ευθείας y=2x, θα
έχουμε:
f ( x , y ) = f ( x, 2 x ) =
2 x 2 + 8 x3 2 8
2
x →0
= + x ⎯⎯⎯
→
2
2
x + 4x
5 5
5
Επομένως το βαθμωτό πεδίο f δεν έχει όριο στο σημείο (0,0), διότι δεν ισχύει η συνθήκη ″με οποιονδήποτε τρόπο″ του ορισμού.
(8
Υπάρχουν ακόμα βαθμωτά πεδία, που εξαρτώνται και από το χρόνο t, δηλαδή
f=f(x,y,x,t). Με τέτοια πεδία δεν θα ασχοληθούμε εδώ.
Βαθμωτά πεδία – Κατευθύνουσα παράγωγος – Βάθμωση ♦43
Παρατήρηση 2. Όταν το όριο υπάρχει τότε είναι μοναδικό
3.3 Συνέχεια βαθμωτού πεδίου
Ένα βαθμωτό πεδίο f=f(r) είναι συνεχές στο σημείο r0 όταν:
lim r →r0 f (r ) = f (r0 )
(3.3.1)
Παραδείγματα συνεχών βαθμωτών πεδίων είναι όλα τα πολυώνυμα πολλών
μεταβλητών, οι ρητές συναρτήσεις εκτός από τα σημεία στα οποία μηδενίζεται
ο παρονομαστής και η σύνθεση συνεχών βαθμωτών πεδίων. Π.χ.
α)
Το βαθμωτό πεδίο f ( r ) =
xy − yz 2
είναι συνεχές στο R3 εκτός
x2 + y 2 + z 2
από το σημείο (0,0,0)
β)
Το βαθμωτό πεδίο f ( r ) =
x4
είναι συνεχές στο R2 εκτός από τα
x− y
σημεία της ευθείας y=x
γ)
Το βαθμωτό πεδίο f ( r ) =
x2 + yz 2
είναι συνεχές στο R2 εκτός από τα
2
x −y
σημεία της παραβολής y=x2
δ) Το βαθμωτό πεδίο f(r)= f ( r ) =
x5 − y
είναι συνεχές στο R3
αx + β y +γ z
εκτός από τα σημεία του επιπέδου αx+βy+γz=0.
⎡ xz 2 ⎤
⎥ είναι σύνθεση της συνεχούς
+
x
y
⎣
⎦
ε) Το βαθμωτό πεδίο f ( r ) = tan −1 ⎢
συνάρτησης tan-1 και του βαθμωτού πεδίου
xz 2
που είναι συνεχές εκτός από
x+ y
τα σημεία του επιπέδου x+y=0. Επομένως το αρχικό βαθμωτό πεδίου είναι συνεχές στο R3 εκτόs από τα σημεία του επιπέδου x+y=0.
3.4 Μερική συνέχεια ενός βαθμωτού πεδίου
Ας θεωρήσουμε ένα βαθμωτό πεδίο δυο μεταβλητών f=f(x,y), (η γενικότητα, όπως θα φανεί αργότερα, δεν περιορίζεται). Το βαθμωτό πεδίο f θα
44 ♦ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΙΙΙ
λέγεται ότι είναι μερικώς συνεχές στο σημείο (x0, y0) ως προς την μεταβλητή
x εάν:
limx→x0 f (x, y0 ) = f (x0 , y0 )
(3.4.1)
Επίσης το βαθμωτό πεδίο f θα λέγεται ότι είναι μερικώς συνεχές στο σημείο (x0, y0) ως προς τη μεταβλητή y εάν:
lim y → y0 f ( x0 , y ) = f ( x0 , y0 )
(3.4.2)
Παρατήρηση. Αποδεικνύεται ότι όταν ένα βαθμωτό πεδίο είναι συνεχές στο
πεδίο ορισμού του, τότε θα είναι και μερικώς συνεχές. Το αντίστροφο δεν ισχύει.
Παράδειγμα. Έστω
⎧ 2 xy
(x,y) ≠ (0,0)
⎪
f ( x, y) = ⎨ x 2 + y 2
⎪0
(x,y)=(0,0)
⎩
Επειδή f(x,0)=0 ∀x και f(0,y)=0 ∀y έχουμε
lim x→0 f ( x,0) = 0 = f (0,0)
και
lim y →0 f (0, y ) = 0 = f (0, 0)
δηλαδή στο σημείο (0,0) το βαθμωτό πεδίο f είναι μερικώς συνεχές και ως
προς x και ως προς y. Όμως, δεν είναι συνεχές στο σημείο (0,0), διότι πλησιάζοντας το σημείο (0,0) κατά μήκος της ευθείας y=x έχουμε:
f ( x, y) y = x =
και επομένως
2 x2
=1
x2 + x2
lim(x,y)→(0,0) f ( x, y) = 1 ≠ 0
με y= x
3.5 Μερικές παράγωγοι βαθμωτού πεδίου
Έστω το βαθμωτό πεδίο f=f(x,y,z). Ορίζουμε την :
α)
Μερική παράγωγο ως προς x του βαθμωτού πεδίου f από το όριο:
lim h→0
f ( x + h, y, z ) − f ( x, y, z )
∂ f ( x, y , z )
= f x ( x, y , z ) =
(3.5.1)
h
∂x
Βαθμωτά πεδία – Κατευθύνουσα παράγωγος – Βάθμωση ♦45
β)
Μερική παράγωγο ως προς y του βαθμωτού πεδίου f από το όριο:
limh→0
γ)
f ( x, y + h, z ) − f ( x, y, z )
∂ f ( x, y, z )
= f y ( x, y, z ) =
(3.5.2)
∂y
h
Μερική παράγωγο ως προς z του βαθμωτού πεδίου f από το όριο:
lim h→0
f ( x, y , z + h ) − f ( x, y , z )
∂ f ( x, y , z )
(3.5.3)
= f z ( x, y , z ) =
h
∂z
Οι μερικές παράγωγοι μας δίνουν τον συντελεστή μεταβολής του βαθμωτού
πεδίου όταν μεταβάλλεται η αντίστοιχη μεταβλητή, ενώ οι υπόλοιπες παραμένουν σταθερές.
Παράδειγμα. Έστω f=f(x,y)=exy +ln(x2+y). Έχουμε:
∂ f(x,y)
2x
∂ f(x,y)
1
= ye xy + 2
= xe xy + 2
και
∂x
x +y
∂y
x +y
Ο αριθμός
∂ f(2,1) 2
4
4
=e +
= e 2 + μας δίνει τον συντελεστή μεταβολής
4 +1
5
∂x
του βαθμωτού πεδίου f ως προς x στο σημείο (2,1).
Ο αριθμός
∂ f(2,1)
1
1
= 2e2 +
= 2e2 + μας δίνει τον συντελεστή μεταβο∂y
4 +1
5
λής του βαθμωτού πεδίου f ως προς y στο σημείο (2,1)
Παρατήρηση. Όπως ξέρουμε, σε συνάρτηση μιας μεταβλητής, f(x), η ύπαρξη της παραγώγου εγγυάται τη συνέχεια της. Σε συναρτήσεις πολλών μεταβλητών, όπως τα βαθμωτά πεδία, η ύπαρξη των μερικών παραγώγων δεν παρέχει
παρόμοια εγγύηση, π.χ. στην συνάρτηση:
⎧ 2 xy
⎪
f ( x, y) = ⎨ x 2 + y 2
⎪0
⎩
( x, y) ≠ (0,0)
( x, y) = (0, 0)
έχουμε:
2
2
∂ f ( x, y ) 2 y ( y − x )
=
2
∂x
( x2 + y2 )
για (x,y)≠(0,0)
και
2
2
∂ f ( x, y ) 2 x ( x − y )
=
2
∂y
( x2 + y2 )
για (x,y)≠(0,0)
46 ♦ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΙΙΙ
ενώ για την αρχή των αξόνων έχουμε: f(x,0)=0 και f(0,y)=0, και επομένως
∂f ( x,0)
∂f (0, y )
= 0 και
∂x x=0
∂y
=0
y =0
δηλαδή οι μερικές παράγωγοι υπάρχουν για κάθε σημείο (x,y) ακόμα και στο
σημείο (0,0). Έχουμε δει όμως ότι η συνάρτηση αυτή δεν είναι συνεχής στο
σημείο (0,0). Μια εξήγηση είναι η εξής :
Η ύπαρξη της μερικής παραγώγου
∂ f(x0 , y0 )
εξαρτάται από τη συμπεριφο∂x
ρά της f μόνο στα σημεία της μορφής (x0+h,y0).
Όμοια η ύπαρξη της μερικής παραγώγου
∂ f(x0 , y0 )
εξαρτάται από τη συμ∂y
περιφορά της f μόνο σε σημεία της μορφής (x0 ,y0+k).
Από την άλλη πλευρά η συνέχεια της f στο σημείο (x0,y0) εξαρτάται από τη
συμπεριφορά της f σε σημεία πιο γενικής μορφής (x0+h,y0+k).
Με αλλά λόγια η ύπαρξη μιας μερικής παραγώγου εξαρτάται από τη συμπεριφορά της f κατά μήκος μιας διεύθυνσης, ενώ η συνέχεια της f εξαρτάται από
τη συμπεριφορά της f κατά μήκος όλων των διευθύνσεων.
Παρατήρηση: Αποδεικνύεται ότι εάν οι μερικές παράγωγοι ενός βαθμωτού
πεδίου είναι συνεχείς συναρτήσεις, τότε και το βαθμωτό πεδίο είναι συνεχές.
Άσκηση: Να δειχθεί ότι η ύπαρξη των μερικών παραγώγων σε κάποιο
σημείο συνεπάγεται την αντίστοιχη μερική συνέχεια.
3.6 Μερικές παράγωγοι 2ης τάξης
Ας θεωρήσουμε ένα βαθμωτό πεδίο δυο μεταβλητών f=f(x,y).
Οι μερικές παράγωγοι
∂f
∂f
και
είναι δυο νέες συναρτήσεις των x και y,
∂y
∂x
των οποίων μπορούμε να υπολογίσουμε τις εξής μερικές παραγώγους:
∂ ⎛∂f ⎞ ∂ 2 f
=
∂ x ⎜⎝ ∂ x ⎟⎠ ∂ x2
∂ ⎛∂f ⎞ ∂ 2 f
=
∂ y ⎜⎝ ∂ x ⎟⎠ ∂ y∂ x
Βαθμωτά πεδία – Κατευθύνουσα παράγωγος – Βάθμωση ♦47
∂ ⎛∂f ⎞ ∂ 2 f
=
∂ y ⎜⎝ ∂ y ⎟⎠ ∂ y 2
∂ ⎛∂f ⎞ ∂ 2 f
=
(3.6.1)
∂ x ⎜⎝ ∂ y ⎟⎠ ∂ x∂ y
οι οποίες ονομάζονται 2ης τάξης μερικές παράγωγοι του βαθμωτού πεδίου f.
Παράδειγμα 1: Για το βαθμωτό πεδίο f=sin(x2y) έχουμε:
∂f
=2xycosx2y
∂x
∂f 2
=x cosx y
∂y
και
και οι 2ης τάξης μερικές παράγωγοι είναι:
∂2f
= −4 x 2 y 2 sin x 2 y + 2 y cos x 2 y
2
∂x
∂2f
= −2 x3 y sin x2 y + 2 x cos x2 y
∂ y∂ x
∂2f
= −2 x3 y sin x2 y + 2 x cos x2 y
∂ x∂ y
∂2f
= −x4 sin x2 y
2
∂y
Παράδειγμα 2: Για το βαθμωτό πεδίο f=ln(x2+y3) έχουμε:
∂f
3y2
=
∂ y x 2 + y3
∂f
2x
= 2 3
∂x x +y
και οι 2ης τάξης μερικές παράγωγοι είναι:
∂ 2 f ( x 2 + y 2 )2 − 2 x(2 x) 2( y 3 − x 2 )
=
=
2
2
3 2
∂ x2
+
x
y
(
)
( x2 + y3 )
∂2f
−2 x (3 y 2 )
−6 xy 2
=
=
∂ y∂ x ( x 2 + y 3 )2 ( x 2 + y 3 )2
∂2f
−3 y 2 (2 x )
−6 xy 2
=
=
∂ x∂ y ( x 2 + y 3 )2 ( x 2 + y 3 )2
∂ 2f (x 2 + y 2 )6y − 3y 2 (3y 2 ) 3y(2x 2 − y 3 )
=
=
2
2
∂y 2
x2 + y3
x2 + y3
(
)
(
)
48 ♦ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΙΙΙ
Kαι στα δυο παραπάνω παραδείγματα παρατηρούμε ότι
∂2f
∂2f
=
∂ y∂ x ∂ x∂ y
Η ισότητα αυτή προφανώς δεν οφείλεται στη συμμετρία των βαθμωτών
πεδίων, αφού κανένα από τα βαθμωτά πεδία δεν είναι συμμετρικό ως προς x
και y, αλλά στη συνέχεια. Πράγματι αποδεικνύεται ότι, (θεώρημα Schwartz),
εάν το βαθμωτό πεδίο f και οι μερικές παράγωγοι:
∂2f
∂2f
∂f
∂f
,
,
,
∂ y ∂ x∂ y ∂ y∂ x
∂x
είναι συνεχείς συναρτήσεις, τότε ισχύει:
∂2f
∂2f
=
∂ y∂ x ∂ x∂ y
(3.6.2)
3.7 Κατευθύνουσα παράγωγος.
Ας υποθέσουμε ότι γνωρίζουμε τη θερμοκρασία T(x,y,z) σε κάθε σημείο
ενός δωματίου ή μιας μεταλλικής πλάκας, και έστω T0(x0,y0,z0) η τιμή της θερμοκρασίας στο σημείο r0=x0i+y0j+z0k. Ένα ερώτημα που μπορεί να τεθεί εδώ
είναι το εξής:
Με ποιο τρόπο η θερμοκρασία μεταβάλλεται όταν από το
σημείο (x0,y0,z0) μετακινηθούμε
και πάμε σ' ένα άλλο γειτονικό
σημείο (x,y,z)(9. Είναι προφανές
ότι η θερμοκρασία θα αυξάνει
προς ορισμένες διευθύνσεις και
θα μειώνεται προς άλλες. Όπως
επίσης θα υπάρχουν διευθύνσεις
ως προς τις οποίες η θερμοκρασία θα αυξάνεται πιο γρήγορα
από ότι σ' άλλες. Έτσι ο τρόπος
μεταβολής της θερμοκρασίας σε
σχέση με τη μετατόπιση εξαρτά(9
u
P0
s
P
r0
r
r
Σχ. 3.7.1
Το σημείο (x,y,z) θα λέγεται γειτονικό του σημείου (x0,y0,z0) όταν x=x0+Δx, y=y0+Δy,
z=z0+Δz με Δx, Δy, Δz απειροστά, δηλαδή μεγέθη πολύ μικρά.
Βαθμωτά πεδία – Κατευθύνουσα παράγωγος – Βάθμωση ♦49
ται από τη διεύθυνση προς την οποία μετακινούμεθα. Αυτός ο τρόπος μεταβολής θα μας οδηγήσει στην έννοια της κατευθύνουσας παραγώγου ενός βαθμωτού πεδίου, που περιέχει σαν ειδικές περιπτώσεις τις μερικές παραγώγους.
Πράγματι, αυτό που θέλουμε να υπολογίσουμε είναι η οριακή τιμή του πηλίκου ΔΤ/Δs, όπου το Δs είναι μια στοιχειώδης μετατόπιση σε μια δεδομένη
διεύθυνση και ΔΤ η αντίστοιχη μεταβολή της θερμοκρασίας. Έτσι ορίζουμε σαν
κατευθύνουσα παράγωγο dT/ds το όριο:
dT
ΔΤ
= lim Δs →0
ds
Δs
(3.7.1)
Έστω ότι έχουμε ένα βαθμωτό πεδίο f=f(x,y,z) και θέλουμε να υπολογίσουμε
την κατευθύνουσα παράγωγο df/ds στο σημείο P0(x0,y0,z0) ως προς την διεύθυνση του μοναδιαίου διανύσματος(10 u=αi+βj+γk με α2+β2+γ2=1, (Σχ. 3.7.1).
Οι παραμετρικές εξισώσεις της ευθείας, που διέρχεται από το σημείο P0(x0,y0,z0
) και είναι παράλληλη προς το διάνυσμα u είναι:
x=x0+αs
y=y0+βs
z=z0+γs
(3.7.2)
Η γεωμετρική σημασία της παραμέτρου s είναι ότι δίνει την απόσταση του
σημείου P(x,y,z) από το σημείο P0(x0,y0,z0). Πράγματι από τις εξισώσεις (3.7.2)
έχουμε:
( x − x0 )2 + ( y − y0 )2 + ( z − z0 )2 = (α s)2 + (β s)2 + (γ s)2 = α 2 + β 2 + γ 2 s = s
Εάν περιορίσουμε το βαθμωτό πεδίο f πάνω στα σημεία της ευθείας με τις
παραμετρικές εξισώσεις (3.7.2), τότε το βαθμωτό πεδίο f γίνεται συνάρτηση
μιας μεταβλητής, της s.
f = f(x,y,z) = f(x0+αs, y0+βs, z0+γs) = f(s)
Αποδεικνύεται, (Παρατήρηση 1 παρ. 3.10), ότι:
df ( P0 ) ∂ f ( P0 ) dx ∂ f ( P0 ) dy ∂ f ( P0 ) dz
=
+
+
=
ds
∂ x ds
∂ y ds
∂ z ds
=
∂ f ( P0 )
∂ f ( P0 )
∂ f ( P0 )
α+
β+
γ
∂x
∂y
∂z
(3.7.3)
Η σχέση (3.7.3) μπορεί να θεωρηθεί σαν εσωτερικό γινόμενο του διανύσματος:
u=αi+βj+γk
με ένα άλλο διάνυσμα, που έχει συνιστώσες:
(10
Το διάνυσμα u το θεωρούμε μοναδιαίο γιατί αυτό που θέλουμε από το u είναι η
διεύθυνση του και η φορά του.
50 ♦ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΙΙΙ
⎛ ∂ f (P0 ) ∂ f (P0 ) ∂ f (P0 ) ⎞
,
,
⎜
∂y
∂ z ⎟⎠
⎝ ∂x
Το διάνυσμα αυτό το συμβολίζουμε ∇f (P0) ή gradf(P0) και είναι:
∇f (P0 ) =gradf (P0 ) =
∂ f (P0 ) ∂ f (P0 ) ∂ f (P0 )
i+
j+
k
∂x
∂y
∂z
(3.7.4α)
Ονομάζεται δε βάθμωση ή βαθμίδα ή κλίση ή ανάδελτα του βαθμωτού
πεδίου f στο σημείο Ρ0.
Εάν αναφερόμαστε σ’ ένα τυχαίο σημείο Ρ(x,y,z) θα γράφουμε:
∇f =gradf=
∂f
∂f
∂f
i+
j+
k
∂x ∂y
∂z
(3.7.4β)
Τελικά, η κατευθύνουσα παράγωγος του βαθμωτού πεδίου f στο σημείο Ρ0
μπορεί να γραφεί:
df (P0 )
=∇f(Ρ0)⋅u
ds
(3.7.5)
Πολλές φορές χρησιμοποιούνται και οι παρακάτω συμβολισμοί για την κατευθύνουσα παράγωγο:
f′(r: u) (11 ή
∂ f (r )
∂u
όπου r το διάνυσμα θέσης του σημείου στο οποίο υπολογίζεται η βάθμωση.
Από τη σχέση (3.7.3) ορίζουμε σαν διαφορικό του βαθμωτού πεδίου f(x,y,z)
την έκφραση:
df =
∂f
∂f
∂f
dx +
dy +
dz
∂x
∂y
∂z
(3.7.6)
Η έκφραση αυτή του διαφορικού μπορεί επίσης να προέλθει από την σχέση
(3.7.5) και να έχουμε: df=(∇f⋅u)ds
Παρατήρηση 1: Η έννοια της κατευθύνουσας παραγώγου περιέχει σαν
ειδικές περιπτώσεις τις μερικές παραγώγους. Πράγματι:
(11
Το σύμβολο f′(r: u) διαβάζεται: “κατευθύνουσα παράγωγος του βαθμωτού πεδίου f
στο σημείο με διάνυσμα θέσεως r και ως προς την διεύθυνση του διανύσματος u”.
Βαθμωτά πεδία – Κατευθύνουσα παράγωγος – Βάθμωση ♦51
α) εάν πάρουμε u=i τότε
df
∂ f (r )
= f′(r: i)=∇f(r)⋅i=
∂x
ds
β) εάν πάρουμε u=j τότε
∂ f (r )
df
= f′(r: j)=∇f(r)⋅j=
∂y
ds
γ) εάν πάρουμε u=k τότε
df
∂ f (r )
= f′(r: k)=∇f(r)⋅k=
ds
∂z
Παρατήρηση 2: Ας σταθούμε για λίγο στη μορφή του τύπου (3.7.5). Το
δεξιό μέλος ∇f⋅u αποτελείται από δυο μέρη: Το ένα μέρος, το μοναδιαίο διάνυσμα u, μας δίνει μια μόνο πληροφορία, τη διεύθυνση ως προς την οποία θέλουμε να υπολογίσουμε την κατευθύνουσα παράγωγο του f. Το άλλο μέρος, το
διάνυσμα ∇f, μας δίνει πληροφορίες που έχουν σχέση μόνο με το βαθμωτό
πεδίο f. Με αλλά λόγια το ∇f θα περιέχει χαρακτηριστικά και ιδιότητες του
βαθμωτού πεδίου f.
Παρατήρηση 3: Ένας άλλος τρόπος προσέγγισης της έννοιας της κατευθύνουσας παραγώγου δίνεται στην παράγραφο 3.10.
3.8 Ιδιότητες της βάθμωσης ∇f
Α)
Από τη σχέση (3.7.5) έχουμε:
df
= ∇f ⋅ u = ∇f u cosθ = ∇f cosθ
ds
(3.8.1)
Από τη τελευταία σχέση βλέπουμε ότι η παράγωγος df/ds είναι η προβολή
του διανύσματος ∇f στη διεύθυνση του
z
u, (Σχ.3.8.1). Επομένως |df/ds|≤|∇f| και
∇f
το ίσον ισχύει όταν θ=0 ή 180 μοίρες,
θ
δηλαδή η διεύθυνση του u συμπίπτει με
εκείνη του ∇f ή είναι αντίθετη. Στην
r
u
df/ds
περίπτωση που θ=0, δηλαδή u=∇f/|∇f|
η παράγωγος df/ds παίρνει τη μέγιστη
δυνατή τιμή, που προφανώς είναι |∇f|.
y
O
Συμπέρασμα: Η διεύθυνση του ∇f
σε κάποιο σημείο είναι η διεύθυνση
Σχ. 3.8.1
x
εκείνη που εάν την ακολουθήσουμε,
τότε η παράγωγος df/ds, (δηλαδή ο
52 ♦ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΙΙΙ
συντελεστής μεταβολής του βαθμωτού πεδίου f ), θα είναι η μεγαλύτερη που
μπορεί να έχει το βαθμωτό πεδίο στο σημείο αυτό.
Παράδειγμα 1: Δίνεται το βαθμωτό πεδίο f=x2y+xz και το διάνυσμα u=2i2j+k. Να βρεθεί η κατευθύνουσα παράγωγος του βαθμωτού πεδίου f στο σημείο με διάνυσμα θέσης r=i+2j-k ως προς την διεύθυνση του u. Επίσης να βρεθεί
η διεύθυνση ως προς την οποία η κατευθύνουσα παράγωγος στο ίδιο σημείο να
είναι η μέγιστη δυνατή και να βρεθεί η μέγιστη αυτή τιμή.
Λύση: Εδώ το διάνυσμα u δεν είναι μοναδιαίο. Γι' αυτό πρέπει να το αντικαταστήσουμε με το αντίστοιχο μοναδιαίο:
u0 =
u
=
| u|
1
u
= (2i − 2j + k )
4+4+1 3
Από τον τύπο της κατευθύνουσας παραγώγου θα μας χρειαστεί η βάθμωση ∇f:
∇f=
∂f
∂f
∂f
i+
j+
k =(2xy+z)i+x2j+xk
∂x ∂y
∂z
και η τιμή της στο σημείο με διάνυσμα θέσης r=i+2j-k, δηλ. x=1, y=2, z=-1,
είναι:
∇f(r) = 3i+j+k
Έτσι θα είναι:
1
2 1 5
df
=∇f⋅u0 =(3i+j+k)⋅ (2i-2j+k)=2- + =
3
3 3 3
ds
Η διεύθυνση της μέγιστης τιμής της κατευθύνουσας παραγώγου είναι εκείνη
της ∇f(r), δηλαδή του διανύσματος ∇f(r)=3i+j+k και η μέγιστη τιμή είναι:
df
= |∇f(r)|= 9 + 1 + 1 = 11
ds
Διαισθητική ερμηνεία της πρώτης ιδιότητας της βάθμωσης: Ας θεωρήσουμε
ότι το βαθμωτό πεδίο f είναι συνάρτηση δυο μεταβλητών (x, y) και ότι η γραφική του παράσταση παριστάνει την πλαγιά ενός βουνού. Δηλ. η τιμή του
z=f(x,y) παριστάνει το ύψος του σημείου της πλαγιάς που έχει προβολή στο
επίπεδο της θάλασσας το σημείο (x, y). Εάν βρεθούμε σ' ένα σημείο Ρ της πλαγιάς τότε η κατεύθυνση της δυσκολότερης ανάβασης θα είναι εκείνη που δείχνει το διάνυσμα της βάθμωσης ∇f=
∂f
∂f
i+
j . Βέβαια το διάνυσμα αυτό δεν
∂x ∂y
έχει τρίτη συνιστώσα και επομένως η διεύθυνση του είναι οριζόντια. Εάν θεωρήσουμε την βάθμωση σαν πυξίδα, η διεύθυνση την οποία θα ακολουθήσουμε
Βαθμωτά πεδία – Κατευθύνουσα παράγωγος – Βάθμωση ♦53
ξεκινώντας από το σημείο Ρ θα είναι εκείνη ως προς την οποία το z έχει τον
μεγαλύτερο συντελεστή αύξησης. Η κλίση της πλαγιάς προς αυτή την κατεύθυνση, δηλ. το πηλίκο της μεταβολής του ύψους dz προς το αντίστοιχο μήκος
ds: dz/ds ισούται με το μέτρο της βάθμωσης. Πράγματι, επειδή u=∇f/|∇f| τότε
dz/ds=∇f⋅u=|∇f|. Από την (3.8.1) βλέπουμε ότι η κατεύθυνση της πλέον αποτόμου καθόδου, δηλ. της μεγαλύτερης μείωσης του z, προκύπτει για θ=180ο και
είναι αντίθετη από την κατεύθυνση της πιο απότομης ανόδου. Σε γωνία τώρα
90ο μοιρών ως προς τις δυο άλλες κατευθύνσεις, η κλίση της πλαγιάς είναι μηδέν και το διάνυσμα της βάθμωσης είναι εφαπτόμενο στις ισοϋψείς(12 καμπύλες.
Τα παραπάνω γίνονται πιο κατανοητά εάν θεωρήσουμε σαν πλαγιά την επιφάνεια μιας σφαίρας. Τότε το βαθμωτό πεδίο είναι
z = f ( x, y ) = z = f ( x, y ) = R 2 − x 2 − y 2
με βάθμωση:
∇f = −
x
R −x −y
2
2
2
i−
y
R −x −y
2
2
2
j=−
r
R − r2
2
η οποία δείχνει προς την αρχή των αξόνων. Έτσι όταν εμείς βρισκόμαστε πάνω
στην επιφάνεια της σφαίρας και ακολουθήσουμε την ένδειξη της πυξίδας, είμαστε αναγκασμένοι να ακολουθήσουμε τον μεσημβρινό που διέρχεται από το
σημείο που βρισκόμαστε και ο οποίος θα μας οδηγήσει στον βόρειο πόλο, δηλ.
προς την διεύθυνση της δυσκολότερης ανάβασης. Εάν ακολουθήσουμε την
αντίθετη κατεύθυνση, που δείχνει η βάθμωση, τότε θα ακολουθήσουμε τον ίδιο
μεσημβρινό, αλλά προς το νότιο πόλο. Εάν τώρα διαλέξουμε διεύθυνση κάθετη
προς την βάθμωση, τότε είμαστε αναγκασμένοι να ακολουθήσουμε έναν παράλληλο κύκλο.
Πριν προχωρήσουμε στην επόμενη ιδιότητα του ∇f θα δώσουμε τον ορισμό
της ισοσταθμικής επιφάνειας.
Στις περισσότερες εφαρμογές ένα βαθμωτό πεδίο είναι μια συνάρτηση δυο ή
τριών μεταβλητών, του οποίου η τιμή μεταβάλλεται από σημείο σε σημείο.
Eίναι όμως δυνατό να υπάρχουν σημεία του χώρου, (που να ανήκουν βέβαια στο πεδίο ορισμού του f), στα οποία το βαθμωτό πεδίο f έχει σταθερή τιμή,
έστω c.
(12
Μια ισοϋψής καμπύλη είναι ειδική περίπτωση της έννοιας της ισοσταθμικής επιφάνειας, που θα ορίσουμε αμέσως παρακάτω. Προκύπτει δε από την εξίσωση z=f(x,y)
όταν το z πάρει μία σταθερή τιμή.
54 ♦ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΙΙΙ
Τα σημεία αυτά γενικά αποτελούν μια επιφάνεια, η οποία λέγεται ισοσταθμική επιφάνεια, που χαρακτηρίζεται από την τιμή c και συμβολίζεται με Lc .
Η επιφάνεια αυτή ορίζεται από τη σχέση:
Lc={(x,y,z)∈A⊂R3 / f(x,y,z)=c}
Παράδειγμα 2: Το βαθμωτό πεδίο f(r)=f(x,y,z)=
(3.8.2)
1
=
r
1
x2 + y 2 + z 2
έχει
σαν ισοσταθμικές επιφάνειες ομόκεντρες σφαίρες με κέντρο την αρχή των αξόνων. Πράγματι, έστω f=c =σταθ. με c>0, τότε
1
x2 + y 2 + z 2
= c ⇒ x2 + y 2 + z 2 =
1
c2
Η τελευταία σχέση είναι εξίσωση σφαίρας με κέντρο την αρχή των αξόνων
και ακτίνα 1/c.
Το βαθμωτό πεδίο f=1/r, πολλαπλασιασμένο με κατάλληλες σταθερές συναντάται στη φυσική σαν το δυναμικό του πεδίου Coulomb ή το δυναμικό του
πεδίου βαρύτητας. Οι αντίστοιχες ισοσταθμικές επιφάνειες λέγονται ισοδυναμικές επιφάνειες. Εάν το βαθμωτό πεδίο f παριστάνει θερμοκρασία ή πίεση, οι
αντίστοιχες επιφάνειες λέγονται ισόθερμες ή ισοβαρείς.
Η επόμενη ιδιότητα της βάθμωσης ∇f ενός βαθμωτού πεδίου f έχει σχέση με
τις ισοσταθμικές επιφάνειες και είναι η εξής:
Β) Η βάθμωση ∇f σ' ένα σημείο Ρ μιας ισοσταθμικής επιφάνειας Lc είναι
διάνυσμα κάθετο στην επιφάνεια αυτή.
Προτού αποδείξουμε την ιδιότητα αυτή, ας θυμηθούμε ότι ένα διάνυσμα, (ή
αντίστοιχα η ευθεία, που είναι ο φορέας του διανύσματος), λέγεται κάθετο σε
μια επιφάνεια και στο σημείο Ρ, εάν είναι κάθετο στο εφαπτόμενο διάνυσμα
οποιασδήποτε καμπύλης, που βρίσκεται πάνω στην επιφάνεια και διέρχεται από
το σημείο Ρ. Θεωρούμε τώρα μια καμπύλη Κ, που βρίσκεται πάνω στην ισοσταθμική επιφάνεια Lc και περνάει από το σημείο Ρ, (Σχ. 3.8.2). Έστω επίσης
ότι η διανυσματική παραμετρική εξίσωση αυτής της καμπύλης είναι:
r(t) = x(t)i + y(t)j + z(t)k
Βαθμωτά πεδία – Κατευθύνουσα παράγωγος – Βάθμωση ♦55
z
d r (t )
dt
∇f
Κ
P
r(t)
y
O
Σχ. 3.8.2
x
Επομένως ∇f⋅
dr (t )
=0 για κάθε t, άρα και για την τιμή tP που αντιστοιχεί
dt
στο σημείο Ρ, δηλαδή:
Το βαθμωτό πεδίο f, εάν το περιορίσουμε στα σημεία αυτής της καμπύλης,
γίνεται τότε συνάρτηση μιας μεταβλητής, της t, και μάλιστα σταθερή:
f=f(x(t),y(t),z(t))=g(t)=c
(3.8.3)
όπου c η σταθερή τιμή που χαρακτηρίζει την επιφάνεια Lc. Παραγωγίζοντας
τώρα την σχέση (3.8.3) ως προς t, έχουμε:
0=
dg (t ) ∂ f dx(t ) ∂ f dy(t ) ∂ f dz (t )
dr (t )
=
+
+
= ∇f⋅
dt
∂ x dt
∂ y dt
∂ z dt
dt
∇ f ( r (t P ) ) ⋅
(3.8.4)
d r (t )
=0
dt t =tP
Επομένως, το διάνυσμα της βάθμωσης ∇f στο σημείο Ρ είναι κάθετο στο
διάνυσμα
dr(t )
που είναι εφαπτόμενο διάνυσμα της καμπύλης Κ στο σηdt t =tP
μείο Ρ. Επειδή δε η καμπύλη Κ ήταν τυχαία, (αφού δεν χρησιμοποιήσαμε καμία
56 ♦ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΙΙΙ
συγκεκριμένη έκφραση για την r(t)), η βάθμωση ∇f είναι κάθετο διάνυσμα στα
εφαπτόμενα διανύσματα όλων των καμπυλών, που βρίσκονται στην ισοσταθμική επιφάνεια Lc και διέρχονται από το σημείο Ρ. Άρα το διάνυσμα ∇f είναι
κάθετο στην επιφάνεια Lc .
Εάν στην έκφραση (3.8.4), στη θέση του
dr (t )
θέσουμε το αντίστοιχο
dt
μοναδιαίο διάνυσμα:
dr (t )
df
u = dt
τότε προκύπτει ότι
= f ′ ( r (t P ) : u ) = 0
dr (t )
ds
dt
Δηλαδή, η κατευθύνουσα παράγωγος ενός βαθμωτού πεδίου σε κάποιο σημείο μιας ισοσταθμικής επιφάνειας Lc, ως προς διεύθυνση εφαπτομενική της
επιφάνειας, είναι μηδέν, δηλαδή το βαθμωτό πεδίο δεν μεταβάλλεται. Αυτό
ήταν επόμενο, αφού στοιχειώδης μετατόπιση από ένα σημείο σ’ ένα άλλο της
ισοσταθμικής επιφάνειας, ακολουθώντας διεύθυνση εφαπτομενική της επιφάνειας, ουσιαστικά σημαίνει ότι εξακολουθούμε να βρισκόμαστε πάνω στην ισοσταθμική επιφάνεια και το βαθμωτό πεδίο εξακολουθεί να έχει την τιμή c, δηλαδή δεν μεταβάλλεται.
Γ)
Ας θεωρήσουμε δυο ισοσταθμικές επιφάνειες L c1 και L c2 έτσι ώστε
c2-c1=Δc<<1 και ένα σημείο Ρ1∈ L c1 , (Σχ. 3.8.3). Θέτουμε το ερώτημα:
Ξεκινώντας από το σημείο Ρ1, ποια διεύθυνση πρέπει να ακολουθήσουμε,
ώστε να φθάσουμε στην ισοσταθμική επιφάνεια L c2 διανύοντας τον ελάχιστο
δρόμο;
Η απάντηση στο ερώτημα είναι η εξής:
Έστω ότι το σημείο αυτό είναι το Ρ2. Με r1 και r2 συμβολίζουμε τα αντίστοιχα διανύσματα θέσης των σημείων Ρ1 και Ρ2 και έστω:
Δs=|Δr|=|r2-r1|
Από τον ορισμό των ισοσταθμικών επιφανειών έχουμε:
Δc=c2-c1 =f(r2)-f(r1)=Δf=
∂ f (r1 )
∂ f (r1 )
∂ f (r1 )
Δx +
Δy +
Δz =
∂x
∂y
∂z
=∇f(r1).(Δxi+Δyj+Δzk)=∇f(r1).Δr=|∇f(r1)||Δr|cosθ=|∇f(r1)|Δscosθ
(3.8.5)
Βαθμωτά πεδία – Κατευθύνουσα παράγωγος – Βάθμωση ♦57
z
L c2
∇f(r1)
P1
θ
P2
Δs
Δr
r2
r2
r1
O
L c1
y
Σχ 3.8.4
x
όπου θ η γωνία που σχηματίζουν τα διανύσματα ∇f(r1) και Δr. Από την σχέση
(3.8.5) προκύπτει:
Δs=
Δc
| ∇f (r1 ) | cos θ
(3.8.6)
Από την τελευταία σχέση βγαίνει το συμπέρασμα ότι το μήκος του δρόμου
Δs, που ενώνει τα σημεία Ρ1 και Ρ2 γίνεται ελάχιστο όταν το cosθ γίνει μέγιστο,
(διότι τα Δc και |∇f(r1)| είναι σταθερές ποσότητες), και τούτο συμβαίνει όταν
θ=0, δηλ. όταν η διεύθυνση του Δr, (του οποίου το μέτρο είναι Δs), συμπίπτει
με την διεύθυνση του ∇f(r1). Επομένως η διεύθυνση του ∇f(r1) είναι εκείνη που
πρέπει να ακολουθήσουμε για να πάμε από το σημείο Ρ1 της ισοσταθμικής επιφάνειας L c1 στην ισοσταθμική επιφάνεια L c2 διανύοντας τον μικρότερο δρόμο.
3.9 Γραφική παράσταση βαθμωτών πεδίων
Ας θεωρήσουμε ένα βαθμωτό πεδίο δυο μεταβλητών: f=f(x,y). Εάν την τιμή
του f την θεωρήσουμε σαν τρίτη συντεταγμένη z, τότε η εξίσωση z=f(x,y) παριστάνει εν γένει μια επιφάνεια, την οποία μπορούμε να θεωρήσουμε σαν την
γραφική παράσταση του βαθμωτού πεδίου f.
Παράδειγμα 1: Το βαθμωτο πεδίο: f=f(x,y)=x2+y2 μας δίνει την εξίσωση
z=x2+y2, της οποίας η γραφική παράσταση είναι η επιφάνεια:
58 ♦ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΙΙΙ
z
x
y
που παριστάνει ένα παραβολοειδές. Οι αντίστοιχες ισοσταθμικές καμπύλες
δίνονται από την σχέση: x2+y2=c και για c>0 μας δίνει ομόκεντρους κύκλους με
κέντρο την αρχή των αξόνων και ακτίνα √c:
Πολλές φορές προτιμούμε τις ισοσταθμικές καμπύλες να τις απεικονίζουμε
μαζί με την επιφάνεια όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα:
Βαθμωτά πεδία – Κατευθύνουσα παράγωγος – Βάθμωση ♦59
z
x
y
Σ’ αυτήν την περίπτωση οι καμπύλες λέγονται ισοϋψείς και ορίζονται από
εκείνα τα σημεία του χώρου για τα οποία η τρίτη συνιστώσα, δηλ. η z έχει σταθερή τιμή που καθορίζει και το ύψος στο οποίο βρίσκεται η καμπύλη. Εάν προβάλλουμε τις ισοϋψείς καμπύλες στο επίπεδο Oxy παίρνουμε το προηγούμενο
σχήμα των ομόκεντρων κύκλων.
Παράδειγμα 2: Ας θεωρήσουμε ένα άλλο βαθμωτό πεδίο f=x2-y2. Εργαζόμενοι όπως και πριν βρίσκουμε την παρακάτω γραφική παράσταση:
η οποία είναι μια σαγματική(13 επιφάνεια. Οι αντίστοιχες ισοσταθμικές καμπύλες είναι:
(13
Η ονομασία σαγματική επιφάνεια οφείλεται στο γεγονός ότι η μορφή της επιφάνειας μοιάζει με σάγμα, (σέλα αλόγου).
60 ♦ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΙΙΙ
που παριστάνουν υπερβολές.
Τέλος η γραφική παράσταση του βαθμωτού πεδίου με τις ισοϋψείς καμπύλες
είναι:
Τέλος για βαθμωτά πεδία τριών μεταβλητών: f=f(x,y,z) δεν μπορούμε να έχουμε γραφική παράσταση, όπως προηγούμενα, μπορούμε όμως να σχεδιάσουμε μερικές ισοσταθμικές επιφάνεις. Π. χ. ας θεωρήσουμε το βαθμωτό πεδίο
f=x2+y2+z2, του οποίου προφανώς οι ισοσταθμικές επιφάνειες είναι ομόκεντρες
σφαίρες με κέντρο την αρχή των αξόνων.
Βαθμωτά πεδία – Κατευθύνουσα παράγωγος – Βάθμωση ♦61
3.10 Μια άλλη προσέγγιση της έννοιας της κατευθύνουσας παραγώγου
Ας θεωρήσουμε ένα βαθμωτό πεδίο f(r) με πεδίο ορισμού ένα ανοικτό(14
υποσύνολο Α του χώρου R3 και Ρ ένα σημείο του Α με διάνυσμα θέσης r. Έστω επίσης ένα διάνυσμα, (όχι κατ' ανάγκη μοναδιαίο), u≠0. Ορίζουμε σαν κατευθύνουσα παράγωγο του βαθμωτού πεδίου f στο σημείο με διάνυσμα θέσης
r ως προς την διεύθυνση του διανύσματος u το όριο, (όταν υπάρχει):
lim h→0
f (r + hu) − f (r )
∂ f (r )
= f ′(r : u) =
h
∂u
(3.10.1)
Ορισμός 1. Ένα βαθμωτό πεδίο f(r) ορισμένο στο ανοικτό υποσύνολο Α,
θα λέγεται παραγωγίσιμο, όταν υπάρχει η κατευθύνουσα παράγωγος σε κάθε
σημείο r∈Α και ως προς οποιαδήποτε διεύθυνση u.
Ορισμός 2. Ένα βαθμωτό πεδίο f(r) θα λέγεται συνεχώς παραγωγίσιμο,
όταν η κατευθύνουσα παράγωγος f'(r:u), (εάν την δει κανείς σαν ένα νέο βαθμωτό πεδίο έξι όμως τώρα μεταβλητών), είναι συνεχής για κάθε r∈Α και για
κάθε u, δηλαδή όταν
(∀ε>0)(∀r,r1∈A)(∀u∈R3)(∃δ>0)[0≤|r-r1|<δ→|f′(r:u)-f′(r: u)|<ε]
(3.10.2)
Θεώρημα 1 . (Μέσης τιμής). Έστω f(r) ένα παραγωγίσιμο βαθμωτό πεδίο,
ορισμένο σ' ένα ανοικτό σύνολο Α⊂R3, r και r1 τα διανύσματα θέσεων δυο
σημείων του Α, έτσι ώστε r+tr1∈A ∀t∈[0,1], (Σχ.3.10.1). Τότε θα υπάρχει
ένας πραγματικός θ∈(0,1) για τον οποίο θα ισχύει:
f(r+r1)-f(r)=f′(w: r1) με w=r+θr1
(3.10.3)
Απόδειξη: Θεωρούμε την συνάρτηση g(t), που ορίζεται από την σχέση:
g(t)=f(r+tr1)
με 0≤t≤1
(14
Ένα υποσύνολο Α του R ονομάζεται ανοικτό εάν για κάθε σημείο Ρ∈Α μπορούμε να βρούμε μια σφαίρα Σ(Ρ,δ) με κέντρο το σημείο Ρ και ακτίνα δ, κατάλληλα
μικρή, ώστε η σφαίρα Σ(Ρ,δ) να περιέχεται στο Α, δηλ. να ισχύει:
(∀p∈A)(∃δ>0)[Σ(Ρ,δ)⊂A]
62 ♦ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΙΙΙ
Η παράγωγος g′(t) υπάρχει και είναι
g ′ ( t ) = lim h→0
f ( r + (t + h)r1 ) − f (r + tr1 )
g (t + h) − g (t )
= lim h→0
=
h
h
= f ′(r + tr1 : r1 )
Εάν εφαρμόσουμε το γνωστό θεώρημα της μέσης τιμής για την συνάρτηση μιας μεταβλητής g(t) στο διάστημα [0,1], θα έχουμε:
z
g(1)-g(0)=g′(θ) με 0<θ<1
r1
r+r1
δηλαδή:
r+tr1
f(r+r1)-f(r)=f′(r+θr1:r2)=f′(w: r1)
r
r1
O
y
x
Θεώρημα 2. (Ιδιότητα της ομογένειας). Εάν το βαθμωτό πεδίο f(r)
είναι παραγωγίσιμο στο ανοικτό
υποσύνολο Α, τότε ισχύει:
Σχ.3.10.1
f′(r: cu)=cf′(r: u) με c∈R
(3.10.4)
Απόδειξη: Για c=0 το θεώρημα αληθεύει, αφού και τα δυο μέλη της ισότητας (3.10.4) είναι μηδέν. Πράγματι:
f′(r: 0)= lim h →0
f (r ) − f (r )
=0
h
Για c≠0 θεωρούμε το πηλίκο διαφορών:
f (r + hcu) − f (r )
f (r + hcu) − f (r )
f (r + tu) − f (r )
=c
=c
, όπου t=hc
h
ch
t
όταν το h → 0, τότε το t → 0 και το τελευταίο κλάσμα τείνει προς το cf′(r: u).
Θεώρημα 3. (Αθροιστική ιδιότητα). Εάν το βαθμωτό πεδίο f(r) είναι παραγωγίσιμο στο ανοικτό υποσύνολο Α, με συνεχή κατευθύνουσα παράγωγο
στο r, και u, w διανύσματα, τέτοια ώστε να υπάρχουν οι κατευθύνουσες παράγωγοι f'(r:u) και f'(r:w), τότε ισχύει:
f′(r:u+w)=f′(r:u)+f′(r:w)
Απόδειξη: Στον αριθμητή του πηλίκου διαφορών:
(3.10.5)
Βαθμωτά πεδία – Κατευθύνουσα παράγωγος – Βάθμωση ♦63
f (r + hu + hw ) − f (r )
h
προσθέτουμε και αφαιρούμε το f(r+hu) και έχουμε:
1
{[ f (r + hu) − f (r)] + [ f (r + hu + hw) − f (r + hu)]}
h
Με εφαρμογή του θεωρήματος της μέσης τιμής στη δεύτερη παρένθεση,
βρίσκουμε:
f(r+hu+hw)-f(r+hu) = f'(r+hu+θhw:hw)
με 0<θ<1. (Το θ εξαρτάται από το h). Σύμφωνα όμως με το θεώρημα της ομογένειας έχουμε:
f′(r+hu+θhw: hw) = hf′(r+hu+θhw: w)
και το πηλίκο διαφορών γράφεται:
f (r + hu + hw ) − f (r ) f ′(r + hu) − f (r )
=
+ f ′(r + hu + θ hw : w )
h
h
Παίρνοντας το όριο όταν το h → 0, έχουμε:
f′(r: u+w) = f′(r: u)+f′(r: w)
Σημείωση: Επειδή υποθέσαμε ότι η κατευθύνουσα παράγωγος f'(r:w) είναι
συνεχής στο r, προκύπτει ότι:
lim h → 0 f′(r+hu+θhw: w)=f′(r:w)
Με συνδυασμό των θεωρημάτων 2 και 3, δηλαδή της ιδιότητας της ομογένειας και της αθροιστικής ιδιότητας, προκύπτει η ιδιότητα της γραμμικότητας, που διατυπώνεται στο παρακάτω θεώρημα.
Θεώρημα 4. (Γραμμική ιδιότητα). Έστω f(r) ένα συνεχές διαφορίσιμο βαθμωτό πεδίο. τότε ισχύει:
f′(r:αu+βw+γv)=αf′(r:u)+ βf′(r:w)+ γf′(r:v)
(3.10.6)
Από την γραμμική ιδιότητα μπορούμε να φθάσουμε στον τύπο (3.14) ως
εξής:
f′(r:u)=f′(r:αi+βj+γk)=αf′(r:i)+βf′(r:j)+γf′(r:k)=
=α
∂ f (r ) ∂ f (r ) ∂ f (r )
+β
+
=∇f(r).u
∂y
∂x
∂z
64 ♦ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΙΙΙ
Παρατήρηση 1: Έστω f(r) ένα βαθμωτό πεδίο ορισμένο σ' ένα ανοικτό
υποσύνολο ΑCR3 και r(s), s∈[s1, s2], μια διανυσματική συνάρτηση. Εάν η
συνάρτηση g είναι η σύνθεση των f(r) και r(s), δηλ.
g(s) = f(r(s)) = f(x(s), y(s), z(s))
και
(3.10.7)
dr ( s )
το εφαπτόμενο διάνυσμα της καμπύλης r(s), τότε η κατευθύνουds
σα παράγωγος του βαθμωτού πεδίου f(r(s))=g(s) ως προς την διεύθυνση του
dr ( s )
είναι:
ds
dg ( s )
dr ( s )
= ∇f (r ( s )) ⋅
=
ds
ds
⎡ ∂ f (r( s)) ∂ f (r( s)) ∂ f (r( s)) ⎤ ⎡ dx( s) dy( s) dz ( s) ⎤
=⎢
i+
j+
k⎥ ⋅ ⎢
i+
j+
k =
∂y
∂z
ds
ds ⎥⎦
⎣ ∂x
⎦ ⎣ ds
∂ f dx ∂ f dy ∂ f dz df ( s)
=
+
+
=
ds
∂ x ds ∂ y ds ∂ z ds
δηλαδή αποδείξαμε τον τύπο (3.7.3).
3.11 Εφαρμογές
1)
γους:
Έστω f=f(x,y) και x=x(t), y=y(t). Να βρεθούν εκφράσεις για τις παραγώ-
df d 2 f
,
dt
dt 2
Λύση: Από τον κανόνα της αλυσίδας έχουμε:
df ∂f dx ∂f dy
=
+
dt ∂x dt ∂y dt
Για να υπολογίσουμε την δεύτερη παράγωγο
(1)
d2 f
παραγωγίζουμε την (1)
dt 2
χρησιμοποιώντας τον κανόνα παραγωγίσεως γινομένου.
d 2 f d ⎛ df
= ⎜
dt 2 dt ⎝ dt
2
2
⎞ d ⎛ ∂f ⎞ dx ∂f d x d ⎛ ∂f ⎞ dy ∂f d y
=
+
+
+
⎜ ⎟
⎟
⎜ ⎟
2
dt ⎝ ∂y ⎠ dt ∂y dt 2
⎠ dt ⎝ ∂x ⎠ dt ∂x dt
(2)
Βαθμωτά πεδία – Κατευθύνουσα παράγωγος – Βάθμωση ♦65
d ⎛ ∂f ⎞
⎜ ⎟,
dt ⎝ ∂x ⎠
d ⎛ ∂f ⎞
⎜ ⎟ εφαρμόζοντας την
dt ⎝ ∂y ⎠
d ⎛ ∂f ⎞ ∂2 f dx ∂2 f dy
+
⎜ ⎟=
dt ⎝ ∂x ⎠ ∂x2 dt ∂x∂y dt
(3)
d ⎛ ∂f ⎞ ∂ 2 f dx ∂ 2 f dy
+
⎜ ⎟=
dt ⎝ ∂y ⎠ ∂x∂y dt ∂y 2 dt
(4)
Υπολογίζουμε τις εκφράσεις:
σχέση (1):
Αντικαθιστούμε τις σχέσεις (3), (4) στην (2):
2
2
d 2 f ∂f d 2 x ∂ 2 f ⎛ dx ⎞
∂ 2 f dx dy ∂ 2 f ⎛ dy ⎞ ∂f d 2 y
=
+
+
2
+
⎜ ⎟
⎜ ⎟ +
dt 2
∂x dt 2 ∂x 2 ⎝ dt ⎠
∂x∂y dt dt ∂y 2 ⎝ dt ⎠ ∂y dt 2
2) Έστω το διαφορίσιμο βαθμωτό πεδίο f με μεταβλητές τα x, y, z, t, δηλαδή f=f(x,y,z,t). Εάν τα x=x(t), y=y(t), z=z(t) είναι διαφορίσιμες συναρτήσεις
του t, να δειχθεί ότι
df ∂f
dr
= + ∇f ⋅
dt ∂t
dt
όπου r(t)=x(t)i+y(t)j+z(t)k
Απόδειξη: Θεωρούμε το διαφορικό του f:
df =
∂f
∂f
∂f
∂f
dx + dy + dz + dt ⇒
∂x
∂y
∂z
∂t
df ∂f dx ∂f dy ∂f dz ∂f
dr ∂f
=
+
+
+ = ∇f ⋅ +
dt ∂x dt ∂y dt ∂z dt ∂t
dt ∂t
3) Ένα βαθμωτό πεδίο f(x,y,z) παίρνει την τιμή 5 στο σημείο (2,1,3), δηλαδή f(2,1,3)=5. Οι μερικές παράγωγοι στο ίδιο σημείο είναι:
∂f ( 2,1,3)
∂x
= 2,
∂f ( 2,1,3)
∂y
= −2,
∂f ( 2,1,3)
∂z
=3
Να υπολογίσετε κατά προσέγγιση τις τιμές του βαθμωτού πεδίου:
α) f(2.1, 0.8, 3.1)
β) f(1.9, 0.9, 3).
Λύση: Η μεταβολή ενός βαθμωτού πεδίου δίνεται από την σχέση:
66 ♦ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΙΙΙ
Δf =
∂f
∂f
∂f
Δx + Δy + Δz
∂x
∂y
∂z
(1)
α) Ζητείται να υπολογίουμε την τιμή f(2.1, 0.8, 3.1) όπου η τιμή f(2,1,3)
είναι γνωστή. Έτσι
Δx=0.1, Δy=-0.2, Δz=0.1
(2)
Αντικαθιστούμε τις (2) στην (1) και έχουμε:
∂f ( 2,1,3)
∂f ( 2,1,3)
∂f ( 2,1,3)
Δx +
Δy +
Δz =
∂x
∂y
∂z
= 2(0.1) + (−2)(−0.2) + 3(0.1) = 0.9
Δf =
Τελικά η τιμή του f είναι:
f(2.1, 0.8, 3.1)= f(2,1,3)+Δf=5+0.9=5.9
β) Για το σημείο (1.9, 0.9, 3) έχουμε:
Δx=-0.1, Δy=-0.1, Δz=0
και για το Δf=2(-0.1)+(-2)(-0.1)+3(0)=0 . Επομένως f(1.9, 0.9, 3)=5.
4) Μία μύγα κάθεται πάνω σε μια λάμπα, που βρίσκεται στο σημείο
(2,1,4). Η θερμοκρασία του δωματίου δίνεται από την σχέση: f(x,y,z)=x3+y2+z.
Προς ποια κατεύθυνση πρέπει να κινηθεί η μύγα για να ψυχθεί όσο το δυνατό
γρηγορότερα;
Λύση: Η βάθμωση του f δείχνει την διεύθυνση της μεγίστης αύξησης του f.
Στην περίπτωση εδώ η βάθμωση δείχνει την διεύθυνση της μεγίστης αύξησης
της θερμοκρασίας. Κατά συνέπεια το διάνυσμα -∇f δείχνει την διεύθυνση της
μεγίστης ελαττώσεως της θερμοκρασίας. Επομένως η ζητούμενη κατεύθυνση
είναι:
⎡ ∂f
∂f
∂f ⎤
−∇f ( 2,1, 4 ) = − ⎢ i + j + k ⎥
=
∂z ⎦ (2,1,4)
⎣ ∂x ∂y
= − ⎡⎣3x 2 i + 2 yj + k ⎤⎦
( 2,1,4)
= −12i − 2 j − k
5) Στη Θερμοδυναμική η κατάσταση μιας ουσίας περιγράφεται από τις
παραμέτρους: V-όγκος, T-θερμοκρασία, P-πίεση, U-εσωτερική ενέργεια. Οι
τέσσερις αυτές παράμετροι ικανοποιούν δυο εξισώσεις. Επομένως μπορούμε να
διαλέξουμε δυο από αυτές τις παραμέτρους σαν ανεξάρτητες και τις άλλες δυο
σαν εξαρτημένες. Ο δεύτερος νόμος της θερμοδυναμικής μπορεί να γραφεί ως
εξής:
Βαθμωτά πεδία – Κατευθύνουσα παράγωγος – Βάθμωση ♦67
∂U
∂P
−T
+P =0
∂V
∂T
(1)
όπου τα V, T είναι ανεξάρτητες μεταβλητές. Να δειχθεί ότι η εξίσωση (1) μπορεί να λάβει τις εξής μορφές:
∂T
∂P
∂T
+T
−P
=0
∂V
∂U
∂U
V, U ανεξάρτητες
(2)
∂U
∂V
∂V
+T
+P
=0
∂P
∂T
∂P
P, T ανεξάρτητες
(3)
∂ ( P, V )
∂V
−P
−1 = 0
∂ ( T, U )
∂U
T, U ανεξάρτητες
(4)
∂ ( V, T )
∂T
∂V
−T
+P
=0
∂P
∂U
∂ ( U, P )
U, P ανεξάρτητες
(5)
V, P ανεξάρτητες
(6)
T
T−P
∂ ( T, U )
∂T
+T
=0
∂P
∂ ( V, P )
Λύση: Ξεκινάμε από την εξίσωση (1) στην οποία τα U, P είναι συναρτήσεις
των V, T:
U=U(V,T),
Επομένως
όπου
P=P(V,T)
dU=AdV+BdT dP=CdV+DdT
A=
∂U
∂U
∂P
∂P
, B=
, C=
, D=
∂V
∂T
∂V
∂T
(7)
(8)
(9)
Έτσι η εξίσωση (1) μπορεί να γραφεί στη μορφή:
Α-TD+P=0
(10)
Για να αποδείξουμε την εξίσωση (2), παρατηρούμε ότι τα V, U είναι ανεξάρτητες μεταβλητές και τα T, P είναι συναρτήσεις των V, U:
T=T(V,U),
P=P(V,U)
(11)
Γράφουμε τα διαφορικά των εξισώσεων (11):
ή
dT=αdV+βdU,
dP=γdV+δdU
(12)
dU=(1/β)dΤ-(α/β)dV,
dP=(γ-αδ/β)dV+(δ/β)dT
(13)
Συγκρίνουμε τους συντελεστές των εξισώσεων (8) και (13) και έχουμε:
Α=-α/β, D=-δ/β,
(14)
68 ♦ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΙΙΙ
Η εξίσωση (10) μπορεί να γραφεί συναρτήσει των συντελεστών α, β, γ, δ στη
μορφή:
−
Επειδή α =
α
δ
−Τ +Ρ = 0
β
β
(15)
∂T
η εξίσωση (15) γίνεται:
∂V
Α+Τδ-Ρβ=0
∂T
∂P
∂T
+T
−P
=0
∂V
∂U
∂U
ή
(16)
Η εξίσωση (3) μπορεί να αποδειχθεί κατά τον ίδιο τρόπο.
Για να αποδείξουμε την εξίσωση (4) παρατηρούμε ότι τα T και U είναι ανεξάρτητες μεταβλητές. Έτσι
P=P(T,U),
V=V(T,U) με διαφορικά:
dP=αdT+βdU,
dV=γdT+δdU
(17)
Λύνουμε τις εξισώσεις (17) ως προς dP και dU:
dP=(β/δ)dV+(α-βγ/δ)dT dU=(1/δ)dV-(γ/δ)dT
(18)
Συγκρίνουμε τις εξισώσεις (8) και (18) και έχουμε:
Α=1/δ, D=α-βγ/δ
(19)
Η αντικατάσταση των (19) στην (10) δίνει:
1/δ-Τ(α-βγ/δ)+Ρ=0
ή
Τ(αδ-βγ)-Ρδ-1=0
όμως
όπου
αδ − βγ =
∂P ∂V ∂P ∂V
−
=
∂T ∂U ∂U ∂T
(20)
∂P
∂T
∂P
∂U
=
∂V
∂T
∂V
∂U
∂ ( P, V )
∂ ( T, U )
∂ ( P, V )
είναι η Ιακωβιανή των P, V ως προς τα T, U.
∂ ( T, U )
H εξίσωση (20) μπορεί να πάρει την μορφή:
T
∂ ( P, V )
∂V
−P
−1 = 0
∂ ( T, U )
∂U
(21)
Βαθμωτά πεδία – Κατευθύνουσα παράγωγος – Βάθμωση ♦69
Με παρόμοιο τρόπο μπορούν να αποδειχθούν οι εξισώσεις (5) και (6).
ΑΣΚΗΣΕΙΣ
1.
Εάν f(r) = 3x2y-y3z2 να υπολογιστεί το ∇f στο σημείο Ρ=(1,-2,-1)
2.
Να βρεθεί το ∇f όταν α) f(r)=ln|r|=lnr β) f(r)=1/r, όπου r=xi+yj+zk
3.
Δείξτε ότι ∇rn =nrn-2r, όπου r=xi+yj+zk
4.
Βρείτε ένα μοναδιαίο διάνυσμα, κάθετο στην επιφάνεια με εξίσωση:
x2y+2xz=4 στο σημείο Ρ=(2,-2,3).
5.
Να υπολογιστεί η κατευθύνουσα παράγωγος της f(r)=x2yz+4xz2 στο
σημείο Ρ=(1,-2,-1) και ως προς την διεύθυνση του διανύσματος u=2i-j-2k.
6. Να βρεθεί η διεύθυνση ως προς την οποία η κατευθύνουσα παράγωγος
της f=x2yz3 στο σημείο Ρ=(2,1,-1) γίνεται μεγίστη. Να βρεθεί η μεγίστη αυτή
τιμή.
7. Έστω οι επιφάνειες με εξισώσεις: f1=x2+y2+z2-9=0 και f2=x2+y2-z-3=0.
Αφού ελέγξτε ότι το σημείο Ρ=(2,-1,2) ανήκει στη τομή των επιφανειών, να
υπολογιστεί η γωνία τους στο σημείο αυτό.
8. Να βρεθούν τα σημεία και οι διευθύνσεις ως προς τις οποίες οι αντίστοιχες κατευθύνουσες παράγωγοι του βαθμωτού πεδίου f(x,y)=3x2+y2 να παίρνουν την μεγίστη τιμή, όταν το σημείο Ρ(x,y) μένει πάντοτε πάνω στην περιφέρεια
x2+y2 =R2 .
9. Να προσδιοριστούν τιμές για τις σταθερές α,β,γ, τέτοιες ώστε η κατευθύνουσα παράγωγος του πεδίου f(x,y,z) = αxy2+βyz+γz2x3 στο σημείο Ρ(1,2,-1)
να έχει μεγίστη τιμή 64 ως προς διεύθυνση παράλληλη προς τον άξονα ΟΖ.
10. Ένα βαθμωτό πεδίο f(x,y) έχει α) κατευθύνουσα παράγωγο 2 στο σημείο Ρ(1,2) ως προς διεύθυνση από το σημείο Ρ προς το σημείο Ρ1(2,2) και β)
κατευθύνουσα παράγωγο -2 στο ίδιο σημείο Ρ(1,2) ως προς την διεύθυνση
από το σημείο Ρ προς το σημείο Ρ2(1,1). Να υπολογισθεί η κλίση του f στο
σημείο Ρ(1,2) και η κατευθύνουσα προς το σημείο Ρ3(4,6) παράγωγος του f.
11. Έστω R η απόσταση του σημείου P(x,y,z) από το σταθερό σημείο
Α(α,β,γ). Δείξτε ότι η κλίση ∇R είναι ένα μοναδιαίο διάνυσμα στη διεύθυνση
του R=ΑΡ.
12. Θεωρούμε μια έλλειψη με εστίες τα σημεία Α και Β. Να δείξετε ότι μια
φωτεινή ακτίνα, (ή ακουστικό κύμα), που ξεκινάει από την εστία Α, θα ανακλασθεί από την έλλειψη και θα διέλθει από την άλλη εστία Β.
70 ♦ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΙΙΙ
13. Να υπολογιστεί η μεταβολή του βαθμωτού πεδίου f(x,y,z)=xey+yz εάν
το σημείο P(x,y,z) μετακινηθεί από το Ρ0(2,0,0) προς το Ρ1(4,1,-2) πάνω σε ευθεία, διανύοντας απόσταση Δs=0.1 μονάδες.
14. Η παράγωγος του βαθμωτού πεδίου f(x,y,z) σ’ ένα δεδομένο σημείο Ρ
είναι μεγίστη στην διεύθυνση του διανύσματος v=i+j-k. Στην διεύθυνση αυτή η
τιμή της παραγώγου είναι 2√3. α) Να βρεθεί η κλίση του f στο Ρ. β) Να βρεθεί
η κατευθύνουσα παράγωγος του f στο Ρ ως προς την διεύθυνση του διανύσματος i+j.
15. Η θερμοκρασία σε κάθε σημείο μιας μεταλλικής πλάκας δίνεται από
τη σχέση: T=T(x,y)=eysinx. Να βρεθεί η καμπύλη, που θα διαγράψει ένα "σωματίδιο" ανιχνευτής θερμοκρασίας όταν τοποθετηθεί στην αρχή των αξόνων
και αφεθεί ελεύθερο.
ΚΕΦΑΛΑΙΟ IV
ΔΙΑΝΥΣΜΑΤIΚΑ ΠΕΔΙΑ - ΑΠΟΚΛΙΣΗ ΣΤΡΟΒΙΛΙΣΜΟΣ
4.1 Γενικά
Μια άλλη κατηγορία φυσικών μεγεθών είναι τα διανυσματικά μεγέθη, π.χ. η
ταχύτητα που έχει κάθε μόριο ενός ρευστού, που κινείται μέσα σ' ένα σωλήνα ή
η ένταση του ηλεκτρικού πεδίου μεταξύ των οπλισμών ενός φορτισμένου πυκνωτή κ.α. Το μέτρο και η διεύθυνση ενός διανυσματικού φυσικού μεγέθους
εξαρτώνται συνήθως από το σημείο του χώρου, στο οποίο βρισκόμαστε, (σε πιο
γενική περίπτωση μπορεί να εξαρτώνται και από το χρόνο t). Τα διανυσματικά
φυσικά μεγέθη λέγονται και διανυσματικά πεδία.
Από μαθηματικής πλευράς ένα διανυσματικό πεδίο, που θα το συμβολίζουμε με F, είναι μια αντιστοιχία της μορφής:
F: Α⊂W → Β⊂V
(4.1.1)
όπου W, V διανυσματικοί χώροι, που συνήθως είναι οι R2 και R3, δηλ W=R2 ή
R3 και V=R2 ή R3. Εδώ θα ασχοληθούμε με διανυσματικά πεδία της μορφής:
F: r = xi+yj+zk → F(r) = F(x,y,z)∈R3
Η έκφραση: F =
r
=
r3
(4.1.2)
r
(x
3
2
+ y2 + z2 )2
είναι ένα διανυσματικό πεδίο, που εμφανίζεται στη Φυσική, (πολλαπλασιασμένο με κατάλληλες σταθερές), σαν δύναμη Coulomb ή σαν δύναμη του πεδίου
βαρύτητας της γης.
72 ♦ ΚΕΦΑΛΑΙΟ IV
Όπως γίνεται φανερό η γενική έκφραση ενός διανυσματικού πεδίου F θα
είναι
F(r)=F(x,y,z)=F1(x,y,z)i+F2(x,y,z)j+F3(x,y,z)k
(4.1.3)
όπου οι συναρτήσεις F1, F2, F3 είναι βαθμωτές συναρτήσεις των μεταβλητών x,
y, z δηλαδή βαθμωτά πεδία.
Γραφικά ένα διανυσματικό πεδίο μπορούμε να το παραστήσουμε ως εξής:
Σε κάθε σημείο του πεδίου ορισμού του διανυσματικού πεδίου σχεδιάζουμε ένα
διάνυσμα που είναι η αντίστοιχη "τιμή" του διανυσματικού πεδίου. Πρακτικά
βέβαια αυτό γίνεται σε λίγα επιλεγμένα σημεία. Ας αρχίσουμε με ένα
παράδειγμα δυο διαστάσεων. Έστω
το διανυσματικό πεδίο F=xi+yj που
είναι το διάνυσμα θέσεως ενός σημείου στο επίπεδο ΟΧΥ. Το σχήμα
4.1.1 μας δίνει την γραφική του παράσταση έτσι όπως την ορίσαμε παραπάνω.
Παρατηρούμε ότι τα διανύσματα
είναι ακτινικά, δηλ. ο φορέας τους
διέρχεται από την αρχή των αξόνων
Σχ. 4.1.1
και ότι όσο απομακρυνόμαστε από
την αρχή των αξόνων το μήκος των αυξάνει.
Ας θεωρήσουμε ένα άλλο παράδειγμα F=-yi+xj. Το διανυσματικό αυτό πεδίο, όπως θα δούμε παρακάτω παριστάνει την ταχύτητα ενός σώματος που εκτελεί ομαλή κυκλική κίνηση. Γνωρίζουμε δε ότι η ταχύτητα του είναι ένα
διάνυσμα κάθετο στην επιβατική
ακτίνα. Η γραφική του παράσταση
συμφωνεί μ' αυτό, (Σχ. 4.1.2).
Τέλος ας δούμε την γραφική παράσταση ενός διανυσματικού πεδίου
τριών διαστάσεων, που παριστάνει
την βαρυτική δύναμη που αναπτύσσεται μεταξύ δυο μαζών M, m, εκ
των οποίων η μάζα Μ βρίσκεται στην
αρχή των αξόνων και η μάζα m στο
Σχ. 4.1.2
σημείο με συντεταγμένες (x,y,z). Ως
γνωστό η βαρυτική δύναμη δίνεται από τον τύπο:
Διανυσματικά πεδία - Απόκλιση - Στροβιλισμός ♦ 73
F = −G
Mm
r
r3
Από την γραφική παράσταση, (Σχ. 4.1.3), παρατηρούμε ότι η βαρυτική δύναμη είναι πολύ ασθενής με την έννοια ότι το μέτρο του διανύσματος F γίνεται
γρήγορα πολύ μικρό όσο απομακρυνόμαστε από την αρχή των αξόνων.
Και στην περίπτωση των διανυσματικών πεδίων ενδιαφερόμαστε να βρούμε
τον συντελεστή μεταβολής του F όταν
φεύγουμε από το σημείο Ρ0 με συντεταγμένες (x0,y0,z0) και πηγαίνουμε στο σημείο Ρ με συντεταγμένες (x,y,z) ακολουθώντας την ευθεία που ενώνει τα δυο
αυτά σημεία. Όπως είδαμε στο προηγούμενο κεφάλαιο, οι παραμετρικές εξισώσεις αυτής της ευθείας είναι:
Σχ. 4.1.3
x=x0+αs y=y0+βs
z=z0+γs
(4.1.4)
όπου α, β, γ οι συντεταγμένες του μοναδιαίου διανύσματος u, παράλληλου
προς την ευθεία, (δηλαδή u=αi+βj+γk με α2+β2+γ2=1). Η παράμετρος s μας
δίνει από γεωμετρικής πλευράς την απόσταση των σημείων Ρ0 και Ρ. Εάν θέσουμε τις εκφράσεις (4.1.4) στον τύπο του διανυσματικού πεδίου (4.1.3), δηλαδή περιορίσουμε το διανυσματικό πεδίο F πάνω στα σημεία της ευθείας, που
ενώνει τα σημεία Ρ0 και Ρ, προκύπτει:
F=F(s)=F1(x+αs,y+βs,z+γs)i+F2(x+αs,y+βs,z+γs)j+F3(x+αs,y+βs,z+γs)k
(4.1.5)
το διανυσματικό πεδίο F γίνεται μια διανυσματική συνάρτηση μιας μεταβλητής, της s.
4.2 Κατευθύνουσα παράγωγος διανυσματικού πεδίου
Ορίζουμε σαν κατευθύνουσα παράγωγο ενός διανυσματικού πεδίου F στο
σημείο Ρ(x,y,z) και ως προς τη διεύθυνση του διανύσματος u, την έκφραση:
F′ ( r : u ) =
dF dF1
dF dF
=
i+ 2 j 3 k
ds
ds
ds ds
(4.2.1)
74 ♦ ΚΕΦΑΛΑΙΟ IV
δηλαδή η κατευθύνουσα παράγωγος του διανυσματικού πεδίου F είναι ένα νέο
διάνυσμα, του οποίου οι συνιστώσες είναι οι κατευθύνουσες παράγωγοι των
συνιστωσών F1 , F2 , F3 του F .
Επειδή
dF1
dF2
dF3
=∇F2⋅u,
=∇F3⋅u
=∇F1⋅u,
ds
ds
ds
ο τύπος (4.2.1) γράφεται:
(4.2.2)
Εάν το διάνυσμα του δεύτερου μέλους της (4.2.2) το γράψουμε ως διάνυσμα
στήλη, θα έχουμε:
∂ F1
∂ F1 ⎞ ⎛ ∂ F1
⎛ ∂ F1
⎜ ∂x α+ ∂y β+ ∂z γ ⎟ ⎜
⎜
⎟ ⎜ ∂x
⎜
⎟ ⎜
⎜
∂ F2
∂ F2 ⎟⎟ ⎜⎜ ∂ F2
⎛ ∇F1 ⋅ u ⎞ ⎜ ∂ F2
α+
β+
γ
dF ⎜
⎟
∂y
∂z ⎟=⎜ ∂x
= ⎜ ∇F2 ⋅ u ⎟ = ⎜ ∂ x
ds ⎜
⎟ ⎜
⎟ ⎜
⎝ ∇F3 ⋅ u ⎠ ⎜
⎟ ⎜
⎜ ∂ F3
∂ F3
∂ F3 ⎟ ⎜ ∂ F3
α+
β+
γ⎟ ⎜
⎜
∂y
∂z ⎟ ⎜ ∂x
⎜ ∂x
⎜
⎟ ⎜
⎝
⎠ ⎝
∂ F1
∂y
∂ F2
∂y
∂ F3
∂y
∂ F1 ⎞
∂ z ⎟⎟
⎛α ⎞
⎟⎜ ⎟
⎟
∂ F2 ⎟ ⎜⎜ ⎟⎟
β
∂ z ⎟⎜ ⎟
⎟⎜ ⎟
⎟⎜ γ ⎟
∂ F3 ⎟ ⎜⎜ ⎟⎟
⎟
∂ z ⎟⎝ ⎠
⎟
⎠
(4.2.3)
δηλαδή η κατευθύνουσα παράγωγος του διανυσματικού πεδίου F δίνεται από
το γινόμενο του πίνακα:
⎛ ∂ F1
⎜
⎜ ∂x
⎜
⎜
⎜ ∂ F2
D (F) = ⎜ ∂ x
⎜
⎜
⎜ ∂ F3
⎜
⎜ ∂x
⎜
⎝
∂ F1
∂y
∂ F2
∂y
∂ F3
∂y
∂ F1 ⎞
∂ z ⎟⎟
⎟
⎟
∂ F2 ⎟
∂z ⎟
⎟
⎟
∂ F3 ⎟
⎟
∂z ⎟
⎟
⎠
(4.2.4)
ο οποίος ονομάζεται Ιακωβιανός πίνακας του διανυσματικού πεδίου F, (ή και
παράγωγος του διανυσματικού πεδίου F), και της στήλης:
Διανυσματικά πεδία - Απόκλιση - Στροβιλισμός ♦ 75
⎛α ⎞
⎜ ⎟
⎜β ⎟
⎜γ ⎟
⎝ ⎠
που παριστάνει το μοναδιαίο διάνυσμα u, δηλαδή:
F′(r: u)=D(F)u
(4.2.5)
Παρατήρηση 1: Όπως στην περίπτωση της κατευθύνουσας παραγώγου ενός
βαθμωτού πεδίου f(x,y,z), έτσι και εδώ μπορούμε να κάνουμε την εξής παρατήρηση:
Το δεξιό μέλος της (4.2.5) αποτελείται από δυο μέρη. Το ένα μέρος είναι το
μοναδιαίο διάνυσμα u, που δίνει την πληροφορία για τη διεύθυνση ως προς την
οποία θέλουμε να υπολογίσουμε την παράγωγο. Το άλλο μέρος, ο Ιακωβιανός
πίνακας D(F), του οποίου τα στοιχεία του είναι οι μερικές παράγωγοι των συνιστωσών του διανυσματικού πεδίου F, θα πρέπει να μας δίνει πληροφορίες,
που έχουν σχέση με το διανυσματικό πεδίο F. Πράγματι:
Α) Από τη γραμμική άλγεβρα γνωρίζουμε ότι το άθροισμα των διαγωνίων
στοιχείων ενός τετραγωνικού πίνακα Α τάξης n, με στοιχεία αij ονομάζεται
ίχνος του πίνακα Α και συμβολίζεται με:
n
trΑ = ∑αij
(4.2.6)
i =1
Το ίχνος του πίνακα Α έχει αρκετές ενδιαφέρουσες ιδιότητες. Μια από τις
οποίες είναι ότι παραμένει αναλλοίωτο ως προς ορισμένους μετασχηματισμούς.
Έτσι περιμένουμε και εδώ το ίχνος του πίνακα D(F), δηλαδή η έκφραση:
∂ F1 ∂ F2 ∂ F3
+
+
∂x ∂y ∂z
(4.2.7)
να μας δίνει πληροφορίες για το διανυσματικό πεδίο F. Όπως θα δούμε αργότερα η φυσική σημασία της έκφρασης (4.2.7) είναι ότι μας δίνει στο σημείο, που
υπολογίζεται, τη "ροή" του διανυσματικού πεδίου.
Η σχέση (4.2.7) μπορεί να θεωρηθεί σαν εσωτερικό γινόμενο του "διανύσματος" ∇, (το σύμβολο ∇ δεν είναι διάνυσμα, η δε ακριβής σημασία του θα
δοθεί παρακάτω), και του F, δηλαδή
∂ F1 ∂ F2 ∂ F3 ⎛ ∂
∂
∂ ⎞
+
+
=⎜
i+
j+
k ⋅ ( F1i + F2 j + F3k )
∂ x ∂ y ∂ z ⎝ ∂ x ∂ y ∂ z ⎟⎠
(4.2.8)
76 ♦ ΚΕΦΑΛΑΙΟ IV
Tο "εσωτερικό" αυτό γινόμενο συμβολίζεται με: ∇⋅F ή με divF , (το div
προέρχεται από την αγγλική λέξη diverge=απόκλιση), και ονομάζεται απόκλιση του διανυσματικού πεδίου F. Έτσι έχουμε:
divF=∇⋅F=
∂ F1 ∂ F2 ∂ F3
+
+
∂x ∂y ∂z
(4.2.9)
Η έννοια της απόκλισης ενός διανυσματικού πεδίου είναι βασική στη Μηχανική των Ρευστών όπου η έκφραση:
∇ ( ρv) +
∂ρ
=0
∂t
(4.2.10)
είναι η εξίσωση της συνέχειας και στον Ηλεκτρομαγνητισμό όπου:
∇⋅E =
ρ
ε0
(4.2.11)
είναι μία από τις εξισώσεις του Maxwell.
Β) Τα υπόλοιπα μη διαγώνια στοιχεία του πίνακα D(F) χρησιμοποιούνται,
(παίρνοντας τις διαφορές των συμμετρικών ως προς την διαγώνιο στοιχείων),
για να κατασκευαστεί το διάνυσμα:
⎛ ∂ F3 ∂ F2 ⎞ ⎛ ∂ F1 ∂ F3 ⎞ ⎛ ∂ F2 ∂ F1 ⎞
−
−
−
⎜
⎟i +⎜
⎟k
⎟ j+ ⎜
∂
y
∂
z
∂
z
∂
x
∂
x
∂
y
⎝
⎠
⎝
⎠
⎝
⎠
(4.2.12)
που ονομάζεται στροβιλισμός του διανυσματικού πεδίου F και συμβολίζεται
με: curlF ή rotF. (Το curl προέρχεται από την αγγλική λέξη curlation= στροβιλισμός και το rot από τη γερμανική λέξη rotation=περιστροφή).
Ο στροβιλισμός του διανυσματικού πεδίου F μπορεί να γραφεί και σαν:
∇×F=
Tελικά έχουμε:
i
j
k
∂
∂x
∂
∂y
∂
∂z
F1
F2
F3
(4.2.13)
Διανυσματικά πεδία - Απόκλιση - Στροβιλισμός ♦ 77
curlF=rotF=∇×F=
i
j
k
∂
∂x
∂
∂y
∂
∂z
F1
F2
F3
⎛∂ F ∂ F ⎞ ⎛∂ F ∂ F ⎞ ⎛∂ F ∂ F ⎞
= ⎜ 3 − 2 ⎟i + ⎜ 1 − 3 ⎟ j+ ⎜ 2 − 1 ⎟k
⎝ ∂y ∂z ⎠ ⎝ ∂z ∂x ⎠ ⎝ ∂x ∂y ⎠
(4.2.14)
Παρατήρηση 2: Το σύμβολο ∇, που λέγεται ανάδελτα, (επειδή είναι ένα
αναποδογυρισμένο δέλτα κεφαλαίο), και που παριστάνει την έκφραση:
∇=
∂
∂
∂
i+
j+
k
∂x ∂y ∂z
(4.2.15)
δεν μπορεί να θεωρηθεί σαν διάνυσμα, γιατί απλούστατα δεν μπορεί να ορισθεί
μέτρο και διεύθυνση. Μπορεί όμως να θεωρηθεί ότι έχει διανυσματικό χαρακτήρα, (αφού η έκφραση του περιέχει τα μοναδιαία διανύσματα i, j, k,), όπως
επίσης και διαφορικό χαρακτήρα, (αφού περιέχει τις μερικές παραγώγους (∂/∂x,
∂/∂y, ∂/∂z ). Τελικά το ∇ θεωρείται σαν διαφορικός διανυσματικός τελεστής
με τις ιδιότητες:
α) όταν επιδράσει πάνω σε βαθμωτό πεδίο f μας δίνει το διάνυσμα ∇f, που
είναι διανυσματικό πεδίο.
β) όταν επιδράσει πάνω σε διανυσματικό πεδίο F με την έννοια του εσωτερικού γινομένου, μας δίνει το βαθμωτό πεδίο ∇⋅F.
γ) όταν επιδράσει πάνω σε διανυσματικό πεδίο F με την έννοια του εξωτερικού γινομένου, μας δίνει το διανυσματικό πεδίο ∇×F.
4.3 Γεωμετρική και Φυσική σημασία της Απόκλισης και του
Στροβιλισμού ενός διανυσματικού πεδίου
Α) Απόκλιση: Γεωμετρικά η απόκλιση ενός διανυσματικού πεδίου σ' ένα
σημείο Ρ δείχνει πόσο το διάνυσμα F απλώνεται, (αποκλίνει) σ' αυτό το σημείο.
Το διανυσματικό πεδίου F=xi+yj του προηγουμένου σχήματος 4.1.1 έχει θετική
απόκλιση ∇⋅F=2>0 και απλώνεται προς τα έξω. Εάν είχαμε το διανυσματικό
πεδίο F=-xi-yj με αρνητική απόκλιση ∇⋅F=-2<0 τότε τα βέλη θα έδειχναν προς
τα μέσα.
Στη συνέχεια ας δούμε την φυσική σημασία της απόκλισης ενός διανυσματικού πεδίου, που έχει σχέση με τη ροή των ρευστών. Έστω ρ(x,y,z) η πυκνό-
78 ♦ ΚΕΦΑΛΑΙΟ IV
τητα ενός ρευστού και v(x,y,z) η ταχύτητα με την οποία κινείται το ρευστό στο
σημείο (x,y,z). Το διανυσματικό πεδίο F(x,y,z)= ρ(x,y,z)v(x,y,z) ονομάζεται
πυκνότητα ροής του ρευστού και έχει διαστάσεις:
[F] =
μαζα
⎡⎣( μοναδα εμβαδου ) × ( μοναδα χρονου )⎤⎦
(4.3.1)
και μας λέει πόση μάζα του ρευστού ανά μονάδα επιφάνειας και ανά μονάδα
χρόνου ρέει κατά τη διεύθυνση της ταχύτητας v και στο σημείο (x,y,z). Η απόκλιση του F, δηλαδή το ∇⋅F, παριστάνει τον συντελεστή μεταβολής της μάζας ως
προς το χρόνο ανά μονάδα όγκου στο σημείο (x,y,z).
Πράγματι: Ας θεωρήσουμε ένα μικρό ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο από τη
μάζα του ρευστού με πλευρές παράλληλες προς τους άξονες και με μήκη Δx,
Δy, Δz, (Σχ. 4.3.1). Επειδή τα μήκη Δx, Δy, Δz είναι απειροστά, μπορούμε να
θεωρήσουμε ότι σ' όλα τα σημεία της έδρας ΑΒΓΔ το F είναι σταθερό(15. Έστω επίσης ότι η κορυφή Β έχει συντεταγμένες (x,y,z). Η έκφραση:
F(x,y,z)⋅j(ΔxΔz) παριστάνει τη μάζα του ρευστού, που εισρέει στο παραλληλεπίπεδο στη μονάδα του χρόνου και κατά τη διεύθυνση του j που είναι κάθετη
στην έδρα ΑΒΓΔ.
Όμοια, το γινόμενο F(x,y+Δy,z)⋅j(ΔxΔz) δίνει τη μάζα του ρευστού που
εκρέει από το παραλληλεπίπεδο στη μονάδα του χρόνου και κατά τη διεύθυνση
πάλι του j που είναι κάθετη στην απέναντι έδρα της ΑΒΓΔ.
z
Γ
Δz
B
Δ
Δx
A
Δy
y
O
Σχ. 4.3.1
x
(16
διαφορά [F(x,y+Δy,z)-F(x,y,z)]⋅j(ΔxΔz) δίνει το καθαρό ποσό της μάζας
Η
του
(15
Αυτό συμβαίνει όταν το διανυσματικό πεδίο F είναι συνεχές. Ένα διανυσματικό πεδίο F λέγεται συνεχές όταν οι συνιστώσες του είναι συνεχή βαθμωτά
πεδία.
(16
Εάν η διαφορά [F(x,y+Δy,z)-F(x,y,z)]⋅j(ΔxΔz) είναι θετική, τότε περισσότερη μάζα εξέρχεται παρά εισέρχεται και επομένως έχουμε αραίωση της μάζας
Διανυσματικά πεδία - Απόκλιση - Στροβιλισμός ♦ 79
ρευστού, που εξέρχεται από το παραλληλεπίπεδο στη μονάδα του χρόνου και
κατά τη διεύθυνση του j.
Ανάλογες ποσότητες δίνουν οι εκφράσεις:
[F(x+Δx,y,z)-F(x,y,z)]⋅i(ΔyΔz)
[F(x,y,z+Δz)-F(x,y,z)]⋅k(ΔxΔy)
Υποθέτουμε τώρα ότι η ολική μεταβολή της μάζας στη μονάδα του χρόνου
είναι το άθροισμα των τριών αυτών ποσοτήτων. Αν το άθροισμα αυτό το διαιρέσουμε δια του όγκου ΔxΔyΔz και υποθέσουμε ότι οι διαστάσεις του παραλληλεπίπεδου συνεχώς μικραίνουν με όριο το μηδέν, τότε στο όριο αυτό το άθροισμα γίνεται:
⎧[F( x + Δx, y, z ) − F( x, y, z ] ⋅ i (ΔyΔz )
lim Δx→0 ⎨
+
ΔxΔyΔz
Δy → 0 ⎩
Δz →0
+
[F( x, y + Δy, z ) − F( x, y, z ] ⋅ j(ΔxΔz )
+
ΔxΔyΔz
+
[F( x, y, z + Δz ) − F( x, y, z ] ⋅ k (ΔxΔy ) ⎫
⎬=
ΔxΔyΔz
⎭
= lim Δx → 0
[F ( x + Δx, y , z ) − F ( x, y , z )] ⋅ i
+
Δx
+ limΔy→0
[F( x, y + Δy, z) − F( x, y, z )] ⋅ j
+
Δy
+ lim Δz → 0
[F ( x, y , z + Δz ) − F ( x, y , z )] ⋅ k
=
Δz
= lim Δx →0
[ F1 ( x + Δx, y , z ) − F1 ( x, y , z )]
+
Δx
+ limΔy→0
[ F2 ( x, y + Δy, z) − F2 ( x, y, z)]
+
Δy
του παραλληλεπιπέδου κατά την διεύθυνση του j . Εάν η διαφορά [F(x,y+Δy,z)F(x,y,z)]⋅j(ΔxΔz) είναι αρνητική, τότε περισσότερη μάζα εισέρχεται παρά εξέρχεται και επομένως έχουμε πύκνωση της μάζας του παραλληλεπιπέδου κατά
την διεύθυνση του j .
80 ♦ ΚΕΦΑΛΑΙΟ IV
+ lim Δz → 0
=
[ F3 ( x, y , z + Δz ) − F3 ( x, y , z )]
=
Δz
∂
∂
∂
F1 ( x, y, z) +
F2 ( x, y, z) +
F ( x, y, z ) =∇⋅F(x,y,z)
∂x
∂y
∂z 3
(4.3.2)
δηλαδή, ισούται με την απόκλιση του διανυσματικού πεδίου F στο σημείο
(x,y,z) και παριστάνει τον συντελεστή μεταβολής της μάζας ανά μονάδα
όγκου και ανά μονάδα χρόνου στο σημείο B(x,y,z).
Σημειώνουμε ότι:
Εάν ∇⋅F(x,y,z)>0 τότε:
α) το σημείο (x,y,z) είναι "πηγή" μάζας ή
β) η πυκνότητα ρ του ρευστού ελαττώνεται στα γειτονικά προς το σημείο
(x,y,z) σημεία.
Εάν ∇⋅F(x,y,z)<0 τότε:
α) το σημείο (x,y,z) είναι μια "απαγωγή" μάζας ή
β) η πυκνότητα ρ του ρευστού αυξάνεται στα γειτονικά προς το σημείο
(x,y,z) σημεία.
Εύκολα αποδεικνύεται ότι για την ροή ενός ρευστού που έχει σταθερή πίεση, χωρίς πήγες ή απαγωγές, δηλαδή, ενός ασυμπίεστου ρευστού, η απόκλιση
του διανυσματικού πεδίου της ταχύτητας v είναι μηδέν σε κάθε σημείο της
μάζας του. Συγκεκριμένα ισχύει η ισοδυναμία:
∇⋅v=0 ⇔ το ρευστό είναι ασυμπίεστο.
Αυτό αποδεικνύεται από την εξίσωση της συνέχειας
οποία για ρ=σταθερό μας δίνει ∇⋅v=0.
∂ρ
+∇⋅(ρv)=0, από την
∂t
Εάν το F είναι ένα διανυσματικό πεδίο, τότε η απόκλιση του F σε ένα σημείο παριστάνει τη ροή του διανυσματικού πεδίου δια μέσου μιας απειροστής
κλειστής επιφάνειας, που περιέχει το σημείο, ανά μονάδα όγκου και μπορεί να
οριστεί, (όπως θα δούμε σε επόμενο κεφάλαιο), από τη σχέση:
∇⋅F= lim V → 0
1
F ⋅ dS
V ∫∫
S
(4.3.3)
όπου V είναι ο όγκος που περικλείεται από την κλειστή επιφάνεια S και περιέχει το σημείο, dS=dSn, n είναι το προς τα έξω διευθυνόμενο μοναδιαίο διά-
Διανυσματικά πεδία - Απόκλιση - Στροβιλισμός ♦ 81
νυσμα κάθετο στο απειροστό στοιχείο dS της επιφάνειας S και
∫∫
το σύμβο-
λο του κλειστού επιφανειακού ολοκληρώματος.
Β) Στροβιλισμός: Γεωμετρικά ο στροβιλισμός ενός διανύσματος μας δίνει
ένα μέτρο του κατά πόσο το διάνυσμα F στροβιλίζεται, περιστρέφεται, γύρω
από κάποιο συγκεκριμένο σημείο
Ας θεωρήσουμε τώρα ένα στερεό σώμα που περιστρέφεται γύρω από κάποιον άξονα, έστω τον ΟΖ, με σταθερή γωνιακή ταχύτητα ω=ωk. Έστω R η
ακτίνα της περιφέρειας, που διαγράφει ένα σημείο Ρ(x,y,z) του σώματος, (Σχ.
4.3.2). Τότε:
r = Rcosωti+Rsinωtj+zk ⇒
v=
και
dr
=ω(-Rsinωti+Rcosωtj)=-ωyi+ωxj
dt
j
⎛ i
⎜
∂
∂
∇×v= ⎜
⎜ ∂x ∂y
⎜
⎝ −ωy ωx
k ⎞
⎟
∂ ⎟
=2ωk=2ω
∂z ⎟
⎟
0 ⎠
δηλαδή, όταν ένα στερεό σώμα περιστρέφεται με γωνιακή ταχύτητα ω, τότε ο
στροβιλισμός της ταχύτητας v κάθε υλικού σημείου είναι 2ω=σταθερό, δηλαδή
ο στροβιλισμός της ταχύτητας δίνει ένα
μέτρο της περιστροφής του σώματος.
R
z
Όταν πρόκειται για ρευστό η έκφραση ∇×v δίνει ένα μέτρο της τοπικής
περιστροφής της μάζας του ρευστού.
Ρ
Ο στροβιλισμός ενός διανυσματικού
πεδίου F μπορεί να ορισθεί, (όπως θα
δούμε σε επόμενο κεφαλαίο), από τη ω
r
σχέση:
(∇×F).n= limS →0
1
F ⋅ dr
S ∫C
(4.3.5)
όπου S είναι το εμβαδόν της επιφάνειας
που περατώνεται στην κλειστή καμπύλη
C, n το μοναδιαίο διάνυσμα κάθετο
στην επιφάνεια S με φορά εκείνη που
καθορίζεται από τον κανόνα του δεξι-
ωt
x
Σχ. 4.3.2
y
82 ♦ ΚΕΦΑΛΑΙΟ IV
όστροφου κοχλία, και
∫
το σύμβολο του κλειστού επικαμπυλίου ολοκληρώ-
ματος.
Όταν το F είναι δυναμικό πεδίο, ο στροβιλισμός του ∇×F μετρά το έργο
ανά μονάδα επιφάνειας.
Άλλη έκφραση του στροβιλισμού ∇×F είναι η εξής:
∇× F = limV →0
1
V
∫∫ n × FdS
(4.3.6)
S
Μια διαισθητική εικόνα της απόκλισης και του στροβιλισμού ενός διανυσματικού πεδίου είναι η εξής: Φανταστείτε ότι βρίσκεστε στην όχθη μιας ήρεμης λίμνης. Εάν σκορπίσετε λίγο πριονίδι στην επιφάνεια της λίμνης και παρατηρήσετε ότι το πριονίδι απλώνεται προς τα έξω, τότε συμπεραίνουμε ότι το
έχουμε ρίξει σε ένα σημείο της λίμνης όπου η απόκλιση του διανυσματικού
πεδίου, που παριστάνει την ταχύτητα v του νερού σ' αυτό το σημείο, είναι θετική. Εάν το πριονίδι συσσωρεύεται στο σημείο, τότε η απόκλιση είναι αρνητική
και αυτό σημαίνει ότι το σημείο αυτό υπάρχει μια απαγωγή μάζας, δηλ. μια
καταβόθρα. Εάν τώρα σε κάποιο σημείο της λίμνης ρίξουμε ένα τροχό φτιαγμένο από φελλό και παρατηρήσουμε ότι αρχίζει να περιστρέφεται, τότε συμπεραίνουμε ότι ο στροβιλισμός της ταχύτητας του νερού σ' αυτό το σημείο είναι μη
μηδενικός. Μια δίνη είναι ένα σημείο με μεγάλο στροβιλισμό.
4.4 Συναρτήσεις Δυναμικού
Ας θεωρήσουμε το βαθμωτό πεδίο f = −
1
. Η έκφραση αυτή, πολλαπλαr
σιασμένη με κατάλληλες σταθερές, την συναντάμε στη Φυσική σαν δυναμικό.
Π.χ. η έκφραση f = −
1 Q
παριστάνει το δυναμικό του ηλεκτροστατικού,
4πε 0 r
πεδίου που δημιουργείται από το φορτίο Q, που βρίσκεται στην αρχή των αξόνων. Επίσης η έκφραση f = −G
M
παριστάνει το δυναμικό του βαρυτικού
r
πεδίου, που δημιουργείται από την μάζα Μ, που βρίσκεται στην αρχή των αξόνων. Η βάθμωση των παραπάνω εκφράσεων:
Διανυσματικά πεδία - Απόκλιση - Στροβιλισμός ♦ 83
⎛
1 Q⎞
Q r
E = ∇f = ∇ ⎜ −
,
⎟=
3
⎝ 4πε ο r ⎠ 4πεο r
M⎞
r
⎛
E = ∇f = ∇ ⎜ −G ⎟ = GM 3
r ⎠
r
⎝
μας δίνει την ένταση των αντιστοίχων πεδίων. Εάν οι εντάσεις αυτές πολλαπλασιαστούν με κατάλληλα υποθέματα, συγκεκριμένα η πρώτη έκφραση με ένα
φορτίο q και η δεύτερη με μια μάζα m, οι αντίστοιχες εκφράσεις θα μας δώσουν τις δυνάμεις που ασκούνται στο φορτίο q και στην μάζα m αντίστοιχα:
F=
Qq r
,
4πε ο r 3
F=G
Mm
r
r3
Επειδή στην πράξη αυτό που μπορούμε να μετρήσουμε είναι οι δυνάμεις και
όχι το δυναμικό, προκύπτει το εξής ερώτημα:
Ερώτημα: Εάν γνωρίζουμε την δύναμη F μπορούμε να ελέγξουμε εάν αυτή
η δύναμη προέρχεται από δυναμικό; Και σε θετική περίπτωση πως μπορούμε
να βρούμε το δυναμικό αυτό; Σε μαθηματική διατύπωση το παραπάνω ερώτημα
διατυπώνεται ως εξής:
Για δεδομένο διανυσματικό πεδίο F υπάρχει βαθμωτό πεδίο f τέτοιο ώστε
∇f=F;
Απάντηση: Ναι, αν και μόνο αν ∇×F=0.
Όταν υπάρχει τέτοιο βαθμωτό πεδίο f, τότε θα λέμε ότι το διανυσματικό
πεδίο F έχει μια συνάρτηση δυναμικού f ή ότι έχει ένα δυναμικό f ή ότι απορρέει από δυναμικό ή ότι είναι συντηρητικό.
Εάν F=F1i+F2j+F3k τότε η εξίσωση ∇f=F γίνεται:
∂f ∂f
∂f
i+
j+
k =F1i+F2j+F3k ⇒
∂x ∂y
∂z
∂f
= F1
∂x
∂f
= F2
∂y
∂f
= F3
∂z
(4.4.1)
Από τις σχέσεις (4.4.1) έχουμε:
∂ 2 f ∂ F1
=
∂ y∂ x ∂ y
∂ 2 f ∂ F2
=
∂ x∂ y ∂ x
∂ 2 f ∂ F1
=
∂ z∂ x ∂ z
∂ 2 f ∂ F3
=
∂ x∂ z ∂ x
(4.4.2)
84 ♦ ΚΕΦΑΛΑΙΟ IV
∂ 2 f ∂ F3
=
∂ y∂ z ∂ y
∂ 2 f ∂ F2
=
∂ z∂ y ∂ y
από τις οποίες προκύπτουν οι σχέσεις:
∂ F3 ∂ F2
−
=0
∂y ∂z
∂ F2 ∂ F1
−
=0
∂x ∂y
ή
∂ F1 ∂ F3
−
=0
∂z ∂x
∇×F=0
(4.4.3)
Η σχέση (4.4.3) αποτελεί ικανή και αναγκαία συνθήκη για να υπάρχει βαθμωτή συνάρτηση f τέτοια ώστε ∇f=F.
Απόδειξη: Το αναγκαίο προκύπτει από το γεγονός ότι εάν ∇f=F τότε ∇×F =
∇×(∇f)=0.
Για να αποδείξουμε το αντίστροφο, δηλαδή το ικανό, υποθέτουμε ότι ισχύει η σχέση (4.4.3) και θα προσπαθήσουμε να προσδιορίσουμε μια συνάρτηση f,
τέτοια ώστε ∇f=F .
Ας θεωρήσουμε μια συνάρτηση f1 , τέτοια ώστε:
∂ f1
= F1
∂x
(4.4.4)
και ας προσπαθήσουμε να εκλέξουμε έτσι την f1 ώστε να επαληθεύει και τις
άλλες σχέσεις, δηλαδή:
∂ f1
= F2 ,
∂y
∂ f1
= F3
∂z
Από την (4.4.4) έχουμε:
x
∫
f1(x,y,z)= F1 (t , y, z)dt
(4.4.5)
x0
δηλαδή ολοκληρώνουμε από το σημείο (x0,y0,z0) μέχρι το σημείο (x,y,z) ως
προς x. Η f1 της σχέσης (4.4.5) ικανοποιεί τη σχέση ∂f1 /∂x=F1 αλλά όχι
αναγκαστικά και τις ∂f1 /∂y=F2 ∂f1 /∂z=F3 . Η ζητούμενη συνάρτηση θα είναι
της μορφής f1+f2 , όπου η f2 είναι συνάρτηση μόνο των y και z. Η f1+f2 ικανοποιεί τη σχέση:
∂ ( f1 + f 2 )
= F1
∂x
Διανυσματικά πεδία - Απόκλιση - Στροβιλισμός ♦ 85
Απαιτούμε τώρα να ισχύει:
∂ ( f1 + f 2 )
∂ f2
∂f
= F2 ⇒
= F2 − 1
∂y
∂y
∂y
αλλά
∂ f1 ⎤ ∂ F2 ∂ 2 f1 ∂ F2 ∂ ⎡ ∂ f1 ⎤ ∂ F2 ∂ F1
∂ ⎡
F −
=
−
=
−
=
−
=0
∂ x ⎢⎣ 2 ∂ y ⎥⎦ ∂ x ∂ x∂ y ∂ x ∂ y ⎢⎣ ∂ x ⎥⎦ ∂ x ∂ y
Άρα
F2-
∂ f1
=g(y,z) και συνεπώς
∂y
y
∫
f2(y,z)= g(t , z)dt
(4.4.6)
y0
Μέχρι εδώ η συνάρτηση f1+f2 ικανοποιεί τις δυο πρώτες συναρτήσεις της
(4.4.1), δηλαδή:
∂ ( f1 + f 2 )
= F1
∂x
∂ ( f1 + f 2 )
= F2
∂y
Ζητούμε τώρα μια συνάρτηση f3(z) τέτοια ώστε:
∂ ( f1 + f 2 + f 3 )
= F3
∂z
αλλά
⇒
f3′(z)=F3-
∂ ( f1 + f 2 )
∂z
∂ ⎧ ∂ ( f1 + f 2 ) ⎫ ∂ F3 ∂ ⎧ ∂
⎫ ∂ F3 ∂ F1
−
−
=0
⎨F3 ⎬=
⎨ [ f1 + f 2 ]⎬ =
∂x⎩
∂z
⎭ ∂x ∂z
⎭ ∂ x ∂ z ⎩∂ x
και
∂ ⎧ ∂ ( f1 + f 2 ) ⎫
⎨F ⎬= ∂F ∂ ⎧ ∂
⎫ ∂ F3 ∂ F2
∂y⎩ 3
∂z
3
⎭
−
=0
−
⎨ [ f1 + f 2 ]⎬ =
∂ y ∂ z ⎩∂ y
⎭ ∂y ∂z
δηλαδή η F3 -
∂ ( f1 + f 2 )
είναι συνάρτηση μόνο του z. Έτσι θέτουμε:
∂z
⎡ ∂ ( f1 + f 2 ) ⎤
⎥⎦
⎣ ∂z
h(z)=F3- ⎢
86 ♦ ΚΕΦΑΛΑΙΟ IV
z
και έχουμε:
∫
f3(z)= h (t )dt
(4.4.7)
z0
Συμπέρασμα: Εάν για ένα διανυσματικό πεδίο F ισχύει ∇×F=0, τότε υπάρχει βαθμωτό πεδίο f=f1+f2+f3 ώστε να ισχύει η σχέση ∇f=F όπου:
x
f1 ( x, y, z ) = ∫ F1 ( x, y, z )dx ,
x0
y
⌠⎡
∂f⎤
f2 ( y, z ) = ⎮ ⎢ F2 − 1 ⎥ dy ,
∂y⎦
⌡⎣
y0
z
∂f ∂f ⎤
⌠⎡
f3 ( z ) = ⎮ ⎢ F3 − 1 − 2 ⎥ dz
∂z ∂z ⎦
⌡⎣
(4.4.8)
z0
Πρακτικά εργαζόμαστε ως εξής:
Έστω F=xyz(2z+3x)i+z(x2z-3y2+x3)j+y(2x2z-y2+x3)k. Εύκολα μπορούμε να
διαπιστώσουμε ότι ∇×F=0. Άρα υπάρχει βαθμωτή συνάρτηση f τέτοια ώστε
∇f=F. Από την τελευταία σχέση έχουμε:
∂f
=F1 =xyz(2z+3x)
∂x
(4.4.9)
∂f
=F2 = z(x2z-3y2+x3)
∂y
(4.4.10)
∂f
=F3 = y(2x2z-y2+x3)
∂z
(4.4.11)
Ολοκληρώνουμε την σχέση (4.4.9) ως προς x θεωρώντας τα y και z σταθερά:
∫
∫
f= Fdx
+c1(y,z)= xyz (2 z + 3 x) dx +c1(y,z)=x2yz2+x3yz+c1(y,z)
1
(4.4.12)
Σημειώστε ότι εδώ η σταθερά ολοκλήρωσης c1 θα είναι γενικά συνάρτηση
των δυο άλλων μεταβλητών y και z.
Θέτουμε την (4.4.12) στην (4.4.10) και έχουμε:
Διανυσματικά πεδία - Απόκλιση - Στροβιλισμός ♦ 87
∂f ∂
⎡⎣ x 2 yz 2 +x 3 yz+c1 (y,z) ⎤⎦ =F2 = z(x2z-3y2+x3) ⇒
=
∂y ∂y
x2z2+x3z+
∂
∂
c1 (y,z) =x2z2-3y2z+x3z ⇒
c (y,z) =-3y2z ⇒
∂y
∂y 1
c1(y,z)= ∫ −3y 2zdy +c2(z)=-y3z+c2(z)
(4.4.13)
και εδώ η σταθερά c2 θα είναι συνάρτηση της τρίτης μεταβλητής που απομένει,
δηλαδή της z.
Τώρα η (4.4.12) με την βοήθεια της (4.4.13) γράφεται:
f=x2yz2+x3yz-y3z+c2(z)
(4.4.14)
και θέτοντας την (4.4.14) στην (4.4.11) παίρνουμε:
∂f
d
=2x2yz+x3y-y3+
c2(z)= F3 =y(2x2z-y2+x3) ⇒
dz
∂z
d
c2(z)=0 ⇒ c2(z)=c=σταθερό.
dz
Τελικά είναι: f=x2yz2+x3yz-y3z+c
Παρατήρηση 1: Όταν ένα διανυσματικό πεδίο F έχει απόκλιση μηδέν,
δηλαδή ∇⋅F=0, λέγεται σωληνοειδές, όταν δε ο στροβιλισμός του είναι μηδέν,
∇×F=0, λέγεται αστρόβιλο.
Άσκηση: Δίδεται το διανυσματικό πεδίο F=x3yi+yx2j+xzk. Χωρίς να υπολογιστεί ο στροβιλισμός ∇×F, να δειχθεί ότι το F δεν είναι συντηρητικό πεδίο.
Λύση: Εάν δεχθούμε ότι το διανυσματικό πεδίο F είναι συντηρητικό, τότε θα
υπάρχει βαθμωτό πεδίο f τέτοιο ώστε F=∇f. Από την τελευταία σχέση προκύπει:
∂f
= F1 = x 3 y (1)
∂x
∂f
∂f
= F2 = yx 2 (2)
= F3 = xz (3)
∂y
∂z
Το βαθμωτό πεδίο f οφείλει, εάν υπάρχει, να ικανοποιεί τις παραπάνω τρεις
σχέσεις, όπως επίσης να έχει συνεχείς τις δεύτερες παραγώγους. Και αυτό διότι
το διανυσματικό πεδίο F θεωρείται όχι μόνο συνεχές αλλά και διαφορίσιμο,
δηλαδή όλες οι μερικές παράγωγοι των συνιστωσών του F1, F2, F3 ως προς x, y,
z είναι συνεχείς συναρτήσεις. Μια συνάρτηση έχει συνεχείς τις δεύτερες
παραγώγους όταν:
88 ♦ ΚΕΦΑΛΑΙΟ IV
∂2 f
∂2 f
=
∂x∂y ∂y∂x
Εάν παραγωγίσουμε την (1) ως προς y παίρνουμε:
∂2 f
= x3
∂y∂x
(4)
Παραγωγίζοντας τώρα την (2) ως προς x παίρνουμε:
∂2 f
= 2 xy
∂x∂y
Παρατηρούμε ότι
(5)
∂2 f
∂2 f
≠
και επομένως δεν υπάρχει βαθμωτό πεδίο f
∂y∂x ∂x∂y
τέτοιο ώστε F=∇f. Τελικά το διανυσματικό πεδίο F δεν είναι συντηρητικό.
Εδώ πρέπει να προσέξουμε ότι ο τρόπος που χρησιμοποιήσαμε για να λύσουμε
το πρόβλημα λειτουργεί σαν αρνητική απόδειξη με την έννοια ότι το αντίστροφο δεν αληθεύει πάντα. Π. χ. για το διανυσματικό πεδίο F=yk, οι δεύτερες παράγωγοι υπάρχουν είναι συνεχείς και ίσες με μηδέν, όμως curlF=i≠0.
4.5 Κατασκευή Διανυσματικού πεδίου από τον στροβιλισμό του.
Ερώτημα: Εάν F=F1i+F2j+F3k δεδομένο διανυσματικό πεδίο, υπάρχει διανυσματικό πεδίο G=G1i+G2j+G3k τέτοιο ώστε:
F=∇×G
(4.5.1)
Απάντηση: Ναι εάν και μόνο εάν ∇⋅F=0
(4.5.2)
Το αναγκαίο προκύπτει από το γεγονός ότι εάν F=∇×G τότε
∇⋅F=∇⋅(∇×G)=0.
Για να αποδείξουμε το αντίστροφο, δηλαδή το ικανό, υποθέτουμε ότι ισχύει
η σχέση (4.5.1) και θα προσπαθήσουμε να προσδιορίσουμε το πεδίο G.
Η (4.5.1) γράφεται:
∂ G3 ∂ G2
∂ G2 ∂ G1
∂ G1 ∂ G3
−
= F1 ,
−
= F3
−
= F2 ,
∂x ∂y
∂y ∂z
∂z ∂x
(4.5.3)
Διανυσματικά πεδία - Απόκλιση - Στροβιλισμός ♦ 89
Στη συνέχεια πρέπει να λύσουμε αυτό το σύστημα των μερικών διαφορικών
εξισώσεων ως προς G1, G2, G3. Αποδεικνύεται ότι μια λύση της (4.5.1) είναι της
μορφής:
G = G1i+G2j+G3k
x
όπου
G1 =0
z
∫
x
∫
G2= F3 (t , y, z )dt − F1 ( x0 , y, u )du
x0
z0
∫
G3=- F2 (t , y, z )dt
x0
Παρατήρηση 1: Το διανυσματικό πεδίο G, που ικανοποιεί την (4.5.1), δεν
είναι μοναδικό γιατί το διανυσματικό πεδίο G+∇φ, όπου φ οποιοδήποτε βαθμωτό πεδίο, ικανοποιεί την (4.5.1). Πράγματι:
∇×(G+∇φ)=∇×G+∇×(∇φ)=F+0=F
4.6 Πίνακας Διανυσματικών Ταυτοτήτων που περιέχουν ∇
Στον πίνακα αυτό τα f και φ παριστάνουν βαθμωτά πεδία και τα F και G
διανυσματικά πεδία.
1.∇(f+φ)=∇f+∇φ
ή
grad(f+φ)=gradf+gradφ
2. ∇⋅(F+G)=∇⋅F+∇⋅G
ή
div(F+G) = divF + divG
3. ∇× (F+G)=∇ ×F+∇×G
ή
curl(F+G)=curlF+curlG
4. ∇⋅(fF)=(∇f)⋅F+f(∇⋅F)
ή
div(fF)=gradf.F+fdivF
5. ∇× (fF)=(∇f) ×F+f(∇×F)
ή
curl(fF)=gradf×F+fcurlF
6. ∇⋅(F×G)=G⋅(∇×F)-F⋅(∇×G)
ή
div(FxG)=G⋅curlF-F⋅curlG
7. ∇× (F×G)=(G⋅∇)F-G(∇⋅F)-(F⋅∇)G+F(∇⋅G)
8. ∇(F⋅G)=(G⋅∇)F+(F⋅∇)G+G×(∇×F)+F×(∇×G)
9.
∂2f ∂2f ∂2f
+ 2+ 2
2
∂y ∂z
∇⋅(∇f)=∇2f= ∂ x
όπου
∇2=
10 ∇×(∇f)=0
(17
∂2 ∂2 ∂2
+
+
∂ x2 ∂ y 2 ∂ z 2
ή
(17
o τελεστής του Laplace.
curlgradf=0
Εάν ένα βαθμωτό πεδίο f(x,y,z) ικανοποιεί την σχέση ∇2f(x,y,z)=0 τότε λέγεται αρ-
μονική συνάρτηση.
90 ♦ ΚΕΦΑΛΑΙΟ IV
11. ∇⋅(∇×F)=0 ή divcurlF = 0
12. ∇× (∇×F) = ∇(∇⋅F) - ∇2F
4.7 Εφαρμογές
1) Στη Μηχανική των Ρευστών, η εξίσωση της συνέχειας για την ροή
ενός ρευστού είναι:
∂ρ
+∇⋅(ρv)=0
∂t
(1)
όπου ρ=ρ(x,y,z,t) η πυκνότητα και v=v(x,y,z,t) το πεδίο των ταχυτήτων του
ρευστού. Να δειχθεί ότι η εξίσωση της συνέχειας μπορεί να πάρει τις μορφές:
∂ρ
+(∇ρ)⋅v+ρ∇⋅v=0
∂t
(2)
και
Dρ
+ρ∇⋅v=0
Dt
(3)
όπου
D ∂ dx ∂ dy ∂ dz ∂
=
+
+
+
Dt ∂x dt ∂y dt ∂z dt ∂t
(4)
η παράγωγος του Stokes.
Λύση: Θα χρησιμοποιήσουμε την ταυτότητα:
∇⋅(fF)=(∇f)⋅F+f(∇⋅F) με f=ρ, F=v
και έχουμε
∇⋅(ρv)=(∇ρ)⋅v+ρ(∇⋅v).
Οπότε η (1) γράφεται:
∂ρ
∂ρ
+(∇ρ)⋅v+ρ∇⋅v=0
+∇⋅(ρv)=
∂t
∂t
δηλαδή η σχέση (2).
Για την σχέση (3), γράφουμε την ταχύτητα v υπό την μορφή:
v=dx/dti+dy/dtj+dz/dtk, οπότε η σχέση (2) πιο αναλυτικά γράφεται:
∂ρ
∂ρ ⎤ ⎡ dx dy dz ⎤
∂ρ
∂ρ ⎡ ∂ρ
i+
j + k ⎥ ⋅ ⎢ i + j + k ⎥ + ρ∇⋅v=
+(∇ρ)⋅v+ρ∇⋅v=
+⎢
∂y
∂z ⎦ ⎣ dt
dt
dt ⎦
∂t ⎣ ∂x
∂t
=
∂ρ ∂ρ dx ∂ρ dy ∂ρ dz
Dρ
+
+
+
+ ρ∇⋅v=
+ρ∇⋅v=0
Dt
∂t ∂x dt ∂y dt ∂z dt
Διανυσματικά πεδία - Απόκλιση - Στροβιλισμός ♦ 91
Σημειώστε ότι η παράγωγος
Dρ
παριστάνει τον συντελεστή μεταβολής
Dt
της πυκνότητας ενός σημείου που κινείται με το ρευστό.
2) Έστω ότι το πεδίο ταχυτήτων ενός ρευστού δίνεται από την σχέση:
v=(y,0,0). Σχεδιάστε τις ταχύτητες των μορίων του ρευστού.
y
Δείξτε ότι το ρευστό είναι ασυμπίεστο. Να βρεθεί ο όγκος την
χρονική στιγμή t=1/3, που καταλαμβάνουν τα μόρια του ρευστού
τα οποία την χρονική στιγμή t=0
πληρούσαν τον κύβο που ορίζεται
x
από τις εξισώσεις x=0, x=1, y=0,
y=1, z=0, z=1.
Λύση: Όταν το ρευστό είναι
ασυμπίεστο, δηλαδή όταν η πυκνότητα ρ είναι σταθερή, τότε από
την εξίσωση της συνέχειας
Σχ. 4.7.1
z
y
∂ρ
+∇⋅(ρv)=0
∂t
t=1
1Γ
t=0
Β
Ζ
Ν
Θ
Κ
Λ
Μ
έχουμε ∇⋅v=0. Υπολογίζουμε την
απόκλιση του v και βρίσκουμε
Η
∇⋅v=0 σ’ όλα τα σημεία του χώΟ
1
x
ρου. Άρα το ρευστό είναι ασυμπίΑ
εστο. Το διανυσματικό πεδίο της
Δ
1
ταχύτητας απεικονίζεται στο Σχ.
4.7.1. Παρατηρούμε ότι όλα τα
z
μόρια του ρευστού κινούνται
Σχ. 4.7.2
ευθύγραμμα και παράλληλα προς
τον άξονα ΟΧ και έχουν την ίδια ταχύτητα όσα βρίσκονται σε επίπεδο κάθετο
προς τον άξονα ΟΥ. Την χρονική στιγμή t=0 τα μόρια που μας ενδιαφέρουν,
πληρούν τον κύβο (ΟΑΒΓΗΔΛΖ). Τα μόρια που βρίσκονται στην κάτω πλευρά
(ΟΑΔΗ) του κύβου έχουν μηδενική ταχύτητα και δεν μετακινούνται. Από το
σχήμα εύκολα προκύπτει ότι τη χρονική στιγμή t=1/3 τα μόρια του αρχικού
κύβου (ΟΑΒΓΗΔΛΖ) θα καταλαμβάνουν τον όγκο του παραλληλεπιπέδου
(ΟΑΜΝΗΔΚΘ), οποίος έχει τον ίδιο όγκο με τον αρχικό κύβο, Σχ. 4.7.2.
92 ♦ ΚΕΦΑΛΑΙΟ IV
3) Έστω ότι το πεδίο ταχυτήτων ενός ρευστού δίνεται από την σχέση:
v=(x,0,0). Σχεδιάστε τις ταχύτητες των μορίων του ρευστού. Δείξτε ότι το ρευστό δεν είναι ασυμπίεστο. Να βρεθεί ο
όγκος την χρονική στιγμή t=1, που καταy
λαμβάνουν τα μόρια του ρευστού τα οποία την χρονική στιγμή t=0 πληρούσαν τον
κύβο που ορίζεται από τις εξισώσεις x=0,
x=1, y=0, y=1, z=0, z=1.
Λύση:Οι ταχύτητες των μορίων του ρευστού δείχνονται στο Σχ. 4.7.3. Παρατηρούx με ότι τα μόρια στη θέση x=0, δηλαδή τα
μόρια που βρίσκονται στο επίπεδο ΟΥΖ,
έχουν μηδενική ταχύτητα και επομένως
παραμένουν ακίνητα, ενώ τα υπόλοιπα
z
Σχ. 4.7.3
μόρια κινούνται παράλληλα προς τον άξονα OX με ταχύτητα ανάλογη προς το |x|. Επειδή ∇⋅v=1≠0 το ρευστό δεν είναι
ασυμπίεστο.
Στη συνέχεια θα προσπαθήσουμε να εκφράσουμε την ταχύτητα v(x,0,0) των
μορίων του ρευστού συναρτήσει του χρόνου. Έχουμε:
v=
dr ⎛ dx
⎞
= ⎜ , 0, 0 ⎟ = ( x, 0, 0 ) ⇒
dt ⎝ dt
⎠
dx
= x ⇒ x = ce t
dt
Για να προσδιοριστεί η σταθερά c
πρέπει να εφαρμόσουμε αρχικές συνθήκες, που θα αναφέρονται για t=0.
Οι αρχικές όμως συνθήκες δεν πρέπει να αναφέρονται στα μόρια του
Σχ. 4.7.4
ρευστού που βρίσκονται στην έδρα
ΑΒΟΜ του κύβου που βρίσκεται στο
επίπεδο ΟΥΖ, διότι αυτά τα μόρια έχουν ταχύτητα μηδέν και από την λύση
x=cet θα βρίσκαμε c=0 δηλ. x=0. Επομένως οι αρχικές συνθήκες θα πρέπει να
αναφερθούν σε άλλα μόρια του ρευστού, όπως π.χ. στα μόρια του ρευστού της
απέναντη έδρας CKLH, όπου ισχύει x=1 για t=0.
Άρα για t=0 θα έχουμε 1=ce0 ⇒ c=1 επομένως x(t)=et.
Για t=1 θα έχουμε x=et=e και τα μόρια του αρχικού κύβου ΑΒΟMΗCKL θα
καταλαμβάνουν το όγκο του παραλληλεπιπέδου ABOMGDEF, όπου η έδρα
GDEF τέμνει τον άξονα ΟΧ στο σημείο x=e, Σχ. 4.7.4. Ο όγκος δε του παραλληλεπιπέδου είναι V=e×1×1=e.
Διανυσματικά πεδία - Απόκλιση - Στροβιλισμός ♦ 93
4) Έστω ότι η θερμοκρασία σε ένα δωμάτιo είναι συνάρτηση των συντεταγμένων, δηλαδή
T=T(x,y,z).
(1)
Δώστε μια φυσική ερμηνεία της εκφράσεως:
ΔT T ( x + Δx, y + Δy, z + Δz ) − T ( x, y, z )
=
Δs
Δs
(2)
και υπολογίστε το όριο της όταν Δs→0. Επίσης δείξτε ότι
dT
dr
= ∇T ⋅
ds
ds
(3)
Λύση: Κατ’ αρχήν πρέπει να τονισθεί ότι ο τελεστής της βάθμωσης ∇ έχει
πολύ μεγάλη σημασία για την φυσική. Με τον τελεστή της βάθμωσης μπορούμε να κατασκευάζουμε διανυσματικά πεδία από αντίστοιχα βαθμωτά. Στις
περισσότερες περιπτώσεις εκείνο που μπορούμε να μετρήσουμε πειραματικά
είναι το διανυσματικό πεδίο. Όμως είναι πιο κομψό από μαθηματικής πλευράς
να βρούμε το βαθμωτό πεδίο f, που αντιστοιχεί στο διανυσματικό πεδίο F, τα
οποία συνδέονται, ως γνωστόν, με τη σχέση: ∇f=F. Οι δε υπολογισμοί με το
βαθμωτό πεδίο f είναι πιο εύκολοι. Επομένως η λογική πορεία που ακολουθούμε είναι να αρχίσουμε πρώτα με μια πειραματική διαδικασία και να μετρήσουμε
το κατάλληλο διανυσματικό πεδίο, το οποίο είναι αυτό που υπάρχει στον φυσικό κόσμο. Στη συνέχεια, με κάποιες μαθηματικές διαδικασίες, βρίσκουμε το
αντίστοιχο βαθμωτό πεδίο, κάνουμε κάποιους μαθηματικούς υπολογισμούς και
μετασχηματίζουμε τα μαθηματικά αποτελέσματα πίσω στα φυσικά μεγέθη, τα
οποία είναι πειραματικώς μετρήσιμα. Η διαδικασία αυτή δείχνεται στο παρακάτω σχήμα:
Μαθηματικοί
Βαθμωτά πεδία τα
μετασχηματισμοί
Διανυσματικά πεδία
οποία αντιμετωπίζονπειραματικώς μετρήσιμα
ται πιο εύκολα από
μαθηματικής πλευράς
Φυσική θεωρία που
περιγράφει κάποιο
φυσικό φαινόμενο
Μεγέθη πειραματικώς
μετρήσιμα
Μαθηματικοί
υπολογισμοί
Μαθηματικοί
μετασχηματισμοί
Αποτελέσματα που
είναι τις περισσότερες φορές βαθμωτές
ποσότητες
94 ♦ ΚΕΦΑΛΑΙΟ IV
Το T(x,y,z) παριστά την θερμοκρασία στο σημείο (x,y,z), ενώ το T(x+Δx y+Δy,
z+Δz) παριστάνει την θερμοκρασία στο σημείο (x+Δx y+Δy, z+Δz). Επίσης τα
ΔΤ και Δs παριστούν τις αλλαγές στη θερμοκρασία και στην απόσταση μεταξύ
των δυο σημείων αντίστοιχα. Επομένως το
ΔΤ
παριστάνει κατά μέσο όρο τον
Δs
συντελεστή μεταβολής της θερμοκρασίας ανά μονάδα αποστάσεως κατά την
διεύθυνση από το σημείο (x,y,z) στο σημείο (x+Δx y+Δy, z+Δz). Από το διαφορικό της θερμοκρασία Τ(x,y,z):
dΤ =
∂T
∂T
∂T
dx +
dy +
dz
∂x
∂y
∂z
έχουμε:
limΔs →0
ΔΤ dT ∂T dx ∂T dy ∂T dz
=
=
+
+
=
Δs ds ∂x ds ∂y ds ∂z ds
⎡ ∂T
dz ⎤
dr
∂T
∂T ⎤ ⎡ dx dy
=⎢ i+
j+
k ⎥ ⋅ ⎢ i + j + k ⎥ = ∇T ⋅
∂y
∂z ⎦ ⎣ ds
ds
ds ⎦
ds
⎣ ∂x
ΑΣΚΗΣΕΙΣ
1. Να αποδειχθεί ότι:
⎛r ⎞
=0
3 ⎟
⎝r ⎠
α) ∇⋅ ⎜
⎛r ⎞
=0
3 ⎟
⎝r ⎠
β) ∇× ⎜
⎛1⎞
⎝r⎠
γ) ∇2 ⎜ ⎟ = 0
2. Εάν r=xi+yj+zk και r=|r| βρείτε όλους τους ακεραίους n για τους οποίους ισχύει div[rnr]=0
3. Δίνεται η συνάρτηση φ=φ(x,y,z), η οποία ικανοποιεί τις συνθήκες
dφ/dz=0 και φ(0,0,z)=0. Να βρεθεί η φ έτσι ώστε το διανυσματικό πεδίο:
F(x,y,z)=(x3+3y2z)i+6xyzj+φk
Να προκύπτει από δυναμικό f. Στη συνέχεια να βρεθεί το f.
Διανυσματικά πεδία - Απόκλιση - Στροβιλισμός ♦ 95
u2
4. Να δείξετε ότι το διανυσματικό πεδίο F=4u. e -i , όπου u=yj+zk, προκύπτει από δυναμικό και να βρεθεί η εξίσωση των ισοσταθμικών επιφανειών
του δυναμικού.
5. Να βρεθεί η γενική μορφή της συνάρτησης f(r), μιας μεταβλητής για
την οποία το διανυσματικό πεδίο f(r)r είναι σωληνοειδές.
6.
α) Να αποδείξετε ότι ∇2f(r)=
df
2 df
+
2
dr
r dr
β) Να βρεθεί η συνάρτηση f(r) έτσι ώστε ∇2 f(r)=0
7. Να αποδείξετε ότι:
α) ∇2[lnr]=1/r2
β) ∇2rn=n(n+1)rn-2
γ) ∇⋅[r3r]=6r3
8. Έστω ότι το διανυσματικό πεδίο F=F1i+F2j+F3k δεν είναι κλίση ενός
βαθμωτού δυναμικού. Είναι όμως δυνατό να προσδιορίσετε ένα μη μηδενικό
βαθμωτό πεδίο μ(x,y,z), τέτοιο ώστε το διανυσματικό πεδίο μF να είναι κλίση
κάποιου δυναμικού. Να δείξετε ότι αν υπάρχει ένα τέτοιο μ, το διάνυσμα F θα
είναι πάντοτε κάθετο στην περιστροφή του. Αν το πεδίο είναι διδιάστατο, η
παρατήρηση αυτή μας δίνει μια αναγκαία συνθήκη για να έχει η διαφορική
εξίσωση F1(x,y)dx+F2(x,y)dy=0 έναν ολοκληρωτικό παράγοντα.
9. Εάν τα πεδία F και G είναι αστρόβιλα, να δείξετε ότι το πεδίο F×G
είναι σωληνοειδές.
10. Οι εξισώσεις του Mαxwell στον ηλεκτρομαγνητισμό για την περίπτωση
του κενού είναι:
∇×E=∇×B=
∂B
∂t
∂E
∂t
∇⋅E=0
∇⋅B=0
όπου Ε και Β οι εντάσεις του ηλεκτρικού και μαγνητικού πεδίου αντίστοιχα.
Να δείξετε ότι οι εντάσεις Ε και Β ικανοποιούν την κυματική εξίσωση:
∇2u=
∂ 2u
∂ t2
Δίνεται: ∇×(∇×F)=-∇2F+∇(∇⋅F)
11. Ποιες από τις παρακάτω εκφράσεις έχουν μαθηματικό νόημα;
1) culr divF
2) curl curlF
3) grad gradf
4) div divF
5) div gradf
6) grad divf
7) grad divF
8) grad curlF
9) div curlF
10)curl gradf
96 ♦ ΚΕΦΑΛΑΙΟ IV
(Απ. 1) OXI
2) NAI
3) OXI
4) OXI
5) NAI
6) OXI
7) NAI
8) OXI
9) NAI
10) NAI

3 ΕΠΙΣΚΟΠΗΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ CAD.................................. 3-1

Υδραυλικές σήραγγες μεταφοράς νερού στη θέση Rrapuni

Τεχνικά έργα - Omikron Kappa Consulting

Ρ - αριστοτελειο πανεπιστημιο θεσσαλονικης

ερωτησεις επαναληψης α΄ γυμνασιου

1 Αρχές, Ορισμοί και Διάχυση

Τεχνολογία και αντοχή υλικών: Διάλεξη 2

Πλήρες Κείμενο - Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο

ΒΙΟΛΟΓΙΑ Γ΄Γυμνασίου